Algoritmos para el problema de árbol de expansión mínima robusto con datos intervalares

UNIVERSIDAD DE TALCA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ALGORÍTMOS PARA EL PROBLEMA DEL ÁRBOL
DE EXPANSIÓN ROBUSTO CON INCERTIDUMBRE
INTERVALAR
TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER EN GESTIÓN DE
OPERACIONES
Por
FRANCISCO JAVIER PÉREZ GALARCE
COMISIÓN INTEGRADA POR LOS PROFESORES:
Dr. Alfredo Candia Véjar
Dr. Fernando Paredes Cajas
Dr. Rodrigo Herrera Leiva
Marzo, 2013
CURICÓ – CHILE

vii
Esta tesis está dedicada a:
Las dos mujeres que me toleraron y acompañaron durante este proceso de intenso trabajo;
Soledad Miranda y Francisca Pérez.

viii
Agradecimientos
A toda mi familia, la cual me ha apoyado en cada paso que he dado en mi vida. En especial a "mi
amor" Soledad y "mi pequeña" Francisca; por su amor, apoyo y comprensión.
A mi maestro Alfredo Candia, por su apoyo, motivación y confianza desde que comenzó mi
proceso de magister.
A Eduardo Álvarez, por ser mi compañero en este trabajo, brindarme su ayuda y apoyo, incluso
desde la distancia.
A mis compañeros de magister y pregrado, todos sin distinción son excelentes profesionales y aún
mejores personas.

ix
Resumen
Esta tesis aborda el Problema Árbol de Expansión con incertidumbre intervalar en los costos,
utilizando el criterio de Min-Max Regret.
Varios algoritmos son implementados, tanto exactos como heurísticos. Con respecto a los
algoritmos exactos, se implementan Descomposición de Benders y Branch and Cut, ambos
incluyen variantes. Branch and Cut logra superar al resto de los algoritmos, incluso obteniendo
gaps menores a un 10%, para 100 nodos, en un conjunto de instancias. En relación a las
heurísticas, se desarrolla una heurística constructiva, la que utiliza la información de los intervalos,
a diferencia de todas las aproximaciones de la literatura. Se proponen metaheurísticas basadas en
Búsqueda Local (Mejora iterativa, Simulated Annealing y GRASP), se obtienen gaps de calidad,
incluso para las instancias más complejas.
Se realiza una comparación desde un punto de vista experimental, mostrando un buen
desempeño, pues se igualan o mejoran los resultados existentes.
Palabras clave: Incertidumbre, Min-Max Regret, Árbol de expansión.
Abstract
This thesis addresses The Robust Spanning Tree Problem with interval uncertainty in data costs,
using the Min-Max Regret criterion.
Several algorithms are implemented, both exact as heuristic. With respect to exact algorithms are
implemented Benders decomposition and Branch and Cut, and both include some variants. Branch
and Cut can ourperform the rest of the algorithms, obtaining gaps below 10% for instances with 100
nodes in a set of instances. In relation to heuristics, a constructive heuristic is developed, which
uses the information of the intervals, and different to the known approaches from the literature, that
only work with scenarios. Metaheuristics based on Local Search (iterative improvement, simulated
annealing and GRASP) are proposed and they got quality gap, even for more complex instances .
A comparison is made from an experimental point of view, showing a good performance, improving
existing results for some group of instances.
Key Words: Uncertainty, Min-Max Regret, Spanning Tree.

x
ÍNDICE
CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN...................................................................................................................... 14
1.1 Contextualización .............................................................................................................. 15
1.2 Manejo de Incertidumbre................................................................................................... 17
1.3 Objetivos............................................................................................................................ 18
1.3.1 Objetivos específicos..................................................................................................... 18
1.4 Estructura de la tesis......................................................................................................... 19
CAPÍTULO II: MODELO MINMAX REGRET................................................................................................... 20
2.1 Descripción General.......................................................................................................... 21
2.2 Modelo Min-Max Regret ................................................................................................... 22
CAPÍTULO III: MIN-MAX REGRET SPANNING TREE..................................................................................... 28
3.1 Formulaciones para MST ................................................................................................. 29
3.2 Definición del MMR-ST ..................................................................................................... 30
3.3 Algoritmos exactos ............................................................................................................ 32
3.4 Heurísticas para MMR-ST................................................................................................ 35
3.5 Metaheurísticas para MMR-ST ........................................................................................ 36
3.5.1 Simulated annealing...................................................................................................... 36
3.5.2 Búsqueda tabú .............................................................................................................. 38
CAPÍTULO IV: ALGORITMOS PROPUESTOS PARA MMR-ST ...................................................................... 41
4.1 Aporte de la Tesis.............................................................................................................. 42
4.1.1 Algoritmo exactos.......................................................................................................... 42
4.1.2 Algoritmos aproximados................................................................................................ 46
CAPÍTULO V: EXPERIMENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS.................................................................. 54
5.1 Descripción de instancias........................................................................................................ 55
5.2 Preprocesamiento ............................................................................................................. 56
5.3 Algoritmos Exactos............................................................................................................ 58
5.3.1 Evaluación de variantes de Descomposición de Benders ............................................ 58
5.3.2 Análisis MILP, EBD y B&C ............................................................................................ 63

xi
5.3.3 Análisis del comportamiento de B&C............................................................................ 69
5.3.4 Análisis de instancias La............................................................................................... 72
5.4 Experimentación de algoritmos aproximados. .................................................................. 73
5.4.1 Análisis de heurísticas básicas ..................................................................................... 73
5.4.2 Análisis de metaheurísticas........................................................................................... 78
CAPÍTULO VI: CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS................................................................................ 84
Referencias Bibliografía ............................................................................................................................. 87
Anexo 1: Estadísticas de heurísticas........................................................................................................... 93
Anexo 2: Parámetros GRASP...................................................................................................................... 97
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1. Estructura de costos instancias tipo yaman........................................................................ 55
Tabla 2. Pre procesamiento de instancias He y Mo ......................................................................... 57
Tabla 3. Pre procesamiento de instancias Ya................................................................................... 57
Tabla 4. Tiempos de ejecución He para variantes de Benders resueltas al óptimo......................... 59
Tabla 5. Tiempo de ejecución para instancias Mo con variantes de Benders ................................. 59
Tabla 6. Tiempos de ejecución para instancias Ya con variantes de Benders ................................ 60
Tabla 7. Gap de instancias He y Mo para variantes de Benders sin optimalidad ............................ 61
Tabla 8. Gap para instancias Ya con variantes de Benders............................................................. 61
Tabla 9. Tiempos de ejecución instancias He para MILP, EBD y B&C ............................................ 63
Tabla 10. Tiempo de ejecución instancias Mo para MILP, EBD y B&C ........................................... 64
Tabla 11. Tiempos de ejecución instancias Ya para MILP, EBD y B&C .......................................... 65
Tabla 12. Desviación porcentual instancias He para MILP, EBD y B&C.......................................... 66
Tabla 13. Desviación porcentual instancias Mo para MILP, EBD y B&C ......................................... 66
Tabla 14. Desviación porcentual instancias Ya para MILP, EBD y B&C.......................................... 66
Tabla 15. Análisis de tiempo de B&C para instancias Ya de mayor tamaño................................... 69
Tabla 16. Análisis de tiempo instancias He de mayor tamaño para B&C ........................................ 70
Tabla 17. Análisis de tiempo instancias Mo de mayor tamaño para B&C........................................ 70
Tabla 18. Gap de instancias Ya de mayor tamaño para B&C .......................................................... 71
Tabla 19. ANálisis de desviaciones porcentuales para B&C en instancias mayores tipo He .......... 72
Tabla 20. Análisis instancias MO para B&C en tamaños mayores................................................... 72
Tabla 21. Análisis de tiempos instancias La..................................................................................... 73
Tabla 22. Análisis de gap instancias La............................................................................................ 73

xii
Tabla 23. Análisis de heurísticas instancias Ya(C,C) ....................................................................... 74
Tabla 24. Análisis de heurísticas instancias Ya(C,2C) ..................................................................... 75
Tabla 25. Análisis de heurísticas instancias Mo ............................................................................... 75
Tabla 26. Análisis de heurísticas instancias He................................................................................ 75
Tabla 27. Muestra de estadísticas de heurísticas para Ya(C,C) ...................................................... 76
Tabla 28. Muestra de estadísticas de heurísticas para Ya(C,2C) .................................................... 76
Tabla 29. Muestra de estadísticas de heurísticas para He............................................................... 77
Tabla 30. Muestra de estadísticas para heurísticas de Mo .............................................................. 78
Tabla 31. Mínima (min), promedio (av.) y máxima desviación porcentual desde solución de
referencia para instancias con 100 nodos. ....................................................................................... 80
Tabla 32. Mínima (min), promedio (av.) Y máxima desviación porcentual desde solución de
referencia para instancias con 80 nodos. ......................................................................................... 81
Tabla 33. Mínima (min), promedio (av.) Y máxima desviación porcentual desde solución de
referencia para instancias con 60 nodos. ......................................................................................... 82
Tabla 34. Estadísticas de heuríticas Ya(c,c)..................................................................................... 93
Tabla 35. Estadísticas de heurísticas Ya(C,2C) ............................................................................... 94
Tabla 36. Estadísticas heurísticas He............................................................................................... 95
Tabla 37. Estadísticas heurísticas Mo .............................................................................................. 96
Tabla 38. Resultados de GRASP para 100 nodos con distintos conjuntos de parámetros por familia
de instancias...................................................................................................................................... 97
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1. Cálculo del regret parte I ............................................................................................. 24
Ilustración 2. Cálculo del regret parte II ............................................................................................ 25
Ilustración 3. Cálculo del regret parte III ........................................................................................... 25
Ilustración 4. Cálculo del regret parte IV ........................................................................................... 25
Ilustración 5. Grafo G con datos intervalares.................................................................................... 48
Ilustración 6. Grafo con nuevo criterio de optimización .................................................................... 48
Ilustración 7. Composición del regret local ....................................................................................... 49
Ilustración 8. Cálculo de regret local parte 1..................................................................................... 49
Ilustración 9. Cálculo del regret local parte II .................................................................................... 50
Ilustración 10. Definición de vecindario parte I ................................................................................. 52
Ilustración 11. Definición de vecindario parte II ................................................................................ 52
Ilustración 12. Definición de vecindario parte III ............................................................................... 53
Ilustración 13. Definición de vecindario parte IV ............................................................................... 53

xiii
ÍNDICE DE GRÁFICOS
Gráfico 1. Porcentaje de instancias resueltas para un tiempo dado................................................. 62
Gráfico 2. Porcentaje acumulado de instancias para un gap dado .................................................. 62
Gráfico 3. Porcentaje acumulado de instancias v/s tiempo para MILP, EBD Y B&C ....................... 68
Gráfico 4. Porcentaje acumulado de instancias v/s gap para MILP, EBD Y B&C ............................ 68

CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN
Este capítulo tiene por objetivo dar a conocer la problemática, en particular, con la que se
trabaja, posteriormente se presentan los objetivos del trabajo. Finalmente, se describe la
contribución que se realizó.

15
1.1 CONTEXTUALIZACIÓN
Dentro de la Investigación de Operaciones (IO) una de las áreas más desarrolladas es la
optimización en redes. Los problemas del área han cautivado el interés de los investigadores de
ésta y muchas otras áreas de investigación, que incluso escapan del contexto de la ingeniería,
tales como ciencias de la computación, matemática y biología, por nombrar algunas. Dicha
relevancia se debe principalmente a la gran variedad de situaciones que pueden ser modeladas en
redes. Los estudios de optimización en redes se pueden relacionar con diversas áreas de
aplicación, que van desde problemáticas básicas de logística, hasta el modelamiento de redes
sociales. Los problemas en redes tienen la propiedad de poder ser representados de forma simple
a través de grafos. Para mayor detalle al respecto de los conceptos y propiedades básicas de la
teoría de grafos ver (Godsil & Royle, 2001).
Una gran cantidad de problemas en grafos pueden ser modelados a través de la
optimización combinatorial (CO), donde las restricciones buscan dar una topología particular a la
solución, por ejemplo: un tour para el caso del problema del vendedor viajero (TSP), un camino
para el caso del problema del camino más corto (SP) o un árbol para el caso del problema del árbol
de expansión mínima (MST). La función objetivo busca optimizar una función de costos asociada a
dicha estructura.
Dentro de los problemas de optimización combinatorial en redes, uno de los más
estudiados es el MST. Este problema se define sobre un grafo conexo y no dirigido ,
donde es un conjunto finito de vértices, que dependiendo de la aplicación pueden representar
terminales, estaciones de telecomunicaciones, etc.; corresponde al conjunto de aristas, que
representan los enlaces entre los vértices, cada una de estas conexiones tiene un número positivo-
real asociado, el cual se denota como , que asocia el peso de ir del vértice al , el cual puede
representar costo, tiempo, distancia, etc. Un árbol de expansión (ST) corresponde a un conjunto de
n nodos y aristas, con la propiedad de conectar todos los vértices del grafo , luego un
MST es el conjunto de aristas que conectan todos los vértices del grafo al menor costo
posible.
Este problema fue propuesto en diferentes contextos antes del siglo XX, sin embargo, su
primera formulación matemática se presentó en 1926, por Boruvka (1926), quién según la historia,
tuvo que aprender de dicho problema por petición de un amigo (Jindrich Saxel, empleado de un
planta eléctrica), durante la electrificación del sur de Moravia, en la República Checa. Fue para
resolver esta problemática, netamente práctica, donde se proporcionó el primer algoritmo conocido
para resolver el MST; convencido del gran aporte realizado, Boruvka, el mismo año, publicó otro
artículo en donde abordó con mayor detalle la contribución realizada (Boruvka, 1926b).
Posteriormente, Vojtech Jarník, otro matemático checo, al darse cuenta de la importancia del

16
trabajo realizado por Boruvka (1926) y considerando que la solución propuesta en dicho trabajo,
desde su punto de vista era muy complicada, trabajó por lo tanto en una solución alternativa, para
posteriormente enviarla a través de una carta a Boruvka y, finalmente, publicar un artículo con el
mismo nombre de (Boruvka, 1926) con el subtítulo From the letter to Mr. Boruvka (Jarník, 1930).
Traducciones de los trabajos de Boruvka y Jarník son presentadas en (Nesetril et al., 2001) y
(Korte & Nesetril, 2001b) respectivamente. En la década de los 50’, con la aparición de los
primeros computadores, surgieron numerosos estudios importantes, donde destacan los realizados
por (Prim, 1957), quien de forma independiente a (Jarník, 1930) propone una alternativa
semejante y (Kruskal, 1956) el cual propone una tercera alternativa de solución a la problemática.
Si bien hasta la fecha se siguen proponiendo nuevos algoritmos, son estos trabajos los que juegan
el rol principal en la historia del MST. Para una revisión completa de los aportes realizados
respecto al MST ver (Graham & Hell, 1985), (Magnanti & Wolsey, 1995), (Nesetril, 1997) y (Nesetril
et al., 2001).
Los problemas de árbol han llamado el interés de la investigación de operaciones por
diversas razones, en primer lugar por su gran aplicabilidad, debido a que las aplicaciones naturales
de dicho problema están relacionadas con sistemas de comunicación, tales como: redes
telefónicas, eléctricas, hidráulicas, de televisión por cable, computacionales y de transporte. Sin
embargo, con el transcurso del tiempo este modelo ha sido propuesto para resolver problemáticas
de diferente índole. Algunos trabajos en donde se muestra la diversidad de aplicaciones son:
Reconocimiento de filogenia de imágenes en (Rocha & Dias, 2012), Análisis de Jerarquía celular
en (Kiranyaz & Gabbouj, 2007), Problemas de localización (Tamir, 2000), diseño de algoritmos
para clustering dentro del contexto de data mining (Huang & Li, 2007), diseño de sistemas
energéticos eficientes (Zhang, Li, & Lim, 2010), (Li et al., 2011), análisis de crisis financieras
(Zhang, et al., 2011), telecomunicaciones (Santos et al. 2008). Otras aplicaciones básicas se
pueden encontrar en (Ahuja et al., 1995).
Otro factor que ha gatillado el profundo estudio de árboles está dado por la facilidad
(algoritmos de tiempo polinomial) con la que se puede resolver el MST clásico, esto ha permitido
que todas las aplicaciones antes nombradas hayan sido viables computacionalmente. Un tercer
punto de gran importancia es que los árboles están presentes en un área de gran importancia
como lo es la optimización en redes, es más, los árboles representan uno de los modelos más
básicos para el diseño de redes.
Finalmente, los modelos de árbol representan un problema tipo para muchos problemas de
optimización combinatorial, por lo que las técnicas estudiadas en éste pueden ser replicadas para
esta clase de problemas. Para mayor detalle de las propiedades del MST que han despertado el
interés de los investigadores ver (Magnanti & Wolsey, 1995).

17
1.2 MANEJO DE INCERTIDUMBRE
Una de las discusiones presentes desde los orígenes de la investigación de operaciones es la
incerteza en los parámetros. Los modelos en forma clásica trabajan bajo el supuesto de que los
datos son conocidos, es decir, su naturaleza es determinista. En la práctica trabajar bajo este
supuesto es poco realista, la forma tradicional para obviar dicho supuesto es la programación
estocástica, sin embargo, esta metodología implica realizar otra afirmación importante, pues
requiere definir una distribución de probabilidad, lo cual muchas veces es una tarea titánica y
asumir una equivocada, puede generar errores de gran magnitud. Algunos factores que pueden
llevar a tener una incorrecta distribución de probabilidad son: poca cantidad de observaciones,
muestra inadecuada, errores en proceso de muestreo, desconocimiento del tomador de decisión de
la gama de distribuciones de probabilidad existentes, etc.
Dada la dificultad para determinar una distribución de probabilidad, durante las últimas
décadas ha tomado gran importancia una nueva línea de investigación, la cual trabaja la
incertidumbre mediante datos intervalares, donde no se tiene conocimiento con respecto a su
distribución de probabilidad. Dicha propuesta de modelamiento de la incertidumbre ha recibido el
nombre de optimización robusta.
Los acercamientos a la Optimización Robusta han sido diversos y se pueden observar a lo
menos 4 fuentes de investigación, cada una con sus propias características. El modelo MinMax (y
Minmax Regret) es presentado en la década de los 90’ en términos de optimización robusta, este
trabaja los datos de forma intervalar y consideran diferentes criterios para la evaluación de la
optimalidad, una compilación de resultados importante es mostrada en (Kouvelis & Yu, 1997). Otra
importante fuentes de investigación relevante, es la propuesta por Bertsimas en sus trabajos
(Bertsimas & Sim, 2003) y (Bertsimas & Sim, 2004), este se ha convertido en uno de los más
importantes modelos en el contexto de la optimización robusta. La característica principal de este
enfoque con datos intervalares es que deriva en un modelo de programación lineal entera que
conserva la complejidad del problema original. Un tercer acercamiento para el tratamiento de la
incertidumbre es el realizado por Ben-Tal, Nemirovski y Ghaoui (2009), donde se trabaja la
incertidumbre como perteneciente a elipsoides, conformando un problema de optimización
convexa, una excelente referencia se presenta en el libro (Ben Tal et al., 2009). El último y más
reciente acercamiento, es el propuesto por (Chen et al., 1997) con un enfoque un tanto distinto, el
cual tiene por objetivo minimizar el riesgo. Para mayor detalle del último acercamiento, ver los
siguientes trabajos (Chen et al., 2009), (Chen, et al., 2009b), (Álvarez-Miranda et al., 2010) y
(Álvarez-Miranda et al., 2011).
En este trabajo se profundizará en el modelo Min-Max Regret (MMR) que en particular ha
capturado gran atención; diferentes modelos han sido estudiados bajo este concepto; Camino más

18
corto, de ahora en adelante SP (Shortest Path) (Karasan et al. 2001), MST (Yaman et al., 2001),
problemas de localización, de ahora en adelante LP (Location Problem) (Averbakh & Berman,
2005), vendedor viajero, de ahora en adelante TSP (Traveling Salesman Problem) (Montemanni et
al., 2007). Una característica importante de los Modelos de tipo MMR es que usualmente modelos
que en la versión clásica son fáciles de resolver (tiempo polinomial) en la contraparte robusta se
convierten en problemas NP-Hard.
El MMR-ST (MinMax Regret Spanning Tree) es un problema que merece ser estudiado, por
diversas razones: desafío algorítmico dado por la complejidad del problema, estructura particular
que le permite ser un problema tipo (problema anidado MinMax). Luego, las técnicas utilizadas en
este pueden ser replicadas a una gran cantidad de problemas en redes, fácil interpretación de la
modelación, facilidad de obtención de los parámetros de entrada a diferencia de la programación
estocástica, etc.
1.3 OBJETIVOS
Estudiar y resolver el problema del Árbol de Expansión Robusto con datos intervalares a través del
modelo Min-Max Regret (MMR-ST), mediante algoritmos heurísticos, meta-heurísticas y métodos
exactos.
1.3.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Revisión bibliográfica de los métodos de optimización robusta con incertidumbre intervalar,
con énfasis en el criterio de MMR.
 Revisión bibliográfica de algoritmos exactos para solución del MMR-ST e implementar la
(s) mejores alternativas.
 Revisión bibliográfica y/o meta-heurísticas para la solución del MMR-ST e Implementar la
(s) mejores alternativas.
 Diseñar e implementar variantes de los algoritmos encontrados en la literatura, tanto para
algoritmos heurísticos, meta-heurísticas como métodos exactos.
 Analizar y confrontar los resultados obtenidos por los diferentes algoritmos heurísticos y
exactos implementados.

19
1.4 ESTRUCTURA DE LA TESIS
El presente trabajo está organizado de la siguiente forma: en la sección 2 se entregan los
fundamentos generales de la optimización robusta con especial énfasis en el modelo MMR, se
muestran las motivaciones de su uso, se presenta la generalización matemática de un modelo de
optimización combinatorial (CO) bajo este modelo. Además, se presenta una recopilación de
estudios de su complejidad. En la sección 3, se formaliza el MMR-ST, primero, entregando los
fundamentos de las formulaciones matemáticas del problema clásico, y luego, presentando una
revisión de los algoritmos exactos y las heurísticas propuestas para la resolución de éste. En la
sección 4, se presenta el aporte de esta tesis, es decir, se da una descripción detallada de los
algoritmos tanto exactos como heurísticos propuestos para la resolución del problema en estudio.
Los resultados de la experimentación son expuestos en la sección 5, acá se presenta además el
conjunto de instancias utilizado para el análisis, en este apartado se entrega un análisis exhaustivo
de los diferentes algoritmos utilizados. Finalmente, en la sección 6 se despliegan las conclusiones
y los posibles trabajos futuros relacionados.

CAPÍTULO II: MODELO MINMAX REGRET
En este capítulo se introduce la teoría actual de la optimización robusta con incertidumbre
intervalar, dando especial énfasis en la metodología MMR.

21
2.1 DESCRIPCIÓN GENERAL
Desde los orígenes de la investigación de operaciones la incerteza ha despertado el interés por parte
de los investigadores. Los modelos de investigación de operaciones en forma clásica trabajan bajo el
supuesto de que los datos son conocidos, es decir, su naturaleza es determinista, esta condición es
convencionalmente aceptada, sin embargo en ocasiones no considerar la incerteza puede no ser lo
más adecuado, el primer acercamiento a la incerteza en un modelo matemático fue realizado por
(Dantzig, 1955); a partir de este trabajo nació una de las técnicas más tradicionales para trabajar
incerteza, como lo es la programación estocástica, excelentes referencias para profundizar en el tema
se presentan en los libros (Uryasev & Pardalos, 2001), (Schneider & Kirkpatrick, 2006) y (Marti, 2008).
Esta metodología implica realizar otra afirmación importante, pues requiere definir una distribución de
probabilidad; en ocasiones asumir un distribución de probabilidad es una tarea titánica y asumir una
equivocada puede generar errores de gran magnitud.
Otra aproximación para el tratamiento de la incerteza corresponde a la incertidumbre difusa, la
cual se basa en la determinación de una pertenencia gradual, que está dada por una función (función
de pertenencia). Este acercamiento al igual que la programación estocástica requiere de una
definición de parámetros, el origen de estos modelos está en el trabajo presentado por (Bellman &
Zadeh, 1970), un poco de la historia de esta línea de investigación se puede revisar en el libro de
(Zimmermann, 2005).
Durante las últimas dos décadas ha surgido una nueva línea de investigación que trabaja la
incertidumbre de forma determinística, también conocida como optimización robusta (OR). La
característica principal es que tanto eventos con alta probabilidad de ocurrencia como eventos con
baja probabilidad de ocurrencia tienen la misma importancia. El origen de esta aproximación a la
incertidumbre es variado y sus principales precursores pertenecen a las ciencias aplicadas, donde
destacan la estadística robusta (Huber & Ronchetti, 2009), el aprendizaje automático (Mitchell, 1997),
el control robusto (Dullerud & Paganini, 2010) y obviamente la teoría de optimización. El objetivo de
esta rama de investigación es buscar soluciones que entreguen cierta protección al tomador de
decisión ante escenarios poco favorables.
Los acercamientos a la optimización robusta han sido diversos y se pueden observar a lo
menos 4 fuentes de investigación, cada una con sus propias características. El modelo MinMax es
presentado en la década de los 90’ en términos de optimización robusta. Éste trabaja los datos de
forma intervalar y considera diferentes criterios para la evaluación de la optimalidad. Una compilación
de resultados importante es mostrada en (Kouvelis & Yu, 1997), quienes fueron pioneros en la
adaptación de robustez a problemas de optimización combinatorial. Otra fuente de información de

22
gran relevancia, y más actualizada para este tipo de modelos, es la presentada por (Kasperski A.
,2008).
En este trabajo se estudiará en más detalle el modelo MMR, en tanto, continuación se
profundizará en sus características.
2.2 MODELO MIN-MAX REGRET
Los modelos MMR han capturado gran atención dentro de la investigación de operaciones, diferentes
aplicaciones han sido estudiadas bajo este concepto: camino más corto (SP) (Karasan et al. 2001),
Árbol de expansión (ST) (Yaman et al., 2001), Problemas de localización (LP) (Averbakh & Berman,
2005), vendedor viajero (TSP) (Montemanni et al., 2007), por mencionar algunos. En éstos y en un
gran conjunto de trabajos adicionales, se ha analizado el modelo MMR desde diferentes perspectivas,
tales como complejidad computacional, algoritmos exactos y heurísticas. Más adelante se verán en un
mayor detalle los principales aportes en cada una de las perspectivas.
En relación a las aplicaciones se han realizado numerosos esfuerzos para resolver situaciones
reales. Ejemplos de esto son algunos trabajos que se mostrarán inmediatamente. En (Luolou &
Kanudia, 1999) se utiliza una formulación para un problema relacionado con estrategias de
disminución de emisiones de gas en invernaderos, Dicho estudio se llevó a cabo en la provincia de
Québec en Canadá. En esta investigación se realizan interesantes comparaciones con una
formulación de programación estocástica para el mismo problema. En los trabajos de (Chang &
Davila, 2006) y (Chang & Davila, 2007) se utiliza el modelo MMR para abordar la problemática de la
gestión de residuos sólidos. En el trabajo del año 2006 se utilizan técnicas de grey programming
combinadas con una formulación MMR; posteriormente en (Chang & Davila, 2007) abordan el
problema utilizando una formulación MIP para el modelo MMR, la metodología fue aplicada en el Valle
Rio Grande (TX, USA). Otro trabajo interesante es presentado en (Kasakci et al., 2007) donde es
desarrollado un modelo híbrido a través de Programación Lineal Intervalar (ILP) y la formulación del
modelo MMR. En este estudio se analizó la localización de granjas destinadas a la fabricación de
biocombustible en Francia.
El modelo MMR pertenece a la familia de modelos Min-Max donde se modela la incertidumbre a
través de datos intervalares o escenarios discretos. Para el caso de los datos intervalares, a cada
parámetro se conoce el valor de su lower y upper bound, pudiendo tomar un valor dentro de este
intervalo, que por lo demás, es independiente de los valores del resto de los parámetros. Cuando un
conjunto de parámetros toma valores, se obtiene un escenario, lo que significa que cada combinación
de parámetros determina un escenario particular, se tiene entonces un conjunto de escenarios que
corresponde al producto cartesiano de los intervalos de incerteza. Con respecto a los escenarios
discretos se tiene un conjunto que corresponde a una lista de escenarios .

23
Otro criterio conocido para el manejo de la robustez a través de MinMax es el llamado MinMax
absolut, el cual es un criterio bastante más conservador.
MMR también conocido como desviación robusta, busca el escenario donde se obtiene la mejor
peor desviación robusta, es decir, donde el máximo regret es mínimo. El término regret viene del
inglés y significa arrepentimiento; en el contexto de optimización es encontrar la solución que minimice
la brecha de la solución bajo cualquier escenario. Este problema puede ser modelado de la siguiente
forma:
Donde es el conjunto de soluciones factibles, es el conjunto de escenarios posibles, es la
función objetivo y la solución optima bajo un escenario particular .
El principal desarrollo de este modelo se ha realizado en el área de la CO. A continuación se
definirá la notación utilizada para explicar MMR en problemas combinatoriales. Esta fue extraída
desde (Averbakh & Lebedev, 2004). Lo primero es definir un problema combinatorial estándar (COP).
= sea un conjunto finito de soluciones factibles y una función definida sobre con la
propiedad de que el óptimo valor del problema: , siempre existe.
Asumiendo que existe incerteza en la función objetivo, es decir, es miembro de una familia de
funciones para algún conjunto de escenarios. Considerando independiente del conjunto
de escenarios, se denota el óptimo valor para el siguiente problema.
= , se obtiene que este problema para algún escenario se
reduce a un problema clásico de COP.
Luego, para algún y , la función se denomina regret para
bajo el escenario . El regret del peor caso para algún y el respectivo escenario inducido se
denotará por la función de que está definida por.
Se puede observar que . Luego la versión MMR-COP está dada es:
Para un problema MMR-COP se considera un conjunto finito base y el
conjunto factible de soluciones. Luego cada elemento toma valores dentro de un intervalo

24
, . A partir de lo anterior se pueden deducir las siguientes definiciones y el
teorema 1.
Definición 1: Un escenario es obtenido a través de la asignación de un costo
.
Definición 2: La desviación robusta para una solución factible de un problema combinatorial
en un escenario , es la diferencia entre el costo de y el costo de la solución óptima para el
escenario .
Definición 3: una solución se dice solución robusta relativa (relative robust solution), si este
tiene la mínima (entre todas las soluciones) máxima (entre todos los escenarios) desviación robusta.
El siguiente teorema es la base para todos los estudios de formulación matemática propuestos
a la fecha.
Teorema 1: (Yaman et al., 2001). Dada una solución y un escenario , la desviación
robusta máxima se produce cuando y , donde representa
el escenario inducido por la solución .
A continuación se presenta un ejemplo del cálculo del regret para una solución . Dado el
grafo mostrado de la ilustración 1 a la 4.
En primer lugar, en la ilustración 1, se tiene un grafo con datos intervalares, luego, en la
ilustración 2 se tiene una solución . En la ilustración 3 se genera el peor escenario de
acuerdo al teorema 1 y se calcula el costo de la solución Finalmente, en la ilustración 4,
se procede a calcular la solución óptima en el peor escenario y se calcula su costo 7, y el
respectivo regret .
ILUSTRACIÓN 1. CÁLCULO DEL REGRET PARTE I

25
LUSTRACIÓN 2. CÁLCULO DEL REGRET PARTE II
ILUSTRACIÓN 3. CÁLCULO DEL REGRET PARTE III
ILUSTRACIÓN 4. CÁLCULO DEL REGRET PARTE IV
En (Candia-Véjar et al.,, 2011) se muestra un MIP genérico para MMR-COP con restricciones y
función objetivo lineal, basado en el teorema antes mencionado y algunos supuestos que se
presentarán a continuación. Una característica que resaltan los autores es que este modelo asocia un
número polinomial de restricciones y variable.
Una variable binaria es definida diciendo si es una parte de la solución
construida. Un vector característico de un conjunto de elementos es un vector binario
tal que 1 si y solo si .

26
Ahora se asocia al conjunto de soluciones con el de vectores binarios , éste
satisface las siguientes condiciones:
 Si es un vector característico de una solución factible , entonces y
 Si es un vector característico de un subconjunto además en tanto
existe un tal que
Luego contiene todos los vectores característicos de todas las soluciones factibles en
y éste también puede contener vectores característicos de un subconjunto , tal que, . Sin
embargo, en este caso debe contener una solución factible tal que
A continuación se asumirá que puede ser descrito como un conjunto de ecuaciones
lineales de la siguiente forma:
Donde corresponde a un vector de variables auxiliares, que son utilizadas si es necesario,
es una matriz y corresponde al vector de costos, primero se asume que la matriz es totalmente
unimodular (cada sub matriz cuadrada de tiene determinante 1, 0 ó -1), luego se puede definir la
siguiente función:
En (Candia-Véjar et al.,, 2011) se muestra que un MMR-COP puede ser expresado de la
siguiente forma.
Claramente este problema no es lineal, sin embargo considerando la propiedad de total
unimodularidad de la matriz es posible transformarlo en un problema lineal con variables binarias,
para mayor detalle de esta transformación ver el artículo mencionado.
Si bien el problema puede ser expresado como un modelo lineal, su complejidad es una arista
de gran importancia, pues problemas que en su versión clásica son fáciles de resolver (en tiempo
polinomial), como lo son: MST, SP, asignación, etc., en la versión robusta se transforman en
problemas del tipo NP-Hard. Un estudio detallado de la complejidad computacional de los modelos
MMR-CO es mostrada en (Kouvelis & Yu, 1997). Varios han sido los trabajos donde se ha estudiado

27
la complejidad del modelo MMR. Una buena referencia se puede encontrar en (Aissi et al., 2005). A
continuación se presentan algunos resultados relevantes de dichos trabajos.
MMR-P = NP-Hard incluso con redes de dos capas de ancho y con solamente 2 escenarios.
MMR-ST = NP-Hard inclusive si .
MMR-Knapsack (en versión robusta absoluta): Fuertemente NP-Hard para conjuntos de
escenarios no acotado.
MMR-Allocation = NP-Hard inclusive si .
MMR-Assigment = NP-Hard inclusive si .

28
CAPÍTULO III: MIN-MAX REGRET SPANNING TREE
En este capítulo se entrega la principios matemáticos del MMR-ST, además de una extensa
revisión de los principales aportes algorítmicos realizados a la fecha.

29
3.1 FORMULACIONES PARA MST
Para definir el problema MMR-ST y además conocer las distintas aproximaciones algorítmicas
propuestas a la fecha, es necesario conocer algunas formulaciones básicas del problema clásico
(MST). Las formulaciones matemáticas para el MST se pueden clasificar en dos grandes grupos. Por
un lado se tienen las formulaciones naturales o directas y por el otro las formulaciones derivadas. Con
respecto a las formulaciones naturales se mostrarán dos, una basada en un subconjunto de
restricciones que previenen circuitos (prevención de subtours) y otra basada en el aseguramiento de
la conectividad (cut-set inequalities).
Considere la variable binaria (para todo ) que toma valor 1, si el arco está
dentro de la solución del MST. Se tiene la siguiente formulación:
Restricciones de conectividad
La restricción de cardinalidad (2.2) asegura que para cada nodo en el conjunto existe un
arco incidente. Para los subconjuntos , se consideran las siguientes definiciones
, cuando se tiene que , luego . Para asegurar la
conectividad usualmente se utiliza o restricciones de eliminación de subtour, como en la restricción
(2.4) o la inclusión de cut-set inequalities como en la restricción (2.5).
Es importante mencionar que las cut-set se implementan sobre una versión bidirigida del grafo
original, donde cada arista es reemplazada por el arco y cada arista
es remplazada con dos arcos y arco , generando el conjunto de arcos
, estos arcos heredan el costo o peso de la arista originaria
Este tipo de formulación tiene la desventaja de que el número de restricciones de conectividad
crece de forma exponencial con el tamaño del problema, pero también se han presentado
formulaciones compactas.

30
A continuación se presenta una extensión de formulación de este tipo basada en la
formulación del problema de flujo multi-producto. En esta formulación adicionalmente a las variables
se utilizarán las variables de decisión (para todo y ), lo cual especifica si
el arco es usado en el camino desde el nodo raíz a La formulación del flujo multi-producto se
presenta a continuación.
, ,
Las restricciones de conservación del flujo (2.6), (2.7) y (2.8) establecen que la solución debe
tener un camino, entre el nodo 0 y el nodo (para todo ), la restricción (2.9) asegura que solo
es posible enviar flujo a través del nodo a través del arco si este arco se encuentra dentro de la
solución. Estos conjuntos de restricciones permiten asegurar la conectividad de la solución.
3.2 DEFINICIÓN DEL MMR-ST
El MMR-ST es definido sobre un grafo , donde es el conjunto de vértices y es el
conjunto de aristas. Un intervalo con se asocia a cada arista . Los intervalos
representan rangos de pesos posibles, pueden estar asociados a costos, distancias, tiempo, etc.
Definición 1: Un escenario es obtenido a través de la asignación de un costo
.
Definición 2: La desviación robusta para un ST en un escenario , es la diferencia entre el
costo de y el costo de la solución optima para el escenario .
Definición 3: un ST se dice solución robusta relativa (relative robust solution), si éste tiene las
más pequeña (entre todas las soluciones) máxima (entre todos los escenarios) desviación robusta.

31
El siguiente teorema es la base para todos los estudios de formulación matemática propuestos
a la fecha.
Teorema 1: (Yaman et al., 2001). Dado un ST un escenario , la desviación robusta
máxima se produce cuando y , donde representa el
escenario inducido por la solución .
Con respecto a la complejidad de este problema (Aron & Van Hentenryck, 2004) probaron que
es NP-Hard inclusive si el intervalo de incerteza es igual a , polinomial si el número de aristas con
intervalo de incerteza es fijo o acotado por el logaritmo de una función polinomial de el número total de
aristas. En este mismo trabajo se generaliza el resultado antes mostrado. La clasificación de NP-Hard
del MMR-ST fue probada independientemente por (Aissi et al., 2005). En este trabajo también se
probó para intervalos de costo y además si el grafo es completo.
La primera formulación matemática del modelo MMR-ST fue presentada por (Yaman et al.,
2001), en dicho trabajo también presentan técnicas de pre-procesamiento, el modelo se basa en dos
formulaciones matemáticas, la primera propuesta por (Magnanti & Wolsey, 1995) es la formulación
single commodity model (F1), el segundo modelo utilizado es el problema dirigido de flujo multi-
producto (F2) (Yaman et al., 2001) utiliza ambas formulaciones para representar el MMR-ST, para
representar las aristas de un ST utiliza F1 y para modelar el arrepentimiento del ST utiliza el dual de
F2. Luego la formulación resultante se presenta a continuación.
Irrestricta

32
Esta formulación se aplicó a grafos completos con 10, 15, 20 y 25; la técnica de
preprocesamiento utilizada consistió en identificar aristas fuertes y débiles (strong y weak), con esto
se logró eliminar un porcentaje de éstas, sin embargo los tiempos de ejecución son bastante altos
para instancias de pequeño tamaño como los son las de experimentación.
Con respecto al preprocesamiento, una arista es llamada strong si pertenece a un MST
en algún escenario , donde es el conjunto de escenarios. Una arista es llamada weak si
pertenece a un MST para todos los escenario .
3.3 ALGORITMOS EXACTOS
Posterior al trabajo de (Yaman et al., 2001), se han propuesto algunas alternativas de resolución
exactas; en (Aron & Van Hentenryck, 2004) se muestra un branch and bound (B&B). Este método
mejoró el trabajo de (Yaman et al., 2001) permitiendo resolver instancias de un tipo particular con
tamaño de hasta 40 nodos. Un nuevo algoritmo B&B fué propuesto en (Montemanni & Gambardella,
2005) el cual consideró las instancias utilizadas por los trabajos previos e incluyó un grupo con
metodología de generación distinta. Para ambos grupos de instancias se mejorarón los resultados
obtenidos por (Aron & Van Hentenryck, 2004), según los autores este B&B su esquema de
ramificación fue más fuerte.
Un acercamiento de gran importancia en relación a algoritmos exactos para la resolución del
MMR-ST es el realizado por (Montemanni, 2006). En éste se presenta un algoritmo de
descomposición de Benders, cuya formulación es similar a la de (Yaman et al., 2001) con la única
salvedad de que cambia F1 por una formulación con menos variables pero con más restricciones,
basada en cut-set inequalit. Luego la formulación matemática se presenta a continuación (F3).
Irrestricta

33
La descomposición de Benders es un método clásico de resolución de problema de gran
escala, fue propuesta por primera vez por (Benders, 1962). Para ver detalles de la teoría ver también
(Geoffrion, 1972). A grandes rasgos, esta metodología consiste en dividir el problema general en dos,
un problema maestro y un subproblema. Los resultados de ambos problemas se alimentan de forma
iterativa, luego el problema maestro recibe cortes en cada iteración, los cuales se forman a partir del
resultado obtenido por el dual del subproblema. La solución de este problema se obtiene cuando el
valor del maestro se hace igual al valor del subproblema, pues estos representan la cota inferior y
superior del problema original respectivamente. Aplicaciones de esta metodología han sido muchas y
en variadas áreas ver (Richardson, 1976), (Magnanti et al., 1986), (Cordeau et al., 2000). Estudios
para mejorar el desempeño del algoritmo se muestran en (McDaniel & Devine, 1977) y (Magnanti &
Wong, 1981).
En relación al problema en estudio (MMR-ST), el subproblema primal recibe una solución
que satisfacen las restricciones (4.13) y (4.14) en la primera iteración. Luego deben corresponder a la
solución óptima que satisface las restricciones antes mencionadas más los cortes que se van
generando. Éste puede ser presentado de la siguiente forma:
Irrestricta
Se puede realizar una transformación a la función objetivo y puede ser ajustada a la siguiente
expresión, con el objetivo de tener un problema dual de la forma del MST.
En tanto el modelo del subproblema primal queda de la siguiente forma:

34
irrestricto
Al plantear el dual del subproblema, se obtiene un problema de árbol clásico con un vector de
costos modificado, en la formulación flujo multi-bien. Mayor detalle ver en (Magnanti & Wolsey, 1995).
Finalmente, el problema maestro puede ser formulado como se muestra a continuación, para
mayor detalle ver (Montemanni, 2006).
corresponde a una región factible del problema dual, en tanto corresponde a los puntos
extremos de esta región, además se introduce una variable para extender la definición del problema
maestro.
En (Montemanni, 2006) se compara el rendimiento del Benders propuesto, con el algoritmo
presentado en (Yaman et al. 2001), que se basó en eficientes técnicas de preprocesamiento del

35
modelo, antes de ser entregado a CPLEX (versión 12.3). El segundo parámetro de comparación es el
algorítmo branch and bound propuesto en (Aron & Van Hentenryck, 2002), el tercer y último parámetro
de comparación es el algorítmo branch and bound propuesto por (Montemanni & Gambardella, 2005).
Los resultados presentados en este trabajo demuestran que el número de iteraciones del algorítmo de
descomposición de Benders se incrementa con el número de nodos, como se esperaba, sin embargo
su eficiencia decrece a medida que el paramétro difusor (utilizado para generar instancias) aumenta
su valor. Con respecto a los algoritmos de comparación, Benders es el que obtiene los mejores
resultados.
3.4 HEURÍSTICAS PARA MMR-ST
Como se ha mencionado anteriormente, la alta complejidad del problema MMR-ST no permite obtener
resultados de instancias de tamaño aun pequeño (40 nodos máximo) en un tiempo razonable. Lo
mismo sucede con un grupo no menor de problemas combinatoriales, en mayor (ej. MMR-TSP) o
menor grado (ej. MMR-P). Por el motivo antes presentado, han sido diversas las aproximaciones al
problema a través de heurísticas, sin duda una de las propuestas heurísticas de mayor impacto para
este tipo de problema ha sido la realizada por (Kasperski & Zielinski, 2006), quienes proponen un
algoritmo (Hm) con cota de aproximación 2, esto significa que la peor solución obtenida no tendrá un
valor mayor al doble del óptimo, con la ventaja de conservar la complejidad del problema clásico.
Los algoritmos propuestos por (Kasperski & Zielinski, 2006) se basan en la definición de un
escenario particular, luego se usa este escenario para obtener la solución óptima de un problema
clásico, que también corresponde a una solución factible de un problema MMR. Dos escenarios han
sido propuestos para la aplicación de esta heurística, el escenario del límite superior y el escenario
del punto medio
En la realidad estas heurísticas son complementarias, es decir, dado su bajo tiempo de
ejecución se ejecutan ambas y se selecciona la mejor. Además queda un espacio para probar
distintos escenarios dentro del intervalo de costos y seleccionar la solución que genera el menor
arrepentimiento.
Otra heurística propuesta, en primera instancia para el MMR-TSP en (Mardones, 2010), pero
que puede ser fácilmente generalizada a otros problemas de Optimización combinatorial robusta, es
, esta se fundamenta en el buen rendimiento de la heurística en experimentaciones previas
y en el trabajo realizado por (Montemanni et al., 2007) La idea fundamental de esta heurística es
generar un ranking creciente de costo de soluciones en el escenario . A continuación se muestra el
pseudocódigo de las heurísticas de 1 escenario y de la .

36
Algoritmo Hm (G,c) Algoritmo Hu (G,c)
Input: Grafo G y función de costos c.
Output: Una solución factible Y para MMR-
ST y su arrepentimiento
1. for all do
2.
3. end for
4. Y OPT( )
5. Z(Y) computeRegret(Y)
6. Return Y, Z(Y)
Output: Una solución factible Y para
MMR-ST y su arrepentimiento
1. for all do
2.
3. end for
4. Y OPT( )
5. Z(Y) computeRegret(Y)
6. Return Y, Z(Y)
Algoritmo n-Hu (G,c)
Output: La mejor solución factible Y para
MMR-ST y su arrepentimiento
1. for all do
2.
3. end for
4. OPT( )
5. computeRegret( )
6. Return ,
Ambas metodologías pueden ser generalizadas para cualquier escenario, el único paso que
se debe modificar para esto, es el 2 y se debe reemplazar por .
3.5 METAHEURÍSTICAS PARA MMR-ST
Con respecto a los algoritmos metaheurísticos, para el problema MMR-ST las propuestas de este tipo
han sido escasas, siendo las de mayor impacto las propuestas por (Nikulin, 2008) donde se mostró un
simulated annealing y la propuesta por (Kasperski et al., 2012) donde se propuso una algoritmo tabu
search. En SA se utilizaron instancias de 10, 20 y 30 nodos obteniendos resultados razonables,
donde en TS se utilizaron 6 conjuntos de instancias y se demostró la superioridad en relación a SA. A
continuación se explicarán en detalle ambas aproximaciones metaheurísticas.
3.5.1 SIMULATED ANNEALING
Simulated Annealing (SA) en una metaheurístca probabilística, propuesta en (Kirkpatrick, Gellat, &
Vecchi, 1983) y en (Kirkpatrick A. , 1984), generalmente SA encuentra soluciones cercanas al óptimo
en conjuntos de soluciones factibles extensos. SA al igual que Tabu Search (TS) pertenece al
conjunto de heurísticas de búsqueda local, este tipo de algoritmos son una de las alternativas más

37
prominentes para la obtención de soluciones de calidad en POC complejos, este tipo de algoritmos se
basa en la exploración de soluciones vecinas, intentando mejorar la solución actual a través de
cambios locales, el tipo de cambio local es definido por una estructura de vecindario. El algoritmo de
búsqueda local más básico es la mejora iterativa, este algoritmo comienza en una solución inicial y de
forma iterativa intenta mejorar la solución actual, hasta que se cumpla un criterio de parada,
típicamente un número máximo de iteraciones. A continuación se presenta el pseudocódigo de dicho
algoritmo.
Algoritmo Mejora iterativa (G,c)
Input: Graph G(V, E)
Output: Solution S.
1. Compute an initial solution of G
2.
3. while stop criterion = false
4. Find a solution and cost
5. if then
6.
7. end if
8. end while
9. Return ,
SA se diferencia de este algoritmo de mejora iterativa básico, en primer lugar porque permite
salir de óptimos locales a través del criterio de aceptación en base probabilística, es decir, acepta
soluciones peores a la actual en la búsqueda, además para su aplicación se debe especificar el
espacio de búsqueda, estructura de vecindad, función de probabilidad de aceptación, factor de
descenso de temperatura, temperatura inicial, temperatura final y ciclos internos.
En la propuesta hecha por (Nikulin, 2008) los principales aportes están en la definición del
subespacio de búsqueda y la estructura de vecindad, y a continuación se presenta en detalle.
i. Espacio de búsqueda: Un subconjunto del conjunto de aristas puede ser representado
por un vector de variables booleanas donde , donde si la arista
pertenece al actual subconjunto y en caso contrario. En consecuencia un vector
representa el espacio de búsqueda y este es variable en cada iteración.
ii. Estructura de vecindad: Sea el actual espacio de búsqueda, se debe escoger
aleatoriamente , luego se construye el espacio de búsqueda del vecindario
a través de la intervención de . donde si y
en caso contrario. La solución inicial utilizada fue .

38
Tanto la estructura de vecindad como el espacio de búsqueda presentados anteriormente
presentan restricciones, relacionadas con el pre procesamiento del grafo.
Algoritmo Simulated Annealing (G,c)
Output: Solution .
2. , ,
3. ComputeRegret( ),
4. while do
5.
6. while do
7. Find a solution and cost
8. ComputeRegret( )
9. if then
10.
11. if then
12.
13. end if
14. end if
15. else
16. ,
17. if then
18.
19. end if
20. end else
21.
22. end while
23. end while
24. Return ,
3.5.2 BÚSQUEDA TABÚ
La metaheurística Búsqueda Tabú (Tabú Search - TS) fue propuesta en Glover (1986), en este
mismo trabajo se introdujo además el término metaheurística, donde la característica principal de TS
es el uso de memoria adaptativa. En relación a la memoria adaptativa de TS, ésta hace uso del
historial del procedimiento de solución, dando énfasis en 4 aristas fundamentales como lo son:
propiedad de ser reciente, frecuencia, calidad e influencia. El pseudocódigo del algoritmo TS se
muestra en seguida.

39
Algoritmo Búsqueda Tabú (G,c)
Output: Solution .
2.
3. ComputeRegret( ),
4. while stop criterion = false do
5. the move to is not forbidden or
6. Find a spanning tree of the smallest value of
7.
8. if then
9. , /* A better solution has been found*/
10.
11.
12. end if
13. if then
14. compute a random spanning tree of
15. if then
16. , /* A better solution has been found*/
17. end if
18. Go to line 4 /* Restart the algorithm*/
19. else
20. /* performe the move*/
21. Update TABU
22. end if
23. end while
24. Return ,
Posterior a conocer la estructura general del algoritmo, es importante conocer las características
principales del algoritmo TS propuesto por (Kasperski et al., 2012) para el MMR-ST, estas se
presentan a continuación.
i. Lista Tabú: En el algoritmo TS al igual que SA es posible explorar soluciones con
, con el objetivo de no permanecer en mínimos locales. Una forma de evitar las
oscilaciones alrededor de mínimos locales es almacenar información relacionada con el
desempeño de los movimientos, información que es almacenada en la llamada Lista Tabú.
Esta lista contiene información acerca de movimientos que son prohibidos por un cierto
número de iteraciones.
Sea la solución actual, se realiza un movimiento agregando a la arista a y
se elimina la arista desde , se obtiene la solución desde Con el fin
de evitar volver a estar en , se agrega a la lista dos elementos y
. Esto significa que se prohíbe agregar la arista a la actual solución por
iteraciones y eliminar la arista por iteraciones.

40
ii. Criterio de aspiración: El criterio de aspiración es una condición que permite realizar un
movimiento aunque este esté prohibido, en (Kasperski et al., 2012) se utiliza un criterio donde
siempre se permite mover a soluciones mejores .
iii. Función de memoria a largo plazo: La lista tabú y el criterio de aspiración son consideradas
funciones de memoria a corto plazo de TS. Esto significa que la información almacenada en
estas es perdida después de un número pequeño de iteraciones. Con el fin de lograr una
diversificación global algunas funciones de memoria a largo plazo pueden ser incorporadas.
En (Kasperski et al., 2012) se incorpora un nuevo conjunto de aristas , en la solución
inicial y cada vez que se mejora la solución actual se agrega a todo el conjunto de aristas
que pertenece a . Después que un número de iteraciones se ha cumplido y la solución
actual no mejora, se restaura la solución actual, generando una solución aleatoria del
subgrafo .
Es importante mencionar que en TS se utilizó una solución inicial aleatoria. Según los autores,
después de un proceso de experimentación se llegó al consenso que el esfuerzo computacional para
lograr salir de ese óptimo local es mayor al esfuerzo realizado para converger a una solución de
calidad como las entregadas por estas heurísticas.

41
CAPÍTULO IV: ALGORITMOS PROPUESTOS PARA
MMR-ST
En este capítulo se describe la propuesta de investigación de este trabajo, mencionando aportes
esperados, metodologías de trabajo y modelos implementados.

42
4.1 APORTE DE LA TESIS
Los aportes principales de este trabajo están enfocados en la implementación de nuevos
algoritmos para la resolución de problemas robustos bajo el criterio Min-Max Regret,
particularmente el problema MMR-ST y evaluar su desempeño con respecto a lo propuesto en la
literatura. Adicionalmente, se encuentran mejores soluciones para el conjunto de instancias
propuestas en (Kasperski et al, 2012).
Como se pudo ver en la revisión bibliográfica, los aportes realizados para resolver este tipo de
problemas desde el punto de vista algorítmico no son extensos, en relación a algoritmos exactos
sólo se muestran propuestas de algoritmos Branch & Bound y Descomposición de Benders. Con
respecto a los algoritmos aproximados lo más destacado es Tabu Search, Simulated Annealing y
las heurísticas de un escenario (Hu y Hm). A continuación se presentan los aportes de este trabajo
divididos en dos grupos algoritmos exactos y algoritmos aproximados.
4.1.1 ALGORITMO EXACTOS
Como se ha comentado anteriormente la descomposición de Benders es el algoritmo exacto que
ha entregado los mejores resultados, en tanto es natural proponer alguna variante que pudiese
mejorar su desempeño. El aporte específico que se realizará en este aspecto es implementar
variantes al algoritmo Benders con la formulación cut set inequality mostrada en la literatura en
(Montemanni, 2006), a continuación se presenta el pseucódigo del Benders básico.
Descomposición de Benders Básica (G,c)
Output: Solución óptima y su arrepentimiento
1. Inicialización
1.1 FOMaestro MIN_INT, FOSubP MAX_INT
1.2 Inicializar Maestro con restricciones no complicantes
1.3 ,
2. while (FOMaestro<FOSubP) do
2.1 Resolver Maestro
2.2 Resolver dual del problema clásico (MST clásico).
2.3 Agregar corte de benders
3. end while
4. Return ,
Las dos extensiones del algoritmo de Benders están inspiradas en el trabajo realizado por
(Pereira & Averbakh, 2011) en el estudio del problema Set Covering robusto. La primera variante
está relacionada con el ingreso de más de un corte por iteración, a diferencia del problema de
Benders básico. Para esto se utilizan n búsquedas locales (n = número de cortes agregados)

43
donde se realice un k-opt para encontrar soluciones similares y posteriormente se genera el corte
por cada solución encontrada. Abajo se muestra el pseudocódigo del algoritmo descomposición de
Benders con múltiples cortes.
Descomposición de Benders con n cortes k-opt (G,c)
1. Inicialización
1.3 ,
2.1 Resolver Maestro
2.3 Agregar corte de Benders básico
2.4 Encontrar n soluciones similares a través k-opt
2.5 Ingresar cortes de soluciones similares
3. end while
4. Return ,
La segunda extensión de Benders está relacionada con el uso de las soluciones
incumbentes de CPLEX en la resolución del maestro, es decir, en cada iteración se agrega el corte
del problema básico y los cortes generados por cada solución incumbente encontrada en el
maestro.
Descomposición de Benders con cortes incumbentes (G,c)
1. Inicialización
1.3 ,
2.1 Resolver Maestro (guardando soluciones
incumbentes)
2.3 Agregar corte de Benders básico
2.4 Ingresar cortes de soluciones incumbentes
3. end while
4. Return ,
Cabe destacar que el maestro de cada variante es resuelto con un algoritmo Branch and Cut,
implementando heurísticas primales, las cuales se alimentan de la información de cada nodo del
proceso de Branch and Bound. Además, se utilizan los cortes que posee CPLEX por defecto,

44
finalmente las cut-set inequalities son manejadas a través de un algoritmo de flujo máximo de
acuerdo a lo mostrado en (Álvarez-Miranda et al., 2012).
Con respecto a algoritmos exactos en base a ramificación implementados para MMR-ST sólo
se tienen las propuestas de Branch and Bound realizadas en (Aron & Van Hentenryck, 2002) y
(Montemanni & Gambardella, 2005), sin embargo, los resultados no fueron alentadores. Por otra
parte en (Averbakh & Berman, 2005) y (Pereira & Averbakh, 2011) se proponen algoritmos del tipo
Branch and Cut para otros problemas del tipo MMR, basados en Benders cuts. En este trabajo se
propone implementar este tipo de algoritmo al problema MMR-ST, considerando una doble
separación de las restricciones, específicamnente, se dividen las restricciones topológicas del
problema árbol y las restricciones asociadas a la robustez.
En relación a la separación de las restricciones de robustez, luego de una pequeña adaptación
en la formulación la restricción se puede expresar como se muestra en la restricción .
Para este grupo de restricciones se utiliza un conjunto de inicialización que
corresponden a las soluciones inducidas por los escenarios del límite inferior ( ), punto medio ( )
y límite superior ( ). Dentro del proceso de ramificación en cada nodo se buscan cortes violados
utilizando el valor del conjunto de variable para generar , que es calculado como , el
valor de es utilizado como peso de las aristas para aplicar un algoritmo para solución de
, para cada solución encontrada se genera el peor escenario (Teorema 1) y para este
escenario se encuentra la solución óptima . Las soluciones entregadas por corresponden
a la solución actual y soluciones en las cuales se distorsiona el valor de a través de la
multiplicación por un número aleatorio entre . Adicionalmente se generan soluciones
aleatorias con la generación de escenarios donde cada arista toma un valor entre .
Para manejar la topología del problema se manejan dos conjuntos de restricciones
iniciales, las in dregree contraint y las restricciones de subtour basic
La topología dentro del proceso de ramificación es manejado a través cut-set inequalities
que son separadas a través de un algoritmo de flujo máximo como se describe en (Álvarez-Miranda
et. al, 2012).

45
El pseudocódigo del algoritmo se muestra a continuación.
Algoritmo Branch and Cut con cortes de Benders (G,c)
Input: Problema entero con un subconjunto de restricciones.
1. Ingresar cortes iniciales
2. Encontrar solución factible inicial ,
3. Resolver la relajación lineal (LP)
4. Hasta aquí se cumple
5. Comenzar el proceso de B&B
6. En cada nodo del B&B ingresar cortes asociado a la robustez y a la topología
7. En cada nodo del B&B aplicar heurísticas primales
8. El proceso termina cuando , cuando esto se cumpla se retorna la solución óptima.
9. Return ,
Una propuesta de mejora para este algoritmo es mejorar la calidad de los cortes de Benders
ingresados en el proceso de Branch and Bound (B&B), esta idea se basa en el apareamiento de
restricciones, para esto se utiliza un procedimiento propuesto en (Guan et al., 2005).
El esquema de apareamiento se basa en un conjunto de vectores no negativos , luego
un vector define una restricción válida si:
Dadas las dos ecuaciones válidas definidas por los vectores y , la primera definida por
domina a la definida por si para todo y , esta situación se denota
como . De acuerdo a estudios la estructura de los cortes de Benders, no es posible encontrar
dominancia entre diferentes cortes de este tipo, además se descarta que se puedan utilizar las
propiedades para restricciones anidadas (nested) y disjuntas (disjoint).
Al no contar con los casos de restricciones anidadas y disjuntas, no es posible asegurar la
dominancia de la restricción resultante en relación a las restricciones originales, pues existe un
número exponencial de secuencias de apareamiento. Sin embargo, de todas formas se
implementará un procedimiento de apareamiento, que es mostrado a continuación.
Definición: Dados con , se define el pareo de y como,

46
El pseudocódigo implementado para el algoritmo Branch and cut (B&C) con cortes de Benders
y apareamiento de restricciones es el siguiente.
Algoritmo Branch and Cut con cortes de Benders y apareamiento de cortes (G,c)
Input: Problema entero con un subconjunto de restricciones.
1. Ingresar cortes iniciales
2. Encontrar solución factible inicial ,
3. Resolver la relajación lineal (LP)
4. Hasta aquí se cumple
5. Comenzar el proceso de B&B
6. En cada nodo del B&B ingresar cortes asociado a la robustez y a la topología, aparear cortes
robustos.
7. En cada nodo del B&B aplicar heurísticas primales
8. El proceso termina cuando , cuando esto se cumpla se retorna la solución óptima.
9. Return ,
4.1.2 ALGORITMOS APROXIMADOS
Como se evidenció en la revisión bibliográfica, los aportes heurísticos se reducen a dos
metaheurísticas del tipo búsqueda local (SA y TS) y a las heurísticas de un escenario (hu y hm). En
relación a las metaheurísticas en el trabajo de (Kasperski et al., 2012) se menciona el esfuerzo
requerido para salir de las soluciones iniciales hu y hm. En este trabajo se propone una
metaheurísica con la capacidad demostrada de no caer en óptimos locales como lo es GRASP y
una heurística constructiva que utiliza la naturaleza del problema MMR-ST a diferencia de las
heurísticas de un escenario, esta puede ser utilizada complementariamente con GRASP o de
forma individual. Adicionalmente se implementan dos metaheurísticas de búsqueda más simples,
como lo son la mejora iterativa simple y Simulated Annealing. También son implementadas las
heurísticas de un escenario (Hu y Hm).
La metodología GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedures) es una
metaheurística para problemas de optimización combinatorial, la cual se fundamenta en la
combinación de heurísticas constructivas y de búsqueda local. Consiste básicamente en aplicar k
búsquedas locales, donde en cada búsqueda se debe partir desde una solución inicial distinta
generada a través de un proceso constructivo con aleatoriedad incorporada. Este metodología fue

47
introducida en los 80' por (Feo & Resende, 1989) y luego se formalizó en (Feo & Resende, 1995),
para revisiones detalladas de la literatura ver (Festa & Resende, 2001), (Festa & Resende, 2008) y
(Festa & Resende, 2008b).
La fase constructiva consiste en generar de forma iterativa una solución factible, añadiendo un
elemento en cada paso. Una función greedy determina la elección del elemento que se añadirá a la
solución en cada iteración, dicha función mide el beneficio de añadir cada uno de los elementos.
Adicionalmente, se dice que el heurístico greedy es adaptativo porque en cada iteración debe
actualizar los beneficios de añadir cada elemento a la solución parcial. La heurística es
aleatorizada (randomized) porque no, necesariamente, se selecciona el mejor candidato según la
función greedy adaptativa, sino que con el objetivo de dar diversidad de soluciones iniciales, se
construye una lista con los mejores candidatos seleccionando uno al azar. Luego el pseudocódigo
del algoritmo GRASP se presenta a continuación.
Algoritmo GRASP (G,c)
Output: Una solución factible y su arrepentimiento
1. Fase constructiva
1.1 Generar una lista de candidatos mediante una función greedy
1.2 Considerar una lista restringida de los mejores candidatos
1.3 Seleccionar aleatoriamente un elemento de la lista restringida
2. Fase de mejora
2.1 Hacer un proceso de búsqueda local a partir de la solución
construida hasta que no se pueda mejorar más.
3. Actualización
3.1 Si la solución obtenida mejora a la mejor almacenada,
actualizarla.
Return ,
En la literatura no existe una heurística para el MMR-ST con las características que
requiere GRASP (adaptativa, aleatorizada, greedy y constructiva ), luego en este trabajo se
propone una heurística que cumple los requisitos, para poder explicar dicha heurística se deben
considerar los siguientes conceptos.
La idea inicial consiste en generar un criterio de optimización utilizando los datos
intervalares, luego se propone pasar de un grafo con costos (Figura 1) a
un grafo con costos (Figura 2).

48
ILUSTRACIÓN 5. GRAFO G CON DATOS INTERVALARES
ILUSTRACIÓN 6. GRAFO CON NUEVO CRITERIO DE OPTIMIZACIÓN
Definición 1 (Regret local): Se tiene un grafo , donde se asume que falta agregar
sólo un nodo a la solución. Luego el aporte al regret (o regret local) de cada arista se puede
estimar como la máxima diferencia entre el límite superior de dicha arista con el límite inferior del
resto de las aristas que conectan el nodo. El regret local de cada arista se compone de dos aportes
(uno por cada nodo perteneciente a la arista), como se muestra en la figura 3.

49
ILUSTRACIÓN 7. COMPOSICIÓN DEL REGRET LOCAL
A continuación se muestra el cálculo del regret para la arista .
ILUSTRACIÓN 8. CÁLCULO DE REGRET LOCAL PARTE 1
Luego la segunda componente del Regret local se muestra en la figura 4.

50
ILUSTRACIÓN 9. CÁLCULO DEL REGRET LOCAL PARTE II
Finalmente el regret local de la arista se calcula de la siguiente forma:
Utilizando este criterio se puede generar una matriz con el aporte al regret de cada arista,
luego, una alternativa válida consiste en aplicar los algoritmos clásicos para resolver problemas de
árbol (PRIM, KRUSKAL, etc.), a esta matriz. En la experimentación se mostrará el desempeño de
dicha alternativa. Sin embargo el método mostrado anteriormente no cumple con los requisitos
para poder implementar GRASP, luego se genera un método dinámico que cada vez que se
agregue un nodo a la solución se actualice la matriz de aporte al regret, esto en base a que las
aristas ingresadas ya no deben ser utilizadas para el cálculo de los aportes, es importante
mencionar que este algoritmo también puede ser utilizado de forma individual. El pseudocódigo de
este algoritmo se presenta a continuación.
Heurística constructiva (G,c)
Output: Una solución factible y su arrepentimiento
1. Generar matriz R (aporte al regret)
2. Aplicar algoritmo Prim o Kruskal para ingresar la primera arista.
3. Actualizar matriz R
4. Repetir 2 y 3 hasta que todos los nodos estén en la solución.
Return ,

51
Matemáticamente la generación de la matriz de Regret locales y la respectiva versión
dinámica se realizan siguiendo los pseudocódigos que se presentan a continuación.
Generación de Matriz
Input: Grafo , costos y matriz
Output: Matriz
1. forall (i,j) E
2.
3.
4.
5.
6.
7. end forall
8. return
Algoritmo constructivo dinámico
Input: Grafo , costos y matriz
Output: solution
1. forall (i,j) E
2.
3.
4.
5.
6.
7. end forall
8. select
9. add ( , ) to solution, add and to nodesolution
10. size solution = 1
11. while size
12. forall (i,j) E
13. ,
14. ,
15.
16.
17.
18. end forall
19. select in
20. add to nodesolution, add ) to solution
21. Size solution = size solution + 1
22. end while
23. return solution

52
Otro aspecto importante de los algoritmos metaheurísticos propuestos es la definición de
vecindad. En este trabajo se utilizará la propuesta en (Kasperski et al., 2012), es pseudocódigo de
esta se presenta a continuacón.
Vecindad
Input: Grafo , árbol de expansión de
Output: Vecino
1.
2. Seleccionar aleatoriamente (i,j) E
3. Determinar el conjunto de aristas que están sobre el camino de a en
4. Seleccionar
5. Agregar a
6. return
Gráficamente la descripción de la vecindad se representa en las siguientes imágenes.
ILUSTRACIÓN 10. DEFINICIÓN DE VECINDARIO PARTE I
Agregar aleatoriamente una arista .
ILUSTRACIÓN 11. DEFINICIÓN DE VECINDARIO PARTE II

53
Encontrar el camino que une los nodos .
ILUSTRACIÓN 12. DEFINICIÓN DE VECINDARIO PARTE III
Seleccionar aleatoriamente una arista dentro del camino y eliminarla.
ILUSTRACIÓN 13. DEFINICIÓN DE VECINDARIO PARTE IV
Es importante mencionar que el costo de la nueva solución puede ser calculada de una forma
eficiente en función de la solución anterior de la siguiente forma.
Donde corresponde a la arista agregada a la nueva solución y corresponde a la arista
eliminada.

54
CAPÍTULO V: EXPERIMENTACIÓN Y ANÁLISIS DE
RESULTADOS
En este capítulo se estudia el desempeño de los diferentes algoritmos implementados, además se
describen los diferentes conjuntos de instancias estudiadas.

55
5.1 DESCRIPCIÓN DE INSTANCIAS
Para la experimentación se utilizó un subconjunto de las instancias propuestas en (Kasperski et al.,
2012), se utilizaron aquellas instancias clasificadas como dificiles (Ya, He0, He1, La y Mo) en el
trabajo antes mencionado, a continuación se describirán los cinco conjuntos de instancias
utilizadas.
Ya( , )- : Grafo completo con nodos. Para cada arista es uniformemente
distribuido en y es uniformemente distribuido en el intervalo , esta clase de instancias
fue propuesta en (Yaman et al., 2001). Existen dos estructuras de costos dentro de este grupo de
instancias (Ya(C,C) y Ya(C,2C)), que por lo demás tienen un impacto en el rendimiento de los
algoritmos, especialmente es el caso de los exactos, en la siguiente tabla se presentan las
variantes utilizadas en la literatura para este conjutno.
TABLA 1. ESTRUCTURA DE COSTOS INSTANCIAS TIPO YAMAN
Set 1 Set 2 Set 3 Set 4 Set 5 Set 6
[0,10) [0,15) [0,20) [0,10) [0,15) [0,20)
( , 10] ( , 15] ( , 20] ( , 20] ( , 30] ( , 40]
He0-n : Esta clase de instancias fue introducida en (Aron & Van Hentenryck, 2002). Un
Grafo representa una red de dos niveles. El nivel inferior consiste de clusters (grafos completos)
de 5 nodos cuyas aristas son generadas como en la clase Ya(10,10)- . El nivel superior vincula los
clusters y estas aristas tienen costos más altos de acuerdo a Ya(10,10)- desplazado por una
constante. En esta clase los grafos son completos y representa el número de nodos en G, que a
la vez representa un múltiplo entero de 5, estas instancias son mostradas en (Kasperski et al.,
2012) como He1-n.
He1-n : Esta clase de instancias también fue introducida en Aron & Van Hentenryck (2002).
y son similares a He0-n, con la excepción de que los vínculos del nivel inferior con el nivel superior
están organizados como un árbol binario, estas instancias son mostradas por (Kasperski et al.,
2012) como He2-n.
Mo(p)-n: Grafo completo con nodos. Estos nodos son aleatoriamente localizados
sobre una grilla de 50 x 50. Para cada arista es seleccionado aleatoriamente en el
intervalo y es generado aleatoriamente en el intervalo , donde
es la distancia euclidiana entre y , y es el parámetro de distorsión. Esta clase instancia fue
estudiada e introducida en (Montemanni & Gambardella, 2005).
La-n : Grafo con nodos, se compone de tres capas. La primera capa está formada por
un grafo completo . La segunda capa está compuesta por nodos, cada nodo de esta

56
capa se conecta con dos nodos (elegidos aleatoriamente) de la primera capa. Finalmente la tercera
capa, contiene un nodo que es conectado con cada nodo de la segunda capa. Todos los intervalos
de costos son . Grafos de este tipo aparecen en (Averbakh & Lebedev, 2004) . En (Kasperski
et al., 2012) clasifican este conjunto de instancias como las más complejas del grupo estudiado.
Cabe mencionar que cada uno de los grupos de instancias posee 10 instancias generadas
bajo el mismo criterio además los tamaños de las instancias que se estudiarán van desde 10 nodos
hasta 100 nodos, éstas fueron entregadas directamente por los autores del trabajo (Kasperski et
al., 2012)
1
.
Todos los algoritmos fueron implementados en C++ utilizando Leda en su versión libre
2
,
para los algoritmos exactos se utilizó la versión IBM ILOG CPLEX Optimization Studio V12.3 y la
máquina utilizada tiene un procesador Intel Core i7-3610QM con 8 GB de RAM.
5.2 PREPROCESAMIENTO
Este análisis consiste en la evaluación del efecto del pre procesamiento, en los diferentes
conjuntos de instancias lo cual también se ha analizado en otros trabajos. Para esto se consideran
promedios de los conjuntos de instancias. Los indicadores utilizados para el análisis son; tamaño
del problema , número de aristas iniciales , promedio de aristas finales , porcentaje promedio
de reducción de aristas , promedio de aristas fuertes y porcentaje promedio de aristas
fuertes . Un segmento de los resultados del pre procesamiento se presentan en las tablas 2 y
3.
Las instancias Mo(0.15) son las que tienen un mayor promedio de aristas fuertes, seguido
por Mo(0.5). Los conjuntos de instancias que tienen menor promedio de aristas fuertes son las Ya.
Con respecto al tamaño del grafo reducido, el conjunto de instancias donde se obtiene el menor
número de aristas son Mo(0.15) y Mo(0.5), transformándose en los conjuntos de instancias más
favorecidos con el pre procesamiento, por ejemplo para Mo(0.15)-30 se tiene en promedio un grafo
final de 38 aristas (solución con 29 aristas) y además 22 aristas están fijas en la solución (aristas
fuertes). Los conjuntos de instancias donde se reduce en menor grado el número de aristas son la
Ya, luego este conjunto de instancias es donde el pre procesamiento tiene un menor impacto.
Con respecto a las instancias He, se puede decir que se encuentran en una posición
intermedia entre Mo(0.15) y las instancias Ya. En el subconjunto He1 el pre procesamiento,
específicamente la reducción, tiene un mayor impacto que en He0, en relación al número de aristas
fuertes se observa un impacto similar. En las instancias Mo(0.85) el pre procesamiento tiene un
1
http://mariusz.makuchowski.staff.iiar.pwr.wroc.pl/www/research/robust.tree/
2
http://www.algorithmic-solutions.com/leda/

57
impacto similar (levemente mejor) a las instancias Ya. Es importante mencionar que para el
conjunto de instancias La el pre procesamiento no tiene ningún efecto.
Al ordenar de mayor a menor impacto del pre procesamiento los conjuntos analizados, se
tiene la siguiente lista: Mo(0.15), Mo(0.5), He1, He0, Mo(0.85), Ya y La. Posteriormente en el
análisis de los algoritmos estudiados se observará que este orden se relaciona casi perfectamente
con el orden en relación a la dificultad del tipo de instancia.
TABLA 2. PRE PROCESAMIENTO DE INSTANCIAS HE Y MO
N
He0-20 20.00 190.00 58.20 69.37% 4.90 2.58%
He0-30 30.00 435.00 98.70 77.31% 8.30 1.91%
He0-40 40.00 780.00 158.20 79.72% 9.90 1.27%
He1-20 20.00 190.00 45.10 76.26% 4.40 2.32%
He1-30 30.00 435.00 72.10 83.42% 6.00 1.38%
He1-40 40.00 780.00 97.80 87.46% 7.70 0.99%
Mo(0.15)-20 20.00 190.00 24.50 87.11% 15.10 7.95%
Mo(0.15)-30 30.00 435.00 38.20 91.22% 22.30 5.13%
Mo(0.15)-40 40.00 780.00 52.20 93.31% 29.60 3.79%
Mo(0.50)-20 20.00 190.00 44.60 76.53% 8.20 4.32%
Mo(0.50)-30 30.00 435.00 70.20 83.86% 12.00 2.76%
Mo(0.50)-40 40.00 780.00 98.00 87.44% 16.20 2.08%
Mo(0.85)-20 20.00 190.00 76.30 59.84% 3.90 2.05%
Mo(0.85)-30 30.00 435.00 133.20 69.38% 4.60 1.06%
Mo(0.85)-40 40.00 780.00 193.80 75.15% 7.40 0.95%
TABLA 3. PRE PROCESAMIENTO DE INSTANCIAS YA
N
Ya(10-10)-20 20.00 190.00 79.70 58.05% 0.90 0.47%
Ya(10-10)-30 30.00 435.00 148.80 65.79% 0.50 0.12%
Ya(10-10)-40 40.00 780.00 229.50 70.58% 0.80 0.10%
Ya(15-15)-20 20.00 190.00 114.00 40.00% 0.60 0.32%
Ya(15-15)-30 30.00 435.00 213.40 50.94% 0.40 0.09%
Ya(15-15)-40 40.00 780.00 331.90 57.45% 0.30 0.04%
Ya(10-20)-20 20.00 190.00 76.50 59.74% 1.40 0.74%
Ya(10-20)-30 30.00 435.00 137.90 68.30% 1.50 0.34%
Ya(10-20)-40 40.00 780.00 215.80 72.33% 1.10 0.14%
Ya(15-30)-20 20.00 190.00 105.70 44.37% 1.00 0.53%
Ya(15-30)-30 30.00 435.00 214.80 50.62% 0.60 0.14%
Ya(15-30)-40 40.00 780.00 330.30 57.65% 0.80 0.10%

58
5.3 ALGORITMOS EXACTOS
Debido a que se tiene una propuesta amplia de algoritmos exactos, su análisis se realizará de
manera parcializada, la primera etapa consiste en evaluar la bondad de las variantes de los
algoritmos de descomposición de Benders. Recordando la propuesta algorítmica se tienen tres
alternativas, el algoritmo de Descomposición de Benders básico (BBD), la versión con la
incorporación de cortes heurísticos (HBD) y la alternativa que incorpora los cortes de las soluciones
incumbentes en la resolución del maestro en cada iteración (EBD). La segunda etapa consistirá en
evaluar el mejor algoritmo del tipo Benders con el algoritmo B&C y el MILP, finalmente la tercera y
última etapa consiste en evaluar el rendimiento del algoritmo B&C para instancias de mayor
tamaño. Para las instancias del tipo La, se presenta un análisis separado, donde se compara la
eficiencia del B&C y el MILP para instancias de hasta 50 nodos; es importante recordar que este
conjunto de instancias es el conjunto que generó mayores problemas a (Kasperski, et al., 2012).
5.3.1 EVALUACIÓN DE VARIANTES DE DESCOMPOSICIÓN DE BENDERS
La experimentación se realiza con instancias de 10, 20 y 30 nodos, para las instancias del tipo
(He0, He1, Mo(0.15), Mo(0.5), Mo(0.85), Ya(10,10), Ya(10,20), Ya(15,15) y Ya(15,30)), cada una
de estas familias de instancias se conforma por 10 instancias generadas bajo las mismas
condiciones. Los análisis para cada familia de instancias (He, Ya y Mo) se realizan por separado,
debido a las diferencias en los desempeños de los algoritmos para cada familia.
En primer lugar se hace un análisis de los tiempos de ejecución para aquellas instancias
donde se logra llegar al óptimo dentro del tiempo límite; en este análisis se considera la instancia
resuelta en el menor tiempo para cada grupo (min), el promedio de los tiempos de las instancias
resueltas dentro del tiempo límite (Av.), la instancia que se resuelve en el tiempo mayor (Max) y
por último se muestra el número de instancias que son resueltas dentro del tiempo límite. Se
considera un tiempo límite de 3.600 segundos.
De la tabla 4 se puede observar que la versión básica del algoritmo de Benders (BBD) es la
que presenta el peor desempeño, siendo dominada en todas las dimensiones evaluadas por
ambas variantes (EBD y HBD). En relación a las variantes propuestas no existe una dominación
por parte de ninguno de los algoritmos. Por ejemplo para las instancias del tipo He1 tanto para 20
como para 30 nodos la versión de Benders con cortes heurísticos (HBD) es la que presenta un
mejor desempeño, tanto en los promedio como en el tiempo máximo. Para las instancias del tipo
He0 los rendimientos son similares con un pequeño margen de ganancia para la versión de
Benders con cortes de soluciones incumbentes (EBD).
Para las instancias del tipo Mo (tabla 5), el desempeño de la versión básica del Benders
(BBD) es dominado en todas las dimensiones por las variantes propuestas, al igual que para el

59
caso de las instancias He. En relación a las variantes, existe un pequeño margen de dominancia
por parte de EBD tanto en los tiempos mínimos como en los promedios. En los tiempos máximos
para gran parte de las instancias es mejor, salvo en los grupos de instancias Mo(0.85) para 20 y 30
nodos donde HBD supera a EBD por aproximadamente 100 y 200 segundos respectivamente,
cabe destacar que el conjunto de instancias (Mo(0.85)) ya con 30 nodos comienza a mostrar su
complejidad. Más adelante se mostrará como uno de los más complejos en estudio.
TABLA 4. TIEMPOS DE EJECUCIÓN HE PARA VARIANTES DE BENDERS RESUELTAS AL ÓPTIMO
BBD EBD HBD
Min Av. Max N Min Av. Max N Min Av. Max N
He0-10 0.12 0.45 1.9 10 0.11 0.34 1.33 10 0.06 0.32 1.19 10
He0-20 1.31 63.12 275.39 10 0.64 46.63 214.56 10 1.25 51.22 240.47 10
He0-30 170.31 1445.07 3176.55 6 104.71 1089.13 2403.56 6 121.51 1045.1 2450.07 6
He1-10 0.13 0.45 1.98 10 0.1 0.31 1.32 10 0.08 0.31 1.18 10
He1-20 2.55 56.92 353.47 10 1.46 34.12 220.6 10 1.4 33.11 197.26 10
He1-30 119.92 1064.08 3443.77 7 56.78 811.69 2740.43 7 65.06 706.5 2471.73 7
Las instancias Ya (tabla 6) se pueden subdividir en dos tipos, Ya(C,C) y Ya(C,2C), luego se
puede observar que la dificultad de las primeras es significativamente superior para los algoritmos
analizados en este momento. En relación al número de instancias resueltas en tiempo límite cabe
destacar que EBD es el ganador, en primer lugar en las instancias Ya(15-30)-30 resuelve 6
instancias y los otros algoritmos sólo resuelven 2, además no es dominado en ningún grupo de
instancias en esta dimensión. Las instancias del grupo Ya(10,10)-30 son de gran dificultad y ningún
algoritmo logra resolver alguna. La versión básica BBD es dominada en el número de instancias
resueltas para los grupos Ya(15,15)-20 y Ya(10,20)-20. En general los tiempos de EBD son
menores, pero esto se ve acentuado en algunos grupos de instancias (por ejemplo en Ya(15,30)-
20, Ya(10,20)-30 y Ya(10,20)-20).
TABLA 5. TIEMPO DE EJECUCIÓN PARA INSTANCIAS MO CON VARIANTES DE BENDERS
BBD EBD HBD
Mo(0.15)-10 0.02 0.05 0.16 10 0.02 0.03 0.08 10 0.02 0.03 0.05 10
Mo(0.15)-20 0.02 0.13 0.41 10 0.02 0.09 0.22 10 0.02 0.09 0.18 10
Mo(0.15)-30 0.05 1.03 3.53 10 0.03 0.66 2.01 10 0.04 0.72 2.32 10
Mo(0.50)-10 0.03 0.1 0.23 10 0.03 0.09 0.19 10 0.04 0.09 0.23 10
Mo(0.50)-20 0.61 7.57 42.7 10 0.36 5.72 35.24 10 0.49 6.07 36.31 10
Mo(0.50)-30 11.57 144.65 528.34 10 4.73 94.36 357.58 10 7.52 98.53 390.93 10
Mo(0.85)-10 0.03 0.22 0.8 10 0.03 0.16 0.52 10 0.03 0.18 0.71 10
Mo(0.85)-20 2.08 208.28 1803 10 0.84 167.59 1502.53 10 1.94 164.1 1419.39 10
Mo(0.85)-30 67.64 653.65 1924.25 6 48.27 496.09 1672.29 6 62.75 522.81 1484.06 6

60
TABLA 6. TIEMPOS DE EJECUCIÓN PARA INSTANCIAS YA CON VARIANTES DE BENDERS
BBD EBD HBD
Ya(10-10)-10 0.28 1.9 9.776 10 0.26 1.31 6.19 10 0.18 1.47 7.13 10
Ya(10-10)-20 158.51 770.17 1815.06 3 84.83 472.81 1125.96 3 115.26 547.18 1291.93 3
Ya(15-15)-10 0.08 4.56 26.55 10 0.08 2.94 16.52 10 0.1 3.13 17.31 10
Ya(15-15)-20 169.65 1515.54 3585.49 6 64.15 1203.96 2385.04 7 103.64 1351.43 3363.17 7
Ya(15-15)-30 1439.93 1439.93 1439.93 1 800.37 800.37 800.37 1 1449.05 1449.05 1449.05 1
Ya(10-20)-10 0.29 4.13 12.91 10 0.18 2.76 9.01 10 0.22 3.12 10.99 10
Ya(10-20)-20 41.69 393.2 1244.02 9 17.58 355.57 1847.4 10 22.96 561.59 2575.91 10
Ya(10-20)-30 1326.47 1583.7 1840.93 2 927.16 1052.19 1177.22 2 1275.3 1395.9 1516.5 2
Ya(15-30)-10 0.56 7.87 53.79 10 0.26 5.86 42.44 10 0.41 7.08 51.39 10
Ya(15-30)-20 45.18 205.75 532.51 10 27.56 111.13 316.54 10 40.92 228.23 665.91 10
Ya(15-30)-30 553.92 1005.93 1457.93 2 332.93 1710.65 3089.89 6 488.3 1008.55 1528.8 2
El siguiente análisis es complementario y corresponde a la evaluación de los gaps de
aquellas instancias donde no se logró llegar al óptimo, luego en éste se indica el número de
instancias que llegaron al óptimo de un total de 10 por grupo, se muestra además el gap relativo
entre el UB y LB del algoritmo y finalmente se muestra el gap en relación al mejor de los tres
algoritmos. A continuación se presenta el cálculo de ambos gaps.
El cálculo de las desviaciones utilizadas está dado por, y
, donde corresponde al valor de la mejor solución; puede ser la mejor solución
conocida o la mejor en relación a los algoritmos analizados, para este análisis corresponde a la
mejor en relación a los tres algoritmos analizados.
Para las instancias del tipo He como para las Mo son pocos los grupos donde no se logran
resolver todas (2 He y 1 Mo), adicionalmente los gaps entregados son bastante buenos. De la
tabla 7 se puede apreciar que para estos grupos de instancias el LB provisto por BBD es de menor
calidad, lo cual se fundamenta en el hecho de que el gap de este algoritmo es 0 para los tres
grupos de instancias. Luego su UB es similar al de HBD, por lo que su gap* es mayor por tener un
LB menor.
De la tabla 8 se puede observar que EBD domina a los dos algoritmos restantes en la
dimensión gap* en la mayoría de los grupos de instancias, salvo en Ya(15-15)-20. Entonces, esto
indica que el LB provisto por este algoritmo es superior al de los dos restantes más aun si se
considera que existen grupos donde los otros algoritmos tienen mejor UB (Ya(10-10)-20, Ya(10-
10)-30 y Ya(15-15)-30). En relación al UB medido a través del gap, la versión que obtiene los
mejores resultados para la mayor parte de las instancias (salvo Ya(10-10)-20 y Ya(15-15)-20) es
EBD.

61
TABLA 7. GAP DE INSTANCIAS HE Y MO PARA VARIANTES DE BENDERS SIN OPTIMALIDAD
BBD EBD HBD
N GAP* GAP N GAP* GAP N GAP* GAP
He0-30 6 2% 0% 6 2% 1% 6 1% 0%
He1-30 7 3% 0% 7 2% 0% 7 2% 0%
Mo(0.85)-30 6 1% 0% 7 1% 0% 6 1% 0%
TABLA 8. GAP PARA INSTANCIAS YA CON VARIANTES DE BENDERS
BBD EBD HBD
Ya(10-10)-20 3 4% 0% 3 3% 1% 3 3% 0%
Ya(10-10)-30 0 22% 1% 0 21% 2% 0 23% 2%
Ya(15-15)-20 6 2% 0% 7 2% 1% 7 1% 0%
Ya(15-15)-30 1 20% 2% 1 17% 2% 1 20% 3%
Ya(10-20)-30 2 14% 3% 3 10% 2% 2 13% 3%
Ya(15-30)-30 2 13% 7% 6 6% 1% 2 12% 6%
Otro análisis importante puede ser realizado graficando el porcentaje de instancias
resueltas en el tiempo; en el Gráfico 1 se presenta una agregación de todas las instancias
evaluadas bajo este análisis. Se puede observar que EBD (cruz roja) se encuentra durante todo el
intervalo evaluado sobre el resto de los algoritmos (BBD y HBD), adicionalmente se aprecia que es
el algoritmo que resuelve en el óptimo el mayor porcentaje de instancias. Por otra parte se observa
que la versión básica de Benders se encuentra por debajo de los otros algoritmos en todo el
intervalo evaluado. Cabe destacar que este análisis es complementario al de porcentaje acumulado
de instancias en función del gap final, es decir, el porcentaje acumulado de instancias para un gap
dado. Del gráfico 2 se puede observar, al igual que en el gráfico 1, que el algoritmo EBD es el que
presenta un mejor desempeño. Esto se basa principalmente en el hecho que siempre tiene un
porcentaje acumulado de instancias mayor para todo gap y además tiene un umbral de gap menor,
pues tiene el 100% de las instancias con gap menor o igual a un 45% (última cruz roja). De
acuerdo al análisis anterior (tablas y gráficos), considerando la dominancia en los tiempos para la
mayor parte de las instancias, la bondad de ambos indicadores de desviación porcentual (gap y
gap*) y el análisis gráfico, se puede concluir que de las variantes de Benders la que presenta un
mejor desempeño es EBD, por lo que de manera natural será el algoritmo seleccionado para medir
su desempeño con B&C y MILP.

62
GRÁFICO 1. PERFIL DE DESEMPEÑO DE LOS TIEMPOS DE RESOLUCIÓN
GRÁFICO 2. PORCENTAJE ACUMULADO DE INSTANCIAS PARA UN GAP DADO

63
5.3.2 ANÁLISIS MILP, EBD Y B&C
Como se mencionó anteriormente la siguiente etapa consiste en comparar el rendimiento del mejor
representante de los algoritmos tipo Benders (EBD), con el MILP y el algoritmo Branch and Cut
(B&C). Este análisis considera instancias de tamaño 20, 30 y 40, para los mismos conjuntos de
instancias que la etapa 1, esto principalmente debido a que es, en este intervalo, donde todos los
algoritmos exactos propuestos en la literatura comienzan a perder efectividad. A continuación se
presenta un análisis de tiempos para cada una de las familias de instancias antes mencionadas.
Para la familia de instancias del tipo He (tabla 9) se puede hacer un primer análisis en
relación al B&C comparado con el EBD, en este contexto se puede observar que EBD es dominado
completamente por B&C y esto se ve reflejado en el número de instancias resueltas dentro del
tiempo límite (He0-30, He0-40, He1-30 y He1-40). Otro análisis está relacionado al rendimiento del
MILP en comparación con el B&C, acá no se observa dominancia, pues para las instancias del He0
B&C logra un desempeño notoriamente superior al MILP, por ejemplo en He0-20 se observa una
diferencia significativa en los tiempos promedio, luego para He0 con 30 y 40 nodos el MILP explota
y no logra resolver ni siquiera una instancia donde el B&C resuelve las 10 y 7, respectivamente.
Para el subconjunto He1 el MILP tiene un rendimiento mejor a B&C obteniendo mejores tiempos y
más importante aún, resolviendo una mayor cantidad de instancias en He1-40. Si bien B&C no
logra dominar al MILP las ocasiones donde el MILP explota son bastante más drásticas que las
oportunidades donde el B&C es superado.
TABLA 9. TIEMPOS DE EJECUCIÓN INSTANCIAS HE PARA MILP, EBD Y B&C
MILP EBD B&C
He0-20 4.41 25.38 142.29 10 0.64 46.63 214.56 10 0.08 1.93 5.68 10
He0-30 - - - 0 104.71 1089.13 2403.56 6 4.98 114.67 578.11 10
He0-40 - - - 0 2220.6 2220.6 2220.6 1 189.28 1759.71 3069.07 7
He1-20 0.3 3.1 8.92 10 1.46 34.12 220.6 10 0.19 1.41 7.07 10
He1-30 4.28 38.88 145.24 10 56.78 811.69 2740.43 7 3.39 306.03 1487.95 10
He1-40 21.81 312.2 1227.26 9 600.24 600.24 600.24 1 46.3 1218.34 2154.09 5
Para las instancias del tipo Mo (tabla 10) se puede observar que existe una dominancia
absoluta por parte del B&C tanto en relación al MILP como al EBD, esto se ve reflejado tanto en las
dimensiones de tiempo como en el número de instancias resueltas dentro del tiempo límite. Se
pueden observar diferencias dramáticas por ejemplo en los tiempos mínimos para los grupos de
instancias Mo(0.85)-40, Mo(0.85)-30 y Mo(0.50)-40, caso similar ocurre en los tiempos promedios
en las instancias Mo(0.85)-30 y Mo(0.50)-40.

64
TABLA 10. TIEMPO DE EJECUCIÓN INSTANCIAS MO PARA MILP, EBD Y B&C
MILP EBD B&C
Mo(0.15)-20 0.03 0.05 0.09 10 0.02 0.09 0.22 10 0.02 0.02 0.03 10
Mo(0.15)-30 0.06 0.61 3.7 10 0.03 0.66 2.01 10 0.02 0.06 0.17 10
Mo(0.15)-40 0.19 2.69 15.99 10 0.11 2.93 23.72 10 0.03 0.35 2.39 10
Mo(0.50)-20 0.19 2.33 11.08 10 0.36 5.72 35.24 10 0.05 0.25 1.14 10
Mo(0.50)-30 2.62 31.69 93.33 10 4.73 94.36 357.58 10 0.47 3.14 7.64 10
Mo(0.50)-40 73.04 811.52 3533.03 9 43.46 309.94 777.03 7 6.66 139.63 776.26 10
Mo(0.85)-20 1.39 31.99 177.84 10 0.84 167.59 1502.53 10 0.11 2.53 16.97 10
Mo(0.85)-30 124.16 591.97 1699.9 10 48.27 496.09 1672.29 6 1.16 40.3 104.47 10
Mo(0.85)-40 1300.52 2264.99 3229.47 2 481.03 1375.58 2270.13 2 29.03 324.37 1131.38 7
En las instancias Ya (tabla 11) a diferencia de lo que sucede en las instancias He0 y en la
línea de lo observado en He1, se observa que el algoritmo EBD es claramente superado por el
MILP, esto se puede corroborar analizando el número de instancias resueltas dentro del tiempo
límite (EBD 39/120 y MILP 97/120), adicionalmente en las ocasiones donde logra resolver las diez
de algún grupo (Ya(10-20)-20 y Ya(15-30)-20)) las diferencias en los indicadores (Min, Av. y Max)
son notoriamente favorables para el MILP.
En relación al B&C, éste logra obtener un número similar de instancias (Ya) resueltas
dentro del tiempo límite (97/120), sin embargo se observa una clara diferencia entre el desempeño
para las subcategorías de la familia Ya (Ya(C,C) y Ya(C,2C)). MILP logra mejores resultados en las
Ya(C,C) y el B&C en Ya(C,2C), sin embargo los tiempos mínimos son obtenidos en la mayoría de
los conjuntos de instancias (salvo Ya(15,15)-40) por B&C.
A la luz de los resultados, específicamente en el número de instancias resueltas dentro del
tiempo límite, se pueden inferir algunas cosas; por ejemplo los incrementos en el tamaño, afectan
de forma dramática al MILP y en menor grado al B&C, esto se basa en el hecho de que no son
poco frecuentes los casos donde se pasa de 10 a un número menor a 4 en la columna N, a
diferencia del B&C donde los cambios no son tan bruscos. Complementario a ésto, en el MILP se
observan cambios en los tiempos mínimos de hasta dos órdenes de magnitud al aumentar el
tamaño del problema.
En el caso del las instancias Ya(10-10) se puede observar algo interesante: para 10 nodos
el MILP es notoriamente superior en tiempos, luego para 20 nodos es superior en tiempo e incluso
en la cantidad de instancias resueltas. Sin embargo, al aumentar a 30 nodos se observa el
deterioro dramático del MILP pues el rendimiento en número de instancias resueltas es similar al
del B&C e incluso este último obtiene mejores tiempos.

65
A favor del MILP se puede decir que en general para este algoritmo existe una menor
diferencia entre el tiempo mínimo y máximo.
TABLA 11. TIEMPOS DE EJECUCIÓN INSTANCIAS YA PARA MILP, EBD Y B&C
MILP EBD B&C
Ya(10-10)-20 2.71 35.51 78.562 10 84.83 472.81 1125.96 3 3.7 108.62 358.6 10
Ya(10-10)-30 83.91 367.65 887.802 10 - - - 0 33.41 623.2 1377.49 6
Ya(10-10)-40 1653.33 1701.32 1749.3 2 - - - 0 781.77 802.62 823.47 2
Ya(15-15)-20 3.81 23.49 80.75 10 64.15 1203.96 2385.04 7 2.65 66.9 208.62 10
Ya(15-15)-30 26.41 527.29 2664.37 10 800.37 800.37 800.37 1 14.13 983.02 3414.71 7
Ya(15-15)-40 716.18 2010.39 3551.5 8 - - - 0 810.24 2417.9 3298.3 4
Ya(10-20)-20 3.7 17.37 38.64 10 17.58 355.57 1847.4 10 1.86 11.71 48.34 10
Ya(10-20)-30 241.97 489.96 896.43 10 927.16 1052.19 1177.22 2 10.2 269.82 1853.79 10
Ya(10-20)-40 1698.34 2426.23 3331.62 3 - - - 0 64.99 977.33 3468.06 9
Ya(15-30)-20 6.19 24.46 74.26 10 27.56 111.13 316.54 10 1.22 7.32 21.51 10
Ya(15-30)-30 92.06 354.11 672.57 10 332.93 1710.65 3089.89 6 14.87 97.48 240.37 10
Ya(15-30)-40 1673.33 2277.24 2878.31 4 - - - 0 52.07 1079.29 3487.28 9
En relación al gap se puede observar que el MILP muestra grandes problemas de
convergencia en las instancias del tipo He0 (tabla 12), pues se muestra que los indicadores de
desviación porcentual son incluso superiores al 100% cuando se analizan sus cotas (LB y UB),
para el caso de He0-30 se observa un caso particular (gap*=117% y gap=0%), después de un
análisis se confirmó que la situación se debe a que la cota inferior (LB) toma valores muy malos y
esta desviación es producto de esta cota, pues el UB es similar al encontrado por el mejor
algoritmo (B&C). Para este tipo de instancias (He0) incluso se observa que el algoritmo de Benders
(EBD) entrega mejores resultados que el MILP, pero B&C siempre es mejor al EBD. Para el
conjunto He1-40 MILP es quien entrega los mejores resultados.
Para las instancias Mo (tabla 13) se puede observar claramente el impacto de la
incertidumbre (amplitud del intervalo) en la dificultad del problema, pues para un parámetro de
distorsión de 0.15 ningún algoritmo presenta problemas incuso con 40 nodos, sin embargo ya con
un parámetro de distorsión de 0.5 tanto el EBD como el MILP comienzan a presentar dificultades
para obtener la solución óptima dentro del tiempo límite. Con un parámetro de distorsión mayor o
igual a 0.85 tanto el MILP como EBD logran resolver un porcentaje muy pequeño de instancias y lo
que es aún peor entregan gaps mayor al 10%. La distorsión porcentual en relación al LB (gap*) es
en promedio de un 2% lo que entrega información respecto a la calidad del LB del algoritmo.

66
TABLA 12. DESVIACIÓN PORCENTUAL INSTANCIAS HE PARA MILP, EBD Y B&C
MILP EBD B&C
He0-30 0.00 117% 0% 6.00 2% 1% 10.00 0% 0%
He0-40 0.00 207% 42% 1.00 27% 21% 7.00 3% 0%
He1-40 9.00 0% 0% 1.00 21% 11% 4.00 4% 2%
TABLA 13. DESVIACIÓN PORCENTUAL INSTANCIAS MO PARA MILP, EBD Y B&C
MILP EBD B&C
Mo(0.50)-40 9.00 0% 0% 7.00 6% 6% 10.00 0% 0%
Mo(0.85)-40 2.00 15% 14% 2.00 22% 11% 7.00 2% 0%
Para las instancias del tipo Ya (20 a 40 nodos) en primer lugar se puede observar (tabla
14) que EBD es dominado completamente por B&C en todas las dimensiones a evaluar, también
se puede apreciar que los indicadores de desviación en el B&C son menores que para el MILP
para el caso del subconjunto Ya(C,2C) y mayores en el subconjunto Ya(C,C), un caso particular
sucede en Ya(10-20)-40 donde el MILP en 2 instancias no logra encontrar una solución factible (*).
TABLA 14. DESVIACIÓN PORCENTUAL INSTANCIAS YA PARA MILP, EBD Y B&C
MILP EBD B&C
Ya(10-10)-20 10.00 0% 0% 3.00 3% 1% 10.00 0% 0%
Ya(10-10)-30 10.00 0% 0% 0.00 21% 17% 6.00 2% 0%
Ya(10-10)-40 2.00 4% 0% 0.00 34% 20% 2.00 7% 0%
Ya(15-15)-20 10.00 0% 0% 7.00 2% 1% 10.00 0% 0%
Ya(15-15)-30 10.00 0% 0% 1.00 17% 13% 7.00 1% 0%
Ya(15-15)-40 8.00 0% 0% 0.00 30% 24% 3.00 5% 5%
Ya(10-20)-30 10.00 0% 0% 3.00 10% 10% 10.00 0% 0%
Ya(10-20)-40 3(2*) 7% 3% 0.00 23% 20% 9.00 3% 0%
Ya(15-30)-30 10.00 0% 0% 6.00 6% 6% 10.00 0% 0%
Ya(15-30)-40 4.00 9% 5% 0.00 30% 28% 9.00 0% 0%
En los gráficos 3 y 4 se presentan las instancias de forma agregada, en primer lugar se
presenta el gráfico de porcentaje de instancias resueltas versus tiempo y posteriormente se analiza
el gráfico de porcentaje acumulado de instancias para un gap dado. Del gráfico 3 se puede
observar, en primer lugar que B&C es el algoritmo que resuelve la mayor cantidad de instancias
dentro del tiempo límite (85%). Además, es el algoritmo que domina al MILP y EBD para todo el
intervalo evaluado. El algoritmo que presenta un peor desempeño es el EBD.
De la ilustración 4 de forma complementaria se puede observar lo que sucede con los gaps
de aquellas instancias que no son resultas en el óptimo, luego se aprecia que los gaps del B&C

67
son menores pues el 100% de las instancias tiene un gap menor o igual 25% (aprox.) en
comparación con al 65% del EBD y dramático 200% del MILP. Por otra parte se aprecia que el
EBD a través de un análisis de gaps finales agregados de las instancias logra superar al MILP,
pues sus gaps máximos son menores.
A través de esta experimentación se pudo observar en primer lugar que el algoritmo B&C
es superior al EBD para todos los conjuntos de instancias y en todas las dimensiones evaluadas.
Es posible constatar también que para cierto conjunto de instancias el algoritmo B&C es
notoriamente superior al MILP (Ya(C,2C), He0 y Mo). Sin embargo, para dos grupos de instancias
no se nota con claridad la supremacía del B&C (Ya(C,C) y He1). También se pudo verificar que el
incremento en el tiempo del MILP tiende a crecer más bruscamente que en el caso del B&C; por
ende se puede inferir que su eficiencia disminuye en mayor proporción, lo que se complementa con
el análisis gráfico del gap donde el MILP muestra que para un porcentaje de instancias puede
generar gaps muy grandes.
Luego es posible concluir que el EBD deja de ser competitivo para instancias de más de 40
nodos como se menciona en la literatura. Además, el MILP tiene conjuntos de instancias para los
cuales simplemente deja de ser alternativa como lo son Ya(C,2C) y He0, pues para el primer caso
existen instancias donde no se obtiene solución factible y para el segundo caso entrega gaps sobre
el 100%, que de acuerdo a lo descrito en la experimentación radican principalmente en la calidad
del LB.

68
GRÁFICO 3. PORCENTAJE ACUMULADO DE INSTANCIAS V/S TIEMPO PARA MILP, EBD Y B&C
GRÁFICO 4. PORCENTAJE ACUMULADO DE INSTANCIAS V/S GAP PARA MILP, EBD Y B&C

69
5.3.3 ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE B&C
Un tercer análisis consiste en analizar el rendimiento del algoritmo branch and cut y la variante con
pairing inequalities para instancias de mayor tamaño. Para este análisis se considerarán todo el
conjunto de instancias seleccionadas en un principio hasta 50 nodos y un subconjunto (He0,
Mo(0.85), Ya(10-20) y Ya(10-10)) incluye instancias de 60, 80 y 100 nodos. El primer análisis
consiste en determinar indicadores en relación al tiempo y además evaluar si el procedimiento de
pairing ayuda o no a la convergencia del algoritmo. En la tabla 15 en relación al tiempo y número
de instancias resueltas, se resuelven instancias de tamaño 50 (Ya(20-20)). Según la literatura, ésto
no era posible con los algoritmos propuestos. Por otra parte el procedimiento de pairing ayuda en
un alto porcentaje de la veces incluso en ocasiones aumenta el número de instancias resueltas
dentro del tiempo límite (Ya(20-20)-30 y Ya(10-20)-40), sin embargo se observó un grupo donde el
pairing fue perjudicial pues disminuyó el número de instancias resueltas dentro del tiempo límite.
TABLA 15. ANÁLISIS DE TIEMPO DE B&C PARA INSTANCIAS YA DE MAYOR TAMAÑO
B&C B&C p
Ayuda
Min Av. Max N Min Av. Max N
Ya(10,10)-30 33.41 623.2 1377.49 6 29.87 585.31 1243 6 Si
Ya(10,10)-40 781.77 802.62 823.47 2 598.34 672.38 746.42 2 Si
Ya(15,15)-30 14.13 983.02 3414.71 7 14.29 742.07 2291.78 7 Si
Ya(20,20)-30 404.84 1021.73 2046.8 7 436.29 1143.26 3442.33 8 Si
Ya(20,20)-40 1580.04 2097.86 2615.68 2 1372.23 1372.23 1372.23 1 No
Ya(20,20)-50 1714.59 1714.59 1714.59 1 2463.18 2463.18 2463.18 1 No
Ya(10,20)-30 10.2 269.82 1853.79 10 11.48 173.08 905.27 10 Si
Ya(10,20)-40 64.99 977.31 3468.06 9 57.3 1052.72 3494.53 10 Si
Ya(10,20)-50 293.89 1467.07 3314.26 5 263.39 1236.63 2702.55 5 Si
Ya(10,20)-60 665.49 665.49 665.49 1 1089.71 1089.71 1089.71 1 No
Ya(15,30)-30 14.87 97.48 240.37 10 20.98 116.17 417.88 10 No
Ya(15,30)-40 52.07 1079.29 3487.28 9 39.59 863.53 2138.77 9 Si
Ya(20,40)-40 203.53 552.45 1451.12 8 222.83 488.94 1219.76 8 Si
Ya(20,40)-50 324.55 1469.63 2715.87 5 253.33 1392.81 2157.26 5 Si
Para el caso de las instancias He1 (tabla 16), el pairing no genera un impacto significativo
en relación a los tiempos de ejecución del algoritmo e incluso se resuelve un número menor de
instancias dentro del tiempo límite (He0-40 y He1-40).

70
TABLA 16. ANÁLISIS DE TIEMPO INSTANCIAS HE DE MAYOR TAMAÑO PARA B&C
B&C B&C p
Ayuda
He0-30 4.98 114.67 578.11 10 3.88 106.83 497.71 10 Si
He0-40 189.28 1759.71 3069.07 7 163.88 1664 3000.84 6 No
He1-30 3.39 306.03 1487.95 10 3.7 339.59 1630.26 10 No
He1-40 46.3 1218.34 2154.09 5 38.27 1304.33 3006.41 4 No
He1-50 376.06 376.06 376.06 1 331.3 331.3 331.3 1 Si
TABLA 17. ANÁLISIS DE TIEMPO INSTANCIAS MO DE MAYOR TAMAÑO PARA B&C
B&C B&C p
Ayuda
Mo(0.15)-50 0.08 0.82 3.79 10 0.06 0.76 3.81 10 No
Mo(0.50)-40 6.66 139.63 776.26 10 6.02 146.02 860.22 10 No
Mo(0.50)-50 123.52 586.17 1465.58 7 142.52 583.15 1431.99 7 Si
Mo(0.85)-30 1.16 40.3 104.47 10 1.09 45.36 144.74 10 No
Mo(0.85)-40 29.03 324.37 1131.38 7 35.6 339.09 1194.27 7 No
Para las instancias del tipo Mo (tabla 17) en realidad no se produce ningún efecto con la
incorporación de pairing, luego es importante mencionar que para el subconjunto Mo(0.15) con
incluso 50 nodos se resuelven todas las instancias con un tiempo máximo de 3.79 segundos; para
las Mo(0.5) se resuelven solo 7 y finalmente para las Mo(0.85) no se logra resolver ni siquiera una
instancia, lo que demuestra el impacto de la fuente de robustez (longitud del intervalo) en la
complejidad del problema; a continuación se presenta una tabla con instancias de este tipo para 40
y 50 nodos.
En relación a la desviación porcentual respecto al óptimo, sorprendentemente para
instancias del tipo Ya (tabla 18), incluso para 100 nodos, se obtienen desviaciones porcentuales
respecto a la cota inferior (gap*) bajo el 16% con promedios en torno al 10%. Es posible observar
en este tipo de instancias que no existe un aumento en las desviaciones porcentuales (min, av. y
max) al aumentar el tamaño del problema, cualidad muy particular del algoritmo en estas
instancias. Respecto a la diferencia entre el B&C puro y con pairing se puede observar que no
existe mayor diferencia, salvo lo mencionado anteriormente en relación a aquellas instancias donde
se aumenta el número de instancias resueltas dentro del tiempo límite.
Con respecto a las instancias He (tabla 19) se puede observar que sí existe un aumento
significativo en la desviación porcentual a medida que se aumenta el tamaño del problema, sin
embargo para instancias de tamaño 100 se observa un promedio en torno al 30%, si bien es un
porcentaje alto, está lejos de los dramáticos porcentajes (superior al 100%) obtenidos por el MILP

71
para incluso 30 nodos. Se puede mencionar además que el pairing no ayuda en este conjunto de
instancias tanto en relación a las desviaciones porcentuales como al número de instancias
resueltas dentro del tiempo límite.
En relación a las instancias Mo, se observa que sus desviaciones porcentuales son
inferiores a un 23% y para 100 nodos llegan a un promedio de un 20%, adicionalmente se observa
que el incremento con el aumento de tamaño es menor al de las instancias He, no obstante es
mayor que el de las instancias Ya. Por otra parte se observa que no existe un impacto producto de
la incorporación de cortes pareados (pairing).
Considerando lo mostrado anteriormente se puede concluir que el B&C propuesto es un
algoritmo que no deja de ser competitivo incluso para las instancias más difíciles y de mayor
tamaño propuestas en la literatura.
TABLA 18. GAP DE INSTANCIAS YA DE MAYOR TAMAÑO PARA B&C
B&C B&Cp
N GAP* GAP GAPmin GapMax N GAP* GAP GAPmin GapMax
Ya(10,10)-30 6.00 2% 0% 0% 7% 6.00 2% 0% 0% 7%
Ya(10,10)-40 2.00 7% 0% 0% 12% 2.00 7% 0% 0% 13%
Ya(10,10)-50 0.00 9% 0% 4% 13% 0.00 9% 0% 4% 13%
Ya(10,10)-60 0.00 11% 0% 9% 14% 0.00 11% 0% 9% 14%
Ya(10,10)-80 0.00 10% 0% 8% 13% 0.00 10% 0% 8% 13%
Ya(10,10)-100 0.00 9% 0% 7% 11% 0.00 10% 0% 7% 11%
Ya(15,15)-30 7.00 1% 0% 0% 6% 7.00 1% 0% 0% 6%
Ya(15,15)-40 4.00 4% 0% 0% 12% 4.00 4% 0% 0% 11%
Ya(15,15)-50 0.00 9% 0% 7% 13% 0.00 9% 0% 6% 13%
Ya(20,20)-30 8.00 2% 0% 0% 12% 9.00 1% 0% 0% 13%
Ya(20,20)-40 2.00 6% 0% 0% 10% 1.00 7% 0% 0% 11%
Ya(20,20)-50 1.00 9% 0% 0% 16% 1.00 9% 0% 0% 16%
Ya(10,20)-40 9.00 0% 0% 0% 1% 10.00 0% 0% 0% 0%
Ya(10,20)-50 5.00 2% 0% 0% 5% 5.00 2% 0% 0% 5%
Ya(10,20)-60 1.00 5% 0% 0% 10% 1.00 5% 0% 0% 10%
Ya(10,20)-80 0.00 6% 0% 4% 8% 0.00 6% 0% 4% 8%
Ya(10,20)-100 0.00 6% 0% 4% 7% 0.00 6% 0% 4% 7%
Ya(15,30)-40 9.00 0% 0% 0% 3% 9.00 0% 0% 0% 4%
Ya(15,30)-50 7.00 1% 0% 0% 5% 7.00 1% 0% 0% 6%
Ya(20,40)-40 8.00 1% 0% 0% 6% 8.00 1% 0% 0% 6%
Ya(20,40)-50 5.00 2% 0% 0% 5% 5.00 2% 0% 0% 5%

72
TABLA 19. ANÁLISIS DE DESVIACIONES PORCENTUALES PARA B&C EN INSTANCIAS MAYORES TIPO HE
B&C B&Cp
He0-40 7.00 3% 0% 0% 16% 7.00 3% 0% 0% 16%
He0-50 0.00 11% 0% 4% 17% 0.00 11% 1% 3% 18%
He0-60 0.00 16% 0% 4% 23% 0.00 17% 1% 3% 23%
He0-80 0.00 22% 0% 19% 29% 0.00 25% 3% 22% 29%
He0-100 0.00 29% 0% 24% 32% 0.00 29% 0% 26% 32%
He1-40 5.00 4% 0% 0% 9% 4.00 4% 0% 0% 12%
He1-50 1.00 10% 0% 0% 23% 1.00 11% 0% 0% 23%
TABLA 20. ANÁLISIS INSTANCIAS MO PARA B&C EN TAMAÑOS MAYORES
B&C B&Cp
Mo(0.50)-50 7.00 1% 0% 0% 8% 7.00 2% 0% 0% 9%
Mo(0.85)-40 7.00 2% 0% 0% 11% 7.00 2% 0% 0% 13%
Mo(0.85)-50 0.00 7% 0% 2% 12% 1.00 7% 0% 0% 13%
Mo(0.85)-60 0.00 12% 0% 7% 17% 0.00 13% 1% 9% 19%
Mo(0.85)-80 0.00 18% 0% 12% 21% 0.00 18% 1% 13% 21%
Mo(0.85)-100 0.00 20% 0% 17% 23% 0.00 20% 1% 17% 23%
5.3.4 ANÁLISIS DE INSTANCIAS LA
Para este conjunto de instancias sólo se estudian el MILP y el algoritmo de B&C sin pairing. En las
tablas 21 y 22 se presentan un análisis de tiempos y de las desviaciones porcentuales
respectivamente.
De la tabla 21 se puede observar que el MILP es capaz de resolver, en el óptimo,
instancias de mayor tamaño, ya que resuelve todas las instancias de hasta 20 nodos e incluso una
de tamaño 30. El B&C en tanto sólo es capaz de resolver en una ocasión instancias de tamaño 20.
En relación a las desviaciones porcentuales, en la tabla 22 se puede observar que el B&C
para 20 nodos obtiene una desviación porcentual del 8.5%, la que está dada en la totalidad por la
calidad del LB. A medida que aumenta el tamaño del problema las desviaciones porcentuales del
B&C aumentan significativamente, llegando a un promedio del 30% para 50 nodos, lo que
transforma a las instancias LA en el conjunto más complejo, desde el punto de vista exacto.
En relación al MILP este funciona de forma eficiente hasta 30 nodos con gaps menores al
10% y entregando los mejores LB. El paso a 40 nodos es crítico para el MILP, pues no es capaz de
encontrar soluciones factibles en este conjunto, en tanto se transforma en un algoritmo inviable sin
realizarle una intervención en la obtención de soluciones factibles.

73
Es importante mencionar que el B&C logra mejorar el UB obtenido por (Kasperski et al.,
2012) de dos instancias (1221-X2C-N1-15-N2-14-K-2-R-1 y 1223-X2C-N1-15-N2-14-K-2-R-3), lo
que deja en evidencia lo comentado en el trabajo antes citado, acerca de la complejidad de sus
algoritmos para resolver este tipo de instancias.
TABLA 21. ANÁLISIS DE TIEMPOS INSTANCIAS LA
MILP B&C
La-5 0.14 0.32 0.98 10 0.20 0.58 1.78 10
La-10 50.26 990.12 2836.36 10 3315.52 3315.52 3315.52 1
La-15 2573.69 2573.69 2573.69 1 - - - 0
TABLA 22. ANÁLISIS DE GAP INSTANCIAS LA
MILP B&C
N GAP* GAP N GAP* GAP
La-10 10.00 0% 0% 1 8.55% 8.55%
La-15 1 10.41% 0% 0 15.03% 6.99%
La-20 (*10) - - 0 23.69% 0%
La-25 (*10) - - 0 27.69% 0%
5.4 EXPERIMENTACIÓN DE ALGORITMOS APROXIMADOS.
Esta sección se divide en dos análisis, el primero está relacionado con las heurísticas básicas, y el
segundo está dirigido a la experimentación y análisis de las metaheurísticas propuestas.
5.4.1 ANÁLISIS DE HEURÍSTICAS BÁSICAS
El siguiente análisis consiste en la contrastación del desempeño de heurísticas de un escenario
(Hu y Hm) con la heurísticas propuestas en este trabajo, las que fueron explicadas en capítulos
anteriores, la nomenclatura utilizada para las nuevas heurísticas es la siguiente, Hc : heurística
constructiva simple y Hcd: heurística constructiva dinámica.
Se realizan dos análisis, una enfocado en el aporte real de las heurísticas y otro en las
desviaciones porcentuales. Como se mencionó anteriormente el primer análisis está relacionado
con la constatación del aporte de las nuevas heurísticas, esto desde el punto de vista de la
obtención de mejores soluciones respecto a las heurísticas de un escenario; luego de la tabla 23 a
la 25 se presenta el número de veces que cada algoritmo obtuvo la mejor solución, cabe destacar
que puede suceder que dos o más heurísticas obtengan el mismo valor, pero eso no dificulta el
análisis, pues en cada grupo se consideraron 10 instancias, de modo que cada fila debe sumar a lo
menos 10.

74
Para el primer conjunto de instancias Ya (Ya(C,2C)) mostradas en la tabla 23, se pueden
realizar algunos análisis interesantes, en primer lugar Hm se muestra como la peor heurística
obteniendo resultados competitivos sólo para instancias con 30 o menos nodos. Hu se perfila
como la mejor alternativa; sin embargo para todos los conjuntos de instancias las nuevas
heurísticas aportan con a lo menos 1 mejor solución, más aún existen situaciones donde son estas
heurísticas las que proveen de la mayor cantidad de mejores soluciones (*). En relación a la mejora
entregada por el dinamismo a la heurística constructiva simple se puede observar que aporta para
un gran número de conjuntos de instancias (20/30).
TABLA 23. ANÁLISIS DE HEURÍSTICAS INSTANCIAS YA(C,C)
Hc Hcd Hu Hm Hc Hcd Hu Hm Hc Hcd Hu Hm
Ya(10,10)-10 0.00 3.00 1.00 8.00 Ya(15,15)-10 4.00 3.00 2.00 8.00 Ya(20,20)-10 1.00 2.00 0.00 9.00
Ya(10,10)-20* 4.00 4.00 3.00 1.00 Ya(15,15)-20 2.00 3.00 3.00 5.00 Ya(20,20)-20 2.00 5.00 6.00 3.00
Ya(10,10)-30 3.00 5.00 7.00 1.00 Ya(15,15)-30 3.00 2.00 5.00 2.00 Ya(20,20)-30* 5.00 6.00 4.00 1.00
Ya(10,10)-40* 5.00 3.00 4.00 0.00 Ya(15,15)-40 1.00 3.00 8.00 0.00 Ya(20,20)-40* 2.00 5.00 5.00 0.00
Ya(10,10)-50 1.00 5.00 7.00 0.00 Ya(15,15)-50 1.00 4.00 6.00 0.00 Ya(20,20)-50 2.00 5.00 7.00 0.00
Ya(10,10)-60 2.00 4.00 6.00 0.00 Ya(15,15)-60 4.00 4.00 6.00 0.00 Ya(20,20)-60 2.00 1.00 9.00 0.00
Ya(10,10)-70 2.00 4.00 6.00 0.00 Ya(15,15)-70 1.00 4.00 6.00 0.00 Ya(20,20)-70 3.00 4.00 7.00 0.00
Ya(10,10)-80* 2.00 3.00 5.00 0.00 Ya(15,15)-80* 2.00 3.00 5.00 0.00 Ya(20,20)-80 3.00 2.00 6.00 0.00
Ya(10,10)-90 3.00 4.00 6.00 0.00 Ya(15,15)-90 2.00 2.00 7.00 0.00 Ya(20,20)-90 5.00 2.00 6.00 0.00
Ya(10,10)-100 2.00 3.00 7.00 0.00 Ya(15,15)-100* 2.00 5.00 3.00 0.00 Ya(20,20)-100 3.00 1.00 7.00 0.00
Para el segundo conjunto de instancias Ya (Ya(C,2C)) (tabla 24) ocurre algo similar al caso
anterior con la salvedad de que la heurística Hm sólo es competitiva para instancias de 10 nodos.
Las nuevas heurísticas aportan para todos los conjuntos de instancias.
Para las instancias Mo (tabla 25) Hm tiende a perder efectividad a medida que aumenta la
longitud del intervalo, a diferencia de las heurísticas constructivas que tienden a mejorar su
desempeño. Específicamente para un valor del parámetro de distorsión de 0.15 la heurística que
presenta un mejor desempeño es Hm, relegando a aportes menores a las heurísticas constructivas
y sólo para instancias con 40 o menos nodos. Para el subconjunto de instancias con parámetro de
distorsión 0.5, Hm sigue dominando pero en menor medida y tanto la heurística Hu como las
heurísticas constructivas comienzan a generar aportes para instancias de todo tamaño. Finalmente
para el conjunto de instancias con parámetro 0.85 no existe una heurística dominante, pero se
puede apreciar que Hm tiene un desempeño por debajo de las tres restantes, luego las heurísticas
constructivas aportan con a lo menos con 2 instancias en cada conjunto, incluso para el conjunto
Mo(0.85)-70 aporta con 7 y para Mo(0.85)-30, Mo(0.85)-40 y Mo(0.85)-60 aporta con 6 instancias.
En las instancias He (tabla 26) la mejor heurística es Hm para todos los tamaños de
instancias. Las nuevas heurísticas sólo aportan en las instancias He0-20 y He1-20.

75
TABLA 24. ANÁLISIS DE HEURÍSTICAS INSTANCIAS YA(C,2C)
Ya(10,20)-10 3.00 6.00 5.00 6.00 Ya(15,30)-10 4.00 4.00 6.00 2.00 Ya(20,40)-10 4.00 5.00 5.00 7.00
Ya(10,20)-20 6.00 4.00 8.00 0.00 Ya(15,30)-20 4.00 6.00 7.00 0.00 Ya(20,40)-20 4.00 5.00 8.00 0.00
Ya(10,20)-30 3.00 3.00 9.00 0.00 Ya(15,30)-30 7.00 5.00 9.00 0.00 Ya(20,40)-30 4.00 6.00 7.00 0.00
Ya(10,20)-40 3.00 5.00 6.00 0.00 Ya(15,30)-40 5.00 6.00 6.00 0.00 Ya(20,40)-40 4.00 6.00 7.00 0.00
Ya(10,20)-50 2.00 4.00 7.00 0.00 Ya(15,30)-50 4.00 7.00 8.00 0.00 Ya(20,40)-50 4.00 4.00 9.00 0.00
Ya(10,20)-60 3.00 5.00 7.00 0.00 Ya(15,30)-60 4.00 2.00 6.00 0.00 Ya(20,40)-60 6.00 3.00 8.00 0.00
Ya(10,20)-70 1.00 5.00 7.00 0.00 Ya(15,30)-70 2.00 6.00 10.00 0.00 Ya(20,40)-70 4.00 5.00 9.00 0.00
Ya(10,20)-80 1.00 3.00 7.00 0.00 Ya(15,30)-80 2.00 3.00 7.00 0.00 Ya(20,40)-80 1.00 4.00 7.00 0.00
Ya(10,20)-90 4.00 5.00 7.00 0.00 Ya(15,30)-90 5.00 0.00 6.00 0.00 Ya(20,40)-90 2.00 6.00 8.00 0.00
Ya(10,20)-100 0.00 0.00 10.00 0.00 Ya(15,30)-100 1.00 3.00 8.00 0.00 Ya(20,40)-100 2.00 4.00 6.00 0.00
TABLA 25. ANÁLISIS DE HEURÍSTICAS INSTANCIAS MO
Mo(0.15)-10 3.00 4.00 8.00 10.00 Mo(0.50)-10 6.00 6.00 7.00 4.00 Mo(0.85)-10 7.00 8.00 7.00 8.00
Mo(0.15)-20 4.00 6.00 3.00 9.00 Mo(0.50)-20 2.00 3.00 1.00 8.00 Mo(0.85)-20* 9.00 4.00 3.00 1.00
Mo(0.15)-30 2.00 2.00 4.00 8.00 Mo(0.50)-30 2.00 0.00 3.00 6.00 Mo(0.85)-30* 6.00 3.00 3.00 1.00
Mo(0.15)-40 1.00 2.00 2.00 9.00 Mo(0.50)-40 0.00 1.00 2.00 7.00 Mo(0.85)-40* 2.00 4.00 2.00 3.00
Mo(0.15)-50 0.00 0.00 3.00 10.00 Mo(0.50)-50 0.00 0.00 2.00 8.00 Mo(0.85)-50* 4.00 2.00 4.00 0.00
Mo(0.15)-60 0.00 0.00 0.00 10.00 Mo(0.50)-60 0.00 1.00 1.00 8.00 Mo(0.85)-60 0.00 3.00 3.00 4.00
Mo(0.15)-70 0.00 0.00 0.00 10.00 Mo(0.50)-70 1.00 1.00 2.00 6.00 Mo(0.85)-70* 3.00 4.00 1.00 2.00
Mo(0.15)-80 0.00 0.00 1.00 9.00 Mo(0.50)-80 0.00 0.00 2.00 8.00 Mo(0.85)-80 3.00 1.00 5.00 1.00
Mo(0.15)-90 0.00 0.00 0.00 10.00 Mo(0.50)-90 1.00 0.00 2.00 7.00 Mo(0.85)-90* 3.00 2.00 4.00 1.00
Mo(0.15)-100 0.00 0.00 0.00 10.00 Mo(0.50)-100 0.00 0.00 0.00 10.00 Mo(0.85)-100 1.00 1.00 6.00 2.00
TABLA 26. ANÁLISIS DE HEURÍSTICAS INSTANCIAS HE
Hc Hcd Hu Hm Hc Hcd Hu Hm
He0-10 2.00 6.00 3.00 8.00 He1-10 2.00 6.00 3.00 8.00
He0-20 1.00 1.00 0.00 8.00 He1-20 0.00 1.00 0.00 9.00
He0-30 0.00 0.00 0.00 10.00 He1-30 0.00 0.00 0.00 10.00
He0-40 0.00 0.00 0.00 10.00 He1-40 0.00 0.00 0.00 10.00
He0-50 0.00 0.00 0.00 10.00 He1-50 0.00 0.00 0.00 10.00
He0-60 0.00 0.00 0.00 10.00 He1-60 0.00 0.00 0.00 10.00
He0-70 0.00 0.00 0.00 10.00 He1-70 0.00 0.00 0.00 10.00
He0-80 0.00 0.00 0.00 10.00 He1-80 0.00 0.00 0.00 10.00
He0-90 0.00 0.00 0.00 10.00 He1-90 0.00 0.00 0.00 10.00
He0-100 0.00 0.00 0.00 10.00 He1-100 0.00 0.00 0.00 10.00
En relación al segundo análisis de las nuevas heurísticas, correspondiente a los gaps
obtenidos de la tabla 27 a la 29, se presentan algunas estadísticas de interés con respecto a esta
desviación porcentual, es importante comentar que ésta es solo una muestra de los resultados,

76
para mayor detalle ver anexo 1. Es relevante mencionar que este gap se calcula en relación a la
mejor solución conocida, ya sea entregada por el B&C o por las soluciones obtenidas por
(Kasperski et al., 2012) con su conjunto de algoritmos.
En las tablas 27 y 28, se observa el desempeño de las heurísticas para las instancias Ya,
subconjunto Ya(C,C) y Ya(C,2C) respectivamente. De las tablas se puede apreciar que Hc en
ambos subconjuntos obtiene gaps que no superan el 4%. Para Hcd ocurre algo similar, salvo en
Ya(10,10)-20 donde se obtiene un gap máximo de 14%. Adicionalmente se puede observar que su
desviación relativa tanto de Hc como de Hcd tiende a mejorar a medida que crece el tamaño del
problema, pues para 80 y 100 nodos se alcanzan gaps menores al 0.75% para Ya(C,C) y 0.45%
para Ya(C,2C) en el caso de Hc, y 0.72% para Ya(C,C) y 0.43% para Ya(C,2C), esto demuestra
que para este conjunto de instancias estas heurísticas son competitivas con metaheurísticas
sofisticadas como las implementadas por (Kasperski et al., 2012). Cabe destacar que Hc, Hcd y Hu
tienen un mejor desempeño en el subconjunto Ya(C,2C). Al comparar los gaps de Hc y Hcd, se
observa que en general tienen un desempeño similar, además si se considera el análisis anterior
(aporte de mejores soluciones), donde se observó que ambas aportan en forma independiente, es
posible concluir que para este conjunto de instancias ambas son alternativas válidas. En relación
a las heurísticas de un escenario (Hu y Hm), se puede decir que Hu es significativamente mejor
que Hm, y que Hu tiene un desempeño comparable con el de las nuevas heurísticas.
TABLA 27. MUESTRA DE ESTADÍSTICAS DE HEURÍSTICAS PARA YA(C,C)
Hc Hcd Hu Hm
Min Av. Max desv Min Av. Max desv Min Av. Max Desv Min Av. Max Desv
Ya(10,10)-20 0.00 2.02 4.00 1.35 0.26 3.22 14.44 4.27 0.24 2.79 5.67 1.51 0.00 4.43 9.06 2.48
Ya(10,10)-40 0.00 0.86 2.12 0.80 0.13 0.98 2.31 0.77 0.00 0.93 1.98 0.77 2.65 5.68 8.44 1.81
Ya(10,10)-60 0.02 0.73 1.81 0.58 0.00 0.65 1.35 0.49 0.00 0.57 1.29 0.50 4.17 5.53 8.45 1.40
Ya(10,10)-80 0.09 0.39 0.71 0.20 0.03 0.44 0.72 0.23 0.00 0.30 0.78 0.27 3.05 5.74 9.26 1.77
Ya(10,10)-100 0.00 0.23 0.75 0.21 0.14 0.24 0.51 0.13 0.00 0.10 0.26 0.09 3.33 6.01 7.48 1.32
TABLA 28. MUESTRA DE ESTADÍSTICAS DE HEURÍSTICAS PARA YA(C,2C)
Hc Hcd Hu Hm
Min Av. Max desv Min Av. Max Desv Min Av. Max desv Min Av. Max Desv
Ya(20,40)-20 0.00 0.70 3.19 1.04 0.00 0.70 3.01 0.96 0.00 0.25 1.70 0.54 1.50 6.91 11.84 3.78
Ya(20,40)-40 0.00 0.21 0.71 0.29 0.00 0.18 0.89 0.29 0.00 0.11 0.55 0.19 4.56 6.53 8.97 1.71
Ya(20,40)-60 0.00 0.09 0.35 0.11 0.01 0.18 0.55 0.17 0.00 0.08 0.32 0.11 2.35 4.90 7.01 1.49
Ya(20,40)-80 0.02 0.18 0.45 0.13 0.00 0.16 0.43 0.16 0.00 0.06 0.16 0.06 3.86 6.54 9.66 1.82
Ya(20,40)-100 0.00 0.10 0.23 0.09 0.00 0.08 0.24 0.09 0.00 0.04 0.20 0.06 4.52 6.26 9.04 1.59

77
En la tabla 29 se observa una muestra de los indicadores estadísticos de las instancias
He1, en este conjunto es donde todas las heurísticas básicas presentan el peor desempeño. La
que muestra mejores resultados es Hm obteniendo en promedio gaps en torno al 3%. Hc, Hcd y Hu
obtienen gaps en promedio superiores a un 17%. La heurística Hcd es levemente mejor a Hc y Hu
tanto en los promedios, mínimos y máximos.
De la tabla 30 se puede apreciar que tanto Hc como Hcd obtienen menores gaps con
intervalos de incertidumbre más grandes, con Hu sucede lo mismo pero en menor grado. Hm tiene
un comportamiento inverso obteniendo mejores resultados para intervalos de incertidumbre
pequeños. En forma particular para las instancias Mo(0.15) es Hm la que presenta los mejores
resultados; en tanto, para las instancias Mo(0.85) Hc es la que presenta un mejor desempeño, ya
que si bien Hu la supera para 80 y 100 nodos, en las instancias de menor tamaño Hu presenta
gaps superiores al 10%.
Para el conjunto de instancias He, se puede concluir que las heurísticas constructivas
dejan de ser competitivas, debido a que no aportan en forma significativa con mejores soluciones
(análisis anterior) ni tiene gaps de calidad. En relación a las instancias Mo se puede concluir que
para el parámetro de distorsión sobre 0.5, las heurísticas constructivas comienzan a aportar de
forma significativa, incluso para un factor de 0.85 entregan mejor o igual desempeño que las
heurísticas de un escenario.
TABLA 29. MUESTRA DE ESTADÍSTICAS DE HEURÍSTICAS PARA HE
Hc Hcd Hu Hm
Min Av. Max Desv Min Av. Max desv Min Av. Max Desv Min Av. Max Desv
He1-20 8.7 23.9 46.3 10.00 2.8 19.9 36.27 12.34 7.3 32.1 54.64 16.43 0.00 3.9 10.39 3.82
He1-40 13.52 22.49 34.84 6.73 4.87 18.03 28.74 7.54 13.97 24.56 36.51 6.63 1.08 2.8 4.89 1.46
He1-60 12.13 25.01 33.40 6.82 10.74 23.20 39.31 9.80 6.88 28.81 46.34 13.16 0.96 2.9 5.49 1.45
He1-80 11.39 22.25 34.04 7.10 9.75 18.87 26.99 4.98 13.19 25.27 37.83 6.88 0.79 2.9 6.10 1.50
He1-100 14.45 19.53 25.66 3.62 9.59 17.14 27.12 4.97 14.50 21.14 25.94 3.86 1.40 3.4 4.77 1.08
Finalmente se puede concluir que las nuevas heurísticas son una alternativa válida para la
obtención de soluciones de calidad en algunos conjuntos de instancias, como las Ya y Mo (con
parámetro de distorsión superior a 0.5). Adicionalmente estas heurísticas tienen la propiedad de
utilizar la información intervalar, propiedad que no se ha utilizado (en forma no trivial) en las
heurísticas propuestas a la fecha. Por otra parte, como se demostró anteriormente, estas nuevas
heurísticas son capaces de entregar mejores soluciones que Hu y Hm, luego se pueden utilizar de
forma complementaria, pues los tiempos de ejecución son muy pequeños.

78
TABLA 30. MUESTRA DE ESTADÍSTICAS PARA HEURÍSTICAS DE MO
Hc Hcd Hu Hm
Min Av. Max des Min Av. Max Desv Min Av. Max desv Min Av. Max Des
Mo(0.15)-20 0.00 37.82 274.51 84.40 0.00 22.52 152.15 47.95 0.00 23.67 113.35 34.14 0.00 2.13 19.91 6.26
Mo(0.15)-40 0.00 32.91 79.93 25.83 0.00 52.44 130.76 45.42 0.00 16.98 40.36 14.52 0.00 0.56 3.90 1.29
Mo(0.15)-60 10.02 32.16 73.97 22.89 5.60 56.00 132.00 39.15 2.01 13.26 27.20 9.97 0.00 0.25 2.25 0.71
Mo(0.15)-80 5.82 39.88 62.41 19.42 13.77 51.67 114.68 31.43 0.00 10.43 22.07 6.96 0.00 1.65 5.82 1.99
Mo(0.15)-100 7.87 36.08 55.26 15.24 28.87 63.66 102.38 24.32 1.88 14.86 24.23 7.98 0.00 0.57 4.43 1.42
Mo(0.85)-20 0.00 1.19 3.18 1.27 0.00 4.13 14.44 4.41 0.00 4.34 11.28 3.51 0.61 5.89 12.02 4.10
Mo(0.85)-40 0.00 3.33 6.72 2.35 0.00 3.12 6.59 2.22 0.31 4.53 10.41 2.90 1.19 3.26 6.98 1.62
Mo(0.85)-60 1.20 2.74 5.43 1.23 0.35 2.52 4.54 1.69 50 2.94 7.52 2.07 1.22 4.05 8.77 2.44
Mo(0.85)-80 1.26 2.45 5.26 1.28 0.95 2.31 4.76 1.16 0.34 1.93 5.04 1.30 1.41 3.58 7.10 1.60
Mo(0.85)-100 1.40 2.60 4.22 1.20 1.13 2.83 5.12 1.33 0.68 2.10 5.71 1.47 1.63 3.52 5.73 1.36
5.4.2 ANÁLISIS DE METAHEURÍSTICAS
Como se pudo evidenciar desde el análisis de los algoritmos exactos, para la mayor parte de los
conjuntos de instancias estudiados, no es viable obtener la solución óptima en un tiempo razonable
a partir de instancias con 50 nodos. Por otra parte, el análisis realizado a las heurísticas básicas,
muestra que si bien para algunos conjuntos de instancias se obtienen gaps de calidad, en otros
conjuntos no tiene la certeza de obtener una buena solución a través del uso de éstas. Dado los
requerimientos computacionales de los algoritmos exactos y la inestabilidad de las heurísticas
básicas, nace la necesidad de utilizar metaheurísticas, las que pueden entregar soluciones de
mejor calidad que las heurísticas básicas y en un tiempo significativamente menor que los
algoritmos exactos.
Para el análisis de las metaheurísticas se seleccionan 25 instancias de 80 nodos, 25
instancias de 60 y 20 de 100, dentro de las familias de instancias Ya(10,10), Ya(10,20), He1, La y
Mon(0.85), considerando 5 de cada familia.
Dos factores importantes de las metaheurísticas estudiadas son: la solución inicial y el
vecindario. Con respecto a la solución inicial, SA y mejora iterativa (MI) utilizan la mejor solución
entre las cuatro heurísticas básicas analizadas en la sección anterior; GRASP utiliza sólo la
heurística constructiva dinámica (Hcd), luego GRASP parte de una peor o igual solución que SA y
MI. En relación a la vecindad las tres heurísticas utilizan aquella explicada en capítulo IV.
Después de un proceso de experimentación se determinaron los siguientes conjuntos de
parámetros: SA para 100 nodos utilizó una temperatura inicial de 100, temperatura final de 0.1, un
factor de decaimiento de 0.95 y 500 ciclos internos. SA para 80 y 60 nodos, utilizó una temperatura
inicial de 50, temperatura final de 0.01, un factor de decaimiento de 0.94 y 500 ciclos internos.

79
Mejora iterativa utilizó 8.000 ciclos. GRASP utilizó distintas combinaciones de parámetros para los
diferentes conjuntos de instancias, estos se pueden encontrar en Anexo 2. Es importante
mencionar que cada metaheurística fue corrida en 10 ocasiones para cada instancia, con el fin de
obtener indicadores estadísticos fiables.
En la tabla 31 se presentan los resultados para 100 nodos; se puede observar que la
metaheurística que presenta el mejor desempeño, en relación a las desviaciones porcentuales es
SA (desviaciones porcentuales menores al 0.22%), sin embargo este algoritmo también presenta
los mayores tiempos de ejecución. Por otra parte, mejora iterativa entrega soluciones con una
desviación porcentual menor al 2% y en un tiempo menor a 30 segundos, lo que la convierte en
una metaheurística rápida y con soluciones de calidad. Con un desempeño intermedio se
encuentra GRASP el cual provee gaps menores al 1% y los tiempos son un poco más que la mitad
del tiempo de SA (sólo en la instancia He0-3 logra mejorar el desempeño de SA). En cuanto al
desempeño individual, SA sólo en una ocasión no logra obtener la mejor solución conocida, en
tanto GRASP y mejora iterativa no lo logran en 3 y 8 instancias respectivamente. Las heurísticas
básicas proveen peores gap iniciales en las instancias He0 y Mo(0.85), esto provoca que mejora
iterativa obtenga un peor desempeño y esta situación no se visualiza en SA. Finalmente se puede
concluir que para 100 nodos no se logra mejorar los resultados de (Kasperski et al., 2012), sin
embargo las tres metaheurísticas obtienen desviaciones relativas menores al 2%.
En la tabla 32 se puede apreciar que nuevamente SA es el algoritmo que presenta el mejor
desempeño, siendo el único capaz de bajar los gaps de las instancias La. SA alcanza la mejor
solución conocida, en todas las corridas, para 18 de las 25 instancias evaluadas y obviando las
instancias La, sus mayores desviaciones porcentuales son en torno al 2%. Un caso particular
ocurre en las instancias He-0, donde la metaheurística que muestra los mejores resultados es
GRASP, llegando a la mejor solución conocida en cada una de las corridas, para las 5 instancias
del grupo. Para 60 nodos como se muestra en la tabla 33, ocurre lo mismo que lo descrito para las
tablas 31 y 32.
A continuación se dará una breve descripción de las principales características de SA y
GRASP. Una particularidad importante del SA implementado es que alcanza un buen desempeño
sin tener gran cantidad de rechazos, pues de la experimentación se observó que al tener una
temperatura inicial de 100, no se tienen más de 10 rechazos y al ser ésta de 50 no se tienen más
de 3, lo relevante es que esto basta para mejorar el desempeño de la mejora iterativa y de GRASP.
Debido a que GRASP es la única metaheurística que tiene una solución inicial de menor o
igual calidad (privilegiando la diversidad), es importante analizar su comportamiento diferenciando
su fase constructiva de la mejora iterativa. Para eso se presentan los gráficos 4 y 5, donde se
grafica el gap promedio entregado desde la fase constructiva y el gap final. Cabe destacar que se

80
analizan las mismas 25 instancias que se muestran en las tablas 32 y 33; de la 1 a la 5 se
presentan las instancias Ya(C,C), de la instancia 6 a la 10 se presenta Ya(C,2C), de la 11 a la 15
corresponde al conjunto He0, de la instancia 16 a la 20 se muestran los resultados de las
instancias Mo(0.85) y finalmente de la 21 a la 25 se presentan las instancias La. Es importante
observar que si bien ambas gráficas tienen forma similar, para 80 nodos se tiene peor calidad de
soluciones iniciales, esto se debe principalmente a la elección de parámetros, pues para 80 nodos
se dió mayor énfasis al proceso de búsqueda local y se generaron soluciones iniciales con mayor
aleatoriedad. Este ejercicio permitió corroborar que la fase constructiva juega un rol fundamental,
para la mayor parte de las instancias, en el algoritmo diseñado.
TABLA 31. MÍNIMA (MIN), PROMEDIO (AV.) Y MÁXIMA DESVIACIÓN PORCENTUAL DESDE SOLUCIÓN DE
REFERENCIA PARA INSTANCIAS CON 100 NODOS.
H. B.
Mejora Iterativa SA GRASP
Instancia min av. Max t Min av. max T Min av. max T
Ya(10-10)-0 0.1 0.00 0.07 0.14 20.86 0.00 0.00 0.00 424.49 0.00 0.01 0.09 247.59
Ya(10-10)-1 0.1 0.00 0.05 0.06 22.81 0.00 0.01 0.06 420.39 0.00 0.01 0.05 258.91
Ya(10-10)-4 0.2 0.00 0.09 0.17 24.94 0.00 0.00 0.00 344.10 0.00 0.09 0.18 251.17
Ya(10-10)-5 0.1 0.00 0.05 0.13 20.37 0.00 0.00 0.05 332.21 0.03 0.08 0.14 247.14
Ya(10-10)-6 0.1 0.00 0.11 0.14 19.48 0.00 0.02 0.14 299.21 0.00 0.04 0.14 223.84
Ya(10-20)-0 0.1 0.00 0.04 0.07 36.99 0.00 0.02 0.07 669.04 0.00 0.06 0.14 289.90
Ya(10-20)-3 0.0 0.00 0.00 0.00 26.88 0.00 0.00 0.00 494.42 0.00 0.03 0.10 259.33
Ya(10-20)-4 0.0 0.00 0.00 0.00 30.87 0.00 0.00 0.00 488.54 0.00 0.03 0.08 285.69
Ya(10-20)-5 0.1 0.00 0.06 0.08 30.26 0.00 0.00 0.01 453.91 0.00 0.02 0.08 274.56
Ya(10-20)-6 0.0 0.00 0.00 0.00 28.73 0.00 0.00 0.00 415.97 0.00 0.01 0.02 256.34
He0-0 2.7 0.00 0.26 0.87 10.64 0.00 0.00 0.00 180.34 0.00 0.05 0.14 108.48
He0-1 1.7 0.07 0.36 0.49 11.87 0.00 0.11 0.22 167.28 0.00 0.26 0.45 120.60
He0-3 5.2 0.27 0.53 1.44 11.53 0.04 0.21 0.22 162.28 0.00 0.10 0.22 117.07
He0-5 1.7 0.19 0.32 0.45 11.52 0.00 0.01 0.06 243.01 0.00 0.02 0.06 117.32
He0-7 2.9 0.02 0.35 1.45 12.65 0.00 0.00 0.01 247.18 0.00 0.07 0.18 127.87
Mo(0.85)-2 1.1 0.02 0.06 0.30 12.08 0.00 0.00 0.02 214.31 0.00 0.00 0.02 166.14
Mo(0.85)-3 1.6 0.00 0.37 0.80 15.34 0.00 0.00 0.05 217.62 0.03 0.24 0.65 177.83
Mo(0.85)-6 2.1 0.00 0.64 1.50 14.58 0.00 0.00 0.00 256.89 0.00 0.47 0.84 165.83
Mo(0.85)-8 1.9 0.00 0.20 0.67 14.47 0.00 0.00 0.00 277.66 0.00 0.02 0.11 151.17
Mo(0.85)-9 0.7 0.14 0.33 0.48 16.11 0.00 0.04 0.14 243.86 0.14 0.49 0.81 153.49
Particularmente se puede observar de la gráfica 5, que para 3 de los 5 conjuntos de
instancias (Ya(C,C), Ya(C,2C) y La), la solución generada desde la fase constructiva es muy
similar a la final, lo cual indica que el mayor aporte en la metaheurística en estos conjuntos es
realizado por esta fase. Lo comentado anteriormente da pié para pensar en la generación de una
heurística que provea de cientos de soluciones iniciales generadas bajo el criterio utilizado en la

81
fase constructiva de GRASP. También es importante mencionar que en los dos conjuntos de
instancias restantes (Mo(0.85) y He0) el mayor aporte es realizado por la fase de búsqueda local.
Las instancias La presentan un gran problema, tanto para algoritmos exactos como
heurísticos, una de las alternativas desde el punto de vista heurístico es el uso de su topología, ya
sea para la generación de heurísticas ad-hoc como para el uso de la topología en la generación de
un vecindario.
H.B.
Mejora iterativa SA GRASP
Min Av. Max t Min Av. Max T Min Av. Max T
Ya(10-10)-0 0.19 0.00 0.00 0.01 11.32 0.00 0.00 0.00 222.24 0.79 1.25 1.58 202.95
Ya(10-10)-1 0.12 0.00 0.10 0.37 13.64 0.00 0.00 0.00 264.42 0.51 2.03 2.72 226.00
Ya(10-10)-2 0.50 0.00 0.32 0.66 12.72 0.00 0.00 0.00 257.06 0.85 1.21 2.02 180.72
Ya(10-10)-3 0.60 0.00 0.17 0.27 11.28 0.00 0.00 0.00 197.45 0.78 1.83 2.58 179.98
Ya(10-10)-4 0.03 0.00 0.01 0.03 11.82 0.00 0.00 0.00 201.36 0.88 1.75 3.52 186.69
Ya(10-20)-0 0.05 0.02 0.04 0.05 17.71 0.00 0.00 0.02 329.83 2.18 3.65 5.22 229.42
Ya(10-20)-1 0.00 0.00 0.00 0.00 17.54 0.00 0.00 0.00 369.22 2.08 3.64 5.10 228.06
Ya(10-20)-2 0.10 0.00 0.06 0.10 15.91 0.00 0.00 0.00 280.77 2.06 3.41 4.19 187.76
Ya(10-20)-3 0.03 0.00 0.02 0.03 15.14 0.00 0.00 0.00 258.65 1.76 3.45 5.25 182.15
Ya(10-20)-4 0.00 0.00 0.00 0.00 16.22 0.00 0.00 0.00 254.53 1.80 3.27 5.17 192.86
He0-0 4.55 0.00 1.69 2.56 6.42 0.00 0.44 2.20 131.61 0.00 0.00 0.00 69.96
He0-1 1.78 0.00 0.08 0.34 7.38 0.00 0.00 0.00 155.41 0.00 0.00 0.00 86.70
He0-2 0.80 0.00 0.09 0.27 8.69 0.00 0.00 0.00 180.66 0.00 0.00 0.00 95.98
He0-3 1.27 0.00 0.19 0.47 8.78 0.00 0.00 0.00 171.79 0.00 0.00 0.00 91.76
He0-4 1.09 0.03 0.21 0.57 9.35 0.00 0.00 0.00 181.51 0.00 0.00 0.00 85.79
Mo(0.85)-0 0.94 0.00 0.04 0.20 7.33 0.00 0.00 0.00 146.25 0.17 0.61 1.05 63.47
Mo(0.85)-1 0.34 0.00 0.05 0.15 8.02 0.00 0.00 0.00 163.32 0.23 0.75 1.40 72.04
Mo(0.85)-2 1.69 0.00 0.25 0.54 9.62 0.00 0.00 0.00 188.45 0.00 0.61 1.57 84.20
Mo(0.85)-3 1.24 0.00 0.00 0.00 8.17 0.00 0.00 0.00 159.19 0.00 0.48 1.02 68.46
Mo(0.85)-4 1.63 0.00 0.26 0.54 8.58 0.00 0.00 0.00 171.87 0.00 1.10 2.16 79.68
La-0 16.67 16.67 16.67 16.67 16.56 8.45 15.27 16.67 364.10 16.67 16.67 16.67 136.55
La-1 19.23 19.23 19.23 19.23 17.15 8.70 16.46 19.23 382.49 19.23 19.23 19.23 183.45
La-2 17.95 17.95 17.95 17.95 17.67 7.25 15.13 17.95 284.71 17.95 17.95 17.95 177.98
La-3 16.67 16.67 16.67 16.67 17.76 4.41 12.97 16.67 282.91 16.67 16.67 16.67 178.84
La-4 19.23 19.23 19.23 19.23 16.91 10.00 16.72 19.23 260.56 19.23 19.23 19.23 181.04
Como conclusión final del estudio metaheurístico, se puede decir se presentan tres
algoritmos competitivos, que presentan desviaciones porcentuales muy pequeñas en relación a las
mejores soluciones conocidas. Cada uno de estos algoritmos posee diferentes cualidades que
pueden ser explotadas en mayor medida. Especificamente en relación al GRASP, se puede decir

82
que cuenta con una fase constructiva que para algunos conjuntos de instancias generan soluciones
muy buenas.
HB
Mejora iterativa SA GRASP
Min Av. Max t Min Av. Max T Min Av. Max t
Ya(10-10)-0 0.20 0.00 0.01 0.01 6.77 0.00 0.00 0.00 153.92 0.00 0.00 0.00 104.17
Ya(10-10)-1 0.00 0.00 0.00 0.00 7.19 0.00 0.00 0.00 123.71 0.00 0.00 0.00 114.48
Ya(10-10)-2 0.77 0.00 0.02 0.09 6.72 0.00 0.00 0.00 102.01 0.00 0.00 0.00 113.31
Ya(10-10)-3 0.00 0.00 0.00 0.00 6.75 0.00 0.00 0.00 495.22 0.00 0.00 0.00 151.67
Ya(10-10)-4 0.24 0.00 0.02 0.03 6.35 0.00 0.00 0.00 135.79 0.00 0.00 0.03 114.21
Ya(10-20)-0 0.07 0.00 0.03 0.07 11.23 0.00 0.00 0.00 219.72 0.00 0.00 0.03 170.90
Ya(10-20)-1 0.00 0.00 0.00 0.00 10.38 0.00 0.00 0.00 148.87 0.00 0.00 0.00 174.37
Ya(10-20)-2 0.08 0.00 0.05 0.08 9.29 0.00 0.00 0.00 576.10 0.00 0.01 0.07 200.14
Ya(10-20)-3 0.16 0.00 0.08 0.16 9.06 0.00 0.00 0.00 177.87 0.00 0.00 0.00 147.00
Ya(10-20)-4 0.00 0.00 0.00 0.00 8.84 0.00 0.00 0.00 184.83 0.00 0.00 0.00 153.20
He0-0 5.15 0.00 0.05 0.13 3.55 0.00 0.00 0.00 98.99 0.00 0.00 0.00 36.91
He0-1 1.58 0.00 0.01 0.07 5.14 0.00 0.00 0.00 102.95 0.00 0.00 0.00 47.15
He0-2 2.86 0.00 0.09 0.47 5.76 0.00 0.00 0.00 89.37 0.00 0.00 0.05 57.93
He0-3 1.52 0.00 0.09 0.26 5.53 0.00 0.00 0.00 77.90 0.00 0.00 0.00 54.02
He0-4 2.30 0.00 0.05 0.17 4.99 0.00 0.00 0.00 70.51 0.00 0.00 0.00 52.48
Mo(0.85)-0 2.00 0.12 0.52 1.24 5.55 0.12 0.12 0.12 131.86 0.00 0.09 0.12 68.39
Mo(0.85)-1 1.21 0.00 0.04 0.37 6.59 0.00 0.00 0.00 113.65 0.00 0.00 0.00 86.60
Mo(0.85)-2 0.86 0.00 0.00 0.00 5.39 0.00 0.00 0.00 79.33 0.00 0.00 0.00 72.08
Mo(0.85)-3 1.55 0.00 0.00 0.00 4.95 0.00 0.00 0.00 71.75 0.00 0.00 0.00 62.11
Mo(0.85)-4 2.24 0.00 0.26 0.62 5.16 0.00 0.00 0.00 491.85 0.00 0.00 0.00 99.67
La-0 17.24 17.24 17.24 17.24 9.21 5.88 13.41 17.24 214.66 17.24 17.24 17.24 89.34
La-1 18.97 18.97 18.97 18.97 9.61 9.62 18.03 18.97 144.74 18.97 18.97 18.97 94.88
La-2 15.52 15.52 15.52 15.52 9.28 3.92 10.18 15.52 140.10 15.52 15.52 15.52 92.05
La-3 15.52 15.52 15.52 15.52 8.45 2.00 7.47 15.52 151.35 15.52 15.52 15.52 119.87
La-4 17.24 17.24 17.24 17.24 8.38 4.00 12.01 17.24 546.14 17.24 17.24 17.24 101.38

83
GRÁFICO 5. COMPORTAMIENTO DE GRASP PARA 60 NODOS
GRÁFICO 6. COMPORTAMIENTO DE GRASP PARA 100 NODOS

84
CAPÍTULO VI: CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS
En este capítulo se presentan las principales conclusiones del trabajo realizado, adicionalmente se
dan pautas para el desarrollo de trabajos futuros relacionados.

85
En esta tesis se ha trabajado el Problema del Árbol de Expansión Robusto con incertidumbre
intervalar en los costos (MMR-SA) desde un punto de vista algorítmico, tanto exacto como
heurístico. Este es un problema de gran complejidad (NP-Hard) y que en la literatura ha sido
abordado a través de diferentes algoritmos; particularmente desde el punto de vista exacto sólo se
ha trabajado con grafos de hasta 40 nodos. En este trabajo se propuso una variedad de algoritmos,
que según la experimentación antes mostrada son competitivos.
Con respecto a los métodos exactos, se desarrollan tres variantes del algoritmo de
descomposición de Benders y un algoritmo Branch and Cut, este último con una variante que
incluye ingreso más agresivo de cortes, además se implementa una formulación compacta del
problema, la que es resuelta a través de Cplex (versión 12.3). El algoritmo exacto que presenta el
mejor desempeño es B&C, siendo capaz de resolver nuevas instancias. Además, se mejoran las
cotas inferiores para todo el conjunto de instancias estudiadas.
La variante de B&C con ingreso más agresivo de cortes, incluye una metodología de
apareamiento de cortes. Si bien esta metodología no tuvo gran impacto en el MMR-ST, es posible
que en otros problemas MMR en redes pueda aportar en mayor medida. Particularmente, en
problema donde la topología permita generar restricciones apareadas ya sea del tipo disjuntas o
anidadas.
En relación a las variantes del algoritmo de Benders, para futuros trabajos es
recomendable considerar lo siguiente. Para la versión de Benders que incluye cortes heurísticos es
importante experimentar en mayor grado en el número de cortes ingresados y la estructura
utilizada en el vecindario que genera los cortes. En relación a la variante de Benders con cortes
incumbentes, en futuros trabajos se debe considerar la posibilidad de incorporar un conjunto de las
soluciones incumbentes encontradas en la resolución del problema maestro.
Desde el punto de vista heurístico, se entregan dos heurísticas constructivas que utilizan la
información intervalar a diferencia de las heurísticas de un escenario. Las nuevas heurísticas son
capaces de entregar mejores soluciones que Hu y Hm en algunos conjuntos de instancias. En
relación a la heurística constructiva dinámica, se pudo observar que en gran cantidad de ocasiones
entrega soluciones de mejor calidad que la versión básica. Además la estructura de este algoritmo
genera un gran espacio para la construcción de variantes. Es importante destacar que a través de
las heurísticas constructivas, se ha abordado el problema desde una perspectiva no estudiada a la
fecha.
Por otra parte se implementaron 3 metaheurísticas basadas en búsqueda local; mejora
iterativa, Simulated Annealing y GRASP, todas utilizando la misma vecindad. Las metaheurísticas
propuestas obtienen soluciones de similar calidad a lo propuesto en la literatura, existiendo un claro
trade off entre tiempo y calidad del gap, pues dicha mejora iterativa obtiene buenos resultados en

86
muy poco tiempo. Sin embargo, estos resultados son mejorados por GRASP y SA siendo que
estos últimos requieren de un mayor tiempo de ejecución. SA es el único algoritmo capaz de salir
de los óptimos locales de las instancias La y en general el que obtiene las mejores desviaciones.
GRASP cuenta con una fase constructiva que para algunos conjuntos de instancias funciona bien
por sí sola. Por otra parte, parece ser lógico pensar en la generación de diferentes estructuras de
vecindario, para conjuntos de instancias donde la topología sea particular como el caso de las
instancias LA o He. También es importante mencionar que las tres metaheurísticas pueden ser
exigidas en mayor medida, a través de un proceso de experimentación más profundo, con énfasis
en el ajuste de parámetros.
En el presente trabajo se estudiaron distintos conjuntos de instancias, comprobando que
tanto la topología del problema como la estructura de costos, generan de forma independiente un
impacto en la complejidad del problema. En forma particular se demostró, experimentalmente, que
para el algoritmo Branch and Cut propuesto, a menor valor del parámetro (en las instancias Mo)
este mejora su desempeño. Adicionalmente, en las instancias Ya se generaron dos categorías
(Ya(C,C) y Ya(C,2)), donde se observó que el crecimiento en el tiempo de ejecución al aumentar el
tamaño del problema es bastante más brusco en las primeras (Ya(C,C)). De forma complementaria
se tiene que en los distintos conjuntos de instancias, el efecto del pre procesamiento tiene distinto
impacto.
Las instancias La presentan un gran problema, tanto para algoritmos exactos como
heurísticos. De forma exacta sólo se resolvió una instancia de 30 nodos, que po lo demás es la
instancia de mayor tamaño que se tiene solución exacta para este conjutno. Por el lado heurístico,
es en este conjunto de instancias donde se presentan los peores resultado. Una de las alternativas
desde el punto de vista heurístico, es el uso de su topología, ya sea para la generación de
heurísticas ad-hoc, como para el uso de la topología en la generación de un vecindario.
Si bien se generó un aporte significativo en relación a los LB del conjunto de instancias
estudiadas a partir de las mejores soluciones conocidas es posible postular que, el mayor cuello de
botella se tiene en esta cota (LB) de modo que es imprescindible continuar con trabajos en este
aspecto para generar nuevas cotas.
Finalmente es preciso comentar que se ha realizado una propuesta extensa de
algoritmos para el MMR-ST, desde la perspectiva exacta y aproximada. A partir de esto, queda
abierta la posibilidad para futuras mejoras a los algoritmos propuestos.

87
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93
ANEXO 1: ESTADÍSTICAS DE HEURÍSTICAS
TABLA 34. ESTADÍSTICAS DE HEURÍTICAS YA(C,C)
Hc Hcd Hu Hm
Min Av. Max desv Min Av. Max desv Min Av. Max desv Min Av. Max desv
Ya(10,10)-10 4.46 17.03 37.32 10.93 0.00 9.43 25.77 8.92 0.00 12.45 29.72 10.32 0.00 4.11 12.09 4.23
Ya(10,10)-20 0.00 2.02 4.00 1.35 0.26 3.22 14.44 4.27 0.24 2.79 5.67 1.51 0.00 4.43 9.06 2.48
Ya(10,10)-30 0.00 1.60 4.32 1.30 0.00 1.07 2.69 1.01 0.00 1.16 5.69 1.77 1.86 4.86 8.72 2.31
Ya(10,10)-40 0.00 0.86 2.12 0.80 0.13 0.98 2.31 0.77 0.00 0.93 1.98 0.77 2.65 5.68 8.44 1.81
Ya(10,10)-50 0.31 0.91 2.35 0.71 0.00 0.78 2.97 0.92 0.22 0.51 0.94 0.26 1.68 4.95 7.51 1.76
Ya(10,10)-60 0.02 0.73 1.81 0.58 0.00 0.65 1.35 0.49 0.00 0.57 1.29 0.50 4.17 5.53 8.45 1.40
Ya(10,10)-70 0.07 0.48 1.42 0.40 0.00 0.44 1.28 0.42 0.00 0.23 0.53 0.17 3.04 5.10 7.41 1.42
Ya(10,10)-80 0.09 0.39 0.71 0.20 0.03 0.44 0.72 0.23 0.00 0.30 0.78 0.27 3.05 5.74 9.26 1.77
Ya(10,10)-90 0.00 0.23 0.79 0.26 0.00 0.21 0.48 0.17 0.00 0.16 0.73 0.23 4.00 6.28 8.15 1.44
Ya(10,10)-100 0.00 0.23 0.75 0.21 0.14 0.24 0.51 0.13 0.00 0.10 0.26 0.09 3.33 6.01 7.48 1.32
Ya(15,15)-10 0.00 11.14 28.57 9.85 0.00 13.01 30.23 11.13 0.00 9.28 26.87 8.22 0.00 0.94 5.33 2.01
Ya(15,15)-20 2.38 3.92 7.74 1.75 0.00 3.58 7.59 2.62 0.93 2.95 6.32 1.53 0.00 3.05 7.90 2.81
Ya(15,15)-30 0.00 1.66 3.82 1.23 0.00 1.91 4.55 1.49 0.00 1.44 4.43 1.53 0.60 5.09 11.37 3.06
Ya(15,15)-40 0.28 1.05 2.22 0.59 0.00 0.78 1.88 0.54 0.02 0.56 2.61 0.76 3.90 6.42 9.25 1.61
Ya(15,15)-50 0.06 0.68 1.38 0.38 0.00 0.59 1.15 0.40 0.00 0.57 1.64 0.61 3.06 5.52 8.20 1.63
Ya(15,15)-60 0.00 0.31 0.79 0.23 0.00 0.33 1.22 0.39 0.00 0.25 1.08 0.35 5.20 6.23 8.02 1.02
Ya(15,15)-70 0.00 0.42 1.19 0.41 0.00 0.54 1.42 0.51 0.00 0.44 1.73 0.56 3.75 6.10 7.43 1.01
Ya(15,15)-80 0.11 0.43 0.82 0.24 0.00 0.51 1.22 0.45 0.00 0.29 0.63 0.19 4.61 6.31 8.66 1.29
Ya(15,15)-90 0.05 0.27 0.63 0.23 0.00 0.33 0.96 0.31 0.00 0.18 0.43 0.18 3.12 6.08 8.36 1.52
Ya(15,15)-100 0.02 0.21 0.43 0.15 0.03 0.17 0.38 0.11 0.00 0.16 0.58 0.18 4.01 5.71 6.63 0.83
Ya(20,20)-10 1.52 11.34 20.74 6.73 0.00 7.49 20.74 7.79 0.81 8.56 18.86 5.56 0.00 3.03 11.03 4.07
Ya(20,20)-20 0.00 2.11 6.69 2.21 0.00 1.81 7.65 2.64 0.00 1.98 10.34 3.27 0.03 3.30 7.37 2.49
Ya(20,20)-30 0.07 1.45 5.37 1.69 0.00 1.05 5.25 1.61 0.05 1.78 4.40 1.53 0.13 4.20 10.03 2.87
Ya(20,20)-40 0.05 0.60 1.40 0.44 0.00 0.69 1.93 0.61 0.27 0.77 1.16 0.36 1.40 5.60 14.56 4.10
Ya(20,20)-50 0.00 0.83 2.37 0.70 0.00 0.58 1.76 0.58 0.00 50 1.34 0.46 2.97 6.32 9.88 1.75
Ya(20,20)-60 0.04 0.51 1.26 0.38 0.04 0.56 1.28 0.40 0.00 0.33 0.79 0.28 2.44 4.76 5.95 1.27
Ya(20,20)-70 0.22 0.40 0.84 0.18 0.00 0.36 1.34 0.41 0.00 0.26 1.13 0.37 2.64 5.45 9.88 2.10
Ya(20,20)-80 0.01 0.29 0.59 0.21 0.00 0.43 1.05 0.36 0.01 0.25 0.60 0.19 4.31 6.16 7.92 1.20
Ya(20,20)-90 0.00 0.32 0.94 0.30 0.00 0.32 0.77 0.28 0.00 0.22 0.75 0.27 4.06 6.40 8.24 1.28
Ya(20,20)-100 0.05 0.20 0.54 0.14 0.09 0.28 0.45 0.14 0.00 0.16 0.57 0.18 2.62 7.01 10.00 2.21

94
TABLA 35. ESTADÍSTICAS DE HEURÍSTICAS YA(C,2C)
Hc Hcd Hu Hm
Min Av. Max Desv Min Av. Max desv Min Av. Max desv Min Av. Max desv
Ya(10,20)-10 0.00 3.36 15.94 5.17 0.00 1.29 8.69 2.66 0.00 1.67 8.51 2.78 0.00 3.24 9.25 3.71
Ya(10,20)-20 0.00 0.45 1.40 0.44 0.00 0.66 1.83 0.59 0.00 0.43 1.40 0.46 1.45 6.11 10.12 2.85
Ya(10,20)-30 0.00 0.51 2.32 0.68 0.00 0.59 1.50 0.52 0.00 0.33 1.50 0.46 1.23 3.76 8.65 2.06
Ya(10,20)-40 0.00 0.40 1.20 0.36 0.00 0.53 1.50 0.56 0.00 0.39 1.42 0.46 1.82 5.63 9.24 2.34
Ya(10,20)-50 0.00 0.29 0.77 0.28 0.00 0.27 0.92 0.33 0.00 0.21 0.80 0.27 2.93 5.51 8.77 2.07
Ya(10,20)-60 0.00 0.15 0.40 0.15 0.00 0.12 0.31 0.09 0.00 0.15 0.45 0.15 3.87 6.66 9.06 1.54
Ya(10,20)-70 0.00 0.20 0.51 0.16 0.00 0.15 0.55 0.20 0.00 0.09 0.38 0.12 4.04 6.51 10.05 2.01
Ya(10,20)-80 0.04 0.11 0.38 0.11 0.00 0.14 0.53 0.16 0.00 0.09 0.52 0.16 3.77 6.19 7.70 1.38
Ya(10,20)-90 0.00 0.08 0.20 0.08 0.00 0.09 0.33 0.11 0.00 0.06 0.31 0.10 4.79 6.72 10.27 1.59
Ya(10,20)-100 0.01 0.16 0.65 0.19 0.01 0.11 0.29 0.09 0.00 0.04 0.13 0.05 2.41 5.16 7.01 1.26
Ya(15,30)-10 0.00 2.17 10.73 3.32 0.00 4.96 11.21 4.30 0.00 4.20 20.42 6.55 0.00 4.56 11.58 3.37
Ya(15,30)-20 0.00 0.75 3.14 0.92 0.00 0.88 2.15 0.77 0.00 0.77 2.86 1.04 0.83 6.29 17.09 4.59
Ya(15,30)-30 0.00 0.25 1.03 0.33 0.00 0.36 1.89 0.58 0.00 0.21 1.03 0.35 5.45 7.03 10.38 1.73
Ya(15,30)-40 0.00 0.52 1.79 0.63 0.00 0.60 3.28 0.98 0.00 0.42 1.17 0.38 2.99 6.16 9.78 2.37
Ya(15,30)-50 0.00 0.25 0.93 0.28 0.00 0.15 0.41 0.15 0.00 0.12 0.48 0.19 2.86 5.79 9.07 1.86
Ya(15,30)-60 0.00 0.18 0.45 0.14 0.00 0.21 0.67 0.22 0.00 0.19 0.77 0.25 1.56 4.91 7.46 1.97
Ya(15,30)-70 0.00 0.19 0.51 0.17 0.00 0.13 0.29 0.13 0.00 0.07 0.26 0.09 3.83 6.34 8.75 1.63
Ya(15,30)-80 0.01 0.10 0.34 0.10 0.00 0.08 0.14 0.06 0.00 0.05 0.17 0.06 2.92 5.68 8.46 1.83
Ya(15,30)-90 0.00 0.08 0.22 0.07 0.00 0.18 0.38 0.12 0.00 0.07 0.28 0.11 3.50 6.51 9.86 1.72
Ya(15,30)-100 0.00 0.14 0.35 0.11 0.00 0.10 0.23 0.08 0.00 0.04 0.25 0.08 3.09 5.29 7.09 1.52
Ya(20,40)-10 0.00 2.72 6.22 2.03 0.00 2.40 6.22 2.18 0.00 2.56 9.03 3.09 0.00 1.71 5.67 1.93
Ya(20,40)-20 0.00 0.70 3.19 1.04 0.00 0.70 3.01 0.96 0.00 0.25 1.70 0.54 1.50 6.91 11.84 3.78
Ya(20,40)-30 0.00 0.55 2.52 0.81 0.00 0.46 1.73 0.58 0.00 0.36 1.97 0.62 3.60 6.03 8.66 1.52
Ya(20,40)-40 0.00 0.21 0.71 0.29 0.00 0.18 0.89 0.29 0.00 0.11 0.55 0.19 4.56 6.53 8.97 1.71
Ya(20,40)-50 0.00 0.18 0.56 0.19 0.00 0.20 0.70 0.22 0.00 0.08 0.47 0.15 3.46 5.66 7.86 1.46
Ya(20,40)-60 0.00 0.09 0.35 0.11 0.01 0.18 0.55 0.17 0.00 0.08 0.32 0.11 2.35 4.90 7.01 1.49
Ya(20,40)-70 0.00 0.12 0.24 0.09 0.00 0.14 0.32 0.12 0.00 0.08 0.33 0.11 2.63 5.87 8.86 1.89
Ya(20,40)-80 0.02 0.18 0.45 0.13 0.00 0.16 0.43 0.16 0.00 0.06 0.16 0.06 3.86 6.54 9.66 1.82
Ya(20,40)-90 0.00 0.10 0.28 0.10 0.00 0.12 0.81 0.25 0.00 0.07 0.27 0.10 4.35 6.70 8.71 1.39
Ya(20,40)-100 0.00 0.10 0.23 0.09 0.00 0.08 0.24 0.09 0.00 0.04 0.20 0.06 4.52 6.26 9.04 1.59

95
TABLA 36. ESTADÍSTICAS HEURÍSTICAS HE
Hc Hcd Hu Hm
Min Av. Max desv Min Av. Max desv Min Av. Max desv Min Av. Max desv
He0-10 5.8 19.6 48.6 15.1 0.0 11.7 34.7 12.7 0.0 23.9 63.9 23.4 0.0 5.2 10.19 4.11
He0-20 2.5 26.3 52.4 18.4 3.7 25.2 49.7 15.9 3.7 31.1 80.9 22.1 0.0 4.6 10.56 3.26
He0-30 18.4 33.4 61.6 15.9 15.0 23.4 45.7 9.1 17.5 31.0 60.6 13.0 1.1 2.7 6.76 1.75
He0-40 16.6 28.8 41.4 9.3 9.7 24.2 33.1 6.8 10.9 30.1 49.4 11.1 0.1 3.0 5.74 2.01
He0-50 14.2 27.1 64.3 14.0 8.2 21.2 32.5 8.0 11.8 20.2 35.3 7.0 0.5 3.2 7.38 2.46
He0-60 16.1 31.7 44.6 8.5 9.5 26.4 38.6 9.3 11.3 23.7 32.6 8.1 0.8 3.7 7.75 2.31
He0-70 16.3 32.9 50.7 13.6 13.8 33.4 50.0 10.7 23.5 37.4 56.8 11.2 1.3 2.8 4.49 1.18
He0-80 23.9 35.1 46.4 7.0 21.8 32.7 45.6 8.4 15.7 33.2 42.7 8.3 0.8 1.9 4.76 1.17
He0-90 13.8 29.6 39.7 8.7 21.8 32.6 49.4 8.4 16.2 31.8 50.6 9.9 0.8 2.8 8.20 2.15
He0-100 23.2 31.0 44.4 6.1 17.0 24.4 34.3 5.5 19.0 26.2 40.1 6.9 1.0 2.7 5.22 1.32
He1-10 5.8 19.6 48.6 15.1 0.0 11.7 34.7 12.7 0.0 23.9 63.9 23.4 0.0 5.2 10.19 4.11
He1-20 8.7 23.9 46.3 10.00 2.8 19.9 36.27 12.34 7.3 32.1 54.64 16.43 0.00 3.9 10.39 3.82
He1-30 12.83 23.33 35.00 8.45 6.73 20.79 39.18 9.99 8.41 28.87 43.10 9.79 0.00 2.1 7.02 2.35
He1-40 13.52 22.49 34.84 6.73 4.87 18.03 28.74 7.54 13.97 24.56 36.51 6.63 1.08 2.8 4.89 1.46
He1-50 11.82 20.00 27.51 6.29 9.46 19.17 26.47 5.09 11.28 26.20 46.61 9.18 1.02 2.9 5.87 1.57
He1-60 12.13 25.01 33.40 6.82 10.74 23.20 39.31 9.80 6.88 28.81 46.34 13.16 0.96 2.9 5.49 1.45
He1-70 10.78 21.50 34.10 7.55 11.77 19.06 31.06 5.63 12.16 22.99 33.39 6.33 1.41 3.6 6.64 1.73
He1-80 11.39 22.25 34.04 7.10 9.75 18.87 26.99 4.98 13.19 25.27 37.83 6.88 0.79 2.9 6.10 1.50
He1-90 10.94 19.78 28.51 7.41 10.54 19.79 30.96 7.33 20.04 25.34 36.87 5.48 1.74 3.3 5.67 1.31
He1-100 14.45 19.53 25.66 3.62 9.59 17.14 27.12 4.97 14.50 21.14 25.94 3.86 1.40 3.4 4.77 1.08

96
TABLA 37. ESTADÍSTICAS HEURÍSTICAS MO
Hc Hcd Hu Hm
Min Av. Max desv Min Av. Max desv Min Av. Max desv Min Av. Max Desv
Mo(0.15)-10 0.00 44.83 98.92 41.23 0.00 41.17 169.76 57.79 0.00 3.20 31.46 9.93 0.00 0.00 0.00 0.00
Mo(0.15)-20 0.00 37.82 274.51 84.40 0.00 22.52 152.15 47.95 0.00 23.67 113.35 34.14 0.00 2.13 19.91 6.26
Mo(0.15)-30 0.00 28.05 84.67 28.38 0.00 24.15 83.52 24.75 0.00 7.60 20.13 8.01 0.00 1.57 7.22 2.70
Mo(0.15)-40 0.00 32.91 79.93 25.83 0.00 52.44 130.76 45.42 0.00 16.98 40.36 14.52 0.00 0.56 3.90 1.29
Mo(0.15)-50 28.90 69.53 123.84 32.79 31.73 78.02 172.05 49.43 0.00 8.58 25.06 8.14 0.00 0.71 4.61 1.49
Mo(0.15)-60 10.02 32.16 73.97 22.89 5.60 56.00 132.00 39.15 2.01 13.26 27.20 9.97 0.00 0.25 2.25 0.71
Mo(0.15)-70 1.11 37.65 96.11 26.51 50 38.72 96.90 29.73 0.88 12.51 34.53 9.79 0.00 0.38 1.67 0.55
Mo(0.15)-80 5.82 39.88 62.41 19.42 13.77 51.67 114.68 31.43 0.00 10.43 22.07 6.96 0.00 1.65 5.82 1.99
Mo(0.15)-90 22.06 61.47 132.96 31.88 17.66 55.84 111.57 28.96 3.40 12.19 32.55 8.89 0.00 1.17 4.33 1.52
Mo(0.15)-100 7.87 36.08 55.26 15.24 28.87 63.66 102.38 24.32 1.88 14.86 24.23 7.98 0.00 0.57 4.43 1.42
Mo(0.50)-10 0.00 5.97 39.79 12.26 0.00 6.08 39.79 12.72 0.00 4.79 34.53 10.77 0.00 2.68 8.00 3.27
Mo(0.50)-20 0.00 9.09 31.06 9.05 0.00 14.53 46.05 15.55 1.63 12.24 36.31 11.64 0.00 2.06 6.23 1.97
Mo(0.50)-30 0.00 6.57 19.84 6.69 1.03 9.25 29.16 8.03 0.00 3.74 9.60 3.65 0.00 1.84 5.92 2.21
Mo(0.50)-40 4.22 8.25 12.65 2.60 2.08 9.35 24.44 6.64 1.46 6.00 10.74 2.70 0.00 3.07 7.30 2.11
Mo(0.50)-50 3.07 10.42 20.40 5.74 2.54 14.34 28.48 7.57 3.07 10.32 22.83 5.96 0.60 3.11 6.23 2.13
Mo(0.50)-60 2.79 9.50 18.61 5.37 3.74 12.75 23.22 6.95 0.27 8.45 13.57 4.50 0.16 2.60 4.11 1.22
Mo(0.50)-70 4.25 8.30 16.78 4.43 15 13.64 23.55 5.91 2.52 8.82 17.25 4.95 0.00 3.30 6.51 2.37
Mo(0.50)-80 5.59 9.46 14.06 2.75 8.09 12.22 19.02 4.08 2.91 6.31 8.84 1.97 0.30 3.68 9.09 2.57
Mo(0.50)-90 4.10 9.29 23.10 5.50 4.14 12.12 23.70 6.62 0.57 8.65 14.98 4.59 0.87 3.89 8.34 2.11
Mo(0.50)-100 4.86 9.36 15.99 3.95 4.60 11.95 20.88 5.10 3.73 9.24 15.97 3.25 0.77 2.10 3.81 0.93
Mo(0.85)-10 0.00 0.39 1.65 0.66 0.00 0.44 2.22 0.79 0.00 1.13 7.65 2.37 0.00 0.69 3.52 1.22
Mo(0.85)-20 0.00 1.19 3.18 1.27 0.00 4.13 14.44 4.41 0.00 4.34 11.28 3.51 0.61 5.89 12.02 4.10
Mo(0.85)-30 0.00 1.82 4.75 1.73 0.00 2.49 5.97 2.16 0.01 1.85 4.39 1.41 0.97 3.50 5.66 1.41
Mo(0.85)-40 0.00 3.33 6.72 2.35 0.00 3.12 6.59 2.22 0.31 4.53 10.41 2.90 1.19 3.26 6.98 1.62
Mo(0.85)-50 0.31 1.85 4.56 1.39 1.23 2.26 4.18 1.03 0.21 1.55 5.13 1.54 3.19 4.70 8.61 1.69
Mo(0.85)-60 1.20 2.74 5.43 1.23 0.35 2.52 4.54 1.69 50 2.94 7.52 2.07 1.22 4.05 8.77 2.44
Mo(0.85)-70 50 2.83 6.17 1.78 0.52 2.19 5.20 1.41 0.89 2.87 6.36 1.83 1.03 4.24 7.55 1.94
Mo(0.85)-80 1.26 2.45 5.26 1.28 0.95 2.31 4.76 1.16 0.34 1.93 5.04 1.30 1.41 3.58 7.10 1.60
Mo(0.85)-90 0.91 2.13 3.80 1.08 0.75 2.42 3.94 1.10 0.90 2.04 3.20 0.79 2.35 3.97 5.83 0.96
Mo(0.85)-100 1.40 2.60 4.22 1.20 1.13 2.83 5.12 1.33 0.68 2.10 5.71 1.47 1.63 3.52 5.73 1.36

ANEXO 2: PARÁMETROS GRASP
TABLA 38. RESULTADOS DE GRASP PARA 100 NODOS CON DISTINTOS CONJUNTOS DE PARÁMETROS POR
FAMILIA DE INSTANCIAS.
Instance FO time FOKZ UB-B&C LB-B&C ciclos alpha sol Mej. min Mej av. Mej. max H. Básica
Ya(10-10)-0 119847 246.771 119847 120154 107996 5000 0.03 20 0 1701 500 120013
Ya(10-10)-0 119847 250.287 119847 120154 107996 5000 0.03 20 0 2017 568 120013
Ya(10-10)-0 119847 247.385 119847 120154 107996 5000 0.03 20 0 1814 536 120013
Ya(10-10)-0 119847 249.304 119847 120154 107996 5000 0.03 20 0 2274 557 120013
Ya(10-10)-0 119847 250.38 119847 120154 107996 5000 0.03 20 0 1648 577 120013
Ya(10-10)-0 119847 246.481 119847 120154 107996 5000 0.03 20 0 1683 455 120013
Ya(10-10)-0 119960 246.013 119847 120154 107996 5000 0.03 20 0 2026 629 120013
Ya(10-10)-0 119847 247.759 119847 120154 107996 5000 0.03 20 0 2378 430 120013
Ya(10-10)-0 119847 246.527 119847 120154 107996 5000 0.03 20 0 1399 510 120013
Ya(10-10)-0 119847 244.999 119847 120154 107996 5000 0.03 20 0 2378 691 120013
Ya(10-10)-1 125712 258.789 125683 125759 114128 5000 0.03 20 0 1862 333 125759
Ya(10-10)-1 125683 258.399 125683 125759 114128 5000 0.03 20 2 489 201 125759
Ya(10-10)-1 125710 258.337 125683 125759 114128 5000 0.03 20 0 1280 275 125759
Ya(10-10)-1 125710 259.366 125683 125759 114128 5000 0.03 20 0 1862 368 125759
Ya(10-10)-1 125683 259.569 125683 125759 114128 5000 0.03 20 4 1500 360 125759
Ya(10-10)-1 125685 259.647 125683 125759 114128 5000 0.03 20 0 1211 385 125759
Ya(10-10)-1 125683 259.351 125683 125759 114128 5000 0.03 20 0 1817 704 125759
Ya(10-10)-1 125683 258.758 125683 125759 114128 5000 0.03 20 0 1689 494 125759
Ya(10-10)-1 125751 258.539 125683 125759 114128 5000 0.03 20 0 1512 248 125759
Ya(10-10)-1 125685 258.352 125683 125759 114128 5000 0.03 20 0 713 286 125759
Ya(10-10)-4 120689 253.407 120614 120817 108482 5000 0.03 20 0 2347 557 120817
Ya(10-10)-4 120722 251.768 120614 120817 108482 5000 0.03 20 143 1288 605 120817
Ya(10-10)-4 120647 250.443 120614 120817 108482 5000 0.03 20 33 1419 629 120817
Ya(10-10)-4 120713 250.817 120614 120817 108482 5000 0.03 20 0 2111 809 120817
Ya(10-10)-4 120817 250.224 120614 120817 108482 5000 0.03 20 0 1992 606 120817
Ya(10-10)-4 120689 251.129 120614 120817 108482 5000 0.03 20 0 1690 550 120817
Ya(10-10)-4 120831 251.223 120614 120817 108482 5000 0.03 20 0 1034 391 120817
Ya(10-10)-4 120758 251.285 120614 120817 108482 5000 0.03 20 23 1803 646 120817
Ya(10-10)-4 120689 250.349 120614 120817 108482 5000 0.03 20 237 1468 708 120817
Ya(10-10)-4 120614 251.082 120614 120817 108482 5000 0.03 20 0 1728 614 120817
Ya(10-10)-5 121259 255.882 121178 121337 108795 5000 0.03 20 0 966 179 121337
Ya(10-10)-5 121259 246.808 121178 121337 108795 5000 0.03 20 0 791 210 121337
Ya(10-10)-5 121348 245.435 121178 121337 108795 5000 0.03 20 42 758 253 121337
Ya(10-10)-5 121219 246.324 121178 121337 108795 5000 0.03 20 40 368 177 121337
Ya(10-10)-5 121301 247.651 121178 121337 108795 5000 0.03 20 0 286 124 121337
Ya(10-10)-5 121221 246.356 121178 121337 108795 5000 0.03 20 0 1312 249 121337

98
Ya(10-10)-5 121301 245.95 121178 121337 108795 5000 0.03 20 0 612 143 121337
Ya(10-10)-5 121348 247.042 121178 121337 108795 5000 0.03 20 0 877 134 121337
Ya(10-10)-5 121221 242.003 121178 121337 108795 5000 0.03 20 0 718 198 121337
Ya(10-10)-5 121308 247.9 121178 121337 108795 5000 0.03 20 0 844 145 121337
Ya(10-10)-6 128063 230.49 128012 128287 115439 5000 0.03 20 0 510 126 128186
Ya(10-10)-6 128085 227.885 128012 128287 115439 5000 0.03 20 0 338 121 128186
Ya(10-10)-6 128113 222.035 128012 128287 115439 5000 0.03 20 0 606 166 128186
Ya(10-10)-6 128012 219.071 128012 128287 115439 5000 0.03 20 0 275 70 128186
Ya(10-10)-6 128012 219.04 128012 128287 115439 5000 0.03 20 0 716 134 128186
Ya(10-10)-6 128012 218.822 128012 128287 115439 5000 0.03 20 0 753 175 128186
Ya(10-10)-6 128186 224.204 128012 128287 115439 5000 0.03 20 0 530 136 128186
Ya(10-10)-6 128161 219.149 128012 128287 115439 5000 0.03 20 0 582 122 128186
Ya(10-10)-6 128012 228.871 128012 128287 115439 5000 0.03 20 0 367 90 128186
Ya(10-10)-6 128012 228.871 128012 128287 115439 5000 0.03 20 0 367 90 128186
Ya(10-20)-0 176738 293.805 176639 176757 164436 5000 0.03 15 0 1380 323 176757
Ya(10-20)-0 176893 288.164 176639 176757 164436 5000 0.03 15 0 2972 390 176757
Ya(10-20)-0 176820 289.115 176639 176757 164436 5000 0.03 15 0 931 244 176757
Ya(10-20)-0 176639 291.377 176639 176757 164436 5000 0.03 15 0 1539 318 176757
Ya(10-20)-0 176639 287.743 176639 176757 164436 5000 0.03 15 0 403 97 176757
Ya(10-20)-0 176656 287.68 176639 176757 164436 5000 0.03 15 0 2967 516 176757
Ya(10-20)-0 176820 291.221 176639 176757 164436 5000 0.03 15 0 1467 276 176757
Ya(10-20)-0 176755 291.704 176639 176757 164436 5000 0.03 15 0 1898 270 176757
Ya(10-20)-0 176738 287.275 176639 176757 164436 5000 0.03 15 0 2061 451 176757
Ya(10-20)-0 176729 290.94 176639 176757 164436 5000 0.03 15 0 4565 587 176757
Ya(10-20)-3 161195 260.645 161103 161106 151902 5000 0.03 15 0 1909 443 161106
Ya(10-20)-3 161103 261.144 161103 161106 151902 5000 0.03 15 0 1938 561 161106
Ya(10-20)-3 161147 261.284 161103 161106 151902 5000 0.03 15 0 1688 646 161106
Ya(10-20)-3 161103 261.098 161103 161106 151902 5000 0.03 15 0 1204 342 161106
Ya(10-20)-3 161165 260.224 161103 161106 151902 5000 0.03 15 0 1053 365 161106
Ya(10-20)-3 161261 259.99 161103 161106 151902 5000 0.03 15 0 1423 417 161106
Ya(10-20)-3 161103 259.569 161103 161106 151902 5000 0.03 15 0 1949 670 161106
Ya(10-20)-3 161103 261.129 161103 161106 151902 5000 0.03 15 3 1988 505 161106
Ya(10-20)-3 161204 255.575 161103 161106 151902 5000 0.03 15 0 2334 443 161106
Ya(10-20)-3 161103 252.674 161103 161106 151902 5000 0.03 15 0 1777 475 161106
Ya(10-20)-4 181783 289.957 181698 181698 169776 5000 0.03 15 0 1788 535 181698
Ya(10-20)-4 181698 286.01 181698 181698 169776 5000 0.03 15 0 1035 308 181698
Ya(10-20)-4 181751 290.395 181698 181698 169776 5000 0.03 15 0 1870 468 181698
Ya(10-20)-4 181751 286.947 181698 181698 169776 5000 0.03 15 0 1415 447 181698
Ya(10-20)-4 181698 289.676 181698 181698 169776 5000 0.03 15 0 1662 331 181698
Ya(10-20)-4 181751 285.793 181698 181698 169776 5000 0.03 15 0 1282 368 181698
Ya(10-20)-4 181835 289.505 181698 181698 169776 5000 0.03 15 0 1641 591 181698

99
Ya(10-20)-4 181751 289.406 181698 181698 169776 5000 0.03 15 0 2847 790 181698
Ya(10-20)-4 181836 275.419 181698 181698 169776 5000 0.03 15 0 2016 458 181698
Ya(10-20)-4 181751 273.827 181698 181698 169776 5000 0.03 15 0 1130 243 181698
Ya(10-20)-5 179615 273.609 179589 179740 168533 5000 0.03 15 0 833 140 179740
Ya(10-20)-5 179624 276.214 179589 179740 168533 5000 0.03 15 0 740 84 179740
Ya(10-20)-5 179611 275.747 179589 179740 168533 5000 0.03 15 0 611 84 179740
Ya(10-20)-5 179589 273.266 179589 179740 168533 5000 0.03 15 0 1121 238 179740
Ya(10-20)-5 179740 272.158 179589 179740 168533 5000 0.03 15 0 1828 233 179740
Ya(10-20)-5 179593 276.526 179589 179740 168533 5000 0.03 15 0 1953 352 179740
Ya(10-20)-5 179615 276.962 179589 179740 168533 5000 0.03 15 0 712 140 179740
Ya(10-20)-5 179602 273.656 179589 179740 168533 5000 0.03 15 0 1840 310 179740
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Ya(10-20)-5 179589 273.736 179589 179740 168533 5000 0.03 15 0 423 107 179740
Ya(10-20)-6 190300 251.301 190300 190300 179275 5000 0.03 15 0 562 90 190300
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Ya(10-20)-6 190300 254.09 190300 190300 179275 5000 0.03 15 0 169 21 190300
Ya(10-20)-6 190323 263.335 190300 190300 179275 5000 0.03 15 0 355 71 190300
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Ya(10-20)-6 190300 255.507 190300 190300 179275 5000 0.03 15 0 397 65 190300
Ya(10-20)-6 190323 258.797 190300 190300 179275 5000 0.03 15 0 98 23 190300
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Ya(10-20)-6 190312 255.899 190300 190300 179275 5000 0.03 15 0 355 94 190300
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He0-0 133829 108.763 133829 136318 95699 15000 0.03 5 79728 97313 87358 137486
He0-0 133949 109.324 133829 136318 95699 15000 0.03 5 68277 108748 88633 137486
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He0-1 126868 119.667 126587 127536 91725.1 15000 0.03 5 64811 87356 73299 128790

100
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Mo(0.85)-2 132712 152.1 132712 134462 106073 5000 0.03 20 1481 9328 5420 134213
Mo(0.85)-2 132712 151.648 132712 134462 106073 5000 0.03 20 2102 10509 5851 134213
Mo(0.85)-2 132728 151.071 132712 134462 106073 5000 0.03 20 2415 9667 5947 134213
Mo(0.85)-2 132712 151.304 132712 134462 106073 5000 0.03 20 1848 9679 4967 134213

101
Mo(0.85)-2 132712 150.306 132712 134462 106073 5000 0.03 20 2388 10999 5825 134213
Mo(0.85)-3 151588 178.262 151476 153298 117714 5000 0.03 20 4007 12733 9013 153949
Mo(0.85)-3 151823 177.622 151476 153298 117714 5000 0.03 20 5026 23655 11265 153949
Mo(0.85)-3 151559 176.779 151476 153298 117714 5000 0.03 20 5478 13655 8463 153949
Mo(0.85)-3 151527 177.793 151476 153298 117714 5000 0.03 20 6252 16676 9232 153949
Mo(0.85)-3 152144 177.699 151476 153298 117714 5000 0.03 20 4062 12297 8091 153949
Mo(0.85)-3 151808 177.887 151476 153298 117714 5000 0.03 20 3527 17414 8706 153949
Mo(0.85)-3 151982 178.121 151476 153298 117714 5000 0.03 20 4209 17681 9046 153949
Mo(0.85)-3 151864 178.277 151476 153298 117714 5000 0.03 20 3891 12866 7620 153949
Mo(0.85)-3 152462 178.246 151476 153298 117714 5000 0.03 20 3218 17301 10014 153949
Mo(0.85)-3 151613 177.621 151476 153298 117714 5000 0.03 20 4934 13563 8286 153949
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Mo(0.85)-6 132135 166.077 131030 132756 105948 5000 0.03 20 2665 17825 11774 133789
Mo(0.85)-6 131341 166.405 131030 132756 105948 5000 0.03 20 7104 15652 10983 133789
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Mo(0.85)-6 132127 165.657 131030 132756 105948 5000 0.03 20 7230 16627 12811 133789
Mo(0.85)-6 132009 165.485 131030 132756 105948 5000 0.03 20 7400 18083 12494 133789
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