Aplicaciãƒâ³n de funciones

Aplicación de funciones
Química, física y biología
Integrantes
•Ma. Esther Vázquez Martínez
•Víctor Vargas Torrescano
•Jesús Gerardo Juárez Aguayo
•Ángel Giresse Ramos Rojas

 A lo largo del tiempo, la química y las
matemáticas han estado relacionadas dado
que las aplicaciones matemáticas, sirven
para crear modelos teóricos y expresiones
para la mejor comprensión de la química.
 Aún más en la química las derivadas han sido
fundamentales para poder expresar y
calcular mediante ellas razones de cambio,
que después se pueden demostrar mediante
la práctica.

 A) DEFINICIÓN DE FUNCIÓN:
 Una función es una relación entre dos variables
numéricas, X e Y, de forma que a cada valor de X
le corresponde un solo valor de y. La variable X
se llama variable independiente. La variable Y se
llama variable dependiente
 B) DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN,
f(x):
 Se llama dominio de una función f(x) a todos los
valores de X para los que f(x) existe. El dominio
se denota como Dom(f)
 Se llama recorrido o imagen de una función f(x) a
todos los valores que puede tomar f(x). La
imagen se denota como Im(f)

A nivel del mar el punto de ebullición del agua es de
100 ºC. Cuando se asciende a una montaña el
punto de ebullición disminuye, en función de la
altura, con arreglo a la siguiente fórmula:
t = 100 – 0,001h,
Donde t es la temperatura del punto de ebullición
en grados centígrados y h la altura alcanzada en
metros.
 A) ¿Cuál es el punto de ebullición a 1500 m de
altitud?
 B)Realiza una grafica que represente la
disminución del punto de ebullición en función de
la altura.

 SOLUCION: Este procedimiento se puede realizar mediante
la regla de 3 si observamos que al multiplicar la
temperatura establecida al nivel del mar (que es 100 ºc) en
función de la altura establecida (que es 0,001h,) y lo
dividimos entre los 1500 metros de altura. el resultado será
el punto de ebullición donde evidentemente cumple con lo
establecido y disminuye considerablemente.
RESPUESTA:
6.666666666666667e^-5

 En las 10 primeras semanas de cultivo de
una planta, que medía 2 cm.
 Se ha observado que su crecimiento es
directamente proporcional al tiempo, viendo
que en la primera semana ha pasado a medir
2.5 cm.
Establecer una función a fin que dé la altura de
la planta en función del tiempo y representar
gráficamente.

SOLUCIÓN: Con los datos obtenidos solo
realizamos operaciones
 Altura inicial = 2cm
 Crecimiento semanal = 2.5 − 2 = 0.5
y= 0.5 x + 2

La gráfica muestra la variación de temperatura
durante algunas horas de un día de primavera en
Cracovia.
De acuerdo a la siguiente grafica determinar los
incisos A,B,C Y D
EJE X REPRESENTA :TEMPERATURA EN: Cº.
EJE Y REPRESENTA:TIEMPO EN HORAS

Responda las siguientes preguntas según la grafica
mostrada:
A)¿Qué día alcanzó la temperatura máxima?
B)¿Cuál fue esta temperatura?
C)¿Entre que 2 días se produce la variación máxima de
temperatura?
D)¿Cuál es esta variación?
SOLUCIÓN:
 A)La temperatura máxima se alcanzó el día 5.
B) Esta temperatura fue de 39.5 ºC.
C) La variación máxima de temperatura se produce
entre el día 4 y el día 5.
D) Dicha variación es de 3 ºC, en efecto 39.5 − 36.5 =
3 ºC

 Se ha comprobado que los isótopos de los
elementos radiactivos presentan distintos
grados de inestabilidad en el tiempo, debido a
que cada isótopo decae o se transforma en
otros siguiendo una serie radioactiva
particular.
 Si observamos cierta cantidad inicial de
sustancia o material radioactivo, al paso del
tiempo se nota un cambio en la cantidad de
dicho material; la cantidad M del material es
una función del tiempo esto es M=M(t), al
paso del tiempo ocurre una desintegración o
decaimiento del material.

 Se ha llegado al conocimiento de que, en
cualquier tiempo t>0, la rapidez de cambio
de la cantidad M(t) de material radioactivo
es directamente proporcional a la cantidad,
y se afirma que:
 Entonces la solución general de la ecuación
diferencial es:

 Se sabe que un material radioactivo se
desintegra con una rapidez proporcional a la
cantidad presente en cualquier instante. Si
inicialmente hay100mg de material y;
después de dos años, se observa que el 5% de
la masa original se desintegró, determinar:
a) Una expresión para la masa en el momento
t
b) El tiempo necesario para que se desintegre
el 10% de la masa original.

 Sí con y a demás

Expresión para la masa en el momento t->
Tiempo necesario para que se desintegre el 10% de la masa original

 Cuando se produce una reacción química, las
concentraciones de cada uno de los reactivos y
productos va variando con el tiempo, hasta que
se produce el equilibrio químico, en el cual las
concentraciones de todas las sustancias
permanecen constantes.
 La velocidad de una reacción es la derivada de la
concentración de un reactivo o producto con
respecto al tiempo tomada siempre como valor
positivo.
 Es decir, es el cociente de la variación de la
concentración de algún reactivo o producto por
unidad de tiempo cuando los intervalos de
tiempo tienden a 0

 Sea la reacción
 Exprese como varia la concentración del
bromo a lo largo del tiempo.

Tiempo (s) [Br2] (mol/l) Velocidad media
0 0,0120
3,8 x 10–5
50 0,0101
3,4 x 10–5
100 0,0084
2,6 x 10–5
150 0,0071
2,4 x 10–5
200 0,0059

 Una de las cantidades de interés en
termodinámica es la compresibilidad. Si una
sustancia dada se mantiene a una temperatura
constante, entonces su volumen V depende de su
presión P. Podemos considerar la razón de
cambio del volumen respecto a la presión: a
saber, la derivada dV/dP. Conforme P crece, V
decrece, de modo que dV/dP<0.
 La compresibilidad se define al introducir un
signo menos y dividir esta derivada entre el
volumen V:
 compresibilidad isotérmica = β = -
1
푉
푑푉.
푑푃

 En estos términos, β mide qué tan rápido, por unidad de
volumen, decrece el volumen de una sustancia a medida que
la presión aumenta, a temperatura constante. Por ejemplo, se
encontró que el volumen V (en metros cúbicos) de una
muestra de aire a 25 °C está relacionado con la presión P (en
kilo pascales) mediante la ecuación:
V=
5.3
푃
 La razón de cambio de V respecto a P cuando P m 50 kPa,
es
푑푉
푑푃
P=50 = -
5.3
푃"2
P=50
= -
5.3
2500
= - 0.00212푚3/kPa
 La comprensibilidad a esa presión es
훽 = -
1
푉
푑푉
푑푃
P=50 =
0.00212
5.3/50
= 0.02(푚3/kPa)/푚3

 Sabemos que si y m f (x), entonces la derivada dy/dx puede interpretarse como la razón de
 cambio de y respecto a x. En esta sección se analizan algunas de las aplicaciones de esta
 idea a la fisica, la química, la biología, la economía y otras ciencias.
 recuerde la idea básica que se encuentra detrás de las razones
 de cambio. Si x varía de x1 a x2, entonces el cambio en x es
 mx m x2 m x1
 y el cambio correspondiente en y es
 my m f (x2) m f (x1)
 El cociente de diferencias
 y
 x
 f x2 f x1
 x2 x1
 es la razón de cambio promedio de y respecto a x en el intervalo mx1, x2m y puede interpretarse
 como la pendiente de la recta secante PQ. Su límite, cuando
 F(x)x l 0 es la derivada f(x1), la cual puede interpretarse como la razón de cambio instantánea
 de y respecto a x, o sea, la pendiente de la recta tangente en P(x1, f (x1)). Si se usa
 la notación de Leibniz, escribimos el proceso en la forma
 dy
 dx
 lím
 xl0
 y
 x
 Siempre que la función y = f (x) tenga una interpretación específica en una de las ciencias,
 su derivada tendrá una interpretación específica como razón de cambio.

 Si s = (t) es la función posición de una
partícula que se mueve en una línea recta,
entonces
 Alfa(s)/alfa(t) representa el promedio de la
velocidad en un periodo alfa(t), y v = ds/dt
representa
 la velocidad instantánea (la razón de cambio
del desplazamiento respecto al
 tiempo). La razón de cambio instantáneo de
la velocidad respecto al tiempo es la
aceleración:
 a(t) = v’=(t) = s’’ =(t).

 Si un balón es lanzado verticalmente hacia arriba
con una velocidad de 80 pies/s entonces su altura
después de t segundos es s=80t-16t^2.
 A)¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el
balón?
 B) ¿Cuál es la velocidad del balón cuando esta a
96 pies por encima del suelo en su camino en
descenso?
 Primer paso: Para resolver el problema del inciso
(A) tenemos que saber el segundo en cuando el
balón llega a su altura máxima sabiendo este
dato podemos sustituirlo en la función, ya esta
nos da los pies de altura, con el segundo
predeterminado.

 Vo= 80 pies/s = 24.384m/s tenemos que convertir este dato a
metros para que salgan con las unidades deseadas ya que no
sale con pies/s
 G=9.8m/s^2
 Formula para sacar el tiempo en el que llega a su punto máximo.
 Vf= vo-gt
 Despejando t en esta formula=
 0=24.384m/s-9.8m/s^2(t)
 9.8m/s^2(t)= 24.384m/s
 t= 24.384/9.8m/s^2
 t= 2.48816 segundos ya sacamos el tiempo que se tarda el
balón en llegar hasta arriba ahora solo hay que sustituir.
 S=80t-16t^2
 S= 80(2.488)-16(2.488)^2
 S=199.04-99.04
 S= 100 pies de altura esta es la respuesta del inciso A ya que
esta es la altura máxima.

 Para sacar el inciso (B) tenemos que sacar el segundo en el que el balón
esta a 96 pies de altura teniendo este dato le sacamos la derivada a
nuestra función sacándole la derivada solo hay que sustituir en t, el
segundo en el que el balón esta a 96 pies de altura.
 B) S= 80t-16t^2
 S=80(2)-16(2)^2
 S= 160-64
 S= 96 pies de altura
 Esto significa que cuando el balón recorre el segundo 2, este balón estará
a 96 pies de altura, entonces con “2” es el numero con el que sustituiremos
en la derivada, para sacar la velocidad.
 S=80t-16t^2
 S’=80-32t
 S’=80-32(2)
 S’=80-64
 S’=16 pies/segundo (cabe aclarar que esta es la velocidad cuando va en
su camino ascendente ya que es positivo el segundo)
 S’=80-32(-2)
 S’=80+64
 S’=144 pies/segundo(esta es su velocidad cuando va en descenso)

 Como observamos podemos ver que las
matemáticas están presentes en cualquier cosa
que hagas y están involucradas en todo tipo de
áreas nosotros nos enfocamos en la química,
física y biología donde observamos el uso de la
derivada en estas áreas ya sea en encontrar la
velocidad el tiempo la distancia y las
temperaturas.
 Estas son algunas de las muchas cosas que se
utilizan en estas áreas y las derivadas se ven Aún
más en la química han sido fundamentales para
poder expresar y calcular mediante ellas razones
de cambio, que después se pueden demostrar
mediante la práctica.
 Con esto podemos deducir que las matemáticas
son fundamentales para todas estas áreas y que
sin ella no se podrían explicar tantas cosas.

 http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Document
s/Derivadas/razon%20de%20cambio-cb.pdf
 http://fresno.pntic.mec.es/~fgutie6/quimic
a2/ArchivosHTML/Teo_3_princ.htm
 Lurcell; Varberg; Rigdon. Calculo. Prentice
Hall. Octava Edición
 Galván; Cienfuegos; Elizondo; Fabela;
Rodrigez; Romero.Cálculo Diferencial para
administración y ciencias Sociales. Pearson
Educación.2006.México. Segunda Edición.

Aplicaciãƒâ³n de funciones

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (18)

Similar a Aplicaciãƒâ³n de funciones (20)

Aplicaciãƒâ³n de funciones