Concepto de la derivada

INTRODUCCIÓN
El cálculo diferencial trata del estudio del
cambio de una cantidad cuando otra cantidad
que está relacionada con la primera varía.
Por ejemplo Si se aumenta la temperatura de un
gas contenido en un recipiente hermético la
presión del gas sobre las paredes del recipiente
aumenta o si aumentamos nuestro consumo
diario de azucares probablemente aumente la
insulina en sangre.

CONCEPTO
TASA DE CAMBIO PROMEDIO
Normalmente se piensa que
una de las variables es función
de la otra. Esto es y = f (x) .
Habrá puntos de la gráfica de
la función donde suben más
que en otros puntos y otros
incluso bajan.
Una manera de medir la
relación entre los cambios de
dos variables relacionadas es a
través de la tasa o razón de
cambio promedio

Observaciones:
1) Cuando el cambio en y, D y, es
positivo se habla del incremento
de y
2) La tasa de cambio promedio es
un cociente de cambios ó un
cociente de diferencia.
3) La tasa de cambio promedio es
conocida también como la razón
de cambio promedio. La tasa de
cambio puede ser positiva y esto
corresponde cuando el cambio en
y es positivo al pasar de un punto
x1 a un punto x2 ( x1 < x2 ) o
puede ser negativo y esto
corresponde al caso en que y
disminuye o decrece.

EJEMPLO 1
El tamaño de una población está modelada por
P(t) = 5000 + 500t - 50t 2 donde t es el número
de años después del 2001. Calcule la razón de
cambio promedio de a) t = 2 a t = 4 . b) t = 2 a t =
3 y c) t = 2 a t = 2 1/ 2 .

RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E
INSTANTÁNEO
Suponga que un objeto parte
de un punto siguiendo un
movimiento rectilíneo. Sea y =
d(t) la función desplazamiento
hasta el momento t, esta
función es conocida también
como la función posición. El
incremento: d(t2 ) - d(t1 ) es la
distancia recorrida por el
objeto desde el tiempo t1
hasta el tiempo t 2 y la razón
de cambio promedio desde t1
hasta el tiempo t 2 está dada
por:

Ejemplo 2
Suponga que el
desplazamiento de un móvil
hasta el tiempo t está dado por
la ecuación d(t) = 64+4t2
metros, donde t está medido
en segundos. Determinar la
velocidad promedio durante
los tiempos de a) t = 2 a t = 4 .
b) t = 2 a t = 3 y c) t = 2 a
t = 2 1 / 2.

Velocidad instantánea
Partiendo del ejemplo anterior con d(t) = 64+4t2
Se requiere conocer la velocidad del móvil en el
instante t = 2 segundos. Para obtenerla
consideraremos:

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