![La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo,
puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la
variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y
(por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+∆x] es el cociente
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La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite,
cuando ∆x→0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio
instantánea de y con respecto de x es
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Derivada de una funcion
- 1. 4.1.1. Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función. Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entre dos cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial. Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc. INCREMENTOS: Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo ∆x, que se lee "delta x". El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro. Por ejemplo, si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento ∆x = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, ∆x = x2 - x1 = 3 - 7 = -4: la variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades. RAZON DE CAMBIO: Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…) La cantidad de dinero en una cuenta en un banco Realizado por: Ing. Aldo Rodríguez ITESCAM
- 2. El volumen de un globo mientras se infla La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+∆t, es el incremento )()( tfttfQ La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio ∆Q en Q con respecto del cambio ∆t en t, por lo que es el cociente t tfttf t Q )()( Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando ∆t→0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es t tfttf t Q tt )()( limlim 00 Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada )´(tf dt dQ
- 3. La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante. También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así Q es creciente en el instante t si 0 dt dQ Q es decreciente en el instante t si 0 dt dQ
- 4. La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+∆x] es el cociente x xfxxf x y )()( La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando ∆x→0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es )´(lim 0 xf dx dy x y x