Aplicaciones
- 1. Mezclado Al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones se da pie a una<br />ecuación diferencial de primer orden, que define la cantidad de sal que contiene la mezcla.<br />Supongamos que un tanque mezclador grande contiene 300 galones de agua, en donde se ha<br />disuelto sal. Otra solución de salmuera se bombea al tanque a una tasa de 3 galones por minuto.<br />El contenido se agita perfectamente, y es desalojado a la misma tasa (Fig. 1.10). Si la<br />concentración de la solución que entra es 2 libras/galón, hay que formar un modelo de<br />la cantidad de sal en el tanque en cualquier momento.300 gal, constanteSea A(t) la cantidad de sal (en libras) en el tanque en cualquier momento t. En este caso,<br />3091815376555= R-R₂= R-R₂la rapidez con qxe cambia A(r) es la tasa neta:Ahora bien, la razón, RI, con que entra la sal al tanque, en lb/min, esRI = (3 gal/min) . (2 lb/gal) = 6lb/min, mientras que la razón, R2, con que sale la sal es Rz = (3 gal/min) .<br />Entonces, la ecuación (ll) se transforma endadt=6-a100<br />Vaciado de un tanque En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la velocidad<br />v de eflujo (o salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque<br />lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este<br />caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es, v = 2gh, donde g es la<br />aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina al igualar la energía cinética, 12mv²<br />con la energía potencial, mgh, despejando v. Supongamos que un tanque lleno de agua se deja<br />vaciar por un agujero, por la acción de la gravedad. Queremos determinar la profundidad, h,<br />del agua que queda en el tanque (Fig. 1. ll) en el momento t.Si el área transversal del agujero es Ao, en pies cuadrados, y la velocidad del agua que sale<br />del tanque es v = 2gh , en pies por segundo, el volumen de agua que sale del tanque, por<br />segundo, es Ao=2gh en pies cúbicos por segundo. Así, si V(t) representa al volumen del agua<br />en el tanque en cualquier momento t,<br />dvdf=- Ao2ghdonde el signo menos indica que Y está disminuyendo. Obsérvese que no tenemos en cuenta<br />la posibilidad de fi-icción en el agujero, que podría causar una reducción de la tasa de flujo. Si<br />el tanque es tal que el volumen del agua en cualquier momento t se expresa como V(f) = Aᵚ , h,<br />donde Aᵚ, son los pies cuadrados (ft2) de área consfanfe del espejo (la superficie superior) del<br />agua dV/df = Aᵚ, dhldf. Sustituimos esta última expresión en la ecuación (13) y<br />llegamos a la ecuación diferencial que deseábamos para expresar la altura del agua en cualquier<br />momento f:dhdt=Aᵚ-qlEs interesante observar que la ecuación (14) es válida aun cuando Aᵚ, no sea constante. En este<br />caso, debemos expresar el área del espejo del agua en función de h: Aᵚ, = A(h).<br />