Aplicaciones de la derivada ejemplo 4-2a
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Este documento presenta un problema de optimización para encontrar el área máxima de un terreno rectangular al que se le dará uso, sabiendo que se dispone de 100 metros de material para construir la cerca. Inicialmente se exploran soluciones aproximadas mediante tablas y gráficas. Luego, modelando matemáticamente la situación como una función cuadrática, se aplica la derivada para encontrar de manera exacta que el área máxima es 1250 metros cuadrados y se logra con un ancho de 25 metros y una longitud de 50 metros.
Aplicaciones de la derivada ejemplo 4-2a
- 1. Aplicaciones de la derivada 2. Cercar terreno rectangular G. Edgar Mata Ortiz licmata@hotmail.com http://licmata-math.blogspot.com
- 2. Máximos y mínimos relativos Ejemplo 4.2. Proceso de solución iniciando con una aproximación sin cálculo, empleando primero matemáticas básicas y finalmente la derivada.
- 3. Enunciado del problema • Se desea cercar un terreno rectangular con uno de sus lados contra una barda, de modo que ese lado no necesita ser construido. • Se dispone de material para construir 100 m de cerca. • ¿Qué dimensiones debe tener el terreno para conseguir el área máxima?
- 4. Diagrama Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
- 5. Diagrama Ancho Longitud Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
- 6. Diagrama Ancho Darle valores al ancho del terreno Longitud Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
- 7. Diagrama Ancho Darle valores al ancho del terreno, y con estos, calculamos la longitud Longitud Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
- 8. Diagrama Darle valores al ancho del terreno, y con estos, Ancho calculamos la longitud Longitud Material suficiente para construir 100 metros de cerca. Si elegimos un valor para el ancho del terreno, podemos determinar la longitud. Por ejemplo: Si el ancho es de 5 metros, la longitud será de 90 m. (¿puedes ver por qué?) Y el área será: A = longitud por ancho = 90 x 5 = 450
- 9. Diagrama Para facilitar el proceso, haremos una tabla en la que Ancho se irá cambiando el valor del ancho del terreno y Longitud calculando la longitud y el área. Material suficiente para construir 100 metros de cerca. Ancho Longitud Área 5 90 450 10 80 800
- 10. Diagrama Ancho Longitud Material suficiente para construir 100 metros de cerca. Ancho Longitud Área 5 90 450 10 80 800 15 70 1050 20 60 1200 25 50 1250 Área máxima 30 40 1200 35 30 1050
- 11. Diagrama Ancho Longitud Material suficiente para construir 100 metros de cerca. Ancho Longitud Área La solución por ahora es: 5 90 450 Ancho = 25 10 80 800 Es necesario probar con 15 70 1050 valores cercanos a 25, para 20 60 1200 ver si podemos mejorar el 25 50 1250 área máxima. 30 40 1200 35 30 1050 Podríamos usar valores como: 23, 23.5, 24, 24.5, 25.5, 26, 26.5
- 12. Diagrama Ancho Longitud Material suficiente para construir 100 metros de cerca. Ancho Longitud Área 23 54 1242 No fue posible 23.5 53 1245.5 obtener una mejor 24 52 1248 solución. 24.5 51 1249.5 25 50 1250 Área máxima 25.5 49 1249.5 26 48 1248 26.5 47 1245.5
- 13. Diagrama Ancho Longitud Material suficiente para construir 100 metros de cerca. 1400 La solución es: 1200 Ancho = 25 1000 Longitud = 50 800 Área = 1250 Área del terreno (y) 600 400 * La gráfica parece tener 200 la forma de una 0 0 10 20 30 40 50 60 parábola, sin embargo, no -200 podemos estar seguros -400 Ancho del terreno (x) hasta conocer su ecuación.
- 14. Diagrama Darle valores al ancho del terreno, es una forma de Ancho hacerlo variable, en lugar de eso, tomemos su valor como Longitud equis (x). Material suficiente para construir 100 metros de cerca. Si elegimos un valor (x) para el ancho del terreno, podemos determinar la longitud. Si el ancho es de x metros, la longitud será de 100 – 2x m. Y el área será: A = longitud por ancho = (100 – 2x) x
- 15. Diagrama Tomar el ancho como x nos permite obtener la ecuación. Ancho Longitud Ecuación del área del terreno en función de su ancho. A = (100 – 2x) x = 100x – 2x2 Expresándola como función: y = -2x2 + 100x Es una ecuación cuadrática, podríamos obtener el punto máximo determinando su vértice.
- 16. Aplicando la derivada Derivamos e igualamos a cero para obtener el punto Ancho máximo. 2 y 2x 100 x Longitud dy La solución es: 4x 100 dx Ancho = 25 4x 100 0 Longitud = 50 4x 100 Área = 1250 100 * Concuerda con la solución x 4 aproximada que habíamos obtenido sin cálculo diferencial. x 25
- 17. Aplicando la derivada Ancho Longitud La solución es: Ancho = 25 Longitud = 50 Área = 1250
- 18. PBL – Problem Based Learning Es una técnica consistente en iniciar el tema de interés con un problema que conduzca al alumno a la necesidad de aprender dicho tema. El objetivo del presente material es abordar el tema de derivadas a partir de un problema. Dicho problema es irresoluble por métodos analíticos previos al cálculo. Se muestran soluciones aproximadas logradas mediante estas herramientas y finalmente se plantea la solución mediante máximos y mínimos relativos. GRACIAS POR SU ATENCIÓN