Apuntes informatica Profr. David Vizcarra

Capitulo 1 – La Compu, el mundo y yo
Curso de Nivelación 2013 Página 1
PARTE 1
CONCEPTOS BÁSICOS DE UNA COMPUTADORA
“La computadora es, por mucho, la más extraordinaria de las vestimentas
electrónicas creadas por el hombre, ya que es una extensión de nuestro sistema
nervioso central. Junto a ella, la rueda no es más que un juguete...”.
Marshall McLuhan.
LA COMPUTADORA EN LA VIDA DIARIA
En la vida moderna las computadoras constituyen un componente esencial y, aunque no lo
notemos, están en todas partes y son determinantes en nuestro modo de vida. Aún más,
muchas veces nos damos cuenta de esto cuando dejan de funcionar.
Pensemos por un momento en qué cosas está presente alguna forma de computadora: reloj
despertador digital, radio, TV, reproductor de CD, agenda electrónica, cafetera automática,
horno a microondas, encendido electrónico del auto, portón eléctrico de la cochera, teléfono
celular, cajero automático, lector de
tarjeta de ingreso al trabajo, ascensores automáticos, controles de seguridad del edificio,
lavarropas automático, cámaras fotográficas, máquinas de juegos,
expendedoras de comestibles, control de los semáforos, centrales telefónicas, aviones,
aeropuertos, ..... casi todo !!!!!
Es difícil imaginarse un día en el cual no utilicemos alguno de estos elementos. ¿Qué
pasaría si todos ellos dejaran de funcionar simultáneamente?. Nuestra vida está relacionada
con las computadoras, tanto por su operación como por su falta de funcionamiento. Y lo más
sorprendente es que se hayan infiltrado tanto en la vida diaria en un tiempo tan corto...
LA "IDEA" DE LA COMPUTADORA
En 1823, el excéntrico genio matemático inglés Charles Babbage, profesor en Cambridge,
comenzó a trabajar sobre la idea de un dispositivo mecánico para efectuar sumas repetidas.
Esta idea se enriqueció al conocer que Jacquard, fabricante de tejidos francés, había ideado
un telar que permitía reproducir automáticamente patrones de tejidos leyendo la información
codificada en patrones de agujeros perforados. Babbage se embarcó entonces en el
ambicioso proyecto de crear una máquina analítica, que pretendía evolucionar el telar
programable en una máquina capaz de realizar cualquier cálculo que se le programara
mediante tarjetas perforadas, con una precisión de 20 dígitos.
A esta idea adhirió Ada Lovelace, hija del poeta Lord Byron y con aptitudes matemáticas.
Publicó un artículo sobre la máquina analítica que incluía el primer programa para
computadora. Se asoció a Babbage aportando mayores alcances a su idea y corrigiendo
errores de su trabajo.

“La máquina analítica no es capaz de crear nada, sin embargo puede hacer
cualquier cosa que sepamos ordenarle”
Ada Lovelace.
Pero la tecnología de la época no bastaba para hacer realidad la máquina. El mundo
aún no estaba listo para las computadoras, y no lo estaría por cien años más.
DE LA CALCULADORA A LA COMPUTADORA... LA GRAN DIFERENCIA
Si bien las computadoras nos acompañan desde hace apenas medio siglo, sus raíces van
mucho más allá de la máquina analítica concebida por Babbage y son producto de siglos de
meditación y esfuerzo intelectual.
Durante años el esfuerzo tecnológico estuvo en calcular: ábacos, calculadores mecánicos,
circuitos electromecánicos, circuitos electrónicos. El objetivo era obtener la mayor velocidad
posible para alguna combinación de las operaciones matemáticas básicas.
Aún las primitivas computadoras y las primeras aplicaciones industriales fueron de cálculo
fijo (aunque complejo) que debía hacerse a la mayor velocidad posible. Los componentes
electrónicos más “famosos” eran las Unidades Aritméticas que realizaban cálculos simples a
gran velocidad.
El salto conceptual de las "máquinas de calcular" a la computadora fue comprender que el
cálculo era sólo uno de los elementos de interés para la computación. Aún más,
representaba tal vez la línea tecnológica más “fácil”.
El verdadero desarrollo estaba en poder generalizar la utilización de “la máquina” para
cualquier aplicación que se pudiera “programar”... tal como lo había escrito Ada
Lovelace 120 años antes!!!
UNA PRIMERA DEFINICIÓN
Una Computadora es una máquina digital y sincrónica, con cierta capacidad de cálculo
numérico y lógico, controlada por un programa almacenado y con posibilidad de
comunicación con el mundo exterior.
¿Qué significa esto?
 Es digital porque dentro de la computadora las señales eléctricas que se manejan y
la información que se procesa se representa en forma discreta, por medio de dos
valores (0 y 1).
 Además se afirma que es sincrónica, es decir que realiza las operaciones
coordinada por un reloj central que envía señales de sincronismo a todos los

elementos que componen la computadora. Esto significa que todas las operaciones
internas se realizan en instantes de tiempo predefinidos y coordinados con el reloj.
 Internamente posee una capacidad de cálculo numérico y lógico, en un
subsistema denominado Unidad Aritmético-Lógica (UAL) ó en su acrónimo en idioma
inglés ALU (Arithmetic & Logic Unit). Normalmente las operaciones que pueden
realizarse en ella son muy simples (por ejemplo suma, disyunción, conjunción o
comparación).
 El hecho que sea controlada por programa es quizás el punto más importante que
diferencia a una computadora de una calculadora. Significa que internamente se
tienen órdenes o instrucciones almacenadas, que la computadora podrá obtener,
interpretar y ejecutar.
 Además, está comunicada con el mundo exterior. Esto significa que podrá realizar
operaciones de ingreso o egreso de valores desde y hacia el mundo real, utilizando
dispositivos periféricos (por ejemplo el teclado o el mouse para entrada de
información y pantalla como salida). Debe mencionarse que el mundo real es
analógico y no digital.
La computadora es una máquina que cambia información de una forma a otra: recibe
información (entrada), la transforma y proporciona información (salida). Esta información
puede presentarse de muchas formas, lo que convierte a la computadora en una máquina
sumamente versátil, que es capaz desde liquidar impuestos hasta guiar el recorrido de una
nave espacial. En cada caso las entradas y salidas son totalmente distintas, y en esto radica
lo sorprendente de poder usar una computadora para ambas actividades.
Esta versatilidad está dada en que la máquina sea controlada por un programa, que
establece las instrucciones que le indican a las partes físicas qué deben hacer para
transformar los datos de entrada en la salida requerida. El programa controla todo el
proceso, del principio al fin: podemos modificar su funcionamiento con solo cambiar el
programa.
Con el advenimiento de la computadora, gran parte de la tecnología pasó del mundo
analógico al digital.

UN POCO DE HISTORIA
“Considera el pasado y conocerás el futuro”
Proverbio Chino.
La evolución en la tecnología electrónica en los últimos 60 años tuvo un impacto notable en
la ciencia informática.
En la primera generación de computadoras, las máquinas estaban construidas con tubos de
vacío (válvulas), que eran tubos de vidrio del tamaño de una bombilla de luz que albergaban
circuitos eléctricos. Eran máquinas muy grandes, costosas y de difícil operación. A pesar de
esto, rápidamente se convirtieron en herramientas indispensables para los científicos e
ingenieros. El transistor, inventado en 1948, podía cumplir la misma función que un tubo de
vacío, ya que podía transferir la electricidad a través de una pequeña resistencia.
Esto dio lugar, a partir de 1956, a la segunda generación de computadoras, donde las
máquinas ya eran más pequeñas, confiables y económicas que las anteriores. En forma
paralela hubo un avance en la programación y forma de manejo de estas computadoras, lo
que produjo un mayor uso de las mismas.
A mediados de los ´60 las computadoras basadas en transistores fueron sustituidas por las
máquinas más pequeñas y potentes de la tercera generación, construidas con base en los
nuevos circuitos integrados (que empaquetaban cientos de transistores en un chip de
silicio). Su éxito estuvo basado en la mayor confiabilidad, velocidad y eficiencia, y su menor
tamaño y costo.
La invención del tubo de vacío, el transistor y el chip de silicio tuvieron un impacto notable
en la sociedad, y por eso muchos historiadores señalan estos acontecimientos como
fronteras generacionales. Pero ninguno de ellos tuvo un efecto más profundo que la
invención en 1969 del primer microprocesador, que es una computadora completa
empaquetada en un diminuto chip de silicio. Esto fue considerado el inicio de la cuarta
generación, que trajo aparejados cambios en la capacidad y la disponibilidad de las
máquinas en todo el planeta.
Datos (y velocidad) de la evolución
 En el siglo IX un texto budista es el primer libro impreso conocido.
 En el siglo XV aparece la imprenta de Gutenberg.
 En el siglo XVIII aparece la revolución industrial.
 A principios del siglo XX la producción industrial automatizada.
 En el siglo XIX la radio.
 En el siglo XX la TV y el cine.

1940 a 1950: Aparecen las primeras computadoras. Con programa fijo y programa variable.
En 1945 John Von Neumann propone almacenar programas en forma de datos. Surge el
transistor y con él la electrónica moderna.
1950 a 1960: Computadoras transistorizadas. Banca computarizada. Circuitos integrados.
Láser. En 1959 la Unión Soviética lanza el Sputnik.
1960 a 1970: Sistemas operativos de tiempo compartido. El software como producto
industrial. Lenguajes de programación. La primera red de computadoras. En 1969 el hombre
llega a la Luna.
1970 a 1980: Aparecen los microprocesadores. Microcomputadoras. Computadoras
Personales. Robots industriales controlados por computadora. Supercomputadoras.
Primeros juegos para computadoras personales. Planilla de Cálculo. Interfaz gráfica. Apple.
En 1979 nace el PacMan.
1980 a 1990: IBM presenta la primera computadora personal (PC). Surgen publicaciones
electrónicas. Nace Internet. Aparecen las primeras computadoras masivamente paralelas.
Aparecen los virus y los hackers.
1990 a 2000: En 1990 Microsoft introduce Windows 3.0. Aparecen otros elementos como la
interfaz hablada, multimedia, robots móviles, realidad virtual, videoconferencia, visión por
computadora, etc.
2000 en adelante: Adquiere fuerte impulso la Inteligencia Artificial. La realidad virtual cada
vez es más real. La interfaz hombre-máquina sigue evolucionando. Las comunicaciones por
Internet dan origen a nuevos mecanismos como el comercio electrónico.
Estos datos reflejan la diferencia en la velocidad de evolución de la informática con respecto
a cualquiera de las otras industrias. Notar que el avance desde el primer libro impreso a la
imprenta tomó 6 siglos, mientras que desde los tubos de vacío al primer microprocesador
sólo pasaron una veintena de años...
El complejo electrónico-informático ha desplazado a la industria automotriz, a la industria
pesada, a la industria militar y a la industria petrolera en la facturación mundial.

Los grandes ejes de la evolución
“La experiencia histórica muestra que los cambios tecnológicos transforman
notablemente las relaciones políticas y sociales”
John von Neumann
Podemos ver gráficamente cuáles han sido los grandes ejes de la impresionante evolución
de las computadoras:
¿QUÉ ES LA INFORMÁTICA?
La informática nace de la idea de ayudar al hombre en aquellos trabajos rutinarios y
repetitivos, generalmente de cálculo y gestión, donde es frecuente la repetición de tareas. La
idea es que una máquina puede realizarlos mejor, aunque siempre bajo la supervisión del
hombre.
El término Informática se creó en Francia en 1962 bajo la denominación Informatique, y
procede de la contracción de las palabras Information automatique.
Posteriormente fue reconocido por el resto de los países, siendo adoptado por España en
1968 bajo el nombre de Informática, que como puede deducirse fácilmente, viene de la
contracción de las palabras Información automática. En los países anglosajones se conoce
con el nombre de Computer Science.

La informática se puede definir de diversas formas si bien todas ellas giran en torno a la
misma idea. Dos de las más difundidas son:
Informática es la ciencia que estudia el tratamiento automático y racional de la información.
Informática es la ciencia que estudia el análisis y resolución de problemas utilizando
computadoras.
 La palabra ciencia se relaciona con una metodología fundamentada y racional para
el estudio y resolución de los problemas.
 La resolución de problemas utilizando las herramientas informáticas puede tener
aplicaciones en áreas muy diferentes tales como biología, comercio, control
industrial, administración, robótica, educación, arquitectura, diseño, etc.
Los temas propios de la ciencia Informática abarcan aspectos tales como la arquitectura
física y lógica de las computadoras, las metodologías de análisis y diseño de sistemas de
software, los lenguajes de programación, los sistemas operativos, la inteligencia artificial, los
sistemas de tiempo real, el diseño y aplicación de bases de datos, etc.
Aplicaciones de la informática
“El grado de inteligencia que atribuimos al comportamiento de algo está determinado
tanto por nuestra propia capacidad y comprensión como por las propiedades del
objeto que analizamos”.
Alan Turing.
El universo de las aplicaciones informáticas es esencialmente multidisciplinario.
Las aplicaciones que pueden desarrollarse con una computadora van desde un sistema de
gestión comercial, administrativo, hasta sistemas expertos que ayudan en la toma de
decisiones, diseño asistido, controladores de vuelo automáticos, máquinas jugadoras de
ajedrez, etc.
En esta tarea están involucradas personas de distintas disciplinas: matemáticos, ingenieros
e informáticos. Los matemáticos brindan las herramientas básicas para que tanto ingenieros
como informáticos puedan desarrollar su labor.
Por otro lado se encuentran los usuarios de las aplicaciones, que van desde especialistas
que utilizan una determinada herramienta (economistas, docentes, músicos, médicos,

arquitectos, etc.) hasta entusiastas que navegan por Internet o juegan con un simulador de
vuelo.
COMPONENTES Y FUNCIONAMIENTO BÁSICO DE UNA
COMPUTADORA
Recordemos la definición que dimos de computadora:
Una Computadora es una máquina digital y sincrónica, con cierta capacidad de cálculo
numérico y lógico, controlada por un programa almacenado, y con posibilidad de
comunicación con el mundo exterior.
La mayoría de las computadoras actuales de propósito general presentan una estructura
interna basada en la arquitectura definida por John Von Neumann.
Esta estructura interna debe contener aquellos componentes que permitan realizar el
procesamiento de datos útiles para el problema a resolver.
Dado que se utilizará un programa que controlará la sucesión de pasos a seguir, será
necesario no solamente tener una unidad de cálculo sino también una unidad de memoria.
Podrá también, ser necesario interactuar con el mundo exterior, tanto para obtener datos
como para entregar resultados, por lo que unidades que se encarguen de la entrada y la
salida de valores podrán estar presentes.
Teniendo en cuenta lo anteriormente expresado, podemos esquematizarla de la siguiente
manera
En el gráfico se ha dividido conceptualmente la memoria Principal M en dos partes:

memoria de instrucciones Mi donde residen las órdenes que la computadora debe
interpretar y ejecutar, y memoria de datos Md donde se almacena la información con la
cual la computadora realizará los procesos (cálculos, decisiones, actualizaciones) que sean
necesarios para la resolución del problema.
El bloque rotulado como Entrada/Salida representa los dispositivos que permiten la
comunicación con el mundo real. Por ejemplo, el controlador de video que vincula el
procesador central de la computadora con la pantalla o el circuito controlador de multimedia
que permite tener salida por un parlante o entrada por un micrófono.
Las líneas de comunicación indicadas como bus de comunicaciones normalmente permiten
el paso de tres grandes categorías de información: direcciones, datos y control. En el
esquema simplificado se acepta que estas líneas permiten la comunicación interna y externa
de datos, direcciones y señales de control.
Por último, tradicionalmente la combinación de la unidad de control UC y la unidad de
cálculo UAL se la llama unidad central de procesamiento UCP, que en las computadoras
personales está representada por el microprocesador (por ejemplo Pentium).
El funcionamiento de una Computadora, descripta como en el modelo anterior, se puede
sintetizar con el siguiente esquema:
Esto representa una secuencia infinita de pasos:
 Buscar la próxima instrucción a ejecutar Ιi de la memoria de instrucciones Mi
 Interpretar qué hacer con Ιi en la Unidad de Control (UC).

 Ejecutar las operaciones interpretadas por UC, utilizando la UAL de ser necesario.
Estas operaciones pueden comprender lectura/escritura de la memoria de datos Md
o entrada/salida por los periféricos Pe o Ps.
En capítulos posteriores trataremos más en detalle sobre la estructura interna y el
funcionamiento de las computadoras. Para finalizar, damos algunos conceptos:
El hardware se refiere a las componentes físicas de la computadora.
El software comprende los programas que se ejecutan sobre la computadora.
Un bit (dígito binario o binary dígit) es la unidad de información más pequeña. Solo puede
tener uno de dos valores: encendido o apagado (0 o 1, si o no, blanco o negro, etc.).
La Unidad Central de Procesamiento (UCP) o en su acrónimo en ingles CPU, es la
encargada de interpretar y llevar a cabo las instrucciones de los programas. Efectúa
manipulaciones aritméticas y lógicas con los datos y se comunica con las demás partes del
sistema de cómputo.

Capitulo 2 – Hardware y Software
PARTE 2
HARDWARE Y SOFTWARE
“A primera vista parecía un procesador de palabras Wang..., tenía un teclado Wang
y un revestimiento Wang. Solamente cuando Richard Hagstrom le miró por segunda
vez vio que el revestimiento había sido abierto (y no con cuidado, además; le pareció
como si el trabajo se hubiera hecho con una sierra casera) para encajar en él un
tubo catódico IBM ligeramente más grueso. Los discos de archivo que habían
llegado con ese extraño bastardo no eran nada flexibles; eran tan duros como los
disparos que Richard había oído de niño.
-Por el amor de Dios, ¿qué es esto? -preguntó Lina, cuando él y Mr. Nordhoff lo
trasladaron penosamente hasta su despacho.”
Stephen King, El Ordenador de los dioses
HARDWARE Y SOFTWARE
La computadora presenta dos aspectos íntimamente relacionados: el hardware y el
software. La palabra inglesa hardware se refiere a aquella parte “dura” o material. El
término software designa aquella otra parte “blanda” o lógica. Así pues, etimológicamente,
la computadora se compone de una parte dura y de una parte blanda. Estas expresiones
han de entenderse metafóricamente. Significan que existen unos elementos materiales o
tangibles, los que forman el llamado soporte físico del procesamiento de la información
como los circuitos, los aparatos y terminales y también unos elementos intangibles de
programación, que se designan como soporte lógico.
Hardware
Es el conjunto de elementos físicos (máquinas y circuitos) y puede ser comparado
con la fuerza; el hardware difícilmente puede ser modificado, y abarca todos los
componentes materiales de la propia computadora, sean mecánicos, eléctricos o
electrónicos, así como las unidades periféricas, sean teclados, impresoras,
monitores, etc..
Son todos los elementos físicos de un sistema informático, es decir, todos los materiales que
lo componen, como la propia computadora, los dispositivos externos, los cables, en
definitiva todos aquellos elementos que tienen entidad física.
Son dispositivos eléctricos, electrónicos y mecánicos que se usan para procesar datos.

Esquema Básico del Hardware
UNIDAD CENTRAL DE PROCESO:
La unidad central de proceso (UCP o CPU, Central Process Unit) es la encargada de
interpretar ordenadamente las instrucciones almacenadas en la memoria para poder ser
ejecutadas. La unidad central de proceso actúa como el cerebro de la unidad central
multiusuario, y se encarga del control general y del envío de información a todos los demás
elementos de la máquina (memoria principal y periféricos).
La unidad central de proceso está formada por la Unidad de Control (UC), incluyendo los
registros en los que se almacena temporalmente la información manejada por la unidad
central de proceso y la Unidad Operativa o Unidad Aritmético-Lógica (ALU).
La CPU es el centro neurálgico de cualquier sistema de ordenador digital, ya que es el que
coordina y controla las actividades de todas las unidades periféricas y realiza los procesos
de cómputos aritméticos y comparaciones lógicas que han de efectuarse con los datos.
Todas las instrucciones de programas que vayan a procesarse deben cargarse previamente
en esta unidad.
Las funciones del CPU son: -representa datos e instrucciones
Memoria Secundaria
Memora Principal
Unidad Central de Proceso
Periféricos
de
Entrada
Periféricos
de SalidaUnidad de Control
Unidad aritmética - lógica
Procesador

-almacena los datos en la memoria
-los transfiere internamente de una unidad a otra
-interpreta y ejecuta las instrucciones.
UNIDAD ARITMÉTICO-LÓGICA:
Ejecuta las instrucciones de tipo aritmético (como las cuatro operaciones básicas) y de tipo
lógico (comparaciones).
La instrucción concreta a realizar le viene regida por la señal que le manda la Unidad de
control, aunque lo ejecuta de manera autónoma.
Recoge los datos a operar (operando) de lo registros convenientes y proporciona resultados
en un registro al efecto.
LA UNIDAD DE CONTROL
Dirige todas las actividades del ordenador. Para ello dispone de un sincronizador, que es un
reloj electrónico que intervalos regulares genera impulsos eléctricos que marcan un ciclo de
base, el ciclo de maquina.
La ejecución de todas las operaciones elementales requiere un tiempo múltiplo de este ciclo
de maquina. En los ordenadores modernos el ciclo de maquina suele ser de unos pocos
nanosegundos.
No hay que confundir el ciclo de maquina con el ciclo de memoria, este ultimo es el tiempo
necesario para leer o escribir una posición de la memoria.
En base a la sincronización que le otorga el sincronizador y consumiendo el ciclo de
maquina que hagan falta, la unidad de control, realiza las siguientes funciones:
- determina la secuencia en que las instrucciones deben ejecutarse
- interpreta la instrucción a ejecutar y encarga su materialización a la UAL, si es de tipo
aritmético o lógica, o al canal si es de entrada o salida de datos.
- Se encarga de establecer la comunicación entre la UAL y la memoria principal a través
de los registros.
Los elementos que contienen la unidad de control son: Contador de Programa, Registro de
Instrucciones, Decodificador, Reloj, Secuenciador.
LA MEMORIA PRINCIPAL DE LA COMPUTADORA
Memoria, también llamada memoria de ordenador en España, se refiere a componentes de
una computadora, dispositivos y medios de grabación que retienen datos informáticos
durante algún intervalo de tiempo. Las memorias de computadora proporcionan una de las
principales funciones de la computación moderna, la retención de información. Es uno de los
componentes fundamentales de todas las computadoras modernos que, acoplados a una

Unidad Central de Proceso (CPU por su acrónimo en inglés), implementa lo fundamental del
modelo de computadora de Von Neumann, usado desde los años 1940.
En la actualidad, memoria suele referirse a una forma de almacenamiento de estado sólido
conocido como Memoria RAM (memoria de acceso aleatorio, RAM por sus siglas en inglés
Random Access Memory) y otras veces se refiere a otras formas de almacenamiento rápido
pero temporal. De forma similar, almacenamiento se refiere a formas de almacenamiento
masivo como Discos ópticos y tipos de almacenamiento magnético como discos duros y
otros tipos de almacenamiento más lentos que las memorias RAM, pero de naturaleza más
permanente.
La CPU, por medio de la memoria principal, la unidad de control y la unidad aritmético-lógica
realiza las funciones siguientes:
 Representa datos e instrucciones.
 Almacena los mismos en la memoria.
 Los transfiere internamente de una unidad a otra.
 Interpreta y ejecuta las instrucciones.
La memoria es el lugar donde residen los datos e instrucciones y para operar con ellos es
necesario llevarlos a la unidad aritmético-lógica. Los datos se representan internamente en
la memoria principal mediante dígitos binarios (bits), éstos se agrupan en conjuntos de ocho
unidades denominados bytes. La computadora emplea el sistema binario, pues, los dígitos
de este sistema (cero y uno) pueden hacerse corresponder directamente con los estados
posibles de un interruptor, es decir prendido o apagado.
La Memoria de la computadora
Las computadoras personales utilizan dos tipos, memoria de solo lectura ROM (Read Only
Memory) y memoria de acceso aleatorio o RAM (Random Access Memory). La memoria
ROM de las PC almacena ciertos programas e información que necesita la computadora al
encenderse. Estas instrucciones están grabadas y permanecen inalterables en el chip de
memoria ROM, no pueden ser modificadas por el usuario, de ahí el calificativo de solo
lectura. Se la conoce también como memoria no volátil porque no desaparece o se borra
cuando se desconecta la electricidad. Las instrucciones básicas que se necesitan para
arrancar una PC están almacenadas en la memoria ROM. A veces algunos programas
utilitarios que suelen distribuirse junto con la PC vienen contenidos en memorias de este
tipo.
La memoria RAM se usa para almacenar los programas necesarios para el funcionamiento
de la computadora. Sin embargo dentro de la memoria RAM el usuario puede cambiar la

información, almacenarla o borrarla. La capacidad de la RAM afecta la forma en que se
corren los programas y la cantidad de datos que pueden procesarse. La RAM es una
memoria volátil; a menos que se guarde en algún dispositivo de almacenamiento secundario
(por ejemplo un disquete), se pierde cuando la computadora se desconecta o se apaga.
El tamaño de la memoria se mide por la cantidad de bytes que puede almacenar,
expresándose de la siguiente forma:
1 KB = 1 Kilo byte = 1.024 bytes
1 MB = 1 Megabyte = 1.024.000 bytes = 1.000 Kilobytes
1 GB = 1 Gigabyte = 1.024.000.000 bytes = 1.000 Megabytes
PERIFERICOS
En informática, se denomina periféricos a los aparatos y/o dispositivos auxiliares e
independientes conectados a la unidad central de procesamiento de una computadora.
Se consideran periféricos tanto a las unidades o dispositivos a través de los cuales la
computadora se comunica con el mundo exterior, como a los sistemas que almacenan o
archivan la información, sirviendo de memoria auxiliar de la memoria principal.
Se entenderá por periférico al conjunto de dispositivos que, sin pertenecer al núcleo
fundamental de la computadora, formado por la CPU y la memoria central, permitan realizar
operaciones de entrada/salida (E/S) complementarias al proceso de datos que realiza la
CPU. Estas tres unidades básicas en un computador, CPU, memoria central y el subsistema
de E/S, están comunicadas entre sí por tres buses o canales de comunicación:
 direcciones, para seleccionar la dirección del dato o del periférico al que se quiere
acceder,
 control, básicamente para seleccionar la operación a realizar sobre el dato
(principalmente lectura, escritura o modificación) y
 datos, por donde circulan los datos.
A pesar de que el término periférico implica a menudo el concepto de “adicional pero no
esencial”, muchos de ellos son elementos fundamentales para un sistema informático. El
teclado y el monitor, imprescindibles en cualquier computadora personal de hoy en día (no lo
fueron en los primeros computadores), son posiblemente los periféricos más comunes, y es
posible que mucha gente no los considere como tal debido a que generalmente se toman

como parte necesaria de una computadora. El ratón o mouse es posiblemente el ejemplo
más claro de este aspecto. Hace menos de 20 años no todos las computadora personales
incluían este dispositivo. El sistema operativo MS-DOS, el más común en esa época, tenía
una interfaz de línea de comandos para la que no era necesario el empleo de un ratón, todo
se hacía mediante comandos de texto. Fue con la popularización de Finder, sistema
operativo de la Macintosh de Apple y la posterior aparición de Windows cuando el ratón
comenzó a ser un elemento imprescindible en cualquier hogar dotado de una computadora
personal. Actualmente existen sistemas operativos con interfaz de texto que pueden
prescindir del ratón como, por ejemplo, algunos sistemas básicos de UNIX y GNU/Linux.
Periféricos de entrada
Son los que permiten introducir datos externos a la computadora para su posterior
tratamiento por parte de la CPU. Estos datos pueden provenir de distintas fuentes, siendo la
principal un ser humano. Los periféricos de entrada más habituales son:
 Teclado
 Micrófono
 Escáner
 Ratón o mouse
 Escáner de código de barras
 Cámara web
 Lápiz óptico
 Cámara digital
Periféricos de salida
Son los que reciben la información procesada por la CPU y la reproducen, de modo que sea
perceptible por el usuario. Algunos ejemplos son:
 Visualizador
 Monitor
 Impresora
 Fax
 Tarjeta de sonido
 Altavoz
 Proyector digital
 Auriculares

Periféricos de almacenamiento
Se encargan de guardar los datos de los que hace uso la CPU, para que ésta pueda hacer
uso de ellos una vez que han sido eliminados de la memoria principal, ya que ésta se borra
cada vez que se apaga la computadora. Pueden ser internos, como un disco duro, o
extraíbles, como un CD. Los más comunes son:
 Disco duro
 Disquete
 Unidad de CD
 Unidad de DVD
 Unidad de Blu-ray Disc
 Memoria flash
 Memoria USB
 Cinta magnética
 Tarjeta perforada
 Memoria portátil
 Otros dispositivos de almacenamiento:
o Zip (Iomega): Caben 100 Mb y utiliza tecnología magnética.
o EZFlyer (SyQuest): Caben 230 Mb y tiene una velocidad de lectura muy alta
o SuperDisk LS-120: Caben 200 Mb y utilizan tecnología magneto-óptica.
o Magneto-ópticos de 3,5: Caben de 128 Mb a 640 Mb
o Jaz (Iomega): Similar al dispositivo Zip y con capacidad de 1 GB a 2 GB.
Periféricos de comunicación
Su función es permitir o facilitar la interacción entre dos o más computadoras, o entre una
computadora y otro periférico externo a la computadora. Entre ellos se encuentran los
siguientes:
 Fax-Módem
 Tarjeta de red
 Concentrador
 Conmutador
 Enrutador
 Tarjeta inalámbrica
 Tarjeta Bluetooth

LA NECESIDAD DEL "SOFTWARE”
Hemos visto que la Informática es la ciencia que estudia el análisis y resolución de
problemas utilizando computadoras.
También se ha mencionado que el mundo real es naturalmente complejo y los problemas
a resolver con herramientas informáticas pueden ser muy variados.
Hemos analizado el funcionamiento esencial de una Computadora como una máquina
digital y sincrónica, con cierta capacidad de cálculo numérico y lógico, controlada por un
programa almacenado, y con posibilidad de comunicación con el mundo exterior.
Nuestras computadoras, como herramientas de resolución de problemas son muy pobres, si
no disponemos de programas adecuados para utilizarlas.
En síntesis, la distancia entre los usuarios (que tienen los problemas del mundo real) y las
computadoras (que los podrían ayudar a resolver) requiere un puente lógico y conceptual
que está constituido por el software.
Precisamente, gran parte de la actividad profesional de un egresado de Informática es
desarrollar Ingeniería de Software, que es el área de la Ciencia Informática que trata el
análisis, diseño e implementación de sistemas de software.
La producción de sistemas de software (que constituyen el puente útil entre el usuario y la
computadora) es una actividad industrial que requiere métodos, herramientas y
procedimientos que se estudian a lo largo de la carrera.

SOFTWARE
CONCEPTO DE SOFTWARE
Software, palabra proveniente del inglés (literalmente: partes blandas o suaves), que en
nuestro idioma no posee una traducción adecuada al contexto, por lo cual se la utiliza
asiduamente sin traducir y fue adoptada por la Real Academia Española (RAE). Se refiere al
equipamiento lógico o soporte lógico de un computador digital, comprende el conjunto de los
componentes lógicos necesarios para hacer posible la realización de una tarea específica,
en contraposición a los componentes físicos del sistema (hardware). Tales componentes
lógicos incluyen, entre otras, aplicaciones informáticas tales como procesador de textos, que
permite al usuario realizar todas las tareas concernientes a edición de textos; software de
sistema, tal como un sistema operativo, el que, básicamente, permite al resto de los
programas funcionar adecuadamente, facilitando la interacción con los componentes físicos
y el resto de las aplicaciones, también provee una interface ante el usuario. EL software es
capaz de hacer que un computador ejecute una tarea u obtenga un resultado. El software es
la parte lógica que dota al equipo físico de capacidad para realiza cualquier tipo de trabajo.
Otra definición
Conjunto de Instrucciones de programa de computador que dirige la operación del hardware.
Un conjunto de instrucciones para una tarea específica se llama Rutina.
Un conjunto completo de instrucciones para ejecutar un conjunto de tareas relacionadas se
llama PROGRAMA.
CLASIFICACIÓN DEL SOFTWARE
Si bien esta distinción es, en cierto modo, arbitraria, y a veces confusa, a los fines prácticos
se puede clasificar al software en tres grandes tipos:
 Software de sistema: Su objetivo es desvincular adecuadamente al usuario y al
programador de los detalles del sistema informático en particular que se use,
aislándolo especialmente del procesamiento referido a las características internas
de: memoria, discos, puertos y dispositivos de comunicaciones, impresoras,
pantallas, teclados, etc. El software de sistema le procura al usuario y programador
adecuadas interfaces de alto nivel, controlador, herramientas y utilidades de apoyo
que permiten el mantenimiento del sistema global. Incluye entre otros:
o Sistemas operativos
o Controladores de dispositivos
o Herramientas de diagnóstico

o Herramientas de Corrección y Optimización
o Servidores
o Utilidades
 Software de programación: Es el conjunto de herramientas que permiten al
programador desarrollar programas informáticos, usando diferentes alternativas y
lenguajes de programación, de una manera práctica. Incluyen básicamente:
o Editores de texto
o Compiladores
o Intérpretes
o Enlazadores
o Depuradores
o Entornos de Desarrollo Integrados (IDE): Agrupan las anteriores
herramientas, usualmente en un entorno visual, de forma tal que el
programador no necesite introducir múltiples comandos para compilar,
interpretar, depurar, etc. Habitualmente cuentan con una avanzada interfaz
gráfica de usuario (GUI).
 Software de aplicación: Es aquel que permite a los usuarios llevar a cabo una o
varias tareas específicas, en cualquier campo de actividad susceptible de ser
automatizado o asistido, con especial énfasis en los negocios. Incluye entre muchos
otros:
o Aplicaciones para Control de sistemas y automatización industrial
o Aplicaciones ofimáticas
o Software educativo
o Software empresarial
o Bases de datos
o Telecomunicaciones (por ejemplo Internet y toda su estructura lógica)
o Videojuegos
o Software médico
o Software de cálculo Numérico y simbólico.
o Software de diseño asistido (CAD)
o Software de control numérico (CAM)
SOFTWARE DE SISTEMA
Estos programas son considerados como los principales de una computadora. Debido a que
si la computadora no tiene un sistema operativo esta no funciona.
De esta manera podemos definir a un sistema operativo como el programa que toma el
control de los recursos físicos y lógicos de la computadora; así como también administrar la

información almacenada en ella.
El Sistema Operativo: Es un administrador de recursos, tales como:
Proceso de entradas y salidas - Memoria - Archivos
Es un conjunto de programas y funciones que controlan el funcionamiento del hardware
ofreciendo al usuario una vía sencilla y flexible de acceso a la computadora.
 El sistema operativo cumple varias funciones:
Administración del procesador: el sistema operativo administra la distribución del procesador
entre los distintos programas por medio de un algoritmo de programación. El tipo de
programador depende completamente del sistema operativo, según el objetivo deseado.
Gestión de la memoria de acceso aleatorio: el sistema operativo se encarga de gestionar el
espacio de memoria asignado para cada aplicación y para cada usuario, si resulta
pertinente. Cuando la memoria física es insuficiente, el sistema operativo puede crear una
zona de memoria en el disco duro, denominada "memoria virtual". La memoria virtual
permite ejecutar aplicaciones que requieren una memoria superior a la memoria RAM
disponible en el sistema. Sin embargo, esta memoria es mucho más lenta.
Gestión de entradas/salidas: el sistema operativo permite unificar y controlar el acceso de
los programas a los recursos materiales a través de los drivers (también conocidos como
administradores periféricos o de entrada/salida).
Gestión de ejecución de aplicaciones: el sistema operativo se encarga de que las
aplicaciones se ejecuten sin problemas asignándoles los recursos que éstas necesitan para
funcionar. Esto significa que si una aplicación no responde correctamente puede "sucumbir".
Administración de autorizaciones: el sistema operativo se encarga de la seguridad en
relación con la ejecución de programas garantizando que los recursos sean utilizados sólo
por programas y usuarios que posean las autorizaciones correspondientes.
Gestión de archivos: el sistema operativo gestiona la lectura y escritura en el sistema de
archivos, y las autorizaciones de acceso a archivos de aplicaciones y usuarios.
Gestión de la información: el sistema operativo proporciona cierta cantidad de indicadores
que pueden utilizarse para diagnosticar el funcionamiento correcto del equipo.
Los sistemas operativos controlan diferentes procesos de la computadora. Un proceso
importante es la interpretación de los comandos que permiten al usuario comunicarse con el
ordenador. Algunos intérpretes de instrucciones están basados en texto y exigen que las
instrucciones sean tecleadas. Otros están basados en gráficos, y permiten al usuario
comunicarse señalando y haciendo clic en un icono. Por lo general, los intérpretes basados

en gráficos son más sencillos de utilizar.
 Los sistemas operativos pueden ser: de tarea única o multitarea.
Los sistemas operativos de tarea única, más primitivos, sólo pueden manejar un proceso en
cada momento. Por ejemplo, cuando la computadora está imprimiendo un documento, no
puede iniciar otro proceso ni responder a nuevas instrucciones hasta que se termine la
impresión.
Todos los sistemas operativos modernos son multitarea y pueden ejecutar varios procesos
simultáneamente. En la mayoría de los ordenadores sólo hay una UCP; un sistema
operativo multitarea crea la ilusión de que varios procesos se ejecutan simultáneamente en
la UCP. El mecanismo que se emplea más a menudo para lograr esta ilusión es la multitarea
por segmentación de tiempos, en la que cada proceso se ejecuta individualmente durante un
periodo de tiempo determinado. Si el proceso no finaliza en el tiempo asignado, se
suspende y se ejecuta otro proceso. El sistema operativo se encarga de controlar el estado
de los procesos suspendidos. También cuenta con un mecanismo llamado planificador que
determina el siguiente proceso que debe ejecutarse. El planificador ejecuta los procesos
basándose en su prioridad para minimizar el retraso percibido por el usuario. Los procesos
parecen efectuarse simultáneamente por la alta velocidad del cambio de contexto.
 Los sistemas operativos se clasifican en:
Sistema operativo monousuario.
Este tipo de sistema operativo puede ser utilizado solamente por un usuario a la vez. Por
ejemplo: MS-DOS, OS/2 v. 3.0, Windows 95, Windows 98, Windows Me y Windows XP son
sistemas operativos monousuarios.
Sistema operativo multiusuario.
Es un sistema operativo que puede ser utilizado por varios usuarios al mismo tiempo. Por
ejemplo: Unix, Solaris y Windows 2000 (Terminal server) son sistemas operativos
multiusuarios.
Sistema operativo de red.
Sistema operativo que permite la conexión entre varias computadoras personales y
compartir sus recursos entre ellas. Por ejemplo: Novell, Windows NT, Windows 2000
Professional, Windows 2000 Server, Windows XP Professional y Windows 2003 Server y
Professional son sistemas operativos de red.

Algunos ejemplos de Sistemas Operativos
Familias de Sistemas operativos para distintas plataformas Hardware:
Familia OSBOS
. BeOS, Haiku, Zeta, BlueEyedOS, Cosmoe, BeFree, Sequel, Mockup/BeOS
Familia Amiga
. AmigaOS, WarpOS (AmigaOS + subsistema PowerPC), MorphOS
Familia Macintosh
. Mac OS, Mac OS X
Familia QNX
. RTOS, Neutrino, RTP
Familia DOS
. MS-DOS, DR-DOS (antiguo DOS Plus o CP/M) , PC-DOS, FreeDOS, Novell DOS, QDOS
Familia Windows
. Windows, Windows NT, Windows Ce, XP 64 bits, Vista, Windows Mobile, Windows Tablet
Familia IBM
. OS/2, Warp, eComStation, OS/360, OS/370, OS/390, OS/400
Familia UNIX
. AIX, AMIX, GNU/Linux (Distribuciones), GNU/Hurd, HP-UX, Irix, Minix, System V, Solaris,
UnixWare, LynxOS, Xenix, Digital UNIX, SCO Unix
Familia BSD
. FreeBSD, DragonFlyBSD, NetBSD, VINO, OpenBSD, PicoBSD, Darwin, GNU/Darwin
Familia Mach
. GNU/Hurd, BSD lites, Mac OS X, NEXTSTEP, YAMIT, MKlinux
Sistemas operativos académicos o experimentales (Betas)
. Chorus/Jaluna, Amoeba, MIT Exokernel, BriX
. Plan9, VMS, Tron , Aos (Bluebottle)
Actualmente los sistemas operativos más usados son la familia Windows y la familia UNIX.

Para Móviles
A medida que los teléfonos móviles crecen en popularidad, los sistemas operativos con los
que funcionan adquieren mayor importancia. La cuota de mercado de sistemas operativos
móviles a mediados de 2012 era el siguiente:
1. Android 68,1% (En países como España las diferencias son más significativas,
donde Android tiene el 87% de la cuota de mercado.
2. iOS 16,9%
3. BlackBerry OS 4,8%
4. Symbian OS 4,4%
5. Windows Phone y Windows Mobile 3,5 %
6. Linux u otros 2,3%
SOFTWARE DE DESARROLLO
Este tipo de software es el que no proporciona diferentes herramientas necesarias para
ayudar al usuario a realizar el desarrollo de programas informáticos. Es un conjunto de
órdenes, sentencias, mandatos o instrucciones que permiten codificar algoritmos para luego

ser ejecutados en una computadora.
Lenguajes de Programación
Los lenguajes de programación nos permiten crear aplicaciones para resolver problemas
específicos de empresas o personas a través de la computadora. Un lenguaje de
programación esta formado por un conjunto de palabras (Instrucciones) y una serie de
reglas para escribir adecuadamente estas palabras (Sintaxis) con la finalidad de que sean
entendibles por la computadora.
Un programa es un conjunto de instrucciones con secuencia lógica para realizar una
tarea específica en la computadora.
Los lenguajes utilizados para escribir programas de computadoras que puedan ser
entendidos por ellas se denominan lenguajes de programación.
Los lenguajes de programación se clasifican en tres grandes categorías:
 Maquina  Bajo Nivel  Alto Nivel
Lenguaje de Máquina
Los lenguajes máquina, son aquellos cuyas instrucciones son directamente entendibles por
la computadora y no necesitan traducción posterior para que la UCP, pueda entender y
ejecutar el programa.
Las instrucciones en lenguaje de maquina, se expresan en términos de la unidad de
memoria más pequeña, el bit (digito binario 0 o 1), en esencia una secuencia de bits que
especifican la operación y las celdas implicadas en una operación. Una serie de
instrucciones en lenguaje maquina son:
0010 0000 0000 1001 1001 0001 1001 1110
Como se puede observar, estas instrucciones serán fáciles de leer por la computadora y
difíciles por un programador, y viceversa. Esta razón hace difícil escribir programas en
código o lenguaje a maquina y requiere buscar otro lenguaje pare comunicarse con la
computadora, pero que sea mas fácil de escribir y leer por el programador.
Para evitar la tediosa tarea de escribir programas en lenguaje maquina, se han diseñado
otros lenguajes de programación que facilitan la escritura y posterior ejecución de los
programas.
Estos lenguajes son los de bajo y alto nivel.

Lenguajes de Bajo Nivel (ensambladores)
La programación en lenguaje maquina es difícil, por ello se necesitan lenguajes que
permitan simplificar este proceso. Los lenguajes de bajo nivel han sido diseñados para ese
fin. Estos lenguajes dependen de la maquina, es decir, dependen de un conjunto de
instrucciones especificas de la computadora.
Un lenguaje típico de bajo nivel es el lenguaje ensamblador. En este lenguaje las
instrucciones se escriben en códigos alfabéticos conocidos como nemotécnicos
(abreviaturas de palabras inglesas o españolas). Así, por ejemplo, nemotécnicos típicos son:
ADD suma
MPY multiplicar
Las palabras nemotécnicas son mucho más fáciles de recordar que las secuencias de
dígitos 0 y 1. Una instrucción típica en ensamblador puede ser:
ADD X, Y, Z
Esta instrucción significa que se deben sumar los números almacenados en las direcciones
x, y y almacenar el resultado en la dirección z.
El programa ensamblador traducirá la instrucción a código de maquina.
Por ejemplo:
ADD se puede traducir a 1110
x se puede traducir por 1001
Lenguajes de Alto Nivel
Los lenguajes de programación de alto nivel son aquellos en los que las instrucciones o
sentencias a la computadora son escritas con palabras similares a los lenguajes humanos --
en general lenguaje inglés, como es el caso de QuickBASIC--, lo que facilita la escritura y la
fácil compresión por el programador.
Por ejemplo, la línea siguiente es una línea de un programa QuickBASIC:
IF (x=y) AND (z=w) THEN PRINT "Esto es una prueba"
Que simbólicamente quiere decir:
si (x=y) y (z=w) entonces escribir "Esto es una prueba"
Esta línea se puede comprender fácilmente conociendo la traducción de las palabras
inglesas IF (si), THEN (entonces), PRINT (escribir / imprimir), AND (y) y sin necesidad de

mucha explicación.
Características:
Los lenguajes de programación son transportables. Significa que un programa escrito en un
lenguaje de alto nivel se puede escribir con poca o ninguna modificación en diferentes tipos
de computadoras.
Otra propiedad de estos lenguajes es que son independientes de la máquina, es decir, las
sentencias del programa no dependen del diseño o hardware de una computadora
especifica.
Los programas escritos en lenguaje de alto nivel no son entendibles directamente la
máquina. Necesitan ser traducidos a instrucciones en lenguaje máquina que entiendan las
computadoras.
Los programas que realizan esta traducción se llaman compiladores, y los programas
escritos en un lenguaje de alto nivel se llaman programas fuentes,
El compilador traduce el programa fuente en un programa llamado programa objeto. Este
programa objeto se utiliza en la fase de ejecución del programa.
Algunas computadoras especialmente microcomputadoras, utilizan unos programas
similares llamados intérpretes que traducen los programas.
El proceso de traducción de un programa fuente a un programa objeto se denomina
interpretación o compilación, según sea el programa.
Un intérprete traduce y ejecuta una instrucción (sentencia) en código fuente, cada vez. Los
programas interpretados generalmente se ejecutan mucho mas lentamente que los
programas compilados; sin embargo, los intérpretes son más fáciles de utilizar y la
depuración de errores es mucho más cómoda.
BASICA y GW-BASIC son intérpretes y QuickBASIC es un compilador. El lenguaje
QuickBASIC realiza la traducción y ejecución cada vez que se ejecuta una línea.
Ejemplos:
Lenguaje Principal área de aplicación
ADA Tiempo real

BASIC Programación para fines educativos
C Programación de sistema
C++ Programación de sistema orientado a objeto
Cobol Administración
Fortran Cálculo
Java Programación orientada a Internet
LISP Inteligencia artificial
Pascal Educación
PHP Desarrollo de sitios web dinámicos
Perl Procesamiento de cadenas de caracteres
SOFTWARE DE APLICACIÓN
Una aplicación es un programa informático diseñado para facilitar al usuario la realización de
un determinado tipo de trabajo. Posee características que le diferencia de un Sistema
Operativo y de un Lenguaje de Programación
Los programas de aplicación están diseñados para realizar una tarea específica
dependiendo de la finalidad para la cual fueron creados. Existe una gran variedad de
programas de aplicación de acuerdo a su uso. Son programas que dirigen el funcionamiento
de la computadora para la realización de trabajos específicos denominados aplicaciones
Planilla de Cálculo
Programas orientados al manejo de información donde se requiera realizar cálculos
matemáticos. Una hoja de cálculo es similar a las hojas tabulares utilizadas en contabilidad y
se desarrollaron para que realicen las mismas funciones que estas con la ventaja de que los
cálculos y la actualización de la información se pueden hacer más rápidos, sencillos y con
menos margen de error.
Es la aplicación que más se utiliza para la mayoría de los documentos que organizan
información numérica, como presupuestos, estados financieros, planillas de calificaciones y
registros de ventas. Una Planilla de Cálculo puede ejecutar operaciones simples o
complejas con los números que ingrese en filas y columnas.

Una planilla de calculo esta compuesta por
Filas (con números)
y
Columnas (con letras)
Crear una grilla
Celda (intersección de fila
con columna)
Ubicaciones para el
texto y los números
Rango (conjunto de celda) Puede ser horizontales,
verticales,
matriciales
A2 : D2
B3 : B9
C3 : F8
Una planilla puede contener:
Numero
Letras
Formulas
Graficos
Ejemplos: Lotus, Quatro pro, Microsoft Excel , Calc son hojas de calculo.
Procesador De Palabras
Programas orientados a la creación de documentos de texto, tienen las funciones similares a
las de una máquina de escribir con la diferencia de tener grandes ventajas en su uso con
respecto a estas.
Los procesadores de palabras han reemplazado a la máquina de escribir como la
herramienta principal para generar documentos sobre papel y poder revisarlos y corregirlos
antes de ser impresos. Un documento grabado puede ser utilizado como plantilla. De ésta
manera el usuario no necesita repetir los documentos comunes desde el principio en cada
modificación. Este es un importante elemento para ahorrar tiempo y ayuda a mantener las
cosas en orden.

Parte de una hoja de trabajo en un Procesador de Texto:
Ejemplos: WordPerfect, Lotus WordPro, Microsoft Word, Write
Gestor de Base De Datos
Programas que permiten manipular grandes cantidades de información, son utilizados para
administrar los sistemas de información de las empresas como control de inventario,
facturación, control escolar, recursos humanos, etc.
Una Base de Datos es un conjunto de datos que se desea administrar, pudiendo agregar,
sacar o modificar esos datos. Es un buen programa para ser utilizado para administrar listas
que no son todos números, como direcciones y números de teléfono, inventarios y listas de
socios. Con una base de datos puede ordenar los datos por nombre, ciudad o código postal
o por cualquier rubro individual de la información registrada. Puede crear formularios para
ingresar o actualizar o solo mostrar los datos. Puede crear informes que muestran
solamente los datos que le interesan, como socios que deben su cuota.
Esta formada por campos, los cuales hacen un archivo, y este conjunto de archivos hacen
un fichero, si este posee una serie de características hacen una base de datos.
Ejemplos: MS Access, dBase, FoxPro, Paradox, Oracle- Base
Diseño gráfico.
Programas orientados al diseño y creación de material publicitario, de dibujo técnico y
artístico. Estos programas hacen más accesible el área de dibujo para que todas las
personas puedan desarrollar su creatividad. Por ejemplo: Autocad, Page Maker, Photo
Draw, Front Page, Corel y Publisher son programas de diseño gráfico y autoedición.
Margen Izquierdo Margen Derecho
Margen Superior
Margen Inferior
Zona Útil de Escritura

Navegadores.
Programas que nos permiten navegar por la red mundial de la información (INTERNET) y
aprovechar al máximo las bondades que nos ofrece Internet. Por ejemplo: NetScape, Opera
e Internet Explorer son algunos programas navegadores.
Multimedia.
Programas orientados a la creación de material donde usted podrá combinar Imágenes,
Sonido y Texto para desarrollar material atractivo en la computadora. Por ejemplo: Flash,
Director, Microsoft Producer, Movie Maker, Corel RAVE y Media Player son programas de
Multimedia.
Antivirus.
Programas orientados a la protección de las computadoras que hayan sido infectadas por
los programas denominados virus. Por ejemplo: Virus Scan, Norton Antivirus y Panda son
programas antivirus.
Presentadores gráficos.
Estos programas permiten generar material de apoyo para la realización de una
presentación. Donde se podrá utilizar Texto, Gráficos, Sonidos, Efectos especiales en los
archivos para lograr un mejor impacto con la audiencia. Por ejemplo: Freelance y
PowerPoint son programas para realizar presentaciones gráficas.
Programas de comunicaciones.
Programas orientados a la comunicación entre computadoras. Por lo general son utilizados
cuando se maneja una red de computadoras, o se quiere dar soporte a distancia de una
computadora a otra. Por ejemplo: PC Anywhere y Outlook son programas de comunicación.
LA INTERFAZ DEL USUARIO CON EL SISTEMA OPERATIVO
El modo en que el sistema operativo se comunica con el usuario constituye la interfaz del
mismo.
La interfaz es particularmente importante para establecer una vinculación amigable entre el
usuario de la computadora y el manejo de la misma que da el sistema operativo.
Históricamente las interfaces estuvieron basadas en comandos formados por palabras
clave que se combinaban con una sintaxis determinada para ser interpretados por el sistema
operativo. Estas interfaces se denominan orientadas a caracteres.
El ejemplo clásico de una interfaz orientada a caracteres es el sistema operativo DOS que
¿todos? conocen de las primitivas PCs.

Las ventajas que tienen las interfaces orientadas a caracteres son su simplicidad,
confiabilidad y poco costo en el desarrollo del sistema operativo que las soporta.
Las desventajas son que requieren un usuario calificado que estudie y conozca los
comandos, lo cual resulta muy restrictivo para la difusión del uso de las computadoras.
En los últimos años se han impuesto las interfaces gráficas que contienen imágenes
representativas (por ejemplo de los archivos o dispositivos o de los comandos), llamadas
iconos que se pueden organizar en menúes que se abren y cierran (menúes
descendentes) y que pueden expandirse en presentaciones dentro de múltiples ventanas
en la pantalla. En todos los casos el dispositivo apuntador a las selecciones del usuario es
fundamentalmente el mouse.
Ventajas de las interfaces gráficas tipo VIMA
VIMA (WIMP en inglés) significa Ventanas, Iconos, Menúes y Apuntadores, como interfaz de
usuario tiene una serie de ventajas:
 Son intuitivas. El usuario no necesita estudiar un manual de comandos para
comprender lo que la imagen le muestra en un menú.
 Son consistentes. Toda una gama de aplicaciones (por ejemplo los múltiples
programas de un Office) tienen la misma forma de interfaz, lo que favorece el
aprendizaje y la seguridad del usuario en su utilización.
 Facilitan el autoaprendizaje al ser repetitivas.
 Incorporan mecanismos de seguridad. Se trata de impedir determinados errores
mediante mensajes y bloqueos para el usuario (por ejemplo borrar inadvertidamente
un disco rígido) y también se trata de permitir “volver atrás”, de modo de corregir
alguna secuencia incorrecta de acciones.
 Incrementan la flexibilidad. En particular se puede usar simultánea o
alternativamente el teclado o el mouse.
¿Cuál es el futuro?
La tendencia es a las interfaces naturales: poder hablar directamente a la computadora
indicando lo que se quiere, y tener una respuesta auditiva o gráfica. Ya existen productos de
hardware y software que permiten manejar un procesador de textos directamente al dictado
de voz, o tener el mailing de una organización por voz.
Las aplicaciones de inteligencia artificial (en particular los agentes inteligentes) aplicados al
manejo de la vinculación entre el sistema operativo y el usuario, tienden a facilitar el trabajo
“interpretando” las elecciones más frecuentes del usuario y los “deseos” según el tipo de
proceso a realizar. Un ejemplo muy elemental de esta tendencia lo constituyen las ayudas

interactivas de algunos productos bajo Windows (por ejemplo el asistente de presentaciones
de Power Point)

Capitulo 1 – Sistemas de Numeración
PARTE 3
SISTEMAS DE NUMERACION
¿Cuántos camellos hay?. Para responder a esta pregunta hay que emplear el
número.¿Serán cuarenta? ¿Serán cien?
Para llegar al resultado el beduino precisa poner en práctica cierta actividad. El beduino necesita
contar.
Para contar, el beduino relaciona cada objeto de la serie con cierto símbolo: uno, dos, tres, cuatro,...
Para dar el resultado de la cuenta, o mejor el número, el beduino precisa inventar un sistema de
numeración.
....”
El hombre que calculaba,
Capítulo XX. Como Beremiz da su 2da clase de matemática
Se denomina sistema de numeración al conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la
representación de datos numéricos o cantidades. Un sistema de numeración se caracteriza
fundamentalmente por su base, que es el número de símbolos distintos que utiliza, y
además es el coeficiente que determina cuál es el valor de cada símbolo dependiendo de la
posición que ocupe
Los sistemas de numeración surgen por la necesidad de representar una cantidad numérica.
Una forma que se nos podría ocurrir es mediante la escritura de tantos “palitos” como
unidades tiene el número. Por ejemplo, si quisiésemos anotar que cumplimos 18 años,
escribiríamos: | | | | | | | | | | | | | | | | | |.
Pero esto no es práctico, y se torna engorroso para cantidades grandes, y más aún para
operar con ellas.
Después de muchos intentos de las distintas civilizaciones comenzaron a utilizarse símbolos
y surgieron dos categorías de sistemas numéricos:
PPPOOOSSSIIICCCIIIOOONNNAAALLLEEESSS NNNOOO
PPPOOOSSSIIICCCIIIOOONNNAAALLLEEESSS
El orden o ubicación de los símbolos
es significativa en la representación del
número. Estos sistemas tienen un
conjunto de símbolos (dígitos del
sistema) y una base (cantidad de
símbolos diferentes que pueden
Las cantidades se expresan mediante la
combinación de símbolos que no tienen
un valor relativo a la posición que ocupan.
Por ejemplo, en el sistema de numeración
romana el 24 es equivalente a XXIV
CCCAAATTTEEEGGGOOORRRÍÍÍAAASSS

ocupar una posición dada)
La categoría que nos ocupa en este trabajo es la primera. Y estableceremos en primer
término, las propiedades que se cumplen en todos los sistemas numéricos posicionales:
La siguiente tabla muestra los sistemas más usuales:
SISTEMAS NUMÉRICOS
Decimal
Binario *
Octal
Hexadecimal **
BASE
10
2
8
16
DÍGITOS DISCRETOS
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,
D, E, F
* Utilizado en electrónica y computación, ya que los símbolos son solamente 0 y 1. El 1
representa el paso de corriente y el 0 la ausencia de ésta (algo así como "prendido" y
"apagado").
** En este caso faltan símbolos, por lo que a los dígitos se agregan algunas letras para
completar el conjunto de dieciséis cifras discretas:
A = 10; B = 11; C = 12; D = 13; E = 14; F = 15
Estos sistemas no son los únicos. Nada nos impide escoger otra base: 3, 4, 5, ..., etc., en
cuyo caso tendremos tantos sistemas numéricos como bases determinemos. En todos
ellos, la forma de contar se puede generalizar en las siguientes reglas que formularemos
a continuación:
RRREEEGGGLLLAAASSS DDDEEE CCCOOONNNTTTEEEOOO
I) Un sistema numérico consiste de un conjunto ordenado de símbolos llamados
dígitos o cifras, con relaciones definidas para la adición (+), sustracción (-),
multiplicación (x) y división (/).
II) La base del sistema numérico es el número total de dígitos permitidos.

Ejemplificando en el sistema decimal lo dicho anteriormente, tenemos:
1 1 1 acarreo
9 19 99
+ 1 + 1 + 1
10 20 100
segunda columna columna de unidades
10 = 1 x 10
20 = 2 x 10
30 = 3 x 10
.
90 = 9 x 10
Lo siguiente pone de manifiesto el principio fundamental de la numeración decimal: toda
cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades diez veces mayores que las que
representa la anterior y viceversa, toda cifra escrita a la derecha de otra representa
unidades diez veces menores que las que representa la anterior.
Por ejemplo, cuando escribimos el número 134,68, significa:
1 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1 + 6 x 0,1 + 8 x 0,01
o equivalentemente en potencias de 10:
1 x 102
+ 3 x 101
+ 4 x 100
+ 6 x 10-1
+ 8 x 10-2
El primer dígito a la izquierda de las unidades representa naturalmente, el número de veces
que se toma diez a la primera potencia, o sea, la decena. El siguiente dígito a la izquierda
representa el número de veces que se toma diez a la segunda potencia, o sea la centena,
etc. Se puede decir que el valor relativo de cada dígito depende de la posición que ocupa
con respecto a un índice. Todos los valores a la izquierda de las unidades se los llama parte
entera y todos aquéllos colocados a la derecha, parte fraccionaria.
I) La base (“b” en adelante) de conteo de un sistema es igual al número de cifras
discretas disponibles.
II) Siempre que una columna ha llegado al último valor discreto y recibe otra unidad,
regresa a 0 (cero) y “acarrea” 1 (uno) a la columna que le sigue en significación a al
izquierda.
III) La columna en el extremo derecho es la menos significativa, cuenta unidades.
Cada conteo en la segunda columna es igual al producto de cada dígito discreto por
la base del sistema.

NÚMERO EN LA BASE “b”
(dn ...d2 d1 d0) b
valores relativos
d0= d0 x b0
d1 = d1 x b1
d2 = d2 x b2
.................
dn = dn x bn
Una cantidad cualquiera en un sistema de base “b” puede expresarse mediante un
polinomio de potencias de la base multiplicadas por un símbolo perteneciente al sistema:
Este polinomio se denomina ecuación generalizada de un sistema de base “b”
Donde: - C es la cantidad representada
- b es la base
- di es un símbolo del sistema con 0 <= di < b
- n es el orden de la parte entera (la parte entera tienen n + 1 cifras)
- m es el orden de la parte fraccionaria (la parte fraccionaria tiene m cifras)
C = dn bn
+ dn-1 bn-1
+ dn-2 bn-2
+ ... + d1 b1
+ d0 b0
+ d-1 b-1
+ d-2 b-2
+ ... + d-m b-m
Parte entera parte fraccionaria
GGGEEENNNEEERRRAAALLLIIIZZZAAANNNDDDOOO

Para convertir al sistema decimal una cantidad C dada en una base b, descomponemos el
número en su expresión polinómica:
Ejemplos :
1) (2406)8 = 2 x 83
+ 4 x 82
+ 0 x 81
+ 6 x 80
= 2 x 512 + 4 x 64 + 0 x 8 + 6 x 1
= 1024 + 256 + 0 + 6
= (1286)10
2) (43)5 = 4 x 51
+ 3 x 50
= 4 x 5 + 3 x 1
= 20 + 3
= (23)10
3) (10111,011)2 = 1 x 24
+ 0 x 23
+ 1 x 22
+ 1 x 21
+ 1 x 20
+ 0 x 2-1
+ 1 x 2-2
+ 1 x 2-3
= 1 x 16 + 0 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 + 0 x 0,5 + 1 x 0,25 + 1 x 0,125
= 16 + 0 + 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25 + 0,125
= (23,375)10
3) (100)4 = 1 x 4 2
+ 0 x 41
+ 0 x 40
= 1 x 16 + 0 x 4 + 0 x 1
= 16 + 0 + 0
= (16)10
4) (202)3 = 2 x 32
+ 0 x 31
+ 2 x 30
= 2 x 9 + 0 x 3 + 2 x 1
= 18 + 0 + 2
= (20)10
PPPRRRIIINNNCCCIIIPPPIIIOOOSSS QQQUUUEEE CCCUUUMMMPPPLLLEEENNN LLLOOOSSS SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS
NNNUUUMMMÉÉÉRRRIIICCCOOOSSS
I) Un número de unidades de un orden cualquiera, igual a la base, forma una
unidad de orden superior.
II) Toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades tantas veces
mayores que las que representa la anterior, como unidades tenga la base. Éste
es el valor relativo de un dígito según su posición
III) En todo sistema, con tantas cifras como unidades tenga la base, contando el
cero, se pueden escribir todos los números
CCCOOONNNVVVEEERRRSSSIIIOOONNNEEESSS DDDEEE UUUNNN SSSIIISSSTTTEEEMMMAAA AAA OOOTTTRRROOO

Nota: estos dos últimos ejemplos nos dan la pauta que la clasificación de números redondos
y no redondos es convencional, porque depende del sistema en el que trabajemos.
Método de conversión del sistema decimal a otro sistema de base b:
Nos interesa expresar una cantidad entera C dada en base 10 en otra base b:
(C)10 (dn dn-1 dn-2 ... d1 d0)b
Sabemos que:
C = dn x bn
+ dn-1 x bn-1
+ dn-2 x bn-2
+ ... + d1 x b1
+ d0 x b0
Dividimos ambos miembros de la igualdad por la base b:
C = dn x bn-1
+ dn-1 x bn-2
+ dn-2 x bn-3
+ ... + d1 x b0
+ d0 primer resto,
b b (ocupará la posición
C1 (primer cociente) menos significativa)
Volvemos a dividir el nuevo cociente por la base:
C1 = dn x bn-2
+ dn-1 x bn-3
+ ... + d2 + d1 segundo resto (ocupará la posición
b b a la izquierda del anterior)
C2 (segundo cociente)
.....................................................................................................
Continuamos dividiendo hasta obtener el último cociente, que estará entre 0 y b:
Cn-1 = dn + dn-1 último resto
b b
Cn (último cociente) Será el dígito más significativo en la representación de la nueva
base.
Ejemplos:
1) (53)10 = (110101)2
53 2
13 26 2
(1) (0) 13 2
(1) 6 2
(0) 3 2
primer resto (1) (1)
Último cociente
2) (107)10 = (153)8
107 8
27 13 8
(3) (5) (1)

3) (752)16 = (2F0)16
752 16
112 47 16
(0) (15) (2)
Método de conversión de un nº fraccionario del sistema decimal a otro de base b:
Nos interesa expresar una cantidad fraccionaria C dada en base 10 en otra base b:
(C)10 (0,d-1 d-2 d-3... d-m )b
Sabemos que:
C = d-1 x b-1
+ d-2 x b-2
+ d-3 x b-3
+ ... + d-m x b-m
- Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por la base b:
b x C = d-1 + d-2 x b-1
+ d-3 x b-2
+ ... + d-m x b-m+1
C1 (parte fraccionaria del producto)
Parte entera. Es el dígito que ocupará el primer lugar después de la coma
- Volvemos a multiplicar C1 por la base b:
b x C1 = d-2 + d-3 x b-1
+... + d-m x b-m+2
C2(parte fraccionaria del producto)
Parte entera. Es el dígito que ocupará el segundo lugar después de la coma
- Multiplicamos ahora C2 por la base b:
b x C2 = d-3 +... + d-m x b-m+3
C3(parte fraccionaria del producto)
Parte entera. Es el dígito que ocupará el tercer lugar después de la coma
............................................................................................
REGLA PRÁCTICA:
1) Dividir el número y los sucesivos cocientes por la base del nuevo sistema hasta
llegar a un cociente menor que el divisor.
2) El nuevo número se forma escribiendo de izquierda a derecha el último cociente y
todos los residuos anteriores hasta el primero, de uno a uno, aunque sean ceros

- Continuamos multiplicando hasta que la parte fraccionaria dé cero
Ejemplos:
1) (0,75)10 = (0,11)2
0,75 0,50
x 2 x 2
1,50 1,00
Segundo dígito después de la coma
Primer dígito después de la coma
2) (0,75)10 = (0,20 )3
0,75 x 3 = 2,25 0,25 x 3 = 0,75 (volvemos al 0,75)
0,75 x 3 = 2,25
0,25 x 3 = 0,75
........................
Así que 0,75 = 0,202020... 3
3) (0,89)10 = (0,6141)7
0,89 x 7 = 6,23
0,23 x 7 = 1,61
0,61 x 7 = 4,27
0,27 x 7 = 1,89 (a partir de acá se repite)
................................................................
Así que 0,89=0,61416141....7
A continuación desarrollaremos el tema referido a tres sistemas de numeración que tienen
estrecha relación en cuanto a los métodos de conversión: el sistema binario (base 2), el
octal (base 8) y el hexadecimal (base 16)
Notemos que 8 = 23
, es decir, cada dígito octal equivale a tres dígitos binarios.
Asimismo, 16 = 24
, entonces, por cada dígito hexadecimal necesitaremos cuatro dígitos
binarios.
Esto nos da la pauta que la conversión binario-octal, octal-binario, binario-hexadecimal,
hexadecimal-binario será mucho más sencilla.
SSSIIISSSTTTEEEMMMAAA NNNUUUMMMÉÉÉRRRIIICCCOOO BBBIIINNNAAARRRIIIOOO

Particularizando las reglas y principios generales que rigen cualquier sistema numérico
posicional, podemos enunciar lo siguiente para el sistema de base 2:
1) Este sistema tiene una base 2 porque sus únicos dígitos permitidos son 0 y 1
2) Dos unidades de un orden forman una de orden superior inmediato
3) Toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades dos veces mayores
que las que representa ésta (... 8, 4, 2, 1)
4) Con dos cifras se pueden escribir todos los números (valor absoluto que tiene
cada número por su figura o símbolo)
Puesto que en este sistema sólo existen 0 y 1, para poder seguir contando una vez que
se han agotado las cifras discretas, no puede emplearse el 2 porque en este sistema no
existe, sino que, como dice la segunda regla de conteo: “siempre que en una columna se
ha llegado al último valor discreto y recibe otra unidad, regresa a 0 y acarrea 1 a la
columna que le sigue en significación a la izquierda”:
1 acarreo
1
+ 1
10
Aplicando la tercera regla de conteo:
Columna: 2ª 1ª
Valor relativo: 2 1
Cantidad representada: 1 0 = 1 x 21
+ 0 x 20
= 2
1 1 = 1 x 21
+ 1 x 20
= 3
En el ejemplo que sigue, vemos que en cada posición se han agotado otra vez los valores
discretos disponibles, por lo que si añadimos otra unidad tendremos que comenzar en 0 y
arrastrar 1 a la siguiente columna situada a la izquierda:
(1)
(1)
1 1
+ 1
CCCOOONNNTTTEEEOOO
BBBIIINNNAAARRRIIIOOO

1 0 0 = 1 x 22
+ 0 x 21
+ 0 x 20
= 4
Si continuamos contando, añadiendo una unidad en la primera columna obtendremos 101,
que equivale al decimal 5. Puesto que hemos llegado nuevamente al último valor discreto
permitido, para seguir contando la columna regresa a 0, arrastrando 1 a la segunda
columna, lo que da 110 para el decimal 6.
Aplicando las reglas y principios generales ya enunciados para cualquier sistema numérico,
tenemos para este caso:
1) Este sistema tiene una base 8 porque sus únicos dígitos permitidos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
y 7.
2) Ocho unidades de un número forman una de orden superior inmediato.
3) Toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades 8 veces mayores que las
que representa ésta (...83
, 82
, 81
, 80
).
Por lo tanto, cada dígito octal tiene 8 veces el peso del siguiente dígito menos significativo a
la derecha, o en forma equivalente, los dígitos octales aumentan por potencias de ocho
Esta base se ha seleccionado deliberadamente debido a que guarda, como ya hemos visto,
una proporción directa con el sistema binario, cuyos dígitos aumentan en potencias de 2.
Así, grupos de tres dígitos binarios, en consecuencia, aumentan por potencias de 8, igual
que los dígitos simples en el sistema octal. La razón por la que la conversión de números
binarios a decimales es tan complicada es por la ausencia de una relación simple entre
potencias de 2 y potencias de 10.
La conversión de los números binarios a octal y viceversa, es sencilla. Simplemente
dividimos el número binario en grupos de tres elementos. Comenzando de derecha a
izquierda y completando con ceros, siempre que se requiera, para formar el último grupo.
Luego es necesario recordar los valores relativos de las tres posiciones de cada grupo.
SSSIIISSSTTTEEEMMMAAA NNNUUUMMMÉÉÉRRRIIICCCOOO OOOCCCTTTAAALLL
CCCOOONNNVVVEEERRRSSSIIIÓÓÓNNN
BBBIIINNNAAARRRIIIAAA---OOOCCCTTTAAALLL

Ejemplo: Conversión del número binario 11101111
421 421 421 valor relativo de cada posición
11101111 = 011 101 111 binario
3 5 7 octal
Comprobemos que el octal 357 representa al binario 11101111, convirtiendo ambos al
decimal equivalente:
(357)8 = 3 x 82
+ 5 x 81
+ 7 x 80
= 3 x 64 + 5 x 8 + 7 x 1
= 192 + 40 + 7
= 239
(11101111)2 = 1 x 27
+1 x 26
+1 x 25
+0 x 24
+1 x 23
+1 x 22
+1 x 21
+1 x 20
= 128 + 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1
= 239
Para convertir un número octal a binario, simplemente se escribe para cada dígito octal un
equivalente en notación binaria, recordando que se requieren tres dígitos binarios para
representar un dígito octal.
Ejemplo: Conversión del número octal 167
167 = 1 6 7
001 110 111 = 1110111
Nota: los dos ceros del primer dígito se suprimen ya que no tienen valor significativo.
El sistema hexadecimal es una combinación de los diez dígitos de 0 a 9 y un grupo adicional
de seis letras del alfabeto, que también se toman como números. Las letras A, B, C, D, E,
F, representan diez, once, doce, trece, catorce, quince, respectivamente.
OOOCCCTTTAAALLL ---BBBIIINNNAAARRRIIIAAA
SSSIIISSSTTTEEEMMMAAA NNNUUUMMMÉÉÉRRRIIICCCOOO HHHEEEXXXAAADDDEEECCCIIIMMMAAALLL

La siguiente tabla establece una comparación entre los sistemas numéricos decimal,
hexadecimal y binario:
DECIMAL HEXADECIMAL BINARIO
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
00000
00001
00010
00011
00100
00101
00110
00111
01000
01001
01010
01011
01100
01101
01110
01111
10000
10001
10010
10011
10100
Procedemos de manera análoga a la conversión binaria-octal , pero recordando en este
caso que cada cuatro dígitos binarios obtendremos un dígito hexadecimal. Por lo tanto,
formaremos cuaternas comenzando de derecha a izquierda para la parte entera
(completando con ceros no significativos a la izquierda en el último grupo en caso de
necesitarlo) y de izquierda a derecha para la parte fraccionaria (también completando con
ceros no significativos a la derecha, si se requiere, para formar el último grupo)
Ejemplo: Conversión del binario 11011110,11011
8421 8421 8421 8421 valor relativo de cada posición
11011110,11011 = 1101 1110, 1101 1000 binario
D E, D 8 hexadecimal
Comprobemos que el hexadecimal DE,D8 representa al binario 11011110,11011,
convirtiendo ambos al decimal equivalente:
BBBIIINNNAAARRRIIIAAA---
HHHEEEXXXAAADDDEEECCCIIIMMMAAALLL

(DE,D8)16 = D x 161
+ E x 160
+ D x 16-1
+ 8 x 16-2
= 13 x 16 + 14 x 1 + 13 x 0,0625 + 8 x 0,00390625
= 208 + 14 + 0,8125 + 0,03125
= 222,84375
(11011110,11011)2 =
= 1 x 27
+1 x 26
+0 x 25
+1 x 24
+1 x 23
+1 x 22
+1 x 21
+0 x 20
+ 1 x 2-1
+1 x 2-2
+0 x 2-3
+
+1 x 2-4
+1 x 2-5
=
= 128 + 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 2 + 0 + 0,5 + 0,25 + 0 + 0.0625 + 0,03125 =
= 222,84375
Para convertir un número hexadecimal a binario, simplemente se escribe para cada dígito
hexadecimal su equivalente en notación binaria, recordando que se requieren cuatro dígitos
binarios para representar un dígito hexadecimal.
Ejemplo: Conversión del número hexadecimal 1A5
1A5 = 1 A 5
0001 1010 0101 = 110100101
HHHEEEXXXAAADDDEEECCCIIIMMMAAALLL ---
BBBIIINNNAAARRRIIIAAA
OBSERVACIÓN:
Podemos hacer conversiones octal-hexadecimal y viceversa pasando
previamente por el sistema binario:
Ejemplos:
1) Conversión del octal 64 a sistema hexadecimal
(64)8 = 110 100 = 11 0 100 = 0011 0100 = (34)16
2) Conversión del hexadecimal AF a sistema octal
(AF)16 = 1010 1111 = 10 10 1 111 = 010 101 111 = (257)8
OOOPPPEEERRRAAACCCIIIOOONNNEEESSS AAARRRIIITTTMMMÉÉÉTTTIIICCCAAASSS EEENNN LLLOOOSSS SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS NNNUUUMMMÉÉÉRRRIIICCCOOOSSS

Las operaciones aritméticas en un sistema de base b sigue exactamente las mismas
reglas básicas que en el decimal.
Particularmente, en el sistema binario las reglas son muy sencillas, sólo hay tres para la
suma y la multiplicación, como veremos más adelante. Pero en sistemas de otras bases
las reglas son más complejas y lo más práctico es auxiliarse con tablas (una para la suma
y otra para la multiplicación). En el anexo se incorporaron las tablas para el sistema
octal y hexadecimal.
Reglas en el sistema binario: 0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = dos = 0 y 1 que se acarrea
Ejemplos:
1 1 1 acarreo
1) 710 = 1112 = 78 = 716
+ 510 = 1012 = 58 = 516
1210 = 11002 = 148 = C16
7 + 5 = doce = 8 + 4 = 4 y 1 que se acarrea
Para multiplicar, el problema es que uno no se acuerda las tablas de las otras bases de
memoria (las tablas en base 10 las memorizamos durante los primeros años en la escuela).
Por esta razón es bastante difícil multiplicar números escritos en otra base y debemos
valernos de las tablas
SSSUUUMMMAAA
MMMUUULLLTTTIIIPPPLLLIIICCCAAACCCIIIÓÓÓNNN

Pero en el sistema binario, al igual que ocurre con la suma, sólo existen tres reglas de
multiplicación:
0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 1 = 1
Ejemplos:
1) 1112 = 710
x 1012 = 510
111 3510
000
111
1000112
Verificación: 1000112 = 1 x 25
+ 0 x 24
+ 0 x 23
+ 0 x 22
+ 1 x 21
+ 1 x 20
= 32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 3510
2) 538 = 4310
x 728 = 5810
126 344
455 215
46768 = 249410
2 x 5 = 1010 = 128
7 x 3 = 2110 = 258 (se coloca el 5 y se acarrea 2 para sumar al producto siguiente)
7 x 5 = 3510 = 438 y 438 + 28 = 458
acarreo
Verificación: 46768 = 4 x 83
+ 6 x 82
+ 7 x 81
+ 6 x 80
= 2048 + 384 + 56 + 6 = 249410
3) 4516 = 6910
x B16 = 1110
2F716 69
69
75910
B x 5 = 11 x 5 = 5510 = 3716 (se coloca el 7 y se acarrea 3 para sumar al producto
sig.)
B x 4 = 11 x 4 = 4410 = 2C16 y 2C16 + 316 = 2F16
acarreo
Verificación: 2F716 = 2 x 162
+ F x 161
+ 7 x 160

= 512 + 15 x 16 + 7 = 512 + 240 + 7 = 75910
La resta de dos números positivos (M - N) se realiza utilizando el complemento aritmético a
la base menos uno (complemento a b – 1) del sustraendo N y se realiza una suma en vez
de una resta.
Ejemplos:
1) N = 610 n = 1 (bn
– 1) = 101
– 1 = 10 – 1 = 9
Complemento a la base menos uno de 6: 9 – 6 = 3
2) N = 2410 n = 2 (bn
– 1) = 102
– 1 = 100 – 1 = 99
3) N = 11012 n = 4 (bn
– 1) = 24
– 1 = 16 – 1 = 1510 = 11112
Complemento a la base menos uno de 11012:
11112– 11012= 00102
Nota: El complemento a 1 es fácil de obtener. Simplemente se invierten todos los
dígitos: donde hay un uno colocamos un cero y viceversa.
4) N = 7118 n = 3 (bn
– 1) = 83
– 1 = 512– 1 = 51110 = 7778
5) N = 3D16 n = 2 (bn
– 1) = 162
– 1 = 256 – 1 = 25510 = FFF16
Complemento a la base menos uno de 3D16: FFF16 – 3D16 = FC216
RRREEESSSTTTAAA
Complemento a b – 1:
El complemento a la base menos uno de un número N de “n” cifras se obtiene
restando el número dado de (bn
– 1) (bn
– 1) - N
CÓMO OPERAR: Dada la resta M – N:
1) Calcular el complemento a b – 1 de del sustraendo N.
2) Sumar dicho complemento al minuendo M.
3) Si hay acarreo, sumarlo al dígito menos significativo. El número obtenido
será el resultado de la diferencia dada.
4) Si no hay acarreo, tomar el complemento a b – 1 del número obtenido y
colocarle signo negativo. Éste será el resultado de la diferencia dada.

Ejemplos:
En el sistema decimal:
1)M = 19,72 N = 12,79 M – N = 6,93
Calculamos el complemento a 9 de N:
99,99
- 12,79
87,20
Sumamos el número obtenido al minuendo M:
19,72
+ 87,20
106,92
+ 1 sumamos el acarreo a la cifra menos significativa
6,93 resultado
2) M = 12,79 N = 19,72 M – N = - 6,93
99,99
- 19,72
80,27
12,79
+ 80,27
93,06
No hay acarreo, tomar el complemento y colocarle signo negativo:
99,99
- 93,06
-6,93 resultado
En notación binaria:
3) M = 1100 N = 0111 M – N = 101
Complemento a 1 de N: 1000
Lo sumamos a M:
1100
+ 1000
10100
101 resultado
4) M = 0111 N = 1100 M – N = - 101
Complemento a 1 de N: 0011
Lo sumamos a M:
0011
+ 0111
1010
-101 resultado
En el sistema octal:
5) M = 407 N = 2,6 M – N = 404,2
777,7
- 2,6
775,1

407
+775,1
1404,1
404,2 resultado
6) M = 2,6 N = 407 M – N = - 404,2
777,7
- 407
370,7
2,6
+ 370,7
373,5
777,7
- 373,5
-404,2 resultado
En el sistema hexadecimal:
7) M = EA,7 N = 19 M – N = D1,7
Calculamos el complemento a F de N:
FF,F
- 19
E6,F
EA,7
+ E6,F
1D1,6
D1,7 resultado
8) M = 19 N = EA,7 M – N = - D1,7
Calculamos el complemento a F de N:
FF,F
- EA,7
15,8
19
+15,8
2E,8
FF,F
- 2E,8
-D1,7 resultado

1. Expresar el número decimal 5072,12 en base :
1.a) b = 2
1.b) b = 4
1.c) b = 9
1.d) b = 16
2. Aplicando la regla que se explica a continuación, calcular la cantidad de cifras de los
siguientes números decimales (verificar luego expresando el número en la base dada):
2.a) 302 en el sistema de base 3
2.b) 72.019 en el sistema hexadecimal
3. Pasar al sistema decimal las siguientes cantidades
3.a) (1001101)2
3.b) (1370,7)8
3.c) (F2DA,BD)16
3.d) (444,3)5
4. Expresar en base 8:
4.a) (1011,01)2
4.b) (155,3)10
4.c) (5B9,25)16
5. Expresar en base 16:
5.a) (111100,01)2
5.b) (153,4)8
5.c) (681,52)10
6. Resolver operando en el sistema binario:
6.a) 10111000 + 111011 =
6.b) 100000 – 1 =
EEEJJJEEERRRCCCIIITTTAAACCCIIIÓÓÓNNN
REGLA: Los números que en el sistema de base b tienen n cifras son tales que
expresados en el sistema decimal son mayores que bn – 1 – 1 y menores o iguales que
bn – 1
bn - 1 >= nº decimal > bn - 1 - 1

6.c) 1111 – 1011,01 + 11,1 =
7. Resolver operando en el sistema octal:
7.a) 471 + 1036 + 245 = 7.c) 10000 – 7117 = 7.e) 407 – 2,6 + 3,5 =
7.b) 36,2 + 105,7 + 2461,2 = 7.d) 765,43 – 345,67 = 7.f) 4,35 + 1,7 – 6,31 =
8. Resolver operando en el sistema hexadecimal:
8.a) 6AE + 1FA = 8.c) 7865 – 9AB7 = 8.e) E7,2 – 19 + 3,5 =
8.b) B1,3 + A54 + CB,A = 8.d) D9,357 – 8E,7C2 = 8.f) AB + 0,F – 38,5 =
9. ¿Para qué b el número que se escribe como 426182b es par?
10. Escribir la tabla de sumar y multiplicar en las bases 2, 3, 5 y 9.
11. Resolver:
En base 5:
11.a) (32 – 1,02) x 21 = 11.b) 1,12 – 4231 + 44,2 x 30 =
En base 2:
11.c) 1101 – 1,1 x 10 – 10 = 11.d) (100011,001 – 110011) x 11 + 101,1 =
En base 8:
11.e) 7,01 x 6 – 24 = 11.f) 104,67 – 77 + 12 x 3,5 =
En base 16:
11.g) (D5 + 44F,01) x A – C,B = 11.h) 12 x 5,C – E25 x DE =
1.a) (1001111010000,00011110101110000101)2
1.b) (1033100,0132232011)4
1.c) (6855,1064278246)9
1.d) (13D0,1EB85)16
2.a) 3n
– 1 >= 302 302 > 3n-1
– 1
3n
>= 303 303 > 3n-1
n x log 3 >= log 303 log 303 > (n – 1) x log 3
n >= log 303 / log 3 log 303 / log 3 + 1 > n
SSSOOOLLLUUUCCCIIIOOONNNEEESSS

n >= 5,20... 6,20... > n
Luego, n = 6
Verificación: (302)10 = (102012)3
2.b)16n
– 1 >= 72019 72019 > 16n-1
– 1
n >= log 72020 / log 16 log 72020 / log 16 + 1 > n
n >= 4,034... 5,034... > n
Luego, n = 5
Verificación: (72019)10 = (11953)16
3.a) (1001101)2 = 1 x 26
+ 0 x 25
+ 0 x 24
+ 1 x 23
+ 1 x 22
+ 0 x 21
+ 1 x 20
= 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = (77)10
3.b) (1370,7)8 = 1 x 83
+ 3 x 82
+ 7 x 81
+ 0 x 80
+7 x 8-1
= 512 + 192 + 56 + 0 + 0,875 = (760,875)10
3.c) (F2DA,BD)16 = 15 x 163
+ 2 x 162
+ 13 x 161
+ 10 x 160
+ 11 x 16-1
+ 13 x 16-2
= 61440 + 512 + 208 + 10 + 0,6875 + 0,05078125 = (62170,73828)10
3.d) (444,3)5 = 4 x 52
+ 4 x 51
+ 4 x 50
+ 3 x 5-1
= 100 + 20 + 4 + 0,6 = (124,6)5
4.a) (1011,01)2 = 001 011,010 = (13,2)8
4.b) (155,3)10 = (233,23146)8
4.c) (5B9,25)16 = (0101 1011 1001,0010 0101)2 = (010 110 111 001,001 001 010)2 =
= (2671,112)8
5.a) (111100,01)2 = (0011 1100, 0100)2 = (3C,4)16
5.b) (153,4)8 = (001 101 011,100)2 = (0000 0110 1011,1000)2 = (6B,8)16
5.c) (681,52)10 = (2A9,851EB)16
6.a) 10111000 + 111011 = 11110011
10111000
+ 111011
11110011
6.b) 100000 – 1 = 11111
100000
+ 111110 (complemento a 1 de 1)
1011110

+ 1
11111
6.c) 1111 – 1011,01 + 11,1 = 111,01
1111 10010,1
+ 11,1 + 10100,10 (complemento a 1 de 1011,01)
10010,1 100111,00
+ 1
111,01
7.a) 471 + 1036 + 245 = 1774
471
1036
+ 245
1774
7.b) 36,2 + 105,7 + 2461,2 = 2625,3
36,2
105,7
+ 2461,2
2625,3
7.c) 10000 – 7117 = 661
77777 10000
- 7117 + 70660 (Complemento a 7 de 7117)
100660
70660 + 1
661
7.d) 765,43 – 345,67 = 417,54
777,77 765,43
- 345,67 + 432,10 (Complemento a 7 de 345,67)
432,10 1417,53
+ 1
417,54
7.e) 407 – 2,6 + 3,5 = 407,7
777,7 407 412,5
- 2,6 + 3,5 + 775,1 (Complemento a 7 de 2,6)
775,1 412,5 1407,6
+ 1
407,7
7.f) 4,35 + 1,7 – 6,31 = - 0,04
4,35 7,77 6,25 7,77 (No hay acarreo. Tomamos el
+ 1,7 - 6,31 + 1,46 - 7,73 complemento a 7 y le colocamos
el signo “-“)
6,25 1,46 7,73 - 0,04

8.a) 6AE + 1FA = 8A8
6AE
+ 1FA
8A8
8.b) B1,3 + A54 + CB,A = BD0,D
B1,3
A54
+ CB,A
BD0,D
8.c) 7865 – 9AB7 = - 2252
FFFF 7 8 6 5 FF F F (No hay acarreo.
Tomamos
- 9AB7 + 6 5 4 8 - DDAD el complemento a F de
6548 DDAD - 2 2 5 2 DDAD y le cambiamos el
signo)
8.d) D9,357 – 8E,7C2 = 4A,B95
FF,FFF D9,357 4A,B94
- 8E,7C2 + 71,83D + 1
71, 83D 14A,B94 4A,B95
8.e) E7,2 – 19 + 3,5 = D1,7
E7,2 FF,F EA,7
+ 3,5 - 19 + E6,F (Complemento a F de 19)
EA,7 E6,F 1D1,6
+ 1
D1,7
8.f) AB + 0,F – 38,5 = 73,A
AB FF,F AB,F
+ 0,F - 38,5 + C7,A
AB,F C7,A 173,9
+ 1
73,A
9) Como 8 es el mayor dígito básico utilizado en la representación de 426182b, b debe ser
mayor o igual que 9. Ahora bien, dentro de las bases mayores o iguales que 9 tenemos que
determinar para cuáles 426182b es un número par.
Expresémoslo en su forma polinómica:
426182b = 4 x b5
+ 2 x b4
+ 6 x b3
+ 1 x b2
+ 8 x b1
+ 2 x b0
El primero, segundo, tercero, quinto y sexto términos son números pares, dado que bn
está multiplicada por números pares; y su suma dará por resultado un número par. Pero
el cuarto término será par si b es par, e impar si b es impar. Sabemos que la suma de
dos números pares es par y la de un número par y uno impar resulta impar.
Por lo tanto, 426182b será par para cualquier base par mayor que 9.
10)
Base 2:
+ 0 1 x 0 1
0 00 01 0 00 00

1 01 10 1 00 01
Base 3:
+ 0 1 2 x 0 1 2
0 00 01 02 0 00 00 00
1 01 02 10 1 00 01 02
2 02 10 11 2 00 02 11
Base 5:
+ 0 1 2 3 4 x 0 1 2 3 4
0 00 01 02 03 04 0 00 00 00 00 00
1 01 02 03 04 10 1 00 01 02 03 04
2 02 03 04 10 11 2 00 02 04 11 13
3 03 04 10 11 12 3 00 03 11 14 22
4 04 10 11 12 13 4 00 04 13 22 31
Base 9:
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 00 01 02 03 04 05 06 07 08 0 00 00 00 00 00 00 00 00 00
1 01 02 03 04 05 06 07 08 10 1 00 01 02 03 04 05 06 07 08
2 02 03 04 05 06 07 08 10 11 2 00 02 04 06 08 11 13 15 17
3 03 04 05 06 07 08 10 11 12 3 00 03 06 10 13 16 20 23 26
4 04 05 06 07 08 10 11 12 13 4 00 04 08 13 17 22 26 31 35
5 05 06 07 08 10 11 12 13 14 5 00 05 11 16 22 27 33 38 44
6 06 07 08 10 11 12 13 14 15 6 00 06 13 20 26 33 40 46 53
7 07 08 10 11 12 13 14 15 16 7 00 07 15 23 31 38 46 54 62
8 08 10 11 12 13 14 15 16 17 8 00 08 17 26 35 44 53 62 71
11)
En base 5:
11.a) (32 – 1,02) x 21 = 1200,03
44,44 32 30,42
- 1,02 + 43,42 x 21
43,42 130,42 3043
+ 1 + 11141
30,43 1200,03
11.b) 1,12 – 4231 + 44,2 x 30 = -1243,33
4444,44 44,2 1,12
- 4231 x 30 + 0213,44 (Complemento a 4 de 4231)
0213,44 000 0220,11
+ 2431
2431,0 (el cero no significativo se descarta)
El resultado de la diferencia 1,12 – 4231 es el complemento a 4 de 0220,11 con signo
negativo (-4224,33) porque no hubo acarreo. Pero como este número hay que sumarlo a
2431 (resultado del producto 44,2 x 30) tenemos que calcular su complemento a 4, que
no es otro que 0220,11. Nos queda ahora realizar la suma:
2431 No hubo acarreo. Calculamos 4444,44
+ 0220,11 el complemento a 4 de 3201,11 - 3201,11
3201,11 y le cambiamos el signo: - 1243,33
En base 2:

11.c) 1101 – 1,1 x 10 – 10 = 1000
1,1 1101 1010
x 10 + 1100 (Complemento a 1 de 11) + 1101 (Complemento a 1 de
10)
00 11001 10111
+ 11 + 1 + 1
11,0 1010 1000
11.d) (100011,001 – 110011) x 11 + 101,1 = - 101010,001
100011,001
+ 001100,111 (Complemento a 1 de 110011)
110000,000
Como no hay acarreo, tomamos el complemento a 1 de 110000,000 y le cambiamos
el signo:
- 001111,111
x 11
1111111
+ 1111111
- 101111,101
101,1
+ 010000,010 (Complemento a 1 de 101111,101)
010101,110
´ Como no hay acarreo, tomamos el complemento a 1 de 010101,110 y le colocamos
signo negativo: - 101010,001
En base 8:
11.e) 7,01 x 6 – 24 = 26,06
7,01 77,77 52,06
x 6 - 24 + 53,77 (Complemento a 7 de 24)
52,06 53,77 126,05
+ 1
26,06
11.f) 104,67 – 77 + 12 x 3,5 = 52,07
3,5 104,67 777,77 151,07
x 12 + 44,2 - 77 + 700,77 (Complemento a 7 de 77)
172 151,07 700,77 1052,06
+ 35 + 1
44,2 52,07
En base 16:
11.g) (D5 + 44F,01) x A – C,B = 335B,5A
D5 521,01 FFFF,FF 3368,0A
+ 44F,01 x A - C,B + FFF3,4F (Complemento a
F de C,B)
524,01 3368,0A FFF3,4F 1335B,59
+ 1
335B,5A
11.h) 12 x 5,C – E25 x DE = - C43AE,8

5,C E25 FFFFF,F 67,8
x 12 x DE - C4416 + 3BB39,F (Complemento a F de
B8 C606 3BBE9,F 3BC51,7 C4416)
+ 5C + B7E1
67,8 C4416
Como no hay acarreo, tomamos el complemento a F de 3BC51,7 y le
colocamos signo negativo:
FFFFF,F
- 3BC51,7
- C43AE,8
Tablas de suma y multiplicación del sistema octal:
+ 1 2 3 4 5 6 7 x 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 10 1 1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 10 11 2 2 4 6 10 12 14 16
3 4 5 6 7 10 11 12 3 3 6 11 14 17 22 25
4 5 6 7 10 11 12 13 4 4 10 14 20 24 30 34
5 6 7 10 11 12 13 14 5 5 12 17 24 31 36 43
6 7 10 11 12 13 14 15 6 6 14 22 30 36 44 52
7 10 11 12 13 14 15 16 7 7 16 25 34 43 52 61
+ 1 2 3 4 5 6 7 x 1 2 3 4 5 6 7
Tablas de suma y multiplicación del sistema hexadecimal:
+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F +
1 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 1
2 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 2
3 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 3
4 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 4
5 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 5
6 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 15 6
7 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 15 16 7
8 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 15 16 17 8
9 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9
A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A
B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A B
AAANNNEEEXXXOOO

C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B C
D 0E 0F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C D
E 0F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E F
+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F +
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F x
1 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 1
2 02 04 06 08 0A 0C 0E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 2
3 03 06 09 0C 0F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 3
4 04 08 0C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 4
5 05 0A 0F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B 5
6 06 0C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 6
7 07 0E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69 7
8 08 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 8
9 09 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87 9
A 0A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96 A
B 0B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5 B
C 0C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4 C
D 0D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3 D
E 0E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2 E
F 0F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1 F
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F x

 Malva Alberto de Toso; Ingrid Schwer de Inglese; Viviana Cámara;
Cristina Rogiano; Silvina Meinero: Elementos de Matemática Discreta, Centro de
Publicaciones – UNL, 2002
 www.oma.org.ar/omanet
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Capitulo 4 – Comunicaciones y Redes
PARTE 4
CONCEPTOS DE COMUNICACIONES Y REDES
“Poco después de mi entrada la yegua se levantó de su estera, se acercó a mi,
observó atentamente mi cara y manos, y luego hizo un gesto de desagrado. A
continuación se volvió hacia el caballo y escuché que entre ellos repetían a menudo
la palabra yahoo, cuyo significado entonces no entendía, aunque fuera la primera
que aprendí a pronunciar. Mas pronto estaría mejor informado para mi eterna
vergüenza.”
Los Viajes de Gulliver, Cap XIX: El país de los Houyhnhnms
NOCIONES BÁSICAS DE COMUNICACIONES
En los principios del siglo XIX, los tiempos de las comunicaciones eran directamente
proporcionales a los tiempos del movimiento humano. Una noticia de Europa podía tardar
meses en llegar a las colonias sudamericanas; un hecho trascendental como la declaración
de la independencia en Tucumán en 1816 viajó “en diligencia” para ser conocido en Buenos
Aires varios días después; la imagen del general mirando desde un cerro la evolución de
una gran batalla y enviando y recibiendo mensajeros a caballo desde el frente de batalla
sólo se mejoraba levemente con el empleo de palomas mensajeras...
 En 1844 Morse inventó el telégrafo y en 1876 Bell el teléfono. Con ellos nació el
concepto de telecomunicaciones, es decir comunicación a distancia en forma
prácticamente inmediata.
 La evolución de la tecnología de las comunicaciones en los siguientes 100 años y
hasta nuestros días, combinada con el desarrollo explosivo de la electrónica y la
informática, pasaron a ser el eje fundamental del mundo de hoy.
 Desde el punto de vista de la transmisión de información, la tecnología permite hoy
que la distancia física prácticamente no exista !: Podemos ubicarnos virtualmente
en otro lugar del mundo, observar un museo de Europa, leer un texto que se está
escribiendo en Estados Unidos, recibir el mismo diario que un ciudadano de Rusia o
tener 1000 millones de personas pendientes del partido inaugural de un mundial de
fútbol... que se juega en China (y sería lo mismo si se jugara en la Luna).
Esta evolución de la tecnología de comunicaciones es muy importante para nuestra vida y
para nuestras posibilidades laborales: cualquier ámbito de trabajo informático hoy tiene
comunicaciones, redes, computadoras remotas que se consultan y utilizan... y todo esto nos
obliga a estudiar como un componente esencial de la disciplina informática, algunos

aspectos de las comunicaciones.
 En principio debemos definir el medio de comunicación es decir sobre que soporte
se trasmiten los bits (en principio sólo hablaremos de comunicaciones digitales) que
llevan la información. Este medio puede ser un cable telefónico, un cable coaxil, una
fibra óptica o el aire.
 En general las transmisiones sobre cables requieren enviar señales eléctricas entre
un transmisor y un receptor en los extremos del cable, y normalmente se trata de un
medio de bajo costo y muy adecuado para distancias relativamente cortas. Por
ejemplo un cable telefónico permite manejar velocidades típicas de 100.000 bits por
segundo y un cable coaxil de red puede tener 100 millones de bits por segundo.
 Pasar de los cables con señales eléctricas a la fibra óptica ha sido un salto
tecnológico muy importante (aunque a un costo mayor). Sucede que la fibra óptica
trasmite señales de luz, a una velocidad mucho mayor y con mucha menos
posibilidad de interferencia que un cable convencional. Trabajar con comunicaciones
en el orden de 1000 millones de bits por segundo, con alta inmunidad al ruido es
típico de la fibra óptica hoy (notar que todos los enlaces telefónicos importantes han
reemplazado el cableado convencional por la fibra óptica).
 La señal también se puede trasmitir por el aire. En este caso el transmisor y el
receptor tienen otras características (más complejas) y de ese modo recibimos, por
ejemplo, las señales de radio o de televisión por aire. También podemos tener
estaciones repetidoras en tierra o en un satélite, de modo de comunicar puntos muy
distantes que no serían alcanzables por una señal de radio directa. Las
comunicaciones satelitales se imponen cuando la distancia crece.
En este punto podemos preguntarnos ¿Qué sentido puede tener comunicar
computadoras? La respuesta resulta inmediata: poder comunicarlas significa poder utilizar
sus recursos a distancia.
De repente la computadora que está en la mejor Universidad de Estados Unidos es
“alcanzable” y utilizable desde nuestra modesta PC del Laboratorio “A” de la UNLaR. Al
mismo tiempo los “usuarios” distantes pueden comunicarse, cooperar y compartir recursos y
trabajo, empleando sus computadoras conectadas.
Aunque en principio no lo parezca, poder comunicar computadoras es lo que nos permite
ver en tiempo real, sobre nuestra computadora un recital de los Rolling Stones que está

sucediendo en otro extremo del planeta.
Un primer empleo de esta comunicación remota entre computadoras fueron (y son) los
sistemas multiusuario con esquema servidor-terminales. Cuando accedemos, por ejemplo, a
una terminal de cajero automático de un Banco, en realidad estamos en una pequeña
computadora local que se comunica con un servidor (computadora mayor) que tiene los
datos globales de clientes, y nos permite hacer operaciones determinadas en nuestra
terminal local.
Debe quedarnos claro que de nada nos servirían ambas computadoras si no tenemos un
sistema eficiente de comunicaciones
CONCEPTOS ELEMENTALES DE REDES
Conceptualmente una red responde a un esquema general como el de la figura siguiente:
 Las computadoras locales (clientes) pueden ser muy diferentes y disponer de
recursos propios.
 El subsistema de comunicaciones puede estar soportado por los diferentes medios
de comunicación que hemos mencionado y permite vincular punto a punto o
globalmente las computadoras locales.
 Pueden existir recursos dentro de la red que sean compartidos por todas o alguna de

las computadoras, y también pueden existir recursos exclusivos de cada máquina
local.
 Naturalmente para poder comunicar coherentemente las computadoras de una red
es necesario establecer protocolos aceptados por todos (y esto implica hardware y
software). Se deduce que el sistema operativo de la red debe proveer servicios que
no tenemos en una computadora monousuario.
En este punto podemos preguntarnos ¿Qué ventaja puede significar disponer de
una red de computadoras? La respuesta resulta inmediata:
 Compartir hardware, reduciendo costos y convirtiendo a la red en sí misma en un
poderoso sistema de procesamiento de datos.
 Compartir datos y programas, permitiendo incrementar la productividad en los
sistemas de software.
 Incrementar la eficiencia en los trabajos de grupo al permitir una fluida comunicación
entre miembros de la organización ubicados en diferentes puntos.
REDES LAN Y WAN
Una red local (LAN: Local Área Network) es una red en la cual las computadoras se
encuentran cercanas físicamente, generalmente en un mismo edificio. La comunicación
inter-computadoras puede ser por cable, fibra o inalámbrica (en este caso una pequeña
radio que hace de receptor-transmisor se incorpora en cada computadora).
Típicamente (como se muestra en la figura) una red local puede conectarse a través de un
conjunto de líneas de comunicación común denominado bus, pero pueden utilizarse
diferentes topologías de comunicación.

Una red de área metropolitana (Metropolitan Area Network o MAN, en inglés) es una red
de alta velocidad (banda ancha) que da cobertura en un área geográfica extensa,
proporciona capacidad de integración de múltiples servicios mediante la transmisión de
datos, voz y vídeo, sobre medios de transmisión tales como fibra óptica y par trenzado (MAN
BUCLE), la tecnología de pares de cobre se posiciona como la red más grande del mundo
una excelente alternativa para la creación de redes metropolitanas, por su baja latencia
(entre 1 y 50 ms), gran estabilidad y la carencia de interferencias radioeléctricas, las redes
MAN BUCLE, ofrecen velocidades de 10Mbps, 20Mbps, 45Mbps, 75Mbps, sobre pares de
cobre y 100Mbps, 1Gbps y 10Gbps mediante Fibra Óptica.

Una red extendida (WAN: Wide Área Network) es una red en la cual las computadoras
pueden estar a grandes distancias. Incluso puede estar formada por subredes locales. La
comunicación inter-computadoras puede combinar las tecnologías mencionadas
anteriormente, teniendo cable o fibra para las máquinas relativamente más cercanas y por
ejemplo enlaces satelitales entre los puntos remotos.
INTERNET: UNA RED DE REDES
Internet no es más que una red WAN, en la que un conjunto de instituciones han acordado
conectar sus propias redes, enlazando organizaciones educativas, administrativas y
empresas privadas.
Las raíces de Internet fue la comunicación que establecieron en EEUU un conjunto de
Universidades e Instituciones Académicas, y de ese modo fue creciendo y desarrollándose
en todo el mundo.
El impacto de Internet en el ámbito científico pronto se extendió a las empresas y al
comercio electrónico, ya que esencialmente es una posibilidad de tener una vinculación con
cualquier tipo de computadora o dato en cualquier punto del planeta.
Entre los servicios que habitualmente utilizamos en Internet (y que han sido el área de
mayor desarrollo del software en los últimos diez años) podemos mencionar:

Correo electrónico y transferencia de archivos de datos.
Ingreso remoto a otras computadoras.
Establecimiento de “sitios” específicos accesibles por usuarios de todo el mundo (o bien por
usuarios que tienen determinado atributo o password) con repositorios de información útil.
Por ejemplo podemos tener bibliotecas virtuales, accesibles en forma remota.
 Información “on line” de diarios, revistas, canales de noticias, etc.
 Posibilidad de realizar transacciones (compras, ventas) a través de la red,
presentando los productos, catálogos, precios e incluso programas de demostración
de funcionamiento para consulta remota y acordando modos de transferencia de los
pagos.
 Posibilidad de realizar reuniones de intercambio de opiniones, en forma conjunta por
usuarios interesados en un tema (conferencias o “chats”).
Puede decirse que el mundo se está transformando, con el empleo creciente de Internet y
con la adopción de nuevos modos de investigar y buscar información, y al mismo tiempo
nuevos modos de establecer negocios y tareas cooperantes entre usuarios ubicados en
puntos muy distantes.
Uno de los impactos más fuertes de Internet es la posibilidad de brindar educación a
distancia, favoreciendo el aprendizaje o la actualización en forma de autoaprendizaje o
mediante comunicaciones interactivas alumno-docente.
Aplicaciones: Correo electrónico. Teleconferencia.
Correo electrónico (e-mail) significa conectarnos computadora a computadora con otro
usuario, a través de un sistema de comunicaciones y un software adecuado. La
comunicación puede tener aspectos muy “humanos” tales como que en cada computadora
una filmadora registre al usuario que nos está escribiendo para convertir el correo en una
“charla” electrónica, o bien disponer de un periférico de salida que convierte el texto del e-
mail en voz.
De todos modos, el sólo hecho de poder comunicarnos muy rápidamente a través del correo
electrónico (comparar con el correo tradicional por hojas escritas) favorece el intercambio de
datos entre los seres humanos. Por otra parte podemos reemplazar en gran medida el
teléfono y el fax.
Teleconferencia en tiempo real significa que un conjunto de usuarios (por ejemplo
miembros de una misma empresa) se conectan computadora a computadora e intercambian
opiniones sobre un determinado tema, construyendo una “reunión de directorio” o “reunión

de trabajo” en el ámbito virtual que ofrece Internet.
Nuevamente la comunicación puede permitir “verse” a los protagonistas e incluso “hablarse”
convirtiendo lo hablado en mensaje electrónico.
Naturalmente una teleconferencia no es igual que una reunión efectiva de las personas
involucradas, pero en el caso de organizaciones distribuidas con sedes lejanas, mejora
notoriamente la velocidad y eficacia en la toma de decisiones.
En una videoconferencia tenemos el equivalente a una clase tradicional, con una (o varias)
aula/s virtuales remotas. Cada uno de los oyentes puede “ver” en tiempo real al
conferencista y hacerle preguntas. A su vez el conferencista puede “ver” a quien le realiza
preguntas y responderle.
La necesidad de trasmitir imágenes y voz en tiempo real hace que los recursos de
comunicaciones involucrados en una videoconferencia sean importantes. A su vez, armar un
aula virtual para N alumnos significa al menos tener N computadoras (o puestos enlazados
con un servidor en el aula) que puedan conectarse con la computadora remota del
conferencista... y todas ellas con cámara y micrófono.
LA WORLD WIDE WEB
La World Wide Web (la "telaraña" o "maraña mundial")
es tal vez el punto más visible de Internet y hoy en día
el más usado junto con el correo electrónico, aunque
también es de los más recientes. Originalmente
denominado Proyecto WWW y desarrollado en el
CERN suizo a principio de los 90, partió de la idea de
definir un "sistema de hipermedios distribuidos."
La WWW puede definirse básicamente como tres cosas: hipertexto, que es un sistema de
enlaces que permite saltar de unos lugares a otros; multimedia, que hace referencia al tipo
de contenidos que puede manejar (texto, gráficos, vídeo, sonido y otros) e Internet, la base
sobre las que se transmite la información.
El aspecto exterior de la WWW son las conocidas "páginas Web." Una ventana muestra al
usuario la información que desea, en forma de texto y gráficos, con los enlaces marcados en
diferente color y subrayados. Haciendo un clic con el ratón se puede "saltar" a otra página,
que tal vez esté instalada en un servidor al otro lado del mundo. El usuario también puede
"navegar" pulsando el mouse sobre las imágenes o botones que formen parte del diseño de
la página.
Las páginas de la WWW están situadas en servidores de todo el mundo (sitios Web), y se

accede a ellas mediante un programa denominado navegador (o browser). Este programa
emplea un protocolo llamado HTTP, que funciona sobre TCP/IP, y que se encarga de
gestionar el aspecto de las páginas y los enlaces.
Cada página Web tiene una dirección única en Internet, en forma de URL. Un URL indica el
tipo de documento (página Web o documento en formato HTML), y el de las páginas
hipertexto de la WWW comienza siempre por HTTP.
Una página Web puede ser http://www.proveedor.ar/bienvenido.html, que corresponde a un
documento hipertexto bienvenido.html) que está en el servidor Web (www) de un proveedor
(.proveedor) de Argentina (.ar). Al saltar de un enlace a otro, el programa navegador
simplemente va leyendo páginas HTML de distintos lugares de Internet y mostrándolos en
pantalla.
La Web proporciona algunas opciones interesantes: se puede circular saltando de un sitio a
otro y volviendo rápidamente a los sitios que se acaban de visitar. La información puede
presentarse en forma de tablas o formularios. El usuario puede en esos casos completar
campos (por ejemplo, una encuesta) y enviarlos por correo electrónico con sólo hacer clic
sobre el botón "enviar" que ve en su pantalla. La Web también facilita el acceso a
información gráfica, películas o sonido de forma automática.
La Web es el lugar de Internet que más crecimiento está experimentando últimamente: se
calcula que hay más de 50 millones de páginas Web en la Red, y su número crece a un
ritmo vertiginoso. La Web, al facilitar la búsqueda de información, ha hecho que otros
servicios de Internet como Gopher, Archie o WAIS se usen cada vez menos.
TENDENCIAS
Es notable el impacto de Internet y los servicios de red en la vida diaria. Actualmente hay
aspectos cotidianos triviales en los que nos estamos acostumbrando a utilizar la “red de
redes”. Por ejemplo, buscar datos sobre un determinado producto, leer un diario (local o
internacional), consultar una enciclopedia, conocer los programas de estudio de una
Universidad, comprar un libro, etc...
Cada vez se utilizan más las redes sociales como medio de comunicación, en detrimento del
correo electrónico, un medio reservado cada vez más para comunicaciones más formales.
Acceder a la Red desde dispositivos varios ya casi ha dejado de convertirse en tendencia
para pasar a ser norma. Tablets, smartphone, videoconsolas… Parece que cualquier
aparato electrónico debe poder acceder a Internet y los televisores son los últimos en
sumarse a esta tendencia para ofrecer contenidos más completos. Esto incluso parece que
empieza a suponer una pequeña crisis para la televisión por cable.

Los equipos informáticos van a ser cada vez más delgados, la tendencia de lo táctil se
mantiene y parece que pasará también a los ordenadores y además, los procesadores
pasarán de tener un par de núcleos a tener incluso cinco. La potencia, con este cambio, está
asegurada
El reconocimiento de voz para ejecutar acciones. Parece que esta tendencia va camino de
apoderarse también del mundo de Internet para mejorar la experiencia del usuario. Muchos
rumores sobre un posible iPhone 5 inundan la red. La posible sexta versión del smartphone
por excelencia de la empresa de la manzana y evolución natural del iPhone 4S que, si todo
va bien, llegará al mercado, junto al nuevo iOS 6, en septiembre de 2012.
Seguirá manteniéndose la oferta, tanto en redes sociales como en teléfonos inteligentes o
tabletas. Además, se está trabajando en el sistema peer-to-peer, que permitirá conectar con
otros jugadores sin necesidad de consumidor datos, ya que la sincronización se producirá
con las llamadas.
La presencia de las empresas en la Red seguirá creciendo, a la vez que la importancia que
estas otorgarán a la imagen que existe de ellas en Internet y por tanto, a la gestión de la
misma.
El negocio electrónico seguirá creciendo. En este sentido, parece ser que se trabajará en
una mayor optimización de las tiendas desde el teléfono móvil, algo que todavía encuentra
obstáculos, tanto a la hora de navegar como en el proceso de compra de productos.
La tendencia de que el presupuesto de publicidad y marketing de las empresas dedique
cada vez más importancia a la Red se mantiene. Un coste más económico, con un impacto
más global y la sencillez de medir respuestas, son sus principales ventajas, ahora centradas
sobre todo en las redes sociales, donde los usuarios pasan más tiempo.
CONCLUSIONES
Es importante tener en cuenta que en el mundo, el área de mayor crecimiento es el
complejo electrónica-informática-comunicaciones y en particular la mayor oferta
laboral mundial está asociada con el empleo de tecnología de sistemas distribuidos.
Esto hace prioritaria la formación tecnológica de los alumnos de carreras de
Ingeniería e Informática, cuyo ámbito de trabajo más probable es una organización
con un sistema distribuido de cómputo, con todas las áreas de la empresa vinculadas

por Internet y con necesidad de desarrollar productos orientados a ambientes de
procesamiento distribuido.

Prof. Lic. Cristina Fonseca – Prof. Ing. Isabel Demaldé 1 de 110
AUTORIDADES
MINISTERIO DE EDUCACION CIENCIA Y TECNOLOGIA DE LA NACION
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA RIOJA
MINISTERIO DE EDUCACION
Universidad Nacional de La Rioja
Departamento de Ciencias Exactas, Físicas y
Naturales
MATEMÁTICA
Curso de Ingreso
Año 2014

UNLaRMINISTERIO DE EDUCACION DE LA NACION
Matemática
AUTORIDADES DEL DEPARTAMENTO
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
DECANO : Ing. Alejandro Alvarez
Srio. ACADEMICO : Ing. Carlos Ocampo
Equipo Coordinador y revisor del material de estudio
Prof. Lic. Cristina Fonseca
Prof. Ing. Isabel Demaldé

Matemática
PROGRAMA
UNIDAD Nº1: Introducción al Número – Expresiones algebraicas.
Campo numérico, clasificación –Naturales, Enteros, Racionales, Reales, Complejos-.
Expresiones algebraicas: Operaciones, Potencias de un binomio, Regla de Ruffini,
Teorema del resto.
Factoreo, concepto y análisis de los seis casos, combinación de los mismos.
Expresiones algebraicas fraccionarias, simplificación, reducción, operaciones.
UNIDAD Nº 2: Sistemas de Ecuaciones
Ecuaciones, concepto, clasificación, resolución de ecuaciones con una incógnita,
problemas.
Ecuaciones fraccionarias.
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, raíces, resolución, métodos,
ejercicios y problemas de aplicación, representación gráfica.
Ecuaciones de segundo grado, raíces, representación gráfica, problemas.
UNIDAD Nº 3: Radicación y Logaritmación
Potencia de exponente natural. Operaciones y Propiedades.
Radicación, propiedades, operaciones, racionalización del divisor.
Logaritmación, definición, propiedades, logaritmos decimales y naturales. Uso de la
calculadora para obtenerlos.
UNIDAD Nº 4: Trigonometría
Sistemas de representación gráfica, tipos.
Trigonometría, sistemas de mediciones, equivalencia, uso de la calculadora.
Funciones, seno, coseno, tangente, cotangente, secante cosecante, representaciones.
Relaciones fundamentales.
Funciones trigonométricas de ángulos notables.

Matemática
INDICE
PROGRAMA............................................................................................................................................................... 3
1. CAPITULO 1: NÚMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS ............................................................... 7
1.1. NÚMEROS NATURALES .......................................................................................................................... 7
1.2. NÚMEROS ENTEROS................................................................................................................................ 7
1.3. NÚMEROS RACIONALES........................................................................................................................ 8
1.4. NÚMEROS IRRACIONALES.................................................................................................................... 8
1.5. NÚMEROS REALES................................................................................................................................... 9
1.6. NÚMEROS COMPLEJOS ........................................................................................................................ 11
1.7. EXPRESIONES ALGEBRAICAS............................................................................................................ 11
1.8. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ............................................................ 12
1.9. TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS......................................................................................... 12
1.10. MONOMIOS............................................................................................................................................... 12
1.11. ÁLGEBRA DE MONOMIOS.................................................................................................................... 13
1.12. POLINOMIOS............................................................................................................................................ 14
1.13. ÁLGEBRA DE POLINOMIOS................................................................................................................. 15
1.14. REGLA DE RUFFINI, TEOREMA DEL RESTO, TEOREMA DEL FACTOR. ............................... 18
1.14.1. REGLA DE RUFFINI ........................................................................................................................... 18
1.14.2. TEOREMA DEL RESTO ..................................................................................................................... 20
1.14.3. TEOREMA DEL FACTOR.................................................................................................................. 20
1.15. MÉTODOS PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO .......................................................................... 20
1.15.1. FACTOR COMÚN ................................................................................................................................ 20
1.15.2. DIFERENCIA DE CUADRADOS....................................................................................................... 21
1.16. EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS ......................................................................... 23
1.17. EJERCICIOS DE MONOMIOS............................................................................................................... 24
1.18. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE POLINOMIOS.............................................................................. 25
1.19. ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN ............................................................................................ 27
1.19.1. RESPUESTA A LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN................................................... 28
2. CAPITULO 2: ECUACIONES ...................................................................................................................... 30
2.1. ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN ...................................................................................................... 30
2.2. OPERACIONES CON ECUACIONES. ECUACIONES EQUIVALENTES....................................... 31
2.3. CLASES DE ECUACIONES..................................................................................................................... 32
2.4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA... 33
2.5. EJERCICIOS PROPUESTOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO................................................ 35
2.6. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN A TRAVÉS DE ECUACIONES ............................................. 35
2.7. ECUACIONES FRACCIONARIAS O POLINÓMICAS RACIONALES............................................ 37
2.8. SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS ........................................... 38

Matemática
2.9. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA SOLUCIÓN........................................................................................... 38
2.10. ¿CÓMO PODEMOS RESOLVER UN SISTEMA?................................................................................ 39
2.10.1. POR SUSTITUCIÓN............................................................................................................................. 39
2.10.2. POR IGUALACIÓN.............................................................................................................................. 40
2.10.3. POR REDUCCIÓN ............................................................................................................................... 40
2.10.4. MÉTODO DE DETERMINANTES..................................................................................................... 41
2.11. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL DE DOS
ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS............................................................................................................ 43
2.12. TÉCNICA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS................................................................................. 44
2.13. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PROBLEMAS PROPUESTOS.................................... 46
2.14. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO................................................................................................. 46
2.15. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO............................................................... 47
2.16. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS ...................... 49
2.17. DETERMINACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO A PARTIR DE LA SUMA Y
PRODUCTO DE SUS SOLUCIONES.................................................................................................................... 51
2.18. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO........................ 54
2.19. VÉRTICE DE LA PARÁBOLA................................................................................................................ 59
2.20. EJE DE SIMETRÍA DE LA PARÁBOLA............................................................................................... 61
2.21. RAMAS DE LA PARÁBOLA HACIA ABAJO....................................................................................... 62
2.22. INFLUENCIA DE LOS PARÁMETROS EN LA GRÁFICA DE LAS FUNCIONES
CUADRÁTICAS....................................................................................................................................................... 63
2.23. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DEL VÉRTICE DE UNA PARÁBOLA ENUNCIADA EN
LA FORMA GENERAL.......................................................................................................................................... 66
2.24. ECUACIÓN BICUADRADA .................................................................................................................... 68
2.25. ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN ............................................................................................ 70
2.25.1. RESPUESTA A LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN................................................... 71
3. CAPITULO 3: POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN ............................................ 72
3.1. POTENCIA DE EXPONENTE NATURAL ............................................................................................ 72
3.2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Y BASE RACIONAL ....................................................... 74
3.3. PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE................................................................................. 74
3.4. DIVISIÓN DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE .......................................................................... 75
3.5. POTENCIA DE UNA POTENCIA ........................................................................................................... 75
3.6. PRODUCTO DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE........................................................ 75
3.7. COCIENTE DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE ......................................................... 75
3.8. SIGNO DE UNA POTENCIA DE BASE ENTERA................................................................................ 75
3.9. HISTORIA DE LA RADICACIÓN.......................................................................................................... 76
3.10. RADICACIÓN............................................................................................................................................ 77
3.11. CÁLCULO DE UNA RAÍZ CUADRADA............................................................................................... 79
3.12. EJERCICIOS PARA CALCULAR UNA RAÍZ CUADRADA............................................................. 81
3.13. RAÍZ CUADRADA ENTERA................................................................................................................... 82

Matemática
3.14. CÁLCULO DE UNA RAÍZ CÚBICA....................................................................................................... 83
3.15. SIMPLIFICAR RADICALES................................................................................................................... 84
3.16. EXPRESAR COMO POTENCIA FRACCIONARIA: ........................................................................... 84
3.17. EXTRAER FACTORES DE UN RADICAL ........................................................................................... 85
3.18. INTRODUCIR FACTORES EN UN RADICAL..................................................................................... 85
3.19. SUMA Y RESTA DE RADICALES ......................................................................................................... 86
3.20. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES................................................................................................... 87
3.21. DIVISIÓN DE RADICALES..................................................................................................................... 88
3.22. POTENCIA DE UN RADICAL ................................................................................................................ 89
3.23. RAÍZ DE UN RADICAL ........................................................................................................................... 89
3.24. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN ................................................................................................. 90
3.25. RACIONALIZAR RADICALES .............................................................................................................. 91
3.26. EJERCICIOS PROPUESTO PARA RADICALES ................................................................................ 92
3.27. LOGARITMO............................................................................................................................................. 93
3.28. PROPIEDADES DE LOGARITMO......................................................................................................... 94
3.29. LOGARITMO DECIMAL Y NEPERIANO............................................................................................ 95
3.30. ECUACIONES LOGARITMICAS........................................................................................................... 95
3.31. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS ........................................................................ 96
3.32. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON LOGARITMOS.............................................................. 97
3.33. EJERCICIOS PROPUESTO PARA LOGARITMOS........................................................................... 99
3.34. ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DEL CAPÍTULO 3 ........................................................ 100
3.35. RESPUESTA A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN......................................................... 101
4. CAPITULO 4: TRIGONOMETRÍA........................................................................................................... 102
4.1. SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS ........................................................................................ 102
4.2. EQUIVALENCIA ENTRE LOS SISTEMAS:....................................................................................... 103
4.3. ........................................................................................................................................ 103
4.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................................... 104
4.4.1. DEFINICIÓN DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN
TRIÁNGULO RECTÁNGULO ............................................................................................................................ 104
4.4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO CUALQUIERA.................................. 105
4.4.3. ANGULOS NOTABLES.......................................................................................................................... 106
4.4.4. RELACIONES FUNDAMENTALES (SÓLO ALGUNAS).................................................................. 106
4.4.5. EJERCICIOS Y PROBLEMAS.............................................................................................................. 106
4.5. ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN .......................................................................................... 108
4.5.1. RESPUESTAS: ......................................................................................................................................... 108
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................................. 110

Matemática
1. Capitulo 1: Números y expresiones algebraicas
1.1.Números naturales
Con los números naturales se cuentan los elementos de un conjunto (número
cardinal). O bien se expresa la posición u orden que ocupa un elemento en un
conjunto (ordinal).
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Algunos autores no incluyen al 0
N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
La diferencia de dos números naturales no siempre es un número
natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.
5 − 3
3 − 5
El cociente de dos números naturales no siempre es un número
natural, sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto
formado por varios factores iguales.
La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre
cuando la raíz es exacta
1.2.Números enteros
Los números enteros son:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las
profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número
entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un
número entero, sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene
que ser un número natural.

Matemática
La raíz de un número entero no siempre es un número
entero, sólo ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de
una raíz de índice par con radicando positivo
1.3.Números racionales
Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente
de dos enteros, con denominador distinto de cero.
Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son
números racionales; pero los otros números decimales con un número no finito de
cifras decimales y que no son periódicas no son racionales.
La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números racionales es
otro número racional (exceptuando la división por cero).
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número
racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es
par el radicando ha de ser positivo.
1.4.Números irracionales
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por
tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la
longitud de la circunferencia y su diámetro.
= 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la
fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos
eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da
Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

Matemática
1.5.Números Reales
Los números racionales junto con los irracionales constituyen el conjunto de números
reales que se indica con .
Se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los puntos de una recta y
los números reales.
Suma de números reales
Propiedades
Ley Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
a + b
+
Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c) ·
Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo
número.
a + 0 = a
+ 0 =
Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
e − e = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
− (− ) =
Diferencia de números reales
La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el
opuesto del sustraendo.
a − b = a + (−b)
Producto de números reales
La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue
manteniendo con los números reales.

Matemática
Propiedades
Ley Interna:
El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.
a · b
Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números
reales cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
(e · ) · = e · ( · )
Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado
por él da el mismo número.
a ·1 = a
· 1 =1
Elemento inverso:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el
elemento unidad.
Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de
dicho número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
· (e + ) = · e + ·
Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en
producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)

Matemática
· e + · = · (e + )
División de números reales
La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por
el inverso del divisor.
1.6.Números complejos
Números imaginarios
Son los que se resuelven la radicación de números negativos con índice par. Se define
la unidad imaginaria como la raíz cuadrada de -1:
(-1)1/2
= i
Por ejemplo:
(-9)1/2
= (-1 9)1/2
= 3 i
Números Complejos
Un número complejo se define como la suma de un número real y un número
imaginario.
Por ejemplo: 3 + 5 i
Se puede decir que todos los números son complejos, ya que un número real se los
puede definir como un número complejo con su parte imaginaria nula, y un número
imaginario como un número complejo con su parte real nula.
1.7.Expresiones algebraicas
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o
más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables,
incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por los
signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar longitudes, áreas y
volúmenes:
Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia.
Área del cuadrado: S = l2
, donde l es el lado del cuadrado
Volumen del cubo: V = a3
, donde a es la arista del cubo
O bien algunas expresiones algebraicas comunes:
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x

Matemática
La mitad de un número: x/2
Un tercio de un número: x/3
Un cuarto de un número: x/4
Un número al cuadrado: x2
Un número al cubo: x3
1.8.Valor numérico de una expresión algebraica
El un valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
sustituir las letras de la misma por números determinados y efectuar las
operaciones indicadas en la expresión.
Longitud de la circunferencia de radio 5 cm: L = 25 m=10cm
Área del cuadrado de lado 5 cm: S = (5 cm)2
=25 cm2
Volumen del cubo de arista 5 cm : V = a3
=53
= 125 cm3
1.9.Tipos de expresiones algebraicas
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término. Un
monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que
aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
Por ejemplo: 2x2
y3
z
Binomio
Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.
Por ejemplo: 2x2
y3
z + 3x2
y
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.
1.10. Monomios
Partes de un monomio:
Coeficiente
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
Parte literal
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
Grado
El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o
variables.
El grado de 2x2
y3
z es: 2 + 3 + 1 = 6

Matemática
Monomios semejantes
x2
y3
z es semejante a 5x2
y3
z
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
1.11. Álgebra de Monomios
Suma de Monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y
cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn
+ bxn
= (a + b)xn
2x2
y3
z + 3x2
y3
z = 5x2
y3
z
Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
2x2
y3
+ 3x2
y3
z
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo
coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.
5 · (2x2
y3
z) = 10x2
y3
z
Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el
producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las
potencias que tenga la misma base.
axn
· bxm
= (a · b)xn + m
(5x2
y3
z) · (2 y2
z2
) = 10 x2
y5
z3
División de monomios
Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del
dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente
de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que
tenga la misma base.
axn
: bxm
= (a : b)xn − m
Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.
Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al

Matemática
exponente de la potencia.
(axn
)m
= am
· xn · m
(2x3
)3
= 23
· (x3
)3
= 8x9
(− 3x2
)3
= (− 3)3
· (x2
)3
= − 27x6
1.12. Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn
+ an - 1 xn - 1
+ an - 2 xn - 2
+ ... + a1 x1
+ a0
Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada
la variable x.
Clasificación de un polinomio según su grado
Primer grado P(x) = 3x + 2
Segundo grado P(x) = 2x2
+ 3x + 2
Tercer grado P(x) = x3
− 2x2
+ 3x + 2

Matemática
Tipos de polinomios
Polinomio nulo
Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.
P(x) = 2x2
+ 3xy
Polinomio heterogéneo
Es aquel polinomio en el que sus términos no son del mismo grado.
P(x) = 2x3
+ 3x2
- 3
Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente
hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3
+ 3x2
+ 5x - 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de
mayor a menor grado.
P(x) = 2x3
+ 5x - 3
1.13. Álgebra de polinomios
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del
mismo grado.
Podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los
monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
P(x) = 7x4
+ 4x2
+ 7x + 2 Q(x) = 6x3
+ 8x +3
P(x) + Q(x) = 7x4
+ 6x3
+ 4x2
+ 15x + 5
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3
+ 5x − 3) − (2x3
− 3x2
+ 4x)
P(x) − Q(x) = 2x
3
+ 5x − 3 − 2x
3
+ 3x
2
− 4x
P(x) − Q(x) = 2x
3
− 2x
3
+ 3x
2
+ 5x − 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2
+ x − 3
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el
producto de los coeficientes del polinomio por el número.

Matemática
3 · (2x3
− 3 x2
+ 4x − 2) = 6x3
− 9x2
+ 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el
polinomio.
3x2
· (2x3
− 3x2
+ 4x − 2) = 6x5
− 9x4
+ 12x3
− 6x2
Multiplicación de polinomios
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos
segundo polinomio.
P(x) = 2x2
− 3 Q(x) = 2x3
− 3x2
+ 4x
P(x) · Q(x) = (2x
2
− 3) · (2x
3
− 3x
2
+ 4x) =
= 4x5
− 6x4
+ 8x3
− 6x3
+ 9x2
− 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5
− 6x4
+ 2x3
+ 9x2
− 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios
que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
Resolver la división de polinomios:
P(x) = x5
+ 2x3
− x − 8 Q(x) = x2
− 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos
huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5
: x2
= x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo
restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del

Matemática
divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4
: x2
= 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3
: x2
= 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2
: x2
= 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se
puede continuar dividiendo.
x3
+ 2x2
+ 5x + 8 es el cociente.

Matemática
Potencia Expansión polinomial Triángulo de Pascal
2 (x + 1)2
= 1x2
+ 2x + 1 1, 2, 1
3 (x + 1)3
= 1x3
+ 3x2
+ 3x + 1 1, 3, 3, 1
4 (x + 1)4
= 1x4
+ 4x3
+ 6x2
+ 4x + 1 1, 4, 6, 4, 1
... etc ...
El triángulo de Pascal
Una de las pautas de números más
interesantes el es triángulo de Pascal
(llamado así en honor de Blaise Pascal, un
famoso matemático y filósofo francés).
Para construir el triángulo, empieza con
"1" arriba, y pon números debajo
formando un triángulo.
Cada número es la suma de los dos
números que tiene encima, menos los
extremos, que son siempre "1".
(Aquí está remarcado que 1+3 = 4)
Polinomios
Cómo usar el triángulo de Pascal para
desarrollo de potencias de un binomio
El triángulo de Pascal también te da los
coeficientes en la expansión de un
binomio:
(x + 1)n
Cada fila de la tabla dá los coeficientes
del polinomio expandido
Ejemplo para la segunda, tercera y cuarta fila:
1.14. Regla de Ruffini, Teorema del resto, Teorema del factor.
Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció
un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando
el divisor es un binomio de la forma x — a.
1.14.1. Regla de Ruffini
Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la
división:
(x4
− 3x2
+ 2 ) : (x − 3)
Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que
faltan con ceros.
Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

Matemática
Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independientemente del
divisor.
Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente
término.
Sumamos los dos coeficientes.
Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
El último número obtenido, 56, es el resto.
El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y
cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.
x3
+ 3 x2
+ 6x +18

Matemática
1.14.2. Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x −
a) es el valor numérico de dicho polino
Calcular por el teorema del re mio para el valor: x = a.
sto el resto de la división:
P(x) : Q(x)
P(x)= x4
− 3x2
+ 2 Q(x) = x − 3
P(3) = 34
− 3 · 32
+ 2 = 81 − 27 + 2 = 56
1.14.3. Teorema del factor
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo si P(x
= a) = 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
Raíces de un polinomio
Son los valores que anulan el polinomio.
x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2
− 5x + 6, porque P(2) = 0 y
P(3) = 0.
Factorización de un Polinomio: (Técnica de Gauss)
Por el teorema del resto, si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible
por x – a, pues el resto de dividir P(x) entre x - a es cero. A cada uno de esos valores
se los suele designar x1 , x2, x3, etc
P(x) = a0 xn
+ a1 xn – 1
+ . . . + a n
P(x) = a0 (x – x1) (x – x2) . . . (x – xn) (Polinomio factoreado).
1.15. Métodos para factorizar un polinomio
1.15.1. Factor común
Consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)
Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces
x3
+ x2
= x2
(x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = − 1
2x4
+ 4x2
= 2x2
(x2
+ 2)
Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x2
+ 2, no tiene ningún valor que lo
anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por
tanto es irreducible.
Factor común por grupos
Descomposición en grupos de igual número de términos con un factor común en cada
grupo.

Matemática
2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b
Agrupo los términos que tienen un factor común
(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )
Saco el factor común de cada grupo
1.15.2. Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia de las bases.
a2
− b2
= (a + b) · (a − b)
Descomponer en factores y hallar las raíces
x2
− 4 = (x + 2) · (x − 2)
Las raíces son x = −2 y x = 2
x4
− 16 = (x2
+ 4) · (x2
− 4) = (x + 2) · (x − 2) · (x2
+ 4)
Las raíces son x = − 2 y x = 2
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.
a2
± 2 a b + b2
= (a ± b)2
Descomponer en factores los trinomios cuadrados perfectos y hallar sus raíces
La raíz es x = −3, y se dice que es una raíz doble.
La raíz es x = 2.
Trinomio de segundo grado
Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax2
+ bx + c ,
se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la
ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:
ax2
+ bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)
Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces

Matemática
Las raíces son x = 3 y x = 2.
Las raíces son x = 3 y x = − 2.
Descomponer en factores los trinomios de cuarto grado de exponentes pares y hallar
sus raíces
x4
− 10x2
+ 9
x2
= t
x4
− 10x2
+ 9 = 0
t2
− 10t + 9 = 0
x4
− 10x2
+ 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)
x4
− 2x2
+ 3
x2
= t
t2
− 2t + 3 = 0

Matemática
x4
− 2x2
+ 3 = (x2
+ 1) · (x + ) · (x − )
Suma o diferencia de potencias de igual grado
La suma de potencias de igual grado de exponente impar es divisible únicamente por
la suma de sus bases.
( x3
+ a3
) : ( x + a ) = ( x2
- ax + a2
)
Como se trata de una división exacta, el dividendo es igual al producto del divisor por
el cociente. Luego:
( x3
+ a3
) = ( x + a ). ( x2
- ax + a2
)
La diferencia de potencias de igual grado de exponente impar es divisible por la
diferencia de las bases.
(m3
- 27 n3
) : ( m - 3 n) = ( m2
+ 3mn + 9 n2
)
Como se trata de una división exacta, el dividendo es igual al producto del divisor por
el cociente. Luego:
(m3
- 27 n3
) = ( m - 3 n) . ( m2
+ 3mn + 9 n2
)
La diferencia de potencias de igual grado de exponente par, es divisible por la suma y
la diferencia de sus bases
( x6
- y6
) : ( x + y ) = ( x5
- x4
y + x3
y2
- x2
y3
+ xy4
- y5
)
Luego
( x6
- y6
) = ( x + y ). ( x5
- x4
y + x3
y2
- x2
y3
+ xy4
- y5
)
( x6
- y6
) : ( x - y ) = ( x5
+ x4
y + x3
y2
+ x2
y3
+ xy4
+y5
)
Luego
( x6
- y6
) = ( x - y ) . ( x5
+ x4
y + x3
y2
+ x2
y3
+ xy4
+y5
)
La suma de potencias de igual grado de exponente par no se puede factorear.
1.16. Expresiones algebraicas fraccionarias
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:
P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.
Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones algebraicas
son equivalentes, y lo representamos por:
si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

Matemática
son equivalentes porque:
(x+2) · (x+2) = x2
− 4
Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de
dicha fracción por un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica
resultante es equivalente a la dada.
Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el
denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.
1.17. Ejercicios de monomios
1.- Indicar cuáles de las siguientes expresiones son
monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente
Respuesta
3x3
5x− 3
3x + 1
2.- Realizar las sumas y restas de monomios Respuesta
2x2
y3
z + 3x2
y3
z
2x3
− 5x3
3x4
− 2x4
+ 7x4
3x4
− 2x4
+ 7x4
3.- Efectuar los productos de monomios. Respuesta
(2x3
) · (5x3
)

Matemática
(12x3
) · (4x)
5 · (2x2
y3
z)
(5x2
y3
z) · (2y2
z2
)
(18x3
y2
z5
) · (6x3
yz2
)
(− 2x3
) · (− 5x) · (− 3x2
)
4.- Realizar las divisiones de monomios Respuesta
(12x3
) : (4x)
(18x6
y2
z5
) : (6x3
yz2
)
(36x3
y7
z4
) : (12x2
y2
)
5.- Calcular las potencias de los monomios Respuesta
(2x3
)3
(− 3x2
)3
1.18. Ejercicios y problemas de polinomios
1.- Indicar si las siguientes expresiones algebraicas son
polinomios o no. En caso afirmativo, señalar cuál es su grado
y término independiente.
Respuesta
x4
− 3x5
+ 2x2
+ 5
+ 7X2
+ 2
1 − x4
x3
+ x5
+ x2
x − 2x− 3
+ 8
2.- Escribir Respuesta
Un polinomio ordenado sin término independiente
Un polinomio no ordenado y completo.
Un polinomio completo sin término independiente
Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares

Matemática
3.- Dados los polinomios Calcular Respuesta
P(x) = 4x2 − 1 P(x) + Q (x)
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2 P(x) − U (x)
R(x) = 6x2 + x + 1 P(x) + R (x)
S(x) = 1/2x2 + 4 2P(x) − R (x)
T(x) = 3/2x2
+ 5 S(x) + T(x) + U(x)
U(x) = x2 + 2 S(x) − T(x) + U(x)
4.- Dados los polinomios Calcular Respuesta
P(x) = x4
− 2x2
− 6x − 1 P(x) + Q(x) − R(x)
Q(x) = x3
− 6x2
+ 4 P(x) + 2 Q(x) − R(x)
R(x) = 2x4 − 2x − 2 Q(x) + R(x) − P(x)
5.- Multiplicar Respuesta
(x4
− 2x2
+ 2) · (x2
− 2x + 3)
(3x2
− 5x) · (2x3
+ 4x2
− x + 2)
(2x2
− 5x + 6) · (3x4
− 5x3
− 6x2
+ 4x − 3)
6.- Dividir Respuesta
(x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)
(x 6 + 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)
P(x) = x5
+ 2x3
− x − 8 Q(x) = x2
− 2x + 1
7.- Dividir por Ruffini Respuesta
(x3
+ 2x + 70) : (x + 4)
(x5 − 32) : (x − 2)
(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)
8.- Hallar el resto de las siguientes divisiones Respuesta
(x5 − 2x2 − 3) : (x − 1)
(2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x + 10) : (x + 2)
( x4
− 3x2
+ 2) : (x − 3)
9.- Indicar cuáles de estas divisiones son exactas Respuesta
(x3 − 5x − 1) : (x − 3)
(x6 − 1) : (x + 1)
(x4 − 2x3 + x2 + x − 1):(x − 1)
(x10 − 1024) : (x + 2)
10.- Comprueba que los siguientes polinomios tienen como
factores los que se indican
Respuesta
(x3
− 5x − 1) tiene por factor (x − 3)
(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)
(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1
(x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)
11.- Hallar a y b para que el polinomio x5
− ax + b sea divisible por x2
− 4.

Matemática
12.- Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x3
+ ax2
+ bx + 5 sea
divisible por x2
+ x + 1
13.- Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2
− kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.
14.- Determinar el valor de m para que 3x2
+ mx + 4 admita x = 1 como una de sus
raíces
15.- Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x
= 3 y x= 5
16.- Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax + 8 tenga la raíz x = − 2, y
calcular las otras raíces
1.19. Actividades de Autoevaluación
Resuelve y obtiene tu evaluación según el porcentaje de respuestas correctas
1) En un viaje en taxi, cae una ficha cada 0.2 km. La "bajada de bandera" cuesta $18 y
cada ficha cuesta $2 ¿Cuál de los siguientes polinomios expresa el costo del viaje en
taxi? ( x es la distancia recorrida en km.)
a) P(x)=2+0,2x
b) Q(x)=18x+2
c) R(x)=2x+18
d) H(x)=10x+18
2) Decidir si las siguientes expresiones son polinomios, en caso de no serlo indicar
porque
3) Halla el grado de cada uno de los siguientes
polinomios
1) P(x) = x2
+ 3x – 4
2) P(x) = x
4
+ 5x
7
– 4x
3) P(x) = x2
+ 3x – 4x3
+ 2
4) Indicar si los polinomios están completos, ordenados o ambos. En caso de no estarlo
escribirlos completos y ordenados.
1) P(x) = 3x – 4 + x2
2) P(x) = x
3
+ 3x
5
– 2
3) P(x) = 2x2
+ 7x – 4x4
–1
5) Halla el valor numérico de los siguientes polinomios
1) P(x) = 3x2
– 4 x + 2 para x = 1
2) P(x) = 2x
3
– 4 x
2
+ 2 x – 3 para x = - 1.
3) P(x) = 4x2
– 5 x + 2 para x = 0

Matemática
6) Aplicar la regla de Ruffini para calcular las siguientes divisiones y verificar el resto
por el teorema de resto.
7) Indica sin realizar la división si los siguientes polinomios son divisibles
1) P(x) = x5
– 1 Q(x) = x – 1
2) P(x) = x
3
– 1 Q(x) = x + 1
3) P(x) = x
2
+ 6x + 9 Q(x) = x + 3
4) P(x) = x4
– x2
– 12 Q(x) = x + 2
8) Hallar el valor de "k" para que los siguientes polinomios sean divisibles
1) P(x) = 3x2
+ k x – 8 Q(x) = x – 2
2) P(x) = x
2
+ (k – 2) x+ 1 Q(x) = x + 2
3) P(x) = (3 + k)x2
+ k2
x – 5 Q(x) = x – 1
9) Hallar las raíces de los siguientes polinomios (factorizarlos)
1) P(x) = x2
– 5x + 6
2) Q(x) = 3x
2
+ 18x + 24
3) H(x) = x
3
– 4x
2
– x + 4
4) R(x) = x3
+ x2
– 16 x – 16
10) Resolver los siguientes problemas
1) Escribir todos los polinomios de grado tres cuya única raíz sea 3. ¿La respuesta es
única.?
2) Escribir un polinomio de grado tres donde 4 sea una raíz doble y – 1 una raíz simple,
además que cumpla P(2) = 24
3) Escribir el polinomio de grado tres sabiendo que P(–2) = P(1) = P(5) = 0 y que P(0) = 50.
4) Hallar una función polinómica de grado dos que corte al eje x en los puntos (3, 0 ) y
5) Hallar la función polinómica de grado 3, cuyos ceros sean –1, 2 y 3, para que
verifique que f(1) = 12
1.19.1. Respuesta a las actividades de autoevaluación
Respuesta: H(x)
Respuesta: 1) si 2) No, potencia no natural 3) No, raíz.
Respuesta: 1) Segundo grado. 2) Séptimo grado. 3) Tercer grado
Respuesta: 1) completo, no ordenado. 2) incompleto y no ordenado. 3) incompleto y
no ordenado.
Respuesta: 1) 1 2) – 11 3) 2
Respuesta:
7x2
+ 10x +15,

Matemática
x + 2 (resto: 2),
5x3
– x2
– 2 (resto: – 3),
5x2
+ 10x – 10
Respuesta: 1) si 2) no 3) si 4) si
Respuesta: 1) k = 2, 2) k = 9/2 3) k = 1 ó k = – 2.
Respuesta:1) P(x) = (x – 3)(x – 2), 2) Q(x) = 3.(x + 2)(x + 4)
3) H(x) = (x – 4)(x + 1)(x – 1), 4) R(x) = (x + 4)(x – 4)(x + 1)
Respuesta: 1)P(x) = a . (x – 3)
3
. No "a" puede tener muchos valores. 2)Respuesta: P(x)
= 2.(x – 4)2
(x + 1) 3)Respuesta: P(x) = 5 (x + 2)(x – 1)(x + 5) 4)Respuesta: P(x) = 2 (x –
3)(x + 1) 5)Respuesta – 2)(x –3)

Matemática
2. Capitulo 2: Ecuaciones
Ecuación es toda función algebraica igualada a 0 ó a otra igualdad
algebraica. A la primera parte de la igualdad se la llama primer término y
a la segunda se la llama segundo término. Dos ecuaciones son
equivalentes cuando tienen el mismo resultado.
2x 3 0
¿A que se llaman expresiones Algebraicas?
Trabajaremos con Relaciones numéricas donde una o más cantidades son
desconocidas, éstas son llamadas variables, incógnitas o indeterminadas y están
representadas por letras.
Una Expresión Algebraica, como se definió anteriormente, es una combinación de
letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción,
multiplicación, división y potenciación.
Enmatemáticalasletras
puedenser
Evaluadas: A la letra se le asigna un valor numérico desde el principio, por
ejemplo la letra e .
Ignoradas: Se ignora la letra y no se le da ningún significado.
Como objetos: Las letras son vistas como un objeto concreto (lados de un
polígono, frutas, tiempo) eliminando así el significado abstracto de las letras
por algo concreto y real.
Como incógnitas específicas: Los alumnos consideran las letras como un
número desconocido pero específico y pueden operar sobre él directamente
Como variables son consideradas como una representación de un conjunto
de valores no especificados, y se observa una relación sistemática entre dos
conjuntos de valores.
Área del circulo: A r2
, donde rl es el radio del cuadrado
Las
Perímetro del cuadrado: P 4l donde l es el lado del cuadrado.
2
expresiones
algebraicas nos
permiten hallar,
por ejemplo,
áreas, perímetros
y volúmenes.
Volumen del cilindro de base circular: V h
r
altura del cilindro y r es el radio de la base.
, donde h a es la
Hay distintos tipos de ecuaciones:
Una igualdad numérica o identidad 2 + 5 = 3 + 4
Una igualdad algebraica 3X + 8 X = 11 X
Una función: es una expresión algebraica igualada a y. y = 2 x - 1
2.1.Elementos de una ecuación
Miembros Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que

Matemática
aparecen a ambos lados del signo igual.
Términos Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los
miembros de una ecuación.
Incógnitas La incógnita de una ecuación es el valor desconocido que se pretende
determinar.
La incógnita de una ecuación se suele expresar con las últimas letras del
abecedario, como por ejemplo letra x.
Soluciones Las SOLUCIONES de una ecuación son los valores que deben tomar las
letras para que la igualdad sea una identidad.
2x 3 3x 2 3 2 3x 2x 5 x, para esta ecuación el valor es
5
Grado El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que
forman sus miembros.
2.2.Operaciones con Ecuaciones. Ecuaciones equivalentes
Si a , b , c y d son cuatro números reales cualesquiera, entonces valen las
propiedades siguientes:
Reflexividad: todo número es igual a sí mismo. a a
Simetría: si un número a es igual a otro b , y este último es
igual a un tercer número c , entonces el primero es igual al
tercero
a = b b = c a
= c
Transitividad: dados dos números a y b , si el primero es
igual al segundo, entonces el segundo también es igual al
primero
a = b b = a
Uniformidad con la suma: si se suma el mismo número a
ambos miembros de una igualdad, se obtiene otra igualdad
a = b a + c = b +
c
Uniformidad con el producto: si se multiplican ambos
miembros de una igualdad por el mismo número, se obtiene
otra igualdad
a = b ac = bc
Ahora aplicamos estas propiedades en la resolución de algunas ecuaciones sencillas.
3x 8 9
3x 8 89 8 (por la uniformidad con la suma)
3x 1
3x 
1
1
1
(por la uniformidad con el producto)
3 3
x 
1
3
Sea la ecuación lineal: 2x – 8 = 2(3 + x)
Resolución:

Matemática
2x 8 23 x
2x 8 6 2x
2x 8 2x 6 2x 2x
8 6
por propiedad distributiva:
por propiedad uniforme de la suma:
operando:
¡ABSURDO!
¿Qué significa esto? ¿Se cometió algún error durante el desarrollo?
No se cometió ningún error. El absurdo provino que la ecuación dada no tiene solución
en los números reales, es decir, no existe ningún valor de x que satisfaga la ecuación.
El conjunto solución de dicha ecuación es vacío.
Sea la ecuación lineal: 10x = 5(2x – 4x)
Resolución:
10 x
10 x
10 x
52x 4x
52x
10 x
operando:
por propiedad uniforme del producto:
10 x1
10 x1
10 10
x x
Ecuaciones
que son
equivalentes
Tienen la misma solución
2x 4 6
, en ambas ecuaciones la solución es x 1
x 2 3
Criterios de
equivalencia
de ecuaciones
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta
una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
3x 5 10
, en ambas ecuaciones la solución es x 5
3x 5 4 10 4
Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les
divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
6x 12 18 x 1
6x 123 18 3 2x 4 6 x 1
2.3.Clases de ecuaciones
Ecuaciones
polinómicas
Enteras. Son de la forma Px0, donde Pxes un polinomio.
Primer grado o lineales: Son del tipo ax b 0, con a 0 , ó cualquier
otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar
adoptan esa expresión.
5x 2 0
x 12
x2
2 x2
2x 1 x2
2 2x 1 2
Segundo grado o cuadráticas: Son del tipo ax2
bx c 0 , con a 0,
cuando están completas, o incompletas ax2
0, ax2
bx 0 o
ax2
c 0
Tercer grado: Son del tipo ax3
bx2
cx d 0, con a 0 .
Cuarto grado: Son del tipo ax4
bx3
cx2
dx e 0, con a 0 ,
Bicuadradas: Son ecuaciones del tipo ax4
bx2
c 0 , con a 0 . Son
ecuaciones de cuarto grado que no tienen términos de grado impar.

Matemática
Grado n: Son del tipo a xn
a xn1
a xn2
...... a x a 01 2 3 n1 n
Racionales: son de la forma Px , donde Pxy Qxson polinomios.
Qx
1

1
0
x2
x x 1
Irracionales: son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el
signo radical.
n
Px0
Px
0
n Qx
Ecuaciones no
polinómicas
Exponenciales: Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el
exponente.
Logarítmicas: la incógnita aparece afectada por un logaritmo.
Trigonométricas: la incógnita está afectada por una función
trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general
infinitas soluciones.
2.4.Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
Los términos en los que no figura la incógnita, en una ecuación de primer grado se
llaman términos independientes.
Pasos a seguir para
resolverlas
Se efectúan las operaciones indicadas, supresión de paréntesis,
aplicación de propiedades distributivas, reducción a común
denominador, etc.
Si aparece un divisor común en ambos miembros se simplifica
la ecuación, suprimiéndolo; si aparece en un solo miembro, se
pasa al otro miembro como factor de éste.
Reducida la ecuación a forma polinómica, sin denominadores,
se efectúa el pasaje de todos los términos con incógnitas a un
miembro y los términos independientes al otro, reduciéndose los
términos semejantes.
Si el coeficiente de la incógnita es negativo, se multiplican
ambos miembros por 1.

Matemática
Se pasa el coeficiente de la incógnita si es distinto de cero,
como divisor del miembro que contiene el término
independiente, determinándose así el valor de la raíz.
Por último se verifica, si el valor hallado satisface a la ecuación.
Si la ecuación fuere fraccionaria se procede de igual manera.
Dada una ecuación de primer grado, ésta tiene:
ninguna solución
una única solución
infinitas soluciones
En la siguiente ecuación
5x 2 7x 10
Se agrupan los términos que tienen x en el primer miembro
y los independientes en el segundo miembro
5x 7x 10 2
Se resuelve la suma 2x 12
Multiplicando ambos miembros por 1 , es recomendable
agregar un paréntesis cuando se multiplica por un número
negativo.
2x1121
Ahora despejamos el valor de x al cual se lo denomina raíz
de la ecuación
2x 12 x 
12
6
2
Verificación, si el valor hallado es correcto, reemplazado en
la ecuación ésta se transforma en una identidad
562 7610
30 2 42 10 
32 32
En la siguiente ecuación
7

26 10x

4
3 12x 3
Encontramos el mínimo común denominador, 3 es un
número primo y 12 se puede descomponer en sus
números primos.
12 2
6 2 12 22
3
3 3
El mínimo común denominador es 12. Se eligen los
números primo con el mayor exponente
12 22
3
Como en el ejemplo, tenemos la variable x en el
denominador, también forma parte del mínimo común
denominador
12x
Se suma 7 4x 26 10x

4 4x
12x 12x
Resolvemos 28x 26 10x

16x
12x 12x
Cancelamos los denominadores por ser iguales 18x 26 16x
Agrupamos 18x 16x 26
Resolvemos en el primer miembro 2x 26

Matemática
El valor buscado es
x 
26
13
2
Verificación 7 26 1013 4
 
3 1213 3
7

26 130

4
3 156 3
7

156

7
1 
7 3

4
3 156 3 3 3
2.5.Ejercicios propuestos Ecuaciones de primer grado
Encontrar el valor de x El valor de x es
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
1
x 4 0
3
7.-
2
x 3
10
8.- 2x:4360:5
9.- 10 4x:2
10.-x 
 36 12
2 
Indicar cuál es el conjunto solución de la ecuación x 2y 5
2.6.Problemas que se resuelven a través de ecuaciones
Para resolver problemas de ecuaciones en primer lugar lo tenemos que expresar en
lenguaje algebraico y posteriormente resolver la ecuación resultante.
A continuación se enuncian las expresiones algebraicas más comunes
El doble o duplo de un número 2x
El triple de un número 3x
El cuádruplo de un número 4x
La mitad de un número x
2
Un tercio de un número x
3
Un cuarto de un número x
4
Un número es proporcional a 2, 3, 4,.. 2x, 3x, 4x,..

Matemática
Un número al cuadrado x2
Un número al cubo x3
Dos números consecutivos x y x + 1
Dos números consecutivos pares 2x y 2x + 2
Dos números consecutivos impares 2x + 1 y 2x + 3
Descomponer 24 en dos partes x y 24 − x
La suma de dos números es 24 x y 24 − x
La diferencia de dos números es 24 x y 24 + x
El producto de dos números es 24
x y
24
x
El cociente de dos números es 24 ; x y 24 • x
Escribir la ecuación que resuelve el siguiente problema:
Pensar un número
Sumarle 15
Multiplicar por 3 el resultado
A lo que se obtiene, restarle 9
Dividirlo por 3
Restarle 8.
Nota: Si la respuesta es, por ejemplo, 32, el número pensado originalmente es 28.
¿Cómo se sabe?
Expresar en lenguaje simbólico todas las operaciones realizadas. Le llamamos x al
número pensado originalmente (valor desconocido a averiguar).
x 153 9
8 32
3
Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales,
obtenemos:
x 153
9
3
8 32 
x 153

9
3 3
8 32  x 15 3 8 32

x 4 32
Resolver
1.- Si x toma los valores 6, –1 ó 10, ¿cuáles de las siguientes ecuaciones se
verifican? ¿Cuáles no se verifican?
3 x + 4 = 5 x – 8
2 x2
+ 20 = 24 x –20
3 x + 4 = 5 x – 8
2 x2
+ 20 = 24 x –20
2.-Determinar si los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes. Justificar.
3x – 5 = –2x  3x – 5 + x2
= –2x + x2

Matemática
3
3x + 4 = 6  x + 4 = 6
x2
= 3x2
– 5x  x = 3x – 5
3
4 . (–2x + 8) = 6x  –2x + 8 = 2 x
–2 . (x + 9) = 8  x + 9 = 8 + 2
2.7.Ecuaciones fraccionarias o polinómicas racionales
Px
Llamamos ecuaciones fraccionarias a aquellas de la forma 0 , donde P(x) y
Qx
Q(x) son polinomios, Q(x) 0 , o a aquellas ecuaciones que se pueden llevar a esta
forma.
x 1
x 2
x 1
Encontrar el valor de x
3
4
1x
Pasamos el polinomio que se encuentra en el
denominador al segundo miembro
3 41x
Continuamos el cálculo hasta despejar el valor de x 3 4 4x
34 4x
1 4x
1
x
4
x 
1
4
Encontrar el valor de x 2.-
x

2

1xx
x 3 x 3
En el primer miembro el mcm es x2
9
Ahora sumamos los términos del primer miembro xx 32x 3 1x

x2
9 x
Aplicando propiedad distributiva x2
3x 2x 6 1x

x2
9 x
x2
x 6 1x

x2
9 x
Pasando el divisor x2
9 al segundo miembro, y el
divisor x al primer miembro
x2
x 6x 1xx2
9
Aplicando propiedad distributiva x3
x2
6x x2
9 x3
Cancelando los términos iguales en ambos miembros 6x 9 9x
Realizando pasaje de términos, simplificando obtenemos
el valor de x
6x 9x 9
15x 9
x 
9

3
15 5

Matemática
Resolver
1.-
15
2
x 1
2.- 3x 52 40
3.- 18x 12
4.- 3x 4:5 4
5.-
24
12x 3
x 2
6.-
12
3 1
3x
2
7. En la resolución de la siguiente ecuación fraccionaria: x 1
0 ., se aplican las
x 1
propiedades ya conocidas.
2
Se Multiplica ambos miembros por x +1: x 1
x 10x 1x2
– 1 = 0 x1 = 1 y
x 1
x2 = –1 .
Verificar si x1
y x2 son solución de la ecuación original. ¿Qué sucede? ¿Qué error se
cometió?
2.8.Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
Un sistema lineal con dos ecuaciones y dos incógnitas está formado
por dos ecuaciones lineales y dos indeterminadas, generalmente x e y.
¿Qué es resolver un sistema?
Resolverlo consiste en determinar los
valores de x e y que hacen ciertas
simultáneamente las dos igualdades.
2.9.Clasificación según la solución
Un sistema de este tipo puede no tener
solución
sistema incompatible
tener una solución sistema compatible determinado
tener infinitas soluciones sistema compatible indeterminado

Matemática
2.10. ¿Cómo podemos resolver un sistema?
Método de
Sustitución
Se sustituye su valor en la otra ecuación quedando una ecuación de
primer grado con una incógnita, se resuelve la ecuación y se obtiene el
valor de una de las incógnitas. Finalmente se vuelve a la ecuación
despejada para hallar el valor de la incógnita que queda
Método de
Igualación
Este método consiste en despejar la misma variable en las dos
ecuaciones. Se igualan sus valores quedando una ecuación de primer
grado con una variable. Se resuelve esa ecuación hallándose el valor de
una variable, luego se sustituye ese valor en una de las dos ecuaciones
despejadas, calculándose el valor de la segunda variable.
Método de
reducción
Consiste en multiplicar una o las dos ecuaciones por números
convenientes de tal forma que al "sumar" las ecuaciones se vaya una de
las variables quedando una ecuación de primer grado y se procede igual
que en los casos anteriores
2.10.1. Por Sustitución
Se sustituye su valor en la otra
ecuación quedando una ecuación de primer grado
con una incógnita
Sustituyendo en la primera ecuación y despejando
se tiene
4 yy 2 4 y y 2
4 2y 2 2y 2 4 2y 2
y 
2
1
2
Ahora hallamos el valor de x partiendo del valor
despejado inicialmente x 4 y x 4 1 x 3
Resolver

Matemática
Sistemas de ecuaciones Respuesta
1.-
X=4
Y=6
2.-
X=2
Y=3
2.10.2. Por Igualación
Se despeja la misma variable de
las dos ecuaciones
Se iguala 2 y 4 y
Despejando, encontramos el valor y
2 4 y y 2 2y y 
2
1
2
Este valor se sustituye en cualquiera de las
dos ecuaciones encontradas al comienzo
x 2 y 2 12 1 3
La solución x 3 y 1
Resolver
1.-
X=
Y=
2.-
X=2
Y=3
2.10.3. Por Reducción
Se elige la segunda ecuación
La multiplicamos por 3 2x 3y 2

3x 3y 3
Cancelando se obtiene el valor de x
Ahora hallamos el valor de y sustituyendo x
en una de las dos ecuaciones iniciales
213y 2

Matemática
Despejando y 3y 2 2 0 3y 0 y 0
La solución del sistema es x 1y 0
Resolver
1.- X=
Y=
2.- X=
Y=
2.10.4. Método de Determinantes
Dado un sistema de dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas, igualmente
ordenadas, el valor de cada incógnita es el de una fracción que tiene por denominador
el determinante formado por los coeficientes de las incógnitas, y por numerador el
determinante que se obtiene reemplazando en el anterior los coeficientes de la
incógnita cuyo valor se quiere hallar por los términos independientes respectivos que
figuran en el segundo miembro. Para sistemas compatibles determinados.
Dado el sistema de
ecuaciones, verificar que las
incógnitas se encuentren
igualmente ordenadas
2x 3y 1

3x 7y 6
Se llama determinante principal al
formador por los coeficientes de las
incógnitas. Para aplicar éste
método debe ser distinto de cero.

2 3
3 7
Este determinante se resuelve
multiplicando los valores en la
diagonal principal de izquierda a
derecha y restando el producto de
derecha a izquierda (diagonal
secundaria)

2 3
3 7
2 73314 9 5
Para encontrar el valor de x, se
reemplaza en el determinante
principal los coeficientes de x por
los de los términos independientes,
llamado determinante orlado en x.
x

1 3
6 7
17637 18 
25

Matemática
El valor de x se define como
Para obtener el valor de y se
1
 6
x  x

 2
3
2 1
3
7

25
5
3 5
7
procede de manera similar,
encontramos el determinante
orlado en y
y 
3
2 631 12 3 15
6
El valor de y se define como 2
 3
y 
y

 2
3
1
6

15
3
3 5
7
Resolver
1.-
X=
Y=
2.-
X=
Y=
Para
recordar
Es importante verificar que el valor obtenido satisface la ecuación porque un error en
los cálculos puede conducirnos a una solución incorrecta
Dos ecuaciones equivalentes tienen la misma solución.
Cualquiera sea el método de resolución que se utilice, el resultado es siempre el
mismo.
El método por determinantes no se puede utilizar si el determinante principal es nulo.

Matemática
2.11. Representación gráfica de la solución de un sistema lineal de dos
ecuaciones con dos incógnitas
Una ecuación lineal de primer grado se puede representar en un sistema de
coordenadas cartesianas como una recta. Para ello se debe despejar la variable y.
Dada la ecuación ax by c 0
Se despeja la variable y
y 
a
x 
c
b b
De esta manera podemos identificar la
pendiente de la recta como el coeficiente
que multiplica a la variable x
a
b
El término independiente también llamado
ordenada al origen, es el valor en que la
recta corta al eje de ordenadas. Si este
valor es nulo la recta pasa por el origen.
c
b
Y
X
Según se analizó anteriormente, el sistema puede tener una o infinitas soluciones, o
no tener ninguna solución. A modo de ejemplo s
1.- Dada la ecuación lineal
x y 8 0

x y 2 0
Para resolver el sistema podemos utilizar
el método por sustitución: despejamos la
variable x en las dos ecuaciones:
x y 8
x y 2
Igualando se obtiene se obtiene el valor
de x
y 8 y 2
8 2 y y
6 2y y 3
Con el valor obtenido reemplazamos en
cualquiera de las dos ecuaciones para
obtener el valor de la variable y
x 32 5
Los valores obtenidos son la solución del
sistema, que gráficamente representan el
punto de intersección entre las dos rectas,
P5;3, como puede verse en el grafico:
Sistema Compatible
determinado.
x y 2 0

3x 3y 6 0

Matemática
Como se vio anteriormente estas dos
ecuaciones son equivalentes, ya que la
segunda se obtiene multiplicando la
segunda por 3. En este caso cualquier
valor que satisfaga la primera se obtendrá
el mismo valor en la segunda.
Gráficamente representa la misma recta,
por lo que decimos que la solución del
sistema son infinitas.
Sistema Compatible
Indeterminado
x y 2 0

x y 4 0
Para resolver el sistema podemos utilizar
el método por sustitución: despejamos la
variable x en las dos ecuaciones.
x y 2
x y 4
Al igualar las ecuaciones se obtiene y 2 y 4
Como puede comprobarse, la ecuación
obtenida no tiene solución. Gráficamente
representan dos rectas paralelas.
Sistema
Incompantible
Resolver
Encontrar la solución de los siguientes sistemas y luego graficarlo
4x y 6
1.- 
8x 5y 2

x 
1
y 
3
 4 22.- 
4x 
5
y 2
 2
3.-
2x 3y 1
x y 3
2.12. Técnica de Resolución de problemas
Dentro del proceso de
resolución de problemas,
se pueden diferenciar las
siguientes etapas:
Leer el problema
Definir las incógnitas principales de forma precisa
Traducción matemática del problema
Resolución del problema matemático
Interpretar las soluciones
Contrastar la adecuación de esas soluciones

Matemática
¿Cuántos puntos vale cada bola?
Existen dos datos que no conocemos, los puntos que
vale una bola roja, y los que vale una bola amarilla.
A estos datos que no
conocemos los llamamos
incógnitas, x e y.
x = Puntos bola roja
y = Puntos bola amarilla
Ya que 2 bolas rojas (2x) y una
bola amarilla (y) son 5 puntos,
se debe cumplir que
2x + y = 5
Por otro lado, 3 bolas rojas (3x)
y cuatro bolas amarillas (4y)
son 10 puntos, así que:
3x + 4y = 10
Por tanto, se cumplen dos
ecuaciones de primer grado.
Juntando ambas ecuaciones:
El conjunto de estas dos
ecuaciones se llama sistema
de ecuaciones con dos
incógnitas.
¿Entonces cuántos puntos
valen cada bola?
Para saberlo, debemos
encontrar la solución del
sistema.
Ahora se aplica cualquiera de los metodos descriptos
anteriormente para encontrar la soluciòn. El lector
deberá verificar la respuesta:
Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a $ 40 el kg y la segunda a $ 60 el
kg.
¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kilos de
mezcla a $ 50 el kg?
Se definen las incógnitas: 1ª clase 2ª clase Total
Nº de kg x 60 − x 60
Valor 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50
Se definen matemáticamente
el problema
40x 6060 x6050
Se resuelve el sistema 40x 3600 60x 3000

Matemática
40x 60x 3000 3600
20x 600
x 
600
30
20
Solución del problema Se deberán mezclar 30 kg de la primera clase, y
60kg 30kg 30kg de la segunda clase
2.13. Sistemas de ecuaciones lineales: Problemas propuestos
Enunciado del problema Respuesta
1.- En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas,
son 50, si las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
2.- Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus
conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres
en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos
libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?
3.- En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276
patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una
mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).
4.- En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de
dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?
5.- Se quieren mezclar vino de 60 pesos con otro de 35 pesos, de modo
que resulte vino con un precio de 50 pesos el litro. ¿Cuántos litros de
cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?
6.- Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950.
¿Qué peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata
de ley 0.900?
2.14. Ecuaciones de segundo grado
HISTORIA DE LAS ECUACIONES
Actualmente hay evidencias que los babilonios alrededor del año1600 a.C ya
conocían un método para resolver ecuaciones de segundo grado, aunque no tenían
una notación algebraica para expresar la solución. Los griegos, al menos a partir del
año 100 a.C., resolvía las ecuaciones de segundo grado con métodos geométricos,
métodos que también utilizaban para resolver algunas ecuaciones de tercer grado.
En el Renacimiento, los matemáticos de Bolonia resolvieron por métodos algebraicos
la ecuación de tercer grado (se cree que Scipio del Ferro fue el primero en resolverla),
pero la solución permaneció en secreto.

Matemática
En 1535, Niccolo Fontana (más conocido como Tartaglia)
demostró que era capaz de resolver la ecuación de tercer
grado, pero no explicó como. Sólo se dedico a ganar un
concurso público con su método sin desvelar los detalles.
La fórmula descubierta por Tartaglia fue publicada por el
físico Girolamo Cardano en su famosa obra Ars Magna en
1545.
Tartaglia reducía todas las ecuaciones de grado tres a una
de la forma
La ecuación de segundo grado y la solución tiene origen
antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en
Babilonia y Egipto. En Grecia fue desarrollada por el
matemático Diofanto de Alejandría.
Niccolo Fontana
2.15. Resolución de Ecuaciones de segundo grado
Las ecuaciones cuadráticas o de
segundo grado completas son
las expresiones de la forma.
ax2
bx c 0
Los valores que satisfacen esta ecuación, (hacen una identidad la expresión), se
llaman raíces. Por ser una ecuación de segundo grado tiene dos raíces.
Para resolver ecuaciones de
segundo grado utilizamos la
siguiente fórmula:
b  b2
4ac
x 
2a
Las raíces son: b  b2
4ac
x1 
2a
b  b2
4ac
x2 
2a
Demostraremos la fórmula para
el cálculo de raíces. Si a 0
sacamos factor común
ax2
b x c
0
 a a 
2
Se debe sumar y restar b
4a2
para obtener un trinomio
cuadrado perfecto.
a

x2
b x  b2
 b2
c 
0 
a 4a2
4a2
a

 
 b 
2
b2
c 
ax 
2
 
4a2
 
0
 a  aDividiendo por ,
calculando el denominador
común y despejando el
binomio al cuadrado, resulta
 b 
2
b2
4ac b b2
4ac
x
2a

4a2
x
2a
 2

  4a
2 2
x
b

 b 4ac
x 
b

 b 4ac

2a 2a 2a 2a
b b2
4ac x 
2a
Analizando la ecuación debajo
del signo radical, llamada
discriminante, se puede
determinar que tipo de solución
b2
4ac 0una única solución real doble
b2
4ac 0dos soluciones reales distintas
b2
4ac 0ninguna solución real

Matemática
tiene la ecuación
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es incompleta si alguno de los
coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.
Si b=0 y c=0
La solución es x = 0
ax2
= 0
Si c=0
Extraemos factor común x
ax2
+ bx = 0
X1=0
Si b=0
Despejando
ax2
+ c = 0
Hallar las
soluciones de la
ecuación
–2x2
– 3x = –2
en primer lugar debemos
llevarla a la forma
general ax2
bx c 0
donde a 0
–2x2
– 3x + 2 = 0
En este caso particular,
tenemos que
a = –2 , b = –3 y c = 2.
Utilizando la fórmula ya
vista las soluciones están
dadas por
 32
422
x1,2

22
Operando
x 
3 5
→ x 
3 5
2 x 
3 5

1
1,2
4 1
4 2
4 2

Matemática
Resolver
1-¿Cuál es el resultado de: x2 = 49? Indicar la respuesta correcta.
a) x2 = 49 Su conjunto solución es { + 7 , - 7}
b ) x2 = 49 Su conjunto solución es { 4 , 0}
c ) x2 = 49 Su conjunto solución es { - 9 , + 4}
2.-Sea el polinomio P(x) = 4x2
+ 8x – 12. Hallar las raíces mediante la fórmula
resolvente de la ecuación de segundo grado. Verificar la respuesta r1 1r2 3
3.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) a2
– 5x = 2x2
+ 6x + 2 – x2
b) 2x
2
= –18
c) x.(x – 1)(x + 2) = x3
d) – 2
x2
+ 2 x – 1
= 03 2
e) (x + 3)2
= 12x
f) x2
+ 3x = 3.(x2
+ x) – 2x2
4.- La edad de Pablo elevada al cuadrado es igual a cinco veces la edad que tendrá
dentro de 10 años. ¿Qué edad tiene Pablo?
5-Cuantas raíces tiene la ecuación ?
◘ Ninguna solución ◘ Una solución ◘ Dos soluciones
6-Cuál debe ser el valor del coeficiente a, si se sabe que el valor de la función y = a.x ²
para x = 1 es igual a 2?
7- Resolver:
a)(3.x + 1-)x = (2.x/3 - 5/6).6
b)2.(x + 3.x ²/2 - 1) = 3.(x ² - 1)
c) (x + 5)³ - x³ - 15.x ² = 50
d) (x - 1,5) ² = (x + 1).(x - 3,.5) - 0,25
e) 2.(x + 3.x ²/2 - 1) = 3.(x ² - 1)
f) (x - 1) ²/6 - [(x ²/2) - 1]/3 = 0
2.16. Propiedades de las soluciones de las ecuaciones cuadráticas
Una ecuación
de segundo ^
grado
tiene dos
soluciones:

Matemática
La suma de las
soluciones
es:
El producto de
las soluciones
(p) es:
Concluyendo
^
En la ecuación
dividimos por
a ambos lados
Si tenemos en
cuenta los
valores de (s) y
(p) nos queda
la forma canónica de la ecuación de segundo grado
Si una ecuación de segundo grado tiene como coeficiente del término de segundo
grado la unidad, el coeficiente del término de primer grado es igual a la suma de las
soluciones de la ecuación cambiada de signo (-s) y su término independiente es igual al
producto dichas soluciones (p).
Escribir la ecuación de segundo grado que tenga como
soluciones 3 y -8
La suma es
El producto es
La ecuación que buscamos es
Calcular el valor de en la ecuación
sabiendo que las dos soluciones son iguales.
Por lo tanto la
suma es
Analizando la ecuación canónica la suma es
Igualando ambas expresiones
Como es el producto de las dos soluciones
Determinar, sin resolver las ecuaciones, el valor de la suma y del producto de
sus soluciones:
a) En la ecuación 2x2
+ 7x- 15 = 0 a= 2; b= 7; c= -15
La suma es
El producto es
Se pasa la ecuación a la forma
ax2
bx c 0
20 =x(9 -x)
20 = 9x-x2
x2
- 9x+ 20 = 0
a= 1; b= -9; c= 20

Matemática
c) 3x2
+ 6x+ 3 = 0 en esta ecuación a= 3; b= 6; c= 3.
2.17. Determinación de una ecuación de segundo grado a partir de la
suma y producto de sus soluciones
Conociendo la suma y el producto de las soluciones de una ecuación de segundo
grado, se puede determinar la ecuación correspondiente
Sea S la suma de las dos raíces o soluciones de la
ecuación:
La ecuación de segundo grado se escribe como
ax2
bx c 0
Sustituyendo b y c por su
valor ax2
- Sx + P = 0
Dividiendo toda la ecuación por a, conociendo la
suma S, y el producto, P, de las dos soluciones, de
una ecuación de segundo grado, la ecuación se
puede escribir como
x2
-Sx+P= 0
Determinar la ecuación de segundo grado cuya suma de soluciones vale 5 y
cuyo producto vale 6.
Resolución S= 5; P= 6
En la ecuación x2
-Sx+P= 0 sustituimos S y P por sus
valores
x2
-5x+6= 0
Para comprobar que la suma y el producto de las
soluciones de la ecuación son 5 y 6 respectivamente,
basta con resolver la ecuación
S=x1+x2= 3 + 2 = 5
P=x1.x2 = 3 . 2 = 6
Luego, efectivamente la ecuación es x2
- 5x+ 6 = 0.
Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.
Cualquier número par puede expresarse en la
forma 2x.
2x es un número par. El par
consecutivo de 2x es 2x + 2.
. El producto de los dos números es 168: 2x(2x + 2) = 168
Se plantea así una ecuación de segundo grado
que hay que resolver
2x(2x+ 2) = 168
4x2
+ 4x- 168 = 0.
Dividiendo toda la ecuación entre 4 x2
+ x - 42 = 0
Encontramos las raíces
Si x = 6. Una solución es 12 y 14. 2x + 2 = 12 + 2 = 14
Si x = -7. Otra solución es 12 y -14 2x + 2 = -14 + 2 = -12

Matemática
Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son -14 y -12.
El problema tiene dos soluciones: 12 y 14; -12 y -14.
Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380
Si x es uno de los números el otro
será
39-x, pues entre los dos suman 39
El producto de los dos números
es 380:
x(39 -x) = 380
Las soluciones de esta ecuación
son:
x(39 -x) = 380
39x - x2
– 380 = 0
- x2
+ 39x – 380 = 0
La solución de esta ecuación es
Si un número es 20, el otro será 39 - 20 = 19
Si un número es 19, el otro será 39 - 19 = 20.
Se han comprado gomas de borrar por un total de 60 pesos. Si se hubieran
comprado tres gomas más, el comerciante habría hecho un descuento de 1 peso en
cada una, y el precio total habría sido el mismo. ¿Cuántas gomas se compraron?
Sea x el número de gomas que se han comprado por 60
pesos. El precio de cada goma se obtendrá dividiendo el
precio total entre el número de gomas.
Precio de cada goma
es
Si se compran 3 gomas más su precio será de
Pero su precio sería de 1 peso menos cada una, entonces
se obtendría
Resolviendo esta ecuación:
60x + 180 - x2
-3x = 60x x2
+ 3x - 180 = 0
La solución es
El número de gomas que se
compraron fue 12, ya que una
solución negativa para un número de
objetos no tiene sentido.
Cada goma costó pesos. Si se hubieran
comprado 3 gomas más, es decir, 15 gomas,
el precio hubiese sido de 4 pesos cada una.
Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en
hacerlo separadamente, si uno tarda 5 horas más que el otro?
Sea x el número de horas
que emplea el primer obrero
en realizar el trabajo.
En una hora hará del total del trabajo
El segundo obrero empleará del trabajo

Matemática
Entre los dos tardan 12
horas
Se resuelve la ecuación m.c.m. (x, 5 + x, 12) = 12 × x × (5 + x)
12 × (5 + x) + 12x = x(5 + x)
60 + 12x + 12x = 5x + x2
x2
- 19x - 60 = 0
La solución es
El primer obrero tarda en
realizar el trabajo, él solo,
21,75 horas, es decir, 21 horas y 45 minutos
El segundo obrero tarda 5
horas más, es decir
26 horas y 45 minutos
Una ecuación de segundo grado con una incógnita tiene una solución igual
a 3 y el término independiente vale 15. Calcular la ecuación.
Por ser 3 solución de la ecuación,
ésta se puede descomponer en la
forma
(x - 3) (x - x2) = 0
Donde x2 es la segunda solución de
la ecuación, desarrollando el
producto
x2
– x × x2 - 3x + 3x2 = 0
El término independiente es 3x2, y vale 15
La ecuación es (x - 3) (x - 5) = 0 x2
- 8x + 15 = 0
Determinar el valor de m para que la ecuación 2x2
- 4x + m = 0 tenga una
raíz doble
Una ecuación de segundo grado
tiene una raíz doble si su
discriminante es cero.
b2
- 4ac = 0
La ecuación 2x2
- 4x+ m = 0
tiene una raíz doble si m =2.
Si se aumenta en 4 cm el lado de un cuadrado, su área aumenta en 104
cm2
. Calcular el área y perímetro del cuadrado inicial.
Sea “ l” el lado del cuadrado. El área será S = l2
Si se aumenta en 4 cm el lado del cuadrado, l+ 4 Su área será (l + 4)2
Al hacer la transformación, el área aumenta en 104 cm2
l2
+ 104 = (l + 4)2
Se resuelve la ecuación l2
+ 104 = l2
+ 16 + 8 l
Simplificando l2
en los dos miembros, resulta una
ecuación de primer grado:
104 = 16 + 8 l
El área del cuadrado inicial es S = l2
= 112
cm2
= 121
cm2
El perímetro del cuadrado inicial es P = 4 × l = 4 × 11 cm =
44 cm
Resolver

Matemática
1.- Escribir la ecuación de segundo grado que tenga como raíces
^
b) ^
c) ^
2.- Encontrar el valor de en ecuación sabiendo que las dos
soluciones son iguales.
3- Determinar una ecuación de segundo grado sabiendo que la suma de sus raíces
4-- Obtener dos números sabiendo que su suma es 5 y su producto es (-14).
5.- Se han comprado monitores por un total de 6000 pesos. Si se hubieran comprado
tres más, el comerciante habría hecho un descuento de 50 pesos en cada uno, y el
precio total habría sido el mismo. ¿Cuántos monitores se compraron?
6.- Si se aumenta en 3 cm el lado de un cuadrado, su área aumenta en 144 cm2
.
Calcular el área y perímetro del cuadrado inicial.
2.18. Representación gráfica de las ecuaciones de segundo grado
Historia
La palabra “ Álgebra” , con la que hoy conocemos a una de las ramas de las
Matemáticas, aparece en el título de la obra más importante de MUSA AL-
KHWARIZMI.
La solución de una ecuación matemática de segundo grado usando un
método geométrico, fue creado en el año 800, por un matemático
árabe, MUSA AL-KHWARIZMI (780-850), conocido como el Padre del
Álgebra. Dicho método, geométrico, se conoce como de “ completar
cuadrado” .
Se sabe poco de su vida salvo que vivió en la primera mitad del siglo
IX y que trabajó en la biblioteca del califa de Bagdad. Escribió libros
sobre geografía, astronomía y matemática. En su obra Aritmética
("Algoritmi de numero indorum") explica con detalle el funcionamiento
del sistema decimal y del cero que usaban en la India.
Se destaca la obra de contenido algebraico "Hisab al-yabr wa'l
muqqabala", considerada uno de los primeros libros de álgebra,
didáctica con abundantes problemas para resolver y adiestrar al lector,
principalmente, en la resolución de ecuaciones de segundo grado.
El Álgebra de Al-Khwarizmi es retórica -sin simbolismo- y detalla, paso
a paso, lo que tiene que hacerse. Su objetivo es sistematizar todas las
ecuaciones de primer o segundo grado, reduciéndolas a seis tipos
básicos

Matemática
Cuando se estudiaron las ecuaciones de primer grado, comprobamos que su
representación es por medio de una recta, repasando en el siguiente
Si se le da un valor a x se obtiene otro para y, este valor se lo
representa en el eje de coordenadas y se fija un punto.
Dando otro valor a x y obtenemos el correspondiente a y .Con estos dos valores se
consigue el segundo punto.
Al unir los dos puntos se determina la recta. Todos los puntos de la recta son
respuestas de la ecuación. Queda la representación gráfica de este ejemplo a cargo del
alumno.
En el caso de las ecuaciones de segundo grado su representación gráfica es muy
diferente.
En la ecuación de segundo grado
Se le dan valores a la variable independiente x y se consigue que la variable
dependiente y tome los suyos.
En el siguiente cuadro se observan los valores que le damos a x y los que se obtienen
de y
Estos valores lo escribimos como puntos para luego representarlos en un sistema de
coordenadas cartesianas, donde en el eje de abscisas representaremos el valor de la
variable x y en el eje de ordenadas el que le corresponde a y:
, una vez ubicados en el sistema se unen como puede
observarse en la figura
La gráfica de esta curva simétrica se llama parábola y
el eje de simetría es el eje de la parábola. Otras funciones cuadráticas más complejas
se dibujan de la misma forma.
Representar gráficamente la ecuación de segundo grado
Dando valores a x obtenemos los de y

Matemática
Unidos los puntos obtendremos la parábola.
¿Por qué los puntos no se unen con líneas rectas?
Si calculamos más valores como se puede ver en la siguiente tabla de valores
Estos valores obtenidos se llevan al eje de coordenadas para
crear los puntos y se obtiene:

Matemática
Por la colocación de los puntos vemos que la
representación gráfica no corresponde a una recta.
En los ejemplos siguientes podemos observar como un problema sencillo se resuelve
con una ecuación de segundo grado.
Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades
dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcular
el área del rectángulo en función del lado x del
cuadrado.
El área del rectángulo es lado mayor x lado menor, para
nuestro ejemplo f(x)= Área
Lado mayor x+6
Lado menor x
Área= (x+6).x = x2
+6x
Una forma de escribir la ecuación de segundo grado es lo que se conoce como
función cuadrática, igualando la ecuación a y, y= f(x) = a x2
+ b x + c, donde a, b y c
son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0.
Graficar f(x) = x2
-2 x – 3, en primer lugar le
damos valores a x para obtener los de f(x)
x -1 0 1 2 3 4
y=f(x) 0 -3 -4 -3 0 5
La gráfica obtenida es

Matemática
Dada la parábola y = x2
- 4 x + 3,
determinar con precisión las coordenadas de
los puntos de la figura:
Del punto A(x;y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus
coordenadas cumplirán la ecuación, es decir
y = 3,52
- 4·3,5 + 3 = 1,25
Luego A = (3,5;1,25).
Del punto B(x;y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no
disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x, No es
posible conocer con precisión las coordenadas de B.
El punto C(x;y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es
un punto de la parábola, verificará y = 02
- 4·0 + 3 = 3. Luego C = (0;3).
D = (x;5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola,
Nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0,45 y x = 4,45. Observando la
gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D =
(4,45;5).
Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x;0) y por
ser de la parábola verificarán la ecuación x2
- 4x + 3 = 0 cuyas soluciones son x = 1 y x
= 3, las coordenadas de los puntos serán E = (1;0) y F = (3;0).
Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x;y) es el punto medio del
segmento es
Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda
coordenada y = 22
- 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2;-1).
Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima"
de H. Como x = 5, y = 52
- 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8, es decir, H´= (5,8), H tiene igual
abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2).
Calculamos las coordenadas del pun to I´(x,7) que está en la parábola "justo a la
derecha" de I. Como pertenece a la parábola
cuyas soluciones aproximadas son x =
-0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos que la
abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).
Hasta el momento solo se graficó la ecuación incompleta, ahora se graficará la

Matemática
ecuación de la forma
Vamos graficar la siguiente parábola
Si tenemos en cuenta de la ecuación propuesta, el vértice estaría en el
punto: (1,0), es decir, el vértice se habría trasladado hacia la derecha una unidad y si
después incluimos el término independiente -1, el punto se trasladaría verticalmente
hacia abajo una unidad, por lo que lo tanto las coordenadas del vértice son V(1;-1),
como puede verse en el siguiente gráfico:
según el gráfico se puede observar que las coordenadas del vértice
son m y n de la ecuación.
¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente a la
ecuación
Las coordenadas son los valores m y n de la ecuación, m= -1 y n= 2 V(-1;2).
Conclusión:
2.19. Vértice de la parábola
Se llama vértice de la parábola al punto común de la parábola con el eje vertical de la
misma o su eje de simetría. No es el eje vertical o de ordenadas de un eje de
coordenadas, se refiere al eje de la parábola. Éste es un eje de simetría que divide a la
parábola en dos curvas iguales. Cada una de estas curvas se las llama ramas o
brazos de la parábola.
¿Qué es un eje de simetría en una parábola?
Es una línea de modo que si doblásemos el papel por dicha línea, las ramas de la
parábola coincidirían. En todos los Casos estudiados el eje es el eje de coordenadas Y
o es paralelo a éste.
En primer lugar se estudiará la ecuación incompleta de segundo grado, con los
coeficientes b=c=0
El vértice se hallará en el punto (0,1). ¿Porqué?
Calculando x=0, se obtiene y=1, vemos en la gráfica

Matemática
, si le damos valores mayores y menores a 0, los valores que
se obtienen son mayores al obtenido en el vértice.
Para x=0 y=-2, su gráfica es
, su vértice es V(0;-2), si la ecuación fuese , el vértice
estaría situado en el punto V(0;2).
¿Qué sucede con las coordenadas del vértice en el caso de la representación gráfica
de una ecuación de segundo grado del tipo ó
Cuando la ecuación de segundo grado es del tipo el vértice se traslada
hacia la derecha tantas unidades como vale m.
En el caso de se traslada hacia la izquierda tantas unidades como vale m.
En todos los ejemplos presentados podemos ver que si

Matemática
m=0, el eje de simetría coincide con el eje de ordenadas, Y
si , el eje se desplaza a la derecha en m unidades
si el eje se desplaza a la izquierda en m unidades, como comprobará el
alumno en el ejercicio propuesto 1.-c)
Resolver
1.-Representar gráficamente las ecuaciones, indicar los vértices
a)
b-)
c)
d)
2.- ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente a la
ecuación
2.20. Eje de simetría de la parábola
A partir de ejemplos se definirá el Eje de simetría
, en este ejemplo a=3, por la resolución del ejercicio anterior
sabemos que la gráfica es
Los puntos que se tomaron son
El vértice de la parábola lo tenemos en el punto V(0;-1) y el eje de la parábola coincide
con el eje Y y la ecuación es x=0.
, en este ejemplo a=1,

Matemática
representado gráficamente
parábola y su eje.
Cuando x = 2; el valor de y = 0. Este es el punto común de la
Si doblásemos el papel por el eje de la parábola, las dos ramas o brazos coincidirían,
por lo tanto el eje de simetría es la recta x=2 y su vértice V(2;0).
Por lo visto anteriormente vemos que el eje de simetría coincide con la ordenada en x
de las coordenadas del Vértice.
2.21. Ramas de la parábola hacia abajo
Analizaremos que influencia tiene el coeficiente del término cuadrático en la
representación gráfica de la ecuación de segundo grado:
Todos los casos estudiados hasta ahora las parábolas tienen sus ramas orientadas
hacia arriba
Las ramas o brazos de la parábola pueden también estar orientados hacia abajo. Es
suficiente que el valor de tenga el signo negativo por delante o que el valor
de a sea menor que cero:
Graficar:
Se asignan los siguientes valores:
En este caso a= -1
Representar gráficamente .
1.- ¿Hacia dónde abren las ramas?
2.- ¿Cuáles son las coordenadas del vértice?

Matemática
En las parábolas con ramas hacia arriba, el valor de a siempre vale más que 0.
Las parábolas con ramas hacia abajo el valor de a siempre vale menos que 0, es
decir, el valor de a es negativo.
Las parábolas están representadas en el siguiente gráfico
, las dos tiene el mismo vértice V(2;1), y se
puede observar que si el valor de a es negativo las ramas se abren hacia abajo, y si es
positivo abren hacia arriba.
2.22. Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones
cuadráticas
Parábolas del tipo y = ax2 (b = 0 , c = 0), en el gráfico siguiente se puede observar
cómo se abren o se cierran las ramas según el valor del coeficiente a:

Matemática
Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0).
Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola.
Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.
La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2
, es
decir, cualquier parábola del tipo y = ax2
+ bx + c tiene la misma forma que la parábola
y = ax2
.
La parábola y = 2x2
-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x2
; encajan perfectamente
una encima de la otra se puede observar en la gráfica.
Determinar mediante qué traslación llevamos la parábola y = 3x2
sobre la
parábola y = 3x2
- 9x + 4 .

Matemática
La gráfica de g(x) = 2x2
+ 3, se obtiene a partir de la
gráfica de f(x) = 2x2
, desplazándola 3 unidades hacia arriba. El vértice se halla en
V(0,3) .
Las parábolas del tipo y = ax2
+ c, tienen exactamente la misma gráfica que y = ax2
, c
unidades hacia arriba o hacia abajo , según el signo de c y, por lo tanto, su vértice es
el punto V(0,c).
la gráfica de la parábola y = 2x2
- 4x pasa por el punto
(0,0). La primera coordenara del vértice es .
Sustituyendo obtenemos que la segunda coordenada del vértice es -2. Luego el
vértices es V(1;2). Utilizando la simetría de la parábola podemos obtener el punto
(2,0).
Si la parábola es del tipo y = ax2
+ bx. entonces pasa por el origen de
coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b, 0)
Resolver
Determinar mediante qué traslación llevamos la parábola y= x2
- 4 sobre y = 3x2

Matemática
2.23. Cálculo de las coordenadas del vértice de una parábola enunciada en
la forma general
Este problema se reduce a calcular el valor de x, es decir, el de la abscisa, y después
sustituirlo en la ecuación para determinar el valor de y.
En las ecuaciones graficadas del tipo se comprobó que el vértice se
encuentra en el punto V(m;n).
¿Cómo pasamos de
Recordar que el valor de n no altera el valor de la abscisa x en el vértice. El valor de x
sigue siendo el mismo tenga n cualquier valor. El valor de n hace que la parábola se
desplace verticalmente el vértice las unidades que señala esta variable, pero el valor
de la abscisa sigue siendo el mismo, esto quiere decir que, las siguientes parábolas:
tienen el mismo valor de abscisa: (3,1) y (3,0). La diferencia radica
en que el vértice se ha desplazado una unidad respecto al eje y.
Tenemos y de la forma general . Haciendo operaciones en
tenemos en
Comparamos y vemos que:
1.-Las dos expresiones contienen el mismo término:
2.-Los términos que no contienen a x son términos independientes.
Podemos decir que son términos independientes que tienen el mismo valor.
3.- Luego, 2amx y bx tendrán que ser iguales:

Matemática
4.- Si son iguales podemos decir que:
Conocidos los valores de m y n ya podemos saber las coordenadas del vértice de una
parábola a partir de la ecuación de 2º grado:
Hallar el vértice de la parábola:
El valor de la abscisa en el vértice será: donde sustituyendo los valores
conocidos tendremos:
Para calcular el valor de la ordenada del vértice podemos hacer dos cosas:
1.- Sustituir el valor que acabamos de hallar en
con lo que sabemos que el vértice de la parábola se
encuentra en el vértice (1,5).
2.- Utilizar la fórmula
Sustituyendo por los valores que conocemos tendremos:
obtenemos el mismo resultado del valor de la
ordenada del vértice que en la forma anterior.

Matemática
Resolver
1.-¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente a la
ecuación indicada?¿Cuál es la ecuación del eje de simetría?. Representarla en un
sistema de coordenadas cartesianas.
a)
b)
c)
2.- Calcula las coordenadas del vértice de la función cuadrática:
a)
b)
c)
3.- Hallar la ecuación correspondiente a cada una de las siguientes parábolas
4.- Dibujar la gráfica de y = 4x2
+ 4x + 1.
5.- Escribir tres ejemplos:
a) una ecuación de segundo grado completa con dos soluciones.
b) una ecuación de segundo grado completa con una solución.
c) una ecuación de segundo grado completa sin solución
2.24. Ecuación Bicuadrada
Una ecuación bicuadrada es una ecuación que
se puede expresar en la forma
ax4
+ bx2
+ c = 0
Donde a, b y c son tres números
reales
Para resolver una ecuación bicuadrada se hace x2
= y

Matemática
el cambio de variable
Reemplazando x4
= (x2
)2
= y2
.
La ecuación expresada en función de y es: ay2
+ by + c = 0
Una vez resuelta esta ecuación se sustituyen sus
soluciones en
x2
= y obteniéndose así las
soluciones para x.
Pasos a seguir para resolver una ecuación bicuadrada
Hacer el cambio x2
= y obteniendo la ecuación ay2
+ by + c = 0
Resolver la ecuación ay2
+ by + c = 0
obteniéndose las soluciones
y1, y2
Volver a la variable x2
= y, se obtienen las
soluciones

Si la ecuación ay2
+ by + c = 0 tiene dos
soluciones positivas, la ecuación inicial
La ecuación ax4
+ bx2
+ c = 0 tiene
cuatro soluciones
Si la ecuación ay2
+ by + c = 0 tiene una solución
positiva, la ecuación inicial
La ecuación ax4
+ bx2
+ c = 0 tiene
dos soluciones
Si la ecuación ay2
+ by + c = 0 no tiene soluciones
positivas, la ecuación inicial
La ecuación ax4
+ bx2
+ c = 0 no
tiene solución
Resolver la ecuación x4
- 29x2
+ 100 = 0
Haciendo el cambio x2
= y se
tiene la ecuación
y2
- 29y + 100 = 0
Resolviendo esta ecuación se
tienen las soluciones:

Las soluciones de la ecuación x4
-
29x + 100 = 0 son:
Las soluciones son X1=5; x2=-5; x3=2 y x4=-2
Resolver la ecuación x4
- 4x2
- 12 = 0
Haciendo el cambio x2
= y se
tiene la ecuación
y2
- 4y - 12 = 0
Las soluciones de esta ecuación
son:

Las soluciones de la ecuación de
partida son:
en 
en 

Matemática
2.25. Actividades de Autoevaluación
1.- Hallar el valor de x:
a.- x x 1x x4 9x 1
b.- 4x 3:112 5
c.- 15:x 12
d.-
x 2

1
x 3 6
2.- Resolver los sistemas de ecuaciones de acuerdo al método indicado
2x y 8
a.-
b.-

3x 2y 
2
x 5y 1

6x 2y 
34
por sustitución
por igualación
c.-
1
x 3y 
22

1
x 2y 34
2
3
x 
7
y
13
por reducción
5 8
d.-  por determinante
7
x 
1
y 9
10 4
3.- Dada la ecuación 18.x ² - 12.k.x + (6.k - 2) = 0, determinar el valor de k para que:
a) Sus raíces sean iguales.
b) Sus raíces sean opuestas.
c) Sus raíces sean recíprocas.
d) Una de sus raíces sea nula.
4.-Resolver: 1/(x + 1) - 3.x/(x ² - 1) = 2/(x - 1)
5.- Obtener las ecuaciones cuyas raíces son: y
6.- ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente a la
ecuación ¿Cuál es la ecuación del eje de simetría? Representarla
gráficamente.
7.- Dibuja la gráfica de
8.- Encontrar la solución que satisface la ecuación x2
+ x + 1 = 0
9.-Los lados de un triángulo miden 10 m, 17 m y 18 m respectivamente, ¿qué cantidad
fija hay que restarle a cada uno para obtener un triángulo rectángulo?
10.- Encuentra una ecuación de segundo grado, con coeficientes enteros, sabiendo
que sus raíces son 6 y

Matemática
2.25.1. Respuesta a las actividades de autoevaluación
1.- a) x 1, b) x 9, c) x 
17
, d=
2
x 9
2.- a) x 2y 4 , b) x 6y 1, c) x 2y 1, d) x 10 y 8
3.- a) k = 233/89 o 34/89, b) k = 0, c) k = 10/3, d) k = 1/3
4.-x1=3,x2=4
5.-
6.- (-3;0); x=-3
7.-
8.-No solución en 
9.- 5 m
10.-3x2
– 4x – 24 = 0

Matemática
3. Capitulo 3: Potenciación, Radicación y Logaritmación
Historia
El primer intento de representar números demasiados grandes fue emprendida por el
matemático y filósofo griego Arquímedes, descrita en su obra “ El contador de Areia”
en
el siglo III a.C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos
granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063
granos.
Nótese la coincidencia del exponente con el número de casilleros del ajedrez sabiendo
que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de dígitos,
siendo la última casilla la Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del
tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos).
A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los
números reales mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres
Quevedo (1914), Konrad Zuse(1936) y George Robert Stibitz (1939).
Leonardo Torres Quevedo Konrad Zuse George Robert Stibitz
3.1.Potencia de exponente natural
Cuando se multiplica un número natural por sí mismo, por ejemplo 3x3, hay otra
manera de expresar ese producto 32
. Y se lee "3 al cuadrado", o "3 a la 2".
La costumbre de decir "3 al cuadrado" es muy antigua, y la razón por la cual se dice
así, tiene que ver con la geometría
Si se tiene un cuadrado cuyo lado mide 3 unidades, su área es
En los tiempos de la Grecia Antigua, gran parte de las ideas matemáticas eran
estudiadas a través de la Geometría, y por eso, cuando se quería encontrar una
representación geométrica de algo tan sencillo como el producto de dos números,
digamos, , lo que hacían era dibujar un rectángulo de lados y , y así, veían el
producto como el área del rectángulo que acababan de dibujar. Esta costumbre
siguió por mucho tiempo, por lo que cuando el número se repetía, por ejemplo, 22
, se lo
llamaba dos elevado al cuadrado o el cuadrado de 2.
Si se tiene 23
, es igual a 2x2x2 y se lee 2 al cubo, y la razón para esto proviene
también de la también de la visión que tenían los griegos de la Matemática asociada a
la Geometría,

Matemática
su volumen es 2x2x2= 23
El proceso de multiplicar a un número por sí mismo una cierta cantidad de veces, se
llama potenciación, por lo tanto la potencia representa un producto, por ejemplo
3x3x3x3x3x3x3 = 37
El exponente, para el ejemplo es 7, nos dice cuantas veces hay que repetir la base,
para el ejemplo el número 3, en forma multiplicativa
Es decir, una potencia de exponente natural es la forma abreviada de escribir una
multiplicación de factores iguales:
a se repite b veces
a es la base, el factor que se repite, el número que multiplicamos.
b es el exponente, el número de veces que se repite la base.
No hay que confundir la potenciación con la suma: +3+3+3+3+3+3+3 = 7 x 3
Se utilizará un argumento geometríco para comprobarlo, y ser verificará que
Se tiene un cuadrado de lado 3 y otro de lado 7
Se suman sus áreas
Esta suma es
Si a la figura se le añade lo que hace falta para tener un cuadrado de 3+7 de la
siguiente manera
¿Qué se obtiene? El cuadrado nuevo tiene lado 3+7 y su área, como se
sabe , es igual a .102
= (3+7)2
.
Se han tenido que añadir rectángulos a la figura original, cuya área es para
obtener un área igual a y eso asegura que estas dos cantidades no son
iguales.
Recordar que la potenciación con base
en Q y exponente en Z, que siempre
podemos expresar una potencia con
exponente negativo como el inverso de
una potencia con exponente positivo.
En la potenciación los tres números que

Matemática
aparecen tienen distintos roles: 7 es la Base
4 es el Exponente
2401 es el resultado o Potencia
3.2.Potencias de exponente entero y base racional
Propiedades:
El exponente, n, se puede distribuir dentro de los elementos que se encuentran dentro
del parentesis, excepto si hay una suma
Si el exponente es negativo,-n, se puede escribir positivo para el reciproco del número
Todo número elevado a 0 es igual a 1
Todo número elevado a 1 es igual a si mismo
3.3.Producto de potencias de igual base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes
da 35
=
= = , por ser el producto asociativo esto nos

Matemática
3.4.División de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los
exponentes.
3.5.Potencia de una potencia
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes
=
3.6.Producto de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases
= =
3.7.Cociente de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las
bases
3.8.Signo de una potencia de base entera
Para determinar potencia de un número entero tendremos en cuenta que
.Las potencias de exponente par son siempre positivas

Matemática
(+2)4
= 16 y (-2)4
= 16
Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base
(+2)5
= 32 y (-2)5
= -32
Resolver
1.-Escribir en forma de potencia:
a) 4 . 4 . 4 . 4 =
b) ( - 5 ) . ( - 5 ) . ( - 5 ) =
c) n . n . n =
d) a . a . a . b . b =
2.- Calcular:
a) 54
b) (-2)4
c) 2-2
3.- Calcular, dejando el resultado en forma de potencia
a) 52
x 55
x 54
=
b) 42
x 4-1
x 48
=
4.- Escribir en forma de una sola potencia
a)
b)
c)
5.- Escribir dos potencias que den como resultado:
a). 0 ….
b). 1 ….
c). la base.
3.9.Historia de la radicación
Historia
La visión del Universo que tenían el gran sabio griego Pitágoras de
Samos y sus discípulos, los llamados pitagóricos, estaba
dominada por sus ideas filosóficas acerca del número. Decían que
el número natural y las proporciones entre números naturales
gobernaban todo cuanto existía.
Un descubrimiento hecho por los mismos pitagóricos demostró
que esta afirmación era falsa. Descubrieron la existencia de un
número que no era natural y tampoco se podía expresar como
fracción alguna.

Matemática
Todo comenzó con el llamado Teorema de Pitágoras. Se llama
Teorema a toda afirmación matemática importante que es
demostrada de manera rigurosa, irrefutable. El Teorema de
Pitágoras afirma que, en todo triángulo rectángulo, el lado mayor,
llamado hipotenusa, elevado al cuadrado, es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos lados, llamados catetos.
En todos los triángulos rectángulos quizás el de apariencia más
sencilla fue el que produjo entre los pitagóricos la gran conmoción
de presentar la existencia de una medida que no era expresable
como un número natural ni como una fracción.
El triángulo cuyos catetos son ambos de medida 1 fue el que
originó el derrumbe de toda una teoría filosófica.
El Teorema de Pitágoras asegura que
.
Usando un método muy sencillo, los pitagóricos intentaron encontrar números naturales
m,n tales que sin lograrlo nunca. La idea era la siguiente: se divide un cateto en
segmentos de igual longitud (longitud u).
Se intentaba dividir la hipotenusa también en segmentos de longitud u, pero siempre
sobraba un segmento de longitud menor que u
En vista de que había un segmento sobrante, se escogía una medida para el segmento
que fuera la mitad de la medida anterior, con la esperanza de que no hubiera ningún
segmento sobrante en la hipotenusa. Pero no funcionaba.
Si hubieran encontrado un segmento que cupiera una cantidad exacta de veces tanto
en la hipotenusa como en los catetos, digamos, 13 veces en la hipotenusa y 8 veces en
los catetos, se se tendría que la hipotenusa medía , pues la proporción entre
hipotenusa y cateto, que era , también era igual a y así obtendrían .
Pero no obtuvieron jamás una medida que cupiera una cantidad exacta de veces en
ambos lados del triángulo. Surgió así el primer número irracional, aquel cuyo cuadrado
es igual a 2. Casi 2000 años después se le dio el nombre de "raíz cuadrada de dos'' y
se creó el símbolo para representar las raíces cuadradas.
3.10. Radicación
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Dado un número a, se pide
calcular otro, tal que, multiplicado por sí mismo un número n de veces nos da el
numero a.
¿Qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196?. Ese número es 14.
Se llama radicación a la operación indicada por toda expresión matemática que
consista en una potencia con exponente racional, no entero. Se utiliza el símbolo , al
cual se llama raíz. El número que está dentro de la raíz se llama radicando, el grado de
la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz.

Matemática
En la expresión 3
27 , se tiene índice 3 y subradical 27. Cuando el índice es 2,
éste por lo general éste se omite , se lee raíz cuadrada de 8.
Se pude considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto,
la raíz cuadrada de un numero, (por ejemplo a), es igual que a1/2
, del mismo modo la
raíz cúbica de a es a1/3
y en general, la raíz enésima de un numero a es a1/n
.
En los siguientes ejemplos se observa cómo se utiliza este símbolo:
Símbolo Se lee
raíz cúbica de 2
raíz cuarta de un medio al
cubo
raíz séptima de menos cinco
raíz octava de siete a la
menos cinco
raíz quinta de menos dos
tercios a la ocho
raíz sexta de cinco tercios a
la menos uno
raíz cuadrada de cuatro
quintos
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las
raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la
operación de potenciación.
Dado un número racional b y un entero positivo impar n, la raíz n-ésima de b es aquel
número x que, elevado a la n-ésima potencia, sea igual a b:
Si n es par o impar y b es positivo, entonces , donde x>0  , y x es
llamada la n-ésima raíz de b.
Si n es par y b es negativo no podemos definir un valor de x que pertenezca a los
números reales.
Algunos ejemplos que se escriben de manera diferente

Matemática
Las expresiones radicales pueden simplificarse transformando el exponente,
que es una fracción impropia, en suma de una fracción propia más un número entero.
, es decir
Hay expresiones radicales que se pueden simplificar hasta el punto en que la
raíz desaparezca
, pero si escribimos , se tiene
en estos casos se trata de una raíz exacta
Dada la raíz si lo multiplicamos por n veces se tiene que es igual a b
Por lo que podemos afirmar que
es una raíz exacta.
3.11. Cálculo de una raíz cuadrada
Entera
Calcular la raíz cuadrada
1.- Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos
empezando por la derecha
2.- Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la
izquierda: ¿Qué número elevado al cuadrado da 8?
8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4
y 9, entonces tomaremos la raíz del cuadrada del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo
colocamos en la casilla correspondiente.
3.- El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en
el radicando

Matemática
El cuadrado de 2 es 4. se lo restamos a 8 y obtenemos 4.
4.- Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del
número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el duplo de
la raíz anterior.
Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492
49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.
5.- El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz,
multiplicando el número formado por él, y restándolo a la cantidad operable
del radicando
Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la
cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7... hasta
encontrar un valor inferior
6.- El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.
7.- Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores
Como 5301 > 5125, probamos por 8

Matemática
Subimos el 8 a la raíz
8.- Prueba.
Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:
Radicando= (Raíz entera)2
+ Resto
89 225 = 2982
+ 421
Resolver la raíz cuadrada
Con decimales
Calcular la raíz
3.12. Ejercicios para Calcular una raíz cuadrada
1.- Resolver
a)
b)
c)

Matemática

3.13. Raíz cuadrada entera
La raíz cuadrada es entera o exacta, siempre que el radicando no sea un cuadrado
perfecto.
La raíz entera de un número entero es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que
dicho número.
Dada , es la raíz entera de 17.
El resto es la diferencia entre el radicando y el cuadrado de la raíz entera.
Para 17 , calculamos el Resto = 17 − 42 = 1
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor
utilizando la siguiente fórmula:
a 
1 
ai
2
A 
i1  
a i1 
Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación 2,
entonces:
a1= 2
a2 = (1/2)(2 + 5/2) = 2,250
a3 = (1/2)(2,250 + 5/2,250) = 2,236

Matemática
Sir Isaac Newton (4/1/1643 – 31/03/1727) fue un físico, filósofo,
teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis
principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de
gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes
que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos
sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obra
Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.Newton comparte con Leibniz el crédito
por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de
la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema
del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.
3.14. Cálculo de una Raíz cúbica
1.- Para calcular la raíz cúbica de un número se comienza separando el número en
grupos de tres cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 16387064 lo separaríamos 16'387'064
2.- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cubo se aproxime lo
más posible al número del primer grupo (empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer número es 16 y el numero entero que elevado al cubo se
acerca más a 16 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3.- después se eleva al cubo esta cifra y se resta del número del primer grupo
En nuestro ejemplo 23
= 8 y restándolo del numero del primer grupo que es 16, sale 16
- 8 = 8
4.- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo.
En nuestro ejemplo nos quedaría 8387
5.- después tenemos que calcular un número a que haciendo las operaciones
siguientes:
3 * (raíz obtenida hasta el momento)2
* a * 100 + 3 * (raíz obtenida hasta el momento) *
a
2
* 10 + a
3
se aproxime lo más posible al número obtenido en el punto 4.
El número a, es el siguiente dígito de la raíz.
En nuestro ejemplo seria ese número sería 5, porque 3 * 22
* 5 * 100 + 3 * 2 * 52
*10 +
53
= 7625
6.- A continuación restamos este numero al numero obtenido en el paso 4.
En nuestro ejemplo: 8387 - 7625 = 762.
7.- Repetimos el paso 4
En nuestro ejemplo: 762064

Matemática
8.- Repetimos el paso 5 y el número obtenido seria el siguiente numero de la raíz.
En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 252
* 4 * 100 + 3 * 25 * 42
* 10 + 43
= 762064
9.- Repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo 762064 - 762064 = 0
Radicales equivalentes
Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que
dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es
equivalente, obtenemos que:
Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismonúmero
natural, se obtiene otro radical equivalente
3.15. Simplificar radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del
radicando, se obtiene un radical simplificado
Escribir en forma de radical las potencias
3.16. Expresar como potencia fraccionaria:

Matemática
3.17. Extraer factores de un radical
Se descompone el radicando en factores. Si:
1.- Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el
radicando.
2.-Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando
3.- Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El
cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el
exponente del factor dentro del radicando.
3.18. Introducir factores en un radical
Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical
Introducir dentro del radical

Matemática
3.19. Suma y resta de radicales
Radicales semejantes
Cuando en una suma de radicales aparecen términos con la misma base y el mismo
exponente, estos términos se denominarán semejantes.
Se operará con estos términos de la manera indicada en el ejemplo siguiente:
2 3
2

2 4
2 2 2 3
2 4
2
Suma de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) radicales que sean semejantes

Matemática
3.20. Multiplicación de radicales
Multiplicación de radicales con mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y
se deja el mismo índice
Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es
posible
Reducción de radicales a índice común
1.-Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, m.c.m., que será el común
índice
2.- Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se
multiplica por sus exponentes correspondientes
Multiplicación de radicales con distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican

Matemática
3.21. División de radicales
División de radicales con el mismo índice
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo
índice
División de radicales con distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.

Matemática
1.-
2.-
3.-
3.22. Potencia de un radical
Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja
el mismo índice
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
3.23. Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de
los dos índices
1.-

Matemática
2.-
3.-
4.-
3.24. Propiedades de la radicación
1.- Distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:
en la multiplicación
en la división
2.- NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.
en la suma
en la resta
3.- Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene
dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado
positivo

Matemática
4.- Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.
3.25. Racionalizar radicales
Racionalizar radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite
facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones
Caso 1:
se multiplica el numerador y el denominador por
1.-
2.-
Caso 2:
se multiplica el numerador y el denominador por
Caso 3:
, y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un
radical. Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. El
conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

Matemática
Recordar lo visto anteriormente como diferencia de cuadrados:
1.-
2.-
3.-
3.26. Ejercicios propuesto para Radicales
1.-.- Resolver
a)
b)
c)
d)
3.- Racionalizar
a) .
b)
4.- Extraer fuera del signo radical
a) 5
5120

Matemática
b) 4 32
1
169
5.-Introducir dentro del signo radical
a) 43
5
b)
4 3
9
3
6.- Resolver
a) 2
b)
8 4
32 
3 43
5 4
5
27 3
125
c) 24
4 3
53
25
3.27. Logaritmo
Antiguamente los logaritmos eran utilizados para resolver cuentas extremadamente
grandes, con el advenimiento de la calculadora hoy se los utiliza para resolver
ecuaciones solamente. Pero eso no quiere decir que se los utilice menos sino que se
han agilizado los cálculos y ustedes no tienen que perder tiempo resolviendo cuentas.
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar
la base para obtener el número
Siendo a la base, x el número e y el logaritmo
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
De la definición de logaritmo podemos deducir:

Matemática
1.- No existe el logaritmo de un número con base negativa
2.- No existe el logaritmo de un número negativo
3.- No existe el logaritmo de cero
4.- El logaritmo de 1 es cero
5.- El logaritmo en base a de a es uno
6.- El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente
3.28. Propiedades de Logaritmo
1.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
2.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo
del divisor:
3.- El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de
la base:
4.- El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el
índice de la raíz:
5.- Cambio de base: El concepto de cambio de base deriva de la definición de
logaritmo.

Matemática
x = log2 32 (por definición de logaritmo)
2x = 32 (aplicamos logaritmo, recuerden que sucede con la potencia)
x . log 2 = log 32 (despejamos x)
x =
Se cambió la base del logaritmo aplicada a la operación
transformándola en una división del logaritmo de la base y el logaritmo del número. En
este caso, el principio estaba en base dos y se cambió a diez.
3.29. Logaritmo decimal y neperiano
Estos se pueden calcular directamente en las calculadoras científicas.
Logaritmos decimales:
Son Logaritmos de base diez: Cuando se escribe la palabra "log" y no aclaramos de
que base se trata, se toma ( por convención o acuerdo ) que la base es diez. Se
representan por log (x).
En la calculadora se encuentra una tecla que dice log. Esta tecla halla
automáticamente el logaritmo de base diez.
Log 2 = ....................
En la mayoría de las calculadoras basta con poner el 2 y después apretar la tecla log.
El resultado es la potencia a la que se tiene que elevar a 10 para que de 2.
10 ..... = 2
Si tenemos el valor del logaritmo y queremos saber el valor del número al que le hemos
efectuado esta operación también se utiliza la calculadora:
log .............. = 0,301029996
Para ello se teclea este número en la calculadora, se aprieta Shift o 2ndf, según la
calculadora (suele aparecer con otro color ), después la tecla log.
Logarítmos neperianos:
Son los que tienen base e (2,718281828). Se representan por ln (x) o L(x) Para
calcularlo también se puede utilizar la calculadora, basta con teclear el número y luego
la tecla ln, que automáticamente calcula el logaritmo de base e. El resultado es la
potencia a la que tienes que elevar a e para que te de 2.
3.30. Ecuaciones logarítmicas
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece
afectada por un logaritmo. Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en
cuenta:
1.- Las propiedades de los logaritmos

Matemática
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2.-
3.-
4.- Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos
logaritmos nulos o negativos
3.31. Resolución de ecuaciones logarítmicas

Matemática
1er
Período 2do
Período 3er
Período 4to
Período 5to
Período
5 + 5 = 10 10 + 5 = 15 15 + 5 = 20 20 + 5 = 25
3.32. Problemas que se resuelven con logaritmos
"En un criadero de conejos cada hembra tiene cinco crías cada tres meses de
gestación, si contamos a la cría de una sola pareja, indicar cuantos conejos habrá en
cinco períodos de cría:
¿Qué hacer para calcular la cantidad de conejos en cada período?, sencillamente a la
cantidad de crías del período anterior le sumamos cinco.
Si llevamos estos datos a un par de ejes cartesianos de manera que los períodos se
ubiquen sobre las abscisas y la cantidad de crías en las ordenadas, a partir del gráfico,
podemos indicar la cantidad de crías que tendrían en cualquier período.
Siendo "x" el número de períodos y "C(x)" la cantidad
de crías ¿Cómo expresaríamos con una ecuación la cantidad de crías en función del
tiempo (períodos)?. Los períodos sucesivos los encontramos sumando el anterior 5, o
sea multiplicamos en número del período por cinco.
C(x) = 5 x
b) Supongamos que ahora analizamos un cultivo de bacterias, las que se reproducen
cada 0,2 seg. (Se dividen por la mitad). Completemos el cuadro de los primeros cinco
períodos.
1er
Período 2do
Período 3er
Período 4to
Período 5to
Período

Matemática
2 2.2 = 4 4 . 2 = 8 8 . 2 = 16 16 . 2 = 32
¿Qué se hace para calcular la cantidad de bacterias en cada período? Nuevamente
utilizamos la cantidad de individuos del período anterior, sólo que esta vez lo
multiplicamos por 2.
Si llevamos estos datos a un par de ejes cartesianos de manera que los períodos se
ubiquen sobre las abscisas y la cantidad de bacterias en las ordenadas, a partir del
gráfico, podemos indicar la cantidad de estos microbios que habría en cualquier
período. La diferencia con el anterior es que tenemos que tener en cuenta que
partimos de un individuo (que al partirse se convierte en dos).
En este caso la ecuación matemática a la que responde
la división de las bacterias es diferente a la anterior de los conejos. Sigamos utilizando
a la x para indicar el número del período.
En el primer período tenemos 2, en el segundo 2 . 2 = 22
, en el tercero 2 . 2 . 2 = 23
, si
generalizamos tenemos que en el período "n" el número de bacterias es 2 n
.
Así que la ecuación es: C(x) = 2x
Volvamos al problema de los conejos.
Si tenemos 125 crías ¿cuántos períodos han pasado? Utilizando la ecuación que
encontramos: 5x = 125, despejemos, x = 125 / 5 = 25. Necesitamos 25 períodos.
Si tenemos 512 bacterias ¿Cuántos períodos han pasado?
Utilicemos la ecuación: 2x
= 512
Evidentemente el problema se complica un poco. Para encontrar la respuesta a esta
cuestión debemos hallar el exponente al que está elevado
Primero recordemos algo de primer año:
Cuando en primer año viste potencia se dijo que : "la base (a) elevada al exponente (b)
nos da como resultado igual que multiplicar "b" veces "a"
ab
= a1. a2. a3. a4 ... ab = C
Ejemplo: 7 3
= 7.7.7 = 343
Ahora estamos buscando el exponente al que está elevado, número que pusiste en la
fórmula para hallar la cantidad de bacterias, para ello nos vemos obligados a buscar
una operación matemática que no conocías, el logaritmo.
Por definición :
Log a C = b únicamente si a
b
= C
(Se lee " logaritmo en base a de C ")
De allí que para calcular el período en que tenemos 512 bacterias necesitamos
conocer el exponente al que hemos elevado a "2".
Entonces:

Matemática
Ya que trabajamos con potencias vamos a descubrir las cuatro propiedades que
deberemos aplicar de ahora en adelante en logaritmos.
Resolvamos : 22
.23
.24
= 2 (2 + 3 + 4)
= 2 9
El "producto de potencias de igual base" es una propiedad que nos indica que
podemos sumar las potencias cuando operamos con multiplicaciones de este tipo.
Como trabajamos con potencias al aplicar logaritmos, traslademos esta propiedad al
tema que estamos tratando. Si tenemos una multiplicación y aplicamos logaritmos se
transformará en este se trasformará en suma.
En cuanto a la división, como las potencias se restan, al aplicar logaritmos se
transforman en resta.
Ejemplo x = a . b log x = log a + log b
x = a / b log x = log a – log b
Resolver :(a2
)3
= a2
. a2
. a2
= a2 + 2 + 2
= a 2 . 3
= a 6
Resumiendo:(a2
)3
= a2 . 3
= a6
En "potencia de potencia", las potencias se multiplican. Por eso, cuando aplicas
logaritmo a un número elevado a una potencia, el exponente pasa multiplicando al
logaritmo de la base. En cuanto a la raíz, que es una potencia fraccionaria, la fracción
baja para multiplicar al logaritmo. La fracción es una división entre enteros, así que el
denominador, en realidad, está dividiendo.
Ej.: x = a b
log x = b . log a
3.33. Ejercicios propuesto para logaritmos
1.- Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.
a)
b)
c)
d)
2.- Calcular el valor de x aplicando la definición de logaritmo

Matemática
a)
b)
c)
d)
3.- Resolver
a)
b)
c)
d)
4.- Calcular el valor de las siguientes expresiones
a)
b)
5.- Para determinar la edad de una roca la ciencia actualmente ha podido desarrollar
una técnica basada en la concentración de material radiactivo en su interior. Cuanto
más joven es la roca mayor concentración de material radiactivo encontraremos. C(x) =
k. 3 – t es la fórmula que se utiliza, donde C (x) representa la concentración del material
radiactivo, t el tiempo transcurrido medido en cientos de años y "k" la concentración del
elemento en el momento de formarse la roca. Si k = 4500 a)¿Cuánto tiempo debe
haber pasado para que hallemos una concentración de 1500?; b) ¿Qué concentración
tendríamos al cabo de dos siglos?; c)¿En qué tiempo se acabaría este material?. Rta.:
a) como t = 1, pasaron cien años. b) 1,7 .10 – 92 c) La ecuación no tiene como
resultado el número cero, por lo que teóricamente siempre quedaría un mínimo resto
de material radiactivo.
3.34. Actividades de Autoevaluación del Capítulo 3
Racionalizar
a)
b)
2.-Introducir dentro del signo radical
a)

Matemática
b)
3.-Calcular
a) log6 216 =
b) log 100000 =
4.- Resolver aplicando las propiedades de logaritmos
a) log (23 . 3) =
b) log (2 . 3 : 4)5 =
c)
5.- Calcular el valor de x
a) 5.2x
+2x+2
=18
b) 2x
=16
3.35. Respuesta a los Ejercicios de Autoevaluación
1.- a)
1.- b)
2.- a) , b)
3.- a) 3, b) 5
4.- a) log 3, b) 5. (log 2 + log 3 – log 4), c) ½ (log 3 + log 5) – log 2.
5.- a) 1, b) 4

Matemática
4. Capitulo 4: Trigonometría
4.1.Sistemas de medición de ángulos
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con
origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común
vértice.
El ángulo es positivo si se orienta en sentido contrario al movimiento de las
agujas del reloj y negativo en caso contrario.
Para medir ángulos se utilizan siguientes unidades:
Sistema sexagesimal, la unidad es el
Grado sexagesimal (°)
Si se divide la circunferencia en 360
partes iguales, el ángulo central
correspondiente a cada una de sus
partes es un ángulo de un grado (1°)
sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un
minuto tiene 60 segundos ('').
(el nombre sexagesimal proviene de
dividir a la circunferencia en seis
partes de 60º cada una, obteniendo
un giro completo de 360º
).
Dos rectas perpendiculares
contenidas en un plano al cortarse
determinan cuatro partes iguales,
cada una de ellas recibe el nombre
de ángulo recto y el plano se divide
en cuatro cuadrantes:
1er
cuadrante: 0º a 90º
2do
3 er
4to
cuadrante: 270 a 360º
Sistema centesimal, la unidad es el
Grado centesimal, que se define
expresando que es la centésima
parte de una ángulo recto:
1G
= 1 R / 100, entonces 1 R = 1 G
las unidades secundarias son:
el minuto centesimal, que es la
centésima parte del grado
centesimal: 1 „ = 1 G
/ 100 y
el segundo centesimal, que es la
centésima parte del minuto
centesimal : 1 “ = 1 „ / 100
Cada cuadrante o ángulo recto mide
100G

Matemática
Sistema radial o circular cuya unidad
de medida es el Radián (rad)
Es la medida de un ángulo cuyo
arco mide un radio.
La medida de la circunferencia con
respecto a su radio es
(2 r / 1 r) = 2 
En consecuencia, el ángulo de un
giro mide 2 en este sistema, el de
medio giro , y el de un cuarto de giro
/ 2.
2 rad = 360°
rad = 180°

rad 90
2
Ángulo que mide un radián
4.2.Equivalencia entre los sistemas:
Sistema
Angulo
Sexagesimal Centesimal Radial
De un giro 360 º 400 G
2 
Llano 180 º 200G

Recto 90 º 100 G
/ 2
4.3.El número
Las primeras civilizaciones
indoeuropeas ya tenían conciencia de
que el área del círculo es proporcional
al cuadrado de su radio, y de que su
circunferencia lo es al diámetro. Sin
embargo no se sabe cuándo se
comprendió por vez primera que
ambas razones son la misma
constante, simbolizada en nuestros
días por la letra griega pi (El símbolo
del que toma nombre la constante lo
introdujo en 1706 el escritor y
matemático inglés William Jones y lo
popularizó el matemático suizo
Leonhard Euler (v.) en el siglo XVIII.)
Arquímedes de Siracusa (v.), el
mayor matemático de la antigüedad,
estableció rigurosamente la
equivalencia de ambas razones en su
tratado Medición de un círculo.

Matemática
Usando polígonos de 96 lados
inscritos (idea de Antífono) y
circunscritos (idea de Brisón de
Heraclea) (¡y sin conocer las
funciones trigonométricas!), llegó a
que 310/71<pi<310/7 y dedujo un
laborioso procedimiento para calcular
(pi) con cualquier precisión.
4.4.Funciones Trigonométricas
4.4.1. Definición de las relaciones trigonométricas de un ángulo agudo en
un triángulo rectángulo
Seno
S e n o del ángulo B: es la r a z ó n
entre el cateto opuesto al
ángulo y la hipotenusa.
Cosecante
Cosecante del ángulo B: es la razón
inversa del seno de B.
Coseno
Coseno del ángulo B: es la razón
entre el cateto contiguo al
ángulo y la hipotenusa.
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa
del coseno de B.
Tangente
Tangente del ángulo B: es la razón
entre el cateto opuesto al
ángulo y el cateto contiguo al
ángulo.
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón
inversa de la tangente de B.

Matemática
4.4.2. Funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera
Primeramente definiremos la
circunferencia trigonométrica, que
es la circunferencia cuyo centro
coincide con el punto origen del
sistema de coordenadas cartesianas
rectangulares, su radio es unitario, el
origen de sus arcos es el punto de la
intersección de la circunferencia con
el semiejepositivo del eje de las
abscisas( T). Los ejes delimitan cuatro
cuadrantes.
Ahora dibujamos un ángulo en el primer cuadrante de dicha circunferencia,
el término del ángulo y la circunferencia trigonométrica tienen un punto en
común designado con la letra P. La ordenada del punto P recibe el nombre de
seno del ángulo , y la abscisa de ese mismo punto se llama coseno del
ángulo .
Por el punto T, trazamos la recta perpendicular al eje de abscisas. La
ordenada del punto perteneciente al término del ángulo o a su semirrecta
opuesta que tiene abscisa unitaria, recibe el nombre de tangente del ángulo
 en la gráfica este punto es el designado con la letra S.
Por el punto T‟ , se traza la recta perpendicular al eje de ordenadas. La
abscisa del punto perteneciente al término del ángulo o a su semirrecta
opuesta que tiene ordenada unitaria recibe el nombre de cotangente del
ángulo , en la gráfica este punto es el que se designó con la letra S‟ .
La secante del ángulo ; está representada por OS mientras que la
cosecante del ángulo lo está por OS‟ como se deduce en lo que sigue.
Las funciones trigonométricas toman signos diferentes según a que cuadrante
pertenece el lado término del ángulo. Tenemos los siguientes signos:
Función / Signo I Cuadrante II Cuadrante III
Cuadrante
IV
Cuadrante
SENO + + - -
COSENO + - - +
TANGENTE + - + -
COTANGENTE + - + -

Matemática
SECANTE + + - +
COSECANTE + - - -
4.4.3. Angulos notables
Se llaman ángulos notables: 0º, 30º, 45º, 60º y 90º ( en radianes 0,
/ 6,/ 4 ,/3 y / 2 respectivamente)
A continuación se dan los valores de las funciones trigonométricas de los
mismos
Angulos
Funciones
0º 30º 45º 60º 90º
Seno 0 1/2 2 / 2 3 / 2 1
Coseno 1 3 / 2 2 / 2 1/2 0
Tangente 0 3 /3 1 3 
4.4.4. Relaciones fundamentales (sólo algunas)
Relación pitagórica:
La suma del cuadrado del seno y
coseno de un mismo ángulo, es
siempre igual a la unidad (igualdad
que se deduce del teorema de
Pitágoras)
cos² α + sen² α = 1
A partir de esta identidad se puede
obtener otras muy utilizadas:
sena  1cos2
a
cos a  1sen2
a
La tangente de una ángulo, es el
cociente entre el seno y el coseno de
ese ángulo
tg  = sen / cos 
(se deduce a partir de las definiciones
de las funciones trigonométricas )
La cotangente de un ángulo es la
recíproca de la tangente de ese
es el cociente entre el
coseno y el seno del mismo
La secante de un ángulo es la
recíproca del coseno de ese ángulo.
sec1/ cos
La cosecante de un ángulo es la
recíproca del seno de ese ángulo
4.4.5. Ejercicios y problemas

Matemática
1) Dadas los siguientes tres ángulos, ordenarlos de mayor a menor
a) = 123º 18‟ 20‟ ‟
= 5/8 
= 148º27‟ 32‟ ‟
b) = 200º 25‟ ‟
= 7/8 
= 210º10‟ ‟
2) Expresar las siguientes medidas de ángulos en radianes
= 156º
= 125º20‟ 
= 5º34‟ 53‟ ‟
3) Expresar las siguientes medidas de ángulos en grados, minutos y segundos:
= /6
= 3/7 
= 3,5 
4) Determine la medida de un ángulo congruente a 7.080º, que sea positiva y menor
que un giro.
5) Recordando que para determinar la medida de un ángulo en radianes debe efectuar
el siguiente cálculo (en radianes) = (medida del arco)/(medida del radio).
Resuelva los siguientes casos:
a) Determinar la medida en grados del ángulo que corresponde a un arco de
12 cm, en el círculo cuyo radio es de 9 cm.
b) Determinar la longitud del arco distendido entre los lados de un ángulo que mide
radianes. El radio de la circunferencia es de 4 cm.
6) En una circunferencia trigonométrica trace los ángulos y , que pertenecen al
primer cuadrante, sabiendo que sen = 0.36 y cos = 0.75. Luego represéntelos y
compruebe geométricamente si los ha trazado bien midiendo con un transportador.
7) Indique a que cuadrante o cuadrantes pertenece el ángulo para que satisfagan las
siguientes condiciones:
a) Tg > 0 y sen < 0
b) Tg y cos tienen el mismo signo.
c) Sen y cos tienen el mismo signo
d) Todas las funciones trigonométricas tienen el mismo signo.
e) Sen y tg tienen signos opuestos.
f) Cos > 0 y Tg < 0
8) Aplicando los valores de los ángulos notables calcular la siguiente expresión:
a) sen 45º + cos 60º - tg 0º =

Matemática
b) cos 0º - sen 45º + tg 45º =
c) sen 45º - cos 45º
d) tg 60º + cos 90º - sen 30º
e) sen 90º - cos 90º =
9) Sabiendo que el sen = 0.7 y , calcular el valor de las restantes funciones
trigonométricas.
10)Si la tg = -0.33 calcular el resto de las funciones trigonométricas.
11)Si la cotg = -1/2 calcular el resto de las funciones trigonométricas.
12)Si la cos = - 0.886 calcular el resto de las funciones trigonométricas.
13)Si la sen = 0.37 calcular el resto de las funciones trigonométricas.
14)Hallar el valor numérico de x:
a) x = (sen 90º + tg 45º) (sen 30º + cos 90º)
b) x = sen2
30º + sen2
45º - sen2
60º
c) x = cos2
45º + sen2
30º - tg 90º
4.5.Actividades de Autoevaluación
1) Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de
2) Pasar 135º a radianes-
3) Pasar 5/ 4a grados
30º.
4) Calcular seno, coseno y tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo
cuyo cateto contiguo mide a y opuesto mide 3ª
5) Calcular las diagonales de un rombo sabiendo que sus ángulos son 60º y 120º y
que sus lados miden 6cm.
4.5.1. Respuestas:
1) y 10 / 3

Matemática
2)3/ 4
3) 225º
4) sen =
3 10
, cos 
10
10 10
y tg 3
5) Diagonal mayor mide 6 3 cm y la diagonal menor mide 6 cm.

Matemática
Referencias Bibliográficas
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Isabel Demaldé- UNLaR
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Bogotá, Colombia, enero 1999,
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