Aspectos generales de la inv oper

 Problemas estratégicos y operativos de la II
Guerra Mundial: enfoque analítico a la Toma de
Decisiones (Investigación Operativa, IO)
 IO: Basada en modelos analíticos del mundo real
 Después: Desarrollo de IO en la Empresa (1960s-):
producción, logística, finanzas, ...
 Desarrollo de IO: paralelo al de computadores
(potencia/tendencia al bajo coste crece)
 Difusión limitada: “la barrera del álgebra”
 Solución: Hojas de cálculo (1980s-)

 Aproximan el mundo real, nos dan la libertad de
experimentar.
 Razones para construir modelos analíticos de
problemas de toma de decisiones:
 ¿Por qué se construye un modelo de avión antes
de construir el de verdad?
 Menos costoso cometer errores en modelo
 Modelo da intuición sobre problema real
 Modelo permite experimentar
 Nos ayuda a entender mejor el problema

 Hojas de Cálculo: herramienta cuantitativa más
difundida (millones de usuarios en todo el
mundo)
 Hacen accesible a gestores no-técnicos potentes
modelos analíticos
 Eliminan la “barrera algebraica”
 Cambio de paradigma en la enseñanza de la IO
 Algunas desventajas:
 Difíciles de documentar
 Difícil modificar modelos
 Ventaja: millones de usuarios

 Problema económico básico:¿cómo asignar recursos
(limitados) disponibles para alcanzar objetivos?
 Ejemplos de problemas de Asignación de Recursos:
 fabricación de varios tipos de producto
 asignación de turnos de trabajo
 inversión financiera
 transporte de productos a mínimo coste
 Optimización: determinar la mejor manera de
alcanzar un objetivo dados los recursos disponibles
 Excel Solver: Implementa potentes herramientas de
optimización matemática

 A. ¿Qué puedes decidir?
Ej: cuánto producir; cuánto invertir, y en qué,
son variables de decisión
 B: ¿Qué quiere decir “mejor”?
Ej: maximizar beneficio, minimizar coste, …
son objetivos
 C:¿Qué restricciones (condiciones) limitan
las decisiones?
Ej: no exceder presupuesto, no usar más piezas que
las disponibles, …
son restricciones

 Un problema de optimización es de la forma
maximizar (min) objetivo sujeto a
restricciones en las decisiones factibles
 Si las fórmulas que definen el objetivo y las
restricciones son lineales, tenemos un problema
de Programación Lineal (PL)
 PL: es el modelo matemático más aplicado en la
práctica
 Si las variables de decisión han de ser enteras:
Programación Entera (PE)
 Excel resuelve PL, PE con el Excel Solver

 ¿Cuántos barcos producir?
 Una empresa produce dos tipos de barcos:
veleros y barcos a motor. Los principales
recursos materiales que emplea para ello
son: tela para velas, fibra de vidrio y
motores, disponibles en cantidades
limitadas.
 La empresa se propone diseñar un plan de
producción que especifique cuántos
barcos se han de producir semanalmente
de cada tipo, con el objetivo de
maximizar su beneficio.

B. velero B. motor
Beneficio/unidad $ 1,200 $ 1,000
Recursos:
Cantidad requerida/unidad
Disponible/semana
B. velero B. motor
Tela velas (metros) 4 0 400

Fibra vidrio (kg) 8 4 1000

Motores (unidades) 0 1 120

 A: Variables de decisión
VELEROS =Número de barcos veleros producidos/semana
BMOTOR = Número de barcos a motor producidos/semana
 B: Objetivo a optimizar
 maximizar beneficio/semana:
max $ 1,200 x VELEROS + $ 1,000 x BMOTOR
 C: Restricciones:
 tela disponible: 4 x VELEROS <= 400
 fibra de vidrio disponible:
8 x VELEROS + 4 x BMOTOR <= 1000
 motores disponibles: BMOTOR <= 120
 VELEROS, BMOTOR >= 0 y enteros

 De “que pasa si” a “que es mejor”
 Plan de producción intuitivo: Producir tantos
veleros como sea posible (100), y el resto
barcos a motor (50)
 Beneficio: 120.000 + 50.000 = 170.000
 Plan de producción óptimo (con Excel
Solver): 65 veleros, y 120 barcos a motor.
Beneficio: E 198.000
 Diferencia: E 28.000 !!

 Elementos de un modelo:
 Números
 Fórmulas: relaciones entre datos
 Número: beneficio/unidad velero (E 1.200)
 Fórmula: beneficio:
=SUMPRODUCT(B5:C5;B19:C19)
 Principio fundamental:
 Separar Números y Fórmulas
 Muy Importante: Documentar el modelo

 Solución óptima: VELEROS = 65, BMOTOR = 120
 Excel Solver: da más información (en algunos casos):

 ¿Cuál es el valor económico de los recursos?

 En la solución óptima,

Cantidad usada disponible
Tela 260 400
Fibra vid. 1000 1000
Motores 120 120
 Recursos críticos: fibra de vidrio y motores

 ¿Cuál es el valor de una unidad extra de cada
recurso? Respuesta: valores Duales/precios sombra

 Precio sombra del recurso Tela: E 0
 Precio sombra del recurso Fibra de vidrio:
E 150
 Precio sombra del recurso Motores: E 400
 Ej: ¿En cuánto aumentaría el beneficio óptimo si
tuviésemos un motor adicional?
Respuesta: en E 400
 ¿Y si tuviésemos una unidad adicional de tela?
Respuesta: en E 0
 Si nos ofrecen un motor adicional a un precio de
mercado de E 450, ¿nos interesará comprarlo?

 Galaxia produce dos tipos de juguetes:
* Space Ray
* Zapper

 Los recursos están limitados a:
* 1200 libras de plástico especial.
* 40 horas de producción semanalmente.

 Requerimientos de Marketing.

* La producción total no puede exceder de 800 docenas.
* El número de docenas de Space Rays no puede exceder al
número de docenas de Zappers por más de 450.

 Requerimientos Tecnológicos.

* Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de
producción por docena.
* Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción
por docena.

 Plan común de producción para:

* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores
ganancias, el cual corresponde a Space Ray ($8 de utilidad
por docena).
* Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers,
porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por
docena).

 El plan común de producción consiste en:

Space Rays = 550 docenas

Zappers = 100 docenas

Utilidad = $4900 por semana

EL MODELO DE
PROGRAMACIÓN
LINEAL PROVEE UNA
SOLUCIÓN
INTELIGENTE PARA
ESTE PROBLEMA

 Variables de decisión

* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por
semana).
* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por
semana).

 Función objetivo

* Maximizar la ganancia semanal.

 Modelo de Programación Lineal

Max Z = 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)

Sujeto a:

2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)
3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción)
X1 + X2 <= 800 (Limite producción total)
X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso)
Xj >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

 El conjunto de puntos que satisface todas las
restricciones del modelo es llamado:

REGION FACTIBLE

USANDO UN GRAFICO SE
PUEDEN REPRESENTAR
TODAS LAS
RESTRICCIONES, LA
FUNCION OBJETIVO Y LOS
TRES TIPOS DE PUNTOS DE
FACTIBILIDAD.

X2

1200
Restricción del plástico:
2X1+X2<=1200
The Plastic constraint

Restricción del total de producción:
X1+X2<=800

600 No Factible

Restricción del
exceso de producción:
Horas de Factible X1-X2<=450
Producción
3X1+4X2<=2400
X1
600 800
Punto Inferior
• Tipos de puntos de factibilidad
Punto Medio
Punto Extremo

comenzar con una ganancia dada de = $2,000...
Entonces aumente la ganancia...
X2
1200
...y continúe hasta que salga de la región factible

4,
Utilid. = $ 000
3,
800
Ganancia, =$5040
2

600

X1

400 600 800

1200 X2
Se toma un valor cercano al punto
óptimo

800 Región no
factible

600

Feasible
Región
region
Factible

X1
400 600 800

 Resumen de la solución óptima

Space Rays = 480 docenas
Zappers = 240 docenas
Ganancia = $5040

* Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y
todas las horas de producción.
* La producción total son 720 docenas (no 800).
* La producción de Space Rays excede a la de Zappers por solo
240 docenas y no por 450.

 Soluciones óptimas y puntos extremos.

* Si un problema de programación lineal tiene una solución
óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.

 Múltiples soluciones óptimas.

* Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la
función objetivo es una recta paralela a uno de los lados
de la región factible.

 ¿Es sensible la solución óptima a cambios en los
parámetros de entrada?

 Posibles razones para responder la pregunta
anterior:

* Los valores de los parámetros usados fueron los mejores
estimados.
* Medio ambiente por ser dinámico puede producir cambios.
* El análisis del “qué pasa si” puede proveer información
económica y operacional.

 Rango de optimalidad
 La solución óptima permanecerá inalterable mientras:
 Un coeficiente de la función objetivo se encuentre
dentro del rango de optimalidad.
 No hay cambios en ningún otro parámetro.

El valor de la función objetivo cambiará si el coeficiente
multiplica una variable cuyo valor es distinto de cero.

X2
1200

800

600

X1

400 600 800

X2
1200 Rango de optimalidad

800

600

400 600 800 X1

 Cualquier cambio en el lado derecho de
una restricción activa cambiará la
solución óptima.

 Cualquier cambio en el lado derecho de
una restricción no activa que sea menor
que la holgura o el exceso, no produce
ningún cambio en la solución óptima.

 ¿ Manteniendo todos los otros coeficientes , en cuánto
cambiaría el valor óptimo de la función objetivo (por
ejemplo, la ganancia) si el coeficiente del lado derecho de una
restricción cambia en una unidad?

 ¿ Hasta cuántas unidades se puede agregar o disminuir para
que la solución siga siendo válida?

X2

1200

Restricción materiales
(plásticos)
Nueva restricción materiales (plásticos)

Ganancia máxima= 5040
600
Combinación de restricciones
en la producción

Restricción del
tiempo de Feasible Puntos extremos
producción X1

600 800

 La incorporación de una restricción.
 La eliminación de una restricción.
 La incorporación de un variable.
 La eliminación de un variable.
 Cambio en el lado izquierdo de los coeficientes.

 No factible: Ocurre cuando en el modelo no hay
ningún punto factible.

 No acotado: Ocurre cuando el objetivo puede
crecer infinitamente (objetivo a maximizar).

Ningún punto se encuentra,
simultáneamente, sobre la línea 1
la línea 2 y 3

2

1
3

 Los paquetes de programas lineales resuelven
grandes modelos lineales.
 La mayoría de los software usan la técnica
algebraica llamada algoritmo Simplex.
 Los paquetes incluyen:
 El criterio de la función objetivo (Max o Min).
 El tipo de cada restricción: ,  ,  .
 Los coeficientes reales para el problema.

 Los valores óptimos de la función objetivo.
 Los valores óptimos de las variables de decisión.
 La minimización del costo para los coeficientes
de la función objetivo.
 Los rangos de optimización para los coeficientes
de la función objetivo.
 La cantidad de holgura o exceso sobre cada
restricción.
 Los precios sombra (o dual) para las
restricciones.
 Los rangos de factibilidad para el coeficiente del
lado derecho.

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