2 modelos de programación lineal

Investigación Operativa 1
Capítulo 2: Modelos de
programación lineal
Profesor: Wilmer Atoche

2
ÍNDICE
1. Problema de programación lineal.
2. Requerimientos del problema de programación
lineal.
3. Método gráfico para resolver problema de
maximización con dos variables.
4. Método gráfico para resolver problema de
minimización con dos variables.
5. Casos especiales de programación lineal.
6. Solución de problemas de programación lineal
usando computadora.
7. Análisis de sensibilidad gráfico y por computadora.

3
1. Problema de programación
lineal
Programación lineal (PL)
 Es una herramienta para resolver problemas de
optimización.
 Está diseñada para ayudar a la toma de decisiones
 Está relacionada a la asignación de recursos.

4
Ejemplos de aplicaciones de PL (1)
1. Desarrollo de la programación de la producción
permitirá
 Satisfacer demandas futuras para una empresa de
producción
 Mientras se minimizan los costos totales de
producción e inventarios.
2. Selección de una mezcla de productos en una fábrica
para
 Hacer el mejor uso de las horas de máquina y
horas-hombre disponibles
 Mientras se maximiza la producción de la empresa

5
3. Determinación de los grados de productos petroleros
para rendir el máximo beneficio.
4. Selección de mezclas de materias primas para
abastecer molinos que producen alimentos
balanceados al mínimo costo.
5. Determinación de un sistema de distribución que
minimiza los costos totales de transporte de los
almacenes a los mercados.
Ejemplos de aplicaciones de PL (2)

6
2. Requerimientos del problema de
PL
• Un problema de programación lineal (PL) es un
problema de optimización para el cual se
efectúa lo siguiente:
– Se intenta maximizar (o minimizar) una función
lineal (llamada función objetivo) de las variables de
decisión.
– Los valores de las variables de decisión deben
satisfacer un conjunto de restricciones. Cada
restricción debe ser una ecuación o inecuación
lineal.
– Una restricción de signo es asociada con cada
variable.

7
Cinco suposiciones básicas de PL (1)
1.Certeza
 Los números en el objetivo y las restricciones son
conocidos con certeza y no pueden cambiar
durante el periodo en que se está haciendo el
estudio.
2.Proporcionalidad
 Existe en el objetivo y las restricciones.
3.Aditividad
 El total de todas las actividades es igual a la suma
de las actividades individuales.

8
4.Divisibilidad:
 Las soluciones no necesitan ser números enteros.
 Las soluciones son divisibles y pueden tomar
cualquier valor fraccionario.
5.No negatividad:
 Todas las respuestas o variables son no negativas
(≥ 0).
 Los valores negativos de cantidades físicas son
imposibles.
Cinco suposiciones básicas de PL (2)

9
Formulación de un problema de PL (1)
Variables de Decisión
Xj , j = 1, 2, …,n
Función Objetivo
Maximizar ó Minimizar
Z = C1X1 + C2X2 + . . . . . . + CnXn
Restricciones
a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn {,,} b1
a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn {,,} b2
...
am1X1 + am2X2 + ...+ amnXn {,,} bm
Rango de existencia
Xj  0, j = 1, 2, …,n

10
Pasos
1. Entender por completo el problema administrativo que
se enfrenta.
2. Identificar el objetivo y las restricciones.
3. Definir las variables de decisión.
4. Utilizar las variables de decisión para escribir las
expresiones matemáticas de la función objetivo y de
las restricciones.
Formulación de un problema de PL (2)

11
Problema de la mezcla de productos
 Dos o más productos son fabricados usados recursos
limitados tales como personal, máquinas, materias
primas, etc.
 La utilidad que la empresa busca para maximizar está
basada en la contribución a la utilidad por unidad de
cada producto.
 A la compañía le gustaría determinar cuántas
unidades de cada producto deberá fabricar para
maximizar la utilidad total dados sus recursos
limitados.
Flair Furniture Company (1)

12
Maximizar la utilidad
Sujeta a:
1. Horas de carpintería utilizadas  240 horas por semana
2. Horas de pintura y barnizado utilizadas  100 horas por
semana
Identificar el objetivo y las restricciones:
Horas requeridas para producir 1 unidad
Departamento Mesas Sillas
Disponibilidad
(horas/semana)
• Carpintería
• Pintura y barnizado
4
2
3
1
240
100
Utilidad (intis por unidad) 7.00 5.00

13
X1 = número de mesas que deben ser producidas y vendidas
por semana
X2 = número de sillas que deben ser producidas y vendidas por
semana
Variables de decisión
Disponibilidad
(horas/semana)
• Carpintería
4
2
3
1
240
100

14
Formulación matemática
Maximizar Z = 7X1 + 5X2
Sujeta a
4X1 + 3X2 ≤ 240 (Restricción de Carpintería)
2X1 + 1X2 ≤ 100 (Restricción de Pintura y Barnizado)
Con X1, X2 ≥ 0 (condiciones de no negatividad)
Disponibilidad
(horas/semana)
• Carpintería
4
2
3
1
240
100

15
3. Método gráfico para resolver
problemas de maximización con dos
variables
La forma más fácil de resolver un pequeño problema de PL
tal como el de la Flair Furniture Company es con el método
gráfico.
El método gráfico funciona sólo cuando existen dos
variables de decisión, pero es invaluable ya que da una
idea de cómo funcionan otros métodos.

16
Las condiciones de
no negatividad X1 ≥
0 y X2 ≥ 0 significan
que siempre se
trabaja en el primer
cuadrante.
X1 (número de mesas)
X2 (número de sillas)
(0,0)
Representación gráfica de las restricciones

17
 La restricción de Carpintería es 4X1 + 3X2 ≤ 240
 Se grafica la restricción en forma de igualdad 4X1 +
3X2 = 240
• Sea X1 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el
eje X2. 4(0) + 3(X2) = 240, X2 = 80 sillas
eje X1. 4(X1) + 3(0) = 240, X1 = 60 mesas
 La restricción de Carpintería está limitada por la línea
que va del punto (X1 = 0, X2 = 80) al punto (X1 = 60, X2
= 0).

18
(60,0)
(0,80)
4 X1 + 3 X2 ≤ 240
(Carpintería)
(0,0)

19
 La restricción de Pintura y Barnizado es 2X1 + 1X2 ≤
100
 Se grafica la restricción en forma de igualdad 2X1 +
1X2 = 100
eje X2. 2(0) + 1(X2) = 100, X2 = 100 sillas
eje X1. 2(X1) + 1(0) = 100, X1 = 50 mesas
 La restricción de Pintura y Barnizado está limitada por
la línea que va del (X1 = 0, X2 = 100) al punto (X1 = 50,
X2 = 0).

20
(60,0)
(0,80)
4 X1 + 3 X2 ≤ 240
(Carpintería)
2 X1 + 1 X2 ≤ 100
(Pintura y Barnizado)
(50,0)
(0,100)
(0,0)

21
(60,0)
(0,80)
4 X1 + 3 X2 ≤ 240
(Carpintería)
2 X1 + 1 X2 ≤ 100
(Pintura y Barnizado)
(50,0)
(0,100)
Región
Factible
(0,0)

22
Método de solución de línea de
isoutilidad
1. Graficar todas las restricciones y encontrar la
región factible.
2. Seleccionar una línea de utilidad y graficar
esta para encontrar la pendiente.
3. Mover la línea de la función objetivo en
dirección para incrementar la utilidad mientras
se mantiene la pendiente. El último punto en
tocar la región factible es la solución óptima.
4. Encontrar los valores de las variables de
decisión en este último punto y calcular la
utilidad.

23
 Comenzar asignando utilidades iguales a cantidades
arbitrarias pero pequeñas en intis.
 Elegimos una utilidad de 210.
• Éste es un nivel de utilidad que puede ser alcanzado con
facilidad sin violar ninguna de las dos restricciones.
 La función objetivo se escribe como 210 = 7X1 + 5X2.
Línea de isoutilidad

24
 La función objetivo es justo la ecuación de una línea
llamada línea de isoutilidad.
• Esta representa todas las combinaciones de (X1, X2) que
producirían una utilidad total de 210.
 Para trazar la línea de utilidad, se procede de manera
similar a la que se empleó para trazar la línea de
restricción:
• Primero, sea X1 = 0 y resuelva para el punto donde la línea
cruza el eje X2. 210 = 7(0) + 5(X2), X2 = 42 sillas
• Entonces, sea X2 = 0 y resuelva para el punto donde la línea
cruza el eje X1. 210 = 7(X1) + 5(0), X1 = 30 mesas

25
 A continuación se conectan estos dos puntos con una
línea recta.
 Todos los puntos en la línea representan soluciones
factibles que producen una utilidad de 210.
 Obviamente, la línea de isoutilidad de 210 no produce
la más alta utilidad posible para la empresa.
 Se trazan dos líneas más, cada una de las cuales
produce una utilidad más alta.
 Otra ecuación, 420 = 7X1 + 5X2, es trazada de la
misma manera que la última línea.

26
 Cuando X1 = 0,
420 = 7(0) + 5(X2), X2 = 84 sillas
 Cuando X2 = 0,
420 = 7(X1) + 5(0), X1 = 60 mesas
 Esta línea es demasiado alta para ser considerada
porqué no llega a tocar la región factible.
 La más alta línea de isoutilidad posible toca la punta
de la región factible en el punto de esquina (X1 = 30,
X2 = 40) y da una utilidad de 410.

27
(0,80)
(50,0)(0,0)
7 X1 + 5 X2 = Z = 560
7 X1 + 5 X2 = Z = 385
7 X1 + 5 X2 = Z = 280
7 X1 + 5 X2 = Z = 210
7 X1 + 5 X2 = Z = 140

28
Solución óptima
Flair Furniture Company
(0,80)
(50,0)(0,0)
7 X1 + 5 X2 = Z = 410 = 7(30) + 5(40)
(30,40) Solución óptima

29
1. Graficar todas las restricciones y encontrar la región
factible.
2. Encontrar los puntos esquina de la región factible.
3. Calcular la utilidad en cada punto esquina de la
región factible.
4. Seleccionar el punto esquina con el mayor valor de
la función objetivo. Éste es la solución óptima.
Método de solución del punto de
esquina

30
 La región factible para el problema de Flair Furniture Company
es un polígono de cuatro lados con cuatro puntos de esquina o
puntos extremos.
 Estos puntos son los designados como 1, 2, 3, y 4. Ver
diapositiva siguiente.
 Para encontrar los valores (X1, X2) que producen la utilidad
máxima, se localizan las coordenadas de cada punto en esquina
y se comprueban sus niveles de utilidad.
Punto 1: (X1 = 0, X2 = 0), Utilidad = 7(0) + 5(0) = 0
Punto de esquina

31
(0,80)
(50,0)(0,0)
7 X1 + 5 X2 = Z = 410 = 7(30) + 5(40)
(30,40) Solución óptima
Puntos de esquina
1
2
3
4
Punto de esquina

32
Solución de problemas de
minimización
 Un restaurante desea desarrollar un horario de trabajo para
satisfacer las necesidades de personal al mismo tiempo que
minimizar el número total de empleados.
 Un fabricante busca distribuir sus productos de varias fábricas a
sus almacenes regionales de tal modo que se reduzcan al
mínimo los costos de embarque.
 Un hospital desea proporcionar un plan de alimentación diario
para sus pacientes que satisfaga ciertos estándares
nutricionales al mismo tiempo que reducir al mínimo los costos
de adquisición de alimentos.

33
4. Método gráfico para resolver
problemas de minimización con dos
variables
Los problemas de minimización pueden ser resueltos
gráficamente. Existen dos métodos para encontrar la
solución óptima: línea de isocosto y punto de esquina.

34
Método de solución de línea de
isocosto
1. Graficar todas las restricciones y encontrar la
región factible.
2. Seleccionar una línea de isocosto y graficar
esta para encontrar la pendiente.
3. Mover la línea de la función objetivo en
dirección para decrementar el costo mientras
se mantiene la pendiente. El último punto en
tocar la región factible es la solución óptima.
4. Encontrar los valores de las variables de
decisión en este último punto y calcular el
costo.

35
1. Graficar todas las restricciones y encontrar la región
factible.
2. Encontrar los puntos esquina de la región factible.
3. Calcular la utilidad en cada punto esquina de la
región factible.
4. Seleccionar el punto esquina con el menor valor de
la función objetivo. Éste es la solución óptima.
Método de solución del punto de
esquina

36
Problema de minimización
Holiday Meal Turkey Ranch (1)
Ingrediente Marca 1
(oz./lb.)
Marca 2
(oz./lb.)
Requerimiento
mínimo mensual
por pavo (oz.)
A
B
C
10
3
0
90
48
1.5
Costo (centavos/lb.) 2 3
5
4
0.5

37
Problema de minimización
Holiday Meal Turkey Ranch (2)
Minimizar Z = 2X1 + 3X2
Sujeta a:
5X1 + 10X2 ≥ 90 (restricción del ingrediente A)
4X1 + 3X2 ≥ 48 (restricción del ingrediente B)
0.5 X1 ≥ 1.5 (restricción del ingrediente C)
Con X1, X2 ≥ 0 (condición de no negatividad)
Variables de decisión
X1 = número de libras del alimento marca 1 adquiridas
X2 = número de libras del alimento marca 2 adquiridas

38
Método del punto de esquina
Holiday Meal Turkey Ranch
(18,0)
(0,9)
(0,16)
(12,0) X1
X2
(3,0)
5 X1 + 10 X2 ≥ 90
0.5 X1 ≥ 1.5
4 X1 + 3 X2 ≥ 48
(8.4,4.8) Solución óptima
2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)

39
5. Casos especiales de
programación lineal (1)
Tres casos especiales se plantean cuando se utiliza el método
gráfico para resolver problemas de PL.
1) Infactibilidad.
2) No acotamiento.
3) Soluciones óptimas múltiples.

40
1. Infactibilidad.- falta de una región de solución factible
puede ocurrir si existen conflictos entre las
restricciones.
2. No acotamiento.- Cuando la utilidad en un problema de
maximización puede ser infinitamente grande, el
problema es ilimitado y falta una o más restricciones.
3. Soluciones óptimas múltiples.- dos o más soluciones
óptimas pueden existir y esto permite actualmente a la
administración tener flexibilidad para decidir entre
varias opciones.
5. Casos especiales de
programación lineal (2)

41
Un problema con solución no
factible
X2
X1
8
6
4
2
0
2 4 6 8
Región que
satisface la
tercera restricción
Región que satisface las dos primeras
restricciones

42
Una región factible no acotada a la
derecha
X2
X1
15
10
5
0
5 10 15
Región factible
X1 ≥ 5
X2 ≤ 10
X1 + 2X2 ≥ 10

43
Un ejemplo de soluciones óptimas
múltiples
Maximizar Z = 3 X1 + 2 X2
Sujeta a 6 X1 + 4 X2 < 24
X1 < 3
Con X1, X2 > 0
La solución óptima se compone de todas las
combinaciones de X1 y X2 a lo largo del segmento AB
Línea de isoutilidad para I/.12.00
sobre el segmento AB
Línea de isoutilidad para I/.8.00
A
B
AB
6
430 X1
X2

44
6. Solución de problemas de
programación lineal usando
computadora
Winqsb
Lindo

Uso de Winqsb para resolver el problema
de Flair Furniture Company (1)
45

Uso de Winqsb para resolver el problema
de Flair Furniture Company (2)
46

47
Uso de LINDO para resolver el problema de
Pantalla de ingreso de datos

48
Reporte de formulación

49
Reporte de formulación y solución

50
 Las soluciones óptimas han sido encontradas bajo
suposiciones deterministas.
• Esto significa que se supone una certeza completa en los
datos y relaciones de un problema.
• Por ejemplo los precios son fijos, los recursos conocidos,
el tiempo necesario para producir una unidad
exactamente establecido.
 Pero en el mundo real, las condiciones son
dinámicas y cambiantes.
 Preguntas a ser hechas son: ¿qué tan sensible es
la solución óptima a cambios en las utilidades,
recursos u otros parámetros de entrada?
7. Análisis de sensibilidad gráfico y por
computadora (1)

51
 Una manera de reconciliar esta discrepancia entre los
supuestos deterministas y las condiciones dinámicas
y cambiantes del mundo real es: cuán sensible es la
solución óptima a los supuestos del modelo y los
datos.
 Una importante función del análisis de sensibilidad es
que permite experimentar con los valores de los
parámetros de entrada.
7. Análisis de sensibilidad gráfico y por
computadora (2)

52
Hay dos métodos para determinar la sensibilidad
de una solución óptima a los cambios.
El primero es simplemente un método de ensayo
y error.
Este método resuelve todo el problema, de
preferencia con una computadora, cada vez que
cambia un dato de entrada o parámetro.
Esto puede tomar mucho tiempo para probar una
serie de posibles cambios.
Formas para realizar el análisis de
sensibilidad (1)

53
El segundo método es el análisis de
postoptimalidad.
Después que el problema de PL ha sido
resuelto, se intenta determinar un intervalo de
cambios en los parámetros que no afectan la
solución óptima o cambian los valores de las
variables en la solución. Esto se realiza sin
resolver el problema completo.
Análisis de postoptimalidad significa examinar
los cambios una vez que se ha llegado a la
solución optima.
Formas para realizar el análisis de
sensibilidad (2)

54
Análisis de sensibilidad usando el
método gráfico
Holiday Meal Turkey
Ranch
(18,0)
(0,9)
(0,16)
(12,0) X1
X2
(3,0)
5 X1 + 10 X2 ≥ 90
0.5 X1 ≥ 1.5
4 X1 + 3 X2 ≥ 48
(8.4,4.8) Solución óptima
2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)

55
Cambios en los coeficientes de la
función objetivo - gráfico
(18,0)
(0,9)
(0,16)
(12,0) X1
X2
(3,0)
Variación del coeficiente C1 de X1
2 X1 + 3 X2 = Z
4 X1 + 3 X2 = Z
1.5 X1 + 3 X2 = Z
(18,0)
(0,9)
(0,16)
(12,0) X1
X2
(3,0)
Variación del coeficiente C2 de X2
2 X1 + 3 X2 = Z
2 X1 + 1.5 X2 = Z
2 X1 + 4 X2 = Z

56
Análisis de sensibilidad usando LINDO
Holiday Meal Turkey
Ranch

57
• LINDO produce un reporte de sensibilidad.
• Este reporte provee los incrementos y decrementos
admisibles para los coeficientes de la función
objetivo.
• Sumando el incremento admisible (ALLOWABLE
INCREASE) a los valores actuales (CURRENT
COEF), el límite superior puede ser obtenido.
• Restando el decremento admisible (ALLOWABLE
DECREASE) a los valores actuales (CURRENT
COEF), el límite inferior puede ser obtenido.
Cambios en los coeficientes de la función
objetivo - LINDO (1)

58
1.5 ≤ C1 ≤ 4
1.5 ≤ C2 ≤ 4
Holiday Meal Turkey
Ranch
objetivo - LINDO (2)

59
objetivo
Si la solución óptima es no degenerada, podemos
afirmar:
Cuando un coeficiente en particular es aumentado
(disminuido) en una cantidad aceptable, la solución
óptima no cambia, pero el valor óptimo de la función
objetivo aumenta (disminuye) en un valor igual a dicha
cantidad multiplicada por el valor de la variable
asociada a ese coeficiente.

60
 Los valores del lado derecho de las
restricciones a menudo representan recursos
disponibles para la empresa.
 Los recursos podrían ser horas de mano de
obra o tiempo de máquina o quizás dinero o
materiales de producción disponibles.
Cambios en los recursos o valores del
lado derecho (1)

61
 Si el lado derecho de una restricción es cambiado:
• La región factible cambiará (a menos que la restricción sea
inactiva)
• Y con frecuencia la solución óptima cambiará.
 El valor de cambio en la función objetivo que resulta
de una unidad de cambio en uno de los recursos
disponibles es llamado precio dual.
 El precio dual de una restricción es el mejoramiento
del valor de la función objetivo que resulta del
incremento de una unidad en el lado derecho de la
restricción.
lado derecho (2)

62
 El precio dual de un recurso indica el valor en que la
función objetivo será incrementada (o decrementada)
debido a otra unidad del recurso.
 Sin embargo, el valor del incremento posible del lado
derecho de un recurso es limitado.
 Si el valor fuera incrementado más allá del límite
superior, entonces la función objetivo ya no se
incrementaría por el precio dual.
• Si fuera excedido este número límite del recurso, quizás
cambie la función objetivo, pero por un valor diferente al
precio dual.
• Así, el precio dual sólo es relevante dentro de los límites.
lado derecho (3)

63
lado derecho – gráfico (1)
(18,0)
(0,9)
(0,16)
X1
X2
(3,0)
5 X1 + 10 X2 ≥ 90
(8.4,4.8)
Variación del lado derecho de la restricción 5 X1 + 10 X2 ≥ 90
(12,0)
5 X1 + 10 X2 ≥ 135
(3,12)
5 X1 + 10 X2 ≥ 60
2 X1 + 3 X2 = Z = 42 = 2(3) + 3(12)
2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)
Precio Dual = -(42-31.2)/(135-90) = -0.24
2 X1 + 3 X2 = Z = 24 = 2(12) + 3(0) Precio Dual = -(24-31.2)/(60-90) = -0.24
60 ≤ b1 ≤ 135; precio dual = -0.24

64
(0,9)
(0,16)
(12,0) X1
X2
(3,0)
(8.4,4.8)
Variación del lado derecho de la restricción 4 X1 + 3 X2 ≥ 48
4 X1 + 3 X2 ≥ 48
4 X1 + 3 X2 ≥ 72
4 X1 + 3 X2 ≥ 34.5
(3,7.5)
2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)
(18,0)
2 X1 + 3 X2 = Z = 36 = 2(18) + 3(0)
2 X1 + 3 X2 = Z = 28.5 = 2(3) + 3(7.5) Precio Dual = -(36-31.2)/(72-48) = -0.2
Precio Dual = -(28.5-31.2)/(34.5-48) = -0.2
34.5 ≤ b2 ≤ 72; precio dual = -0.20

65
(18,0)
(0,9)
(0,16)
(12,0) X1
X2
(3,0)
(8.4,4.8)
Variación del lado derecho de la restricción 0.5 X1 ≥ 1.5
0.5 X1 ≥ 1.5
0.5 X1 ≥ 4.2
2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)
Precio Dual = -(31.2-31.2)/(4.2-1.5) = 0
2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)
(3,12)
-∞ ≤ b3 ≤ 4.2; precio dual = 0.00

66
60 ≤ b1 ≤ 135;
precio dual = -0.24
34.5 ≤ b2 ≤ 72;
precio dual = -0.20
-∞ ≤ b3 ≤ 4.2;
precio dual = 0.00
lado derecho – LINDO

67
afirmar:
Cuando el lado derecho de una restricción activa es
aumentado (disminuido) en una cantidad aceptable,
la base óptima no cambia, pero la solución óptima si
cambia, y el valor óptimo de la función objetivo
aumenta (disminuye) en un valor igual a dicha
cantidad multiplicada por el valor del precio dual
asociado a esa restricción.
lado derecho (1)

68
afirmar:
Cuando el lado derecho de una restricción inactiva es
aumentado (disminuido) en una cantidad aceptable, la
solución óptima no cambia.
lado derecho (2)

69
Si una solución óptima es no degenerada, y tiene
una variable de decisión cuyo valor óptimo es cero,
podemos afirmar:
El coeficiente de esa variable en la función objetivo
debe ser cambiado por lo menos en el costo
reducido (y posiblemente más), con el objeto de que
haya una solución óptima en la que la variable
aparezca con un valor positivo.
Costo reducido

70
MAX 10 X1 + 3 X2
SUBJECT TO
2) 8 X1 + 7 X2 <= 56
3) 6 X1 + 10 X2 <= 60
END
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 70.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 7.000000 0.000000
X2 0.000000 5.750000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 1.250000
3) 18.000000 0.000000
El costo reducido es el
valor en que debe
incrementado el
coeficiente de la
variable no básica en la
función objetivo para
obtener una solución
óptima alternativa.
Costo reducido – LINDO (1)

71
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 10.000000 INFINITY 6.571429
X2 3.000000 5.750000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 56.000000 24.000000 56.000000
3 60.000000 INFINITY 18.000000
Costo reducido – LINDO (2)

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