Bloques
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Este documento describe un diseño de bloques completos al azar (DBCA) para comparar el rendimiento de forraje de diferentes variedades de camote. El experimento consistió en 4 nuevas variedades y una variedad de control, asignadas aleatoriamente dentro de bloques homogéneos. Se midió el peso fresco del follaje y se realizó un análisis de varianza para comparar los tratamientos y bloques, así como contrastes ortogonales y la prueba de Friedman para comparaciones múltiples.
Bloques
- 1. 1 DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS AL AZAR : DBCA Conocido como diseño de doble vía, se aplica cuando el material es heterogéneo. las unidades experimentales homogéneas se agrupan formando grupos homogéneos llamados bloques. Tratamientos A, B, C, D, E Bloque I : B A E C D Bloque II : C B D E A Bloque III: B E A D C Bloque IV: D C A EB Las fuente de variación para el análisis estadístico son: Fuentes Grados de libertad Tratamiento Bloques Error (t-1) = 4 (r-1) = 3 (t-1)(r-1)=12 Características: 1. Las unidades experimentales son heterogéneas. 2. Las unidades homogéneas están agrupadas formando los bloques. 3. En cada bloque se tiene un numero de unidades igual al numero de tratamientos (bloques completos) 4. Los tratamientos están distribuidos al azar en cada bloque. 5. El numero de repeticiones es igual al numero de bloques. F.de Mendiburu
- 2. 2 MODELO Cada observación del experimento es expresada mediante una ecuación lineal en los parámetros, el conjunto conforma el modelo para el diseño de bloques completos al azar : Yij = µ + τi + β j + εij i=1,2,...,t j=1,2,...,r µ = Parámetro, efecto medio τ i = Parámetro, efecto del tratamiento I β j = Parámetro, efecto del bloque j εij = valor aleatorio, error experimental de la u.e. i,j Yij = Observación en la unidad experimental ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS por Minimos cuadrados del error ˆ ∑τ i = 0 ; ∑ β j = 0 ˆ ˆ µ = Y .. ˆ τ i = Y i. - Y .. ˆ β j = Y .j - Y .. El error en cada unidad experimental puede ser encontrado por diferencia: εij = Yij - Yi. - Y.j + Y.. SUMAS DE CUADRADOS 2 2 .. SC total = ∑ ∑ ( Yij - Y..)2 = ∑ ∑ Y ij rt 2 2 Y Y i. .. SC trat. = ∑ ∑ ( Yi. - Y..)2 = ∑ r rt Y F.de Mendiburu
- 3. 3 Y 2 Y 2 .j .. t rt 2 2 2 Y Y Y 2 2 i. .j .. SC error = ∑ ∑ ε = ∑ ∑ Y - ∑i - ∑ j + ij ij r t rt 2 SC bloque = ∑ ∑ ( Y.j - Y..) = ∑ Y 2 .. es el termino de corrección (TC) de las sumas de cuadrados, en las rt expresiones de sumas de cuadrados se acostumbra colocar sólo TC, por ejemplo: 2 SC TOTAL = ∑ ∑ Y - TC ij APLICACIÓN: Estudio de Variedades forrajeras en Camote. Se realizo un ensayo de 4 nuevas variedades forrajeras (V1, V2, V3 y V4) frente a una variedad ya conocida. Se dispuso realizar el ensayo en la epoca de verano en Selva. Cada parcela de 10 m2 con un total de 15 parcelas. Se formaron bloques de 5 parcelas homogeneas. Se midio el peso fresco y seco y se registro el peso en kilos. V1 I 17.9 II 20.8 III 21.4 Yi. 60.1 Follaje Fresco Testigo V2 7.0 19.8 5.9 16.7 4.2 16.7 17.1 53.2 V3 15.2 21.0 8.8 45.0 V4 12.7 14.2 11.5 38.4 Y.j 72.6 78.6 62.6 213.8 El objetivo es comparar las nuevas variedades entre ellas y con el testigo. F.de Mendiburu
- 4. 4 CALCULO DE SUMAS DE CUADRADOS Termino de corrección = TC = (213.8)²/15 (17.1)² +...+ (38.4)² SC_Variedades = ------------------------3 SC_Bloques (72.6)² +...+ (62.6)² = ------------------------5 SC_Total = (17.9)² +.....+ (38.4)² - TC - TC - TC SC_error Exp. = SC_total - (SC_Variedades + SC_Bloques) Resultados del ANVA: Variable: Follaje Fuente Gl bloque 2 variedad 4 Error 8 Corrected Total 14 CV = 20.6 % Promedio = 14.25 F0.05 (4,8) = 3.84 F0.01 (4,8) = 7.01 F.de Mendiburu SC 26.1333 364.0440 69.4000 459.5773 CM Fc 13.0666 1.51 91.0110 10.49 8.6750 Pr > F 0.2785 0.0029
- 5. 5 Comparación de grupos mediantes contrastes. Contrastes ortogonales Contraste 1 : Testigo vs V1, V2, V3, V4 Contraste 2 : V1, V2 vs V3, V4 Contrate 3 : V1 vs V2 Contrate 4 : V3 vs V4 2 C1 C2 C3 C4 Yi. V1 Testigo V2 V3 V4 ( ∑i cki Y i. ) -1 4 -1 -1 -1 16460.89 -1 0 -1 1 1 894.01 -1 0 1 0 0 47.61 0 0 0 -1 1 43.56 60.1 17.1 53.2 45.0 38.4 r ∑i c 2 ki 60 12 6 6 SC 274.3 74.5 7.9 7.2 364.0 Mediante estos contrastes, se hace las comparaciones, por ejemplo C1 significa probar el testigo vs los demás, C2 significa comparar las variedades "1" y “2” frente a "3" y "4",. El análisis se realizara mediante el ANVA. Fuente s Gl C1 1 C2 1 C3 1 C4 1 Error 8 F.de Mendiburu SC 274.34 74.5 7.94 7.26 69.4 CM 274.3 74.5 7.94 7.26 8.675 Fc 31.6 ** 8.6 * 0.9 ns 0.8 ns F0.05 F0.01 5.32 11.26
- 6. 6 Prueba de Friedman’s para dos vias de clasificacion Friedman (1937) propuso una prueba para datos sin distribución conocida, cuadno estos corresponden a un diseño de bloques completos al azar. 1. Asignar un valor de jerarquía (Rango) a la respuesta de los tratamientos dentro de cada bloque de menor a mayor. 2. Obtener la suma de los rangos para cada tratamiento. 3. Probar la hipótesis nula de que las poblaciones dentro de un bloque son idénticas contra la opción que al menos un tratamiento viene de una población que tiene una diferente ubicación. El criterio es: Sin empates: χ 2 cal = 12 2 ∑ r i. − 3b(t + 1) bt (t + 1) i los valore 12 y 3 no dependen del tamaño del experimento. con empates: Hallar previamente los valores para el ajuste: b t A1 = ∑∑ r ij i =1 j =1 2 C 1 = bt (k +1) / 4 2 Valor de Chi-cuadrada para la prueba χ 2 cal = (t − 1) t 2 ∑ r i. − b C1 A1 − C1 i =1 con t-1 grados de libertad. t = numero de tratamientos b = numero de bloques Se acepta la hipotesis planteada si el valor de Chi-cuadrada calculada es menor que el valor tabular con (t-1) grados de libertad. F.de Mendiburu
- 7. 7 Comparaciones multiples. Las comparaciones se realizan con la suma de los rangos de cada tratamiento. Si “Ri “ representa la suma de los rangos del tratamiento “i” que es ri. Entonce la diferencia es significativa si: 2(b A1 − ∑ R i ) 2 R −R i j > LSD = t α ( b −1)( t −1) (b − 1)(t − 1) con t-1 grados de libertad. Ejemplo: Bloques 1 2 3 4 T1 4.4 5.9 6 4.1 T2 3.3 1.9 4.9 7.1 T3 4.4 4 4.5 3.1 T4 6.8 6.6 7 6.4 T5 6.3 4.9 5.9 7.1 T6 6.4 7.3 7.7 6.7 Valores de los rangos Bloques T1 1 2.5 2 4 3 4 4 2 12.5 T2 1 1 2 5.5 9.5 T3 T4 2.5 6 2 5 1 5 1 3 6.5 19 T5 4 3 3 5.5 15.5 T6 5 6 6 4 21 Chi-Cuadrado = ( 12/(4*6*7) )*(12.5² + ... + 15.5² ) – 3(4)7 = 11.07 Chi Tabular (5 gl) 0.05 = 11.1 F.de Mendiburu
- 8. 8 Aplicación por computadora, programa R Prueba de Friedman's .............. Chi Cuadrado: P-valor : .............. Alpha : t-Student : LSD : 8.8 0.06629764 0.05 2.306004 5.648533 Comparación de tratamientos Grupos, Tratamientos y Suma de rangos a V1 13 ab V2 12 ab V3 10 bc V4 7 c Testigo 3 Se observa una similitud rerspecto a la prueba parametrica. Manualmente con el excel seria: Datos experimentales: bloque 1 2 3 V1 Testigo V2 V3 V4 17.9 7 19.8 15.2 12.7 20.8 5.9 16.7 21 14.2 21.4 4.2 16.7 8.8 11.5 Rangos por bloque: V1 Testigo bloque1 4 1 bloque2 4 1 bloque3 5 1 Ri 13 3 F.de Mendiburu V2 5 3 4 12 V3 3 5 2 10 V4 2 2 3 7
- 9. 9 Resultados estadisticos: A SUMSQ(B19:F21) 165 Sum(R²i) SUMSQ(B22:F22) 471 t0.05(8) TINV(0.05,8) 2.306 LSD C26*SQRT(2*(3*C24-C25)/8) 5.649 Ejercicio: Realice la prueba de Friedman para los siguientes datos: Utilice metodo sin empates. Datos observados Bloques 1 2 3 4 T1 4.4 5.9 6 4.1 T2 3.3 1.9 4.9 7.1 T3 4.4 4 4.5 3.1 T4 6.8 6.6 7 6.4 T5 6.3 4.9 5.9 7.1 T6 6.4 7.3 7.7 6.7 T5 4 3 3 5.5 15.5 T6 5 6 6 4 21 Valores de los rangos Bloques T1 T2 1 2.5 1 2 4 1 3 4 2 4 2 5.5 12.5 9.5 T3 2.5 2 1 1 6.5 T4 6 5 5 3 19 Chi-Cuadrado = ( 12/(4*6*7) )*(12.5² + ... + 15.5² ) – 3(4)7 = 11.07 Chi Tabular (5 gl) 0.05 = 11.1 A 363 Sum(R²i) 1331 t0.05(15) 2.131451 LSD 8.561254 F.de Mendiburu