Calc.Estruct.Madera

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

ANÁLISIS ESTRUCTURAL

TAREA # 3
RESUMEN

Como empresa consultora se nos ha encargado verificar una estantería que será
usada para colocar sobre ella una escultura, todo esto enmarcado en la celebración del
bicentenario de independencia de nuestro país Chile.
Para verificar que la estantería soportará la carga de 1.5 Kg,, que es lo que esa la
escultura, sobre una estantería de madera, hemos desarrollado un modelo experimental,
a través de una viga de madera con un apoyo simple y otro fijo, que representa la
situación real presentada.
El análisis de la viga se realizará mediante el método de doble integración y
método matricial, este último se ejecutará con el programa computacional SAP 2000.
Con todos los datos que la galería de arte ha expuesto a nuestra empresa y con los
valores obtenidos experimental y matemáticamente calculados, estamos en disposición
de decir que efectivamente, se podría colocar una escultura del peso indicado sobre la
estantería que la galería posee.

ÍNDICE

.- INTRODUCCIÓN ……………………………………….. 4

.- MOTIVACIÓN ……………………………………….. 5

.- OBJETIVOS ………………………………………... 6

.- RESOLUCIÓN ………………………………………... 7

.- CONCLUSIONES ………………………………………… 11

.- BIBLIOGRAFÍA …………………………………………. 12

INTRODUCCIÓN

En este informe presentaremos la resolución experimental y matemática, a
través del método de doble integración y matricial, este último ejecutado
computacionalmente con sap 2000.

MOTIVACIÓN

Como empresa consultora hemos aceptado el análisis estructural de una estantería
de madera. Debemos verificar que el peso que ésta soportará será lo suficiente para que
no colapse.
Para ello se diseñó un modelo experimental y a partir de éste se desarrolló
distintos métodos matemáticos que verificaran lo obtenido experimentalmente.

OBJETIVOS

Los objetivos que se plantean es el de verificar la resistencia de una viga de
madrea, tanto experimental como teórico.

2

DESARROLLO TEÓRICO

Modelo teórico basado en el modelo experimental:

1.5 Kg

50 cm. 50 cm.

DATOS EXPERIMENTALES

L = 100 cm. 1.4 cm.
P = 1.5 Kg.
Sección = 3.6 cm2
Deformación máxima (x = 50 cm.) = 1 cm. 1.4 cm.
Deformación (x = 25 cm) = 8 cm.
Deformación (x = 75 cm) = 8 cm.

Inercia = h b3 / 12 = 0.320 cm4

Δ max = P L3 / (48 EI) E = 97656 Kg/cm2

DESARROLLO TEÓRICO

1.5 Kg.

b
Ha

Va Vc

3

i) Cálculo de reacciones

∑ Fy = 0 Va +Vb = P
Va +Vb = 1.5 Kg.

∑ Ma = 0 (50 * 1.5) = Vc*100 Vc = Va = 0.75 Kg.

ii) Calculo de esfuerzos por tramos :

Tramo 1: 0 ≤ x < 50

∑ Fy = 0 -V(x) + 0.75 = 0
V(x) = 0.75 Kg
M(x)
X ∑M=0 M(x) = 0.75x
V(x) M(0) = 0
0.75
M(50) = 37.5 Kg*cm

Tramo 2: 0 ≤ x < 50

1.5
∑ Fy = 0 -V(x) +0.750 – 1.5
V(x) = - 0.75
M(x)
X ∑M=0 M(x) + 1.5x – 0.75x - 37.5
37.5
M(x) = -0.75x + 37.5
V(x)
0.75
M(0) = 37.5 Kg*cm
M(3) = 0

ANÁLISIS DE TRAMOS POR DOBLE INTEGRACIÓN

4

Tramo 1: 0 ≤ x < 50

M(x) = 0.75 x

EI ∂2Y = 0.75 x /∫
∂X2

EI θ1 = 0.375 x2 + C1 /∫

EI Y1 = 0.125 x3 + C1x + C2

Tramo 2: 0 ≤ x < 50

M(x) = - 0.75x + 37.5

EI ∂2Y = -0.75x + 37.5 /∫
∂X2

EI θ2 = - 0.375 x2 + 37.5 x + C3 /∫

EI Y2 = - 0.125 x3 + 18.75 x2 + C3x + C4

i) condiciones de borde

θ1 (x = 0) ≠ 0
Y1 (x = 0) = 0
θ1 (x = 50) = θ2 (x = 0)
Y1 (x = 50) = Y2 (x = 0)
θ2 (x = 100) ≠ 0
Y2 (x = 100) = 0

Reemplazando las condiciones en la ecuaciones planteadas anteriormente,
obtenemos los siguientes resultados:

C1= - 1145.83
C2 = 0
C3 = - 208.33
C4 = - 41666.5

5

Con estos valores sustituidos en las ecuaciones de giro y flecha se tiene que:

EI θ1 = 0.375 x2 - 1145.83

EI Y1 = 0.125 x3 – 1145.83x

EI θ2 = - 0.375 x2 + 37.5 x - 208.33

EI Y2 = - 0.125 x3 + 18.75 x2 – 208.33 x – 41666.5

Conociendo E e I se tiene que:

θ1 = 1.2 E-5 x2 - 0.037

Y1 = 4E-6 x3 – 0.037 x

θ2 = - 1.2 E-5 x2 + 0.001 x - 0.007

Y2 = - 4E-6 x3 + 6E-4 x2 – 0.007 x – 1.33

Finalmente tenemos los datos obtenidos teóricamente, los cuales podremos
comparar con los obtenidos experimentalmente

Y1 (x = 50) = -1.33 cm.
Y1 (x = 25) = - 0.86 cm.
Y2 (x = 0) = -1.33 cm.
Y2 (x = 25) = -0.86 cm.
θ1 (x = 0) = - 0.037

CONCLUSIÓN

6

tabla comparativa de resultados:

Método θA Y [ x= 0 Y (x =25 Y (x Y (x =75 Y (x =100
cm] cm) =50 cm) cm) cm)
Experimental 0 0 0.7 1 0.8 0
Teórico 0.037 0 0.86 1.33 0.86 0
Error (cm) 0.037 0 0.16 0.33 0.06 0

Como se puede observar en la tabla existe una pequeña diferencia entre los
valores obtenidos de manera experimental y teórica. Esto es debido principalmente a
que el elemento usado en el procedimiento experimental no es completamente uniforme
en su dimensionado, poseyendo cierta deformaciones iniciales, incluyendo además que
la madera se caracteriza por su grado de humedad y estructura de las cuales solo
poseemos información promedio. También se debe considerar que la metodología de
obtención de datos experimentales no es del todo exacta.
A pesar de estas dificultades el margen de error mostrado es centesimal, por lo
que podemos asegurar que el comportamiento de la viga será el adecuado para la
solicitación y características pedidas en el proyecto.

BIBLIOGRAFÍA

.- Hibbeler, R.C.
“Análisis estructural”
Ed. Prentice Hall, 1997

.- Norma Chilena Oficial 1998. of 91
“ Madera – Construcciones en madera – Cálculo”
Instituto Nacional de Normalización, 1991

.- Videla
“ Guías de laboratorio, curso materiales de ingeniería”
Pontificia Universidad Católica de Chile, 1987

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