calculo.pdf

Cálculo para las Ciencias Biológicas
Guía didáctica
4 créditos
3 ƒ
ƒ Gestión Ambiental
Titulación
Ciclo
Modalidad Abierta y a Distancia
La Universidad Católica de Loja
Gestión
Ambiental
Área Biológica
ÍNDICE
PRELIMINARES
PRIMER
BIMESTRE
SEGUNDO
BIMESTRE
SOLUCIONARIO
ANEXOS
GLOSARIO

Departamento de Química
Sección Físico Química y Matemáticas
Asesoría virtual:
www.utpl.edu.ec
Autora:
Yuliana Del Cisne Jimenez Gaona
Cálculo para las Ciencias
Biológicas
Guía didáctica
4 créditos
La Universidad Católica de Loja
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Titulación Ciclo
ƒ
ƒ Gestión Ambiental III
ÍNDICE
PRELIMINARES
PRIMER
BIMESTRE
SEGUNDO
BIMESTRE
SOLUCIONARIO
ANEXOS
GLOSARIO

CÁLCULO PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS
Guía didáctica
Yuliana Del Cisne Jimenez Gaona
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
CC 4.0, CC BY-NY-SA
Diagramación, diseño e impresión:
EDILOJA Cía. Ltda.
Telefax: 593-7-2611418
San Cayetano Alto s/n
www.ediloja.com.ec
edilojainfo@ediloja.com.ec
Loja-Ecuador
Maquetación y diseño digital
EDILOJA Cía. Ltda.
Primera Edición
ISBN digital - 978-9942-04-963-6
LaversióndigitalhansidoacreditadasbajolalicenciaCreativeCommons4.0,CCBY-NY-SA:Reconocimiento-Nocomercial-Compartirigual;la
cualpermite:copiar,distribuirycomunicarpúblicamentelaobra,mientrassereconozcalaautoríaoriginal,noseutiliceconfinescomercialesyse
permitenobrasderivadas,siemprequemantengalamismalicenciaalserdivulgada.https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.es
Abril, 2016
ÍNDICE
PRELIMINARES
PRIMER
BIMESTRE
SEGUNDO
BIMESTRE
SOLUCIONARIO
ANEXOS
GLOSARIO

2. Índice
2. Índice ............................................................................................................................................................ 4
3. Introducción............................................................................................................................................. 6
4. Bibliografía............................................................................................................................................... 7
4.1. Básica........................................................................................................................................... 7
4.2. Complementaria...................................................................................................................... 7
5. Orientaciones generales para el estudio.............................................................................. 9
6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias................. 11
PRIMER BIMESTRE
6.1. Competencias genéricas de la UTPL................................................................................. 11
6.2. Planificación para el trabajo del alumno......................................................................... 12
6.3. Sistema de la evaluación del componente educativo (primero y segundo
bimestres).................................................................................................................................. 14
6.4. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias............................ 15
UNIDAD 0. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO........................................................................................... 15
0.1. Repaso de Álgebra................................................................................................................... 16
0.2. Repaso de Geometría: ........................................................................................................... 24
0.3. Repaso de Funciones.............................................................................................................. 28
UNIDAD 1. LÍMITES............................................................................................................................... 31
1.1. Definición de Límite................................................................................................................ 31
1.2. Definición de continuidad y discontinuidad................................................................... 35
1.3. Continuidad aplicada a las desigualdades...................................................................... 36
Autoevaluación 1 ................................................................................................................................ 37
UNIDAD 2. DERIVADAS......................................................................................................................... 38
2.1. Definición de Derivada........................................................................................................... 38
2.2. Reglas de la derivación.......................................................................................................... 40
2.3. Regla del producto y regla del cociente........................................................................... 42
2.4. La regla de la cadena y la regla de la potencia............................................................... 45
Autoevaluación 2 ................................................................................................................................ 50
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

UNIDAD 3. INTEGRALES....................................................................................................................... 51
3.1. Definición de Integral............................................................................................................. 52
3.2. Métodos y técnicas de integración..................................................................................... 54
3.3. Integrales definidas................................................................................................................ 57
3.4. Área bajo la curva.................................................................................................................... 59
3.5. Integración numérica............................................................................................................. 59
Autoevaluación 3 ................................................................................................................................ 61
SEGUNDO BIMESTRE
6.5. Competencias genéricas de la UTPL.................................................................................. 62
6.6. Planificación para el trabajo del alumno......................................................................... 63
6.7. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias............................ 65
UNIDAD 4. TRAZADO DE CURVAS....................................................................................................... 65
4.1. Extremos relativos................................................................................................................... 66
4.2. Concavidad................................................................................................................................. 72
4.3. Prueba de la segunda derivada:.......................................................................................... 76
Autoevaluación 4 ................................................................................................................................ 78
UNIDAD 5. CÁLCULO MULTIVARIABLE............................................................................................... 79
5.1. Funciones de varias variables.............................................................................................. 79
5.2. Derivadas Parciales.................................................................................................................. 82
5.3. Optimización:............................................................................................................................ 85
5.4. Aplicaciones de las derivadas parciales............................................................................ 90
Autoevaluación 5 ................................................................................................................................ 92
UNIDAD 6. ECUACIONES DIFERENCIALES......................................................................................... 93
6.1. Definición................................................................................................................................... 93
6.2. Origen de las ecuaciones diferenciales............................................................................. 95
6.3. Tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden...................................................... 95
6.4. Tipos de soluciones en ecuaciones diferenciales........................................................... 96
6.5. Formato de resolución de ecuaciones diferenciales..................................................... 96
Autoevaluación 6 ................................................................................................................................ 104
7. Solucionario.............................................................................................................................................. 105
8. Glosario de términos........................................................................................................................... 111
9. Anexos........................................................................................................................................................... 114
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

Guía didáctica: Cálculo para las Ciencias Biológicas
6 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
PRELIMINARES
3. Introducción
“El aprendizaje es un tesoro que
seguirá a su dueño a todas partes”
Proverbio Chino
La asignatura de cálculo para las ciencias biológicas, es un componente educativo que se imparte en
tercer ciclo de la titulación de gestión ambiental, es una asignatura genérica equivalente a 4 créditos.
Estamateriatienecomofinalidadcontribuirenlaenseñanzadelasaplicacionesylautilizacióndelcálculo
en el área de gestión ambiental como base fundamental para el beneficio de la investigación científica,
logrando a través de sus contenidos determinar problemas como el peso de una rama, la diversidad
y crecimiento de las especies, el grado de humedad, el espacio vital para los individuos, cantidad de
biodiversidad por metro cuadrado, entre otras aplicaciones.
El estudio de esta materia contribuirá de manera única para comprender algunos fenómenos naturales
en su futuro profesional, así como sus diversas aplicaciones fundamentales en muchos campos de la
ciencia y de interés para la sociedad, esto la hace importante para los estudiantes de la titulación.
El presente componente educativo está dividido en seis unidades del texto básico, correspondientes al
primer bimestre UNIDAD 1. Límites, UNIDAD 2. Derivadas, UNIDAD 3. Integrales. Y al segundo bimestre
UNIDAD 4. Trazado de curvas, UNIDAD 5. Cálculo multivariable, UNIDAD 6. Ecuaciones diferenciales.
Como base para desarrollar las competencias y los contenidos de esta materia será necesario el
conocimiento de: Funciones y gráficas, fundamentos de geometría analítica. Finalmente, recuerden que
las matemáticas y ciencias afines a ella están presentes en todos los aspectos de la vida cotidiana y que
su conocimiento requiere de la dedicación y perseverancia de quienes la estudien para lograr una mejor
comprensión de nuestro entorno desde el punto de vista biológico.
Les deseo el mayor de los éxitos y que la motivación por cumplir las metas que se han trazado esté
siempre presente en ustedes. Estaré presta para atender sus inquietudes del componente educativo.
¡Éxitos y Sigan Adelante…!
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRELIMINARES
4. Bibliografía
4.1. Básica
[1]
Haeussler, E. et al (2008). Matemáticas para administración y economía. México DF: Pearson
Educación.
La bibliografía básica de Cálculo para las Ciencias Biológicas, es un texto que abarca todos los
contenidos del componente educativo, en donde hace una clara exposición de los temas
seleccionados para el estudio del presente ciclo. Además, muestra a los estudiantes una gran
variedad de problemas resueltos y ejercicios planteados e información que pueden ser aplicados
para el desarrollo de sus habilidades para la comprensión de cada unidad.
Por lo tanto, consideramos que es el texto apropiado para que usted pueda estudiar y comprender
sin mayor dificultad los contenidos propuestos en el mismo.
[2]
Jiménez, Y. (2014). Guía didáctica de Cálculo para las ciencias biológicas. Loja,Ecuador: Ediloja.
La guía didáctica de Cálculo para las Ciencias Biológicas fue elaborada para que usted pueda
llevar su estudio de manera continua en función del texto básico y desarrollar las competencias
planteadas para el componente educativo, en donde se incluyen algunas herramientas didácticas
que le serán de utilidad para su estudio.
4.2. Complementaria
[3]
D.Demana,K.etal.(2007).Precálculo,gráfico,numérico,algebraico.MéxicoDF:PearsonEducation.
Libro que nos permitirá profundizar y entender el capítulo 0 sobre Introducción al cálculo, capítulo
importante para el éxito del alumno en la presente asignatura, estimado alumno usted debe
conocer temas indispensables como Álgebra, Geometría, Trigonometría, Funciones, entre otros.
[4]
Jagdish, A. et al. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. México DF:
Pearson Education.
En este libro podremos encontrar similares contenidos que el texto básico, sin embargo, las
explicaciones están enfocadas a la parte biológica lo que nos permitirá profundizar un poco más
en la aplicabilidad del cálculo.
[5] Larson, R. et al. (2006). Cálculo I. México DF: McGraw Hill.
Libro en el que se encuentran en detalle cada uno de los métodos de derivación y de integración
lo que permitirá al estudiante realizar ejercicios adicionales para profundizar sus conocimientos y
resolver dudas sobre estos temas.
[6] Leithold L. (1998). El Cálculo. México: Oxford.
En este libro complementario usted encontrará ciertos contenidos que le ayudarán a reforzar sus
conocimientos en cuanto a cálculo diferencial, funciones, ecuaciones, límites y derivadas. Este
texto ofrece temas de cálculo, cuya aplicación puede encontrarse en campos como la ingeniería,
la química e incorpora tendencias modernas como la llamada reforma al cálculo y la calculadora
graficadora.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRELIMINARES
[7]
Nagle, R.K. (2001). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. México DF:
Pearson Education.
Libro que nos permitirá profundizar y entender el capítulo sobre ecuaciones diferenciales debido
al detalle de su contenido y su diversidad de ejemplos.
[8] Pérez, J.G. (2006). Instituto de tecnologías educativas. España. Recuperado de: http://mimosa.
pntic.mec.es/jgomez53/matema/docums/perez-calculo1.pdf.
Enlace que nos muestra los conceptos básicos de cálculo, los que servirán al estudiante como una
muestra del resumen de los temas más importantes con respecto a las derivadas e integrales.
[9]
Swokowski E.W. et al. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México D.F:
Thomson Editores, S.A.
Texto complementario que ofrece mayor riqueza en recursos para reforzar el aprendizaje en
temas como: conceptos fundamentales de álgebra, ecuaciones y desigualdades, funciones
polinomiales, racionales, inversas, exponenciales y logarítmicas, funciones trigonométricas de
números reales, trigonometría analítica, sistemas de ecuaciones y desigualdades, sucesiones,
series y probabilidades, así como la inclusión de nuevos ejemplos y ejercicios.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRELIMINARES
5. Orientaciones generales para el estudio
A continuación se presentan algunas sugerencias que le permitirán lograr un aprendizaje significativo
y de esta manera desarrollar las competencias que se pretende conseguir con el estudio de este
componente educativo:
Ÿ
Ÿ Usted contará con el texto básico para el desarrollo de la asignatura “Matemáticas para
administración y economía”, este le servirá a usted como referente teórico, cuya lectura es
obligatoria. La guía didáctica es el material de apoyo en donde se plantean actividades que
le ayudarán a reforzar cada una de las temáticas.
Ÿ
Ÿ Estimado alumno en el sistema de estudios a distancia la distribución de su tiempo es clave
planifíquelo y elabore un cronograma de estudio diario, trate de cumplir este horario, para
que su aprendizaje sea exitoso, dejar al final todas sus actividades le ocasionará estrés lo
cual impide que usted pueda asimilar los conocimientos.
Ÿ
Ÿ Le sugiero que antes de empezar con el estudio de esta asignatura evalúe sus conocimientos
previos de algebra, geometría, trigonometría, funciones entre otros adquiridos en
Matemáticas paras las Ciencias Biológicas, revise la planificación general del componente
educativo esto le guiará para el desarrollo de cada tema y le permitirá organizar su tiempo.
Ÿ
Ÿ Escoja un lugar tranquilo, cómodo, con luz apropiada de tal manera que el tiempo dedicado
al estudio de este componente académico sea aprovechado al 100%.
Ÿ
Ÿ Como apoyo al proceso de enseñanza – aprendizaje, la UTPL cuenta con el EntornoVirtual de
Aprendizaje (EVA), donde usted puede ingresar y encontrar anuncios, recursos educativos
abiertos (REA), foros, chat, video colaboración y actividades encaminadas a reforzar la
comprensión de los temas que comprende el componente educativo. Su participación
activa en este tipo de actividades le permitirá obtener un punto adicional por foro, chat y
video colaboración que suman un total de tres puntos a la nota final.
Ÿ
Ÿ Usted puede elaborar resúmenes, esquemas, organizar formularios, cuadros sinópticos
como estrategias de aprendizaje que le permitan condensar y asimilar la temática abordada.
Ÿ
Ÿ Le sugiero leer con atención los contenidos de la guía didáctica, y luego remítase al texto
básico de acuerdo a lo que se indique en la misma, resuelva todos los ejercicios propuestos
y las autoevaluaciones, esto le permitirá aclarar y profundizar el tema en estudio. Al final de
la guía se indican las respuestas de las autoevaluaciones.
Ÿ
Ÿ Participe activamente en foros, chats y video colaboración a través del Entorno Virtual de
Aprendizaje (EVA) donde usted puede interactuar con el docente/ compañeros, y obtener
documentos(diapositivas,resolucióndeejercicios,videos)queleayudaránadespejardudas
sobre los temas de mayor dificultad, permitiéndole mejorar su aprendizaje, o comunicarse
a través de mi correo electrónico ydjimenez@utpl.edu.ec.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRELIMINARES
Ÿ
Ÿ La Universidad cuenta con varios canales de comunicación que están a su disposición, estos
le permiten acercarse al profesor y exponer sus inquietudes, entre ellos tenemos: línea
telefónica, correo, video colaboración, EVA. Recuerde que como su profesor estoy siempre
presto a resolver sus inquietudes, en los horarios y extensiones telefónicas que se indica al
iniciar cada ciclo académico. No duden en llamar estaré gustosa en atenderlos.
Ÿ
Ÿ Revise la planificación general del componente educativo, esto le guiará para el desarrollo
de cada tema y le permitirá organizar su tiempo.
¡Éxitos en su preparación académica…!
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias
PRIMER BIMESTRE
6.1. Competencias genéricas de la UTPL
Ÿ
Ÿ Orientación a la innovación y a la investigación.
Ÿ
Ÿ Pensamiento crítico y reflexivo.
Ÿ
Ÿ Trabajo en equipo.
Ÿ
Ÿ Compromiso e implicación social.
Ÿ
Ÿ Comportamiento ético.
Ÿ
Ÿ Organización y planificación del tiempo.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
6.2.
Planificación
para
el
trabajo
del
alumno
Competencias
específicas
de
Titulación
Competencias
específicas
del
componente
educativo
Contenidos
Actividades
de
aprendizaje
Indicadores
de
aprendizaje
Tiempo
de
dedicación
Unidades
•
Conocer
los
conceptos,
principios
y
teorías
fundamentales
del
Cálculo
para
la
Ciencias
Biológicas,
aplicando
técnicas
de
estudio
eficaz.
•
Formular
planes
para
evaluar
y
valorar
impactos
ambientales,
así
como
prevenir,
minimizar,
mitigar
y
compensar
sus
efectos.
•
Comprender
y
aplicar
el
conocimiento
del
cálculo
en
la
solución
de
problemas
cualitativos
y
cuantitativos.
•
Planificar,
diseñar
y
ejecutar
proyectos
de
investigación
aplicados
al
ámbito
de
la
biología
y
medio
ambiente.
•
Levantar,
analizar
e
interpretar
información
de
campo.
•
Valorar
bienes
y
servicios
ambientales.
•
Comprender
los
fundamentos
teóricos
matemáticos,
físicos,
químicos,
bioquímicos
y
biológicos
aplicados
a
los
procesos
ambientales.
•
Describir
la
problemática
ambiental
global,
nacional
y
local;
e
identificar
las
herramientas
para
abordar
los
problemas
ambientales.
•
Obtener,
describir,
analizar
y
modelar
datos
socio-
ambientales,
utilizando
herramientas
informáticas.
UNIDAD
0.
Introducción
a
Cálculo
0.1.
Repaso
de
algebra
0.2.
Repaso
de
geometría
0.3.
Repaso
de
funciones
1.
Revisar
la
primera
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
los
capítulos
0,
1
,2,
y
4
de
su
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
0.1.1,
0.1.2
y
0.3.1
de
la
Unidad
0
de
su
guía.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
Iniciar
con
el
desarrollo
de
la
evaluación
a
distancia
•
Aplica
el
conocimiento
de
conceptos
elementales
de
álgebra
y
operaciones
básicas
de
cálculo.
Semana
1
4
horas
de
autoestudio
4
horas
de
interacción
UNIDAD
1.
Límites
1.1.
Límites
1.2.
Continuidad
y
discontinuidad
1.3.
Continuidad
aplicada
a
desigualdades
Autoevaluación
N°
1
1.
Revisar
la
segunda
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
el
capítulo
10
de
su
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
1.1,
1.2
y
1.3
de
la
guía
tomados
del
texto
básico.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
Continuar
el
desarrollo
de
la
evaluación
a
distancia
•
Resuelva
ecuaciones,
desigualdades
y
problemas
que
impliquen
la
aplicación
del
concepto
y
propiedades
de
límites.
Semana
2
y
3
8
horas
de
autoestudio
8
horas
de
interacción
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Competencias
específicas
de
Titulación
Competencias
específicas
del
componente
educativo
Contenidos
Actividades
de
aprendizaje
Indicadores
de
aprendizaje
Tiempo
de
dedicación
Unidades
UNIDAD
2.
Derivadas
2.1.
Definición
2.2.
Reglas
de
la
derivación
2.3.
Regla
del
producto
y
del
cociente
2.4.
Regla
de
la
cadena
y
de
la
potencia
Autoevaluación
N°
2
1.
Revisar
la
tercera
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
el
capítulo
11
de
su
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
2.1,
2.2,
2.3
y
2.4
de
su
guía
tomados
del
texto
básico.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
Continuar
con
el
desarrollo
de
la
evaluación
a
distancia
•
Aplica
el
concepto
de
diferenciación
en
la
resolución
de
problemas
biológicos.
•
Identifica
y
caracteriza
las
técnicas
de
derivación.
Semana
4
4
horas
de
autoestudio
4
horas
de
interacción
UNIDAD
3.
Integrales
3.1.
Funciones
de
varias
variables
3.2.
Métodos
y
técnicas
de
integración
3.3.
Integrales
definidas
3.4.
Área
bajo
la
curva
3.5.
Integración
numérica
Autoevaluación
N°
3
1.
Revisar
la
cuarta
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
el
capítulo
14
de
su
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
de
su
guía
3.1,
3.2,
3.2.2,
3.3,
3.5
tomados
del
texto
básico.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
Entregar
de
la
evaluación
a
distancia
•
Analiza
y
aplica
las
propiedades
de
integración
a
la
resolución
de
problemas
biológicos
•
Identifica
y
explica
gráficas
basadas
en
los
métodos
y
técnicas
de
integración.
Semana
5
y
6
8
horas
de
estudio
8
horas
de
interacción
Unidades
1
a
la
4
Preparación
para
la
evaluación
presencial
1.
Realizar
un
estudio
global
del
primer
bimestre.
2.
Desarrollar
las
actividades
recomendadas
en
la
guía
didáctica.
3.
Resolver
los
ejercicios
propuestos
en
el
texto
básico.
4.
Interactuar
con
el
EVA
Semana
7
y
8
8
horas
de
estudio
8
horas
de
interacción
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
6.3. Sistema de la evaluación del componente educativo (primero y segundo bimestres)
Formas de evaluación
Competencia: criterio
1.
Autoevaluación
*
2. Heteroevaluación
3.
Coevaluación
Evaluación a
distancia **
Evaluación
presencial
Parte
objetiva
Parte
de
ensayo
Interacción
en
el
EVA***
Prueba
objetiva
Actitudes
Comportamiento ético x x x x x x
Cumplimiento, puntualidad,
responsabilidad
x x x x
Esfuerzo e interés en los trabajos x x x x x x
Respeto a las personas y a las normas
de comunicación
x x x x x
Habilidades
Creatividad e iniciativa x x x x
Contribución en el trabajo
colaborativo y de equipo
x x x
Presentación, orden y ortografía x x x x
Emite juicios de valor
argumentadamente
x x x
Conocimientos
Dominio del contenido x x x x x x
Investigación (cita fuentes de
consulta)
x x x x
Aporta con criterios y soluciones x x x
Análisis y profundidad en el
desarrollo de temas
x x x x
PORCENTAJE
Estrategia
de
aprendizaje
10% 20% 30%
xActividades
xen
el
EVA:
3
puxntos
en
cada
bimestre
70%
Actividades
presenciales
y
en
el
EVA
Puntaje 2 4 6 14
TOTAL 20 puntos
Para aprobar el componente se requiere obtener un puntaje mínimo de 28/40 puntos, que equivale al 70%.
* Son estrategias de aprendizaje, no tienen calificación; pero debe responderlas con el fin de autocomprobar su proceso
de aprendizaje.
** Recuerde: que la evaluación a distancia del primero y segundo bimestre consta de dos partes: una objetiva y otra de
ensayo, debe desarrollarla y enviarla a través del EVA según las fechas establecidas.
*** Estrategias de aprendizaje opcionales y de tipo colaborativa: foro, chat y video colaboración con una valoración de un
punto cada una.
Señor estudiante:
Tenga presente que la finalidad de la valoración cualitativa es
principalmente formativa.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
6.4. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias
Estimado estudiante este apartado comprende siete unidades: cuatro para el primer bimestre y tres para
el segundo. Iniciaremos con el estudio de los contenidos específicos del componente académico Cálculo
para las Ciencias Biológicas. Se le sugiere que siga las recomendaciones expuestas en las orientaciones
generales para el estudio.
Para llegar al éxito en este componente educativo, es necesario combinar adecuadamente los recursos
con los que usted cuenta, es decir texto básico, guía didáctica, evaluaciones a distancia, Entorno Virtual
de Aprendizaje (EVA) y otros recursos que la UTPL pone a su disposición para ayudarle a incrementar sus
conocimientos y facilitar su aprendizaje. ¡Mucha suerte…!
UNIDAD0.INTRODUCCIÓNALCÁLCULO
Estimado estudiante, ¿Cómo le fue con el estudio de los temas matemáticos anteriores?, y no me
refiero únicamente a la asignatura de “Matemáticas para las Ciencias Biológicas” que debió aprobar en
periodos anteriores; sino también cito sus competencias generales adquiridas en secundaria o cursos
adicionales en los temas de: Álgebra, Geometría, Trigonometría, Funciones, entre otros, los cuales son
indispensables para el éxito de la presente asignatura Cálculo para las ciencias biológicas. ¿Domina
usted éstos temas?¿Si?.
İMuy bien!, si su respuesta es positiva, le sugiero dar solución a los planteamientos que se encuentra
enmarcados y resaltados en cada sección denominada “Repaso de “ ,si tiene éxito en el 80% de los
ejercicios, le felicito. Con organización, estudio y constancia durante todo el periodo académico, le
garantizo el éxito total.
Caso contrario, si usted no puede responder o responde con dificultad a cada ejercicio de este Unidad
1 preparación para el cálculo, por favor, de forma honesta y seria le pido repasar cada tema de esta
unidad cero la cual es realmente es indispensable para el cálculo que estudiaremos en las unidades 1 a 6.
Usted de pronto se podrá preguntar: ¿Por qué voy a estudiar o perder el tiempo en algo que ya vi en la
secundariaomásaún,entemasqueyaestudieenlaasignaturade“MatemáticasparalasCienciasBiológicas”
?. Para esa pregunta, mi respuesta como su docente es la siguiente: En la experiencia como profesor no
soloenlaModalidadaDistancia,sinotambiénenlaPresencial,losestudiantestienenmuchasdificultades
en analizar, operar, resolver, simplificar, factorizar, graficar, etc. expresiones, ecuaciones, funciones,
propiedades, entre otros temas de algebra y geometría, por lo que en los exámenes presenciales no
tienen las competencias para analizar, interpretar o reescribir los problemas que se plantean, o mucho
menos pueden aplicar correctamente las propiedades, reglas, formas, etc. a dichos problemas, y eso es
debido no a la extrema dificultad del cálculo, sino más bien, debido a que pretendemos comprender y
dominar con facilidad los límites, derivadas, integrales y ecuaciones diferenciales sin primero dominar a
la perfección estos temas indispensables de pre-cálculo como lo son: Álgebra, Geometría y Funciones,
temas que no vamos a estudiar en esta asignatura, pero que usted (si no los domina) es quien los debe
preparar antes de iniciar con el estudio de la Unidad 1.
Por lo tanto, y con total honestidad, si usted contesta correctamente las preguntas de éstos temas de
repaso, no ahonde en esta Unidad 0 preparación para el cálculo, sino que, inicie directamente el estudio
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
de la Unidad 1 límites. Caso contrario, tómese el tiempo que usted considere pertinente para dominar
primero estos temas de pre- cálculo, y luego si, inicie el estudio de la Unidad 1.
A continuación esquematizamos el tema Introducción al cálculo (Unidad 0) con cada sub-tema
respectivamente:
0.1. Repaso de Álgebra: Números reales, Exponentes y radicales, Operaciones con Expresiones
Algebraicas, Expresiones Faccionarias y Racionalización, Ecuaciones y Forma Cuadrática, Sistemas
de ecuaciones.
0.2. Repaso de Geometría: Rectas, Circunferencia, Parábola, Elipse, Hipérbola.
0.3. Repaso de Funciones: Ecuaciones y Gráficas, Exponencial y Logarítmicas, Trigonométricas.
Es hora de empezar con su aprendizaje.
Listo, entonces revisemos los sub-temas de Álgebra indicados.
0.1. Repaso de Álgebra
Dentro de los conjuntos numéricos, los números reales se clasifican en racionales e irracionales, como se
muestra en el siguiente diagrama:
Números reales
Le sugiero desarrollar los siguientes ejercicios:
Ejercicios 0.1.1.1
GLOSARIO
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¿Dio usted respuesta a los planteamientos anteriores sin mayor dificultad? ¿Si?
¡Muy Bien!
C
C ¿Qué tal, cómo le fue?
C
C ¿Estuvieron sencillos?
C
C ¿Respondió todos bien?
Si respondió correctamente, por favor, continuemos con el siguiente sub-tema de repaso
“Exponentes y radicales”, caso contrario, le sugiero remitirse a la bibliografía básica[1]
(Haeussler,
E. et al. 2008) capítulo 0 sección 0.1, 0.2 o en la bibliografía complementaria[9]
(Swokowski, E.W. et
al. (2009)) y revise los temas referentes a “Números reales”, y una vez concluido, resuelva los
siguientes ejercicios:
Ejercicios 0.1.1.1
1.) Responda VERDADERO o FALSO a los siguientes planteamientos, exponga las razones de su
respuesta.
a. -13 es un entero
b. 5 es racional
c. √25 no es un entero positivo
d. -2/7 es racional
e. 0 no es racional
f. √3 es un número natural
g. 0/0 es racional
2.) Responda VERDADERO o FALSO a los siguientes planteamientos.
a. (x + 2) (4) = 4x + 8
b. (x + 2) / 2 = (x / 2) + 1
c. x ( 5 ∙ y) = (x5) ∙ (xy)
d. 5/11 = (1/11) ∙ 5
3.) Simplifique si es posible cada una de las siguientes expresiones.
a. –[–6 + (–y)]
b. –1 / (–1/9)
c. –aby / –ax
d. (x / √5) + (y / √5)
e. (L / 3) / M
f. 0 / 0
4.) Si x < 0 y y > 0 determine el signo del número real.
a. Xy
b. x2
y
c. (x / y) + x
GLOSARIO
ANEXOS
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d. y – x
5.) Sustituya el símbolo ? con <, > o = para que el enunciado resultante sea VERDADERO.
a. – 7 ? – 4
b. (Π / 2) ? 1.57
c. √225 ? 15
6.) Exprese el enunciado como una desigualdad.
a. x es negativo
b. y es no negativo
c. q es menor o igual a π
d. d es entre 4 y 2
e. t no es menor a 5
f. El negativo de z no es mayor a 3
g. El cociente de p y q es a lo más 7
h. El reciproco de w es al menos 9
i. El absoluto de x es mayor a 7
7.) Sustituya el símbolo ? con = o ≠ para que el enunciado resultante sea VERDADERO para todos los
números reales a, b, c, d, siempre que la expresión este definida.
a. [ (ab + ac) ÷ a ] ? [ b + ac]
b. (a ÷ b) ÷ c ? a ÷ (b ÷ c)
c. (a – b) / (b – a) ? – 1
8.) Exprese el número en forma científica.
a. 427,000
b. 0.000 000 098
c. 810,000,000
9.) Exprese el número en forma decimal.
a. 8.3 X 105
b. 2.9 X 10-2
c. 5.63X108
Estimado estudiante una vez resueltos los ejercicios 0.1.1.1 y 0.1.1.2 le sugiero ir al Anexo A,
en donde usted podrá comprobar las respuestas de cada uno de los ejercicios planteados.
Si al comparar sus respuestas se siente satisfecho, continúe revisando el sub-tema
Exponentes y radicales, caso contrario revise nuevamente la información.
GLOSARIO
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0.1.2. Repaso de Álgebra: Exponentes y radicales
Estimado alumno, es necesario que usted revise estos ejercicios sobre exponentes y radicales no sin
antes haber asimilado el tema de números reales, ya que es la base para expresiones polinomiales o
compuestas con exponentes y radicales.
Ejemplo: Exponentes
a)
b)
c)
d)
e)
Ejemplo: Radicales
a)
b)
c)
d)
e)
Indicado lo anterior, ¿Puede usted dar respuesta a los siguientes planteamientos?
Ejercicios 0.1.2.1
¿Realizó bien los ejercicios? ¡Estoy seguro que Si! ¡Lo felicito!
GLOSARIO
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Ahora, continúe revisando el sub-tema “Operaciones con expresiones algebraicas”, caso contrario,
revise la siguiente información y desarrolle los ejercicios sugeridos sobre“Exponentes y radicales”.
Exponentes y radicales
En la bibliografía complementaria[9]
(Swokowski E. W. et al. (2009)) capitulo 1, usted podrá
encontrar ejemplos desarrollados y sugeridos sobre este tema. De igual manera, en su texto
básico[1]
(Haeussler,E. et al. (2008)) hay problemas similares a los expuestos en la guía y en la
bibliografía complementaria. Yo le sugiero algunos a continuación:
EJERCICIOS 0.1.2.2
1.) Resuelva las siguientes expresiones:
a.
b.
c.
2.) Racionalice el denominador y simplifique
a.
b.
c.
3.) Exprese el número de la forma a/b, donde a y b son enteros
a. (20
+ 02
) / (2 + 0) =
b. (0.008)-2/3
=
0.1.3. Repaso de Álgebra: Operaciones con expresiones algebraicas
Lasexpresionesalgebraicaslasencontramosduranteeldesarrollodetodalaasignatura,ylasoperaciones
sobre ellas se utilizan en cada ejercicio de las Unidades 0 a la 6 (Unidad 0: Repaso de álgebra, Unidad
1: Límites, Unidad 2: Derivadas, Unidad 3: Integrales, Unidad 4: Trazado de curvas, Unidad 5: Cálculo
multivariableyUnidad6:Ecuacionesdiferenciales),sudominioesimprescindible.Resuelvalossiguientes
planteamientos guiándose del resumen de propiedades de los productos especiales y reglas para
factorización localizado en la portada de su texto básico o en la página 16, y 19 de la sección 0.4. y 0.5
allí encontrará ejemplos de suma, resta, multiplicación y división sobre estas expresiones. Si usted desea
profundizar con la bibliografía complementaria[9]
, le propongo remitirse a la sección 1.3 del capítulo 1.
Si usted ya tiene conocimiento de estos temas, pase a revisar el sub-tema “Expresiones faccionarias
y racionalización”, caso contrario deténgase, revise, analice y resuelva los ejercicios propuestos a
continuación, de la mano de sus libros y de su tutor.
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Ejercicios 0.1.3.1
ACTVIDAD RECOMENDADA: Ejercicios
Los ejercicios de repaso sobre “operaciones con expresiones algebraicas y factorización”
usted los podrá encontrar en el capítulo 0 de su texto básico apartados 04 y 05.
0.1.4. Repaso de Álgebra: Expresiones faccionarias y racionalización
La racionalización es un proceso matemático muy utilizado en límites analíticos o algebraicos, para
simplificar una derivada o integral ya aplicadas sus reglas, y en ecuaciones diferenciales, por ello revise
este tema en su texto básico capítulo 0, apartado 06 y en su bibliografía complementaria[9]
los temas se
encuentran en el capítulo 1 sección 1.4.
En caso de resolver los siguientes ejercicios sin problema alguno, pase a revisar el sub-tema “Ecuaciones
y Forma Cuadrática”, caso contrario le invito a revisar nuevamente sus libros y estudiar paso a paso
ejercicios de este tema. ¡Ánimo!, con esfuerzo y sacrificio todo es posible.
Ejercicios 0.1.4.1
ACTIVIDAD RECOMENDADA: Ejercicios
Los ejercicios de repaso sobre “Expresiones fraccionarias y racionalización” son muy
importantes, ya que problemas muy similares aparecen cuando se debe operar un límite,
derivada, integral o ecuaciones diferenciales por tal motivo le recomiendo que inclusive
conociendo este tema, haga un alto y practique, recuerde y desarrollo los ejercicios del capítulo
0 de su texto básico apartados 06, y en su bibliografía complementaria[9]
la sección 1.4.
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0.1.5. Repaso de Álgebra: Ecuaciones y Forma Cuadrática
Las ecuaciones se presentan en muchos tópicos del mundo matemático, y en el cálculo están presentes
en un límite, una derivada, integral y ecuaciones diferenciales en forma de función. Existirán casos en los
cuales necesitaremos hallar el valor de una variable, para ello es necesario al menos identificar el tipo de
ecuación y determinar el método a resolver.
Ejemplos:
1. Ecuación equivalente:
2. Ecuación de primer grado o lineal:
3. Ecuación de segundo grado o cuadrática: ; donde a, b y c son números reales
Encontramos x mediante la fórmula cuadrática
4. Ecuación polinómica P(x)=0 ;
a. Ecuación polinómica racional
b. Ecuación polinómica irracional
i.
ii.
iii.
GLOSARIO
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Revise los siguientes problemas, si los encuentra demasiado complicados, recomiendo ir al texto básico
capítulo 0 y revisar la explicación que se da para resolver ejercicios sobre ecuaciones, esto facilitará su
comprensión.
Ejercicios 0.1.5.1
En su texto básico apartados 06 y 0.7 del capítulo 0, podrá encontrar ejercicios similares a los
que le he sugerido, desarrolle al menos tres de cada bloque que le permitirá recordar las técnicas
para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
0.1.6. Repaso de Álgebra: Sistemas de ecuaciones
Lossistemasdeecuacionestambiénsonusadosdeformaespecialeneltemadeecuacionesdiferenciales,
máximos y mínimos, no son sistemas extensos, ya que para las ecuaciones diferenciales en la mayoría
de ejercicios se emplean ecuaciones de 2 y 3 variables. De todas maneras revise los ejercicios expuestos
a continuación.
Ejercicios 0.1.6.1
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¿Realizó todos los ejercicios, sin ningún inconveniente?, Seguro que Si. ¡Muy bien! ¡Lo felicito! .Ahora lo
invito a continuar con el tema repaso de geometría.
0.2. Repaso de Geometría:
Rectas, Circunferencia, Parábola, Elipse, Hipérbola.
En cuanto a Geometría y considerado pertinente abarcar su repaso en un solo tema ya que lo necesario
es comprender de manera general el espacio geométrico de cada figura así como sus ecuaciones, no
memorizarlas (aunque si así lo hiciera no estaría mal) pero si está en la capacidad de reconocer de que
figura se trata cuando nos presentan únicamente su ecuación.
Rectas
En su texto básico[1]
capítulo 3, sección 3.1. y en la bibliografía complementaria[9]
usted va a
encontrar los conceptos, propiedades ejemplos desarrollados y problemas sobre las rectas. De
lo que destaco: pendiente, punto pendiente, forma punto intersección, pendiente vertical-
horizontal.
Secciones cónicas
capítulo 3, sección 3.3. y en la bibliografía complementaria[9]
capítulo 11
secciones 11.1, 11.2, 11.3 revise la forma de las ecuaciones, sus propiedades, y algunos ejemplos
resueltos y a continuación de respuestas a las siguientes interrogantes:
EJERCICIOS 0.2.1.1
1. Unir con líneas la ecuación y su gráfica correspondiente, no utilice calculadora u otro programa
para graficar ya que en su examen presencial no podrá ayudarse de estos recursos, únicamente
mire la forma de la ecuación y recordando las propiedades de cada espacio geométrico y las figuras
presentadas, emita su respuesta, si necesita dirigirse a sus textos para recordar dichas propiedades
por favor hágalo, o si requiere desarrollar algún calculo adicional (calcular pendientes, focos,
vértices, intersecciones, directrices, etc.) le sugiero se tome la molestia, lograra habilidad para
reconocer fácilmente los tipos de ecuaciones y sus espacios geométricos.
GLOSARIO
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Ecuación Gráfica
a. 9y2
- 144 + 16x2
= 0
b. x2
+ y2
– 8x = 0
c. x2
+ y2
= 25
d. x2
+ 2y2
= 8
e. y = (1/2)x + 3
f. 9y2
-144 – 16x2
= 0
g. x + 5 = 0
h. 9y + 2x2
= 0
i. y2
– 4y – 2x – 4 =0
j. 10y2
+ 9x2
= 9
k. x = 3y + 4
Estimado estudiante una vez resueltos todos los ejercicios 0.1.2.1, 0.1.2.2, 0.1.3.1, 0.1.4.1,
0.1.5.1, 0.1.6.1, 0.2.1.1 propuestos durante el repaso de ésta Unidad 0, le sugiero ir al Anexo A
donde usted podrá comprobar las respuestas de cada uno de los ejercicios planteados. Si al
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comparar sus respuestas se siente satisfecho, continúe revisando el sub-tema Ecuaciones y gráficas, caso
contrario prosiga con la siguiente recomendación.
Estimado estudiante, en caso de haber tenido dificultades para dar respuesta al problema
anterior, le recomiendo desarrolle más ejercicios en las secciones de sus libros ya indicadas.
Resaltó la importancia del tema Rectas, ya que todo lo referente a pendientes se requerirá para
hacer y comprender la demostración del concepto de Derivadas.
0.3.1. Repaso de Funciones: Ecuaciones y Gráficas
La gráfica de una ecuación no necesariamente corresponde a una recta (ecuaciones lineales) o a una
cónica (ecuación cuadrática). En este apartado recordemos las definiciones, propiedades, y formas de las
funciones en general (lineales, cuadráticas, cubicas, etc.).
Importante
Noolvidequetodafunciónestambiénunaecuación,peronotodaecuaciónesobligatoriamente
una función. Si desea detalles de esta afirmación usted lo podrá encontrar en su bibliografía
complementaria [6] sección 3.4 del capítulo 3.
El tema de funciones es obligatorio y son la base para el cálculo, ya que los límites, derivadas, integrales y
ecuaciones diferenciales se aplican/resuelven sobre éstas. Por tal motivo si en su curso Matemáticas para
las Ciencias Biológicas tuvo algún vacío sobre funciones, remítase a cualquiera de sus dos libros (base y/o
complementaria) y repase este tema.
Funciones y gráficas
Sus dos libros (base[1]
y complementario[2]
) han dedicado un capítulo completo (N. 2 y N. 3
respectivamente) al estudio de este tema, por lo tanto, usted tiene suficientes recursos para
recordar y apuntar los conceptos, definiciones, operaciones, tipos y graficas aplicados sobre
este tema tan básico e inicial para el cálculo como lo son las funciones.
Los temas que le voy a sugerir recuerde son:
!
! Sistema de coordenadas rectangulares
!
! Dominio y codominio (o rango)
!
! Gráficas de ecuaciones/funciones. Cuál es la diferencia?
!
! Operaciones sobre funciones (suma, resta, multiplicación y división)
!
! Funciones especiales.
C
C ¿Concluyo la revisión?
C
C ¿Qué le pareció? ¿Sencilla, complicada?
Si estuvo sencilla le sugiero dar respuesta a los siguientes ejercicios para medir sus competencias al
respecto, si por el contrario, las funciones son muy complicadas para usted, remítase a sus libros
(complementarios[5 y 9]) e inclusive a los recursos del EVA o de la WEB en general y revisemos este tema
bien, solo una vez asimilado el mismo pasemos al estudio de límites, derivadas, etc.
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EJERCICIOS 0.3.1.1
1.) Haciendo el uso de su graficador (calculadora, geogebra, etc.) grafique las siguientes funciones y
diga cuales son las intersecciones con los ejes x y y.
a. y = – x + 1
b. y = – 4x2
c. y = (–1/2)x3
2.) Si a es un número real positivo, encuentre cada uno de los siguientes literales para la función:
g(x) = 2x / (x2
+1)
a. g(1/a)
b. 1 / g(a)
c. g(√a)
d. √g(a)
3.) Explique porque la gráfica es o no es la gráfica de una función:
a. b.
4.) Determinesilasfuncionesdadasconiguales.Paraellousteddebeobtenersudominioycodominio
a. ;
b. ;
5.) Si f(x) = 5 − 8x, encuentre:
a. el dominio
b. f (1)
c. f (−2)
d. F(5/8)
e. f (t)
f. f (x + 2)
6.) Si f(x) = (x + 8) / x encuentre:
a. f(x + h)
b.
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7.) Dadas las siguientes funciones determine lo que se pide:
a. g(x) = 3-2
x- 2
es polinomial?
b. g(x) = 4x-4
es racional?
c. Cuál es el dominio de
8.) Si F(x) = √t , y G(x) = 3t2
+ 4t + 2 encuentre
a. (F◦G)(t)
b. (G◦F)(t)
Estimado estudiante una vez resueltos los ejercicios 0.3.1.1, le sugiero ir al Anexo A donde
usted podrá comprobar las respuestas de cada uno de los ejercicios planteados. Si al
comparar sus respuestas se siente satisfecho, continúe revisando el sub-tema Exponencial
y logarítmicas, caso contrario revise nuevamente la información.
0.3. Repaso de Funciones
Exponencial y Logarítmicas
Ensuasignaturaanterior“Matemáticasparalascienciasbiológicas”ustedyaestudioestetipodefunciones
(definiciones, propiedades, ejercicios, etc.); ahora en “Cálculo para las ciencias biológicas” vamos a usarlas
de forma especial en los modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial (Unidad no. 6 Ecuaciones
Diferenciales), por supuesto, no sin antes mirar cómo se derivan e integran. Por ello, antes de iniciar el
estudio de estas funciones desde la orientación al Cálculo, le recomiendo revisar, recordar y practicar
cada definición, propiedad y ejercicios sobre funciones exponenciales y logarítmicas.
Función logarítmica y exponencial.
capítulo 5, secciones de la 5.1–5.5 (todas las secciones) y en la bibliografía
complementaria[9]
se dedica de igual manera todo el capítulo 4 para su estudio. Una vez
revisados estos temas resuelva los siguientes ejercicios:
EJERCICIOS 0.3.2.1
1.) Grafique cada par de función y explique las diferencias. (usted puede usar calculador o graficador, el
objetivo aquí es conocer las diferencias entre una y otra gráfica)
a) y = 3x
; y=(1/3)x
b) y = 2x
– 1; y = 3x – 1
– 1
2.) Haciendo uso de las propiedades exponenciales/logarítmica resuelva las siguientes ecuaciones:
a) 7x
+ 6 = 73x – 4
b) 4x
∙ (1/2)3 – 2x
= 8 ∙ (2x
)2
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3.) Exprese cada forma logarítmica de manera exponencial y cada forma exponencial de manera
logarítmica.
a) log2
64 = 6
b) 2 = log12
144
c) e0.33647
= 1.4
d) log 5 = 0.6990
4.) Encuentre el valor de x:
a) ln x = 1
b)
c)
d)
5.) Aplicando el modelos de crecimiento poblacional P(1 + r)n
, resuelva los siguientes ejercicios
prácticos.
a) En un bosque la población de árboles crece a una tasa efectiva de 2.1% . Si la población
actual es 53,000, ¿cuál será la población dentro de 8 años?
b) La población de una ciudad crece de 110,000 a 116,600 en un año. Si la ciudad continúa
creciendo a esa tasa, encuentre el número de años para que la población se duplique.
6.) Se establece que log 2 = a; log 3 = b; y log 5 = c. Exprese el logaritmo indicado en términos de a, b, c
a) log (16)
b) log (6/25)
c) log3
(5)
7.) Encuentre x y redondee sus respuestas en tres cifras decimales:
a) log x – log 5 = 7
b) ln (4 – x) + ln 2 = 2 ln x
c) 34x
= (3/4)
d) log4
(2x + 4) – 3 = log4
3
Estimado estudiante una vez resueltos los ejercicios 0.3.2.1, le sugiero ir al Anexo A donde
comparar sus respuestas se siente satisfecho, continúe revisando el sub-tema Exponencial
y logarítmicas, caso contrario revise nuevamente la información.
Estimado estudiante, si los ejercicios que les he sugerido no son suficientes para recordar y
aplicar las operaciones y propiedades sobre funciones exponenciales y logarítmicas, pido
se dirija a su texto básico y desarrolle ejercicios adicionales (usted podría desarrollar los
impares, cuyas respuestas las encontrará en sus libros.) de cada sub-tema. Los ejercicios
que aquí se han desarrollado corresponden a los ejercicios pares de su texto básico[1]
.
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0.3.3. Repaso de Funciones: Trigonométricas.
Funciones trigonométricas.
El repaso de funciones trigonométricas únicamente lo podrá encontrar en su bibliografía
complementaria[9]
en el capítulo 6.
Ahora si podemos continuar con la primera unidad.
İMUY BIEN! SIGA ADELANTE.
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UNIDAD1.LÍMITES
Apreciado estudiante, continuamos con el estudio de la asignatura abordando este tema fundamental
el cual nos servirá de guía para el desarrollo de temas más avanzados.
A continuación esquematizamos cada tema de límites con sus sub-temas respectivamente:
1.1 Límites: Definición, estimación, propiedades, ejercicios
1.2 Continuidad y discontinuidad: Definición, ejercicios
1.3 Continuidad aplicada a desigualdades: Definición, ejercicios
Listo, entonces revisemos los sub-temas de Límites indicados.
¿Sabe qué es un límite?
En esta primera parte vamos a conocer una breve definición y la representación de límite, su estudio es
muy importante puesto que con ello se trabajará más adelante. Se usan dentro de cálculo y se denotan
con la abreviatura lím.
1.1. Definición de Límite
Según, D. Demana (2007). Precálculo, gráfico, numérico y algebraico.
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Representación
, en donde, lim = límite
x a, en donde:
Ÿ
Ÿ x tiende a C
Ÿ
Ÿ x se aproxima lo más cerca C
Ÿ
Ÿ x se acerca arbitrariamente a C
a # real cualquiera
L # real
f(x) funciones racionales, polinomiales, logarítmicas o exponenciales
Orientaciones para el texto básico
Para iniciar con el estudio de límites refiérase a su texto básico[1]
en el capítulo 10: Límites y
continuidad en las páginas 449-450.
¿Qué le pareció está primera lectura? Por medio del ejemplo del automóvil ¿Es más fácil entender el
concepto de límites? Una vez que tenga claro el tema podemos continuar.
1.1.1. Estimación de un límite
Veremos que existen dos formas de estimar límites: analítica y gráfica.
Forma analítica: consiste en aplicar las propiedades para determinar el límite. Su texto básico en las
páginas 452-454 detalla una a una las propiedades y la aplicación de la misma.
Forma gráfica: consiste en calcular los valores de la función, realizar el bosquejo de la gráfica y analizar
la gráfica de la función para finalmente determinar el límite.
Para estimar un límite gráficamente es recomendable realizar un cuadro donde se coloquen a la izquierda
valores menores a C y por la derecha valores mayores a C, luego reemplazar en x cada valor del cuadro,
así obtenemos el valor del límite.
Ejemplo:
Forma analítica
X 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1
f(x) 0,3448 0,3344 0,3332 0,33 0,3332 0,332 0,33332
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Representación gráfica.
Figura 1. Representación gráfica de un límite. Fuente: el autor.
Como puede apreciar en la gráfica existe una evidente discontinuidad asintótica, con límites laterales
distintos (+α,- α), además se observa que cuando x se acerca al número 2 por la izquierda f(x) crece sin
límite, y decrece por derecha sin límite cuando x se acerca al 1.
1.1.2. Propiedades de los límites
Es importante que usted conozca e identifique las propiedades algebraicas básicas de los límites
para aplicarlas en la solución de los diferentes problemas planteados. Los límites cumplen con ciertas
propiedades tales como:
Una vez que usted es capaz de diferenciar y establecer su propio criterio acerca de de estas propiedades,
le invito a revisar los siguientes ejemplos.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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Ejemplos:
Ÿ
Ÿ Aplicación de las propiedades 1 y 2 de los límites
a)
b)
c)
d)
Ÿ
Ÿ Aplicación de las propiedades 3, 4 y 5 de los límites
e)
f)
g)
Adicional en su texto básico en las páginas 452-454 detalla algunas otras de las propiedades de los
límites y la aplicación de las mismas.
En las secciones 10.1–10.2 de su texto básico[1]
capítulo 10, se dedican al estudio de este tema. Le
sugiero revisarlas y luego resolver los ejercicios 1.1:
Ejercicios 1.1:
C
C ¿Qué tal, cómo le fue con el desarrollo de los ejercicios anteriores?
C
C
Si respondió correctamente, por favor, continuemos con la actividad recomendada y luego con
el sub-tema de límites “continuidad y discontinuidad”. Caso contrario, le sugiero remitirse a la
bibliografía básica [1]
y complementaria [3 y 4] y revise nuevamente los temas.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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ACTIVIDAD RECOMENDADA : Ejercicios
Desarrollar los ejercicios de repaso sobre “límites” usted los podrá encontrar en el capítulo 10,
problemas 10.1-10.2 de su texto básico páginas 457-458; 465-466.
Estimadoestudiante,ahoraquetenemosclaroelconceptoycómopodemosresolverlímites,analizaremos
dos características de las funciones que son: continuidad y discontinuidad.
1.2. Definición de continuidad y discontinuidad
Una función f es continua en a si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
Importante
Ÿ
Ÿ Si f no es continua en a, entonces se dice que f es discontinua en a, y a se llama punto
de discontinuidad de f.
Ÿ
Ÿ Una función polinomial es continua en todo punto.
Ÿ
Ÿ Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es 0, y es
continua en cualquier otra parte.
Si desea detalles de estas afirmaciones usted lo podrá encontrar en su bibliografía básica [1]
en la
sección 10.3 del capítulo 10.
¿Qué tal? ¿Qué le parecieron estos temas? Espero que su respuesta sea positiva. ¡Muy bien! Ahora, le
invito a continuar con el tema resolviendo los ejercicios 1.2:
Ejercicios 1.2:
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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C
C ¿Qué tal, Cómo le fue con el desarrollo de los ejercicios anteriores?
C
C
Si respondió correctamente, por favor, continuemos con el siguiente sub-tema de límites 10.4
“Continuidad aplicada a discontinuidades”del texto básico, y resuelva los ejercicios 1.4.1.
Caso contrario, le sugiero remitirse a la bibliografía básica capítulo 10 sección 10.3 o en la
bibliografía complementaria y revise nuevamente los temas.
1.3. Continuidad aplicada a las desigualdades
La continuidad también está presente dentro de las desigualdades y se la usa para resolver problemas
con desigualdades. En el apartado 10.3 de su texto básico usted puede encontrar detalladamente la
forma de solucionar este tipo de problemas y el concepto de desigualdad.
Una vez revisados estos temas resuelva los ejercicios 1.3:
Ejercicios 1.3:
C
C
C
Si es así una vez resueltos todos los ejercicios 1.1, 1.2, 1.3 propuestos durante el repaso de
ésta Unidad 1, le sugiero ir al Anexo B donde usted podrá comprobar las respuestas de
cada uno de los ejercicios planteados. Si al comparar sus respuestas se siente satisfecho,
continúe con el desarrollo de la autoevaluación.
Caso contrario, le sugiero remitirse nuevamente a la bibliografía básica y complementaria
para volver a revisar los temas que aún no estén claros.
Al culminar la Unidad N° 1 es necesario realizar una evaluación de lo aprendido, esto nos
indicará el nivel de aprendizaje que ha alcanzado y al final de ello reforzará los aspectos en
los que presente una mayor dificultad.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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Autoevaluación 1
Coloque una X en el casillero que corresponda, según el enunciado sea verdadero (V) o falso (F)
1. ( ) Se puede considerar como límite de una función cuando x se aproxima a un número
que está fuera del dominio.
2. ( ) En el momento de evaluar un límite no es importante cuando x es igual a ɑ, sino solo
cuando x es cercana a ɑ en f(x).
3. ( ) Existen dos formas de estimar límites: gráfica y por medio de sus propiedades
4. ( ) El límite de una función constante es igual a la función más la constante.
5. ( ) Cuando una función no presenta pausa alguna, en sus gráficas se denomina
continuidad.
6. ( ) Para que una función sea discontinua en ɑ, el límite de f(a) debe existir.
7. ( ) Una función polinomial es discontinua sobre su dominio.
8. ( ) Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es 0, y es
continua en cualquier otra parte.
9. ( ) Las funciones exponenciales no tienen discontinuidades.
10. ( ) Las funciones logarítmicas son continuas.
MUY BIEN! SIGA ADELANTE.
Si dentro de la evaluación le surgió alguna duda revise nuevamente los temas y trabájelo con su
profesor.
Ahora si podemos continuar con la segunda unidad. GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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UNIDAD2.DERIVADAS
Estimado estudiante luego de haber aprendido los temas referentes a continuidad y límites es momento
de introducirnos aún más en el mundo del cálculo a través de la diferenciación o derivadas.
A continuación esquematizamos cada tema de diferenciación con sus subtemas respectivamente:
2.1 Derivada: Definición, representación, ejercicios
2.2 Reglas de la derivación: Definición, ejercicios
2.3 Regla del producto y del cociente: ejercicios
2.4 Regla de la cadena y de la potencia: ejercicios
Listo, entonces revisemos los sub-temas indicados con respecto a Derivadas.
¡Bien! Es momento de comenzar con la definición, representación y algunos ejemplos acerca de las
derivadas.
2.1. Definición de Derivada
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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Representación
Al igual que los límites las derivadas y=f(x)también tienen varias formas de representación, le invito a que
revise su texto básico en la página 484 donde se detallan varias formas de notación para una derivada.
Para nuestro estudio usaremos las que se muestran a continuación:
Ejemplo: Si f(x) = x2
, encuentre la derivada de f.
ACTIVIDAD RECOMENDADA
Desarrollar los ejercicios 2.1 de repaso sobre “Derivadas” usted los podrá encontrar en el
capítulo 11, problemas 11.1 de su texto básico páginas 488-489.
Ejercicios 2.1
Analice el capítulo 11: Diferenciación, en este encontrará los conceptos fundamentales de
diferenciación. Páginas 480-520.
Apreciado estudiante, si usted respondió correctamente le invito a continuar con el tema las reglas de
derivación.
GLOSARIO
ANEXOS
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2.2. Reglas de la derivación
Para desarrollar la diferenciación directa de una función por medio de la definición de derivada, existen
reglas que evitan el uso directo de límites, a continuación detallaremos cuatro de ellas, las mismas que
se encuentran ampliamente explicadas en su texto básico páginas 489-495.
Ejemplo Regla 1:
, porque 5 es una función constante
Ejemplo Regla 2:
Ejemplo Regla 3:
GLOSARIO
ANEXOS
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Ejemplos Regla 4:
1. Calcular la derivada de f(x)= 7x4
-2x3
+8x+5
2. Calcular la derivada de y=3x-4
-3x4
Ordenando
Estimado alumno, luego de revisar el capítulo 11, entenderemos que la diferenciación nos permite
encontrar el límite, es decir la continuidad en cualquier punto.Y el proceso para encontrar la derivada se
llama diferenciación.
Recuerde: Si una función es continua no es derivable pero una función derivable siempre
será continua. ¿Puede usted explicar por qué?, si no es así, revise nuevamente el tema a
partir de la página 480.
GLOSARIO
ANEXOS
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Desarrollar los ejercicios 2.2 de repaso sobre “Reglas de diferenciación” usted los podrá
encontrar en el capítulo 11, problemas 11.2 de su texto básico páginas 496-497.
Ejercicios 2.2
C
C
C
¡Muy Bien!, si usted respondió correctamente a los ejercicios, continuemos con algunas de las reglas
adicionales importantes para el estudio de esta asignatura.
2.3. Regla del producto y regla del cociente
Tal vez usted notó durante el desarrollo de las actividades recomendadas que se presentan funciones en
forma de multiplicación o división ¿Cree usted que se pueden resolver por las reglas básicas hasta ahora
estudiadas?
Pues está en lo cierto, no se pueden resolver. Para estas funciones existen dos reglas que nos permiten
derivar de una manera sencilla, en su texto básico se explican de manera amplia desde la página 506 a
la 513.
¿Ahora ya conoce de qué se trata cada una de estas reglas?
¡Bien!. Estimado alumno le propongo una forma más sencilla de recordar la Regla del producto.
Recuerde: La derivada de un producto es igual a la primera función por la derivada de la
segunda, más la segunda función por la derivada de la primera, es decir:
GLOSARIO
ANEXOS
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Ejemplo regla del producto:
1. Hallar la derivada de f(x)=(3x-2x²)(5+4x)
Primer término f(x)=( 3x-2x²)
Segundo término g(x)= (5+4x)
Simplificando
= 4x - 24x2
+ 15
Ordenando
f'(x) = - 24x2
+ 4x + 15
Recuerde: La regla del cociente, la segunda función por la derivada de la primera, menos
la primera función por la derivada de las segunda; dividido para la segunda función elevada
al cuadrado, es decir:
Ejemplo regla del cociente:
1. Hallar la derivada de y= aplicando la regla del cociente.
Donde f(x)= 2x+5 ; g(x)= 3x-2
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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Simplificando
Al inicio estas reglas suelen parecer muy complicadas y extensas. Una vez que se familiarice y se haga
la aplicación de las mismas, usted se dará cuenta que simplemente se aplican las reglas básicas de la
derivación.
Desarrollar los ejercicios 2.3 de repaso sobre “Regla del producto y regla del cociente” usted
los podrá encontrar en el capítulo 11, problemas 11.4 de su texto básico páginas 513-514.
Ejercicios 2.3
Si resolvió correctamente todos los ejercicios, puede continuar con el siguiente tema “La regla
de la cadenas y regla de la potencia”. Pero si aún tiene dificultad revise nuevamente en su texto
básico, o contacte al profesor para despejar sus dudas.
GLOSARIO
ANEXOS
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2.4. La regla de la cadena y la regla de la potencia
2.4.1. La regla de la cadena
La regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Para iniciar
este tema revisemos que es una función compuesta.
Una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos
funciones.
Luego revise su texto básico en la página 515-517 donde obtendrá más información y ejercicios acerca
de la regla de la cadena.
Ejemplo:
¿Puede usted resolver esta función con las reglas básicas?, ¿Qué regla básica aplicaría? Como se puede
observar, está función no se puede resolver por las reglas básicas ya que no existe ninguna que nos
indique cómo resolver una función elevada a un exponente.
En este momento es útil la regla de la cadena ya que esta nos permite, utilizar la función auxiliar y adaptar
la función a las reglas básicas de derivación, para ello hacemos el siguiente reemplazo:
Ahora ya tenemos una función la cual podemos resolver por las reglas básicas de derivación. Aplicando
la fórmula de la regla de la cadena tenemos:
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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Como usted se da cuenta, se ha resuelto las derivadas, sin embargo no podemos dejarla ahí. Debemos
colocar todos los términos en función de la variable original, para esto reemplazamos las variables u y
dejamos todo en función de x.
2.4.2. La regla de la potencia
A partir de la regla de la cadena surge un caso especial llamado la regla de la potencia. La siguiente regla
llamada regla de la potencia, generaliza el resultado y es un caso especial de la regla de la cadena:
En su texto básico a partir de la página 517 puede encontrar ejercicios de este tipo para lograr una mejor
comprensión.
Ejemplo:
Esta es otra ecuación que no se puede resolver por las reglas básicas de derivación. Lo primero que se
debe realizar es reescribir la función, ya que no existe ninguna regla de derivación para la raíz cuarta, sin
embargo, recordando un poco, las raíces se pueden expresar como exponentes de la siguiente forma:
Ahora ya podemos utilizar la regla de la potencia. Así tenemos:
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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Ahora le recomiendo revisar los siguientes ejemplos, los mismos que están aplicados a las ciencias
ambientales.
Ejemplo: Forestación
Estimar la cantidad de madera que produce el tronco de un árbol, el mismo que tiene la forma de cono
truncado como indica la figura.
Siendo r, el radio de la guía superior; R el radio de la guía inferior y h la altura.
Recordando que el volumen V de un tronco de cono está dado por la expresión:
¿Cuál es la rapidez de variación del volumen V en el momento en que r=80cm, R=100cm y h=3m, si el
incremento de r es de 20 cm/año, el incremento de R es de 30cm/año y el de h de 40cm/año?t
El volumen del tronco de cono al cual asimilamos la cantidad de madera que puede extraerse de un
árbol está dado por la fórmula [1]
.
Deseamos calcular siendo h.R y r funciones del tiempo t.
Derivamos entonces la relación [1]
que cumple .
Obtenemos:
Sustituyendo en [2]
los valores dados:
Se tiene:
La cantidad de madera que produce el árbol es aproximadamente de 5,295
GLOSARIO
ANEXOS
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Ejemplo Contaminación:
Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m³ de
petróleo.
Calcular con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m, si el espesor
disminuye a razón de 10 en el instante en que R=50m.
Podríamos pensar en hallar la expresión R(t) para derivarla posteriormente.
Sin embargo no se indica como dato del problema la forma en que el espesor h varía con el tiempo por
lo que no lograremos encontrar R(t).
Para ello se debe encarar el ejercicio partiendo de la relación entre R y h que nos proporciona el volumen
de la mancha que sabemos se mantiene constante.
Tendremos:
Derivamos ambos miembros de la igualdad [1]
respecto de (t):
Como V es constante, es decir independiente de t, sabemos que : lo que nos permite concluir [2]
que:
Despejando obtenemos:
Como tenemos el dato de que la altura de la mancha disminuye a razón de 10 será:
GLOSARIO
ANEXOS
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De la relación [1]
, h=
Como V=100m³, R=50m, h=
Sustituyendo valores en la ecuación [3]
se tiene finalmente:
La velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m, es aproximado a los
20 .
Estimado estudiante, como parte del estudio revise en su texto básico: derivadas de las funciones
logarítmicas, exponenciales y trigonométricas de la página 529 a la 532, y las derivadas de orden superior
en la página 557. Luego realice la siguiente actividad recomendada.
Le sugiero desarrollar los siguientes ejercicios de repaso 2.4 y los problemas 11.5 sobre “Regla
de la cadena y regla de la potencia” usted los podrá encontrar en el capítulo 11, de su texto
básico página 521.
Ejercicios 2.4
C
C
C
Si es así una vez resueltos todos los ejercicios 2.1, 2.2, 2.3 y 2.4 propuestos durante el repaso
de ésta Unidad 2, le sugiero ir al Anexo C donde usted podrá comprobar las respuestas de
cada uno de los ejercicios planteados. Si al comparar sus respuestas se siente satisfecho,
continúe con el desarrollo de la autoevaluación.
Una vez concluida la revisión de la Unidad N° 2 es necesario realizar una evaluación de lo
aprendido, esto nos indicará el nivel de aprendizaje que ha alcanzado y al final de ello
reforzará los aspectos en los que presente una mayor dificultad.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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Autoevaluación 2
1. ( ) La derivada de una constante es siempre la constante por n+1.
2. ( ) “derivada de x con respecto a y”.
3. ( ) La diferenciabilidad en un punto implica continuidad, pero la continuidad no implica
diferenciabilidad.
4. ( ) La pendiente de una curva en un punto P es igual a la pendiente de la recta tangente
en P, en caso de que exista.
5. ( ) La regla de la cadena se aplica a una composición de funciones
6. ( ) Una recta secante es una línea que interseca una curva en dos o más puntos.
7. ( ) Si f es diferenciable en a entonces es discontinua en todo su dominio.
8. ( ) La regla de la potencia es un caso especial de la regla de la cadena.
9. ( ) La regla del producto establece: la derivada de un producto es igual a, la primera
función por la segunda menos la primera función por la derivada de la segunda.
10. ( ) La derivada de x elevada a una potencia constante f(x)=xn se denomina función
potencia.
İMUY BIEN! SIGA ADELANTE.
Si dentro de la evaluación le surgió alguna duda revise nuevamente los temas y consúltelo con su
profesor.
Ahora si podemos continuar con la tercera unidad.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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UNIDAD3.INTEGRALES
Estimado estudiante hemos llegado a la parte final del primer bimestre. En esta unidad aprenderemos
integrales, siendo esta una rama fundamental de la asignatura de cálculo esto nos permitirá estudiar dos
problemas clásicos del análisis matemático.
Ÿ
Ÿ El cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas.
Ÿ
Ÿ Obtención de primitivas de una función
A continuación esquematizamos cada tema de integración con sus subtemas respectivamente:
3.1 Funciones de varias variables: Definición, representación, ejemplos, ejercicios
3.3 Métodos y técnicas de integración: Definición, ejemplos, ejercicios
3.3 Integrales definidas: Definición, ejemplos, ejercicios
3.4 Área bajo la curva
3.5 Integración numérica
Listo, entonces revisemos los sub-temas de Integrales indicados. Para iniciar con el estudio de
integrales, refiérase a su texto básico en el capítulo 14 desde la página 618 a la 622.
¡Muy bien!, apreciado estudiante iniciemos con la definición de integral su representación y algunos
ejemplos.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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PRIMER BIMESTRE
3.1. Definición de Integral
Antiderivación o integración es el procedimiento en el cual partiendo de la diferencial de una función se
busca encontrar la función de la cual se constituye dicha diferencial.
3.1.1. Representación
Figura 2. Representación de una integral. Fuente el autor.
Se lee: integral o antiderivada de la función f con respecto a x.
3.1.2. Integrales indefinidas
Seguidamente veremos las reglas básicas de integración, para ellos le recomiendo revise una a una las
reglas y desarrolle los ejercicios individuales propuestos. Su texto básico presenta en las páginas 623-
638 ejercicios y la explicación de cada regla. Así mismo usted encontrará en las tablas 14.1 y 14.2 las
reglas de integración.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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PRIMER BIMESTRE
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
En estos ejemplos presentamos varias reglas de integración: integral de una constante, integral de una
potencia, integral de una constante por una función, la integral de la suma y diferencia. Para profundizar
en este tema le sugiero revisar los ejemplos adicionales de su texto básico en las páginas 634 a la 638.
Recuerde, siempre que hablamos de integrales indefinidas se debe usar la constante de integración.
Ejercicios 3.1
C
C
C
Si resolvió correctamente todos los ejercicios, puede continuar con el siguiente sub-tema
“Métodos y técnicas de integración”. Pero si aún tiene dificultad revise nuevamente en su
texto básico, o contacte al profesor para despejar sus dudas.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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PRIMER
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PRIMER BIMESTRE
Analice el capítulo 14: Integración, en las páginas 618-638 de su texto básico encontrará los
conceptos fundamentales y ejemplos basados en las reglas de integración.
3.2. Métodos y técnicas de integración
3.2.1. Método de sustitución
Cuando se nos presentan integrales que no podemos resolver por las reglas básicas de integración es
necesario utilizar el método de sustitución. En su texto básico encontrará en detalle está técnica en las
páginas 640-643.
A continuación detallamos los pasos para resolver integrales por medio de este método.
1. Tomamos una variable diferente de la utilizada (u ó v)
2. Asignamos a la nueva variable la parte más larga o compleja de la integral
3. Derivamos
4. Despejamos dx
Ejemplo:
1. Re-escribimos la función.
2. Tomanos la variable diferente
u
3. Asignamos la parte más compleja a U y la reemplazamos en la función
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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PRIMER BIMESTRE
4. Derivamos y despejamos dx
5. Reemplazamos en la función
6. Integramos
7. Debemos dejar el resultado en función de la variable incial en este caso x
Laclavedeestemétodoestáenanalizarlafunciónpormediodelmétododesustitución,lograrsimplificar
mayor cantidad de términos.
Ejercicios 3.2
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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PRIMER BIMESTRE
3.2.2. Técnica de integración por partes
Consiste en realizar una doble sustitución, y se basa en la regla de la derivada del producto. En su texto
básico capítulo 15, página 684 encontrará en detalle técnica.
A continuación describimos los pasos para resolver integrales por medio de la integración por partes.
1. Re-escribimos la función
2. Tomamos dos variables diferentes a la que utilizamos (u o v)
Fórmula de integración por partes
Ejemplo:
Aplicando ahora la fórmula:
Esta técnica es útil para funciones logarítmicas y exponenciales. Para una mejor comprensión del tema
le invito a desarrollar la siguiente actividad.
Desarrollar los ejercicios 3.2.2 de repaso sobre “Integración por partes”, ejercicios adicionales
usted los podrá encontrar en el capítulo 15, problemas 15.1 de su texto básico páginas 688.
GLOSARIO
ANEXOS
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Ejercicios 3.2.2
3.2.3. Integración por tablas
Para una explicación detallada de este método refiérase a la página 695, sección 15.3 de su texto básico
y al apéndice C para revisar las tablas de integración.
3.3. Integrales definidas
Su texto básico presenta toda una unidad para desarrollar ejercicios y conceptos respecto a este tema.
Revise el apartado 14.6 La integral indefinida en lo relacionado a conceptos y en la página 654 revise las
propiedades de toda integral definida, a continuación mostramos la representación de una integral así
como la forma de resolver.
Forma de resolver:
1. Se realiza la integración de manera normal con los métodos y procedimientos planteados.
2. Luego se evalúa el resultado para los límites.
Ejemplo:
GLOSARIO
ANEXOS
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Procedemos a resolver como si fuera una integral indefinida, de la siguiente manera.
Luego aplicamos la fórmula para resolver las integrales definidas ls-li:
Desarrollar los ejercicios 3.3 de repaso sobre “Integrales definidas”, ejercicios adicionales
usted los podrá encontrar en el capítulo 14, problemas 14.7 de su texto básico en las páginas
657 a la 658.
Ejercicios 3.3
C
C
C
Apreciado estudiante, si resolvió correctamente todos los ejercicios, puede continuar con los
sub-temas “Área bajo la curva e integración numérica”. Pero si aún tiene dificultad revise
nuevamente en su texto básico, o contacte al profesor para despejar sus dudas.
GLOSARIO
ANEXOS
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3.4. Área bajo la curva
Las integrales definidas nos permiten evaluar uno de los más grandes problemas dentro de cálculo que
es el área bajo la curva. Para esto iniciaremos nuestro estudio definiendo que es área.
Revise el apartado 14.9 en la página 664 hasta la página 672, donde podrá encontrar varios ejercicios
respecto a este tema.
Ejemplo: Encontrar el área de la región limitada por
1. Se realiza la representación gráfica.
2. Se resuelve el sistema entre las dos ecuaciones: se tiene que x=4,
y=3; x=1,y=0. Luego tomando rectángulos verticales:
3.5. Integración numérica
Ahora pasaremos al estudio de los procedimientos numéricos para hallar una integral definida a la cual
no se le puede dar solución por medio de las reglas básicas. Existen dos técnicas de integración: la regla
de los trapecios y la regla de Simpson.
La diferencia entre estas dos radica en el número de divisiones que requieren y el patrón de coeficientes.
Le pido revisar el apartado 14.8 en la página 659 hasta la 663 donde se pueden apreciar claros de la
forma de resolver.
Desarrollar los ejercicios de repaso sobre “Áreas” propuestos en el texto básico usted los podrá
encontrar en el capítulo 14, problemas 14.9 y 14.10 en las páginas 667-668 y 673-674.
Desarrollar los ejercicios 3.5 de repaso sobre “Integración numérica”, ejercicios adicionales usted
los podrá encontrar en el capítulo 14, problemas 14.8 de su texto básico en las páginas 659 a la 663.
GLOSARIO
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PRIMER BIMESTRE
Ejercicios 3.5
C
C
C
Apreciado estudiante, si usted respondió correctamente todos los ejercicios 3.1, 3.2, 3.2.2,
3.3 y 3,5 propuestos durante el repaso de ésta Unidad 3, le sugiero ir al Anexo D donde
comparar sus respuestas se siente satisfecho, continúe con el desarrollo de la
autoevaluación.
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PRIMER BIMESTRE
Autoevaluación 3
1. ( ) Una integral indefinida se puede evaluar por la regla de los trapecios.
2. ( ) Toda integral definida tiene un valor distinto de cero.
3. ( ) Cualquier función posee integral indefinida o definida.
4. ( ) La integral de 0 es C.
5. ( ) La regla de Simpson es proceso numérico de integración.
6. ( ) Los elementos representativos para hallar el valor de una integral son los rectángulos.
7. ( ) La integral de una función es un intervalo dado representa, necesariamente el valor
de área bajo la curva en dicho intervalo.
8. ( ) No existen integrales definidas de valor mínimo.
9. ( ) La integral de un producto no es igual al producto de las integrales de las funciones
consideradas.
10. ( ) Cualquier función se puede integrar por partes.
İMUY BIEN!, SIGA ADELANTE.
profesor.
Finalizamos con el aprendizaje del primer bimestre.
Felicidades por la dedicación en este Primer Bimestre. Adelante y Éxitos.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
SEGUNDO BIMESTRE
6.5. Competencias genéricas de la UTPL
Ÿ
Ÿ Comunicación oral y escrita.
Ÿ
Ÿ Orientación a la innovación y a la investigación.
Ÿ
Ÿ Pensamiento crítico y reflexivo.
Ÿ
Ÿ Trabajo en equipo.
Ÿ
Ÿ Compromiso e implicación social.
Ÿ
Ÿ Organización y planificación del tiempo.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
6.6.
Planificación
para
el
trabajo
del
alumno
Competencias
específicas
de
Titulación
Competencias
específicas
del
componente
educativo
Contenidos
Actividades
de
aprendizaje
Indicadores
de
aprendizaje
Tiempo
de
dedicación
Unidades
•
Conocer
los
conceptos,
principios
y
teorías
fundamentales
del
trazado
de
curvas,
aplicando
técnicas
de
estudio
eficaz.
•
Formular
planes
para
evaluar
y
valorar
impactos
ambientales,
así
como
prevenir,
minimizar,
mitigar
y
compensar
sus
efectos
•
Comprender
y
aplicar
el
conocimiento
de
cálculo
en
la
solución
de
problemas
cualitativos
y
cuantitativos.
•
Planificar,
diseñar
y
ejecutar
proyectos
de
investigación
aplicados
al
ámbito
de
la
biología
y
medio
ambiente.
•
Levantar,
analizar
e
interpretar
información
de
campo.
•
Valorar
bienes
y
servicios
ambientales.
•
Comprender
los
fundamentos
teóricos
matemáticos,
físicos,
químicos,
bioquímicos
y
biológicos
aplicados
a
los
procesos
ambientales.
•
Describir
la
problemática
ambiental
global,
nacional
y
local;
e
identificar
las
herramientas
para
abordar
los
problemas
ambientales.
•
Obtener,
describir,
analizar
y
modelar
datos
socio-
ambientales,
utilizando
herramientas
informáticas.
UNIDAD
4.
Trazado
de
Curvas
4.1.
Extremos
relativos
4.1.1.
Máximos
y
mínimos
relativos
4.1.2.
Máximo
absoluto
4.2.
Concavidad
4.3.
Prueba
de
la
segunda
derivada
Autoevaluación
N°
4
1.
Revisar
la
cuarta
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
el
capítulo
13
de
su
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
4.1,
4.2
y
4.3
de
su
guía
tomados
del
texto
básico.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
Iniciar
con
el
desarrollo
de
la
evaluación
a
distancia
Aplica
los
conceptos
básicos
de
trazado
de
curvas,
para
caracterizar
y
graficar
funciones
de
variables.
Aplica
de
manera
correcta
los
cálculos
necesarios
para
graficar
curvas
de
funciones.
Semana
1
y
2
8
horas
de
estudio
8
horas
de
interacción
UNIDAD
5.
Cálculo
multivariable
5.1.
Funciones
de
varias
variables
5.1.1.
Funciones
y
dominios
5.2.
Derivadas
parciales
5.3.
Optimización
5.3.1.
Máximos
y
mínimos
para
funciones
de
dos
variables
5.4.
Aplicación
de
las
derivadas
parciales.
Autoevaluación
N°
5
1.
Revisar
la
quinta
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
el
capítulo
17
de
su
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
5.1,
5.2
y
5.3
de
su
guía
tomados
del
texto
básico.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
Continuar
con
el
desarrollo
de
la
evaluación
a
distancia
Resuelve
problemas
de
optimización
con
varias
variables.
Resuelve
ejercicios
de
cálculo
multivariable.
Analiza
y
resuelve
problemas
con
derivadas
parciales.
Semana
3
y
4
8
horas
de
estudio
8
horas
de
interacción
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Competencias
específicas
de
Titulación
Competencias
específicas
del
componente
educativo
Contenidos
Actividades
de
aprendizaje
Indicadores
de
aprendizaje
Tiempo
de
dedicación
Unidades
UNIDAD
6.
Ecuaciones
diferenciales
6.1.
Definición
6.2.
Origen
de
las
E.D
6.3.
Tipos
de
E.D
6.4.
Tipos
de
soluciones
en
E.D
6.5.
Formato
de
resolución
de
E.D
Autoevaluación
N°
6
1.
Revisar
la
sexta
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
el
capítulo
15
secciones
15.5
y
15.6
del
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
6.1
de
su
guía
tomados
del
texto
básico.
3.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
5.
Continuar
con
el
desarrollo
de
la
evaluación
a
distancia
Analiza
y
resuelve
sistemas
de
ecuaciones
diferenciales
por
diferentes
métodos.
Aplica
de
forma
correcta
las
fórmulas
para
realizar
cálculos
en
análisis
ambientales.
Semana
5
y
6
8
horas
de
estudio
8
horas
de
interacción
Repaso
de
las
Unidades
de
4
a
6
Prepararse
para
la
evaluación
presencial
1.
Realizar
un
estudio
global
del
segundo
bimestre.
2.
Desarrollar
las
actividades
recomendadas
en
la
guía
didáctica.
3.
Resolver
los
ejercicios
propuestos
en
el
texto
básico.
4.
4.
Interactuar
con
el
EVA
Semana
7
y
8
8
horas
de
estudio
8
horas
de
interacción
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
6.7. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias
Estimado estudiante iniciaremos con el estudio de los contenidos específicos del segundo bimestre del
componente Cálculo para las ciencias biológicas. Se le sugiere que siga las recomendaciones expuestas
en las orientaciones generales para el estudio.
Para llegar al éxito en este componente educativo, es necesario combinar adecuadamente los recursos
con los que usted cuenta: texto básico, guía didáctica, evaluaciones a distancia y otros recursos que la
UTPL pone a su disposición para incrementar sus conocimientos y facilitar su aprendizaje.
¡No se desanime, ponga mucho empeño, usted es capaz de lograrlo, tenga fe en usted mismo y verá
como alcanzará el éxito…!
UNIDAD4.TRAZADODECURVAS
Apreciado estudiante, hemos llegado a uno de los puntos cruciales en el análisis de nuestra asignatura
por lo que a partir de la presente unidad, utilizaremos todos los conocimientos adquiridos durante el
primer bimestre, por eso le recomiendo revise nuevamente los temas anteriores para tener una idea más
fresca de lo aprendido.
A continuación esquematizamos cada tema de Trazado de curvas con sus subtemas respectivamente:
4.1 Extremos relativos: Función creciente y decreciente, ejemplo, Actividad recomendada
4.1.1 Máximo y mínimo relativo (o extremos relativos): Definición, Ejemplo
4.1.2 Máximo absoluto (o extremos absolutos): Definición, Ejemplo
4.2 Concavidad: Definición, criterio, ejemplo, Actividad recomendada
4.4 Prueba de la segunda derivada: Definición, ejemplo, Actividad recomendada
Listo, entonces revisemos los sub-temas de Trazado de curvas indicados.
¡Muy bien!, vamos a iniciar con el estudio de esta unidad con la que se pretende revisar conceptos básicos
referentes al trazado de curvas, para despejar cualquier inquietud que encuentre en el estudio de los
posteriores capítulos, tales como Ecuaciones diferenciales y Cálculo multivariable. Cabe indicar que usted
debe revisar los capítulos correspondientes a cada temática en el texto básico capítulo 13 de acuerdo a
la planificación antes descrita.
La aplicación del cálculo permite descubrir los aspectos más interesantes de las gráficas y en muchos
casos, calcular exactamente los puntos máximos/mínimos y los puntos de inflexión, y no solo en forma
aproximada.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Para trazar una curva se necesitan conocer algunos conceptos básicos como: dominio, intervalo, simetría,
Límites, continuidad, asíntotas, derivadas, tangentes, valores extremos, intervalos de incremento y
decremento, concavidad y puntos de inflexión; todo esto nos revela las características importantes de
las funciones (Ver glosario).
Antes de iniciar, es preciso se dirija a su texto básico capítulo 13“Trazado de curvas” y realice su
primera lectura de las páginas 566 a la 571 para profundizar su aprendizaje en el sub-tema
sobre“Extremos relativos”.
4.1. Extremos relativos
Naturaleza creciente y decreciente de una función
Función creciente: una función f es creciente en el intervalo y cuando, para cualesquiera dos números
x1
,x2
, en y, x1
<x2
, entonces f(x1
)< f(x2
).
Función decreciente: una función f es decreciente en el intervalo y cuando, para cualesquiera dos
números x1
, x2
en y, si x1
<x2
, entonces f(x1
)> f(x2
).
Figura 3. Extremos relativos. a) Función creciente. b) Función decreciente. Fuente: el autor.
En términos de la gráfica de la función f es creciente en y si la curva se eleva hacia la derecha y f es
decreciente en y si la curva cae hacia la derecha.
¿Qué es lo que debe realizar?
Estrategia para hallar los intervalos donde la función es creciente o decreciente
1. Localizar los números críticos de f en (a, b).
2. Determinar los intervalos de prueba limitados por los puntos críticos.
3. Determinar el signo de f’(x) en un valor x en cada uno de los intervalos de prueba.
4. De acuerdo al signo obtenido, decidir si f es creciente o decreciente.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Ejemplo:Dadalasiguientefunción ,encontrarlosintervalosdondelafunciónescreciente
y decreciente.
Paso 1: Calcular la derivada de la función
Paso 2: Igualar a cero la derivada
Paso 3: Armar intervalos alrededor de estos puntos críticos (Vea la siguiente tabla)
Tabla 1. Función creciente o decreciente. Fuente: El autor.
Intervalos
Valor de prueba x=-1 x=1/2 x=2
6 -3/4 6
Conclusión
(+)
La función es creciente en
este intervalo.
(-)
La función es decreciente
en este intervalo
(+)
La función es creciente en
este intervalo
4.1.1. Máximo y mínimo relativo (o extremos relativos)
Los extremos relativos son locales, porque al tratar con extremos relativos se compara el valor de la
función en un punto, con el valor en puntos cercanos.
Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y a su derecha
decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a su derecha creciente.
Figura 4. Máximo y mínimo relativo. Fuente: http://matematicasiiac.blogspot.com/2013/01/elementos-de-la-parabola-
representacion.html
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Máximo relativo: Una funciónf tiene un máximo relativo en si existe un intervalo abierto en sobre el cual
para toda x en el intervalo. El valor máximo relativo es f(a).
Mínimo relativo: Una función f tiene un mínimo relativo en si existe un intervalo abierto en sobre el cual
, para toda x en el intervalo. El valor mínimo relativo es f(a).
Condición necesaria para extremos relativos
Fuente: el autor
Valor crítico: Para una a en el dominio de f, si f’(a)=0, o bien f’(a) no existe entonces a se denomina valor
crítico para f.
Punto crítico: Si a es un valor crítico entonces el punto (a,f(a)) se denomina un punto crítico para f.
İMuy bien!. Estimado estudiante, ahora continuaremos nuestro aprendizaje referente al
capítulo 13: Trazado de curvas, le sugiero se dirija a su texto básico sección 13.4 y continúe con
la lectura en las páginas 572 a la 575, para reforzar sus conocimientos respecto al sub-tema“ La
prueba de la primera derivada” que le será útil para encontrar extremos relativos.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Para encontrar los extremos relativos de se tiene la prueba de la primera derivada:
1. Encontrar la derivada
2. Igualar a cero la derivada
Factorizar
Puntos críticos
3. Dados los puntos críticos dar valores cercanos en la recta numérica tanto por izquierda
como por derecha.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
4. Utilizar la primera derivada(o su derivada compacta) para reemplazar los intervalos del
punto crítico y determinar si es máximo o mínimo relativo.
(derivada compacta)
Punto crítico x=2
Conclusión: punto crítico x=2 es mínimo
Punto crítico x=-1
Conclusión: punto crítico x=-1 es máximo
5. Darlascoordenadasalospuntoscríticos(valoresdey),paraestoevaluarlascoordenadas
de x en la ecuación original.
Puntos críticos
X1
=2 Punto mínimo
X2
=1 Punto máximo
y1
=-5
Punto mínimo (2,-5)
y2
=22
Punto máximo (1,22)
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Para continuar con el estudio del sub-tema“Extremos absolutos” refiérase a su texto básico en
el capítulo 13: Trazado de curvas sección 13.3 en las páginas 566-575.
4.1.2. Máximo absoluto (o extremos absolutos)
Los extremos absolutos son globales, porque al tratar con extremos absolutos se compara el valor de la
función en un punto, con todos los otros valores.
Máximo absoluto: Una función f tiene un máximo absoluto en si f(a) , para toda x en el dominio de f. El
valor máximo absoluto es f(a).
Mínimo absoluto: Una función f tiene un mínimo absoluto en si f(a) , para toda x en el dominio de f. El
valor mínimo absoluto es f(a).
¿Quéleparecieronestaslecturas?Unavezquetengaclaroeltemaysub-temassobre“Trazadodecurvas”
podemos continuar con la siguiente actividad.
Desarrollar los ejercicios de repaso 4.1 sobre“Extremos relativos” usted los podrá encontrar en
el capítulo 13, problema 13.1 de su texto básico páginas 576-577.
Ejercicios 4.1:
C
C ¿Qué tal, cómo le fue con el desarrollo de los ejercicios anteriores?
C
C
Si es así, una vez resueltos los ejercicios 4.1 le sugiero ir al Anexo E, donde usted podrá
comprobar las respuestas de cada uno de los ejercicios planteados. Si al comparar sus
respuestas se siente satisfecho, continuemos con el sub-tema concavidad.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Para reforzar su aprendizaje sobre el sub-tema “Concavidad”, le recomiendo refiérase a su
texto básico en el capítulo 13: Trazado de curvas sección 13.3 en las páginas 580-585.
4.2. Concavidad
Se ha visto que la primera derivada proporciona mucha información útil para el trazado de gráficas. Se
usa para determinar cuándo una función es creciente o decreciente, y para la localización de máximos
y mínimos relativos. Sin embargo, para asegurarse de conocer la verdadera forma de una curva quizá
se necesite más información como por ejemplo conocer la noción de concavidad en base a la segunda
derivada.
Figura 5. Concavidad. Fuente: http://www.calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_derivadas_
apli/teoria/concavidad_convexidad.html
¡Muy bien!. Vamos a introducirnos un poco más en el aprendizaje de concavidad, revisando la definición
y el criterio para encontrarla.
Definición: La gráfica de una función es cóncava hacia arriba en un intervalo (a,b) si la gráfica de la
función está por encima de cualquier tangente a la gráfica en dicho intervalo. Análogamente, la gráfica
de una función cóncava hacia abajo en un intervalo (a,b) si la gráfica de la función está por debajo de
cualquier tangente a la gráfica en dicho intervalo.
Criterio de la concavidad
Si f y f’ son derivables en a, la función es:
Si f''(x) > 0 en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es cóncava hacia arriba en el intervalo (a, b).
Si f''(x) < 0 en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es cóncava hacia abajo en el intervalo (a, b)
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Figura 6. Cóncava y Convexa. Fuente: http://matematicasiiac.blogspot.com/2013/01/elementos-de-la-parabola-representacion.html
Nota: f’ es creciente, cuando su derivada f’’(x) es positiva, y f’ es decreciente cuando cuando f’’(x) es
negativa.
Ejemplo: Aplicar los conceptos de crecimiento/decrecimiento, máximos/mínimos y concavidad (hacia
abajo o hacia arriba) de la función o puntos de inflexión en caso de que los
hubiera.
1. Encontrar la primera derivada
2. Igualar a cero la derivada
Dividir la ecuación para 3
Factorizar
Puntos críticos
X1
=3
X2
=1
3. Dados los puntos críticos dar valores cercanos en la recta numérica tanto por izquierda
como por derecha, y evaluamos si la función crece o decrece en la primera derivada.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
4. Darlascoordenadasalospuntoscríticos(valoresdey),paraestoevaluarlascoordenadas
de x en la ecuación original.
Puntos críticos
Punto (1,5)
Punto (3,1)
5. Analizar la segunda derivada para encontrar la CONCAVIDAD o puntos de inflexión
en caso de que existan, adicional determine si los máximos o mínimos son relativos o
absolutos.
Ÿ
Ÿ Para determinar el punto de inflexión, evaluar el punto donde la segunda derivada f''(x)
toma el valor de cero.
Es el punto de inflexión (No existe concavidad)
Ÿ
Ÿ Para determinar la concavidad (hacia arriba o hacia abajo) reemplace los valores de los
puntos críticos, en la segunda derivada f''(x).
Ÿ
Ÿ Graficar
Una vez que tenga claro el tema podemos con tinuar.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Si resolvió correctamente los ejercicios y tiene claros todos los ejemplos propuestos para la
comprensión del tema puede continuar con la actividad recomendada y posterior con el sub-
tema “Prueba de la segunda derivada”. Pero si aún tiene dificultad revise nuevamente en su
texto básico, o contacte al profesor para despejar sus dudas.
Desarrollar los ejercicios de repaso 4.2 sobre “Concavidad” usted los podrá encontrar en el
capítulo 13, problema 13.3 de su texto básico páginas 586-587.
Ejercicios 4.2:
C
C
C
İMuy bien!. Si es así una vez resueltos los ejercicios 4.2, le sugiero ir al Anexo E donde usted
podrá comprobar las respuestas de cada uno de los ejercicios planteados.
Ahora le recomiendo continuar con las siguientes orientaciones para el texto básico. Pero si aún
tiene dificultad revise nuevamente su texto básico o contacte al profesor para despejar sus dudas.
Antes de continuar es necesario que usted realice la lectura del sub-tema “Prueba de la segunda
derivada” en su texto básico capítulo 13 sección 13.4 en las páginas 587-589. Además usted podrá
encontrar ejercicios adicionales sobre este sub-tema.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
4.3. Prueba de la segunda derivada:
Es la técnica en la que se examina la segunda derivada en puntos donde la primera derivada es 0, y se
llama prueba de la segunda derivada para extremos relativos.
Suponga que f’(a)=0
Si f’’(a)<0, entonces f tiene un máximo relativo en a
Si f’’(a)>0, entonces f tiene un mínimo relativo en a
Si f’’(a)=0, no existe ni máximo ni mínimo relativo
A continuación le recomiendo revisar un ejemplo de cómo aplicar esta técnica “prueba de la segunda
derivada”
Ejemplo: Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar valores máximos y mínimos de la
siguiente función .
Paso 1. Obtener la derivada de
Paso 2. Igualar a cero la derivada
Puntos críticos
Paso 3. Obtener la segunda derivada
Paso 4. Evaluar los puntos críticos en la segunda derivada
Ÿ
Ÿ Si el resultado es negativo (-), existe un máximo.
Ÿ
Ÿ Si el resultado es positivo (+), existe un mínimo.
Estimado estudiante una vez claro el tema podemos continuar, con la siguiente actividad
recomendada.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Desarrollar los ejercicios de repaso 4.3 sobre“Prueba de la segunda derivada” usted los podrá
encontrar en el capítulo 13, problema 13.4 de su texto básico en la página 589
Ejercicios 4.3:
C
C
C
Estoy seguro de que ¡Si!, verifique sus respuestas en el Anexo E donde usted podrá
comprobar las respuestas de cada uno de los ejercicios planteados. Caso contrario, le
sugiero remitirse nuevamente a la bibliografía básica y complementaria para revisar
nuevamente los sub-temas.
Finalmente le recomiendo continuar con el desarrollo de la autoevaluación.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Autoevaluación 4
1. ( ) Una función f es creciente en el intervalo ycuando, para cualesquier dos números x1
,x2
,
en y, x1
>x2
, entonces f(x1
)> f(x2
).Entonces una función f es decreciente en el intervalo y
cuando, para cualesquier dos números x1
, x2
en y, si x1
<x2
, entonces f(x1
)< f(x2
).
2. ( ) Unafunciónftieneunmáximorelativoenasiexisteunintervaloabiertoquecontenga
a sobre el cual para toda x en el intervalo.
3. ( ) Una función f tiene un mínimo relativo ena si existe un intervalo abierto que contenga
a sobre el cual para toda x en el intervalo.
4. ( ) Una función f tiene un máximo absoluto en a si para toda x en el dominio
de f.
5. ( ) Si f'(x) cambia de (+) a (-) cuando x crece al pasar por a entonces tiene un máximo
relativo.
6. ( ) Si f'(x) cambia de (-) a (+) cuando x crece al pasar por a entonces tiene un mínimo
relativo.
7. ( ) El criterio de la primera derivada se usa para encontrar donde una función f presenta
extremos relativos.
8. ( ) Sea f diferenciable en el intervalo (a,b). Entonces, se dice que es cóncava hacia arriba
o hacia abajo en (a,b) si f’ es creciente o decreciente sobre (a,b).
9. ( ) La prueba de la segunda derivada es la técnica que se usa para evaluar los puntos
donde la primera derivada es 0.
10. ( ) Aplicando la prueba de la segunda derivada para extremos relativos, tenemos un
máximo relativo si y un mínimo relativo si .
Si dentro de la evaluación le surgió alguna duda revise nuevamente los temas y trabájelo con su
profesor.
Ahora si podemos continuar con la quinta unidad.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
UNIDAD5.CÁLCULOMULTIVARIABLE
Apreciado estudiante, continuamos con el estudio de la asignatura abordando este tema fundamental
“Cálculo multivariable” el cual nos servirá de guía para el desarrollo de temas más avanzados.
Hasta aquí hemos trabajado con funciones de dos variables, sin embargo eso no implica que existan
solamente este tipo de funciones, pues en el espacio Rn (n-dimensional) se tiene funciones de cualquier
número de variables cuyos elementos son obviamente, n-conjuntos ordenados de n elementos de
acuerdo al valor de n.
A continuación esquematizamos cada tema de Cálculo multivariable (o cálculo de varias variables) con
sus subtemas respectivamente:
5.1 Funciones de varias variables: Definición, ejemplos
5.1.1 Funciones y dominios: Definición, Actividad recomendada
5.2 Derivadas parciales: Definición, Ejemplos, Actividad recomendada
5.3 Optimización: Definición, Ejemplos, Actividad recomendada
5.3.1 MáximosyMínimosparafuncionesdedosvariables:Ejemplos,Actividadrecomendada
5.4 Aplicaciones de las derivadas parciales
Listo, entonces revisemos los sub-temas de Cálculo multivariable indicados. Para iniciar con el
estudio de integrales realice su primera lectura de esta Unidad y refiérase a su texto básico en el
capítulo 17: sección 17.2 desde la página 744 a la 768.
¿Qué le pareció esta primera lectura?. ¡Muy bien!, una vez que tenga claro el sub-tema sobre“Funciones
de varias variables” podemos continuar con la guía, para reforzar esta lectura.
5.1. Funciones de varias variables
Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo número, que se escribe
como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una
función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma
numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en
forma gráfica.
A continuación vamos a revisar algunos ejemplos.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Ejemplos:
1. f(x, y) = x–y Función de dos variables
f(1, 2) = 1–2 = -1 Sustituya x por 1 y y por 2
f(2, -1) = 2–(-1) = 3 Sustituya x por 2 y y por -1
f(y, x) = y–x Sustituya x por y y y por x
2. h(x, y, z) = x + y + xz Función de tres variables
h(2, 2, -2) = 2 + 2 + 2(-2) = 0 Sustituya x por 2, y por 2, y z por -2.
Apreciadoestudiante,comopartedelestudiodelsub-tema“Funcionesydominios”profundizaremos
revisando el texto complementario [3]
D. Demana, K. et al. (2007). Precálculo. Capítulo 1: Funciones
y sus propiedades, sección 1.2 en las páginas 86 a la 90.
5.1.1. Funciones y Dominios
Estimado estudiante a continuación vamos a revisar la terminología que se utiliza para describir
funciones:
Adicional, se utiliza la notación de la función Euler y=f(x), para indicar que y proviene de la función que
actúa sobre x, aquí x es la variable independiente y y es la variable dependiente.
También, una función puede verse como una asignación de los elementos del dominio en elementos
del rango.
Figura 7. Función, Dominio y Rango. a) Es una función. b) No es una función. Según, D. Demana (2007). Precálculo, gráfico,
numérico y algebraico.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Ejemplos: Determinación del dominio de una función
a.
La expresión dentro de un radical no puede ser negativa. Hacemos y resolvemos para
determinar que El dominio de f es el intervalo
b.
La expresión dentro de un radical no puede ser negativa; por lo tanto . Además, el denominador
de una fracción no puede ser cero, por lo tanto x=5. El dominio de g es el intervalo quitando el
número 5 que ya está incluido. O puede escribirse como la unión de dos intervalos:
c.
La expresión algebraica tiene como dominio a todos los números reales, pero el comportamiento que se
está modelando restringe a s de ser negativa. El dominio de A es el intervalo
Con la ayuda del concepto de funciones de varias variables, le sugiero desarrollar los ejercicios
5.1 de repaso, usted los podrá encontrar en el capítulo 17, problemas 17.1 de su texto básico
página 750.
Ejercicios 5.1
Respuestas:
C
C
C
Si es así una vez resueltos los ejercicios 5.1 de éste sub-tema, le sugiero ir al Anexo F donde
usted podrá comprobar las respuestas de cada uno de los ejercicios planteados.
Si al comparar sus respuestas se siente satisfecho, continúe las orientaciones para el texto
básico. Pero si aún tiene dificultad revise nuevamente en su texto básico/ complementario, o
contacte al profesor para despejar sus dudas.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Para profundizar este tema revisemos el texto básico capítulo 17 en las páginas 745 a 747.
Bien, ahora que leyó y analizó detenidamente los contenidos podemos concluir que el dominio de una
función de varias variables está constituido por todo el conjunto de valores que pueda tomar cada
variable independiente, dentro del conjunto de números reales para permitir que se defina la variable
dependiente.
¡Muy bien!. Ahora, continuemos con la definición de derivadas parciales y su representación.
5.2. Derivadas Parciales
Definición: La derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de
esas variables manteniendo las otras como constantes.
Representación:
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes
notaciones equivalentes:
Derivada Parcial de primer orden:
Derivada parcial (doble) de segundo orden:
Derivada parcial de f(o z)
con respecto a x
Derivada parcial de f (o z) con
respecto de a y
fx
(x,y) Fy
(x,y)
Ejemplo. Obtenga las derivada parcial con respecto a x,y,z de:
Solución:
; Con respecto de x (y,z constantes)
; Con respecto de y (x,z constantes)
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
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PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
; Con respecto de z (x,y constantes)
El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural como funciones de tres o más
variables. Por ejemplo, si , existen tres derivadas parciales cada una de las cuales se forma manteniendo
constantes las otras dos variables.
5.2.1. Derivadas parciales de orden superior
Es posible hallar las segundas, terceras, etc., derivadas parciales de una función de varias variables,
siempre que tales derivadas existan. Las derivadas de orden superior se denotan por el orden en el que
se hace la derivación.
Tabla derivadas parciales de orden superior
Primera
derivada
y’ Dx
y
Segunda
derivada
y’’ D²x
y
Tercera
derivada
y’’’ D³x
y
Cuarta
derivada
y⁴ D⁴x
y
Por ejemplo, la función tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden:
1. Derivar dos veces con respecto a x:
2. Derivar dos veces con respecto a y:
3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:
4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:
Los casos 3 y 4 se llaman derivadas parciales mixtas (cruzadas).
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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PRIMER
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ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de segundo orden de y
determinar el valor de
Solución: Empezar por hallar las derivadas parciales de primer orden con respecto a x y y.
Después se deriva cada una de éstas con respecto a x y con respecto a y.
Determinar el valor de
Para profundizar en este tema revisemos el texto básico capítulo 17, sección 17.2 en las páginas
750 a 754. Adicional es importante que conozca acerca de derivadas parciales de orden superior
para esto remítase al texto básico sección 17.5 en las páginas 763 a 768.
Aplicando el concepto de derivadas parciales, le sugiero desarrollar los ejercicios 5.2 de repaso
usted los podrá encontrar en el capítulo 17, problemas 17.2 de su texto básico páginas 754-755.
Ejercicios 5.2
Respuestas:
C
C
C
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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PRIMER
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PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
¡Estoy seguro de que si!. Una vez resueltos todos los ejercicios 5.2 le sugiero ir al Anexo F
donde usted podrá comprobar las respuestas de cada uno de los ejercicios planteados, y
continuar con el sub-tema optimización.
Pero si aún tiene dificultad revise nuevamente en su texto básico, o contacte al profesor
para despejar sus dudas.
5.3. Optimización:
Optimización es una de las aplicaciones más importantes de las derivadas, la podemos aplicar en la vida
cotidiana por ejemplo para minimizar costos o maximizar material de alguna producción.
En el presente tema, usted estudiará y analizará cuáles son las condiciones que garantizan la existencia
de valores máximos y mínimos para funciones de diversas clases.
5.3.1. Máximos y mínimos para funciones de dos variables
En el caso más simple, un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función real,
eligiendo sistemáticamente valores de entrada (tomados de un conjunto permitido) y calcular el valor
de la función.
En las siguientes gráficas se muestra las pendientes creciente y decreciente de los puntos críticos máximo
y mínimo de una función f(x).
Figura 8. Optimización-Máximo y mínimo de una función. Fuente: http://elcalculoyyo.blogspot.com/2010/05/derivadas-d.html
Estimado estudiante, para determinar máximos y mínimos relativos (o extremos relativos) en funciones
de dos variables se debe considerar la siguiente regla:
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
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PRIMER
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SEGUNDO BIMESTRE
Además, existe una prueba con la segunda derivada que proporciona las condiciones para las cuales un
punto crítico será un máximo o mínimo relativo.
Pasos para la optimización mediante el criterio de la segunda derivada f'' :
1. Derivar la función (1era derivada).
2. Igualar la derivada a cero para obtener los puntos críticos (valores de x).
3. Derivar la función (2da derivada).
4. Sustituir los valores críticos en la segunda derivada, para a través del teorema concavidad saber si
están en un punto máximo o mínimo.
5. Reemplazar los valores críticos (x) en la ecuación original para obtener las coordenadas de y
(valores críticos (x,y)).
6. Graficar
Para optimización de una función mediante el criterio de la primera derivada f', se realizan los mismos
pasos excepto el 3, y en el paso 4 se sustituye en la primera derivada.
Ejemplo 1: Determinar los máximos y mínimos de la siguiente función de grado 3 con una variable.
1. Encontrar la primera derivada para determinar máximos y mínimos
2. Igualar la ecuación a cero para encontrar los puntos críticos (valores de x)
Factorizar
GLOSARIO
ANEXOS
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Puntos críticos (0, - 2)
3. Analizar pendientes en la primera derivada, reemplazando los valores de los puntos críticos
de x (0,-2) en la recta numérica con un valor superior y un valor inferior, y determinar punto
máximo y mínimo de acuerdo al siguiente criterio:
4. Sustituir los puntos críticos de x (0,-2) en la ecuación original para obtener las coordenadas
de y.
Punto mínimo (0,-8): cuando x=0 ; y =-8
Punto máximo (-2,-4): cuando x=-2 ; y =-4
5. Graficar.
Ejemplo 2: Determinar si la siguiente función de dos variables tiene máximos/mínimos o punto de
silla.
1. Determinar derivadas Parciales (1er orden)
2. Determinar derivadas parciales (2do orden)
(derivada mixta ; derivada de x con respecto de y, donde x es una constante)
GLOSARIO
ANEXOS
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3. Determinar puntos críticos en base a la derivada de primer orden
(dividir entre 2 para simplificar la ecuación)
(Ecuac. 1)
(dividir entre 2 para simplificar la ecuación)
(Ecuac. 2)
4. Sustitución de la ecuación 2 en la ecuación 1
Factorizar
Aplicar teorema del factor nulo
5. Encontrar los valores de y para confirmar los puntos críticos de la función.
Reemplazo los valores de x (0,4) en la Ecuac. 2:
y=-x ; y=0; y=4
1. Punto crítico (0,0)
2. Punto crítico (4-4)
6. Clasificar los puntos críticos en Máximos/Mínimos o punto de silla, en base al parámetro de
clasificación DISCRIMINANTE (D; Ver regla 2).
D = 96 - 48x
7. Clasificar los puntos críticos en base a las derivadas de segundo orden y el discriminante.
En base a la regla 2 deducimos que el punto crítico (0,0) es mínimo local, y el punto crítico
(4-4) es punto silla.
GLOSARIO
ANEXOS
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8. Para representación gráfica espacial es necesario conocer el valor del punto z, para esto
tomamos la función original y reemplazamos los valores de x y y.
x y z
1. Punto crítico (0, 0, 0)
2 .Punto crítico (4,-4,64)
Donde z es el punto espacial en la función, representando el punto silla.
Figura 9. Extremos relativos x,y,z. Fuente: Matemáticas para administración y economía. Haeussler Jr.,Ernest F., Richard S. y Wood
J.(2008)
Para profundizar este tema revisemos el texto básico capítulo 17, sección 17.3 en las páginas
755 a 759, para fortalecer nuestro conocimiento y potencialidad de análisis, sobre
optimización.
Recuerde: Este proceso consiste en la evaluación más detallada de las funciones de varias
variables considerando los máximos y mínimos locales o globales que son indicadores de
la relación funcional de las variables, los mismos que para la toma de decisiones en
situaciones reales concretas son fundamentales permitiéndonos realizar correctivos en el
caso de no ser satisfactorios.
Aplicando el concepto de Optimización de máximos y mínimos para funciones, le sugiero
desarrollar los ejercicios 5.3 de repaso usted los podrá encontrar en el capítulo 17, problemas
17.7 de su texto básico página 776.
GLOSARIO
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Ejercicios 5.3
Respuestas:
C
C
C
Apreciado estudiante, si usted respondió correctamente a los ejercicios 5.3 verifique sus
respuestas en el AnexoF y continúe con el sub-tema“Aplicacionesdelasderivadasparciales”.
Pero si aún tiene dificultad revise nuevamente en su texto básico, o contacte al profesor
para despejar sus dudas.
5.4. Aplicaciones de las derivadas parciales
Como ya aprendimos que si , entonces pueden interpretarse geométricamente
comolaspendientesdelasrectastangentesalasuperficiez=(x,y)enlasdireccionesxyy,respectivamente
y como la derivada es una razón de cambio se tiene:
Algunos ejemplos de las aplicaciones más comunes de las derivadas parciales son:
Ÿ
Ÿ Costos marginales
Ÿ
Ÿ Pérdida de calor de un cuerpo
Ÿ
Ÿ Productividad marginal
Ÿ
Ÿ Obtención de máximos y mínimos
GLOSARIO
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Existen muchas situaciones que involucran funciones de dos variables, y en especial en sus aplicaciones,
la naturaleza del problema dado es un indicador de si un punto crítico es realmente un máximo relativo
(o absoluto) o un mínimo relativo (o absoluto). En tales casos, la prueba de la segunda derivada no es
necesaria. Algunas de estas aplicaciones son:
Ÿ
Ÿ Productividad marginal del capital
Ÿ
Ÿ Productividad marginal de la mano de obra
Ÿ
Ÿ Maximización de la producción
Ÿ
Ÿ Maximización de la utilidad
Revise el texto básico en las páginas 755 a la 757, donde hay algunos ejemplos de
aplicaciones donde la “razón de cambio” resulta útil. Y las páginas 773 a la 776 donde
encontrará algunas“Aplicaciones de máximos y mínimos para funciones de dos variables”.
İMuy bien!, hemos terminado la cuarta unidad, espero que el entusiasmo y motivación
por esta materia vaya en aumento, así mismo espero que a través de la lectura de los
diferentes apartados antes mencionados haya despejado todas sus dudas. Le recomiendo
continuar con la autoevaluación que le será de gran utilidad para reforzar y ampliar sus
conocimientos.
GLOSARIO
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Autoevaluación 5
Coloque una X en el casillero que corresponda, según el enunciado sea verdadero (V) o falso (F).
1. ( ) El dominio de una función de varias variables está constituido por todo el conjunto
de valores que pueda tomar cada variable independiente dentro del conjunto de
números reales para permitir que se defina la variable dependiente.
2. ( ) Se llaman derivadas parciales a cada una de las derivadas de una función dada con
respecto de cada una de las variables que la constituyen.
3. ( ) La simbolización de las derivadas parciales con respecto de x está dada por:
4. ( ) El proceso de optimización consiste en la evaluación más detallada de las funciones
de varias variables considerando los máximos y mínimos locales o globales que son
indicadores de la relación funcional de las variables.
5. ( ) Para el proceso de evaluación de los puntos extremos: Si hay los puntos críticos , se
halla la tercera derivada con respecto de x y y.
6. ( ) La derivada es la razón de cambio de z con respecto de x cuando y se mantiene
fija.
7. ( ) Dentro de la industria y productividad los máximos y mínimos locales o globales no
son indispensables, ya que permite el manejo y administración de recursos en forma
tal que su desperdicio es mínimo y su aprovechamiento máximo.
8. ( ) Si , entonces pueden interpretarse geométricamente como las
pendientes de las rectas tangentes a la superficie en las direcciones x y y,
respectivamente.
9. ( ) Las derivadas parciales de son:
Respecto de x(y, constante):
Respecto de y(x, constante):
10. ( ) El dominio de: es conjunto de puntos de [ o sea todos los puntos de
^[; primer cuadrante de xy.
profesor.
¡Bien! Hemos finalizado esta interesante unidad, sigamos adelante con los temas propuestos para este
segundo bimestre, verá cómo se involucra aún más en nuestra asignatura. İÉxitos!
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UNIDAD6.ECUACIONESDIFERENCIALES
Estimado estudiante, hemos llegado a la recta final del estudio de los contenidos de nuestra asignatura,
por tanto concluiremos con el análisis de lo que se conoce como ecuaciones diferenciales, que son
importantes dentro de las ingenierías las mismas que nos permitirán representar los fenómenos a través
de modelos matemáticos.
Uno de los campos más fascinantes del conocimiento, al cual las ecuaciones diferenciales han sido
aplicadas es al de la biología, las mismas que pueden ser utilizadas exitosamente al estudio de varios
procesos naturales de los seres vivos desde los microorganismos más elementales hasta la misma
humanidad que sorprende a la imaginación.
Así también usted podrá aplicar las ecuaciones diferenciales en los campos de: crecimiento biológico,
epidemiología, mecánica de fluidos, circuitos, gravitación universal, modelo de crecimiento poblacional,
dinámica de caída, mezclas químicas, etc.
AcontinuaciónesquematizamoscadatemadeEcuacionesdiferencialesconsussubtemasrespectivamente:
6.1 Ecuación diferencial: Definición, ejemplos
6.2 Origen de las ecuaciones diferenciales: Definición, ejemplos
6.3 Tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden: Ecuaciones separables, lineales y
exactas, ejemplos.
6.4 Tipos de soluciones en ecuaciones diferenciales: General y particular, ejemplos
6.6 Formato de resolución de ecuaciones diferenciales: Ecuaciones diferenciales de
variables separables, ejemplos.
Listo, entonces revisemos los sub-temas de Ecuaciones diferenciales indicados. Para iniciar
con el estudio de este tema, refiérase a su texto básico en el capítulo 15 sección 15.5: páginas
702-703, y a la bibliografía complementaria [6 ]. Leithold L. (1998). El Cálculo. [ 7]. Nagle, R.K.
(2001). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.
6.1. Definición
Llamamos Ecuación diferencial (E. D.) a una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente),
su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas.
Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es
una ecuación diferencial ordinaria (E. D. O.); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más
variables independientes se llama ecuación en derivadas parciales (E. D. P.).
En una ecuación diferencial se debe considerar el orden (derivada más alta) el grado (la potencia de la
derivada de mayor orden que aparece en la ecuación), y si la ecuación diferencial es lineal (ni la función
ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero) o no lineal.
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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:
Ejemplos de ecuaciones con derivadas parciales:
Ejemplo: Calcular la ecuación diferencial de cuya solución es
Reemplazamos y’ y y en la ecuación diferencial
Se cumple.
La presente unidad corresponde al capítulo 15 sección 15.5 ecuaciones diferenciales del texto
básico y este tema corresponde a las páginas 702 y 703, le invito a leerlas.
¿Qué le pareció la lectura? Luego del análisis sobre las ecuaciones diferenciales, podremos concluir que
en toda igualdad en la cual existen términos que contienen derivadas o diferenciales de una o más
variables dependientes con respecto de una o más variables independientes.
GLOSARIO
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6.2. Origen de las ecuaciones diferenciales
Sabía usted, que existe gran cantidad de situaciones donde, la formulación matemática de un problema
dacomoresultadounaecuacióndiferencial,enlaqueintervieneladerivadadeunafuncióndesconocida?
Las ecuaciones diferenciales pueden ser de los siguientes tipos:
C
C Físico: Cuando se trata de interrelacionar variables que representan magnitudes físicas que están
en relación precisa dentro de los cuerpos u objetos del universo, considerando los aumentos o
disminuciones como elementos de análisis.
Ejemplo:
Ÿ
Ÿ La variación del volumen de agua con respecto de la variación del tiempo determina el
caudal:
Ÿ
Ÿ Lavariacióndelacantidaddecalordeuncuerpoconrespectodelavariacióndetemperatura
, es directamente proporcional a la masa y al calor específico correspondiente:
C
C Geométrico: Surge de interrelacionar las medidas de los cuerpos o figuras geométricas.
Ejemplos:
Ÿ
Ÿ Derivada del área
Ÿ
Ÿ Derivada del perímetro
De la primitiva: Se obtiene de ejecutar el proceso de derivación o diferenciación de una función
mediante la aplicación de las reglas y procedimientos habituales.
Ejemplos:
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
6.3. Tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden
C
C Ecuaciones separables: Una ecuación es separable si el lado derecho de la ecuación
, se puede expresar como una función g(x) que solo depende de x, por una función p(y) que solo
depende de y.
Ejemplo:
C
C Ecuaciones lineales: Una ecuación lineal es aquella que se puede expresar de la forma:
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Donde solo dependen de la variable independiente x, no así de y.
Ejemplo:
C
C Ecuaciones exactas: son aquellas que adoptan la forma 0 que es la
diferencia total de la función y se cumple que
Ejemplo:
Estimado estudiante, le recomiendo revisar las páginas 704 a la 707 del texto básico, las mismas
que contemplan los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y sus respectivos ejemplos. Si
usted tiene acceso al texto complementario[7]
. Nagle K., (2001). Ecuaciones diferenciales y
problemas con valores en la frontera, podrá encontrar un análisis más profundo en las páginas 45
hasta la 63.
6.4. Tipos de soluciones en ecuaciones diferenciales
A continuación revisemos los tipos de solución que nos plantea el autor del texto básico en las páginas
702-704. Lo resumiremos a continuación:
Las soluciones pueden ser de cualquiera de los siguientes tipos:
Ÿ
Ÿ General o completa: cuando la solución es representativa de una familia de primitivas, lo
cual queda evidenciado en la presencia de parámetros o constantes.
Ÿ
Ÿ Particular: Cuando la solución cumple con ciertas condiciones referenciales, que debe
cumplir la primitiva correspondiente, como por ejemplo pasar por un punto específico.
6.5. Formato de resolución de ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales de variables separables: son aquellas ecuaciones diferenciales que permiten
descomponerlas en dos productos, uno de los cuales corresponde a los términos que contienen la
variable y con la respectiva diferencial (dy), y los de x con su respectiva diferencial (dx), circunstancia en
la cual se procede a integrar cada miembro y se puede conseguir la solución.
Ejemplo:
Solución:
Escribamos , de donde surge la igualdad ; ,
expresión en la cual se puede integrar miembro a miembro y se obtiene la primitiva buscada, así,
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aplicando integrales a cada miembro se tiene: , de donde desarrollando las
integrales:
Con u=1+x², du=2xdx tenemos:
De lo cual resulta:
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación y' = (x + y) , con la condición y(0)=1.
Solución:
La ecuación la podemos transformar haciendo el cambio de variable v=x+y, para obtener: v’=1+y’; y’=v’-
1=x+y=v;v’=v+1 y separando variables para integrar:
; pero tomando en cuenta que:
x; y tomando antilogaritmos:
Para una mejor explicación refiérase al texto básico página 704, donde encontrará un ejemplo
que detalla la forma de resolver una ecuación diferencial a través del método de separación de
variables.
A continuación usted podrá revisar dos ejercicios con aplicaciones a las ciencias ambientales.
Ejemplos:
Problema 1: Crecimiento poblacional
La población de la cuidad de Quito en el año 2000 fue de 2’000.000 habitantes. Si el crecimiento
poblacional es proporcional a la propia población y ha sido estimado en el 1,5% anual, determinar
la ecuación diferencial que describe el problema y la función primitiva equivalente a esa ecuación
diferencial;representargráficamentelavariacióndelapoblaciónconeltiempo,basándoseenlaecuación
diferencial, y mediante dicho gráfico estimar el año en que la cuidad tendrá 3’000.000 de habitantes.
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Solución:
Ÿ
Ÿ En primer lugar definimos las variables que forman parte del problema:
P: Población de la cuidad de Quito, que varía con el tiempo y tiene un valor de 2’000.000
para el año 2000.
t:Tiempo medido en años, que al inicio del problema es el año 2000.
a: Índice anual de crecimiento de la población que vale 0,015 (1,5 % anual).
Ÿ
Ÿ Luego especificamos la expresión diferencial que describe el problema:
Por definición, el crecimiento de la población en un instante cualquiera se calcularía
mediante la siguiente expresión:
Donde:
Incremento de población
Intervalo de tiempo en que se mide el incremento de la población.
Se ha utilizado el símbolo “ ” para indicar que la expresión es una aproximación, pues una vez
transcurrido un intervalo de tiempo“ ”, la población habrá crecido a“P+ ”por lo que“P”ya no sería
representativa para el cálculo del incremento de la población.
Paraconseguirunaigualdadesnecesariollevarcocientedelosincrementosallímitemismo,loqueocurre
cuando“ ”tiende a“cero”, y se expresa: . La expresión antes anotada derivada de la
población respecto al tiempo . Esta última expresión es precisamente la ecuación diferencial
que describe la variación de la población con respecto al tiempo.
Para resolver la ecuación diferencial se deben separar las diferenciales del miembro izquierdo:
Se separan las variables:
Se procede a la integración de los 2 miembros:
Ejecutando las integrales:
Pero la constante“C”, puede ser reemplazada por el logaritmo natural de la constante“k”:
El logaritmo del producto es la suma de los logaritmos:
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Reemplazando la función logarítmica por la función exponencial equivalente:
Despejando la población“P”se tiene su variación en función del tiempo, en términos generales:
, solución general
Para el cálculo de la solución específica se deben aplicar las siguientes condiciones de borde a la solución
general:
Para el año 2.000,‘’t= 2.000 años’’,’’P=2’000.000 habitantes”,“a=0,015 habitantes/ año”.
Reemplazando estas condiciones de borde se tiene:
Simplificando:
Despejando k:
Reemplazando el valor de 30
k=5343237
Reemplazando‘’k’’y‘’’’en la solución general se tiene:
, solución específica
Imagen 1. Tabla 2. Crecimiento poblacional de Quito. Fuente: El autor.
CRECIEMIENTO POBLACIONAL DE QUITO
ɑ=0,015
TIEMPO t
INCREMENTO DE
TIEMPO
POBLACIÓN
INCREMENTO DE
POBLACIÓN
2000 1 2.000.000 30.000
2001 1 2.030.000 30.450
2002 1 2.060.450 30.907
2003 1 2.091.357 31.370
2004 1 2.122.727 31.841
2005 1 2.154.568 32.319
2006 1 2.186.887 32.803
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ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
CRECIEMIENTO POBLACIONAL DE QUITO
ɑ=0,015
TIEMPO t
INCREMENTO DE
TIEMPO
POBLACIÓN
INCREMENTO DE
POBLACIÓN
2007 1 2.219.690 32.295
2008 1 2.252.985 33.795
2009 1 2.286.780 34.302
2010 1 2.321.082 34.876
2011 1 2.355.898 35.338
2012 1 2.391.236 35.869
2013 1 2.427.105 36.407
2014 1 2.463.511 36.953
Graficando la tabla se tiene:
Figura 10. Crecimiento poblacional de Quito. Fuente: El autor
Como usted podrá darse cuenta, aproximadamente para el año 2027 Quito tendrá una población de
3’000.000 de habitantes.
Caudales
Problema 2: encontrar la ecuación diferencial (y las ecuaciones auxiliares) que describe la variación del
nivel de agua en el tiempo (variación de “h” o de “h(t)”) en el tanque cilíndrico de almacenamiento de
agua de la figura que tiene un diámetro D=4m y una altura inicial del agua =6m, a partir del momento
en que se abre la tubería de desfogue inferior con un diámetro d=7cm.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
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PRELIMINARES
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SEGUNDO BIMESTRE
Solución: el caudal de salida (caudal es el volumen que circula por una sección en una unidad de tiempo
y se puede medir en ) se calcula multiplicando la velocidad por la sección transversal.
La velocidad y la sección transversal se calculan con las siguientes expresiones:
Reemplazando en el caudal de salida se tiene:
El caudal instantáneo puede ser definido como la derivada del volumen con relación al tiempo.
Reemplazando en la expresión anterior se tiene:
O la expresión diferencial equivalente:
Por otro lado, conforme el agua sale por la tubería de desfogue inferior, en un diferencial de tiempo el
volumen de agua del tanque cilíndrico disminuye un diferencial de volumen.
El diferencial de volumen es el diferencial de“h”(dh) multiplicado por la sección transversal circular“At”,
y en este caso particular“At.dh”lleva signo negativo por ser una disminución de volumen.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
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PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
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SEGUNDO BIMESTRE
Reemplazando se tiene:
Igualando el diferencial de volumen que desciende en el tanque cilíndrico con el diferencial de volumen
que sale por la tubería de desfogue, pues la conversación de la materia así lo exige, se tiene:
Dejando el diferencial de“h”en el miembro izquierdo:
Expresada como derivadas:
Ecuación diferencial solución
Aplicando el concepto de “Ecuaciones diferenciales”, le sugiero desarrollar los ejercicios 6.1 de
repaso, usted los podrá encontrar en el capítulo 15, problemas 15.5 de su texto básico página
708.
Ejercicios 6.1
C
C
C
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
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PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Si es así una vez resueltos todos los ejercicios de esta Unidad 6, le sugiero ir al Anexo G donde
compararsusrespuestassesientesatisfecho,continúeconeldesarrollodelaautoevaluación.
Caso contrario, remítase nuevamente a la bibliografía básica y complementaria para revisar
nuevamente los temas.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
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PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Autoevaluación 6
Coloque una X en el casillero que corresponda, según el enunciado sea verdadero (V) o falso (F).
1. ( ) Unaecuaciónlinealesaquellaquesepuedeexpresardelaforma
2. ( ) Una ecuación es separable si el lado derecho de la ecuación se puede
expresar como una función g(x) que solo depende de y.
3. ( ) Los tipos de soluciones de una ecuación diferencial son general o completa y
particulares.
4. ( ) La solución general o completa es representativa de una familia de primitivas, lo cual
queda evidenciado en la presencia de parámetros o constantes.
5. ( ) Ecuaciones diferenciales es toda igualdad en la cual existen términos que contienen
derivadas o diferenciales de una variable dependiente con respecto de una o más
variables independientes.
6. ( ) Un ejemplo de ecuación diferencial es
7. ( ) La ecuación diferencial puede solucionarse con el método de
“Separación de Variables”.
8. ( ) Se llama ecuación diferencial de primer orden puesto que incluye una derivada de
primer orden y varias de orden superior.
9. ( ) l método que se usa para encontrar la solución general se llama separación de
variables.
10. ( ) Las ecuaciones lineales son un tipo de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
profesor.
Bien! Hemos culminado con el estudio de la Unidad N° 6 y con ello los contenidos de este
componente educativo. Espero les haya ayudado en su crecimiento académico.
Muchos éxitos en su vida profesional.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SOLUCIONARIO
7. Solucionario
PRIMER BIMESTRE
Autoevaluación 1
Pregunta Respuesta
1. F
2. V
3. V
4. F
5. V
6. F
7. F
8. V
9. V
10. F
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SOLUCIONARIO
Autoevaluación 2
Pregunta Respuesta
1. F
2. F
3. V
4. V
5. V
6. V
7. F
8. V
9. F
10. V
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SOLUCIONARIO
Autoevaluación 3
Pregunta Respuesta
1. F
2. F
3. F
4. V
5. V
6. V
7. V
8. V
9. F
10. F
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SOLUCIONARIO
SEGUNDO BIMESTRE
Autoevaluación 4
Pregunta Respuesta
1. F
2. V
3. F
4. V
5. V
6. V
7. V
8. V
9. V
10. V
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SOLUCIONARIO
Autoevaluación 5
Pregunta Respuesta
1. V
2. V
3. F
4. V
5. F
6. V
7. F
8. V
9. V
10. F
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SOLUCIONARIO
Autoevaluación 6
Pregunta Respuesta
1. V
2. F
3. V
4. V
5. F
6. V
7. V
8. F
9. V
10. F
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
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PRIMER
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PRELIMINARES
ÍNDICE

GLOSARIO
8. Glosario de términos
Área: Parte del plano bajo una curva entre dos puntos determinados del eje x o y.
Asíntota: se le llama asíntota de la gráfica de una función, a una recta a la que se aproxima
continuamente la gráfica de tal función; es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a
medida que se extienden indefinidamente.
Constante: Una letra o símbolo que se establece por un número específico.
Concavidad: Calcule 𝑓𝑓!!
(𝑥𝑥) y aplique la prueba de concavidad. La curva es cóncava hacia arriba
donde 𝑓𝑓!!
𝑥𝑥 > 0 y cóncava hacia abajo donde 𝑓𝑓!!
𝑥𝑥 < 0.
Coordenada de un punto: El número asociado con un punto en una recta numérica.
Curva: trayectoria formada por la unión de los infinitos que constituyen una función o relación en el
plano cartesiano.
Dominio de una función: El conjunto de todos los valores de entrada x para el cual f(x) está definida.
Ecuación: Una proposición de igualdad entre dos expresiones.
Ecuación cuadrática en x: Una ecuación que puede escribirse en la forma 𝑎𝑎𝑎𝑎² + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0; (a≠b).
Ecuación de primer grado x,y,z: Una ecuación que puede escribirse en la forma 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 +
𝐷𝐷 = 0.
Ecuación lineal en x: Una ecuación que puede escribirse en la forma 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 0; donde a y b son
números reales (a≠0).
Enteros: Los números …,-3,-2,-1,0,1,2,3…
Enteros no negativos: Los números 0,1,2,3
Escalar: Un número real
Exponente: número que indica la potencia a la que hay que elevar una cantidad (N-ésima potencia)
Expresión algebraica: Una combinación de variables y constantes que incluye suma, resta,
multiplicación, división, potencia y raíces.
Factorización: escritura de un polinomio como un producto de dos o más factores.
Función: Una relación que asocia cada valor del dominio con exactamente un valor del rango.
Función constante: (sobre un intervalo) 𝑓𝑓 𝑥𝑥! = 𝑓𝑓 𝑥𝑥! para cualquier 𝑥𝑥! y 𝑥𝑥!
Función continúa: Una función que es continua en todo su dominio.
Función cuadrática: Una función que puede escribirse en la forma 𝑎𝑎𝑎𝑎² + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐, donde a,b y c son
números reales (a≠0)
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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ÍNDICE

GLOSARIO
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA UTPL “La Universidad Católica de Loja”
Función de crecimiento exponencial: crecimiento modelado mediante 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎. 𝑏𝑏!
, a>0 con
0<b<1.
Función de decaimiento exponencial: decaimiento modelado por 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎. 𝑏𝑏!
, a>0 con 0<b<1.
Función exponencial: una función de la forma 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎. 𝑏𝑏!
(a≠0,b≠0,b>0)
Gráfica de una función: el conjunto de todos los puntos que en el plano cartesiano corresponden a
los pares (x,f(x)) para x en el dominio de f.
Intervalo: subconjunto conexo de la recta de números reales con al menos dos puntos.
Intervalo abierto: intervalo que no incluye a sus extremos
Intervalo cerrado: intervalo que incluye a sus extremos
Intervalo acotado: intervalo con longitud finita (no se extiende a ∞, −∞)
Intervalos de incremento y decremento: calcule 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 y determine los intervalos en los cuales 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥
es positiva, es decir, donde (f sea creciente) y los intervalos en donde 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 sea negativa, (f sea
decreciente).
Intersecciones: La intersección con el eje y es f(0) lo cual señala donde la curva corta al eje de las y.
Para determinar las intersecciones con el eje de las x, haga y=0 y determine x. (Puede omitir este paso
si la ecuación es difícil de resolver).
Límite: lim!→! 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 significa que f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a.
Logaritmo: Una expresión de la forma log! 𝑥𝑥
Máximo absoluto: Un valor 𝑓𝑓 𝑐𝑐 es un valor máximo absoluto de f, si 𝑓𝑓 𝑐𝑐 ≥ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para toda x en el
dominio de f.
Máximo local: Un valor 𝑓𝑓 𝑐𝑐 es un valor máximo local de f, si existe un intervalo abierto I que contiene
c tal que 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≤ 𝑓𝑓(𝑐𝑐) para todos los valores de x en I.
Mínimo absoluto: Un valor 𝑓𝑓 𝑐𝑐 es un valor mínimo absoluto de f, si 𝑓𝑓 𝑐𝑐 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para toda x en el
dominio de f.
Mínimo local: Un valor 𝑓𝑓 𝑐𝑐 es un mínimo local de f, si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal
que 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≥ 𝑓𝑓(𝑐𝑐) para todos los valores de x en I.
Número real: cualquier número que pueda escribirse como un decimal.
Número irracional: números reales que no son irracionales.
Número racional: números que puedan escribirse como a/b donde a y b son enteros (b≠0).
Números naturales: los números 1,2,3…
Números negativos: números reales que se muestran a la izquierda del origen de una recta numérica.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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ÍNDICE

GLOSARIO
Números negativos: números reales que se muestran a la izquierda del origen de una recta numérica.
Números positivos: números reales que se muestran a la derecha del origen de una recta numérica.
Pendiente: razón cambio en y / cambio en x
Proceso: secuencia ordenada de pasos que se sigue para conseguir un resultado algebraico o
matemático de evaluación de hechos específicos.
Punto de inflexión: Un punto P de la gráfica de una función f es un punto de inflexión si en ese punto
hay un cambio en la concavidad de la gráfica.
Recta: es la representación gráfica de una función de primer grado (y=ax+b)
Simetría: Armonía de posición de las partes o puntos similares unos respecto de otros, y con
𝑓𝑓′ 𝑐𝑐 =referencia a punto, línea o plano determinado:
Variable: letra que representa un número no especificado.
Valores de los máximos y mínimos: Determine los números críticos de f (los números donde 0 o
bien, 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐 no existe). Luego aplique la prueba de la primera derivada. si f’ pasa de positivo a negativo
en un número crítico , por lo tanto f(c)es un máximo. Si f’ cambia de negativo a positivo en , en
consecuencia f(c) es un mínimo.
9. Anexo A
< RESPUESTAS EJERCICIOS UNIDAD 0
Ejercicios 0.1.1.1
<
<
1.) VERDADERO (un número reciproco o inverso multiplicativo es otro número con el
cual el producto de los dos es 1)
2.) FALSO (el inverso aditivo de un número sumado con su original nos da 0)
3.) FALSO (la propiedad asociativa para el producto de términos no se cumple de esa
forma)
4.) “a” es POSITIVO
5.) 0, indefinido, 0.8584…, 0.0857…, x
2
/zy, 7, (25a
2
+7)/5a
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
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PRIMER
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PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
9. Anexos
DI
CTI
ONARY
TH
ESA
UR
US
El presente material ha sido reproducido con fines netamente didácticos,
cuyo objetivo es brindar al estudiante mayores elementos de juicio para la
comprensión de la materia, por lo tanto no tiene fin comercial.
ANEXO A
C
C RESPUESTAS EJERCICIOS UNIDAD 0
Ejercicios 0.1.1.1
<
<
<
<
<
<
Ejercicios 0.1.1.2
1.)
(a.) VERDADERO; -13 es un entero positivo.
(b.) VERDADERO; porque (5/1) = 5
(c.) VERDADERO; porque √25 = 5
(d.) VERDADERO; porque – 2 y 7 son enteros y 7 ≠ 0
(e.) FALSO; porque 0 = 0 / 1
(f.) FALSO; porque un número natural es 1, 2, 3,… y √3 está entre 1 y 2
(g.) FALSO; porque no existe división para cero
2.)
(a.) VERDADERO (b.) VERDADERO (c.) FALSO
(d.) VERDADERO
3.)
(a.) –[–6 + (–y)] = –(–6) – (–y) = 6 + y (b.) 9
(c.) by / x (d.) (x–y) / √5 (e.) 3M / L
(f.) No está definido.
4.)
(a.) NEGATIVO (b.) POSITIVO (c.) FALSO
(d.
)
POSITIVO
5.)
(a.) < (b.) > (c.) =
6.)
(a.) x < 0 (b.) y ≥ 0 (c.) q ≤ π
(d.
)
2<d<4
(e.) t ≥5 (f.) – z ≤ 3 (g.) (p/q) ≤ 7
(h.
)
(1/w) ≥ 9
1.) VERDADERO (un número reciproco o inverso multiplicativo es otro
número con el cual el producto de los dos es 1)
2.) FALSO (el inverso aditivo de un número sumado con su original
nos da 0)
3.) FALSO (la propiedad asociativa para el producto de términos no se
cumple de esa forma)
4.) “a” es POSITIVO
5.) 0, indefinido, 0.8584…, 0.0857…, x2
/zy, 7, (25a2
+7)/5a
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
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PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
6.)
(a.) x < 0 (b.) y ≥ 0 (c.) q ≤ π
(d.
)
2<d<4
(e.) t ≥5 (f.) – z ≤ 3 (g.) (p/q) ≤ 7
(h.
)
(1/w) ≥ 9
(i.) |x| > 7
7.)
(a.) ≠ (b.) ≠ (c.) =
8.)
(a.) 4.27 X 105
(b.) 9.8 X 10-8
(c.) 8.1 X 108
9.)
(a.) 830,000 (b.) 0.000 000 000 002 9 (c.) 563,000,000
EJERCICIOS 0.1.2.1
Ejercicios 0.1.2.2
1.)
(a.) -2/3 (b.) 1/243 (c.) 9t2
/4
2.)
(a.) 7
(b.)
(c.)
3.)
(a.) ½ (b.) 25
Ejercicios 0.1.3.1
<
<
<
Ejercicios 0.1.4.1
<
<
<
<
1.) 8x6
y9
2.) w4
s6
/ y4
3.) -2 4.) 16 / 9 5.) 4
3 2
2
; 9.
1.) 2x + 3√x -5 2.) –2 – (3/y) 3.) (3 + 2x) (9 – 6x + 4x2
)
4.) (5x + 2y) (9x – 4y)
1.) 2.)
3.)
4.)
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
Ejercicios 0.1.6.1
Ejercicios 0.1.6.1
<
<
<
<
<
<
Ejercicios 0.2.1
1.)
(g.) Recta Horizontal (k.)
Recta (pendiente
positiva)
(h.) Parábola
(b.) Circunferencia (a.) Elipse (f.) Hipérbola
Ejercicios 0.3.1
1.)
(a.)
1; 1
(b.)
0; 0
(c.)
0; 0
2.)
(a.) 2a / (a2
+ 1) (b.) (a2
+ (c.) 2 √a / (a (d.) √(a3
+ 2ª) /
Ejercicios 0.1.5.1
1.) 2.) 3.)
4.) 5.)
Dividido para
12
Solución: z=
1/3; w=0
2.)
Sistema de
ecuaciones no
lineal:
x = 3, y = 4; x = 2, y
= 1
3.)
Sistema de
ecuaciones no
lineal:
y = 1/(x-1) si
x=-2
y = 1/(-2-1) = -
1/3
x = -2, y=-1/3
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
1) / 2a +1) (a2
+1)
3.)
(a.) Si es una función ya que pasa la prueba de la recta vertical
(b.)
No es una función ya que al trazar una recta vertical, ésta corta a la función en más de dos
puntos.
4.)
(a.)
No son iguales, porque el codominio de f(x)≥0, pero el de g(x) pueden tomar todos los
reales.
(b.)
Son diferentes ya que los dominios son: para G(x) es [−1, ∞) y para H(x) son todos los
reales.
5.)
(a.) todos los reales (b.) –3 (c.) 21
(d.) 0 (e.) 5 − 8t (f.) −11− 8x
6.)
(a.)
(b.)
7.)
(a.) Si (b.) Si (c.) Todos los reales
8.)
(a.)
(b.)
Ejercicios 0.3.2
1.)
(a.)
Si la base > 1 la gráfica asciende de
izquierda a derecha; si 0 < base < 1
desciende de izquierda a derecha.
b)
La transformación de las
funciones se debe a la base y el
exponente.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
2.)
(a.) 5 b) 3
3.)
(a.) 26
= 64 (b.) (12)2
= 144 (c.)
log8 (4) =
(2/3)
(d.) 100.6990
= 5
4.)
(a.) e1
= x; x = e (b.)
x2
= 25; x =
5
(c.) y = x1
; y = x (d.)
x2
= 6 + 4x − x2
;
(x - 3)(x + 1) = 0;
x = 3
5.)
(a.) 53000 ∙ (1 + 0.021)^8 ≈ 62,587
(b.)
110000 ∙ (1 + r)1
= 116600; r = 66/1100 = 0.06
110000 ∙ (1 + 0.06)n
= 2(110000); n ≈ 11.90 años.
6.)
(a.) log16 = log 24
= 4log 2 = 4ª
(b.) log (6/25) = log ((2∙3)/52
) = log (2) + log (3) – 2log (5) = a + b – 2c
(c.) log3 5 = (log10 5/ log10 3) = log5 / log 3 = c / b
7.)
(a.) (b.) (c.)
(d.)
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
ANEXO B
Ejercicios 1.1
Ejercicios 1.2
3. Continua en el punto 2 y -2, porque f es una función polinomial.
4. Continua en el punto 2 y -2, porque f es una función racional y en ningún punto el
denominador es cero.
5. Ninguna, porque h es una función polinomial.
6. El denominador de esta función racional es cero solamente cuando 𝑥𝑥 = ±2
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
ANEXO C
Ejercicios 2.1
Ejercicios 2.2
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
Ejercicios 2.3
Ejercicios 2.4
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
ANEXO D
Ejercicios 3.1
Ejercicios 3.2
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
Ejercicios 3.5
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
ANEXO E
Ejercicios 4.1
Ejercicios 4.2
Ejercicios 4.3
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
ANEXO F
Ejercicios 5.1
Ejercicios 5.2
Ejercicios 5.3
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

ANEXOS
ANEXO G
Ejercicios 6.1
CFPM/kvv/2016-02-10/129p.
PDF DIGITAL/jc/2016-02-29
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

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