Calvar3 semana-3
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Este documento define las cuatro secciones cónicas principales: la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola. Para cada una, se proporciona una definición geométrica y su ecuación estándar en forma de Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
Calvar3 semana-3
- 1. Definición La circunferencia La elipse La hipérbola La parábola Semana No. 3: (Secciones) cónicas Yoe Herrera UNAB yherrera743@unab.edu.co Agosto 10 de 2017 1 / 6
- 2. Definición La circunferencia La elipse La hipérbola La parábola Definición Una (sección) cónica es el conjunto que se forma al intersectar un plano con un cono. Figure: De izquierda a derecha: circunferencia, elipse, parábola, hipérbola 2 / 6
- 3. Definición La circunferencia La elipse La hipérbola La parábola La circunferencia La circunferencia C en el plano xy de radio r y centro C(h, k) es el conjunto de todos los puntos de este plano que están a distancia r del punto C, es decir C = {(x, y) : dist((x, y), (h, k)) = r} = {(x, y) : (x − h)2 + (y − k)2 = r2 }. La ecuación en forma estándar de C es (x − h)2 + (y − k)2 = r2, la cual se puede llevar a la forma general Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con A = C = 1. 3 / 6
- 4. Definición La circunferencia La elipse La hipérbola La parábola La elipse La elipse horizontal E en el plano xy con centro C(h, k) y focos F1 y F2 es el conjunto de todos los puntos de este plano cuyas distancias a los puntos F1 y F2 suman la constante 2a, es decir, E = {(x, y) : dist((x, y), F1)+dist((x, y), F2) = 2a} = (x, y) : (x − h)2 a2 + (y − k)2 a2 − c2 = 1 , donde c = dist(F1, C) = dist(F2, C). La ecuación en forma estándar de E es (x−h)2 a2 + (y−k)2 a2−c2 = 1, la cual se puede llevar a la forma general Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con AC > 0. Análogamente, si E es vertical, entonces su ecuación es (x−h)2 a2−c2 + (y−k)2 a2 = 1. 4 / 6
- 5. Definición La circunferencia La elipse La hipérbola La parábola La hipérbola La hipérbola horizontal H en el plano xy con centro C(h, k) y focos F1 y F2 es el conjunto de todos los puntos de este plano cuyas distancias a los puntos F1 y F2 restan la constante 2a, es decir, E = {(x, y) : |dist((x, y), F1)−dist((x, y), F2)| = 2a} = (x, y) : (x − h)2 a2 − (y − k)2 a2 − c2 = 1 , donde c = dist(F1, C) = dist(F2, C). La ecuación en forma estándar de E es (x−h)2 a2 − (y−k)2 a2−c2 = 1, la cual se puede llevar a la forma general Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con AC < 0. Análogamente, si E es vertical, entonces su ecuación es − (x−h)2 a2−c2 + (y−k)2 a2 = 1. 5 / 6
- 6. Definición La circunferencia La elipse La hipérbola La parábola La parábola La parábola horizontal P en el plano xy con vértice V (h, k) y foco F es el conjunto de todos los puntos de este plano cuyas distancias al punto F y a la recta L : x = k − a, donde a = dist(C, F), es decir, P = {(x, y) : |dist((x, y), F) = dist((x, y), L)|} = (x, y) : 4a(x − h) = (y − k)2 , donde la P se abre a derecha si a > 0 y a izquierda si a < 0. La ecuación en forma estándar de P es 4a(x − h) = (y − k)2, la cual se puede llevar a la forma general Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con AC = 0. Análogamente, si E es vertical, entonces su ecuación es y − k = 4a(x − h)2. 6 / 6