Cap4

Cap´
ıtulo 4

Derivadas e Integrales

4.1. Introducciń a la derivaciń
o o
En este cap´ ıtulo presentaremos los conceptos m´s b´sicos del c´lculo diferencial e
a a a
integral. Este cap´ıtulo se divide en dos grandes partes. La primera parte que trata con
el concepto de la derivada, y la segunda parte que introduce el concepto de la integral.
Adem´s, se ver´ el nexo que existe entre ambos conceptos a trav´s de un muy importante
a a e
teorema.

4.1.1. Derivada de una funciń
o
Si tuvi´semos que definir a la derivada de una funciń en pocas palabras, dir´
e o ıamos
que representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una funciń nos dice, de
o
alguna manera, cuńto cambia la funciń(variable dependiente) a medida que cambia la
a o
variable independiente. La derivada de una funciń nos dir´ si una funciń crece o decrece
o a o
r´pidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una funciń, mejor
a o
comenzaremos describiendo el significado geom´trico que tiene, para luego definirla m´s
e a
correctamente.

Significado geom´trico de la derivada
e
Consideremos una funciń lineal como f (x) = mx+n. Sabemos que la pendiente de la
o
recta descrita por esta funciń es constante e igual a m. Es decir, la tasa de crecimiento de
o
esta funciń es constante y vale m. Decimos que la derivada de esta funciń es constante
o o
para todo x y vale m.
Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la funciń cuadr´tica f (x) = x2 . Cu´l es la
o a a
tasa de crecimiento de esta funciń. Al graficar esta funciń(una par´bola) nos damos
o o a
cuenta que su tasa o ritmo de crecimiento no es constante. A medida que nos alejamos del
origen a lo largo del eje x hacia la derecha, esta funciń crece y crece cada vez m´s r´pido.
o a a
¿Como poder medir m´s cuantitativamente esta tasa de crecimiento? Consideremos los
a
siguientes dos puntos de la par´bola:
a

P1 (1, f (1)) = P1 (1, 1)

112 Derivadas e Integrales

P2 (2, f (2)) = P2 (2, 4)
Una buena manera de medir cuanto cambia la funciń f (x) al ir de x = 1 a x = 2 es
o
calcular la pendiente de la recta que une los puntos (1, 1) y (2, 4). Dicha pendiente vale:

4−1
m= =3
2−1
Esta pendiente representa la tasa de crecimiento ”promedio”de la funciń al ir de x = 1
o
a x = 2 ya que la funciń crecer´ m´s lentamente cerca de x = 1 y m´s r´pidamente
o a a a a
cerca de x = 2. ¿Como poder saber, de mejor manera cuanto crece f (x) cerca de x = 1.
Fćil. Consideremos un punto m´s cercano que P2 al punto P1 . A decir, consideremos el
a a
punto
P3 (1,5, f (1,5)) = P3 (1,5, 2,25)
Repitiendo el c´lculo para la pendiente promedio entre los puntos P1 y P3 , encontramos
a
que:
2,25 − 1 1,25
m= = = 2,5
1,5 − 1 0,5
Notemos que al ir considerando un punto, llamado Pk , cada vez m´s cercano a P1 , la
a
recta que une P1 con Pk se asemeja cada vez m´s con la recta tangente a P1 . Decimos
a
que en el l´
ımite, la recta que une los puntos P1 y Pk es la recta tangente a la curva en P1 .

4

3

recta tangente
a y=x2 en P1
2

1

P1
-2 -1 1 2

´
Definicion 1 (geometrica de derivada) La derivada de una funciń f (x) en x◦ se
o
define como la pendiente de la recta tangente al gr´fico de f (x) en el punto (x◦ , f (x◦ )).
a

4.1.2. Nociń de l´
o ımite
Entender el concepto de l´ımite es fundamental en cualquier curso serio de c´lculo.
a
Sin ir m´s all´, la derivada es un l´
a a ımite. Pero, ¿ qu´ es un l´
e ımite ? Al estudiar series
ya introducimos, sin darnos cuenta, la nociń de l´
o ımite. Por ejemplo, consideremos la
siguiente suma :
1 1 1 1
Sn = + + + · · · + n
2 4 8 2
¿Qu´ pasaba si n crec´ al infinito? Esta suma se transformaba en una serie geom´trica
e ıa e
cuyo valor sabemos que es 1. Matem´ticamente, esto se expresa como:
a

l´ Sn = 1
ım
n→∞

4.1 Introducciń a la derivaciń
o o 113

x f(x)
±1 0.8415
± 0.5 0.9589
± 0.1 0.9983
± 0.05 0.9996
± 0.01 0.9999

Este es un caso particular de l´
ımite.
De modo m´s general, decimos que el l´
a ımite de una funciń f (x) cuando x tiende a a es
o
L, si al acercarnos a x=a podemos hacer que f(x) se acerque a L tanto como queramos.
Esto se anota matem´ticamente as´
a ı:

l´ f (x) = L
ım
x→a

Nota: No es necesario que f (a) exista o este definido para que l´ x→a f (x) exista.
ım

Ejemplo 4.1.1 Sea c una constante cualquiera, entonces

l´ c = c
ım
x→a

l´ c · x = c · a
ım
x→a

Ejemplo 4.1.2
1
l´
ım =0
x→∞ x
Si bien es cierto el valor de 1/x para cualquier x real es distinto de 0, podemos hacer
que 1/x se acerque a cero tanto como queramos tomando valores de x lo suficientemente
grandes.

Ejemplo 4.1.3
sin(x)
l´
ım =1
x→0 x
En el ejemplo anterior, justificamos el valor del l´
ımite pero no dimos una demostraciń
o
rigurosa de su valor porque en parte no contamos con la teor´ completa. Justificaremos
ıa
el valor del ultimo l´
´ ımite con ayuda de una calculadora aunque debemos decir que esto
no constituye una demostraciń en s´
o ı.
A partir de esta tabla observamos claramente que existe una tendencia por parte de
f (x) = sin(x) a acercarse a 1 a medida que x se acerca a 0.
x

Propiedades de linealidad del l´
ımite :

l´ cf (x) = c l´ f (x)
ım ım
x→a x→a

l´ [f (x) + g(x)] = l´ f (x) + l´ g(x)
ım ım ım
x→a x→a x→a


Ejemplo 4.1.4 Sea :
x2 − 1
f (x) =
x−1
Calcular el valor de:
l´ f (x)
ım
x→1

Soluciń : El valor de f (1) no esta definido ya que tras una simple evaluaciń obten-
o o
emos:
0
f (1) =
0
Pero notemos que :
(x + 1)(x − 1)
f (x) = = x + 1 ,x = 1
x−1
Entonces:
l´ f (x) = l´ x + 1 = 2
ım ım
x→1 x→1

Definicion 2 (formal de derivada) La derivada de una funciń f (x) evaluada en
o
un punto x◦ se define como:

f (x◦ + h) − f (x◦ )
l´
ım
h→0 h
Otra definiciń equivalente de la misma derivada es la siguiente :
o

f (x) − f (x◦ )
l´
ım
x→x◦ x − x◦
Notaciń :
o
La derivada de y = f (x) en x◦ se denota por:

dy
= f (x◦ )
dx x◦

Ejemplo 4.1.5 Calculemos la derivada de f (x) = x2 evaluada en x = x◦

d 2 (x◦ + h)2 − x2◦
(x ) = l´
ım
dx x◦ h→0 h
x2 + 2x◦ h + h2 − x2
ım ◦
= l´ ◦
h→0 h
(2x◦ h + h2 )
= l´
ım
h→0 h
= l´ (2x◦ + h)
ım
h→0
= 2x◦

4.1 Introducciń a la derivaciń
o o 115

Hemos definido la derivada de una funciń en un punto cualquiera x◦ . Entonces,
o
ahora es natural querer considerar o construir la siguiente funciń:
o

´
Definicion 3 (de la funcion derivada) La funciń derivada (de otra funciń) se
o o
define punto a punto como sigue:

f (x + h) − f (x)
f (x) = l´
ım
h→0 h
Hagamos notar que no hemos dicho nada acerca de si h puede tomar solo valores positivos
o no al irse acercńdose a cero en el l´
a ımite. Esto nos lleva a definir dos clases distintas de
derivadas (y de l´ımites). Si h en 3 tiende a cero tomando solo valores positivos, entonces
la derivada se denomina derivada por la derecha. A su vez, si h tiende a cero tomando
solo valores negativos, entonces la derivada se denomina derivada por la izquierda. Para
que una funciń se diga derivable en un punto, debe estar definida su derivada por la
o
izquierda y su derivada por la derecha en ese punto y ambas deben ser iguales. Para que
una funciń se diga derivable, debe ser derivable en todo punto. No todas las funciones
o
son derivables.

Ejemplo 4.1.6 Consideremos la funciń f (x) = |x|. Esta funciń no es derivable porque
o o
para x = 0 su derivada por la izquierda es distinta a su derivada por la derecha. De
hecho, en x = 0 la derivadas por la izquierda y por la derecha de f (x) valen −1 y 1
respectivamente.

Ejemplo 4.1.7 La funciń derivada de la funciń f (x) = x2 es:
o o

f (x) = 2x

Demostraciń: Directa a partir de la definiciń de funciń derivada y del ejemplo 4.1.5.
o o o
Notaciń : La derivada de la derivada de una funciń, o simplemente la segunda
o o
derivada de una funciń, se anota como sigue:
o

d d d2
f (x) = f (x) = f (x)
dx dx dx2
´
De igual modo, podemos hablar de la derivada n-esima de una funciń f (x). Esta debe
o
entenderse como una funciń proveniente de f (x) despu´s de haberla derivado n veces
o e
seguidas.


4.2. Reglas importantes para derivar
Como el lector ya deber´ poseer una comprensiń b´sica del significado de la funciń
ıa o a o
derivada, a continuaciń enunciaremos una serie de reglas prćticas para derivar las
o a
funciones m´s importantes. No abordaremos las demostraciones te´ricas de estas reglas
a o
no porque sea dif´
ıciles sino simplemente porque no deseamos extendernos demasiado.

4.2.1. Derivadas de funciones b´sicas
a

y(x) = k ⇒ y (x) = 0
y(x) = mx ⇒ y (x) = m
n
y(x) = x ⇒ y (x) = nxn−1
y(x) = ex ⇒ y (x) = ex
y(x) = ax ⇒ y (x) = ax ln a
y(x) = ln x ⇒ y (x) = 1/x
y(x) = sin x ⇒ y (x) = cos x
y(x) = cos x ⇒ y (x) = − sin x

4.2.2. Propiedades de linealidad de la derivada
Sea c una constante cualquiera, entonces:

y(x) = cf (x) ⇒ y (x) = cf (x)

y(x) = f (x) ± g(x) ⇒ y (x) = f (x) ± g (x)

Derivada de un producto de funciones
La derivada de una producto de funciones es como sigue:

d d d
[f (x) · g(x)] = f (x) · g(x) + f (x) · g(x)
dx dx dx

Ejemplo 4.2.1 Calcular la derivada de f (x) = x sin(x).

d d d
[x · sin(x)] = x · sin(x) + x · sin(x) = sin(x) + x cos(x)
dx dx dx

Derivada de un cuociente de funciones

d d
d f (x)
= dx f (x) · g(x) − f (x) dx g(x)
dx g(x) [g(x)]2

4.2 Reglas importantes para derivar 117

Ejemplo 4.2.2 Calcular la derivada de f (x) = tan(x)

d d
d
tan(x) =
d sin(x)
= dx sin(x) · cos(x) − sin(x) dx cos(x) = cos(x) · cos(x) − sin(x) [− sin(x)]
dx dx cos(x) [cos(x)]2 [cos(x)]2

cos2 (x) + sin2 (x) 1
= 2 (x)
= = sec2 (x)
cos cos2 (x)

Derivada de una composiciń de funciones. Regla de la cadena
o

d d d
g(f (x)) = g(x) · f (x)
dx dx f (x) dx

Ejemplo 4.2.3 Calcular la derivada de sin(x2 )

d d d 2
sin(x2 ) = sin(x) · x = cos(x2 ) · 2x
dx dx x2 dx

Ejercicio 4.2.1 Verificar que las funciones y(x) = sin(wx) e y(x) = cos(wx) satisfacen
la ecuaciń diferencial:
o
y(x) + w2 y(x) = 0 (4.1)
Concluir que la funciń :
o
y(x) = A sin wx + B cos wx
donde A y B son constantes arbitrarias, tambiń satisface la ecuaciń 4.1. Se dice que
e o
la funciń y(x) es la soluciń general de la ecuaciń 4.1
o o o
Nota: La ecuaciń diferencial 4.1 es muy importante. en general, este tipo de ecuaciones
o
llevan el nombre de ecuaciones diferenciales. Una ecuaciń diferencial es una ecuaciń
o o
en donde figura una funciń f (x) junto con algunas de sus derivadas. En este tipo de
o
ecuaciones, la soluciń no es un valor real como en una ecuaciń algebraica, sino que la
o o
soluciń de la ecuaciń es una funciń !.
o o o


4.2.3. Aplicaciones de la derivada
En esta secciń abordaremos algunas aplicaciones b´sicas de la derivada en algunos
o a
problemas de matem´ticas y f´
a ısica.

Ejemplo 4.2.4 Calcular la ecuaciń de la recta tangente a la curva descrita por la
o
funciń f (x) = x3 + 3x2 − 5 en el punto de abcisa x = 1.
o
Soluciń : Sabemos que la pendiente de dicha recta es igual a:
o

d 3
m = (x + 3x2 − 5)
dx x=1
2
= 3x + 6x
x=1
= 3+6
= 9

Ahora conocemos la pendiente de la recta. Solo basta conocer un punto de la recta para
poder determinar la ecuaciń punto-pendiente de la recta. Sabemos que un punto de la
o
recta corresponde a (1, f (1)).

f (1) = 1 + 3 − 5 = −1

Entonces, la ecuaciń de la recta buscada es :
o

y + 1 = 9(x − 1)

4.2.4. Cinem´tica en una dimensiń
a o
La cinem´tica se encarga de describir, con el uso de las matem´ticas, el movimiento
a a
de los cuerpos. Para tal efecto, las medidas de distancia y de tiempo son esenciales.
Consideraremos un mundo de una dimensiń(espacial),en donde se necesita una sola
o
coordenada para describir la posiciń de un cuerpo en el espacio. Si queremos saber
o
en donde se encuentra un cuerpo, debemos medir su distancia con respecto a algń u
origen arbitrario que supondremos inm´vil. Pero si el cuerpo se halla en movimiento, la
o
distancia entre este cuerpo y el origen var´ con respecto al tiempo.
ıa

Definicion 4 La velocidad es la tasa de cambio de la posiciń de un m´vil con respecto
o o
al tiempo. M´s precisamente, supongamos que contamos con una funciń x(t) que nos
a o
entrega la posiciń de un m´vil con respecto a un punto fijo O en funciń del tiempo.
o o o
Entonces, llamamos velocidad instantńea del m´vil (con respecto a O) a:
a o

d
v(t) = x(t)
dt

Definicion 5 La aceleraciń es la tasa de cambio de la velocidad de un m´vil con
o o
respecto al tiempo. M´s precisamente, supongamos que contamos con una funciń v(t)
a o

4.2 Reglas importantes para derivar 119

que nos entrega la velocidad de un m´vil en funciń del tiempo. Entonces, llamamos
o o
aceleraciń instantńea del m´vil a:
o a o
d d2
a(t) = v(t) = 2 x(t)
dt dt
Ejemplo 4.2.5 Calcula la velocidad y aceleraciń de un m´vil cuya posiciń est´ de-
o o o a
scrita por :
x(t) = 5t2 + 12t + 3
Soluciń :
o

v(t) = x (t) = (5t2 + 12t + 3) = (5t2 ) + (12t) + (3) = 10t + 12

a(t) = v (t) = (10t + 12) = (10t) + (12) = 10

4.2.5. Optimizaciń en una variable
o
Una de las aplicaciones del c´lculo diferencial o de derivadas es encontrar los puntos
a
en donde una funciń alcanza valores m´ximos o m´
o a ınimos. Geom´tricamente, es fćil ver
e a
que la pendiente de la recta tangente a esos puntos es cero. Por lo tanto, si una funciń
o
alcanza un valor m´ximo o m´
a ınimo en un punto, entonces la derivada de la funciń en
o
ese punto deber´ ser nula.
a

Ejemplo 4.2.6 Calcular el valor m´ınimo de f (x) = x2 + 8x − 1.
Soluciń: Calculemos la derivada de f (x):
o

f (x) = 2x + 8

Ahora impongamos que f (x) = 0:

f ‘(x) = 2x + 8 = 0 ⇒ x=4

f (4) = 42 + 8 · 4 − 1 = 47
El valor m´
ınimo de f (x) es 47.
Observaciones:
Que una funciń tenga un punto extremo (un m´ximo o un m´
o a ınimo) en un punto implica
que la derivada de la funciń en ese punto es cero, pero la afirmaciń rec´
o o ıproca no es
cierta: que la derivada de una funciń se anule en un punto no implica que la funciń
o o
tenga un punto extremo en ese punto.

Ejemplo 4.2.7 Consideremos la funciń f (x) = x3 :
o

⇒ f (x) = 3x2 = 0 ⇒ x=0

La derivada de f (x) = x3 en x = 0 vale cero, pero la funciń NO tiene un valor extremo
o
en ese punto.


20

10

-10 -5 5 10

-10

-20

Para saber mejor que sucede con una funci´n f (x) en un punto x = a donde su derivada
o
se anula (f (a) = 0), calculamos la segunda derivada de la funci´n y la evaluamos en ese
o
punto.

1. Si f (a) > 0 entonces f (x) alcanza un valor m´
ınimo ”local”en torno a x = a

2. Si f (a) < 0 entonces f (x) alcanza un valor m´ximo ”local”en torno a x = a
a

3. Si f (a) = 0 entonces no podemos decir nada acerca del comportamiento de f (x)
en torno a x = a

4.3 Introducciń a la integraciń
o o 121

4.3. Introducciń a la integraciń
o o
Esta secciń tratar´ de los aspectos b´sicos del c´lculo integral. Pero nuevamente,
o a a a
tal como hicimos con la secciń de c´lculo diferencial, abordaremos el tema de un mo-
o a
do prćtico y no te´rico. Comenzaremos definiendo el concepto de la integral (o inte-
a o
gral definida) y luego introduciremos el concepto de la primitiva (o anti-derivada). La
definiciń de integral definida que presentaremos (tambiń conocida como integral de
o e
Riemman) no tiene relaciń alguna con lo que hemos visto de c´lculo diferencial. Las
o a
primitivas, en cambio, tiene directa relaciń con lo que es el c´lculo diferencial o de
o a
derivadas. Adem´s, veremos que existe un teorema, el Teorema Fundamental del C´lcu-
a a
lo (TFC), que relaciona el concepto de integral con el de primitiva, por lo cual tambiń
e
se le otorga a esta ultima el nombre de integral indefinida. Calcular una integral puede
´
resultar sumamente dif´ ıcil, pero si la relacionamos con una primitiva a trav´s del TFC,
e
el c´lculo puede ser directo.
a

4.3.1. La integral definida
Consideremos una funciń f (x). S´lo a modo de ilustraciń, consideraremos que la
o o o
funciń f (x) es creciente. Queremos encontrar una manera de calcular el ´rea encerrada
o a
entre la funciń f (x), el eje x y las rectas x = a y x = b. Para tal efecto hagamos lo
o
siguiente:

Consideremos el intervalo [a, b] de las abscisas. Dividamos el intervalo para [a, b]
en n sub-intervalos m´s pequeõs y de igual tamaõ h = (b − a)/n. El intervalo
a n n
i-´simo resulta ser:
e
[a + h(i − 1), a + hi] donde i ∈ {1, 2, . . . , n}

Dividamos nuestra ´rea en pequeõs rectangulitos de base h y altura f (a + h(i −
a n
1)), i ∈ {1, 2, . . . , n} de tal manera que la suma de las areas de estos rectangulitos
sea un poco inferior al area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos
I− (x).

y

area achurrada
f(a) = I-

a h x

Dividamos nuestra ´rea en pequeõs rectangulitos de base h y altura f (a+hi), i ∈
a n
{1, 2, . . . , n}de tal modo que la suma de las areas de estos rectangulitos sea un poco
superior a la area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos I+ (x).


y

area achurrada
f(a) = I+

a h x

Si resulta que
l´ I− = l´ I+ = I = ∞
ım ım
h→0 h→0

ımite ”la integral de f (x) a dx entre x=a y x=b se
entonces se denomina a este l´ 2

denota:
b
I= f (x)dx
a

Ejemplo 4.3.1 Calcular la integral de f (x) = x entre x = 0 y x = b.
Soluciń: Dividamos el intervalo [0,b] en n partes iguales de longitud h = b/n mediante
o
los puntos {0, h, 2h, . . . , b}. Entonces, la integral definida entre x = 0 y x = b es:

b n−1 n
xdx = l´
ım h · ih = l´
ım h · ih
0 h→0 h→0
i=0 i=1

N´tese que hemos expresado la integral como
o

l´ I− (x) y adem´s como l´ I+ (x)
ım a ım
h→0 h→0

Calculemos primero el primer l´
ımite:

n−1 n−1
(n − 1)n (hn)2 hn · h
l´ I− (x) = l´
ım ım h · ih = l´ h2
ım ·i = l´ h2
ım = l´
ım −
h→0 h→0
i=0
h→0
i=0
h→0 2 h→0 2 2

pero como hn = b entonces

b2 bh
l´ I− (x) =
ım l´
ım −
h→0 h→0 2 2
b2
=
2

Queda propuesto al lector verificar que tambiń se tiene que:
e

b2
l´ I+ (x) =
ım
h→0 2

4.3 Introducciń a la integraciń
o o 123

4.3.2. La integral indefinida o primitiva
La derivaciń puede ser vista como un operador que toma una funciń f (x) y retorna
o o
su funciń derivada f (x). ¿Existir´ el proceso inverso? Es decir, ¿existir´ algń operador
o a a u
que tome la funciń f (x) y retorne f (x) ? Este proceso inverso existe y se denomina
o
integraciń indefinida,c´lculo de primitivas o de anti-derivadas.
o a

Definicion 6 Sea F (x) una funciń diferenciable con derivada f (x). Sea, adem´s, C
o a
una constante real cualquiera. Entonces se denomina primitiva o integral indefinida de
f (x) a la funciń F (x) + C. La primitiva de f (x) se anota:
o

f (x)dx = F (x) + C = funciń que al derivarla entrega f(x)
o

Observaciń: N´tese que al pedir la primitiva de f (x) se busca una funciń tal que
o o o
al derivarla entregue f(x). Sabemos, por el enunciado, que la funciń F (x) cumple con
o
tal condiciń. Pero F (x) no es la unica funciń que cumple con la condiciń. A decir
o ´ o o
verdad, la funciń F (x) + C, donde C una constante cualquiera, tambiń cumple con la
o e
condiciń (ya que la derivada de una constante es cero).
o

4.3.3. Primitivas importantes

kdx = kx + C
xn+1
xn dx = +C
n+1
ex dx = ex + C
ax
ax dx = +C
ln a
1
dx = ln x + C
x
sin xdx = − cos x + C

cos xdx = sin x + C

4.3.4. Propiedades de las primitivas

cf (x)dx = c f (x)dx

[f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx


Ejemplo 4.3.2
x3 7x6
[x2 − 7x5 + 2 sin x]dx = x2 dx − 7 x5 dx + 2 sin xdx = + − 2 cos x + C
3 6

4.3.5. El Teorema Fundamental del C´lculo (TFC)
a
Si bien las integrales(definidas) y las primitivas se definieron de manera completa-
mente distinta, existe un poderoso teorema que relaciona ambos conceptos. Este teorema
nos permite calcular integrales dif´
ıciles calculando muy fćilmente una primitiva.
a

´
Teorema 4.3.1 (Fundamental del Calculo) Sea F (x) una funciń diferenciable
o
con derivada f (x). Es decir, F (x) es una primitiva de f (x). Entonces,
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a

Notaciń : Sea F(x) una funciń. Entonces se utiliza mucho la siguiente notaciń:
o o o

F (x)|b ≡ F (b) − F (a)
a

Corolario (de la notaciń)
o
b
f (x)dx = F (x)|b
a
a

Ejemplo 4.3.3 Calcular la integral
5
x2 dx
1

Soluciń: Si bien esta integral se puede calcular usando sumatorias y tomando el l´
o ımite
(hacerlo como ejercicio), una manera mucho m´s fćil es hacerlo empleando el TFC.
a a
Sabemos que una primitiva de f (x) = x2 es F (x) = x3 /3 + C. Entonces, segń el TFC,
u
5
x2 dx = F (5) − F (1) = (53 /3 + C) − (13 /3 + C) = 125/3 − 1/3 = 124/3
1

4.4 Aplicaciones de la integral 125

4.4. Aplicaciones de la integral
4.4.1. C´lculo de ´reas
a a
Ejemplo 4.4.1 Hallar el ´rea entre las curvas y = x2 + 1 e y = 9 − x2
a
Soluciń : Grafiquemos ambas funciones:
o

y
8 y=x2+1

6

4

2
y=9-x2
-2 -1 1 2
x

Encontremos los puntos de intersecciń de ambos gr´ficos:
o a
y = x2 + 1
y = 9 − x2
Resolviendo este sistema, encontramos que:
x2 + 1 = 9 − x2 ⇒ 2x2 = 8 ⇒ x = ±2
Luego, el ´rea entre ambos gr´ficos corresponde a:
a a
2 2 2
[(9 − x2 ) − (x2 + 1)]dx = [8 − 2x2 ]dx = 8dx − 2 2x2 dx
−2 −2 −2 −2
2
x3
= 8 · (2 − (−2)) − 2 = 32 − 2 · [8/3 − (−8/3)] = 32 − 32/3 = 64/3
3 −2

4.4.2. Cinem´tica en una dimensiń
a o
En la secciń de derivaciń ya vimos que la derivada con respecto al tiempo de la
o o
posiciń de un m´vil es su velocidad y que la derivada con respecto al tiempo de la
o o
velocidad de un m´vil es su aceleraciń. Ahora que conocemos la integrar podemos decir
o o
que:
v(t) = a(t)dt + C1

x(t) = v(t)dt + C2
Las constantes de integraciń C1 y C2 pueden determinarse conociendo la velocidad y
o
posiciń del m´vil en un instante dado.
o o

Ejemplo 4.4.2 Calcular la posiciń y velocidad de un m´vil sabiendo que a(t) = 2t + 1,
o o
v(0) = 0, x(0) = 3.
Soluciń : Sabemos que:
o

v(t) = a(t)dt + C1 = [2t + 1]dt + C1 = t2 + t + C1


Evaluando la condiciń v(0)=0 obtenemos:
o

v(0) = C1 = 0

Por tanto, la velocidad del m´vil es:
o

v(t) = t2 + t

Calculemos ahora su posiciń :
o

x(t) = v(t)dt + C2 = [t2 + t]dt + C2 = t3 /3 + t2 /2 + C2

Evaluando la condiciń x(0) = 3 obtenemos :
o

x(0) = C2 = 3

Por lo tanto, la posiciń del m´vil es:
o o

x(t) = t3 /3 + t2 /2 + 3

4.5 Problemas propuestos 127

4.5. Problemas propuestos
4.5.1. Derivadas y sus aplicaciones
1. Derivar:

a) y = 1 x4 − 2x2
4
b) y = (x2 − 1)(x3 − 5x2 − 7)
c) y = 2 sin x + 3 cos x
d ) y = (x − 1)(x − 3)(x − 5)
e) y = (2x − 1)3

2. Para la siguiente funciń, analizar crecimiento, m´ximos y m´
o a ınimos.

y = x3 − 9x2 + 20x − 8

Adem´s, determinar todos los puntos de la curva representada por la funciń an-
a o
terior donde la normal es perpendicular a la recta de ecuaciń 4x + y = 3.
o

3. Hallar todos los puntos para los cuales la tangente a la curva descrita por la
siguiente funciń es paralela al eje x :
o

y = x4 − 2x3 + 1

4. Probar que la ecuaciń de la recta normal a la curva
o

y = 3 − x2

en el punto de abscisa x = a es:

x − 2ay + a(5 − 2a2 ) = 0

y hallar los puntos de la par´bola cuyas normales pasan por el punto (0,2).
a

5. Un autom´vil recorre un camino rectil´
o ıneo, partiendo del reposo en un punto O a
las 9◦◦ hrs, pasa por otro punto A despu´s de una hora y se detiene en un tercer
e
punto B. La distancia s en kil´metros al punto de partida despu´s de t horas de
o e
camino est´ dada por
a
s = 60t2 − 10t3
Hallar :

a) La hora de llegada a B
b) La distancia entre A y B
c) La velocidad media entre A y B
d ) La velocidad m´xima y a qu´ hora la alcanza.
a e


6. Para la siguiente funciń, resuelva la ecuaciń f (x) = 0 y halle el conjunto de
o o
valores para los cuales f (x) es menor o igual que cero.

f (x) = x3 − 2x2 − 4x + 7

7. Un invasor extraterrestre se acercaba al planeta Tierra de manera que su distancia
en kil´metros desde la superficie de la Tierra en el momento t despu´s de ser
o e
descubierto era
s(t) = 50t3 − 300t2 + 4050

Afortunadamente, fue enviado de vuelta al espacio por fuerzas de antigravedad.

a) Halle la velocidad y aceleraciń del invasor extraterrestre correspondiente al
o
tiempo t.
b) ¿Cuńdo era su velocidad cero?
a
c) ¿Cuńdo era su aceleraciń cero?
a o
d ) ¿En qu´ tiempo se acercaba a la Tierra?
e
e) ¿Cuńdo se acercaba a tierra con mayor velocidad y cu´l era esa velocidad?
a a
f ) Calcule la menor distancia entre el invasor extraterrestre y la superficie de la
tierra.
g) Encuentre los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad estaba aumen-
tando, y en los cuales la velocidad estaba disminuyendo.
h) Usando lo anterior, grafique el movimiento, en el intervalo t[0, 5]

8. Considere a un atleta que quiere ir desde el punto A hasta el punto B atravesando
los medios I y II como se indican en la figura. En el medio I el atleta se desplaza
con rapidez v1 y en el medio II se desplaza con velocidad v2 . El atleta quiere llegar
del punto A hasta el punto B en el tiempo m´ ınimo. Demuestre que esto lo puede
conseguir siguiendo el camino que se indica en la figura, donde los ńgulos θ1 y θ2
a
obedecen la ley de Snell:
sin θ1 v1
=
sin θ2 v2
Nota: La luz, de acuerdo al Principio de Fermat de seguir el camino m´s r´pido
a a
entre dos puntos, obedece la ley de Snell al refractarse.

A

θ2 v2

v1 θ2

B

4.5 Problemas propuestos 129

4.5.2. Integrales y sus aplicaciones
1. En cada uno de los casos siguientes hallar y = f (x) y verificar la respuesta por
derivaciń:
o
dy
a) dx = f (x) = 4x − 3 y f (0) = −9
dy
b) dx = f (x) = 12x2 − 24x + 1 y f (1) = −2
dy
c) dx = f (x) = 3 cos x + 5 sin x y f (0) = 4
dy 2
d) dx = f (x) = 3ex − x y f (1) = 0

2. a) Una part´ ıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = 3 − 2t en
metros/segundo. Hallar la funciń que determina su posiciń s en t´rminos
o o e
de t si para t = 0, s = 4m.
b) Una part´ ıcula se est´ moviendo sobre una recta con aceleraciń dada por
a o
a(t) = t2 −t en metros/segundo2 . Hallar la funciń velocidad v(t) y la funciń
o o
s(t) si s(0) = 0 y s(6) = 12.

3. Calcular:

a)
7
(6 − 2x)dx
−2

b)
1
(x3 − 5x4 )dx
0

c)
π/2
cos t + 2 sin t)dt
0

d)
4 3
dx
1 x
e)
1
8et dt
0

4. Calcular el ´rea limitada por:
a

a) La curva y = x2 − x y el eje x
b) Las curvas y = 4x2 e y = x2 + 3
c) La curva y = sin x y la recta y = x
d ) La curva y = ex , el eje y y la recta y = 4


5. Una part´ıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = t2 − t en m/seg. De-
terminar el desplazamiento durante los primeros 5 segundos. ¿Cu´l es la distancia
a
recorrida en ese intervalo de tiempo?

6. Determinar el ´rea limitada por las curvas:
a

y = 2x2 e y = 12x2 − x

7. Un punto M se mueve sobre una recta con aceleraci´n a(t) = 2t − 4. Cuando t = 0,
o
M est´ en el origen y su velocidad es de 3m/s. Calcular la velocidad de M en cada
a
instante t. Probar que cuando t = 1s el punto M comienza a devolverse al origen
y calcular su distancia al origen en ese instante.

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