Clase 11 CDI
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Este documento trata sobre el cálculo diferencial e integral y sus aplicaciones en ingeniería. Explica conceptos como el área de una región, la integral definida y cómo usar sumas de Riemann para aproximar el área bajo una curva. También presenta fórmulas para calcular áreas usando polígonos inscritos y circunscritos, y evalúa una integral definida como ejemplo.
![ÁREA POR MEDIO DE POLÍGONOS
INSCRITOS
Consideremos la región R acotada por:
• Una parábola.
• El eje x
• La recta en x = 2
R es la región bajo la curva y = x2 entre
x = 0 y x = 2
A(R) = ?
Se divide el intervalo [0, 2] en n subintervalos, cada uno de longitud por
medio de los n + 1 puntos
2
x
n
=
0 1 2 10 2n nx x x x x−= =](https://image.slidesharecdn.com/clase11cdi-200730004939/85/Clase-11-CDI-13-320.jpg)
![LA INTEGRAL DEFINIDA
Función f(x)
[a, b]
Partición P de [a, b]
0 1 2 1n na x x x x x b−= =
1i i ix x x − = −
( )
1
n
P i i
i
R f x x
=
= SUMA DE RIEMANN](https://image.slidesharecdn.com/clase11cdi-200730004939/85/Clase-11-CDI-18-320.jpg)
![EJEMPLO
Evalúe la suma de Riemann para en el intervalo [-1, 2]; utilice la partición de puntos
igualmente espaciados -1 < -0.5 < 0 < 0.5 < 1 < 1.5 < 2 y tome como punto muestral al punto medio del
i-ésimo subintervalo
( ) 2
1f x x= +
ix
( )
6
1
P i i
i
R f x x
=
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.75 0.25 0.25 0.75 1.25 1.75 0.5f f f f f f= − + − + + + +
( )1.5625 1.0625 1.0625 1.5625 2.5625 4.0625 0.5= + + + + +
5.9375=](https://image.slidesharecdn.com/clase11cdi-200730004939/85/Clase-11-CDI-20-320.jpg)
![EJEMPLO
( )
3
2
3x dx
−
+
Dividimos en intervalo [-2, 3] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud . En cada
subintervalo utilícese como el punto de muestra.
5x n =
1,i ix x− i ix x=
0 2x = −
1
5
2 2x x
n
= − + = − +
2
5
2 2 2 2x x
n
= − + = − +
5
2 2ix i x i
n
= − + = − +
5
2 2 3nx n x n
n
= − + = − + =
( )
5
3 1i if x x i
n
= + = +
( ) ( )
1 1
n n
i i i
i i
f x x f x x
= =
=
1
5 5
1
n
i
i
n n=
= +
2
1 1
5 25
1
n n
i i
i
n n= =
= +
5 25 1
1
2
n
n n
= + +
25 1
5 1
2 n
= + +
](https://image.slidesharecdn.com/clase11cdi-200730004939/85/Clase-11-CDI-25-320.jpg)
![EJEMPLO
( )
3
2
3x dx
−
+
Dividimos en intervalo [-2, 3] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud . En cada
subintervalo utilícese como el punto de muestra.
5x n =
1,i ix x− i ix x=
25 1
5 1
2 n
= + +
P es una partición regular
( ) ( )
3
2 0
1
3 lim
n
i i
P
i
x dx f x x
− →
=
+ =
25 1
lim 5 1
2n n→
= + +
35
2
=
( ) ( )
1 1 35
1 6 5
2 2 2
A a b h= + = + =](https://image.slidesharecdn.com/clase11cdi-200730004939/85/Clase-11-CDI-26-320.jpg)
Clase 11 CDI
- 2. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL UNIDAD 3: APLICACIONES EN INGENIERÍA Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo Primero ‘B’ Carrera de Telecomunicaciones
- 4. INTRODUCCIÓN AL ÁREA 1. El área de una región plana es un número real no negativo 2. El área de un rectángulo es el producto de su largo por su ancho. 3. Regiones congruentes tienen áreas iguales. 4. El área de la unión de dos regiones que se traslapan solo en un segmento de recta es la suma de las áreas de las dos regiones. 5. Si una región está contenida en una segunda región, entonces el área de la primera es menor o igual que la de la segunda.
- 5. INTRODUCCIÓN AL ÁREA ( )( ) lim n n A círculo A P → =
- 6. NOTACIÓN SIGMA El enfoque para determinar el área de una región R, implica los siguientes pasos: 1. Aproximar la región R por medio de n rectángulos, en donde los n rectángulos tomados juntos contengan a R (polígono circunscrito), o bien que estén contenidos en R (polígono inscrito). 2. Determinar el área de cada rectángulo. 3. Sumar las áreas de los n rectángulos. 4. Tomar el limite cuando n→ ∞ Si el límite de las áreas de los polígonos inscritos y circunscritos es el mismo, a este límite le llamamos área de la región R. 2 2 2 2 2 1 2 3 4 100+ + + + + 1 2 3 4 na a a a a+ + + + + 100 2 1i i = 1 n i i a =
- 7. NOTACIÓN SIGMA 1 n i c nc = = TEOREMA: Linealidad de Sigma
- 8. EJEMPLO Suponga que Calcule 100 100 1 1 60 11.i i i i a y b = = = = ( ) 100 1 2 3 4i i i a b = − + ( ) 100 100 100 100 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4i i i i i i i i a b a b = = = = − + = − + 100 100 100 1 1 1 2 3 4i i i i i a b = = = = − + ( ) ( ) ( )2 60 3 11 100 4 487= − + =
- 9. EJEMPLO Suponga que Calcule 100 100 1 1 60 11.i i i i a y b = = = = ( ) 100 1 2 3 4i i i a b = − + ( ) 100 100 100 100 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4i i i i i i i i a b a b = = = = − + = − + 100 100 100 1 1 1 2 3 4i i i i i a b = = = = − + ( ) ( ) ( )2 60 3 11 100 4 487= − + =
- 10. EJEMPLO Demuestre que ( ) ( )2 22 1 1 1 1 n i i i n = + − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 1 2 1 3 2 4 3 1 1 n i i i n n n n = + − = − + − + − + + − − + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 1 222 22 22 2 2 21 141 13 3 n i i ni nnn = + − = − + + + + + + −− − −− ( ) ( )2 22 1 1 1 1 n i i i n = + − = + −
- 11. FÓRMULAS PARA ALGUNAS SUMAS ESPECIALES
- 12. EJEMPLO Encuentre una fórmula para ( )( ) 1 2 5 . n j j j = + − ( )( ) ( )2 2 1 1 1 1 1 2 5 3 10 3 10 n n n n n j j j j j j j j j j j = = = = = + − = − − = − − ( )( ) ( )1 2 1 1 3 10 6 2 n n n n n n + + + = − − 2 2 3 1 9 9 60 6 n n n n = + + − − − ( )2 3 34 3 n n n− − =
- 13. ÁREA POR MEDIO DE POLÍGONOS INSCRITOS Consideremos la región R acotada por: • Una parábola. • El eje x • La recta en x = 2 R es la región bajo la curva y = x2 entre x = 0 y x = 2 A(R) = ? Se divide el intervalo [0, 2] en n subintervalos, cada uno de longitud por medio de los n + 1 puntos 2 x n = 0 1 2 10 2n nx x x x x−= =
- 14. ÁREA POR MEDIO DE POLÍGONOS INSCRITOS. 0 0x = 1 2 x x n = = 2 4 2x x n = = 2 i i x i x n = = ( ) ( ) 1 2 1 1n n x n x n − − = − = 2 2n n x n x n = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 1n nA R f x x f x x f x x f x x−= + + + + ( ) 2 2 2 3 2 2 8 i i i f x x x x i n n n = = = ( ) 2 1 1i if x x− −= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 3 3 3 3 8 8 8 8 0 1 2 1nA R n n n n n = + + + + − ( ) ( )22 2 3 8 1 2 1nA R n n = + + + − ( ) ( ) ( ) 3 1 2 18 6 n n n n A R n − − =
- 15. ÁREA POR MEDIO DE POLÍGONOS INSCRITOS. ( ) ( ) ( ) 3 1 2 18 6 n n n n A R n − − = ( ) 3 2 3 8 2 3 6 n n n n A R n − + = ( ) 2 4 3 1 2 3 nA R n n = − + ( ) 2 8 4 4 3 3 nA R n n = − + ( ) ( ) 2 8 4 4 8 lim lim 3 3 3 n n n A R A R n n→ → = = − + =
- 16. ÁREA POR MEDIO DE POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS. ( ) ( ) ( ) ( )1 2n nA S f x x f x x f x x= + + + ( ) 2 2 2 3 2 2 8 i i i f x x x x i n n n = = = ( ) 2 1 1i if x x− −= ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 3 3 8 8 8 1 2nA S n n n n = + + + ( ) 2 2 2 3 8 1 2nA S n n = + + + ( ) ( )( ) 3 1 2 18 6 n n n n A S n + + =
- 17. ÁREA POR MEDIO DE POLÍGONOS INSCRITOS. ( ) 3 2 3 8 2 3 6 n n n n A S n + + = ( ) 2 8 4 4 3 3 nA S n n = + + ( ) ( ) 2 8 4 4 8 lim lim 3 3 3 n n n A R A S n n→ → = = + + = ( ) ( )( ) 3 1 2 18 6 n n n n A S n + + =
- 18. LA INTEGRAL DEFINIDA Función f(x) [a, b] Partición P de [a, b] 0 1 2 1n na x x x x x b−= = 1i i ix x x − = − ( ) 1 n P i i i R f x x = = SUMA DE RIEMANN
- 19. LA INTEGRAL DEFINIDA ( ) 1 n P i i i R f x x = =
- 20. EJEMPLO Evalúe la suma de Riemann para en el intervalo [-1, 2]; utilice la partición de puntos igualmente espaciados -1 < -0.5 < 0 < 0.5 < 1 < 1.5 < 2 y tome como punto muestral al punto medio del i-ésimo subintervalo ( ) 2 1f x x= + ix ( ) 6 1 P i i i R f x x = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.75 0.25 0.25 0.75 1.25 1.75 0.5f f f f f f= − + − + + + + ( )1.5625 1.0625 1.0625 1.5625 2.5625 4.0625 0.5= + + + + + 5.9375=
- 21. LA INTEGRAL DEFINIDA ( ) 1 n P i i i R f x x = =
- 22. LA INTEGRAL DEFINIDA DEFINICIÓN: Integral Definida
- 23. LA INTEGRAL DEFINIDA ( ) b arriba abajoa f x dx A A= − ( ) ( ) ( ) 0 , a a b a a b f x dx f x dx f x dx a b = = −
- 24. LA INTEGRAL DEFINIDA TEOREMA: Integrabilidad • Funciones Polinomiales. • Funciones Seno y Coseno. • Funciones Racionales con tal que el intervalo no contenga puntos que hagan cero al denominador.
- 25. EJEMPLO ( ) 3 2 3x dx − + Dividimos en intervalo [-2, 3] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud . En cada subintervalo utilícese como el punto de muestra. 5x n = 1,i ix x− i ix x= 0 2x = − 1 5 2 2x x n = − + = − + 2 5 2 2 2 2x x n = − + = − + 5 2 2ix i x i n = − + = − + 5 2 2 3nx n x n n = − + = − + = ( ) 5 3 1i if x x i n = + = + ( ) ( ) 1 1 n n i i i i i f x x f x x = = = 1 5 5 1 n i i n n= = + 2 1 1 5 25 1 n n i i i n n= = = + 5 25 1 1 2 n n n = + + 25 1 5 1 2 n = + +
- 26. EJEMPLO ( ) 3 2 3x dx − + Dividimos en intervalo [-2, 3] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud . En cada subintervalo utilícese como el punto de muestra. 5x n = 1,i ix x− i ix x= 25 1 5 1 2 n = + + P es una partición regular ( ) ( ) 3 2 0 1 3 lim n i i P i x dx f x x − → = + = 25 1 lim 5 1 2n n→ = + + 35 2 = ( ) ( ) 1 1 35 1 6 5 2 2 2 A a b h= + = + =
- 27. LA INTEGRAL DEFINIDA ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2A R A R R A R A R= = + ( ) ( ) ( ) c b c a a b f x dx f x dx f x dx= +
- 28. LA INTEGRAL DEFINIDA TEOREMA: Propiedad Aditiva para Intervalos
- 29. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO El Cálculo es el estudio de los límites Derivada Integral Definida ( ) ( ) ( ) 0 ' lim h f x h f x f x h→ + − = ( ) ( )0 1 lim nb i ia P i f x dx f x x → = =
- 30. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO TEOREMA: Primer Teorema Fundamental del Cálculo
- 31. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO TEOREMA: Propiedad de Comparación
- 32. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO TEOREMA: Propiedad de Acotamiento
- 33. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO TEOREMA: Linealidad de la Integral Definida
- 34. EJEMPLO 3 1 xd t dt dx Encuentre 3 3 1 xd t dt x dx = Determine 3 2 22 17 xd t dt dx t + 3 3 2 2 2 22 17 17 xd t x dt dx t x = + + Encuentre ( ) ( ) 4 2 3 tan cos , 2 2x d u u du x dx ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 4 tan cos tan cos x x d d u u du u u du dx dx = − ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 tan cos tan cos xd u u du x x dx = − = −
- 35. PREGUNTAS