Clase 2. unidad_2

Unidad 2 Números y Muestras Autor de la Presentación: Rolando Simon Titiosky Bibliografía: Ing Luis Zuloaga Rotta. Investigación de Operaciones, 2005. UNI FIIS, Peru. Guido J. Pace (UNNE FCENA). Modelos y simulación, 1993.

Números ALEATORIOS Y PSEUDOALEATORIOS Sucesiones de dígitos equiprobables, entre 0 y 9, ubicados aleatoreamente en toda su extensión. Una Variable aleatoria es una función de valor real, definida sobre un espacio muestral de naturaleza azarosa. El valor numérico resultante de un experimento, de una variable aleatoria, se llama número aleatorio.

Métodos De Generación Métodos manuales: Generación de números con artificio manuales: bolillas, patentes de los autos, guía telefónica Ventajas: Son aleatorios y son Simples, Desventajas: No reproducibles y Lentos Tablas de biblioteca: La mas importante: “A millón randon digist” editorial RAND, configurada con las radiaciones termoiónicas de un tubo de rayos catódicos. Ventaja: Provienen de un fenómeno aleatorio son reproducibles. Se las puede estudiar y analizar rigurosamente antes de ser utilizada. Desventaja: No se obtiene en tiempo real. Necesidades de memoria.

Métodos De Generación Métodos De Computación Analógica: Generados con procesos físicos aleatorios (Ej: una corriente eléctrica). Ventaja: Aleatorios. Desventaja: No reproducible. Métodos De Computación Digital: Con computadoras: Provisión Externa: Se graba en memoria las tablas Randa. Procesos Físicos Aleatorios: Usar algún dato interno de la computadora (temperatura, segundos, ciclos, cantidad de memoria asignada, etc). Relación de recurrencia: Generar números pseudoaleatorios por medio de ecuaciones de recurrencia en las que necesariamente se tiene que dar un valor inicial o semilla para obtener los siguientes valores. Ventaja: Son reproducibles. No afectan en demasía al procesador ni sobrecargan la memoria. Existe la posibilidad de su absoluta reproducción Desventaja: Son pseudoaleatorios. Hay que probar la Calidad Aleatoria del método.

Uniformemente distribuido (sin recurrencia): Es recurrente cuando uno o varios elementos se repiten con mayor frecuencia teórica, => disminución de frecuencia de los demás números. Estudiar la recurrencia de : 2, 6, 6, 8, 7, 6, 6, 6, 4, 7, 2, 6, 5, 6, 2,6,6,7, 6, 5, 4, 3, 3, 6, 6, 6, 2, 9,4,8,6,4,6, 9,6,3,7,6,9,6, 0. Hay 40 Números, por lo tanto la frecuencia teórica de cada uno de los dígitos (del 0 al 9) deberá ser 4. De una tabla de frecuencias se obtiene que el digito 6->F(6)=18 veces. Propiedades de los Números aleatorios

Estadísticamente independientes (sin periodicidad): Tiene periodicidad cuando varios elementos, repetidos o no, formando una cadena, aparecen en la misma secuencia. Estudiar periodicidad de: 1,0,2,2,6,8,2,3,3,0,1,0,2,2,6,8,4,1,7,0,2,2,6,8, 7,6,5,3,3,5,1,0,2,2,6,8..... Secuencia periódica 02268. . de Frecuencia 4 1,0,2,4,6,8,2,3,3,0,1,0,2,4,6,8,4,1,7,0,2,4,6,8, 7,6,5,3,3,5,1,0,2,4,6,8..... Secuencia periódica 02468. de Frecuencia 4 Propiedades de los Números aleatorios

Reproducibles: Cuando el Método comienza con la misma Semilla, DEBE dar la misma secuencia de números Pseudoaleatoreos. Rápidos , velocidad de generación acorde a las necesidades. Mínimos de memoria. Propiedades de los Números Pseudoaleatorios Conclusiones: Hay que verificar la calidad estadísticas de las series. Comprobarlas en tiempo de Ejecución es una perdida de tiempo, entonces se prueba la calidad estadística del Método. Por la cantidad de números que se necesitan y por la velocidad de su ocurrencia, es imprescindible generarlos en la medida que se lo necesiten.

Método De Los Cuadrados Centrales Método De VON NEUMANN El 1er método para computadores. Tomar un numero cualquiera de 4 dígitos y asignarlo como semilla (1er elemento de la serie), luego se lo debe elevar al 2 y obtener un numero de 8 cifras (si la cantidad de cifras es < 8, se lo debe completar con 0 a la izquierda). Posteriormente se deben desechar los 2 primeros y los 2 últimos dígitos: Tomar solamente los dígitos centrales y asignarlo como el siguiente elemento de la sucesión. Basta solo con repetir el procedimiento para obtener la cantidad de números aleatorios necesarios. Semilla: X0=5166. X 0 =5166; X 0 2 =26687556 X1=6875; X 1 2 =47265625 X2=2656; X 2 2 =07054336 X3=0543; X 3 2 =00294849 Hallar hasta X 7 , realizar un análisis de Periodicidad y Recurrencia

Von Neuman. Ejemplo Semilla: X0=5166. X0= 5166; X0 2 =26687556 X1= 6875; X1 2 =47265625 X2= 2656; X2 2 =07054336 X3= 0543; X3 2 =00294849 X4= 2948; X4 2 =08690704 X5= 6907; X5 2 =47706649 X6= 7066; X6 2 =49928356 X7= 9283; X7 2 =86174089 Serie: 5,1,6,6,6,8,7,5,2,6,5,6,0,5,4,3,2,9,4,8,6,9,0,7,7,0,6,6,9,2,8,3 Largo: 32 Números. Frecuencia Teórica=32/10= 3,2 Periodicidad El 66 aparece 2 veces El 69 aparece 2 veces … … Recurrencia El 6 aparece 8 veces El 1 aparece 1 vez Cuando la semilla es un número Primo, Impar y Fraccionario se obtiene mejores Series.

Método De Fibonacci Tiene 3 parámetros de tres a siete dígitos c/u y primos Los dos 1eros se asignarán como 1er (V 1 ) y 2do elemento (V 2 ) de la serie, Un parámetro de control (A > MAX(V 1 , V 2 )) . El 3er elemento y los siguientes se obtendrán con el modelo de generación : V n+1 = V n + V n-1 + k.A Donde: K = 0 si V n + V n-1  A -1 en otro caso Notar que es como el Método de Congruencias donde K=1 y m=A

Ejemplo Fibbonaci V n+1 = V n + V n-1 + k.A K=(Vn + Vn-1  A)? 0:-1 / A > [V1, V2]

Prueba Estadística de CHI cuadrado: X 2 Verifica la calidad estadística de los números/métodos que se utilizarán. Prueba de frecuencias para verificar si hay recurrencia. Cuanto más se aproxima a cero el valor de chi-cuadrado, más ajustadas están ambas distribuciones. n: pruebas independientes: cantidad de Números/dígitos generados f i : Frecuencia de un determinado suceso. La frecuencia de uno de los dígitos generados en toda la serie. La Frecuencia teórica del suceso es n*p i . Si X2<X E Entonces la serie es Equiprobable. Debemos encontrar un X E en la tabla X 2 que nos asegure la EquiProbabilidad de nuestra Serie. E (nivel de significación) típico:0,1 X E =14,684

Ejemplo 1 CHI cuadrado: X 2 Ejemplo: someter a un test de X 2 la siguiente serie: 8,1,4,7,0,3,6,9,2,5,8,1,4,7,0,3,6,9,2,5,8, 1,4,7,0,3,6,9,2,5,8,1,4,7,0,3,6,9,2,5,8. N=41, K=10 n*Pi=4,1 E=0,1 X E =14,684 0,21951<<14, 684 Los Números SON Equiproblables

Ejemplo 2 CHI cuadrado: X 2 Someter a un test de X2 la siguiente serie:8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8 N=41, K=10 n*Pi=4,1 E=0,1 X E =14,684 61,68>>14, 684 Los Números NO SON Equiproblables

Muestras Artificiales Autor de la Presentación: Rolando Simon Titiosky Bibliografía: Construido en base a extractos de: Extracto de: Guido J. Pace (UNNE FCENA). Modelos y simulación,1993. Ing Luis Zuloaga Rotta. Investigación de Operaciones, 2005. UNI FIIS, Peru. Wikipedia.org

Muestras Artificiales Los números aleatorios por si solos no son directamente utilizables, a menos que posean la distribución real Es necesario construir sucesiones numéricas a partir del conocimiento estadísticos de la variable en cuestión. Los métodos pueden ser definidos como:. General: Técnica para modelar cualquier distribución de probabilidades. Para Variables Continuas y/o Discretas: Números Índices Especial: Las muestras artificiales deben ajustarse a una determinada distribución, conocida y formalizada. Presentamos algunos casos, pero en la vida práctica, puede ser necesario la investigación de otras distribuciones especiales. Para Variables Continuas: Distribución Uniforme y Distribución Normal Para Variables Discretas: Distribución Bernoulli y Distribución Binomial

Método especial cuando el fenómeno no se ajusta a distribución alguna y posee una variable Discreta (Se puede discretizar variables continuas) o Continuas. f(x): función de densidad de probabilidades, es la derivada de F(x). F(X): función de distribución de probabilidades de X. El Método Opera así: Obtener TABLA con Marcas Obtener Dígitos Aleatorios. Ej: 5 y 3= 53 Verificar a que marca corresponde 53  D Próximo elemento de la Muestra : D. SI “NO FIN” ir paso 1 Números Índices Creación de la Tabla de los Números Índices Hay que definir las Marcas o Ítems discretos de la tabla Definir las f(x) para c/Marca: Si el evento ‘x’ ocurre ‘n’ veces y se han realizado ‘z’ experimentos La f(x)=(n/z) Calcular la F(x) para c/ Marca como Sumatoria de las f(x) antecesoras 99 85 50 24 7 N.I Sup 86 51 25 8 0 N.I Inf 1,00 0,86 0,51 0,25 0,08 F(X) 0,14 0,35 0,26 0,17 0,08 f(x) E D C B A Marca 

Metodo Especial: Variable Continua Útil donde todos los sucesos A i tiene la misma probabilidad de ocurrencia entre los límites (a,b) de la serie: X=a+(b-a)*u u: elemento de la sucesión aleatoria en 0  u  1 a: Origen del intervalo. b: Final del intervalo. x: elemento de la muestra. Si desconoce los valores a y b, pero se sabe E(X) y V(X) (media y varianza), entonces se puede hacer: Distribuciones Uniforme:

Ejemplo de Distribución Uniforme

Distribución de Bernoulli Metodo Especial: Variable Discreta Aplica a variables aleatorias que pueden tener solo 2 valores. Ejemplos: 0 y 1; Si/No; Alto/Bajo; Llueve o no llueve. Sean Y 1 ,Y 2 ,... Y n elementos de una Muestra Artificial con distribución uniforme en el intervalo (0,1), Los elementos X k de una Muestra Artificil con distribución de Bernoulli de parámetro p , se define como: si Y k  p X k = 1 si Y k > p X k = 0

Ejemplo de Bernoulli Parámetros de la Distribución: p=75% p=0,75 q=0,25 Muestra: si Y k  p X k = 1 si Y k > p X k = 0 1 0,18 1 0,27 0 0,83 1 0,54 1 0,40 1 0,47 1 0,50 0 0,93 1 0,35 1 0,29 Muestra X k Aleatorio. U k

Distribución Binomial Es una serie de “n” pruebas repetidas e independientes de Bernoulli con parámetro p. Parámetros N= serie de pruebas repetidas e independientes de Bernoulli P= Parametro de Bernoulli ( q = 1 – p ) E(x) = n * p v(x) =  2 = n * p * q Sean y1, y2, ... yn una muestra artificial de Beroulli de parámetro E(x) = p n X k =  y j j=1 Cada X k corresponde a un elemento de la muestra artificial Binomial con Distribución con parámetros n, p. La variable X k puede tomar valores entre: 0: si todos los experimentos han sido fracaso n: si todos los experimentos han sido éxitos Un valor x, (0< x < n) implica que han tenido éxito x experimentos de Bernoulli.

Distribución Binomial. Ejemplo

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