Variables aleatorias
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Este documento define las nociones básicas de esperanza y varianza para variables aleatorias discretas y continuas. La esperanza es el valor promedio esperado de una variable, mientras que la varianza mide la dispersión de sus valores alrededor de la esperanza. El documento explica cómo calcular la esperanza y varianza en cada caso, así como algunas propiedades importantes como la aditividad y que un factor constante puede sacarse del símbolo de la esperanza o varianza.
![Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad
es f(x), la esperanza es un número real que se calcula según:
A la esperanza también se le denomina medio poblacional o valor
esperado de la variable aleatoria y se la suele notar como μ.
Observación: si f(x) toma valores distintos de cero en un intervalo
[a, b], la esperanza se calcula como:
La esperanza posee varias propiedades,
independientes del tipo de la variable aleatoria.
Esperanza de una variable aleatoria continua](https://image.slidesharecdn.com/variablesaleatorias-130331222319-phpapp02/85/Variables-aleatorias-3-320.jpg)
![3. Para una variable aleatoria continua con función de
densidad f(x):
Observación: al igual que en la esperanza, si f(x) está
definida en [a, b]:
1. Una mayor varianza indica que los valores tienden a
estar más alejados de la media.
2. Una menor varianza indica que los valores tienden a
estar más concentrados alrededor de la media.
La Varianza](https://image.slidesharecdn.com/variablesaleatorias-130331222319-phpapp02/85/Variables-aleatorias-9-320.jpg)
Variables aleatorias
- 1. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza Esperanza y Varianza
- 2. La esperanza matemática o simplemente la esperanza de una variable aleatoria X, se simboliza por E(X) y su definición es la siguiente: Sea X una variable aleatoria discreta, la esperanza es un número real que se calcula según: 1. Si X toma un número finito de valores x1, x2,…, xn con probabilidades p1=Pr(X=x1), p2=Pr(X=x2),…, pn=Pr(X=xn): 2. Si X toma un número infinito de valores x1, x2,… con probabilidades pk=Pr(X=xk), k=1, 2, …: Esperanza de una variable aleatoria discreta
- 3. Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad es f(x), la esperanza es un número real que se calcula según: A la esperanza también se le denomina medio poblacional o valor esperado de la variable aleatoria y se la suele notar como μ. Observación: si f(x) toma valores distintos de cero en un intervalo [a, b], la esperanza se calcula como: La esperanza posee varias propiedades, independientes del tipo de la variable aleatoria. Esperanza de una variable aleatoria continua
- 4. 1. La esperanza de una constante es el valor de la constante: 2. Aditividad: la esperanza de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las esperanzas de los dos sumandos: 3. Un factor constante c se puede sacar del signo del símbolo de la esperanza matemática: Propiedades
- 5. 4. Sea y una función real, la esperanza de la variable aleatoria Y=g(X) está definida por: En particular si y(x) = X2 se tiene: 5. Si X y Y son dos variables aleatorias independientes: Propiedades
- 6. 1. Por las propiedades 2 y 3, si Y=aX + b, entonces: 2. Si la función de densidad es simétrica respecto a la recta x = m, entonces E(X) = m. 3. Dos variables aleatorias con la misma esperanza puedes tener distribuciones diferentes. Para diferenciarlas es necesario introducir otra característica teórica que informa sobre la dispersión de sus posibles valores. Observaciones
- 7. La idea de esperanza no indica cómo está distribuida la masa en torno a su centro; esto se expresa mediante la varianza de la variable aleatoria X, que se nota Var(X) o σ2. Definición: la varianza de una variable aleatoria X es un número no negativo que se calcula por: O equivalentemente por: La Varianza
- 8. Según el tipo de variable aleatoria, se calcula de la siguiente manera: 1. Para una variable aleatoria discreta que toma un número finito de valores x1, x2,…, xn con probabilidades p1=Pr(X=x1), p2=Pr(X=x2),…, pn=Pr(X=xn): 2. Para una variable aleatoria discreta que toma un número infinito de valores x1, x2,… con probabilidades pk=Pr(X=xk), k=1, 2, …: La Varianza
- 9. 3. Para una variable aleatoria continua con función de densidad f(x): Observación: al igual que en la esperanza, si f(x) está definida en [a, b]: 1. Una mayor varianza indica que los valores tienden a estar más alejados de la media. 2. Una menor varianza indica que los valores tienden a estar más concentrados alrededor de la media. La Varianza
- 10. Definición la desviación estándar de una variable aleatoria X es igual a la raíz cuadrada de la varianza: Propiedades: La varianza de una constante es cero: Un factor constante c se puede sacar del signo del símbolo de la varianza, elevándolo al cuadrado: Aditividad: la varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de los dos sumandos: Observación: de las propiedades 1 y 2 se verifica que: Desviación estándar