Variablesaleatoriasdiscretas
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Este documento presenta 14 problemas sobre variables aleatorias discretas. Los problemas incluyen calcular funciones de distribución, densidad y generatriz de momentos, así como probabilidades para diferentes variables aleatorias discretas definidas en cada problema. Los problemas involucran lanzar dados, seleccionar personas al azar, días laborables sin bajas y más.
![Variables aleatorias discretas discret1.emp -- 1 --
1.- Dada la v. a. X con función de densidad definida por
f ( x ) '
3
2
1
x ! ( 4 & x ) !
s i x ' 0 , 1 ,2 , 3 , 4
0 en ot ro caso
Calcular: Función de distribución. P( x = 2.5 ) P ( 1 < x < 2.5 ) Función generatriz de momentos. Media y varianza
2.- Dada la variable aleatoria cuya función de distribución F(x) viene definida
por F ( x ) '
0 s i x < 0
1
4
s i 0 # x < 1
2
4
s i 1 # x < 2
3
4
s i 2 # x < 3
1 s i x $ 3
Determinar: a) Gráficas de F(x) y de f(x) b) Función generatriz de momentos
c) Media y varianza d) P (x=1.7) P( 1.2 < x < 3]
3.- Se tira una moneda tres veces y sea X el número de caras obtenidas. Se pide la función distribución, función
de densidad y la función generatriz de momentos. Media y varianza.
4.- Se lanza un dado tres veces. Hallar las funciones de probabilidad de la v.a. que refleja elnúmero de cinco
obtenidos y la representación gráfica de dichas funciones.
5.- Sobre la mesa de una secretaria hay cuatro cartas escritas con sus cuatro sobres correspondientes. La
primera carta se introduce en su sobre y las tres restantes se introducen al azar. Llamamos X al número de cartas
correctamente introducidas.
a) Espacio muestral y recorrido de X.
b) Funciones de probabilidad y sus gráficas.
c) Probabilidad de que más de dos cartas estén en su sobre correcto.
d) Probabilidad de que estando alguna mal colocada, no lo estén todas.
e) Probabilidad de que estando alguna mal colocada, lo estén más de dos. ( V.2.)
6.- El encargado de un servicio en una empresa tiene tres hombres y tres mujeres trabajando en una sección.
Desea elegir dos trabajadores para un trabajo especial y decide seleccionarlos al azar. Sea X la variable aleatoria
"número de mujeres del grupo seleccionado". Se pide:
1) Función de probabilidad de la v.a. X. Distribución, densidad y generatriz de momentos.
2) Esperanza y varianza.
7.- Del conjunto de números { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } se elige un grupo de tres y se considera la v. a. que obtiene la
suma de dichos números. Obtener:
- Funciones de densidad y de distribución, representaciones gráficas.
- P ( X < 10 ), P ( 6 < x < 12 ) a través de f(x) y F (x). Determinar P ( X < 12 / X > 7 ).
- Esperanza y varianza
- Función generatriz de momentos.
8.- Un examen de estadística tipo test tiene 10 preguntas con 5 opciones. La puntuación, Y, del alumnos es
Y = X - F/4 , siendo X el número de aciertos y F el de fallos. Si el alumno contesta de forma aleatoria,
calcular:
a) Distribución de probabilidades de X. Esperanza y varianza de X
b) P ( X > 5 ), P ( 6 < X < 8 / X > 5 )
c) Esperanza y varianza de Y, P ( Y > 5 )](https://image.slidesharecdn.com/variablesaleatoriasdiscretas-130520193225-phpapp02/85/Variablesaleatoriasdiscretas-1-320.jpg)
![Variables aleatorias discretas discret1.emp -- 2 --
9.- Un examen de estadística tipo test tiene 20 preguntas con 4 opciones. La puntuación, Y, del alumnos es
Y = X - F/3 , siendo X el número de aciertos y F e de fallos. Si el alumno contesta de forma aleatoria,
calcular:
a) Distribución de probabilidades de X.
b) P ( X > 9 ), P ( 6 < X < 8 / X > 5 )
c) Esperanza y varianza de Y, P ( Y > 4 )
10.- Consideremos el lanzamiento de dos dados y la variable aleatoria que representa la suma de los puntos
obtenidos. Determinar:
a) Espacio muestral. Recorrido de X.
b) Funciones de probabilidad y gráficas.
c) Probabilidad de obtener una suma mayor que 7. Obtener una suma igual a 7.
d) Probabilidad de obtener una suma entre 5 y 9ambos inclusive.
e) Supuesta obtenida una suma mayor que 6 probabilidad de que no supere los 10 puntos.
11.- El número de días laborables en una empresa en los que se produce ninguna baja por enfermedad es una
variable aleatoriadiscretaf(x)confuncióndeprobabilidad: f ( x ) '
K % 0.0 4 x s i x ' 0 , 1 , 2 , 3 , 4 y 5
0 en ot ro caso
Se pide: a) Obtener el valor de K b) Función distribución y representación gráfica.
c) Esperanza y varianza d) Valor de X no superado en el 95% de los casos
e) Probabilidad de que la variable tome un valor que diste de E[x] menos de 2 y obtener la
aproximación de Tchebycheff.
12.- La siguiente función de distribución se adapta a la v.a. =
F ( x ) '
0 s i x < 1
1
5
s i 1 # x < 2
2
52
s i 2 # x < 3
51
53
s i 3 # x < 4
369
54
s i 4 # x < 5
·
·
·
Obtener su Función de densidad. P( x >3) P( 1< x # 4) P ( x = 4) P( x < 5 / x >1)
13.- Consideremos la experiencia de seleccionar al azar una familia con tres hijos. Estudiar la v.a. que mide el
número de hijos varones. Encontrar las funciones de densidad y distribución de dicha variable. Repr. gráficas.
14.- Un dado es lanzado dos veces. Determinar las funciones de densidad y distribución de la v.a. X que mide
la diferencia de puntos obtenidos. Representaciones gráficas.](https://image.slidesharecdn.com/variablesaleatoriasdiscretas-130520193225-phpapp02/85/Variablesaleatoriasdiscretas-2-320.jpg)
Variablesaleatoriasdiscretas
- 1. Variables aleatorias discretas discret1.emp -- 1 -- 1.- Dada la v. a. X con función de densidad definida por f ( x ) ' 3 2 1 x ! ( 4 & x ) ! s i x ' 0 , 1 ,2 , 3 , 4 0 en ot ro caso Calcular: Función de distribución. P( x = 2.5 ) P ( 1 < x < 2.5 ) Función generatriz de momentos. Media y varianza 2.- Dada la variable aleatoria cuya función de distribución F(x) viene definida por F ( x ) ' 0 s i x < 0 1 4 s i 0 # x < 1 2 4 s i 1 # x < 2 3 4 s i 2 # x < 3 1 s i x $ 3 Determinar: a) Gráficas de F(x) y de f(x) b) Función generatriz de momentos c) Media y varianza d) P (x=1.7) P( 1.2 < x < 3] 3.- Se tira una moneda tres veces y sea X el número de caras obtenidas. Se pide la función distribución, función de densidad y la función generatriz de momentos. Media y varianza. 4.- Se lanza un dado tres veces. Hallar las funciones de probabilidad de la v.a. que refleja elnúmero de cinco obtenidos y la representación gráfica de dichas funciones. 5.- Sobre la mesa de una secretaria hay cuatro cartas escritas con sus cuatro sobres correspondientes. La primera carta se introduce en su sobre y las tres restantes se introducen al azar. Llamamos X al número de cartas correctamente introducidas. a) Espacio muestral y recorrido de X. b) Funciones de probabilidad y sus gráficas. c) Probabilidad de que más de dos cartas estén en su sobre correcto. d) Probabilidad de que estando alguna mal colocada, no lo estén todas. e) Probabilidad de que estando alguna mal colocada, lo estén más de dos. ( V.2.) 6.- El encargado de un servicio en una empresa tiene tres hombres y tres mujeres trabajando en una sección. Desea elegir dos trabajadores para un trabajo especial y decide seleccionarlos al azar. Sea X la variable aleatoria "número de mujeres del grupo seleccionado". Se pide: 1) Función de probabilidad de la v.a. X. Distribución, densidad y generatriz de momentos. 2) Esperanza y varianza. 7.- Del conjunto de números { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } se elige un grupo de tres y se considera la v. a. que obtiene la suma de dichos números. Obtener: - Funciones de densidad y de distribución, representaciones gráficas. - P ( X < 10 ), P ( 6 < x < 12 ) a través de f(x) y F (x). Determinar P ( X < 12 / X > 7 ). - Esperanza y varianza - Función generatriz de momentos. 8.- Un examen de estadística tipo test tiene 10 preguntas con 5 opciones. La puntuación, Y, del alumnos es Y = X - F/4 , siendo X el número de aciertos y F el de fallos. Si el alumno contesta de forma aleatoria, calcular: a) Distribución de probabilidades de X. Esperanza y varianza de X b) P ( X > 5 ), P ( 6 < X < 8 / X > 5 ) c) Esperanza y varianza de Y, P ( Y > 5 )
- 2. Variables aleatorias discretas discret1.emp -- 2 -- 9.- Un examen de estadística tipo test tiene 20 preguntas con 4 opciones. La puntuación, Y, del alumnos es Y = X - F/3 , siendo X el número de aciertos y F e de fallos. Si el alumno contesta de forma aleatoria, calcular: a) Distribución de probabilidades de X. b) P ( X > 9 ), P ( 6 < X < 8 / X > 5 ) c) Esperanza y varianza de Y, P ( Y > 4 ) 10.- Consideremos el lanzamiento de dos dados y la variable aleatoria que representa la suma de los puntos obtenidos. Determinar: a) Espacio muestral. Recorrido de X. b) Funciones de probabilidad y gráficas. c) Probabilidad de obtener una suma mayor que 7. Obtener una suma igual a 7. d) Probabilidad de obtener una suma entre 5 y 9ambos inclusive. e) Supuesta obtenida una suma mayor que 6 probabilidad de que no supere los 10 puntos. 11.- El número de días laborables en una empresa en los que se produce ninguna baja por enfermedad es una variable aleatoriadiscretaf(x)confuncióndeprobabilidad: f ( x ) ' K % 0.0 4 x s i x ' 0 , 1 , 2 , 3 , 4 y 5 0 en ot ro caso Se pide: a) Obtener el valor de K b) Función distribución y representación gráfica. c) Esperanza y varianza d) Valor de X no superado en el 95% de los casos e) Probabilidad de que la variable tome un valor que diste de E[x] menos de 2 y obtener la aproximación de Tchebycheff. 12.- La siguiente función de distribución se adapta a la v.a. = F ( x ) ' 0 s i x < 1 1 5 s i 1 # x < 2 2 52 s i 2 # x < 3 51 53 s i 3 # x < 4 369 54 s i 4 # x < 5 · · · Obtener su Función de densidad. P( x >3) P( 1< x # 4) P ( x = 4) P( x < 5 / x >1) 13.- Consideremos la experiencia de seleccionar al azar una familia con tres hijos. Estudiar la v.a. que mide el número de hijos varones. Encontrar las funciones de densidad y distribución de dicha variable. Repr. gráficas. 14.- Un dado es lanzado dos veces. Determinar las funciones de densidad y distribución de la v.a. X que mide la diferencia de puntos obtenidos. Representaciones gráficas.