Complex numbers roots
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El documento explica cómo representar números complejos en forma binómica y trigonométrica, y cómo realizar operaciones como potencias y raíces utilizando el Teorema de De Moivre. Específicamente, describe cómo convertir un número de la forma binómica a + bi a la forma trigonométrica r(cosθ + isenθ) usando fórmulas, y cómo aplicar el teorema para elevar números complejos a potencias o extraer raíces expresando la operación como una potencia fraccionaria. Incluye ejemplos detallados de cada proced
Complex numbers roots
- 1. Potencias y Raíces de Números Complejos. G. Edgar Mata Ortiz
- 2. Representación de un número complejo Los números complejos generalmente se representan en forma binómica:
- 3. Representación de un número complejo La forma binómica del número complejo es útil para efectuar las operaciones aritméticas básicas; suma, resta multiplicación y división.
- 4. Representación de un número complejo Para elevar un número complejo a una potencia, o extraer raíces cuadradas, se emplea el Teorema de Möivre, el cuál requiere que el número esté expresado en forma trigonométrica.
- 5. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica Para comprender mejor el proceso que nos permite convertir la expresión de un número complejo de la forma binómica a la forma trigonométrica debemos recordar el plano complejo.
- 6. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b. 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 Originalmente el número está expresado en forma binómica.
- 7. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b. 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 Originalmente el número está expresado en forma binómica. Debe convertirse a la forma trigonométrica
- 8. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b. 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 Originalmente el número está expresado en forma binómica. Debe convertirse a la forma trigonométrica 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
- 9. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b. 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 Esta conversión se efectúa mediante dos fórmulas
- 10. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b. 𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒃 𝒂
- 11. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b. 𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒃 𝒂
- 12. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica Expresar el número: En forma trigonométrica 𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟒𝟓 𝟐𝟖 𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊 𝒓 = 𝟐𝟖2 + 𝟒𝟓2
- 13. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica Expresar el número: En forma trigonométrica 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟒𝟓 𝟐𝟖 𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊 𝒓 = 𝟐𝟖2 + 𝟒𝟓2 𝒓 = 𝟕𝟖𝟒 + 𝟐𝟎𝟐𝟓 𝒓 = 𝟐𝟖𝟎𝟗 𝒓 = 53 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟏. 𝟔𝟎𝟕 𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒
- 14. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica 𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊 𝒓 = 53 𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒 𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒)
- 15. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica 𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊 𝒓 = 53 𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒 𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) Forma binómica Forma trigonométrica 𝒛 = 𝟓𝟑 𝟎. 𝟓𝟐𝟖𝟒𝟔𝟗 + 𝟎. 𝟖𝟒𝟖𝟗𝟓𝟐𝒊
- 16. Potencia de Números Complejos.
- 17. Potencia de Números Complejos. Para elevar un número complejo a una potencia entera se aplica el Teorema de: De Möivre
- 18. Teorema de: De Möivre Una vez convertido el número a+bi a la forma trigonométrica, podemos aplicar el Teorema:
- 19. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Elevar el número z =28+45i al cuadrado:
- 20. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Elevar el número z =28+45i al cuadrado:
- 21. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Elevar el número z =28+45i, al cuadrado:
- 22. Potencia de Números Complejos. Puede parecer muy complicado convertir primero a la forma trigonométrica y luego aplicar el teorema de De Möivre, sin embargo, este método es muestra su utilidad cuando se eleva a potencias muy grandes. Por ejemplo: Eleva z =1–i, a la décima potencia.
- 23. Potencia de Números Complejos. 𝑎 = 1 𝑏 = −1 𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒃 𝒂
- 24. Potencia de Números Complejos. 𝑎 = 1 𝑏 = −1 𝒓 = (𝟏)2+(−𝟏)2 𝒓 = 𝟏 + 𝟏 𝒓 = 𝟐 𝒓 = 1.4142
- 25. Potencia de Números Complejos. 𝑎 = 1 𝑏 = −1 𝒓 = (𝟏)2+(−𝟏)2 𝒓 = 𝟏 + 𝟏 𝒓 = 𝟐 𝒓 = 1.4142 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 −𝟏 𝟏 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(−𝟏) 𝜽 = −𝟎. 𝟕𝟖𝟓𝟑
- 26. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Elevar el número z =1-i, a la décima potencia: *Revisar las funciones trigonométricas de ángulos múltiplos para simplificar el argumento del seno y coseno. 𝑧 = 1.4142 cos −0.7853 + 𝑖𝑠𝑒𝑛(−0.7853) 𝑧10 = (1.4142)10 cos10 −0.7853 + 𝑖𝑠𝑒𝑛10(−0.7853) 𝑧10 = 32 cos −7.853 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (−7.853)
- 27. Raíces de Números Complejos.
- 28. Raíces de Números Complejos. Para obtener la raíz cuadrada, cúbica o enésima, también se aplica el Teorema de: De Möivre
- 29. Teorema de: De Möivre Una vez convertido el número a+bi a la forma trigonométrica, podemos aplicar el teorema, escribiendo la raíz como una potencia fraccionaria.
- 30. Teorema de: De Möivre Una vez convertido el número a+bi a la forma trigonométrica, podemos aplicar el teorema, escribiendo la raíz como una potencia fraccionaria y, tomando en cuenta que las funciones trigonométricas son periódicas, realizar un ajuste en a fórmula.
- 31. Teorema de: De Möivre El ajuste en la fórmula consiste en agregar la periodicidad como se muestra:
- 32. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.
- 33. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.
- 34. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.
- 35. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.
- 36. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
- 37. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
- 38. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
- 39. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre. La primera de las tres soluciones es: 𝐤 = 𝟎
- 40. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
- 41. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre. La segunda de las tres soluciones es: 𝐤 = 𝟏
- 42. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
- 43. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre. La tercera de las tres soluciones es: 𝐤 = 𝟐
- 44. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Las tres soluciones en forma trigonométrica son:
- 45. Teorema de: De Möivre Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Las tres soluciones en forma binómica son:
- 46. Gracias por su atención. Fuentes de información en línea: http://licmata-math.blogspot.mx/ http://www.scoop.it/t/mathematics-learning https://www.facebook.com/licemata https://www.linkedin.com/in/licmata Twitter @licemata