Derivadas
- 1. Derivadas Estudio de diferentes tipos de funciones y el c´lculo de la a derivada Curso de An´lisis Real a Prof. Alberto Soto
- 2. Tipos de funciones • Funciones reales de variable real • Funciones reales de variable vectorial (campo escalar) • Funciones vectoriales de variable real (curvas) • Funciones vectoriales de variable vectorial (campos vec- toriales)
- 3. Funciones reales de variable real El c´lculo de la derivada en este caso corresponde a la pro- a ceso usual de calcular la pendiente de la recta tangente en el punto (x, f (x)).
- 4. Funciones reales de variable vectorial (campo escalar) En este tipo de funciones utilizamos las derivadas parciales, en el caso de dos dimensiones permite calcular la ecuaci´no del plano tangente. Vemos esto con m´s detalle. a
- 5. Si z = f (x, y) indica que la variable z depende de x y de y. Por lo que se puede derivar con respecto a una variable, considerando la otra como una constante. Esto es lo que significa derivar parcialmente. Se define el vector gradiente como ∂f ∂f ∂z ∂z f = (fx, fy ) = , = , ∂x ∂y ∂x ∂x Este vector permite calcular derivadas direccionales por medio de la igualdad Dfµ((x0, y0)) = f (x0, y0) · µ donde el producto indicado es el producto escalar o producto punto.
- 6. Al ver el punto (x0, y0, f (x0, y, 0)) en la superficie, se nota que los vectores u = (1, 0, fx(x0, y0)) y v = (0, 1, fy (x0, y0)) son los vectores directores del plano tangente por lo que n = u × v = (fx(x0, y0), fy (x0, y0), −1) es el vector perpendicular al plano. Por lo que la ecuaci´n o del plano tangente es n · (x − x0, y − y0, z − z0) = 0
- 7. Funciones reales de variable real definidas impl´ ıcitamente Lo indicado para las derivadas parciales, es util para ´ calcular la derivada de una funci´n univariada definida o impl´ ıcitamente, por medio de la ecuaci´n F (x, y) = 0. Ya o que, como es una funci´n constante su derivada, vista como o funci´n de dos variables, es cero. As´ o ı dy Fx DF = Fxdx + Fy dy = 0 ⇒ =− dx Fy
- 8. Funciones reales de variable vectorial definidas impl´ ıcitamente En forma semejante al caso con una variable, si se tiene una ecuaci´n F (x, y, z) = 0, la cual define una funci´n de dos o o variables z = f (x, y) se calculan las derivadas parciales ∂z Fx ∂z Fy zx = = − y zy = =− ∂x Fz ∂y Fz Por lo que Dz = (z) = (zx, zy )
- 9. Funciones reales de variable real definidas en forma param´trica. (Curvas Planas) e Ahora las variables x y y dependen de una tercera variable, digamos t, as´ x = x(t) y y = y(t). Se puede calcular la ı derivada al considerar la funci´n G : R → R2 cuya derivada o es DG = G (t) = (x (t), y (t)). Para calcular la pendiente de la recta tangente a una curva en el punto (x(t0), y(t0)), basta con ver el ´ngulo de este vector con el eje X, que en a este caso es m = x (t) justificable tambi´n al usar la regla de y (t) e la cadena dy dy dy dt dt y (t) Dy = = · = dx = dx dt dx dt x (t)
- 10. Funciones reales de variable vectorial definidas en forma param´trica con un par´metro. (curvas en el espacio) e a La situaci´n se simplifica, pues ya no hay pendiente de la o recta tangente, solo se calcula el vector director y se utiliza la ecuaci´n vectorial de la recta para describirla: L : P − P0 = o vt. As´ si x = y(t), y = y(t) y z = z(t). Para calcular ı, la ecuaci´n de la recta tangente a una curva en el punto o (x(t0), y(t0), z(t0)) se utiliza la f´rmula o (x − x(t0), y − y(t0), z − z(t0)) = (x (t0), y (t0), z (t0))t
- 11. Funciones vectoriales de variable vectorial. Campos vectoriales. En este caso f : Rn → Rm, para simplificar el ejem- plo supondremos m = 3 y n = 2, as´ f (x, y) = ı (f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y)) cada una de las funciones fi son campos escalares. Para calcular la derivada definimos la ma- triz Jacobiana, con tantas columnas como la dimensi´n delo espacio dominio y filas como la del codominio. f1x f1y Df = f2x f2y f3x f3y Tambi´n se define el Jacobiano, como el determinante de la e matriz anterior, cuando este definido.
- 12. Regla de la cadena Ahora se mezclaran los tipos anteriores de funciones para calcular la derivada de funciones compuestas. Sean f : Rn → Rm y g : Rm → Rp funciones derivables entonces se sabe que la composici´n de f y g, la funci´n o o g ◦ f : Rn → Rp es una funci´n derivable y la derivada de o g ◦ f se calcula por medio de la f´rmula o D(g ◦ f ) = Dg(f ) · Df Donde el producto indicado se modifica dependiendo del tipo de expresiones se tengan.
- 13. Caso particular Suponga que z = f (x, y) y que x = x(t) y y = y(t), todas funciones derivables ¿Cu´l es dz ? a dt 2 Defina G : R → R tal que G(t) = (x(t), y(t)). G es una curva derivable y DG = (x (t), y (t)), como z = F (t) = (f ◦ G)(t) entonces dz F (t) = = Df (G) · DG = f (G(t)) · DG(t) dt = (fx(G(t)), fy (G(t))) · (x (t), y (t)) = fx(G(t))x (t) + fy (G(t))y (t) Aqu´ la multiplicaci´n es el producto escalar. ı, o
- 14. Funciones reales de variable vectorial definidas en forma param´trica con varios par´metros. (superficies) e a Se har´ el calculo con dos variables que dependen de tres a variables, de forma que la situaci´n es que z = f (x, y) y o x = x(u, v, w) y y = y(u, v, w). As´ defina G : R3 → R2 ı, tal que G(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w)), de esta forma z = (f ◦ G)(u, v, w), por lo que: Dz = Df (G) · DG = f (G) · DG xu xv xw = (fx(G(u, v, w)), fy (G(u, v, w))) · yu yv yw = (fxxu + fy yu, fxxv + fy yv , fxxw + fy yw ) ∂z ∂ En particular ∂u = f (x, y) · ∂u (x, y) = (fx, fy ) · (xu, yu) = f x xu + f y yu
- 15. Otra mezcla para usar la Regla de la cadena Suponga que F (x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)), x = x(u, v) y y = y(u, v). Defina G(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) entonces, F = (f1, f2) ◦ G es una funci´n Vectorial de dos variables u o y v, usando la regla de la cadena: f1x(G) f1y (G) xu xv DF (u, v) = DF (G)·D(G) = · f2x(G) f2y (G) yu yv En particular se tiene que ∂(x, y) fi(u, v) = fi(x, y) · ∂(u, v) xu xv = (fix, fiy ) · yu yv = (fixxu + fiy yu, fixxv + fiy yv )