Funciones Reales de Varias Variables
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Este documento trata sobre el cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables. Explica conceptos como funciones de dos y tres variables, gráficas y curvas de nivel de funciones de varias variables, límites, continuidad y derivadas parciales. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y habilidades para aplicarlos al cálculo de funciones de varias variables.
Funciones Reales de Varias Variables
- 1. Cálculo diferencial e integral de una variable Funciones Reales de Varias Variables 1
- 2. Cálculo diferencial e integral de una variable Contenidos • Habilidades ir • Función de dos variables. ir • Gráfica de una función real de dos variables. ir • Curvas de nivel. ir • Límite. ir • Continuidad. ir • Derivadas Parciales. ir 2
- 3. Cálculo diferencial e integral de una variable Habilidades • Define el concepto de función real de dos y tres variables. • Determina el dominio de una función real y lo representa gráficamente. • Traza la gráfica de una función real de dos variables reales. • Relaciona la regla de correspondencia de una función con su gráfica. • Determina las curvas (superficies) de nivel de una función real de dos (tres) variables. 3
- 4. Cálculo diferencial e integral de una variable Habilidades • Calcula el límite de una función. • Determina la no existencia del límite de una función real de dos variables reales. • Establece la continuidad de una función real en un punto. • Define el concepto de derivada parcial. • Calcula derivadas parciales. • Interpreta geométricamente el concepto de derivada parcial. • Calcula derivadas parciales de segundo orden. • Verifica que una función dada es solución de una ecuación en derivadas parciales. 4 inicio
- 5. Cálculo diferencial e integral de una variable Funciones de Varias Variables. Definición: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y). El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir { f ( x, y ) /( x, y ) ∈ D} 5
- 6. Cálculo diferencial e integral de una variable Ejemplos. 1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafíquelos. a) f ( x , y ) = y2 − x ( b) f ( x , y ) = ln x 2 + y 2 − 4 ) Ln(1 − x − y ) c) f (x,y) = y−x 2. Evalué la función del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en caso sea posible. Justifique su respuesta. 6 inicio
- 7. Cálculo diferencial e integral de una variable Gráfica de una función de dos variables. Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D. 7
- 8. Cálculo diferencial e integral de una variable Ejemplo 2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la imagen. a) f ( x , y ) = 4 − y 2 − x2 ( b) z = 9 − x 2 − y 2 ) 8 inicio
- 9. Cálculo diferencial e integral de una variable Curvas de nivel. 9
- 10. Cálculo diferencial e integral de una variable Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f). O 10
- 11. Cálculo diferencial e integral de una variable Ejemplos 3. Trace la gráfica y las curvas de nivel de: a) f ( x , y ) = x2 + y 2 b) f ( x , y ) = x 2 − y 2 4. Una lamina de metal plana está situada en un plano XY y la temperatura T (en grados centígrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcional a la distancia del punto (x, y) al origen. a) Describa las isotermas b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 grados centígrados, encuentre una ecuación de la isoterma correspondiente a la temperatura de 20 grados centígrados. 11
- 12. Cálculo diferencial e integral de una variable Ejemplos 5. Describa y trace las superficies de nivel de la función: 2 2 f ( x , y , z ) = 2x + y + z 12 inicio
- 13. Cálculo diferencial e integral de una variable Límites TABLA1 Valores de f(x,y) -1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1 -1 0,455 0,759 0,829 0,842 0,829 0,759 0,455 -0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759 ( sen x 2 + y 2 ) -0,2 0,829 0,989 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829 ( 1) f ( x , y ) = 0 0,841 0,990 1,000 1,000 0,990 0,841 x2 + y 2 0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829 0,5 0,876 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759 1 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455 TABLA 2 Valores de f (x ,y ) -1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1 -1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000 -0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600 x2 − y2 ( 2) g( x , y ) = 2 -0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923 x + y2 0 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923 0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600 1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000 13
- 14. Cálculo diferencial e integral de una variable Límites Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b) es L y escribimos lim f ( x,y) = L ( x ,y ) →( a,b ) ∀ε > 0, ∃δ ε > 0 tal que f ( x , y ) − L < ε siempre que ( x,y) ∈ D y 0 < ( x − a) + ( y − b ) 2 2 <δ 14
- 15. Cálculo diferencial e integral de una variable Interpretación geométrica de los límites Z L+ε L L−ε X 15
- 16. Cálculo diferencial e integral de una variable Determina la no existencia del límite de una función real. Definición: Si f ( x , y ) → L1 cuando ( x , y ) → ( a, b ) por una trayectoria C1 y f ( x , y ) → L2 cuando ( x , y ) → ( a, b ) por otra trayectoria C2,, donde L1 ≠ L2, entonces lim f ( x , y ) no existe. ( x ,y ) →( a,b ) y b a 16
- 17. Cálculo diferencial e integral de una variable Ejemplos x2 − y 2 5. Muestre que lim no existe ( x ,y ) →( 0 ,0) x2 + y2 xy 6. Muestre que lim no existe ( x ,y ) →( 0 ,0) x2 + y 4 xy 7. Muestre que lim no existe ( x ,y ) →( 0 ,0 ) x2 + y 2 17 inicio
- 18. Cálculo diferencial e integral de una variable Continuidad Definición: Una función f de dos variables, se denomina continua en (a,b) si lim f ( x, y ) = ( a, b ) ( x , y ) → ( a ,b ) Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto (a,b) de D Nota: Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio lim x 2 + xy + y 2 ( x ,y ) →( 1 ,2) x2 − y 2 lim ( x ,y ) →( 1 ,0) x2 + y2 18 inicio
- 19. Cálculo diferencial e integral de una variable Derivadas parciales. Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea (x0 ,y0) un punto de D. La función f(x, y0) depende solamente de x y está definida alrededor de x0. Si la derivada existe, el valor de la derivada es llamado derivada parcial de f(x,y),con respecto a x en el punto (x0,y0) y se denota por ∂f ( x0 , y0 ) ó ∂z ∂x ∂x ( x0 , y0 ) 19
- 20. Cálculo diferencial e integral de una variable Definición de derivada parcial con respecto a x. ∂f f ( x0 + ∆x , y0 ) − f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) = ∆lim ∂x x →0 ∆x 20
- 21. Cálculo diferencial e integral de una variable Definición de derivada parcial con respecto a y. Del mismo modo, la derivada de f con respecto a y en (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene dejando x fija (x=x0). ∂f f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) fy ( x0 , y0 ) = ( x0 , y0 ) = ∆lim0 ∂y y→ ∆y 21
- 22. Cálculo diferencial e integral de una variable Ejemplos 1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e interprete estos números como pendientes. 2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f a) f ( x , y ) = ( x 3 − y 2 )2 b) f ( x , y ) = xe y −2 + ysenx c ) f ( x , y , z ) = xe3 x z + xz 2 − ln(yz ) 22
- 23. Cálculo diferencial e integral de una variable Derivadas parciales respecto a x y a y. 23 Fin