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Funciones Siempre que un valor y depende de un valor x , decimos que el primero es función del segundo. Por ejemplo, la temperatura es una función de la altitud. Si conocemos la altitud, podemos calcular la temperatura. Vamos a analizar con mayor detalle el concepto de función, a definir el conjunto de valores para los que una función dada está definida, lo que llamamos su dominio de definición (si la variable está en el denominador o dentro de una raíz cuadrada, ciertos valores reales son imposibles), y a introducir el sentido de variación de una función o monotonía (la mayoría de las funciones raramente son monótonas, sino que cambian de tendencia, es decir, crecen o decrecen varias veces a lo largo de su dominio de definición). ¿Está siempre definida una función? Una función numérica es una relación que le asocia a cada valor de la variable x , tomada del conjunto D (una parte o subconjunto de los números reales), un único valor y , al que llamamos imagen. Si f es una función, entonces escribimos y = f ( x ). Ejemplo: Si un coche gasta 10 litros de gasolina cada 100 km y en su depósito caben 50 litros, el número de litros ( y ) que quedan en el tanque será función del número de kilómetros recorridos ( x ) según la fórmula y = 50 – 0,1 x. Si f es una función que relaciona x con y , podemos escribir: f(x) = 50 – 0,1 x . Puesto que el conductor no puede viajar más de 500 kilómetros, decimos que el conjunto de valores para los que la función está definida es el intervalo [0, 500] y usamos la notación Df = [0, 500]. Una función no está definida para valores que: hacen cero su denominador; hacen que una expresión dentro de una raíz cuadrada tome signo negativo. Ejemplos: La función inversa o recíproca ( y = 1/ x ) está definida para todos los números reales, excepto para el cero. Así, el conjunto de números para los que sí está definida es: . La función raíz cuadrada ( ) está definida para cualquier número real positivo y para el cero: .

Calcular un valor y Para calcular un valor de la variable dependiente y correspondiente a un valor de x , sustituimos dicho valor de x y efectuamos los cálculos indicados por la función. Primero resolvemos las operaciones entre paréntesis, a continuación las potencias, después los productos y cocientes. Finalmente, efectuamos las sumas y restas. Por ejemplo, para calcular el valor y correspondiente a x = 5 en una función f definida en R por: f(x) = 4( x – 3)2 – 1, procedemos así: f (5) = 4(5 – 3)2 – 1 = 4 · 22 – 1 = 4 · 4 – 1 = 16 – 1 = 15. Para construir una tabla de valores, vamos dando distintos valores a x y obtenemos los correspondientes valores de y. También podemos construir la tabla utilizando la calculadora. Habiendo escrito la expresión de la función, especificamos los valores límites para la variable independiente x, así como el salto entre dos de sus valores consecutivos o el número total de valores de x. Los valores de la variable x y los de la variable dependiente y se pueden presentar en dos columnas. Por ejemplo, podríamos completar la siguiente tabla de valores comenzando por el 1 y terminando en el 3 con saltos de 0,5 en 0,5:

Calcular el valor de x que corresponde a un valor de y dado Para calcular el valor del original o antecedente x de una función f, correspondiente a un número real a, resolvemos la ecuación f(x) = a. Así, hallar el antecedente de 3 obtenido por la función afín f , definida en R como f(x) = 2 x – 1, se convierte en calcular los valores de x tales que 2 x – 1 = 3. Observemos que para algunas funciones, un número real puede tener varios antecedentes, o incluso no tener ninguno. Por ejemplo, para la función cuadrática definida en R, y = x 2, 4 tiene los antecedentes 2 y –2; sin embargo –4 no tiene antecedentes. Sentido de variación de una función Sea una función f y un intervalo I incluido en el dominio de definición de f . Si para cada par de números a y b del intervalo I tales que a < b tenemos f ( a ) < f ( b ), entonces f es creciente en I (también decimos que f mantiene el signo). Si para cada par de números a y b del intervalo I tales que a < b tenemos f ( a ) > f ( b ), entonces f es decreciente en I ( f invierte el signo). Ejemplo: Dada la función afín f , definida en [–1, 5] como f(x) = –2 x +3, para cualquier pareja de números reales a y b tales que -1 < a < b < 5, tenemos (al multiplicar por -2 y sumar 3 para obtener las imágenes): 2 > -2 a > -2 b > -10; 5 > -2 a + 3 > -2 b + 3 > -7; es decir, 5 > f ( a ) > f ( b ) > -7. Puesto que el signo está invertido, f es decreciente en el intervalo [-1, 5]. Podemos resumir esta información en una tabla de variación: Una función afín es decreciente cuando su pendiente es negativa, mientras que si la pendiente es positiva, la función es creciente. Un operador es una función que controla una operación individual. Cuando descomponemos una función en una serie de operadores, los aplicamos sucesivamente a los valores o imágenes que vamos obteniendo. Ejemplo: La función f está definida en como f(x) = –2 x 2 + 3. La descomponemos en operadores: Si 1 < a < b , tenemos que: , entonces y . Por lo que f (a) > f (b). El signo está invertido, de manera que podemos afirmar que la función f es decreciente en el intervalo .

Hallar el signo de una función Para hallar la parte del dominio de definición de una función en la que dicha función es positiva o nula, resolvemos la inecuación . La función tendrá signo negativo en el resto del dominio. Nota: una función puede ser positiva y decreciente (por ejemplo, la función y = -2 x + 20, definida en [5, 10]) o negativa y creciente (como la función y = 2 x + 1, definida en [-10, -5]). Recuerda Los valores de la variable x que hacen que se anule el denominador de una función deben ser excluidos del dominio de definición de dicha función. De la misma forma, bajo el signo de raíz cuadrada, solo están permitidos valores positivos. Una función es creciente en un intervalo cuando los valores y para cualquier par de números a y b de dicho intervalo están en el mismo orden que a y b. Si el orden es el inverso, la función es decreciente. No debemos confundir el signo de una función con cuál es su evolución o sentido de variación. Una función puede ser positiva y decreciente y también puede ser negativa y creciente.

Representación gráfica de una función afín Sabemos que la representación gráfica de una función lineal del tipo f(x) = ax o y = ax es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Pero, ¿qué sabemos acerca de la representación gráfica de una función del tipo f(x) = ax + b o y = ax + b , también llamada función afín? I. Ejemplo Usemos una gráfica para representar la función afín f(x) = 3 x + 1 . Sea Oxy un sistema de coordenadas cartesianas; para cada valor que demos a x en el eje de abscisas, y tracemos el valor correspondiente de y , obtendremos un punto. Por ejemplo, si x = 1, f (1) = 4. Lo cual nos da el punto de coordenadas (1, 4). Es una buena idea usar una tabla como la que mostramos debajo. En la tabla, hemos elegido valores al azar para x .

Podemos observar que los puntos A , B , C y D se encuentran todos en la misma recta. De hecho, el resto de los puntos que queramos representar usando esta función, estarían todos formando parte de la misma recta. La recta es la representación gráfica de la función afín f(x) = 3 x + 1. Dibujando los puntos en los ejes de coordenadas, obtenemos la gráfica de la figura 1.

Propiedades y definiciones La representación gráfica de una función afín es una recta. La representación gráfica de una función afín del tipo f(x) = ax + b es la recta de ecuación y = ax + b ; a recibe el nombre de pendiente de la recta y b es conocida como la ordenada en el origen de la recta. La ordenada en el origen es el valor que toma la función en el punto donde la recta corta al eje de ordenadas —eje y —. Para x = 0 obtenemos que y = a · 0 + b , es decir, y = b. Estos valores se corresponderían en la gráfica con el punto cuya coordenada fuera (0, b ), tal como se muestra en la figura 2. Esto significa que el valor b de la función nos informa del lugar del eje de ordenadas en el que se produce el corte con la recta.

Método de construcción Ya sabemos que las funciones afines se representan gráficamente mediante una recta; por este motivo necesitamos encontrar al menos las coordenadas de dos puntos de la recta para poder trazarla. Puesto que también sabemos que la recta de una función del tipo y = ax + b corta al eje de ordenadas por el punto (0, b ), tan solo tenemos que encontrar un punto más. Y esto lo podemos conseguir dando un valor aleatorio a la x para obtener así su correspondiente valor para la ordenada. IV. Usar la representación gráfica para interpretar la pendiente Propiedad : si tenemos una función afín f(x) = ax + b , para cualquier valor de x 1 y x 2 ( x 1 ≠ x 2), se cumple que: Esta expresión la podemos interpretar afirmando que la pendiente de una recta es el incremento de la ordenada ( y ), cuando la abscisa ( x ) se incrementa en una unidad. En otras palabras, la ecuación anterior establece una ratio o razón que compara el desplazamiento vertical (cuánto “sube”) de la recta por cada valor de x que nos desplazamos horizontalmente. Vamos a usar el siguiente ejemplo para interpretar esta propiedad gráficamente. Consideremos la función afín f(x) = 2x – 1 . Primero creamos una tabla de valores de y dados por la función, y obtenemos así cuatro puntos de la recta que representa gráficamente a la función:

Escogemos dos valores cualesquiera x1 y x 2 de x. Por ejemplo x 1 = –2 y x 2 = 0 y calculamos la relación . Y obtenemos: En la gráfica, 0 – (–2) se corresponde con el crecimiento que experimenta el valor de x desde el punto A hasta el punto B , y f (0) – f (–2) se corresponde con el crecimiento en el valor de y desde el punto A hasta el punto B . Ahora hacemos x 1 = 1 y x 2 = 4, y obtenemos: Comprobamos que esta relación es también igual a 2. Este valor es la pendiente de la recta que representa gráficamente a la función y = 2 x – 1. Podemos observar esta propiedad de la pendiente en la figura 3.

Definir una función lineal del tipo y = ax o f(x) = ax Definir una función lineal de forma analítica Vamos a trabajar con funciones del tipo f(x) = ax (también se pueden expresar así: y = ax ), donde a es un valor constante, llamado coeficiente de la función. Por lo tanto, nuestro objetivo consistirá en encontrar un valor para el coeficiente a que nos permita escribir la función según la estructura que acabamos de describir. Encontrar el valor de a consiste en calcular cuál es el número que aplicado a la x hace que obtengamos un valor concreto para la y . Definir una función lineal a partir de una gráfica Ejemplo : queremos calcular la función lineal representada en la figura mediante la recta D . Observando e interpretando la gráfica, podemos calcular las coordenadas de un punto M cualquiera —que no sea el origen perteneciente a la recta D . En este caso, las coordenadas de M son (–5, 3).

Estudio gráfico de una función Si conocemos la expresión algebraica de una función, podemos determinar su dominio de definición y su sentido de variación. Para representarla gráficamente, construimos una tabla de valores. Recíprocamente, a partir de la representación gráfica de una función podemos deducir su dominio de definición y su tabla de variación. También podemos utilizar las representaciones gráficas de funciones para resolver ecuaciones o inecuaciones Deducir el dominio de definición de una función a partir de su representación gráfica. Para cada punto de la curva leemos sobre el eje horizontal el valor de la abscisa x . El dominio de definición es el conjunto de estas abscisas o valores de x . Puede ser un intervalo, o la unión de dos o más intervalos. Ejemplo: la gráfica siguiente está formada por puntos cuya abscisa x está comprendida entre -3 y 5, excluyendo al valor 1. Representa a una función definida en los intervalos: .

Estudio gráfico de una función Si conocemos la expresión algebraica de una función, podemos determinar su dominio de definición y su sentido de variación. Para representarla gráficamente, construimos una tabla de valores. Recíprocamente, a partir de la representación gráfica de una función podemos deducir su dominio de definición y su tabla de variación. También podemos utilizar las representaciones gráficas de funciones para resolver ecuaciones o inecuaciones. I. Deducir el dominio de definición de una función a partir de su representación gráfica Para cada punto de la curva leemos sobre el eje horizontal el valor de la abscisa x . El dominio de definición es el conjunto de estas abscisas o valores de x . Puede ser un intervalo, o la unión de dos o más intervalos. Ejemplo: la gráfica siguiente está formada por puntos cuya abscisa x está comprendida entre -3 y 5, excluyendo al valor 1. Representa a una función definida en los intervalos: . II. Construir la tabla de variación de una función a partir de su representación gráfica Una función es creciente en un intervalo I , si, al recorrer su representación gráfica de izquierda a derecha, los valores de las imágenes y correspondientes a los valores que toma x en dicho intervalo aumentan. Una función es decreciente en un intervalo I , si, al recorrer su representación gráfica de izquierda a derecha, los valores de las imágenes y correspondientes a los valores que toma x en dicho intervalo disminuyen. Una función es constante en un intervalo I , si su representación gráfica es un segmento horizontal.

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