Desarrollo taller 7

Desarrollo del Taller # 7

Cálculo II.

Ejercicios sugeridos:

1.

Primer bloque:

Ejercicio # 1:

Nos piden el área descrita entre y=x3 y y=x en el intervalo [0,1], para el cual
sabemos que la gráfica f(x)=x siempre está por encima de f(x)=x3, por lo tanto
haciendo uso de la segunda definición del Teorema Fundamental del Cálculo,
la integral definida para hallar aquella área está dada de la siguiente forma:

Como podemos ver, ahora solo nos resta hacer la evaluación respectiva
mediante la cual obtenemos la dimensión exacta del área descrita entre las dos
funciones en cuestión; como sigue:

Ejercicio # 4:

Nos piden el área descrita entre y=x2 y y=-1 en el intervalo [-1,2], y como
sabemos, la gráfica f(x)=x2 siempre está por encima de f(x)=-1 en cualquier
intervalo, por lo tanto haciendo uso de la segunda definición del Teorema
Fundamental del Cálculo, la integral definida para hallar aquella área está
dada de la siguiente forma:

Como podemos ver, ahora solo nos resta hacer la evaluación respectiva
mediante la cual obtenemos la dimensión exacta del área descrita entre las dos
funciones en cuestión; como sigue:

Carlos Fernando Ceballos González Página 1

Ejercicio # 7:

Ahora debemos hallar el área descrita entre las funciones de x=y2 y x=4, pero
esta vez teniendo en cuenta que ellas están en términos de y, por lo tanto
tomaremos esa variable como el eje de nuestro plano para poder así definir
cuál es la más exterior, es decir, cuál está más a la derecha y proceder así, a
hacer la integral definida, pero como vamos a tomar a y como el eje de nuestro
plano debemos hallar primeramente los valores en los cuales las dos funciones
se cortan, es decir, los ceros de esas dos funciones, los cuales determinamos
mediante una igualación de las mismas y despejando la variable y, de la
siguiente manera:

Como ya sabemos los valores en los cuales las funciones se cortan, entonces
procedemos a hallar la integral definida mediante el Teorema Fundamental del
Cálculo, la cual queda de la siguiente forma:

Por último realizamos la evaluación de los valores en la función, para obtener
de esta manera el valor exacto del área descrita entre las dos primeras
funciones:

Ejercicio # 8:

En este ejercicio como en el anterior no nos dan un intervalo en el cual hallar el
área, por lo cual debemos determinar los puntos en los cuales se cortan las dos
funciones siguientes, todo como sigue:

Teniendo ya los dos puntos en los cuales se cortan y sabiendo que f(x)=3x2 es
la función que está por encima, procedemos a dar forma a la integral definida
mediante el T.F.C, teniendo en cuenta que el área entre el I y IV cuadrante es
igual al área entre el II y III cuadrante, por lo que solo hallaremos una de las
dos áreas y al final multiplicaremos el resultado por 2 para poder así ahorrar
tiempo en un examen:


Ahora, vamos a evaluar los valores en la función (sabiendo lo que acontece
cuando evaluamos el cero) y obtendremos el valor exacto del área en cuestión:

Segundo bloque:

En los siguientes ejercicios nos piden esquematizar las regiones acotadas
entre las curvas dadas, yo utilicé Geogebra Portable (quien no lo tenga lo dejé
en el blog del curso); y luego nos piden hallar el área acotada entre las curvas
dadas, vamos a ver que tal.

Ejercicio # 2:

Nos piden el área acotada entre las funciones de x=0 y x=16-y2, para lo cual
primero debemos tener en cuenta que nuestro eje va a ser y. La grafica es la
siguiente:

Ahora procedemos a hallar los puntos en los cuales las dos funciones se
cortan, que a simple vista podemos observar que son 4 y -4, más sin embargo
vamos a probarlo:


Probados ya los puntos de corte, procedemos a estructurar la integral definida
del modo como lo hicimos en el ejercicio 8 del 1er bloque:

Ahora solo tenemos que evaluar los valores y obtenemos el valor del área en
cuestión, como sigue:

Ejercicio # 3:

Ahora las funciones a graficar son x=y2 y x=32-y2, las cuales son muy
parecidas a las del punto anterior (puntos de corte y simetría entre valores
positivos y negativos).

Hallando los valores donde se cortan dichas funciones, tenemos:

Ahora utilizamos la 2da definición del T.F.C:

Por último, acabamos de utilizar el T.F.C evaluando los valores (obviando el
cero) y obtenemos el valor del área en cuestión:


Ejercicio # 5:

En este punto la gráfica a realizar está dada por las funciones y=2x2 y y=5x-3,
y es la siguiente:

Para hallar los puntos de corte, procedemos a igualar las funciones,
despejando luego la variable x y aplicando la fórmula de la ecuación
cuadrática, de la siguiente manera:

De donde sabemos que:

Ahora vamos a aplicar el T.F.C para dar forma a la integral definida y
posteriormente hallar el valor del área correspondiente:

Ahora, haciendo la evaluación de los puntos donde se cortan las funciones
tenemos:


Ejercicio # 6:

Este ejercicio es igual al anterior en cuanto al hallar los puntos de corte, por lo
tanto obviaremos esa parte, y entonces tenemos que las funciones de y=x2 y
y=3+5x-x2 se cortan en los puntos:

La siguiente es la gráfica correspondiente:

Y la integral definida que describe el valor del área comprendida entre esas dos
funciones es la siguiente:

Por último realizamos la evaluación correspondiente, la cual nos da el valor
exacto del área entre las dos curvas:

Ejercicio # 9:

Ahora nos piden hallar el área descrita entre las curvas y=x3 y y=2x-x2, la cual
está representada en la siguiente gráfica:


Para hallar los puntos de corte simplemente igualaremos las funciones como
sigue y fácilmente (también para ahorrarnos trabajo) mediante el método de
ensayo y error los obtenemos, todo así:

Ahora haremos la integral definida desde -2 a 0 y desde 0 a 1, para luego
sumarlas y obtener el área total entre las dos curvas, teniendo en cuenta que lo
haremos debido a que en el I cuadrante se producen un cambio en la posición
de las mismas con respecto a su posición antes de cero; veamos:

Luego terminamos de aplicar la 2da definición del T.F.C y obtenemos las áreas
por separado correspondientes a las dos regiones respectivamente según el
gráfico, las cuales terminamos sumándolas para saber el valor total del área
acotada entre las dos curvas, veamos:

Ejercicio # 11:

El último ejercicio de este primer punto de la tarea es hallar el área descrita
entre las tres curvas y=x3, y=x+6 y y=-x, la cuales están representadas en la
siguiente gráfica:

Como podemos ver, en el II cuadrante solamente están presentes las funciones
y=x+6 y y=-x, y en I cuadrante únicamente intervienen las funciones y=x+6 y
y=x3, por lo tanto dividiremos la integral en dos partes para luego sumar los dos
valores obtenidos y conocer el valor total del área, pero primero hallaremos los
ceros del modo como lo hicimos en el anterior ejercicio (ensayo y error)
teniendo en cuenta la condición ya descrita, siendo estos x=-3 y x=2
respectivamente.

Ahora definiremos la estructura de la integral definida mediante a 2da definición
del T.F.C, la cual queda de la siguiente forma:

Seguidamente terminamos de aplicar el T.F.C (obviando los ceros) y sumamos
los valores correspondientes a las dos áreas, para obtener finalmente el valor
total del área descrita entre las curvas en cuestión:


2.

Ahora haremos los ejercicios pedidos en la guía los cuales corresponden a las
páginas 74 y 75, en los cuales nos piden bosquejar los sólidos descritos sin
necesidad (según la guía) de hallar el volumen de los mismos.

Ejercicio # 1:

El siguiente es el sólido generado por y=x2, y=0 y x=1

Girándolo entorno al eje x obtendremos la boca de una trompeta, veamos

:

Ejercicio # 3:

El sólido que sigue es el descrito por y=Sen(x) en [0, π], y y=0,


Ahora, haciéndole girar entorno al eje x obtendremos algo parecido a un
círculo, veamos:

Ejercicio # 6:

Por último tenemos que bosquejar la gráfica descrita entre y=1-x2 y y=0,

Ahora, haciéndolo girar sobre el eje x, obtenemos un sólido parecido al del
ejercicio anterior, aunque un poco más redondo:


Por fin terminamos los ejercicios de la tarea, pero como última ayuda quiero
mostrar la fórmula con la cual se hace el primer punto de los Ejercicios
Adicionales de la guía correspondiente, el cual consta en hallar el valor
promedio de la función sobre el intervalo que ahí se da. La fórmula es la
siguiente:


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