Diadas

Productos di´dicos, diadas y tensores
a
Lo que sigue es una introducciń, bastante poco rigurosa, del concepto de producto di´dico y sus
o a
posibles aplicaciones al c´lculo tensorial. Al final figuran una serie de problemas de aplicaciń de esta
a o
tćnica.
e

1 Definiciń de producto di´dico
o a
En el espacio tridimensional ordinario se suelen emplear dos productos entre vectores, el escalar, A·B,
y el vectorial, A × B. Como su propio nombre indica, el primero es un escalar (esto es, un n´mero),
u
mientras que el segundo es un vector (rigurosamente hablando, es un seudovector).
Es posible definir un tercer producto que tiene caracter tensorial. Este producto di´dico (o ten-
a
sorial) puede representarse en coordenadas cartesianas por una matriz 3 × 3 cuyos elementos son los
productos de las respectivas componentes
⎛ ⎞
Ax Bx Ax By Ax Bz
(AB) = ⎝ Ay Bx Ay By Ay Bz ⎠
Az Bx Az By Az Bz
El producto di´dico se indica sin punto, AB. Tambiń se representa con el s´
a e ımbolo de producto
tensorial como A ⊗ B. Al ente que forma se denomina diada.
Esta matriz puede obtenerse a partir de la representaciń de cada vector como una matriz fila o
o
columna, ya que
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Ax Bx Ax By Ax Bz Ax
(AB) = ⎝ Ay Bx Ay By Ay Bz ⎠ = ⎝ Ay ⎠ · ( Bx By Bz )
Az Bx Az By Az Bz Az
Puede compararse con el producto escalar, que es
⎛ ⎞
Bx
A·B = Ax Bx + Ay By + Az Bz = ( Ax Ay Az ) · ⎝ By ⎠
Bz
Debe recalcarse que la matriz es la representaciń del tensor, pero no es el tensor, del mismo modo
o
que un vector no son sus tres componentes, ya que ´stas pueden cambiar en una transformaciń de
e o
coordenadas o en un cambio de ejes, aunque el vector siga siendo el mismo.

2 Propiedades del producto di´dico
a
2.1 Linealidad
El producto di´dico, as´ definido, es lineal respecto a los dos vectores que lo forman, esto es
a ı
A(λB + μC) = λAB + μAC
(λA + μC)B = λAB + μCB
Esta propiedad no es exclusiva de este producto. Tambiń el producto escalar y el vectorial la satis-
e
facen.

Departamento de Fsica Aplicada III
Campos Electromagnticos 2

2.2 Simetr´ o antisimetr´
ıa ıa
A diferencia del producto escalar, que es conmutativo, y del vectorial, que es anticonmutativo, el
producto di´dico no ser´, en general, ni una cosa ni la otra. Es facil ver por qu´: el producto Ax By
a a e
no tiene por que coincidir con Ay Bx . As´ pues
ı

AB = BA

2.3 Traza
La traza del producto di´dico se define como la suma de los elementos diagonales. Se deduce entonces
a
que
Tr(AB) = Ax Bx + Ay By + Az Bz = A·B

2.4 Producto escalar de una diada por un vector
Puede multiplicarse escalarmente una diada por otro vector an´logamente a como una matriz 3 × 3 se
a
multiplica por un vector columna. Resulta entonces

(AB)·C = A(B·C)

N´tese el diferente caracter de los t´rminos de esta expresiń. En el primer miembro tenemos el
o e o
producto de un tensor por un vector; en el segundo, el de un vector por un escalar. N´tese tambien
o
la posiciń del punto.
o
Tenemos pues que el producto de una diada por un vector da otro vector que, en general, tendrá
una direcciń y un m´dulo diferente al original. De hecho, esta definiciń permite definir las diadas
o o o
en una forma abstracta, independiente del sistema de coordenadas elegido, en forma de un operador
vectorial.

2.5 Otros productos
Igualmente se puede multiplicar un vector escalarmente por la derecha

C·(AB) ≡ (C·A)B

(obs´rvese que el resultado cambia segń el lado por el que se multiplique). Tambiń se puede multi-
e u e
plicar simultaneamente por ambos lados. En este caso, el resultado es un n´mero.
u

C·(AB)·D = (C·A)(B·D)

Asimismo se puede multiplicar vectorialmente

(AB) × C = A(B × C)

en este caso, el resultado es otra diada. En general, todos los productos definidos sobre vectores son
generalizables a diadas.


3 Base de las diadas
De la propiedad de linealidad resulta de forma inmediata que
⎛ ⎞

AB = Ai ui ⎝ Bj uj ⎠ = Ai Bj ui uj
i j i,j

por lo que, conocidos los productos di´dicos de los vectores de la base, podemos expresar cualquier
a
diada en funciń de ellos. Por su parte, se tiene que, por ejemplo,
o
⎛ ⎞
0 1 0
ux uy = ⎝0 0 0⎠
0 0 0
En general, el producto de dos vectores unitarios en cartesianas puede representarse, en forma matri-
cial, como una matriz con un elemento unitario y los dem´s nulos. Por ello, podemos concluir que los
a
productos di´dicos de los vectores unitarios forman un sistema generador del conjunto de las diadas.
a

4 Tensores cartesianos
Partiendo de la analog´ tensor/matriz puede extenderse lo dicho a todos los tensores, esto es, cualquier
ıa
tensor puede expresarse como combinaciń lineal de diadas unitarias. En forma algebraica
o

M= Mij ui uj
ij

donde los Mij son los elementos de la matriz que representa al tensor en coordenadas cartesianas.
Es inmediato que las definiciones y propiedades del algebra matricial pueden expresarse asimismo
´
en su forma di´dica.
a

4.1 Tensor unidad (o identidad)
Un tensor especialmente importante es el unitario, que se caracteriza por que todos los elementos de
la diagonal valen la unidad y el resto son nulos. Se sigue que

I = ux ux + uy uy + uz uz

Puede comprobarse que se trata del tensor identidad viendo como actá sobre un vector arbitario
u

I·A = (ux ux + uy uy + uz uz )·A = ux (ux ·A) + uy (uy ·A) + uz (uz ·A) =

= ux Ax + uy Ay + uz Az = A

5 Cambios de base
Con lo dicho hasta ahora no se evidencia ninguna ventaja de la expresiń di´dica de un tensor sobre
o a
´
la expresiń matricial. Estas aparecen cuando se considera que mientras que la ultima es v´lida s´lo
o ´ a o
en coordenadas cartesianas, la primera es manejable tanto en su forma abstracta como en cualquier
sistema.


Consideremos, por ejemplo, la diada

M = rr = x2 ux ux + xy(ux uy + uy ux ) + · · · + z 2 uz uz

Tanto esta expresiń como la matricial tienen nueve componentes no nulas. Sin embargo, si empleamos
o
coordenadas esf´ricas queda
e
M = rr = r 2 ur ur
esto es, s´lo una componente es no nula y, por tratarse del mismo tensor (que, recordemos, es inde-
o
pendiente del sistema de coordenadas) es mucho m´s fćil trabajar con esta expresiń.
a a o
Hay que remarcar que, cuando se usan coordenadas no cartesianas, la expresiń matricial del tensor
o
carece de utilidad (en cuanto que no se va a comportar como lo hacen las matrices “normales”).
En particular la expresiń del tensor identidad en cualquier base ortogonal es
o

I = u1 u1 + u2 u2 + u3 u3

Para realizar el cambio de un sistema de coordenadas a otro las reglas de transformaciń son o
an´logas a las que se aplican entre vectores, s´lo hay que aplicarlas a cada uno de los vectores unitarios
a o
que componen las diadas. Por ejemplo

ur ur = (sen θuρ + cos θuz )(sen θuρ + cos θuz ) =

= sen2 θuρ uρ + sen θ cos θ(uρ uz + uz uρ ) + cos2 θuz uz
Es posible tambiń construir una base del espacio de los tensores combinando dos bases vectoriales
e
diferentes (por ejemplo, construyendo los productos ux ur , uy uθ y similares), pero no suele ser de
mucha utilidad.

6 C´lculo diferencial con diadas
a
A semejanza de lo que ocurre en el caso escalar y vectorial, es posible desarrollar el c´lculo del operador
a
nabla para diadas.

6.1 Gradiente de un vector
Del mismo modo que el producto escalar y vectorial de nabla por un vector generaban la divergencia
y el rotacional, respectivamente, el producto di´dico produce un tensor, conocido como el gradiente
a
del vector. En coordenadas cartesianas, la expresiń de ´ste es
o e
⎛ ⎞
∂Ax ∂Ay ∂Az
⎜ ∂x ∂x ∂x ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ∂Ax ∂Ay ∂Az ⎟
(∇A) = ⎜ ⎟
⎜ ∂y ∂y ∂y ⎟
⎜ ⎟
⎝ ∂Ax ∂Ay ∂Az ⎠
∂z ∂z ∂z
Si se emplean coordenadas diferentes de las cartesianas es importante tener en cuenta las derivadas
de los vectores unitarios.


Si el vector A es el de posiciń r resulta
o
∂ ∂ ∂
∇r = ux + uy + uz (xux + yuy + zuz ) =
∂x ∂y ∂z
= ux ux + uy uy + uz uz = I
esto es, el gradiente del vector de posiciń es el tensor identidad. Resulta entonces la siguiente relaciń
o o

(A·∇)r = A·(∇r) = A·I = A

6.2 Divergencia de un tensor
La divergencia de un tensor se define como el producto escalar del operador nabla por el tensor en
cuestiń. Resulta entonces que son posibles dos divergencias, segń que el producto se haga por la
o u
derecha o por la izquierda.
La divergencia de una diada es

∇·(AB) = ∇·(AB) + ∇·(AB) = (∇·A)B + (A·∇)B

6.3 Otros operadores diferenciales
Igualmente se pueden definir el rotacional de un tensor y de una diada (por la derecha o por la
izquierda)
∇ × (AB)
o el gradiente del gradiente de un escalar
∇∇φ
que es un tensor; el gradiente de un rotacional de un vector, etc.

7 Teoremas integrales
Los teoremas de Stokes y de Gauss pueden generalizarse a tensores por simple sustituciń. As´ para
o ı,
el de Gauss se tiene
∇·T dτ = n·T dS
τ ∂τ
(n´tese que el orden de los factores es importante).
o
Igualmente puede definirse el gradiente de un vector a partir de la expresiń
o
1
∇A = lim nA dS
τ →0 τ ∂τ

y obtener el teorema integral correspondiente

∇A dτ = nA dS
τ ∂τ


8 Diadas aplicadas a la f´
ısica
La introducciń de las diadas no pasar´ de se un simple juego matem´tico si no sirvieran para
o ıa a
simplificar las leyes f´
ısicas. En la f´
ısica aparecen frecuentemente tensores cartesianos, todos los cuales
admiten la expresiń di´dica correspondiente. En algunos caso ´sta es m´s simple que las expresiones
o a e a
matriciales correspondientes. Veamos tres ejemplos, uno de mecńica y dos de electromagnetismo.
a

8.1 Tensor de inercia
ıgido, se introduce el tensor de inercia J que, para un punto material, es
Cuando se estudia el s´lido r´
o
una matriz con componentes
⎛ 2 ⎞
y + z2 −xy −xz
(J ) = m ⎝ −xy x2 + y2 −yz ⎠
−xy −yz x 2 + y2

En forma di´dica este tensor se escribe simplemente como
a

J = m(r 2 I − rr)

Usando la expresiń di´dica podemos obtener, por ejemplo, el valor del momento angular
o a

L = J ·ω = m(r 2 I·ω − (rr)·ω) =

m(r 2 ω − r(r·ω)) = mr × (ω × r)
Si lo que queremos es hallar el tensor de inercia de una distribuciń tendremos que
o

J = ρ(r 2 I − rr) dτ

Tambiń podemos obtener el tensor de inercia para una part´
e ıcula en coordenadas esf´ricas como
e

J = m(r 2 (ur ur + uθ uθ + uϕ uϕ ) − (r 2 ur ur )) =

= mr 2 (uθ uθ + uϕ uϕ )

8.2 Momento cuadrupolar
Cuando se hace el desarrollo multipolar para calcular el potencial elćtrico creado por una distribuciń
e o
de carga en puntos alejados de la misma se obtiene que
1 q p·r r·Q·r
φ= + 3 + + ···
4πε0 r r r5
Los distintos coeficientes son los llamados momentos multipolares. el primero, la carga, es un escalar.
El segundo, el momento dipolar, es un vector. El tercero, el momento cuadrupolar, es un tensor. Para
una carga puntual la expresiń de este tensor es una matriz de componentes
o

3xi xj − r 2 δij
Qij = q
2


y expresiones integrales an´logas para una distribuciń. En forma di´dica, el momento cuadrupolar
a o a
se escribe
3rr − r 2 I
Q=q
2
Si tenemos, por ejemplo, una carga puntual situada en auz tendremos que su momento cuadrupolar
respecto al origen es
3uz uz − ux ux − uy uy − uz uz
Q = qa2 =
2
−ux ux − uy uy + 2uz uz
= qa2
2
los que nos da, directamente, las nueve componentes de la matriz correspondiente
⎛ ⎞
−1 0 0
qa2 ⎝
(Q) = 0 −1 0 ⎠
2
0 0 2

Si ahora pretendemos calcular la contribuciń cuadrupolar al potencial resultar´
o a

qa2 qa2 (2z 2 − x2 − y 2 )
φc = (r·(−ux ux − uy uy + 2uz uz )·r) =
8πε0 r 5 8πε0 r 5

8.3 Tensor de tensiones de Maxwell
En situaciones electrost´ticas, es posible calcular la fuerza sobre un sistema directamente a partir del
a
campo (sin conocer la densidad de carga que sufre la fuerza). Esto se consigue mediante el tensor de
tensiones de Maxwell, en la forma
F= T ·n dS

esto es, la fuerza equivale al flujo sobre una superficie cerrada, que envuelva al sistema en cuestiń,
o
del citado tensor, cuya expresiń di´dica es
o a
1
T = ε0 EE − E 2 I
2
Esta expresiń es v´lida en el vac´ En un dielćtrico lineal esta expresiń se convierte en
o a ıo. e o
1
T = ED − E·DI
2
La expresiń matricial correspondiente, mucho m´s complicada, es
o a
⎛ 2 2 2 ⎞
Ex − Ey − Ez 2Ex Ey 2Ex Ez
ε0 ⎝ 2 − E2 − E2 ⎠
(T ) = 2Ex Ey Ey x z 2Ey Ez
2 2 − E2 − E2
2Ex Ez 2Ey Ez Ez z y

Si adem´s de campos elćtricos tenemos campos magn´ticos presentes la expresiń del tensor de
a e e o
tensiones de Maxwell para el vac´ es
ıo
1 1 1
T = ε0 EE − E 2 I + BB − B 2 I
2 μ0 2


9 . . . y m´s all´
a a
Hasta aqu´ hemos hablado de las diadas como un producto entre dos vectores y lo hemos aplicado
ı
al estudio de los tensores cartesianos de segundo orden exclusivamente. Sin embargo, todo lo dicho
no es m´s que un caso particular de un producto tensorial, extensible a cualquier orden y cualquier
a
m´trica. No existe problema en definir el producto di´dico de tres vectores ABC que ser´ un tensor
e a ıa
de tercer orden, imposible de representar por una matriz. Tambiń es posible tratar las diadas como
e
un caso particular de aplicaciń lineal sobre los vectores. Cabe entonces hablar de diadas duales, de
o
coordenadas covariantes y contravariantes, etc. Para todo ello existe bibliograf´ disponible.
ıa

10 Problemas
1. Hallar la expresiń matricial de los siguientes productos di´dicos.
o a
(a)

AB con A = ux + uy − 2uz B = ux − uz

(b)

ur ur
(c)

uθ uz

2. Es fćil ver que el conjunto de las diadas no forma un espacio vectorial, ya que la suma de dos
a
diadas, AB + CD, no ser´, en general, otra diada. ¿Cu´l es la condiciń o condiciones para que
a a o
s´ se de esta relaciń?
ı o

3. ¿Cu´les son los autovalores de una diada, considerada como operador que actá en el espacio de
a u
los vectores? ¿Y los autovectores correspondientes? En otras palabras, dada la relaciń
o

(AB)·x = λx

hallar los valores posibles de λ y x.

4. Repetir el problema anterior para el c´lculo de los llamados autovectores por la izquierda, defi-
a
nidos como los x tales que
x·(AB) = λx

5. Se define la diada traspuesta de una dada como

(AB)t = BA

(a) Demostrar que toda diada puede ponerse como suma de un tensor sim´trico (igual a su
e
traspuesto) y de uno antisim´trico (igual a su traspuesto cambiado de signo)
e

AB = S + A

Hallar S y A (sugerencia: hallar la traspuesta de la expresiń anterior).
o


(b) En el c´lculo anterior, ¿qu´ representan las componentes del tensor antisim´trico A?
a e e
(c) ¿Cu´l es la condiciń para que una diada sea sim´trica (AB = BA)? ¿Y para que sea
a o e
antisim´trica (AB = −BA)?
e
(d) A partir de la base cartesiana de las diadas, hallar una base del subespacio de tensores
sim´tricos y del de tensores antisim´tricos.
e e

6. Demostrar que todo tensor se puede escribir como

M = Aux + Buy + Cuz

¿Cuńto valen A, B y C? Esto permite considerar los tensores como vectores de vectores y
a
muestra que todo tensor puede ponerse como combinaciń de s´lo tres diadas.
o o

7. Expresar el tensor rr − r 2 I en coordenadas cil´
ındricas.

8. Hallar las componentes cartesianas del tensor I × A.

9. Obtener las componentes del gradiente de un vector en coordenadas cil´
ındricas. Recu´rdese que
e
∂uρ ∂uϕ
= uϕ = −uρ
∂ϕ ∂ϕ
y todas las demas derivadas son nulas.

10. Hallar la divergencia y el rotacional del tensor Ar, con A un vector constante.

11. Hallar el gradiente del campo vectorial A = r n ur y del B = ρn uρ .

12. Demostrar que si un tensor es el gradiente de un vector, su rotacional es nulo.

13. Hallar el tensor de inercia de una varilla homogńea de longitud L, colocada a lo largo del eje z
e
y con centro en el origen de coordenadas.

14. Hallar el momento cuadrupolar de un anillo de radio R con densidad de carga λ situado en el
plano xy con centro el origen de coordenadas.

15. Determinar, empleando el tensor de tensiones de Maxwell, que una carga puntual no ejerce
fuerza sobre s´ misma.
ı

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