07

Cap´
ıtulo 7

Torque, centro de masas y
equilibrio

7.1. Producto vectorial
Para lo que sigue, necesitamos introducir una nueva operaciń entre dos vectores, llamada
o
producto vectorial o producto cruz.

Definiciń:
o
Sean A y B dos vectores. Entonces definimos el vector C, que es el producto vectorial de
A y B, por:
ˆ
C = A × B ≡ |A| |B| sin γ C , (7.1)
a a n ˆ
donde γ es el ńgulo (m´s pequeõ) entre los dos vectores A y B, y C es un vector unitario
perpendicular al plano engendrado por los vectores A y B.

Hay dos vectores unitarios que son perpendiculares al plano engendrado por los vectores A
y B. Por convenciń debe usarse el que se obtiene usando la regla de la mano derecha.
o

Regla de la mano derecha: Empu˜e la mano y estire el dedo pulgar. Oriente los dedos
n
empuãdos de manera que apunten a lo largo del ńgulo γ (desde A hacia B); entonces el
n a
ˆ
pulgar indica la direcciń y sentido del vector C.
o

De la definiciń se desprende que el producto cruz de dos vectores es otro vector. Notemos
o
que la definiciń del vector C es independiente de cualquier sistema de coordenadas. Es
o
inmediato que
x×x=y×y =z×z =0,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
x × y = −ˆ × x = z ,
ˆ ˆ y ˆ ˆ
y × z = −ˆ × y = x
ˆ ˆ z ˆ ˆ
y
z × x = −ˆ × z = y .
ˆ ˆ x ˆ ˆ

183

184 Torque, centro de masas y equilibrio

Una caracter´ıstica importante del producto cruz es que no es conmutativo, sino anticon-
mutativo; en efecto, de la definiciń se observa inmediatamente que:
o

A × B = −B × A

El producto cruz es distributivo respecto a la suma de vectores:

A × (B + C) = A × B + A × C .

y
(A + B) × C = A × C + B × C .

Evaluemos el producto cruz entre los dos vectores A y B en t´rminos de sus coordenadas.
e
Sean A y B dos vectores

A = (Ax , Ay , Az ) = Ax x + Ay y + Az z
ˆ ˆ ˆ

B = (Bx , By , Bz ) = Bx x + By y + Bz z ,
ˆ ˆ ˆ
entonces se tiene

A × B = (Ax x + Ay y + Az z ) × (Bx x + By y + Bz z )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
= Ax Bx x × x + Ax By x × y + Ax Bz x × z + Ay Bx y × x + Ay By y × y +
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
+Ay Bz y × z + Az Bx z × x + Az By z × y + Az Bz z × z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
= (Ax By − Ay Bx )ˆ + (Ay Bz − Az By )ˆ + (Az Bx − Ax Bz )ˆ
z x y

Considere el paralel´gramo engendrado
o
por dos vectores A y B (ver figura 7.1).
El ´rea de tal paralel´gramo viene dado
a o
por
´
Area = |A × B| .

Figura 7.1

Ilustremos el uso del producto cruz con dos problemas.

Problema 1: Sean P1 =(2,1,5), P2 =(5,2,8) y P3 =(4,8,2) las coordenadas de los v´rtices
e
de un trińgulo. Calcule su ´rea.
a a

Soluciń: El vector que une los puntos P1 y P2 es
o

A = 3ˆ + y + 3ˆ ,
x ˆ z

mientras que el vector que une los puntos P1 y P3 es

B = 2ˆ + 7ˆ − 3ˆ .
x y z

7.1 Producto vectorial 185

Ahora observe que el m´dulo del producto vectorial de los vectores A y B es igual al doble
o
de ´rea del trińgulo, por lo tanto
a a

´ 1
Area del = |A × B|
2
1
= | − 24ˆ + 15ˆ + 19ˆ|
x y z 17, 04
2

Problema 2: Sean A y B dos vectores
unitarios en el plano x, y , que forman
ńgulos −α y β con el eje x, respectiva-
a ˆ
mente (ver figura 7.2). Evalé el produc-
u
to cruz de estos vectores de dos maneras,
una vez usando la definiciń y la segunda
o
vez usando la expresiń en t´rminos de las
o e
coordenadas cartesianas, y de esta manera
encuentre una expresiń para sin(α + β).
o Figura 7.2

Soluciń: El ńgulo entre los vectores A y B es α + β, luego
o a

|A × B| = |A| |B| | sin(α + β)| = sin(α + β) .

Por otra parte

|A × B| = |(cos α x − sin α y ) × (cos β x + sin β y |
ˆ ˆ ˆ ˆ
= |(cos α sin β + sin α cos β) z | = cos α sin β + sin α cos β .
ˆ

Igualando las dos expresiones anteriores concluimos que

sin(α + β) = cos α sin β + sin α cos β .

Ejercicios:

1. ˆ
Encuentre un vector unitario A que sea simultńeamente perpendicular a los vectores
a
x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a ˆ
u = 2ˆ + y − z y v = x − y + z . ¿Cuńtos vectores unitarios A existen con esta
propiedad?

2. Sea A = x + 3ˆ − 2ˆ. Encuentre un vector en el plano x, y que sea perpendicular a
ˆ z y ˆ ˆ
A.

3. Verifique la expansiń del producto vectorial triple:
o

A × (B × C) = B (A · C) − C (A · B)

por expansiń directa en coordenadas cartesianas.
o


4. Considere los vectores A = x + y , B = y + z y C = x − z .
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

a) Evalé el producto escalar triple A · (B × C).
u
b) Evalé A × (B × C).
u

5. Encuentre un vector que sea perpendicular al plano que pasa por los puntos P1 =
(1, 1, 1), P2 = (1, 2, 3) y P3 = (2, 3, 1).

Respuesta: C = α (−4ˆ = 2ˆ − z ) con α un n´mero real no nulo.
x y ˆ u

6. Encuentre un vector que apunte a lo largo de la intersecciń de los planos engendrados
o
por los vectores A = x+2ˆ, B = x−3ˆ y C = z +2ˆ−ˆ, D = y +2ˆ , respectivamente.
ˆ y ˆ y ˆ x y ˆ z

7.2. Torque
Considere un objeto (por ejemplo, una ba-
rra) que en cierto instante se encuentra en
reposo. Que la fuerza total sobre la barra
sea nula, y por lo tanto (usando la segunda
ley de Newton) su aceleraciń sea nula, no
o
significa que ´sta no empezar´ a moverse.
e a
Una situaciń de ese tipo se muestra en
o
la figura 7.3. La fuerza total (es decir, la
suma vectorial de la dos fuerzas aplicadas
sobre la barra) es nula y efectivamente la
barra como un todo no se trasladar´; sin
a Figura 7.3
embargo, las dos fuerzas paulatinamente
harń que la barra rote.
a
Consideremos ahora la palanca mostrada
en la figura 7.4. Ignoremos por un momen-
to el peso de la palanca. ¿Qu´ fuerza de-
e
bemos hacer para mantener la palanca en
equilibrio? Ya en la antigëdad los griegos
u
conoc´ la respuesta:
ıan
x
F = Mg . Figura 7.4
L

La ley que describe los resultados emp´
ıricos de este tipo de situaciones, llamada ley de las
palancas, se puede enunciar fćilmente si se introduce el concepto de torque.
a

7.2 Torque 187

Definiciń: El torque τ que genera una fuerza F respecto a un punto P es
o

τ ≡r×F ,

donde r es el vector que va desde el punto P hasta el lugar donde se aplica la fuerza F .

El torque es la magnitud responsable de hacer girar a los objetos. El torque apunta en la
direcciń del eje de giro y en el sentido dado por la regla de la mano derecha (si los dedos
o
empuãdos indican el sentido de la rotaciń entonces el pulgar extendido apunta a lo largo
n o
del eje de giro).
Note que el torque que ejerce una fuerza depende de la posiciń del punto Q donde ´sta
o e
se aplica y del P respecto al cual estamos evaluando el torque. Una fuerza F , respecto a
puntos distintos, ejerce torques distintos.

En el objeto mostrado en la figura 7.5 se
aplica una fuerza en el punto Q. La mag-
nitud del torque se puede evaluar multipli-
cando el tamaõ de la fuerza por el brazo.
n
El brazo es la distancia entre el punto P y
recta que indica la direcciń de F que pa-
o
sa por el punto Q. Con respecto al punto
P1 el m´dulo del torque producido por la
o
fuerza F es F a, donde F = |F | y a es el
brazo. El vector τ apunta normal a la hoja
de papel en direcciń del lector. Respecto
o Figura 7.5
al punto P2 el torque generado por la fuer-
za F es nulo, ya que el brazo es nulo.

El conocimiento emp´ ırico que se tiene sobre palancas, y en general, sobre objetos en equili-
brio (es decir, objetos que no aceleran ni comienzan a rotar) permite enunciar la siguiente
ley (que complementa a la primera ley de Newton):

Si el torque neto ejercido por las fuerzas que actán sobre un cuerpo, respecto
u
a un punto P , es nulo, entonces el cuerpo no cambiar´ su estado rotacional (o
a
sea, si no estaba rotando en torno a P , no comenzar´ a rotar en torno a ese
a
punto y si estaba rotando con cierta velocidad angular, seguir´ rotando con la
a
misma velocidad angular).

Ejercicio: Demuestre que para la situaciń mostrada en la figura 7.4, el torque neto, en
o
torno al punto 0, ejercido por las tres fuerzas que actán sobre la palanca, es nulo. (Ignore
u
el peso de la palanca.)


7.3. Centro de masas

La evaluaciń del torque debido al peso de
o
un objeto se simplifica considerablemente
si se introduce el concepto de centro de
masas, que ya mencionado en el cap´ ıtulo
anterior.

Consideremos dos masas m1 y m2 , unidas
por una barra de masa despreciable, den-
tro de un campo gravitacional g = −gˆ.z
Evaluemos el torque neto debido al peso Figura 7.6
de las masas en torno al punto P .
Tenemos:

τ = r1 × (−m1 gˆ) + r2 × (−m2 gˆ)
z z
(m1 r1 + m2 r2 )
= × (−M gˆ)
z
M
Sea M = m1 + m2 y definamos
1
rcm = (m1 r1 + m2 r2 ) ,
M
entonces
τ = rcm × (−M gˆ) .
z
O sea, una vez conocido el vector de posiciń del centro de masas rcm , podemos evaluar el
o
torque debido a la fuerza de gravedad suponiendo que la masa total del objeto se encuentra
en ese lugar.

El concepto centro de masas ha aperecido en varias oportunidades. Defin´moslo y analice-
a
mos algunas de sus propiedades:
Para N masas discretas {mj }j en los lugares {rj }j , la posiciń del centro de masas viene
o
dada por
N
1
rcm = mj rj ,
M
j=1

con M = m1 + m2 + · · · + mN . Para el caso de una l´mina (en el plano x, y, con el origen
a
en ese mismo plano) de densidad superficial σ(x, y), la posiciń del centro de masas viene
o
dada por
1
rcm = (xˆ + y y ) σ(x, y) dx dy .
x ˆ
M l´mina
a
Para un cuerpo s´lido de densidad ρ(x, y, z), la posiciń del centro de masas viene dada por
o o

1
rcm = r ρ(x, y, z) dx dy dz .
M cuerpo

7.3 Centro de masas 189

Los siguientes seis ejercicios se refieren a importantes propiedades del centro de masas.

Ejercicios:

1. A pesar de que el vector centro de masas rcm dependa del origen que se elija para
evaluarlo, la posiciń del centro de masas es independiente de la elecciń del origen.
o o

Sea rcm el vector posiciń del centro de
o
masas de un objeto evaluado usando un
sistema de referencia cuyo origen es O y
rcm el resultado que se obtiene usando
otro sistema de coordenadas cuyo origen
es O . Demuestre que

rcm = r cm + a ,

donde a es el vector que une los dos or´
ıge-
nes. Figura 7.7

2. Considere tres masas m1 = m0 , m2 = 3m0 y m3 = 6m0 , ubicadas en los lugares

r1 = x + 3ˆ ,
ˆ y r2 = −ˆ + 2ˆ y r3 = 5ˆ + 3ˆ − 2ˆ ,
x z x y z

respectivamente. Encuentre la posiciń del centro de masas usando los dos procedi-
o
mientos siguientes:

a) Usando la f´rmula
o
i mi ri
rcm = .
j mj

b) Encontrando primero el centro de masas del subsistema formado por las part´
ıcu-
las 1 y 2 solamente y luego encontrando el centro de masas de este subsistema
con la part´
ıcula # 3.
c) Formule en palabras una generalizaciń (importante) de este resultado.
o

3. Convńzase de que si un objeto tiene ejes y planos de simetr´ entonces el centro de
e ıa,
masas se ubica en tales planos y ejes. Por ejemplo, de acuerdo a este resultado, en una
esfera, un cilindro recto, etc., el centro de masas se ubicar´ al centro de tales objetos.
a

4. Considere un cuerpo compuesto de N masas mj , situados en los lugares rj , con
j = 1, 2, 3, . . . , N . Demuestre que la energ´ potencial de tal cuerpo, en un cam-
ıa
po gravitacional constante, se puede evaluar suponiendo que toda su masa M =
m1 + m2 + · · · + mN est´ concentrada en su centro de masas.
a


5. Considere un cuerpo compuesto de N masas mj , situados en los lugares rj , con j =
1, 2, 3, . . . , N . Demuestre que para evaluar el torque total respecto a un punto P
debido a la fuerza de gravedad (constante), basta suponer que toda la masa del cuerpo
est´ concentrada en el centro de masas.
a

6. Considere un sistema que consiste de dos masas m y M puntuales separadas por una
distancia a. Demuestre que la posiciń del centro de masas del sistema se ubica sobre
o
la recta que las une, encontrńdose m´s cercano a la masa mayor.
a a

7.4. Evaluaciń num´rica del centro de masas de un semic´
o e ırcu-
lo

Problema: Encontrar num´ricamente el centro de masas de una l´mina semicircular de
e a
radio R y densidad superficial uniforme σ0 .

Soluciń: Dividamos el semic´
o ırculo en N franjas de ancho dz = R/N y luego aproxi-
memos las franjas por rectńgulos (ver figura 7.8). El centro de masa del rectńgulo j se
a a
encontrar´ en el lugar
a
1 R (j − 1/2)
rj = j dz − dz z=
ˆ z
ˆ j = 1, . . . , N .
2 N
El ´rea del rectńgulo j viene dada por
a a
Aj = (ancho) · (largo)
= dz 2 xj
R
= 2· · R2 − R2 (j − 1)2 /N 2
N
2
R
= 2 N 2 − (j − 1)2
N

Figura 7.8

7.4 Evaluaciń num´rica del centro de masas
o e 191

Encontremos ahora el centro de masas de los centros de masas de todos los rectńgulos. Se
a
tiene:

j rj · (masa de rectńgulo j)
a
Rcm =
(masa del semic´
ırculo)
2
R(j − 1/2) R 1
= z σ0 2
ˆ N 2 − (j − 1)2
j
N N σ0 1
2 π R2
N
4R
= N 2 − (j − 1)2 (j − 1/2) z
ˆ
πN 3
j=1
= f (N )Rˆ ,
z

donde

N
4
f (N ) ≡ N 2 − (j − 1)2 (j − 1/2) .
πN 3
j=1

El valor exacto para Rcm se obtiene para valores grandes de N .

Para valores de N no demasiado grandes podemos evaluar f (N ) con una calculadora (h´galo
a
para N = 1 y N = 2 y compare su resultado con el de la tabla). Para valores grandes de
N debemos hacer un pequeõ programa y usar una computadora.
n

Un pequeõ programa en BASIC que permite evaluar f (N ) (para N = 500) es:
n

PI = 3.1415926
N = 500
S=0
FOR J = 1 TO N
S = S + SQR(N*N – (J – 1)*(J –1)) * (J – 0.5)
NEXT J
F = 4*S / (PI*N*N*N)
PRINT N , F


N f (N ) Error relativo %
1 0.6366 50
2 0.5826 35
3 0.5344 26
5 0.4972 17
10 0.4642 9.4
20 0.4456 5.0
50 0.4334 2.1
100 0.4390 1.1
200 0.4268 0.56
500 0.4254 0.24
1000 0.42490 0.12
Exacto 0.4244

Figura 7.9

Los resultados que arroja este programa para distintos valores de N , se presentan en la
tabla adjunta. Recurriendo al c´lculo integral, es posible encontrar el resultado exacto, es
a
decir, el valor de f (∞); ´ste resulta ser 4/(3π) = 0,4244 . . . En la figura 7.9 se muestra un
e
gr´fico del error relativo entre el valor n´merico y el valor exacto en funciń de N . A partir
a u o
de N = 100 el error es menor que un 1 %.
Nota: El m´todo num´rico empleado aqu´ para resolver el problema no es el m´s eficiente.
e e ı a
La bondad del m´todo empleado radica en su simpleza.
e
Ejercicio: Use un procedimiento an´logo para calcular la posiciń del centro de masas de
a o
una semiesfera de radio R y densidad de masa (uniforme) ρ0 .

7.5. Equilibrio

Un cuerpo (objeto o sistema), que en cierto instante est´ en reposo, seguir´ en reposo si la
a a
fuerza neta que actán sobre ´l es nula y adem´s el torque neto de estas fuerzas (respecto a
u e a
cualquier punto), tambiń es nulo. Un cuerpo que est´ en reposo y continá en ese estado
e a u
se dice que est´ en equilibrio.
a

Leyes de equilibrio:

Para que un cuerpo est´ en equilibrio es necesario que se cumplan las siguientes
e
dos condiciones:

i) La fuerza neta sobre el objeto debe ser nula.
ii) El torque neto sobre el objeto debe ser nulo.

7.5 Equilibrio 193

Consideremos un objeto (cuerpo r´ ıgido)
formado por N masas {mj } ubicadas en
los lugares {rj } (respecto a un origen O)
y unidas por barras r´ ıgidas sin masas
(ver figura 7.10). Sea Fj la fuerza externa
que actá sobre cada una de las masas mj .
u

A continuaciń, usando esta figura, de-
o
mostraremos dos resultados importantes:

Figura 7.10

Si la fuerza neta sobre un cuerpo es cero entonces el torque neto es independiente
del punto respecto del cual se evalá. En particular, si el torque es nulo repecto
u
a un punto, tambiń lo ser´ respecto a cualquier otro punto.
e a

Demostraciń:
o
Sean {rj } y {rj } los vectores de posiciń de las masas {mj } respecto a un origen O y O,
o
respectivamente. Sea adem´s R el vector que une los puntos O y O. Entonces
a

τ = rj × Fj
j

= (R + rj ) × Fj
j

= R × Fj + r j × Fj
j j

= R× Fj + τ = R × 0 + τ = τ .
j

El otro resultado importante es el siguiente:

Si la fuerza neta Ftot que actá sobre un cuerpo de masa M no es nula, entonces
u
el punto del cuerpo que es acelerado de acuerdo a la segunda ley de Newton es
el centro de masas. O sea, se tiene que:

¨
Ftot = M rcm .

Demostraciń:
o
En primer lugar notemos que las barras que unen las distintas masas en la figura 7.10
transmiten fuerzas. Sea Fij la fuerza que ejerce la masa mj sobre la masa mi . Debido al
principio de acciń y reacciń Fji = −Fij .
o o


La fuerza que ejercen todas las dem´s part´
a ıculas sobre la masa mi viene dada por j Fij .
Por lo tanto, la ecuaciń de movimiento para la part´
o ıcula i viene dada por

¨
m i r i = Fi + Fij .
j

Sumando todas las ecuaciones (o sea, sumando sobre i) se obtiene

¨
mi ri = Fi + Fij .
i i ij

Debido al principio de acciń y reacciń, la ultima suma (sobre i y j) es nula, luego
o o ´

¨
i mi ri
M = Fi = Ftot .
M
i

Pero
¨
i mi ri ¨
= rcm ,
M
luego
¨
Ftot = M rcm .

Debido a la importancia de este resultado lo reiteramos en palabras: La fuerza neta que
actá sobre un objeto acelera al objeto como un todo. El lugar geom´trico que cumple
u e
con la segunda ley de Newton es el centro de masas. O sea, para analizar el movimiento
traslacional, toda la masa se puede pensar como si estuviese concentrada en el centro de
masas, siendo ´se tambiń el lugar en que se aplica la fuerza neta.
e e

Corolario: Si la fuerza neta que actá sobre un cuerpo es nula, entonces el centro de masas
u
del cuerpo se traslada con velocidad uniforme (o nula).

Observe que no es necesario especificar el punto respecto al cual se est´ evaluando el torque
a
neto, ya que, de acuerdo a los resultados expuestos anteriormente, si la fuerza neta es nula y
el torque es nulo respecto a un punto, tambiń lo ser´ con respecto a cualquier otro punto.
e a

Ilustremos el uso de las leyes del equilibrio resolviendo un problema.

Problema:
Una escalera de masa m y largo L se encuentra apoyada contra una pared lisa (o sea, no
hay roce entre la escalera y la pared), formando un ńgulo α con ella. Una persona de masa
a
M se encuentra sobre la escalera. ¿Cu´l es el m´
a ınimo coeficiente de roce est´tico que debe
a
existir entre el suelo y la escalera para que la escalera no resbale, independientemente de la
altura a la que se encuentra la persona?
Soluciń:
o

7.5 Equilibrio 195

Introduzcamos el sistema de coordenadas mostrado en la figura adjunta. Para que el sistema
se encuentre en equilibrio, la fuerza total sobre la escalera debe ser nula. Hay cuatro fuerzas
actuando sobre la escalera:
i) El peso de la escalera −mgˆ; esta
z
fuerza se aplica en el centro de masas
de la escalera.

ii) El peso de la persona −M gˆ.
z

iii) La reacciń que ejerce la pared sobre
o
la escalera. Como la pared es lisa (no
hay roce) tal fuerza es perpendicular
a la pared: Fp = −Fp x.ˆ

iv) La reacciń del suelo sobre la esca-
o
lera. Esta es Fs = FN z + fr x, donde
ˆ ˆ
FN es la fuerza normal y fr es la Figura 7.11
fuerza de roce.
La condiciń de que la fuerza total sea nula nos da la relaciń:
o o

−mgˆ − M gˆ − Fp x + FN z + fr x = 0 .
z z ˆ ˆ ˆ

De aqu´ se deducen la ecuaciones
ı

FN = (m + M )g (7.2)

y
fr = Fp . (7.3)
Evaluemos el torque total en torno al origen. Como la escalera est´ en equilibrio, el torque
a
neto debe ser nulo. Se tiene:
L
M gx y + mg
ˆ sin α y − Fp L cos α y = 0 ,
ˆ ˆ
2
o sea,
g(M x + m L sin α)
2
Fp = . (7.4)
L cos α
De las ecuaciones (7.3) y (7.4) se encuentra que la fuerza de roce viene dada por

g(2M x + mL sin α)
fr = .
2L cos α
El valor m´ximo de la fuerza de roce se obtiene cuando la persona sube hasta la parte m´s
a a
alta de la escalera (x = L sin α). En ese caso la fuerza de roce es
m
fr = g M + tan α .
2


La fuerza de roce fr debe ser menor que el m´ximo posible, que es µe FN , o sea, se debe
a
cumplir la relaciń
o
m
g M+ tan α ≤ µe FN = µe (M + m)g .
2
De aqu´ se deduce que el menor valor posible que puede tener µe para que la escalera no
ı
resbale es
2M + m
µmin =
e tan α .
2(M + m)

7.6. Problemas
1. Al moverse una carga q con velocidad v en presencia de un campo magn´tico B, actá
e u
sobre la part´
ıcula una fuerza (la as´ llamada “Fuerza de Lorentz”) dada por
ı

F = q (v × B) .

Supongamos que para determinar la direcciń y magnitud de un campo magn´tico
o e
constante, un investigador realiza dos experimentos, midiendo en cada uno de ellos la
fuerza que actá sobre una carga:
u

a) Primero hace pasar la carga q a trav´s del campo magn´tico con velocidad v =
e e
v0 x. El investigador mide una fuerza F = F0 · (2ˆ − 4ˆ).
ˆ z y
b) Luego hace pasar la carga q con velocidad v = v0 z , midiendo una fuerza F =
ˆ
F0 · (ˆ − 2ˆ).
y x

A partir de estos resultados encuentre el campo magn´tico B (en funciń de v0 , F0 y
e o
q).

Respuesta: F0
B= (ˆ + 2ˆ + 4ˆ) .
x y z
qv0

2. Considere una part´ ıcula cuya carga elćtrica y masa es q y m, respectivamente. La
e
part´
ıcula se mueve en un campo magn´tico homogńeo B = B0 z . Si en el instante
e e ˆ
t = 0 la part´
ıcula se encuentra en el origen (r(0) = 0) y su velocidad en ese instante
es v(0) = v0 x, encuentre el vector de posiciń r(t) en funciń del tiempo. (La fuerza
ˆ o o
que el campo magn´tico ejerce sobre la part´
e ıcula viene dada por la fuerza de Lorentz ;
ver problema anterior.) Indicaciń: recuerde lo que sabe sobre el movimiento circular
o
uniforme.

3. Demuestre que la posiciń del centro de masas de una l´mina triangular de densidad
o a
uniforme se ubica en el lugar donde se cortan las tres transversales de gravedad del
trińgulo.
a

7.6 Problemas 197

4. En cinco de los seis v´rtices de un hex´gono regular hay una masa m0 . Encuentre la
e a
posiciń del centro de masas.
o

5. Encuentre la posiciń del centro de masas
o
de una l´mina de densidad (de masa) uni-
a
forme σ0 y que tiene la forma indicada en
la figura adjunta.
Figura 7.12

6. Encuentre la posiciń del centro de masas
o
de un disco de densidad superficial σ0 y
que tiene un agujero circular como se in-
dica en la figura adjunta.
Respuesta: El centro de masas del dis-
co con agujero queda al lado opuesto de
la perforaciń y a una distancia a =
o
r2 d/(R2 − r2 ) del centro del disco de radio Figura 7.13
R.

7. Considere una estructura formada por dos
barras uniformes de largos a y b, unidas
de modo que forman un ńgulo recto y
a
que cuelga con hilo desde el cielo (ver fi-
gura adjunta). Determine el ńgulo α de
a
la estructura cuando ella se encuentra en
equilibrio.
Figura 7.14

8. La figura muestra un letrero luminoso de
masa m que cuelga de una barra (de ma-
sa despreciable) que se mantiene horizon-
tal con la ayuda de una cuerda. Calcule la
tensiń de la cuerda y la fuerza ejercida
o
por la barra contra la pared.

Figura 7.15

9. Describa un procedimiento que permita determinar experimentalmente la posicińo
del centro de masas de una l´mina plana irregular con densidad desconocida (y no
a
necesariamente uniforme).
(Observe que al colgar un cuerpo de un punto P y estar ´ste en equilibrio, el centro
e
de masas siempre debe estar sobre la normal que pasa por P .)


10. Una barra, cuya masa es de 10 Kg y tiene tres metros de largo, se dobla en 45◦ a 1 m
de uno de los extremos y se cuelga como se indica en la figura adjunta. La estructura
se encuentra en equilibrio gracias a una masa M que se cuelga en uno de los extremos.

a) Encuentre la tensiń T y el valor de
o
M . ¿El equilibrio es estable o ines-
table?

b) Conteste nuevamente las mismas
preguntas de la parte a), pero asu-
miendo ahora que la barra al lado
izquierdo, en lugar de estar dobla-
da hacia abajo en 45◦ , est´ doblada
a Figura 7.16
hacia arriba en 45 ◦.

11. Considere una l´mina triangular unifor-
a
me, de masa M = 5 Kg, que est´ sujeta
a
a una pared con una articulaciń y colga-
o
da del cielo con una cuerda, tal como se
muestra en la figura adjunta. Encuentre
la tensiń T de la cuerda.
o
Figura 7.17

12. Encuentre la posiciń de equilibrio de una
o
varilla de largo L colocada dentro de un
pocillo. Considere al pocillo como una se-
miesfera de radio R y asuma que entre ´ste
e
y la varilla no hay roce.
Figura 7.18

13. ¿Se podr´ fomar una torre con ladrillos
a
(sueltos), uno encima de otro (ver figu-
ra), de manera que el ladrillo de m´sa
arriba est´ desplazado en m´s de una
e a
unidad con respecto al de m´s abajo,
a
sin que la torre se desplome ?
Indicaciń: Comience el an´lisis con los
o a Figura 7.19
ladrillos superiores.

7.6 Problemas 199

14. Tres tambores del mismo radio estń a
arrumbados como se indica en la figu-
ra adjunta. Encuentre el m´ ınimo coefi-
ciente de roce est´tico que debe existir
a
entre los tambores y tambiń entre los
e
tambores y el suelo de manera que el
sistema no se derrumbe.
Figura 7.20

15. Un trińgulo equil´tero, de lado a = 10 cm y masa M = 10 kg se sujeta en forma
a a
r´
ıgida a una polea de radio R = 4 cm. El trińgulo actá de contrapeso para mantener
a u
en equilibrio a una masa m = 1 kg que cuelga de un hilo enrollado en la polea (ver
figura 7.18)

a) Encuentre el valor del ńgulo β
a
que mantiene el sistema en equi-
librio. (β es el ńgulo entre la nor-
a
mal y la altura del trińgulo.)
a

b) ¿Cu´l es el m´ximo valor de m
a a
para el cual el sistema se man-
tendr´ en equilibrio?
a
Figura 7.21

16. De una pieza met´lica cuadrada, de
a
densidad superficial uniforme σ0 , se re-
corta un trińgulo is´sceles de mane-
a o
ra tal que la l´mina resultante quede
a
en equilibrio en cualquier posiciń si se
o
sujeta desde el punto P . ¿Cu´l es la al-
a
tura del trińgulo?
a
Figura 7.22

17. Una barra de masa M y largo L, que
puede pivotear libremente en torno
a O, se mantiene en equilibrio con
una masa m y una cuerda, tal co-
mo se muestra en la figura adjunta.
Encuentre el ńgulo α para el caso
a
en que m/M = 0,5. ¿El equilibrio es
estable o inestable?
Figura 7.23


18. Considere un puente cuyo armazń o
consiste de 14 soportes de largo a.
(En la figura se observan los 7 so-
portes de uno de los lados.) Asu-
ma que los soportes s´lo transmiten
o
fuerzas a lo largo de ellos, o sea, en
cada uniń s´lo se transmiten fuer-
o o
zas y no torques. Encuentre la ten-
siń adicional (al generado por el pe-
o
so del puente) que debe soportar ca- Figura 7.24
da soporte si por el centro del puente
pasa un camiń de peso W .
o
Especifique en cada caso si la tensiń es de compresiń o de tracciń.
o o o

19. Una cadena de masa M y largo L
se encuentra apoyada (en equilibrio)
sobre un cono recto cuyo ńgulo en-
a
tre la normal y el manto es α. En-
cuentre la tensiń de la cadena.
o
Indicaciń: Aplique las leyes de
o
equilibrio a un pequeõ trozo (infi-
n
nitesimal) de cadena.
Figura 7.25

20. Un objeto formado por tres l´minas
a
cuadradas de lada a, homogńeas y
e
de igual densidad, descansa sobre
una superficie horizontal apoyado en
dos pivotes colocados en los v´rti-
e
ces del cuadrado inferior (ver figu-
ra 7.26).
a) Encuentre la posiciń del cen-
o
tro de masas. Figura 7.26
b) Calcule la razń de la magni-
o
tud de las fuerzas de reacciń
o
de cada pivote.

21. Una regla ‘T’ de masa M , largo a y barra
transversal b posa sobre un plano horizon-
tal pulido como se indica. Calcule las reac-
ciones normales en cada punto de contacto
con el suelo. Figura 7.27

7.6 Problemas 201

22. Considere una semiesfera ho-
mogńea de radio R. Demuestre
e
que el centro de masas de la semies-
fera est’a ubicado sobre el eje de
simetr´ y a una distancia b = 3R/8
ıa
de la base.
Figura 7.28

23. Considere una semiesfera ho-
mogńea de radio R que se
e
encuentre sobre un plano inclinado.
Existe un roce est´tico que evita
a
que la semiesfera se desliza por el
plano. Determine el m´ximo ńgulo
a a
de inclinaciń β que puede tener el
o Figura 7.29
plano para que la semiesfera no se
“de vuelta”.

24. Considere una semiesfera de radio
R, hecha de un material de densi-
dad ρ0 , que se encuentra con la parte
curva sobre una superficie horizon-
tal (ver figura adjunta). El centro de
masas de una semiesfera homogńea e
queda sobre el eje de simetr´ a una
ıa
distancia b = 3R/8 de la base. Figura 7.30

a) Encuentre la magnitud y direcciń del torque, respecto al punto de apoyo, ejer-
o
cido por la fuerza de gravedad cuando la semiesfera se ladea en un ńgulo β.
a
Observe que el torque que aparece trata de hacer volver a la semiesfera a su
posiciń de equilibrio (o sea, la posiciń de equilibrio es estable).
o o

b) Coloquemos ahora un cilindro homogńeo hecho del mismo material, del mismo
e
radio R y altura h, sobre el cilindro. Determine la posiciń del centro de masas
o
del sistema compuesto.

c) Describa en palabras la condiciń que debe satisfacer la posiciń del centro de
o o
masas para que la posiciń de equilibrio del sistema compuesto siga siendo esta-
o
ble.

d) Encuentre la altura l´
ımite del cilindro para la cual el sistema compuesto pierde
su estabilidad.


25. Considere una semiesfera de radio R, he-
cha de un material de densidad ρ0 , que se
encuentra sobre una superficie horizontal
y apoyada contra una pared tal como se
muestra en la figura adjunta. El centro de
masas de una semiesfera homogńea que-
e
da sobre el eje de simetr´ y a una dis-
ıa
tancia b = 3R/8 de la base. Suponga que,
entre la semiesfera y el suelo el coeficien-
te de roce est´tico es µ = 3/16, mientras
a
que entre la pared y la semiesfera el roce
es nulo. Figura 7.31

a) Haga un diagrama de cuerpo libre para la semiesfera.

b) Encuentre la magnitud y direcciń del torque, respecto al punto de apoyo P ,
o
ejercido por la fuerza de gravedad cuando la semiesfera est´ ladeada en un ńgulo
a a
β.

c) Encuentre la fuerza de roce entre la semiesfera y el suelo.

d) Encuentre el ńgulo de inclinaciń m´ximo βmax posible para que la esfera no
a o a
resbale.

e) Coloquemos ahora un cilindro homogńeo, hecho del mismo material, del mismo
e
radio R y de altura h sobre el cilindro. Determine la posiciń del centro de masas
o
del sistema compuesto. (1 punto)

f) Encuentre la altura l´
ımite hmax del cilindro a partir de la cual, para h > hmax ,
el sistema compuesto se da vuelta (es decir, pierde su estabilidad).

26. Una semiesfera homogńea de masa M y
e
radio R se ha cortado en dos mitades. El
sistema se dispone con las dos mitades, ca-
ra a cara, y con la superficie de corte verti-
cal. A fin de que las mitades no se separen,
una cuerda sin roce y con masas iguales en
sus extremos, es dispuesta como se indica
en la figura. Determine las masas m´ ınimas
a atar en los extremos de la cuerda para
que las mitades permanezcan juntas.

Figura 7.32

7.6 Problemas 203

27. En los extremos de una barra de masa des-
preciable se adhieren bolas de mas m y
2m, respectivamente. El sistema posa so-
bre un tiesto de fondo esf´rico resbaloso,
e
de radio igual al largo de la barra. Cal-
cule el ńgulo que la barra forma con la
a
Figura 7.33
vertical.

28. Un vaso cil´ındrico (abierto por arriba), de
radio basal a y altura b, hecho de un mate-
rial de densidad superficial uniforme, posa
sobre un plano inclinado y no resbala gra-
cias a un tope fijo en el plano. Demuestre
que el centro de masas se ubica a lo largo
del eje y a una distancia b2 /(a + 2b) de la
base. Determine el ńgulo de inclinaciń
a o
m´ximo del plano de modo que el vaso no
a Figura 7.34
vuelque.

29. En la figura se muestra un cilindro de ma-
sa M y radio R, el cual se ata a la muralla
mediante una cuerda. Alrededor de un ca-
lado que se le ha hecho al cilindro se enro-
lla una cuerda ideal. De la cuerda cuelga
una masa m por determinar. Si el coefi-
ciente de roce entre el suelo y el cilindro
es µ, determine la masa m´xima a colgar
a
para que el cilindro no rote. Figura 7.35

30. Un semicilindro de radio R y peso W se
encuentra en equilibrio est´tico sobre un
a
plano horizontal, con un pequeõ bloque
n
de peso Q sobre ´l. El bloque est´ ligado
e a
mediente un resorte ideal de largo natural
0 = R y constante el´stica k a un punto
a
A en el borde (ver figura). Suponga que no
hay roce entre la superficie del cilindro y la
masa de peso Q. Determine el ńgulo α de
a
equilibrio. Considere conocida la distancia Figura 7.36
D a la que se encuentra el centro de masas
del punto O. Analice con cuidado que pasa
cuando Q es pequeõ. n


7.7. Soluciń a algunos de los problemas
o

Soluciń al problema 12
o

Elijamos el origen y los ejes tal como
se muestra en la figura adjunta. Sea α
el ńgulo que la varilla forma con la
a
horizontal, o sea, el ńgulo ABO es α.
a
Por ser AOB un trińgulo is´sceles, se
a o
tiene que el ńgulo AOB tambiń es α.
a e
Figura 7.37
Como no hay roce entre las superficies de contacto, las fuerzas de reacciń debe ser per-
o
pendiculares a las superficies de contacto. En otras palabras: la fuerza de reacciń F1 en
o
O ser´ a lo largo del “radio” OA, mientras que la fuerza de reacciń F2 en B ser´ per-
a o a
pendicular a la varilla. Que la fuerza total horizontal sobre la varilla sea cero nos da la
relaciń
o
F1 cos(2α) = F2 sin α . (7.5)
La relaciń correspondiente para la componente vertical es
o

M g = F2 cos α + F1 sin(2α) . (7.6)

Para que la varilla est´ en equilibrio tambiń el torque total (respecto a O) debe ser nulo.
e e
La fuerza F1 no ejerce torque (ya que su brazo es cero); el peso ejerce un torque τg =
M g (L/2) cos α y , mientras que el torque generado por F2 es τ2 = −F2 2R cos α y . De esta
ˆ ˆ
manera la condiciń de que el torque total sea nulo nos da la relaciń
o o

L
Mg cos α = 2F2 R cos α . (7.7)
2
Tenemos tres ecuaciones con tres inc´gnitas. De la ultima ecuaciń se deduce inmediata-
o ´ o
mente que
M gL
F2 = . (7.8)
4R
De la ecuaciń (7.5) se encuentra
o

sin α
F1 = F2 . (7.9)
2 cos2 α − 1
Usando (7.8) y (7.9) en (7.6), se tiene

M gL sin 2α sin α
Mg = cos α + ,
4R 2 cos2 α − 1
o sea,
4R 2 cos α (1 − cos2 α) cos α
Γ≡ = cos α + 2α−1
= .
L 2 cos 2 cos2 α − 1

7.7 Soluciń a algunos de los problemas
o 205

La ultima relaciń es una ecuaciń de segundo grado para cos α; resolvińdola se encuentra
´ o o e
finalmente √
1 + 1 + 8Γ2
cos α = .
4Γ

o

La figura adjunta muestra las fuerzas que
actán sobre los tambores (las flechas con
u
l´
ıneas llenas son fuerzas que actán sobre
u
el tambor inferior, mientras que las flechas
con l´ıneas segmentadas corresponden a fuer-
zas que actán sobre el tambor superior). Ob-
u
serve que no hay una fuerza horizontal entre
los dos tambores inferiores. Observe tambiń
e
que el ńgulo α entre la horizontal y la rec-
a
ta que une a los centros de un tambor infe- Figura 7.38
rior con√ tambor superior es de 60◦ , luego
el
sin α = 3/2 y cos α = 1/2.
La unicas fuerzas que producen un torque sobre el tambor inferior (respecto a su centro)
´
son las dos fuerzas de roce. Como el torque total sobre el tambor inferior debe ser nulo se
deduce que ambas fuerzas de roce deben tener la misma magnitud; llam´mosla fr .
e
La fuerza neta vertical sobre uno de los tambores inferiores debe ser nula; esto nos da la
relaciń
o √
3 1
F1 − M g − F2 − fr = 0 .
2 2
La relaciń correspondiente a las fuerzas horizontales es
o
√
3 1
fr + fr − F2 = 0 .
2 2
Como 2F1 debe ser igual al peso total de los tres tambores se tiene
3
F1 = M g .
2
Tenemos tres ecuaciones con tres inc´gnitas (en realidad la tercera ecuaciń ya es la soluciń
o o o
de una de las inc´gnitas). Para las otras dos inc´gnitas fr y F2 se encuentra
o o
√
3
fr = 1 − Mg
2
y
1
F2 = M g .
2
Si µ1 es el coeficiente de roce est´tico entre el tambor inferior y el suelo, y µ2 es el coeficiente
a
de roce entre los tambores inferior y superior, entonces, para que el sistema no se derrumbe,
debe cumplirse
fr ≤ µ1 F1 y fr ≤ µ2 F2 .


De estas desigualdades se deduce, finalmente, que
√
2− 3 √
µ1 ≥ y µ2 ≥ 2 − 3.
3

o

El radio del c´
ırculo que forma la cadena es
L
R= .
2π
Consideremos un trozo de cadena de largo
infinitesimal R dθ. Debido a la curvatura, la
tensiń T ejerce sobre el pequeõ trozo de
o n
cadena una fuerza neta FT hacia el centro O
(ver figura 7.39a):

dθ
FT = −2T sin r = −T dθ r .
ˆ ˆ Figura 7.39a
2

No hay roce entre la cadena y el cono, luego
la fuerza que el cono ejerce sobre la cadena
es perpendicular al manto. Sea FN la mag-
nitud de esta fuerza. De la la figura 7.39b se
desprende que

FN = FN cos α r + FN sin α z .
ˆ ˆ

Por ultimo, la otra fuerza que actá sobre el
´ u
trozo de cadena, debido a la gravedad, es
dθ
Fg = − Mg z .
ˆ
2π
Como el trozo de cuerda est´ en reposo, la
a
suma de las tres fuerzas debe ser nula, es de- Figura 7.39b
cir,
dθ
FT + FN + Fg = −T dθ r + FN cos α r + FN sin α z + −
ˆ ˆ ˆ Mg z = 0 .
ˆ
2π
Igualando las componentes se obtienen las relaciones

T dθ = FN cos α

y
dθ
Mg = FN sin α .
2π

o 207

Despejando la tensiń se encuentra, finalmente
o

Mg
T = .
2π tan α

o

Para evaluar la posiciń del centro de
o
masas de la semiesfera, la colocamos
con la cara plana sobre el plano x − y,
haciendo coincidir el eje con z , y luego
ˆ
la rebanamos en tajadas de ancho dz
(ver figura).
Evaluemos primero la masa de la reba-
nada que se encuentra a la altura z. Su
masa es ρ0 π(R2 −z 2 ) dz, donde ρ0 es la
densidad de masa de la semiesfera. El Figura 7.40
centro de masa de esta rebanada por
supuesto que queda sobre el eje z a la
ˆ
altura z.

El centro de masas de la semiesfera ser´ la suma de los centros de masas de cada rebanada
a
pesada con la masa de de cada rebanada, es decir,

R R
1 ρ0 π
zcm = zρ0 π(R2 − z 2 ) dz = (zR2 − z 3 ) dz
M 0 M 0
R
ρ0 π 1 2 2 1 4 ρ0 π 1 4
= R z − z = R .
M 2 4 0 M 4

Pero M = 2ρ0 πR3 /3, luego zcm = 3R/8.
o

a) La masa de la semiesfera es M = 2πρ0 R3 /3. El torque en torno al punto de contacto
P viene dado por

τ = M gb sin β x ,
ˆ

donde x es un vector unitario que, para la situaciń mostrada en la figura adjunta,
ˆ o
apunta hacia el lector.


Figura 7.41a Figura 7.41.b

b) Al colocar sobre la semiesfera un cilindro de altura h la posiciń del centro de masas
o
es
1 5 h
zcm = M R + Mc R + ,
M + Mc 8 2
donde Mc = πR2 h ρ0 es la masa del cilindro. Reemplazando las masas de los cuerpos
se obtiene
1 5 2 h2
zcm = 2 R + hR + .
3R + h
12 2

c) Mientras el la posiciń del centro de masas del sistema compuesto se encuentre por
o
debajo del centro del semicirculo (punto A), el equilibrio ser´ estable. (Es fćil conven-
a a
cesrse de que el torque que aparece al ladear el sistema trata de restituir al cuerpo a su
posiciń de equilibrio). Por lo contrario, si el centro de masas del sistema compuesto
o
se encuentra por encima del punto A, el equilibrio ser´ inestable.
a

d) La altura l´
ımite h0 se obtiene cuando zcm = R. Se tiene

1 5 2 h2
zcm = R = 2 R + h0 R + 0 .
3 R + h0
12 2

Despejando la altura l´
ımite se encuentra que ´sta viene dada por
e

R
h0 = √ .
2

o

a) El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura adjunta.

o 209

b) La masa de la semiesfera es M = 2πρ0 R3 /3. El torque en torno al punto de contacto
P viene dado por
τ = M gb sin β x ,
ˆ
donde x es un vector unitario que, para la situaciń mostrada en la figura adjunta,
ˆ o
apunta hacia el lector.


c) La fuerza Fp que ejerce la pared sobre la semiesfera es en la direcciń horizontal +ˆ
o y
y su magnitud es tal que el torque total respecto a P es nulo. Luego
M gh sin β 3
Fp = y = M g sin β y .
ˆ ˆ
R 8
Como la fuerza horizontal total debe ser nula, y la unica otra fuerza horizontal es la
´
fuerza de roce, se tiene
M gh sin β 3
Fr = −Fp = − y = M g sin β y .
ˆ ˆ
R 8
d) La fuerza de roce no debe sobrepasar el valor µM g, o sea,
3 3
M g sin β ≤ µM g = M g
8 16
de donde
1
sin β ≤ .
2
ıtico es, por lo tanto, βmax = 30◦ .
El ńgulo cr´
a
e) Al colocar sobre la semiesfera un cilindro de altura h la posiciń del centro de masas
o
es
1 5 h
scm = M R + Mc R + ,
M + Mc 8 2
donde Mc = πR2 h ρ0 es la masa del cilindro. Reemplazando las masas de los cuerpos
se obtiene
1 5 2 h2
scm = 2 R + hR + .
3R + h
12 2



f) La altura l´
ımite hmax se obtiene cuando scm = R. Se tiene

1 5 2 h2
scm = R = 2 R + hmax R + max .
3 R + hmax
12 2

Despejando la altura l´
ımite se encuentra que ´sta viene dada por
e

R
hmax = √ .
2

o

Las figuras 7.44a y 7.44b muestran los diagramas de cuerpo libre de la masa Q y el se-
micilindro, respectivamente. Fr = kx es la fuerza ejercida por el resorte, W el peso del
semicilindro y Q el peso del bloque que se encuentra a una distancia x de O. La distancia
d entre el centro de masas y O la supondremos conocida.


Debido a que ambos objetos estń en equilibrio se debe tener que la fuerza total sobre
a
cada uno de ellos debe ser nula, y tambiń el torque total sobre el semicilindro (en torno a
e
cualquier origen).

o 211

Para el bloque Q se obtiene la relaciń
o

Ftot = (Fr cos θˆ + Fr sin θˆ) − Qˆ + (N1 cos θ z − N1 sin θ x) = 0 .
x z z ˆ ˆ

Igualando las componentes de los vectores de la ultima igualdad y usando el hecho que
´
Fr = kx, se obtienen las ecuaciones,

kr cos θ = N1 sin θ (7.10)

y
kx sin θ = Q − N1 cos θ . (7.11)
La fuerza total que actá sobre el semicilindro (que tambiń debe ser nula) es
u e

−W z + N z + (−Fr cos θˆ − Fr sin θˆ) + (−N1 cos θ z + N1 sin θ x) = 0 .
ˆ ˆ x z ˆ ˆ

Esto nos da las relaciones

−N1 cos θ − kx sin θ − W + N = 0 (7.12)

y
N1 sin θ − kx cos θ = 0 .
Esta ultima ecuaciń no da informaciń nueva ya que coincide con (7.10). Por ultimo,
´ o o ´
evaluando el torque total (en torno al punto O) que actá sobre el semicilindro, se obtiene:
u

N1 x − W d sin θ = 0 . (7.13)

De las cuatro equaciones (7.10), (7.11), 7.12) y (7.13), con las cuatro inc´gnitas N , N1 , x
o
y θ, podemos despejar cos θ. Realizando el ´lgebra, se obtiene,
a
W dk
cos θ = .
Q2
¿Que pasa cuando Q es pequeõ? Es claro que la soluciń obtenida s´lo tiene sentido si
n o o
Q2 > W kd. Al analizar el problema (¡h´galo!) con m´s cuidado se encuentra que θ = 0 (y,
a a
por lo tanto, x = 0) tambiń (para todos los valores de Q) es una soluciń de este problema
e o
de equilibrio. Tambiń se encuentra que para 0 ≤ Q
e 2 < W kd, la soluciń θ = 0 es la unica,
o ´
siendo estable. Para W dk < Q2 , hay tres soluciones: θ = 0 y θ = ±Acos (W dk/Q2 ); siendo
la primera de ´stas inestable, y estables las otras dos.
e
Para comprender mejor lo que est´ ocurriendo es util analizar el problema tambiń des-
a ´ e
de el punto de vista de la energ´ potencial. Definiendo el origen de la energia potencial
ıa
gravitacioneal cuando θ = 0, se encuentra que
1
U (θ) = W d (1 − cos θ) − Qx sin θ + kx2 .
2
El primer t´rmino al lado derecho es el cambio de la energ´ potencial gravitacional del
e ıa
semicilindro, el segundo el cambio de la energ´ potencial gravitacional de la masa Q y el
ıa
tercero la energ´ potencial del resorte. Con kx = Q sin θ queda
ıa
Q2
U (θ) = W d(1 − cos θ) − sin2 θ .
2k


Para hacer un estudio gr´fico de esta relaciń introducimos el par´metro α ≡ Q2 /(kW d) y
a o a
definimos U (θ) ≡ U (θ)/(W d); de esta manera la ultima ecuaciń queda de la forma
´ o
α
U (θ) = (1 − cos θ) − sin2 θ .
2
La figura 7.45 muestra el gr´fico para α = 0; −0, 5; 1,0 y 2. Para 0 < α < 1, el gr´fico tiene
a a
o a ınimos (en ±θ0 ) y un m´ximo (en θ = 0).
un s´lo minimo, para α > 1 el gr´fico tiene dos m´ a
Para encontrar θ0 debemos evaluar la derivada de U (θ) respecto a θ e igualarla a cero:

dU (θ) α
= sin θ − · 2 sin θ cos θ = 0 ,
dθ 2
o sea,

sin θ (1 − α cos θ) = 0 .

Esta ecuaciń se satisface si sin θ = 0 o
o
(1 − α cos θ) = 0. La primera de estas
condiciones nos da la soluciń θ = 0
o
mientrs que la segunda entrega las so-
luciones θ0 = ±Acos (1/α), soluciones
que existe s´lo si α ≥ 1. Para α = 2, se
o
obtiene θ0 = ±60◦ .
Figura 7.45

07

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (19)

Destacado (7)

Similar a 07 (20)

Más de Josue Segama (8)

Último (20)

07