Division sint
- 1. POLINOMIOS
- 2. POLINOMIOS Una expresión algebraica, es una expresión que contiene operaciones de letras y números. Un MONOMIO, es una expresión algebraica que solamente contiene productos (“y por tanto divisiones”) de potencias de letras y números. x, y, … , z se denomina VARIABLES a es el COEFICIENTE (un número real) a.x ×y × ×z n ... m p El GRADO del MONOMIO es n+m+…+ p . (n, m, … , p son Números naturales). Observa, que como todo número real a, se puede poner como: a = a ×x 0 Los números reales son monomios de grado cero..
- 3. REPASO DE OPERACIONES CON MONOMIOS. SUMA O RESTA (SOLAMENTE SI SON SEMEJANTES): Ejemplos: 7 × 2 + 3 × 2 − x2 = 9 × 2 x x x 4 ×p 3 × 2 − 2 ×p 3 × 2 = 2 ×p 3 × 2 q q q MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: Ejemplos: 5 × 2 × ×y 2 × 3 = 15 × 2 ×y 2 × 3 x 3 z x z 1 ( 2 ×p 2 ×q 3 ) : ( 4 ×p 2 ×q 2 ) = × 2 q
- 4. POLINOMIOS. Un POLINOMIO, esta compuesto por sumas o restas de MONOMIOS. Un POLINOMIO DE VARIABLE x, y de grado n es de la forma: n −1 n −2 an x + an −1 x n + an −2 x + .... + a1 x + a0 1 Habitualmente, solemos representar los polinomios mediante una letra mayúscula, y entre paréntesis las variables, o abusando de notación solamente por una letra mayúscula : Ejemplos P ( x ) = 7 × + 3 × − 9; x3 x2 S = 4 × 2 − 2 × +1 z z A los coeficientes (números) de cada monomio, se les denomina TÉRMINOS, siendo a n el TÉRMINO PRINCIPAL (el término del monomio de mayor grado), y a 0 el TÉRMINO INDEPENDIENTE (el término del monomio de grado cero),.
- 5. POLINOMIOS. Un POLINOMIO, decimos que esta ordenado y es completo, cuando los monomios que lo componen están ordenados de mayor a menor grado, y ningún término es cero Ejemplos P ( x) = 7 × 3 + 3 × 2 − x − 9; es ordenado y completo x x S ( x ) = 4 × 2 − 2 × 4 +1; ni esta ordenado ni es completo z z Se denomina VALOR NUMÉRICO de un polinomio, al valor que toma dicho polinomio cuando se sustituyen las variables por números: Ejemplo: Si P ( x ) = 5 × 2 + 2, para x = 3, P ( 3 ) = 5 × 2 + 2 = 47 x 3 Si P(x) es un polinomio de variable x, y r es un número tal que P(r) = 0, decimos que r es una RAÍZ del polinomio P(x):
- 6. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS. SUMA O RESTA: (se suman o restan monomios semejantes): Ejemplo: Si P ( x ) = x 2 + 2 x + 3; Q ( x ) = x 5 − 3x +1; P ( x ) − Q ( x ) = ( x 2 + 2 x + 3) − ( x 5 − 3x +1) = = −x 5 + x 2 + ( 2 − ( −3 ) ) x + ( 3 −1) = = −x 5 + x 2 + 5 x + 2
- 7. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS. MULTIPLICACIÓN: (se multiplica cada uno de los monomios por los monomios del polinomio a multiplicar. Y se suman): Ejemplo: Si P ( x ) = x + 2 x + 3; Q ( x ) = x 5 − 3x +1; 2 P ( x ) × ( x ) = ( x 2 + 2 x + 3) × x 5 − 3x + 1) = Q ( = x 7 + 2 x 6 + 3 x 5 − 3x 3 − 5 x 2 − 7 x + 3 x2 + 2 x + 3 x5 − 3x + 1 x2 + 2 x + 3 − 3x 3 − 6 x 3 − 9 x x 7 + 2 x6 + 3x5 x 7 + 2 x 6 + 3 x 5 − 3x 3 − 5 x 2 − 7 x + 3
- 8. IDENTIDADES NOTABLES DE MONOMIOS. Teniendo en cuenta que una POTENCIA enésima de un polinomio es un producto de n veces, podemos deducir (“multiplicando”) las siguientes igualdades (“denominadas IDENTIDADES NOTABLES”): ( A(x) + B(x) ) ² = A(x) ² + 2. A(x).B (x) + B(x) ² ( A(x) - B(x) ) ² = A(x) ² - 2. A(x).B (x) + B(x) ² ( A(x) + B(x) ) . ( A(x) - B(x) ) = A(x) ² - B(x) ² ( 3x + 2 y ) = 9 x 2 +12 xy + 4 y 2 ; Ejemplos: 2 ( x − 2) g x + 2) = x2 − 4 (
- 9. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. DIVISIÓN: (se divide el polinomio por cada uno de los monomios del polinomio a dividir): Ejemplo: Si P ( x ) = x − 4 x +1; Q ( x ) = x 2 + x +1; 3 P ( x ) : Q ( x ) = ( x 3 − 4 x + 1) : ( x 2 + x + 1) = DIVIDENDO = ( x − 1) ; con resto − 4 x+2 x3 − 4x +1 x2 + x + 1 DIVISOR − x3 − x 2 − x x −1 COCIENTE − x2 − 5x + 1 x2 + x + 1 −4 x + 2 RESTO
- 10. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Si Efectuamos una división de polinomios P(x) : Q(x), resultando de cociente C(x) y de resto R(x), se cumple: P(x) = Q(x) . C(x) + R(x) Ejemplo: Si P ( x ) = x 3 − 4 x +1; Q ( x ) = x 2 + x +1; Como P ( x ) : Q ( x ) = ( x 3 − 4 x + 1) : ( x 2 + x + 1) = = ( x − 1) ; con resto − 4 x + 2 Se cumple: ( x 3 − 4 x + 1) = ( x 2 + x + 1) g x − 1) − 4 x + 2 (
- 11. REGLA DE RUFFINI. EL TEOREMA DEL RESTO. Si P(x) es un polinomio, para efectuar la división: P(x) : (x-a), podemos aplicar la Regla de Ruffini. Ejemplo: ( 1.x 4 − 4 x3 + 0 x 2 + 6 x −1) : ( x − ( −3 ) ) =( x 3 − 7 x 2 + 21x − 57 ) cuyo RESTO es 170 +1 − 4 + 0 + 6 −1 ( −3) -3 21 - 63 171 1 -7 21 - 57 170 TEOREMA DEL RESTO.- el resto de la división P(x) / (x-a) es igual a P(a) Ejemplo: El resto de la división ( 1. x 4 − 4 x 3 + 0 x 2 + 6 x −1) : ( x − ( −3 ) ) ( 4 3 2 ) Es: P ( −3 ) = 1. ( −3 ) − 4 ( −3 ) + 0 ( −3 ) + 6 ( −3 ) −1 = 170
- 12. CÁLCULO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO. Cualquier raíz entera a de un polinomio P(x) es divisor del término independiente. Por tanto, para buscar las raíces enteras de un polinomio P(x), aplicaremos el teorema del Resto, a todos los divisores del termino independiente Ejemplo: Si P ( x ) = x 3 − x 2 + 4 x − 4 Si tiene raíces enteras serán divisores de -4, es decir será alguno de los números -4, -2, -1, 1, 2, 4 Como: P(-4) = -100 , P(-2) = -24, P(-1) = -10, P(1) = 0, P(2) = 8, P(4) = 60 Se tiene que la única raíz entera de P(x) es 1
- 13. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. Para factorizar un polinomio de grado 2, de la forma: P ( x ) = ax 2 + bx + c 1) Si la ecuación de P(x) = 0 , no tiene raíces no se puede factorizar. 2) Si la ecuación de P(x) = 0 , tiene r como raíz única P(x) = a.(x-r) 2. 3) Si la ecuación de P(x) = 0 , tiene r y s como raíces P(x) = a.(x-r).(x-s). Para factorizar un polinomio de grado mayor que 2, podemos intentar factorizar el polinomio aplicando la regla de Ruffini, utilizando divisores (“enteros o algún fraccionario”) divisores del término independiente, por lo menos hasta llegar a un factor de grado 2, y aplicar el punto anterior. Ejemplo: Si P x = x3 − x 2 − 2 x + 2 ( ) Aplicando Ruffini para x = 1 ( )( P ( x ) = ( x −1) g x 2 − 2 ) = ( x −1) g x − 2 g x + 2 ( )