Ec maxwell ii 14 10_2006
- 1. Ley de Gauss M Ley de Gauss E Ley de Faraday Ley de Ampere- Maxwell 0=⋅∇ B rr 0=∫∫ ⋅ AB rr d libreρ=⋅∇ D rr encerradalibreQd =∫∫ ⋅ AD rr Número de ecuaciones< Número de Incógnitas ∫∫∫ ⋅−=⋅ SS d dt d d ABlE rrrr )(C ∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅ SS cond S d dt d dd ADAJlH rrrrrr )(C dt dB E r rr −=×∇ dt d cond D JH r rrr +=×∇
- 2. 1B r 2B r x (r ⋅1B x (r ⋅2B ε1 μ ε2 μ x j )) ,ρ xx (r(r ⋅=⋅ 2BB1 ε1 μ1 ε2 μ x 1D r 2D r j )) ,ρ lsuperficiaxx ρ )(r(r =⋅−⋅ 12 DD ε1 μ1 ε2 μ x 2E r 1E r x (r ×2E x (r ×1E j )) ,ρ xx (r(r ×=× 2EE1 ε1 μ1 ε2 μ x j )) ,ρ lsuperficiajxx )(r(r =×−× 12 HH 1H r 2H r CondicionesCondiciones dede contornocontorno oo fronterafrontera
- 3. RELACIONES CONSTITUTIVAS O MATERIALES MEDIOS LINEALES E ISÓTROPOS ED rr ε= ( 2 212 0 Nm C1085.8 − =≡ εεvacío ) EJ rr σ= (dieléctricos o aisladores: 0≈σ ; conductores: 0≠σ ) HB rr μ= ( 2 7 0 A N104 − =≡ πμμvacío ; paramagnéticos: 1 0 > μ μ ; diamagnéticos: 1 0 < μ μ ; no-magnéticos: 1 0 ≈ μ μ ) ≡ε permitividad dieléctrica o constante dieléctrica ≡μ permeabilidad magnética ≡σ conductividad MEDIOS LINEALES Y ANISÓTROPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS En ese caso, la constante dieléctrica y la permeabilidad magnética son tensores (Cada uno resulta diagonal en algún sistema de coordenadas, llamado sistema principal) HB rr ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ μμμ μμμ μμμ = 333231 232221 131211 ED rr ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ εεε εεε εεε = 333231 232221 131211
- 4. MEDIOS NO LINEALES ISÓTROPOS La relación entre los campos no es lineal. Dentro de estos medios, están los medios quirales o con actividad óptica, siendo las relaciones constitutivas ( )EβEε'D rrrr ×∇+= ( )HβHμB rrrr ×∇+= MEDIOS “ZURDOS” (LEFT HANDED MEDIA) La luz parece propagarse en dirección opuesta a la de la propagación de la energía. Pueden ser isótropos o anisótropos. La constante dieléctrica y/o la permeabilidad magnética son NEGATIVAS
- 5. LA ECUACIÓN DE ONDAS Y LA VELOCIDAD DE LA LUZ Medios materiales lineales, isótropos, homogéneos Libres de cargas y corrientes 00 =⋅∇⇒=⋅∇ HB rrrr 00 =⋅∇⇒=⋅∇ ED rrrr tt ∂ ∂ −=×∇⇒ ∂ ∂ −=×∇ H E B E r rr r rr μ tt ∂ ∂ =×∇⇒ ∂ ∂ =×∇ E H D H r rr r rr ε 2 2 )( )()( ttt ∂ ∂ −= ∂ ×∇∂ −= ∂ ∂ ×∇−=×∇×∇ EHH E rrrr rrrr μεμμ EEEE 22 )()( ∇−=∇−⋅∇∇=×∇×∇ rrrrrrrrr zEyExE zyx (r(r(vrr )()()( 2222 ∇+∇+∇≡∇ Edonde
- 6. 00 =⋅∇⇒=⋅∇ HB rrrr 00 =⋅∇⇒=⋅∇ ED rrrr tt ∂ ∂ −=×∇⇒ ∂ ∂ −=×∇ H E B E r rr r rr μ tt ∂ ∂ =×∇⇒ ∂ ∂ =×∇ E H D H r rr r rr ε 02 2 = ∂ ∂ −∇ t E E 2 r r με 02 2 = ∂ ∂ −∇ t H H 2 r r με Las componentes del campo eléctrico y el campo magnético cumplen con una ecuación de ondas, cuya velocidad de fase es με 1=u
- 7. Existencia de relación entre Campos Eléctricos, Campos Magnéticos y Luz ANTECEDENTES 1) Efecto Faraday 2) Velocidad de la luz y unidades “eléctricas” 3) Propiedades de ondas electromagnéticas
- 8. Ep Ep Ep Ep Es E “Si un vidrio se pone en un fuerte campo magnético, cambia el plano de polarización de la luz cuando luz LP pasa en una dirección en la cual el campo tiene una componente”. EFECTO FARADAY (1821) B B
- 9. Velocidad de la luz c(m/s) “Cociente de unidades eléctricas” 00 1 εμ (m/s) Fizeau...............................314.000.000 Weber........................310.740.000 Aberración, paralaje.........308.000.000 Maxwell.....................288.000.000 Foucault............................298.360.000 Thomson....................282.000.000 “ Se manifiesta que la velocidad de la luz y el cociente de unidades son cantidades del mismo orden de magnitud. Ninguna de ellas ha sido determinada con tal grado de precisión que nos permita asegurar que una es más grande o chica que la otra. ....La concordancia de los resultados parece inducir que la luz es una perturbación electromagnética que se propaga de acuerdo con las leyes electromagnéticas”. Demostró la posibilidad teórica de la existencia de ondas electromagnéticas que viajarían a una velocidad casi igual a la de la luz. MAXWELL (1864-…) 02 2 = ∂ ∂ −∇ t E E 2 r r με
- 10. Usó una bobina y un capacitor (jarra de Leyden) y una zona de chispazos (cuyos polos estaban formados por 2 esferas de 2 cm de radio) para producir una descarga entre esos polos, oscilando a una frecuencia determinada por la inductancia y la capacidad. Detectó la radiación en la bobina de prueba: una espira de alambre de cobre con esferas de bronce separadas centésimas de milímetro HERTZ (1886-....)
- 11. La polarización de la luz es afectada por los campos magnéticos Existe la posibilidad teórica de la existencia de ondas electromagnéticas con velocidades semejantes a la de la luz Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894) Alemania Descubrió ondas que eran sin dudas electromagnéticas y cuyas propiedades eran similares a la de la luz (interferencia, reflexión y refracción).
- 13. NATURALEZA DE LA LUZNATURALEZA DE LA LUZ OJO FAROL (fuego visual) EMPÉDOCLES y PLATÓN (~400 a.C.): emanación etérea EUCLIDES (~300 a.C.): rayo visual ARISTÓTELES (~300 a.C.): fuego puede cambiar el estado del aire de transparente en potencia a transparente en acto. (hasta siglo XVII) DEMÓCRITO, LUCRECIO (~400 a.C.): granizada de partículas; las imágenes se desprenden de los objetos Cierre de la Academia Platónica (~500 d.C.) ALHAZEN (~1000 d.C.): cámara oscura, la luz entra a los ojos, rayos útiles para estudio de la luz LEONARDO DA VINCI (~1500 d.C.): el ojo es una cámara oscura KEPLER (~1600 d.C.) geometría cámara oscura, explicación ojo-visión GALILEO (~1600 d.C.) “La luz no es Dios”, luz “fría”???? ¿ y Aristóteles? DESCARTES (~1600 d.C.) : Las reglas de la naturaleza son las reglas de la mecánica, la luz es el movimiento del plenum
- 14. HUYGENS (~1600): la luz es una vibración NEWTON (~1700): Los rayos de luz son cuerpos emitidos por sustancias brillantes EULER (~1750): “Los rayos de luz solar son respecto del éter lo que el sonido es respecto del aire” YOUNG (~1800) Principio de Interferencia FRESNEL (~1800) Polarización (transversal), Difracción (a partir de Interferencia) FARADAY (~1800): unidad de la Naturaleza; vinculación entre luz, sonido y efectos eléctricos????. Idea de onda en Inducción; vibraciones del éter son movimientos de las líneas de fuerza MAXWELL (~1870): la luz puede ser una onda electromagnética 1) Dos personas se miran: las partículas deben seguir la misma trayectoria en dirección contraria 2) El sol irradiara gran cantidad de partículas: se consumiría 3) ¿Cómo pasan tantos corpúsculos por el agujero de la cámara oscura sin afectar la imagen? Críticas a Teoría Corpuscular
- 15. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDAS Cada componente de E r y de H r cumple: 0 1 22 2 = ∂ ∂ −∇ t V u V 2 ¿Es solución una onda plana: )()( 21 utVutVV +⋅+−⋅= rNrN r(r( con kNjNiN zyx (((( ++=N y kzjyix (((r ++=r ? r r N ()()(1 ϕVutVV ≡−⋅≡ rN r(
- 16. ϕ ϕϕϕ ϕϕϕ ϕϕϕ d d EEE NNN kji EEE zyx kji EEE zyx kji zyx zyx zyxzyx E NE r ( ((((((((( rr ×= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =×∇ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ d d u tt d d u tt HHH EEE HHEE rrr rrr rrrr −= ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒== )(;)( Reemplazando en las Ecuaciones de Maxwell ϕd dH NH r (rr ×=×∇ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ d d z H y H x H z H y H x H zyxzyx H NH r (rr ⋅= ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =⋅∇ )()(1 ϕVutVV ≡−⋅≡ rN r( ϕd dH NH r (rr ⋅=⋅∇ ϕd dE NE r (rr ⋅=⋅∇
- 17. ϕ μ ϕ d d u d d HE N rr ( =× ϕ ε ϕ d d u d d EH N rr ( −=× 0=⋅ ϕd dH N r ( 0=⋅ ϕd dE N r ( Integrando respecto a ϕ para constante=N ( ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ =⋅=⋅ −=×=× 00 HNEN EHNHEN r(r( rr(rr( uu εμ Ondas transversales Como με 1=u y HHHEEN rrrrr( ε μ με μμ ====× 1 u HE rr με = Como la luz tiene el carácter de onda armónica: ( )⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −⋅= utsin rNAE r(rr λ π2 ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −⋅ utj e rN AE r( rr λ π2 Im ( )utj e −⋅ = rN AE r( rr λ π2
- 19. x *α α β z ε1 ε2 N Campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia Campo magnético paralelo al plano de incidencia Dirección de propagación debe ser perpendicular a E y a H ( * N ( ' N ( 1 1 1 με =u 2 2 1 με =u
- 20. ( )utj e −⋅ = rN AE r( rr λ π2 Onda incidente ( )turNj yyy eEeEE 1 1 2 0 −⋅ λ π == r( (r c u =νλ =λν 0 ondaladeamplitud posiciónvectorr ondaladeavance dedirecciónlaenversorN medioelenvelocidadu frecuencia medioelenondadelongitud = = = = =ν =λ A r r ( Onda reflejada ( )turNj * yy * y * * eEeEE 1 1 2 0 −⋅ λ π == r( (r Onda transmitida ( )turNj ' yy ' y ' ' eEeEE 2 2 2 0 −⋅ λ π == r( (r Condición de contorno Se conserva la componente tangencial del campo eléctrico en x=0
- 21. y ' yy * yyy eEeEeE ((( =+ ( ) ( ) ( ) t x turNj ' y t x turNj * y turNj y '* eEeEeE ∀ = −⋅ λ π ∀ = −⋅ λ π −⋅ λ π =+ 0 2 0 0 2 0 2 0 2 2 1 1 1 1 r(r(r( ( ) ( ) ( ) t x ' z ' x * z * xzx tuzNxNj ' y t x tuzNxNj * y tuzNxNj y eEeEeE ∀ = −+ λ π ∀ = −+ λ π −+ λ π =+ 0 2 2 1 1 1 1 2 0 0 2 0 2 0 x *α β z ε1 ε2 N ( * N ( ' N ( α sobre la interfaz en todo momento
- 22. ( ) ( ) ( )tuzNj ' y tuzNj * y tuzNj y ' z * zz eEeEeE 2 2 1 1 1 1 2 0 2 0 2 0 − λ π − λ π − λ π =+ ( ) ( ) ( )tuzNtuzNtuzN ' z * zz 2 2 1 1 1 1 222 − λ π =− λ π =− λ π tuzNtuzNtuzN ' z * zz 2 22 1 11 1 11 222222 λ π − λ π = λ π − λ π = λ π − λ π Como debe valer en todo momento y ω=πν=λν λ π = λ π 2 22 u ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λ = λ = λ ω=ω=ω ' z * zz NNN 211 21 111 211 λ β = λ α = λ α sinsinsin *
- 23. 211 λ β = λ α = λ α sinsinsin * 1 11 1 με ==νλ u 2 22 1 με ==νλ u 00εμ με == refraccióndeíndicen * α=α β=α sinnsinn 21βμε=αμε sinsin 21 Segunda Ley de Reflexión Segunda Ley de Refracción o Ley de Snell