ECUACIONES II.doc

Tercer Año
Álgebra 1
TEMA: ECUACIONES II
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Conocida también como ecuación cuadrática y que tiene la forma general:
0
a
;
0
c
bx
ax2 



Ejemplos: 2x2
+ x + 1 = 0; x2
+ 2 = 0
PROPIEDADES
I. ANÁLISIS DE SUS RAÍCES
Sea: ax2
+ bx + c = 0 ; a  0
Se define el discriminante ():
ac
4
b2 

 ; a, b, c  R
1er
CASO
)
UNICA
SOLUCION
(
múltiple
raíces
o
iguales
e
reales
raíces
2
0 


Ejemplo: 4x2
– 4x + 1 = 0
 = (-4)2
– 4(4)(1) = 0 







2
1
.
S
.
C
2do
CASO
diferentes
e
reales
raíces
2
0 


Ejemplo: x2 – 4x – 12 = 0  C.S. = {6 ; -2}
 = 16 – 4(1)(-12) > 0
3er
CASO
conjugadas
y
s
imaginaria
,
complejas
raíces
2
0 


II. OPERACIONES BÁSICAS CON LAS RAÍCES
Sea: ax2
+ bx +c = 0 ; a  0
SUMA DE RAÍCES:
a
b
x
x 2
1 


INDICE
 Ecuaciones II ………………………… 03
 Inecuaciones .……………………….. 09
 Valor Absoluto ……………………….. 21
 Logaritmos I …………………………. 25
 Logaritmos II …………………………. 31
 Relaciones ……………………………. 36
 Funciones ……………………………. 49
 Límites ……...…………………………. 65
 Miscelánea ……………………………. 80

Tercer Año
Álgebra 2
PRODUCTO DE RAÍCES:
a
c
x
x 2
1 


DIFERENCIA DE RAÍCES:
2
1
2
2
1
2
2
1 x
x
4
)
x
x
(
)
x
x
( 



Reconstrucción de la ecuación de 2do grado a partir de sus raíces:
0
x
x
x
)
x
x
(
x
raices
de
oducto
Pr
2
1
Raices
de
Suma
2
1
2 











TEOREMA:
Sean las ecuaciones:
ax2
+ bx + c = 0 ……… (1) ; a  0
mx2
+ nx + p = 0 ……. (2) ; m  0
Estas ecuaciones serán equivalentes, tiene el mismo C.S. si se cumple:
p
c
n
b
m
a



Tercer Año
Álgebra 3
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Resolver el sistema:
x + 2y = 7
2x – y = 4
Rpta.:
3
9
y
3
x
9
3
y
5
x




Rpta.:
3
7
)
4
y
6
(
9
5
)
1
x
2
(
7
1
7
4
y
6
5
1
x
2








Rpta.:
04) Resolver
5
2
y
4
5
x
3
1
2
y
3
5
x
2








Rpta.:
05) Resolver
7
y
2
9
x
3
10
7
y
3
10
x
2
9





Rpta.:
06) Resolver
3
3
y
12
4
x
14
6
3
y
9
4
x
6








Rpta.:
07) Resolver
2x – 30 = –5y – x + 15
5x – 7y = 29
Rpta.:
08) Resolver
2x + 3y = 2
6x – 12y = -1
Rpta.:
09) Resolver
7x – 5y = 2
8x – 3y = 5
Rpta.:
10) La suma de dos números es 55; y
uno de ellos es 9 unidades menor
que el otro, determinar los números.
Rpta.:
11) La suma de los dos dígitos de un
número es 11. Si el orden de los
dígitos se invierte: el número
resultante excede al número original
es 45. Hallar el número original.
Rpta.:

Tercer Año
Álgebra 4
2x – 3y + z = 11
5x – y – 2z = -10
2y + 3z = 6
Rpta.:
x + y + z = 19
x + y = 16
y + z = 12
Rpta.:
14) La suma de tres números es 32, la
suma de los dos primeros es igual al
tercero; y la semisuma del número
con el tercero es igual al segundo
aumentado en 1, ¿Cuáles son los
números?
Rpta.:
15) Resolver:
5x – 4y + 6z = 38
2x + 5y – 7z = 34
3x – 2y + 5z = 30
Rpta.:
16) Resolver:
3
z
8
y
6
x
2
8
z
4
y
8
x
6
6
z
2
y
4
x
3









Rpta.
:
17) Resolver:
6
3
y
x
8
7
z
y
10
z
2
x







Rpta.:
18) Resolver:
x + y + z = 60
x – y = 1
x + y – 3z = 0
Rpta.:
2x+y–1 = x+3y–3 = 3x–y+1 = 20
Rpta.:
20) Resolver:
5
z
1
y
1
4
z
1
x
1
3
y
1
x
1






Rpta.:

Tercer Año
Álgebra 5
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Resolver el sistema e indicar la
mayor solución:
2x + 3y = –2
2x – 6y = 1
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/3
d) 1/5 e) 2
02) 7x + 5y =
2
33
3x – 6 = y
Son dos ecuaciones simultaneas,
hallar el valor de x – y
a) 1/2 b)
2
1
 c)
3
1
d)
3
1
 e) 4
03) Resolver:
x + 3y = 1
y
x
4
3
 = 2
Y dar como respuesta el valor de x.
a)
12
28
b)
13
28
c)
14
28
d)
15
28
e) 6
04) Resolver:
3
12
7
y
x
5
8
y
x
4
8
5
y
x
2
3
y
3
x
2









a) 3,5 b) 3,3
c) 3,4 d) 3,6
e) N.A.
05) Resolver:
4
y
3
18
x
2
8
0
y
9
x
6




a)
13
5
;
13
28
 b)
12
5
;
12
28
c)
12
5
;
12
25
d) R
;
12
16
e) N.A.
06) Resolver:
bx
ay
2
b
y
a
x



a) {a ; b} b)






2
b
;
2
a
c)






2
b
;
a b) {2a ; 3b}
e)







4
b
;
a
07) La suma de dos números es 74, su
diferencia dividida entre el menor de
2 por cociente y 10 por residuo,
¿Cuáles son los números?
a) 56 y 18 b) 58 y 16
c) 40 y 14 d) 66 y 18
e) 36 y 28

Tercer Año
Álgebra 6
x + y + 2z = 15
x + 2y + z = 16
2x + y + z = 17
a)
3
z
4
y
5
x



b)
5
z
4
y
3
x



c)
1
z
2
y
6
x



d)
3
z
2
y
8
x



e)
10
z
8
y
3
x



09) Resolver:
x – y + 3z = 0
2x + 4y – z = 0
3x + y – 2z = -2
a)
19
46
z
19
3
y
19
17
x



b)
9
z
19
y
3
x



c)
20
z
19
y
11
x



d)
0
z
1
y
4
x



e)
7
z
6
y
5
x



10) Resolver
7
3
z
2
y
2
x
3
2
z
4
y
3
x
1
4
z
3
y
6
x










E indicar la solución mayor
a) 18 b) 16
c) 24 d) 20
e) 26
11) Resolver:
2x + 3y – z = 2
x – 2y + 2z = 10
3x + y – 2z = -5
E indicar la menor solución:
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
12) Resolver:
3x + 2y – 1 = 4y + z + 4 = 2z + 5x – 15 = 25
E indicar x
a) 6 b) 4 c) 5
d) 1 e) 8
13) Resolver:
3x + y + z = 8
x + 3y + z = 10
x + y + 3z = 12
Dar el valor de z.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
14) Tres niños juegan canica y entre
todos reúnen 55; el triple de las
cuales del primero iguala al doble del
as del segundo; y sumando 10 al
doble de las del 3ro resultan iguales
a cinco veces las del primero,
¿Cuántas canicas tiene cada uno?
a) 12, 14, 15 b) 12, 18, 25
c) 12, 15, 18 d) 12, 15, 17
e) 13, 12, 10
15) Resolver:
3x – 2y + 5 = x + 3z – 7 = 4y – z + 8 = 18
Hallar z
a) 1 b) 2 c) 4
d) 5 e) 6

Tercer Año
Álgebra 7
TEMA: INECUACIONES
Para entender apropiadamente la teoría de inecuaciones, es necesario estudiar
previamente el tema de desigualdades. A continuación tocaremos algunos conceptos en
torno a las desigualdades.
DESIGUALDADES
Es aquella comparación que se establece entre dos números reales mediante los símbolos
de desigualdad: < , > ,  , . Luego, si a y b son números reales, entonces a < b, a > b , a 
b y a  b se llaman desigualdades, y se leen:
a < b : “a menor que b” a  b : “a menor o igual que b”
a > b : “a mayor que b” a  b : “a mayor o igual que b”
El siguiente acápite es de mucha importancia para las desigualdades e inecuaciones
Recta Numérica Real:
Es la forma geométrica que permite ordenar los números reales. Existe una
correspondencia biunívoca entre R y la recta.
0
a b
- +











R
b
,
a
b
c
a
/
R
c
:
Densidad
b
0
a
:
Orden
opiedades
Pr
2
1
4
1
8
1
0 1
DEFINICIONES:
Sea a  R.
1) “a” es positivo  a > 0
2) “a” es negativo  a < 0
3) a > b  a – b > 0
4) a < b  a – b < 0
Ejm: -8 > -10  -8 – (-10) = 2 > 0
2 < 12  2 – 12 = -10 < 0
5) a  b  a > b  a = b
6) a  x  b  x  a  x  b
  : Intersección ()
 : Unión ()
INTERVALO: Es un subconjunto de los números reales que generalmente poseen
extremos.

Tercer Año
Álgebra 8
Intervalo Extremo
Superior
Cotas
Superiores
Cotas
Inferiores
Extremo
Inferior
I R
CLASIFICACIÓN:
INTERVALO
ACOTADO NO ACOTADO
ABIERTO
CERRADO
SEMIABIERTO
1) ACOTADOS O FINITOS
a. Intervalo Abierto
   
b
x
a
/
R
x
b
;
a
b
;
a
A 







ÍNFIMO SUPREMO
a b
INFIMO: Es la mayor cota inferior. Si el ínfimo pertenece al intervalo, se
llama MÍNIMO.
SUPREMO: Es la menor cota superior. Si el supremo pertenece al
intervalo, se le llama MÁXIMO.
b. Intervalo Cerrado
   
b
x
a
/
R
x
b
;
a
C 




MÍNIMO MÁXIMO
a b
c
c
b
c
a


Tercer Año
Álgebra 9
c. Intervalo Semiabierto:
 b
;
a
A  
b
;
a
B 
MÍNIMO
a b
MÁXIMO
a b
SUPREMO
ÍNFIMO
2) NO ACOTADOS O INFINITOS
  
a
x
/
R
x
;
a
A 






a
A
 
b
x
/
R
x
b
;
B 






B
b
R
;
C 





C
INECUACIONES:
Es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas (incógnitas) y que
sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas, o tal vez nunca se verifica.
Inecuación
y
seny
y
x
2
x
d
Desigualda
e
3












Conjunto Solución (C.S.)
Ejemplos:
1) 2x + 1 > 7
x > 3  C.S. = 3 ; +
2) Sen (x + 1) + 2 > 4  C.S. = 
3) x2
+ (x + 1)2
+ (x + 2)2
+ … + (x + 100)2
+ 3 > 0  C.S. = R

Tercer Año
Álgebra 10
Punto Crítico
En la inecuación:
0
P
ó
0
P
ó
0
P
ó
0
P )
x
(
)
x
(
)
x
(
)
x
( 



P(x) : Polinomio
Los puntos críticos son las raíces de P(x), es decir:
0
P
crítico
punto
es
"
" )
x
( 


Ejemplo:
P(x) = (x + 3)(x + 4)(x – 2) < 0
 Puntos Críticos: -3 ; -4 ; 2
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
En la inecuación polinomial
a(x – x1)(x – x2) …… (x – xn) > 0
1) Garantizar que (coeficiente principal = a > 0); en caso contrario, multiplicar por -1.
2) Hallamos los puntos críticos y los ubicamos ordenados en la recta.
+ +
xn x3 x2 x1
......
)
(
POSITIVA
ZONA
.
S
.
C
0
P
ó
0
P
:
Si
)
x
(
)
x
(










)
(
NEGATIVA
ZONA
.
S
.
C
0
P
ó
0
P
:
Si
)
x
(
)
x
(










Ejemplos:
Resolver las Sgtes. inecuaciones
1) x2
– 5x + 6  0
(x – 2)(x – 3)  0
Puntos críticos: 2 ; 3

Tercer Año
Álgebra 11
+ +
3
2
 C.S. = 2; 3
2) (2 – x)(x + 5) < 0
Multiplicamos por (-1): (x – 2)(x + 5) > 0
+ +
2
-5
 C.S. = - ; -5  2 ; +
INECUACIONES POLINOMIALES
1) INECUACION LINEAL
0
a
;
0
b
ax 


RESOLUCIÓN
b
ax
)
b
(
0
)
b
(
b
ax
0
b
ax
b
0





















a
b
x
0
a
Si
*
a
b
x
0
a
Si
*








Ejemplo:
a2
x + b < b2
x +a
Si: 0< a < b  a – b < 0
S:
b
a
1
x
1
x
)
b
a
(
)
b
a
(
x
)
b
a
)(
b
a
(
)
(
)
(










2) INECUACION CUADRÁTICA
0
a
;
0
c
bx
ax
P 2
)
x
( 





Tercer Año
Álgebra 12
+ +
4 9
Resolución:
1) PERFECTO
CUADRADO
TRINOMIO
0 


Donde:  : discriminante
 = b2
– 4ac
Ejemplos:
1. 4x2
– 4x + 1 < 0
 = 0
 (2x – 1)2
< 0 C.S. = 
2. (2x – 3)2
> 0  C.S. = R







2
3
3. (-2x + 4)2
 0  C.S. = R
4. (-5x + 20)2
 0  C.S. = {4}
2) CRÍTICOS
PUNTOS
LOS
DE
MÉTODO
0 


Ejemplos:
1) x2
– 13x + 36 < 0  (x – 4)(x – 9) < 0  C.S. = 4 ; 9
x  -9
x -4
2) x2
– 2x – 2  0
  = 12 > 0. Hallamos los puntos críticos: x2
– 2x – 2 = 0
3
1
2
12
2
x




C.S. = - ; 1 3
   1 + 3 ; +
3) TEOREMAS
LOS
APLICAR
0 


a) Teorema del Trinomio Positivo
Sea: P(x) = ax2
+ bx + c ; a  0
 < 0  a > 0  P(x) > 0
 x  R
+ +
3
1
3
1

Tercer Año
Álgebra 13
+
+
+
b) Teorema del Trinomio Negativo
 < 0  a < 0  P(x) < 0
 x  R
c)   0  a > 0  P(x)  0
 x  R
d)   0  a < 0  P(x)  0
 x  R
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Teoremas:
N
n
;
0
x
0
x
N
n
;
0
x
0
x
1
n
2
1
n
2










Ejemplos:
1) (x + 1)66173
> 0
(x + 1) > 0
x > -1
C.S. = -1 ; +
2) (x + 2)777
. (x + 1)111
< 0
(X + 2)(X + 1) < 0
C.S. = -2 ; -1
3) (x2
+ x + 2)30
. (x + 1)23
. (x – 3)5
> 0
 < 0
Coef. Principal  C.P. = 1  (x + 1)(x – 3) > 0
C.S. = - ; -1  3 ; +
4) (x4
+ x2
+ x8
+ 3)66
. (x2
+ x + 1) . (x + 1) . (x – 2) < 0
 < 0
C.P. = 1  (x + 1)(x – 2) < 0
 C.S. = -1 ; 2

Tercer Año
Álgebra 14
5) (x + 1)30
. (x – 2)7
. (x – 3)  0
+
x + 1 =  x  2 ; 3
x = -1
C.S. = 2 ; 3  {-1}
INECUACION FRACCIONARIA
0
Q
P
)
x
(
)
x
( 

Resolución:
1) 


Admisibles
valores
de
Conjunto
A
.
V
.
C : Q(x)  0
2) 2
)
x
(
)
x
(
)
x
(
Q
Q
P
 0.Q
2
(X)
0
Q
P )
x
(
)
x
(



Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 0
3
x
2
x



. C.V.A. : x  -3
. 2
2 )
3
x
(
0
)
3
x
(
3
x
2
x







(x – 2)(x + 3)  0
C.S.* = -3 ; 2
. C.S. = C.V.A  C.S.*
C.S. = -3 ; 2
2) 0
)
3
x
(
)
2
x
)(
1
x
(




. x  -3

Tercer Año
Álgebra 15
+ +
-3 -1 2 .
C.S. = -3 ; -1  2 , +
3) 0
)
x
2
)(
4
x
(
)
5
x
)(
4
x
(
)
3
x
x
(
5
7
20
2







. x 4 ; x  2
.
 2
;
5
.
S
.
C
0
2
x
5
x
0
x
2
5
x )
1
(
x
r
multiplica














 



 
INECUACIÓN IRRACIONAL
Forma General: 0
I )
x
(


Expresión algebraica irracional
Ejemplo:
1
x
5
3
x
2
;
1
x
1
x 





RESOLUCIÓN:
1) Hallamos su C.V.A.
Ejm:
2
x
R
x
N
n
;
2
2
x
1
x n
2
1
n
2

















 C.V.A. = 2 ; + >
2) Transformar la inecuación en una polinomial.
TEOREMAS:
y
x
y
x
0
x
0
x
1
n
2
1
n
2
1
n
2














Tercer Año
Álgebra 16
Ejm: Resolver: 0
)
x
4
(
)
3
x
(
)
1
x
( 7
3
5 





0
)
4
x
)(
3
x
)(
1
x
(
0
)
x
4
)(
3
x
)(
1
x
(










+ +
-3 1 4
C.S. = -3 ; 1  4 ; +
)
a
x
0
a
0
x
(
)
0
a
0
x
(
a
x
)
a
x
0
a
0
x
(
)
0
a
0
x
(
a
x
a
x
0
a
0
x
a
x
a
x
0
a
0
x
a
x
2
2
2
2




































Ejemplo: Resolver: 1
x
5
x
4
x2 


Solución:
5
/
1
x
0
1
x
5
0
)
4
x
(
x
0
x
4
x2








x  - ; 4  0 ; 
C.V.A = 

;
5
1
Operamos: 2
2
2 )
1
x
5
(
x
4
x 


24x2
– 14x + 1 > 0
(12x – 1) (2x – 1) > 0






 ;
2
1
12
1
;
x ……….. ()
C.S. = C.V.A.  () = 

;
2
1

Tercer Año
Álgebra 17
01) Sean:
A = {x  R / x  -2 v x  3}
B = {x  R / -2  x  3}
Hallar A U B
Rpta.:
02) Del problema anterior, hallar A  B
Rpta.:
03) Si a + 3  0. calcular el mínimo valor
de (a + 5)
Rpta.:
04) Si x  3 ; 9. Calcular el máximo
valor entero de “x”.
Rpta.:
05) Calcular la suma de los números
entero (x) tal que: 2 < x < 7
Rpta.:
06) Resolver la inecuación:
x +8 < 3x + 4
Rpta.:
07) Hallar el mayor valor de “x” que
verifica: 4x – 56  16 – 2x
Rpta.:
08) Si x  2 ; 3, entonces (x + 5)
pertenece al intervalo:
Rpta.:
09) Si x  2 ; 5. Calcular el mínimo
valor de “x - 3”.
Rpta.:
10) Si (x + 3)  3 ; 7. Calcular el
máximo valor de “x”.
Rpta.:
4
6
7
x
2
2
3
8
4
x
2




Rpta.:
12) Si “x” es un entero y además:
5 < x < 7. Calcular (x + 3).
Rpta.:
13) Si x + 2  7. Calcular el máximo valor
de “x”.
Rpta.:
14) Si x +3 > 5, calcular el mínimo valor
entero de x.
Rpta.:
15) La suma de los enteros que verifican
simultáneamente las inecuaciones:
3
x
7
5
x
4



5
x
2
4
8
x
3



Rpta.:
16) Resolver: x2
– x – 20 < 0
Rpta.:
17) x2
+ x – 72  0
Rpta.:
18) Resolver: (x2
– x – 6)(x + 7)  0
Rpta.:
19) Resolver: x3
+ 2x2
– 5x – 6 > 0
Rpta.:
20) Resolver: 2
2
x
4
2
x
x2




Rpta.:

Tercer Año
Álgebra 18
01) Si x + 4 > 7, calcular el mínimo valor
entero de “x”
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0
02) Si x + 3  6, calcular el máximo valor de “x”.
a) 2 b) 3 c) 8
d) 1 e) 6
03) Calcular la suma de los valores de los
números enteros “x”, tal que: 3  2 x  10
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
04) Si x + 2  0, calcular el mínimo valor
de (x + 6)
a) 7 b) 8 c) 13
d) 4 e) 5
05) Si x  1 ; 7, entonces a qué
intervalo pertenece: x + 3
a) 3 ; 4 b) 4 ; 10 c) 3 ; 7
d) 7 ; 10 e) N.A.
06) Resolver: 0
3
x
4
x



a) x  - ; -4  3 ; 8
b) x  - ; 2  3 ; 6
c) x  - ; -4  3 ; +
d) x  -3 ; 2  4 ; +
e) N.A.
07) Resolver: 2
2
x
3
x



a) x  2 ; 7 b) x  2 ; 7
c) x  -3 ; 6 d) x  3 ; 6
e) N.A.
08) Resolver: 1
x
7

a) x  7 b) x  7 c) x < 3
d) x = 0 e) N.A.
09) Resolver: 1
x
9
2

a) x  -3 ; 2 b) x  -3 ; 3
c) x  -2 ; 2 – {10}
d) x  - ; -3  3 ; +
e) N.A.
10) Resolver: (x2
– x – 6)(x + 7)  0
a) x  - ; -7  -2 ; 3
b) x  - ; -3  3 ; 4
c) x  - ; 1  2 ; 3
d) x  - ; 7
e) N.A.
* Resolver las siguientes inecuaciones
11) x3
> x
a) x > 1 b) x < 1
c) x > 2 d) x  -1; 0 U 1; +  
e) N.A.
12) x3
+ 2x2
– 5x – 6 > 0
a) x  -3 ; -1
b) x  -3 ; 2
c) x  -3 ; -1  2 : +
d) x  -3 ; 2
e) N.A.
13) Si x  5 ; 8, indique el mayor valor
que toma la expresión:
1
x
3
x


a) 5 / 9 b) 6 / 7 c) 8 / 9
d) 7 / 8 e) 1 / 3
14) Si la inecuación: (x – 1)(x – 3)  k; se
verifica  x  R.
Encuentre el máximo valor de “k”.
a) 2 b) -1 c) -2
d) -3 e) 4
(x + 1) < (x + 1) (4x – x2
– 3)
a) x  -1 ; +
b) x  - ; -1
c) x  - ; 0
d) x  -3 ; 4
e) N.A.

Tercer Año
Álgebra 19
TEMA: VALOR ABSOLUTO
Definición: El valor absoluto de un número real x es aquel número positivo denotado por
|x| y definido así:







0
x
;
x
0
x
;
x
|
x
|
Ejemplos:
 |6| = 6 1
x
)
1
x
(
|
1
x
| 4
4
)
(
4 














 |-2| = -(-2) = 2 1
x
x
|
1
x
x
| 2
0
a
0
2 











 |-5,3| = -(-5,3) = 5,3











3
x
;
)
3
x
(
3
x
;
3
x
|
3
x
|
 4
x
|
4
x
| 2
)
(
2 








Interpretación Geométrica:
El valor absoluto de “x”, representa la distancia que existe de x al cero.
-x 0 x
|x|
|-x|
TEROREMAS:  x  R
1) |x|  0
2) |x| = |-x|
3) |xy| = |x| |y|
4)
|
y
|
|
x
|
y
x
 ; y  0
5) |x|2
= x2
6) |
x
|
x2 
7) n
n
|
x
|
x 
8) |xn
| = |x|n
9) |x + y|  |x| + |y| (Desigualdad triangular)
Ejemplos:
 |9| = |-9| = 9
 |x (x – 1)| = |x| |x – 1|
 |3(x2
– 4)| = |3| |x2
– 4| = 3|x2
– 4|
 |x|2
= 9  x2
= 9  x = 3 v x = -3
 2
|
8
|
8 3
3





Tercer Año
Álgebra 20
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
a
x
a
x
|
a
|
|
x
|
)
a
x
a
x
(
0
a
a
|
x
|














Ejemplos: Resolver:
 |x| = 4 7
|
x
| 


 x = 4 v x = -4 C.S. = 
C.S. = {-4 ; 4}
  )
x
2
x
x
2
x
(
0
x
|
2
x
|
1
x
x
0
2
)
(
)
(






























 C.S. = 
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
2
2 a
x
|
a
|
|
x
|
a
x
a
x
a
|
x
|
a
x
a
0
a
a
|
x
|

























Ejemplos: Resolver:
 |x| < 4
 -4 < x < 4
C.S. = -4 ; 4
 |x| > 3
 x < -3 v x > 3
C.S. = - ; -3  3 ; +
 |x2
+ x – 20| > -2
Al ojo:  C.S. = R
 |5x + 3| < 8
 -8 < 5x + 3 < 8
-11 < 5x < 5
1
x
5
11


  1
;
5
11
.
S
.
C 
 |6x – 5| > 1
 6x – 5 < x – 1 v 6x – 5 > 1
6x < 4 6x > 6
x < 2/3 x > 1
x  - ; 2/3  1 ; +
-4 4
0
-3 3
0

Tercer Año
Álgebra 21
01) Resolver: |2x – 3| = 5; hallar la suma
de soluciones.
Rpta.:
* Resolver los siguientes casos (hallar
el conjunto solución)
02) |x – 8| = 3
Rpta.:
03) |2x – 3| = 7
Rpta.:
04) |x – 8| = 2x
Rpta.:
05) |3x – 1| < |x + 2|
Rpta.:
06) |2x – 3|  5
Rpta.:
07) |2x – 1|  5
Rpta.:
08) 1
x
1
x
2


Rpta.:
09) |3x – 1|  |3x – 2|
Rpta.:
10) |x – 3|2
– 3|x – 3| – 18 = 0
Rpta.:
11) 1
x
4

Rpta.:
12) 1
x
9

Rpta.:
13) Resolver: |4x – 1| = |x – 2| , indicar el
producto de soluciones
Rpta.:
14) |3x – 1| = x
Rpta.:
15) |2x – 1| = 7
Rpta.:
16) x
2
3
1
x
4


Rpta.:
17) |x2
– 5x| = | 6 |
Rpta.:
18) |x2
+ 5x + 10| = |x2
+ 2x + 1|
Rpta.:
19) |x – 5| > |2x + 3|
Rpta.:
20) |x – 2| + |3x – 6| + |4x – 8| = |2x – 5|
Rpta.:

Tercer Año
Álgebra 22
* Resolver los siguientes casos:
01) |x – 2| = 5
a) C.S. = {-3 ; 7} b) C.S. = {-3 ; 2}
c) C.S. = {3 ; 7} d) C.S. = {-3 ; -2}
e) N.A.
02) |3x – 5| = -2
a) C.S. = {3 ; 1} b) C.S. = {-3 ; 2}
c) C.S. =  d) C.S. = R
e) N.A.
03) |5x – 1| = x + 3
a) C.S. = {-1 ; 3} b) C.S. = 
c) C.S.= {-1/3 ; 1} d) C.S. = {1 ; 2}
e) N.A.
04) |x|  11
a) x  -3 ; 3 b) x  -11 ; 11
c) x  -1 ; 2 d) x  -11 ; 11
e) N.A.
05) 1
|
3
x
2
|
1


a) x  - ; 1
b) x  - ; 1  2 ; +
c) x  -- ; 2  3 ; +
d) x  1 ; 2  3 ; 4 e) N.A.
06) |2x – 1| = x
a)








3
1
;
1 b)







3
1
;
1 c)






3
1
d)






3
1
;
1 e) {1}
07) |3x – 1|  5
a) x 






 2
;
3
4 b) - ; 2
c)









4
3
; d)  2
;
3
4
e) N.A.
08) |4x – 1| > 7
a) x  - ; -3/2  2 ; +
b) x  - ; 2
c) x  

 ;
2
3
d) x 





;
2
3
e) x  2 ; +
09) |x – 1| = x2
– x – 1
a)  
2
;
2 b)  
2
;
2

c) {-2 ; 2} d)  
2
;
2 
e)  
2
;
2
;
2
;
2 

10) |x| x  1
a) x  R b) x  -1 ; 1
c) x  0 ; 1 d) x  - ; 1
e) x  - ; -1
11) Si el conjunto solución de la
inecuación: |2x – 1| < |x – 2| es a ; b,
determine (a + b)
a) 2 b) 0 c) 3 d) 4 e) -1
12) ||x| – 3| = |3x + 2|
a)








4
5
;
2
5 b)






2
1
;
4
1 c)







2
1
;
2
5
d)







4
1
;
2
5 e)







4
5
;
4
1
13) Dado el conjunto:
A = {x  Z / |x2
– 3x – 1| < 3}, obtener
el número de elementos de A.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 4
14) Indicar una solución de: |2x + 3| = 5x – 4
a) 1/3 b) 0 c) 3 d) 7/3 e) N.A.
15) x2
– |x| – 12 = 0
a) C.S. = {1 ; 2}
b) C.S. = {8 ; 4}
c) C.S. = {3 ; 4}
d) C.S. = { -3 ; -2}
e) C.S. = {5 ; 8}

Tercer Año
Álgebra 23
TEMA: LOGARITMOS I
Los logaritmos surgen por la necesidad de despejar incógnitas que se encuentran como
exponentes, tales como:
10x
= 0,30103.
NOTACIÓN:
LogbN, se lee: “logaritmo del número N en base b”
DEFINICIÓN:
Sea N > 0, b > 0  b  1, existe un x  R, tal que bx
= N, dicho número “x” es el logaritmo
de N en la base b.
Es decir:
NÚMERO
N
b
x
N
Log x
b 


BASE LOGARITMO
Donde: N  R+
b  R+
– {1}
x  R
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
De la definición de logaritmos se tiene:










)
2
(
x
)
1
(
b b
N
x
N
log 


Reemplazando (1) en (2):
N
b N
b
log
 Primera identidad fundamental
Reemplazando (2) en (1):
x
b
log x
b  Segunda identidad fundamental
Ejemplos:
4
9 4
b
log

 2
x
3
log 2
x
3 

  8
)
2
x
(
log 8
)
2
x
( 

 
Donde: x + 2 > 0
PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS
1) No existe el logaritmo de los números negativos en el campo de los números reales,
pero sí en los complejos.
Ejemplo: Log3–27 = 
 en R ; pero sí en C (campo de los números complejos)

Tercer Año
Álgebra 24
2) El logaritmo de la unidad en cualquier base es cero.
0
1
logb 
3) El logaritmo de la base es igual a la unidad.
1
b
logb 
4) Logaritmo de un producto.
B
log
A
log
)
B
A
(
log b
b
b 


Ejemplo:
Log33 + log35 + log37 + log3(x2
+ 2) = log3105(x2
+ 2)
5) Logaritmo de un cociente:
B
log
A
log
B
A
log b
b
b 









Ejemplos:
 Log87 – log85 = log8 







5
7
 logb 







PQ
MN
= logbM + logbN – logbP - logbQ
6) Logaritmo de una potencia:
N
log
n
N
log b
n
b 
Ejemplos:
log546
= 6log54
3log97 = log973
NOTA: logbNn
 logb
n
N
(logbnN = (logbN)n
)
7) Logaritmo de una raíz.
N
log
n
1
N
log b
n
b 
8) Cambio de base
Sea “a” la base desconocida o no conveniente
Sea “b” la base conocida o conveniente
a
log
N
log
N
log
b
b
a 

Tercer Año
Álgebra 25
Ejemplo: Expresar: log68 en base 3
 log68 =
6
log
8
log
3
3
9) Regla de la cadena
1
b
log
a
log a
b 


b
log
1
a
log
a
b 
Consecuencias de la regla de la cadena
 logba . logcb . logdc . loged = logea
 logba . logac . logcd .logde = logbe
10)
n
n b
b
n
n
b
b
N
log
N
log
N
log
N
log


Ejemplo:
log464 = log43643
= log64643
= 3
log464 = 64
log
4
= log28 = 3
11) Si se invierte la base de un logaritmo, éste cambia de signo.
N
log
N
log b
b
1 

Ejemplo:













5
4
log
4
log
5
log
4
log
5
log 3
3
3
3
3
1
12) Propiedad de la permuta
Sea: {a, b, c}  R+
 b  1
a
b
log
c
b
log
c
a 
Ejemplo:
 2log
3
5
= 5log
3
2
 6log
7
4
= 4log
7
6

Tercer Año
Álgebra 26
Calcular x en cada caso:
01) log15x = 1
Rpta.:
02) 4
x
log 2
2

Rpta.:
03) log2(x – 1) = 3
Rpta.:
04)
2
3
125
logx 
Rpta.:
05) log4349
= x
Rpta.:
06) 0
)
5
x
(
log 2
2


Rpta.:
07) log15(x2
– 1) = 1
Rpta.:
08) log8(x2
– 2x + 1) = 0
Rpta.:
09)
5)
-
2
(x
6
log
6 = 31
Rpta.:
10)
)
2
2
x
(
x
log
x

= 7
Rpta.:
11) log612 + log63 = x
Rpta.:
12) log4x2
+ log42x = 2
Rpta.:
13) xlog3 +4log(log5) = 4log(log125)
Rpta.:
14) Si log2y = 3  6
2
y
x
log
5
2
8 








.
Hallar
y
|
x
|
Rpta.:
15) Halle x::
  13
x
4
2
3
)
15
x
2
(
8
log



Rpta.:
16) Efectuar:
1
72
log
1
2
40
log
2
3
45
log
3
5
3
2





Rpta.:
17) Si: log1227 = a. Calcular: log616
Rpta.:
18) Calcular: log(AB), siendo que:
logA = x+3
logB = -x+3
Rpta.:
19) Si: x = 2log
3
a
, calcular:
K =
2
/
1
3
a
log
x
a
log
)
x
7
3
( 
Rpta.:
20) Si: log4y = 2, halle el valor que debe
tener “x” para que se cumpla:
5
16
y
x
log
3
2
4 
Rpta.:

Tercer Año
Álgebra 27
Calcular x en cada caso:
01) log16(x + 3) = 1
a) 12 b) 13
c) 14 d) 15
e) 16
02) log7(2x – 1) = 1
a) 4 b) 5
c) 6 d) 7
e) 8
03) log3(x2
+ 2) = 3
a) 6 b) 3
c) 5 d) 4
e) 1
04)
8
4
5
5
log = x
a) 0 b) 1
c) -1 d) 2
e) 3
05) log17(x2
– 1) = 0
a) 4 b) 3
c) 2 d) 1
e) 0
06) )
2
x
(
log 2
)
2
x
(


= 0
a) 2 b) 0
c) -1 d) 4
e) 5
07)
5
2
x
x
log = N. Hallar N
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5
e) 6
08) Calcule:
log425 . log536 . log649 . log764
a) 24 b) 3
c) 48 d) 6
e) 16
09) Si: log122 = a, entonces el valor de
log312 en función de a es:
a)
a
2
1

b)
1
a
1

c)
a
1
1

d)
a
2
1

e)
a
2
1

10) Si log2 = 0,30103. Calcule: log25
. 53
a) 3,6 b) 3,8
c) 4,8 d) 3,2
e) 2,6
11) Si log5 = k. Calcule el valor de:














125
1
log
25
16
log
2
2
log
a) 9k – 10 b) 9 – 10k
c) 9k + 10 d) 10k + 9
e) 10k – 9
12) Calcule el valor de:
log52 . log2 +log25 . log5 – log510 – log210
a) -2 b) -3
c) -5 d) 1
e) 7

Tercer Año
Álgebra 28
13) Si: x – y = logx
10x
– 10y
= x – 1
Calcule: 10x
+ 10y
a) x – 1 b) x
c) x + 1 d) y
e) x + y
14) Si: log35 = a; log65 = b. Calcule
log185 en función de a y b.
a)
b
a
ab

b)
b
a
ab

c)
b
a
b

d)
b
a
b

e)
2
2
b
a
ab

15) Halle:
1
6
log
1
1
10
log
1
1
15
log
1
5
3
2 




a)
2
1
b) log3
c) 10 d) log2
e) 1

Tercer Año
Álgebra 29
TEMA: LOGARITMOS II
COLOGARITMO
Se define el cologaritmo de un número N positivo en una base dada “b” positiva y diferente
de la unidad como el logaritmo de la inversa de dicho número en esa misma base.
N
log
N
1
log
N
log
co b
b
b 


ANTILOGARITMO
El antilogaritmo de un número real en una base dada es igual al número que resulta de
elevar la base al número.
x
b b
x
log
anti 
PROPIEDADES
1) antilogb(logbN) = N ; N > 0  b > 0  b  1
2) logb(antilogbx) = x ; x  R  b > 0  b  1
DESIGUALDADES LOGARITMICAS
2
1
2
b
1
b
2
1
2
b
1
b
x
x
0
1
b
0
x
log
x
log
:
Si
0
x
x
1
b
x
log
x
log
:
Si













Ejemplos:
 Log3x > log35  x > 5
 2
log
x
log
3
1
3
1   0 < x < 2
Además:
A) Si b > 1, entonces se cumple:





 b
x
x
log
:
Si b






 b
x
0
x
log
:
Si b

Tercer Año
Álgebra 30
Ejemplos:
 log2x > 2  x > 22
 x > 4
 log3x < 4  x < 34
 0 < x < 34
B) Si: 0 < b < 1, entonces se cumple:






 b
x
0
x
log
:
Si b





 b
x
x
log
:
Si b
Ejemplos:

4
1
x
0
2
1
x
2
x
log
2
3
1 











 27
x
3
1
x
3
x
log
3
3
1 












 2
)
3
x
(
log
4
1 


19
x
3
19
x
3
x
16
3
x
3
x
4
1
3
x
0
3
x
2























Tercer Año
Álgebra 31
01) Calcular el valor de:
log52.log2 + log25.log5 – log510.log210
02) Calcular el valor de: 





243
1
log
co 3
03) Calcular: 





1024
1
log
co 2
04) antilog34
05) antilog6(3)
06) antilog6(log6log28)
08) log4(antilog4(x + 2))
09) logx(antilogx5)
10) Resolver:
Log16(log4(2 – x2
)) < 0
11) Resolver:









1
y
log
x
log
11
y
x 2
2
12) Si: log1428 = x calcular: log4916 en
términos de “x”
13) Resolver:
-2|x – 1|
+ 4|x – 1|
 56
14) Resolver:










25
x
12
1
log
2
)
2
x
2
log(
2
15) Resolver:
10
log
1
10
log
1
10
log
1
2
x
1
x
3
x 




16) Resolver:
2x + 1
+ 2x + 2
+ 2x + 3
= 140
17) Si: log2y = 3 6
2
y
x
log
5
2
8 









Hallar
y
x
18) Resolver:
2
log
7
x
10
x
3
log
0 6
6 









19) Resolver:
logx + 1(5x + 19) = 2
20) Resolver:
1
x
log
x
3
log 2
3
x
3 








Tercer Año
Álgebra 32
Calcular el valor de:
01) 





256
1
log
co 2
a) 6 b) 7
c) 8 d) 9
d) 10
02) cologx(x–7
)
a) 7 b) 6
c) 5 d) 4
d) 3
03) antilog3(x + 2)
a) 3x + 8
b) 3x
c) 3x + 2
d) 3x – 2
d) N.A.
a) 27 b) 81
c) 36 d) 4
d) 0
05) antilog(x + 1)(log(x+1)log864)
a) 0 b) 1
c) 2 d) 3
d) 5
06) logx(antilogxx)
a) x2
b) x3
c) x4
d) x
d) x–1
07) ))
3
(
log
anti
(
log 2
x
2
x
a) 0 b) 3
c) 2 d) 1
d) 8
08) Resolver: log2
x – 7logx = -12 e
indicar el producto de soluciones:
a) 105
b) 106
c) 107
d) 108
d) 109
09) Resolver:
9
x
5
x
3
log 2
3
1000 

 e
indique el producto de las
soluciones:
a) 6 b) 5
c) 4 d) 3
e) 2
10) Resolver: log16(log4(2 – x2
)) < 0
a) 0 ; 1 b) -2 ; 1
c) -1 ; 1 d) 1 ; 2 
e) N.A.
11) Si: 10x
= 18 ; 10y
= 12, calcule
log106 en términos de x e y.
a) x + y b)
2
y
x 
c)
3
y
x 
d)
2
y
x 
e) 2x + 2y
12) Reducir:
)
96
,
1
(log
log
anti
log
log
log
Co 4
,
1
4
2
2
2
1
4

a) 1 b) 4
c) 2 d) -1
e) 1/2

Tercer Año
Álgebra 33
13) Resolver:
)
4
x
4
x
8
(
log
)
1
x
9
(
log 2
3
1
2
3
1 



a)  
5
;
1
 b) 
5
;
3
1
c) 
5
;
3
1
d) 5
;
3
1
e) 
3
1
;
1 

14) Si: logxyx = 4 calcule el valor de:
5
3
xy
y
x
log
a)
14
23
b)
15
29
c)
15
28
d)
5
9
e)
5
16
15) Resolver: logx + 1(5x + 19) = 2
a) 6 d) 7
c) 8 d) 9
e) 10

Tercer Año
Álgebra 34
TEMA: RELACIONES
Introducción:
Ya Descartes nos daba, en sus trabajos, una idea de lo que era una función; pero fue
Leibnitz quien introdujo este término en matemáticas, para designar cierto tipo de fórmulas;
y posteriormente Euler nos brindaría la notación y = f(x). Actualmente existe un
concepto mucho más general en el que se incluye a la función: la correspondencia.
Previamente veamos algunos conceptos:
PAR ORDENADO
Un par ordenado está formado por dos elementos a y b y se representara así: (a ; b)
Donde a se llama primera componente y b segunda componente.
Según la definición estricta, un par ordenado se define así:
(a ; b) = {{a} ; {a ; b}}
Propiedades
1) (a ; b)  (b ; a)
2) (a ; b) = (c ; d)  a = c  b = d
Ejemplos:
 El par ordenado (1 ; 2) no es igual al par (2 ; 1)
 (3 ; b) = (a ; 8)  3 = a  b = 8
PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. El producto cartesiano de A y B, denotado por A x
B, se define como el conjunto de pares ordenados (a ; b), donde a  A y b  B; así:
A x B = {(a ; b) / a  A  b  B}
Ejemplo:
Dados los conjuntos: A = {0 ; 1 ; 2} y B = {m ; n}, entonces:
* A x B = {(x ; y) / x  A  y  B}
 A x B = {(0 ; m) , (0 ; n) , (1 ; m) , (1 ; n) , (2 ; m) , (2 ; n)}
B x A = {(m ; 0) , (n ; 0) , (m ; 1) , (n ; 1) , (m ; 2) , (n ; 2)}
Podemos observar que el conjunto A x B es diferente al conjunto B x A, es decir:
A x B  B x A, el producto cartesiano no es CONMUTATIVO

Tercer Año
Álgebra 35
ENUNCIADO FORMAL
Sean dos conjuntos vacíos A y B; un enunciado formal, dentro del producto A x B se define
como aquella expresión que enlaza un elemento x  A con un elemento y  B, denotado por:
P(x ; y)
Tal que reemplazar las variables x e y por los valores asignados a y b respectivamente,
P(a ; b) resulta un enunciado ya sea verdadero o falso, para todo por (a ; b)  A x B.
Ejemplo:
Sean los conjuntos: A = {4 ; 5 ; 6 ; 7}
B = {cuadrado, pentágono, hexágono}
Se define el enunciado formal dentro de A x B:
P(x ; y) : “x es el número de vértices de y”
Entonces:
* P(4 ; cuadrado) : “4 es el número de vértices del cuadrado”, es verdadero
* P(6; pentágono) : “6 es el número de vértices del pentágono”, es falso.
CORRESPONDENCIA
Definición.- Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se define una
CORRESPONDENCIA  de A hacia B así:
 = {(x ; y)  A x B / P(x ; y)}
Donde P(x ; y) es el enunciado formal, llamado también REGLA DE CORRESPONDENCIA,
que enlaza a los componentes x e y.
Ejemplo:
Consideremos los conjuntos: A = {x/x es una ciudad} y B = {y/y es un país}. Sobre A x B se
define la correspondencia:
 = {(x ; y)  A x B / “x se encuentra en y”}
De la cual podemos afirmar que:
- Lima  Perú ó (Lima ; Perú)  
- Asunción  Bolivia ó (Asunción ; Bolivia)  
- Nueva Delhi  India ó (Nueva Delhi ; India)  

Tercer Año
Álgebra 36
DOMINIO Y RANGO DE CORRESPONDENCIA
Sea una correspondencia  definida sobre A x B; el DOMINIO de , que se denota por
Dom(), es el conjunto formado por las primeras componentes de sus pares ordenados, así:
Dom() = {x  A / (x ; y)  }
Y el RANGO de , denotado por Ran(), formado por las segundas componentes de sus
pares ordenados, es decir:
Ran() = {y  B / (x ; y)  }
Entonces, podemos deducir lo siguiente:
Dom()  A  Ran()  B
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA CORRESPONDENCIA
Diagrama Sagital o de Venn – Euler
En este diagrama se utilizan flechas que salen del conjunto de partida hacia el conjunto de
llegada.
Ejemplo:
Sean: A = {x ; y ; z ; w} y B = {5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}
Definimos:  : A  B así:
 = {(x ; 5) , (x ; 9) , (y ; 6) , (y ; 7) , (w ; 7) , (w ; 9)}
Entonces, su representación mediante el diagrama sagital será:
Donde: Dom() = {x ; y ; w} y
Ran() = {5 ; 6 ; 7 ; 9}

Tercer Año
Álgebra 37
En el gráfico podemos comprobar que:
Dom()  A y Ran()  B
Diagrama Cartesiano
Veamos este tipo de diagrama mediante un ejemplo:
Ejemplo:
Dados los conjuntos: A = {Liz ; José ; Hans ; Jhon} ;
B = {300 ; 350 ; 400 ; 450 ; 500}
Se define la correspondencia:  : A  B, así:
 = {(Liz ; 350) , (José ; 450) , (Hans ; 400)}
Cuya gráfica cartesiana será:
B
A
500
450
400
350
300
Liz José Hans John
De donde:
Dom() = {Liz ; José ; Hans} y
Ran() = {350 ; 450 ; 500}
RELACIONES
Hasta el momento hemos visto correspondencias de la forma  : A  B; pero también
podríamos establecer una correspondencia de la forma: R : A  A, donde el conjunto de partida
y de llegada es el mismo. En este caso, la correspondencia recibe el nombre de RELACIÓN.
Definición.- Dado conjunto A no vacío, una RELACIÓN R es aquella correspondencia
definida como:
R : A  A, tal que:
R = {(x ; y)  A x A / P(x ; y)}
Donde: P(x ; y) es la REGLA DE CORRESPONDENCIA de la relación.

Tercer Año
Álgebra 38
Ejemplo:
Sea el conjunto A = {2 ; 3 ; 4 ; 5}, con el cual:
A2
= A x A = {(2 ; 2) , (2 ; 3) , (2 ; 4) , (2 ; 5) , (3 ; 2) , (3 ; 3) , (3 ; 4) , (3 ; 5), (4 ; 2) , (4 ; 3) ,
(4 ; 4) , (4 ; 5) , (5 ; 2) , (5 ; 3) , (5 ; 4) , (5 ; 5)}
Son las relaciones definidas en A las siguientes:
R1 = {(2 ; 2) , (2 ; 3) , (3 ; 2) , (3 ; 3) , (4 ; 2) , (4 ; 3) , (5 ; 2) , (5 ; 3)}
R2 = {(2 ; 3) , (2 ; 4) , (2 ; 5) , (3 ; 4) ; (3 ; 5) , (4 ; 5)}
R3 = {(x ; y)  A2
/ y = x + 1}
Para R3, de su regla de correspondencia: P(x ; y) : y = x + 1. Luego del conjunto A2
, vemos
los pares ordenados que cumplen con esta regla de correspondencia. Dichos pares son:
(2 ; 3) , (3 ; 4) , (4 ; 5)
Por lo tanto, también podemos expresar la relación R3 de la siguiente forma:
R3 = {(2 ; 3) , (3 ; 4) , (4 ; 5)}
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
Dada la relación: R : A  A, el dominio de R (Dom(R)) se define como el conjunto de las
primeras componente de los pares ordenados que conforman la relación ; y el rango de R
(Ran(R)) como el conjunto de las segundas componentes; es decir:
Dom(R) = {x  A / (x ; y)  R}
Ran(R) = {y  A / (x ; y)  R}
También:
Dom(R)  A  Ran(R)  A
Ejemplo:
Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones:
R1 = {(2 ; 2) , (2 ; 3) , (2 ; 4) , (2 ; 5) , (3 ; 2) , (3 ; 3)}
)
1
R
(
Dom = {2 ; 3} , )
2
R
(
Ran = {2 ; 3 ; 4 ; 5}
R2 = {(0; 1 , (0; 2 , (0; 3 , (1; 2) , (2 ; 3)}
)
2
R
(
Dom = {0 ; 1 ; 2} , )
2
R
(
Ran = {1 ; 2 ; 3}

Tercer Año
Álgebra 39
RELACIONES DE R EN R
En el Álgebra, las relaciones de mayor importancia son las que se definen en el conjunto de los
números reales (R), es decir; aquellas relaciones de la forma:
R : R  R ó R  R x R
Ejemplos:
Encontrar el dominio y rango de la relación:
S = {(x ; y)  R2
/ x2
+y2
 16}
 De la regla de correspondencia; x2
+ y2
 16
Tenemos:
 




miembro
.
do
2
2
miembro
.
er
1
2
x
16
y 

Vemos que el 1er término de la desigualdad no es negativa entonces el 2do miembro
tampoco debe serlo, por lo tanto:
16 – x2
 0  x2
 16  -4  x  4
Luego: Dom(S) = -4 ; 4
También tenemos: x2
 16 – y2
; análogamente a la parte anterior obtenemos:
16 – y2
 0  y2
 16  -4  y  4
Entonces: Ran(S) = -4 ; 4
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA RELACIÓN
A partir de su gráfica, podemos hallar algunas propiedades, y para ciertas relaciones
incluso hallar su dominio y rango. Usamos las representaciones gráficas (vistas
anteriormente) de una correspondencia.
Ejemplo:
Sea el conjunto: B = {3 , 4 ; 5 ; 6 ; 7}, se define la relación:
R = {(x ; y)  B2
/ xy  20}
Utilizando el diagrama sagital para relacionar un elemento del conjunto de partida con otro
del conjunto de llegada, tal que su producto sea menor o igual a 20.

Tercer Año
Álgebra 40
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
)
(
Ran 
)
(
Dom 
De donde: R = {(3 ; 3) , (3 ; 4) , (3 ; 5) , (3 ; 6) , (4 ; 3) (4 ; 4) , (4 ; 5) , (5 ; 3) ,
(5 ; 4) , (6 ; 3)}
Además: Dom(R) = {3 ; 4 ; 5 ; 6} = Ran(R)
TIPOS DE RELACIONES
Consideremos una relación R en A, es decir, R : A  A; donde A es un conjunto no vacío.
Entonces se tiene:
1. Relación Reflexiva
Una relación R es reflexiva, si cumple la siguiente condición:
R es REFLEXIVA  { a  A : (a ; a)  R}
Ejemplo:
Sea el conjunto A = {2 ; 3 ; 4 ; 5} en el cual definimos la siguiente relación.
R = {(2 ; 2) , (2 ; 3) , (3 ; 4) , (3 ; 3) , (4 ; 2) , (4 ; 4) ; (5 ; 3) , (5 ; 4) , (5 ; 5)}
De la cual observamos que:
Para 2  A : (2 ; 2)  RPara 3  A : (3 ; 3)  R
Para 4  A : (4 ; 4)  RPara 5  A : (5 ; 5)  R
Por lo tanto, R es reflexiva.
2. Relación Simétrica
Una relación R es simétrica cuando para todos los pares (a ; b)  R; existe el par (b; a)
que también pertenece a R, es decir:
R es SIMÉTRICA  { (a ; b)  R : (b ; a)  R}
Ejemplo:
Sea: A = {2 ; 3 ; 4 ; 5}, definimos la relación:
R = {(2 ; 3) , (2 ; 4), (3 ; 5) , (3 ; 2) , (4 ; 2) , (5 ; 3) , (2 ; 2) , (4 ; 4)}

Tercer Año
Álgebra 41
Notación lo siguiente:
Para (2 ; 3)  R : (3 ; 2)  R
Para (2 ; 4)  R : (4 ; 2)  R
Para (3 ; 5)  R : (5 ; 3)  R
Para (3 ; 2)  R : (2 ; 3)  R
Para (4; 2)  R : (2 ; 4)  R
Para (5 ; 3)  R : (3 ; 5)  R
Para (2 ; 2)  R : (2 ; 2)  R
Para (4 ; 4)  R : (4 ; 4)  R
Luego la relación R es SIMÉTRICA
3. Relación Transitiva
La relación R se denomina TRANSITIVA cuando los pares (a ; b)  (b ; c)  R, el par
(a ; c) también pertenece a R, así:
R es TRANSITIVA  { (a ; b)  (b ; c)  R : (a ; c)  R}
Ejemplo:
Sea: A = {2 ; 3 ; 4 ; 5}, se define la relación:
R = {(2 ; 3) , (3 ; 4) , (4 ; 5) , (2 ; 4) , (3 ; 5) , (2 ; 5)}
Tomando todos los pares posibles de la forma (a ; b) y (b ; c), observamos:
Para (2 ; 3)  (3 ; 4)  R : (2 ; 4)  R
Para (2 ; 3)  (3 ; 5)  R : (2 ; 5)  R
Para (3 ; 4)  (4 ; 5)  R : (3 ; 5)  R
Luego, R es una relación TRANSITIVA
4. Relación de Equivalencia
La relación R se dice que es de EQUIVALENCIA si y solo si R es reflexiva, simétrica y
transitiva a la vez.
Ejemplo:
Sea el conjunto: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, en el cual se define la relación:
R = {(1 ; 1) , (1 ; 2) , (2 ; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3) , (4 ; 4)}
De esta relación observamos:
R es reflexiva, pues siendo I = {(1 ; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3) , (4 ; 4)} ; I  R
R es simétrica, porque  (a ; b)  R : (b ; a)  R
R es transitiva, ya que:
Para (1 ; 1)  (1 ; 2)  R : (1 ; 2)  R

Tercer Año
Álgebra 42
Para (1 ; 2)  (2 ; 1)  R : (1 ; 1)  R
Para (1 ; 2)  (2 ; 2)  R : (1 ; 2)  R
Para (2 ; 1)  (1 ; 1)  R : (2 ; 1)  R
Para (2 ; 1)  (1 ; 2)  R : (2 ; 2)  R
Para (2 ; 2)  (2 ; 1)  R : (2 ; 1)  R
Por lo tanto, R es EQUIVALENCIA
RELACION INVERSA
Sea un conjunto no vacío A y la relación R : A  A, tal que:
R = {(x ; y)  A2
/ P(x ; y)}
Se define la relación inversa de A como:
R* = {(y ; x)  A2
/ P(x ; y)}
Donde: Dom(R*) = Ran(R)  Ran(R*) = Dom(R)
Ejemplo:
Sea A = {2 ; 3 ; 4 ; 5} ; se define la relación:
R = {(2 ; 3) , (4 ; 3) , (3 ; 5) , (2 ; 5) , (2 ; 4) , (4 ; 5)}
Entonces: R* = {(3;2), (3;4), (5;3), (5;2), (4;2), (5;4)}
Donde:
Dom(R*) = {3 ; 4 ; 5} = Ran(R)
Ran(R*) = {2 ; 3 ; 4} = Dom(R)

Tercer Año
Álgebra 43
01) Dados los conjuntos:
A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ;
B = {3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} y
R = {(x; y)A x B/y – x – 2 = 0}
Entonces n(R) es:
Rpta.:
02) Sean:
M = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} ;
N = {1 ; 4 ; 6 ; 9 ; 25 ; 17} y
R = {(x ; y)  M x N / y = x2
}
Entonces, n(R) es:
Rpta.:
03) Sean:
A = {2 ; 3 ; 4 ; 5} ;
B = {3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7}
Se define la correspondencia:
P = {(x ; y) A x B/x + y es par}
Calcular n(P)
Rpta.:
04) Sean:
A = {16 ; 18 ; 20 ; 22}
B = {20 ; 22 ; 23 ; 26}
Q = {(x ; y)  A x B / y = x + 4}
Calcular n(Q)
Rpta.:
05) Sean:
A = {2 ; 4 ; 6 ; 8}
B = {5 ; 7 ; 10 , 12}
M = {(x ; y)  A x B / y – x es impar}
Hallar n(M)
Rpta.:
06) Sean:
A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} ;
B = {1 ; 3 ; 6 ; 8}
Y (a ; b) definida por “a” es menor que
“b”, donde (a ; b)  A x B ¿Cuántos
pares ordenados tiene la
correspondencia ?
Rpta.:
07) En A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} se considera la
relación:
R = {(x ; y)  A2
/x = y v x + y = 3}
podemos afirmar que R es:
Rpta.:
08) ¿Se puede afirmar que:
R = {(x ; y)  R2
/ x2
– 4y2
= 16}
es reflexiva?
Rpta.:

Tercer Año
Álgebra 44
09) Dada la relación:
R = {(x ; y)  N2
/ y = 6 – x} ¿Se
puede afirmar que Dom(R) = Ran(R)?
Rpta.:
10) Del problema anterior, hallar la suma
de los elementos del Dom(R)
Rpta.:
11) Sea la relación:
R = {(x ; y)  R2
/ y  x2
– 9  y  -x + 3}
Cuyo: Dom(R) = {a ; b} y Ran(R) =
{c;d} , el valor de: a+b+c+d es:
Rpta.:
12) Sea: S = {2 ; 3 ; 4} un conjunto cuyo
número de elementos se expresa
así: n(S) = 3
Si: R1 = {(x ; y)  S2
/ y = x2
}
Hallar n(R1)
Rpta.:
13) Para el problema anterior, sea:
R2 = {(x ; y)  S2
/ y – x = 1}
Hallar n(R2)
Rpta.:
14) Sea la siguiente relación:
R1 = {(2;3), (4;6), (7;9), (8;11),
(3;7), (4;8)}
Hallar el dominio de R1*
Rpta.:
15) Del problema anterior, hallar Ran(R1*)
Rpta.:
16) Dada la siguiente relación:
S = {(1 ; 2) , (3 ; 7) , (4 ; 3) , (2 ; 1) ,
(3 ; 4) , (7 ; 3) , (1 ; 1) , (4; 7) , (2; 2) ,
(4 ; 4) , (7 , 7) , (3; 3)}; ¿S es de
equivalencia?
Rpta.:
17) Dada la siguiente relación:
P = {(1 ; 3),(4 ; 2),(7; 9),(6 ; 3)}
Hallar P*
Rpta.:
18) Del problema anterior, cuántos pares
ordenados cumplen con la siguiente
regla de correspondencia:
 = {(x ; y)  P / y = x – 2}
Rpta.:
19) Sea: R = {(1;2) , (3;4) , (5;7)} y R* =
{(m;1) , (4;n) , (p;5)} hallar: m +n + p
Rpta.:
20) De la siguiente relación:
S = {(3;4) , (7;2) , (4;3) , (2;7)} ¿S es
reflexiva, simétrica, o transitiva?
Rpta.:

Tercer Año
Álgebra 45
A = {5 ; 7 ; 8 ; 11 , 15}
B = {9 ; 11 ; 12 ; 19}
R = {(x;y)  A x B/y – x – 4 = 0}
Entonces n(R) es:
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5
e) 6
P = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
Q = {2 ; 9 ; 65 ; 120 , 84} y
R = {(x;y)  P x Q/y–x3
– 1 = 0}
Entonces n(R) es:
a) 3 b) 4
c) 5 d) 6
e) 7
03) Sean:
M = {58 ; 63 ; 72 ; 85}
N = {35 ; 26 , 49 ; 58}
R = {(x ; y)  M x N / x + y es impar}
Hallar n(R)
a) 5 b) 6
c) 7 d) 8
e) 9
04) Sean:
A = [1 ; 2 ; 3 ; 4] ;
B = {3 ; 4 ; 5 ; 6} y
R = {(x ; y)  A x B / x = y}
Hallar n(R)
a) 0 b) 1
c) 2 d) 3
e) 4
05) Si: A = {-1 ; 0 ; 1}
R = {(x ; y)  A2
/y2
= x2
}
Hallar n(R)
a) 5 b) 6
c) 7 d) 8
e) 9
06) Si: R1 = {(x ; y)  R2
/ y – x = 6} ; R2
= {(x ; y)  R2
/ x +y = 8} calcular el
producto de las componentes de los
elementos de R1  R2
a) 2 b) 3
c) 5 d) 6
e) 7
07) En:
A = {-4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2}
se define la relación:
R = {(x;y)  A2
/ x2
+ x = y2
+ y} ¿R
es reflexiva o simétrica?
a) Reflexiva
b) Simétrica
c) Ambas
d) Ninguna de las dos
08) Sean:
R1 = {(x ; y) / x  y}
R2 = {(x ; y) / x +1 = y}
R3 = {(x ; y) / x  y}
Definidas en el conjunto
A = {2 ; 4 ; 5 ; 6}

Tercer Año
Álgebra 46
¿Se puede afirmar que:
R1  R2  R3?
a) Si b) No
c) N.A.
09) En el problema anterior, ¿R1  R3
es una relación de equivalencia?
a) No b) Si
c) No se sabe
10) En el problema 8: ¿R3 no es
simétrica?
a) Si b) No
c) N.A.
11) Sea el conjunto:
A = {(2;3) , (6;8) , (9;11) , (3;7)}.
Hallar la suma de los elementos del
Dom(A*)
a) 24 b) 26
c) 29 d) 33
e) 41
12) Sea la relación:
R = {(5;9) , (3;7) , (4;6) , (11;2)}
R* = {(7;a) , (2;b) , (c;5) , (6;d)}
Hallar a + b +c +d
a) 27 b) 29
c) 31 d) 33
e) 35
13) Sea R una relación definida en
A = {2 ; 3 ; 9} mediante:
R = {(x ; y) / y + 1  x2
}
Entonces, el número de elementos
de R es:
a) 4 b) 5
c) 6 d) 7
e) 8
14) La relación:
R = {(x ; y)  Z x Z /x – y = 2k ;
k  Z} es:
a) Simétrica
b) Reflexiva
c) Transitiva
d) De equivalencia
e) A  C
15) En la figura se muestra la gráfica de
una relación R en el plano
cartesiano.
Calcular: Dom(R) g Ran(R)
x
y
(-2 ; 2)
(1 ; 1)
(3 ; 5)
(4 ; 2)
a)  b) 3 ; 5
c) 1 ; 4 d) -2 ; 5
e) 1 ; 5

Tercer Año
Álgebra 47
TEMA: FUNCIONES
Conceptos Previos:
PAR ORDENADO:
Se define así: }
}
b
;
a
{
;
}
a
{
{
)
b
;
a
( 
(3 ; 5) = { {3} ; {3 ; 5} }
(5 ; 3) = { {5} ; {5 ; 3} }
 (3 ; 5)  (5 ; 3)
Además:
d
b
c
a
)
d
;
c
(
)
b
;
a
( 




Ejm: (3 ; a) = (b ; 4)
 b = 3  a = 4
Observación: (a ; a) = { {a} }
PRODUCTO CARTESIANO
}
B
b
A
a
/
)
b
;
a
(
{
B
A 




Ejemplo: A = {1 ; 2}
B = {a ; b ; c}
A x B = { (1 ; a) ; (1 ; b) ; (1 ; c) ; (2 ; a) ; (2 ; b) ; (2 ; c) }
B x A = { (a ; 1) ; (a ; 2) ; (b ; 1) ; (b ; 2) ; (c ; 1) ; (c ; 2) }
 A x B  B x A
DIAGRAMA DE VENN:
1
2
a
b
c
A B
AxB

Tercer Año
Álgebra 48
PROPIEDADES:
1) A x B = B x A  A = B
2) A x B =   A    B  
3) n(A x B) = n(A) x n(B)
Donde: n(A) = cardinal de A (# de elementos)
Ejm: n(A) = 2
n(B) = 3
n (A x B) = 6
RELACIONES
Una relación de A en B es cualquier subconjunto de A x B.
Si A x B = { (1 ; 2) , (1 ; 3) , (2 ; 2) , (2 ; 3) }
Entonces:
R1 = { (1 ; 2) }
R2 = { (x ; y) / x  y ; x  A , y  B }
= { (2 ; 2) }
R3 = 
FUNCIÓN
Sean A y B dos conjuntos no vacíos.
Una función F de A en B (f = A  B) es un conjunto de pares ordenados tal que todos los
elementos de A debe tener un único elemento en B.
Ejemplo:
A B
f
Sí es función
A B
f
Sí es función

Tercer Año
Álgebra 49
A B
f
No es función
Definición Formal
Sea f : A  B una función, entonces se cumple:
f
)
y
;
x
/(
B
y
!
,
A
x 




Condición de existencia
Z
y
f
)
Z
;
x
(
f
)
y
;
x
(
:
Si 




Ejemplo:
Sea f = { (2 ; x – y) ; (3 ; x + y) ; (2 ; 3) ; (3 ; 4) } una función. Halle: 2x – y
Solución:
x – y = 3  x + y = 4
 2x = 7
2
13
y
x
2
2
1
y
2
7
x 





Entonces se cumple: B
A
R
f 


NOTA:
. Toda función es una relación
. No toda relación es una función

Tercer Año
Álgebra 50
NOTACIÓN:
 B
A
:
f
DOIMINIO

A B
PREIMAGEN IMAGEN
RANGO
DOMINIO O
CONJUNTO DE
PARTIDA
CONJUNTO
DE LLEGADA
O RANGO
Observación: Algunos matemáticos consideran:
Es función
Es aplicación
El dominio está formado por todos
los elementos del conjunto de partida
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Son aquellas funciones cuyo dominio y rango es un subconjunto de R.
Ejemplo:
f = 0 ; 1  R
f : R  R
DOMINIO:
Dom(f) = { x / (x ; y)  f }
RANGO:
Ran(f) = { y / (x ; y)  f }

Tercer Año
Álgebra 51
REGLA DE CORRESPONDENCIA
Es aquella ecuación que nos permite relacionar los elementos del dominio con los
elementos del rango.
Ejemplo:
1
2
3
4
A B
f
2
9
28
65
)
x
(
f
y 
Variable independiente
Variable dependiente
 y = x3
+ 1
f = { (x ; y) / x  A  y  B }
Ejemplo: Sea: f = { (1 ; 2) , (3 ; 5) , (7 ; 6) , (4 ; 9) }
Dom f = {1 ; 3 ; 7 ; 4}
Ran f = {2 ; 5 ; 6 ; 9}
Ejemplo:
f(5) = 52
f(4) = 42
f(2) = 22
Entonces f(x) = x2
; x  {2 ; 4 ; 5}
Gráfica de una función real en variable real
La gráfica de una función “f” es la representación geométrica de los pares ordenados que
pertenecen a la función.
Gra(f) = { (x ; y)  R2
/ y = f(x) ; x  Domf }
2
5
4
A B
f
16
25
4

Tercer Año
Álgebra 52
Ejemplo:
F(x) = x3
Dom f = R
TEOREMA:
Sea f : R  R
Si toda recta paralela al eje “y” corta a la gráfica a lo más en un punto, dicha gráfica será la
representación de una función.
Ejemplo:
x
y
Recta
Es función No es función,
es una RELACIÓN
x
y
Recta
NOTA: Generalmente una función estará bien definida cuando se especifique su dominio
y regla de correspondencia.
FUNCIONES ESPECIALES
FUNCIÓN CONSTANTE
Regla de Correspondencia: C
f )
x
( 
Dom f = R
Ran f = {c}
x
y
3
x
y 
x
y f
c > 0
c

Tercer Año
Álgebra 53
Ejemplo:
1. Graficar: f(x) = 3 , x  R

y = 3
Tabulando:
3
3
3
3
3
3
3
...
y
3
2
1
0
1
2
3
...
x 


x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
3
f
2. Graficar: f(x) = -2 ; x  -5 ; 2
x
y
-2
2
-5
y = -2
FUNCIÓN IDENTIDAD
Regla de Correspondencia: x
f )
x
( 
Dom f = R
Ran f = R
Ejemplo:
1. Graficar f(x) = x ; x  2 ; 5
2 5
x
y
2
5
x
y
45°
Y=x
a
a

Tercer Año
Álgebra 54
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Regla de Correspondencia: |
x
|
f )
x
( 
Dom f = R ; Ran f = 0 ; +
Sea y = |x|, tabulando:
3
2
1
0
1
2
3
y
3
2
1
0
1
2
3
x 


x
y
-3 -2 -1 1 2 3
y=|x|
FUNCIÓN LINEAL
Regla de Correspondencia: 0
m
;
b
mx
f )
x
( 


Pendiente de la recta
Dom f = R ; Ran f = R
x
y

b
f(x)
m>0
b>0
m>0
b<0
b<0
m<0
b>0
m<0
b
x
y

b
b
Ejemplos:
y = 2x – 6 y = -3x + 1
x
y
0
-6
x
y
1
Si: x = 0 ; y = -6 ; (0 ; -6) punto de corte con el eje y.
Si: y = 0 ; x = 3 ; (3 ; 0) punto de corte con el eje x.

Tercer Año
Álgebra 55
Observación: * Si la pendiente (m) es negativa, la recta se inclina hacia la izquierda.
* Si la pendiente (m) es positiva, la recta se inclina hacia la derecha.
FUNCIÓN CUADRÁTICA: c
bx
ax
f 2
)
x
( 

 ; a  0
Completando cuadrados podemos darle la siguiente forma:
k
)
h
x
(
a
f 2
)
x
( 

 ; a  0
Donde: V = (h ; k) es el vértice de la parábola.
Si: a > 0 la parábola se abre hacia arriba.
Si: a < 0 la parábola se abre hacia abajo.
A continuación analicemos la gráfica de esta función, teniendo como referencia a su
discriminante.
A) Primer Caso
Si A > 0, la gráfica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas:
1)
x
y
x2
x1
k v
h
f
0
0
a



x1 , x2 son las raíces reales y diferentes de f(x).
Ran f = k ; +; observar que el mínimo valor de la función es k
Dom f = R
2)
x
y
x2
x1
k
h
f 0
0
a



v
x1 , x2 son las raíces reales y diferentes.
Ran f = - ; k, observar que el máximo valor de la función es k.

Tercer Año
Álgebra 56
B) Segundo Caso
Si + = 0, la gráfica podría tener cualquiera de las siguientes formas:
1)
x
y
x1 = x2
f 0
a 
2)
x
y
x1 = x2
f
0
a 
C) Tercer Caso
Si + < 0, la gráfica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas:
1)
x
y
k
h
f
v
0
0
a



2)
x
y
k
h
v
0
0
a



Ran f = 0 ; +
Dom f = R
Donde x1 ; x2 son las raíces
reales e iguales.
Ran f = - ; 0
Dom f = R
Observar que la parábola no
intercepta al eje real “x” por lo
tanto no existen raíces reales
Ran f = k ; +
Ran f = - ; k

Tercer Año
Álgebra 57
NOTA: Para completar cuadrados al polinomio: x2
+ ax, se hace:
2
2
2
2
a
2
a
x
ax
x 















Ejemplos:


























































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
5
4
5
x
2
x
2
5
x
2
x
5
x
2
2
3
2
3
x
x
3
x
4
)
2
x
(
2
)
2
x
(
x
4
x
Ejemplo: f(x) = x2
– 6x + 8
f(x) = (x – 3)2
– (3)2
+ 8 = (x – 3)2
– 1
 v = (3 ; -1)
Si: x = 0, y = 8  (0 , 8) es el punto de corte en el eje “y”.
Si: y = 0, x = 2 v x = 4. Entonces (2 ; 0), (4 ; 0) son los puntos de corte con el eje
“x” y como el coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia arriba.
Observe que para hallar el mínimo valor de la función cuando el coeficiente
principal sea positivo, basta calcular el vértice, ya que la segunda componente
indicará el mínimo valor de la función.
FUNCIÓN INVERSO MULTIPLICATIVO
x
1
f )
x
( 
x
y
x
y
f
8
2 3
-1 4
Ran f = -1 ; +
(El mínimo valor de
la función es -1)
Dom f = R – {0}
Ran f = R – {0}

Tercer Año
Álgebra 58
FUNCIÓN POTENCIAL
Regla de Correspondencia:
n
)
x
( x
f  ; n  Z+
; n > 1 ; x  R
1er
CASO: n es PAR
y
x
2
4
6
x
y
x
y
x
y



2do
CASO: n es IMPAR
5
3
x
y
x
y


y
x
Observación: Sea y = ax2n
; n  N
y
x
1
a
0 

2
x
y 
1
a 
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Regla de correspondencia: x
f )
x
(  ; x  0
Su gráfica es la siguiente y se obtiene tabulando:
Ran f = 0 ; +
Dom f = R
Ran f = R
Dom f = R

Tercer Año
Álgebra 59
x
y x
y 
Ejemplo:
1. Obtener la gráfica de 2
x
f )
x
( 

Solución: La gráfica de esta función la obtendremos por desplazamiento
horizontal, a partir de la gráfica original x
y  .
x
y x
y 
x
y
2
x
y 

2
2. Graficar: 2
6
x
f )
x
( 


x
y
5
x
y 

x
y 
x
y
6
x
y
6
2
2
6
x
y 


Ran f = 2 ; +
Dom f = 6 ; +
Ran f = 0 ; +
Dom f = 0 ; +

Tercer Año
Álgebra 60
01. Si el siguiente conjunto de pares
ordenados representa una función,
señalar su dominio.
f = {(2;4a-b), (3;b),(2;3),(5;6),(3;1)}
02. Del problema anterior, señalar su rango.
03. Hallar el dominio de la función:
5
x
x
5
)
x
(
F


04. Indique el mínimo valor de la función
g(x) = x2
- 8x + 15
05. Calcule ab, si el conjunto de pares
ordenados representa una función:
f = {(2;5),(-1;3),(2;2a-b),(-1;b-a),(a+b2
;a)}
06. Si:
A = {1;2;3;4;5;6};
B = {1;2;3;4} y F: A  B es una
función, definida por:
F = {(x;1),(2;4),(4;4),(y;4),(z;3)}
Entonces: (x + y + z) es:
07. Calcular el número de elementos de A:
A = {X  Z / 10 < x + 2 < 20}
08. Calcular el número de elementos de B:
B = {X  Z / |x-5| < 3}
ordenados representa una función:
f = {(2;a-5),(9;4),(3;1),(2;6),(9;b-1)}
Calcular (a + b)
10. Graficar f(x) = 3; x  R
11. Graficar g(x) = 3; x  6
;
3
12. Graficar: g(x) = x
13. Graficar: f(x) = x; x  ;
3 6]
14. Se define la función G como sigue:









8
x
4
;
5
x
2
4
x
0
;
x
)
x
(
G
3
Si: 1 < x < 2, hallar G (3x + 2)
15. Si F es una función cuyo rango es un
conjunto unitario, determinar el
dominio de F.
F = {(a+b;b),(ab;a-b),(a:1),(3b;a-1)}
16. Encontrar el rango de la función:
;
2
x
3
x
)
x
(
g


 x  5
;
2

17. Indique el máximo valor de la función:
H(x) = -x2
– 6x + 12
18. De los gráficos:
3
4
5
8
f
3
2
1 2
g
3
Y
X
Calcule:
)
2
(
g
)
4
(
f
)
3
(
g
)
3
(
f


19. Sea la función:










12
;
9
x
;
1
x
4
;
2
x
;
1
x
)
x
(
f 2
2
Calcule f(f(3))
20. Calcule dominio, rango y gráfica de la
siguiente función:
2
1
x
)
x
(
H 



Tercer Año
Álgebra 61
ordenados representa una función,
dar su dominio
f = (3;5),(2a;6),(b-2;5),(4;7),(8;6)}
a) {3, 6, 4} b) {3; 8; 4}
c) {4; 3; 6} d) {3; 2}
e) {4; 8; 6}
02. Para el problema anterior, dar su rango
a) {3; 6; 4} b) {4;2;6}
c) {5;6;7} d) {4;6;7}
e) {5;8;9}
03. Dada la función:
f(x) = 6
x
x2

 .
Deteminar Dom(f)
a)   



 ;
3
2
; 
b) 
2
;


c)   


 ;
8
4
; 
d) 3
;
2
04. Hallar el rango de la función:
g = {(x2
; x2
-1) / x  
5
;
2
 }
a) 
24
;
3 b)  
24
;
3
c) 24
;
3 d) 
6
;
0
e) [-1; 24]
05. Sean f y g dos funciones, tales que:
f(x) = ax + 1, g(x) = 3x + b; además:
f(1) = g(-1)
f(-1) = g(1)
Calcule: f(2) + g(3)
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
06. Del gráfico calcule (a+b), si “f”
representa una función valor
absoluto.
b
Y
X
a
12
f
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
07. Calcule el rango de la función:
f(x) = x2
- 5x + 1
a) [-21/4; 
 b) 

 ;
3
c)  

 ;
5 d) 

 ;
1
e) 

;
0
08. Si f:  5
;
3
  15
;
12

x  3x – 1
Calcule la suma de valores enteros del
rango de la función.
a) 10 b) 17 c) 20
d) 15 e) 36
09. De la siguiente gráfica de la función
f:
Y
X
3
y = ax + b
1
0
1
3

Tercer Año
Álgebra 62
Calcule (a + b)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10. De la figura
Y
X
4
-2 7
1
f
Calcule (Dom f) g (Ran f)
a) [1;3] b) [1;4]
c) [1;7] d) [1;10]
e) [5;9]
11. Hallar el rango de la función:
1
x
x
4
)
x
(
f
2


a) [-1;3] b) [1;7]
c) [-1;4] d) [-2;2]
12. Calcular el dominio de la función:
f(x) = x
3
5 

a) [0;9] b) [5;10]
c) 3
;
2
[ d)  
7
;
4
e)  
14
;
8
13. Si f y g representan funciones:
3
f
1
2
0
2
7
9 6
g
4
5
3
1
2
Calcule:
f(1).f(2).f(3) + g(6) + g(4) + g(5)
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
14. Grafique la función:
h(x) = |x-2|; x   
3
;
3

Y
X
3
5
-3 2
1
Y
X
3
-3
Y
X
3
5
-3
-2
1
Y
X
3
-3 -2
5
A) B)
C) D)
15. Si x  
4
;
5
 , calcule el rango
de la función:
f(x) = x2
+ 4x + 7
a) 10
;
3 b) 10
;
8
c) 14
;
8 d) 10
;
4
e) N.A.

Tercer Año
Álgebra 63
TEMA: LIMITES
El concepto de límite es un hecho fundamental en la matemática moderna y es la base
sobre la que se sustentan otras ideas como la derivada. Durante el siglo XVII, los
matemáticos dedicados al estudio de las derivadas e integrales se vieron obligados a
trabajar con procesos infinitos que no entendían bien. Estos problemas tardarían dos siglos
en ser resueltas.
INTRODUCCION A LOS LÍMITES
 Recordemos que dada una función y = f(x), para cada valor de “x” existe su respectiva
imagen f(x) llamada también “valor de la función f en x”. Veamos
* Siendo: y = f(x)
Para x = x1 su imagen es f(x1)
x = x2 su imagen es f(x2)
x = x3 su imagen es f(x3)
Gráficamente:
)
x
(
)
x
(
)
x
(
1
2
3
f
f
f )
x
(
f
y 
3
2
1 x
x
x
x
y
* Siendo: f(x) = x + 2 , x  0 ; +
Para x = 1 su imagen es f(1) = 3
x = 2 su imagen es f(2) = 4
x = 3 su imagen es f(3) = 5
Gráficamente
x
y
)
1
(
)
2
(
)
3
(
f
3
f
4
f
5



2
x
f )
x
( 

0 1 2 3

Tercer Año
Álgebra 64
A continuación consideremos un valor particular del dominio, por ejemplo x = a (x = 2).
Cogiendo otros valores distintos de “a” (distintos de 2), pero cercamos al el, intentaremos
una aproximación a “a” (aproximación a 2):
)
x
(
f
y 
y
)
x
( '
1
f
)
x
( '
2
f
)
x
( 1
f
)
x
( 2
f
a
L
x1 x2 x2
x1 x3
Debemos observar que cuando x se va aproximando a “a” (tanto por la izquierda como por
la derecha), las respectivas imágenes se van aproximando a “L” (tanto por abajo como por
arriba).
x
y
2
x
f )
x
( 

0 1 1,5 2 2,5 3
5
4,5
4
3,5
3
En este caso observamos que cuando x se va aproximando a 2 (tanto por la izquierda
como por la derecha), las respectivas imágenes se van aproximando a 4 (tanto por abajo
como por arriba).
Para una mayor comprobación, en el caso de f(x) = x + 2, intentemos la aproximación a x =
2, con valores mucho mas cercanos a el.

Tercer Año
Álgebra 65
001
,
4
0001
,
4
00001
,
4
4
99999
,
3
9999
,
3
999
,
3
2
x
f
001
,
2
0001
,
2
00001
,
2
2
99999
,
1
9999
,
1
999
,
1
x
)
x
( 

Esto lo podemos resumir diciendo:
Cuando x  2 (se lee: “x tiende a 2”)
Se tiene que f(x)  4 (se lee: “f(x) tiende a 4”)
Asimismo, se sintetiza con la siguiente notación:
4
f )
x
(
2
x
lim 

Ahora, veamos otro ejemplo para comprender mejor el concepto de límite.
Consideremos una función real de variable real:
1
x
;
1
x
1
x
f
2
)
x
( 



¿Qué sucede si x toma valores muy cercanos a 1?
Para ello, si multiplicamos la expresión inicial, obteniéndose en forma equivalente:
f(x) = x + 1 ; x  1
Dándole un enfoque geométrico:
x
y
2
x
1
)
x
(
f
(Valores por la izquierda) (Valores por la derecha)
Se observa que a medida que x se acerca a 1, y asea por la izquierda o por la derecha,
entonces f(x) se acerca a 2; es decir, si x tiende a 1, entonces f(x) tiende a 2.
Se lee: “Límite de f(x) cuando x tiende
a 2 es igual a 4”

Tercer Año
Álgebra 66
Simbolizando:
1
x
2
f
lim )
x
(


O en forma equivalente:
1
x
2
)
1
x
(
lim



Para obtener el valor limite 2, se ha reemplazado en la expresión f(x) = x + 1, el valor de 1
para x, así.
1
x
1
x
2
1
)
1
(
f
)
1
x
(
lim
f
lim )
1
(
)
x
(








IDEA DE LÍMITE
Siendo y = f(x) una función, diremos que si x  a implica f(x)  L. Entonces:
x
y
)
x
(
f
y 
0 a
L
NOTA: Debemos tener en cuanta que “a” no necesariamente pertenece al Dominio de f.
Ejemplo: f(x) = x2
3
x
f
lim )
x
(


3
x
9
)
x
(
lim 2


Toda aproximación de x a 3 conduce a que
f(x) se aproxime a 9
Ejemplo 2:
3
x
x
3
x
g
2
3
)
x
(



a
x
L
f
lim )
x
(


x
y
0
2
)
x
( x
f 
9
3

Tercer Año
Álgebra 67
3
x
g
lim )
x
(


3
x
lim

9
3
x
x
3
x 2
3











Toda aproximación de x a 3 conduce
a que g(x) se aproxime a 9.
DEFINICION DE LÍMITE
El número L se llama límite de la función real de una variable real f, en el punto X0 (x0 no
pertenece necesariamente al dominio de f), si para cada  > 0, es posible hallar un valor
positivo  (delta) que depende de  (épsilon), tal que:










 |
L
f
|
|
x
x
|
0
Domf
x )
x
(
0
Se dice que L es el límite de f(x) , cuando x tiende a x0 y se escribe como:
L
f
lim )
x
(
x
x 0


Interpretación Geométrica:
x
y
L + e
L
L - e
)
x
(
f
f
)
x
( 0 

)
x
( 0 
 0
x x
TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE
Sea una función real de una variable real y x0 no pertenece a Domf.
2
1
2
)
x
(
x
x
1
)
x
(
x
x
L
L
L
f
lim
L
f
lim
0
0







x
y
0
9
3
2
2
3
)
x
( x
3
x
x
x
g 




Tercer Año
Álgebra 68
LIMITES LATERALES
Consideremos la siguiente función:
x
y
L2
L1
)
x
(
f
y 
Podemos notar que: * Cuando nos aproximamos a “a” por la izquierda, el límite es L1.
* Cuando nos aproximamos a “a” por la derecha, el límite es L2.
Limite por la derecha
Se dice que L es el límite lateral de f(x) cuando x tiende hacia “a” por la derecha y se denota
por:
)
a
x
(
2
1
2
)
x
(
a
x
)
x
(
a
x
L
L
L
f
lim
f
lim








Geométricamente:
x
y
)
x
(
f
L
x
a

Tercer Año
Álgebra 69
Ejemplo:
Calcular:
x
|
x
|
0
x
lim


Solución:Si x  0+
 x > 0
Como x > 0  |x| = x
Reemplazando:
1
0
x
1
lim
x
x
0
x
lim
x
|
x
|
0
x
lim








Limite por la izquierda
Se dice que M es el límite lateral de f(x) cuando x tiende hacia “a” por la izquierda y se
denota por:
)
a
x
(
)
x
(
a
x
)
x
(
a
x
M
f
lim
f
lim






Geométricamente:
x
y
)
x
(
f
M
x a
TEOREMA:
El limite de f existe y es único, cuando x tiende al valor de a“, si y solo si existen los limites
laterales y además son iguales:
)
x
(
a
x
)
x
(
a
x
)
x
(
a
x
f
lim
L
f
lim
L
f
lim










Tercer Año
Álgebra 70
Ejemplo:
Calcular:
x
|
x
|
0
x
lim

Solución:
Ya vimos que: 1
x
|
x
|
0
x
lim

 
Además: 1
x
|
x
|
0
x
lim


 
Es decir: 
 
x
|
x
|
0
x
lim
x
|
x
|
0
x
lim


 
 
x
|
x
|
0
x
lim
TEOREMAS SOBRE LÍMITES
Sean f y g funciones tales que:
L
f
lim )
x
(
a
x


y M
g
lim )
x
(
a
x


Entonces:
1) C
C
lim
a
x


, constante
2)   cL
f
lim
C
cf
lim )
x
(
a
x
)
x
(
a
x










3) a
x
lim
a
x


4)   M
L
g
lim
f
lim
g
f
lim )
x
(
a
x
)
x
(
a
x
)
x
(
)
x
(
a
x








x
y
1
-1
x
|
x
|
f )
x
( 

Tercer Año
Álgebra 71
5)   M
L
g
lim
f
lim
g
f
lim )
x
(
a
x
)
x
(
a
x
)
x
(
)
x
(
a
x








6)
a
x
0
M
Si
,
M
1
g
lim
1
g
1
lim
)
x
(
)
x
(
a
x





7) 0
M
Si
,
M
L
g
lim
f
lim
g
f
lim
)
x
(
a
x
)
x
(
a
x
)
x
(
)
x
(
a
x






8)   n
n
)
x
(
a
x
n
)
x
(
a
x
L
f
lim
f
lim 



9)
n
n )
x
(
a
x
n
)
x
(
a
x
L
f
lim
f
lim 



; donde:
L  0  n  Z+
L < 0  n es IMPAR
Ejemplo 1:
Encuentre el valor de:
4
3
x
x
2
lim

Solución:
4
3
x
x
2
lim

=
4
3
x
x
2
lim
2

…. ……. (Por el Teorema 2)
=
4
3
x
)
x
lim
(
2

…. ……. (Por el Teorema 7)
= 2(3)4
……………… (Por el Teorema 3)

4
3
x
x
2
lim

= 162
Ejemplo:
Encuentre el valor de:
x
9
x
lim
2
4
x



Tercer Año
Álgebra 72
Solución:
x
9
x
lim
2
4
x


=
4
9
x
lim
x
lim
9
x
lim
2
4
x
4
x
2
4
x






= 9
lim
x
lim
4
1
4
x
2
4
x 


=
4
5
9
4
4
1
9
x
lim
4
1 2
2
4
x











FORMAS DETERMINADAS E INDETERMINADAS
 Formas Determinadas
Cuando su calculo puede ser posible directa (reemplace directo) o indirectamente
(mediante transformaciones); entre ellos tenemos, (consideremos: a = constante no
nula)





























y
x
lim
0
y
x
lim
a
a
x
lim
0
a
0
x
a
lim
0
a
0
0
a
x
lim
0
a
x
a
lim
0
y
x
y
0
x
x
x
0
x
0
x
 Formas Indeterminadas
Se dice de aquellas expresiones que para un valor de su(s) variable(s) adoptan
cualquier valor, o en todo caso no es posible hacer su cálculo.
Entre las cuales tenemos:
0
0
;
1
;
;
0
;
;
0
0 







(no esta definida o no existe)
También:

Tercer Año
Álgebra 73
Estudio de las formas indeterminadas de la forma:
0
0
Si la fracción:
)
x
(
)
x
(
g
f
para x = a, toma la forma
0
0
, es preciso transformarla para
“levantar la indeterminación”; es decir, simplificar al factor que hace indeterminada a la
expresión. En este caso habría que encontrar el factor (x – a).
- Para ello se utilizan criterios de factorización o racionalización, según se requiere
el ocaso, para encontrar al factor (x – a) que es el que hace indeterminada la
expresión.
- Seguidamente se simplifica el factor (x – a).
- Se evalúa la expresión resultante para x = a.
- Si persiste la forma
0
0
, se repten los procedimientos anteriores hasta lograr una
forma determinada.
Ejemplo 1:
Calcular L =










 2
4
2
3
0
x x
8
x
3
x
2
x
lim
Solución:
Sustituyendo x por 0 se obtiene
0
0
0
0
0
0



; y se tiene una indeterminación. Analizando la
expresión podemos factorizar x2
en el numerador y denominador.
8
x
3
2
x
lim
)
8
x
3
(
x
)
2
x
(
x
lim
L
2
0
x
2
2
2
0
x 








; evaluando para x = 0
4
1
8
0
2
0
L 





Tercer Año
Álgebra 74
Ejemplo 2:
Hallar
1
x
1
x
lim
L
0
x 



Solución:
Sustituyendo x por 1 obtenemos ;
0
0
1
1
1
1



y se tiene una indeterminación.
Transformando el denominador:
;
1
x
1
lim
)
1
x
)(
1
x
(
1
x
lim
L
1
x
1
x 







evaluando para x = 1
2
1
1
x
1
L 


Tercer Año
Álgebra 75
* Hallar el valor de los siguientes límites:
01)
3
3
x
x
3
lim

02)
x
9
x
lim
2
4
x


03)










 2
4
2
3
0
x x
8
x
3
x
2
x
lim
04)
4
x
4
x
lim
4
x 


05)
6
x
3
x
3
lim
2
2
3
x 



06)
h
5
1
h
5
1
lim
0
h



07)
3
x
15
x
2
x
lim
2
3
x 



08)
7
x
7
x
6
x
6
x
lim
2
3
7
x 




09)
1
x
1
x
lim
4
1
x 


10)
2
3
x
x
2
1
x
lim
2
1
x 




11)
1
x
1
x
x
x
lim
2
2
3
1
x 




12)
1
x
1
x
lim
2
3
1
x 


13)
1
x
1
x
lim
3
0
x 


14)
12
x
20
x
11
x
2
4
x
3
x
lim
2
3
2
3
2
x 






15)
20
x
11
x
8
x
12
x
5
x
6
x
lim
2
3
2
3
1
x 






16)
3
x
x
3
x
2
x
x
2
x
lim
2
3
2
3
1
x 







17)
4
x
8
x
lim
2
3
2
x 



18)
25
h
5
h
lim
25
h 


19)
1
x
1
x
lim
7
5
1
x 



20)
1
x
8
)
x
1
(
lim
2
3
1
x 




Tercer Año
Álgebra 76
* Hallar el valor de los siguientes límites:
01)
2
4
2
3
0
x x
x
x
3
x
lim



a) -1 b) -2 c) -3
d) -4 e) -5
02)
2
x
8
x
lim
3
2
x 



a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
03)
2
h
16
h
lim
2
4
h 


a) 16 b) 32 c) 64
d) 128 e) N.A.
04)
3
x
4
x
15
x
lim
3
4
x 



a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
05)
4
x
6
x
x
lim
2
2
2
x 



a) 5 b) 25 c) 125
d) 625 e) N.A.
06)
8
x
4
x
lim
3 2
8
x 


a) 2/3 b) 1/3 c) 4/3
d) 5/3 e) 8/3
07)
h
x
)
h
x
(
lim
2
2
0
h



a) x b) 2x c) 3x
d) 3 e) 4
08)
3
1
x
2
2
1
x
3
lim
1
x 




a)
4
3
b)
2
3
c)
2
3
3
d)
4
3
3
e) N.A.
09)
x
2
x
16
lim
4
0
x



a)
16
1
b)
32
1
c)
4
1
d)
8
1
e)
2
1
10)
9
x
9
x
x
x
9
x
lim
2
3
3
3
x 




a)
2
3
b)
6
3
c)
5
3
d)
4
3
e)
7
3

Tercer Año
Álgebra 77
11)
2
3
2
4
0
x x
7
x
x
2
x
lim



a)
7
2

b)
7
1

c)
7
1
d)
7
2
e) N.A.
12)
x
4
x
x
x
lim
3
2
0
x 


a) 0 b) 1 c) 2
d)
4
1
e)
4
3
13)
x
x
1
x
x
x
lim
3
2
3
1
x 




a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
14)
x
1
x
x
x
1
2
lim
3
2
1
x 





a)
2
1
b) 1 c)
3
2
d)
2
3
e)
4
3
15)
2
)
x
2
(
2
x
lim
3
/
1
1
x 


a)
2
3
b)
3
2
c)
3
4
d)
4
3
e) N.A.

Tercer Año
Álgebra 78
MISCELÁNEA
01) Efectuar:
1
4
1
3
1
2
256
27
16
M






Rpta.:
02) Efectuar:
1
2
36


Rpta.:
03) Efectuar:
1
2
25
16








Rpta.:
04) Reducir:
1
n
2
n
1
n
3
n
2
2
2
2
R







Rpta.:
05) Hallar “x” en:
a
a
x
a
)
ax
( 
Rpta.:
06) Hallar “x” en:
112
2
2
2 3
x
2
x
1
x


 


Rpta.:
07) Si: 8
x
1
x 

Hallar:
2
2
x
x 

Rpta.:
08) Si: 6
b
1
b 

Hallar:
3
3
b
1
a 
Rpta.:
09) Simplificar:
2
2
2
b
a
2
b
a
E 




 






 

Rpta.:
10) Si: a + b + c = 2x
Hallar:
2
2
2
2
x
)
c
x
(
)
b
x
(
)
a
x
(
M 






Rpta.:
11) Si: a3 + b3 = 10
a + b = 5
Hallar : a . b
Rpta.:
12) Si: 7
x
1
x
2




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