Ejemplos binomial
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Este documento presenta varios casos de distribución binomial para analizar la probabilidad de defectos en procesos de manufactura. En el primer caso, se analiza la probabilidad de defectos en una muestra de 87 piezas con una tasa de defectos del 1.1%. En otros casos se calculan probabilidades para diferentes tasas de defectos y tamaños de muestra. Finalmente, se presenta un análisis de causas de defectos en un proveedor y las acciones correctivas implementadas.
Ejemplos binomial
- 1. ESTADÍSTICA APLICADA A LA INGENIERÍA EJEMPLOS DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ALUMNA: YOVANA MARIN DE LA FUENTE 2013 19/09/2013 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN
- 2. Caso 1: En la fábrica de marcadores Yovana la tasa de defectos es del 1.1% se extrae una muestra de 87 piezas determina el valor esperado y gráfica. Datos : n = 87 pzas p = 0.011 q = 0.989 Formulas: p(Xi ) p(x=x) n(x px qn-x ) Distribución: Binomial Xi p(Xi ) Xi * p(Xi ) (Xi -µ)2 * p(Xi ) 0 0,382012319 0 0,350003433 1 0,369651961 0,369651961 0,000677507 2 0,176790068 0,353580136 0,192251392 3 0,055712407 0,167137221 0,232492268 4 0,013012705 0,05205082 0,120480756 5 0,002402548 0,01201274 0,039268025 6 0,0003652 0,0021912 0,009287017 7 0,000074001 0,000518007 0,002702189 8 0,000005227 0,000041816 0,000259265 9 0,00000051 0,00000459 0,0000329903 0,957188491 0,947454844
- 3. Conclusión: El valor esperado fue 0.956999491 es decir, que lo más probable es que de todas las piezas salgan defectuosas el 0.95 = 1 38.20% 36.97% 17.68% 5.57% 1.30% 0.24% 0.037% 0.0074% 0.00052% 0.000051% 0.00% 5.00% 10.00% 15.00% 20.00% 25.00% 30.00% 35.00% 40.00% 45.00% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
- 4. Gracias a un proyecto de mejora la tasa de defectos se redujo a la mitad, si ahora se extrae una muestra de 200 piezas determina el valor esperado, varianza y desviación estándar e interpreta los resultados. Xi p(Xi ) Xi * p(Xi ) (Xi -µ)2 * p(Xi ) 0 0.30107521 0 0.29854582 1 0.332110938 0.332110938 0.00000588 2 0.182844779 0.365689558 0.184387372 3 0.066773294 0.200319882 0.268218676 4 0.018196394 0.072785576 0.16422745 5 0.003946823 0.019734115 0.06328215 6 0.000709753 0.004258518 0.017773714 7 0.000108839 0.000761873 0.003923704 8 0.000014355 0.00011484 0.000704241 9 0.000001694 0.000015246 0.0001085301 0.905782079 0.995790546 0.0001085301 Datos : n = 200 pzas p = 0.0055 q = 0.9945 Formulas: p(Xi ) p(x=x) n(x px qn-x ) Distribución: Binomial
- 5. 30.10752% 33.21109% 18.28448% 6.67733% 1.81964% 0.39468% 0.07098% 0.01088% 0.00144% 0.00017% 0.0% 5.0% 10.0% 15.0% 20.0% 25.0% 30.0% 35.0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
- 6. Caso 2: En la fábrica de marcadores Yovana se sabe que se tiene un nivel de calidad entre 2 y 3 sigma por lo que su tasa de defectos es del 1%. Se extrae una muestra de 4 piezas, determina la probabilidad de que halla: a) 0 defectos b) 1 defecto c) 2 defectos d) 3 defectos e) 4 defectos f) Traza la grafica y determina el valor esperado a) p(x=0) = 4(0(0.1)0 (0.99)4= 0.960596 b) p(x=0) = 4(0(0.1)1 (0.99)3 = 0.03811 c) p(x=0) = 4(0(0.1)2 (0.3)2= 0.000588 d) p(x=0) = 4(0(0.1)3 (0.3)1= 0.00000396 e) p(x=0) = 4(0(0.1)4 (0.3)0 = 0.0000001 Datos : n = 4 p = 0.01 q = 0.99 x = 0 1 2 3 4 Formulas: p(Xi ) p(x=x) n(x px qn-x ) Distribución: Binomial p=0.01 Xi p(Xi ) Xi * p(Xi ) 0 0.960596 0 q=0.99 1 0.03811 0.03811 2 0.000588 0.001176 3 0.00000396 0.00001188 n=4 4 0.0000001 0.0000004 0.9992980600 0.03929828
- 7. Conclusión: El valor esperado fue de 1 es decir, que lo más probable es que de todas las piezas salgan defectuosas 1 pieza 3.811000% 0.058800% 0.000396% 0.000010% 0.0% 10.0% 20.0% 30.0% 40.0% 50.0% 60.0% 70.0% 80.0% 90.0% 0 1 2 3 4
- 8. Debido a los problemas con la maquinaria, la tasa de defectos en la fábrica Yovana aumento a 4.5% se extrae una muestra de 85 piezas determinar el valor esperado. Datos : n = 85 p = 0.045 q = 0.955 x = 0 al 85 Formulas: p(Xi ) p(x=x) n(x px qn-x ) Distribución: Binomial Xi p(Xi ) Xi * p(Xi ) 0 0.0199657930 0 1 0.0799677080 0.079967708 2 0.1582607010 0.316521402 3 0.2063189240 0.618956772 4 0.1992975990 0.797190396 5 0.1521339790 0.760669895 6 0.0955815570 0.573489342 7 0.0508290850 0.355803595 8 0.0233521060 0.186816848 9 0.0094141990 0.084727791 10 0.0033713670 0.03371367 11 0.0010831380 0.011914518 12 0.0003147330 0.003776796 13 0.0000832780 0.001082614 0.9999741670 3.824631347
- 9. 1.997% 7.997% 15.826% 20.632% 19.930% 15.213% 9.558% 5.083% 2.335% 0.941% 0.337% 0.108% 0.031% 0.008% 0.0% 5.0% 10.0% 15.0% 20.0% 25.0% 30.0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
- 10. Caso 3: Carlos Gardel tiene un 70% de probabilidades de encestar desde la línea de tiro libre. Si en un partido de básquetbol realiza 5 tiros libres. a) ¿Cuál es la probabilidad de que falle 5 tiros? b) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste 5 tiros? c) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste 3 tiros? d) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste a) p(x=0) = 5(0(0.7)0 (0.3)5 = (1)(1) (0.00243) =0.00243 ó 0.243% b) p(x=5) = 5(5(0.7)5 (0.3)0 = (1)(0.16807)(1) =0.16807 ó 16.807% c) p(x=3) = 5(3(0.7)3 (0.3)2 = (10)(0.343)(0.9) =0.6913 ó 69.13% d) p(x=1) = 5(3(0.7)1 (0.3)4 = 0.2835 ó 2.835% p(x=2) = 5(3(0.7)2 (0.3)3 = (10)(0.49)(0.027) =0.6913 ó 69.13% p(x=4) = 5(3(0.7)4 (0.3)1 = (5)(0.2401)(0.3) =0.36015 ó 36.015% p=0,7 Xi p(Xi ) Xi * p(Xi ) 0 0,00243 0 q=0,3 1 0,02835 0,02835 2 0,13230 0,2646 3 0,30870 0,9261 n=5 4 0,36015 1,4406 5 0,16807 0,84035 1 3,5 Datos : n = 5 p = 0.7 q = 0.30 x = 0 5 3 1,2,3 Formulas: p(Xi ) p(x=x) n(x px qn-x ) Distribución: Binomial
- 11. Conclusión: El valor esperado fue 1 es decir, que lo más probable es que de todos los tiros falle 3.5 = 4 0.24% 2.84% 13.23% 30.87% 36.02% 16.81% 0.00% 5.00% 10.00% 15.00% 20.00% 25.00% 30.00% 35.00% 40.00% 1 2 3 4 5 6
- 12. CASO 4: Charly, el encargado de compras, tiene dudas sobre la calidad de los materiales entregados por el proveedor (Lupita). Este proveedor señala que su tasa de defectos es menor al 0.1%, sin embargó se han estado presentando problemas con estas piezas. Charly le pide al Ing. Crisito que realice una inspección de entrada a los materiales suministrados. Lupita S.A. de C.V. se lleva a cabo el muestreo en 5 lotes extrayendo 75 piezas en cada ocasión obteniéndose los siguientes resultados. Lote Defectos 1 3 2 1 3 0 4 1 5 2 Con base en estos resultados, ¿Es posible determinar si la tasa de defectos señalada por Lupita es correcta? Argumenta detalladamente tu respuesta. Datos : n = 75 pzas p = 0.001 q = 0.999 Operaciones : n.p 75x0.001 μ = 0.075 A continuación se muestra la tasa de defectos de cada muestreo: Lote Defectos TD Muestra % 1 3 3/75 4% 2 1 1/75 1.3% 3 0 0/75 0% 4 1 1/75 1.3% 5 2 2/75 2.6%
- 13. A continuación se muestra la gráfica de la tasa de defectos promedio: Conclusión: De acuerdo con el resultado obtenido con la inspección realizada se determino el valor de los dichos materiales inspeccionados entregados por el proveedor. Como el proveedor índico que su tasa de defectos era menor al 0.1% se dio a la tarea a realizar las pruebas por parte del departamento de calidad a cargo del Ing. Crisito. Ahora bien teniendo el resultado del inspector de calidad quien fue el que tomo la muestra de las 75 piezas de un lote el resultado por parte de la empresa Charly fue de 0.075% comparando con el resultado que daba el proveedor Lupita se determinó que su porcentaje era incorrecto estando por mayor el resultado. De las 5 muestras tomadas solo una cumple con los requerimientos. El ingeniero Crisito se hace cargo del programa de desarrollo de proveedores en la fábricaLupita, realizo una serie de estudios y encontró los siguientes resultados: Categoría Defectos M.P 4 M de O 8 M y E 1.0 Método 1.0 M.A. Medición 1.0 3
- 14. Elabora un diagrama de Pareto e Ishikawa, indica cuales fueron las acciones que tomo el ingeniero Crisito para corregir el problema. Después de estas correcciones el ingeniero Crisito analiza los lotes completos de 1,000 piezas encontrando los siguientes Mala calidad de material prima Falta de innovación Falta de mantenimiento a maquinaría Falta de mejoramiento en el proceso del producto Falta de interés a su trabajo Falta de iluminación en la planta Falta de calibración en los instrumentos de trabajo Measurement Mala calidad de material prima
- 15. Causas fi fr fra Materia Prima 8 44.44% 44.44% Mano de Obra 4 22.22% 66.67% Maquinaria y Equipo 1 5.56% 72.22% Método 1 5.56% 77.78% Medio ambiente 1 5.56% 83.33% Medición 3 0.1667 100.00% 18 0.00% 10.00% 20.00% 30.00% 40.00% 50.00% 60.00% 70.00% 80.00% 90.00% 100.00% 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Materia Prima Mano de Obra Maquinaria y Equipo Método Medio ambiente Medición