Ejercicios de-continuidad
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1. El documento presenta ejercicios sobre continuidad de funciones, incluyendo definiciones básicas de continuidad, ejemplos de funciones continuas y discontinuas, y ejercicios para determinar si funciones son continuas y encontrar valores que las hagan continuas. 2. Se incluyen ejercicios para aplicar el Teorema de Bolzano y demostrar la existencia de raíces de ecuaciones en determinados intervalos. 3. El documento proporciona una guía detallada para estudiar la continuidad de funciones y aplicar el
![EJERCICIOS DE CONTINUIDAD 2º BACHILLERATO
RECORDAR:
• f(a)f(x)limaen xcontinuaf(x)
ax
=⇔=
→
Es decir: “Una función es continua en un punto si el
límite coincide con la imagen en dicho punto”.
• A efectos prácticos, para estudiar si una función es continua en un punto, hay que comprobar:
1) que exista límite
2) que además exista imagen
3) y que ambos coincidan
1. Dada se pide: a) Representación gráfica.
b) Estudiar analíticamente la continuidad lateral en x=0
c) A la vista del apartado anterior, ¿es continua en x=0?
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
0xsi1
0xsi
x
x
f(x)
2. Ídem con xf(x) =
3. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
a)
2x
1x
f(x)
−
+
= b)
65xx
2x
f(x) 2
+−
= c)
1xx
xx
f(x) 2
2
++
+
= d)
sen x
1
f(x) =
e) 3xf(x) −= f) 6xxf(x) 2
−−= g) 4xf(x) 2
+= h) f(x)=tg x
i) f(x)=log (x+3) j) f(x)=ln(x2
-4) k) f(x)=ln(x2
+4)
(Soluc: a) discont en x=2; b) discont en x=2 y x=3; c) continua ∀ℜ; d) discont en x=n·π donde n∈Z;
e) continua en [3,∞); f) continua en (-∞,-2] ∪ [3, ∞); g) continua ∀ℜ; h) discont en x=(2n+1)· π/2; i)
continua en (-3,∞) ; j) continua en (-∞,-2) ∪ (2, ∞); k) continua ∀ℜ)
4. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones (caso de presentar discontinuidades, decir de qué tipo
se tratan):
a) b) c)
⎩
⎨
⎧
<−
≥+
=
0xsi1x
0xsi1x
f(x)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>−
=
<
=
0xsi12x
0xsi2
0xsi1-x
f(x)
2
⎩
⎨
⎧
>−
<+
=
2xsi12x
2xsi1x
f(x)](https://image.slidesharecdn.com/ejercicios-de-continuidad-180208155639/85/Ejercicios-de-continuidad-1-320.jpg)
![ALFONSO GONZÁLEZ
IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICASI.E.S. "Fernando de Mena"
hallar los valores de m y n para que f(x) sea continua (puede ser útil dibujar la gráfica).
(Soluc: m=3, n=1)
16. Ídem:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥+
≤≤+
−≤+
=
2xsibx
2x2-si2ax
2xsi12x-
f(x)
2
(Soluc: a=-1/2, b=-3)
17. Ídem:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<≤−
−<+
=
2xsib)-ln(x
2x1-si4x
1xsiax-
f(x) 2
2
(Soluc: a=-2, b=1)
18. Ídem:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
<≤
<≤
−<+
=
5xsi10
5x3sicx
3x1-sixb
1xsi2ax
f(x)
2
(Soluc: a=-52, b=54, c=2)
Ejercicios del libro con solución pág. 246 y ss: 19, 20, 29
TEOREMA DE BOLZANO:
RECORDAR:
• 0f(c)/b)(a,c
f(b)signof(a)signo
b][a,encontinuaf(x)
=∈∃⇒
⎭
⎬
⎫
≠
• Se utiliza para demostrar la existencia de raíces de una ecuación en un intervalo.
19. Demostrar que la ecuación x3
+x2
-7x+1=0 tiene al menos una solución en el intervalo [0,1].
20. (S) Demostrar que la ecuación πx
=e tiene una solución en el intervalo (0,1). ¿Cuál es?.
(Soluc: x=1/ln π)](https://image.slidesharecdn.com/ejercicios-de-continuidad-180208155639/85/Ejercicios-de-continuidad-4-320.jpg)
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21. Demostrar que la ecuación x=cos x tiene al menos una solución en el intervalo (0,1).
22. a) Demostrar que la ecuación 3x3
-14x2
+3x+20 tiene al menos una raíz en [1,2]
b) Obtener todas sus raíces por Ruffini, y comprobar la validez de lo obtenido antes.
23. a) Probar que la función f(x)=x4
-2x3
-5 corta al eje x en el intervalo (-2,-1)
b) Buscar otro intervalo en el que exista una solución de la ecuación x4
-2x3
-5=0 y aproximar su valor
hasta las décimas.](https://image.slidesharecdn.com/ejercicios-de-continuidad-180208155639/85/Ejercicios-de-continuidad-5-320.jpg)
Ejercicios de-continuidad
- 1. EJERCICIOS DE CONTINUIDAD 2º BACHILLERATO RECORDAR: • f(a)f(x)limaen xcontinuaf(x) ax =⇔= → Es decir: “Una función es continua en un punto si el límite coincide con la imagen en dicho punto”. • A efectos prácticos, para estudiar si una función es continua en un punto, hay que comprobar: 1) que exista límite 2) que además exista imagen 3) y que ambos coincidan 1. Dada se pide: a) Representación gráfica. b) Estudiar analíticamente la continuidad lateral en x=0 c) A la vista del apartado anterior, ¿es continua en x=0? ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0xsi1 0xsi x x f(x) 2. Ídem con xf(x) = 3. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: a) 2x 1x f(x) − + = b) 65xx 2x f(x) 2 +− = c) 1xx xx f(x) 2 2 ++ + = d) sen x 1 f(x) = e) 3xf(x) −= f) 6xxf(x) 2 −−= g) 4xf(x) 2 += h) f(x)=tg x i) f(x)=log (x+3) j) f(x)=ln(x2 -4) k) f(x)=ln(x2 +4) (Soluc: a) discont en x=2; b) discont en x=2 y x=3; c) continua ∀ℜ; d) discont en x=n·π donde n∈Z; e) continua en [3,∞); f) continua en (-∞,-2] ∪ [3, ∞); g) continua ∀ℜ; h) discont en x=(2n+1)· π/2; i) continua en (-3,∞) ; j) continua en (-∞,-2) ∪ (2, ∞); k) continua ∀ℜ) 4. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones (caso de presentar discontinuidades, decir de qué tipo se tratan): a) b) c) ⎩ ⎨ ⎧ <− ≥+ = 0xsi1x 0xsi1x f(x) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >− = < = 0xsi12x 0xsi2 0xsi1-x f(x) 2 ⎩ ⎨ ⎧ >− <+ = 2xsi12x 2xsi1x f(x)
- 2. ALFONSO GONZÁLEZ IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICASI.E.S. "Fernando de Mena" ∃/ 2 d) f(x) e) ⎩ ⎨ ⎧ >− ≤ = 2xsi62x 2xsix-2 ⎩ ⎨ ⎧ ≥+ < = 1xsi1x 1xsix1 f(x) (Soluc: a) discont inevitable en x=0; b) discont evitable en x=0; c) discont evitable en x=2; d) continua ∀ℜ; e) discont inevitable en x=0 y x=1) 5. Representar la siguiente función e indicar si tiene algún punto de discontinuidad: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <≤ <+ = 4xsi0 4x3six 3xsi1x f(x) 2 (Soluc: discontinua inevitable en x=3 y x=4) 6. Representar la siguiente función e indicar si tiene algún punto de discontinuidad: 2>xsix 2x<1si1-x 1xsi1-x =f(x) 2 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ (Soluc: discontinua inevitable en x=2) 7. (S) Probar que la función 8-7x+x 1-x =f(x) 3 2 no es continua en x=1 e indicar qué tipo de discontinuidad presenta en dicho punto. (Soluc: no es continua pues f(1); discontinuidad evitable)∃/ 8. Considerar la siguiente función: 1-x 1-x =f(x) 2 a) ¿Es discontinua en algún punto?.¿Por qué?. b) En x=1 la función no está definida. Ampliar esta función de modo que sea continua ∀ℜ. (Soluc: discontinua en x=1 pues f(1); basta hacer f(1)=2) 9. (S) La función 1-x a+x+x+x =f(x) 23 no está definida en x=1. Hallar el valor de a para que sea posible definir el valor de f(1), resultando así una función continua. (Soluc: a=-3; f(1)=6)
- 3. ALFONSO GONZÁLEZ IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICASI.E.S. "Fernando de Mena" 10. Hallar el valor de k para que la función ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ 3=xsik 3xsi 3-x 9-x =f(x) 2 sea continua ∀ℜ. (Soluc: k=6) 11. Estudiar la continuidad de la siguiente función: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ 1/2=xsi5/3- 1/2xsi 2+5x-x2 2-3x+x2 =f(x) 2 2 (Soluc: discontinua inevitable en x=2) 12. (S) Calcular cuánto debe valer a para que la siguiente función sea continua ∀ℜ: ⎩ ⎨ ⎧ ≤ 2>xsiax-3 2xsi1+x =f(x) 2 (Soluc: a=0) 13. (S) Se considera la función ⎩ ⎨ ⎧ ∞≤ <x1sib+ax 1<x<0siLn x =f(x) 2 Determinar los valores de a y b para que f(x) sea continua y f(2)=3. (Soluc: a=1 y b=-1) 14. (S) Dada la función ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ 1xsi2 1<x0sib+ax 0<xsi1-2x+x =f(x) 2 hallar a y b para que la función sea continua y dibujar la gráfica de la función. (Soluc: a=3 y b=-1) 15. Dada la función ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >+ ≤<+ ≤+ = 3xsi11-10xx- 3x1sinmx 1xsi3x f(x) 2
- 4. ALFONSO GONZÁLEZ IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICASI.E.S. "Fernando de Mena" hallar los valores de m y n para que f(x) sea continua (puede ser útil dibujar la gráfica). (Soluc: m=3, n=1) 16. Ídem: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥+ ≤≤+ −≤+ = 2xsibx 2x2-si2ax 2xsi12x- f(x) 2 (Soluc: a=-1/2, b=-3) 17. Ídem: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <≤− −<+ = 2xsib)-ln(x 2x1-si4x 1xsiax- f(x) 2 2 (Soluc: a=-2, b=1) 18. Ídem: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <≤ <≤ −<+ = 5xsi10 5x3sicx 3x1-sixb 1xsi2ax f(x) 2 (Soluc: a=-52, b=54, c=2) Ejercicios del libro con solución pág. 246 y ss: 19, 20, 29 TEOREMA DE BOLZANO: RECORDAR: • 0f(c)/b)(a,c f(b)signof(a)signo b][a,encontinuaf(x) =∈∃⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ≠ • Se utiliza para demostrar la existencia de raíces de una ecuación en un intervalo. 19. Demostrar que la ecuación x3 +x2 -7x+1=0 tiene al menos una solución en el intervalo [0,1]. 20. (S) Demostrar que la ecuación πx =e tiene una solución en el intervalo (0,1). ¿Cuál es?. (Soluc: x=1/ln π)
- 5. ALFONSO GONZÁLEZ IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICASI.E.S. "Fernando de Mena" 21. Demostrar que la ecuación x=cos x tiene al menos una solución en el intervalo (0,1). 22. a) Demostrar que la ecuación 3x3 -14x2 +3x+20 tiene al menos una raíz en [1,2] b) Obtener todas sus raíces por Ruffini, y comprobar la validez de lo obtenido antes. 23. a) Probar que la función f(x)=x4 -2x3 -5 corta al eje x en el intervalo (-2,-1) b) Buscar otro intervalo en el que exista una solución de la ecuación x4 -2x3 -5=0 y aproximar su valor hasta las décimas.