Examen 2 parte1
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Este documento presenta un examen de cálculo sobre límites y continuidad. El examen consta de dos partes. La primera parte presenta varias afirmaciones y solicita ejemplos. La segunda parte contiene problemas sobre el cálculo de límites y la continuidad de funciones.
![Universidad
Industrial de
Santander
Universidad Industrial de Santander
Escuela de Matem´aticas
C´ALCULO I
Junio 24 de 2016.
Segundo Examen
Limites y Continuidad
Prof. Yzel Wlly G´omez E.
Nombre: C´odigo: Grupo:
Instrucciones:
Para obtener 5,0 debe resolver puntos suficientes para sumar entre 70 y 85 puntos.
El profesor no responder´a preguntas, porque parte de la evaluaci´on es la comprensi´on de los enun-
ciados.
No se permite el uso de tel´efonos celulares, calculadoras, o cualquier dispositivo electr´onico; ni el
pr´estamo de borradores, l´apices, etc. durante el examen.
PARTE I: Afirmaciones y Ejemplos
A continuaci´on encontrar´a algunas afirmaciones; si considera que son falsas, muestre un contra-ejemplo; si
considera que son verdaderas argumente usando los teoremas vistos en clase. Tambi´en se le pedir´a mostrar
algunos ejemplos que cumpla con las condiciones especificadas.
1. (3pts) Sea f una funci´on definida sobre
el intervalo [a, b]. Si f(a) = 2 y f(b) = 5,
entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = π.
2. (4pts) El polinomio 5x3
+3x−2 tiene por
lo menos una ra´ız real en el intervalo [0, 1].
3. (5pts) Suponga que x2
− x4
≤ f(x) ≤ x2
para todo x en el intervalo [−1, 1], entonces
l´ım
x→0
f(x)
x2
= 0.
4. (5pts)Muestre un ejemplo donde l´ım
x→a
f(x)
y l´ım
x→a
g(x) no existan, pero l´ım
x→a
f(x)g(x) si
exista.
5. (3pts)Muestre un ejemplo donde l´ım
x→a
f(x)
y l´ım
x→a
g(x) no existan, pero l´ım
x→a
f(x)
g(x)
si
exista.
6. (4pts)Muestre un ejemplo donde l´ım
x→a
f(x)
exista y l´ım
x→a
g(x) no exista, pero
l´ım
x→a
f(g(x)) si exista.
PARTE II: Miscel´anea de ejercicios
1. Determine el valor de cada uno de los siguientes l´ımites, en el caso que existan.
i) (7pts) l´ım
x→0
x2
1 − cos (x)
ii) (7pts) l´ım
x→ π
2
3 cos (x)
x − π
2
iii) (5pts) l´ım
x→0
1 − cos (3x)
sin (3x)
iv) (6pts) l´ım
x→0
csc (3x)
cot (x)
v) (7pts) l´ım
x→0
cos 3x − π
2
x
vi) (5pts) l´ım
x→−1
x2
− 4x
x2 − 3x − 4
vii) (5pts) l´ım
x→0
etan(3x)
viii) (8pts) l´ım
x→−3
sin−1 x + 3
x2 + 4x + 3
ix) (8pts) l´ım
x→0
cos−1 e2x
− 1
1 − ex
2. (10pts) Pruebe que si n es un n´umero entero positivo entonces l´ım
x→1
xn
− 1
x − 1
= n.](https://image.slidesharecdn.com/examen2-parte1-170610024242/85/Examen-2-parte1-1-320.jpg)
![3. (8pts) Determine los valores de m y n tales que la funci´on sea continua en todo n´umero real.
f(x) =
(x − 5)2
+ 3m x < −1
(1 − x)6
+ 2 −1 ≤ x ≤ 2
2mx + n x > 2
4. (8pts) Suponga que |g(x) − 3| ≤ 5(x + 2)7
para todo x ∈ R. Halle el valor de l´ım
x→−2
g(x).
5. (9pts) Suponga que |f(x)| ≤ k|x−a| donde k es una constante positiva y suponga que l´ım
x→a
|g(x)| =
0 . Demuestre que l´ım
x→a
f(x)g(x) = 0.
6. (15pts) Dibuje la gr´afica de una funci´on f(x) que cumpla con las siguientes condiciones:
f(x) es continua en (−∞, −2), [−2, 1),
[1, 3] y (3, +∞).
l´ım
x→−4
f(x) = 0
l´ım
x→−2−
f(x) = +∞
l´ım
x→−2+
f(x) = 0
l´ım
x→5
f(x) = 0
l´ım
x→0
f(x) = −3
l´ım
x→1−
f(x) = −∞
l´ım
x→1+
f(x) = 2
l´ım
x→3−
f(x) = 4
l´ım
x→3+
f(x) = −1
7. Determine para cada caso, el subconjunto m´as grande de los reales para el cual la funci´on es
continua.
a) (5pts) f(x) =
3x − 2
ex + 3
b) (9pts) g(x) =
x − π
sin(x)](https://image.slidesharecdn.com/examen2-parte1-170610024242/85/Examen-2-parte1-2-320.jpg)
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Junio 24 de 2016.
Segundo Examen
Limites y Continuidad
Prof. Yzel Wlly G´omez E.
Nombre: C´odigo: Grupo:
Instrucciones:
Para obtener 5,0 debe resolver puntos suficientes para sumar entre 70 y 85 puntos.
El profesor no responder´a preguntas, porque parte de la evaluaci´on es la comprensi´on de los enun-
ciados.
No se permite el uso de tel´efonos celulares, calculadoras, o cualquier dispositivo electr´onico; ni el
pr´estamo de borradores, l´apices, etc. durante el examen.
PARTE I: Afirmaciones y Ejemplos
A continuaci´on encontrar´a algunas afirmaciones; si considera que son falsas, muestre un contra-ejemplo; si
considera que son verdaderas argumente usando los teoremas vistos en clase. Tambi´en se le pedir´a mostrar
algunos ejemplos que cumpla con las condiciones especificadas.
1. (3pts) Sea f una funci´on definida sobre
el intervalo [a, b]. Si f(a) = 2 y f(b) = 5,
entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = π.
2. (4pts) El polinomio 5x3
+3x−2 tiene por
lo menos una ra´ız real en el intervalo [0, 1].
3. (5pts) Suponga que x2
− x4
≤ f(x) ≤ x2
para todo x en el intervalo [−1, 1], entonces
l´ım
x→0
f(x)
x2
= 0.
4. (5pts)Muestre un ejemplo donde l´ım
x→a
f(x)
y l´ım
x→a
g(x) no existan, pero l´ım
x→a
f(x)g(x) si
exista.
5. (3pts)Muestre un ejemplo donde l´ım
x→a
f(x)
y l´ım
x→a
g(x) no existan, pero l´ım
x→a
f(x)
g(x)
si
exista.
6. (4pts)Muestre un ejemplo donde l´ım
x→a
f(x)
exista y l´ım
x→a
g(x) no exista, pero
l´ım
x→a
f(g(x)) si exista.
PARTE II: Miscel´anea de ejercicios
1. Determine el valor de cada uno de los siguientes l´ımites, en el caso que existan.
i) (7pts) l´ım
x→0
x2
1 − cos (x)
ii) (7pts) l´ım
x→ π
2
3 cos (x)
x − π
2
iii) (5pts) l´ım
x→0
1 − cos (3x)
sin (3x)
iv) (6pts) l´ım
x→0
csc (3x)
cot (x)
v) (7pts) l´ım
x→0
cos 3x − π
2
x
vi) (5pts) l´ım
x→−1
x2
− 4x
x2 − 3x − 4
vii) (5pts) l´ım
x→0
etan(3x)
viii) (8pts) l´ım
x→−3
sin−1 x + 3
x2 + 4x + 3
ix) (8pts) l´ım
x→0
cos−1 e2x
− 1
1 − ex
2. (10pts) Pruebe que si n es un n´umero entero positivo entonces l´ım
x→1
x − 1
xn − 1
=
1
n
.
3. (8pts) Determine los valores de m y n tales que la funci´on sea continua en todo n´umero real.
f(x) =
(x − 5)2
+ 3m x < −1
(1 − x)6
+ 2 −1 ≤ x ≤ 2
2mx + n x > 2](https://image.slidesharecdn.com/examen2-parte1-170610024242/85/Examen-2-parte1-3-320.jpg)
![4. (8pts) Suponga que |f(x) + 4| ≤ 2(3 − x)4
para todo x ∈ R. Halle el valor de l´ım
x→3
f(x).
5. (9pts) Suponga que |f(x)| ≤ M donde M es una constante positiva. Demuestre que l´ım
x→0
x4
f(x) =
0.
6. (15pts) Dibuje la gr´afica de una funci´on f(x) que cumpla con las siguientes condiciones:
f(x) es continua en (−∞, −4], (−4, 4)
y [4, +∞).
l´ım
x→−6
f(x) = 0
l´ım
x→−4−
f(x) = 2
l´ım
x→−4+
f(x) = +∞
l´ım
x→−2
f(x) = 0
l´ım
x→0
f(x) = −3
l´ım
x→2
f(x) = 0
l´ım
x→4−
f(x) = 1
l´ım
x→4+
f(x) = −2
l´ım
x→5
f(x) = 0
7. Determine para cada caso, el subconjunto m´as grande de los reales para el cual la funci´on es
continua.
a) (5pts) f(x) =
3x − 2
ex + 3
b) (9pts) g(x) =
x − π
sin(x)](https://image.slidesharecdn.com/examen2-parte1-170610024242/85/Examen-2-parte1-4-320.jpg)
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- 1. Universidad Industrial de Santander Universidad Industrial de Santander Escuela de Matem´aticas C´ALCULO I Junio 24 de 2016. Segundo Examen Limites y Continuidad Prof. Yzel Wlly G´omez E. Nombre: C´odigo: Grupo: Instrucciones: Para obtener 5,0 debe resolver puntos suficientes para sumar entre 70 y 85 puntos. El profesor no responder´a preguntas, porque parte de la evaluaci´on es la comprensi´on de los enun- ciados. No se permite el uso de tel´efonos celulares, calculadoras, o cualquier dispositivo electr´onico; ni el pr´estamo de borradores, l´apices, etc. durante el examen. PARTE I: Afirmaciones y Ejemplos A continuaci´on encontrar´a algunas afirmaciones; si considera que son falsas, muestre un contra-ejemplo; si considera que son verdaderas argumente usando los teoremas vistos en clase. Tambi´en se le pedir´a mostrar algunos ejemplos que cumpla con las condiciones especificadas. 1. (3pts) Sea f una funci´on definida sobre el intervalo [a, b]. Si f(a) = 2 y f(b) = 5, entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = π. 2. (4pts) El polinomio 5x3 +3x−2 tiene por lo menos una ra´ız real en el intervalo [0, 1]. 3. (5pts) Suponga que x2 − x4 ≤ f(x) ≤ x2 para todo x en el intervalo [−1, 1], entonces l´ım x→0 f(x) x2 = 0. 4. (5pts)Muestre un ejemplo donde l´ım x→a f(x) y l´ım x→a g(x) no existan, pero l´ım x→a f(x)g(x) si exista. 5. (3pts)Muestre un ejemplo donde l´ım x→a f(x) y l´ım x→a g(x) no existan, pero l´ım x→a f(x) g(x) si exista. 6. (4pts)Muestre un ejemplo donde l´ım x→a f(x) exista y l´ım x→a g(x) no exista, pero l´ım x→a f(g(x)) si exista. PARTE II: Miscel´anea de ejercicios 1. Determine el valor de cada uno de los siguientes l´ımites, en el caso que existan. i) (7pts) l´ım x→0 x2 1 − cos (x) ii) (7pts) l´ım x→ π 2 3 cos (x) x − π 2 iii) (5pts) l´ım x→0 1 − cos (3x) sin (3x) iv) (6pts) l´ım x→0 csc (3x) cot (x) v) (7pts) l´ım x→0 cos 3x − π 2 x vi) (5pts) l´ım x→−1 x2 − 4x x2 − 3x − 4 vii) (5pts) l´ım x→0 etan(3x) viii) (8pts) l´ım x→−3 sin−1 x + 3 x2 + 4x + 3 ix) (8pts) l´ım x→0 cos−1 e2x − 1 1 − ex 2. (10pts) Pruebe que si n es un n´umero entero positivo entonces l´ım x→1 xn − 1 x − 1 = n.
- 2. 3. (8pts) Determine los valores de m y n tales que la funci´on sea continua en todo n´umero real. f(x) = (x − 5)2 + 3m x < −1 (1 − x)6 + 2 −1 ≤ x ≤ 2 2mx + n x > 2 4. (8pts) Suponga que |g(x) − 3| ≤ 5(x + 2)7 para todo x ∈ R. Halle el valor de l´ım x→−2 g(x). 5. (9pts) Suponga que |f(x)| ≤ k|x−a| donde k es una constante positiva y suponga que l´ım x→a |g(x)| = 0 . Demuestre que l´ım x→a f(x)g(x) = 0. 6. (15pts) Dibuje la gr´afica de una funci´on f(x) que cumpla con las siguientes condiciones: f(x) es continua en (−∞, −2), [−2, 1), [1, 3] y (3, +∞). l´ım x→−4 f(x) = 0 l´ım x→−2− f(x) = +∞ l´ım x→−2+ f(x) = 0 l´ım x→5 f(x) = 0 l´ım x→0 f(x) = −3 l´ım x→1− f(x) = −∞ l´ım x→1+ f(x) = 2 l´ım x→3− f(x) = 4 l´ım x→3+ f(x) = −1 7. Determine para cada caso, el subconjunto m´as grande de los reales para el cual la funci´on es continua. a) (5pts) f(x) = 3x − 2 ex + 3 b) (9pts) g(x) = x − π sin(x)
- 3. Universidad Industrial de Santander Universidad Industrial de Santander Escuela de Matem´aticas C´ALCULO I Junio 24 de 2016. Segundo Examen Limites y Continuidad Prof. Yzel Wlly G´omez E. Nombre: C´odigo: Grupo: Instrucciones: Para obtener 5,0 debe resolver puntos suficientes para sumar entre 70 y 85 puntos. El profesor no responder´a preguntas, porque parte de la evaluaci´on es la comprensi´on de los enun- ciados. No se permite el uso de tel´efonos celulares, calculadoras, o cualquier dispositivo electr´onico; ni el pr´estamo de borradores, l´apices, etc. durante el examen. PARTE I: Afirmaciones y Ejemplos A continuaci´on encontrar´a algunas afirmaciones; si considera que son falsas, muestre un contra-ejemplo; si considera que son verdaderas argumente usando los teoremas vistos en clase. Tambi´en se le pedir´a mostrar algunos ejemplos que cumpla con las condiciones especificadas. 1. (3pts) Sea f una funci´on definida sobre el intervalo [a, b]. Si f(a) = 2 y f(b) = 5, entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = π. 2. (4pts) El polinomio 5x3 +3x−2 tiene por lo menos una ra´ız real en el intervalo [0, 1]. 3. (5pts) Suponga que x2 − x4 ≤ f(x) ≤ x2 para todo x en el intervalo [−1, 1], entonces l´ım x→0 f(x) x2 = 0. 4. (5pts)Muestre un ejemplo donde l´ım x→a f(x) y l´ım x→a g(x) no existan, pero l´ım x→a f(x)g(x) si exista. 5. (3pts)Muestre un ejemplo donde l´ım x→a f(x) y l´ım x→a g(x) no existan, pero l´ım x→a f(x) g(x) si exista. 6. (4pts)Muestre un ejemplo donde l´ım x→a f(x) exista y l´ım x→a g(x) no exista, pero l´ım x→a f(g(x)) si exista. PARTE II: Miscel´anea de ejercicios 1. Determine el valor de cada uno de los siguientes l´ımites, en el caso que existan. i) (7pts) l´ım x→0 x2 1 − cos (x) ii) (7pts) l´ım x→ π 2 3 cos (x) x − π 2 iii) (5pts) l´ım x→0 1 − cos (3x) sin (3x) iv) (6pts) l´ım x→0 csc (3x) cot (x) v) (7pts) l´ım x→0 cos 3x − π 2 x vi) (5pts) l´ım x→−1 x2 − 4x x2 − 3x − 4 vii) (5pts) l´ım x→0 etan(3x) viii) (8pts) l´ım x→−3 sin−1 x + 3 x2 + 4x + 3 ix) (8pts) l´ım x→0 cos−1 e2x − 1 1 − ex 2. (10pts) Pruebe que si n es un n´umero entero positivo entonces l´ım x→1 x − 1 xn − 1 = 1 n . 3. (8pts) Determine los valores de m y n tales que la funci´on sea continua en todo n´umero real. f(x) = (x − 5)2 + 3m x < −1 (1 − x)6 + 2 −1 ≤ x ≤ 2 2mx + n x > 2
- 4. 4. (8pts) Suponga que |f(x) + 4| ≤ 2(3 − x)4 para todo x ∈ R. Halle el valor de l´ım x→3 f(x). 5. (9pts) Suponga que |f(x)| ≤ M donde M es una constante positiva. Demuestre que l´ım x→0 x4 f(x) = 0. 6. (15pts) Dibuje la gr´afica de una funci´on f(x) que cumpla con las siguientes condiciones: f(x) es continua en (−∞, −4], (−4, 4) y [4, +∞). l´ım x→−6 f(x) = 0 l´ım x→−4− f(x) = 2 l´ım x→−4+ f(x) = +∞ l´ım x→−2 f(x) = 0 l´ım x→0 f(x) = −3 l´ım x→2 f(x) = 0 l´ım x→4− f(x) = 1 l´ım x→4+ f(x) = −2 l´ım x→5 f(x) = 0 7. Determine para cada caso, el subconjunto m´as grande de los reales para el cual la funci´on es continua. a) (5pts) f(x) = 3x − 2 ex + 3 b) (9pts) g(x) = x − π sin(x)