Practica TEX
- 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN FAC. DE FILOSOF´IA, HUMANIDADES Y ARTES DEPARTAMENTO DE MATEM´ATICA PROF. Y LIC. EN MATEM´ATICA C´ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I AN´ALISIS MATEM´ATICO I Ejercicio 1 Sean a, b y c n´umeros reales tales que a > 0, b < 0 y c < 0. Determine el signo de cada expresi´on. Justifique. a) − a b) − b c) bc d) a − b e) c − a f) a + bc g) ab + ac h) − abc i) ab2 Ejercicio 2 Escriba cada enunciado en t´erminos de desigualdades. a) x es positivo b) a es mayor o igual a π. c) y es negativo. d) La distancia desde p hasta 3 es cuando mucho 5. e) b es a lo sumo 8. f) w es positivo y es menor o igual a 17. g) z es mayor que 1. h) y esta por lo menos a 2 unidades de π. Ejercicio 3 Demuestre que las siguientes relaciones son funciones: a) f : R → R definida por: f(x) = 5x − 3 b) f : R − {1} → R definida por f(x) = x2 − 2x + 1 x − 1 c) f : R → R definida por: f(x) = 3 √ −x + 6 Ejercicio 4 Dadas las siguientes funciones, i) f : R0 + → R; con f(x) = √ x − 2 ii) f : R → R; con f(x) = cos x iii) f : R → R; con f(x) = ex iv) f : R → R; con f(x) = x3 + 2 se pide: a) Realice una gr´afica aproximada de cada una. b) Clasif´ıquelas en inyectiva, sobreyectiva y/o biyectiva. Demuestre e interprete gr´aficamen- te. c) Modif´ıquelas (en caso de ser posible) para que resulten biyectivas. Ejercicio 5 1. Verificar por definici´on que: l´ım n→∞ 2n+4 n = 2 1
- 2. 2. Demuestra que la sucesi´on Sucesi´on an = 4n + 2 n n∈N tiene por limite 4 y averiguar cu´antos t´erminos de la sucesi´on est´an fuera del entorno (4 − 0,001, 4 + 0,001). 3. Demuestra que la sucesi´on an = n2 n2 + 3 n∈N tiene por limite 1 y averiguar cu´antos t´erminos de la sucesi´on est´an fuera del E(1, 0,001). Ejercicio 6 Probar que l´ım n→∞ 3n+8 4n+1 = 3 4 . Averigua los t´erminos cuya distancia al l´ımite es menor que 0.01. Ejercicio 7 Estudiar anal´ıtica y gr´aficamente la continuidad de las siguientes funciones: a) f(x) = 1 x en x = 2 b) f(x) = 1 x en x = 0 c) f(x) = 3x + 1 si −2 < x < 0 ex + 2 si 0 < x < 2 (x − 4)3 si x ≥ 2 d) f(x) = −1 4 x si x < −2 (x + 2)2 si −2 ≤ x ≤ 0 ln x si 0 < x < 1 − |x| si x > 1 e) f(x) = − (x − 1)3 si x ≤ −1 |x − 1| si x > −1 f) f(x) = −2x + 3 si x < 1 3x − 2 si 1 < x < 2 2 + x si x ≥ 2 g) f(x) = |x| + 2 si x > 1 ln (x) + 3 si x − 1 2 < 1 2 1 x−1 si x ≤ 0 h) f(x) = 2 sin (x) si x ∈ ER 0, π 2 −1 si x = 0 i) f(x) = x + 5 si x < −3√ 9 − x2 si −3 ≤ x < 3 |x − 3| si x > 3 Ejercicio 8 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones, en los casos de discontinui- dad evitable redefinir la funci´on o ampliar el dominio seg´un corresponda. a) f(x) = 4−x2 3− √ x2+5 b) f(x) = |x−3| x−3 c) f(x) = x2−x x2−5x+4 d) f(x) = tan(x−3) √ x− √ 3 Ejercicio 9 Resolver las siguientes integrales utilizando sustituciones adecuadas 1 - 6x3 + 2x 5 18x2 + 2 dx 2 - x4 √ 1 + x5dx 3 - 5x3 (x4 − 5)6 dx 4 - x3 5 √ 4 − x4 dx 5 - cos (ln (x)) x dx 6 - esin(x) cos (x) dx 7 - tan (x) dx 8 - cot (x) dx 2