![8. Potencial eléctrico8. Potencial eléctrico
La fuerza eléctrica se puede expresar enLa fuerza eléctrica se puede expresar en
función del campo eléctrico.función del campo eléctrico.
Por ser conservativaPor ser conservativa
Potencial eléctricoPotencial eléctrico
Campo eléctrico = gradiente del potencialCampo eléctrico = gradiente del potencial
eléctricoeléctrico
Unidades : el VoltioUnidades : el Voltio
)()( rEqrF
rr
=
)(rUF
rrr
∇−=
q
U
V =
Energía potencial
Carga
)(rVE
rrr
∇−=
[ ] [ ]CJVV /==
Se puede elegir el
origen de
potencial](https://image.slidesharecdn.com/electrostatica-130618133754-phpapp02/85/Electrostatica-28-320.jpg)
Electrostatica
- 1. ElectrostáticaElectrostática Campo electrostático y potencialCampo electrostático y potencial
- 2. 1. Carga eléctrica1. Carga eléctrica Electrostática = estudio de las cargasElectrostática = estudio de las cargas eléctricas en reposoeléctricas en reposo Unidad de carga = el electrónUnidad de carga = el electrón e=e= 1.602177x 101.602177x 10--1919 CC ++ -- repulsión +- atracción
- 3. 1.1 Constituyentes de la materia1.1 Constituyentes de la materia 001.67x 101.67x 10--2727 neutrónneutrón +1.6x 10+1.6x 10--1919 1.67x 101.67x 10--2727 protónprotón --1.6x 101.6x 10--1919 9.1x 109.1x 10--3131 electrónelectrón Carga (C)Carga (C)Masa (Masa (kgkg))PartículaPartícula Z = número electrones = número protones A = número protones + neutrones Elemento Isótopo Un átomo tiene el mismo número de electrones que de protones es neutro ; Ión positivo : le faltan electrones Ión negativo: tiene electrones añadidos 0=⋅−⋅= ep qZqZQ ee qnQ ⋅+= ELECTRÓN ee qnQ ⋅−= - + - - - ++ +
- 4. 1.2 Conservación de la carga1.2 Conservación de la carga La carga ni se crea ni se destruyeLa carga ni se crea ni se destruye sese tranfieretranfiere Entre átomosEntre átomos Entre moléculasEntre moléculas Entre cuerposEntre cuerpos La suma de todas las cargas de un sistema cerrado es constante
- 5. 1.3 Carga por inducción1.3 Carga por inducción Bola neutra Bola cargada negativa lana Varilla de plástico Electroscopio. Al acercar una bolita cargada las láminas adquieren carga y se separan. Bola y varilla se repelen Igual carga
- 6. 2. Conductores y aislantes2. Conductores y aislantes Aislantes : materiales en los que la cargaAislantes : materiales en los que la carga eléctrica no se puede mover libremente.eléctrica no se puede mover libremente. Madera, plástico, roca …Madera, plástico, roca … Conductores: los electrones tienen libertad deConductores: los electrones tienen libertad de movimiento.movimiento. Metales, ..Metales, .. Semiconductores: se pueden comportar comoSemiconductores: se pueden comportar como conductores o como aislantes.conductores o como aislantes.
- 7. 3.1 Ley de3.1 Ley de CoulombCoulomb.. FenomenologíaFenomenología La fuerza entre cargasLa fuerza entre cargas puntuales está dirigida a lopuntuales está dirigida a lo largo de la línea que laslargo de la línea que las une.une. La fuerza varíaLa fuerza varía inversamente proporcionalinversamente proporcional con el cuadrado de lacon el cuadrado de la distancia que los separa ydistancia que los separa y es proporcional ales proporcional al producto de las cargas.producto de las cargas. La fuerza es repulsiva siLa fuerza es repulsiva si las cargas son del mismolas cargas son del mismo signo y atractiva si son designo y atractiva si son de signo diferente.signo diferente. q1 q2 r1 r2 r12 F12 F21 F12 + F21 = 0 r1 - r2 = r12
- 8. 3.2 Ley de3.2 Ley de CoulombCoulomb. Fórmula. Fórmula Fuerza ejercida por q1Fuerza ejercida por q1 sobre q2sobre q2 kk constante deconstante de CoulombCoulomb εε00 Permitividad delPermitividad del vacvacííoo q1 q2 r1 r2 r12 F12 F21 F12 + F21 = 0 r1 - r2 = r12 122 12 21 12 ˆr r qq kF = r 229 1099.8 CNmk ×= 04 1 πε =k 2212 0 1085.8 NmC− ×=ε
- 9. 3.3 Ley de3.3 Ley de CoulombCoulomb. Sistema de. Sistema de cargascargas Principio de superposición de fuerzasPrincipio de superposición de fuerzas: La fuerza: La fuerza neta ejercida sobre una carga es la sumaneta ejercida sobre una carga es la suma vectorialvectorial dede las fuerzas individuales ejercidas sobre dicha cargalas fuerzas individuales ejercidas sobre dicha carga por cada una de las cargas del sistema.por cada una de las cargas del sistema. Cargas discretas ∑∑ == i i i i i iTotal r r qq kFF rrr 3 0 dqr r q kFdFTotal ∫∫ == rrr 3 0 Distribución continua de carga
- 10. 4. Campo eléctrico4. Campo eléctrico La fuerza eléctrica supone una acción a distancia.La fuerza eléctrica supone una acción a distancia. Ejemplo: cargaEjemplo: carga AA y cargay carga BB La carga A causa una modificación de las propiedadesLa carga A causa una modificación de las propiedades del espacio en torno a ella.del espacio en torno a ella. La carga (prueba) B percibe esta modificación yLa carga (prueba) B percibe esta modificación y experimenta una fuerzaexperimenta una fuerza Consideremos que B puede estar en cualquier punto yConsideremos que B puede estar en cualquier punto y tener cualquier valortener cualquier valor La fuerza es ejercida sobre la carga prueba por elLa fuerza es ejercida sobre la carga prueba por el campocampo La fuerza eléctrica sobre un cuerpo cargado esLa fuerza eléctrica sobre un cuerpo cargado es ejercida por el campo eléctrico creado por otrosejercida por el campo eléctrico creado por otros cuerpos cargadoscuerpos cargados )(3 AB AB BA AB rr rr qq kF rrr − − = )(3 A A A A rr rr q kqF rrr − − = AA EqF rr =
- 11. 4.1 Campo eléctrico cargas4.1 Campo eléctrico cargas puntualespuntuales Carga positiva =Carga positiva = fuentefuente Carga negativa =Carga negativa = sumiderosumidero -+ r r q krE rr 3 )( −=r r q krE rr 3 )( = Radiales Proporcionales a la carga Inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia
- 12. 4.2 Campo eléctrico. Sistema de4.2 Campo eléctrico. Sistema de cargascargas Principio de superposición de camposPrincipio de superposición de campos: El: El campo neto creado por un sistema de cargascampo neto creado por un sistema de cargas es la sumaes la suma vectorialvectorial de los campos creados porde los campos creados por cada una de las cargas del sistema.cada una de las cargas del sistema. Cargas discretas ∑∑ == i i i i i iTotal r r q kEE rrr 3 dq r r kEdETotal ∫∫ == 3 rrr Distribución continua de carga
- 13. 4.3 Campo creado por un dipolo4.3 Campo creado por un dipolo Dipolo = carga positiva y cargaDipolo = carga positiva y carga negativa de igual valor (q)negativa de igual valor (q) situadas a una distancia muysituadas a una distancia muy pequeña (pequeña ( ll = 2a ).= 2a ). Campo total = suma de camposCampo total = suma de campos Aproximación r>>Aproximación r>> ll - + -a a r r-a r+a )()( 33 ar ar q kar ar q kE rr rr rr rr r + + − +− − = lqp rr = Momento dipolar - + l − ⋅ = p r r r rp r k E r rrrr )( 33 - + p y k E rr 3 2 = p z k E rr 3 −= p z k E rr 3 −= p y k E rr 3 2 = X Z Y p x k E rr 3 −= p x k E rr 3 −=
- 14. 4.4 Líneas de campo eléctrico4.4 Líneas de campo eléctrico Campo = deformación del espacioCampo = deformación del espacio causada por un cuerpo cargado.causada por un cuerpo cargado. Se puede representar mediante líneas.Se puede representar mediante líneas. El vector campo en un punto es tangenteEl vector campo en un punto es tangente a la línea de campoa la línea de campo Dos lDos lííneas deneas de campo nunca pueden cruzarse.campo nunca pueden cruzarse. La densidad de líneas es proporcional aLa densidad de líneas es proporcional a la intensidad del campo eléctrico.la intensidad del campo eléctrico. A grandes distancias las líneas son lasA grandes distancias las líneas son las de una carga puntual.de una carga puntual.
- 15. Líneas de campo en esferas yLíneas de campo en esferas y planosplanos Esfera con carga negativa Plano positivo Simetría esférica Simetría planar
- 16. Dos cargas positivas Carga positiva y carga negativa Dipolo eléctrico Líneas de campo para dipolosLíneas de campo para dipolos
- 17. 5. Teorema de Gauss. Enunciados5. Teorema de Gauss. Enunciados 1. La dirección del flujo del campo eléctrico a1. La dirección del flujo del campo eléctrico a través de una superficie depende del signotravés de una superficie depende del signo neto de la carga encerrada.neto de la carga encerrada. 2. Las cargas fuera de la superficie no2. Las cargas fuera de la superficie no generan flujo de campo eléctrico neto ageneran flujo de campo eléctrico neto a través de la superficie.través de la superficie. 3. El flujo de campo eléctrico es directamente3. El flujo de campo eléctrico es directamente proporcional a la cantidad neta de cargaproporcional a la cantidad neta de carga dentro de la superficie pero independiente deldentro de la superficie pero independiente del tamaño de ésta ( = Si S1 encierra a S2 portamaño de ésta ( = Si S1 encierra a S2 por ambas pasa el mismo flujo).ambas pasa el mismo flujo).
- 18. 5.1 Cálculo del flujo de un campo5.1 Cálculo del flujo de un campo Analogía con un campoAnalogía con un campo de velocidades en unde velocidades en un fluido.fluido. Volumen que atraviesa laVolumen que atraviesa la superficie A en unsuperficie A en un tiempotiempo dtdt Flujo ~ Volumen porFlujo ~ Volumen por unidad de tiempounidad de tiempo dtAvAdtvV rr ⋅== θcos A Acosθ θ vdt Av dt dV rr ⋅==Φ Una superficie se caracteriza con un vector perpendicular a la misma y de módulo su área.
- 19. 5.2 Flujo del vector campo5.2 Flujo del vector campo eléctricoeléctricoSuperficie Gaussiana Flujo infinitesimal E es constante en la superficie dA AdEd rr ⋅=Φ Flujo total Se debe sumar (= integrar) a toda la superficie. ∫ ⋅=Φ AdE rr Unidades =Φ 2 m C N dA dA dA
- 20. 5.3 Ley de Gauss5.3 Ley de Gauss El flujo del vector campo eléctrico aEl flujo del vector campo eléctrico a través de una superficie cerrada estravés de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada en su interiorigual a la carga encerrada en su interior dividida por ladividida por la permitividadpermitividad del medio.del medio. La superficieLa superficie gaussianagaussiana no es una superficie realno es una superficie real ( es matemática).( es matemática). La ley de Gauss simplifica los cálculos de campoLa ley de Gauss simplifica los cálculos de campo eléctrico en casos de gran simetría.eléctrico en casos de gran simetría. 0ε encQ AdE =⋅=Φ ∫ rr
- 21. 5.4 Cálculos con ley de Gauss5.4 Cálculos con ley de Gauss Carga puntualCarga puntual SimetrSimetríía esfa esfééricarica + dA r )4)(( 2 rrEAdE π=⋅∫ rr 0ε encQ AdE =⋅=Φ ∫ rr r r Q rE ˆ 4 )( 2 0πε = r
- 22. 5.4 Cálculos con ley de Gauss5.4 Cálculos con ley de Gauss Conductor infinito conConductor infinito con densidad lineal de cargadensidad lineal de carga λλ.. Plano infinito con densidadPlano infinito con densidad superficial de cargasuperficial de carga σσ.. )2(2 lREAE π=⋅=Φ rr λ E E E E E E 00 ε λ ε lQenc ==Φ r R RE ˆ 2 )( 0πε λ = r + + + + + + + + + EE A1 A3 A2 )2(31 AEAEAE =⋅+⋅=Φ rrrr 00 ε σ ε AQenc ==Φ ixE ˆ 2 )( 0ε σ ±=± r
- 23. 6. Conductores en equilibrio6. Conductores en equilibrio En un conductor existen cargas conEn un conductor existen cargas con libertad de movimiento.libertad de movimiento. Una carga eléctrica es capaz de moverseUna carga eléctrica es capaz de moverse al aplicar un campo.al aplicar un campo. Si el campo se produce unaSi el campo se produce una redistribución de cargas en el interiorredistribución de cargas en el interior hasta la situación de “equilibriohasta la situación de “equilibrio electrostático”.electrostático”. E = 0 E = 0
- 24. 6.1 Carga y campo en un conductor en6.1 Carga y campo en un conductor en equilibrio electrostáticoequilibrio electrostático El campo interior esEl campo interior es nulonulo LasLas cargas se sitúan encargas se sitúan en la superficie.la superficie. Campo superficialCampo superficial Componente normalComponente normal Componente tangencialComponente tangencial E = 0 0ε σ =nE 0=tE Si no fuera nula existiría desplazamiento superficial de cargas
- 25. 6.2 Conductor en un campo6.2 Conductor en un campo eléctricoeléctrico El campo interiorEl campo interior siempre es nulo.siempre es nulo. Deforma las líneasDeforma las líneas de campo exterior.de campo exterior. Se produce unaSe produce una redistribución deredistribución de carga en lacarga en la superficie debido asuperficie debido a la fuerza eléctrica.la fuerza eléctrica.
- 26. 7. Trabajo de la fuerza eléctrica7. Trabajo de la fuerza eléctrica rdrFrdrFW CC rrrr ∫∫ ⋅=⋅= 21 )()(Para una fuerza conservativa el trabajo realizado para ir de un punto a a un punto b no depende del camino recorrido. Sólo depende del punto inicial a y del final b. Podemos asignar una función a cada punto del espacio -> La energía potencial. )( abFC UUW −−= ¡Unidades de trabajo! J=N·m La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa
- 27. 7.1 Función energía potencial7.1 Función energía potencial Se puede generalizar el trabajo en 3D donde el gradiente se puede expresar en coordenadas k z U j y U x U rU ˆˆˆ)( ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ι rr )()( fi r r FC rUrUUrdFW f i rrrr r r −=∆−=⋅= ∫ )(rUF rrr ∇−= φ φθ θ θ ˆ1ˆ1 ˆ)( ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ U senr U r r r U rU rr Polares Cartesianas
- 28. 8. Potencial eléctrico8. Potencial eléctrico La fuerza eléctrica se puede expresar enLa fuerza eléctrica se puede expresar en función del campo eléctrico.función del campo eléctrico. Por ser conservativaPor ser conservativa Potencial eléctricoPotencial eléctrico Campo eléctrico = gradiente del potencialCampo eléctrico = gradiente del potencial eléctricoeléctrico Unidades : el VoltioUnidades : el Voltio )()( rEqrF rr = )(rUF rrr ∇−= q U V = Energía potencial Carga )(rVE rrr ∇−= [ ] [ ]CJVV /== Se puede elegir el origen de potencial
- 29. 8.1 Superficies equipotenciales8.1 Superficies equipotenciales El potencial es constante en todos sus puntos. El vector gradiente es ortogonal a S. El gradiente va de menores a mayores valores de V. 1U ctezyxV =),,( V0 V1 V2 VN 0|||| =−=∆⋅∇−=∆⋅ ii VVrVrE rrrr El gradiente y r|| son ortogonales ij ij VV VVrVrE > <−−=∆⋅∇−=∆⋅ ⊥⊥ 0)( rrrr Vectores campo eléctrico
- 30. 8.1 Superficies equipotenciales (8.1 Superficies equipotenciales ( ejemplos)ejemplos) Campo producido por un dipolo Campo producido por una carga puntual Campo producido por un hilo infinito Superficie equipotencial Campo eléctrico