Elementos finitos

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y MECÁNICA

COMPUTACIÓN APLICADA
ELEMENTOS FINITOS
Y
MATRICES
GUANO JENNY
MERCEDES SANIPATI

ELMENTOS FINITOS

INTRODUCCIÓN
El método numérico para resolver problemas de ingeniería y de
la física matemática.

El análisis en dividir la geometría en la que se quiere resolver el
problema físico en pequeños elementos; para los cuales se aplican
ecuaciones diferenciales; dichos problemas, que requieren de la
aplicación de elementos finitos son:

• Mecánica de fluidos
• Transmisión de calor
• Electromagnetismo
• Mecánica estructural, etc.

A LO LARGO DE LOS AÑOS ALGUNOS
AUTORES PUDIERON DESARROLLAR UN
MÉTODO MODERNO DE LOS ELEMENTOS
FINITOS:
1941.- Hrenni"koff y Mchenry « solucinonar tensiones en
barras»
1943.- Courant «Soluciones de tensiones; interpolación
(soluciones aproximadas »
1947 y en 1953.- Levy «Flexibilidad ó método de fuerza;
desplazamiento ó rigidez»
1954.- «Argyris y Kelsey «Método matricial»
1956.- Tuner «Elementos bidimensionales»
1960.- Clough «Análisis de tensión plana»
1960.-Melosh «Matriz de rigidez»
1963.- Grafton-Strone «Presión asimétrica»
1963.- Callaghe y Padlog «solucionar problemas de
pandeo»
1965.- Archer «Análisis dinámico»
1969.- zsazo y Lee «Ecuaciones de elasticidad»
1976.- Belytschko «Comportamiento dinámico no lineal»
1977.-Lyncas «Determinacion de campo magnético»

MATRICES

 Tiene el propósito de simplificar rigideces en los
elementos.
 La principal aplicación es la representación de
ecuaciones de primer grado con varias incógnitas;
mediante una serie rectangular de filas y columnas .
 Programación en computador; resultados a gran
velocidad
COMPONENTES
[F] DESPLAZAMIENTOS
F1x d1x [D]
F1y d1y
F1z d1z
F2x d2x
F2y d2y
F2z d2z
... ...
Fnx dnx
Fny dny
Fnz dnz

MATRIZ DE
RIGIDEZ
Propiedades elásticas de un elemento
estructural, la aplicación de la teoría del
método elástico, permite el ensamblaje del
conjunto.
Para el comportamiento del modelo y la
estructura se deberá aplicar las siguientes
etapas:
 Acción sobre estructura
 Acción sobre ele elemento
 Respuesta de los elementos
 Respuesta de la estructura.

ECUACIÓN GLOBAL DE
RIGIDEZ
F = K*D

USO DEL
ORDENADOR

• La posición del elemento
coordenadas nodales.

• Unión de elementos mediante:
las propiedades de materiales de
los elementos, las cargas aplicadas,
condiciones divisorias o coacciones,
y la clase de análisis.
«ESTE ANÁLISIS PERMITE
SOLUCIONAR PROBLEMAS
CON MÁS DE UN MILLÓN DE
INCÓGNITAS «

Pasos generales
Desarrollan soluciones a
ELEMENTOS FINITOS
problemas estructurales
y no estructurales

• Determinar
desplazamientos, en
cada nudo para
Método variacional mantener el equilibrio.
 Teorema de energía potencial • Flexibilidad, es
 Derivadas de la ecuaciones algebraicas sometida al principio
con respecto a elementos estructurales de superposición de
esfuerzos
• Ecuaciones de
equilibrio en cada
nudo.

MODELACIÓN DE LA ESTRUCTURA
 El desplazamiento se
determina en cada
elemento finito; que están
interconectados por Aplicados en:
interfaces de los nodos, Barras
líneas de contorno, Vigas
superficies Columnas
 El comportamiento en cada Marcos rígidos
nodo depende de una serie
de ecuaciones algebraicas.

UNO

Discretizar y seleccionar los tipos de elementos
consiste en dividir el elemento en un
sistema equivalente de elementos finitos con
nodos asociados y seleccionando el tipo de
elemento más adecuado para modelo más
de cerca el comportamiento físico real.

Para representar una barra o elemento de la
A
C viga (de orden superior)
A
S
B
O Nodos intermedios a lo largo de los lados,
S para representar tensión plana / tensión

C Nodos intermedios a lo largo de los bordes,
para representar el estado de tensión
tridimensional

DOS

 Consiste en elegir una función de desplazamiento dentro de
cada elemento
Se utiliza ecuaciones de tipo lineal, cuadrática y cúbica.
 Son funciones de uso frecuente debido a que son fáciles de
trabajar en la formulación de elementos finitos.
 El desplazamiento de un elemento de 2D, se lo hace en base
al plano XY; la ecuaciones se tendrá como incógnitas.
 La función general de desplazamiento se expresa mediante
un modelo aproximado compuesto de un conjunto de tramos
continuos.

TRES
Definir las relaciones tensión - desplazamiento
y la tensión - deformación

Desplazamiento por para pequeñas
deformaciones

La tensión más simple; deformación de las
leyes, se relaciona con la ley de Hooke, que se
utiliza a menudo en el análisis de Tensión.

CUATRO Deducción de la Matriz de rigidez del elemento
y ecuaciones
Métodos de trabajo o energía

teorema de Castigliano; se aplica
únicamente a los materiales
elásticos.

Métodos de residuos ponderados

método de Galerkin; es aplicable a cualquier
ecuación diferencial:
• Elementos de barras
• Elementos de viga
• Problema calor - conducción y masa
transporte.

(f) es el vector de fuerzas elemento nodal
(k): es la matriz de rigidez del elemento
(normalmente cuadrada y simétrica)
(d) es el vector de desplazamientos

Grados de libertad nodales o generalizados

CINCO

Ensamble de ecuaciones de cada elemento,
para obtener las ecuaciones globales o totales
en los nodos; esto, para conseguir una base
nodal para el equilibrio de fuerzas.

{F} = [k] {d}

[F] :es el vector de fuerzas nodales globales
[K] :es la matriz de rigidez de la estructura global o total
{d}: Es el vector de desplazamiento de los grados de libertad

seis

Esta matriz se la puede resolver aplicando el método de eliminación (el
método de Gauss) o un método iterativo (tal como el método de Gauss-
Seidel). Estos dos métodos se discuten en el Apéndice B.
Los ds se llaman las incógnitas primarias, ya que son las primeras
cantidades determinadas utilizando la rigidez (o desplazamiento) método de
elementos finitos.

Apoyo Fijo

Eje de
simetría

muestra un modelo tridimensional de elementos finitos de un hueso de la pelvis con un implante, que se utiliza para estudiar las tensiones en el hues

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