Elementos Finitos Parte 1

v1
5 2
4
1 v2 Introducción al Método
S
de los Elementos Finitos
Parte 1
Introducción al MEF para problemas elípticos

1. Introducción al MEF para problemas elípticos

• Problemas elípticos “modelo” y solución por MEF
– Problema simple 1-D
– Generalización a 2-D
• Propiedades básicas del método

Introducción al Método de los Elementos Finitos 2

(1.1) Formulación variacional del problema 1-D
• Sea el problema de valores de frontera:
− u '' = f ( x) , 0< x 1
(D)
u (0) = u (1) = 0
du
donde u ' = ; f ( x) es una función continua dada.
dx
• Integrando 2 veces, vemos que el problema tiene solución única u.

• (D) puede describir cualquiera de los siguientes problemas de Mecánica del
continuo:

A. Barra elástica
B. Cuerda elástica
C. Conducción del calor en una barra


A) Barra elástica
Barra elástica sujeta en ambos extremos y sometida a carga axial de intensidad f(x)

Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal:
σ = Eu ' Ley de Hooke
−σ ' = f Ec. de equilibrio
u (0) = u (1) = 0 Cond. de borde

donde E es el módulo de elasticidad. Asumiendo E=1
− u '' = f ( x) , 0< x 1
(D)
u (0) = u (1) = 0


B) Cuerda elástica
Cuerda elástica sujeta en ambos extremos, con tensión unitaria y sometida a carga
transversal de intensidad f(x)

Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal:


C) Conducción de calor en una barra
Barra sometida a fuente de calor distribuida f(x), con temperatura nula en ambos
extremos.

Bajo condiciones estacionarias y material lineal:

−q = ku ' Ley de Fourier
−q ' = f Ec de equilibrio
u (0) = u (1) = 0 Cond de borde
donde k es el conductividad. Asumiendo k=1

− u '' = f ( x) , 0< x 1
(D)
u (0) = u (1) = 0


Problemas de minimización y variacional
Veremos que la solución al problema (D) es también solución del problema de
minimización (M) y de un problema variacional (V)

Para formular (M) y (V) introducimos nueva notación.

1. Producto interno (v,w): 1
(v, w) = ∫ v( x) w( x) dx
0
para funciones reales acotadas continuas por tramos v, w.
2. Espacio lineal V: V = {v / v funcion continua sobre [ 0,1] ,
v ' es continua p/tramos y acotada en [ 0,1] ,
v(0) = v(1) = 0 }
3. Funcional lineal F :V →
1
F (v) = (v ', v ') − ( f , v)
2

Problemas de minimización y variacional (cont)
Problema (M):

Problema (V):

Nota: en el contexto de los problemas (A) y (B)
F (v ) es la energía potencial total asociada al desplazamiento v
1
(v ', v ') es la energía elástica interna
2
( f , v) es el potencial de cargas

Problema (M): principio de mínima energía potencial en Mecánica
Problema (V): principio de trabajos virtuales en Mecánica

Veremos la equivalencia de los problemas (D), (V) y (M)


La solución de (D) es solución de (V)
1. Multiplicamos −u '' = f por una función arbitraria v ∈ V (func. de test).
Integramos sobre (0,1):
−(u '', v) = ( f , v)

2. Integramos por partes el lado izquierdo, y usamos v(0)=v(1)=0:
−(u '', v) = −u '(1)v(1) + '(0)v(0) +u ', v ') (= ', v ')
u ( u

3. Al ser v arbitraria:
(u ', v ') = ( f , v) ∀ v ∈V (1.1)

o sea, u es solución de (V)


Los problemas (M) y (V) tienen la misma solución
1. Sea u solución de (V). Sea v ∈V y w = v − u / v u =w +w V ∧
. ∈
1
Luego: F (v) = F (u + w) ( u ' w= u ' w ') (+ , u
', f w) + − +
2
1 1
= ( u ', u ') − ( f , u ) (u ', w ') ( f , w) + ( w ', w ') F (u ) −
2 2
= 0 por (1.1)
F (u ) ≥0
o sea, u es solución del problema (M).
• Sea u solución de (M). Luego ∀ v ∈V y ε ∈ : F (u ) ≤ F (u + ε v) (*)
Definiendo:
1 ε2
g (ε ) F (u + ε v) = (u ', u ') (u ', v ')
+ (v ', v ') ε + f , u )
( ( f , v) −
2 2
Por (*) g (ε ) tiene un mínimo en ε = 0 . Luego :
g '(0) = (u ', v ') − ( f , v) = 0
g ( ε ) min en 0

o sea, u es solución del problema (V).


La solución de (V) es única
1. Sean u1 , u2 soluciones de (V): u1 , u2 ∈ V y

(u '1 , v ') = ( f , v) ∀ v ∈V
(u '2 , v ') = ( f , v) ∀ v ∈V

2. Sustrayendo, y eligiendo v = u1 − u2 ∈ V 1
∫0
(u '1 − u '2 ) 2 dx = 0
lo cual muestra que:
1 2 1 2

3. Usando la condición de borde:

1 2 1 2 [ ]
o sea, la solución a (V) es única.


Equivalencia de soluciones a (D), (V) y (M)
1. Hasta ahora hemos visto que si u es solución a (D), luego es solución a los
problemas equivalentes (V) y (M) :
( D) ⇒ (V ) ⇔ ( M )
Mostraremos que si u es solución de (V), luego u satisface (D).
2. Sea
1 1
∫0 ∫0
Asumimos u '' existe y es continua. Integ.p/partes y usando v(0) = v(1) = 0
1 1
− ∫ u '' v dx − ∫ fv dx u ' v 0 + =
1
0
0 0
1
− ∫ (u ''+ f )v dx = 0 v V ∀ ∈
0

Como (u ''+ f ) es continua, luego:

(u ''+ f ) ( x) = 0 0< x 1 <
o sea, u es solución de (D).


Equivalencia de soluciones (D), (V) y (M)
Resumiendo: Hemos demostrado que
1. La solución de la ecuación diferencial es solución de un problema
variacional
2. La solución del problema variacional es también solución de un problema de
minimización y viceversa
3. La solución del problema variacional es única
4. Si se cumple un requisito de regularidad (u” continua), la solución del
problema variacional es también solución de la ecuación diferencial

Notar: Las soluciones a los problemas variacional y de minimización vistos hasta
ahora tienen dimensión infinita, no pueden hallarse en computadora.

Veremos ahora cómo el MEF construye aproximaciones de dimensión finita a las
soluciones de (V) y (M).


(1.2) MEF p/problema modelo c/funciones lineales p/tramos
1. Construiremos un subespacio de dimensión finita Vh del espacio V ,
consistente en funciones lineales p/tramos.
2. Sea
0 1 M M +1

una partición del intervalo (0,1) en subintervalos I j = ( x j −1 , x j ) de longitud
h j = x j − x j −1 , j = 1, M 1 +
La cantidad h = max h j es una medida de la densidad de la partición.


Subespacio de funciones lineales por tramos
1. Sea Vh = {v / v es lineal en cada subintervalo I j
v es continua en el [ 0,1]
v(0) = v(1) = 0 }
Ejemplo de v ∈ Vh

Notar que Vh ⊂ V

2. Para describir v ∈ Vh elegimos los valores

η j = v( x j ) en los nodos x j , j = 1, M


Subespacio de funciones lineales por tramos
3. Definimos funciones de base ϕ j ( x) ∈ Vh , j = 1, M
⎧1 si i = j
ϕ j ( xi ) = δ ij = ⎨ i, j 1, =
M
⎩0 si i ≠ j

ϕ j ( x) : función continua
lineal por tramos que verifica
la propiedad delta.

4. Toda función v ∈ Vh puede ser escrita en forma única como combinación
lineal de las funciones de base ϕi ( x) :
M
v ( x ) = ∑ ηi ϕi ( x ) x ∈ [ 0,1] , i η v( xi )
i =1

{ϕi }i =1
M
Luego, Vh es un espacio vectorial lineal de dimensión M con base:


MEF para problema modelo (D)
1. Formulación como problema de minimización discreto:
(M h ) Hallar uh ∈ Vh / F (uh ) ≤ F (v) ∀ v Vh ∈ (método Ritz)

2. De la manera ya vista, es equivalente al problema variacional discreto:
(1.2) (Vh ) Hallar uh ∈ Vh / (uh ', v ') = ( f , v) ∀ v Vh ∈
(método Galerkin)

3. Notar, que si uh ∈ Vh satisface (1.2), luego en particular
(1.3) (uh ', ϕ j ') = ( f , ϕ j ) j = 1, M

(además, si se cumple (1.3), luego vale (1.2) ∀ v ∈ Vh )
M
4. Siendo uh ( x) = ∑ ξi ϕi ( x) , i ξ uh ( xi ) , escribimos (1.3) en la forma:
=
i =1

∑ ξ (ϕ ', ')ϕ ( j = 1,… , M)
M
= i i j f, j ϕ
i =1

Sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con M incógnitas ξi

Forma matricial
(1.5) A ξ = b
A : matriz de rigidez
⎡ (ϕ1 ', ϕ1 ') ( 1 ', ϕ ') ϕ
2 ( 1 ', M') ϕ ϕ
⎤ 1 b1 ξ
⎢ (ϕ ', ϕ ') ( ', ϕ ') ϕ ⎥ b : vector de cargas
⎢ 2 1 2 2 ⎥ ⎪ 2 ⎪ = ⎪ b2ξ
⎨ ⎬ ⎨
⎪
⎬
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ bi = ( f , ϕi )
⎢(ϕ M ', ϕ1 ')
⎣ ( M ', M ') ⎥ ϕ M
ϕ ⎦ bM ξ ⎪

Los elementos aij = (ϕi ', ϕ j ') pueden
calcularse fácilmente.
Notar:
(ϕ ', ϕ ') = 0
i j si i−k 1 >

Luego A es tridiagonal


Sistema de ecuaciones
Entonces: xj 1 x j +1 1 1 1
a jj = (ϕ j ', ϕ j ') = ∫ dx ∫ dx + j 1, M =
x j −1 h 2 xj 2
h j +1 h j h j +1
j

xj 1 1
a j ( j −1) = (ϕ j ', ϕ j −1 ') = ∫x j−1 h2j dx hj
− j 2, M= −

1. A es simétrica pues: (ϕ ', ϕ ') = (ϕ
i j j ', i ') ϕ
M
2. A es definida positiva pues siendo v( x) = ∑ ηi ϕi ( x) luego:
i =1
⎛M ⎞ ⎧> 0 casi siempre
∑1 ηi (ϕi ', j ')ϕ j = ⎜ η=1
M M

∑ i i ', η j ϕ j ' ⎟ = ( v ', v ') ϕ0
η ⎨ ∑
= 0 solo si = v ' = 0
i, j= ⎝i j 1 ⎠ ⎩

Como v(0) = 0 luego (v ', v ') = 0 v 0 o sea: η j 0 j 2, M ⇔
Entonces:
ηT Aη > 0 ∀ η M
, ∈0 ≠ η
A simétrica y definida positiva

Propiedades sistema de ecuaciones (1.5)
1. A sim > 0 A es no singular y el sistema (1.5) tiene solución única
2. A es rala, o sea pocos elementos de A son distintos de cero.
Esto se debe a que ϕ j tiene soporte local ( ϕ j ≠ 0 en un intervalo pequeño,
interfiriendo con pocas funciones ϕ k ).
1
3. Si la partición es uniforme, h j = h = y logramos
M +1

⎡ 2 −1 0⎤
⎢ −1 2 −1 ⎥
1⎢ ⎥
A= ⎢ −1 ⎥
h⎢ ⎥
⎢ 2 −1⎥
⎢0
⎣ −1 2 ⎥
⎦


(1.3) Estimación de error del MEF para problema modelo
⎧ − u '' = f ( x) , 0< x 1
Sean u solucion de (D) ⎨
⎩ u (0) = u (1) = 0
uh solucion de (Vh ) Hallar uh ∈ Vh / (uh ', v ') = ( f , v) v Vh
Recordando que
(u ', v ') = ( f , v) ∀ v ∈V (en particular v ∀Vh∈
)
y como Vh ⊂ V
( ( u − u ) ', v ') = 0
h ∀ v Vh ∈ Ecuación del error
donde u − uh es el error de la aproximación

Veremos que en cierto modo, uh es la mejor aprox posible a la sol exacta u

(∫ )
1

( w, w )
1 1 2
Norma asociada al producto escalar ( , ): w 2
= 2
w dx
0

Desigualdad de Cauchy:
( v, w ) ≤ v w


Estimación de error del MEF para problema modelo
Teo 1.1)
( u − uh ) ' ≤ (u − v ) ' v Vh ∀ ∈

D) Sean v ∈ Vh arbitraria y w = uh v Vh . Reemplazando v por w en la −
ecuación del error:
( u − uh ) ' = ( ( u − uh ) ', u uh ') −(( u uh)) ', w ')
( ((u w )
−uh ) ', u uh = '(
2
+ −
=0 ecuacion del error

= ( ( u − uh ) ', u v ') −( ( u uh ) ' ≤)( u v ) ' − − v Vh
Cauchy

Luego ( u − uh ) ' ≤ (u − v ) ' v Vh ∀ ∈

Para lograr una estimación cuantitativa del error, usamos una uh ∈ Vh elegida
convenientemente. Por el resultado anterior:
( u − uh ) ' ≤ ( u uh ) ' −


Estimación del error
Haremos uh ∈ Vh interpolante de u , o sea:

uh ( x j ) = u ( x j ) j = 0, M 1 +

En Análisis Numérico, se ve que:
h2
u′( x) − uh ( x) ≤ h max u ′ ( y )
′ u ( x ) uh ( x ) ′ − 0≤ y ≤1 ≤ ( y )
max u
0 ≤ y ≤1 8
Luego, por el teorema y (1.12):
( u − uh )′ ≤ h max u ′′( y )
0 ≤ y ≤1

Mediante análisis detallado, se puede mostrar :
( u − uh ) ≤ o ( h2 )
Notar:
• No necesitamos construir explícitamente uh , sino sólo la estimación de error
del interpolante.
• u ′ es una deformación o tensión, y tiene interés práctico la estimación de su
error

Cálculo matriz rigidez
1. Los coeficientes aij = (ϕi ', ϕ j ') son calculados por suma de contribuciones
de los distintos segmentos:

(ϕ i ϕ j ) ( )
1 xk
i ϕ
j ϕ i j ϕ ϕ i j K
0 xk −1
IK IK
Notar que
(ϕ ', ϕ ')
i j K
≠0 sólo si Ni , N j ∈ I K

2. Sean (k − 1) y k los nodos del segmento K. Luego, la matriz de rigidez del
“elemento” K :
⎡(ϕk −1 ', ϕk −1 ' ) K ( k 1 ', k ϕ) K ⎤− ϕ
'
AK ⎢
⎣ sim. (ϕk ', ϕk ') K ⎥
⎦

3. La matriz de rigidez global A es armada luego en 2 etapas:
1. Cálculo de las matrices de rigidez elementales
2. Sumatoria de las contribuciones de cada elemento (ensamble)
El vector de cargas b es armado de la misma manera.

Cálculo matriz rigidez elemental
1. Trabajamos con las restricciones de las funciones de base al segmento K:

ψi ϕi K

2. ψ i es una función lineal /
⎧1 en el nodo i
ψi = ⎨ {ψ k −1 ( x),ψ k ( x)} base de fcs lineales en K
⎩0 en el nodo j
3. Si w( x) es una función lineal en K, tiene luego la representación:
w( x) = w( xk −1 )ψ k −1 ( x) + w( xk )ψ k ( x)
4. La matriz de rigidez elemental:
⎡(ψ k −1 ',ψ k −1 ') K ( k 1 ', kψ') K ⎤− ψ
AK ⎢
⎣ sim. (ψ k ',ψ k ') K ⎥
⎦


Ejemplo
ψ i ( x) = α i + βi x
α i , βi / ⎡1 xi ⎤ α i α j ⎧⎧1 0 ⎫ ⎫
ψ i ( x j ) = δ ij ⇒ ⎢1 x ⎥ β β =
⎣ j⎦ i j ⎩⎩0 1 ⎭ ⎭
Resolviendo:
xk 1
α k −1 = β k −1 = −
hK hK
hK = xk − xk −1 (longitud segmento)
x 1
α k = − k −1 βk =
hK hK
Luego:

ψ k −1 ',ψ k −1 ') K = ∫ dψ k −1 dx dψ k −1 dx dx = ∫
1
(
x
1β βh β
k 2
k 1 k dx − k 1 K − −
K xk −1 hK
dψ k −1 dψ k 1
(ψ k −1 ',ψ k ') K ∫ dx dx
dx k −1 k hKβ β
K hK
⎡ 1 1⎤
⎢ h −
hK ⎥
AK ⎢ K ⎥
⎢ 1 1 ⎥
⎢− h hK ⎥
⎣ K ⎦

Ejemplo
Ilustraremos el proceso de ensamble para el caso siguiente:

Elemento 1) k-1=0; k=1

⎡ 8 −8⎤ ⎧ξ 0 ⎫
A1ξ = ⎢
1
⎥⎨ ⎬
⎣ −8 8 ⎦ ⎩ξ1 ⎭ ψ 0 ( x) = 0 por condición de borde


Ensamble primer elemento
⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ 0 ⎫
A1ξ = 8 ⎢
1
⎨ ⎬
⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ1 ⎭
⎦

⎛ 1 ⎞ ⎧ξ1 ⎫
⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪
⎜ ⎟ ⎪ 2⎪
⎜ ⎟ ⎪ξ3 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪
Aξ =8 ⎜ ⎟ ⎨ξ 4 ⎬
⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪
⎜ ⎟ ⎪ 5⎪
⎜ ⎟ ⎪ξ 6 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪
⎝ ⎠ ⎩ξ 7 ⎭


Ensamble segundo elemento
⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ1 ⎫
A 2ξ = 8 ⎢
2
⎨ ⎬
⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ 2 ⎭
⎦

⎛ 1+1 −1 ⎞ ⎧ξ1 ⎫
⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪
⎜ −1 1 ⎟ ⎪ 2⎪
⎜ ⎟ ⎪ξ3 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪
Aξ =8 ⎜ ⎟ ⎨ξ 4 ⎬
⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪
⎜ ⎟ ⎪ 5⎪
⎜ ⎟ ⎪ξ 6 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪
⎝ ⎠ ⎩ξ 7 ⎭


Ensamble tercer elemento
⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ 2 ⎫
A 3ξ = 8 ⎢
3
⎨ ⎬
⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ3 ⎭
⎦

⎛ 1+1 −1 ⎞ ⎧ξ1 ⎫
⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪
⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ 2⎪
⎜ −1 1 ⎟ ⎪ξ3 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪
Aξ =8 ⎜ ⎟ ⎨ξ 4 ⎬
⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪
⎜ ⎟ ⎪ 5⎪
⎜ ⎟ ⎪ξ 6 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪
⎝ ⎠ ⎩ξ 7 ⎭


Ensamble cuarto elemento
⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ3 ⎫
A 4ξ = 8 ⎢
4
⎨ ⎬
⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ 4 ⎭
⎦

⎛ 1+1 −1 ⎞ ⎧ξ1 ⎫
⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪
⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ 2⎪
⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ3 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪
Aξ =8 ⎜ −1 1 ⎟ ⎨ξ 4 ⎬
⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪
⎜ ⎟ ⎪ 5⎪
⎜ ⎟ ⎪ξ 6 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪
⎝ ⎠ ⎩ξ 7 ⎭


Ensamble séptimo elemento
⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ 6 ⎫
A 7ξ = 8 ⎢
7
⎨ ⎬
⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ 7 ⎭
⎦

⎛ 1+1 −1 ⎞ ⎧ξ1 ⎫
⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪
⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ 2⎪
⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ3 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪
Aξ =8 ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎨ξ 4 ⎬
⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ ⎪
⎜ ⎟ ⎪ 5⎪
⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ 6 ⎪
⎜ −1 1 ⎟ ⎪ ⎪
⎝ ⎠ ⎩ξ 7 ⎭


Ensamble octavo elemento
⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ 7 ⎫
A 8ξ = 8 ⎢
8
⎨ ⎬
⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ8 ⎭
⎦

⎛ 1+1 −1 ⎞ ⎧ξ1 ⎫
⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪
⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ 2⎪
⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ3 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪
Aξ =8 ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎨ξ 4 ⎬
⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ ⎪
⎜ ⎟ ⎪ 5⎪
⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ 6 ⎪
⎜ −1 1+1 ⎟ ⎪ ⎪
⎝ ⎠ ⎩ξ 7 ⎭


Sistema de ecuaciones global
2 −1 0 0 0 0 0⎞ ⎧ξ1 ⎫ ⎧ b1 ⎫
⎜ ⎟
⎜ −1 2 −1 0 0 0 0 ⎟ ⎪ξ 2 ⎪ ⎪b2
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎜ 0 −1 2 −1 0 0 0 ⎟ ⎪ξ3 ⎪ ⎪b3 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
A ξ = 8 ⎜ 0 0 −1 2 −1 0 0 ⎟ ⎨ξ 4 ⎬ = ⎨b4 ⎬
⎜ 0 0 0 −1 2 −1 0 ⎟ ⎪ξ5 ⎪ ⎪b5 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎜ 0 0 0 0 −1 2 −1⎟ ⎪ξ 6 ⎪ ⎪b6 ⎪
⎜ 0 0 0 0 0 −1 2 ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎪b ⎪
⎝ ⎠ ⎩ 7 7⎭
⎧ b1 + b12 ⎫
1

El término a derecha puede calcularse también elemento por elemento: ⎪ 2 3⎪
⎪b2 + b2 ⎪
⎧ xk ψ ( x) f ( x) dx ⎫ ⎪b33 + b34 ⎪
⎧bkK−1 ⎫ ⎪ ∫xk −1 k −1 ⎪ ⎪ 4 5⎪
bK = ⎨ K ⎬ = ⎨ x ⎬ b = ⎨b4 + b4 ⎬
⎩ bk ⎭ ⎪ ∫ k ψ k ( x) f ( x) dx ⎪ ⎪b 5 + b 6 ⎪
⎩ xk −1 ⎭ ⎪ 5 5⎪
⎪b6 + b6 ⎪
6 7

⎪ 7 8⎪
⎩b7 + b7 ⎭
La ecuación es idéntica a la que se obtiene por diferencias finitas. El término a derecha cambia.

Ejemplo
Sea la ecuación:
u πx x
u (0) = u (1) = 0

1
Solución exacta: u ( x) = sin(π x)
π 2

El vector de cargas elemental:

xk x − xk cos(π xk ) sin(π xk ) − sin( xk −1 )
⎧bkK−1 ⎫ ⎪ ∫xk −1
sin(π x) dx ⎪ − + ⎪
⎪ hk ⎪ π π 2 hk ⎪
b = K =
K
=
⎩ bk ⎭ xk x xk cos(π xk −1 ) sin(π xk ) sin( xk −1 )
⎪ ∫xk −1 hk
sin(π x) dx −
⎩ ⎪
⎭ π π 2 hk ⎪
⎩


Ejemplo (programa Matlab)
% cantidad de elementos
n = 8;

% inicializacion de matriz de rigidez y vector de cargas globales
A = zeros(n-1,n-1);
b = zeros(n-1,1);

% lazo sobre los elementos
for k=1:n
%ensamble de matriz de rigidez
if (k==1)
hk = 1/n;
A(1,1) = A(1,1) + Ak(2,2);
%coordenadas del elemento k
elseif (k==n)
xk1 = (k-1)* hk;
A(n-1,n-1) = A(n-1,n-1) + Ak(1,1);
xk = k * hk;
else
A(k-1,k-1) = A(k-1,k-1) + Ak(1,1); A(k-1,k) = A(k-1,k) + Ak(1,2);
% matriz de rigidez elemental
A(k,k-1) = A(k,k-1) + Ak(2,1); A(k,k) = A(k,k) + Ak(2,2);
Ak = 1/hk* [1 -1;
end
-1 1];
%ensamble de vector de cargas
%vector de cargas elemental
if (k==1)
bk = [-cos(pi*xk) /pi + (sin(pi*xk)-sin(pi*xk1))/pi^2/hk;
b(1) = b(1) + bk(2);
cos(pi*xk1)/pi - (sin(pi*xk)-sin(pi*xk1))/pi^2/hk];
elseif (k==n)
b(n-1) = b(n-1) + bk(1,1);
else
b(k-1) = b(k-1) + bk(1);
b(k) = b(k) + bk(2);
end

end

Ejemplo: aproximación a la solución

0.12

0.1

0.08
u(x)

0.06

0.04

0.02

0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x


Ejemplo: aproximación a la derivada

0.4

0.3

0.2

0.1
du/dx

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x


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