EM_2016_al.pdf

ELECTROMAGNETISMO
Patricio Cordero S.
Departamento de Fı́sica
Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Universidad de Chile
marzo 2016
1

2 Patricio Cordero S.

Índice general
1. Electrostática y aislantes 15
1.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Campo eléctrico de fuentes compuestas.
Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5. Algoritmo para la ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6. Dipolo eléctrico y expansión multipolar . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1. Dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.2. Expansión multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7. Generalidades sobre dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8. Medios polarizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9. Desplazamiento eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.10. Dieléctricos lineales, isótropos
y comúnmente homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.11. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.11.1. Componentes tangenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.11.2. Componentes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.11.3. Refracción del campo eléctrico cuando σℓ = 0 . . . . . . 42
1.11.4. Dos métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3

2. Electrostática y conductores 49
2.1. Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.2. Ecuación de Poisson. Unicidad de la solución . . . . . . . 53
2.1.3. Ejemplo sobre continuidad del potencial . . . . . . . . . . 54
2.2. Energı́a electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.1. Energı́a como función de cargas y potenciales . . . . . . . 55
2.2.2. Energı́a como función de los campos . . . . . . . . . . . 57
2.2.3. Energı́a con fuente no-acotada . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.3.1. Una superficie cilı́ndrica cargada . . . . . . . . 59
2.2.3.2. Dos superficies cilı́ndricas concéntricas cargadas 60
2.3. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4. Conductores cargados: energı́a y fuerzas . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5. Integración numérica de la ecuación
de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5.1. Caso unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5.2. Dimensiones mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3. Corrientes continuas 73
3.1. Generalidades sobre corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2. Corrientes continuas y ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.1. Primera ley de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.2. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.2.1. Argumento intuitivo sobre conductividad eléctrica. 79
3.2.2.2. Visión microscópica de la corriente . . . . . . . 81
3.2.3. Las ecuaciones y sus condiciones de borde . . . . . . . . 83
3.2.3.1. Ecuaciones que rigen el flujo continuo . . . . . 83
3.2.3.2. Condiciones de borde en la interfaz entre dos
medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
ÍNDICE GENERAL Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Electromagnetismo 5
3.2.4. Las dos leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3. Fuerza electromotriz y efecto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.1. La fem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.2. Potencia y efecto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4. Semiconductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4. Magnetostática 93
4.1. Corrientes y campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.1. Anticipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.2. Dos nuevas leyes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1.3. Campo magnético debido a una corriente . . . . . . . . . 95
4.1.4. Efecto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2. Potencial vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.1. Definición usando ~
J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.2. Campo ~
B y potencial vectorial a partir de ~
K . . . . . . . 101
4.2.3. Otro gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3. Ley circuital de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.1. El campo en todo el interior de una bobina recta . . . . . 105
4.3.2. El campo en el interior de una bobina toroidal . . . . . . 107
4.4. Fuerza y torque magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4.1. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4.2. Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5. Una partı́cula en un campo magnético
uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.6. Dipolos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5. Propiedades magnéticas de la materia 117
5.1. Magnetización y el potencial ~
AM . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Universidad de Chile Escuela de Ingenierı́a y Ciencias

5.1.1. El campo magnético de la materia . . . . . . . . . . . . 120
5.1.2. El campo magnético total . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2. Nuevamente la ley circuital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.1. Refracción del campo magnético . . . . . . . . . . . . . 125
5.4. Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5. Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.6. Circuitos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6. Inducción 131
6.1. Ley de Faraday-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.1. La fem inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.2. El caso de una bobina ideal con corriente variable . . . . 133
6.1.3. Sobre relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.1.4. Campos y movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.1.5. Ejemplo básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.1.6. Circuitos con otros elementos . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.1.7. Diferencias de potencial indefinidos . . . . . . . . . . . . 141
6.1.8. En la práctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2.1. Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2.2. Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2.3. Autoinducción en manto cilı́ndrico . . . . . . . . . . . . . 147
6.3. Inducción mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3.1. Los coeficientes de inducción . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3.2. Coeficiente de acoplamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3.3. Un transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3.4. La “caı́da de potencial” en una inductancia . . . . . . . . 152
6.3.5. Dos circuitos LC ideales acoplados por M . . . . . . . . 152

Electromagnetismo 7
6.4. Potencia y energı́a magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.4.1. Energı́a en términos de los coeficientes Mkj . . . . . . . . 153
6.4.1.1. Pequeña analogı́a con mecánica . . . . . . . . . 153
6.4.1.2. Potencia y energı́a en el caso más sencillo . . . 153
6.4.1.3. Potencia y energı́a en el caso general . . . . . . 154
6.4.1.4. Cota para los Mkj . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.4.2. La energı́a expresada con los campos . . . . . . . . . . . 156
6.5. La corriente de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.6. Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.6.1. Las ecuaciones en materia y en vacı́o . . . . . . . . . . . 158
6.6.2. La nueva ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.6.3. Disipación y ecuación de continuidad para la densidad de
energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.6.3.1. Energı́a electromagnética . . . . . . . . . . . . 160
6.6.3.2. Ecuación de continuidad para la densidad de
energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7. Ecuaciones de Maxwell y ondas 167
7.1. Ecuaciones de Maxwell y potenciales . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.2.1. Condiciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.2.2. El caso de campos con frecuencia ω . . . . . . . . . . . 169
7.3. Ondas electromagnéticas en medios neutros . . . . . . . . . . . . 170
7.3.1. La ecuación de onda en un medio neutro . . . . . . . . . 170
7.3.2. La onda ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3.3. Longitud de penetración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.4. Ondas planas en medios aislantes y neutros . . . . . . . . . . . . 177
7.4.1. Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.4.2. Energı́a y flujo de ella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.5. Reflexión y refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.5.1. Ondas planas y ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.5.2. Reflexión total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.5.3. Conservación de la energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.5.4. Revisión de las condiciones de borde . . . . . . . . . . . 183
7.5.4.1. Caso p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.5.4.2. Caso p especial: refracción total . . . . . . . . . 186
7.5.4.3. Caso s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5.5. Reflexión total en superficie conductora perfecta . . . . . 187
7.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A. Apéndices 191
A.1. Unidades y dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
A.2. Operadores diferenciales, teoremas integra-
les y condiciones de borde en electromagnetismo . . . . . . . . . 192
A.2.1. Los conceptos de gradiente, divergencia y rotor . . . . . . 192
A.2.2. Coordenadas cilı́ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.2.3. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
A.2.4. Elementos de superficie y volumen . . . . . . . . . . . . 198
A.3. Expresiones útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
A.4. Teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
A.4.1. Teorema de Kelvin-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
A.4.2. Teorema de Ostrogradsky–Gauss . . . . . . . . . . . . . 199
A.5. Condiciones de borde en electromagnetismo . . . . . . . . . . . . 200
A.6. Los operadores ∇ en coordenadas curvilı́neas . . . . . . . . . . . 202

Electromagnetismo 9
Introducción
Nuestra experiencia diaria
• La experiencia cotidiana involucra muchos fenómenos eléctricos. Nuestro siste-
ma de iluminación es eléctrico y se usa dispositivos eléctricos bastante complejos
como teléfono, radio, televisor, computadoras, celulares y una variedad de pro-
ductos portátiles con una multiplicidad de funciones. En muchas casas existe un
número grande de motores eléctricos: ventilador, refrigerador, aspiradora, equipos
reproductores de sonido pregrabado, equipo de video, mp3, mp4 etc.
• Posiblemente todo estudiante hoy dı́a tiene relativamente claro que existen
materiales conductores (como los metales) y materiales aislantes (como el vidrio,
los plásticos etc). También existen materiales clasificados como semiconductores.
• Un fenómeno eléctrico sencillo y directo con el que se puede experimentar
consiste en frotar contra nuestro propio cabello (limpio y seco) un objeto aislante
A y luego acercarlo a un objeto aislante muy liviano B (por ejemplo, un pequeño
trozo de papel). Se observa que B es atraı́do hacia A. La razón de esto es
que el cuerpo A se carga eléctricamente y el cuerpo B sufre un cambio que se
aprenderá pronto: se polariza.
• Trabajo sistemático en siglos pasados y en especial en el siglo XVIII, permi-
tió descubrir que existe carga positiva y carga negativa y además, que cuerpos
que tienen carga eléctrica del mismo signo se repelen y cuerpos cargados que
tienen cargas de signo diferente se atraen.
• Cuando se tiene un flujo de cargas eléctricas se habla de una corriente eléctrica.
Normalmente estas corrientes son a lo largo de alambres conductores, pero un
caso notable que no es ası́, es el del rayo. En tal caso una corriente eléctrica de
muy corta duración circula por la atmósfera.
En general los dispositivos y fenómenos mencionados arriba no son sólo eléctricos,
también involucran fenómenos magnéticos.
• Nuestra experiencia más sencilla con el magnetismo se puede conseguir jugando
con un imán y algunos trozos de hierro (agujas, clavos, etc). Se puede ver que el
imán siempre atrae a estos objetos. Una brújula es una pequeña aguja imantada
libre de rotar que, por efecto del campo magnético de la Tierra, se orienta en la
dirección norte-sur.

• Al pasar un imán por arena bien seca (para que no haya fuerzas de cohesión
entre los granos) se ve que unos pocos granos de arena se pegan al imán. Esos
granos tienen un porcentaje mayor de lo usual de hierro. Con un imán suficien-
temente poderoso el problema de encontrar una aguja en un pajar es bastante
fácil.
• Si bien el hierro ha jugado un papel central como material magnético en la
historia, hoy dı́a cada vez más se usa compuestos de hierro con nı́quel y cobalto,
consiguiéndose materiales magnéticos de gran calidad y mucho más livianos.
Hay fenómenos que ligan lo eléctrico y lo magnético.
• En el estudio de Electromagnetismo se aprenderá que el paso de una corrien-
te eléctrica produce un campo magnético. Este fenómeno permite, por ejem-
plo, fabricar los potentes electroimanes que se usa, en combinación con brazos
mecánicos, para mover chatarra de hierro.
• Un electroimán normalmente consta de un enrollado de alambre conductor
(revestido de material aislante) que se llama bobina (otros autores usan la palabra
solenoide), dentro del cual hay un núcleo de algún buen material magnético. Por
el alambre conductor circula una corriente eléctrica.
• La mayorı́a de los motores eléctricos usan las fuerzas entre bobinas o entre
imanes y bobinas para funcionar.
• Un transformador consta normalmente de dos bobinas: un primario por el cual
circula la corriente que se obtiene de una fuente (tı́picamente la red de 220 Volt)
y, una bobina secundaria sobre la que se induce una corriente a pesar de no haber
contacto eléctrico con el primario. Este fenómeno de inducción es posible tan solo
si la corriente en el primario varı́a en el tiempo.
• Un fenómeno básico que está detrás de la inducción es la aparición de un campo
eléctrico cuando un campo magnético varı́a en el tiempo. Ésta fue la última de
las leyes electromagnéticas en ser descubierta. Ella abrió el paso a la gran sı́ntesis
que construyó Maxwell.
Alrededor de 1865 se logró describir en forma muy completa los fenómenos elec-
tromagnéticos conocidos hasta ese momento. Todo quedó resumido en las ecua-
ciones que hoy se conoce como ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones condu-
jeron a deducir que debı́an existir ondas electromagnéticas, fenómeno que nadie
habı́a anticipado. Las mismas ecuaciones indicaban que tales ondas se pueden
propagar en cualquier medio aislante a una velocidad que, para sorpresa de todos,

Electromagnetismo 11
coincidı́a con la de la luz. A esto siguió una avalancha de inventos y descubri-
mientos.
• La luz es una onda electromagnética. Las ondas de radio, televisión y de to-
da una enorme variedad de comunicaciones son ondas electromagnéticas. Ellas
difieren tan solo en su frecuencia o, equivalentemente, en su longitud de onda.
También son ondas electromagnéticas los rayos X, los rayos gama, la radiación
infrarroja y ultravioleta.
• Las comunicaciones vı́a fibra óptica se logran trasmitiendo ondas electro-
magnéticas a través de fibras aislantes y transparente en el rango de freciencias
que interesa.

Pequeña cronologı́a
1767 — Joseph Priestley propone
que la ley de fuerza entre cargas es
del tipo 1/r2. No presenta eviden-
cias.
1785 — Charles Coulomb mues-
tra experimentalmente que la fuerza
entre cargas puntuales Q1 y Q2 es
proporcional a Q1Q2
r2 .
1786 — Luigi Galvani descubre pro-
cesos quı́micos que producen elec-
tricidad (base para nuestras pilas
modernas); creı́a que ellos estaban
ligados a seres vivos.
1800 — Alessandro Volta inventa y
construye la primera pila.
1801 — Thomas Young demuestra
que la luz es de naturaleza ondula-
toria. Sugiere que la luz consiste de
ondas trasversales del eter.
1817 — Augustin-Jean Fresnel afir-
ma que el eter es arrastrado por ma-
teria en movimiento.
1820 — Hans Christian Ørsted des-
cubre que el paso de una corriente
por un alambre desvı́a una brúju-
la cercana; corriente eléctrica crea
campo magnético.
1820 — Jean Baptiste Biot y
Félix Savart obtienen el campo
magnético que produce una corrien-
te eléctrica dada.
1825 — André-Marie Ampère: es-
te año se publican sus memorias; se
dice que inauguró el estudio de elec-
trodinámica.
1827 — Georg Simon Ohm estable-
ce la ley de resistencia eléctrica.
1827 — George Green establece el
concepto de potencial eléctrico e in-
troduce lo que se conoce como teo-
rema de Green.
1831 — Michael Faraday, entre sus
innumerables estudios experimenta-
les, establece la ley de inducción;
crea el concepto de lı́neas de fuerza.
1833 — Heinrich Lenz afirma que
la corriente inducida en un circuito
cerrado tendrá el sentido que que
implique que su efecto se oponga al
cambio que causó la aparición de la
corriente inducida (“ley de Lenz”).
1842 — William Thomson (Lord
Kelvin) basándose en las ideas de
Fourier logra establecer la ley de
continuidad que implica la conser-
vación de la carga eléctrica.
1845 — Gustav Kirchhoff estable-
ció la conservación de la energı́a y
la carga en circuitos eléctricos.
1849 — Hippolyte Fizeau y Jean-
Bernard Foucault miden que la ve-
locidad de la luz es aproximadamen-
te 298000 km/s.
1861 — James Clerk Maxwell pro-
pone la existencia de la corriente de
desplazamiento.

1864 — James Clerk Maxwell pre-
senta las ecuaciones que describen
la dinámica de los campos electro-
magnéticos.
1873 — James Clerk Maxwell de-
muestra que la luz es un fenómeno
electromagnético.
1881 — Albert Abraham Michelson
comienza una serie de experimentos
para determinar el arrastre del eter.
1887 — Heinrich Hertz demuestra
experimentalmente la existencia de
ondas electromagnéticas.
1887 — Woldemar Voigt propone
una transformación cinemática pro-
pone una primera transformación
de coordenadas y tiempo relativis-
ta.
1888 — J.J. Thomson descubre el
electrón.
1892 — Hendrik Antoon Lorentz
comienza a desarrollar una electro-
dinámica que contenga las nociones
de contracción del espacio y dilata-
ción del tiempo. Un resultado fue-
ron las transformaciones de Lorentz
aunque algo faltaba.
1905 — Henri Poincaré corrige las
transformaciones encontradas por
Lorentz y demuestra que ellas cons-
tituyen un grupo. Fue él quien
las bautizó transformaciones de Lo-
rentz.
1905 — Albert Einstein demuestra
que el concepto de “eter” no es ne-
cesario para comprender que la ve-
locidad de la luz tiene un valor uni-
versal si se utiliza la cinemática re-
lativista planteada por Lorentz.

Capı́tulo 1
Electrostática y aislantes
1.1. Ley de Coulomb
Dos cargas puntuales q y Q mutuamente se ejercen fuerzas (de Coulomb) de
igual magnitud y signo contrario. La fuerza de Coulomb que actúa sobre una
carga puntual q en ~
r debido a la presencia de una carga puntual Q en ~
r ′
es
~
Fq =
q Q
4πε0
~
r −~
r ′
k~
r −~
r ′ k3
. (1.1.1)
r
O
r’
r − r’
F
q
q
Q
Figura 1.1: La fuerza sobre la carga puntual q debido a la presencia de una carga puntual
Q es colineal al vector de posición relativa.
15

La constante ε0 en el sistema internacional de unidades, SI (o MKS), es
ε0 =
107
4πc2
= 8, 854187817 · 10−12

farad
metro

,
la velocidad de la luz es c = 299792458
hm
s
i
. (1.1.2)
.
Toda carga eléctrica es un múltiplo en-
tero de la carga del protón (o menos la
carga del electrón):
qe = 1, 60217733 · 10−19
[C] . (1.1.3)
La fuerza de Coulomb es muchı́simo
más fuerte que la fuerza gravitacional.
El cuociente entre la fuerza de repulsión
eléctrica y atracción gravitacional entre
dos protones colocados a cualquier dis-
tancia es
q2
e/4πε0
Gm2
P
≈ 1036
,
.
.
Charles Augustin de Coulomb es uno de
los grandes cientı́ficos europeos del si-
glo XVIII. Publicó importantes trabajos
en diversas áreas, tales como problemas
de estática relativos a la arquitectura, re-
sistencia de materiales, la mejor manera
de fabricar agujas imantadas, balanza de
torsión, leyes de electrostática, teorı́a de
máquinas simples teniendo en cuenta el
roce de sus partes. En 1785 —muy po-
co antes de que comenzara la revolución
francesa— presentó a la Academia Real
de Ciencias tres memorias estableciendo
las leyes de atracción y repulsión de car-
gas eléctricas.
viéndose de inmediato la importancia despreciable de los efectos gravitacionales
a nivel molecular.
El campo eléctrico que produce, en un punto ~
r, una carga eléctrica Q puntual
ubicada en ~
r ′
:
~
E(~
r ) =
Q
4πε0
~
r −~
r ′
k~
r −~
r ′k3
. (1.1.4)
La definición anterior es tal que la fuerza que actúa sobre una carga puntual q
en ~
r es
~
Fq = q~
E(~
r ) , (1.1.5)
ver la figura 1.1. Esta definición no depende de la elección del origen O ya que
se refiere a posiciones relativas.
La expresión (1.1.4) para el campo asociado a una carga puntual q contiene los
vectores ~
r y ~
rq, los cuales dependen del origen O escogido.
1.1. LEY DE COULOMB Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Para expresar el mismo campo utilizando un origen O′
se debe usar los nuevos
vectores~
r ′
y~
rQ
′
que se relacionan con los anteriores por~
r = ~
b+~
r ′
y~
r ′
= ~
b+~
rQ
′
donde ~
b =
−
−
−
→
O O ′
. Al hacer estos reemplazos en (1.1.4) se preserva la forma del
campo, pero ahora en términos de los vectores posición relativos al nuevo origen.
En fı́sica a menudo se utiliza la noción de partı́culas como objetos
puntuales con masa y, a veces también, con carga eléctrica. Desde
el siglo XIX se ha visto la necesidad de incluir además la noción de
campo que es un objeto fı́sico definido continuamente en el espacio.
En electromagnetismo se estudia el campo eléctrico ~
E(~
r , t) y el cam-
po magnético ~
B(~
r , t). Ambos son campos vectoriales. Los campos
no son meros artificios teóricos: tienen energı́a, se pueden propagar
en forma ondulatoria y además son portadores de momentum.
1.2. Campo eléctrico de fuentes compuestas.
Principio de superposición
Si se tiene N partı́culas puntuales cargadas, de carga qk con (k = 1, 2, ...N)
ubicadas en puntos definidos por los vectores posición ~
rk, cada una de ellas
produce, en todo punto ~
r, un campo eléctrico y el campo total es la suma de los
campos causados por cada carga,
~
E(~
r ) =
1
4πε0
X
k
qk
~
r −~
rk
k~
r −~
rkk3
. (1.2.1)
Este es el principio de superposición de los campos eléctricos : el campo eléctrico
total es la suma vectorial de todos los campos eléctricos que se tenga.
Lo anterior se generaliza al caso en que las distribuciones de carga son continuas.
Si las cargas están distribuidas continuamente en un volumen, se habla de una
densidad volumétrica ρ(~
r ) de carga. Si están distribuidas en una superfice se
tiene una densidad superficial σ(~
r ) de carga o, por último, hay una densidad
λ(~
r ) en una lı́nea es el caso de una distribución lineal o filiforme.
En cada uno de estos casos se puede hablar del elemento dq(~
r ) de carga asociado
al punto ~
r de la distribución continua. El campo producido por una distribución

1
k
2
r
N
r r
r
r r’
r
Figura 1.2: A la izquierda un conjunto de cargas puntuales para calcular en~
r el campo debido
a ellas es la simple suma vectorial de los campos que implica que cada una. A la derecha se
debe calcular el campo ~
E en ~
r debido a una distribución continua de carga (recorrida por ~
r ′
),
el que se calcula usando (1.2.2).
continua se puede escribir en la forma
~
E(~
r ) =
1
4πε0
Z
~
r −~
r ′
k~
r −~
r ′k3
dq(~
r ′
) (1.2.2)
donde, según sea el caso,
dq = λ(~
r ′
) dr′
, (lı́nea)
dq = σ(~
r ′
) dS′
, (superficie) (1.2.3)
dq = ρ(~
r ′
) dV′
. (volumen)
Una fuente puede constar simultáneamente de un conjunto de cargas discretas
puntuales, que obligan a escribir parte del campo como una suma discreta, más
una serie de distribuciones continuas de distintas dimensiones (d = 1, 2, 3) lo
que agrega una integral del tipo (1.2.2) por cada una de ellas.
Ejercicio 1.2-1. Demostrar que el campo producido por un hilo recto e infi-
nito con densidad uniforme λ0 y a distancia ρ de él se escribe, en coordenadas
cilı́ndricas, como
~
E(~
r ) =
λ0
2πε0
^
ρ
ρ
. (1.2.4)
Ejercicio 1.2-2. Demostrar que el campo que produce un disco de radio R,
con densidad de carga uniforme σ0 en un punto de su eje es,
~
E(~
r ) =
σ0
2ε0

z
|z|
−
z
√
R2 + z2

^
k . (1.2.5)
1.2. CAMPO ELÉCTRICO DE FUENTES COMPUESTAS.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Una consecuencia de este último resultado es que se puede calcular el campo
producido por un plano infinito cargado uniformemente. Tomando el lı́mite (R →
∞) el resultado anterior se reduce a
~
E(~
r ) =
z
|z|
σ0
2ε0
^
k . (1.2.6)
El campo de un plano infinito con densidad uniforme σ0 positiva apunta siempre
hacia afuera del plano. Si el plano es horizontal, el campo sobre el plano apunta
hacia arriba y bajo el plano apunta hacia abajo.
¿Puede un cuerpo A actuar sobre un cuerpo B distante? La ley de
Coulomb (1.1.1) parece indicar que la respuesta es sı́ y si ası́ fuera
un cambio en la posición de A afectarı́a instantáneamente al valor
de la fuerza sobre B. Sin embargo la respuesta es un rotundo
no. En el caso de la ley de Coulomb lo que sucede es que cada
carga q modifica el espacio circundante creando un campo. Cada
carga está rodeada de su campo eléctrico y una carga q′
en
~
r ′
sufre el efecto de la carga q en ~
r tan solo porque sobre q′
actúa una fuerza ~
F = q′ ~
Eq(~
r ′
) que considera el valor q′
de la
carga eléctrica en ~
r ′
y el valor vectorial ~
E(~
r ′
) del campo que se
debe a q, evaluado en ~
r ′
. Se subraya que ambos objetos están
en el mismo punto. Además el campo eléctrico creado por q a
cierta distancia reacciona con retardo a los cambios de posición
y velocidad de q. Tal información se propaga a la velocidad de
la luz. No se verá la descripción de estos efectos retardados.
Ejercicio 1.2-3. Calcule el campo total en un punto cualquiera, debido a dos
fuentes cargadas: un plano infinito con densidad de carga σ0 y una recta infinita
que forma un ángulo α con el plano y que tiene densidad de carga λ0.
1.3. Ley de Gauss
A continuación se analizará el flujo del campo eléctrico a través de la superficie
cerrada S de un volumen V finito,
ΦS =
I
S=∂V
~
E · d ~
S , (1.3.1)

lo que va a permitir reescribir la ley de Coulomb en forma diferencial.
El elemento de flujo dΦ del campo eléctrico de una carga puntual q a través de
un elemento de superficie d ~
S es dΦ = ~
E(~
r ) · d ~
S. Este elemento de superficie
subtiende al elemento de ángulo sólido dΩ que caracteriza al cono con vértice en
la posición O de la carga q y es generado por el continuo de rectas que van desde
la posición de la carga q hasta el perı́metro de d ~
S. El elemento de ángulo sólido
dΩ es común a todos los elementos de superficie que se obtienen al seccionar
este cono con un plano. A una distancia fija r de q la menor sección posible —de
magnitud dS0— se obtiene cuando el ángulo α entre d ~
S y el vector unitario ^
r
dS
dS
0
α
Ω
d
O
Figura 1.3: El elemento de superficie dS se relaciona al elemento de superficie
dS0 ortogonal al radio vector por dS = dS0
cos α
es nulo. La superficie de una sección oblicua en ese punto tiene una magnitud
dS = dS0
cos α
. Para un α fijo, la sección crece cuando aumenta la distancia r entre
q y la sección. La relación precisa es
d ~
S =
r2
dΩ
cos α
^
n (1.3.2)
donde ^
n es la normal a la sección que se trate. Con lo anterior el elemento de
flujo es
dΦ = k~
Ek^
r · ^
n
r2
dΩ
cos α
=
q
4πε0r2
r2
dΩ
=
q
4πε0
dΩ (1.3.3)
1.3. LEY DE GAUSS Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

que es independiente de r.
De lo anterior resulta que el flujo de campo eléctrico que pasa a través de una
superficie cerrada es la integral de la expresión anterior,
ΦS =
I
q
4πε0
dΩ
I
S=∂V
~
E · d ~
S =
q
ε0
(1.3.4)
independientemente de la superficie cerrada que se utilice. A esta última relación
se conoce como ley de Gauss.
Se ha obtenido este resultado considerando una carga puntual q rodeada de una
superficie cerrada cualquiera. Si el origen se escogiera en un punto que no coincide
con la posición de q el resultado serı́a el mismo, tan solo que la argumentación
geométrica serı́a un poco más complicada.
Si en lugar de una carga puntual se considera N cargas puntuales, rodeadas por
una superficie, se obtiene un resultado análogo a (1.3.4) recordando que el campo
en cualquier punto se puede expresar como la suma de los campos de cada una
de las cargas. Cada uno de estos campos arroja un resultado (1.3.4) y el campo
total tiene un flujo que es la suma de los flujos de cada carga: 1
ε0
P
i qi.
Completamente en general, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie
cerrada S es proporcional a la carga total QV que hay en el volumen V que
encierra S: el borde del volumen es S = ∂V, lo que nuevamente da la ley de
Gauss I
S=∂V
~
E · d ~
S =
QV
ε0
. (1.3.5)
Las cargas que están fuera del volumen V no contribuyen al flujo.
Ley de Gauss. El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada
S es igual a la carga total QV encerrada por S, dividida por la constante ε0. En
este contexto a la superficie cerrada S se la llama superficie de Gauss.
Para obtener la ley anterior es crucial la propiedad (1.3.4): el flujo total depende
tan solo de la carga; es independiente de la forma de la superficie y de la posición
de la carga dentro del volumen encerrado.
La ley de Gauss vale para todo tipo de fuentes y para todo tipo de superficies
cerradas. En particular, si se tiene una distribución volumétrica caracterizada por

una densidad de carga ρ(~
r ), la ley de Gauss garantiza que,
Φ =
1
ε0
Z
V
ρ(~
r ) dV (1.3.6)
y, puesto que por definición, el flujo es
Φ =
I
∂V
~
E · d~
S .
El teorema de la divergencia (o de Gauss o de Gauss–Ostrogradsky), establece
que toda función vectorial diferenciable ~
A(~
r ) satisface
I
∂V
~
A · d~
S =
Z
V
∇ · ~
A dV (1.3.7)
de modo que el flujo del campo ~
E también puede escribirse en la forma
Φ =
Z
V
∇ · ~
E dV (1.3.8)
lo que conduce a la igualdad
1
ε0
Z
V
ρ(~
r ) dV =
Z
V
∇ · ~
E dV . (1.3.9)
Puesto que esta igualdad es válida para todo volumen V, ella implica que
∇ · ~
E(~
r ) =
1
ε0
ρ(~
r ) , (1.3.10)
igualdad que puede ser interpretada como la forma diferencial de la ley de
Coulomb. Esta expresión es una de las ecuaciones fundamentales de la Elec-
trodinámica.
La densidad de carga ρ que aparece en (1.3.10) debe entenderse en forma muy
general. Con ella se puede expresar cualquier distribución de carga: cargas pun-
tuales, distribución lineal λ, de superficie σ o volumétrica ρ.
Dos ejemplos:
(1) si se estudia un campo eléctrico (1.2.1) que proveniente de un conjunto de
cargas puntuales se obtiene
R
V
ρdV =
P
k qk, esto es la suma sobre todas las
cargas que están dentro del volumen V;
1.3. LEY DE GAUSS Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

(2) si el campo proviene de una densidad de carga superficial σ(~
r ) definida en una
superficie S se tiene que
R
ρ dV =
R
S(V)
σ dS donde el dominio de integración
S(V) es la parte de la superficie S que queda dentro del volumen V.
Ejercicio 1.3-4. Utilizando la ley de Gauss calcule en cualquier punto del
espacio el campo eléctrico debido a un cilindro recto infinito de radio a con
densidad de carga uniforme ρ0.
1.4. Potencial eléctrico
Mientras se esté estudiando electrostática los campos eléctricos son estrictamente
el efecto de la presencia de cargas tal como se ha dicho hasta aquı́. Esos campos,
como puede verse —por ejemplo de (1.2.2)— son irrotacionales, es decir,
∇ × ~
E(~
r ) = 0 . (1.4.1)
Esta propiedad seguirá siendo válida durante todo el estudio de fenómenos elec-
trostáticos y corrientes continuas. Si un campo es irrotacional la integral de
camino
Z~
b
~
a
~
E · d~
r (1.4.2)
no depende del camino que se escoja para integrar entre dos puntos arbitrarios ~
a,
~
b. En tal caso tiene sentido definir una función escalar V(~
r ), llamada potencial
eléctrico, por medio de,
V(~
r ) = −
Z~
r
~
r0
~
E(~
r ′
) · d~
r ′
(1.4.3)
donde ~
r0 es un punto arbitrario para el cual se escoge que el potencial eléctrico
sea nulo. En otras palabras, la función potencial eléctrico está definida, salvo
por una constante aditiva que se asocia a la elección del punto que señala ~
r0.
Esta arbitrariedad es usada para fijar el valor del potencial en un punto escogido:
V(~
r0 ) = 0 . El potencial es una función continua salvo en puntos ~
r donde ~
E(~
r )
sea divergente.
La definición (1.4.3) es equivalente a decir que V(~
r ) es una función escalar tal
que,
~
E(~
r ) = −∇V(~
r ) . (1.4.4)

El campo eléctrico apunta en la dirección en que el potencial decrece más rápi-
damente.
Alessandro Volta (1745-1827) nació en la ciudad de Como (al norte
de Milán, muy cerca de la frontera con Suiza), en Italia. En 1800 in-
ventó la primera pila eléctrica, generando con ella, corriente eléctrica
continua. En 1780 su amigo Luigi Galvani observó que el contacto
de diferentes metales en el músculo de una rana originaba corriente
eléctrica. Volta se convenció que el tejido animal no era necesario.
La posición de Volta causó una animada controversia. En 1800 Vol-
ta, con 55 años de edad, logró el funcionamiento de la primera pila
eléctrica. Esta consistı́a en una “torre” de discos uno sobre el otro
(discos apilados) alternadamente de zinc y plata.
Posteriormente se agregó un medio lı́quido que permite que los iones
presentes se muevan entre el ánodo y el cátodo.
Es de particular interés estudiar el potencial eléctrico en distintas situaciones
fı́sicas y determinar la forma de las superficies en las que el potencial tiene un
valor constante: las superficies equipotenciales. Debido a la propia definición
de gradiente se puede afirmar que el campo eléctrico es perpendicular a las
superficies equipotenciales.
De (1.3.10) y (1.4.4) resulta la ecuación de Poisson para el potencial,
∇2
V(~
r ) = −
1
ε0
ρ(~
r ) . (1.4.5)
Esta ecuación es una de las formas útiles para determinar la función potencial para
diversas distribuciones de carga. Lo importante es saber resolver la ecuación de
Poisson con las condiciones de borde correctas. En las zonas donde la densidad
de carga es nula la ecuación anterior tiene lado derecho nulo y se denomina
ecuación de Laplace.
Se puede comprobar que el potencial para una carga puntual q ubicada en un
punto arbitrario ~
rq es
Vq(~
r ) =
q
4πε0

1
k~
r −~
rqk
−
1
k~
r0 −~
rqk

. (1.4.6)
1.4. POTENCIAL ELÉCTRICO Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Basta calcular el gradiente de esta expresión, multiplicado por −1 para comprobar
que se obtiene el campo de una carga puntual.
La generalización de lo anterior al caso del potencial de un conjunto de cargas
es trivial, ya que la propiedad de superposición del campo eléctrico y la relación
lineal que conecta al potencial con el campo eléctrico permite asegurar que el
potencial de un conjunto de cargas es la suma de los potenciales debidos a cada
una de ellas ,
V(~
r ) =
1
4πε0
X
k
qk

1
k~
r −~
rkk
−
1
k~
r0 −~
rkk

. (1.4.7)
Como puede verse, este potencial está definido de modo que se anula en un
punto ~
r0 arbitrario.
Escogiendo ~
r0 infinito, el potencial V(~
r ) de un conjunto discreto de cargas pun-
tuales qk con posiciones ~
rk es
V(~
r ) =
1
4πε0
X
k
qk
k~
r −~
rkk
. (1.4.8)
El potencial para el caso de una distribución continua es semejante. Basta cambiar
las sumas por integrales sobre los elementos dq de carga del sistema,
V(~
r ) =
1
4πε0
Z
1
k~
r −~
r ′k
−
1
k~
r0 −~
r ′k

dq(~
r ′
) . (1.4.9)
La expresión para dq depende de la dimensión de la fuente continua,
dq(~
r ′
) =











λ(s′
) ds′
donde ~
r ′
= ~
r ′
(s) recorre la lı́nea cargada
σ(~
r ′
) dS′
donde ~
r ′
recorre la superficie cargada
ρ(~
r ′
) dS′
donde ~
r ′
recorre el volumen cargado
(1.4.10)
Ejercicio 1.4-5. Demostrar que el potencial eléctrico debido a un alambre
rectilı́neo infinito con densidad de carga uniforma λ0 es
V = −
λ0 log(ρ/ρ0)
2πε0
, (1.4.11)
donde ρ es la distancia perpendicular entre la recta cargada y el punto en que se
evalúa el potencial y ρ0 representa la distancia perpendicular desde el punto de

referencia (~
r0) y el alambre cargado. En este caso particular no es posible escoger
el punto de referencia ni sobre el alambre ni en infinito.
Ejercicio 1.4-6. Demostrar que el potencial eléctrico para ρ a debido a
una superficie cilı́ndrica de radio a con distribución de carga uniforme σ0 = λ0
2πa
es
V(ρ) = −
λ0
2πε0
log(ρ/ρ0) . (1.4.12)
La ecuación (1.4.11) y (1.4.12) muestran que las equipotenciales son superficies
cilı́ndricas centradas en el eje del sistema. Este problema puede resolverse tanto
utilizando la definición del potencial dada en (1.4.3) haciendo uso del resultado
(1.2.4), como también integrando directamente (1.4.9) con la densidad uniforme
conocida.
Como se verá en (1.6.8) el campo eléctrico producido por una distribución de
cargas de tamaño finito (es decir, cabe en una esfera de radio finito), medido a
distancia suficientemente lejos de la fuente, se comporta como el campo (1.1.4)
de una carga puntual con carga q igual a la carga total de la distribución. Una
buena aproximación para el potencial a esa misma gran distancia es el potencial
(1.4.6) de una carga puntual. En otras palabras, todo campo y potencial de
una fuente de tamaño finito y carga neta no nula tiene un comportamiento
colombiano a distancias suficientemente grandes de la distribución de cargas.
En mecánica la energı́a potencial de una partı́cula, asociada a una fuerza con-
servativa ~
F(~
r ) se define como
U(~
r ) = −
Z~
r
~
r0
~
F · d~
r .
Ya se definió en (1.1.5) la fuerza electrostática ~
F = q~
E sobre una carga puntual
q en presencia de un campo eléctrico externo. De esto se infiere una relación
directa entre esta energı́a potencial y el potencial V(~
r )
U(~
r ) = qV(~
r ) . (1.4.13)
1.5. Algoritmo para la ecuación de Poisson
Considérese el caso bidimensional (algo semejante se puede hacer en 3D) de
la ecuación de Poisson ∇2
Φ = G. Discretizando el espacio con un reticulado
1.5. ALGORITMO PARA LA ECUACIÓN DE POISSON Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

cuadrado de paso h la ecuación se puede representar en la forma
Φi+1,k − 2Φi,k + Φi−1,k
h2
+
Φi,k+1 − 2Φi,k + Φi,k−1
h2
= Gik . (1.5.14)
Básicamente el algoritmo es un método “de relajación”: inicialmente se coloca
valores arbitrarios en cada nodo del reticulado y luego se hace repetidamente el
reemplazo
Φi,k ←
1
4

Φi+1,k + Φi−1,k + Φi,k+1 + Φi,k−1 − h2
Gik

(1.5.15)
en cada nodo, cuidando respetar las condiciones de borde. La expresión anterior
resulta de despejar formalmente Φi,k de (1.5.14). Se está suponiendo que el
problema tiene condiciones de borde rı́gidas.
Si se aplica (1.5.15) reiteradamente, se puede demostrar que Φik converge a la
solución del problema. Un error común es intentar usar dos arreglos Φi,k, uno
para los valores actuales y otro para los nuevos que van resultando de (1.5.15),
pero esa forma de proceder no siempre converge. Para usar este algoritmo se
debe tener un solo arreglo Φi,k.
Una variante de (1.5.15) es
Φi,k ← (1−ω) Φi,k+
ω
4

Φi+1,k + Φi−1,k + Φi,k+1 + Φi,k−1 − h2
Gik

(1.5.16)
donde 0 ≤ ω ≤ 2 es un parámetro que acelera la convergencia de este método
de relajación cuando se cumple ω 1. Sin embargo si ω está muy próximo a 2
el algoritmo se puede hacer inestable y no converge.
1.6. Dipolo eléctrico y expansión multipolar
Es normal que el cálculo del campo eléctrico que produce una fuente cargada
arbitraria no pueda ser calculado en forma analı́tica. En tales casos es necesario
hacer ciertas aproximaciones. La que se verá en este capı́tulo corresponde a la
aproximación del potencial eléctrico de una fuente finita, estimado para distancias
grandes de la fuente.

1.6.1. Dipolo eléctrico
Se calculará el potencial y el campo causados por un par de cargas puntuales
(+q) y (−q) separados por una distancia δ. Sea O′
un punto arbitrario sobre la
recta que une a las dos cargas puntuales. Su posición es ~
r ′
. Las posiciones de
las cargas q y −q, con respecto a O′
están dadas por ~
a y ~
b respectivamente. La
.
∆− a
q
−q
P
∆
a
b
O’
O
r’ r
Figura 1.4: Dos cargas q y −q separadas por una distancia a+b crean un potencial eléctrico
Vq,−q en P cuya aproximación dipolar está dada por (1.6.2).
distancia entre las cargas es δ = a + b. Se usará la convención V(∞) = 0. Se
desea determinar el potencial en un punto muy lejano arbitrario P con posición
~
r. El vector desde O′
hasta P es ~
∆ = ~
r −~
r ′
. El vector desde la carga q hasta el
punto P es ~
r −~
r ′
− ~
a = ~
∆ − ~
a. El potencial en P debido solamente a la carga
q es
Vq(~
r ) =
q
4πε0k~
∆ − ~
ak
≈
q
4πε0∆
q
1 − 2~
a·~
∆
∆2 + O( a
∆
2
)
≈
q
4πε0∆
1 +
~
a · ~
∆
∆2
!
(1.6.1)
Sumando los potenciales debidos a las cargas q y −q, ambos evaluados en ~
r,
1.6. DIPOLO ELÉCTRICO Y EXPANSIÓN MULTIPOLAR Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

resulta
Vq,−q(~
r ) =
q
4πε0
~
δ
k~
r −~
r ′k3
· (~
r −~
r ′
) (1.6.2)
donde ~
δ = ~
a − ~
b es el vector que va de −q hasta q. Este resultado no depende
explı́citamente del punto O′
particular escogido.
Nótese que Vq,−q(~
r ) decrece como el inverso del cuadrado de la distancia ∆
entre el sistema de las dos cargas y el punto P donde es evaluado.
Es muy conveniente idealizar al par (q, −q) a distancia δ como un dipolo puntual
~
p, que se obtiene al tomar el lı́mite q → ∞ y simultáneamente δ → 0, de tal
modo que
~
p = lı́m q~
δ (1.6.3)
permanezca finito.
La razón de tomar este lı́mite es por un lado, que en él todas las aproximaciones
hechas en los pasos anteriores pasan a ser exactas y por otro lado, fı́sicamente los
dipolos que interesan son muy pequeños y su extensión δ es macroscópicamente
despreciable. Ejemplo tı́pico es la molécula de agua.
La expresión (1.6.2) se puede escribir,
Vdipolo(~
r ) =
~
p · (~
r −~
r ′
)
4πε0k~
r −~
r ′k3
(1.6.4)
=
~
p
4πε0
· ∇′ 1
k~
r −~
r ′k
y representa al potencial en ~
r de un dipolo ~
p ubicado en ~
r ′
.
Si se tiene un conjunto de cargas q1, q2, ...qN tal que su suma sea nula, Q =
P
k qk = 0, se define el momento dipolar eléctrico asociado a este sistema como
la suma
~
p =
N
X
k=1
qk ~
rk (1.6.5)
Es fácil comprobar que cuando la suma de las cargas es nula, Q = 0, esta
definición no depende de la elección del origen.

00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
r’
r
Figura 1.5: Interesa el campo lejano debido a una fuente definida por una distribución
volumétrica ρ(~
r ′
) de carga no nula en una zona acotada.
1.6.2. Expansión multipolar
Sea una fuente finita definida por una distribución volumétrica ρ(~
r ) de carga. El
potencial de esta fuente es (ver (1.2.3) y (1.4.9)),
V(~
r ) =
1
4πε0
Z
ρ(~
r ′
) dV′
k~
r −~
r ′k
(1.6.6)
Se escoge el origen en un punto cercano a la fuente, para que el vector ~
r ′
tenga
una magnitud acotada, y se elige un punto ~
r lejos de la fuente para que se pueda
considerar r ≫ r ′
. A continuación se hace una expansión como la que llevó a
(1.6.1), obteniéndose
1
k~
r −~
r ′k
=
1
r
+
~
r ·~
r ′
r3
+ ... . (1.6.7)
Es claro que (1.6.7) es una serie cuyos términos pueden deducirse sin mayor
dificultad.
Con (1.6.7) el potencial puede escribirse como
V(~
r ) =
1
4πε0
Z
ρ(~
r ′
)

1
r
+
~
r ·~
r ′
r3
+ ...

dV′
=
1
4πε0
Q
r
+
1
4πε0
~
p ·~
r
r3
+ ... , (1.6.8)
donde,
Q =
Z
ρ(~
r ′
) dV′
= carga total
~
p =
Z
~
r ′
ρ(~
r ′
) dV′
= momento dipolar total
1.6. DIPOLO ELÉCTRICO Y EXPANSIÓN MULTIPOLAR Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

El resultado (1.6.8) demuestra que el potencial de una fuente finita arbitra-
ria, visto desde suficiente distancia, está dominado por una forma coulombiana
(1.4.6) en la convención en que V(∞) = 0. Pero si Q = 0, ~
p tiene un valor
independiente de la elección del origen, tal como en (1.6.5).
1.7. Generalidades sobre dieléctricos
Hasta ahora solo se ha estudiado el campo eléctrico en el vacı́o. La nube electróni-
ca negativa en torno a los iones o centros cristalinos de todo material, aislante
o conductor, no es necesariamente simétrica, lo que tiene por efecto que las
moléculas se comporten como pequeños dipolos.
En un material dieléctrico aislante los electrones se mueven en torno a los centros
cristalinos y están firmemente ligados a ellos. Un material dieléctrico aislante
puede modelarse como un agregado de pequeños dipolos.
Si se aplica un campo eléctrico a través de un trozo de material aislante, los
dipolos moleculares en el material tienden a orientarse en la dirección del campo
eléctrico y se detectan densidades de carga superficiales positivas en un lado de
la muestra y negativas en otro lado. Esta se denomina densidad de carga de
polarización.
La existencia de una densidad de carga superficial (de polarización) en el caso
de un material aislante se debe a la orientación de los dipolos moleculares en
direcciones cercanas a la dirección del campo eléctrico. Esta orientación privile-
giada provoca que las puntas de los dipolos que hay en la superficie no estén
neutralizadas por las colas de otros dipolos.
La densidad de carga superficial —que aparece como efecto de la polarización del
medio— causa la existencia de un nuevo campo eléctrico, el cual, en el interior del
material, apunta en dirección opuesta al campo externo que causó la polarización.
El efecto neto es que el campo eléctrico dentro de un material polarizable sea
más débil que en el exterior.
Hay dos usos para la palabra “dieléctrico”: a veces se refiere senci-
llamente a materiales polarizable (y esto comprende a aislantes y
conductores), ya que la polarizabilidad es la que determina las pro-
piedades dieléctricas de todos los materiales. Pero muchos autores
restringen el uso de “dieléctrico” a materiales aislantes. Acá se usa
el primer significado.

1.8. Medios polarizables
Un medio polarizable puede ser caracterizado por la densidad de dipolos ~
P que
normalmente será llamada sencillamente la polarización ~
P(~
r) o vector de polari-
zación. El momento dipolar d~
p asociado a un elemento de volumen dV definido
en torno a un punto ~
r se escribe como
d~
p = ~
P(~
r ) dV . (1.8.1)
En resumen, el efecto de un campo eléctrico externo sobre un material es par-
cialmente orientar a sus dipolos a nivel molecular.
El campo ~
P tiende a apuntar de zonas negativas a positivas.
El potencial en ~
r de un pequeño dipolo d~
p ubicado en ~
r ′
puede expresarse en la
forma que se vio en (1.6.4),
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Figura 1.6: Dipolos y cargas libres
dV(~
r ) =
d~
p
4πε0
· ∇′ 1
k~
r −~
r ′k
. (1.8.2)
En la expresión anterior se puede reemplazar el elemento dipolar d~
p por el pro-
ducto del vector polarización ~
P por el correspondiente elemento de volumen dV′
y ası́ el potencial se obtiene integrando sobre todo el volumen V (ver Figura 1.5)
V(~
r ) =
1
4πε0
Z
V
~
P(~
r ′
) · ∇′ 1
k~
r −~
r ′k
dV′
. (1.8.3)
esto es, el vector ~
r ′
recorre el volumen V del medio polarizable.
La última integral se puede hacer por partes utilizando la identidad
~
P(~
r ′
) · ∇′ 1
k~
r −~
r ′k
= ∇′
·
~
P(~
r ′
)
k~
r −~
r ′k
!
−
1
k~
r −~
r ′k
∇′
· ~
P(~
r ′
) (1.8.4)
1.8. MEDIOS POLARIZABLES Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

El primer término a la derecha conduce a una integral sobre la superficie del
material y por lo tanto
V(~
r ) =
1
4πε0
I
S
~
P(~
r ′
) · d~
S′
k~
r −~
r ′k
−
1
4πε0
Z
V
∇′
· ~
P(~
r ′
)
k~
r −~
r ′k
dV′
. (1.8.5)
Al comparar esta forma del potencial con aquella que se obtiene de (1.4.9) con
dq = σPdS′
+ρPdV′
usando~
r0 = ~
∞ se obtiene una expresión para las densidades
de superficie y volumétricas debido a la polarizabilidad del medio,
σP(~
r ) = ^
n · ~
P(~
r ) = Pn,
ρP(~
r ) = −∇ · ~
P(~
r )
(1.8.6)
Como de costumbre, el vector normal ^
n apunta hacia afuera del material dieléctri-
co aislante.
Las distribuciones de carga de polarización deben su existencia tan
solo a la presencia de dipolos en la materia y los dipolos son objetos
de carga total nula. Esto implica que un trozo de materia neutra po-
larizada tiene que tener carga total nula, lo que se comprueba más
adelante en (1.9.1). Estas distribuciones aparecen porque localmen-
te los dipolos pueden estar de tal forma ordenados que localmente
producen el efecto de cargas no nulas.
Si se compara la segunda de las ecuaciones (1.8.6) con ∇ · ~
E = ρ/ε0 pareciera
que es posible interpretar a −~
P/ε0 como el campo eléctrico debido a la fuente
ρP. Esta comparación no es correcta, sin embargo, porque las condiciones de
borde que debe obedecer ~
P no son necesariamente las que corresponden a un
campo eléctrico.
Las relaciones (1.8.6) establecen una conexión entre el concepto de vector de
polarización ~
P y las densidades de carga de polarización. Pero no hay forma de
calcular estas cantidades sin un conocimiento del comportamiento del material
particular de que se trate. Lo usual es que, de un modo u otro, se dé como dato
el vector ~
P, o bien, lo que resultará equivalente, la constante dieléctrica ε del
material definida más adelante en §1.10.
En §1.10 se incorporarán nuevas hipótesis, válidas para muchos materiales, y que
permiten calcular las densidades de carga de polarización.

Las densidades de carga de polarización que se han escrito en (1.8.6) normalmen-
te aparecen como consecuencia de la aplicación de un campo eléctrico externo
sobre el material, y se deben, como ya se explicó, a la orientación de los dipolos
moleculares. De aquı́ que estas densidades describan cargas que se comportan en
forma muy diferente a las cargas depositadas sobre el material.
Para subrayar la diferencia entre las cargas que no son de polarización de las
cargas de polarización que describen σP y ρP, se llama cargas libres a las primeras
mientras las segundas se denominan cargas de polarización.
Los materiales, llamados ferroeléctricos, pueden presentar una polarización per-
manente detectable macroscópicamente, es decir, en estos materiales puede
haber un campo ~
P, privilegiando una dirección macroscópicamente sin que se
esté aplicando un campo eléctrico externo. Dos ejemplos son Ba Ti O3 y Pb Ti O3.
En general se supondrá que el material en estudio no es ferroeléctrico.
En la superficie que separa a dos medios polarizados aparece una densidad de
carga de polarización superficial que resulta ser la superposición de dos contri-
buciones:
σtotal
P (~
r ) =

~
P1(~
r ) − ~
P2(~
r )

· ^
n , (1.8.7)
donde ^
n es el vector unitario normal a la superficie de contacto y que apunta
desde el medio 1 hacia el medio 2.
1.9. Desplazamiento eléctrico
Cuando un aislante es sometido a un campo eléctrico externo debiera resultar
carga total de polarización nula, ya que no es más que el efecto de un reordena-
miento de dipolos.
Esto es fácil de comprobar haciendo una integral de ambas densidades usando
para ello un volumen V que contenga al volumen del aislante
QP =
I
∂V
σP(~
r )dS +
Z
V
ρP(~
r )dV . (1.9.1)
Al reemplazar las expresiones (1.8.6) es inmediato ver que da QP = 0.
Si el aislante además tiene cargas libres distribuidas en su volumen, estas últimas
son las únicas que contribuyen a la integral de flujo del campo eléctrico a través
1.9. DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

de una superficie que encierra al aislante,
I
~
E(~
r ) · d~
S =
Qℓ
ε0
(1.9.2)
es decir, un aislante no altera el valor del flujo a través de superficies cerradas
externas a él.
Superficie de Gauss
000000000000000000000
000000000000000000000
000000000000000000000
000000000000000000000
000000000000000000000
000000000000000000000
000000000000000000000
000000000000000000000
000000000000000000000
000000000000000000000
111111111111111111111
111111111111111111111
111111111111111111111
111111111111111111111
111111111111111111111
111111111111111111111
111111111111111111111
111111111111111111111
111111111111111111111
111111111111111111111
dielectrico
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
Superficie de Gauss
Sc
SG1
Sc1
S
dielectrico
Figura 1.7: Se estudia tanto el caso en que la superficie de Gauss encierra totalmente al
dieléctrico aislante como el caso en que solo parte del dieléctrico está dentro de la superficie de
Gauss. En la figura de la derecha la superficie de Gauss corta al volumen diélectrico de modo
que la carga encerrada por S no es toda la carga del material.
Si se aplica la ley de Gauss a una superficie S parcialmente dentro del dieléctrico
(figura 1.7 derecha), la superficie Sc del dieléctrico tiene una parte Sc1 dentro de
S y a su vez S tiene una parte SG1 dentro del dieléctrico. Sea VI el volumen de
esta intersección y Qℓ la carga libre contenida en este volumen (y por lo tanto
es la carga encerrada por S). La ley de Gauss establece que
I
S
~
E(~
r ) · d~
S =
1
ε0

Qℓ +
Z
Sc1
σP dS +
Z
VI
ρP dV

=
1
ε0

Qℓ +
I
Sc1
~
P · d~
S −
Z
VI
∇ · ~
P dV

=
1
ε0

Qℓ +
I
Sc1
~
P · d~
S −
Z
Sc1∪SG1
~
P · d~
S

=
1
ε0

Qℓ −
Z
SG1
~
P · d~
S

=
1
ε0

Qℓ −
I
S
~
P · d~
S

(1.9.3)

o bien, definiendo
~
D(~
r ) = ε0
~
E(~
r ) + ~
P(~
r ) (1.9.4)
se obtiene
I
S
~
D(~
r ) · d ~
S = Qℓ = carga libre encerrada por superficie S (1.9.5)
material ε/ε0 material ε/ε0
vacı́o 1 mercurio 1.00074
vapor de agua 1.00785 aire seco 1.00054
papel seco 2 polietileno 2.3
benceno 2.28 ámbar 2.8
calcio 3 sucrosa 3.3
azufre 3.5 arroz seco 3.5
cloroformo 3.7 vidrio 3.7 - 10
mentol 4 cuarzo 4.2 - 4.4
pyrex 4.8 diamante 5.5 - 10
sal común 5.9 zirconio 12
óxido de hierro 14.2 óxido de cobre 18.1
carbonato de plomo 18.1 alcohol etı́lico a 0◦
C 28.4
óxido de titanio 40-50 agua pura a 20◦
C 80.1
Cuadro 1.1: Constante dieléctrica de algunas sustancias relativa a la del vacı́o.
El campo vectorial ~
D definido en (1.9.4) es tan importante que Maxwell le dio
nombre propio, vector desplazamiento eléctrico. La ley (1.9.5) es equivalente a
∇ · D(~
r ) = ρℓ(~
r ) (1.9.6)
donde ρℓ es la densidad volumétrica de carga libre en el material.
En las expresiones anteriores debe entenderse que ~
E es el campo eléctrico total. Él
se debe a las fuentes externas, a las cargas libres y a las cargas de polarización. Es
un verdadero campo electrostático. En cambio el vector desplazamiento, o mejor,
~
D/ε0 —que satisface una ecuación de la forma (1.3.10)— no es totalmente
asimilable a un campo electrostático cuyas fuentes serı́an las cargas libres debido
1.9. DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

a que, en general, su rotor puede ser no nulo. En efecto, calculando el rotor de
la expresión (1.9.4), en electrostática se obtiene que
∇ × ~
D = ∇ × ~
P . (1.9.7)
En general estos dos rotores no son nulos lo que debe contrastarse con (1.4.1).
Para algunos efectos, sin embargo, es posible hablar de −~
P/ε0 como el “campo
eléctrico” debido a las cargas de polarización y ~
D/ε0 como el “campo eléctrico”
debido a las cargas libres. El punto delicado está en el tipo de condiciones de
borde que satisfacen estas funciones vectoriales, las que serán discutidas en §1.11.
1.10. Dieléctricos lineales, isótropos
y comúnmente homogéneos
El vector ~
P de polarización de un material rara vez es significativamente distinto
de cero cuando no hay un campo eléctrico externo que esté polarizando al medio.
Los materiales ferroeléctricos, mencionados al final de §1.8 —que pueden tener
polarización permanente— son un capı́tulo aparte en fı́sica y no se hablará más
de ellos.
Cuando, por efecto de un campo eléctrico aplicado, un material está polariza-
do, la orientación de ~
P está relacionada con la orientación de ~
E en ese mismo
punto, pero ello no significa que tengan que ser paralelos. Más aún, los sólidos
normalmente tienen una estructura cristalina y por lo tanto tienen direcciones
privilegiadas. No es de extrañar que la polarización de un cristal tienda a favo-
recer ciertas direcciones. Esto explica por qué es razonable pensar que ~
P no sea
paralelo a ~
E. Pero lo usual es que, mientras ~
E no sea muy intenso, ~
P responda
linealmente a la intensidad del campo eléctrico, y ası́ en cada punto el vector de
polarización resulta proporcional a ~
E.
Es bastante usual que un sólido no sea un monocristal, es decir, no tenga sus ejes
especiales orientados de igual manera en toda la extensión de una muestra. Lo
contrario es lo común, un sólido tiene una estructura granular, en que cada grano
microscópico tiene una orientación al azar. Esto hace que macroscópicamente un
sólido suela no presentar direcciones privilegiadas. En electrostática tal propiedad
se denomina isotropı́a: todas las direcciones son iguales.
Un material dieléctrico aislante se dice lineal si en cada punto se satisface que
k~
Pk = αk~
Ek, se dice isótropo si ~
P = α~
E; y se dice homogéneo si α tiene el mismo

valor en todos los puntos del material. Como es común a muchas afirmaciones en
fı́sica de objetos extendidos, cuando se habla del mismo valor en todos los puntos
realmente se quiere decir que las variaciones que pueden haber de un punto a
otro, a escala de pocos cientos de átomos, se promedian ya que no tienen efecto
importante en el comportamiento de muestras que tienen miles de billones de
átomos.
A partir de ahora se trabajará con materiales que tienen todas estas propiedades,
excepto por la homogeneidad, y por lo tanto se supondrá que se cumple
~
P(~
r ) = (ε(~
r ) − ε0)~
E(~
r ) (1.10.1)
con ε depende del material de que se trate. Si ε depende de la posición el material
no es homogéneo. Puesto que ésta es una relación local el campo eléctrico a
considerar es aquel que hay en el mismo punto ~
r donde se evalúa ~
P.
De (1.9.4) resulta que
~
D(~
r ) = ε(~
r )~
E(~
r ) . (1.10.2)
En todo lo que sigue se supondrá que el material en estudio es homogéneo y por
tanto ε es una constante.
La cantidad (ε − ε0)/ε0 es un número independiente del sistema de unidades
e indica cuán polarizable es un medio. Para el vacı́o, por definición la polariza-
bilidad vale cero. Para el agua en estado lı́quido y temperatura ambiente el valor
es extraordinariamente grande, alrededor de 80, pero en estado sólido (hielo)
disminuye a poco más de 2, lo que señala que la polarizabilidad tiene también
que ver con la movilidad de las moléculas. Para el aire seco es muy chico: 0,0003,
lo que a menudo justifica tratar al aire como si fuese vacı́o.
Al reemplazar (1.10.2) en (1.9.6) se observa que el campo eléctrico satisface
∇ · ~
E(~
r ) =
ρℓ(~
r )
ε
, (1.10.3)
que es idéntica a la conocida relación (1.3.10). Pero aquı́ pareciera que solo las
cargas libres son fuente del campo eléctrico y además que la constante dieléctrica
que debe usarse es ε. La última expresión es válida tan solo si ε es uniforme, de
otro modo se tiene
∇ · (ε ~
E) = ρℓ (1.10.4)
que no implica (1.10.3).
1.10. DIELÉCTRICOS LINEALES, ISÓTROPOS
Y COMÚNMENTE HOMOGÉNEOS

Eo
Eo
P
σ
P
σ
−
−n
n
δ
A
B
Figura 1.8: Una capa plana ais-
lante de ancho delta está sumergi-
da en un campo eléctrico que en
vacı́o es ~
E0.
Lo importante de (1.10.3) es que da un méto-
do de cálculo que puede ser muy cómodo. Para
calcular campos eléctrico, o potenciales, se puede
escoger usar solo las cargas libres usando como
constante dieléctrica ε la que se tiene dentro del
material. Alternativamente, si se toma en cuenta
a las cargas de polarización debe usarse ε0.
De (1.10.3) se desprende que el campo de una
partı́cula puntual de carga q inmersa en un medio
dieléctrico aislante de constante dieléctrica ε es
~
E(~
r ) =
q
4πε
~
r −~
rq
k~
r −~
rqk3
(1.10.5)
que tiene la forma de (1.1.4) pero esta vez el
denominador contiene ε.
♠ Considere una esfera aislante de radio b con hueco esférico vacı́o de radio a,
(a b) y constante dieléctrica ε. Si la superficie interior de radio a tiene carga
libre uniformemente distribuida con densidad σℓ, determine ~
D, ~
E y ~
P en todas partes.
Determine también σP en las superficies de radio a y b y ρP en el volumen aislante.
1.11. Condiciones de borde
Para determinar potenciales y campos eléctricos las condiciones de borde juegan
un papel crucial. Lo más general es considerar la superficie de contacto entre
dos medios dieléctricos. Tal superficie suele ser llamada la superficie interfacial o
interfaz. En lo que sigue se comenzará suponiendo que esa superficie, aparte de
tener posibles cargas debido a polarización, tiene cargas libres descritas por una
densidad superficial σℓ(~
r ). Habiendo fuentes en una superficie, se tendrá discon-
tinuidades tanto del campo eléctrico como del desplazamiento ~
D. Con lo anterior
se calculará separadamente la discontinuidad de las componentes tangenciales y
de las componentes normales a la interfaz. Para los cálculos se utiliza que una
superficie suave siempre puede ser aproximada a un plano en una vecindad sufi-
cientemente pequeña y ası́, para hacer estas deducciones se hablará del “plano
de contacto” entre el medio (1) abajo y el medio (2) arriba.

En lo que sigue se considera un punto cualquiera C de la interfaz entre los medios
1 y 2. El valor vectorial de ~
E en C al acercarse por el medio 1 se le denomina ~
E1
y ~
E2 cuando se acerca por el medio 2. Estos dos campos y el vector ^
n normal a
la interfaz en C definen un solo plano. Se llama ^
t al vector tangente en C a la
interfaz que está en este plano.
1.11.1. Componentes tangenciales
Se hace una integral de ~
E a lo largo de un camino cerrado infinitesimal rectangular
perpendicular al plano de contacto (Figura 1.9), con dos lados paralelos a la
tangente y que cruza de un medio al otro. Tal integral da cero en electrostática
porque el campo es irrotacional 1
. Es fácil convencerse que las partes normales
del camino se cancelan entre sı́ y solo se obtiene la contribución de las partes
tangentes, dando,
E1t = E2t (1.11.1)
donde Eat ≡ ^
t · ~
Ea en P. Esta relación dice que la componente tangencial del
campo eléctrico es continua en una interfaz.
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111
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11111111111111111111111111111
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11111111111111111111111111111
1
2
Figura 1.9: Un corte del contacto entre los medios 1 y 2 muestra también un
camino rectangular cerrado perpendicular al plano de contacto.
La relación anterior también puede escribirse como
ε2D1t = ε1D2t (1.11.2)
1
Se dice que una función vectorial ~
H(~
r ) es irrotacional si la integral de
R
~
H·d~
r no depende
del camino, sino tan solo de los puntos extremos de integración.
1.11. CONDICIONES DE BORDE Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

La última expresión muestra que el rotor de ~
D no es cero en la interfaz,
∇ × ~
D(~
r ) 6= 0 (1.11.3)
En §2.1 se verá que en situaciones electrostáticas el campo eléctrico se anula
dentro de los materiales conductores, de modo que si el medio 1 es conductor
se debe cumplir que ~
E1 = 0 y, de la ecuación (1.11.1), se desprende que el
campo eléctrico no tiene componente tangencial en el medio 2, es decir, el campo
eléctrico en 2 nace perpendicular a la interfaz.
1
2
Figura 1.10: Se dibuja una pequeña superficie cilı́ndrica perpendicular a la
superficie de contacto entre los medios “1” y “2”.
1.11.2. Componentes normales
En este caso lo que conviene es aplicar la ley de Gauss (1.9.5) para ~
D usando
un cilindro infinitesimal con eje normal a la superficie Figura 1.10. La única
contribución proviene de las tapas que hay en cada medio, lo que da
D2n − D1n = σℓ . (1.11.4)
Se establece ası́ que la componente normal del campo de desplazamiento en
general no es continuo en la interfaz. La relación anterior también se puede
escribir como
ε2 E2n − ε1 E1n = σℓ . (1.11.5)
Suponiendo, por un momento, que el campo eléctrico en el medio 1 es nulo,
(1.11.5) implica que el campo eléctrico en el medio 2, junto a la interfaz tiene
que valer
~
E(muy cercano) =
σℓ
ε2
^
n (1.11.6)
donde ^
n apunta del medio 1 al 2.

En resumen, la componente tangencial de ~
E es continua en la interfaz, en cambio
la componente normal de ~
D es continua solo si σℓ = 0. Las relaciones obtenidas
arriba determinan totalmente el tipo de condiciones de borde que debe usarse
cuando se trabaja con aislantes.
1.11.3. Refracción del campo eléctrico cuando σℓ = 0
θ1
θ2
E
E1
2
Figura 1.11: La dirección del campo
eléctrico a ambos lados de la interfaz en-
tre dos dieléctricos aislantes. Debe enten-
derse que ambos campos son evaludados
en el mismo punto de la interfaz: cada
uno es el lı́mite del valor del campo en el
respectivo medio.
Se tiene dos materiales dieléctricos “1” y
“2” en contacto y un campo eléctrico que
será denominado ~
E1 y ~
E2 en los respecti-
vos medios. Si se designa por θ1 al ángulo
que forma ~
E1 con la normal a la interfaz y
θ2 al análogo con ~
E2, (ver Figura 1.11) las
ecuaciones (1.11.1) y (1.11.5) en este caso
son
E1 sin θ1 = E2 sin θ2
(1.11.7)
ε1E1 cos θ1 = ε2E2 cos θ2 ,
de donde se obtiene que
tan θ1
tan θ2
=
ε1
ε2
. (1.11.8)
Cuando se tiene una interfaz, como se ha estado discutiendo, se produce una
densidad de cargas de polarización en esa superficie, la que se debe a la polariza-
ción de ambos medios. Es decir, la densidad total σPtot de carga de polarización
en la interfaz se debe calcular como σP1 + σP2. Un breve ejercicio que incluye
usar (1.11.8) conduce a
σPtot =
(ε1 − ε2) ε0
(ε1 − ε0)ε2
σP1 . (1.11.9)
Si ε2 ε1 se deduce que σPtot es negativo en (1.11.9) y que k~
E2k . k~
E1k. En la
situación en que el campo eléctrico en la interfaz apunta hacia el medio menos
polarizable se produce una densidad total superficial de polarización negativa y el
campo eléctrico es menor en el medio más polarizable. Todo lo anterior se refiere
a posiciones infinitesimalmente próximas a la interfaz.

Ejercicio 1.11-7. Esto implica que si se sumergen en un lı́quido aislante muy
polarizable (medio 2), una esfera cargada negativamente y una esfera dieléctrica
aislante poco polarizable (medio 1), las cargas de polarización que se inducen en
la superficie de la esfera aislante que enfrenta al conductor serán negativas y por
lo tanto va a existir una fuerza de repulsión entre ambas esferas, contrario a lo
que ocurre en el vacı́o o en aire.
1.11.4. Dos métodos
Algunos problemas en electrostática pueden ser resueltos por dos métodos que
se describen a continuación.
Con el método I se hace uso completo de la noción de medio dieléctrico de las
condiciones de borde y no es necesario recurrir a las nociones de densidades de
carga de polarización.
El método II es más primitivo. No se usan las condiciones de borde sino que
se usa todas las fuentes de carga (libre y de polarización) para calcular en forma
autoconsistente los campos.
ε
ε
k
1
2
σ
−σ
.
Figura 1.12: Dos placas dieléctricas en contacto y limitadas por planos con densidad de
carga libre ±σ.
Se verá cómo abordar el problema de la Figura 1.12 con los dos métodos. Se
comienza con el método II.
M.II: Las densidades de polarización son σP2 en la interfaz de arriba, σP1 + σP2
en la intermedia y −σP1 en la de abajo. El sistema es plano y globalmente neutro,
por lo que el campo eléctrico sobre y bajo el sistema es nulo.
El campo eléctrico en la zona 2 es ~
E2 = σ−σP2
ε0
^
k , lo que implica que
σP2 =
ε2 − ε0
ε0
(σ − σP2)

de donde se despeja que
σP2 =
ε2 − ε0
ε2
σ ⇒ ~
E2 =
σ
ε2
^
k .
En forma semejante se determina que ~
E1 = σ
ε1
^
k .
M.I: Exigiendo las condiciones de borde en las interfaces de arriba y abajo se
tiene que cumplir: 0 − ε2E2 = −σ y ε1E1 − 0 = σ. De aquı́ es inmediato
que
~
E1 =
σ
ε1
^
k , ~
E2 =
σ
ε2
^
k .
Se debiera ver que este método es bastante más sencillo, pero maneja conceptos
más elaborados.
ε
ε
1
2
2a
3a
a
V
0
V=0
Figura 1.13: La situación descri-
ta en el texto.
Ejemplo: una superficie esférica de radio a a po-
tencial V0 está rodeada de un material dieléctrico,
ε1, hasta un radio 2a , el cual a su vez está ro-
deado de material dieléctrico, ε2, hasta radio 3a.
Ver la figura 1.13. La superficie externa de ese
material está a potencial V = 0. Solo hay carga
libre (uniforme) en la superficie de radio r = a.
Se trata de decidir cuáles son las condiciones de
borde del problema y el modo de obtener el po-
tencial en la zona a ≤ r ≤ 3a.
Las condiciones de borde son



V1(a) = V0, V1(2a) = V2(2a),

ε2
dV2
dr
= ε1
dV1
dr

r=2a
, V2(3a) = 0 .
La soluciuón genérica de la ecuación de Laplace es V = α
r
+β , lo que se traduce
en que
V1(r) =
α1
r
+ β1 V2(r) =
α2
r
+ β2 .
Las condiciones de borde de más arriba determinan estas cuatro constantes.

1.12. Problemas
1.1 Un volumen definido entre dos cilindros infinitos concéntricos de radios a
y b (a b) tiene densidad de carga ρ0 mientras que el resto del espacio
está vacı́o. Determine el campo ~
E y el potencial V en todos los puntos del
espacio.
1.2 Se tiene una distribución de carga con simetrı́a esférica caracterizada por
dos radios a y b, (a b). Para r a la densidad de carga es constante,
ρ = ρ0. Para a r b hay densidad de carga que no se conoce, pero
se sabe que el potencial total en esa zona es V(r) = −K
6
r2
. Además se
sabe que en la cáscara esférica de radio r = a hay una densidad de carga
superficial σ1 uniforme y en r = b otra de valor σ2. Los valores de estas
densidades no se conocen. Los datos son: ρ0, a, b y K. Sabiendo que no
hay otras distribuciones de carga y que el potencial en el infinito es nulo,
determine: el campo eléctrico en todas partes, el potencial en todas partes,
σ1, σ2 y ρ(a r b).
1.3 Se sabe que hay una distribución de carga esféricamente simétrica en torno
a un punto O fijo, se sabe también que el flujo del campo eléctrico que
produce esta distribución a través de cualquier superficie esférica de radio
r centrada en O es
Φ =
4π r Q
ε0b
e−r/R
,
donde b y R son constantes conocidas. Determine el campo eléctrico y la
densidad de carga en todas partes. ¿Cuánto vale la carga total?
1.4 Una lı́nea semi-infinita con densidad de carga uniforme λ está ubicada sobre
el eje X, con uno de sus extremos en el origen de coordenadas. Por el punto
(−D, 0, 0) pasa un plano, paralelo al plano YZ, con densidad de carga
uniforme σ. Calcule el campo total en el punto P = (−D
2
, 0, 0). Calcule la
diferencia de potencial entre los puntos P y Q donde Q = (−2D, 0, 0).
1.5 Se calculó el potencial lejano asociado a un sistema de dos cargas puntuales
q y −q separados por una pequeña distancia δ. Calcule en forma semejante
el potencial lejano asociado a un sistema de tres cargas: [q1 = 2q, q2 =
−q, q3 = −q] ubicadas en el eje Z con coordenadas z1 = a, z2 = 0 y
z3 = −2a respectivamente.

Nota: En este problema debe demostrar que sabe hacer las aproximaciones
necesarias para calcular un potencial lejano. La forma exacta del potencial
es bastante obvia.
1.6 Un aislante sometido a un campo eléctrico suficientemente intenso se puede
convertir repentinamente en conductor. Tal proceso se llama “ruptura”.
Ruptura del aire ocurre cuando hay descarga nube-nube o nube-tierra,
fenómenos que son conocidos como “rayo”. El campo de ruptura del aire es
de aproximadamente 3 millones [Volt/metro]. ¿Cuál es el máximo potencial
al que se puede cargar una superficie esférica de radio 10 cm antes que
se produzca ruptura del aire? ¿Cuál es el radio de una superficie esférica
que puede alcanzar una carga de 1 C antes que haya ruptura del aire
circundante?
1.7 Una varilla delgada de aislante de sección A se extiende sobre el eje X desde
x = 0 hasta x = L. El vector polarización de la varilla apunta a lo largo de
ella y está dado por ~
P = (ax2
+b)^
ı. Encuentre la densidad volumétrica de
carga de polarización y la carga superficial de polarización en cada extremo.
Demuestre en forma explı́cita que la carga total de polarización se anula.
1.8 Se tiene una distribución de carga con simetrı́a esférica caracterizada por
dos radios a y b, (a b). Para r a la densidad de carga es uniforme:
ρ = ρ0. Para a r b hay densidad de carga que no se conoce pero
se sabe que el potencial total en esa zona es V(r) = −K
6
r2
. Además se
sabe que en la cáscara esférica de radio r = a hay una densidad superficial
de carga σ1 uniforme y en r = b otra de valor σ2. Los valores de estas
densidades no se conocen. Los datos son ρ0, a, b, K. Sabiendo que no
hay otras distribuciones de carga y que el potencial en infinito es cero,
determine: el campo eléctrico en todas partes, el potencial en todas partes,
σ1, σ2 y ρ(a r b).
1.9 Un plano interfacial infinito separa a dos medio aislantes semiinfinitos.
Bajo el plano hay un medio con constante dieléctrica ε1 y sobre el plano la
constante dieléctrica es ε2. La única fuente de campo eléctrico del sistema
es un disco de radio R y densidad de carga libre uniforme σ0 totalmente
contenido en el plano interfacial. Calcule el campo eléctrico sobre el eje del
disco tanto sobre como bajo el disco.
1.10 Entre dos placas infinitas paralelas (horizontales) separadas por una distan-
cia 2a hay un campo eléctrico perpendicular a las placas, lo que implica
1.12. PROBLEMAS Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

una diferencia de potencial V. El espacio entre ellas está lleno con un
dieléctrico aislante con contante dieléctrica ε1 hasta la mitad de la altura,
y de ahı́ hacia arriba hay un material aislante con constante dieléctrica
ε2 = 2ε1. Determine el valor que debe tener la densidad de carga libre que
hay en la interfaz si se mide que la densidad de carga total en ese plano
interfacial es nula.
1.11 Considere una carga puntual q sumergida en un medio dieléctrico no lineal,
cuyo vector polarización está dado por ~
P = ηk~
Ek ~
E. El campo eléctrico en
el medio se comporta aproximadamente en la forma ~
E ≈ A r−n
^
r cuando r
es muy chico (posiciones muy cercanas a la carga) y también cuando r es
muy grande. Determine los valores de A y n tanto para r ≈ 0 como para
r muy grande.
Respuesta: Cuando r es chico n = 1 y cuando r es grande n = 2. En
este último caso A =
q
Q
4πη
.

Capı́tulo 2
Electrostática y conductores
2.1. Conductores
2.1.1. Propiedades generales
Macroscópicamente un conductor es un material dieléctrico que posee cargas
libres de moverse en su volumen. Estas cargas se desplazan (corriente eléctrica)
tan pronto se aplica un campo eléctrico.
Electrostática es el estudio de cargas y campos bajo la condición de que los
campos no varı́en en el tiempo ni haya corrientes. En electrostática no hay movi-
miento de cargas, no hay corrientes. Ası́, bajo la presencia de un campo eléctrico,
las cargas en un conductor se mueven hasta que se ubican de tal manera que el
movimiento de cargas desaparece. Esto es posible solo si el campo eléctrico en
el interior del conductor anula,
~
Einterior = ~
0 . (2.1.1)
El lapso durante el cual las cargas se reubican para dar campo interior nulo escapa
a los marcos de lo que es la electrostática.
Dentro de cada elemento de volumen de un conductor la carga neta es nula
porque de lo contrario ellas producirı́an campo en el interior. En situaciones elec-
trostáticas, un conductor cargado tiene todo su exceso de cargas en la superficie.
Dicho de otra manera, ρ = 0 ya que ∇·~
E = ρ/ε0 y si ρ 6= 0, el campo no podrı́a
ser nulo.
49

Si el campo en el interior es nulo entonces el potencial en el interior de un
conductor tiene un valor único: el conductor es un volumen equipotencial.
En particular, la superficie de un conductor es una superficie equipotencial. Por
lo tanto, de la superficie de un conductor cargado nace un campo que es perpen-
dicular a esa superficie. La ley de Gauss puede aplicarse a un cilindro infinitesimal
con eje perpendicular a la superficie, y se demuestra que el campo en una ve-
cindad infinitesimal al conductor tiene un valor totalmente determinado por la
densidad superficial de cargas en ese punto:
~
D(infinitesimalmente cerca a la superficie conductora) = σℓ ^
n
que es equivalente a decir que
~
E(muy cerca a la superficie conductora) =
σℓ
ε
^
n (2.1.2)
tal como ya fue obtenido en (1.11.6).
Afirmación 1. Si un conductor cargado (carga total Q) tiene un hueco inte-
rior totalmente rodeado de materia conductora, entonces la carga se distribuye
exclusivamente en la superficie externa.
q
Q
Figura 2.1: Conductor con carga total
Q que tiene un hueco que contiene una
carga q.
Afirmación 2. Si un conductor cargado
(carga Q), pero hueco como el anterior,
contiene una carga q en la cavidad inter-
na (Figura 2.1), aparece una densidad de
carga en la superficie interior cuya integral
vale exactamente −q , y en la superficie ex-
terna aparece otra densidad de carga, cuya
integral es Q + q.
Afirmación 3. Si se tiene un conductor
hueco y neutro y una carga puntual q fuera
del conductor, se induce una densidad de
carga en la superficie externa (cuya integral
es cero) pero el campo en el hueco interior es idénticamente nulo.
Este último fenómeno suele ser denominado blindaje electrostático.
Contacto a tierra. Se dice que un conductor finito está en contacto a tierra
si su diferencia de potencial con un conductor idealmente infinito es nula.
2.1. CONDUCTORES Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

εB
εA
δ
k
conductor cargado
2
1
Figura 2.2: Una placa
conductora cargada que se-
para dos medios aislantes.
Ejemplo: se tiene una placa conductora de ancho δ
que separa a dos medios semiinfinitos con constantes
dieléctricas εA el de abajo y εB el de arriba (Figura 2.2).
Se designa 1 a su superficie inferior de la placa y a la
superior se la designa 2. La placa está cargada (carga
libre) pero no se sabe cómo esta carga se distribuye
entre las dos superficies, esto es, no se conoce el valor
de σℓ1 ni de σℓ2 sino tan solo el total σℓ:
σℓ = σℓ1 + σℓ2 (2.1.3)
Muy cerca de un conductor el campo es normal a su
superficie y es proporcional a la densidad de carga libre dividida por la onstante
dieléctrica del medio de modo que
~
EA = −
σℓ1
εA
^
k , ~
EB =
σℓ2
εB
^
k (2.1.4)
Puesto que en general el vector de polarización en un medio “c” es ~
Pc = (εc −
ε0) ~
Ec y σPc = ~
Pc · ^
n, donde ^
n es la normal que sale del medio diléctrico, se
obtienen
σP1 = −
εA − ε0
εA
σℓ1 , σP2 = −
εB − ε0
εB
σℓ2 . (2.1.5)
Las densidades de carga en cada una de las dos superficies son la suma de la
densidad de carga libre y de polarización. Si se suman las expresiones que ya se
conoce se obtiene
σ1 =
ε0 σℓ1
εA
, σ2 =
ε0 σℓ2
εB
. (2.1.6)
Con estas densidades de carga total en las caras 1 y 2 de la placa se puede
calcular el campo eléctrico que ellas implican en el interior del conductor, el cual
debe ser nulo. Resulta que tal campo es proporcional a σ2 −σ1, y como el campo
debe ser cero se debe exigir que σ1 = σ2. Usando (2.1.6) lo anterior implica que
εB σℓ1 = εA σℓ2 . (2.1.7)
Combinando la última relación con (2.1.3) se obtiene
σℓ1 =
εA σℓ
εA + εB
, σℓ2 =
εB σℓ
εA + εB
(2.1.8)

con lo que se ha logrado dar una solución basada en los datos εA, εB, σℓ. Lo
anterior implica que
~
EA = −
σℓ
εA + εB
y ~
EB =
σℓ
εA + εB
= −~
EA . (2.1.9)
De (2.1.6) y (2.1.8) se obtiene que
σ1 =
ε0
εA + εB
σℓ σ2 =
ε0
εA + εB
σℓ (2.1.10)
y por lo tanto
σ =
2ε0 σℓ
εA + εB
⇐⇒
σ
2ε0
=
σℓ
εA + εB
(2.1.11)
y, de aquı́
~
EB =
σ
2ǫ0
^
k =
σℓ
εA + εB
^
k = −~
EA . (2.1.12)
Ejemplo: Se considera una situación semejante a la anterior, pero esta vez se
tiene dos placas conductoras infinitas paralelas con cargas de igual magnitud y
signo opuesto. Como se indica en la figura 2.3 las cuatro superficies son deno-
minadas desde abajo hacia arriba 1, 2, 3 y 4. La carga por unidad de superficie
es σ en la placa inferior y −σ en la superior, es decir,
σ1 + σ2 = σ , σ3 + σ4 = −σ
3
4
2
1
−σ
σ
Figura 2.3: Dos placas conductoras paralelas con cargas opuestas.
La exigencia de que el campo eléctrico sea nulo en el interior de los dos conduc-
tores lleva a dos condiciones más:
σ1 − σ2 + σ = 0 , σ + σ3 − σ4 = 0

Estas cuatro ecuaciones dan como solución que
σ1 = σ4 = 0 , σ2 = −σ3 = σ (2.1.13)
Esto significa que la carga de estas placas se concentra únicamente en las caras
enfrentadas, es decir, en la cara inferior (3) de la placa de arriba y en la cara
superior (2) de la placa de abajo. Para obtener este resultado en ningún momento
se necesitó el valor de las constantes dieléctricas de los distintos medios.
Sistemas, como el de este ejemplo —formado por dos conductores con carga de
igual magnitud y signo opuesto— se llaman condensadores y serán analizados en
general a partir de §2.3.
2.1.2. Ecuación de Poisson. Unicidad de la solución
Si se tiene un conjunto de N conductores cargados interesa determinar la función
potencial eléctrico. Puede adivinarse que V(~
r ) depende de las cargas Qk de cada
conductor y de la configuración geométrica del sistema. Normalmente se usará la
convención V(∞) = 0. El problema consiste en resolver la ecuación de Poisson
con condiciones de borde que correspondan al sistema en estudio, es decir,
∇2
V(~
r ) = −ρ(~
r )/ε
V(Sk) = Vk (k = 1...N)
(2.1.14)
donde Sk representa la superficie del k-ésimo conductor, y Vk es el valor del
potencial en su superficie.
Se demostrará que la solución a este problema es única si se adopta alguna
convención como que V(∞) = 0. Con el objetivo de hacer esta demostración
se supone que existen dos soluciones V1(~
r ) y V2(~
r ), es decir, ambas funcio-
nes satisfacen el sistema de ecuaciones (2.1.14). Se define entonces la función
diferencia,
φ(~
r ) = V1(~
r ) − V2(~
r )
y la idea es demostrar que φ es idénticamente nula. Para ello conviene notar que
φ satisface un sistema semejante a (2.1.14) pero con lados derechos nulos,
∇2
φ(~
r ) = 0
φ(Sk) = 0 (k = 1...N) .
(2.1.15)
Si se define, ~
F(~
r ) = φ(~
r )~
∇φ se observa que ∇ · ~
F = (~
∇φ)2
, es decir, la
divergencia de ~
F es no negativa. Si se hace la integral de la divergencia de ~
F

en un volumen V, el teorema de Gauss permite convertir la integral de volumen
en una integral de superficie de ~
F mismo. Si el volumen V se toma arbitraria-
mente grande, de modo que su superficie esté arbitrariamente lejos, la integral
de superficie es nula porque ~
F decrece cerca de infinito al menos como r−3
.
En efecto, todo potencial de una fuente finita decrece cerca de infinito como
1/r—como muestra (1.6.8)—lo que implica que ~
F decrece como ya se ha dicho.
Pero si la integral es nula, y lo que se está integrando es el cuadrado de la diver-
gencia de φ, necesariamente se tiene que cumplir que ∇φ = 0 en todas partes, lo
que implica que φ es constante. Y como se sabe que φ es cero sobre la superficie
de cada uno de los conductores, entonces φ es una función idénticamente nula,
implicando que (2.1.14) tiene solución única.
Si se plantea ∇2
V(~
r ) = −ρ/ε dentro de un volumen acotado V y se da una
condición de borde en S = ∂V del tipo V(S) en una función dada, el problema
tiene solución única dentro del volumen y nada puede decirse sobre el potencial
fuera de la zona V.
2.1.3. Ejemplo sobre continuidad del potencial
La Figura 2.4 representa un trozo de un condensador formado por dos planos
infinitos que tiene potencial V = V0 abajo y V = 0 arriba. El espacio intermedio,
de alto 2a, tiene la mitad de abajo rellena con material con ε1 y el de arriba
tiene ε2. Debiera ser claro que el potencial solo puede depender de z y puesto
que no hay carga en el espacio intermedio ahı́ debe satisfacerse ∇2
V = d2V
dz2 = 0.
De aquı́ que en las dos zonas el potencial tiene que ser lineal en z,
V1 = A + Bz V2 = C + Dz
Hay cuatro condiciones que determinan estas cuatro constantes:
V1(0) = V0 , V1(a) = V2(a) , V2(2a) = 0 , ε1
dV1
dz
(a) = ε2
dV2
dz
(a)
La segunda es la condición de continuidad y la última es la condición (1.11.4) de
continuidad de la componente normal de ~
D cuando no hay carga en la interfaz.
Estas relaciones implican
A = V0 B = −
ε2
ε1 + ε2
V0
a
C =
ε1
ε1 + ε2
2V0 D = −
ε1
ε1 + ε2
V0
a

000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111
0
Vo
.
.
.
a
a
.
Figura 2.4: El espacio entre dos placas planas conductoras infinitas paralelas
separadas por distancia 2a contiene dos materiales diferentes en capas de alto a.
esto es,
V1 =

1 −
ε2
ε1 + ε2
z
a

V0 , V2 =

2ε1
ε1 + ε2
−
ε1
ε1 + ε2
z
a

V0 .
2.2. Energı́a electrostática
2.2.1. Energı́a como función de cargas y potenciales
De mecánica se sabe que si una fuerza ~
F es conservativa, se le puede asociar una
función energı́a potencial, U(~
r) por medio de
U(~
r) = −
Z~
r
~
r0
~
F(~
r ′
) · d~
r ′
. (2.2.1)
En el caso actual interesa la fuerza sobre una carga q debida a un campo externo
~
E : Puesto que ~
F = q~
E se obtiene la energı́a potencial U,
U(~
r) = −q
Z~
r
~
r0
~
E(~
r ′
) · d~
r ′
= qV(~
r) . (2.2.2)
La última igualdad proviene de (1.4.3).
La energı́a potencial asociada a un par de cargas q1 y q2 es,
U12 =
q1q2
4πεr12
. (2.2.3)
Similarmente, la energı́a asociada a tres cargas es,
U123 = U12 + U23 + U31 , (2.2.4)

donde al lado derecho aparecen funciones como la dada en (2.2.3) para cada uno
de los tres pares que se pueden formar. En ambos casos se ha considerado el cero
de energı́a potencial a distancia infinita.
Si se trata de un sistema de N cargas, el resultado es
U =
1
2
N
X
i=1
N
X
j(6=i)=1
qiqj
4πεrij
(2.2.5)
El factor 1
2
es necesario porque la doble suma está contando dos veces cada
pareja y la condición j 6= i en la suma interior evita que se considere la energı́a
potencial de una carga debido a su propio campo, lo que darı́a un infinito ya que
rii = 0.
De (1.4.7) puede verse que el potencial de todas las cargas, excepto por la i-
ésima, evaluado en la posición de la i-ésima carga, es
Vi =
N
X
j(6=i)=1
qj
4πεrij
(2.2.6)
(se está usando ~
r0 = ∞) lo que implica que
U =
1
2
N
X
i=1
qiVi . (2.2.7)
Esta es la energı́a de un conjunto discreto de N cargas puntuales. El resultado
puede ser generalizado a distribuciones continuas reemplazando la suma por una
integral sobre la distribución y reemplazando qi por un elemento de carga dq,
U =
1
2
Z
V(~
r ′
) dq(~
r ′
) . (2.2.8)
El diferencial dq fue definido en (1.2.3).
Naturalmente que en general una fuente puede ser una mezcla de un conjunto
discreto de cargas puntuales y de distribuciones continuas, por lo que la energı́a
electrostática debe ser escrita como una suma de las expresiones (2.2.7) y (2.2.8).
Si, en particular, se tiene un sistema que solo consta de N conductores cargados,
su energı́a es la semisuma de integrales de productos Vk σk, donde k es el ı́ndice
que se usa para numerar los conductores. Puesto que en la superficie de cada
2.2. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

conductor el potencial es constante (no depende del punto de la superficie), los
factores Vk pueden ser escritos fuera de cada una de las N integrales, lo que
finalmente da que
U =
1
2
N
X
k=1
VkQk . (2.2.9)
2.2.2. Energı́a como función de los campos
Se considera el caso en que se tiene una fuente que consta de un volumen finito
V dentro del cual hay una distribución de carga libre ρ(~
r ), y un conductor con
superficie Sc (volumen Vc) con densidad de carga libre σ(~
r ). La energı́a de este
sistema es
U =
1
2
Z
V
ρ(~
r ′
)V(~
r ′
)dV′
+
Z
Sc
σ(~
r ′
)V(~
r ′
)dS′

(2.2.10)
Ω
conductor
ρ
aislante
cargado
σl
Figura 2.5: Ω es una enorme esfera que
encierra a un aislante cargado y a un con-
ductor cargado.
La primera de estas dos integrales, que se
denotará I1, puede hacerse sobre una región
arbitraria que contenga al volumen V —
y que no contenga al conductor cargado—
ya que la densidad de carga volumétrica es
nula fuera de V. Conviene integrar I1 so-
bre una región Ω − Vc: una región esférica
Ω con un hueco que corresponde al volu-
men del conductor. El centro de esa esfera
está en un punto arbitrario de V y con radio
R que se hará finalmente tender a infinito.
Más precisamente el hueco dentro de es-
ta esfera —que no forma parte de Ω—
está definido por una superficie SC que ro-
dea al conductor infinitesimalmente cerca
sin llegar a tocarlo. Es decir, el borde de Ω
está formado por dos superficies cerradas disjuntas.
Para trabajar el integrando de I1 se reemplaza la densidad ρ por la divergencia del
campo del desplazamiento eléctrico usando (1.9.6). De modo que el integrando

tiene el producto V(~
r ′
) ~
∇ · ~
D(~
r ′
). Se hace uso de la identidad
∇ · (V ~
D) = ~
D · ∇V + V∇ · D
= −~
E · ~
D + V∇ · D .
Para obtener la última igualdad se hizo uso de (1.4.4). De aquı́ que I1 se puede
escribir como
I1 =
1
2
Z
Ω−Vc

~
E · ~
D + ∇ · (V ~
D)

dV′
. (2.2.11)
La primera integral se va a convertir, en el lı́mite final, en una integral sobre todo
el espacio, incluido si se quiere, el interior de Sc, ya que, ahı́ el campo eléctrico
es nulo. La segunda integral es una integral de volumen de una divergencia, lo
que permite usar el teorema de Gauss para reducirla a una integral de superficie.
Pero la superficie de Ω − Vv es claramente separable en dos porciones: la super-
ficie esférica exterior ∂Ω y la superficie interior que se puede identificar con la
superficie del conductor, Sc. La integral sobre ∂Ω se hace cero en el lı́mite (el
integrando decrece como r−3
). La integral sobre Sc es muy sencilla porque V(~
r ′
)
sobre Sc tiene un valor fijo, lo que permite tomar este valor fuera de la integral,
quedando por calcular una integral del tipo
R
~
D·d~
S, que es una integral de flujo.
El d~
S, sin embargo, apunta hacia afuera de la región Ω − Vc, es decir, hacia
adentro del conductor, lo que da finalmente un signo menos y ası́, esa última
integral da, debido a la ley de Gauss (1.9.5), la carga total del conductor Qc,
I1 =
1
2
Z
~
E · ~
D dV′
− VcQc

. (2.2.12)
La otra contribución a la energı́a que hay en (2.2.10) es una integral sobre la
superficie S, en la cual el potencial vale siempre Vc, por lo que puede ser escrito
fuera de la integral, quedando por hacer una integral de la densidad de carga σ
en toda la superficie, la que vale Qc. Ası́, entonces, se ve que la última integral
de (2.2.10) se cancela con el último término de I1. En resumen, se ha obtenido
que
U =
1
2
Z
~
E · ~
D dV , (2.2.13)
integral que se hace sobre todo el espacio. La densidad de energı́a electrostática
entonces es
u =
1
2
~
E · ~
D . (2.2.14)
2.2. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

2.2.3. Energı́a con fuente no-acotada
2.2.3.1. Una superficie cilı́ndrica cargada
Consideremos el simple caso de una superficie cilı́ndrica de radio a y densidad
uniforme de carga σ. El campo vale
~
E(ρ a) =
aσ
ǫ0
^
ρ
ρ
=⇒ ~
D(ρ a) = aσ
^
ρ
ρ
lo que implica un potencial (definido nulo en ρ = a)
V(ρ ≥ a) = −
aσ
ǫ0
ln
ρ
a
(2.2.15)
y V = 0 para ρ a.
Para este caso se analiza la integral de ~
D · ~
E dentro de un cilindro de altura h y
radio R:
Uh(R) =
Z
~
D · ~
E dz ρ dρ dφ
= 2πh
a2
σ2
ǫ0
ZR
a
dρ
ρ
= 2πh
a2
σ2
ǫ0
ln
R
a
. (2.2.16)
Pero en la integral original el integrando puede tomarse como −~
D · ∇V =
V∇ · ~
D − ∇ · (V ~
D) que lleva a dos integrales. En la primera se usa que ∇ · ~
D =
ρ = σδ(ρ − a) por lo que contribuye tan solo ρ = a y en la segunda se usa el
teorema de Gauss para convertir la integral de volumen en una integral sobre la
superficie del tarro de radio R (las tapas no contribuyen). Con todo esto se tiene
que
Uh(R) = V(a)σh2πa − V(R) D(R) 2πhR
= cero + 2πh
a2
σ2
ǫ0
ln
R
a
, (2.2.17)
de donde se ve que la integral
R
ρ V dV en este caso es cero (o la constante que
se quiera) y la energı́a es la contribución de la superficie de radio R (en infinito).
La energı́a total (−∞ z ∞) es infinita. Lo que interesa es la energı́a por
unidad de largo Uh(R)/h que sı́ es una cantidad finita.

2.2.3.2. Dos superficies cilı́ndricas concéntricas cargadas
Esta vez se trata de dos superficies cilı́ndricas concéntricas cargadas de radios
a, b y longitud infinita con densidades σa = λ/(2πa) y σb = −λ/(2πb). De
aquı́ que el campo exterior al sistema es nulo. Todo el campo está en el espacio
a ≤ ρ ≤ b y vale
~
E =
aσa
ǫ0
^
ρ
ρ
de modo que si se hace una integral Uh =
R
~
D · ~
E dz ρ dρ dφ con R mayor que
b, solo contribuye el volumen entre las dos superficies y se obtiene
Uh = 2πh
a2
σ2
ǫ0
ln
b
a
=
hλ2
2πǫ0
ln
b
a
.
Si la misma integral se hace a partir de
Uh = −
Z
~
D · ∇VdV =
Z
V∇ · ~
DdV −
Z
∇ · (V ~
D)dV
la última integral es nula, porque es una integral sobre una superficie donde el
campo es nulo. En el caso de la primera integral se utiliza ∇ · ~
D = σaδ(ρ −a) +
σbδ(ρ − b) y se usa nuevamente (2.2.15) como la expresión para el potencial en
la zona a ≤ ρ ≤ b viéndose que solo contribuye V(b)ρ(b) por lo cual
Uh =
λ2
h
2πǫ0
ln
b
a
.
2.3. Condensadores
Se entiende por condensador un sistema de dos conductores A y B con cargas
QA = +Q y QB = −Q y cuya geometrı́a es fija, es decir, tanto la forma de los
conductores como la posición relativa entre ellos permanece fija.
La caracterı́stica más interesante de un condensador es su capacidad, definida
por
C ≡
Q
V
(2.3.1)
donde V es la diferencia de potencial que existe entre los dos conductores
V = VAB = VA − VB 0 . (2.3.2)
2.3. CONDENSADORES Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

En lo que sigue se desmostrará que C no depende de Q.
La carga que aparece en la definición de C es la carga que hay propiamente en
el conductor, es decir, es carga libre. Esta definición no tendrı́a sentido si no se
cumpliera que Q es proporcional a V, y esto último se desmuestra en lo que
sigue.
Nota: Está garantizado que V es positivo porque la carga de A es
positiva, VA = −
RA
r0
~
E · d~
r mientras que VB = −
RB
r0
~
E · d~
r por lo
cual V = VA − VB =
RB
A
~
E · d~
r, lo que implica que la integral es en
el mismo sentido que el campo, esto es, de positivo a negativo
De (2.2.9), la energı́a de un condensador es
U =
1
2
QV =
Q2
2C
=
1
2
C V2
(2.3.3)
Por definición C es una cantidad positiva. Lo usual es construir los condensadores
con conductores que enfrentan una gran área separada por una distancia muy
pequeña. Esto garantiza que prácticamente toda la densidad de carga esté en las
caras enfrentadas y, por lo tanto, que casi todo el campo eléctrico esté concen-
trado en el volumen que queda entre esas dos caras cargadas. Ası́, la densidad
de energı́a de un condensador está principalmente en ese volumen.
A continuación se demostrará que la capacidad efectivamente es una cantidad
que no depende de la carga Q del condensador. Con este propósito se estudia-
rá la forma cómo varı́a la energı́a de un condensador cuando la carga de este es
aumentada: Q → Q + dQ. Puesto que al aumentar la carga la magnitud del
campo eléctrico aumenta, entonces (ver (2.2.13)), la energı́a aumenta: dU 0.
−dQ
A B
Q Q+dQ −Q
Figura 2.6: Al sacar carga −dQ del conductor A este pasa de tener carga Q
a tener carga Q + dQ.

Para aumentar la carga se quita al conductor A una carga −dQ, esto es QA =
Q → Q − (−dQ). Esa carga, sobre la que hay una fuerza eléctrica de atracción
hacia A, es llevada por un agente externo (por ejemplo, una baterı́a) hacia el
conductor B. El trabajo del agente externo se efectúa por medio de una fuerza
externa ~
Fext que en todo momento se opone a la fuerza electrostática ~
Fe =
−dQ ~
E, es decir, ~
Fext = dQ ~
E. El trabajo dW es el cambio de energı́a dU = dW,
dU =
ZB
A
dQ ~
E · d~
r
= VdQ
=

2
dQ
Q

1
2
QV

=

2
dQ
Q

U (2.3.4)
Por lo cual,
dU
U
= 2
dQ
Q
(2.3.5)
Al integrar se obtiene
ln(U) = 2 ln(Q) + ln(λ) = ln(Q2
) + ln(λ)
donde ln(λ) es el nombre que se le da a la constante de integración. Puesto que
es constante, no depende de la variable de integración Q, y ası́, se ha demostrado
que U = λQ2
, donde λ es independiente de Q. Al comparar esto con (2.3.3) se
reconoce que λ = 1/(2C), lo que muestra que la capacidad de un condensador
no depende de la carga Q sino que es una propiedad intrı́nseca del condensador,
esto es, depende de su geometrı́a y de la constante dieléctrica, ε.
A B
B
A
C
1
C
2
C
3
C
N
N
C C2 1
C
Figura 2.7: Condensadores en serie a la izquierda y en paralelo a la derecha.
2.3. CONDENSADORES Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Ejercicio 2.3-1. Calcule la capacidad de un condensador de caras planas pa-
ralelas de área enfrentada A y a distancia d, suponiendo que los efectos de borde
son despreciables, esto es, el campo eléctrico entre las placas se supone uniforme.
Demuestre que esta es
C =
εA
d
(2.3.6)
Ejercicio 2.3-2. Calcule la capacidad de un condensador que consta de dos
conductores cilı́ndricos concéntricos de radios a y b y de altura h despreciando
los efectos de borde. Demuestre que
C =
2πεh
ln(b/a)
. (2.3.7)
Ejercicio 2.3-3. Calcule la capacidad de un condensador que consiste en dos
esferas concéntricas de radios a y b (b a) y demuestre que
C =
4πεab
b − a
. (2.3.8)
Nótese que las capacidades siempre resultan proporcionales a ε y a un factor con
dimensiones de longitud.
Ejercicio 2.3-4. Demuestre que las expresiones para las capacidades equiva-
lentes de una serie de condensadores conectados en serie o en paralelo (Figura
2.7) son
1
Ceq
= 1
C1
+ ... + 1
CN
conectados en serie
(2.3.9)
Ceq = C1 + ... + CN conectados en paralelo .
2.4. Conductores cargados: energı́a y fuerzas
La energı́a de un conjunto de N conductores cargados (se usa que V(∞) = 0)
es
U =
1
2
N
X
k=1
QkVk . (2.4.1)

donde Vk es el valor del potencial sobre el k-ésimo conductor. La energı́a del
sistema cambia si varı́an las cargas, o los potenciales o ambos,
dU =
1
2
N
X
k=1
(VkdQk + QkdVk) . (2.4.2)
Sobre cada uno de estos conductores está actuando una fuerza de naturaleza
eléctrica que se calculará a continuación. Se supondrá que los conductores per-
manecen normalmente en reposo debido a que existe alguna fuerza no eléctrica
que los mantiene fijos.
Si la posición del k-ésimo conductor se modifica en un d~
rk debido a la acción
de la fuerza electrostática ~
Fk que está actuando sobre él, la energı́a del sistema
cambia en
dU = ∇kU · d~
rk (2.4.3)
El subı́ndice k en ∇k quiere decir que se toma el gradiente de U derivando con
respecto a las coordenadas del conductor k.
Se estudiarán dos casos: (a) conductores aislados, es decir, dQj = 0 para todo
j, y (b) conductores cuyos potenciales permanecen constantes, dVj = 0.
(a) Conductores aislados. En este caso el sistema efectúa un trabajo mecánico
(positivo) dW al desplazar al conductor k, lo cual lo hace perder energı́a: dU 0.
Ese trabajo es
dW = ~
Fk · d~
rk
= −dU . (2.4.4)
Al comparar las dos expresiones para dU se obtiene directamente que
~
Fk = −∇kU . (2.4.5)
(b) Conductores con potenciales fijos. Esta situación podrı́a darse interconec-
tando los conductores con baterı́as, cuidando que no haya circuitos cerrados que
provoquen la existencia de corrientes eléctricas. Además se conecta una baterı́a
entre uno de los conductores y tierra. Las baterı́as aseguran que las diferencias
de potencial permanezcan fijas y la baterı́a a tierra asegura que uno de los con-
ductores tenga potencial fijo. Eso basta para que todos los potenciales queden
fijos.
2.4. CONDUCTORES CARGADOS: ENERGÍA Y FUERZAS Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Esta vez el cambio de energı́a dU que experimenta el sistema se debe a dos
razones: i) la fuerza ~
Fk efectúa un trabajo que implica una pérdida de energı́a
para el sistema, y ii) las baterı́as trabajan para mantener fijos los potenciales.
Aun ası́, (2.4.2) se reduce a
dU =
1
2
N
X
i=1
Vi dQi . (2.4.6)
La pérdida de energı́a debida al trabajo mecánico es, igual que en el caso anterior,
(dU)mec = −~
Fk · d~
rk . (2.4.7)
La determinación de la variación de la energı́a debida al trabajo de las baterı́as
requiere de un análisis un poco más delicado.
Conviene pensar primero en un sistema de tan solo dos conductores con VA −VB
fijo. Suponiendo que, debido a un pequeño movimiento de uno de los conductores,
el conductor A pierde una cantidad −dQAB de carga, es decir, QA → QA −
(−dQAB) = QA + dQAB y que la carga de B cambia en QB → QB + dQBA.
Debido a que la carga se conserva,
dQAB = −dQBA . (2.4.8)
El trabajo que efectúa la baterı́a en acarrear −dQAB de A a B es
dWbat =
ZB
A
dQAB
~
E · d~
r
= dQAB(VA − VB) . (2.4.9)
Esta es la cantidad de energı́a que el sistema toma de las baterı́as (dWbat =
dUbat).
La energı́a total que el sistema toma de las baterı́as es una superposición de
expresiones como (2.4.9) sumando sobre todas las parejas de subsistemas de dos

conductores,
(dU)bat =
1
2
X
i,j
(Vi − Vj) dQij
=
1
2
X
i,j
Vi dQij +
1
2
X
i,j
Vj dQji
=
X
i,j
Vi dQij
=
X
i
Vi dQi . (2.4.10)
El factor 1/2 en la primera igualdad toma en cuenta que cada pareja es contada
dos veces. En el segundo paso se hizo uso de (2.4.8). En el último paso se
utilizó la relación que expresa que el cambio total de carga que experimenta el
i-ésimo conductor es
dQi =
X
j
dQij . (2.4.11)
De aquı́ que el cambio total de energı́a del sistema sea
dU = (dU)Mec + (dU)bat
= −~
Fk · d~
rk +
X
i
Vi dQi
= −~
Fk · d~
rk + 2dU . (2.4.12)
La última igualdad se debe a (2.4.6). De aquı́ se despeja que
dU = ~
Fk · d~
rk (2.4.13)
que se compara con (2.4.3) para obtener que
~
Fk = ∇kU . (2.4.14)
Es interesante observar que esta expresión difiere del resultado (2.4.5) del caso
anterior sólo en el signo. Pero serı́a falso concluir que un sistema de conduc-
tores (Q1, V1), (Q2, V2), ... (QN, VN) implica fuerzas de signo contrario sobre
el conductor k solo por el hecho de tener cargas fijas (conductores aislados) o
potenciales fijos (conductores interconectados con baterı́as). Lo contrario es lo
2.4. CONDUCTORES CARGADOS: ENERGÍA Y FUERZAS Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

correcto, en ambos casos la fuerza es exactamente la misma a pesar de las apa-
riencias. Una razón para comprender que (2.4.14) sea posible es que se trata de
un sistema no cerrado: para mantener V fijo debe actuar una baterı́a.
Por ejemplo, la energı́a de un condensador plano es
U =
xQ2
2Aε
(2.4.15)
donde x es la distancia entre las placas. Si Q permanece constante la fuerza es,
F = −
dU
dx
= −
Q2
2Aε
. (2.4.16)
Pero si es V el que permanece constante, conviene hacer el reemplazo,
V =
xQ
Aε
(2.4.17)
obteniéndose
U =
εAV2
2x
(2.4.18)
y esta vez debe calcularse
F = +
dU
dx
= −
εAV2
2x2
. (2.4.19)
Si se comparan ambas expresiones para la fuerza se puede constatar que se
obtiene una identidad.
2.5. Integración numérica de la ecuación
de Poisson
2.5.1. Caso unidimensional
Recuérdese que la noción de primera derivada de una función V proviene de
considerar el lı́mite de
V′
∼
V(x + ǫ) − V(x)
ǫ
o bien
V(x) − V(x − ǫ)
ǫ
.

Similarmente la segunda derivada se puede expresar como la diferencia de prime-
ras derivadas:
V′′
∼
V(x+ǫ)−V(x)
ǫ
− V(x)−V(x−ǫ)
ǫ
ǫ
=
V(x + ǫ) − 2V(x) + V(x − ǫ)
ǫ2
.
Si se quisiera integrar numéricamente la ecuación diferencial ordinaria V′′
= p(x)
en el intervalo [a, b] con condiciones de borde V(a) = Va y V(b) = Vb se
procede como sigue. Se divide el intervalo [a, b] en N partes iguales de largo
ǫ, de tal modo que ǫ N = b − a. La coordenada de cada punto discreto es
xk ≡ a + k ǫ de tal modo que x0 = a y xN = b. Los únicos valores de V que
se va a determinar son los Vk ≡ V(xk) y las condiciones de borde V0 = Va y
VN = Vb son datos.
Se escribe la igualdad Vk+1 − 2Vk + Vk−1 = pk ǫ2
y se despeja Vk:
Vk =
1
2
Vk+1 + Vk−1 − ǫ2
pk

y se escribe un programa que tiene dos rutinas. La rutina de inicialización le
asocia a Vk (con k = 1, . . ., N − 1) valores al azar (sı́, ¡al azar!), mientras que
a los valores en los bordes se les da los datos Va y Vb. La rutina de cálculo es
un ciclo que visita ordenadamente los puntos interiores y cambia el valor actual
de Vk por el que resulta de la expresión de arriba.
Se puede demostrar que este procedimiento siempre converge a la solución, inde-
pendiente de los valores aleatorios asociados a los Vk inicialmente. Pero ¿cuándo
detener el ciclo? Una forma razonable puede ser la siguiente. En cada pasada
por todos los puntos interiores que van modificando los valores de Vk se calcula
S =
P
k V2
k. El ciclo puede terminar cuando la diferencia entre el valor actual de
S y el anterior es menor que alguna cantidad muy pequeña.
Si su programa va mostrando en pantalla el gráfico Vk versus k después de cada
pasada podrá ver cómo los valores aleatorios iniciales rápidamente son cambiados
por otros que van convergiendo a la solución.
2.5.2. Dimensiones mayores
Si se desea resolver un problema semejante pero en dos o tres dimensiones, el
volumen en el cual se quiere calcular V se cuadricula en dos dimensiones y se
2.5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN
DE POISSON

N = 100
epsilon = 0.1
/********************Inicialización**********************/
for i=0 to 100
{ for j=0 to 100
V[i,j] = número aleatorio entre -1 y 1
}
for i=0 to 100 do
{ V[i,0] = 0.0
V[i,10] = 0.0
V[0,i] = 0.0
V[10,i] = 0.0
}
for i=30 to 70 do
{ V[i,40] = 8.0
V[i,60] = -8.0
}
/*****************************Loop*****************************/
/** Tan pronto calcula cada V[i,j] puede ejecutar una **/
/** instrucción tipo pintar_pixel(i,j,color=entero(8+V[i,j]) **/
/** que coloca en el sitio [i,j] de la pantalla un color **/
/** que varı́a según el valor del potencial. **/
iter = 0
while (iter1000) do
{ for i=1 to 29 do
{ for j=1 to 99 do
{ V[i,j] = 0.25*(V[i+1,j]+V[i-1,j]+V[i,j+1]+V[i,j-1])
V(70+i,j) = 0.25*(V(i+71, j)+V(i+69,j)+V(i+70,j+1) + V(i+70,j-1)
}
}
for i=30 to 70 do
{ for j=1 to 39 do
{ V[i,j] = 0.25*(V[i+1,j]+V[i-1,j]+V[i,j+1]+V[i,j-1])
V(i, j+60) = 0.25*(V(i+1,j+60) + V(i-1,j+60)+V(i,j+61)+V(i,j+59))
}
for j=41 to 59 do
V[i,j] = 0.25*(V[i+1,j]+V[i-1,j]+V[i,j+1]+V[i,j-1])
}
iter = iter + 1
}
Figura 2.8: Programa que resuelve numéricamente el problema planteado esencialmente por
la ecuación (2.5.2).

divide en cubos en tres dimensiones. Se ve que los puntos se caracterizan por
dos o tres enteros: xij en dos dimensiones y xijk en tres dimensiones.
Para ser más preciso se trabaja el caso bidimensional de la ecuación
∂2
V
∂x2
+
∂2
V
∂y2
= p(x, y) (2.5.1)
la que conduce a la versión discreta,
Vi+1,j−Vij
ǫ
−
Vij−Vi−1,j
ǫ
ǫ
+
Vi,j+1−Vij
ǫ
−
Vij−Vi,j−1
ǫ
ǫ
= pij
y que permite despejar
Vij =
1
4
Vi+1,j + Vi−1,j + Vi,j+1 + Vi,j−1 − ǫ2
pij

. (2.5.2)
En la Figura 2.8, se presenta un seudocódigo que permite usar (2.5.2) para
obtener el potencial en 2D dentro de un cuadrado con coordenadas (0, 0) y
(10, 10) con las siguientes condiciones de borde. El potencial en el perı́metro
cuadrado es nulo, en el trazo desde (3, 4) hasta (7, 4) vale V = 8 y en el trazo
desde (3, 6) hasta (7, 6) vale V = −8. Se trabajará el caso p(x) ≡ 0
Se puede hacer variantes a este problema. Casos interesantes son:
(1) Poner V = 0 en todo el perı́metro del cuadrado de 10 × 10 y definir un
objeto con carga uniforme en un área que podrı́a ser un rectángulo entre los
puntos (2,2) y (6,4). Es decir, se define un ρij = ρ0 tal que la integral de esta
función constante en toda el área dé un valor total de carga dado, Q = 1.
Obtener los Vij.
(2) Otra variante permite ir variando aleatoriamente los valores ρij de tal forma
que la integral
R
ρ dS permanezca fija, pero se retrocede el cambio si la energı́a
aumenta (la integral de ρ V). Este proceso lleva a un mı́nimo de energı́a que
está asociado a un caso muy notable y la forma del potencial tiene algo muy
particular. ¡Interprete!
2.6. Problemas
2.1 Considere un sistema donde distintos medios están separados por superfi-
cies esféricas de radios a c b g. Al centro hay una carga q en una

cavidad vacı́a de radio a. Entre los radios a y c hay material dieléctrico
aislante caracterizado por εA, entre c y b el medio es conductor con carga
total Q y entre b y g el material dieléctrico aislante está caracterizado
por εB. Más allás de g la constante dieléctrica vale εg. Las únicas cargas
del sistema son las ya mencionadas q y Q. Determine ~
E, ~
P y ~
D en todas
partes y obtenga las densidades totales de polarización en cada superficie
esférica.
2.2 Si el espacio entre dos cilindros conductores coaxiales muy largos (radios
a y b, a b) estuviese lleno con un material dieléctrico, ¿cómo tendrı́a
que depender la constante dieléctrica de la distancia ρ al eje para que la
magnitud del campo k~
Ek fuera independiente de ρ? ¿Cuál es la densidad
volumétrica de polarización?
2.3 Dos placas conductoras rectangulares muy grandes nacen de una misma
recta y forman un ángulo θ0. En el espacio entre ellas hay dos materiales
dieléctricos caracterizados por ε1 y ε2 separados por una superficie rectan-
gular que también nace de la misma recta y forma ángulos θ1 y θ2 con los
planos conductores (naturalmente θ1 + θ2 = θ0). Si se tiene una diferen-
cia de potencial V0 entre las placas conductoras, determine las distintas
densidades de carga que aparecen en la geometrı́a.
2.4 El espacio entre dos esferas concéntricas conductoras (con cargas Q y −Q
y radios a y b respectivamente), está lleno con dos materiales dieléctricos,
caracterizados por ε1 y ε2, separados por un plano ecuatorial. Determinar
la diferencia de potencial entre ambas esferas.
2.5 Los aislantes pierden su calidad de tales cuando son sometidos a los efectos
de un campo eléctrico que sobrepasa una magnitud crı́tica ER (campo
de ruptura). Se desea construir un cable coaxial constituido por un cable
cilı́ndrico de radio interno a = 3[mm], un cable externo (cilindro hueco
de radio interior b = 5[mm]) y, entre ellos, en forma concéntrica se desea
poner dos materiales caracterizados por ε1 = 3ε0 (interno) y ε2 = 2ǫ0
(externo). Se sabe que ER = 24000[Volt/metro] para ambos materiales.
Determine el valor óptimo del radio de la superficie interfacial entre ambos
dieléctricos para que la diferencia de potencial entre los conductores pueda
ser la mayor posible sin que se produzca ruptura. (Respuesta: 4.5mm)
2.6 Considere un sistema de simetrı́a cilı́ndrica compuesto de un alambre rec-
tilı́neo infinito con densidad de carga λ0 uniforme rodeado de un cilindro

de radio a de material dieléctrico con constante dieléctrica ǫa, a su vez
rodeado de un cilindro conductor de radio exterior c el cual, finalmente,
está rodeado de un cilindro dieléctrico de radio exterior b y de constante
dieléctrica ǫb. El cilindro conductor está cargado; su carga es λ1 por unidad
de longitud. Determine el campo eléctrico en todas partes y la densidad de
carga total en las tres interfaces.
2.7 Se va a contruir un condensador en base a dos conductores con geometrı́a
dada. El espacio entre los dos conductores puede ser rellenado con cual-
quiera de tres materiales aislantes de constantes dieléctricas εA = 2,15ε0,
εB = 6,5ε0, εC = 21,5ε0 respectivamente. Todos estos materiales pierden
su capacidad aislante si el campo eléctrico a través de ellos sobrepasa, en
algún punto, una misma magnitud crı́tica E0. ¿Cuál de los materiales (A, B
o C) debe escogerse para que este condensador pueda almacenar la mayor
energı́a posible? ¿Cuál es el cuociente UC/UA entre la energı́a que puede
almacenar el condensador con el material C y con el material A? Haga un
análisis detallado del problema.
2.8 Se tiene un condensador formado por dos superficies conductoras cilı́ndricas
concéntricas de altura h y de radios a y b respectivamente, a b. El
espacio entre estos dos conductores está dividido en dos por un plano que
corta verticalmente al cilindro con un plano que pasa por el eje. Estos
espacios están rellenos con materiales dieléctricos con constantes ε1 y ε2.
Calcule la capacidad de este condensador. Los datos son los dos εk, los dos
radios y la altura h. Desprecie efectos de borde en los extremos superior e
inferior (h ≫ b ≫ b − a).

Capı́tulo 3
Corrientes continuas
3.1. Generalidades sobre corrientes
En conductores se da el fenómeno de corrientes de carga si existe una fuen-
te que pueda mantener un campo eléctrico dentro de un conductor y provea
permanentemente de cargas al sistema. Las corrientes eléctricas se caracterizan
macroscópicamente por la intensidad de corriente eléctrica,
I =
dQ(t)
dt
(3.1.1)
Como ya se ha comentado en el capı́tulo anterior, algunos materiales tienen la
propiedad de ser conductores porque parte de las cargas que constituyen ese
material puede desplazarse ampliamente por él.
Esto no significa que un material conductor por el cual circula una corriente
tenga que estar cargado. Lo más tı́pico es que un conductor, con o sin corriente
circulando por él, esté neutro. Más aún, su densidad de cargas ρ(~
r, t) puede
ser nula. Esto es posible, porque junto a las cargas de conducción (tı́picamente
electrones, pero pueden ser iones en el caso de soluciones salinas) hay cargas
del signo opuesto que no tienen movilidad (cargas localizadas). Si se tiene un
conductor con densidad de carga nula en todas partes, significa que en cada
elemento de volumen hay tantas cargas de conducción, que definen un ρC no
nulo, como cargas localizadas (no pueden participar en la conducción).
Microscópicamente la corriente eléctrica puede ser descrita como un flujo de
73

v dt
dS
dS
Figura 3.1: Interesan las cargas que están en un paralelepı́pedo de sección
transversal dS y arista v dt.
cargas debido a una densidad ρ(~
r, t) y debido a la velocidad ~
v(~
r, t) que tiene el
flujo de esas cargas en cada punto y en cada instante. La cantidad de carga que
atraviesa un elemento de superficie d ~
S durante un intervalo pequeño dt es la
carga d3
Q contenida en un volumen de ancho ~
v(~
r, t) dt y sección d ~
S
d3
Q = ρ(~
r, t)~
v(~
r, t) dt · d ~
S (3.1.2)
en torno a un punto ~
r en el instante t. La densidad de corriente ~
J, esto es, la
carga que atraviesa por unidad de sección transversal y por unidad de tiempo se
define como
~
J(~
r, t) = lı́m
δV→0
1
δV
X
a
qa~
va (3.1.3)
cantidad que suele abreviarse como ρ(~
r, t)~
v(~
r, t) pero la suma en (3.1.3) es sobre
todas las cargas que hay en ese pequeño volumen y, sin embargo, como las cargas
localizadas tienen velocidad promedio nula —ya que solo se mueven en torno a
su localización— se concluye que solo contribuyen las cargas de conducción.
La corriente que atraviesa una superficie S finita arbitraria es,
I =
Z
S
~
J(~
r, t) · d ~
S . (3.1.4)
En esta expresión el signo del elemento de superficie es arbitrario, lo que hace
que el signo de la corriente I sea convencional. El significado fı́sico, sin embargo,
no tiene ambigüedad. En efecto, dada una función ~
J definida sobre una sección S
de un conductor, la integral (3.1.4) representa la cantidad de cargas positivas por
unidad de tiempo que atraviesan esa sección en la dirección en que apunta d ~
S.
3.1. GENERALIDADES SOBRE CORRIENTES Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Si la integral resulta negativa, significa que las cargas positivas están atravesando
en el sentido opuesto al d ~
S escogido.
Si se tiene una superficie cerrada y existe movimiento de cargas a través de ella,
la carga total encerrada depende, en general, del tiempo,
QV(t) =
Z
V
ρ(~
r, t) dV . (3.1.5)
Si se toma la derivada de esta ecuación con respecto al tiempo, al lado izquierdo
se tiene la derivada de la carga total, derivada que obviamente es positiva si QV
está aumentando de valor. La derivada representa a la cantidad neta de carga
positiva que está ingresando al volumen por unidad de tiempo. Tal cantidad es
lo que se ha denominado corriente en (3.1.1) .
La carga que ingresa también puede ser descrita por medio de la densidad de
corriente ~
J haciendo uso de (3.1.4). Para describir la corriente que ingresa como
una cantidad positiva (y usar los mismos signos que en el párrafo anterior), es
necesario integrar −~
J ·d ~
S, ya que el elemento de superficie cerrada apunta hacia
afuera. Por lo tanto se debe escribir la igualdad
Z
V
∂ρ
∂t
dV = −
I
∂V
~
J · d ~
S
= −
Z
V
∇ ·~
J dV .
Puesto que esta igualdad vale para cualquier volumen, debe satisfacerse la lla-
mada ley de continuidad,
∇ ·~
J +
∂ρ
∂t
= 0 . (3.1.6)
Esta última ecuación establece que si la densidad de carga está variando en un
punto, la divergencia de la densidad de corriente es no nula. Ella expresa que la
carga eléctrica es una cantidad conservada, en el sentido que al disminuir en una
región aumenta en otra.
En este capı́tulo no se hablará explı́citamente de la polarizabilidad de un conduc-
tor, sin embargo este fenómeno está presente aun cuando a menudo representa
un efecto despreciable. Si el vector de polarización ~
P esta cambiando en el tiem-
po, en general la densidad de cargas de polarización ρP depende del tiempo. Sea
V un volumen arbitrario y QP(t) la carga de polarización dentro de él. Razonando
en igual forma como se hizo para obtener (3.1.6), la derivada de QP con respecto

al tiempo puede expresarse tanto en la forma −
H
~
JP · d ~
S como también en la
forma
dQP
dt
=
d
dt
Z
ρP dV
= −
d
dt
Z
∇ · ~
P dV
= −
I
∂~
P
∂t
· d ~
S (3.1.7)
Puesto que V es un volumen arbitrario se desprende que se puede hacer la iden-
tificación
~
JP =
∂~
P
∂t
. (3.1.8)
Algunas aclaraciones. Se ha hablado de las cargas que se mueven en un
conductor. Antes se ha hablado de cargas libres y de cargas de polarización.
Aquı́ se tratará de señalar el papel que juegan estos distintos tipos de carga.
Un conductor tiene cargas de conducción, que son las que dan origen a la densidad
de carga que se usa cuando se define ~
J en (3.1.3). Estas cargas de conducción
en un metal son electrones, son negativas. La densidad de cargas de conducción
es una caracterı́stica del material.
Hay materiales cuya conductividad es despreciable y que son llamados aislantes.
Normalmente se supondrá que su conductividad es nula. Los aislantes reales, sin
embargo, tienen una conductividad que no es estrictamente nula.
Puesto que al estudiar corrientes normalmente se trabaja con conductores neu-
tros, necesariamente junto a estas cargas de conducción hay cargas positivas, los
iones cristalográficos. La suma de las cargas de conducción y las cargas de los
iones debe dar globalmente cero si el conductor está descargado.
Los centros localizados a nivel molecular están formados por cargas positivas
que tienen relativamente poco movimiento y electrones ligados, es decir, no se
trasladan como los electrones de conducción. Sin embargo el movimiento de estos
electrones ligados en torno a los centros cristalográficos significa la presencia de
corrientes eléctricas locales en la materia que, si bien no aportan al valor de la
corriente macroscópica, sı́ tienen implicaciones magnéticas. De aquı́ que también
puede ser de interés en ciertos casos considerar las corrientes de polarización
mencionadas en (3.1.8).
3.1. GENERALIDADES SOBRE CORRIENTES Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

En ocasiones es útil considerar corrientes de superficie. Estas son corrientes
bidimensionales y se definen a partir de densidades superficiales de corriente
~
K(~
r) = σ(~
r )~
v(~
r ) —ver la figura 3.2— como el flujo a través de una lı́nea Γ que
corta la superficie en cuestión, como
IΓ =
Z
Γ
~
K(~
r) × ^
n · d~
r (3.1.9)
Γ es una sección (unidimensional) de la superficie por la que fluye ~
K, y ^
n es la
normal a la superficie en el punto ~
r.
K
Γ
n
Figura 3.2: La corriente de superficie se define como la cantidad de carga que
corta una sección Γ de la superficie. Γ es una curva.
Como toda corriente, ~
K tiene un signo que depende del signo convencional de la
normal ^
n y del signo con que se recorre el camino transversal Γ.
3.2. Corrientes continuas y ley de Ohm
3.2.1. Primera ley de Kirchhoff
En el caso de corrientes continuas se debe considerar un régimen estacionario
para el cual se cumple que
ρ = ρ(~
r) (3.2.1)
∇ × ~
E(~
r) = 0
∇ ·~
J(~
r) = 0 .

V
I
I
I
I
I1
2
4
3
5
Figura 3.3: Las corrientes Ik sobre varios conductores que convergen a un
nodo común suman cero.
La condición de rotor nulo del campo eléctrico continúa siendo válida en el caso de
corrientes continuas. Esto permite seguir usando la noción de potencial eléctrico
en el mismo sentido que se utilizó en electrostática. La relación ∇ × ~
E = 0 es
equivalente a
H
~
E · d~
r = 0.
En régimen estacionario el balance de corriente que entra y sale de cualquier nodo
de un circuito suma cero. Para verlo basta con tomar un volumen rodeando al
nodo de modo que su superficie corte a los conductores en secciones arbitrarias
como en la figura 3.3. Al hacer una integral de la divergencia —que es nula
debido a (3.2.1)— se obtiene
0 =
Z
V
∇ ·~
J dV
=
I
∂V
~
J · d ~
S
=
X
k
Ik . (3.2.2)
A esta última relación se la conoce como primera ley de Kirchhoff y será utilizada
más adelante.
3.2. CORRIENTES CONTINUAS Y LEY DE OHM Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

3.2.2. Ley de Ohm
3.2.2.1. Argumento intuitivo sobre conductividad eléctrica.
Cuando existe una diferencia de potencial V fija entre los extremos de un hilo
conductor, hay una corriente I constante en el tiempo. Ella se debe al campo
eléctrico que aparece dentro del conductor, el cual también es constante en el
tiempo. La presencia de este campo implica que sobre cada carga q de conducción
existe permanentemente una fuerza ~
F = q~
E. A primera vista puede resultar
paradojal que haya una corriente constante si hay una fuerza permanente sobre las
cargas, ya que tal fuerza debiera dar un movimiento constantemente acelerado.
Lo que ocurre es que las cargas q avanzan intercambiando momento lineal y
energı́a con los átomos, lo que tiene un efecto neto semejante a la viscosidad.
Un cuadro sencillo que ayuda a la intuición es imaginarse que los electrones
van chocando con los átomos. En fluidos, en efecto, la viscosidad misma es un
efecto promedio de colisiones entre las moléculas que conforman el fluido. Si τ
es el tiempo promedio entre cada choque de una carga q particular, la velocidad
final —justo previa al próximo choque— es τqE/m. La velocidad media con
que avanzan las cargas es justo la mitad de eso, v = qτE/2m. Por otro lado,
puede tomarse como valor de la densidad de corriente J = ρv, ver (3.1.3), lo que
permite eliminar v y obtener que J = (ρqτ/2m)E. Este sencillo cuadro permite
además comprender que el paso de una corriente eléctrica calienta a un conductor
ya que los múltiples choques aumentan la energı́a de vibración de los átomos del
material. Aun cuando la descripción anterior es somera, debiera dar una idea del
fenómeno de la resistencia eléctrica.
Mucho antes de que se supiera de la existencia de átomos y electrones, Ohm
estableció la ley experimental que lleva su nombre, y que hoy se escribe
~
J(~
r) = g~
E(~
r) , (3.2.3)
donde g es la conductividad del medio. Su recı́proco, η = 1/g es lo que se llama
resistividad del medio que se trate.
En un circuito eléctrico normalmente existen baterı́as u otras fuentes de poder
que entregan la energı́a a través de crear una diferencia de potencial y por lo
tanto un campo eléctrico.
El campo eléctrico normalmente tiene un valor no trivial en una amplia zona del
espacio, pero la conductividad g es no nula solamente en los conductores, por
lo que al estudiar corrientes solo interesa el campo eléctrico, o la diferencia de

material η [Ohm metro]
Plata 1,59 × 10−8
Cobre 1,67 × 10−8
Oro 2,35 × 10−8
Aluminio 2,65 × 10−8
Hierro 9,71 × 10−8
Mercurio 95,8 × 10−8
Carbono 3,5 × 10−5
Germanio 4,6 × 10−1
Silicio 6,2 × 102
Vidrio de 1010
a 1014
Azufre 1015
Parafina 1017
Quarzo 7,5 × 1017
Teflón de 1022
a 1024
Cuadro 3.1: Resistividad de algunos materiales a 20◦
C.
potencial, entre puntos de un conductor.
Si se tiene un hilo conductor homogéneo de largo ℓ al que se le aplica una
diferencia de potencial V entre sus extremos, el campo eléctrico en su interior es
aproximadamente
~
E ≈
V
ℓ
^
k (3.2.4)
y la corriente por él es
I =
Z
~
J · d~
S = g
Z
~
E · d~
S ≈
gVA
ℓ
(3.2.5)
donde A es la sección del hilo conductor.
En general se define la resistencia eléctrica R de un conductor a través de la Ley
de Ohm,
V = R I (3.2.6)
por lo cual, en el ejemplo anterior, se ve que la resistencia de un hilo es
R =
ℓ
Ag

Ohm =
Volt
Ampère

. (3.2.7)

La resistencia de un hilo conductor aumenta con su largo, disminuye si la sección
es mayor y es inversamente proporcional a la conductividad g del material del cual
está hecho el hilo. Cuando el conductor es de forma más irregular la expresión del
campo eléctrico puede ser muy complicada, pero siempre se puede usar (3.2.6).
A continuación se dará un argumento de carácter general para ver (3.2.6) a
partir de (3.2.3). Se argumentará que el cuociente R = V/I entre la diferencia
de potencial V = VA − VB aplicada entre los extremos A, B de un conductor y
la corriente que pasa por él no depende de V. Para ver esto se debe recordar que
el potencial dentro del conductor se obtiene resolviendo la ecuación de Laplace
para V(~
r) usando como condiciones de borde que V en un extremo vale VA y
en el otro vale VB. Esta función V determina al campo eléctrico ~
E = −∇V ,
que a su vez determina la densidad de corriente ~
J(~
r) = g ~
E(~
r) que determina
la corriente. Si se aplicara una diferencia de potencial diferente, λV, el campo
eléctrico serı́a λ~
E(~
r) y finalmente la corriente total serı́a λI, de modo que el
nuevo cuociente serı́a λV/λI = V/I. Es decir, el cuociente no cambia porque
se aplica una diferencia de potencial diferente. La resistencia es una propiedad
intrı́nseca de la conexión A B del conductor que se trate.
Más sencillo aún es observar que la resistencia es
R =
R
~
E · d~
r
g
R
~
E · d ~
S
(3.2.8)
y por lo tanto al cambiar ~
E → λ~
E no cambia el valor de R.
3.2.2.2. Visión microscópica de la corriente
En lo que sigue se trata de dar una expresión formal a las razones fı́sicas que se
dieron en §3.2.2.1.
Al aplicar una diferencia de potencial en un conductor, el campo arrastra a las
cargas de conducción por medio de la fuerza q~
E, produciendo una corriente.
Estas cargas, sin embargo, no se mueven aceleradamente debido a que sufren
multiples choques con los centros moleculares que no pueden desplazarse. El
efecto de estas colisiones es el de una viscosidad efectiva, por lo que la ecuación
del movimiento medio de las cargas de conducción es
m
d~
v
d t
= q~
E − η~
v (3.2.9)

donde η es el coeficiente de viscosidad que resulta de los múltiples choques. La
solución general de esta ecuación es
~
v = ~
v0 +~
v1 e−η t/m
donde ~
v0 =
q
η
~
E (3.2.10)
que a tiempo infinito tiende a la velocidad constante ~
v0. Si se quiere suponer que
en el instante cero las partı́culas tenı́an velocidad cero, entonces se debe poner
~
v1 = −~
v0. Pero no se necesitan tiempos infinitos. Para tiempos pocas veces
mayores que
τ ≡
m
η
(3.2.11)
la carga ya tiene una velocidad muy cercana a ~
v0. Para conductores metálicos
usuales a temperatura ambiente este tiempo τ de relajación es del orden de 10−14
segundos, por lo que se puede decir que un conductor al que se le aplica una
diferencia de potencial alcanza en forma casi instantánea su estado de régimen
y las cargas migran con velocidad
~
v0 =
q τ
m
~
E . (3.2.12)
Esta velocidad —tı́picamente es del orden de pocos milı́metros por segundo— es
muchos órdenes de magnitud menor a la velocidad térmica de los electrones (la
que tienen entre choque y choque).
Si se vuelve a mirar la definción (3.1.3) se verá que, suponiendo que todas las
cargas que se mueven valen q y todas las velocidades son ~
v0, se obtiene que en
un volumen pequeño V tal expresión se puede escribir en la forma
~
J =
Nq
V
~
v0 =
Nq2
τ
mV
~
E ,
donde N es el número de cargas de conducción dentro del volumen V. Esta
última expresión arroja una expresión microscópica para la conductividad
g =
Nq2
τ
mV
. (3.2.13)
La conductividad tiene que ver con la densidad de cargas de conducción N/V y
con el tiempo de relajación τ, dado en (3.2.11).

3.2.3. Las ecuaciones y sus condiciones de borde
3.2.3.1. Ecuaciones que rigen el flujo continuo
a) ~
E = −∇V
b) ~
J = g~
E
c) ∇ ·~
J = 0
Para el caso de conductores homogéneos (g = uniforme), las ecuaciones
anteriores permiten deducir que
d) ∇2
V = 0.
e) V es continuo en todos los puntos donde el campo eléctrico es finito;
f) en las superficies de contacto con la fuente (electrodos) se tiene V =
constante, lo que muestra, de (a) y (b), que ~
J nace perpendicular a los
electrodos y se puede calcular la corriente I,
g) I =
R
~
J · d~
S .
3.2.3.2. Condiciones de borde en la interfaz entre dos medios
Tal como en el estudio de condiciones de borde con dieléctricos, se deduce la
continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico
E1t = E2t , (3.2.14)
que también es
g2J1t = g1J2t (3.2.15)
que implica que puntos en estas superficies el rotor de la densidad de corriente
es no nulo: ∇ ×~
J 6= 0.
Para estudiar las componentes normales se considera una densidad de corriente
~
J que fluye cruzando una superficie de contacto entre conductores de distinta
conductividad g. Si se hace una integral de la divergencia (nula) de ~
J en el
volumen de un cilindro infinitesimal con eje normal a la superficie,
R
∇ ·~
JdV, se
obtiene inmediatamente que
J1n = J2n , (3.2.16)

y por lo tanto
g1E1n = g2E2n . (3.2.17)
De las condiciones de borde recién descritas se puede obtener varias consecuencias
sencillas.
- Si la conductividad del medio 2 es nula (2 es aislante) se tiene ~
J2 = 0. De
(3.2.16) se obtiene que J1n = 0, es decir, ~
J1 muy cerca de la interfaz es paralela
(tangencial) a la interfaz.
- En la situación de la Figura 3.4, si se dibuja un pequeño cilindro, de sección A,
de manto perpendicular a la interfaz entre dos conductores 1 y 2 de constantes
dieléctricas y conductividades (ε1, g1) y (ε2, g2) respectivamente, se debe tener
que
I
∂V
~
D · d ~
S = Qℓ(V) = A σℓ .
1 2
Figura 3.4: Corriente que pasa de un
medio “1” a un medio “2” provoca que
aparezca una densidad de carga en la su-
perficie común.
El valor de esta integral proviene solo de la
contribución de las “tapas” e implica
D2n − D1n = σℓ
que ya habı́a sido vista en (1.11.4) .
Esta relación puede ser reescrita como
ε2E2n − ε1E1n = σℓ y también en la for-
ma
ε2
g2
−
ε1
g1

Jn = σℓ , (3.2.18)
donde Jn es la componente normal de la densidad de corriente, proyectada sobre
la normal ^
n que apunta del medio 1 al medio 2. La conclusión es que el paso de
corriente de un medio conductor a otro produce una densidad de carga superficial
dada por (3.2.18).
En un condensador de capacidad C cuyo medio dieléctrico es imperfecto, porque
tiene conductividad g además de una constante dieléctrica ε, se puede ver que
el producto entre su capacidad y su resistencia R es
RC =
ε
g
.

Para demostrarlo se nota que
C =
Q
V
=
R
~
D · d ~
S
R
~
E · d~
r
=
ε
R
~
E · d ~
S
R
~
E · d~
r
,
donde la integral que reemplazó a Q es la integral de superficie de σℓ en la cara
del conductor positivo de los dos conductores enfrentados y
R =
V
I
=
R
~
E · d~
r
R
~
J · d ~
S
=
R
~
E · d~
r
g
R
~
E · d ~
S
.
3.2.4. Las dos leyes de Kirchhoff
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Figura 3.5: Se integra so-
bre una superficie muy cer-
cana a una de las placas del
condensador plano.
Un circuito puede pensarse como una malla de resis-
tencias, baterı́as, condensadores, etc., unidos por con-
ductores perfectos.
Se llama nodo de un circuito a un punto al que conver-
gen más de dos conductores. Si por estos conductores
vienen corrientes Ik hacia un nodo, entonces, en régi-
men estacionario, se debe cumplir que
X
k
Ik = 0 (3.2.19)
relación que se conoce como la primera ley de Kirchhoff
y se comentó con más detalle al obtener (3.2.2).
Se dice que dos nodos son consecutivos si existe un
camino por el circuito que los une sin pasar por otro
nodo. Cada camino entre dos nodos consecutivos se llama rama.
Normalmente en un circuito es posible definir un camino que parte y termina en
un cierto nodo A sin que se pase dos veces por la misma rama. Tal camino se
llama cerrado.
Dado un circuito siempre es posible determinar la corriente que pasa por cada
rama y la caı́da de potencial que hay en ella resolviendo un sistema lineal acoplado
de ecuaciones para las corrientes. Para resolver este problema se debe escoger
tantos caminos cerrados como sea necesario. A cada camino cerrado se le asocia
arbitrariamente un sentido de circulación y a cada rama del circuito se le asigna
una corriente incógnita con un sentido también arbitrario.

La segunda ley de Kirchhoff da la relación matemática que debe escribirse por
cada camino cerrado —y proviene de la condición de irrotacionalidad,(3.2.1))
H
~
E · d~
r = 0 —, y se define como sigue:
a) La caı́da de potencial en cada resistencia R por la que pasa una corriente
I (incógnita) cuyo signo coincide con el sentido de circulación del camino
cerrado, es +RI, de lo contrario es −RI.
b) Si los polos de una baterı́a son atravesados de positivo a negativo por
el sentido de circulación, se tiene una caı́da +E.
c) La suma de las caı́das de potencias en cada rama del camino cerrado
debe ser cero.
3.3. Fuerza electromotriz y efecto Joule
3.3.1. La fem
A B
R
R
i
ε
Figura 3.6: Una baterı́a tie-
ne asociada una fuerza elec-
tromotriz y una resistencia in-
terna.
Una fuente de potencial es un dispositivo que crea
entre sus contactos A, B una diferencia de poten-
cial. Los ejemplos más tı́picos son las baterı́as y los
dı́namos. A estas fuentes se les asocia (a) una re-
sistencia interna Ri y (b) una fuerza electromotriz o
fem. (que se mide en Volts), la que produce una dis-
continuidad en el campo eléctrico. La fem representa
una diferencia de potencial intrı́nseco de la fuente y
se designa con el sı́mbolo E.
Si se mide la diferencia de potencial V = VA − VB
(positiva por definición) entre los contactos de una
fuente y no hay corriente circulando a través de ella,
el resultado es E. En cambio hay una corriente I si
los contactos A, B se conectan a una resistencia R. La caı́da de potencial V en
R en tal caso es
V = R I = VA − VB 0 . (3.3.1)
Pero también puede pensarse que existe una diferencia de potencial E y dos
resistencias en serie,
E = (R + Ri)I (3.3.2)
3.3. FUERZA ELECTROMOTRIZ Y EFECTO JOULE Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

que se combina con la relación previa y da,
V = E − RiI . (3.3.3)
3.3.2. Potencia y efecto Joule
El transporte de cargas a través de una resistencia significa trabajo y por tanto
pérdida de energı́a del sistema baterı́a-resistencia. Si en un lapso ∆t una carga
∆q va de A a B,
∆q = I∆t (3.3.4)
la energı́a inicial asociada a ∆q es Uini = VA∆q y la energı́a final es Ufin =
VB∆q.
R
B
A
Figura 3.7: Baterı́a conec-
tada a una resistencia R.
Esta producción de calor debida al paso de una co-
rriente se denomina efecto Joule.
La energı́a que el sistema pierde en la resistencia R
por este efecto es disipada como calor. Si P es la
potencia disipada en R (energı́a disipada por unidad
de tiempo), la energı́a inicial de ∆q es
Uini = VA∆q = VB∆q + P∆t , (3.3.5)
y la expresión para la potencia disipada se reduce a
P = VI = RI2
=
V2
R

Watt=
Joule
seg

. (3.3.6)
Ejercicio 3.3-1. Demostrar que un circuito formado por una baterı́a y una
resistencia R entrega el máximo de potencia a R cuando R = Ri.
Ahora se estudiará el efecto Joule desde un punto de vista local. Se toma un
elemento de volumen en la forma que se indica en la Figura 3.8, dV con cuatro
aristas paralelas a la densidad de corriente ~
J(~
r ). La diferencia de potencial entre
las caras opuestas es dV = ~
E · d~
r, mientras que la corriente que pasa por esas
caras es dI = ~
J · d ~
S. De aquı́ que la potencia que se disipa en dV es
dP = dV dI = ~
J · d ~
S ~
E · d~
r . (3.3.7)

dS
dr
J
Figura 3.8: Se escoge ele-
mentos de volumen com-
puestos por d~
S y d~
r; el últi-
mo paralelo a la densidad
de corriente ~
J.
Pero como el elemento de camino d~
r es paralelo a ~
J,
por elección del elemento de volumen, el lugar de estos
dos vectores puede ser intercambiado en la expresión
anterior,
dP = ~
E ·~
J d~
r · d ~
S (3.3.8)
pero d~
r · d ~
S es el elemento de volumen dV sobre el
cual se integra, obteniéndose,
P =
Z
V
~
J · ~
E dV . (3.3.9)
Esta es la expresión general de la potencia disipada. La
expresión (3.3.6) en cambio, tiene sentido solo en los casos particulares cuando
existe una única diferencia de potencial en el problema.
En la deducción anterior se hizo el intercambio de posición de dos vectores:
d~
r ←→ ~
J . (3.3.10)
3.4. Semiconductores
La velocidad de desplazamiento en un conductor de los electrones —carga q y
masa m— en presencia de un campo eléctrico de magnitud E es v = τ q E/2m,
donde τ es el tiempo promedio entre choque y choque que sufren los electrones.
En una descripción cuántica del fenómeno de conducción se ve que esos choques
se deben a las imperfecciones de la estructura cristalina de los conductores. En
efecto, la fı́sica cuántica establece que si un cristal es perfecto, su resistividad
es nula. Para metales como plata, cobre, oro y otros la resistividad a 20◦
C es
de alrededor de 10−8
Ohm/metro, para silicio es 6.2 10−2
Ohm/metro, para el
azufre es 1015
Ohm/metro etc. Ver la Tabla 3.1.
Las imperfecciones son de dos tipos: (a) los átomos que constituyen el cristal
siempre vibran, debido a la temperatura del material, de modo que no están en un
orden perfecto, causando choques; (b) el material puede no ser perfectamente
cristalino debido a que es una mezcla de átomos que no pueden formar una
estructura cristalina perfecta.
Un ejemplo del caso (a) es cobre puro. La conductividad del cobre al bajar su
temperatura de 300◦
K a 4◦
K aumenta entre 50 y 100 veces. Un ejemplo del caso
3.4. SEMICONDUCTORES Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

(b) es el bronce (aleación de cobre y zinc) para el cual con el mismo descenso
de temperatura la conductividad aumenta apenas unas cuatro veces.
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Niveles donantes
de impureza
Niveles receptores
de impureza
Figura 3.9: Se muestran diferentres disposiciones de bandas de energı́a per-
mitidas. Las achuradas en diagonal representan bandas vacı́as, las cuadriculadas
son las que ocupan los electrones. Las zonas blancas son las brechas prohibidas.
Los dos primeros esquemas a la izquierda corresponden a conductores, el ter-
cero corresponde a un aislante; el cuarto (brecha muy pequeña) a un tipo de
semiconductor. A la extrema derecha se muestra en diagrama de bandas de un
semiconductor obtenido de un aislante con impurezas que agregan niveles en la
brecha prohibida.
Para comprender mejor el fenómeno de conducción es necesario tener presentes
ingredientes propios de la fı́sica cuántica. Ası́ como un átomo aislado tiene niveles
aislados de energı́a, los cristales tienen bandas de energı́a. Estrictamente esas
bandas no corresponden a un continuo de valores posibles para la energı́a, sino a
un gran conjunto de enegı́as discretas muy cercanas entre sı́. Entre estas bandas
hay brechas prohibidas. Un electrón en el cristal solo puede tener una energı́a
correspondiente a una que esté dentro de alguna de las bandas de energı́a, jamás
a un valor de la energı́a que esté en una de las brechas. Además el principio de
exclusión de Pauli, el que establece que tan solo dos electrones —con sus spin
opuestos— pueden ocupar un mismo estado cuántico.
La Figura 3.9 muestra cuatro ejemplos de formas en que pueden estar dispuestas
las bandas de energı́a permitida y las brechas prohibidas. Los electrones ocupan
las energı́as más bajas posibles dentro de las bandas de energı́a. Todos los electro-
nes no pueden estar en la parte más baja posible debido al principio de exclusión
de Pauli. Si no hay brecha entre las energı́a ocupadas y energı́as permitidas no
ocupadas, los electrones pueden desplazarse, teniéndose un conductor. Por el
contrario, si existe una brecha importante entre la banda totalmente ocupada y

una banda permitida, se tiene un aislante.
Cuando hay una pequeña brecha entre la banda ocupada y una banda vacı́a,
se tiene un tipo de semiconductor. Debido a la excitación que produce la agi-
tación térmica muchos electrones saltan permanentemente a la banda cercana
superior, dejando un estado vació en la banda de abajo (huecos). Al aplicar un
campo eléctrico esos electrones excitados pueden aumentar levemente su energı́a
y trasladarse, lo que además hace que los huecos, que se comportan con cargas
positivas, se muevan en el sentido contrario. Al aumentar la temperatura hay
más electrones excitados y la conductividad aumenta, contrario a lo que ocurre
con un conductor normal.
El caso representado a la extrema derecha en la Figura 3.9 es el de un semicon-
ductor obtenido a partir de agregar impurezas a un aislante. Se tiene dos tipos
de semiconductores.
Tipo n Las impurezas agregan electrones en niveles justo debajo de la banda vacı́a,
se les llama niveles donantes, porque ellos donan electrones a la banda
superior permitiendo que haya conducción de electrones.
Tipo p En este caso las impurezas agregan niveles vacı́os justo sobre la banda
llena. Estos niveles aceptan (reciben) electrones de la banda llena, dejando
un hueco en la banda inferior, el cual puede moverse como si se tratara de
una carga positiva.
3.5. Problemas
3.1 Dos trozos de material conductores imperfectos (ε1, g1 y ε2, g2) de igual
geometrı́a (paralelepı́pedo rectangular) están unidos por una de sus caras
(de área A0). Las respectivas caras opuestas a las caras de contacto son
mantenidas con una diferencia de potencial V0 y la arista perpendicular a
estas caras es de largo b en cada material. Determine la carga libre en la
superficie de contacto.
3.2 Se tiene dos mantos cilı́ndricos concéntricos de la misma altura h, de radios
a y b que son conductores “perfectos”. El espacio entre ellos está lleno con
dos materiales caracterizados por sus constantes dieléctricas y conductivi-
dades: (ε1, g1) y (ε2, g2) respectivamente. Si se mantiene una diferencia
de potencial V0 entre los conductores determine (a) el campo eléctrico

en cada punto en la zona entre los dos conductores perfectos y (b) la re-
sistencia R del sistema y la potencia P que se disipa entre los dos cilindros.
Desprecie los efectos de los bordes.
3.3 Un conductor esférico de radio a está rodeado por un conductor concéntrico
de radio b a. El espacio entre los conductores está lleno con un medio
cuya conductividad varı́a con el radio: g =
c
r
. Si la esfera exterior se
mantiene a un potencial V0 y una corriente total I fluye radialmente entre
los conductores determine:
• el potencial eléctrico a una distancia r a desde el centro y
• la potencia disipada en el medio.
3.4 Se sabe que la atmósfera tiene una conductividad (causada principalmente
por los rayos cósmicos) que depende de la altura de la siguiente manera:
g(z) = (3 + 0,5z2
) 10−14
[Ωm]−1
(3.5.1)
donde z es la distancia vertical sobre el suelo. Se ha encontrado además
un campo eléctrico vertical, dirigido hacia el suelo, que en la superficie de
la Tierra vale:
~
E = −100^
k [V/m] (3.5.2)
Suponga el siguiente modelo de la atmósfera: Una capa conductora paralela
a la superficie, situada a una distancia de 15[Km] sobre el suelo; entre esta
capa y el suelo se encuentra la atmósfera, con la conductividad y el campo
eléctrico indicados más arriba. El radio de la Tierra es RT = 6400[Km].
(a) Calcule el campo eléctrico y el potencial en la atmósfera, en función de
la altura z. (b) Calcule la corriente total que fluye entre la capa superior
conductora y el suelo. (c) Calcule la densidad de carga superficial en la
superficie de la Tierra y la densidad de carga en la atmósfera. Sugerencia:
aproveche la condición: z ≪ RT con lo cual se pueden considerar que las
superficies son planas.
3.5 Entre dos placas paralelas separadas por una distancia h y mantenidas
a una diferencia de potencial V0 hay un medio lı́quido con una solución
inhomogénea con constante diléctrica uniforme ǫ.

Como efecto de esto el medio
entre las placas tiene una con-
ductividad g(z) que tan solo de-
pende de la distancia z a la placa
inferior:
g(z) =
g0
1 + (z/h)2
.
Vo h
+
g(z)
ε
Obtenga la densidad de corriente, el campo eléctrico y el desplazamiento.
Obtenga también la densidad de carga libre en el lı́quido.
3.6 Se tiene N baterı́as, cada una con la misma fuerza electromotriz E y la
misma resistencia interna Ri. Ellas pueden ser conectadas todas en serie
o bien todas en paralelo y, en ambos casos, el circuito es cerrando con
una resistencia R. Determine las potencias P1 y P2 que se disipan en R en
cada uno de los dos casos. Encuentre el valor R1 de R que permite obtener
el mayor valor para P1 y encuentre el valor R2 de R que permite obtener
el mayor valor para P2. Determine en cuál de los dos casos la potencia
disipada en R es mayor.

Capı́tulo 4
Magnetostática
4.1. Corrientes y campo magnético
La forma más directa de apreciar la existencia de campos magnéticos se relaciona
con los imanes. Con ellos se puede atraer trozos de hierro. Una brújula es un
imán de forma alargada que puede girar para alinearse con el campo magnético
de la Tierra. Su uso fue descrito por primera vez por Shen Gua (o Shen Kuo)
(1031–1095).
4.1.1. Anticipo
Es interesante observar que si en la ley de continuidad (3.1.6): ∇·~
J+∂ρ/∂t = 0
la densidad ρ se reemplaza por ε0∇ · ~
E se obtiene que
∇ ·

ε0
∂~
E
∂t
+~
J
#
= 0 . (4.1.1)
Pero si una función vectorial tiene divergencia nula en todas partes, puede escri-
birse como el rotor de una función vectorial ~
B(~
r, t) como sigue
∇ × ~
B = µ0
~
J + µ0ε0
∂~
E
∂t
donde µ0 =
4π
107
. (4.1.2)
La relación formal (5.4.2) será más adelante justificada utilizando leyes fı́sicas
y de tal forma que ~
B podrá ser interpretado como el campo magnético que se
93

produce tanto debido a la presencia de una densidad de corriente como a la
presencia de un campo eléctrico variable.
Hans Christian Oersted era profesor de ciencia en la Universidad de Copenha-
gen. En 1820 organizó en su casa una demostración cientı́fica para amigos y
estudiantes. Planeaba demostrar el calentamiento de un alambre debido al paso
de una corriente, y también querı́a hacer una demostración de magnetismo por
lo cual dispuso de una brújula.
Cuando estaba en medio de la demostración Oersted notó, para su sorpresa,
que cada vez que hacı́a la conección para que circulara la corriente eléctrica la
aguja de la brújula se movı́a. Nada le contó a sus amigos, pero en los meses que
siguieron trabajó concentradamente tratando de entender este nuevo fenómeno.
Pero no logró dar con una explicación y publicó su hallazgo sin dar explicación
alguna.
André-Marie Ampère, en Francia, razonó que si la corriente del alambre ejercı́a
fuerza sobre una brújula, entonces también un alambre con corriente debı́a ejercer
fuerza magnética sobre otro alambre con corriente. Esta ley de Ampère va a ser
enunciada algo más adelante, en la ecuación (4.4.4).
4.1.2. Dos nuevas leyes
.
.
q’
r’
r
r−r’
B(r)
q
r
v
B(r)
Figura 4.1: A la izquierda una carga q ′
en movimiento produce un campo magnético ~
B(~
r )
definido en (4.1.3) en todo punto ~
r. A la derecha se tiene la acción de una fuerza magnética
definida en (4.1.4) sobre una carga en movimiento en presencia de un campo magnético.
Dos son las leyes experimentales que establecen la causa y el efecto de un campo
magnético:
(a) Una carga puntual q′
en posición ~
r ′
que se mueve a velocidad ~
v ′
produce
en ~
r un campo magnético
~
B(~
r ) =
µ0
4π
q′~
v ′
× (~
r −~
r ′
)
k~
r −~
r ′k3
. (4.1.3)
4.1. CORRIENTES Y CAMPO MAGNÉTICO Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

(b) La fuerza que actúa sobre una carga puntual q ubicada en ~
r que se mueve
con velocidad ~
v en presencia de un campo magnético externo ~
B(~
r ), es
~
F = q~
v × ~
B(~
r ) , (4.1.4)
la que se conoce como fuerza de Lorentz. Hoy dı́a es más común llamar fuerza
de Lorentz a la fuerza electromagnética total que puede actuar sobre una carga
q, esto es
~
F = q~
E + q~
v × ~
B . (4.1.5)
4.1.3. Campo magnético debido a una corriente
.
V’
r
r − r’
r’
d
Figura 4.2: Se considera un ele-
mento de volumen dV′
en el con-
ductor con corriente. Este pequeño
volumen es responsable de una parte
d3~
B del campo total que la corriente
provoca y está dada en (4.1.6).
La ecuación (4.1.3) puede ser extendida para
escribir la contribución al campo magnético en
la posición ~
r debido a la densidad de corriente
~
J(~
r ′
) que hay en un elemento de volumen dV′
en torno al punto ~
r ′
. Resulta ser
d3~
B(~
r ) =
µ0
4π
~
J(~
r ′
) × (~
r −~
r ′
) dV′
k~
r −~
r ′k3
. (4.1.6)
Para obtener esta expresión se reemplazó el fac-
tor q′~
v ′
que hay en (4.1.3) por ρ(~
r ′
)~
v ′
dV′
=
~
J(~
r ′
) dV′
.
De (4.1.6) es inmediato ver que
~
B(~
r ) =
µ0
4π
Z
~
J(~
r ′
) ×
~
r −~
r ′
k~
r −~
r ′k3
dV′
. (4.1.7)
Ejemplo: Uso de (4.1.7). Se considera el caso de un alambre cilı́ndrico infinito
de radio a que apunta en la dirección Z. Se quiere calcular el campo magnético
en un punto P fuera del alambre a distancia ρ del eje de simetrı́a (ρ a): ~
r = ρ^
ı.
En este ejemplo se tomará que la densidad de corriente depende tan solo de la
distancia al eje de simetrı́a
~
J = J(ρ′
) ^
k .
El elemento de volumen es ρ′
dρ′
dz dφ. El vector posición ~
r ′
genérico dentro
del conductor cilı́ndrico se puede escribir
~
r ′
= ρ′
^
ı cos φ +^
j sin φ

+ z^
k .

Se está usando vectores cartesianos para indicar las direcciones que permanecen
fijas mientras se integra sobre ~
r ′
, pero es más claro e intuitivo pensar en (^
ı,^
j, ^
k)
como (^
ρ, ^
φ, ^
k), donde ^
ı y ^
j son vectores fijos. De lo anterior
~
r −~
r ′
= ^
ı (ρ − ρ′
cos φ) −^
j ρ′
sin φ − z ^
k
k~
r −~
r ′
k =
p
ρ2 + ρ′2 − 2ρρ′ cos φ + z2 .
Por esto
~
B =
µ0
4π
Z
J(ρ′
)
^
k ×

^
ı (ρ − ρ′
cos φ) −^
j ρ′
sin φ − z ^
k

p
ρ2 + ρ′2 − 2ρρ′ cos φ + z2
3
ρ′
dρ′
dz dφ .
El término con z en el numerador desaparece debido al producto cruz. Además
se puede ver que
Z∞
−∞
dz
p
ρ2 + ρ′2 − 2ρρ′ cos φ + z2
3
=
2
ρ2 + ρ′2 − 2ρρ′ cos φ
,
con lo cual
~
B =
µ0
2π
Z
J(ρ′
)
ρ^
j −^
jρ′
cos φ +^
ıρ′
sin φ
ρ2 + ρ′2 − 2ρρ′ cos φ
ρ′
dρ′
dφ .
Se procede a integrar en φ. La última de las tres integrales es nula por paridad
y las otras dos dan
~
B =
µ0
2π
Z
J(ρ′
)

2πρρ′
ρ2 − ρ′2
−
2πρ′3
ρ(ρ2 − ρ′2)

dρ′ ^
j .
El paréntesis cuadrado vale ρ′
/ρ y como I = 2π
R
J(ρ′
) ρ′
dρ′
el resultado es
~
B =
µ0I
2πρ
^
j −→
µ0I
2πρ
^
φ
donde se devolvió a ^
j su sentido geométrico llamándolo ^
φ como se explicó bajo
la definición de ~
r ′
. ◭
Si la densidad de corriente ~
J está circulando por un conductor filiforme 1 y el
elemento de volumen se expresa como el producto punto entre el elemento de
longitud d~
r ′
a lo largo del circuito 1 y el elemento de sección d~
S′
del conductor
de este mismo circuito, entonces se puede usar (3.3.10) para reemplazar en

(4.1.6) los factores ~
J dV′
por d~
r ′~
J(~
r ′
) · d~
S′
. Después de hacer esa sustitución se
puede integrar sobre toda la sección del conductor, obteniéndose, según (3.1.4),
la corriente I que circula en el conductor,
d~
B(~
r ) =
µ0 I′
d~
r ′
× (~
r −~
r ′
)
4πk~
r −~
r ′k3
. (4.1.8)
.
r
r’
’
B(r)
Γ
Figura 4.3: La expresión (4.1.9) da el
campo magnético producido por un cir-
cuito filiforme Γ con corriente I.
Se hizo uso de (3.3.10) con d~
r ′
represen-
tando al elemento de un camino Γ que coin-
cide con una lı́nea de corriente ~
J. En la ex-
presión (4.1.8), donde se ha integrado sobre
la sección del conductor, el vector ~
r ′
define
al punto donde Γ corta a esta sección. Para
obtener (4.1.8) se ha supuesto que el con-
ductor es muy delgado, de otro modo no
se podrı́a integrar sobre la sección en forma
tan sencilla.
De la expresión anterior se obtiene el campo
magnético total ~
B producido por un circuito
cerrado Γ,
~
B(~
r ) =
µ0
4π
I
I
Γ
d~
r ′
× (~
r −~
r ′
)
k~
r −~
r ′k3
. (4.1.9)
Esta expresión se conoce como la ley de Biot-Savart.
Ejercicio 4.1-1. Con la expresión anterior demostrar que el campo producido
por una corriente I que circula por un alambre rectilı́neo infinito es,
~
B(ρ, φ) =
µ0I
2πρ
^
φ (4.1.10)
donde ρ es la coordenada radial propia de coordenadas cilı́ndricas.
Ejercicio 4.1-2. Demostrar que el campo que produce una corriente I que
circula por una circunferencia de radio a, a distancia z, sobre el eje de la circun-
ferencia, es
~
B =
µ0I
2
a2
(a2 + z2)3/2
^
k . (4.1.11)
Ejercicio 4.1-3. Demostrar que el campo magnético que hay en el interior de
una bobina cilı́ndrica, ideal, infinita con n vueltas por unidad de longitud y con

corriente I en cada espira es un campo uniforme y vale
~
B = µ0nI^
k interior de la bobina . (4.1.12)
donde ^
k es la dirección del eje de la bobina.
4.1.4. Efecto Hall
Cuando circula una corriente por un conductor en presencia de un campo mag-
nético externo, las cargas en movimiento—las cargas de conducción—tienden
a desviarse de su trayectoria longitudinal por el conductor debido a la fuerza
magnética
~
Fmag = q~
v × ~
B = −qe ~
v × ~
B .
Como efecto de esto se carga más un costado del conductor que el otro y se
produce un campo eléctrico transversal a ~
J y ası́ se establece un equilibrio. El
campo eléctrico transversal ~
Etr que aparece produce una fuerza exactamente
opuesta a la fuerza magnética dada más arriba:
A
a
I
V
B
Figura 4.4: Por un conductor de sección A y ancho a circula una corriente
total I. Si además hay un campo magnético externo ~
B se produce una diferencia
de potencial transversal a la corriente y al campo magnético (en esta figura ~
B es
perpendicular a la circulación de la corriente I y es perpendicular al ancho a). La
aparición de esta diferencia de potencial transversal es el efecto Hall. La versión
cuántica de este efecto se relaciona con el premio Nobel de fı́sica de 1998.
qe
~
Etr = −qe ~
v × ~
B .
Suponiendo que estos vectores son todos paralelos o perpendiculares se puede
trabajar escalarmente
Etr = vB ⇒ V = a Etr = v B a ,

donde la velocidad v de las cargas es proporcional a J, v = β J donde β es una
constante que tiene que ver con la conductividad del material. Pero J = I/A con
lo cual
V = β
I B a
A
es decir, aparece una diferencia de potencial V. Esto fue descubierto experimen-
talmente por Edwin H. Hall en 1879.
4.2. Potencial vectorial
4.2.1. Definición usando ~
J
La expresión (4.1.6) puede ser escrita en la forma
d3~
B(~
r ) = −
µ0
4π
~
J(~
r ′
) × ∇
1
k~
r −~
r ′k
dV′
=
µ0
4π
∇ ×
~
J(~
r ′
)
k~
r −~
r ′k
dV′
(4.2.1)
porque ∇ actúa sobre las coordenadas sin prima. De aquı́ resulta que ~
B se puede
escribir como un rotor
r
r’
I
Figura 4.5: Las integrales se hacen escogiendo un elemento de volumen con
cuatro de sus aristas paralelas a la densidad de corriente ~
J.
~
B(~
r ) =
µ0
4π
∇ ×
Z ~
J(~
r ′
)
k~
r −~
r ′k
dV′
. (4.2.2)
Esta integral es sobre todo el espacio. En la práctica queda restringida a las zonas
donde la densidad de corriente ~
J sea no nula.

La expresión anterior (4.2.2) indica que siempre el campo magnético puede ser
escrito como el rotor de una función vectorial que será denominada potencial
vectorial : ~
A(~
r ), es decir,
~
B(~
r ) = ∇ × ~
A(~
r ) (4.2.3)
donde
~
A(~
r ) =
µ0
4π
Z
1
k~
r −~
r ′k
−
1
k~
r0 −~
r ′k

~
J(~
r ′
) dV′
+ ∇Λ(~
r ) . (4.2.4)
El vector ~
r0 es un punto arbitrario donde se escoge que el término integral en
(4.2.4) se anule. La función Λ(~
r ) también es arbitraria.
El volumen de integración serı́a en principio todo el espacio, pero en la práctica
es el volumen de la zona en la cual la densidad de corriente es no nula, esto es,
V es el volumen del conductor por el cual circula la corriente.
De (4.2.3) se desprende que,
∇ · ~
B = 0 . (4.2.5)
La libertad para escoger ~
A de entre una familia infinita de funciones conectadas
por distintas funciones Λ(~
r ) se llama libertad de gauge. Tal libertad (que no
tiene significado fı́sico directo) es usada, especialmente en magnetostática, para
que el potencial vectorial satisfaga
∇ · ~
A = 0 (4.2.6)
que se conoce como gauge de Coulomb.
Si además hubiese una densidad de corriente de superficie ~
K(~
r ′
) la expresión
(4.2.4) tendrı́a un término extra.
En (4.1.9) se estableció que el campo magnético ~
B(~
r ), debido a un circuito Γ
por el que circula una corriente I, es
~
B(~
r ) =
µ0I
4π
I
Γ
d~
r ′
× (~
r −~
r ′
)
k~
r −~
r ′k3
(4.2.7)
donde ~
r ′
es el vector que recorre la fuente, es decir, el circuito Γ. La expresión
anterior es equivalente a
~
B(~
r ) = −
µ0I
4π
I
Γ
d~
r ′
× ∇r
1
k~
r −~
r ′k
(4.2.8)
4.2. POTENCIAL VECTORIAL Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

que es
~
B(~
r ) =
µ0I
4π
∇r ×
I
Γ
d~
r ′
k~
r −~
r ′k
. (4.2.9)
Nuevamente se ve que el campo magnético, esta vez debido a un circuito, puede
escribirse como el rotor de un potencial vectorial ~
A,
~
A(~
r ) =
µ0I
4π
I
Γ

1
k~
r −~
r ′k
−
1
k~
r0 −~
r ′k

d~
r ′
+ ∇Λ(~
r ) . (4.2.10)
Para circuitos ideales infinitos el vector ~
r0 no puede ser tomado de magnitud
infinita.
Más adelante se verá que la noción de flujo magnético Φ a través de una superficie
S es fı́sicamente interesante,
Φ =
Z
S
~
B(~
r ) · dS =
Z
S
∇ × ~
A(~
r ) · dS =
I
Γ=∂S
~
A(~
r ) · d~
r . (4.2.11)
Es muy fácil demostrar que el flujo magnético no depende de Λ(~
r ), es decir, se
obtiene el mismo Φ con ~
A y con ~
A′
ya que
H
∇Λ · d~
r ≡ 0.
En casos con suficiente simetrı́a la relación
R
S
~
B(~
r )·dS =
H
Γ=∂S
~
A(~
r )·d~
r puede
ser útil para determinar ~
A.
4.2.2. Campo ~
B y potencial vectorial a partir de ~
K
Se verá el efecto de una densidad de corriente superficial. En tal caso existe una
contribución al campo magnético análoga a (4.1.6) y que es (usando ~
∆ ≡ ~
r−~
r ′
)
d2~
B(~
r ) =
µ0
4π
σ′
dS′
~
v ′
× ~
∆
∆3
=
µ0
4π
~
K(~
r ′
) × ~
∆(d~
ℓ ′
× d~
r ′
) · ^
n
∆3
=
µ0
4π
d~
r ′
× ~
∆[d~
ℓ ′
× ~
K · ^
n]
∆3
, (4.2.12)
donde se obtuvo la segunda lı́nea identificando σ′~
v ′
con ~
K y el elemento escalar
de superficie con (d~
ℓ ′
× d~
r ′
) · ^
n. Aquı́ d~
ℓ ′
es el elemento de camino transversal

tal como el que se usó en (3.1.9). La tercera lı́nea surge de intercambiar las
ubicaciones de ~
K con el elemento de camino d~
r ′
. Finalmente, integrando sobre
el camino transversal se obtiene la corriente total de superficie e integrando a
lo largo del camino de corriente se obtiene el campo total debido a la corriente
superficial:
~
BS =
µ0
4π
IS
I
d~
r ′
× (~
r −~
r ′
)
k~
r −~
r ′k3
. (4.2.13)
.
dl’
dr’
n
K
Figura 4.6: También interesan las den-
sidades de corriente superficiales ~
K. Inte-
grando ~
K a lo largo de una lı́nea transver-
sal se obtiene la corriente total.
Por otro lado también se puede escribir
~
BS =
µ0
4π
Z
~
K(~
r ′
) ×
~
r −~
r ′
k~
r −~
r ′k3
dS′
= −
µ0
4π
Z
~
K × ∇r
1
k~
r −~
r ′k
dS′
=
µ0
4π
∇r ×
Z ~
K(~
r ′
)
k~
r −~
r ′k
dS′
que implica que la contribución al potencial
vectorial de la densidades de corriente de
superficie es
~
AS(~
r ) =
µ0
4π
Z
1
k~
r −~
r ′k
−
1
k~
r0 −~
r ′k

~
K(~
r ′
) dS′
. (4.2.14)
Ejemplo: Dada la corriente I a lo largo de un alambre recto infinito se puede
calcular ~
A usando (4.2.10). El elemento de camino es ^
k dz y se debe calcular
~
A(~
r ) =
µ0I ^
k
4π
Z∞
−∞
1
p
ρ2 + z2
−
1
p
ρ2
0 + z2
!
dz = −
µ0I
2π
ln

ρ
ρ0

^
k .
Otra forma de obtener lo mismo, puesto que se sabe que el campo es
~
B =
µ0I
2πρ
^
φ
el flujo por un circuito rectangular con dos aristas paralelas al eje con corriente
(largo h) y con aristas perpendiculares desde ρ = a hasta ρ = b, es
Φ =
µ0I h
2π
Zb
a
dρ
ρ
=
µ0I h
2π
ln
b
a
,
4.2. POTENCIAL VECTORIAL Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

pero de (4.2.11) se sabe que Φ se obtiene de una integral de ~
A por el perı́metro
del rectángulo. Suponiendo que ~
A = A(ρ) ^
k se ve que las aristas perpendiculares
al eje no contribuyen y las otras trivialmente dan (A(a) − A(b)) h, por lo cual
A(a) − A(b) =
µ0I
2π
ln
b
a
=
µ0I
2π

ln
b
c
− ln
a
c

de donde
~
A(ρ) = −
µ0I
2π
ln
ρ
c
^
k
c es una distancia arbitraria ◭
4.2.3. Otro gauge
El problema que acaba de resolverse admite un potencial más general
~
A(ρ, z) =

αµ0I
2πρ
z + f(z) + h(ρ)

^
ρ
+

(α − 1)
µ0I
2π
ln

ρ
ρ0

+ ρ
df(z)
dz

^
k (4.2.15)
donde α es una constante arbitraria y tanto h(ρ) como f(z) son funciones arbi-
trarias de sus respectivos argumentos.
Verificar que para que se satisfaga ∇ · ~
A = 0 es necesario que h(ρ) = a0/ρ y
f(z) = a1 + a2 z.
4.3. Ley circuital de Ampère
En lo que sigue se demostrará que en régimen permanente, esto es, cuando se
satisface ∇ ·~
J = 0, se cumple que
∇ × ~
B(~
r ) = µ0
~
J(~
r ) . (4.3.1)
Previamente es necesario hacer dos demostraciones.
• a) Se demostrará que la integral de volumen del Laplaciano de 1/r calculada
en cualquier volumen que contenga al origen vale −4π. Para comprender esta
demostración es necesario tener claro que el Laplaciano de 1/r es nulo en todas

partes, excepto en el origen. Por lo tanto la integral que se va a estudiar no
depende de la forma del volumen V considerado, solo depende de si el origen
está o no dentro de V.
Z
V
∇2 1
r
dV =
Z
V
∇ ·

∇
1
r

dV =
I
∂V
∇
1
r
· d~
S =
I
∂V

−
^
r
r2

· ^
r r2
dΩ
= −4π . (4.3.2)
Arriba dΩ es el elemento de ángulo sólido. El ángulo sólido que subtiende una
superficie cerrada que no contiene al origen es cero y el de una superficie que
contiene al origen es 4π. Se usó el elemento de superficie de una esfera centrada
en el origen aprovechando que el resultado no depende de la forma del volumen.
El resultado anterior se escribe
∇2 1
r
= −4π δ(x) δ(y) δ(z) (4.3.3)
donde la “función” δ es nula en todas partes excepto en el origen y además
Rb
a
f(x)δ(x) dx = f(0), para toda función f(x) bien definida en x = 0 y siempre
que el intervalo (a, b) contenga al origen.
• b) Se plantea calcular el rotor de ~
B a partir de la expresión (4.2.2), para lo
cual se tiene presente la identidad ∇ × (∇ × ~
C) ≡ ∇(∇ · ~
C) − ∇2 ~
C,
4π
µ0
∇ × ~
B = ∇ × ∇ ×
Z ~
J(~
r ′
)
k~
r −~
r ′k
dV′
!
= ∇ ∇ ·
Z ~
J(~
r ′
)
k~
r −~
r ′k
dV′
!
− ∇2
Z ~
J(~
r ′
)
k~
r −~
r ′k
dV′
.
De estas dos contribuciones, se puede afirmar inmediatamente que gracias a
(4.3.2) la segunda arroja 4π~
J(~
r ). La primera contribución requiere de más análi-
sis. El paréntesis que hay en el primer término es
∇ ·
Z ~
J(~
r ′)
k~
r −~
r ′k
dV′
=
Z
~
J(~
r ′
) · ∇
1
k~
r −~
r ′k
dV′
= −
Z
~
J(~
r ′
) · ∇′ 1
k~
r −~
r ′k
dV′
= −
Z
∇′
·
~
J(~
r ′)
k~
r −~
r ′k
dV′
+
Z
∇′ ·~
J(~
r ′)
k~
r −~
r ′k
dV′
. (4.3.4)
4.3. LEY CIRCUITAL DE AMPÈRE Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Siendo estas integrales en todo el espacio, la primera es nula porque puede
convertirse en una integral de superficie a distancia infinita. La segunda es nula
porque en magnetostática se cumple que ∇ ·~
J = 0. Se concluye entonces que la
relación (4.3.1) es válida.
S
I
Γ
Figura 4.7: La corriente que corta
superficie S puede determinarse inte-
grando al campo magnético en Γ =
∂S.
Un corolario sigue de inmediato. Si se integra
la relación (4.3.1) sobre una sección S parcial
de un conductor por el que circula la densi-
dad ~
J(~
r ), se tiene, por el teorema de Stokes,
que el lado izquierdo puede ser escrito como
la integral sobre un camino cerrado Γ que co-
rresponde al borde de la sección S, de modo
que,
I
Γ
~
B · d~
r = µ0
Z
~
J · d~
S (4.3.5)
esto es, I
Γ=∂S
~
B · d~
r = µ0IS Ley de Ampère (4.3.6)
que se conoce como la forma integral de la ley circuital de Ampère. IS es la
corriente que corta a cualquier superficie S cuyo borde es Γ.
Lo visto en este capı́tulo permite calcular campos magnéticos en diversas situa-
ciones. En casos muy simétricos es posible calcular campos magnéticos haciendo
uso de la ley circuital de Ampère. En otros hay que conformarse con (4.2.7) o
con un cálculo del potencial vectorial.
Ejercicio 4.3-1. Demostrar que el campo que hay en el interior de una bobina
toroidal de N vueltas y corriente I en cada vuelta depende tan solo de la distancia
ρ al eje del toroide y del vector unitario ^
φ,
~
B =
µ0NI
2πρ
^
φ . (4.3.7)
Este campo es proporcional a ρ−1
tal como lo es el campo generado por una
corriente a lo largo del eje Z.
4.3.1. El campo en todo el interior de una bobina recta
Consideremos una bobina recta muy larga. Se sabe que el campo magético en
el eje es ~
Beje = µ0nI ^
k. Se supondrá que el campo en todo el interior es en la

C
C
1
2
Figura 4.8: A la izquierda una bobina cilı́ndrica idealmente infinita y dos circuitos rectan-
gulares, C1 y C2. A la derecha una superficie toroidal en la cual puede haber enrollada una
bobina.
dirección ^
k y, más precisamente se supondrá que
~
Binterior = B(ρ) ^
k .
Para determinar B(ρ) se usa la ley de Ampère con el camino C1 de la Figu-
ra 4.8. En la integral de camino sólo contribuyen las partes del rectángulo que
son paralelas al eje de la bobina, lo que da (B(0) −B(ρ)) h = 0. El lado derecho
es nulo porque no hay corriente encerrada. Esto determina que el campo en el
interior interior es uniforme
B(ρ) = B(0) = µ0nI .
Para determinar el campo en el exterior nuevamente se supone que éste es pro-
porcional a ^
k. Aplicando la ley de Ampère usando el camino C2 de altura h, y
usando que este camino es cruzado por una corriente n I h se obtiene que
(Binterior − Bexterior) h = µ0nIb
que implica que
Bexterior = 0 .
El campo fuera de la bobina es nulo.
Esto es cierto en la medida en que se considera que la bobina se construye con
un conjunto de N circunferencias con corriente. Si se toma en cuenta que no son
4.3. LEY CIRCUITAL DE AMPÈRE Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

un conjunto de N circunferencias sino una sola hélice, se puede determinar que
hay un pequeño campo exterior proporcional a ^
φ.
Es fácil comprobar que un posible potencial para el campo en el interior de la
bobina es
~
A(ρ a) = ρ2
− a2
B0
2ρ
^
φ .
4.3.2. El campo en el interior de una bobina toroidal
En el caso de una bobina toroidal de N vueltas se adivina que el campo interior
es de la forma
~
Binterior = B(ρ, z) ^
φ.
Escogiendo un camino circunferencial interior que mantiene la simetrı́a del siste-
ma, la ley de Ampère establece que
µ0NI =
I
B(ρ, z)^
φ · ^
φρ dφ = B(ρ, z) ρ 2π .
Se ve que el escalar B no depende de z, sino tal solo de ρ y el campo es
~
Binterior =
µ0NI
2πρ
^
φ .
Nótese que N
2πρ
juega el papel de número de vueltas por unidad de largo. También
se destaca que ya se ha visto un campo en la dirección de ^
φ y proporcional a
1/ρ: es el campo que produce la corriente a lo largo de un a recta que coincide
con el eje Z.
Un potencial vectorial asociado a este campo es
~
A = −
µ0NI
2π
ln
ρ
ρ0
^
k
Un potencial ~
A más general en este caso, definido por sus componentes cilı́ndricas
pueden ser
Aρ =
c
ρ
+
Zz
0
∂f
∂ρ
dz , Aφ =
1
ρ
Zz
0
∂f
∂φ
dz , Az = −
µ0NI
2π
ln(
ρ
ρ0
) + f(ρ, φ, z) .
Las funciones f y h son arbitrarias pero si se desea trabajar en el gauge de
Coulomb, en el que se satisface ∇· ~
A = 0, se las debe escoger en forma especial.

4.4. Fuerza y torque magnético
4.4.1. Fuerza
De (4.1.4) se obtiene que la fuerza de Lorentz d3~
F que actúa sobre un elemento
de volumen dV de un conductor debido a un campo magnético externo ~
B(~
r ) es
d3~
F = ~
J(~
r ) × ~
B(~
r ) dV = d~
r × ~
B(~
r )~
J(~
r) · d~
S
en el entendido, ya usual, de que se escoge el elementos de volumen dV = d~
r·d~
S
con d~
r paralelo a ~
J(~
r), discutido al plantear (3.3.10).
.
dr
dF
B(r)
Figura 4.9: La fuerza d~
F que aparece
en una tajada de largo d~
r de un con-
ductor cilı́ndrico cuando está presente
un campo externo ~
B.
Si se integra sobre la sección del conductor
(aproximación filiforme) se obtiene la fuerza
d~
F sobre un elemento de largo d~
r de un con-
ductor debido a un campo magnético externo
~
B(~
r ),
d~
F = I d~
r × ~
B(~
r ) . (4.4.1)
Si se integra la expresión anterior sobre todo
el circuito se obtiene la fuerza total
~
F = I
I
Γ
d~
r × ~
B(~
r ) (4.4.2)
sobre el circuito debido a la presencia de un
campo magnético externo ~
B. Esta fuerza no está localizada, es decir, no actúa
sobre un punto del circuito sino que sobre cada elemento infinitesimal del circuito
actúa una pequeña fuerza y la suma total de esas fuerzas, que están actuando
en diferentes puntos, da (4.4.2).
Ejercicio 4.1-4. Si se tiene un circuito cerrado por el que circula una corrien-
te I demostrar que la fuerza neta que actúa sobre el circuito, por efecto de la
presencia de un campo magnético externo uniforme, es nula.
La fuerza por metro, entre dos alambres infinitos paralelos, separados por 1
metro, cada uno llevando una corriente de 1 Ampère, es aproximadamente de
2 × 10−7
newton.
4.4. FUERZA Y TORQUE MAGNÉTICO Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Se puede reescribir (4.4.2) tomando, en lugar de un campo externo ~
B, el elemen-
to de campo magnético d~
B que se obtuvo en (4.1.8). De tal manera se obtiene
la fuerza d2~
F que actúa sobre el elemento d~
r de un conductor debido a la parte
del campo magnético que produce el elemento d~
r ′
del otro conductor, lo que
permite escribir la Ley de Ampère,
d2~
F =
µ0
4π
I I′ d~
r × (d~
r ′
× (~
r −~
r ′
))
k~
r −~
r ′k3
. (4.4.3)
Integrando se obtiene la fuerza neta que actúa sobre el circuito Γ con corriente
I debido al circuito Γ ′
con corriente I′
:
F =
µ0
4π
I I′
I
Γ ′
I
Γ
d~
r × (d~
r ′
× (~
r −~
r ′
))
k~
r −~
r ′k3
. (4.4.4)
Ejercicio 4.1-6. Demostrar que la fuerza (4.4.4) obedece el principio de acción
y reacción.
4.4.2. Torque
Se puede aplicar (4.4.1) en forma muy sencilla para calcular el torque que actúa
sobre un circuito debido a la interacción entre la corriente que circula por él y
un campo magnético externo. Puesto que
d~
τ = ~
r × d~
F = I ~
r ×

d~
r × ~
B

(4.4.5)
se obtiene que el torque que actúa sobre un circuito filiforme completo es
~
τ = I
I
Γ
~
r ×

d~
r × ~
B(~
r )

. (4.4.6)
A modo de ejemplo se encontrará una forma diferente de expresar el torque que
actúa sobre un circuito debido a la presencia de un campo magnético externo
uniforme ~
B0. En este caso la integral (4.4.6) para el torque se reduce a
~
τ = I
I
~
r · ~
B0 d~
r −~
r · d~
r~
B0

, (4.4.7)

pero como ~
r · d~
r = 1
2
d (~
r ·~
r) es una diferencial exacta, no contribuye a la inte-
gral sobre un camino cerrado, y la integral anterior proviene tan solo del primer
término en el integrando.
Por otro lado se ve que
0 =
I
d

~
r · ~
B0 ~
r

=
I
d~
r · ~
B0~
r +~
r · ~
B0 d~
r

,
por lo cual, en este caso, el torque se puede escribir
~
τ =
1
2
I
I

~
r · ~
B0 d~
r − d~
r · ~
B0 ~
r

=
1
2
I
I
(~
r × d~
r ) × ~
B0
= I ~
S × ~
B0
= ~
m × ~
B0 . (4.4.8)
El vector ~
S tiene magnitud de superficie; en el caso que la curva Γ sea plana,
coincide con la superficie encerrada por dicha curva. Más en general ~
S tiene como
primera componente Sx = SYZ a la superficie encerrada por la proyección de la
curva Γ sobre el plano YZ. En forma cı́clica se definen las otras componentes. El
producto
~
m = I ~
S (4.4.9)
tendrá importancia más adelante. Se lo llama el momento dipolar magnético del
circuito.
El torque (4.4.8) tiende a mover ~
m para dejarlo paralelo al campo magnético
externo. El campo magnético que produce el pequeño circuito en su centro es
paralelo a ~
m de modo que el campo magnético total en el centro del dipolo es
más intenso que ~
B0. Esta propiedad permite entender las propiedades de algunos
materiales magnéticos.
4.4. FUERZA Y TORQUE MAGNÉTICO Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

4.5. Una partı́cula en un campo magnético
uniforme
Como ya se dijo en (4.1.4), una partı́cula cargada que se mueve en presencia de
un campo magnético está sometida a la fuerza de Lorentz,
~
F = q~
v × ~
B . (4.5.1)
Si no hay más fuerzas sobre la partı́cula, la ecuación de movimiento para ella es
m
d~
v
dt
= q~
v × ~
B . (4.5.2)
Si se multiplica a ambos lados de la ecuación escalarmente por ~
v se obtiene que
m~
v · (d~
v/dt) = 0, lo que equivale a afirmar que
1
2
m~
v 2
= constante . (4.5.3)
La energı́a cinética de la partı́cula no cambia en el tiempo. Por lo tanto la fuerza
de Lorentz en este caso no efectúa trabajo ya que la velocidad mantiene su
magnitud.
Si se multiplica la ecuación (4.5.2) punto ~
B se obtiene,
m~
B ·
d~
v
dt
= 0 (4.5.4)
Todo lo anterior vale para cualquier campo magnético externo.
Si el campo magnético no depende del tiempo entonces (4.5.4) implica inmedia-
tamente que la derivada de ~
v · ~
B es nula, esto es ~
v · ~
B es constante. Puesto que
k~
vk es constante, lo anterior implica que la proyección de ~
B a la dirección de la
velocidad es una constante. En particular, si ~
B es además uniforme, el ángulo α
entre la velocidad y ~
B permanece constante.
Se estudiará con más detalle este particuları́simo caso. Conviene escoger el eje
Z paralelo a ~
B, esto es, ~
B = B ^
k. La velocidad en la dirección de Z es constante
porque no hay fuerza en esa dirección, lo que implica que v2
1 + v2
2 = constante.
Si se denota por v2
h a esa constante, entonces
v1 = vh cos φ , v2 = vh sin φ .

Al reemplazar esta forma en la ecuación de movimiento se obtiene inmediata-
mente que
ω = φ̇ = −
qB
m
(4.5.5)
que implica que la velocidad angular es constante.
Recopilando lo ya obtenido la velocidad puede escribirse como,
~
v = vh[^
ı cos(ωt) +^
j sin(ωt)] + ^
kv3 . (4.5.6)
Toda la dependencia en el tiempo ha sido escrita en forma explı́cita. Es obvio
también que si se denomina v0 a la magnitud de la velocidad, entonces,
v3 = v0 cos α , vh = v0 sin α .
Y las ecuaciones para determinar el movimiento son
ẋ = v0 sin α cos(ωt) , ẏ = v0 sin α sin(ωt) , ż = v0 cos α .
Por lo tanto,
x(t) = x0 +
v0
ω
sin α sin(ωt) ,
y(t) = y0 −
v0
ω
sin α cos(ωt) ,
z(t) = z0 + v0t cos α .
La proyección del movimiento al plano XY es una circunferencia de radio
R =
m
qB
v0 sin α . (4.5.7)
4.6. Dipolos magnéticos
En esta sección se calcula la forma asintótica del potencial vectorial ~
A(~
r ), y el
correspondiente campo ~
B, asociado a un pequeño circuito Γ ubicado en un punto
~
r ′
. Forma asintótica es la forma dominante de los campos evaluados a distancias
mucho mayores que el tamaño del circuito.
Recuérdese que si k∆k ≫ kr ′′
k entonces
1
k~
∆ −~
r ′′k
≈
1
∆
1 +
~
r ′′
· ~
∆
∆2
!
(4.6.1)
4.6. DIPOLOS MAGNÉTICOS Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Γ
.
.
r’
∆=
r’’
r r−r’
R
Figura 4.10: Se calcula el potencial lejano ~
A asociado a un pequeño circuito Γ recorrido por
~
R, esto es k~
r ′′
k ≪ k~
rk ≈ k~
∆k.
Esta vez el punto de partida es la expresión (4.2.10) con una notación levemente
diferente y en el caso ~
r0 = ∞,
~
A(~
r ) =
µ0I
4π
I
d~
R
k~
r − ~
Rk
(4.6.2)
que se reescribe haciendo el cambio de variables que sugiere la figura, donde
~
r ′
es un vector que señala algún punto que pueda razonablemente representar
al centro del circuito y ~
r ′′
es la nueva variable de integración y su magnitud
máxima describe el tamaño del circuito. La expresión anterior queda
~
A(~
r ) =
µ0I
4π
I
Γ
d~
r ′′
k~
∆ −~
r ′′k
(4.6.3)
donde ∆ = ~
r − ~
r ′
. Nótese que este vector ~
∆ no depende de la variable de
integración. Al hacer el reemplazo (4.6.1) se observa que la primera integral es
nula (
H
d~
r ′′
= 0). Queda solo la segunda contribución, llamada aproximación
dipolar magnética
~
Adipolo(~
r ) =
µ0I
4π
I
Γ
~
r ′′
· ~
∆
∆3
d~
r ′′
(4.6.4)

No es difı́cil demostrar, siguiendo pasos análogos a los que se utilizó al deducir
(4.4.8), que la integral anterior puede ser transformada en
~
Adipolo(~
r ) =
µ0
4π

I
2
I
Γ
~
r ′′
× d~
r ′′

×
~
∆
∆3
(4.6.5)
La cantidad encerrada entre paréntesis, que tiene la forma ya conocida I ~
S,
será llamada momento dipolar magnético ~
m,
~
m =
I
2
I
Γ
~
r ′′
× d~
r ′′
(4.6.6)
Ası́ se obtiene finalmente que
~
Adipolo(~
r ) =
µ0 ~
m × (~
r −~
r ′
)
4π k~
r −~
r ′k3
(4.6.7)
y se refiere al potencial vectorial en ~
r de un dipolo magnético ubicado en ~
r ′
.
Este potencial es la forma asintótica que el potencial adopta lejos de la corriente
que es su fuente. No debiera extrañar que el campo, ~
Bdipolo, que implica ~
Adipolo,
tenga rotor nulo como se verá a continuación.
El campo magnético asociado
~
Bdipolo(~
r ) = ∇ × ~
Adipolo(~
r ) (4.6.8)
se puede calcular derivando y se puede demostrar que es
~
Bdipolo(~
r ) = −µ0∇

~
m · (~
r −~
r ′
)
4π k~
r −~
r ′k3

= −µ0∇ϕdipolo(~
r )
donde ϕ(~
r ) es el potencial escalar asociado al campo magnético lejano de un
circuito,
ϕdipolo(~
r ) =
~
m · (~
r −~
r ′
)
4π k~
r −~
r ′k3
(4.6.9)
También es posible definir formalmente un potencial escalar asociado al campo
magnético de un circuito filiforme Γ cualquiera por el cual circula una corriente I.
El circuito se cuadricula en circuitos muy pequeños, es decir, una superficie que
se apoya en Γ es parcelada en sectores infinitesimales d ~
S′
, por cuyo perı́metro
se supone ficticiamente que circula una corriente I, de tal modo que la frontera
4.6. DIPOLOS MAGNÉTICOS Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

entre dos de estas subdivisiones tiene corriente neta nula. El potencial escalar
magnético asociado es
ϕ(~
r ) =
Z
d~
m · (~
r −~
r ′
)
4πk~
r −~
r ′k3
=
I
4π
Z
S
(~
r −~
r ′
) · d ~
S′
k~
r −~
r ′k3
(4.6.10)
donde se ha usado (4.4.9), es decir, d~
m = Id ~
S.
Más en general la corriente I debiera ser reemplazada por una integral de ~
J y no
debe perderse de vista que esta definición da el campo neto (4.6.10) sólo para
aquellos puntos ~
r en los cuales la densidad de corriente es nula.
Este resultado cobrará especial importancia cuando se discuta magnetismo en
materia. En particular en §5.1.1.
4.7. Problemas
4.1 Calcular el campo magnético que produce un conductor cilı́ndrico infini-
to de radio a por el cual circula una densidad de corriente uniforme ~
J0
longitudinal.
4.2 Calcule el potencial vectorial asociado al campo magnético debido a una
corriente I que circula por un alambre recto infinito usando directamente
la expresión integral para ~
A y demuestre que es
~
A(~
r ) = −
µ0I
2π
ln

ρ
ρ0

^
k (4.7.1)
4.3 Calcule la fuerza por unidad de largo que actúa sobre un alambre recto
infinito por el cual circula una corriente I1 si a distancia a de él hay un
alambre recto infinito y paralelo al primero, por el cual circula una corrien-
te I2.
4.4 Una densidad de corriente ~
J = J0
^
φ circula por el volumen de un cilindro
metálico recto de radio externo b y radio interno a. Determine el campo
magnético: para ρ a; para a ≤ ρ ≤ b y para ρ b.
4.5 Calcule el campo magnético asociado al potencial vectorial que en coorde-
nadas cilı́ndricas es
~
A(ρ a) =
β
2

ρ −
a2
ρ

^
φ , ~
A(ρ a) = 0

4.6 Una esfera de radio R tiene, en su superficie, una densidad de carga uni-
forme σ0. Si la esfera está rotando con velocidad angular ω en torno a su
diámetro vertical, obtenga el campo magnético en el interior de la esfera.

Capı́tulo 5
Propiedades magnéticas de la
materia
5.1. Magnetización y el potencial ~
AM
La materia reacciona ante la presencia de campos magnéticos porque los elec-
trones —en una muestra de cualquier tipo de materia atómica— en sus orbitales
constituyen pequeños circuitos con corriente sometidos a fuerzas y torques. A
nivel atómico existen normalmente momentos dipolares magnéticos ~
m. Ante la
presencia de un campo magnético ~
B estos momentos dipolares magnéticos están
sometidos a torques (4.4.8) que tienden a alinearlos con el campo magnético. El
campo magnético que domina a nivel atómico a veces es aquel producido por
orbitales de electrones cercanos y en otros casos domina un campo magnético
aplicado externamente. Estas consideraciones más otras que escapan a una teorı́a
clásica de la materia hacen bastante complejo predecir qué tipo de compuestos
quı́micos reaccionan de qué forma frente a un campo magnético externo.
Simplificando bastante se puede decir que hay dos grupos muy importantes de
materiales: aquellos que tienen momento dipolar magnético ~
m nulo en ausencia
de un campo magnético externo y los que tienen siempre un ~
m no nulo. En el
primer tipo de materiales el efecto dominante de un campo magnético externo es
reorientar los orbitales atómicos de tal modo que estos aparecen imitando corrien-
tes inducidas y por lo tanto creando campos magnéticos que se oponen al campo
magnético aplicado (corrientes inducidas es un concepto que se ve más adelante).
En este caso el campo magnético total dentro del material resulta menor al
117

campo magnético aplicado. Tales materiales se denominan diamagnéticos. La
gran mayorı́a de las sustancias que existen en la naturaleza es de este tipo. Por
ejemplo: bismuto, cobre, carbón, mercurio, oro, plata, sodio, agua.
Otro materiales tienen momentos dipolares magnéticos ~
m a nivel atómico, los
cuales tienden a orientarse en forma paralela al campo aplicado y el resultado
es que el campo magnético en el interior de estos materiales es mayor al campo
aplicado. Son los materiales paramagnéticos. Ejemplos son: aluminio, manganeso,
oxı́geno, sodio, titanio, tungsteno, platino.
Hay un grupo aparte de materiales, los llamados ferromagnéticos entre los que
se destacan el hierro, nı́quel y cromo. Estos materiales pueden estar magnetiza-
dos, es decir, tienen dipolos dipolares magnéticos a nivel molecular que tienden a
estar ordenados en forma espontánea, por lo que son fuente de campo magnéti-
co: son imanes. Muchos materiales paramagnéticos sometidos a temperaturas
suficientemente bajas suelen transformarse en ferromagnéticos.
Ası́, las propiedades magnéticas de la materia están ligadas a las propiedades
electrónicas a nivel atómico. Concretamente son las corrientes las responsables de
tales propiedades, pero no son corrientes macroscópicas, sino aquellas que existen
localmente a nivel molecular. Estas corrientes por sı́ solas son responsables de la
existencia tanto de densidades de corriente volumétricas ~
J como de corrientes de
superficie ~
K. A continuación se verá que el potencial magnético ~
A producido por
una distribución cualquiera de dipolos magnéticos puede ser escrito como (4.2.4)
y (4.2.14).
r
m
r’
Figura 5.1: Interesa el potencial magnético en un punto lejano ~
r debido a un
dipolo magnético ~
m ubicado en ~
r ′
.
El potencial vectorial en ~
r debido a un dipolo ~
m ubicado en ~
r ′
es aquel dado en
(4.6.7)
~
Adip(~
r ) =
µ0
4π
~
m × (~
r −~
r ′
)
k~
r −~
r ′k3
(5.1.1)
Como ya se vio en (4.6.9) este potencial se puede relacionar con un potencial
5.1. MAGNETIZACIÓN Y EL POTENCIAL ~
AM Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

escalar ϕ, de la forma
ϕdip(~
r ) =
~
m · (~
r −~
r ′
)
4π k~
r −~
r ′k3
(5.1.2)
e impica un campo magnético
~
Bdip(~
r ) = −µ0∇ϕdip . (5.1.3)
Lejos del dipolo, su campo magnético puede ser expresado como el gradiente de
un potencial escalar, es decir, este campo magnético tiene rotor nulo (recordar
que en general el rotor de ~
B es proporcional a una densidad de corriente). Esto
es ası́ porque, al ser un campo lejano, la corriente cuasante del dipolo es nula
lejos de él.
Los pequeños momentos dipolares a nivel atómico permiten definir una densidad
de dipolos magnéticos por unidad de volumen, ~
M(~
r ), de tal manera que un
pequeño volumen dV tiene asociado un momento dipolar magnético d~
m —ver
(4.4.9)— dado por
d~
m = ~
M(~
r ) dV. (5.1.4)
A esta cantidad ~
M(~
r ) se la conoce como la magnetización del material.
De aquı́ que el potencial vectorial, debido a una distribución continua de dipolos
magnéticos (materia), descrita por ~
M(~
r ), sea,
~
AM(~
r ) =
µ0
4π
Z ~
M(~
r ′
) × (~
r −~
r ′
)
k~
r −~
r ′k3
dV′
=
µ0
4π
Z
~
M(~
r ′
) × ∇′ 1
k~
r −~
r ′k
dV′
=
µ0
4π
Z
∇′
× ~
M
k~
r −~
r ′k
dV′
−
µ0
4π
Z
∇′
×
~
M
k~
r −~
r ′k
dV′
=
µ0
4π
Z ~
∇′
× ~
M
k~
r −~
r ′k
dV′
+
µ0
4π
Z ~
M × d~
S′
k~
r −~
r ′k
. (5.1.5)
En esta última expresión se reconoce las formas (4.2.14) y (4.2.4), para el po-
tencial vectorial proveniente de densidades de corriente volumétrica y superficial
dadas por
~
JM = ∇ × ~
M , ~
KM = ~
M × ^
n. (5.1.6)
Estas densidades de corriente describen en forma suavizada los efectos de las
corrientes a nivel atómico que son responsables de las propiedades magnéticas
macroscópicas de la materia.

5.1.1. El campo magnético de la materia
En lo que sigue se calculará el campo magnético de la materia ~
BM, es decir, el
rotor ∇× ~
AM. El campo ~
BM en un punto ~
r particular de una muestra de materia
puede entenderse como una superposición de dos campos: el campo ~
BI(~
r ) que
produce la corriente microscópica local (es decir, se debe a la magnetización
~
M es ese mismo punto) y el campo neto ~
BII(~
r ) producido por las corrien-
tes microscópicas de todo el resto de la materia, excepto la corriente en ~
r ya
contabilizada en ~
BI. Este último, entonces proviene de corrientes que son nulas
en ~
r y debiera poder escribirse en la forma de gradiente de un potencial escalar,
tal como en (4.6.9).
Si se toma la expresión de partida del potencial vectorial que se usó para concluir
con la expresión (5.1.5), de ella se puede calcular inmediatamente el campo ~
BM,
producido por una distribución de dipolos magnéticos, calculando el rotor
~
BM(~
r ) =
µ0
4π
Z
∇r ×
~
M(~
r ′
) × (~
r −~
r ′
)
k~
r −~
r ′k3
!
dV′
.
Puesto que este rotor actúa solo sobre la dependencia en ~
r del integrando, ~
M es
una constante para el rotor y se obtiene que el integrando puede ser escrito en
la forma
~
M(~
r ′
) ∇ ·
~
r −~
r ′
k~
r −~
r ′k3
−

~
M(~
r ′
) · ~
∇
~
r −~
r ′
k~
r −~
r ′k3
y por lo tanto el campo magnético puede ser separado en dos partes:
~
BM(~
r ) = ~
BI(~
r ) + ~
BII(~
r ) (5.1.7)
donde
~
BI =
µ0
4π
Z
~
M(~
r ′
)∇ ·
~
r −~
r ′
k~
r −~
r ′k3
dV′
(5.1.8)
~
BII = −
µ0
4π
Z
~
M(~
r ′
) · ∇
~
r −~
r ′
k~
r −~
r ′k3
dV′
.
Ya se vio en (4.3.3) que ∇ · ~
r−~
r ′
k~
r−~
r ′k3 = 4πδ(3)
(~
r −~
r ′
) de modo que
~
BI(~
r ) = µ0
~
M(~
r ) (5.1.9)
5.1. MAGNETIZACIÓN Y EL POTENCIAL ~
AM Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

que muestra que BI es la contribución de los dipolos locales al campo magnético
que genera la materia.
Una integración por partes de la expresión para BII lleva a demostrar que
~
BII(~
r ) = −µ0∇ϕ(~
r ). (5.1.10)
La función escalar ϕ(~
r ), llamada el potencial escalar magnético, está dada por
ϕ(~
r ) =
1
4π
Z ~
M(~
r ′
) · (~
r −~
r ′
)
k~
r −~
r ′k3
dV′
(5.1.11)
y ya fue vista en (4.6.10).
Este potencial escalar asociado a ~
BII es el efecto en el punto ~
r de todos los
dipolos del resto de la muestra de materia y es del mismo tipo que (5.1.2).
En resumen se ha demostrado que
~
BM(~
r ) = µ0
~
M(~
r ) − µ0∇ϕ(~
r ). (5.1.12)
5.1.2. El campo magnético total
Hasta aquı́ se ha calculado un campo magnético causado únicamente por una
distribución de dipolos magnéticos, es decir, por las corrientes moleculares ~
JM
y ~
KM. Para tener una expresión más general debe agregarse un término que
corresponda a la presencia de corrientes eléctricas de conducción, ~
J, de modo
que más en general es necesario hablar de la corriente total
~
JT = ~
J +~
JM (5.1.13)
Ası́ el campo magnético asociado se escribe como
~
B = ~
BM +
µ0
4π
Z
V
~
J(~
r ′
) × (~
r −~
r ′
)
k~
r −~
r ′k3
dV′
(5.1.14)
esto es
~
B(~
r ) =
µ0
4π
Z
V
~
J(~
r ′
) × (~
r −~
r ′
)
k~
r −~
r ′k3
dV′
+ µ0
~
M(~
r ) − µ0∇ϕ(~
r ). (5.1.15)

El campo magnético general proviene entonces tanto de corrientes macroscópicas
—que son las corrientes de conducción, ~
J— como de los efectos propios de la
estructura molecular. De aquı́ que ~
B pueda escribirse como
~
B = µ0(~
H + ~
M) (5.1.16)
donde
~
H(~
r ) =
1
4π
Z ~
J(~
r ′
) × (~
r −~
r ′
)
k~
r −~
r ′k3
dV′
− ∇ϕ(~
r ) (5.1.17)
con ϕ(~
r ) dado en (4.6.9). El campo ~
H será denominado intensidad magnética,
nombre que no es universal.
5.2. Nuevamente la ley circuital
En magnetostática se cumple la ecuación ∇ × ~
B = µ0
~
JT donde, como ya se ha
dicho, ~
JT = ~
J+~
JM, es la corriente total de magnetostática: incluye tanto a la co-
rriente macroscópica ~
J como a la corriente ~
JM definida en (5.1.6). Al reemplazar
en esta ley a ~
B usando (5.1.16) se obtiene
∇ × ~
H = ~
J. (5.2.1)
Tal como antes se pudo deducir la ley circuital (4.3.6) ahora de (5.2.1) se deduce
I
Γ=∂S
~
H · d~
r = IS Ley de Ampère (5.2.2)
que es la ley circuital para corrientes macroscópicas.
Un caso particular de este resultado es que la intensidad magnética en el interior
de una bobina cilı́ndrica ideal es, ver (4.1.12),
~
Hbobina = n I ^
k (5.2.3)
que depende tan solo del número de espiras por unidad de largo y de la corriente
que circula por cada espira. No interesa el material del núcleo que se tenga. Esto
sugiere tratar al campo ~
H como la variable de campo básica.
El vector magnetización ~
M juega en magnetostática un papel semejante al que
juega ~
P en electrostática. Ası́ como en electrostática se tuvo que incorporar una
5.2. NUEVAMENTE LA LEY CIRCUITAL Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

ley empı́rica (1.10.1) que relaciona a ~
P con ~
E, acá también se establece que para
muchos materiales homogéneos, lineales e isótropos se cumple que
~
M(~
r ) = χ~
H(~
r ) (5.2.4)
donde χ es una cantidad adimensional llamada la susceptibilidad magnética del
material. Esta cantidad puede ser positiva (materiales paramagnéticos) o ne-
gativa (materiales diamagnéticos). Los valores de χ positivos o negativos para
diferentes materiales son mucho menores que la unidad, tı́picamente de orden
10−3
. Puede tenerse materiales inhomogéneos en el sentido que χ depende de la
posición.
Para los materiales dia- y paramagnéticos la propiedad (5.2.4) es válida y se
puede escribir
~
B(~
r ) = µ~
H(~
r ) (5.2.5)
donde
µ = µ0(1 + χ) (5.2.6)
es la permeabilidad magnética del material.
medio µ/µ0
hierro (99.95 %) dopado con H 200000
metal-Mu 50000
Co-Fe 18000
Permalloy 8000
ferrita 1000
niquel 100 a 600
platino 1.00027
vacı́o 1.0
cobre 0.999994
agua 0.999992
Cuadro 5.1: El valor de la permeabilidad magnética de algunos materias, relativa a la del
vacı́o.

Es de especial interés estudiar las condiciones de borde que se deben satisfacer en
la superficie entre dos materiales magnéticos que poseen las propiedades lineales
recién descritas y en los cuales hay corrientes de superficie. En tal caso se puede
trabajar con las ecuaciones
∇ · ~
B = 0
∇ × ~
H = ~
J
(5.3.1)
De la primera de estas dos relaciones se desprende inmediatamente que la com-
ponente normal a la interfaz del campo ~
B es continua:
B1n = B2n (5.3.2)
n
t
k
1
2 b
b
Figura 5.2: Camino rectangular perpendicular a la interfaz.
Para obtener una condición de borde de la segunda ecuación se usa la forma
integral de la ley de Ampère,
H
Γ
~
H·d~
r = IΓ en un pequeño camino de integración
rectangular Γ (con aristas horizontales de largo b) como muestra la Figura 5.2.
El lado izquierdo da b (~
H2 − ~
H1) · ^
t. El lado derecho es la corriente total que
implica el cruce de corriente proveniente tanto de la densidad volumétrica~
J como
de la densidad superficial (por la interfaz) ~
K:
I =
Z
~
J · d~
S +
Z
~
K × ^
n · d~
r
Para esto hay que recordar la ecuación (3.1.9). La primera integral, puesto que se
trata de un circuito muy chico, puede escribirse en la forma 1
2
(~
J1 +~
J2)·(^
n×^
t) b h

que, al hacer tender h a cero, desaparece. La otra integral se reduce a b (~
K×n)·^
t.
La igualdad que se obtiene resulta (con h → 0):
(~
H2 − ~
H1) · ^
t = (~
K × ^
n) · ^
t = ~
K · ^
k esto es H2t − H1t = ~
K · ^
k (5.3.3)
donde, como se ve en la figura, ^
k = ^
n × ^
t. Si en el miembro izquierdo de la
igualdad se sustituye ^
t por ^
k × ^
n se obtiene ^
n × (~
H2 − ~
H1) · ^
k = ~
K · ^
k. En esta
última relación los vectores que, en ambos miembros de la igualdad, multiplican
a ^
k, son vectores tangentes al plano interfacial, y puesto que ^
t (y por lo tanto
^
k) definen cualquier dirección en el plano interfacial, se tiene que
^
n × (~
H2 − ~
H1) = ~
K (5.3.4)
donde ^
n es la normal a la interfaz que apunta desde el medio 1 al medio 2. Nótese
que la diferencia ~
H2 − ~
H1 tiene una descomposición única en una componente
perpendicular a la interfaz (ergo paralela a ^
n) y una componente paralela a la
interfaz. Esta es una condición de borde tangencial ya que en el producto cruz
que aparece en (5.3.4) sólo importa la componente paralela a la interfaz.
5.3.1. Refracción del campo magnético
2
1
θ B1
θ
2
1
B2
Figura 5.3: El campo magnético tiene la
misma componente normal a ambos lados
de la interfaz. En la figura µ1 µ2. Debe
entenderse que ambos campos son evalu-
dados en el mismo punto de la interfaz:
cada uno es el lı́mite del valor del campo
en el medio respectivo.
Si no hay densidad de corriente ~
K en la in-
terfaz, la componente tangencial de ~
H es
continua. En tal caso se puede deducir una
relación entre los ángulos y las permeabili-
dades en forma semejante a como se hizo
en electrostática.
Si se llama θj al ángulo que forma ~
B con la
normal a la superficie interfacial en el me-
dio j, es directo obtener de las ecuaciones
anteriores que
B2 cos θ2 = B1 cos θ1
µ1B2 sin θ2 = µ2B1 sin θ1
(5.3.5)
y de aquı́
tan θ1
tan θ2
=
µ1
µ2
(5.3.6)

Se puede deducir de estas expresiones que el campo ~
B tiende a hacerse más
intenso en el medio con mayor permeabilidad magnética. También se puede llegar
a comprender que si se tiene un campo magnético uniforme en una zona vacı́a y
se introduce un trozo paramagnético, el campo se deforma comportándose como
si fuese atraı́do hacia el material y ası́ un mayor flujo de campo pasa por dentro
del material. Si el mismo experimento se hace con una muestra diamagnética
ocurre lo inverso: el campo se deforma alejándose de la muestra y dentro de ella
el campo es menos intenso.
La propiedad de los materiales paramagnéticos de atraer al campo magnético
hacia su interior los hace candidatos para núcleos de dispositivos en los que se
desee confinar al campo magnético a una geometrı́a especial. Sin embargo, como
veremos, los materiales que, por excelencia, cumplen esta labor son los ferro-
magnéticos. La razón es que la susceptibilidad χ para un material paramagnético
es muy pequeña, es decir, B/(µ0H) es cercano a uno.
Suele ser necesario analizar casos en los cuales se cumple que ∇ × ~
H = 0. Esta
condición no es equivalente a que ~
B sea irrotacional ya que (5.2.4) no es cierta
para todos los materiales. Si ~
H es irrotacional existe un potencial escalar asociado
que se denotará ϕ(~
r ),
~
H(~
r ) = −∇ϕ(~
r ) (5.3.7)
5.4. Flujo magnético
Ya se definió en (4.2.11) la noción de flujo magnético
ΦS =
Z
S
~
B · d~
S
=
Z
S
∇ × ~
A · d~
S
=
I
Γ=∂S
~
A · d~
r (5.4.1)
como una medida de la cantidad de campo magnético que atraviesa una superficie
arbitraria S de borde Γ. Puesto que la divergencia de ~
B es siempre nula este flujo
5.4. FLUJO MAGNÉTICO Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

no depende de la superficie misma. El flujo a través de dos superficies que tienen
el mismo borde Γ son iguales.
Finalmente se observa que si se calcula el rotor de ambos miembros de la igualdad
(5.2.5) se obtiene ∇ × ~
B = µ∇ × ~
H = µ~
J es decir
∇ × ~
B = µ~
J (5.4.2)
a pesar de que al comienzo de esta sección se afirmó que ∇ × ~
B = µ0
~
JT . Esta
última relación es siempre cierta mientras que (5.4.2) vale solo para materia-
les lineales y homogéneos. Ası́, para estos materiales especiales, se cumple que
µ0
~
JT = µ~
J. Además de (5.4.2) se desprende que
I
Γ
~
B · d~
r = µIΓ (5.4.3)
que es aun otra forma de ver la ley circuital de Ampère en el caso de materiales
lineales y homogéneos.
5.5. Ferromagnetismo
En los materiales ferromagnéticos la relación (5.2.4) cambia de significado, por-
que la respuesta del material es no lineal y, más aún, depende de la historia de la
muestra. En estos casos es bueno considerar a ~
H como el campo independiente
y estudiar el comportamiento:
~
B(~
r ) = ~
B(~
H(~
r )) (5.5.1)
de ~
B como función de ~
H. La razón para tomar ~
H como la cantidad indepen-
diente proviene de (5.2.3), donde se ilustra que ~
H depende directamente de la
corriente que está bajo control del experimentador sin referencia a los materiales
involucrados.
Si se toma una muestra ferromagnética con magnetización nula (no está magne-
tizada) y se la somete a los efectos de una intensidad magnética ~
H de magnitud
creciente, con dirección y sentido fijos, se observa que el campo ~
B en la muestra
también aumenta, para finalmente comenzar a hacerse cada vez más insensible
al valor de la intensidad magnética ~
H aplicada. Llamando Z a la

B
H
Figura 5.4: Histéresis de un material fe-
rromagnético.
dirección que tiene el campo a lo largo de
su propia dirección, se observa que dentro
de estos materiales el campo magnético ~
B
alcanza un valor máximo. En materiales fe-
rromagnéticos el cuociente
µefectivo
µ0
=
1
µ0
∂Bz
∂Hz
puede valer varios miles (o incluso cien-
tos de miles), lo que los hace mate-
riales magnéticos únicos en aplicaciones
tecnológicas. Esto implica que el campo
magnético en el interior de una bobina puede ser cientos de miles de veces más
grande si se usa un buen material ferromagnético como núcleo con respecto a la
bobina con núcleo vacı́o. La definición anterior depende del valor de la intensidad
magnética ~
H y normalmente se la usa para casos en que el comportamiento de
~
B(~
H) es aun lineal, esto es, k~
Hk es muy pequeño.
Si en la misma muestra anterior se comienza a disminuir Hz, se observa (ver
Figura 5.4) que en el material Bz no recupera los valores que tuvo en el ascenso,
sino que sistemáticamente Bz es mayor que aquel que se tuvo a la subida para
el mismo valor de Hz. Cuando se llega a Hz = 0 hay un campo magnético en el
material: el material se ha magnetizado ( ~
M 6= 0). Si se continua disminuyendo
Hz, es decir, si Hz comienza a crecer apuntando en la dirección contraria, Bz
irá disminuyendo y durante un cierto intervalo de Hz se tendrá que ~
H y ~
B apuntan
en direcciones opuestas: ~
H y ~
B son vectores antiparalelos, el µefectivo es negativo.
Finalmente Bz se anula y si se sigue variando Hz en el mismo sentido, Hz y Bz
vuelven a tener el mismo signo y se puede volver a tener una magnetización de
saturación, solo que con el signo cambiado.
Si, a partir de ese último punto, se vuelve a variar Hz en el sentido de la pri-
mera etapa, se alcanza un momento en que Hz se hace cero y en ese punto la
muestra tiene una magnetización permanente en el sentido opuesto al que tuvo
anteriormente.
Estos ciclos Hz-Bz se denominan ciclos de histéteris. Al efectuar uno de estos
ciclos se gasta energı́a en forma de calor la cual se relaciona al área cuyo perı́metro
es la curva cerrada Hz-Bz correspondiente al ciclo que se estudia. Es un problema
tecnológico encontrar materiales ferromagnéticos apropiados para funcionar como
núcleos en circuitos con corriente alterna (e.g. en un transformador) que tengan
5.5. FERROMAGNETISMO Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

curvas de histéresis que impliquen una pérdida mı́nima de energı́a. Tal es el caso
del hierro dulce.
5.6. Circuitos magnéticos
A continuación se verá el concepto de circuitos magnéticos y el concepto asociado
de reluctancia. La idea intuitiva se basa en la analogı́a con la ley de Ohm: E =
RI. El lugar de la fem E lo toma la “fuerza magnetomotriz”, fmm, el análogo de
la corriente es el flujo magnético Φ y el de la resistencia lo toma la reluctancia R.
Se verá que la fuerza magnetomotriz, (fmm) se identifica con NI (ver más
adelante) y en circuitos magnéticos se puede usar leyes como las de Kirchhoff
vistas en §3.2.4. La primera se puede obtener de ∇ · B = 0 y la segunda a partir
de
H
Γ
~
H · d~
r = NI, donde NI es la fmm (la corriente total) que pasa por una
superficie que se apoya en Γ.
b−a
h
Figura 5.5: A la izquierda un núcleo toroidal de sección circular y a la derecha
un núcleo toroidal de sección rectangular.
5.7. Problemas
5.1 Considere una bobina toroidal de sección rectangular de N espiras, por
cada una de las cuales circula una corriente I. El radio interior de la bobina
es a y el exterior es b y la altura es h. El núcleo de esta bobina es de
un material inhomogéneo en tal forma que su permeabilidad magnética µ
depende tan solo del ángulo polar φ y satisface
µ0
µ
= 1 + k cos2
φ (5.7.1)
Determine la intensidad magnética ~
H en todo el interior de la bobina.

5.2 Un disco de radio a gira con velocidad angular ω constante en torno a
su eje natural. Este disco tiene densidad de carga uniforme σ. Si se fija el
centro del disco en el origen y se hace coincidir al eje de rotación con el
eje Z, el disco está en el plano XY.
Determine el campo magnético sobre el eje Z que determina el sistema
descrito. Pero antes de calcularlo trate de adivinar al menos el signo de ~
B
sobre el eje Z tanto para z 0 como para z 0.
En particular escriba ~
B en el caso z = 0 y la forma asintótica de la magnitud
de ~
B sobre el eje Z cuando |z| es muy grande: |z| ≫ a.
5.3 Calcule el campo magnético que produce una corriente superficial ~
K0 que
circula por una cinta plana, de lar-
go infinito y de ancho a, sobre una
recta, paralela a la cinta, a una dis-
tancia h del eje de la cinta sobre la
perpendicular a la cinta que corta
ese eje.
.
a
h
KO
Cinta con corriente superficial ~
K0 produce
campo magnético que debe ser calculado
en plano vertical de simetrı́a.
5.4 Se tiene un conductor cilı́ndrico infinito de radio interior a y radio exte-
rior b. Este conductor tiene una densidad de corriente que, expresada en
coordenadas cilı́ndricas y donde α y β son constantes conocidas, es
~
J(a ≤ ρ ≤ b) =
α
ρ
^
φ + β ^
k
La densidad de corriente es nula en el resto del espacio. Obtenga el campo
magnético en todas partes.
Obtenga el campo total en cada zona: la zona interior, la zona conductora
y la exterior.
5.5 Se tiene un núcleo en forma toroidal que además tiene una rama en forma
de diámetro. En esta rama hay una bobina de N vueltas conectada a una
baterı́a de modo que por ella circula una corriente I0.
El núcleo tiene zonas como las que indica la Figura ?? con diferentes per-
meabilidades magnéticas: µ1, µ2 y µ3. Las respectivas reluctancias, en cada
una de estas zonas, son conocidas y valen R1, R2, R3 respectivamente.

Capı́tulo 6
Inducción
6.1. Ley de Faraday-Lenz
6.1.1. La fem inducida
Por años Faraday hizo experimentos buscando la forma de producir electricidad
a partir de un campo magnético y lo vino a lograr en 1831. En una disposición
parecida al esquema de la derecha en la Figura 6.1 logró ver que al conectar
o desconectar una baterı́a del circuito primario aparecı́a una corriente de corta
duración en el secundario. A menudo se menciona a este como el descubrimiento
más importante que se puede mencionar en la prolı́fica vida de Faraday. En
forma independiente Joseph Henry hizo el mismo descubrimiento al otro lado del
Atlántico.
G
IMAN G
1 2
Figura 6.1: Si se mueve el imán en la figura de la izquierda o se desconecta la
baterı́a del circuito 1 en la figura de la derecha, aparece una corriente repentina
en el circuito 2.
131

En la Figura 6.1 se muestran dos sistemas eléctricos en los que se observa induc-
ción al detectar el paso de corriente con un galvanómetro. A la derecha se tiene
una bobina primaria, conectada a una baterı́a y una bobina secundaria cerrada a
través del galvanómetro. Cuando el circuito primario se cierra se detecta corrien-
te en el secundario por un breve tiempo. Cuando el circuito primario es abierto
vuelve a observarse brevemente una corriente en el secundario. En el caso a la
izquierda se tiene el mismo circuito secundario pero esta vez se detecta corriente
en él cada vez que un imán es movido en las cercanı́as de la bobina secundaria.
Estas situaciones y otras pueden ser sintetizadas en una ley que es enunciada
más abajo. Ella relaciona la variación del flujo magnético a través de un circuito,
con la fuerza electromotriz E que se induce en él. Más en general, si el flujo de
campo magnético que atraviesa un circuito cambia en el tiempo aparece una fem
en ese circuito. Este fenómeno se llama inducción.
Se llama fuerza electromotriz (fem) EΓ a la integral sobre el camino cerrado Γ,
EΓ =
I
Γ
~
EΓ · d~
r 6= 0 (6.1.1)
En los capı́tulos anteriores nunca se tuvo un campo eléctrico que no fuese causado
por la presencia de cargas. Esta es una situación nueva: la integral del campo
eléctrico en un camino cerrado no se anula, lo que implica que
∇ × ~
E 6= 0 (6.1.2)
Se desprende que las integrales de camino
R
~
E · d~
r dependen del camino que se
escoja y por lo tanto la noción de diferencia de potencial no puede sostenerse.
El flujo magnético a través de una superficie cualquiera ya fue definido en (4.2.11)
y es
ΦS =
Z
S
~
B · d ~
S =
I
Γ=∂S
~
A · d~
r (6.1.3)
El signo de d ~
S está ligado al signo de d~
r por la regla de la mano derecha.
El nuevo ingrediente es la Ley de Faraday-Lenz que establece que,
EΓ=∂S = −
dΦS
dt
(6.1.4)
Esta ley experimental puede ser llevada a una forma diferencial que corresponde
a una de las ecuaciones de Maxwell. En efecto, el flujo en el lado derecho puede
6.1. LEY DE FARADAY-LENZ Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

ser reemplazado por su definición y E en el lado izquierdo puede ser escrita como
en (6.1.1), pero utilizando el teorema de Stokes esta es la integral de superficie
del rotor del campo eléctrico,
Z
S
∇ × ~
E · dS = −
Z
S
∂~
B
∂t
· dS (6.1.5)
Puesto que la superficie S es arbitraria se debe cumplir que
∇ × ~
E = −
∂~
B
∂t
(6.1.6)
Ya que el rotor del campo eléctrico no es nulo, el concepto de potencial usado
tanto en electrostática como en el caso de corrientes continuas no puede seguir
siendo válido y sin embargo, si en la ecuación anterior se reemplaza ~
B por ∇× ~
A,
se obtiene
∇ × ~
E +
∂~
A
∂t
!
= 0 (6.1.7)
que muestra que, si bien el rotor de ~
E es no nulo, hay otra cantidad irrotacional,
y por ende existe un potencial escalar V asociado a esa cantidad. Se despeja
entonces que,
~
E(~
r, t) = −∇V(~
r, t) −
∂~
A(~
r, t)
∂t
(6.1.8)
El campo eléctrico que induce una variación de flujo magnético ocurre en cual-
quier medio y no necesariamente en un conductor.
Hay que subrayar que el concepto de fem inducida E siempre está asociado a un
camino cerrado el cual no tiene que tener una realización material. La aparición
de este concepto está ligada al hecho que la integral (6.1.1) no se anula. Aunque
es una cantidad que se mide en Volts, igual que las diferencias de potencial, es
incompatible con el concepto de diferencia de potencial, que se basa en que a
integral cerrada
H
~
E · d~
r sea nula.
6.1.2. El caso de una bobina ideal con corriente variable
Si se tiene una bobina ideal —infinita, de radio a, n vueltas por unidad de largo—
con corriente I(t) ella produce un campo magnético ~
B(t) tan solo en el interior

y este es
~
B = µ0 n I(t) ^
k ρ a
~
B = 0 ρ a
(6.1.9)
Si se toma un camino cerrado, centrado en el eje del cilindro, y de radio ρ a,
se tiene en él una fem
E =
I
~
E · d~
r = −
dΦ
dt
Figura 6.2: Una bo-
bina cilı́ndrica ideal de
radio a con corriente
variable I(t). Se cal-
cula la fem asociada
a dos caminos cerra-
dos, con radios mayor
y menor que a.
y como Φ = µ0nI(t)πa2
entonces
−µ0n İ πa2
= E 2πρ =⇒ ~
E(ρ a) = −
µ0
2
n İ
a2
ρ
^
φ
(6.1.10)
que es no trivial pero tiene rotor nulo, lo que es consistente
con que ~
B afuera es nulo.
Si se considera un camino circunferencial de radio ρ a se
obtiene
−µ0nİπρ2
= E 2πρ =⇒ ~
E(ρ a) = −
µ0
2
n İ ρ ^
φ
(6.1.11)
cuyo rotor es
∇ × ~
E = −
µ0
2
nİ
^
k
ρ
∂ρ2
∂ρ
= −µ0nİ^
k
que efectivamente es −∂~
B
∂t
como se ve de (6.1.9). El campo
eléctrico es siempre en la dirección ^
φ y es continuo en ρ = a.
El potencial vectorial
~
A(ρ, φ) =



µ0
2
n I ρ ^
φ , ρ ≤ a
µ0
2
n I a2
ρ
^
φ , ρ ≥ a
(6.1.12)
implica que el campo magnético para ρ ≥ a es nulo porque ~
A tiene rotor nulo
en esa zona. El campo ~
B para ρ ≤ a resulta igual al descrito en (6.1.9).
Al calcular el campo eléctrico en la forma ~
E = −∂~
A
∂t
se obtiene (6.1.10) cuando
ρ ≥ a y (6.1.11) cuando ρ ≤ a. Todo es consistente.

Lo notable de (6.1.10) es que existe un campo eléctrico inducido en una zona
donde no hay campo magnético del todo. Podrı́a, erradamente, pensarse que
hay acción a distancia: el campo magnético que existe tan solo dentro de la
bobina implica un campo eléctrico (6.1.10) arbitrariamente lejos de la bobina.
De lo anterior debe subrayarse que el potencial vectorial ~
A(~
r ) —a pesar de no
ser único— es un objeto fı́sico que, en este ejemplo, es creado por la corriente
en la bobina. Él implica tanto las propiedades de ~
B como las de ~
E.
6.1.3. Sobre relatividad
Y Y’
X X’
v
Figura 6.3: Dos sistemas de refe-
rencia con velocidad relativa v en
la dirección X
En relatividad (Lorentz 1904, Einstein 1905) la
relación entre coordenadas y tiempo entre dos sis-
temas de referencia que se mueven con velocidad
relativa v, como indica la figura, es
c t′
= γ (c t − β x) y′
= y
x′
= γ (x − β c t) z′
= z
(6.1.13)
donde β = v/c y γ = 1/
p
1 − β2. En
este contexto las componentes de los campos ~
E
y ~
B medidas en ambos sistemas de referencia se
relacionan por
E′
x = Ex B′
x = Bx
E′
y = γ (Ey − β c Bz) B′
y = γ (By + β Ez/c)
E′
z = γ (Ez + β c By) B′
z = γ (Bz − β Ey/c)
(6.1.14)
Si tan solo interesan casos con velocidad v mucho menor que la de la luz se
puede hacer la aproximación γ ≈ 1.
Por ejemplo, si en un sistema de referencia ~
E = 0 y hay un campo magnético
~
B = B0
^
j, es decir, solo la componente By es no nula, entonces en el otro sistema
de referencia se tiene que E′
z ≈ v B0.
Hay una mejor forma de escribir las transformaciones de los campos ~
E y ~
B. En
lugar de considerar las tres componentes cartesianas de los campos, los campos
se descomponen en la parte paralela y perpendicular a la velocidad relativa entre

los sistemas de referencia. La transformación ahora es
~
E′
k = ~
Ek
~
B′
k = ~
Bk
~
E′
⊥ = γ

~
E⊥ +~
v × ~
B

~
B′
⊥ = γ

~
B⊥ − 1
c2 ~
v × ~
E
(6.1.15)
Las transformaciones en el lı́mite no relativista se reducen a
~
E ′
= ~
E +~
v × ~
B
~
B ′
= ~
B
(6.1.16)
porque se toma γ = 1, βc = v y β = 0.
Las transformaciones, relativistas o no, muestran que los campos eléctrico y
magnético no tienen existencia independiente. En el caso en que en un sistema
de referencia se tiene uno solo de ellos, en otro ambos estarán presentes.
No debe pensarse más en los campos eléctrico y magnético como dos entes
independientes: el campo electromagnético (~
E, ~
B) es un solo todo.
La fuerza que un campo electromagnético ejerce sobre una carga q en ~
r(t) con
velocidad ~
v(t) es la llamada fuerza de Lorentz
~
F = q

~
E(~
r) +~
v(t) × ~
B(~
r

(6.1.17)
El argumento ~
r en los campos es la posición de la carga q y, en general, depende
del tiempo: ~
r(t). Puede ocurrir que además los campos dependan del tiempo. La
notación completa debiera ser ~
E (~
r(t), t).
Ejemplo: Si se tiene un imán en reposo y por su vecindad se desplaza una
partı́cula puntual con carga q que en el instante t tiene velocidad ~
v(t) y no
hay otro campo eléctrico que el de la propia partı́cula, la fuerza sobre ella es
meramente ~
F = q~
v × ~
B.
Si la misma situación es vista desde el sistema de referencia S′
en que la partı́cula
está en reposo, el imán se mueve con velocidad ~
v ′
= −~
v. La fuerza tiene que
ser la misma, pero esta vez la velocidad de la partı́cula es nula, por lo que al
aplicar (6.1.17) el segundo término necesariamente es nulo. Esto implica que en
este nuevo sistema de referencia sı́ hay un campo eléctrico, y este tiene que estar
producido por el movimiento del imán. En efecto, (6.1.16) establece que ese
nuevo campo eléctrico es ~
E ′
= ~
v×~
B, por lo que la fuerza en el nuevo sistema de
referencia es, en la aproximación no relativista, igual a la fuerza original, q~
v ×~
B.

6.1.4. Campos y movimiento
q
v
S
S’
IMAN
Figura 6.4: En el sistema de refe-
rencia S hay un imán quieto y una
carga q con velocidad ~
v: la fuerza
de Lorentz sobre q es ~
F = q~
v × ~
B.
En el sistema de referencia S′
, que
se mueve con velocidad ~
v con res-
pecto a S, la carga está quieta y el
imán está en movimiento. La par-
te magnética de la fuerza es nula
porque la velocidad de la partı́cula
es nula.
En la expresión (6.1.1) para E, que se vio más
arriba, aparece ~
EΓ en el integrando. Lo que se ha
querido decir es que debe usarse el campo eléctri-
co ~
EΓ (~
r ) evaluado en el sistema de referencia que
acompaña al punto~
r del camino Γ de integración.
Hay que atender a esta diferencia porque a veces
se utilizará caminos Γ que cambian con el tiem-
po. Se subraya que se necesitará saber que (en la
aproximación no relativista)
~
EΓ = ~
E +~
v × ~
B (6.1.18)
donde ~
E y ~
B son los campos en el sistema de refe-
rencia del observador y ~
v es la velocidad del punto
~
r del camino Γ que se esté considerando. La ex-
presión anterior debe reconocerse como (6.1.16).
La ecuación (6.1.6) es válida en cualquier sistema
de referencia, pero la definición (6.1.1) es no local
y es necesario reescribirla utilizando (6.1.18)
EΓ =
I
~
E +~
v × ~
B

· d~
r (6.1.19)
La primera integral puede ser convertida en una integral de superficie gracias al
teorema de Stokes,
H
~
E · d~
r =
R
∇ ×~
E · d~
S y esta última puede ser escrita como
−
R ∂~
B
∂t
· d~
S lo que permite finalmente escribir
EΓ = −
Z
∂~
B
∂t
· d ~
S −
I
~
B · (~
v × d~
r) (6.1.20)
ya que arriba se ha demostrado que
dΦ
dt
≡
d
dt
Z
~
B · d ~
S =
Z
∂~
B
∂t
· d ~
S +
I
~
B · (~
v × d~
r) (6.1.21)
La definición de fem en (6.1.1) hace uso de un sentido de integración arbitrario.
Una vez que se hace esa elección de sentido de integración queda fijado el sentido

i
j
v
+
b
Figura 6.5: Un conductor en forma de U más una barra deslizante con velocidad v.
positivo de recorrer el camino Γ. Si la velocidad usada en las expresiones anteriores
se separa en componentes paralela y perpendicular al d~
r correspondiente: ~
v =
~
v// + ~
v⊥, tan solo contribuye ~
v⊥, esto es, tan solo interesa las deformaciones
perpendiculares a la dirección del camino Γ.
6.1.5. Ejemplo básico
El resultado anterior se ilustra con el circuito de la Figura 6.5. Se trata de un
camino Γ rectangular fijo excepto que su lado derecho se mueve con velocidad
~
v. La superficie (de dimensiones b × x(t)) que encierra el rectángulo, es cruzada
por un campo magnético que se escoge que sea oscilante:
~
B(~
r, t) = ~
B(~
r) sin ωt (6.1.22)
El flujo magnético Φ trivialmente es
Φ =
Zx(t)
0
dx
Zb
0
dy B3(~
r) sin ωt (6.1.23)
y se puede calcular que la fem inducida, es decir, −dΦ/dt es
E = −
dΦ
dt
= −
Zx(t)
0
dx
Zb
0
dy B3(~
r) ω cos ωt − v
Zb
0
B3(~
r) sin ωt dy
Y debe compararse con lo que da (6.1.21) que consta de dos integrales, una
contiene a ∂~
B/∂t y la otra contiene a ~
B · ~
v × d~
r. La primera lleva a calcular
Z Z
ω cos ωt B(~
r ) · ^
k dx dy =
Z Z
ω cos ωt B3 dx dy

y la segunda es una integral sobre el circuito cerrado pero al tener a ~
v en su
expresión, recibe contribución de la parte móvil y da
Zb
0
sin ωt ~
B(~
r ) · v^
ı ×^
j dy =
Zb
0
B3(~
r ) sin ωt v dy
Las dos integrales sumadas dan lo que (6.1.21) establece.
Si la vara móvil es conductora y el resto del rectángulo no lo es, las cargas de la
vara se acomodan creando un campo eléctrico en el interior de la vara de tal modo
que anula el campo eléctrico inducido. Esto implica que aparece una diferencia
de potencial entre los extremos de la vara conductora el cual es numéricamente
igual a la fem E inducida.
6.1.6. Circuitos con otros elementos
◮ Si se conecta un condensador de capacidad C, con carga inicial Q0, con una
resistencia R, como se muestra en la Figura 6.6, el condensador se comienza a des-
cargar debido a la corriente I = Q̇(t) que se establece.
+
−
+
R C
Figura 6.6: Un circuito RC. La
figura indica la polaridad del con-
densador y el sentido de circula-
ción que se escoge como positivo.
Si no hay flujo magnético a través del circuito,
se cumple que
H
~
E · d~
r = 0, y esta integral se
desglosa en las caı́das de potencial en ambos ele-
mentos,
Q
C
+ R Q̇ = 0 (6.1.24)
Esta ecuación para Q(t) tiene por solución
Q(t) = Q0 e−t/RC
(6.1.25)
La carga del condensador, inicialmente Q0, de-
crece exponencialmente con el tiempo. El tiempo
caracterı́stico de esta descarga es τ = RC.
Los signos en detalle: al integrar a lo largo del circuito, usando el sentido posi-
tivo que indica la Figure 6.6, el campo eléctrico dentro del condensador apunta
de positivo a negativo, es decir, en la dirección escogida para integrar. Por esto
la integral
R
~
E · d~
r da +Q
C
. La corriente I en el formalismo no tiene un signo
relevante, de modo que por definición la integral del campo, en el sentido po-
sitivo escogido, se pone como RI. Fı́sicamente la corriente va desde la placa

R R
Figura 6.7: Si hay un campo magnético apuntando hacia arriba dentro del cilindro y creciendo
en el tiempo, se deduce que hay un campo eléctrico inducido que, por el lado visible del cilindro,
apunta hacia la izquierda.
positiva a la negativa, es decir, en el sentido negativo, lo cual es consistente con
que I = Q̇ 0.
Si el circuito de la Figura 6.6 es atravesado por un flujo magnético, lo consistente
con lo anterior es definir Φ =
R
~
B·d~
S con d~
S apuntando hacia afuera de la figura
(regla de la mano derecha). La fem, E = −dΦ
dt
tiene el signo que esto implica y
la ecuación completa, en lugar de (6.1.24), es
Q
C
+ R I = E (6.1.26)
Si al circuito anterior se le agregara, en serie al condensador y la resistencia, una
baterı́a, la ecuación tendrı́a un término extra ±E0 con el signo que corresponda
a la forma en que sea conectada.
◮ La configuración en el diagrama de la izquierda en la Figura 6.7 representa
un conductor perfecto lineal que rodea un cilindro y luego se cierra con una
resistencia R vertical. Si en el interior del cilindro hay un campo magnético
apuntando hacia arriba y creciendo en el tiempo, la fem inducida en el circuito
implica que hay un campo eléctrico que apunta en la dirección −^
φ y por lo tanto
la corriente por la resistencia va hacia arriba y vale I = E1/R. Si el conductor
da dos vueltas, como en el diagrama de la derecha, el flujo por la superficie que
se apoya en el conductor es el doble que en el caso anterior y I = E2/R donde
E2 = 2E1 Los signos descritos se pueden comprobar definiendo el flujo magnético
con un d~
S hacia arriba o hacia abajo porque el sentido de ~
E no puede depender
de las convenciones de signo.

2
1
R
A
B
R
V
Figura 6.8: Existe un campo magnético variable solo dentro de un cilindro recto infinito.
Alrededor de él hay un circuito rectangular con resistencias R1 y R2 en aristas opuestas. Se
comprueba que un voltı́metro mide una diferencia de potencial V, entre los extremos de las
resistencias, que depende del lado en que está el voltı́metro.
6.1.7. Diferencias de potencial indefinidos
Para ilustrar casos en que el concepto de diferencia de potencial no es aplicable, se
considera un circuito, representado en la Figura 6.8, formado por dos resistencias
R1y R2 que se unen en los puntos A y B. Se supondrá que se tiene un campo
magnético variable que es no nulo solamente por dentro de un tubo recto infinito
que pasa entre las dos resistencias. El flujo a través del circuito es Φ(t) e induce
una fem E = −dΦ
dt
y por lo tanto por las resistencias circula una corriente
I =
E
R1 + R2
(6.1.27)
La integral
I
BVAR1B
~
E · d~
r = V − R1I es nula porque ese camino no encierra al
flujo magnético variable. Al calcular
I
BVAR2B
~
E · d~
r = V + R2I esta integral vale
E porque sı́ encierra al flujo. En ambos casos V es la caı́da en el voltı́metro.
Igualando las expresiones para V que hay en ambos casos se tiene R1I = E −R2I
que equivale a (6.1.27).
Por lo tanto al conectar un voltı́metro por el lado derecho de la figura a los
puntos A y B los roles de R1 y R2 se intercambian y ahora se tiene que V = R2I
y que V + R1I = E y nuevamente se tiene (6.1.27). Pero debe observarse que
los dos voltı́metros conectados a los mismos puntos A y B indican algo diferente
según si la conexión se hace por la izquierda o la derecha, mostrando que entre
A y B no se puede definir una diferencia de potencial.

6.1.8. En la práctica
Si no hay flujo magnético a través de un circuito Γ entonces se puede aplicar las
leyes más usuales del capı́tulo de corrientes continuas.
Resto
L
A B
Figura 6.9: hay veces que sı́ tiene
sentido hablar de una diferencia de po-
tencial.
Considérese en forma abstracta un circuito que
consiste de una bobina L y el “resto”. Se sepa-
ra el circuito con una lı́nea ficticia AB, como
en la Figura 6.9 para poder hablar de dos sub-
circuitos: LAB y AB+resto. Si por el segundo
subcircuito no pasa flujo magnético alguno en-
tonces I
AB resto
~
E · d~
r = 0
y en este subcircuito no hay problema con el
concepto de diferencia de potencial. Se puede
usar las expresiones ya conocidas de corriente
continua para escribir las ecuaciones de esa
parte del circuito. El camino cerrado LAB por otro lado, tiene asociada una fem
E que —para efectos de relacionarla con la otra parte del circuito— puede ser
tratada como una diferencia de potencial.
En lo que sigue siempre se supondrá que los campos magnéticos están dentro de
las bobinas y en ningún otro lado. De esta manera a todo elemento del circuito
(resistencias, condensadores) se les puede asociar diferencias de potencial sin
ambigüedad. El tratamiento de las bobinas en estos circuitos es lo que se aprende
en las secciones que siguen.
6.2. Autoinducción
Un circuito por el cual circula una corriente, crea un campo magnético que tiene
un flujo a través de este mismo circuito: el autoflujo.
Puesto que el campo magnético es proporcional a la corriente que hay en el
circuito, el autoflujo también lo es. Este autoflujo solo depende de la corriente y
de la geometrı́a del circuito. De aquı́ que
Φautoflujo = L I , (6.2.1)
6.2. AUTOINDUCCIÓN Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

y L es el coeficiente de autoinducción. Este coeficiente L es una caracterı́stica del
circuito mismo y solo depende de un factor definido por su geometrı́a multiplicado
por la permeabilidad magnética µ. Los signos para definir el flujo Φ y la corriente
I deben ser elegidos en forma coherente de tal forma que L sea una cantidad
positiva. Los elementos de un circuito que poseen un coeficiente de autoinducción
se les suele llamar inductancias.
La fem que un circuito induce sobre sı́ mismo, o fem autoinducida Eauto, es
Eauto = −
dΦauto
dt
(6.2.2)
Normalmente se trabaja con casos en que L es constante, de modo Eauto =
−Lİ. En un circuito con corriente variable se induce una fem que hace variar la
corriente. La fem inducida tiende a crear una corriente que se opone a la variación
de I.
Como se ha dicho en el caso de un circuito eléctrico estándar se supone, en
general, que todos los efectos magnéticos están confinados a las inductancias,
es decir, se supone que no hay flujo magnético apreciable atravesando el circuito
como un todo, por lo cual el circuito mismo no tiene fem inducida: la fem inducida
existe localmente en las inductancias. Bajo esta hipótesis simplificadora, que es
tan solo una aproximación a la realidad, la integral de camino
H
E·d~
r = 0 hecha a
lo largo de todo el circuito se supone nula. En este sentido se aplicará la segunda
ley de Kirchhoff de ahora en adelante y en particular se habla de las caı́das de
potencial en condensadores y resistencias.
En uno de los problemas propuestos al final se pide demostrar que el coeficiente
de autoinducción de una bobina cilı́ndrica ideal es
L = µn2
V (6.2.3)
donde n es el número de espiras por unidad de longitud y V es el volumen del
interior de la bobina.
6.2.1. Circuito LC
A continuación se resolverá la evolución temporal de un circuito como el de la
Figura 6.10, que consta de un condensador con carga inicial Q(0) = Q0 y que
se cierra con una inductancia L. La corriente inicial es nula: I(0) = 0.

. . .
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Carga
y
Corriente
tiempo
Figura 6.10: Izquierda: Un circuito ideal LC: la diferncia de potencial en el condensador debe
ser igual a la fem autoinducida en la bobina. Derecha: la carga Q(t) (medida en Coulomb)
representada por la lı́nea continua y la corriente I(t) (medida en Ampère) en lı́nea de puntos.
En todo instante la caı́da de potencial en el condensador está determinada por
la carga del condensador y por su capacidad, V(t) = Q(t)/C, que se define
positiva. Tan pronto el circuito se cierra el condensador comienza a descargarse,
es decir, Q(t) inicialmente es una función positiva y decreciente. Además aparece
una corriente I(t) = Q̇(t) que es negativa porque Q es decreciente. Puesto que
I comienza valiendo cero la evolución al comienzo la llevará hacia valores cada
vez más negativos. Por el momento se tiene entonces que İ 0.
La fuerza electromotriz que aparece en la inductancia es E = −Lİ y, por lo que
recién se ha dicho, inicialmente es positiva. La ecuación del circuito establece
el equilibrio entre la diferencia de potencial en el condensador y la fem en la
inductancia,
Q(t)
C
= −Lİ
= −LQ̈ (6.2.4)
Esta es la ecuación de un movimiento armónico simple. La solución con las
condiciones iniciales ya dichas es:
Q(t) = Q0 cos

t
√
LC

I(t) = −
Q0
√
LC
sin

t
√
LC

(6.2.5)
El condensador se descarga después de un tiempo t = T/4 = π
√
LC/2 pero
la corriente en ese instante tiene una magnitud |I|max. Transcurrido un tiempo
total T/2 el condensador está otra vez con máxima carga, pero con polaridad
contraria a la original. En ese momento la corriente es nula y comienza el proceso

de descarga en sentido opuesto. Y ası́ el sistema continúa oscilando con periodo
T para siempre.
El hecho que oscile indefinidamente se debe a que el sistema, tal como fue
definido, no da lugar a pérdidas de energı́a. La energı́a Utot es una constante
en el tiempo. En el momento inicial no hay corriente por lo que no hay campo
magnético. Toda la energı́a se debe al condensador. Como se sabe esta es
Utot =
Q2
0
2C
(6.2.6)
la que no debe ser confundida con la energı́a del condensador en cualquier instante
posterior, la cual es: UC = Q(t)2
/2C.
En un instante arbitrario la energı́a total está repartida entre la energı́a del con-
densador UC y la energı́a UL que hay en la inductancia L. Esta última energı́a se
debe al campo magnético que hay en la inductancia, causado por el paso de la
corriente I(t). Es decir, UL debe poder expresarse en función de I y de L y, por
otro lado, tiene que valer UL(t) = Utot − UC(t). Se demuestra ası́ que
UL(t) =
1
2
L I(t)2
(6.2.7)
Más tarde se verá que esta última expresión da la forma general que tiene la
energı́a de una inductancia debida a su propio campo magnético y es válida
también en el caso magnetostático, I = constante.
La analogı́a con una ecuación de mecánica que tiene (6.2.4) es un hecho que se
aplica a otros circuitos que evolucionan en el tiempo. Es tı́pico que L juegue el
papel de la masa, los condensadores juegan el papel de fuerzas elásticas (resortes)
y, como se verá, las resistencias producen un efecto semejante al de fuerzas
viscosas.
El párrafo anterior sirve para comprender que en los problemas electromagnéticos
dependientes del tiempo el factor L juega un papel central. No tomarlo en cuenta
es semejante a intentar resolver problemas de movimiento en mecánica borrando
de las ecuaciones de Newton el término de masa por aceleración: mv̇.
6.2.2. Circuito RL
Se considera ahora un circuito formado por una resistencia R, una baterı́a cuya
fem asociada es E0 y una bobina con coeficiente de autoinducción L. Todos los

elementos están en serie y cualquier resistencia en la baterı́a o en la bobina es
absorbida en R. La fem neta en el circuito es E0 − Lİ, que debe igualarse con la
caı́da de potencial en la resistencia,
E0 − Lİ = RI ⇐⇒ Lİ = E0 − RI (6.2.8)
Figura 6.11: Un circuito RL con
baterı́a.
Esta ecuación es matemáticamente equivalen-
te a la que se obtiene en mecánica para una
partı́cula en presencia de una fuerza constante
y una fuerza de amortiguación: mv̇ = mg−cv.
El coeficiente L nuevamente juega el papel de la
masa en mecánica y R es análogo al coeficiente
de viscosidad.
La solución de la ecuación anterior es,
I(t) =
E0
R

1 − exp

−
Rt
L

+ I0 exp

−
Rt
L

(6.2.9)
Se observa que, sin importar cual sea el valor
inicial de la corriente, esta tiende a un valor constante I(∞) = E0/R. El circuito
anterior tiene un tiempo caracterı́stico
τ = L/R (6.2.10)
llamado el tiempo de respuesta del circuito. Para tiempos t mucho menores a τ
la solución (6.2.9) toma la forma,
I(t) ≈ I0 +

E0 + I0 R
L

t (6.2.11)
En particular si R = 0 el tiempo de respuesta es infinito y (6.2.11) se convierte
en una ecuación exacta:
I(t) = I0 +
E0
L
t. (6.2.12)
La corriente crece linealmente en forma indefinida. Esto se debe a la ausencia de
un elemento disipativo como es la resistencia. La baterı́a provee de más y más
energı́a a un sistema que no pierde energı́a. Es el análogo al caso de una partı́cu-
la sobre la cual solo actúa una fuerza constante provocando una aceleración
constante. Esta situación no es realista.

Abriendo el circuito: La solución asintótica asociada a (6.2.9) es una corrien-
te constante en el tiempo: I = E0
R
. En lo que sigue se supondrá que, teniendo al
sistema en ese estado asintótico, se abre el circuito.
El proceso de “abrirlo” significa que un interruptor cambia de cerrado a abierto.
Aquı́ se modela este proceso de muy corta duración, que acá se denota τ, como
un cambio de la resistencia desde su valor original R a infinito según la expresión
Rtemporal =
R
1 − t/τ
modelo.
Debe entenderse, entonces, que esta resistencia temporal es la suma de la resis-
tencia que aparece en la Figura 6.11 y la resistencia que significa el interruptor
que se está abriendo.
Durante este brevı́smo lapso la ecuación del circuito es
Lİ +
R
1 − t/τ
I = EB (6.2.13)
La solución a la ecuación anterior es
I(t) =
EB
R − L/τ

1 −
t
τ

−
L
τ
EB
R

1 −
t
τ
τR/L
Esta función I(t) cae abruptamente a cero en t = τ. Se puede ver que si
L τR (6.2.14)
tanto la función İ como Rtemporal I son divergentes en el lı́mite t → τ. Si no se
da tal desigualdad tienden a una constante.
Puesto que Rtemporal I es la caı́da de potencial en el interruptor que se está abrien-
do, en la práctica lo que ocurre es que a medida que esta diferencia de potencial
crece, el campo eléctrico en ese pequeño espacio crece hasta que se produce una
descarga en la forma de un chispazo.
6.2.3. Autoinducción en manto cilı́ndrico
• Si en una lámina cilı́ndrica de radio a hay una corriente concéntrica al
eje: ~
K = K(t) ^
φ, donde K(t) solo depende del tiempo, ella produce un campo
magnético uniforme en el interior del cilindro y nulo fuera de él. Al usar la ley
de Ampère
H
∂S
~
B · d~
r = µ0IS, donde S es el área del rectángulo de c × b de la
figura, se obtiene que B b = µ0K(t)b esto es, ~
B = µ0K(t) ^
k.

a
h
+
b
c
Figura 6.12: Manto
cilı́ndrico conductor de
altura h mucho mayor que
su radio a.
• Se tiene una lámina conductora cilı́ndrica de
radio a y de conductividad bidimensional, γ, esto es
~
K = γ ~
E y en el interior de este cilindro hay un
campo magnético uniforme dependiente del tiempo,
~
B = B(t) ^
k. Se quiere determinar la corriente ~
K que
es inducida en el cilindro.
El flujo magnético a través de cualquier cı́rculo de radio
ρ ≤ a centrado en el eje es Φ = πρ2
B(t), el cual
induce en cualquier circunferencia de radio ρ ≤ a una
fem, E = −dΦ/dt = −πρ2
Ḃ(t). Esta fem induce un
campo eléctrico ~
E que debe satisfacer E =
H
~
E · d~
r.
Se adivina que este campo eléctrico tiene que ser de
la forma ~
E = E(ρ) ^
φ. Al calcular
H
~
E · d~
r sobre una
circunferencia de radio ρ ≤ a se obtiene 2πρE(ρ) que ella debe igualarse con
−dΦ/dt lo que implica que
~
E = −
Ḃ
2
ρ ^
φ =⇒ ~
K = −
γḂ a
2
^
φ
En la última expresión se tomó ρ = a. La corriente inducida total en el cilindro
es I = −γḂ a h
2
.
• El campo magnético que produce esta densidad de corriente ~
K es el que
ya se obtuvo, ~
B = µ0K(t) ^
k, por lo cual B(t) = −µ0
2
γ a Ḃ que implica que
B(t) = µ0K0 e−2t/µ0γ a
⇐⇒ K(t) = K0 e−2t/µ0γ a
La corriente total I y el tiempo caracterı́stico de este sistema RL son
I = hK0 e−2t/µ0γ a
τ =
1
2
µ0γ a
Puesto que Φ = L I = πa2
µ0K0 e−2t/µ0γ a
se despeja que
L =
µ0πa2
h
Con los resultados anteriores la fem en una circunferencia sobre el manto cilı́ndrico
es
Ea = −πa2
Ḃ =
2πaK0
γ
e−2t/µ0γ a
R =
Ea
I
=
2πa
γh
Lo tradicional es que en un RL se tenga τ = R/L relación que también se cumple
aquı́.

6.3. Inducción mutua
6.3.1. Los coeficientes de inducción
L
1 L2
M
Figura 6.13: Un cir-
cuito genérico con dos
inductancias L1 y L2
acopladas.
Considérese n circuitos Γk con corrientes Ik(t) que produ-
cen sendos campos magnéticos Bk(~
r). Sea Φkj el flujo del
campo magnético ~
Bj del circuito j a través del circuito k
y se denomina Φk al flujo total por ese circuito,
Φk =
n
X
j=1
Φkj (6.3.1)
La fem Ek inducida en el circuito k es
Ek = −
dΦk
dt
= −
k
X
j=1
dΦkj
dt
(6.3.2)
Puesto que el campo Bj es proporcional a Ij se obtiene la
proporcionalidad
Φkj = MkjIj (6.3.3)
A estos coeficientes Mkj se les denomina coeficientes de inducción mutua. En
particular Mkk = Lk.
Teniendo en cuenta que el flujo (6.3.3) es una integral en el camino Γk del
potencial vectorial Aj y recordando la expresión (4.2.10) (con ~
r0 = ∞),
~
Aj(~
rk) =
µIj
4π
I
d~
rj
k~
rk −~
rjk
(6.3.4)
se obtiene que
Mkj = Mjk =
µ
4π
I I
d~
rj · d~
rk
k~
rk −~
rjk
(6.3.5)
viéndose, en particular, que
Mkj = Mjk y que Lj ≡ Mjj (6.3.6)
Los coeficientes de inducción mutua siempre tiene la forma de un factor geomé-
trico multiplicado por µ.

Nótese que
Mkj =
Φkj
Ij
=
Φjk
Ik
(6.3.7)
6.3.2. Coeficiente de acoplamiento
.
S2
2
1
S
h
h
1
.
Figura 6.14: Una bobina totalmente
dentro de otra.
Considérese dos bobinas cilı́ndricas ideales.
La bobina mayor tiene largo h1, sección S1
y n1 vueltas por unidad de largo y la bobina
interior es (h2, S2, n2). El flujo del campo
~
B1, que es uniforme, a través de la bobina
2 es
Φ21 = (µ n1 I1) (S2 n2 h2)
que implica que el coeficiente de inducción
mutua es
M = µ n1 n2 S2 h2 , con S2 S1 , h2 h1
Nótese que S2h2 es el volumen V2 de la bobina 2. Por otro lado, puesto que
na = Na/ha, el coeficiente M puede ser reescrito como
M = µ
N1 N2S2
h1
, con S2 S1 , h2 h1
En particular, si se tiene dos bobinas ideales cilı́ndricas y rectas construidas sobre
el mismo cilindro de largo h y sección A, V = hS, idealmente se cumple (6.2.3)
M =
p
L1L2 (6.3.8)
y los Lk están dados por (6.2.3).
En general es fácil comprobar que siempre que se cumpla que h2 ≤ h1 y que
S2 ≤ S1 se satisface que
M ≤
p
L1 L2
La relación (6.3.8) no se logra en la práctica, de modo que el resultado práctico
que relaciona las caracterı́sticas del primario y secundario con M es
M = k
p
L1 L2
y a k se lo denomina coeficiente de acoplamiento.
6.3. INDUCCIÓN MUTUA Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

6.3.3. Un transformador
L
R
M
I(t)
L
1 2
Figura 6.15: Un transformador cu-
yo secundario está conectado a una
resistencia R.
Si se tiene un primario con corriente I1(t) =
I10 cos(ωt) y un secundario que es un circuito
cerrado con tan solo una inductancia L2 y una
resistencia R y tal que el acoplamiento con el
primario es M, entonces la ecuación para la
corriente I2(t) del secundario es,
−L2İ2 − Mİ1 = RI2(t) (6.3.9)
que se traduce en,
L2İ2 + RI2 = ωMI10 sin(ωt) (6.3.10)
Su integración arroja:
I2(t) =

I20 +
ML2I10ω2
R2 + ω2L2
2

e−Rt/L2
+
ωMI10
R2 + ω2L2
2

R sin(ωt) − ωL2 cos(ωt)

El primer término describe un fenómeno transitorio y es solución de la ecuación
homogénea asociada a (6.3.10). Por lo tanto el segundo término es por sı́ solo
solución de (6.3.10). Esta última es la corriente en estado oscilante del régimen
estacionario y representa a la corriente en el secundario de un transformador
cuando este tiene conectada una resistencia R. La caı́da de potencial en esta
resistencia es RI2, la cual es oscilante y su amplitud depende de R, L2 y de ω.
El potencial de salida que indica un transformador comercial es el lı́mite de RI2
cuando R → ∞. Se comprueba que en el lı́mite es:
V2 = MI10 ω sin(ωt)
Si el potencial de entrada se identifica con V1 = −L1İ1 y se considera el acopla-
miento ideal (6.3.8) se obtiene
V1
V2
=
L1
M
=
n1
n2
(6.3.11)
Si las bobinas son del mismo largo el cuociente anterior se puede identificar con
el cuociente entre el número de vueltas.

6.3.4. La “caı́da de potencial” en una inductancia
Ecuaciones como (6.2.4), (6.2.8) o (6.3.10) que describen la segunda ley de
Kirchhoff en un circuito cerrado toman siempre la forma de la igualdad: fem neta
igual a la suma de las caı́das de potencial como pueden ser Q
C
, RI u otras. El
efecto de una inductancia aparece en el lado izquierdo con una forma genérica
(6.3.2).
Un caso tı́pico es (6.2.8). Lo que suele producir confusión es que si en esa
ecuación, la fuente E0 es variable en el tiempo (como puede ser un dı́namo que
produce corriente alterna), se ha hecho costumbre escribir la fem autoinducida
por un L al lado derecho, lo que obliga a escribir +Lİ y se habla de la caı́da en
la inductancia. Esto es un caso de abuso de conceptos y de lenguaje.
6.3.5. Dos circuitos LC ideales acoplados por M
Considérese dos circuitos LC: (L1, C1) y (L2, C2), cuyas inductancias están aco-
pladas por un coeficiente de inducción mutua M. Cada circuito obedece una
ecuación dinámica. Ellas son
1
C1
I1 + L1Ï1 + M Ï2 = 0
1
C2
I2 + L2Ï2 + M Ï1 = 0
Una forma de resolverlas es haciendo los reemplazos I1 = I10 eiωt
y I2 = I20 eiωt
.
.
C C
L L
M
1
1 2
2
Figura 6.16: Dos circuitos LC
con acoplamiento M.
Se obtiene
I10 − L1C1ω2
I10 − MC1ω2
I20 = 0
I20 − L2C2ω2
I20 − MC2ω2
I10 = 0
que son dos ecuaciones lineales homogéneas aco-
pladas, las que solo pueden tener solución no trivial
si el determinante de los coeficientes de I10 e I20
es nulo, es decir, si
ω4
(L1L2 − M2
)C1C2 − ω2
(L1C1 + L2C2) = −1
6.3. INDUCCIÓN MUTUA Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

que implica
ω2
=
L1C1 + L2C2 ±
p
(L1C1 + L2C2)2 − 4(L1L2 − M2)C1C2
2(L1L2 − M2)C1C2
6.4. Potencia y energı́a magnética
6.4.1. Energı́a en términos de los coeficientes Mkj
6.4.1.1. Pequeña analogı́a con mecánica
Bien se sabe que la energı́a potencial de una masa m a altura h, debido a su
peso, es mgh. Esto se obtiene observando que el trabajo para levantar a velocidad
constante la masa hasta h es
W =
Zh
0
mg(−^
k) · (^
k dz) = −mgh
La energı́a potencial es U = −W. Es decir, para lograr que aumente la energı́a
potencial de la masa m desde 0 hasta mgh es necesario hacer una fuerza F =
−mg ^
k para llevarla a velocidad constante hasta la altura h. El peso se opone
al movimiento que aumenta la energı́a potencial.
Es general que la definición de la energı́a potencial asociada a una fuerza con-
servativa ~
F(~
r ) es
U(~
r ) = −
Z~
r
~
r0
~
F(~
r ′
) · d~
r ′
que efectivamente es −W donde W es el trabajo que efectúa la fuerza conser-
vativa para llevar al sistema desde ~
r0 hasta ~
r.
6.4.1.2. Potencia y energı́a en el caso más sencillo
Cuando en una inductancia L hay una corriente variable, es decir İ 6= 0, aparece
una fem autoinducida,
Eauto = −L İ (6.4.1)
Esta fem autoinducida es análoga al peso de la partı́cula que levantamos. Si se
tiene una inductancia inicialmente con I(0) = 0 y se comienza a aumentar I, en

cada instante se tiene una fem autoinducida dada por (6.4.1) que se opone al
aumento de la corriente. La potencia necesaria para lograr que la corriente vaya
aumentando se debe identificar con
P =
dU
dt
= −Eauto I = L I İ =
1
2
L
d
dt
I2
Esto es, cuando se tiene un circuito sencillo con coeficiente de autoinducción L
y se desea inducir una corriente desde I = 0 en t = 0 hasta un valor I en el
instante t se debe inducir externamente una fem E para vencer en todo instante
a la fem autoinducida (6.1.4), es decir, la fem externa debe ser Eexterna = −Eauto
y la potencia que se inyecta es P = Eexterna I.
La potencia es la tasa de cambio de la energı́a U del sistema, P = dU
dt
. Inte-
grando sobre el tiempo entre 0 y t se obtiene que la energı́a almacenada en una
inductancia L por la cual circula una corriente I es
U =
1
2
L I2
(6.4.2)
6.4.1.3. Potencia y energı́a en el caso general
Razonando en forma análoga a lo anterior, para inducir corrientes I1 e I2 en un
tiempo t en un sistema formado por dos circuitos con coeficientes de inducción:
L1, L2 y M es necesario aplicar una potencia P dada por
dU
dt
= −E1I1 − E2I2 (6.4.3)
donde las fem autoinducidas son
E1 = −
d
dt
(Φ11 + Φ12)
= −L1 İ1 − M İ2 (6.4.4)
y
E2 = −
d
dt
(Φ22 + Φ21)
= −L2 İ2 − M İ1 (6.4.5)
con lo cual se obtiene que
U̇ = L1I1İ1 + M(I1İ2 + I2İ1) + L2I2İ2 (6.4.6)
6.4. POTENCIA Y ENERGÍA MAGNÉTICA Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

de donde se deduce que la energı́a que alcanza el sistema de dos circuitos aco-
plados al llegar a tener corrientes I1 e I2 respectivamente es
U =
1
2
L1 I2
1 + M I1 I2 +
1
2
L2 I2
2 (6.4.7)
Finalmente, de lo anterior se puede adivinar que la energı́a almacenada por n
circuitos por los que circulan corrientes I1 . . . In es,
U =
1
2
X
k
X
j
Mkj Ij Ik (6.4.8)
6.4.1.4. Cota para los Mkj
Se ha visto que la energı́a magnética asociada a dos inductancias L1 y L2 con
coeficiente de inducción mutua M es
U =
1
2
L1 I2
1 + M I1 I2 +
1
2
L2 I2
2
Esta energı́a es positiva porque del circuito respectivo no se puede extraer energı́a
si las corrientes son nulas. Otra forma de verlo es que si en la expresión anterior
se hace el reemplazo I1 = x I2 se tiene
U =
1
2
I2
2 L1 x2
+ 2M x + L2

que diverge a +∞ cuando x → ±∞. Como función de x es una función que
tiene un solo mı́nimo que fácilmente se determina que está en
x = −
M
L1
Trivialmente se verifica que d2
U/dx2
0 lo que nos confirma que se trata de
un mı́nimo. El valor de U en este punto es
Umin =
1
2
I2
2

L2 −
M2
L1

que es no negativo tan solo si
M ≤
p
L1L2 (6.4.9)
mostrándose ası́ que existe una cota superior para el coeficiente de inducción
mutua M entre las inductancias L1 y L2.

6.4.2. La energı́a expresada con los campos
Se verá a continuación que esta energı́a puede ser expresada como una integral
que contiene a los campos ~
B y ~
H y no se hace referencia a los coeficientes de
inducción.
En (6.4.8) puede reconocerse que la suma sobre j de Mkj es la suma que se tiene
en (6.3.1) cuando se hace uso de (6.3.3). Ası́ (6.4.8) se transforma en
U =
1
2
X
k
ΦkIk (6.4.10)
donde Φk es el flujo total que pasa por dentro del k-ésimo circuito. Pero este
flujo puede ser escrito en la forma (6.3.4). Y como se trata del flujo total, debe
usarse el potencial vectorial ~
A total. Además la corriente Ik puede ser escrita en
la forma
R
~
J · d ~
S, y ası́,
U =
1
2
X
k
Z
~
J(~
rk) · d ~
S
I
~
A(~
rk) · d~
rk (6.4.11)
Ahora se hace uso de la propiedad (3.3.10) que permite intercambiar los papeles
de ~
J y de d~
r, con lo cual ahora
U =
1
2
Z
V
~
A(~
r) ·~
J(~
r) dV (6.4.12)
En esta última expresión ya no aparece en forma explı́cita la suma sobre k. Esto
es posible porque el dominio de integración V se extiende a cualquier volumen
que contenga al sistema de n circuitos. El integrando es no nulo tan solo en las
zonas donde ~
J(~
r) sea no nulo, esto es, en el volumen conductor de cada circuito.
Cada una de estas zonas conductoras k da una contribución separada a (6.4.12),
lo cual es una suma sobre todos los circuitos k.
Finalmente en (6.4.12) se hace uso de la forma diferencial de la ley circuital de
Ampère (5.2.1), ∇× ~
H = J, para reemplazar la densidad de corriente por ∇× ~
H.
Integrando por partes y extendiendo el volumen de integración a todo el espacio,
se obtiene
U =
1
2
Z
~
H(~
r ) · ~
B(~
r )dV (6.4.13)
6.4. POTENCIA Y ENERGÍA MAGNÉTICA Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Esta es una forma muy general que expresa la contribución magnética a la ener-
gı́a total de un sistema electromagnético. Más adelante se podrá demostrar que
la energı́a total de un sistema electromagnético está dada por la suma de dos
contribuciones: (2.2.13) y (6.4.13).
Para llegar a (6.4.13) se hizo uso de la ley circuital de Ampère, la cual es válida
tan solo para el caso de corrientes continuas. Si las corrientes no son continuas
la energı́a total tiene una contribución eléctrica, tal como se acaba de comentar.
Esto se verá más adelante.
6.5. La corriente de desplazamiento
Obsérvese de (1.8.6) y (3.1.8) que por definición ρP y JP satisfacen una ley
de continuidad tipo (3.1.6), ∂ρP
∂t
+ ∇ · ~
JP = 0. La densidad de corriente ~
JM
definida en (5.1.6) tiene divergencia nula, es decir, satisface en forma trivial una
ley de continuidad, lo que puede también expresarse como ρM ≡ 0, no hay
“cargas magnéticas”. Además, desde el punto de vista microscópico, la densidad
de corriente total, JT , es la suma
~
JT = ~
J +~
JP +~
JM (6.5.1)
y satisface una ley de continuidad. Entonces ~
J también la satisface. Se tiene,
entonces,
∂ρ
∂t
+ ∇ ·~
J = 0 , ∇ ·~
JM = 0 ,
∂ρP
∂t
+ ∇ ·~
JP = 0
En magnetostática se dedujo que ∇ × ~
H = ~
J. Esta ecuación no puede ser
universalmente cierta porque lleva a una contradicción. En efecto, si se toma la
divergencia a ambos lados, el lado izquierdo se anula (la divergencia de un rotor
es siempre nula) y se deduce que ∇ ·~
J = 0 lo que, como se ha dicho más arriba,
en general no es cierto.
Una de las contribuciones cruciales que Maxwell hizo a la comprensión de la elec-
trodinámica fue darse cuenta de la forma de resolver este problema. Su hipótesis,
de 1861, fue que debı́a agregarse un término
∇ × ~
H = ~
J +
∂~
D
∂t
(6.5.2)

Al término
~
JD ≡
∂~
D
∂t
(6.5.3)
se lo llama corriente de desplazamiento ya que se construye con el vector de
desplazamiento eléctrico ~
D.
Al tomar divergencia a ambos lados en (6.5.2) se obtiene 0 = ∇ ·~
J + ∇ · ∂~
D
∂t
.
Conmutando la divergencia con la derivada y usando que ∇ · ~
D = ρ se obtiene
la ley de continuidad para la carga, lo que muestra que (6.5.2) es consistente.
6.6. Las ecuaciones de Maxwell
6.6.1. Las ecuaciones en materia y en vacı́o
Las ecuaciones de Maxwell son:
la ley de Coulomb diferencial (1.9.6), ∇ · ~
D = ρ;
la ausencia de cargas magnéticas ∇ · ~
B = 0;
la forma diferencial de la ley de Faraday-Lenz (6.1.6):
∂~
B
∂t
= −∇ × ~
E
la forma diferencial de la ley de Ampère, modificada por Maxwell:
∇ × ~
H =
∂~
D
∂t
+~
J
vista en (6.5.2).
Esto es, las ecuaciones de Maxwell en un medio lineal, homogéneo e isótropo
caracterizado por la constante diléctrica ε y permeabilidad magnética µ son:
∂~
D
∂t
= ∇ × ~
H −~
J , ∇ · ~
D = ρ ,
∂~
B
∂t
= −∇ × ~
E , ∇ · ~
B = 0 .
(6.6.1)
6.6. LAS ECUACIONES DE MAXWELL Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

donde ~
D = ε~
E y ~
B = µ~
H. Las dos primeras ecuaciones (6.6.1) implican la ley
de continuidad de la carga.
En el vacı́o las ecuaciones de Maxwell toman la forma
1
c2
∂~
E
∂t
= ∇ × ~
B − µ0
~
J , ∇ · ~
E = 1
ε0
ρ ,
∂~
B
∂t
= −∇ × ~
E , ∇ · ~
B = 0 .
(6.6.2)
donde c = 1
√
µ0ε0
es la velocidad de la luz en el vacı́o.
Si los campos ~
E y ~
B son escritos en términos de los potenciales V y ~
A en las
formas ya conocida,
~
B = ∇ × ~
A , ~
E = −∇V −
∂~
A
∂t
(6.6.3)
las ecuaciones ∇ · ~
B = 0 y ∇ × E = −∂~
B
∂t
se satisfacen automáticamente, de
modo las ecuaciones de Maxwell en vacı́o pueden ser escritas como ecuaciones
para los potenciales ~
A y V:
∇2
V +
∂∇ · ~
A
∂t
= −
1
ε0
ρ
∇ (∇ · A) − ∇2 ~
A +
1
c2
∂
∂t
∇V +
∂~
A
∂t
!
= µ0
~
J
Es posible demostrar que existe un cambio de gauge de la forma
~
A → ~
A + ∇Λ , V → V −
∂Λ
∂t
(6.6.4)
que permite hacer cero el paréntesis que hay en la segunda de las ecuaciones
(6.6.4) en este gauge especial, llamado gauge de Lorentz. Las ecuaciones (6.6.4)
para los potenciales toman la forma más sencilla,
1
c2
∂2
V
∂t2
− ∇2
V =
1
ε0
ρ
(6.6.5)
1
c2
∂2 ~
A
∂t2
− ∇2 ~
A = µ0
~
J

6.6.2. La nueva ley de Ampère
Integrando sobre una superficie abierta S la ecuación de Maxwell ∇ × ~
H =
~
J + ∂~
D/∂t multiplicándola por µ se obtiene
Z
S
∇ × B · d ~
S = µIS + µ
Z
S
~
JD · d ~
S = µ IC
S + ID
S

donde, a la derecha, se ha designado IC
S a la corriente de cargas a través del la
superficie S, mientras que ID
S es la corriente de desplazamiento a través de la
misma superfice.
La nueva ley de Ampère queda entonces
I
Γ=∂S
~
B · d~
r = µ IC
S + ID
S

(6.6.6)
6.6.3. Disipación y ecuación de continuidad para la densi-
dad de energı́a
La única forma como se puede perder energı́a electromagnética es por medio
del efecto Joule. Esto permitirá obtener una expresión para la energı́a electro-
magnética en término de las ecuaciones de Maxwell recién enunciadas. La energı́a
electromagnética disminuye tanto como potencia se disipa.
6.6.3.1. Energı́a electromagnética
Si se multiplica escalarmente la ecuación (6.6.1a) con ~
E, se multiplica escalar-
mente (6.6.1c) con ~
H y estos resultados se suman se obtiene,
~
E ·
∂~
D
∂t
+ ~
H ·
∂~
B
∂t
= ~
E ·

∇ × ~
H

− ~
H ·

∇ × ~
E

− ~
E ·~
J (6.6.7)
Pero como ∇ · (~
E × ~
H) ≡ (∇ × ~
E) · ~
H − (∇ × ~
H) · E resulta
1
2
∂
∂t

~
E · ~
D + ~
H · ~
B

= −∇ · (~
E × ~
H) − ~
E ·~
J (6.6.8)
Esta expresión se integra en un volumen V arbitrario. La integral de la divergencia
que aparece al lado derecho puede ser transformada en una integral de superficie
6.6. LAS ECUACIONES DE MAXWELL Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

sobre ∂V. Al hacer tender esta superficie a infinito esta integral se anula porque
los campos a grandes distancias decrecen en proporción inversa al cuadrado de
la distancia. El otro término integral que aparece a la derecha se relaciona con
la potencia consumida (efecto Joule), como se vio en (3.3.9).
Si no hay potencia consumida, la integral del lado derecho es nula y en el lado
izquierdo se tiene una cantidad integral cuya derivada en el tiempo es nula. Esta
se reconoce como la energı́a total conservada U del sistema electromagnético:
U =
Z
1
2

~
E · ~
D + ~
H · ~
B

dV (6.6.9)
Aun si hay potencia consumida el U anterior se interpreta como la energı́a elec-
tromagnética total. En el caso general esta energı́a disminuye,
∂U
∂t
= −
Z
~
J · ~
E dV (6.6.10)
6.6.3.2. Ecuación de continuidad para la densidad de energı́a
Más en general (6.6.8) toma la forma de una ley de continuidad con lado derecho
no nulo (fuente o sumidero)
∂u
∂t
+ ∇ · ~
S = −~
J · ~
E (6.6.11)
donde u es la densidad de energı́a electromagnética
u =
1
2

~
E · ~
D + ~
H · ~
B

(6.6.12)
y
~
S = ~
E × ~
H (6.6.13)
es conocido como el vector de Poynting y representa el flujo de energı́a por unidad
de área del campo electromagnético, esto es, energı́a por unidad de área y de
tiempo.
Se verá las ecuaciones de borde que deben satisfacer los campos ~
D, ~
B, ~
E y ~
H que
satisfacen las ecuaciones de Maxwell, (6.6.1). Las condiciones de borde relacionan

los valores de los campos en puntos de la superficie de contacto entre dos medios
—la superficie interfacial o interfaz— tomando el lı́mite hacia la interfaz desde
un medio y desde el otro.
Ya se ha estudiado las condiciones de borde que implican ∇·D = ρ y ∇·B = 0.
Ellas son
(~
D2 − ~
D1) · ^
n = σℓ (~
B2 − ~
B1) · ^
n = 0 (6.7.1)
Para obtener condiciones de borde asociadas a las ecuaciones de Maxwell con
rotor se integra a lo largo de un pequeño rectángulo perpendicular a la interfaz,
con dos lados paralelos a la interfaz y que penetra ambos medios, como se
muestra en la Figura 5.2. El teorema de Stokes relaciona la integral con el flujo
que pasa por el interior del rectángulo. Con las ecuaciones que contienen ∇ × ~
E
y ∇ × ~
H
I
~
E · d~
r = −
∂ΦM
∂t
I
~
H · d~
r = I +
∂ΦD
∂t
donde I es la corriente de conducción que pasa el rectángulo mientras que ΦM
y ΦD son los flujos de los campos ~
B y ~
D a través de esa misma superficie. Estos
flujos son proporcionales al área que encierra el rectángulo.
Al tomar el lı́mite en que este rectángulo se asocia a un punto las contribuciones
de los términos de los flujos Φi se hace cero de modo que solo contribuye la
parte de la integral correspondiente a la parte tangencial a la interfaz por lo que,
en el lı́mite, las condiciones de borde son
(E2 − ~
E1) × ^
n = 0 , ^
n × (~
H2 − ~
H1) = ~
K (6.7.2)
donde ~
K es la densidad de corriente de carga de superficie y ^
n es el vector normal
a la interfaz, apuntando del medio 1 al medio 2.
Separadamente se debe considerar la condición de borde que emerge de la ecua-
ción de continuidad de la corriente eléctrica, ∇·~
J = −∂ρ/∂t. Se integra sobre un
pequeño cilindro tal como se hizo algo más atrás. El lado izquierdo se reduce fi-
nalmente a la diferencia de las componentes normales de la corriente multiplicada
por la sección A del cilindro mientras que el lado derecho arroja, en el lı́mite, la

derivada con respecto al tiempo de la densidad de carga superficial multiplicada
por A. De todo esto se obtiene

~
J2 −~
J1

· ^
n = −
∂σ
∂t
(6.7.3)
Aplicaciones de estas condiciones de borde se verán en el próximo capı́tulo.
6.8. Problemas
6.1 Considere un rectángulo de dimensiones a × b, con el lado a paralelo al
eje X y el lado b paralelo al eje Y. El rectángulo se mueve con velocidad
uniforme ~
v = v^
ı en una zona del espacio que está cruzada por un campo
magnético perpendicular al rectángulo y que solo depende de la coordenada
x, ~
B = B(x) ^
k. Calcule separadamente los lados izquierdo y derecho de
(6.1.21) para comprobar que esa relación es correcta.
6.2 Suponga que el rectángulo del problema anterior es conductor con resisten-
cia R. La fem inducida implica una corriente I. Obtenga la fuerza necesaria
para mantener al rectángulo con su velocidad uniforme y determine la
potencia mecánica PM = ~
F · ~
v para mantener tal movimiento. Por otro
lado determine la potencia eléctrica Pel = E I disipada en la resistencia R.
Compruebe que ambas potencias son iguales.
6.3 Considere un circuito Γ en el plano XY que consta de una semicircunferencia
de radio b, el respectivo diámetro (de largo 2b) y su centro fijo de curvatura
fijo al origen O. El circuito gira con velocidad angular uniforme ω en torno
a O manteniéndose siempre sobre el plano XY. El circuito es cruzado por
un campo magnético uniforme ~
B = B0
^
k. Determine la fem inducida en Γ.
6.4 Un circuito rectangular de a × b gira con velocidad angular constante ω,
en torno a uno de sus lados de largo b, el cual está fijo al eje Z. Hay un
campo magnético uniforme ~
B = B0 ^
ı paralelo al eje X. Obtenga la fem
inducida. Suponga que el rectángulo es conductor con resistencia total R.
Obtenga la corriente I(t) que se induce y obtenga también las fuerzas y
torque que hay sobre el circuito.
6.5 Demuestre que el coeficiente de autoinducción de un bobina cilı́ndrica ideal
con núcleo de permeabilidad µ está dada por (6.2.3) donde n es el número

de espiras por unidad de longitud y V es el volumen del interior de la
bobina.
6.6 Considere una bobina ideal cilı́ndrica muy larga, de sección S y con núcleo
de permeabilidad µ. Por el alambre de la bobina pasa una corriente I(t).
Demuestre (a) Que por un camino Γ en forma de circunferencia centrada
en el eje de la bobina y perpendicular a ese eje, existe una fem E = −µnSİ.
(b) Debido a (6.1.1) esto implica que afuera hay un campo eléctrico. A
partir de (6.1.1) encuentre la forma explı́cita para este campo eléctrico
~
E. (c) Partiendo de la base que el potencial eléctrico V es nulo se tiene
que ~
E = −∂A
∂t
. Obtenga entonces la expresión para ~
A. (d) Compruebe
que se satisface que el flujo magnético a través del camino Γ (usado al
comienzo de este enunciado) coincide con
H
A · d~
r.
6.7 Demuestre que el coeficiente de autoinducción de una bobina toroidal de
N espiras, de sección rectangular, de radio interior a, radio exterior b y
altura h, con núcleo de permeabilidad µ vale
L =
µhN2
2π
ln
b
a
(6.8.1)
6.8 De la expresión del coeficiente de autoinducción L de un toroide de N
espiras, de sección rectangular, de radio interior a, radio exterior b y altura
h, con núcleo de permeabilidad µ, demuestre que al considerar b = a + c
con c fijo y en el lı́mite en que a es muy grande (largo de la bobina es
h = 2πa), se recupera el coeficiente de autoinducción de la bobina recta,
L = µ n2
V.
6.9 Se tiene dos inductancias con el mismo coeficiente de autoinducción L,
acopladas por el coeficiente de inducción mutua M, conectadas en paralelo.
Obtenga el coeficiente Leq de sistema.
6.10 El primario es un cable recto infinito, el secundario es una bobina toroidal
de sección circular y resistencia R cuyo eje coincide con la lı́nea del primario,
(a) calcule el coeficiente de inducción mutua y (b) obtenga la carga total
que circula por el secundario si la corriente en el primario a partir de t = 0
es I1(t 0) = I0 (exp[−a t] − 1).
6.11 Se tiene una bobina B1 toroidal de sección circunferencial y N1 vueltas.
Totalmente dentro de B1 hay una bobina toroidal de sección rectangular

de radio interior a, radio exterior b y altura h de N2 vueltas. Calcule el
coeficiente de inducción mutua suponiendo que el campo magnético está en
un material caracterizado por una permeabilidad µ.
6.12 Los rieles de un tren están eléctricamente aislados del suelo y aislados entre
sı́. Se los une con un voltı́metro de resistencia muy grande R2. Cuando pasa
un tren, a velocidad v0, se detecta una diferencia de potencial V. El efecto
está relacionado con que el campo magnético de la tierra no es horizontal
en esa zona y su componente vertical es de valor B0. Suponga que la
resistencia de los rieles es despreciable y que la resistencia del tren es R1.
Dé una expresión exacta para V y además calcule su valor lı́mite cuando
R2 → ∞.
6.13 Se tiene un circuito LC (datos L1, C) como primario acoplado a un circuito
LR (datos L2, M, R) como secundario. Si inicialmente no hay corriente
alguna y la carga del condensador es (Q0, −Q0) determine la carga total
que pasa por la resistencia R del secundario.
6.14 Un disco de conductividad g, espesor h y radio 2a tiene un hueco circular
centrado de radio a. Por el hueco pasa —perpendicular al disco— una
bobina cilı́ndrica muy larga de radio a y n vueltas por unidad de largo. Por
la bobina circula una corriente I(t) = c t. Determine el potencial magnético
~
A; la corriente total que circula por el disco; la potencia total disipada en
el disco.

Capı́tulo 7
Ecuaciones de Maxwell y ondas
7.1. Ecuaciones de Maxwell y potenciales
Las ecuaciones de Maxwell son
∇ × ~
H = ~
J +
∂~
D
∂t
, ∇ · ~
D = ρ ,
∇ × ~
E = −
∂~
B
∂t
, ∇ · ~
B = 0 .
(7.1.1)
Se considerará medios homogéneos, isótropos y lineales para los cuales valen las
siguientes relaciones:
~
D = ε~
E , ~
J = g~
E , ~
B = µ~
H . (7.1.2)
de modo que ε, g y µ con constantes.
Si se aplica el operador divergencia a ambos lados de la ecuación (7.1.1a), el
lado izquierdo se anula y el lado derecho es la suma de la divergencia de ~
J y
la derivada temporal de la divergencia de ~
D. Pero de (7.1.1c) se sabe que esta
última divergencia es la densidad de carga. Es decir, (7.1.1a) implica directamente
que
∇ ·~
J +
∂ρ
∂t
= 0 (7.1.3)
que es la ley de continuidad de la carga ya vista en §3.1.
167

Los campos ~
E y ~
B siempre pueden ser expresados con los potenciales V y ~
A,
~
B = ∇ × ~
A , ~
E = −∇V −
∂~
A
∂t
(7.1.4)
Estos campos no cambian si los potenciales son cambiados simultáneamente
utilizando una función arbitraria Λ(~
r, t) en la forma que sigue
~
A → ~
A + ∇Λ , V → V −
∂Λ
∂t
(7.1.5)
como puede comprobarse fácilmente. Esta posibilidad de cambiar los potenciales
por otros que describen la misma fı́sica se conoce como libertad de gauge y en
particular suele ser útil escoger los potenciales de tal modo que se cumpla que
∇ · ~
A + µε
∂V
∂t
= 0 (7.1.6)
Las ecuaciones de Maxwell, como ya fue visto en §6.4.2, permiten obtener una
expresión para la energı́a,
U =
1
2
Z
~
E · ~
D + ~
H · ~
B

dV (7.1.7)
que conduce a la noción de una ley de continuidad para la densidad de energı́a
u = 1
2
(~
E · ~
D + ~
H · ~
B) con una corriente de energı́a ~
S conocida como vector de
Poynting
~
S = ~
E × ~
H (7.1.8)
7.2.1. Condiciones generales
A cada ecuación de Maxwell se le puede asociar condiciones de borde que deben
cumplirse en la vecindad inmediata a la interfaz entre dos materiales.
Ya se ha visto que la ecuación (7.1.1d) implica que
B1n = B2n (7.2.1)

y que la ecuación (7.1.1b) implica
E1t = E2t (7.2.2)
También se ha visto que (7.1.1c) lleva a obtener
D2n − D1n = σ (7.2.3)
La ecuación más complicada es (7.1.1a). Para estudiar el comportamiento de los
campos normales a la interfaz es más fácil analizar la ecuación de continuidad
(7.1.3). En una deducción enteramente análoga a la que condujo a (1.11.5) se
llega a
J1n − J2n =
∂σ
∂t
(7.2.4)
Las componentes de ~
H tangenciales a la interfaz satisfacen
^
n × (~
H2 − ~
H1) = ~
K (7.2.5)
porque se puede demostrar que la corriente de desplazamiento en (7.1.1a) no
interviene en este caso.
Campos y las corrientes sinusoidales tiene una gran importancia tanto por el
interés en corrientes alternas como en las ondas electromagnéticas.
7.2.2. El caso de campos con frecuencia ω
A continuación se estudia en forma especial el caso en que campos, densidades
y corrientes tienen un factor exp[−iωt] suponiendo que (7.1.2) se satisface.
Las condiciones (7.2.3) y (7.2.4) pueden reescribirse
ε2E2n − ε1E1n = σ
g2E2n − g1E1n = iωσ
(7.2.6)
En la última ecuación se ha usado que σ tiene su dependencia temporal en un
factor e−iωt
. Si se elimina σ de estas ecuaciones se obtiene:

ε1 +
i g1
ω

E1n =

ε2 +
i g2
ω

E2n (7.2.7)
La conclusión es que, si bien el campo eléctrico es en general discontinuo en la
interfaz, existe esta cantidad compleja εa + i ga
ω

Ean que es continua.

7.3. Ondas electromagnéticas en medios neutros
7.3.1. La ecuación de onda en un medio neutro
Heinrich Herz en 1887 en la Universidad de Karlsruhe,
luego de comprobar experimentalmente la existencia
de las ondas electromagnéticas comentó: “Para na-
da sirven [...] este es simplemente un experimento
que demuestra que el maestro Maxwell estaba en lo
correcto. Simplemente tenemos estas ondas electro-
magnéticas que el ojo desnudo no puede ver. ”.
En esta sección se verá que las
ecuaciones de Maxwell implican
la existencia de ondas. También
se verá que en un medio con con-
ductividad g no nula la ampli-
tud de las ondas electromagnéti-
cas decrece exponencialmente a
medida que la onda penetra en el
medio.
Para simplificar el análisis se supondrá un medio lineal, homogéneo y libre de
cargas:
ρ(~
r, t) = 0 (7.3.1)
Las ecuaciones de Maxwell en el caso actual se reducen a
∇ · ~
E = 0 ∇ · ~
B = 0
∇ × ~
E = −
∂~
B
∂t
∇ × ~
B = µg~
E + µε
∂~
E
∂t
(7.3.2)
El último término de la última ecuación representa la corriente de desplazamiento.
Si se toma el rotor de la última ecuación se llega a
∇2~
B − εµ
∂2~
B
∂t2
= µg
∂~
B
∂t
(7.3.3)
Similarmente, tomando el rotor de ∇ × ~
E se obtiene una ecuación de idéntica
forma que la anterior pero que satisface el campo eléctrico,
∇2~
E − εµ
∂2~
E
∂t2
= µg
∂~
E
∂t
(7.3.4)
El problema entonces consiste en encontrar primero los campos ~
B y ~
E que sa-
tisfagan las ecuaciones (7.3.3) y (7.3.4)—condición necesaria—pero además es
necesario comprobar que los campos satisfagan las ecuaciones de Maxwell (7.3.2).
Si se hubiese trabajado con ∇·~
E = ρ/ε, la ecuación final para ~
E, (7.3.4), tendrı́a
al lado derecho el término extra: 1
ε
∇ρ mientras que (7.3.3) permanecerı́a igual.
7.3. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS NEUTROS Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Frecuencia Nombres Longitud de onda
en Hz se indica unidad
1019
rayos gama 0.1 A
1018
rayos X 1 nm
1017
1016
ultravioleta
1015
100 nm
visible 400 nm - 700 nm
1014
infrarojo 10 µ m
1013
1012
1011
microondas 1 cm
1010
109
1 m
108
FM y TV
10 m
107
100 m
106
AM
1000 m
105
onda larga
Cuadro 7.1: Tabla que indica en forma aproximada las frecuencias y longitudes asociadas a
ondas electromagnéticas de nombre conocido.

7.3.2. La onda ideal
r
k
r
r
r
r
r
r
Figura 7.1: Los vectores ~
r que satisfacen ~
k · ~
r = Ω + ωt definen un plano perpendicular
a ~
k. Si se incrementa t se obtiene un nuevo plano paralelo al anterior. Más precisamente, si
t → t + δt se debe cambiar ~
r → ~
r + δ~
r de tal modo que ~
k · δ~
r = ωδt.
Primero conviene estudiar las soluciones de la ecuación
∇2
f(~
r, t) − εµ
∂2
f
∂t2
= 0 (7.3.5)
Ella es trivialmente satisfecha por todo f(~
r, t) que pueda ser escrito como una
función de un solo argumento Ω, con
Ω = ~
k ·~
r − ωt (7.3.6)
tal que
k2
≡ ~
k · ~
k = εµω2
(7.3.7)
Al vector ~
k se le conoce como vector de onda. El vector unitario asociado ^
k
indica la dirección de propagación de la onda electromagnética.
Para buscar soluciones de (7.3.5) se restringirá las funciones f a funciones F en
una sola varible,
f(~
r, t) = F(Ω) (7.3.8)
donde F es cualquier función continua dos veces diferenciable. Es fácil ver que
∂f
∂t
= −ω F′ ∂2
f
∂t2
= ω2
F′′
∂f
∂x
= kx F′ ∂2
f
∂x2
= k2
x F′′
lo que hace evidente la necesidad de exigir (7.3.7).

Para ver que los~
r que satisfacen (7.3.6) efectivamente definen un plano perpendi-
cular a ~
k se considera dos soluciones diferentes: ~
k·~
r1 = Ω+ωt y ~
k·~
r2 = Ω+ωt.
Al restar ambas relaciones se obtiene que
~
k · (~
r1 −~
r2) = 0
que es cierto porque el plano es perpendicular a ~
k.
De (7.3.6) la distancia entre el origen y el plano es r = (Ω + ωt)/k, de modo
que el plano avanza con velocidad v = dr/dt dada por,
v =
ω
k
(7.3.9)
pero k = ω
√
µε , por lo que esta solución representa una forma F caracterizada
por una velocidad
v =
1
√
µε
(7.3.10)
que apunta en la dirección del vector de onda ~
k. De (7.3.7)
k2
=
n2
ω2
c2
= ε0µ0
εµ
ε0µ0
ω2
(7.3.11)
donde el ı́ndice de refracción es
n =
r
ε µ
ε0µ0
(7.3.12)
y c representa la velocidad de la luz en el vacı́o:
c =
1
√
µ0ε0
Esta definición de n permite escribir la velocidad en la forma v = c
n
. En vacı́o
v = c.
La longitud de onda λ se obtiene de la relación v = λν donde ν es la frecuencia.
Se usa ω en lugar de ν: ω = 2π ν, por lo tanto
λ =
2π c
n ω
=
2π
k
(7.3.13)

Material Conductividad
1
Ωm

Plata 63,0 × 106
Cobre 59,6 × 106
Oro 45,2 × 106
Aluminio 37,8 × 106
Agua de mar 4,8 salinidad 35g/Kg a 20 C
Agua potable 0,0005 a 0,05
Agua desionizada 5,5 × 10−6
Kerosene de 50 × 10−12
a 450 × 10−12
n-hexane 100 × 10−12
Aire de 0,3 × 10−14
a 0,8 × 10−14
Cuadro 7.2: Conductividad de algunos materiales. Ver también el Cuadro 3.1.
7.3.3. Longitud de penetración
Si bien en §7.3.2 se resolvió el caso con conductividad nula, g = 0, puede
demostrarse que esa solución es también válida con g 6= 0.
La diferencia, como se verá ahora, está en que esta vez el vector ~
k es complejo.
A continuación se construirá una solución particular, de la forma (7.3.8) de la
ecuaciones (7.3.3) y (7.3.4).
Para comenzar se plantea buscar una solución de la forma de onda plana
~
E(~
r, t) = ~
E0 ei~
k·~
r−iωt ~
B(~
r, t) = ~
B0 ei~
k·~
r−iωt
(7.3.14)
donde ~
E0 y ~
B0 son vectores constantes (en general complejos) que juegan el
papel de amplitudes.
La dependencia espacial de estos campos aparece como mezcla de funciones
sin~
k ·~
r y cos~
k ·~
r. Para el caso en que ~
r apunte en la dirección de propagación
~
k el argumento es el producto de las magnitudes: k r. La longitud de onda λ es
tal que
λ =
2π
k
=
2πc
nω
=
c
nν
donde ν es la frecuencia asociada.
De (7.3.2b) se obtiene que
~
k · ~
B0 = 0 (7.3.15)

Vacı́o 1.0000
Aire 1.0003
CO2 lı́quido 1.20
Hielo 1.309
Alcohol 1.329
Agua (20 C) 1.333
Acetona 1.36
Alcohol etı́lico 1.36
Solución de azúcar (30 %) 1.38
Flourita 1.434
Quarzo fundido 1.46
Solución de azúcar (80 %) 1.49
Vidrio 1.5
Vidrio Crown 1.52
Cloruro de sodio (Sal) 1 1.544
Poliestireno 1.55
Quartzo 2 1.553
Esmeralda 1.57
Lapis Lázuli 1.61
Topacio 1.61
Quarzo 1 1.644
Cloruro de sodio (Sal) 2 1.644
Rubı́ 1.77
Safiro 1.77
Diamante 2.417
Óxido de cromo Cr2O3 2.705
Óxido de cobre 2.705
Iodo cristalizado 3.34
Cuadro 7.3: Índice de refracción de al-
gunas sustancias.
La ecuación de Maxwell (7.3.2) implica di-
rectamente que
~
k × ~
E0 = ω~
B0 (7.3.16)
y la ecuación (7.3.2d) da
i~
k × ~
B0 = µ(g − iεω)~
E0 (7.3.17)
por lo cual se cumple que
~
E0 =
i~
k × ~
B0
µ(g − iεω)
(7.3.18)
Al reemplazar esta expresión para ~
E0 en la
ecuación (7.3.16) y usando (7.3.15) se ob-
tiene, después de algunas manipulaciones
algebraicas, que
k2
= ω2
µε

1 +
ig
εω

(7.3.19)
Puesto que k2
es complejo, el vector ~
k mis-
mo es complejo.
Usando α y β reales se escribe k = α + iβ,
~
k ≡ k^
k = (α + iβ)^
k (7.3.20)
viéndose que los campos (7.3.14) tiene un factor exponencial de la forma
e−β^
k·~
r
eiα^
k·~
r−iωt
(7.3.21)
La primera de estas dos exponenciales es real y es un factor que describe la
atenuación de la onda electromagnética. El inverso de β tiene dimensiones de
longitud y se llama longitud de penetración:
δ ≡
1
β
(7.3.22)

B
E
k
Figura 7.2: En una onda electromagnética la dirección ^
k, la dirección del
campo eléctrico y la dirección del campo magnético forman una trı́ada derecha.
La amplitud de la onda disminuye exponencialmente a medida que penetra en
el medio conductor.
Usando las definiciones anteriores se deduce que
δ =
s
2
µω
1
qp
ε2ω2 + g2 − ε ω
=
1
ω
s
2
µε
1
qp
1 + g2/(ε2ω2) − 1
(7.3.23)
que implica que si g → 0 esta distancia δ diverge, esto es, la penetración es
infinita: el medio es transparente a las ondas.
En general puede observarse de (7.3.18) que si β es no nulo, existe un desfase
entre los dos campos.
A continuación se verá dos casos extremos: el caso de un conductor pobre (g
pequeño) y el caso de un buen conductor. En ambos casos g debe compararse
con ε ω.
En el caso de un medio conductor pobre, g ≪ ε ω la expresión (7.3.23) permite
obtener que
δ ≈
2
g
r
ε
µ
(7.3.24)
En este caso la distancia de penetración no depende de la frecuencia ω y como
g es chico la penetración puede ser muy grande. Tanto, que se da el caso de
materiales transparentes.

En el caso de un buen conductor, esto es g ≫ εω, reduce la ecuación (7.3.23) a
δ ≈
s
2
µgω
(7.3.25)
En este caso la distancia de penetración es chica y mientras más alta sea la
frecuencia más pequeña es la penetración.
La distancia de penetración δ es la distancia en la que la amplitud de los campos
eléctricos y magnéticos disminuyen en un factor e−1
, es decir, disminuyen alre-
dedor de un tercio. El cobre tiene una conductividad g ≈ 6 × 107 1
m Ohm lo que
implica que para la corriente alterna doméstica esta distancia sea de alrededor de
cerca de 9 mm, (casi 1cm), lo que garantiza que la corriente es muy uniforme en
toda la sección de un conductor normal. En cambio para frecuencias tipo VHF,
por ejemplo 50MHz, δ ≈ 9 × 10−3
mm. Esto hace que la resistencia aumente
notoriamente a estas altas frecuencias.
7.4. Ondas planas en medios aislantes y neutros
7.4.1. Polarización
Teniendo un medio aislante y neutro las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir
en forma muy sencilla,
∇ · ~
E = 0 ∇ · ~
B = 0
~
∇ × ~
E = −
∂~
B
∂t
∇ × ~
B =
n
c
2 ∂~
E
∂t
(7.4.1)
y tienen soluciones (7.3.14) que describen ondas planas con
k =
nω
c
(7.4.2)
Por lo visto en la sección anterior se debe cumplir que
~
B0 =
n
c
^
k × ~
E0 , ~
E0 = −
c
n
^
k × ~
B0 (7.4.3)
lo que formalmente establece que los tres vectores involucrados ~
E0, ~
B0 y ^
k forman
un triedro de vectores mutuamente ortogonales.

En general tanto ~
E0 como ~
B0 son vectores complejos. Conviene definir una base
(^
p, ^
s) de vectores unitarios y reales perpendiculares al vector ^
k que indica la
dirección de propagación. Con esta base real (^
p, ^
s, ^
k) se puede escribir
~
E0 = ^
p Ep eiφp
+ ^
s Es eiφs
(7.4.4)
con amplitudes reales Ep y Es. Puesto que el vector campo eléctrico (complejo)
completo es ~
E = ~
E0 ei~
k·r−iωt
, el vector fı́sico, que es la parte real, es
^
p Ep cos (~
k ·~
r − ωt + φp) + ^
s Es cos (~
k ·~
r − ωt + φs)
Sin embargo, basta escoger apropiadamente el origen del tiempo para lograr que
una de estas fases φk sea nula. Lo convencional es tomar φs = 0, lo que no resta
generalidad al formalismo. En tal caso, el campo eléctrico fı́sico es
~
Efis
= ^
p Ep cos (~
k ·~
r − ωt + φp) + ^
s Es cos (~
k ·~
r − ωt) (7.4.5)
Al haber un desfase entre las componentes ^
s y ^
p del campo eléctrico, este des-
cribe, en el plano (^
s, ^
p), una elipse como muestran las figuras 7.3 y 7.4. En este
caso general se dice que la onda tiene polarización elı́ptica.
Figura 7.3: El campo eléctrico de la onda que avanza de tal modo que su
vector amplitud ~
E0—ver (7.3.14)—en general va girando.
Hay casos particulares, como por ejemplo φp = 0, en que se tiene polariza-
ción lineal y si se da que tanto φp = π
2
como que Ep = Es la polarización es
circunferencial.
En el caso general la elipse tiene una excentricidad que está directamente rela-
cionada a Ep/Es y a φp. Si la elipse degenera en una lı́nea se tiene polarización
lineal pero la polarización general es elı́ptica.
7.4. ONDAS PLANAS EN MEDIOS AISLANTES Y NEUTROS Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

s
p
^
^
Figura 7.4: El vector campo eléctrico describe, en el caso general, una elipse
en el plano (^
s, ^
p) ortogonal al vector de onda ~
k.
7.4.2. Energı́a y flujo de ella
La densidad media de energı́a de la onda se obtiene calculando
u =
1
2

εE2 +
1
µ
B2

donde la barra indica promedio en el tiempo. Puesto que el promedio temporal
de sin2
(a + bt) es 1
2
, se obtiene que
(Efis)2 =
1
2
E2
p + E2
s

De la expresión (7.4.5) para ~
Efis
se puede construir ~
Bfis
=
n
c
^
k×~
Efis
que conduce a
(Bfis)2 =
n
c
2
(Efis)2
La energı́a media es
u =
ε
2

(Efis)2 +
1
ε µ
(Bfis)2

=
ε
2

(Efis)2 +
c2
n2
(Bfis)2

=
ε
2

(Efis)2 + (Efis)2

= ε (Efis)2 (7.4.6)

Ya no se usará más el superı́ndice “fis”.
El vector de Poynting, que es la densidad de flujo de energı́a electromagnética,
es
~
S =
1
µ
~
E × ~
B
=
n
µ c
~
E ×

^
k × ~
E

=
n
µc
E2 ^
k
De donde se desprende que el flujo promedio de energı́a es
~
S =
n
2µ c
E2
p + E2
s

^
k (7.4.7)
7.5. Reflexión y refracción
7.5.1. Ondas planas y ley de Snell
Se verá el paso de una onda electromagnética plana de un medio 1 a un medio 2.
La onda incidente (~
E1, ~
B1) implica dos ondas emergentes: una reflejada y otra
refractada.
Se escogerán ejes coordenados de modo que el plano XY coincida con la interfaz
y que la onda incidente se propague en la dirección ^
k1, vector contenido en el
plano XZ. Se identifica el plano interfacial con el plano [XY, z = 0]
~
E1 = ~
E10ei~
k1·~
r−iωt ~
B1 =
n1
c
^
k1 × ~
E1 (7.5.1)
La onda refractada se caracteriza por
~
E2 = ~
E20ei~
k2·~
r−iωt ~
B2 =
n2
c
^
k2 × ~
E2 (7.5.2)
y la onda reflejada es descrita con
~
E′
1 = ~
E′
10ei~
k′
1·~
r−iωt ~
B′
1 =
n1
c
^
k′
1 × ~
E′
1 (7.5.3)
7.5. REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Z
X
k
k’
1
2
θ
θ
2
1 θ1
2
k1
1 ’
Figura 7.5: El plano de incidencia contiene al vector ~
k1 y a la normal a la
interfaz. En esta figura se escogió θ2 θ1 lo que corresponde a n1 n2.
El subı́ndice indica el medio en el cual se propaga la onda. Los tres vectores ~
ka
implicados están en un mismo plano que se denomina plano de incidencia. En la
figura 7.5 este plano coincide con el plano de la figura y es el plano XZ.
Para que las condiciones de borde se puedan cumplir en todo instante, la fre-
cuencia angular ω debe ser común a todas las ondas.
Para que las condiciones de borde se puedan cumplir en todo el plano interfacial
[XY, z = 0] es necesario que
(~
k1 ·~
r)z=0 = (~
k2 ·~
r)z=0 = (~
k′
1 ·~
r)z=0 (7.5.4)
lo que equivale a decir que los vectores de onda ~
ka tienen igual proyección en el
plano XY,
k1 sin θ1 = k2 sin θ2 = k′
1 sin θ′
1 (7.5.5)
Pero cada uno de estos ~
ka tiene magnitud naω
c
con el ı́ndice de refracción na del
medio que se trate—ver (7.3.11)—lo que implica la ley de Snell para la reflexión
θ1 = θ′
1
n1 sin θ1 = n2 sin θ2
(7.5.6)
La ley anterior establece que el ángulo de reflexión θ′
1 es igual al de incidencia,
mientras que el ángulo de refracción θ2 queda determinado por el de incidencia
y el cuociente entre los ı́ndices de refracción.

7.5.2. Reflexión total
Un caso especial puede ocurrir cuando n1 n2 porque se da la posibilidad de
que el ángulo θ2 pueda alcanzar el valor π/2, es decir, si n1 n2 necesariamente
existe un valor crı́tico θc
1
sin θc
1 =
n2
n1
(7.5.7)
tal que θ2 = π
2
. Para todo θ1 θc
1 se produce reflexión total. Este caso se puede
presentar para luz que proviene de una fuente bajo el agua (nagua naire): si la
luz llega a la superficie con un ángulo mayor al ángulo crı́tico, la superficie refleja
totalmente, como si fuera un espejo perfecto. En efecto, nagua(20C) = 1,333
mientras que naire = 1,0003 lo que implica un ángulo θc
1 ≈ 49◦
.
Una utilización práctica de la reflexión total es la fibra óptica.
7.5.3. Conservación de la energı́a
La figura 7.6 representa una onda plana 1 que llega desde un medio 1 a la interfaz
plana con un medio 2. Parte de la onda se refleja (1’) y la otra se refracta (2).
Estas son las ondas planas descritas por (7.5.1), (7.5.2) y (7.5.3). Puesto que ellas
se propagan en medios aislantes (g = 0), son ondas permanentes (permanecen
en el tiempo) y se extienden por todo el espacio. Esto hace que la energı́a media
en cada elemento de volumen sea uniforme y constante.
1
n
^
2
1’
n
n
1
2
Figura 7.6: La onda 1 incide sobre la interfaz, una parte que se denota 1′
, se
refleja y una parte 2 se refracta, esto es, pasa al otro medio.
Si la ecuación de energı́a (6.6.11): ∂u/∂t + ∇ · ~
S = 0 se integra en el
volumen que encierran dos planos paralelos a la interfaz se obtiene, puesto que

dU/dt = 0, que
R
V
∇·~
S dV =
H
S
~
S·d ~
S. La última integral es sobre las dos
superficies representadas por las lı́neas a trazos en la figura 7.6 y los elementos
de superficie apuntan: en la de abajo hacia abajo (−^
n) y en la de arriba hacia
arriba (^
n) obteniéndose que el flujo por unidad de área sea

~
S1 − ~
S1′

· ^
n = ~
S2 · ^
n
Puesto que los vectores de Poynting tienen la forma ~
Sa = na
µ0c
E2
a
^
ka , y puesto
que los ^
ka están dados por
^
k1 = ^
ı sin θ1 + ^
n cos θ1
^
k′
1 = ^
ı sin θ1 − ^
n cos θ1
^
k2 = ^
ı sin θ2 + ^
n cos θ2
(7.5.8)
la ecuación anterior se puede escribir como
n1

E2
10 − E′
10
2

cos θ1 = n2 E2
20 cos θ2 (7.5.9)
Se verá que esta ecuación se satisface en los dos casos genéricos que se estudian
a continuación en §7.5.4.
7.5.4. Revisión de las condiciones de borde
La ley de Snell (7.5.6) nada dice sobre cuánto de la onda se refleja y cuánto se
refracta. Tales proporciones están dadas por las amplitudes Ea0 con a = 1, 1′
, 2
en la forma que se verá a continuación.
Para poder determinar la relación entre las amplitudes de la onda reflejada y
refractada es necesario tomar en cuenta las condiciones de borde estudiadas
en §7.2.
Lo primero que hay que comprender es la forma de imponer las condiciones de
borde definidas en §7.2 que deben satisfacer los campos en la vecindad inmediata
de la interfaz 1-2. Nótese que si ^
n es el vector unitario normal a la interfaz en un
punto dado, entonces ^
n × ~
E es un vector paralelo al plano interfacial, es decir,
es la parte tangencial del campo. De acuerdo con la figura 7.5 el campo en el
medio 1 es una superposición del campo incidente y del campo reflejado. Por lo
tanto la forma de imponer la condición sobre las componentes tangenciales Et,
(7.2.2), es
^
n × (~
E1 + ~
E1
′
) = ^
n × ~
E2 (7.5.10)

Similarmente (7.2.5) para el caso actual (sin corrientes) se convierte en
^
n × (~
B1 + ~
B1
′
) = ^
n × ~
B2 (7.5.11)
Aquı́ se ha usado µ1 = µ2 = µ0.
Para imponer las condiciones sobre las componentes normales sencillamente se
considera el producto escalar con el vector normal. Ası́ (7.2.1) es
^
n · (~
B1 + ~
B1
′
) = ^
n · ~
B2 (7.5.12)
y, cuando no hay cargas en la interfaz, (7.2.3) es
ε1 ^
n · (~
E1 + ~
E1
′
) = ε2 ^
n · ~
E2 (7.5.13)
Las cuatro condiciones anteriores deben ser impuestas tan solo en la interfaz, la
que normalmente definimos como el plano z = 0.
En las condiciones (7.5.12) y (7.5.13) se debe reemplazar al campo magnético
usando (7.5.1), (7.5.2) y (7.5.3) de modo que las cuatro ecuaciones anteriores se
pueden expresar como condiciones sobre el campo eléctrico. Naturalmente que
se puede hacer lo inverso y expresar todo en función del campo magnético.
.
X
p
^
s
^
k2
k1’
Z
θ
θ
2
1 1
1
2 X
θ
k1
Figura 7.7: El vector ^
s es perpendicu-
lar al plano de incidencia mientras que
^
p está contenido en él. Ellos cumplen
^
p = ^
k × ^
s
Estas condiciones determinan totalmente
las amplitudes reflejada y refractada en fun-
ción de los datos de la onda incidente y de
ambos ı́ndices de refracción. Pero la res-
puesta debe darse en forma separada para
dos casos diferentes: ~
E1 es perpendicular al
plano de incidencia (caso s) y ~
E1 es pa-
ralelo al plano de incidencia (caso p). Los
nombres “s” y “p” se deben a que en el es-
tudio de reflexión y refracción se especifica
al vector (^
s o ^
p) y ~
E es paralelo a uno de
ellos. Con los distintos ^
ka se forman triedros
ortonormales que satisfacen
^
pa = ^
ka × ^
s (7.5.14)
El caso general tiene polarización elı́ptica y es una superposición de los dos casos
anteriores. Esto significa que un ~
E1 debe descomponerse en la suma de un vector
que es mezcla lineal de vectores proporsionales a ^
p y ^
s respectivamente y estas

dos partes sufren efectos diferentes. Los resultados que siguen (restringidos al
caso µ1 = µ2) se expresan en base a los ángulos θ1 y θ2 (ver figura 7.7), pero
θ2 se puede despejar de la ley de Snell (7.5.6).
Puesto que para una gran cantidad de materias la permeabilidad magnética es
muy cercana a la del vacı́o, µ0, en lo que sigue se supondrá que en efecto, µ = µ0.
De otro modo surgirı́an expresiones algo más complicadas.
7.5.4.1. Caso p
En este caso el campo eléctrico está contenido en el plano de incidencia y el
campo magnético es perpendicular a él. La tabla que se debe usar para tener los
campos antes de imponer las condiciones de borde es:
a ^
ka ^
pa
~
Ea
~
Ba = (na/c) ^
k × ~
Ea
1 ^
n cos θ1 +^
ı sin θ1 −^
ı cos θ1 + ^
n sin θ1 ^
p1 E1 −(n1/c) ^
s E1
1’ −^
n cos θ1 +^
ı sin θ1 ^
ı cos θ1 + ^
n sin θ1 ^
p′
1 E′
1 −(n1/c) ^
s E′
1
2 ^
n cos θ2 +^
ı sin θ2 −^
ı cos θ2 + ^
n sin θ2 ^
p2 E2 −(n2/c) ^
s E2
Vectores que definen la refracción y reflexión en el caso p.
Las condiciones de borde ahora son
(−E1 + E′
1) cos θ1 = −E2 cos θ2
n1 (E1 + E′
1) = n2 E2
que conducen a
E′
1 =
n2 cos θ1 − n1 cos θ2
n2 cos θ1 + n1 cos θ2
E1 E2 =
2n1 cos θ1
E1 (7.5.15)
Usando la ley de Snell se puede eliminar n2 obteniéndose
E′
1 =
tan (θ1 − θ2)
tan (θ1 + θ2)
E1 E2 =
2 cos θ1 sin θ2
sin(θ1 + θ2) cos (θ1 − θ2)
E1 (7.5.16)

7.5.4.2. Caso p especial: refracción total
Hay varios casos especiales de los cuales se menciona uno. Si θ1 + θ2 = π
2
la
ecuación (7.5.16b) implica que E′
1 = 0 de modo que no hay onda reflejada, toda
la energı́a pasa al segundo medio. La condición anterior define un ángulo especial,
el ángulo de Brewster
tan θB
1 =
n2
n1
(7.5.17)
para el cual toda la onda pasa al medio 2.
Si una onda electromagnética plana con polarización elı́ptica incide sobre un
plano interfacial con el ángulo de Brewster, se obtiene una onda reflejada solo
por la componente del caso s para el que no existe un ángulo especial. Esa onda
reflejada tiene una polarización lineal correspondiente al caso s.
Si el medio 1 es vidrio (n1 = 1,5) y el 2 es aire, resulta θB
1 ≈ 56◦
.
7.5.4.3. Caso s
En la tabla que sigue se escribe los campos ~
Ea y ~
Ba de cada una de las tres
ondas (incidente, reflejada y refractada).
a ^
ka
~
Ea
~
Ba =
na
c
^
ka × ~
Ea
1 ^
n cos θ1 +^
ı sin θ1 ^
s E1
n1
c
[−^
ı cos θ1 + ^
n sin θ1] E1
1’ −^
n cos θ1 +^
ı sin θ1 ^
s E′
1
n1
c
[^
ı cos θ1 + ^
n sin θ1] E′
1
2 ^
n cos θ2 +^
ı sin θ2 ^
s E2
n2
c
[−^
ı cos θ2 + ^
n sin θ2] E2
En esta tabla se ha dado amplitudes arbitrarias a los campos, pero en lo que sigue se muestra
que, dada la magnitud E1, las otras amplitudes quedan determinadas por las condiciones de
borde.
La condición de borde E1t = E2t conduce en este caso a
E1 + E1
′
= E2

y la condición B1t = B2t lleva a
n1 cos θ1 (E1 − E1
′
) = n2 cos θ2 E2
Estas dos condiciones (y no hay otras) permiten deducir en pocos pasos alge-
braicos que
E1
′
=
n1 cos θ1 − n2 cos θ2
E1 E2 =
2n1 cos θ1
E1 (7.5.18)
Si sin θ2 6= 0 se puede proceder a eliminar n2 gracias a la ley de Snell:
n2 = n1 sin θ1/ sin θ2, que permite reducir las expresiones anteriores a
E1
′
=
sin(θ2 − θ1)
sin(θ2 + θ1)
E1 E2 =
2 cos θ1 sin θ2
sin(θ2 + θ1)
E1 (7.5.19)
El caso particular de incidencia normal, es decir, θ1 = θ2 = 0, implica
E1
′
=
n1 − n2
n1 + n2
E1 , E2 =
2n1
n1 + n2
E1 (incidencia normal)
que muestra, en particular, que la reflexión desaparece si n1 = n2 (la interfaz
desaparece realmente).
7.5.5. Reflexión total en superficie conductora perfecta
El campo eléctrico en un conductor perfecto es nulo: ~
E2 = 0 y, de (7.5.2), esto
implica ~
B2 = 0, es decir, en este caso no hay onda en el medio 2, la onda
es totalmente reflejada. Tradicionalmente los espejos se construyen usando un
conductor muy bueno: plata. Ver la tabla 7.2.
La condición (7.5.13) implica que ~
E1
′
·^
n = −~
E1 ·^
n y la condición (7.5.10) implica
~
E1
′
× ^
n = −~
E1 × ^
n. Ambas condiciones juntas implican que en la interfaz
~
E1
′
= −~
E1 (7.5.20)
El campo eléctrico se invierte en la reflexión total: no hay componentes privile-
giadas, no hay polarización.
Ejemplo: Se verá el caso de una onda electromagnética plana entre dos placas
planas paralelas y conductoras separadas por una distancia a. Escogiendo al eje

1
θ
1
θ
Z
z=0
z=a
i
n
X
Figura 7.8: Onda electromagnética plana entre dos placas planas paralelas y conductoras.
Z perpendicular a las placas, y ellas en z = 0 y z = a, se debe imponer que el
campo se anule para ambos valores de z.
Además se escoge el eje X en la dirección media de propagación. Esto es, para
el campo ~
E1 el vector de onda es ~
k1 = ^
n k cos θ1 +^
ı k sin θ1, mientras que para
la onda reflejada es ~
k1′ = −^
n k cos θ1 +^
ı k sin θ1 por lo que
~
E1 = ~
E0 ei(kx sin θ+z k cos θ−ωt) ~
E1
′
= −~
E0 ei(kx sin θ−z k cos θ−ωt)
(7.5.21)
El campo total es la suma de ambos,
~
Etot
1 = ~
E0 ei (kx sin θ−ωt)
2 sin(kz cos θ) (7.5.22)
y es cero en z = 0 como debe ser. Puesto que hay una segunda interfaz, en z = a
también se debe exigir que el campo total se anule en z = a, lo que equivale a
imponer que sin(ka cos θ) = 0, es decir, ka cos θ = nπ lo que finalmente da
cos θ =
nπ
k a
con n = 1, 2, ... (7.5.23)
Dado k, es decir, dada la frecuencia (o equivalentemente la longitud de onda), hay
sólo algunos ángulos permitidos para que la onda se pueda propagar rebotando
en ambas paredes.
Este fenómeno es semejante, pero no igual, al caso en que luz blanca (mezcla de
ondas electromagnéticas de un amplio espectro de frecuencias) incide con cierto
ángulo sobre una delgada capa de aceite que flota en agua, parte de las ondas se
refleja múltiples veces en el interior de la capa de aceite antes de volver a salir
al aire. Otra parte se va hacia el agua. Por lo que se ha visto más arriba, si θ
está fijo, esos botes solo se pueden dar para algunos valores fijos de k, es decir
sólo para algunas longitudes de onda: colores. El resultado final es que en la luz
reflejada se puede detectar bandas de diversos colores.

7.6. Problemas
7.1 Considere el caso ideal de una recta infinita con corriente I(t). No hay más
corrientes que ésta y no hay más campos que aquellos que son consecuencia
de I(t).
a) Determine el campo magnético ~
B(ρ, φ, z, t) que se produce.
b) Obtenga un par (V , ~
A): (potencial escalar , potencial vectorial) del cual
se desprenda el campo magnético y
c) vea cuál es el campo eléctrico ~
E(ρ, φ, z, t) inducido.
7.2 Se tiene una bobina cilı́ndrica ideal infinita de radio a y corriente Ibob(t),
medio interno de permeabilidad magnética µ y n
vuelta unidad de largo. Se escoge el eje Z coinci-
dente con el eje de la bobina. Como lo muestra la
figura, rodeando a la bobina hay una placa conduc-
tora cilı́ndrica de grosor (altura) h, radio externo b,
radio interno a y conductividad g.
Determine la densidad de corriente ~
J y la corriente
total Ic(t) inducidas en el conductor.
. b
a
h
7.3 Se tiene un medio conductor de conductividad g y permeabilidad magnética
µ ≈ µ0. Una onda electromagnética plana monocromática de frecuencia
angular ω
~
E = ^
ı E0 e−z/δ
ei (z/δ−ωt)
se propaga en la dirección z, donde δ =
q
2
µgω
.
a) Encontrar la dirección y magnitud del campo magnético de la onda y
su diferencia de fase con respecto al campo eléctrico.
b) Obtener la parte real de los campos eléctrico y magnético.
c) Obtener el vector de Poynting y su promedio en el tiempo.
7.4 En un buen conductor, cuando la frecuencia no es demasiado grande, una
buena aproximación consiste en despreciar el término de corriente de des-
plazamiento. En tal caso la ecuación para ~
E es ∇2~
E − µ0g∂~
E/∂t = 0.
Considere el caso de una onda plana que ha penetrado a un medio (inter-
faz=plano XY) con conductividad g.

i) Tomando ~
k = (0, 0, k) demuestre de lo anterior que k = (1+i)
p
ωµ0g/2.
En lo que sigue se usa la notación k0 =
p
ωµ0g/2
ii) Para el campo eléctrico de la onda plana en el medio conductor, luego
de una incidencia normal, es ~
E = ^
ı E0 ei(kz−ωt)
, (convencionalmente escoja
E0 real). A partir de la ecuación ∇ × ~
E = −∂~
B
∂t
y suponiendo que ~
B =
^
 B0 ei(kz−ωt)
obtenga ~
B. Encuentre el desfase entre el campo magnético y
el eléctrico (y que se debe a que B0 resulta no real).
iii) Calcule el flujo promedio de energı́a como función de z, es decir, el
promedio temporal del vector de Poynting ~
S = 1
µ0
~
Er × ~
Br (el subı́ndice r
indica parte real). Interprete.

Apéndice A
Apéndices
A.1. Unidades y dimensiones
magnitud sı́mbolo dimensiones unidad
carga q, e, Q
√
Mℓ coulomb C=A s
potencial eléctrico V
√
Mℓ3/2
t−2
volt V
cpo. eléctrico ~
E
√
Mℓt−2
volt/metro V/m
cte. dieléctrica ε t2
ℓ−2
farad/metro F/m
cpo. de desplazamiento ~
D
√
M ℓ−3/2
coulomb/metro2
C/m2
capacidad C t2
ℓ−1
farad F=C/V
resistencia R ℓ/t ohm Ω=V/A
corriente eléctrica I
√
Mℓ t−1
ampère A
densidad de corriente ~
J
√
Mt−1
ℓ−3/2
ampère/metro2
A/m2
conductividad g t ℓ−2
1/(mΩ)
cpo. magnético ~
B
p
M/ℓ t−1
tesla T=Wb/m2
pot. magnético ~
A
√
M ℓ t−1
tesla metro
intensidad magnética ~
H
p
M/ℓ t−1
ampère/metro A/m
permeabilidad magnética µ 1 henry/metro H/m
magnetización M
p
M/ℓ t−1
ampère/metro A/m
flujo magnético Φ
√
M ℓ3/2
t−1
weber Wb
reluctancia R ampère/weber A/Wb
inductancia L ℓ henry H
ε0 =
107
4πc2
, , µ0 =
4π
107
, , c = 299 792 458
hm
s
i
191

magnitud sı́mbolo dimensiones unidad
longitud ℓ metro m
tiempo t t segundo s
masa m M kilogramo K
energı́a Mℓ2
t−2
Joule J
potencia P Mℓ2
t−3
watt w=J/s
Algunas de las cantidades importantes y sus unidades. Se puede tomar como unidades
independientes de tiempo el segundo [s], de longitud el metro [m], de corriente el
ampère [A] y de potencial el volt, [V]. Ası́ entonces, por ejemplo, el ohm no es una
unidad independiente sino que Ω=V/A.
A.2. Operadores diferenciales, teoremas integra-
les y condiciones de borde en electromag-
netismo
A.2.1. Los conceptos de gradiente, divergencia y rotor
Sobre el concepto de gradiente. Si f(~
r) es una función escalar, su gradiente,
en coordenadas cartesianas es,
∇f(~
r) = ^
ı
∂f
∂x
+^
j
∂f
∂y
+ ^
k
∂f
∂z
(A.1)
Si la función f depende solo de la magnitud de ~
r, es decir, f(~
r) = f(r) su
gradiente es
∇f(r) =
~
r
r
df
dr
. (A.2)
Entre los puntos (x, y, z) y (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) la función f varı́a,
∆f =
∂f
∂x
∆x +
∂f
∂y
∆y +
∂f
∂z
∆z, (A.3)
como lo muestra un simple desarrollo de Taylor de la función en torno al punto
(x, y, z) y puesto que,
∆~
r = ^
ı∆x +^
j∆y + ^
k∆z (A.4)
A.2. OPERADORES DIFERENCIALES, TEOREMAS INTEGRA-
LES Y CONDICIONES DE BORDE EN ELECTROMAGNETISMO

se obtiene
∆f = ∇f · ∆~
r. (A.5)
El lado derecho es la variación de f(~
r) a lo largo de ∆~
r.
Si se considera una esfera infinitesimal alrededor del punto P0 = (x, y, z) y
se calcula la variación de f entre P0 y cada punto sobre la pequeña esfera, se
denomina PM al punto sobre la esfera para el cual dicha variación toma un valor
máximo. Puesto que ∇f evaluado en P0 es un vector fijo, es obvio que la variación
máxima ocurre cuando ∇f es un vector paralelo al vector ∆~
r que va desde P0
hasta PM.
En conclusión, el gradiente de una función arbitraria f es un vector que siempre
apunta en la dirección en que la función crece más rápido.
A partir del punto P0 también existe la dirección hacia la cual la función disminuye
más rápido, la que es exactamente opuesta a la anterior. Entre PM y este otro
punto hay una curva sobre la esfera que corresponde a puntos en que la función
no varı́a. La existencia de dichos puntos es transparente si en A.5 se considera
todas las direcciones para las cuales ∆~
r es perpendicular al vector fijo ∇f. En
otras palabras, el anillo de puntos alrededor de P0 que corresponde a puntos de
variación nula de la función f define un disco que es perpendicular a ∇f.
La unión de todos estos discos infinitesimales define la superficie sobre la cual
la función tiene un valor constante, es la superficie iso-f. Si, por ejemplo, f
representa la temperatura en cada punto de un cierto cuerpo que no está en
equilibrio térmico, a cada punto P le está asociada una dirección del gradiente
de la temperatura y por P pasa una superficie de temperatura constante: una
isoterma. De todo lo dicho se desprende que el plano tangente a una superficie
isoterma es perpendicular al gradiente calculado en el punto de tangencia.
Se recuerda que
Z~
rB
~
rA
∇f · d~
r = f(~
rB) − f(~
rA). (A.6)
Esta integral no depende del camino que se escoja para ir de A a B lo que implica
que la integral de un gradiente sobre un camino cerrado es nula,
I
∇f · d~
r = 0 (A.7)
Flujo. Se define el flujo de una función vectorial ~
D(~
r) a través de una superficie

S como la integral,
Φ =
Z
S
~
D · d ~
S (A.8)
donde d ~
S = ^
ndS, y ^
n es el vector unitario normal a la superficie y dS el elemen-
to infinitesimal escalar de superficie. Normalmente la superficie S es abierta y
finita, pero también puede ser una superficie cerrada o bien una superficie abierta
infinita. El signo del flujo Φ depende del signo convencional que se escoja para
^
n. En el caso de las superficies cerradas es estándar tomar ^
n apuntando hacia
afuera.
A una función vectorial cualquiera, y que conviene que sea llamada campo vec-
torial, se la puede representar por lı́neas de campo. Basta con pasar por cada
punto del espacio un trazo infinitesimal en la dirección del campo. Ası́, la lı́nea
de campo que pasa por un punto P cualquiera es una curva que pasa por P tal
que su tangente, en cualquier otro punto Q de la curva, apunta en la misma
dirección que el campo en ese punto. A las lı́neas se les da el sentido del campo.
Suelen llamarse fuentes a los puntos del espacio de los que nacen o mueren lı́neas
de campo.
La idea de flujo a través de una superficie está vagamente asociada a la cantidad
de lı́neas que atraviesan la superficie.
Teorema de Gauss. El flujo de una función vectorial ~
E(~
r) a través de una superficie
cerrada S, borde de un volumen V, esto es S = ∂V, es igual a la integral de la
divergencia ∇ · ~
E sobre todo el volumen:
I
∂V
~
E · d ~
S =
Z
V
∇ · ~
EdV . (A.9)
Se ha usado la notación que expresa que una superficie S es el borde de un
volumen V escribiendo S = ∂V.
Del teorema anterior se puede desprender que la divergencia de una función
vectorial, calculada en un punto P, es proporcional al lı́mite del flujo de lo que
sale menos lo que entra a través de una superficie esférica infinitesimal en torno a
P e inversamente proporcional al volumen. La divergencia de un campo vectorial
es no nula solo en aquellos puntos que son fuente.
Un corolario inmediato es que si en toda una región del espacio se tiene que
∇ · ~
B = 0, el flujo de ~
B a través de cualquier superficie cerrada contenida en esa
región es nulo. En particular esto implica que las lı́neas de campo no tienen ni

comienzo ni fin dentro de esa región, o la atraviesan de un lado a otro, o son
lı́neas cerradas dentro de la región.
Circulación. Se llama circulación del campo vectorial ~
E por el camino cerrado Γ
a la integral,
C =
I
Γ
~
E · d~
r. (A.10)
El signo de la circulación está ligado al signo con que se escoja recorrer a la curva
cerrada Γ.
Teorema de Stokes. La circulación de un campo vectorial ~
E por una curva cerrada
Γ es igual al flujo del rotor de ~
E a través de cualquier superficie diferenciable S
cuyo borde coincida con Γ.
I
∂S=Γ
~
E · d~
r =
Z
S
∇ × ~
E · d ~
S . (A.11)
Los signos escogidos para recorrer la curva Γ = ∂S y para d ~
S deben ser consis-
tentes con la regla de la mano derecha.
Conclusiones:
a) Si el rotor de un campo vectorial ~
F es nulo en toda una región del espacio, la
integral
ZB
A
~
F · d~
r (A.12)
no depende del camino, dentro de la región, que se escoja para ir de A a B.
b) En esas condiciones, además, está garantizada la existencia de una función
escalar U(~
r) tal que ~
F es igual a la divergencia de U. Debe recordase de Mecánica,
que U no es única sino que está definida a partir de ~
F(~
r) salvo por una constante
aditiva.
A.2.2. Coordenadas cilı́ndricas
Dado un punto P con coordenadas cartesianas (x, y, z) se dibuja un cilindro cuyo
eje coincide con el eje Z y su radio es ρ =
p
x2 + y2, de tal modo que P está en
el manto del cilindro de radio ρ. La proyección al plano XY del vector posición ~
r
del punto P tiene longitud ρ y forma un ángulo φ con el eje X. Las coordenadas

cilı́ndricas de P son las cantidades (ρ, φ, z). La relación con las coordenadas
cartesianas es
x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z
A este sistema de coordenadas se le asocia vectores unitarios (^
ρ, ^
φ, ^
k) los cuales
se relacionan a (^
ı,^
j, ^
k) a través de
^
ρ = ^
ı cos φ +^
j sin φ
^
φ = −^
ı sin φ +^
j cos φ (A.13)
^
k = ^
k
i
ρ
φ
φ
φ
X
^
^
ρ
^ ^
φ
^
^
j
Y
ρρ
^
r
^
zk
Z
P
Figura A.1: A la izquierda el eje Z es perpendicular al plano de la figura, y se puede
apreciar la relación entre las coordenadas (ρ, φ) y los vectores unitarios ^
ρ y ^
φ. A la derecha
el vector posición ~
r puede ser expresado como combinación lineal de ^
ρ y ^
k.
Estos vectores unitarios apuntan, en cada punto P escogido, en la dirección en
que una sola de las coordenadas cilı́ndricas varı́a.
Por ejemplo, si se considera un punto Q infinitesimalmente cercano a P que
comparte con P el mismo valor de ρ y de z, y solo difieren por la coordenada φ,
(φQ = φP + dφ) entonces el vector ^
φ apunta en la dirección de P a Q.
coordenadas: ρ, φ, z vectores: ^
ρ, ^
φ, ^
k (A.14)

P
O
X
Y
Z
φ
θ θ
φ
r
^
^
r
^
Figura A.2: La figura representa las coordenadas esféricas y los vectores unitarios aso-
ciados.
A.2.3. Coordenadas esféricas
Las coordenadas esféricas de un punto P son: la distancia r de P al origen, el
ángulo θ que forma ~
r con el eje Z y el ángulo φ que ya fue definido para coor-
denadas cilı́ndricas: (r, θ, φ). Estas coordenadas se relacionan a las coordenadas
cartesianas por
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ (A.15)
z = r cos θ
A estas coordenadas se asocia vectores unitarios y ellos son
^
r = ^
ı cos φ +^
j sin φ

sin θ + ^
k cos θ
^
θ = ^
ı cos φ +^
j sin φ

cos θ − ^
k sin θ
^
φ = −^
ı sin φ +^
j cos φ
Se destaca que
^
k = ^
r cos θ − ^
θ sin θ
^
ρ = ^
ı cos φ +^
j sin φ = ^
θ cos θ + ^
r sin θ

coordenadas: r, θ, φ vectores: ^
r, ^
θ, ^
φ (A.16)
Las coordenadas esféricas (r , θ , φ) tienen asociados vectores unitarios. Cada
uno de ellos apunta en la dirección en que crece la respectiva coordenada.
♣ Compruebe que
d~
r = ^
r dr + ^
θ r dθ + ^
φ r sin θ dφ
A.2.4. Elementos de superficie y volumen
En coordenadas cilı́ndricas un elemento de superficie sobre el manto cilı́ndrico
de radio ρ es
dS = ρ dφ dz (A.17)
Mientras que el elemento de superficie en un plano perpendicular al eje Z es
ρd ρ
ρd dz
φ
d
φ
Figura A.3: Elementos de superficie en coordenadas cilı́ndricas.
dS = ρ dρ dφ (A.18)
el elemento de volumen es
dV = ρ dρ dφ dz (A.19)
En coordenadas esféricas un elemento de superficie sobre un manto esférico
de radio r es
dS = r2
sin θ dθ dφ (A.20)

y el elemento de volumen es
dV = r2
sin θ dr dθ dφ (A.21)
A.3. Expresiones útiles
Basta demostrar que
∂
∂x

1
k~
r −~
r ′k

= −
x − x′
k~
r −~
r ′k3
,
∂
∂x

1
k~
r −~
r ′k3

= −
3(x − x′
)
k~
r −~
r ′k5
para comprobar que
∇ ×
~
r −~
r ′
k~
r −~
r ′k3
= 0
y también que
∇′ 1
k~
r −~
r ′k
= −∇
1
k~
r −~
r ′k
=
~
r −~
r ′
k~
r −~
r ′k3
(A.22)
A.4. Teoremas integrales
A.4.1. Teorema de Kelvin-Stokes
Z
S
∇ ×~
F · d~
S =
I
Γ=∂S
~
F · d~
r (A.23)
A.4.2. Teorema de Ostrogradsky–Gauss
Z
V
∇ · ~
F dV =
I
S=∂V
~
F · d~
S (A.24)

A.5. Condiciones de borde en electromagnetis-
mo
Se verá las ecuaciones de borde que deben satisfacer campos ~
D, ~
B, ~
E y ~
H que
satisfacen las ecuaciones de Maxwell,
∇ · ~
D = ρ (A.25)
∇ · ~
B = 0 (A.26)
∇ × ~
E = −
∂~
B
∂t
(A.27)
∇ × ~
H = ~
J +
∂~
D
∂t
(A.28)
Las condiciones de borde relacionan los valores de los campos en puntos de la
superficie de contacto entre dos medios (una superficie interfacial o interfaz)
tomando el lı́mite hacia la interfaz desde un medio y desde el otro.
Se aplica la ley de Gauss a un pequeño cilindro de sección A cuyo eje es perpen-
dicular a la interfaz y cada mitad de su altura h está en cada medio. De (A.25)
y (A.26) se obtiene
I
~
D · d ~
S = A σℓ (A.29)
I
~
B · d ~
S = 0 (A.30)
donde σℓ es la densidad de carga libre en la interfaz en el lugar donde corta el
cilindro. La carga encerrada no cambia si se modifica la altura h del cilindro. El
flujo, por lo tanto no depende del tamaño del manto del cilindro sino tan solo
de sus dos tapas, las cuales tienen normales ±^
n, por lo que en el lı́mite de un
cilindro muy pequeño
(~
D2 − ~
D1) · ^
n = σℓ
(~
B2 − ~
B1) · ^
n = 0 (A.31)
Para obtener condiciones de borde asociadas a las ecuaciones de Maxwell con
rotor se integra a lo largo de un pequeño rectángulo perpendicular a la interfaz,
con dos caras paralelas a la interfaz y que penetra ambos medios. El teorema de
A.5. CONDICIONES DE BORDE EN ELECTROMAGNETISMO Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Stokes relaciona integral con el flujo que pasa por el interior del rectángulo. Con
las ecuaciones (A.27) y (A.28) se obtiene
I
~
E · d~
r = −
∂ΦM
∂t
(A.32)
I
~
H · d~
r = I +
∂ΦD
∂t
(A.33)
donde I es la corriente de conducción que cruza el rectángulo mientras que ΦM
y ΦD son los flujos de los campos ~
B y ~
D a través de esa misma superficie. Estos
flujos son proporcionales al área que encierra el rectángulo.
Al tomar el lı́mite en que este rectángulo se encoje a un punto las contribuciones
de los términos de los flujos Φi se hace cero de modo que solo contribuye la
parte de la integral correspondiente a la parte tangencial a la interfaz por lo que,
en el lı́mite, las condiciones de borde son
(~
E2 − ~
E1) × ^
n = 0 (A.34)
(~
H2 − ~
H1) × ^
n = ~
K (A.35)
donde ~
K es la densidad de corriente de superficie y ^
n es el vector normal a la
interfaz, apuntando del medio 1 al medio 2.
Vale la pena considerar en forma separada la condición de borde que emerge de
la ecuación de continuidad de la corriente eléctrica,
∇ ·~
J = −
∂ρ
∂t
(A.36)
Se integra sobre un pequeño cilindro tal como se hizo algo más arriba. El lado
izquierdo se reduce finalmente a la diferencia de las componentes normales de la
corriente multiplicada por la sección A del cilindro mientras que el lado derecho
arroja, en el lı́mite, la derivada con respecto a t de la densidad de carga superficial
multiplicada por A. De todo esto se obtiene
(~
J2 −~
J1) · ^
n = −
∂σ
∂t
(A.37)

A.6. Los operadores ∇ en coordenadas curvilı́-
neas
cilı́ndricas esféricas
gradiente ^
ρ ∂
∂ρ
+
^
φ
ρ
∂
∂φ
+ ^
k ∂
∂z
^
r ∂
∂r
+
^
θ
r
∂
∂θ
+
^
φ
r sin θ
∂
∂φ
divergencia 1
ρ
∂(ρAρ)
∂ρ
+ 1
ρ
∂Aφ
∂φ
+ ∂Az
∂z
1
r2
∂(r2Ar)
∂r
+ 1
r sin θ

∂(sin θAθ)
∂θ
+
∂Aφ
∂φ

rotor ^
ρ

1
ρ
∂Az
∂φ
−
∂Aφ
∂z

+ ^
r
r sin θ

∂sin θAφ
∂θ
− ∂Aθ
∂φ

+
^
φ

∂Aρ
∂z
− ∂Az
∂ρ

+
^
θ
r sin θ

∂Ar
∂φ
−
∂(r sin θ Aφ)
∂r

+
^
k
ρ

∂(ρAφ)
∂ρ
− ∂Aρ
∂φ

^
φ
r

∂(rAθ)
∂r
− ∂Ar
∂θ

laplaciano 1
ρ
∂
∂ρ

ρ ∂
∂ρ

+ 1
r2
∂
∂r
r2 ∂
∂r

+
1
ρ2
∂2
∂φ2 + ∂2
∂z2
1
r2 sin θ
∂
∂θ
sin θ ∂
∂θ

+
1
r2 sin2 θ
∂2
∂φ2
A.6. LOS OPERADORES ∇ EN COORDENADAS CURVILÍNEAS Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

Índice alfabético
ángulo crı́tico, 182
aislantes, 15, 31
algoritmo
para integrar la ecuación de Pois-
son, 26
relajación, 27
aproximación dipolar magnética, 113
autoflujo, 142
autoinducción, 142
blindaje electrostático., 50
bobina primaria, 132
bobina secundaria, 132
campo eléctrico, 16
campo electrostático
de conjunto de cargas puntuales, 17
de distribución continua, 18
campo magnético, 94
de la materia, 120
de un dipolo, 114
producido por circuito, 97
capacidad, 60
de condensador plano, 63
carga eléctrica, 15, 16
de polarización, 33, 34
distribuciones continuas, 17
libre, 34
ciclo de histéreris, 128
circuito LC, 143
circuitos magnéticos, 129
coeficiente
de acoplamiento, 150
de autoinducción, 143
de inducción, 149
de inducción mutua, 149
condensadores, 53, 60
en paralelo, 63
en serie, 63
condiciones de borde, 168
conductividad, 76
conductores, 49
constante dieléctrica, 38
contacto a tierra, 50
coordenadas
esféricas, 197
corriente, 73
de desplazamiento, 157, 158
de superficie, 77
eléctrica, 49
Coulomb
ley de, 15, 19
ley en forma diferencial, 22
reseña, 16
densidad de carga
de polarización, 31, 33
superficial, 33, 42
eléctrica
lineal, 17
203

superficial, 17, 50
volumétrica, 17
densidad de corriente, 74, 75, 79, 81
superficial, 119
volumétrica, 119
densidad de dipolos magnéticos, 119
densidad de energı́a electrostática, 58
desplazamiento eléctrico, 34, 36
dieléctrico, 31, 49
dieléctricos, 37
dipolo eléctrico, 27, 29
distribuciones continuas, 17
ecuación de Laplace, 24
ecuación de Poisson, 24, 53
ecuaciones de Maxwell, 158
efecto Hall, 98
efecto Joule, 87
electrostática, 49
energı́a magnética, 155
energı́a
de un condensador, 61
electromagnética, 160
electrostática
función de cargas y potenciales,
55
función de los campos, 57
energı́a magnética, 153, 156
expansión multipolar, 30
fem, 86, 132
fem autoinducida, 143
ferromagnetismo, 127
fibra óptica, 182
flujo de energı́a electromagnética, 180
flujo del campo eléctrico, 19
flujo magnético, 101, 126
forma diferencial de la ley de Coulomb,
22
fuerza
de Lorentz, 95
electromotriz, 86, 132
electrostática
entre conductores a potencial fi-
jo, 64
entre conductores aislados, 64
magnética, 95, 108
gauge de Coulomb, 100
Gauss
ley de, 19, 21
superficie de, 21
teorema de, 22
indice de refracción, 173
inducción, 132
inducción mutua, 149
intensidad magnética, 122
ley
de Ampère, 105, 122
de Biot-Savart, 97
de continuidad, 75
de Coulomb, 15, 19
forma diferencial, 22
de Faraday-Lenz, 132
de Gauss, 21, 35
de Ohm, 77, 79
de Snell, 181
leyes de Kirchhoff
primera, 78
segunda, 86
longitud de penetración, 175
magnetización, 119
materiales
diamagnéticos, 118
dieléctricos, 37
ÍNDICE ALFABÉTICO Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas

ferroeléctricos, 34
ferromagnéticos, 118
paramagnéticos, 118
medios polarizables, 32
momento
dipolar eléctrico, 29, 32
magnético, 117
permeabilidad magnética, 123
plano de incidencia, 181
polarización, 32, 177
circunferencial, 178
elı́ptica, 178
lineal, 178
potencia disipada, 87, 88
potencial
eléctrico, 23
de conjunto de cargas puntuales,
25
de distribución continua de car-
gas, 25
escalar magnético, 114, 121
vectorial, 100, 101
de un dipolo, 114
vectorial magnético, 118
principio de superposición, 17
reflexión total, 182, 187
reflexión y refracción, 180
refracción
casos n y p, 184
total, 186
ángulo de Brewster, 186
superficie de Gauss, 21, 35
superficie equipotencial, 50
susceptibilidad magnética, 123
teorema
de Gauss, 22
de la divergencia, 22
de Stokes, 105, 133
torque, 117
transformador, 151
vector
normal, 197
tangente, 197
vector de polarización, 33
vector de Poynting, 161, 168, 180

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