![Prólogo
Este libro, de acuerdo con su tı́tulo, ofrece unas primeras nociones de electromag-
netismo que, como indica el subtı́tulo, se acompañan de programas comentados para
ilustrar algunas de las técnicas de ordenador aplicables a la solución de problemas elec-
tromagnéticos.
Su contenido se organiza, aproximadadamente por mitades, en un conjunto de capı́tu-
los y otro de apéndices. En la mayorı́a de ellos se incluyen problemas y programas Mathe-
matica.
Capı́tulos:
Este primer bloque contiene los fundamentos básicos de la teorı́a electromagnética
en el marco de la relatividad de Galileo 1 y se divide, a su vez, en tres partes:
Parte I (Campo electromagnético en el vacı́o). Contiene 4 capı́tulos a lo largo de
los cuales se define al campo electromagnético en el vacı́o, se postulan sus fuentes
estáticas y dinámicas y se estudian las conclusiones básicas que se deducen de las
ecuaciones de Maxwell.
Parte II (Multipolos). Contiene dos capı́tulos, en el primero se expone la repre-
sentación multipolar de la materia y en el segundo se trata el movimiento de
monopolos y dipolos en presencia de los campos.
Parte III (Campo electromagnético en los medios materiales). Contiene tres capı́tu-
los en los que se estudian los campos en medios polarizables y conductores ası́ como
las consecuencias de las ecuaciones de Maxwell para este tipo de medios.
Apéndices:
En los apéndices se incluye una serie de complementos al contenido de los capı́tulos.
En ellos se amplian cuestiones que sólo se apuntan en la primera parte, se añaden
temas de cálculo numérico, se suministran tablas, fórmulas y un mı́nimo de fundamentos
matemáticos.
1
Véase [Garcı́a Olmedo].
xiii](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-15-320.jpg)
![xiv
Problemas:
Una parte de los problemas que se ofrecen al final de la mayorı́a de los capı́tulos
y apéndices están resueltos total o parcialmente, bien sea de forma analı́tica explı́cita
o con la ayuda del ordenador. En los enunciados de algunos problemas se adelantan
definiciones simples, como las de condensador, conductor estático, etc., que sólo se tratan
con cierto detalle en capı́tulos y apéndices posteriores.
Cálculo numérico:
A lo largo del texto, como auxilio en la resolución de problemas, como sección de
algún capı́tulo o, particularmente, en el apéndice Aplicaciones numéricas, se introducen
programas sencillos, escritos en el lenguaje Mathemática, 2 con los que se pretende iniciar
al lector del texto en el uso de los ordenadores para la solución de problemas electro-
magnéticos y la presentación de los resultados. Los programas empiezan siendo muy
simples y paulatinamente se hacen algo más complejos. Por esta razón, es aconsejable
empezar por los que se describen en los apéndices J y K, para continuar con el orden
establecido en el ı́ndice general. A lo largo de estos programas se muestra el uso de las
capacidades alagebraicas, analı́ticas, gráficas y numéricas de Mathematica para el análi-
sis y resolución de problemas electromagnéticos. Los Notebooks correspondientes a estos
programas se comentan en el texto y se encuentran en un disco adjunto. Mathematica
es muy apropiado para los fines que aquı́ se persiguen y sus programas son fácilmente
trasladables a otros lenguajes mas eficientes pero menos didácticos que éste.
Conclusión:
Este libro es el resultado de notas tomadas en diversas etapas durante la enseñanza
del electromagnetismo a nivel de tercer curso de Fı́sica. Durante este último año se
ha revisado en profundidad y añadido una parte substancial del material que en él
se incluye. Debo agradecer a muchas personas la ayuda, directa o indirecta, que me
han prestado para la redacción y corrección del texto; a todos ellos le expreso mi
agradecimiento. En particular, como cualquier texto de este tipo, éste es deudor de
fuentes orales y escritas de las que he extraido información a lo largo de un intevalo
de tiempo muy extenso. Sólo explicito en la bibliografı́a aquellas fuentes en las que
conscientemente me he apoyado, de muchas de las cuales existen ediciones más recientes
que las reseñadas.
Bernardo Garcı́a Olmedo
Granada, Octubre de 2005
2
En este texto se ha utilizado la versión 4 de Mathematica. Si se utilizan otras versiones distintas,
alguno de los programas puede necesitar alguna adaptación para su correcta ejecución. Véase [Wolfram].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-16-320.jpg)
![9
∇ · ~
F(~
r 0) = 0 porque ~
F(~
r 0) no es función de ~
r, sino de ~
r 0. Luego
f(~
r) =
1
4π
Z
V 0
~
F(~
r 0
) · ∇
µ
1
R
¶
dv0
= −
1
4π
Z
V 0
~
F(~
r 0
) · ∇ 0
µ
1
R
¶
dv0
donde se ha tenido en cuenta que ∇(f(R)) = −∇0(f(R)).
Volviendo a emplear la misma expresión
~
F(~
r 0
) · ∇ 0
µ
1
R
¶
= ∇ 0
·
µ
1
R
~
F(~
r 0
)
¶
−
1
R
∇ 0
· ~
F(~
r 0
)
que, pasando a superficie la integral de ∇ 0 ·
³
1
R
~
F(~
r 0)
´
f(~
r) =
1
4π
Z
V 0
∇ 0 · ~
F(~
r 0)
R
dv0
−
1
4π
Z
V 0
~
F(~
r 0)
R
· d~
s0
donde S 0 es la superficie que envuelve a V 0.
Haciendo tender S 0 → ∞, puesto que F(~
r 0) ∼ r0−2 y r ' r0, para r0 → ∞, podemos
despreciar la integral de superficie y escribir
f(~
r) =
1
4π
Z
V 0
0
D(~
r 0)
R
dv0
Nos da lo mismo integrar sobre V 0
0 o sobre V 0 → ∞ puesto que D(~
r 0) se anula fuera
de V 0
0.
Como ya hemos apuntado y demostremos más adelante, necesitamos describir dos
campos pero nos basta con dos potenciales porque ~
E y ~
B están acoplados y ~
B no tiene
fuentes escalares [Panofsky y Phillips, Shadowitz].
~
E = −∇V −
∂ ~
A
∂t
~
B = ∇ ∧ ~
A
1.3. Clasificación de los campos según sus fuentes
Según las fuentes vectoriales y escalares sean o no distintas de cero, en una cierta
región del espacio V, podemos clasificar a los campos en cuatro grupos. Para visualizarlos
gráficamente tendremos en cuenta que, por los teoremas de la divergencia y el rotacional
I
L
~
F · d~
r =
I
S
~
R · d~
s
I
S
~
F · d~
s =
I
V
D dv
En la figura 1.4 se representan esquemáticamente las cuatro clases de campos que
se deducen de este criterio de clasificación.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-27-320.jpg)
![15
En 1.7-a se muestra al sistema de partı́culas y al volumen sobre el que se realiza
el promedio y sobre el cual se integra la densidad de partı́culas. El resultado de esta
integración es el que se detalla en 1.7-b y el promedio final en 1.7-c.
Intensidad; Densidad de corriente:
Se define como intensidad de corriente, figura 1.8, a la carga total que atraviesa a
una superficie, cerrada o abierta, en la unidad de tiempo.
I ≡
µ
d Q
d t
¶
S
(1.9)
La unidad de intensidad es la fundamental del electromagnetismo en el sistema
MKSA. Ésta recibe el nombre de amperio (A). La unidad de carga en el mismo sistema
es el culombio y sus dimensiones [Q] = [A · s] se deducen de la definición anterior.
Para realizar la integral de flujo será necesario seguir los convenios que definen la
dirección de la normal a la superficie.
n
n
j
n
j .
V
L
S
S
j
Figura 1.8:
La densidad de corriente ( de carga), o densidad de flujo de carga, se define como una
función vectorial cuyo flujo a través de dicha superficie es la intensidad que la atraviesa.
I =
Z
S
~
· d~
s =
Z
S
~
· ~
n ds
La densidad de corriente correspondiente a un solo portador, con carga q y velocidad
~
v(t), puede expresarse como
~
(~
r, t) = q δ(~
r − ~
r0(t))~
v(t) = ρ(~
r, t)~
v(t) (1.10)
En la figura 1.9 se representa a la carga en el interior del volumen ∆V = ∆S (~
v · ~
n),
cuya generatriz es ~
v, cuya base es ∆S y cuya altura es la proyección de ~
v sobre la
dirección ~
n. Si la partı́cula, como se muestra en la figura, se encuentra en el interior de
este volumen, saldrá del mismo a través de ∆S antes de transcurrido un segundo, por lo
que sólo contribuirán a la intensidad aquellas patı́culas que se encuentran en el interior.
Para un sistema de N cargas puntuales qi, situadas cada una en ~
ri(t) y con veloci-
dades respectivas ~
vi(t), i = 1, · · · N, la densidad de corriente resultante es la suma de
las densidades de corriente aportadas por cada una de las partı́culas](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-33-320.jpg)
![18
Cuando la media es aplicada a una magnitud asociada a las partı́culas, las integrales
pueden también interpretarse como sumatorias. Ası́ pues, para distribuciones discretas,
la media de la densidad de partı́culas es
hni(~
r, t) = h
X
i
δ(~
r − ~
ri(t))i = (1.16)
=
1
∆t
Z
∆t
Ã
1
∆V
Z
∆V
X
i
δ(~
r + ~
ρ − ~
ri(t + τ)) d3
ρ
!
dτ =
=
1
∆t
Z
∆t
hni(~
r, t + τ) dτ = hni(~
r, t)
donde, vease 1.6,
hni(~
r, t + τ) =
1
∆V
Z
∆V
X
i
δ(~
r + ~
ρ − ~
ri(t + τ)) d3
ρ =
N∆V(t + τ)
∆V
es el número de partı́culas que hay, por unidad de volumen, en el entorno de ~
r y en el
instante t + τ, mientras que hni(~
r, t) es la densidad macroscópica de partı́culas , ( el
número de partı́culas por unidad de volumen que hay en el entorno de (~
r, t)). Como ya se
ha comentado, la integración sobre el volumen implica una reducción de las fluctuaciones
temporales que es tanto mayor cuanto más numerosas son las partı́culas contenidas en
∆V. La integral sobre τ asigna al punto (~
r, t) el valor promedio de hni(~
r, t + τ) a lo
largo del intervalo τ ∈ [t − ∆t/2, t + ∆t/2], lo que lleva consigo un filtrado adicional, o
alisamiento, de la dependencia temporal. En la figura 1.10 se representan las densidades
resultantes de promediar, en la dimensión espacial x y haciendo uso de intervalos de
integración de distinta anchura ∆x, a la densidad microscópica de partı́culas. La lı́nea
horizontal a trazos corresponde al valor medio de la densidad (partı́culas por unidad de
intervalo) dentro del intervalo máximo x ∈ [0, 20].
Si consideramos por separado a los distintos tipos de portadores de carga y se supone,
para simplificar, que sólo existen dos de ellos, uno con carga +e y otro con −e, la
densidad neta de carga puede obtenerse como la suma de las densidades parciales
hρ+i = e hn+i
hρ−i = −e hn−i
⇒ hρi = hρ+i + hρ−i = e {hn+i − hn−i}
donde ρ+ y ρ− son las densidades de carga positiva y negativa y n+ y n− las densidades
de partı́culas cargadas positiva y negativamente.
Normalmente se podrá también escribir 7
h~
+i = e hn+i ~
u+
h~
−i = −e hn−i~
u−
⇒ h~
i = h~
+i + h~
−i = e {hn+i ~
u+ − hn−i ~
u−}
En adelante, a menos que sea absolutamente necesario, escribiremos con la misma
notación a las magnitudes microscópicas y a las macroscópicas.
7
Esto es cierto para la media espacial y aproximadamente cierto para la temporal si la velocidad
u ¿ L
∆t
.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-36-320.jpg)
![23
Esto no quiere decir que el campo magnético sea incapaz de transmitir energı́a a las
cargas; según hemos apuntado en otro lugar, los campos magnéticos variables pueden
producir un campo eléctrico que, a su vez, puede trabajar sobre las cargas.
1.6. El campo electromagnético en el marco de la relativi-
dad de Galileo
Las leyes de Newton se completan con el principio de relatividad de Galileo, según el
cual, éstas tienen la misma forma en todos los sistemas inerciales. Aunque este principio
no es válido para el electromagnetismo, en el primer tomo se utilizarán las reglas de
transformación de los campos que se deducen del mismo, dejando la resolución de este
problema para otro lugar 10.
1.6.1. Relatividad de Galileo
El principio de relatividad de Galileo puede enunciarse de la siguiente manera:
- Las leyes de Newton presentan la misma forma para todos los obser-
vadores inerciales.
Partiendo de las leyes de Newton, de la concepción absoluta e independiente del
espacio y del tiempo, del postulado de relatividad y de los principios de homogeneidad
e isotropı́a, según los cuales el espacio es isótropo y homogéneo y el tiempo homogéneo,
se deduce la transformación de coordenadas de Galileo , que en su forma estándar se
expresan como sigue:
(x’,y’,z’)
V t
r’
r
y
^
z
^
x
^
S’
S
O
O’
^
^
x’
^
y’
z’
P =
(x,y,z)
Figura 1.13:
~
r 0
= ~
r − ~
V t , ~
V = ~
cte (1.22)
t0
= t (1.23)
10
En [Garcı́a Olmedo] puede encontrarse un tratamiento más amplio de esta cuestión.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-41-320.jpg)
![26
Dado que ~
v 0 es un vector, aunque no invariante, que puede tomar valores arbitrarios,
~
B es un pseudovector invariante 13, 14
~
B 0
= ~
B (1.28)
Pero estas leyes de transformación, aunque aplicables y útiles en el rango ya men-
cionado de bajas velocidades, no dejan de presentar dificultades conceptuales porque
son el resultado de imponer a los campos un principio de relatividad que las ecuaciones
de Maxwell necesariamente incumplen.
13
En las transformaciones en las que el orden cı́clico de los vectores de base se invierte, ~
B 0
= − ~
B
14
Si se aproxima hasta el primer orden en β ≡ V/c a la ley de Einstein para la transformación del
campo magnético , se obtiene ~
B0
' ~
B −
~
V
c2 ∧ ~
E ( véase [Garcı́a Olmedo]); para obtener el resultado
galileano es necesario, además, suponer que c → ∞. No se debe olvidar que las ecuaciones de Maxwell
no son compatibles con las transformaciones de Galileo. Esto hace que, en el lı́mite de baja velocidad,
sea a veces más apropiada la utilización de esta expresión que la galileana.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-44-320.jpg)
![32
Integrando vx y vy se tiene que
x = ρ sen Ωt + E
y = ρ cos Ωt + F
donde E y F son constantes de integración y ρ =
v0
Ω
.
Si aplicamos las condiciones iniciales x(0) = y(0) = 0, se obtiene
x = ρ sen Ωt
y = ρ (1 − cos Ωt) (1.33)
que son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. Para expresarlas
en la forma de la ecuación 1.31 basta con eliminar t teniendo en cuenta
que sen2 Ωt + cos2 Ωt = 1.
Gráfico Mathematica prob1 − 8.nb:
El siguiente programa Mathematica dará lugar a un gráfico de la trayectoria tridi-
mensional del electrón. Es el resultado de componer la trayectoria longitudinal con
la transversal. Las posiciones del electrón al principio y al final de cada ciclo se
marcan con un punto.
Comenzamos borrando las definiciones anteriores de variables y funciones para que
no interfieran en la próxima ejecución de este programa. Seguidamente damos la
orden de no avisar de los posibles errores de escritura (Se supone que el programa
está bien escrito y funciona correctamente.)
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
Elegimos el tipo y tamaño de los caracteres de las gráficas
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
Especificamos el número n de ciclos que queremos representar, para lo cual damos
el nombre tf al tiempo final de la trayectoria.
n = 5; tf = n ∗ 2π;
gr1 es la representación paramétrica de la trayectoria
~
r = (sen Ω t, 1 − cos Ω t,
1
2
a t2
)
asignándole a Ω y a a, valores apropiados. La opción
DisplayFunction → Identity ordena no mostrar la gráfica](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-50-320.jpg)
![33
gr1 = ParametricPlot3D[{Sin[t], 1 − Cos[t], −
1
2
0.003 t2
}, {t, 0, tf},
PlotPoints → 1000, DefaultColor → RGBColor[1, 0, 0],
ViewPoint → {−2, −2, 1}, Boxed → False, AxesLabel → {”x”, ”y”, ”z”},
AxesStyle → {RGBColor[0, 1, 1], Thickness[0.01]},
DisplayFunction → Identity];
Definimos los puntos de comienzo y final de cada ciclo y ordenamos la ejecución
de la gráfica sin mostrarla.
puntosg3D = Table[Point[{0, 0, −
1
2
0.003 ((i − 1) ∗ 2π)2
}], {i, 1, n + 1}];
gr2 = Show[Graphics3D[{PointSize[0,02], RGBColor[0, 0, 1], puntosg3D}],
DisplayFunction → Identity];
Terminamos mostrando ambas gráficas juntas en la figura 1.17.
Show[gr1, gr2, DisplayFunction → $DisplayFunction];
-1
-0.5
0
0.5
1
x
0
0.5
1
1.5
2
y
-1.5
-1
-0.5
0
z
-0.5
0
0.5
1
x
1.5
-1
Figura 1.17:
1-11. Demuestre que si, además del campo magnético especificado en el problema anteri-
or, existe una fuerza ~
Fp perpendicular al eje z, la trayectoria del electrón sufre un
arrastre con velocidad constante ~
vF (existe un sistema de referencia, que se mueve
con velocidad uniforme ~
vF con respecto al anterior, desde el cual el movimiento
de la partı́cula sigue siendo ciclotrónico).](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-51-320.jpg)
![35
y, en particular, si la fuerza aplicada es la debida al campo eléctrico
(~
Fp = q ~
E) o al gravitatorio (~
Fp = m~
g), las velocidades de arrastre corre-
spondientes son
~
va =
~
E ∧ ~
B
B2
, vg =
m
qB2
~
g ∧ ~
B
Resulta interesante notar que ~
va es independiente de la carga y de
la masa de la partı́cula, de ahı́ el calificativo de velocidad de deriva
ambipolar, mientras que ~
vg depende de la relación de carga a masa y su
sentido viene determinado por el signo de la primera.
En un plasma uniforme, el movimiento ciclotrónico no produce flujo
neto de carga, por lo que se puede considerar que dicho flujo se debe,
si existe, al movimiento de deriva.
Gráfico Mathematica deriva − ambipolar.nb:
El siguiente programa representa gráficamente al movimiento ciclotrónico, con
deriva ambipolar, de un electrón (azul) y un ión positivo (rojo). Los puntos indican
las posiciones simultáneas de ambas partı́culas en el origen y en el instante final.
ion = ParametricPlot[{Sin[t] + 0.3t, −Cos[t] + 1.5}, {t, 0, 6π},
AspectRatio → Automatic, AxesOrigin → {0, 0}, PlotPoints → 200,
PlotStyle → RGBColor[1, 0.3, 0], DisplayFunction → Identity];
elec = ParametricPlot[{0.3Sin[3t] + 0.3t, 0.3Cos[3t] − 0.8}, {t, 0, 6π},
AspectRatio → Automatic, AxesOrigin → {0, 0}, PlotPoints → 200,
PlotStyle → RGBColor[0, 0.5, 1], DisplayFunction → Identity];
xf = (Sin[t] + 0.3t)/.t → 6π;
puntosion = {Point[{0, 0.5}], Point[{xf, 0.5}]};
puntoselec = {Point[{0, −0.5}], Point[{xf, −0.5}]};
gr1 = Show[Graphics[PointSize[0,03], RGBColor[1, 0, 0], puntosion],
DisplayFunction → Identity];
gr2 = Show[Graphics[PointSize[0,03], RGBColor[0, 0, 1], puntoselec],
DisplayFunction → Identity];
Show[ion, elec, gr1, gr2, DisplayFunction → $DisplayFunction];
La figura 1.19 muestra el movimiento ciclotrónico superpuesto a la deri-
va ambipolar.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-53-320.jpg)
![42
∆W = −
Z ~
r2
~
r1
~
Fc · d~
r = −q
Z ~
r2
~
r1
~
Ee · d~
r = q
Z ~
r2
~
r1
∇Ve · d~
r
= q
Z ~
r2
~
r1
dVe = q [Ve(~
r2) − Ve(~
r1)]
Para una carga situada en ~
r
∆W(~
r) =
Z ∞
~
r
~
Fc · d~
r = q [Ve(~
r) − Ve(∞)]
y, en el caso de que el infinito pueda tomarse como origen de potenciales (Ve(∞) = 0)
W(~
r) = q Ve(~
r) (2.10)
Como ya hemos apuntado, esto será siempre posible si las cargas que crean ~
Ee están
en un volumen finito a distancia finita del observador.
La energı́a potencial serı́a, por lo tanto, el trabajo realizado por el campo para llevar
la carga hasta el infinito o, de otra forma, la máxima energı́a que puede extraerse de la
carga al trasladarla de su posición inicial, en reposo, hasta el infinito, también en reposo.
Si el proceso se realizara de forma no reversible, con aceleraciones notables, parte del
trabajo realizado por el campo se perderı́a como energı́a radiada.
Si en vez de una sola carga puntual quisiéramos contabilizar la energı́a potencial de
un sistema de N cargas puntuales y de una distribución continua contenida en V, en el
seno de un campo producido por otro sistema externo de cargas, tendremos,
W =
N
X
i=1
qi Ve +
Z
V
ρ Ve dv (2.11)
expresión que excluye a la energı́a de interacción de las cargas testigo entre sı́.
Energı́a potencial de un sistema de cargas :
En el apartado anterior hemos considerado la interacción de una carga con el campo
creado por un sistema de cargas externo. Consideraremos ahora la energı́a total de in-
teracción de un sistema de N cargas puntuales, cuya energı́a de formación o autoenergı́a
no tendremos en cuenta, situadas a distancias mutuas finitas ~
Rij (véase la figura 2.4a).
Esta energı́a de interacción serı́a la máxima que podrı́a ser extraı́da del sistema en
un proceso en el que, partiendo de las posiciones iniciales, se llevara a las cargas hasta el
infinito, de tal forma que las distancias mutuas finales fuesen infinitas y, en consecuencia,
la energı́a de interacción fuese nula.
La energı́a potencial del sistema de cargas puntuales será, pués, el trabajo que ten-
drı́amos que realizar en contra del campo para trasladar a las cargas, de forma reversible,
desde sus posiciones en el infinito hasta sus posiciones finales ~
ri.
Puesto que el proceso es reversible, el trabajo total será independiente del camino y
del orden en que se transporten las cargas.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-60-320.jpg)
![46
A pesar de que las distribuciones con alto grado de simetrı́a carecen de generalidad,
su sencillez les presta una gran importancia teórica y práctica.
2.3. Campo magnético producido por corrientes esta-
cionarias. Fuerza sobre corrientes estacionarias
2.3.1. Campo
El campo magnético que produce una corriente estacionaria viene dado por la ley
de Biot y Savart. Podrı́amos presentar esta ley en detalle, como hemos hecho con la
de Coulomb, pero nos limitaremos a resaltar que la estructura del campo magnético es
más compleja que la del eléctrico porque el integrando es un vector 5, perpendicular a
la densidad de corriente y al vector de posición relativa, pero que también sigue una
ley del inverso del cuadrado de la distancia. En el sistema MKSA, en el cual el campo
magnético se mide en teslas ,(T),, esta ley toma la forma
~
B(~
r) =
µ0
4π
Z
V0
~
j ∧
~
R
R3
dv0
(2.16)
V0 es el volumen del tubo de corriente estacionaria. La expresión
d ~
B =
µ0
4π
~
j ∧
b
R
R2
dv0
sólo tiene sentido como integrando, puesto que un elemento de corriente ~
j dv0 no cons-
tituye por sı́ mismo una corriente estacionaria ( figura 2.7).
dv’
I
j
Π
d B Π
R
Figura 2.7:
[B] = Tesla = Weber · m−2 = 104 gauss
(MKSA)
5
En sentido estricto, el integrando y, en consecuencia, el propio campo, son pseudovectores.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-64-320.jpg)
![52
L
δ
L’
r1
r 2
x
y
(a)
1
−1
P
q =a q =1
2 1
(b)
ra
x
y
ra
re
r d
r c
rb
Figura 2.11:
~
E =
~
r1
r3
1
+
a~
r2
r3
2
, b
E =
~
E
E
La ecuación diferencial de las lı́neas de campo es
ẏ =
dy
dx
=
Ey
Ex
= f(x, y(x))
Como veremos más adelante, la integración analı́tica es sencilla sólo en
algunos casos. Aquı́ emplearemos una variante del método numérico de
Euler 10 (véase la figura 2.11b). Éste se basa en el desarrollo en serie
de Taylor
y(x) = y(x0) + ẏ (x − x0) + O[(x − x0)2
]
y la aproximación de y(x) despreciando términos de orden O[(x − x0)2].
y(x) = y(x0) + ẏ (x − x0)
Esto equivale a la aproximación de la derivada
ẏ '
y(x) − y(x0)
x − x0
despreciando términos O[(x − x0)].
Usualmente, se integra ẏ en un intervalo x[x0, xN ], a lo largo de la red
de puntos x = x0 + n h , n = 0, 1, · · · , N, donde h es un incremento lo
suficientemente pequeño.
10
Véase Demidowitsh, Burden, Schwarz.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-70-320.jpg)
![53
En nuestro caso, el dominio de integración es desconocido y la lı́nea
de campo es una curva cuya pendiente puede cambiar de signo a lo
largo de la misma. En vez de espaciar uniformemente las coordenadas
x de los puntos en que queremos calcular y(x), vamos calculando ambas
coordenadas de forma que los distintos puntos sean equidistantes a lo
largo de la propia curva (Véase la figura 2.11b).
Partiendo del punto ~
ra, incrementamos esta posición hasta el punto
~
rb = ~
ra + δ~
ra , δ~
ra = h b
E(~
ra)
es decir, nos desplazamos una distancia h en la dirección del campo
evaluada en el punto de partida.
Repitiendo este proceso en los puntos a, b, c, d, e, · · · se obtiene la lı́nea
poligonal L0, la cual, cuando h → 0, aproxima a la de campo L que pasa
por ~
ra. Como es evidente, el error cometido en cada paso es acumulativo
por lo que h debe ser pequeño en comparación con la longitud del
segmento de lı́nea que ha de integrarse.
Programa Mathematica lineas − campo 2q.nb:
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
Comenzamos cargando un ’paquete’ Mathematica en el que se incluye la orden
PlotVectorField 11
<< Graphics‘PlotField‘
Elegimos la magnitud y el signo de la segunda carga
a = −2;
y la semianchura de las gráficas.
L = 2;
Expresamos los vectores ~
r1 y ~
r2, sus módulos y el potencial en P.
r1 = {x − 1, y}; r2 = {x + 1, y};
mr1 =
√
r1.r1; mr2 =
√
r2.r2
potencial =
1
mr1
+
a
mr2
;
11
Véase el menú Help, Add-ons, Standard Packages.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-71-320.jpg)
![54
Hacemos una gráfica de las lı́neas equipotenciales sin mostrarlas.
grpotencial = ContourPlot[potencial, {x, −L, L}, {y, −L, L},
PlotPoints → 100, Contours → 10, Frame → False,
AspectRatio → Automatic, ContourShading → False,
ContourStyle → RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction → Identity];
Introducimos un pequeño valor δ para evitar las singularidades del campo y es-
cribimos la expresión de este último.
δ = 0,0001;
cE =
r1
mr13 + δ
+
a ∗ r2
mr23 + δ
;
Representamos al campo, mediante flechas de longitud proporcional a E, en un
conjunto de puntos 12. Tampoco mostramos esta gráfica.
grcampo = PlotVectorField[cE, {x, −L, L}, {y, −L, L},
PlotPoints → 9, DisplayFunction → Identity];
Ahora procedemos a la integración numérica de la ecuación de las lı́neas de campo.
Primero definimos h como una fracción de L
n = 500; h =
L
n
;
y expresamos ~
E 13, E y b
E
vE =
r1
mr13
+
a ∗ r2
mr23
;
mE =
√
vE.vE;
vEunitario =
vE
mE
;
Sólo representaremos las lı́neas que nacen de la primera carga desde el primer
cuadrante y las que mueren en la segunda por el tercero. Los puntos de comienzo
y final de lı́nea se situan sobre las circunferencias de radio r0 centradas en las
12
Dado que el campo decrece con la distancia, lejos de las cargas sólo se aprecia la dirección del
campo.
13
No es preciso tener en cuenta a las singularidades porque no se harán cálculos en las posiciones de
las cargas.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-72-320.jpg)
![55
cargas. Para cada una de éstas se representarán cinco lı́neas que corresponden a
las situaciones angulares, sobre dicha circunferencia, θ0, θ0 + ∆θ · · · .
r0 = 0.05 ∗ L; θ0 =
π
12
; ∆θ =
5π
24
;
En grlinea se almacenarán las gráficas de las lı́neas, de q1, en las cinco primeras
posiciones, y de q2 en las cinco últimas.
grlinea = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0};
La primera lı́nea que nace en q1 se integra a partir del punto
x0 = 1 − r0 ∗ Cos[θ0]; y0 = r0 ∗ Sin[θ0];
Para calcular los puntos de las distintas lı́neas, se ha de tener en cuenta las sigu-
ientes cuestiones:
La segunda carga puede se fuente (q > 0) o sumidero (q < 0) de campo. En
el segundo caso, las lı́neas que mueren en ésta hay que integrarlas desde su
punto final y desplazándose en la dirección contraria al campo.
Las lineas que comienzan (terminan) en las proximidades de una carga
pueden terminar (comenzar) en el marco de la gráfica o en las proximidades
de la otra carga. La longitud de cada una de las lı́neas es diferente y, en
principio, desconocida.
La posición actual a lo largo del cálculo está almacenada en pl0 y las calculadas
hasta un determinado instante en la matriz linea. Las dimensiones de ésta matriz
son m × 2, siendo m un numero, variable, de filas que va creciendo a lo largo del
cálculo de la lı́nea. Cada fila incluye a uno de los sucesivos puntos de la lı́nea de
campo.
Cuando se han calculado los puntos de la lı́nea se genera su gráfica pero no se
muestra. El lazo Do realiza cinco iteraciones, cada una de las cuales incluye los
siguientes pasos:
Determinación de los valores de pl0 y linea que se utilizarán en la iteración.
Integración de la lı́nea correspondiente mediante el lazo condicional While,
mientras que la posición calculada al final del mismo está dentro de la zona
de interés.
Fijación de los valores de x0 e y0 que se utilizarán en la siguiente iteración.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-73-320.jpg)
![56
Do[
{pl0 = {x0, y0}, linea = {pl0},
While[(pl0[[1]] ≥ −x0)&&(pl0[[2]] ≥ y0)&&(pl0[[1]] ≤ L)&&(pl0[[2]] ≤ L),
{pl0 = pl0 + h ∗ vEunitario/.{x → pl0[[1]], y → pl0[[2]]},
linea = Append[linea, pl0]}],
grlinea[[i]] = ListPlot[linea, PlotJoined → True,
DefaultColor → Hue[0.6], DisplayFunction → Identity],
θ0 = θ0 + ∆θ, x0 = 1 − r0 ∗ Cos[θ0], y0 = r0 ∗ Sin[θ0]},
{i, 1, 5}];
Una vez generadas las gráficas de las lı́neas de la primera carga, es necesario
restablecer el valor inicial de θ0, x0 e y0 porque éstos se modifican en la última
orden del lazo While.
θ0 =
π
12
;
x0 = −1 + r0 ∗ Cos[θ0]; y0 = −r0 ∗ Sin[θ0];
Para integrar estas lı́neas es necesario distinguir los casos en que la carga es fuente
o sumidero.
If[a < 0, h = −h];
Do[
{pl0 = {x0, y0}, linea = {pl0},
While[(pl0[[1]] ≤ −x0)&&(pl0[[2]] ≤ y0)&&(pl0[[1]] ≥ −L)&&(pl0[[2]] ≥ −L),
{pl0 = pl0 − h ∗ vEunitario/.{x → pl0[[1]], y → pl0[[2]]},
linea = Append[linea, pl0]}],
grlinea[[i]] = ListPlot[linea, PlotJoined → True,
DefaultColor → Hue[0.6], DisplayFunction → Identity],
θ0 = θ0 + ∆θ, x0 = −1 + r0 ∗ Cos[θ0], y0 = −r0 ∗ Sin[θ0]},
{i, 6, 10}];
Por último, se representan conjuntamente todas las gráficas anteriores.
Show[grlinea, grpotencial, grcampo, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunction];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-74-320.jpg)
![60
∇ = b
r
∂
∂ r
+
1
r
b
θ
∂
∂ θ
de lo que resulta
~
Ed =
C p
r3
³
2 cos θ b
r + sen θ b
θ
´
Como puede verse, mientras que el potencial (campo) de una carga , o
monopolo, decae según r−1 (r−2), en un dipolo lo hacen según r−2 (r−3).
Esta expresión puede generalizarse para dipolos de orientación arbi-
traria si se descompone b
θ en las direcciones de b
r y b
z.
b
θ = a b
r + b b
z
teniendo en cuenta que, por ejemplo, en el plano xz
b
r = sen θ b
x + cos θ b
z
b
θ = cos θ b
x − sen θ b
z
Substituyendo en la ecuación anterior e igualando, componente a com-
ponente, ambos miembros de la misma, se deduce que
a =
cos θ
sen θ
, b = −
1
sen θ
y
~
Ed =
C
r3
[3(~
p · ~
r) b
r − ~
p]
c) Éste es uno de los casos en que la integración de las ecuaciones de
las lı́neas de campo es sencilla porque es separable. En efecto
dlr
Er
=
dlθ
Eθ
⇒
dr
r
= 2
d(sen θ)
sen θ
su integral es inmediata
r = B sen2
θ , ϕ = cte
B es el parámetro del haz de lı́neas de campo. Su valor para la lı́nea
que pasa por (r0, θ0, ϕ0) es
B0 =
r0
sen2 θ0](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-78-320.jpg)
![62
promedio de la del punto inicial f1 = f(xi, yi) y la f2 = f(xi+1, y∗) que
tendrı́a el punto final si hiciésemos uso del método de Euler.
Este método se conoce también con el nombre de ’predictor-corrector’
porque primero hace una predicción del punto P∗ de destino mediante el
metodo de Euler y , a continuación la corrige en función de la pendiente
que corresponde a dicho punto. En principio, en el pequeño tramo ∆x =
h la pendiente variará de forma monótona, por lo que la pendiente
óptima debe ser una intermedia entre la final y la inicial. Los factores
de 1
2 que afectan a f1 y f2 optimizan el orden de aproximación del
método.
Nosotros, como en el método de Euler, modificaremos el algoritmo para
que, en vez de espaciar uniformemente a los puntos a lo largo del eje x
los espacie uniformemente a lo largo de la propia lı́nea.
~
ri+1 = ~
ri + δ~
ri , δ~
ri = h h b
Eii , h b
Eii =
1
2
( b
E(~
ri) + b
E(~
r∗
))
donde ~
r∗ = ~
ri + h b
E(~
ri) es el punto predicho por el método de Euler.
Programa Mathematica equipotlineas − dipolo.nb:
Este programa hace uso de las ecuaciones de las lı́neas equipotenciales y de campo,
en el plano xz, para representarlas conjuntamente. A continuación, aprovechando
que, en este caso, conocemos la solución exacta, estudiaremos el comportamiento
de los métodos numéricos de Euler y de Heun al integrar una lı́nea de campo
determinada y lo compararemos con la curva analı́tica correspondiente.
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
<< Graphics‘PlotField‘
Representación de las lı́neas de campo y de potencial:
L es la semianchura de las gráficas y δ un pequeño parámetro que intenta sortear
las singularidades.
L = 4;
δ = 0.0001;
r =
p
x2 + z2; cosθ =
z
r
; senθ =
x
r
;
Ecuación de las lı́neas de potencial.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-80-320.jpg)
![63
potdip =
cosθ
r2
;
grpotdip = ContourPlot[potdip, {x, −L, L}, {z, −L, L}, PlotPoints → 200,
Contours → 10, Frame → False, AspectRatio → Automatic,
ColorFunction → Hue, DisplayFunction → Identity];
Ecuación de las lı́neas de campo lincamp = 1/B.
lincamp =
senθ2
r
;
grlincamp = ContourPlot[lincamp, {x, −L, L}, {z, −L, L}, PlotPoints → 200,
Contours → 6, Frame → False, ContourShading → False,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → Identity];
Ecuación del campo para representar la gráfica de flechas.
vecE =
1
r3 + δ
{3senθ ∗ cosθ, 3cosθ2
− 1};
grcampodipol = PlotVectorField[vecE, {x, −L, L}, {z, −L, L},
PlotPoints → 11, DisplayFunction → Identity];
En la figura 2.16 se muestra la representación conjunta.
grpotlinc = Show[grpotdip, grlincamp, grcampodipol,
DisplayFunction → $DisplayFunction];
Comparación de los métodos numéricos:
Punto de inicial.
r0 = 0.4; senθ0 = 0.4;
cosθ0 =
p
1 − senθ02; aa =
r0
senθ02
;
x0 = r0 ∗ senθ0; z0 = r0 ∗ cosθ0;
Valor del parámetro lin0 = 1/B0 correspondiente a la lı́nea teórica que pasa por
el punto inicial](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-81-320.jpg)
![64
Figura 2.16:
lin0 =
senθ02
r0
;
grlinteorica = ContourPlot[lincamp, {x, 0.001, L}, {z, −
L
2
,
L
2
},
ContourShading → False, PlotPoints → 200, Contours → {lin0, 0},
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → Identity];
Definición de la longitud del paso ∆ que se utilizará en los métodos numéricos. n
servirá también para limitar la longitud de lı́nea a integrar.
n = 30;
h =
L
n
;
Definición del vector unitario en la dirección del campo.
runitario = {senθ, cosθ}; zunitario = {0, 1};
vE =
1
r3
(3(zunitario.runitario)runitario − zunitario);
mE =
√
vE.vE;
Eunitario =
vE
mE
;
Método de Euler.
pl0 = {x0, z0}; linea = {pl0}; kk = 0;](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-82-320.jpg)
![65
While[(Abs[pl0[[1]]] <= L)&&(Abs[pl0[[2]]] <= L)&&(kk <= 1.5n),
{kk = kk + 1, pl0 = pl0 + h ∗ Eunitario/.{x → pl0[[1]], z → pl0[[2]]},
linea = Append[linea, pl0]}];
grlineuler = ListPlot[linea, Axes → True
, AxesOrigin → {0, 0}, DisplayFunction → Identity];
Método de Heun.
pl0h = {x0, z0}; lineah = {pl0h}; kk = 0;
While[(Abs[pl0h[[1]]] <= L)&&(Abs[pl0h[[2]]] <= L)&&(kk <= 1,5n),
{kk = kk + 1, pl0hi = pl0h, Eunitarioi = Eunitario/.
{x → pl0h[[1]], z → pl0h[[2]]}, pl0h = pl0hi + h ∗ Eunitarioi,
Eunitariof = Eunitario/.{x → pl0h[[1]], z → pl0h[[2]]}, pl0h =
pl0hi + h ∗
1
2
(Eunitarioi + Eunitariof), lineah = Append[lineah, pl0h]}];
grlinheun = ListPlot[lineah, Axes → True, AxesOrigin → {0, 0},
DisplayFunction → Identity];
Presentación Gráfica conjunta de los resultados:
Punto inicial
punto = Point[{x0, z0}];
punto0 = Show[Graphics[{PointSize[0.03], RGBColor[1, 0, 0], punto}],
DisplayFunction → Identity];
Etiquetas de las curvas. Las correspondientes a las soluciones numéricas se pegan
a un punto de las mismas.
texto1 = Text[Euler, linea[[n]] − {h, 0}];
texto2 = Text[Heun, lineah[[n]] + {h, 0}];
texto3 = Text[Teorica, {1.5 x0, 0.5 z0}];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-83-320.jpg)
![66
textoe = Show[Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], texto1}],
DisplayFunction → Identity];
textoh = Show[Graphics[{RGBColor[0, 0.5, 1], texto2}],
DisplayFunction → Identity];
textot = Show[Graphics[{texto3}], DisplayFunction → Identity];
Por último, se genera la gráfica conjunta.
Show[grlinteorica, grlineuler, grlinheun, punto0, textoe, textoh, textot,
DisplayFunction → $DisplayFunction];
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
-0.5
0
0.5
1
Euler
Heun
Teorica
Figura 2.17:
En la figura 2.17 se comparan estos dos métodos. Es necesario tener en cuenta
que la cantidad de cálculo realizado por el método de Heun en cada tramo es
superior a la correspondiente al de Euler. Analize este aspecto y pruebe a variar
los parámetros del problema.
Los programas numéricos deben ser ’validados’ para comprobar su correcto diseño.
Deben elegirse problemas de prueba resolubles por otros métodos, en caso de que
sea posible, aquellos de los que exista una solución analı́ttica cerrada, como es el
caso.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-84-320.jpg)
![68
Por otra parte, teniendo en cuenta que la velocidad puede escribirse
como v = θ̇ l, por tratarse de un movimiento circular, la energı́a cinética
se expresa de la forma
Wc =
1
2
m θ̇2
l2
Ambos campos son conservativos por lo que la energı́a mecánica se
conserva.
Wm = Wp + Wc =
1
2
[m θ̇2
l2
+ (mg + qE)l θ2
] = cte
Derivando y despejando θ̈ se tiene que
θ̈ = −ω2
θ , ω =
r
mg + qE
ml
Esta ecuación es la del movimiento armónico y ω es su velocidad an-
gular. Como era de esperar, si ~
E = ~
0, ésta se reduce a la del péndulo
simple.
2-7. Sea el plano z = 0, cargado con una densidad ρs uniforme. Halle:
a) El campo eléctrico y el potencial a cualquier distancia z del plano.
b) La contribución al campo total de un cı́rculo de radio a de dicho plano, en
un punto a distancia z del centro del disco y situado sobre su eje. Razone los
resultados para los lı́mites z ¿ a y z À a.
Solución:
Comentaremos el apartado (b).
En la figura 2.19 se muestra la contribución al campo electrico, en el
eje z, de dos elementos de carga situados simetricamente con respecto
a dicho eje. Dada la simetrı́a del problema, la componente x de esta
contribución se anula, quedando solamente la z.
dEz = dE cos θ =
luego ~
E = Ez b
z y
Ez = C ρs
Z
S 0
cos θ ds 0
r2
Podemos poner el integrando en función de θ o de ρ. Tomaremos ésta
segunda opción y, de acuerdo con la geometrı́a de la figura, escribiremos
cos θ =
z
r
, r =
p
ρ2 + z2 , ds0
= ρ dρ dϕ](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-86-320.jpg)
![76
Para r ≥ a , α ≥ 1, la carga total es
Q = qr(α = 1) = 1
Como se ha visto en el problema 2-10, el campo producido por una
distribución con simetrı́a esférica en ~
r es igual al que producirı́a en
dicha posición una carga puntual, situada en el origen, e igual a la
encerrada en una esfera de radio r.
~
E(r) =
qr(r)
4π ε0 r2
b
r
4π ε0 a2
E(r) =
¡
4α − 3α2
¢
para α ≤ 1
1
α2
para α ≥ 1
V (r) =
Z ∞
r
E dr =
µZ a
r
+
Z ∞
a
¶
E dr =
1
4π ε0 a
µZ α=1
α
¡
4α − 3α2
¢
dα + 1
¶
4π ε0 a V (r) =
¡
2 − 2α2 + α3
¢
para α ≤ 1
1
α
para α ≥ 1
Gráficas con Mathematica prob i3 inv.nb:
Representaremos la densidad para tres valores de a, la carga encerrada en una
esfera de radio r, el campo y el potencial, en función de r. Véase el problema k-2.
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
Comenzamos por la representación de la densidad para a = 1,
√
2,
√
3
ro = If[r ≤ a,
3
π ∗ a3
³
1 −
r
a
´
, 0];
grafro = {0, 0, 0};
Do[{Which[i == 1, {rc = 1, gc = 0, bc = 0}, i == 2, {rc = 0, gc = 1, bc = 0},
i == 3, {rc = 0, gc = 0, bc = 1}],
grafro[[i]] = Plot[ro/.a →
√
i, {r, 0, 2}, PlotStyle → RGBColor[rc, gc, bc],
DisplayFunction → Identity, PlotRange → All]},
{i, 1, 3}];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-94-320.jpg)
![77
Show[grafro, DisplayFunction → $DisplayFunction];
La figura 2.23 presenta conjuntamente las gráficas para los tres valores de a.
0.5 1 1.5 2
0.2
0.4
0.6
0.8
Figura 2.23:
Comprobaremos que la carga total es q = 1. Primero definimos la densidad interna
roi (para r ≤ a), y después la integramos sobre una esfera de radio a.
roi =
3
π ∗ a3
³
1 −
r
a
´
;
q = 4π
Z a
0
roi ∗ r2
dr
Para las gráficas siguientes se toma un valor concreto de a.
a = 2;
Representamos la carga encerrada en una esfera de radio r en la figura 2.24.
qi = 4π
Z r
0
roi ∗ r2
dr;
qr = If[r ≤ a, qi, 1];
Plot[qr, {0, 0, a + 1}, PlotStyle → RGBColor[.3, .7, 1],
AxesOrigin → {0, 0}, GridLines → {{a}, {1}}];
Representamos al campo en la figura 2.25.
Er =
qr
4π ∗ r2
;
Plot[Er, {r, 0, 2 a}, PlotStyle → RGBColor[1, .7, .3],
AxesOrigin → {0, 0}, GridLines → {{a}, None];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-95-320.jpg)
![78
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 2.24:
1 2 3 4
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Figura 2.25:
Por último, representamos al potencial en la figura 2.26.
Vext =
1
4π ∗ r
;
Vint =
1
4π ∗ a
+
1
4π
Z a
r
qi
r2
;
Vr = If[r ≤ a, Vint, Vext];
V0 = 1,1 ∗ Vint/.r → 0//N;
Plot[Vr, {r, 0, 2 a}, PlotStyle → RGBColor[0.7, 1, .3],
AxesOrigin → {0, 0}, GridLines → {{a}, None}, PlotRange → {0, V0}];
2-15. Halle el campo eléctrico producido en cualquier punto del espacio por un hilo que
forma un cuadrado de lado a y que está cargado uniformemente con densidad λ.
2-16. La distribución de carga en los núcleos ligeros puede aproximarse mediante la
expresión, ρ = ρ0 (1 − r2
a2 ) para r ≤ a y ρ = 0 para r > a. Aplı́quese este modelo al
Calcio tomando los valores a = 4, 5 fm (fm = femtometro = fermi = 10−15 m)
y ρ0 = 5 × 1025 C · m−3. Halle:
a) La carga total ( compárese con el valor real).](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-96-320.jpg)
![93
Programa Mathematica carretes − Helmholtz.nb:
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
Off[General :: ”spell”];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
Campo de una espira:
Calculamos el campo producido por un segmento orientado en la dirección el eje
x
Rx = {x − xp, y − y0, z}; mRx =
√
Rx.Rx;
BX = {0, −z, y − y0}
Z
1
mRx3
dxp;
BX = (BX/.xp− > x2) − (BX/.xp− > x1);
De forma análoga calculamos el campo producido por un segmento orientado en
la dirección el eje y
Ry = {x − x0, y − yp, z}; mRy =
p
Ry.Ry;
BY = {z, 0, −x + x0}
Z
1
mRy3
dyp;
BY = (BY/.yp− > y2) − (BY/.yp− > y1);
Calculamos el campo total de la espira producido en un punto cualquiera partic-
ularizando los resultados anteriores para cada uno de los segmentos de la espira
con a = 1.
B2 = BX/.{x1 →
1
2
, x2 → −
1
2
, y0 →
1
2
};
B4 = BX/.{x1 → −
1
2
, x2 →
1
2
, y0 → −
1
2
};
B1 = BY/.{y1 → −
1
2
, y2 →
1
2
, x0 →
1
2
};](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-111-320.jpg)
![94
B3 = BY/.{y1 →
1
2
, y2 → −
1
2
, x0 → −
1
2
};
Be = B1 + B2 + B3 + B4;
Representamos al campo en el plano x = 0
Byz = {Be[[2]], Be[[3]]}/.x → 0;
Primero generamos un gráfico de flechas sin mostrarlo.
<< Graphics‘PlotField‘
grcamp = PlotVectorField[Byz, {y, −1, 1}, {z, −1, 1},
PlotPoints → 9, DisplayFunction → Identity];
A continuación dibujamos la posición de la espira en dicho plano.
puntose = {{−0.5 , 0}, {0.5 , 0}};
espira = Graphics[{PointSize[.04], RGBColor[0, 0, 1], Point/@puntose}];
Por fı́n, mostramos conjuntamente estas dos gráficas.
Show[grcamp, espira, DisplayFunction → $DisplayFunction];
En la figura 2.38 se ve como las lı́neas de campo rodean a la espira.
Campo de dos espiras situadas en z = ± d/2:
Be1 = Be/.z → (z −
d
2
); Be2 = Be/.z → (z +
d
2
);
Bc = Be1 + Be2;
Calculamos los campos producidos por cada una de las espiras, Be1z y Be2z, y
por el conjunto Bcz, en el eje z.
Be1zv = Be1/.{x → 0, y → 0};](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-112-320.jpg)
![95
Figura 2.38:
Be1z = Be1zv[[3]];
Be2zv = Be2/.{x → 0, y → 0};
Be2z = Be2zv[[3]];
Bczv = Bc/.{x → 0, y → 0};
Bcz = Bczv[[3]];
Carretes de Helmholtz:
Calculamos la distancia d0 óptima, tal que su derivada segunda es nula en el
origen.
D2B = ∂z,z Bcz/.z → 0;
Por medio de una gráfica de esta derivada en función de d, determinamos aprox-
imadamente el valor d0
Plot[D2B, {d, 0.5, 1.5}];
y lo establecemos con mayor precisión por medio de la orden FindRoot
d0v = FindRoot[D2B == 0, {d, 0.5}];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-113-320.jpg)
![96
d0 = d/.d0v
Campos en el eje z:
Procedemos a la representación de los campos en el eje z. Substituimos en la
expresión de los campos d → d0.
Bcz0 = Bcz/.d → d0; Be1z0 = Be1z/.d → d0; Be2z0 = Be2z/.d → d0;
Plot[{Bcz0, Be1z0, Be2z0, 0}, {z, −0.6 d0, 0.6 d0}, AxesOrigin → {0, 0},
GridLines → {{−
d0
2
,
d0
2
}, None}, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0],
RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[0, 0, 1]}];
-0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3
2.5
5
7.5
10
12.5
15
Figura 2.39:
En la gráfica 2.39 se comprueba que, dada la simetrı́a del problema, la primera
derivada del campo es nula. En la zona central el campo varı́a suavemente. A
continuación se determina la variación relativa del campo en el intervalo 0 ≤ z ≤
d0
4
varrelativa =
(Bcz0/.z → 0) − (Bcz0/.z →
d0
4
)
Bcz0/. z → 0
Representación del campo en la sección x = 0:
Bcyz0 = {Bc[[2]], Bc[[3]]}/.{x → 0, d → d0};
Generamos un gráfico de flechas](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-114-320.jpg)
![97
grcampc = PlotVectorField[Bcyz0, {y, −1, 1}, {z, −1, 1}, PlotPoints → 11,
DisplayFunction → Identity];
marcamos la posición de los carretes
puntosc = {{−0.5 , −0.5d0}, {0.5 , −0.5d0}, {−0.5 , 0.5d0}, {0.5 , 0.5d0}};
carretesc = Graphics[{PointSize[.04], RGBColor[0, 0, 1], Point/@puntosc}];
y dibujamos las lı́neas de campo haciendo uso del método de Heun.
mBcyz0 =
p
Bcyz0.Bcyz0;
Bunit =
Bcyz0
mBcyz0
;
n = 100; ∆ =
d0
n
;
y0 = −0.45; z0 = 0;
grlinea = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0};
Do[{p0 = {y0, z0}; linea = {p0}; kk = 0;
While[(Abs[p0[[1]]] <= 1)&&(Abs[p0[[2]]] <= 1)&&(kk <= 5n),
{kk = kk + 1, p0ini = p0, Bunitini = Bunit/.{y → p0[[1]], z → p0[[2]]},
p0 = p0ini + ∆ ∗ Bunitini, Bunitfin = Bunit/.{y → p0[[1]], z → p0[[2]]},
p0 = p0ini + ∆ ∗
1
2
(Bunitini + Bunitfin), linea = Append[linea, p0]}],
grlinea[[i]] = ListPlot[linea, PlotJoined → True,
PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction → Identity], y0 = y0 + 0.1},
{i, 1, 10}];
Finalmente representamos conjuntamente todas estas gráficas.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-115-320.jpg)
![98
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
Figura 2.40:
Show[grcampc, carretesc, grlinea, DisplayFunction → $DisplayFunction,
Axes → True];
En la figura 2.40 se observa que, en la zona central de los carretes, el campo es
muy uniforme.
2-30. Halle el campo magnético producido en el centro de su eje por una espira helicoidal,
recorrida por una intensidad I, de radio a, paso constante b y número par de
vueltas N.
2-31. Cuando en una espira como la del problema anterior el número de
vueltas por unidad de longitud n = 1
b >> 1
a, es decir, el paso b es
mucho menor que el radio a, a la espira se le denomina Solenoide
recto de sección circular. Cada una de las vueltas es en la practica casi
cerrada y, en consecuencia, se le considera como espira; se dice que el solenoide
tiene n espiras por unidad de longitud. De forma análoga se definen solenoides de
formas y estructuras más complejas. Halle:
a) El campo magnético producido por un solenoide recto, de radio a, longitud
L y número de espiras N, efectuando el lı́mite a >> b sobre el resultado del
problema anterior.
b) El campo magnético producido en cualquier punto del espacio por un
solenoide recto, de radio a, longitud infinita y n espiras por unidad de longi-
tud recorridas por una intensidad I.
Solución:
Trataremos el apartado (b)
b)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-116-320.jpg)
![110
podemos escribir 3.11 de la forma,
∇ ·
Ã
~
j + ε0
∂ ~
E
∂t
!
= 0
es decir, si añadimos a ~
j el término
~
jD0 = ε0
∂ ~
E
∂t
(3.12)
que llamaremos corriente de desplazamiento del vacı́o, obtenemos una corriente total,
~
jT = ~
j +~
jD0 , que siempre será estacionaria (solenoidal): ∇ ·~
jT ≡ 0.
Aunque ésta no es la única forma de obtener los resultados que buscamos, postulamos
como fuentes de ~
B, en el vacı́o
∇ ∧ ~
B = µ0
Ã
~
j + ε0
∂ ~
E
∂t
!
(3.13)
Esta corriente de desplazamiento completa el acoplo entre el campo eléctrico y el
campo magnético e implica la existencia de ondas electromagnéticas que se propagan en
el vacı́o. Como es aparente, no comporta desplazamiento de carga alguno. Su nombre
procede del modelo de Ether utilizado inicialmente por Maxwell.
3.3. Potenciales del campo electromagnético
Una vez que se ha completado la búsqueda de las fuentes del campo electromagnético,
analizaremos las relaciones generales entre este último y sus potenciales [Levich-I].
Por lo pronto, hemos visto que, en general, el campo magnético es solenoidal y el
eléctrico no conservativo. Según el terorema de Helmholtz, el campo magnético, por ser
solenoidal, puede derivarse de un potencial vector
∇ · ~
B = 0 ⇒ ~
B = ∇∧ ~
A
~
A es el potencial magnético vector.
Por otra parte
∇∧ ~
E = −
∂ ~
B
∂t
⇒ ∇∧
Ã
~
E +
∂ ~
A
∂t
!
= 0 ⇒ ~
E +
∂ ~
A
∂t
= −∇V
lo que quiere decir que, si bien ~
E no es conservativo, sı́ lo es ~
E +
∂ ~
A
∂t
. V es el potencial
eléctrico escalar. 7. Las relaciones entre los potenciales y los campo son, pués,
~
E = −∇V −
∂ ~
A
∂t
(3.14)
~
B = ∇∧ ~
A (3.15)
7
El potencial electrostático es un caso particular del eléctrico escalar.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-128-320.jpg)
![Capı́tulo 4
Consecuencias de las Ecuaciones
de Maxwell
Este capı́tulo lo dedicaremos al análisis de las consecuencias fundamentales de las
ecuaciones del campo electromagnético. Comenzaremos ampliando el principio de con-
servación de la energı́a para incluir términos que, en el balance energético, represen-
ten a los propios campos. Asimismo, estudiaremos la propagación de ondas planas
como manifestación más simple del transporte radiativo de energı́a y la emisión de
radiación por una carga puntual lenta como ejemplo primario de emisión de radiación
[Panofsky y Phillips, Reitz et al., Gómez].
4.1. Energı́a electromagnética. Vector de Poynting
Consideremos que en una determinada región del espacio coexisten cargas de dis-
tintos tipos, con densidades ρi y velocidades de arrastre ~
vi y que sobre ellas actúa un
campo electromagnético. Queremos realizar un balance energético entre las cargas y los
campos.
Sobre la especie i actúa una fuerza por unidad de volumen
d~
Fci
dv
= ρi( ~
E + ~
vi ∧ ~
B)
de donde se deduce que el campo electromagnético realiza un trabajo sobre las cargas,
por unidad de volumen y unidad de tiempo, igual a
d2Wci
dvdt
= ρi~
vi · ~
E = ~
ji · ~
E
Expresión en la que, como hemos visto anteriormente, no aparece ningún término
asociado al campo magnético porque la fuerza magnética de Lorentz es perpendicular
a la velocidad.
Sumando a todas las especies
d2Wc
dvdt
= ~
j · ~
E
121](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-139-320.jpg)
![125
Es de notar que Φ(~
P) es un flujo a través de una superficie cerrada y como tal
interviene en el balance energético. Esto no nos autoriza a interpretar de forma general
al vector ~
P como un vector densidad de flujo, es decir, como el flujo de energı́a por
unidad de superficie y de tiempo a través de un elemento de superficie perpendicular
al movimiento de la energı́a. Para los campos radiantes, ~
P sı́ jugará el papel de vector
densidad de corriente de energı́a, en concordancia con la representación cuantificada de
la energı́a electromagnética en forma de fotones, que son entidades localizadas. Como
veremos más acelante, en el caso que nos ocupa, el estático, no existe propagación por
lo que la interpretación de P como un vector que describe el flujo local de energı́a no es
pertinente.
Conservación de la cantidad de movimiento:
Podrı́amos hacer el mismo tipo de balance para extender el principio de conservación
de la cantidad de movimiento a los campos electromagnéticos, pero, por tratarse de una
magnitud vectorial, el desarrollo es más prolijo y se dejará para otra ocasión. 3
Nos contentaremos con apuntar que es posible el uso de un principio de conser-
vación de la cantidad de movimiento si asignamos al campo una densidad de cantidad
de movimiento
~
g ≡
d~
G
dv
=
1
c2
~
P
donde ~
G es la cantidad de movimiento contenida en V.
La consiguiente ecuación de continuidad es de tipo vectorial por lo que la contabi-
lidad del momento trasvasado a través de la superficie S hay que realizarla por medio
de un tensor , el de esfuerzos de Maxwell, y no de un vector como ~
P. No abordaremos
aquı́ el problema en su forma general, pero, en el párrafo 4.2.1 lo trataremos en relación
con las ondas planas.
4.1.1. Energı́a de sistemas de carga y corriente estacionaria
Dada la importancia de los campos electrostático y magnetostático, investigaremos
la posibilidad de asociar directamente la energı́a electromagnética de éstos con las cargas
y las corrientes que los producen.
Campos electrostáticos:
En el caso de campos electrostáticos
We =
1
2
ε0
Z
V→∞
E2
dv = −
1
2
ε0
Z
V→∞
~
E · ∇V dv
y, teniendo en cuenta que ∇ · ~
E = ρ
ε0
y ∇ · (f~
a) = f∇ · ~
a + ~
a · ∇f
~
E · ∇V = ∇ · (V ~
E) − V ∇ · ~
E = ∇ · (V ~
E) −
ρV
ε0
3
Véase [Garcı́a Olmedo].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-143-320.jpg)
![129
Luego, como los campos, los potenciales lorenzianos responden ecuaciones del tipo
¤ Φ = f , ¤ ≡ ∇2
−
1
c2
∂2
∂ t2
(4.20)
donde ¤ es el operador de D’Alembert o dalambertiano.
El potencial eléctrico escalar no tiene por que cumplir una ecuación de onda pero
es evidente que, junto con el potencial vector, debe dar cuenta del carácter propagativo
de los campos.
4.2.1. Propagación de ondas electromagnéticas planas en el vacı́o
En la sección anterior vimos cómo las componentes de los campos cumplı́an en el
vacı́o la ecuación de onda de D’Alembert 4.20. De entre las posibles soluciones de esta
ecuación buscaremos las que tengan carácter de onda plana.
Entendemos, en un principio, por onda plana 6, una solución de la ecuación de onda
en la que Φ sólo depende de una coordenada espacial ξ que, como se muestra en la
figura 4.1, es la distancia de un plano, que llamaremos frente de onda, a otro, paralelo
al anterior, que tomamos como origen. En un instante determinado, Φ es constante en
todos los puntos de un determinado frente de onda.
n
r
O
n
ξ
Figura 4.1:
Como puede verse en la figura
ξ = ~
r · ~
n = nx x + ny y + nz z (4.21)
donde
~
n = nx b
x + ny b
y + nz b
z , n2
x + n2
y + n2
z = 1
es el vector normal al frente de onda o vector unitario de propagación.
6
Estrictamente, la calificación deberı́a concretarse a ondas planas homogéneas para distiguirlas de
las planas no homogéneas que se definen en otros contextos [Garcı́a Olmedo]. Más adelante acotaremos
esta definición eliminando de la misma componentes independientes de las variables espacial y temporal.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-147-320.jpg)
![133
La fuerza que una onda plana ejerce sobre una carga q es
~
F = q( ~
E + ~
v ∧ ~
B) = q[ ~
E + ~
β ∧ (~
n ∧ ~
E)] , ~
β =
~
v
c
por lo que la fuerza magnética es normalmente, para cargas con velocidades no rela-
tivistas, muy inferior a la fuerza eléctrica
|~
Fm|
|~
Fe|
∼
vB
E
= β ¿ 1
Este pequeño término de fuerza magnética es sin embargo el que posibilita el inter-
cambio de momento, en la dirección de propagación, entre la onda y la carga.
Desarrollando el triple producto
~
F = q(1 − ~
n · ~
β) ~
E + q(~
β · ~
E)~
n
con lo que la componente longitudinal de la fuerza, Fn, provocará un incremento de la
cantidad de movimiento en la dirección de propagación
Fn = q(~
β · ~
E) =
dpn
dt
=
1
c
dW
dt
donde
dW
dt
= q~
v · ~
E es la potencia que el campo eléctrico suministra a la carga. Luego,
teniendo en cuenta que Fn dt = dpn, el momento transferido por el campo a la carga,
en la dirección de propagación y en un intervalo de tiempo arbitrario, es
∆pn =
∆W
c
Lo que nos confirma que la onda, además de transportar energı́a, transporta cantidad
de movimiento.
4.2.1.1. Ondas planas monocromáticas
Un caso particular de onda es la monocromática, en el que las componentes son
funciones armónicas de t y de x. Las ondas monocromáticas planas que viajan en el
sentido positivo del eje x pueden escribirse de las formas
Φ = Φ0 cos {k (c t − x) + ϕ} = Φ0 cos (ω t − k x + ϕ) =
= Φ0 cos
½
2π (
t
T
−
x
λ
) + ϕ
¾
(4.35)
donde k es el número de onda, ω = k c la frecuencia angular, T =
2 π
ω
el periodo y
λ =
2π
k
la longitud de onda. La frecuencia es f =
ω
2 pi
=
1
T
.
Como puede verse en la figura 4.4](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-151-320.jpg)
![135
Haremos uso de potenciales que cumplan el contraste de Lorenz y, en primer lu-
gar, hallaremos una solución general de la ecuación de onda con la simetrı́a propia del
problema. A continuación buscaremos las soluciones particulares compatibles con la ex-
istencia de ∆q(t) en ~
r 0
0 y con el principio de causalidad. Simplificaremos esta segunda
etapa limitándonos al caso de cargas no relativistas que se mueven en el entorno del
origen de coordenadas 10.
Para puntos, como el P, que no coinciden con la posición de la carga ( R 6= 0)
q(t) R
r
y
^
x
^
z
^
P
0
∆
r ’
Figura 4.5:
∇2
RV − µ0ε0
∂2V
∂t2
= 0
donde ∇R opera sobre las componentes de ~
R = (Rx, Ry, Rz).
Dado que el problema es simétrico alrededor de la posición de ∆q(t), existirán solu-
ciones del mismo con dicha simetrı́a
V = V (R) ⇒ para R 6= 0 , ∇2
RV =
1
R
∂2
∂R2
(R V )
por lo que, definiendo una nueva función Φ = R V ,
∂2Φ
∂R2
− µ0ε0
∂2Φ
∂t2
= 0
cuya solución general ya se ha encontrado en la sección anterior y puede escribirse de
la forma
Φ = fR
¡
t − R
c
¢
+ fA
¡
t + R
c
¢
V (~
r, t) =
1
R
fR
µ
t −
R
c
¶
+
1
R
fA
µ
t +
R
c
¶
= VR(~
r, t) + VA(~
r, t)
VR recibe el nombre de potencial retardado y VA el de potencial adelantado. Si nos
quedamos con el término retardado
VR =
1
R
fR (t − τ(R)) , τ =
R
c
10
Véase [Garcı́a Olmedo] para un tratamiento más amplio.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-153-320.jpg)
![136
En particular, acercándonos al punto fuente R → 0 , τ → 0
fR(t − τ) ' f(t) + ˙
f τ , lı́m
R→0
fR (t − τ) = fR(t)
Es decir, la solución para puntos cercanos a la carga es independiente del retraso. Por
otra parte, sabemos que la solución correspondiente a cargas estáticas, es
V =
∆q
4πε0 R
siendo el caso estático una idealización de otro real en el que dichas cargas varı́an muy
lentamente con el tiempo. En este último caso, admitiremos que
V (~
r, t) '
∆q(t)
4πε0 R
Obviamente, debemos considerar a este potencial como un caso particular del re-
tardado cuando la variación es muy lenta y el retraso despreciable. Teniendo en cuenta
que t = (t − τ)τ=0, la solución general buscada debe tener la forma
VR(~
r, t) =
∆q (t − τ)
4πε0 R
El potencial en (~
r, t) es el que crean las cargas que habı́a en ~
r 0
0 un tiempo τ = R
c
anterior a t. Es decir, el tiempo que tarda la luz en llegar desde el elemento de carga
hasta P.
De la misma forma obtendrı́amos un potencial adelantado VA relacionado con las
cargas que existirán en ~
r 0 en un instante del futuro, τ posterior a t. Aunque el tema
merece una discusión más precisa, diremos, en general, que la aceptación del principio
de causalidad nos permite prescindir de los potenciales adelantados 11.
Para una distribución de carga continua, haciendo uso de la notación ρ
¡
~
r 0, t − R
c
¢
≡
[ ρ(~
r 0 )], los potenciales retardados son
VR(~
r, t) =
1
4πε0
Z
V0
[ ρ ]
R
dv0
(4.38)
~
AR(~
r, t) =
µ0
4π
Z
V0
[~
j ]
R
dv0
(4.39)
donde el potencial vector se obtendrı́a de una forma similar a la utilizada para el escalar.
4.4. Relación de las ondas electromagnéticas con sus
fuentes. Emisión de radiación
Queremos, por último, poner de manifiesto el proceso básico por el cual las cargas
en movimiento pueden dar lugar al fenómeno de radiación neta de energı́a. Por ahora
nos contentaremos con un análisis simplificado del problema. 12
11
Véase el tratamiento que se le da en [Garcı́a Olmedo] a este problema.
12
Véase [Garcı́a Olmedo].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-154-320.jpg)
![143
2a I 2b
I
L>>a,b
+
-
V
Figura 4.11:
4-4. Una onda plana se propaga en el vacı́o en la dirección del eje z. El campo electrico
en z = 0 es
~
E =→
E0 b
x [e−t − e−2t] , , t > 0
0 , , t < 0
donde E0 = 100 µV · m−1. Halle, para z > 0,
a) Campo magnético.
b) Vector de Poynting.
c) Energı́a total que atraviesa a un casquete hemisférico, de radio a = 1 m, cuyo
eje es paralelo al z.
SOLUCION:
(a) - Para encontrar la expresión del campo electromagnético en
cualquier posición z, basta con tener en cuenta que la onda viaja, a
través del vacı́o, en la dirección positiva del eje z, por lo que t = (t− z
c )z=0
y
~
E(z, t) = E0
h
e−(t−z
c
)
− e−2(t−z
c
)
i
b
x
Haciendo uso de la relación de estructura con ~
n = b
z
~
B(z, t) =
1
c
b
z ∧ ~
E(z, t) =
1
c
E(z, t) b
y
(b) - el vector de Poynting es
~
S0 =
1
µ0
~
E ∧ ~
B = c ω0 b
z = c ε0 E2
b
z
(c) - Puesto que el vacı́o no es disipativo, la energı́a que atraviesa el
casquete es la misma que atraviesa un disco, del mismo radio y con el
mismo eje, situado, como se muestra en la figura 4.12-c, en z = 0. Ası́,
dicha energı́a puede calcularse de la forma
W =
Z ∞
t=0
·Z
∆S
³
~
S0
´
z=0
· d~
s
¸
dt = ε0c E2
πa2
Z ∞
t=0
£
e−t
− e−2t
¤2
dt](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-161-320.jpg)
![146
y el vector de Poynting
~
P =
1
µ0
~
E ∧ ~
B = b
x
1
µ0c
£
E2
1 cos2
ϕ + E2
2 cos2
(ϕ + α) + 2 E1E2 cos ϕ cos (ϕ + α)
¤
Dado que cos2 a = 1
2 (1 + cos 2a) , cos a cos b = 1
2 [cos (a + b) + cos (a − b)]
~
P =
1
2
b
x
µ0c
E2
1 + E2
2 +
(c)
z }| {
2 E1E2 cos α
| {z }
(a)
+ E2
1 cos 2ϕ + E2
2 cos (2ϕ + 2α) + 2 E1E2 cos (2ϕ + α)
| {z }
(b)
Como puede verse, los términos (b) oscilan en el tiempo sobre un valor
medio nulo, por lo que el valor medio viene dado por los (a). Las dos
componentes de la onda no constituyen modos independientes, por lo
que aparece el sumando (c) que representa a la interferencia entre las
dos componentes
h~
Pi =
1
2
b
x
µ0c
E2
1 + E2
2 + 2 E1E2 cos α
| {z }
(c)
(b) - En este segundo caso las dos componentes están polarizadas en di-
recciones distintas, por lo que son independientes. Aplicando la relación
de estructura se tiene que el valor medio del vector de Poynting es
h~
Pi =
1
2
b
x
µ0c
£
E2
1 + E2
2
¤
Comprobamos que en este caso no existe término de interferencia y
cada una aporta independientente su contribución al flujo de potencia.
4-8. Sea el campo ~
E = E0x cos (ω t−k z) b
x+E0y cos (ω t−k z +ϕ) b
y = x b
x+y b
y. Dibuje
la trayectoria del extremo del vector ~
E en el plano z = 0, a lo largo del tiempo.
Se dice que una onda está polarizada linealmente si la trayectoria
es una recta, elı́pticamente , si es una elipse, y circularmente si es una
circunferencia.¿Qué condiciones deben cumplir los parámetros E0x, E0y y ϕ
para que la polarización sea de cada uno de los tipos arriba mencionados?
4-9. Demuestre que los siguientes campos eléctricos pueden corresponder a ondas elec-
tromagnéticas planas en el vacı́o, que se propagan según el eje z, y calcule los
campos magnéticos asociados.
a)
~
E = E0 e±j ω z/c
ej ω t
b
x](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-164-320.jpg)
![148
4-12. El ritmo medio al que la energı́a solar incide sobre la Tierra es aproximadamente
1400 W · m−2.
a) Calcule el valor del campo eléctrico en la superficie terrestre considerando a
la luz solar como monocromática y linealmente polarizada.
b) Si el Sol radia isotrópicamente, ¿con que potencia lo hace ? La distancia de
la Tierra al Sol es 1,49 × 108 km.
c) Calcule la potencia total recibida por la Tierra sabiendo que su radio es 6,37×
103 km.
Se dice que un cuerpo radia de forma isótropa cuando la intensidad
de radiación es independiente de la dirección.
4-13. Considere un transmisor que colocado en la Luna radia isotrópicamente a la fre-
cuencia de 5 GHz y con una potencia de 1 W. Sabiendo que la distancia Tierra-
Luna es 3,8 × 105 km, calcule:
a) El valor de los campos E y B en la superficie de la Tierra.
b) El valor medio del vector de Poynting en la superficie terrestre.
c) La densidad media de energı́a.
d) El tiempo que tarda una señal en alcanzar la Tierra.
4-14. Sean dos cargas puntuales ± q(t), en el vacı́o, situadas respectivamente en los
puntos ± d
2 b
z.
a) Halle el potencial retardado producido en un punto arbitrario ~
r.
b) Haga lo mismo, en la zona lejana (r À λ0 y r À d), para q(t) = q0 cos ω0 t.
c) Aproxime el resultado anterior para un dipolo eléctricamente pequeño (d <<
λ0).
SOLUCION:
(a) - El potencial retardado viene dado por la integral
V (~
r, t) =
1
4πε0
Z
V0
[ρ]
R
dv0
Si las dos cargas se situan sobre el eje z, figura 4.13 la densidad puede
describirse como
ρ(z0
) = q(t)
½
δ(~
r 0
−
1
2
d b
z) − δ(~
r 0
+
1
2
d b
z)
¾
La densidad retardada es, por lo tanto,
[ρ] = q(t −
R
c
)
½
δ(~
r 0
−
1
2
d b
z) − δ(~
r 0
+
1
2
d b
z)
¾](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-166-320.jpg)
![151
Aproximando R ' r
~
A(~
r, t) = −C b
z
1
r
sen u
donde C =
µ0ω p0
4π
, p0 = q0 d , u = ω (t −
r
c
).
Si despreciamos el término proporcional a ∇
µ
1
r
¶
∼
1
r2
, y tenemos en
cuenta que ∇ u = −ω
b
r
c
~
B = ∇ ∧ ~
A = −C
1
r
∇ ∧ (b
z sen u) = −
µ0ω2 p0
4π c
1
r
cos ω (t −
r
c
) sen θ b
ϕ
Integrando el vector de Poynting ~
P = c
B2
µ0
b
r sobre la superficie de una
esfera de radio r obtenemos la potencia radiada
P(r, t) =
µ0ω4 p2
0
6π c
cos2
ω (t −
r
c
)
La potencia radiante de un dipolo eléctrico crece con la cuarta potencia
de la frecuencia, por lo que las oscilaciones de baja frecuencia radian
muy poca energı́a.
4-16. Halle la potencia que radiarı́a un electrón clásico girando alrededor de un núcleo
de hidrógeno, en una órbita de radio a y con velocidad angular uniforme ω.
4-17. Halle la intensidad radiada en la colisión frontal de dos partı́culas, con carga de
distinto signo, que se mueven en las proximidades del origen. Suponga que una
de las partı́culas tiene una masa M muy superior a la de la otra, m, y que el
movimiento de ambas es lento.
4.6. Resolución de las ecuaciones de Maxwell unidimen-
sionales mediante el método FD–TD: FDTD 1D −
vacio.nb
17 Lo que expondremos a continuación ilustra la solución numérica de la ecuación de
ondas mediante el uso del método de las Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo
(FD-TD) 18.
17
Basado en un programa de S. González.
18
Finite Difference–Time Domain.Véase [Taflove].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-169-320.jpg)
![154
c
1 2 3
n=τ/δτ
i=x/ x
δ
condiciones
iniciales
iteración ni
iteración 1
campo
magnético
campo
eléctrico
2 nc-2 2nc
2 ni
1
-A
A
+
+
condición
absorbente
a
b
1
0
(i-1,n+1)
(i,n)
0
1
2
condiciones de contorno
A -A
1
celda 1 celda 2 celda nc celda nc+1
Figura 4.14: Red numérica FD–TD
Desarrollo del programa:
El programa que proponemos a continuación puede dividirse esquemáticamente en
las siguientes etapas:
1. Establecimiento de las condiciones iniciales.
2. Cálculo de los campos en iteraciones sucesivas mediante los algoritmos de avance
temporal y las condiciones de contorno:
a) Cálculo del campo eléctrico de los nudos interiores y en el instante (n).
b) Cálculo del campo magnético en el instante (n + 1).
c) Cálculo del campo eléctrico en los nudos extremos y en el instante (n).
3. Generación de los fotogramas correspondientes a las distintas iteraciones.
Diferencias finitas centradas:
Es posible resolver numéricamente las ecuaciones rotacionales de Maxwell mediante
la aproximación de los operadores diferenciales por otros numéricos en diferencias cen-
tradas. Con este fin, se divide el espacio α en intervalos de longitud h y se define el
operador derivada centrada de una función f(α) de la forma
Dα[f(α)] =
1
2h
{f(α + h) − f(α − h)}](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-172-320.jpg)
![155
Desarrollando en serie de Taylor f(α + h) y f(α − h), restando, despejando y des-
preciando términos de orden O(h2), se tiene que
d f(α)
d α
' Dα[f(α)]
Este operador aproxima al operador derivada analı́tica hasta el segundo orden en h.
Avance temporal:
El algoritmo que permite avanzar temporalmente al campo en los distintos puntos
de la red se obtiene substituyendo a los operadores diferenciales por los correspondientes
en diferencias. Con este fı́n, en cada iteración
n = 2, 4 · · · 2ni
seguiremos los siguientes pasos:
Cálculo del campo electrico. El circulo (b) de la figura 4.14 está centrado en el
punto (i, n − 1), marcado por una cruz, y contiene una estrella de cuatro puntas
cuyo nudo superior es el (i, n), donde i y n son pares.
Para calcular el campo eléctrico en este último nudo, evaluamos la ecuación 4.48
en el centro de la estrella y despejamos ey(i, n). De esta forma se obtiene una
expresión que relaciona a este campo con él mismo y con el magnético en instantes
anteriores.
Simplificaremos la notación escribiendo:
ey ≡ e , Bz ≡ B , f(i, n) ≡ fn
i
– Ecuación 4.48 evaluada en (i,n-1).
en
i = en−2
i + A
£
Bn−1
i−1 − Bn−1
i+1
¤
, i = 2, 4 · · · 2nc − 2 (4.54)
donde se excluyen los nudos frontera, en los que hay que aplicar las conciciones
de contorno.
Cálculo del campo magnético. El circulo (a) está centrado en el punto (i − 1, n) y
el nudo superior de la estrella correspondiente es el (i − 1, n + 1).
Para calcular el campo magnético en este último nudo, evaluamos la ecuación 4.49
en el centro de la estrella y despejamos Bn+1
i−1 .
– Ecuación 4.49 evaluada en (i-1,n).
Bn+1
i−1 = Bn−1
i−1 + A
£
en
i−2 − en
i
¤
, i = 2, 4 · · · 2nc − 2 (4.55)
En el programa siguiente, en cada iteración se aplicarán los algoritmos de avance
anteriores, para ambos campos y para i = 2, 4 · · · 2nc − 2, con lo que, véase la
figura 4.14, no se cubre a la componente Bn+1
2nc−1 la cual habrá de calcularse pos-
teriormente.
La estructura de los algoritmos se muestran dentro de los cı́rculos (a) y (b) de la
figura 4.14](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-173-320.jpg)
![156
Condición de Courant:
El coeficiente que aparece en el segundo miembro es
A =
δτ
δx
Puede demostrarse que, para que los algoritmos numéricos sean estables, es necesario
que se cumpla la condición de Courant
δx
δτ
≥ 1 (4.56)
En adelante se tomará
A = 1 ⇒ δx = δτ = δ
Condiciones iniciales:
Las condiciones iniciales se imponen en los dos primeros instantes (n = 0, 1) (figura
4.14)
e0
i = e0(i) , i = 0, 2, · · · , 2nc
B1
i = B1(i) , i = 1, 3, · · · , 2nc − 1 (4.57)
Condiciones de contorno:
Dado que el dominio numérico es finito, X = [0 ≤ x ≤ L], en sus extremos deben
aplicarse condiciones de contorno adecuadas.
En el primer ejemplo supondremos X limitado por planos conductores ideales x = 0
y x = L ó i = 0 e i = 2 nc.
Obsérvese en la figura 4.14 que este dominio se ha configurado de forma tal que en
los nudos extremos sólo está definido el campo eléctrido. Dado que éste es tangencial a
los conductores, y estos son perfectos, debe anularse en la superficie. Impondremos, por
lo tanto, condiciones reflectantes
Condiciones reflectantes →
en
0 = 0
en
2nc = 0
(4.58)
En el segundo ejemplo se impondrán condiciones absorbentes, con las cuales se
simula la existencia en los puntos extremos de superficies perfectamente absorbentes (no
reflectantes), de forma que una onda incidente sobre las mismas continúa propagándose,
sin reflejarse, como si el medio correspondiente se extendiese más allá del la frontera
numérica.
Las ondas que inciden desde el interior de X sobre el punto x = 0 son las f(w = x+τ),
que viajan en el sentido negativo del eje x, y su velocidad de fase normalizada es](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-174-320.jpg)
![157
ν− ≡
v−
c
=
µ
d x
d τ
¶
w=cte
= −1. De forma análoga, las que inciden sobre el punto
x = L son las f(u = x − τ), que viajan en el sentido positivo del eje x, y cuya velocidad
de fase normalizada es ν+ = 1. En cualquiera de estos dos casos, tomando δx = δτ = δ,
las ondas recorren un espacio 2 δ en el tiempo 2 δ y las condiciones absorbentes toman
la siguiente forma
Condiciones absorbentes →
en
0 = en−2
2
en
2nc = en−2
2nc−2
(4.59)
La curva (c) de la figura 4.14 delimita el esquema de la condición absorbente en 2nc.
Programa Mathematica FDTD 1D − vacio.nb:
En este programa se hace uso de funciones discretas f(i, n).
Ejemplo 1o
En este primer ejemplo se simula una onda de perfil gausiano que viaja inicialmente
hacia la derecha y que se refleja sucesivamente sobre dos planos conductores.
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
f(i, n) la escribiremos de la forma.
f[i , n ] := Exp[−
1
na2
∗ (i − n − nc)2
];
en la que el punto central del pulso se ha situado en i = nc en el instante inicial n = 0.
Se asignan valores concretos al número de celdas nc, al de iteraciones ni y al factor
que define la anchura del pulso na.
nc = 60; ni = 120; na = 8;
Los valores de los campos en cada posición (i) y en cada instante (n) se almacenan
en las funciones ey(i, n), con (i, n) pares, y Bz(i, n) 20, con (i, n) impares. Para cada
posición (i), estas funciones se incluyen en listas con dos elementos {i, ey(i, n)} y
{i, Bz(i, n)}.
Se comienza por definir las condiciones iniciales en función de f(i, n).
te0 = Table[{i, ey[i, 0] = N[f[i, 0]]}, {i, 0, 2 ∗ nc, 2}]; ey[0, 0] = 0; ey[0, 2 ∗ nc] = 0
20
Esto supone guardar en memoria los campos correspondientes a todas las iteraciones que se realicen
a lo largo de la ejecución del programa, lo que es poco eficiente y resulta prohibitivo para problemas
de dos y tres dimensiones. El esquema FDTD permite guardar en memoria únicamente los datos más
recientes para cada posición i, lo que reduce la necesidad de memoria en el factor 1
2nc
. Haremos uso de
esta posibilidad en la sección B.2.1.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-175-320.jpg)
![158
Se anula el campo eléctrico en los nudos frontera porque las condiciones en los
mismos son reflectantes.
tB1 = Table[{i, Bz[i, 1] = N[f[i, 1]]}, {i, 1, 2 ∗ nc − 1, 2}];
Se hace uso de la orden N[] para que la tabla se llene con los valores numéricos y no
de expresiones analı́ticas. En caso contrario el cálculo se ralentiza y el ordenador puede
saturarse.
Los representamos gráficamente, sin mostrarlos, ey(i, 0) en rojo y Bz(i, 1) en azul:
grey0 = ListPlot[te0, PlotStyle → {PointSize[0.015], RGBColor[1, 0, 0]},
DisplayFunction → Identity, PlotRange → {0, 1}];
grBz1 = ListPlot[tB1, PlotStyle → {PointSize[0.015], RGBColor[0, 0, 1]},
DisplayFunction → Identity, PlotRange → {0, 1}];
y los mostramos conjuntamente.
Show[grey0, grBz1, DisplayFunction → $DisplayFunction];
La figura 4.15 presenta solamente la parte significativa de las funciones. Puede verse
como las muestras de cada campo se toman en nudos alternados de la red. Dado que
Ey = f(x) y Bz = g(x) =
1
c
f(x), este pulso corresponde a una sola onda cuyo vector
de Poynting tiene la dirección b
x.
45 50 55 60 65 70 75 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 4.15:
Para calcular el resto de los valores se emplea un lazo Do que aplica las reglas de
avance temporal. Dentro de este lazo se hace uso de otro Do para determinar los campos
en los nudos interiores, salvo el campo magnético de los nudos 2nc − 1 21 y el eléctrico
de los de la frontera que se calculan fuera de este último lazo.
21
Nótese que el algoritmo de avance temporal no puede aplicarse a los nudos de la frontera porque, en
ese caso, necesita datos que estarı́an fuera del dominio numérico. Compruebe, figura 4.14, que Bz[2*nc
- 1, n + 1] queda fuera del lazo.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-176-320.jpg)
![159
Do[{Do[{ey[i, n] = ey[i, n − 2] − Bz[i + 1, n − 1] + Bz[i − 1, n − 1],
Bz[i − 1, n + 1] = Bz[i − 1, n − 1] − ey[i, n] + ey[i − 2, n]}, {i, 2, 2 ∗ nc − 2, 2}],
Bz[2 ∗ nc − 1, n + 1] = Bz[2 ∗ nc − 1, n − 1] − ey[2 ∗ nc, n] + ey[2 ∗ nc − 2, n]},
ey[0, n] = 0, ey[2 ∗ nc, n] = 0{n, 2, 2 ∗ ni, 2}];
Para visualizar la propagación del pulso electromagnético, con los colores empleados
en la gráfica anterior, se representa a los campos en cada instante temporal y se activa
la pelı́cula de la forma ya descrita en un programa anterior. Para que las señales no se
solapen totalmente, Bz se multiplica por el factor 0,9.
Table[Show[ListPlot[Table[{i, ey[i, n]}, {i, 0, 2 ∗ nc, 2}], PlotJoined → True,
PlotRange → {−2.1, 2.1},
DisplayFunction → Identity, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0]}],
ListPlot[Table[{i, 0.9 ∗ Bz[i, n + 1]}, {i, 1, 2 ∗ nc − 1, 2}],
PlotJoined → True, PlotRange → {−2.1, 2.1},
DisplayFunction → Identity, PlotStyle → {RGBColor[0, 0, 1]}],
DisplayFunction → $DisplayFunction], {n, 0, 2 ∗ ni, 2}];
La figura 4.16 corresponde al fotograma no35 de la pelı́cula. En él se ve como la
onda se ha reflejado ya en el extremo derecho, donde se simula al conductor ideal. El
campo eléctrico, que es tangencial, se anula en ese punto, mientras que el magnético
se refuerza. Al mismo tiempo, la onda se propaga hacia la izquierda: el Bz reflejado no
cambia de signo mientras que Ey lo inviete; el vector de Poynting cambia su sentido a
−b
x.
90 100 110 120
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
Figura 4.16:
Ejemplo 2o
En este caso se simula, junto con la onda del ejemplo anterior, otra que viaja en
sentido contrario y se hace uso de las condiciones de frontera absorbentes.
Remove[”Global‘ ∗ ”];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-177-320.jpg)
![160
Se elijen los valores de los parámetros.
nc = 60; ni = 40; na = 8; n0 = 40;
f[i , n ] := Exp[−
1
na2
∗ (i − n − nc)2
];
La segunda onda se define con un perfil que resulta de modular el pulso gausiano del
primer ejemplo con una función senoidal de periodo T = n0 δ
ge[i , n ] := f[i, n] ∗ 4 ∗ Sin[
π ∗ (i + n − nc)
n0
];
Se generan las gráficas sin mostrarlas.
f0 = Table[{i, f[i, 0]}, {i, 0, 2 ∗ nc, 2}];
ge0 = Table[{i, ge[i, 0]}, {i, 0, 2 ∗ nc, 2}];
grf = ListPlot[f0, PlotJoined → True, PlotRange → {−1.2, 1.2},
PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0]}, DisplayFunction → Identity];
grge = ListPlot[ge0, PlotJoined → True, PlotRange → {−1.2, 1.2},
PlotStyle → {RGBColor[0, 0, 1]}, DisplayFunction → Identity];
La figura 4.17 muestra conjuntamente ambas funciones.
Show[grf, grge, DisplayFunction → $DisplayFunction];
20 40 60 80 100 120
-1
-0.5
0.5
1
Figura 4.17:
A partir de estas funciones se obtienen los valores iniciales de ambos campos
ey0b = Table[ey[i, 0] = N[f[i, 0] + ge[i, 0]], {i, 0, 2 ∗ nc, 2}];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-178-320.jpg)
![161
Bz1b = Table[ Bz[i, 1] = N[f[i, 1] − ge[i, 1]], {i, 1, 2 ∗ nc − 1, 2}];
se generan las gráficas
grey0b = ListPlot[Table[{i, ey[i, 0]}, {i, 0, 2 ∗ nc, 2}],
PlotStyle → {PointSize[0.015], RGBColor[1, 0, 0]}, PlotRange → {−1, 2},
DisplayFunction → Identity];
grBz1b = ListPlot[Table[{i, Bz[i, 1]}, {i, 1, 2 ∗ nc − 1, 2}],
PlotStyle → {PointSize[0.015], RGBColor[0, 0, 1]}, PlotRange → {−1, 2},
DisplayFunction → Identity];
En la figura 4.18 se muestra la suma de los pulsos iniciales. Dado que ey = f(x) y
Bz = g(x) 6= f(x) estos campos se desglosan en dos ondas que se propagan en sentidos
opuestos.
Show[grey0b, grBz1b, DisplayFunction → $DisplayFunction];
20 40 60 80 100 120
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Figura 4.18:
Por último, se forman las tablas ey(i, n) y Bz(i, n), se generan las gráficas tempo-
rales, como en el primer ejemplo, y se animan.
Do[{Do[{ey[i, n] = ey[i, n − 2] − Bz[i + 1, n − 1] + Bz[i − 1, n − 1],
Bz[i − 1, n + 1] = Bz[i − 1, n − 1] − ey[i, n] + ey[i − 2, n]}, {i, 2, 2 ∗ nc − 2, 2}],
Bz[2 ∗ nc − 1, n + 1] = Bz[2 ∗ nc − 1, n − 1] − ey[2 ∗ nc, n] + ey[2 ∗ nc − 2, n],
ey[0, n] = ey[2, n − 2], ey[2 ∗ nc, n] = ey[2 ∗ nc − 2, n − 2]}, {n, 2, 2 ∗ ni, 2}]](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-179-320.jpg)
![162
Table[Show[ListPlot[Table[{i, ey[i, n]}, {i, 0, 2 ∗ nc, 2}], PlotJoined → True,
PlotRange → {−2.2, 2.2}, DisplayFunction → Identity,
PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0]}],
ListPlot[Table[{i, 0.9 ∗ Bz[i, n + 1]}, {i, 1, 2 ∗ nc − 1, 2}], PlotJoined → True,
PlotRange → {−2.2, 2.2}, DisplayFunction → Identity,
PlotStyle → {RGBColor[0, 0, 1]}],
DisplayFunction → $DisplayFunction], {n, 0, 2 ∗ ni, 2}];
La figura 4.19a corresponde al fotograma no20. Cada uno de los pulsos se ha propa-
gado en sentido opuesto pero aún no ha llegado al extremo correspondiente. La figura
4.19b corresponde al fotograma no30. Como puede observarse, los pulsos traspasan los
lı́mites sin reflejarse.
20 40 60 80 100 120
-1
-0.5
0.5
1
20 40 60 80 100 120
-1
-0.5
0.5
1
(b)
(a)
Figura 4.19:](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-180-320.jpg)
![Capı́tulo 5
Campos Multipolares estáticos
5.1. Expansión multipolar de una distribución estática de
carga
Supongamos [Lorrain y Corson, Reitz et al., Jackson, Landau y Lifchitz FT] que,
como se indica en la figura 5.1, se requiere calcular el campo que una distribución
acotada de carga ρ(~
r 0), encerrada en un volumen V 0 finito y a distancia finita del origen
de coordenadas, produce en un punto externo a la distribución.
x
^
z
^
y
^
r ’
R
max
r ’
ρ (r ’)
O
dv’
r
P
V’
Figura 5.1:
Hemos elegido el origen de coordenadas O de forma que r r0
max, siendo r0
max la
máxima distancia de la distribución V 0 al origen. El cálculo riguroso del potencial nos
llevarı́a a resolver la integral
V (~
r) =
1
4πε0
Z
V 0
ρ(~
r 0)
R
dv0
(5.1)
La expansión multipolar del potencial electrostático, válida para puntos tales que
r r0
max, la obtendremos realizando el desarrollo en serie de Taylor de la función R−1
alrededor del origen (~
r 0 = 0). En lo que sigue, haremos uso del convenio de Einstein de
suma sobre ı́ndices repetidos, por lo que este desarrollo puede escribirse de las formas
167](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-185-320.jpg)
![173
Substituyendo ~
l por ~
r 0 y teniendo en cuenta que ~
dn ¿ r, podemos aproximar el
potencial (a), de la forma
V2n−1 (~
r,~
r 0
+ ~
dn) ' V2n−1 (~
r,~
r 0
) + ∇0
V2n−1 (~
r,~
r 0
) · ~
dn
Si ahora situamos al dipolo en el origen, haciendo ~
l = ~
r 0 = ~
0
V2n (~
r) = ∇0
£
V2n−1 (~
r,~
r 0
)
¤
~
r 0=~
0
· ~
dn (5.13)
Este resultado, obtenido apoyándonos en la representación de dipolos puntuales es
válido, naturalmente, para cualquier tipo de multipolos.
5.1.3. El dipolo eléctrico
Dada la importancia del dipolo, es conveniente detenernos en su estudio. A partir
del potencial 5.4 podemos hallar el campo que produce
~
Ed(~
r) = −∇Vd =
1
4πε0
1
r3
[3(~
p · b
r) b
r − ~
p ] (5.14)
que, como ya habı́amos anunciado, decrece globalmente con la distancia según r−3 y
no, como el monopolar, según r−2.
Si elegimos el eje z en la dirección del dipolo, ~
p = p b
z, y escribimos la expresión del
campo y del potencial en coordenadas esféricas
Vd(~
r) =
p
4πε0
cos θ
r2
(5.15)
~
Ed =
p
4πε0r3
h
2 cos θ b
r + sen θ b
θ
i
(5.16)
Las superficies equipotenciales vendrán dadas por la ecuación
r2
= A cos θ (5.17)
y las lı́neas de campo por 5
dr
2 cos θ
=
r dθ
sen θ
⇒
dr
r
= 2
d sen θ
sen θ
⇒
r = B sen 2θ
ϕ = cte
(5.18)
La figura 5.4 representa a las lı́neas de campo y a las superficies equipotenciales.
5
Este es uno de los casos en que la ecuación de las lı́neas es fácilmente integrable. En concreto, debido
a que puede escribirse de forma separable f(x) dx = g(y) dy.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-191-320.jpg)
![174
p
E
V=cte
z
^
Figura 5.4:
5.1.3.1. Energı́a, par y fuerza de un dipolo
La energı́a de interacción de un dipolo en un campo externo, según hemos visto, es
Wd = −~
p · ~
E
luego, sus valores extremos serán
Wmin = −pE ⇒ ~
p ↑↑ ~
E
Wmax = pE ⇒ ~
p ↑↓ ~
E
lo que implica que el dipolo tratará de alinearse con el campo aplicado.
Razonando sobre dipolos puntuales no es difı́cil comprobar que este alineamiento es
inducido por un par
~
T = ~
p ∧ ~
E (5.19)
Para ello, despreciaremos la pequeña variación del campo en las inmediaciones de ~
r,
es decir, tomamos ~
E(~
r + ~
dr) ' ~
E(~
r). Según la figura 5.5
~
T =
X
~
ri ∧ ~
Fi = ~
r ∧ (−q ~
E) + (~
r + d~
r) ∧ q ~
E = ~
p ∧ ~
E
Además de este par que tiende a alinear los dipolos con el campo aplicado, éstos
sentirán una fuerza
~
F =
X
~
Fi = ~
F+ + ~
F− = q ~
E(~
r + d~
r) − q ~
E(~
r)
Desarrollando Ex alrededor de ~
r
Fx = qEx(~
r) + q d~
r · [∇ Ex(~
r)] − qEx(~
r) = (~
p · ∇)Ex](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-192-320.jpg)
![177
En el lı́mite en que P tiende a situarse sobre la superficie, casi toda la contribución
al potencial se deberá a los dipolos cercanos, por lo que podremos considerar a Ps ' cte.
Luego
lı́m
R→0
V (~
r) = −
Ps
4πε0
Ω
donde Ω es el ángulo sólido subtendido por la superficie desde un punto próximo P Al
pasar desde justamente debajo hasta justamente arriba de la superficie, el ángulo sólido
sufre una discontinuidad ∆Ω = −4π, y
∆V = Ps/ε0
En la figura 5.6-b se ilustra este salto de potencial en una doble capa de espesor ∆x.
5.2. Desarrollo multipolar de una distribución de corrien-
te estacionaria
Para distribuciones de corrientes estacionarias aplicaremos [Jackson,
Panofsky y Phillips] un tratamiento bastante similar al que acabamos de utilizar
para las distribuciones estáticas de cargas. No obstante, por ser la estructura del campo
magnético más compleja que la del eléctrico, detendremos nuestro desarrollo en el
término dipolar.
x
^
z
^
y
^
r ’
R
max
r ’
j (r ’)
O
dv’
r
P
V’
Figura 5.7:
Supondremos que, como se indica en la figura 5.7, se desea observar una distribución
de corrientes estacionarias
∇0
·~
j = 0
desde una distancia r r0
max. Para ello introducimos el desarrollo
1
R
=
1
r
− x 0
i
∂
∂ xi
µ
1
r
¶
+ · · ·
en la integral del potencial vector
~
A(~
r) =
µ0
4π
Z
V 0
~
j(~
r 0)
R
dv0](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-195-320.jpg)
![181
^
x
^
z
^
y
^
x
^
z
^
l
m
-m
Dipolo Cuadrupolo
l
1
d
m
y
Figura 5.9:
Dado que
∇ ∧ (~
a ∧~
b) = ~
a(∇ ·~
b) −~
b(∇ · ~
a) + (~
b · ∇)~
a − (~
a · ∇)~
b
tomando ~
a = ~
m, ~
b = ∇
µ
1
r
¶
y teniendo en cuenta que ~
m = ~
cte y ∇2
µ
1
r
¶
= 0
( ∀r 6= 0), podemos escribir
~
Bd =
µ0
4π
(~
m · ∇)∇
µ
1
r
¶
Desarrollando lo anterior, se tiene que
~
Bd =
µ0
4π
1
r3
[3(~
m · b
r) b
r − ~
m] =
µ0m
4π
1
r3
³
2 cos θ b
r + sen θ b
θ
´
(5.30)
La última igualdad se obtiene situando al dipolo en el origen, orientándolo en la dirección
z.
Este campo que coincide formalmente con ~
Ed si substituimos ~
m ↔ ~
p y µ0 ↔ (1/ε0).
5.2.2.1. Potencial magnético escalar
La analogı́a puesta de manifiesto en el párrafo anterior nos sugiere la posibilidad de
hacer uso de un potencial escalar para el campo producido por distribuciones dipolares
magnéticas. Análogamente al potencial dipolar eléctrico 5.4 tendrı́amos un potencial
dipolar magnético escalar del que derivarı́a, mediante la aplicación de gradiente, el campo
dipolar magnético.
Ud(~
r) =
1
4π
1
r2
~
m · b
r, ~
Bd = −µ0 ∇ Ud (5.31)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-199-320.jpg)
![183
-R
R
r
r ’
dm=I d s
(a) (b)
I
P
s
M =I n
S
L
S’
Figura 5.11:
elementales equivale a la espira macroscópica L. Podemos, pués, substituirla por una
distribución superficial de dipolos de densidad,
~
Ms =
d~
m
ds
= I ~
n
Para un punto de observación ~
r, externo a los dipolos, tendrı́amos un potencial
escalar
Ud(~
r) =
1
4π
Z
S 0
~
Ms · b
R
R2
ds0
=
I
4π
Z
S 0
b
R · ~
n
R2
ds0
Substituyendo al vector ~
R por ~
R1 = −~
R, como ya se hizo en la sección 5.1.4,
Ud(~
r) = −
I
4π
Z
S 0
dΩ
Ud(~
r) = −
IΩ
4π
(5.32)
donde Ω es el ángulo sólido con que la espira L se ve desde P.
De lo dicho anteriormente se deduce que Ud no es función de punto y, por lo tanto,
dUd = ∇Ud · d~
r = −
~
B
µ0
· d~
r
no tiene validez general.
Efectivamente, si aplicamos la ley de Ampère sobre los caminos que unen a los puntos
A y B de la figura 5.12,
I
(a+c)
~
B · d~
l = µ0 I 6= 0 ⇒
Z B
A(a)
dUd 6=
Z B
A(b)
dUd
lo que no es de extrañar, puesto que la expresión ~
B = −µ0 ∇ Ud no es válida para el
camino (b) ya que éste se introduce en la distribución de dipolos [Velayos].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-201-320.jpg)
![198
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
Figura 5.20:
Plot[{Bz, Wp, Fz}, {z, −1, 1},
PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[0, 1, 0]},
GridLines → {{−0.5, 0.5}, {Wp/.z → 0.5}}];
5-17. Determine el potencial magnético escalar y, a partir de éste, el campo producido
en su eje por una espira circular de radio a recorrida por una intensidad I.
Solución:
Debemos determinar el campo mediante
~
B = −µ0∇ Ud
donde
Ud(~
r) = −
IΩ
4π
Luego hay que calcular el ángulo sólido con que la espira, figura 5.21,
se ve desde el punto z.
Dado el sentido de la intensidad elegido para recorrer la espira, la nor-
mal hacia afuera de la esfera centrada en z es ~
nr = −~
n y el ángulo sólido
es negativo.
Ω = −
Z 2π
ϕ=0
dϕ
Z θ=θ0
θ=0
sen θ dθ = 2π [cos θ]θ0
0 = 2π (cos θ0 − 1)
De la figura se deduce que
cos θ0 =
z
√
a2 + z2
por lo que](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-216-320.jpg)
![Capı́tulo 6
Movimiento de partı́culas en un
campo electromagnético
[Velayos, Golant et al., Reitz et al., Artsimovich y Loukianov]
6.1. Introducción
Hemos visto que una partı́cula puede poseer una estructura electromagnética in-
trı́nseca que le confiere un número de grados de libertad mayor que tres. Esto se traduce
en la posible aparición de momentos multipolares y la consiguiente complicación de las
ecuaciones del movimiento de esta partı́cula. Basta con que nos ocupemos aquı́ de las
caracterı́sticas esenciales del movimiento no relativista de monopolos eléctricos y dipo-
los magnéticos. Para cargas puntuales, las ecuaciones del movimiento se deducen de
la fuerza de Lorentz. Para dipolos tendrı́amos que hacer uso de las expresiones de las
fuerzas y los pares obtenidos en los capı́tulos anteriores y tener en cuenta que, a pesar
de las similitudes, el dipolo magnético está siempre asociado a un momento angular,
cosa que no ocurre con el dipolo eléctrico.
Es importante comprender los aspectos básicos del movimiento individual de partı́cu-
las en el campo electromagnético puesto que en ellos reside el fundamento, o parte del
fundamento, de muchos sistemas fı́sicos naturales y artificiales. Incluso para sistemas
que, por sus dimensiones o velocidades, requieren un tratamiento cuántico o relativista,
la descripción clásica no relativista ayuda a fijar ideas e imágenes cualitativas. Muchas
facetas de la Fı́sica de Plasmas, de nuestra propia Magnetosfera, del comportamien-
to magnético de la materia, y de sistemas tales como el tubo de rayos catódicos, el
espectrómetro de masas, el microscopio electrónico, el Tokamak y otras máquinas de
confinamiento magnético, requieren para su estudio un amplio conocimiento del compor-
tamiento dinámico individual de partı́culas en el seno de campos eléctricos y magnéticos.
En las primeras secciones de éste capı́tulo se plantearán los conceptos fundamentales
asociados al movimiento de partı́culas y en la última se expondrá una serie de ejemplos
significativos en la mayorı́a de los cuales se resuelven numéricamente las ecuaciones de
dicho movimiento con ayuda de Mathematica. En capı́tulos anteriores se ha anticipado
201](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-219-320.jpg)
![207
El momento magnético ~
µ y el flujo Φ permanecen prácticamente invariables, por lo
que se dice que son invariantes adiabáticos.6
6.2.5. Campo eléctrico y magnético
Cuando la partı́cula sufre la acción conjunta de un campo eléctrico y uno magnético,
uniformes y constantes, las ecuaciones del movimiento pueden ser escritas de la forma
~
a =
q
m
~
E + ~
Ω ∧ ~
v (6.13)
En este caso existe una aceleración uniforme en el sentido del campo eléctrico
~
a|| = (~
a · b
b)b
b =
q
m
E||
b
b
que da lugar a una velocidad paralela
~
v|| = ~
v0|| +
q
m
~
E||t
6.2.5.1. ~
E y ~
B perpendiculares. Deriva ambipolar
La aceleración en el plano perpendicular será
~
a⊥ = ~
a − ~
a|| =
q
m
~
E⊥ + ~
Ω ∧ ~
v =
q
m
~
E⊥ + ~
Ω ∧ ~
v⊥
Comprobaremos que el movimiento en el plano perpendicular puede seguir viéndose
como un giro de frecuencia ~
Ω si observamos desde un sistema adecuado que se mueva
con velocidad uniforme.
Sea
~
v⊥ = ~
vE + ~
v1
donde ~
vE = ~
cte y ~
v1 es la velocidad de la partı́cula con respecto al sistema de coorde-
nadas que se mueve con velocidad ~
vE. De acuerdo con esto, podemos escribir
d~
v⊥
dt
=
d~
v1
dt
=
q
m
( ~
E⊥ − ~
B ∧ ~
vE)
| {z }
(a)
+~
Ω ∧ ~
v1
(a) se anula si hacemos
~
E⊥ = ~
B ∧ ~
vE
y ~
vE puede despejarse de esta ecuación multiplicando vectorialmente por ~
B, teniendo
en cuenta que ~
B ∧ ~
Ek = 0 y que ~
vE⊥ ~
B. Desarrollando el triple producto del segundo
miembro se teine que
~
vE =
~
E ∧ b
b
B
(6.14)
6
Para una exposición del concepto de invariante adiabático, véase [Goldstein].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-225-320.jpg)
![212
Entre neutros tienen lugar las fuerzas de tipo Van der Waals, atractivas, con n = 6,
y de origen diverso, como puede ser la interacción entre dos dipolos permanentes, entre
dipolos permanentes e inducidos e, incluso, entre dos dipolos inducidos. Estas últimas,
que se conocen como fuerzas de London y son las más importantes, pueden interpretarse
como la interacción entre el dipolo instantáneo de una molécula, que por término medio
no es polar, con el dipolo inducido en la otra.
Por último, cuando las distancias entre partı́culas son lo suficientemente pequeñas
para que exista un solapamiento substancial de nubes electrónicas, aparecen fuerzas
cuánticas de variación muy rápida y generalmente repulsivas.
Aquı́ trataremos la difusión elástica de partı́culas en un potencial coulombiano. En
este caso, la integración de las ecuaciones del movimiento constituye el problema clásico
de Kepler [Goldstein] y como resultado se obtienen trayectorias hiperbólicas, parabólicas
o elı́pticas, según la energı́a total W0 = Wc + Wp, suma de la energı́a cinética Wc más
la potencial Wp, sea respectivamente 0, = 0 ó 0.
Dejaremos para la última sección de este capı́tulo la integración de las ecuaciones del
movimiento, referido al centro de masas, de dos cargas, con distitas relaciones de carga
a masa y diversas condiciones iniciales, para mostrar en una pelı́cula sus respectivas
órbitas.
Por ahora, solamente consideraremos el problema de scattering, o difusión, elástico ,
figura 6.7, en el que se supone que las partı́culas están inicialmente a distancia infinita,
acercándose con W0 = Wc(∞) 0 y nos interesamos solamente por el balance final de
la interacción, o colisión.
oo
v
oo
W
v0
y
^
x
^
r
b
F
F
F
F
ϕ
ϕ
θ
x
y
F
F
0
x
y
P
O
M
m
W0
Figura 6.7:](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-230-320.jpg)
![218
1 2 3 4 5
N
Cuentas
por
segundo
1.000
10.000
Cinturon
interno Cinturon externo
eje
geomagnetico
Radios terrestres
Ecuador
magnetico
Figura 6.12:
y tener en cuenta que
~
L =
~
m
Γ
y ~
T = ~
m ∧ ~
B
lo que permite escribir
d~
m
dt
= ~
ΩL ∧ ~
m , ~
ΩL = −Γ ~
B
ecuación análoga a la que describe el giro ciclotrónico y que indica que el momento
magnético ~
m posee un movimiento de precesión alrededor de ~
B con la frecuencia de
Larmor ~
ΩL.
En el caso de un electrón orbital, cuyo momento magnético se ve afectado ligeramente
por el campo magnético aplicado, la ecuación anterior sigue siendo aplicable con gran
precisión, pudiéndose despreciar los efectos de nutación [Velayos, Konopinski].
Ası́ pues, si un dipolo magnético es sometido a un campo que varı́e de ~
0 a ~
B0,
adquirirá una energı́a potencial Wp = −m B0 cos θ y una velocidad de precesión ~
ΩL =
−Γ ~
B0.
Estos estados de movimiento se detectan generalmente por la emisión de radiación
que acompaña a la transición entre los mismos.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-236-320.jpg)
![220
6.6. Ejemplos con Mathematica
6.6.1. Compresión de órbitas. movimiento − cargas − EpB.nb
Condideraremos un campo magnético dependiente del tiempo ~
B = B0(t) b
z que puede
variar brusca o gradualmente y en el que está atrapada una carga que gira alrededor de
una de sus lı́neas. Según el caso, superponemos un campo eléctrico constante ~
E = E0 b
z
paralelo al anterior.
En general, las ecuaciones del movimiento son
~
a =
q
m
~
E +
q
m
~
v ∧ ~
B
que, descompuesta en componentes y empleando la notación
q
m
E0 = A ,
q
m
B0 = B
toman la forma
d2 x
d t2
= B
d y
d t
d2 y
d t2
= −B
d z
d t
d2 z
d t2
= A
Las cargas partirán del origen con una velocidad inicial determinada.
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
Para realizar las gráficas pueden adoptarse dos modalidades:
- Si modalidad = 1, B aumenta bruscamente en magnitud para t = 15. El campo
eléctrico es nulo, por lo que vz = cte.
- Si modalidad = 0, B aumenta gradualmente según la ley B = 1 +
t2
100
. Se super-
pone un campo eléctrico constante que acelera a la carga uniformemente en la dirección
z. La velocidad inicial vz0 la tomamos como nula.
modalidad = 1;
Which[modalidad == 1, { vz0 = 0.1, A = 0, B = If[t 15, 1, 8]},
modalidad == 0, { vz0 = 0, A = 0.07, B = 1 +
t2
100
}];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-238-320.jpg)
![221
Resolvemos el sistema de eucaciones diferenciales de forma numérica haciendo uso
de la orden NDSolve 8. Esta orden tiene como primer argumento una lista que contiene
las ecuaciones a resolver y las condiciones iniciales. Para mayor claridad, realizaremos
esta operación en tres etapas: escritura de las ecuaciones, escritura de las condiciones
iniciales y unión de ambas listas. Preste atención al formato en que se escriben estas
listas.
ecuaciones = {x00
[t] == B ∗ y0
[t], y00
[t] == −B ∗ x0
[t], z00
[t] == A};
ciniciales = {x0
[0] == 1, y0
[0] == 1, z0
[0] == vz0, x[0] == 0, y[0] == 0, z[0] == 0};
ecuaciones = Join[ecuaciones, ciniciales];
El segundo argumento es la lista de las variables incógnitas {x, y, z} y, el tercero,
la lista {t, 0, 30} de la variable independiente y los lı́mites del intervalo de la misma en
que se quiere obtener la solución.
solucion = NDSolve[ecuaciones, {x, y, z}, {t, 0, 30}];
El resultado es la lista que hemos denominado solucion cuyos elementos son fun-
ciones interpolantes 9. Dichas funciones están especificadas por un conjunto de
datos que permiten, en su caso, aproximar a la solución correspondiente en el intervalo
especificado.
Para poder representarlas gráficamente es necesario hacer uso de la función
Evaluate 10.
fx = Evaluate[x[t]/.solucion]; fy = Evaluate[y[t]/.solucion];
fz = Evaluate[z[t]/.solucion];
Si quitamos el (; ) de la última expresión veremos que fz es una lista con una sola
componente, la función interpolante de z(t).
Primero hacemos una representación bidimensional de las funciones
{x(t), y(t), z(t)} en función del tiempo.
Plot[{fx, fy, fz}, {t, 0, 30}, PlotRange → All,
PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]},
PlotLabel → {”x = rojo, y = verde, z = azul”}, AxesLabel → {”t”, None}];
En la modalidad 1, en la que se da el cambio brusco de B, el radio de giro se com-
prime instantáneamente y el centro de giro cambia de lı́nea de campo. En la modalidad](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-239-320.jpg)
![222
5 10 15 20 25 30
t
-2
-1
1
2
3
8x=rojo,y=verde,z=azul
Figura 6.14:
0 la compresion de la órbita es gradual y el centro de giro se mantiene posicionado en
la misma lı́nea. La figura 6.14 corresponde a la modalidad 1.
Por último, se representan las trayectorias en un gráfico paramétrico tridimensional.
ParametricPlot3D[fz[[1]], fx[[1]], fy[[1]], t, 0, 30,
PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]},
PlotPoints → 1000, PlotRange → All, Boxed → False, AspectRatio → 1,
PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]},
AxesLabel → ”t”, ”x”, ”y”, AxesStyle → RGBColor[0, 1, 1], Thickness[0,01],
PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]},
DefaultColor → RGBColor[1, 0, 0], BoxRatios → 2, 1, 1];
La figura 6.15 también corresponde a la modalidad 1.
6.6.2. Enfoque electromagnético. enfoque EpB.nb
Este programa ilustra el enfoque de cargas en campos eléctrico y magnético paralelos,
constantes y uniformes. Las trayectorias son hélices cuyo paso aumenta uniformemente.
Se representan las trayectorias de partı́culas mono energéticas que parten del origen
con unas velocidades iniciales vx0 = v0 sen θ, vy0 = 0, vz0 = v0 cos θ, cada una de
ellas con distinto θ de pequeña magnitud.
El movimiento en la dirección del eje z es uniformemente acelerado. Dado que z(0) =
0
z = vz0 t +
1
2
a t2
, a =
q
m
E
8
Véase la ayuda de Mathematica.
9
Véase la ayuda de Mathematica.
10
Véase la ayuda de Mathematica.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-240-320.jpg)
![223
0
1
2
3
t
0
1
2
x
-2
-1
0
y
0
1
2
t
-
-
Figura 6.15:
La solución del movimiento transversal, compatible con las condiciones iniciales,
viene dada por las expresiónes 1.33
x = ρ sen Ωt
y = ρ (1 − cos Ωt)
siendo ρ el radio de giro y Ω la frecuencia ciclotrónica que, en adelante tomaremos como
Ω = 1 ⇒ ρ = vx0.
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
Especificamos el valor de A = 1
2 a, los valores iniciales de las velocidades y las
ecuaciones paramétricas de las trayectorias.
A = 0.08;
vz0 = Cos[θ]; vx0 = Sin[θ];
z = vz0 t + A t2
; x = vx0 Sin[t]; y = vx0 (1 − Cos[t]);](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-241-320.jpg)
![224
A continuación confeccionamos una lista, lista[[i, j]], j = x, y, z que contiene las
ecuaciones de las trayectorias de las partı́culas i = 1. · · · , 5.
lista = {{z, x, y}/.θ → 0, {z, x, y}/.θ → 0.15,
{z, x, y}/.θ → −0.15, {z, x, y}/.θ → 0.3, {z, x, y}/.θ → −0.3};
En enfoquep se almacenarán las gráficas paramétricas tridimensionales de cada
una de las trayectorias.
enfoquep = {0, 0, 0, 0, 0};
Do[enfoquep[[i]] = ParametricPlot3D[lista[[i]], {t, 0, 2Pi},
Boxed → True, DisplayFunction → Identity, AxesLabel → {”z”, ”x”, ”y”},
DefaultColor → RGBColor[0, 0, 1], AxesStyle → {RGBColor[0, 1, 1], Thickness[0.01]},
BoxRatios → {2, 0.5, 0.5}, PlotPoints → 500], {i, 1, 5}];
enfoque = Show[enfoquep, DisplayFunction → $DisplayFunction];
0
2
4
6
8
z
-0.2
0
0.2
x
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
y
0
2
4
6
8
z
-
Figura 6.16:
La figura 6.16 es una representación tridimensional de las trayectorias. Si am-
pliáramos la parte final de la gráfica verı́amos claramente que el efoque tiene aberración.
Ésta será tanto menor cuanto más pequeña sea la dispersión angular de la velocidad ini-
cial.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-242-320.jpg)
![225
Por último, haremos una representación paramética bidimensional para ver las
trayectorias en el plano transversal.
lista2 = {{0, 0}, {0, 0}, {0, 0}, {0, 0}, {0, 0}};
Do[lista2[[i]] = {lista[[i]][[2]], lista[[i]][[3]]}, {i, 1, 5}];
enfoquepf = {0, 0, 0, 0, 0};
Do[enfoquepf[[i]] =
ParametricPlot[lista2[[i]], {t, 0, 2Pi}, AxesLabel− {”x”, ”y”},
PlotStyle− RGBColor[0, 0, 1], PlotPoints− 500,
DisplayFunction− Identity], {i, 1, 5}];
enfoquef = Show[enfoquepf, DisplayFunction− $DisplayFunction,
AspectRatio− 2];
-0.3
-0.2
-0.1 0.1
0.2
0.3
x
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
y
Figura 6.17:
Las partı́culas parten del origen con distintas velocidades transversales, y distintos
radios de giro, e inciden en (0, 0, L(θ) ' L) al cabo de un periodo (figura 6.17).
6.6.3. Confinamiento magnético. botella − magnetica.nb
En este programa estudiaremos el confinamiento de cargas en una botella magnética.
Como en el problema 2-29, el campo de la botella se genera por medio de dos espiras
cuadradas , cuyo eje común es el z y que están recorridas por una intensidad I. A](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-243-320.jpg)
![226
diferencia de la configuración de los carretes de Helmholtz, la distancia entre espiras se
hará mayor que en ésta, de modo que en el punto intermedio el campo sea mı́nimo, dando
lugar a espejos magnéticos en la proximidad de la posición de los carretes. Generaremos
gráficas y pelı́culas que nos muestren las trayectorias de partı́culas confinadas en la
botella.
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
Off[General :: ”spell”];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
6.6.3.1. Campo de una espira
Comenzamos calculando el campo de una espira
Rx = {x − xp, y − y0, z}; mRx =
√
Rx.Rx;
BX = {0, −z, y − y0}
Z x2
x1
1
mRx3
dxp;
De forma análoga calculamos el campo producido por un segmento orientado en la
dirección el eje y
Ry = {x − x0, y − yp, z}; mRy =
p
Ry.Ry;
BY = {z, 0, −x + x0}
Z y2
y1
1
mRy3
dyp;
Calculamos el campo total de la espira producido en un punto cualquiera partic-
ularizando los resultados anteriores para cada uno de los segmentos de la espira con
a = 1.
B2 = BX/.{x1 →
1
2
, x2 → −
1
2
, y0 →
1
2
};
B4 = BX/.{x1 → −
1
2
, x2 →
1
2
, y0 → −
1
2
};
B1 = BY/.{y1 → −
1
2
, y2 →
1
2
, x0 →
1
2
};
B3 = BY/.{y1 →
1
2
, y2 → −
1
2
, x0 → −
1
2
};
Be = B1 + B2 + B3 + B4;](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-244-320.jpg)
![227
6.6.3.2. Campo de dos espiras situadas en z = ± d/2
Be1 = Be/.z → (z −
d
2
); Be2 = Be/.z → (z +
d
2
);
Bc = Be1 + Be2;
Calculamos los campos producidos por cada una de las espiras, Be1z y Be2z, y por
el conjunto Bcz, en el eje z.
Be1zv = Be1/.{x → 0, y → 0};
Be1z = Be1zv[[3]];
Be2zv = Be2/.{x → 0, y → 0};
Be2z = Be2zv[[3]];
Bczv = Bc/.{x → 0, y → 0};
Bcz = Bczv[[3]];
6.6.3.3. Botella magnética
Asignamos a d el valor db = 3.
db = 3;
Representación del campo axial:
Bczb = Bcz/.d → db;
grcampz = Plot[Bczb, {z, −0.6 ∗ db, 0.6 ∗ db}, AxesOrigin → {0, 0},
GridLines → {{−
db
2
, 0,
db
2
}, None}, ,
PlotStyle → RGBColor[0, 1, 1]]; (6.25)
En la figura 6.21, que se muestra más adelante, se observa la existencia de un mı́nimo
de campo en z = 0 y unos máximos en las proximiades de las posiciones de las espiras.
En las zonas interiores de campo alto, espejos magnéticos, se reflejan las partı́culas
atrapadas en la botella.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-245-320.jpg)
![228
Representación del campo en el plano x = 0:
Calculamos el campo en este plano para la distancia db entre espiras
Bcyzb = {Bc[[2]], Bc[[3]]}/.{x → 0, d → db};
especificamos los lı́mites de las gráficas
Ly = 1; Lz = 0.7 ∗ db;
generamos el gráfico de flechas
Graphics‘PlotField‘
grcampb = PlotVectorField[Bcyzb, {y, −Ly, Ly}, {z, −Lz, Lz},
PlotPoints → 11, AspectRatio → 1, DisplayFunction → Identity];
la posición de los carretes
puntosb = {{−0.5 , −0.5db}, {0.5 , −0.5db}, {−0.5 , 0.5db}, {0.5 , 0.5db}};
carretesb = Graphics[{PointSize[.04], RGBColor[0, 0, 1], Point/@puntosb}];
dibujamos las lı́neas de campo por el método de Heun
mBcyzb =
p
Bcyzb.Bcyzb;
Bunit =
Bcyzb
mBcyzb
;
n = 100; ∆ =
db
n
;
y0 = −0.45;
z0 = −Lz + 0.01;
grlinea = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0};](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-246-320.jpg)
![229
Do[{p0 = {y0, z0}; linea = {p0}; kk = 0;
While[(Abs[p0[[1]]] = Ly)(Abs[p0[[2]]] = Lz)(kk = 2n),
{kk = kk + 1, p0ini = p0, Bunitini = Bunit/.{y → p0[[1]], z → p0[[2]]},
p0 = p0ini + ∆ ∗ Bunitini, Bunitfin = Bunit/.{y → p0[[1]], z → p0[[2]]},
p0 = p0ini + ∆ ∗
1
2
(Bunitini + Bunitfin), linea = Append[linea, p0]}],
grlinea[[i]] = ListPlot[linea, PlotJoined → True,
PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction → Identity], y0 = y0 + 0.1},
{i, 1, 10}];
y representamos conjuntamente todas estas gráficas
Show[grcampb, carretesb, grlinea, DisplayFunction → $DisplayFunction,
Axes → True];
-1 -0.5 0.5 1
-2
-1
1
2
Figura 6.18:
En la figura 6.18 puede verse como el campo es poco uniforme, existiendo un alto
flujo del mismo en los cuellos de la botella y poca densidad de lı́neas en el vientre de la
misma.
6.6.3.4. Confinamiento magnético
Primero supondremos que la partı́cula, atrapada en la lı́nea central de la botella,
tiene una energı́a cinética transversal W⊥ À Wk, lo que permite representarla como un
dipolo magnético en la dirección contraria al campo.
En segundo lugar, resolveremos la ecuación de la trayectoria de la particula, sin
restricciones, para representarla en gráficos y pelı́culas en dos y tres dimensiones.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-247-320.jpg)
![230
Movimiento del dipolo en el eje z:
Partı́cula confinada.
Inicialmente situamos al dipolo en reposo, v0 = zp0, en un punto z = z0, situado
en el eje z, en el interior de la botella y cerca del punto de campo máximo.
z0 = −1.45; zp0 = 0;
calculamos la fuerza sobre el dipolo
Fz = −µ
∂ Bz
∂ z
tomando µ = 1.
fzp = −∂z Bczb;
y la expresamos en el formato requerido para la orden NDSolve.
fz = fzp/.z → z[t];
Hallamos numéricamente las ecuaciones paramétricas de la trayectoria suponiendo
que la masa de la partı́cula m = 1.
solucionc = NDSolve[{z00
[t] == fz, z0
[t][0] == zp0, z[0] == z0}, z, {t, 0, 5}];
Extraemos la solución z(t)
szc = Evaluate[z[t]/.solucionc]; (6.26)
y, derivándola, obtenemos la velocidad.
vszc = ∂t szc;
Representamos conjuntamente la posición y la velocidad en función del tiempo. Esta
última la multiplicamos por un factor de escala.
Plot[{szc, 0.3 vszc}, {t, 0, 2.5}, PlotRange → All,
PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]},
AxesLabel → {”t”, ”z, vz”}, PlotLabel → StyleForm[”z en rojo, vz en azul”,
FontColor → RGBColor[0, 0.5, 1]], GridLines → {None, {−z0, z0}}];
En la figura 6.19 se observa como el dipolo parte de su posición inicial z0 = −1,45 y
se refleja en el punto simétrico. Parte con velocidad nula y se acelera hasta el punto de
campo mı́nimo en que empieza a decelerarse. El movimiento corresponde a una partı́cula
confinada, el dipolo está encerrado en el pozo de potencial.
Partı́cula libre.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-248-320.jpg)
![231
0.5 1 1.5 2 2.5
t
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
z, vz z en rojo, vz en azul
Figura 6.19:
En este caso, la posición inicial del dipolo es la misma que en el caso anterior, pero
se parte de ella con una velocidad inicial que le permitirá salir del pozo de potencial y
liberarse del mismo.
zp0 = 0.6;
solucion = NDSolve[{z00
[t] == fz, z0
[0] == zp0, z[0] == z0}, z, {t, 0, 5}];
sz = Evaluate[z[t]/.solucion];
vsz = ∂t sz;
Plot[{sz, 0.5 vsz}, {t, 0, 1.5}, PlotRange → {−2, 2.5},
PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]},
AxesLabel → {”t”, ”z, vz”}, PlotLabel → StyleForm[”z en rojo, vz en azul”,
FontColor → RGBColor[0, 0.5, 1]], GridLines → {None, {−z0, z0}}];
En la figura 6.20 se ve como la posición z de la partı́cula alcanza la posición simétrica
de la inicial, marcada por una lı́nea horizontal, rebasa el punto de campo máximo y se
libera.
Pelı́cula del movimiento confinado del dipolo.
Queremos representar la posición del dipolo, en función de z, no en función de t,
y unir esta gráfica a la resultante de ejecutar 6.25, es decir, la del campo axial en
función de z. Para ello formamos una lista zz con las posiciones del dipolo en distintos
fotogramas (instantes de tiempo). Tenemos en cuenta que szc es una lista con un solo
componente que es la función interpolante. Es esta última la que debe figurar como
primer argumento de la orden Table. La cota máxima de t es lo suficientemente grande
como para captar la reflexión del dipolo en el espejo de la derecha.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-249-320.jpg)
![232
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
t
-2
-1
1
2
z, vz z en rojo, vz en azul
Figura 6.20:
zz = Table[szc[[1]], {t, 0, 2.5, 0.025}];
Para determinar el número de componentes de la tabla, hacemos uso de la orden
Dimensions. El resultado de la misma es una lista con las dimensiones, una en este
caso, de zz.
dzz = Dimensions[zz][[1]];
Generamos las gráficas conjuntas de los puntos que representan al dipolo y la gráfica
del campo axial.
Do[{puntoconf =
Graphics[{PointSize[.04], RGBColor[0, 0, 1], Point[{zz[[i]], 0}]}],
Show[{grcampz, puntoconf}]}, {i, 1, dzz}];
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
2
4
6
8
10
Figura 6.21:
La figura 6.21 es uno de los fotogramas de la pelı́cula. Esta última muestra como el
dipolo parte del reposo, es acelerado hasta la posición central y se refleja en el espejo
derecho. Si se le da una velocidad inicial suficiente, la partı́cula saldrá de la botella.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-250-320.jpg)
![233
Movimiento tridimensional de la partı́cula:
Para esta representación tomaremos
q
m
= 1.
Empezamos particularizando el campo tridimensional para la distancia d = db es-
pecificada para la botella y hallando el módulo correspondiente.
Bb = Bc/.d → db;
mBb =
√
Bb.Bb;
Especificamos el intervalo 0 ≤ t ≤ T en que se calcula la trayectoria
T = 71;
el radio ciclotrónico en la posición inicial
rc0 = 0.01;
las posiciones iniciales
x0 = rc0; y0 = 0; z0 = −1,45;
el campo magnético en la posición (0, 0, z0)
mB0 = mBb/.{x → 0, y → 0, z → z0};
y las velocidades iniciales.
Tomaremos la velocidad inicial con módulo |vy0| = v⊥ = ρ B y en la dirección
correspondiente a un giro de la partı́cula a izquierdas alrededor del campo.
vx0 = 0; vy0 = −rc0 ∗ mB0; vz0 = 0;
Estas especificaciones corresponden a una carga positiva que gira alrededor del eje
z. Si, por ejemplo, cambia el signo de vy0, la partı́cula girará a lo largo de otra lı́nea
de campo e, incluso, podrá quedar libre de la botella. Experimente.
A continuación se extraen las componentes del campo y se expresan en el formato
requerido.
Bbx = Bb[[1]]; Bby = Bb[[2]]; Bbz = Bb[[3]];
Bbx = Bbx/.{x → x[t], y → y[t], z → z[t]};
Bby = Bby/.{x → x[t], y → y[t], z → z[t]};
Bbz = Bbz/.{x → x[t], y → y[t], z → z[t]};
Las ecuaciones a resolver se reducen en este caso a
~
a = ~
v ∧ ~
B](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-251-320.jpg)
![234
ecuacionesb = {x00
[t] == y0
[t] ∗ Bbz − z0
[t] ∗ Bby, y00
[t] == z0
[t] ∗ Bbx − x0
[t] ∗ Bbz,
z00
[t] == x0
[t] ∗ Bby − y0
[t] ∗ Bbx};
cinicialesb = {x0
[0] == vx0, y0
[0] == vy0, z0
[0] == vz0, x[0] == x0, y[0] == y0,
z[0] == z0};
ecuacionesb = Join[ecuacionesb, cinicialesb];
solucion = NDSolve[ecuacionesb, {x, y, z}, {t, 0, T}, MaxSteps → 4000];
xb = Evaluate[x[t]/.solucion];
yb = Evaluate[y[t]/.solucion];
zb = Evaluate[z[t]/.solucion];
Para obtener la pelı́cula haremos la representación de la trayectoria hasta distintos
instantes, y del punto que representa a la partı́cula en ese mismo instante.
Se especifica el número de fotogramas y el intervalo temporal entre cada uno de ellos.
n = 500; ∆t =
T
n
;
Se inicializa el instante final de la trayectoria parcial
Ti = 0;
y se realizan los fotogramas en los sucesivos instantes
Do[
{Ti = Ti + ∆t; puntoi = {zb[[1]], xb[[1]], yb[[1]]}/.t → Ti,
grpuntoi = Graphics3D[{PointSize[,03], RGBColor[0, 0, 1], Point[puntoi]}],
orbitai = ParametricPlot3D[{zb[[1]], xb[[1]], yb[[1]]}, {t, 0, Ti},
PlotPoints → 2000, PlotRange → All, Boxed → False, AspectRatio → 1,
AxesLabel → {”z”, ”x”, ”y”}, AxesStyle → {RGBColor[0, 1, 1], Thickness[0.01]},
DefaultColor → RGBColor[1, 0, 0], BoxRatios → {3, 1, 1},
PlotRange → {{−1.6, 1.6}, {−0.04, 0.04}, {−0.04, 0.04}},
DisplayFunction → Identity],
Show[orbitai, grpuntoi, PlotRange → {{−1.6, 1.6}, {−0.04, 0.04}, {−0.04, 0.04}},
DisplayFunction → $DisplayFunction]}, {i, 1, n}];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-252-320.jpg)
![235
-1
0
1
z
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
x
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
y
-1
0
1
z
-
-
Figura 6.22:
En la figura 6.22 se representa el último fotograma de la pelı́cula. En el se encuentra
a la partı́cula en un instante posterior a su reflexión en el espejo de la derecha. La
pelı́cula pone de manifiesto cómo dicha partı́cula parte de la izquierda con Wk = 0
y W⊥ = max, gira rápidamente pero avanza lentamente. En el centro la velocidad
transversal es mı́nima y la longitudinal máxima. Después se refleja e invierte el sentido
de la marcha.
Representación de las coordenadas en función del tiempo:
Por último, representamos conjuntamente las coordenadas en función del tiempo.
p1 = Plot[xb[[1]], {t, 0, T}, PlotStyle → RGBColor[0, 1, 0],
DisplayFunction → Identity];
p2 = Plot[0.03zb[[1]], {t, 0, T}, PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0],
DisplayFunction → Identity];
p3 = Plot[yb[[1]], {t, 0, T}, PlotStyle → RGBColor[0, 0, 1],
DisplayFunction → Identity];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-253-320.jpg)
![236
Show[p1, p2, p3, PlotRange → All, AxesLabel → {”t”, ”x, y, z”},
PlotLabel → StyleForm[”x en verde, y en azul, z en rojo”,
FontColor → RGBColor[0, 0.5, 1]], DisplayFunction → $DisplayFunction];
10 20 30 40 50 60 70
t
-0.04
-0.02
0.02
0.04
x, y, z
x en verde,y en azul, z en rojo
Figura 6.23:
La figura 6.23 muestra como la coordenada z es periódica, como corresponde a una
partı́cula confinada, y que el radio de giro y el periodo ciclotrónico varı́an con dicha
coordenada.
6.6.4. Lente electrostática. lente − electrostatica.nb
En este programa se simula una lente electrostática constituida por un hilo en forma
de cuadrado y cargado positivamente. Comprobaremos que ésta se comporta como una
lente convergente para los electrones.
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
Para calcular el potencial nos referiremos a la misma figura 2.37 ya empleada para
hallar el campo magnético producido por una espira cuadrada. En este caso, la espira
estará cargada con una desidad lineal de carga ρl. Los pasos que seguiremos son análogos
a los que se dieron en la sección 6.6.3.1.
vxR = {x − xp, y − y0, z}; mxR =
√
vxR.vxR;
vyR = {x − x0, y − yp, z}; myR =
p
vyR.vyR;
xV = K
Z a
2
− a
2
1
mxR
dxp;](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-254-320.jpg)
![237
V1 = xV/. y0 →
a
2
;
V3 = xV/. y0 → −
a
2
;
yV = K
Z a
2
− a
2
1
myR
dyp;
V4 = yV/. x0 →
a
2
;
V2 = yV/. x0 → −
a
2
;
V = V1 + V2 + V3 + V4;
Vyz = V/. {x → 0, a → 1, K → 1};
El campo se obtiene derivando el potencial.
Eyz = {−∂y Vyz, −∂z Vyz};
Representación del campo y del potencial en las proximidades de la espira:
Dibujamos las lı́neas de campo haciendo uso del método de Heun.
mEyz =
p
Eyz.Eyz;
Eunit =
Eyz
mEyz
;
n = 100; ∆ =
1
n
;
grlinea = Table[0, {i, 1, 20}]; Ly = 1; Lz = 1;
Situamos los puntos de partida de las lı́neas en un cı́rculo centrado en la posición
de la espira.
r0 = 0.1 ; θ0 = −
π
20
; ∆θ =
π
10
;](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-255-320.jpg)
![238
Do[{p0 = {y0, z0}, linea = {p0}, kk = 0,
While[(Abs[p0[[1]]] = Ly)Abs[p0[[2]]] = Lz)(kk = 4n),
{kk = kk + 1, p0ini = p0, Eunitini = Eunit/. {y → p0[[1]], z → p0[[2]]},
p0 = p0ini + ∆ ∗ Eunitini, Eunitfin = Eunit/. {y → p0[[1]], z → p0[[2]]},
p0 = p0ini + ∆ ∗
1
2
(Eunitini + Eunitfin), linea = Append[linea, p0]}],
grlinea[[i]] = ListPlot[linea, PlotJoined → True,
PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction → Identity],
θ0 = θ0 + ∆θ, y0 = 0.5 − r0 ∗ Cos[θ0], z0 = r0 ∗ Sin[θ0]},
{i, 1, 20}];
Generamos la gráfica de las lı́neas equipotenciales
grpot = ContourPlot[Vyz, {y, −Ly, Ly}, {z, −Lz, Lz}, PlotPoints → 100,
ContourShading → False, Contours → 30,
ContourStyle → RGBColor[0, 0.7, 1], DisplayFunction → Identity,
FrameLabel → {”y”, ”z”}];
situamos la espira
puntos = {{0.5, 0}, {−0.5, 0}};
pos = Graphics[{PointSize[.03], RGBColor[0, 0, 1], Point/@puntos}];
realizamos el gráfico de flechas
Graphics‘PlotField‘
grcamp = PlotVectorField[Eyz, {y, 0.01, Ly}, {z, −Lz, Lz},
PlotPoints → 9, DisplayFunction → Identity];
y mostramos la representación conjunta.
Show[grpot, pos, grcamp, grlinea,
DisplayFunction → $DisplayFunction, AspectRatio →
Lz
Ly
, Axes → True];
La gráfica 6.24 muestra como las lı́neas de campo parten de la espira y, más allá de
la región central, divergen del eje z. Para electrones ~
F = −e ~
E y las lineas de fuerza](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-256-320.jpg)
![239
-1 -0.5 0 0.5 1
y
-1
-0.5
0
0.5
1
z
Figura 6.24:
convergen sobre dicho eje focalizando a las cargas. En esta región externa, la componente
Fz atrae a los electrones hacia la lente. Si un haz de electrones incide desde z 0 hacia
la lente, es acelerado hasta las proximidades de la misma y decelerado una vez que ésta
ha sido sobrepasada.
Estudio de las trayectorias electrónicas:
Resolveremos las ecuaciones de las trayectorias de un haz de electrones que se mueve
inicialmente, en la lejanı́a de la lente, paralelamente al eje z.
Escribimos las componentes del campo en el plano z = 0 en el formato establecido
para NDSolve
Ey = Eyz[[1]]/. {y → y[t], z → z[t]};
Ez = Eyz[[2]]/. {y → y[t], z → z[t]};
Establecemos las condiciones iniciales
vz0 = 4; vy0 = 0; z0 = −50; y0 = −0.2; T = 25;
graficas = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0};
y calculamos las trayectorias.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-257-320.jpg)
![240
Do[
{y0 = y0 + 0.05,
ecuacionesl = {y00
[t] == −Ey, z00
[t] == −Ez},
cinicialesl = {y0
[0] == vy0, z0
[0] == vz0, y[0] == y0, z[0] == z0},
ecuacionesl = Join[ecuacionesl, cinicialesl],
solucion = NDSolve[ecuacionesl, {y, z}, {t, 0, T}, MaxSteps → 4000],
yl = Evaluate[y[t]/. solucion], zl = Evaluate[z[t]/. solucion],
ydez = Table[{zl[[1]]/. t → i, yl[[1]]/. t → i}, {i, 0, T,
T
1000
}],
graficas[[i]] = ListPlot[ydez, PlotJoined → True,
GridLines → {{0}, None}, PlotStyle → RGBColor[0, 1, 0.7],
AxesOrigin → {−50, 0}, PlotRange → {−0.16, 0.16},
AxesLabel → {”z”, ”y”}, DisplayFunction → Identity]},
{i, 1, 7}];
Show[graficas, DisplayFunction → $DisplayFunction];
-40 -20 0 20 40
z
-0.15
-0.1
-0.05
0.05
0.1
0.15
y
Figura 6.25:
En la figura 6.25, como puede comprobarse, la escala del eje y está muy ampliada con
respecto a la del z. En dicha figura se ve como las trayectorias, inicialmente paralelas,
se focalizan, con un cierto grado de aberración, al otro lado de la lente. El campo sólo
es notable en la cercanı́a de la lente, donde cambia brúscamente de magnitud y sentido.
La aberración puede reducirse cumpliendo más estrictamente la condición paraxial, es](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-258-320.jpg)
![241
derir, haciendo uso de un haz más estrecho, o diseñando lentes menos simples que la
que aquı́ hemos propuesto.
6.6.5. Órbitas de dos cargas. orbitas − cargas.nb
Este programa estudia las órbitas de dos cargas puntuales referidas a su centro de
masas. Los parámetros que se proponen corresponden a órbitas elı́pticas. Para estudiar
otros casos deberá cambiar las condiciones iniciales y algún otro parámetro, como el
intervalo temporal T, etc.
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
Cálculo de las trayectorias:
Se definen los vectores de posición de cada una de las partı́culas y el ~
R21 que sitúa
a la partı́cula 1 con respecto a la 2.
r1 = {x1, y1}; r2 = {x2, y2}; R21 = r1 − r2; mR21 =
√
R21.R21;
Tomaremos los valores q1 = 1, q2 = ±1, m1 = 1, m2 ≥ 1
q2 = −1; m2 = 3;
F21 es la fuerza que actúa sobre la partı́cula 1. La fuerza que lo hace sobre la 2 es
F12 = −F21. Escribimos estas fuerzas con el formato requerido por la orden NDSolve.
F21 = q2
R21
mR213
/.{x1 → x1[t], x2 → x2[t], y1 → y1[t], y2 → y2[t]};
F12 = −F21;
Estableceremos las condiciones iniciales de forma que el centro de masas se sitúe en
el origen de coordenadas. Por definición
~
rcm =
m1 ~
r1 + m2 ~
r2
m1 + m2
(6.27)
por lo que, para que ~
rcm = ~
0 en t = 0, debe cumplirse que
~
r20 =
m1
m2
~
r10
Por otra parte, derivando 6.27
~
vcm =
m1 ~
v1 + m2 ~
v2
m1 + m2
por lo que, para que ~
vcm = ~
0 en t = 0, debe cumplirse que](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-259-320.jpg)
![242
~
v20 =
m1
m2
~
v10
Dado que en una interacción que cumpla el principio de acción y reación, la cantidad
de movimiento se conserva, si el centro de masas está en reposo en el origen en el
instante inicial, permanecerá en el mismo a lo largo del movimiento.
x10 = 0; y10 = 1; vx10 = 1; vy10 = −0.1;
x20 = −
1
m2
x10; y20 = −
1
m2
y10; vx20 = −
1
m2
vx10; vy20 = −
1
m2
vy10;
Escribimos la lista de ecuaciones y condiciones iniciales
ec1x = x1 00
[t] == F21[[1]]; ec1y = y1 00
[t] == F21[[2]];
ec2x = x2 00
[t] ==
1
m2
F12[[1]]; ec2y = y2 00
[t] ==
1
m2
F12[[2]];
ecuaciones = {ec1x, ec1y, ec2x, ec2y};
ciniciales = {x1 0
[0] == vx10, y1 0
[0] == vy10,
x2 0
[0] == vx20, y2 0
[0] == vy20,
x1[0] == x10, y1[0] == y10, x2[0] == x20, y2[0] == y20};
ecuaciones = Join[ecuaciones, ciniciales];
Damos valores al intervalo T en el que se han de calcular las trayectorias y al
incremento temporal de muestreo δt de las mismas.
T = 100; δt =
T
300
;
y hallamos las trayectorias
solucion = NDSolve[ecuaciones, {x1, y1, x2, y2}, {t, 0, T}, MaxSteps → 4000];
x1 = Evaluate[x1[t]/.solucion]; y1 = Evaluate[y1[t]/.solucion];
x2 = Evaluate[x2[t]/.solucion]; y2 = Evaluate[y2[t]/.solucion];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-260-320.jpg)
![243
Representación de las trayectorias:
Procedemos primero a representar gráficamente las trayectorias completas. Para ello
generamos una lista de las posiciones para incrementos δt.
t1 = Table[{x1[[1]]/.t → i, y1[[1]]/.t → i}, {i, 0, T, δt}];
grafica1 = ListPlot[t1,
PlotJoined → True, PlotStyle → RGBColor[0, 1, 0.7], AxesOrigin → {0, 0},
PlotRange → All, AxesLabel → {”x”, ”y”}, DisplayFunction → Identity];
t2 = Table[{x2[[1]]/.t → i, y2[[1]]/.t → i}, {i, 0, T, δt}];
grafica2 = ListPlot[t2,
PlotJoined → True, PlotStyle → RGBColor[1, 0.7, 0], AxesOrigin → {0, 0},
PlotRange → All, AxesLabel → {”x”, ”y”}, DisplayFunction → Identity];
Mostramos ambas órbitas conjuntamente
grorbita1 = Show[grafica1, grafica2,
DisplayFunction → $DisplayFunction, AspectRatio → 1];
En la figura 6.26 se ve como las cargas describen órbitas elı́pticas. Dadas las condi-
ciones iniciales propuestas, las elipses tienen una cierta inclinación.
Pelicula del movimiento de las cargas:
Se establecen los lı́mites de las gráficas de acuerdo con la figura anterior.
limites = {{−4.5, 2.5}, {−9, 3}};
Se define el número n de fotogramas que se van a realizar y el intervalo de tiempo
∆t entre los mismos
n = 200; ∆t =
T
n
;
Cada fotograma contiene la trayectoria de ambas partı́culas hasta el instante Ti.
También se muestran los puntos que representan a cada una de las cargas, en color
dorado la más pesada y en azul la más ligera, ası́ como la recta que las une.
Se inicializa Ti y se genera la pelı́cula.
Ti = 0;](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-261-320.jpg)
![244
-4 -3 -2 -1 1 2
x
-8
-6
-4
-2
2
y
Figura 6.26:
Do[{Ti = Ti + ∆t, punto1 = {x1[[1]], y1[[1]]}/.t → Ti,
grpunto1 = Graphics[{PointSize[.03], RGBColor[0, 0, 1], Point[punto1]}],
punto2 = {x2[[1]], y2[[1]]}/.t → Ti,
grpunto2 =
Graphics[{PointSize[.04], RGBColor[1, 0.84, 0], Point[punto2]}],
linea = {punto1, punto2},
grlinea = Graphics[{Dashing[{0.01, 0.01}], RGBColor[1, 0, 0], Line[linea]}],
orbita1 = ParametricPlot[{x1[[1]], y1[[1]]}, {t, 0, Ti}, PlotPoints → 300,
PlotRange → limites, AspectRatio → 1, AxesLabel → {”x”, ”y”},
PlotStyle → RGBColor[0, 1, 0.7], PlotRange → All,
DisplayFunction → Identity],
orbita2 = ParametricPlot[{x2[[1]], y2[[1]]}, {t, 0, Ti}, PlotPoints → 300,
PlotRange → limites, AspectRatio → 1, AxesLabel → {”x”, ”y”},
PlotStyle → RGBColor[1, 0.7, 0], PlotRange → All,
DisplayFunction → Identity],
Show[orbita1, orbita2, grpunto1, grpunto2, grlinea, PlotRange → limites,
DisplayFunction → $DisplayFunction, AspectRatio → 1]}, {i, 1, n}];
La figura 6.27 es uno de los fotogramas de la pelı́cula. Se ve como ambas cargas
están situadas sobre una recta que pasa por el origen, donde debe permanecer el centro](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-262-320.jpg)
![250
En la práctica, la anterior forma de partición de las cargas es hasta cierto punto am-
bigüa pero facilita la modelación de los medios. No puede considerarse que las cargas de
polarización sean las polarizables y las de conducción las no polarizables. De hecho, una
onda monocromática linealmente polarizada, de frecuencia ω y amplitud ~
E0, provoca
una oscilación lineal de los electrones de conducción cuya amplitud es ~
r0 = e ~
E0/(m ω2).
Para campos moderados y frecuencias no excesivamente altas ~
r0 puede ser comparable
al radio de Bohr. Este movimiento genera una polarización eléctrica oscilante y una
corriente de polarización equivalente. De forma análoga, una onda monocromática cir-
cularmente polarizada harı́a girar a dichos electrones con un radio de la misma magnitud
r0 creando una corriente solenoidal y una polarización magnética equivalente. Por últi-
mo, no cabe decir que las cargas de conducción sean las que conducen, porque parte
de ellas pueden estar tan ligadas como las de polarización y, además, cuando el campo
oscila a una frecuencia elevada, las cargas de conducción libres están también confinadas
dentro de regiones microscópicas.
Hasta ahora se ha supuesto que las densidades microscópicas describen las posi-
ciones y las velocidades de todas y cada una de las cargas contenidas en el medio. Esto
no es totalmente necesario puesto que parte de ellas pueden no ser significativas en
cuanto a la generación de campo macroscópico. Cada carga aporta en principio una
contribución al campo que en el caso estático, sin contar con el espı́n, es monopolar
eléctrica y, en general, contiene términos variables con el tiempo, en particular el de
radiación. No obstante, cuando la materia posee una organización interna a nivel mole-
cular, las aportaciones de cargas próximas, iguales y de signo contrario, se cancelan
parcialmente con lo que a nivel macroscópico sólo son notables las contribuciones de
tipo multipolar. Aunque una demostración más rigurosa queda fuera de nuestro alcance
[Jackson, Robinson, Landau y Lifchitz MC], veremos que las únicas que es necesario
considerar en la práctica son las contribuciones dipolares eléctrica y magnética, las
cuales son proporcionales a la densidad de dipolos y pueden ser ignoradas en medios
poco densos.
Aunque, como ya se ha dicho, la respuesta de un medio es siempre mixta, se dice
que, bajo ciertas circunstancias, un medio es conductor, dieléctrico o magnético, si en su
respuesta predomina la conducción, la polarización eléctrica o la polarización magnética.
Los representantes más caracterı́sticos de los conductores son los metales, los cuales
presentan una alta conductividad, lo que dificulta grandemente la penetración de los
campos eléctricos en su interior. Por esta razón son apenas polarizables eléctricamente
y poseen una constante dieléctrica próxima a la del vacı́o ε0. Los campos magnéticos de
baja frecuencia penetran en los conductores, pero son apantallados a frecuencias sufi-
cientemente elevadas, por lo que pueden polarizarse magnéticamente en mayor o menor
grado; aquellos que no poseen momentos magnéticos en ausencia de campo externo res-
ponden débilmente como diamagnéticos y los que si los poseen lo hacen de forma algo
más significativa, como paramagnéticos, o muy fuertemente como los ferromagnéticos 11.
Los dieléctricos carecen de cargas de conducción y su respuesta a los campos externos
11
En los medios paramagnéticos el campo aplicado ordena a los momentos magnéticos orbitales y en
los ferromagnéticos a los de espı́n. El efecto diamagnético es universal aunque suele quedar enmascarado
por el paramagnético, de signo contrario, o el ferromagnético. Solo es notable en átomos en los que las
capas electrónicas están cerradas y, como consecuencia, las contribuciones paramagnéticas se cancelan.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-268-320.jpg)
![257
0
-V’
V0 V
V’
Figura 7.3:
Dado que la superficie S 0 esta en el interior de S0, ~
P(~
r 0) es una fución continua y
podemos aplicar el teorema de la divergencia. Teniendo en cuenta que
∇ · (f~
a) = f∇ · ~
a + ~
a · ∇f ⇒ ∇ 0
·
Ã
~
P
R
!
=
1
R
∇ 0
· ~
P + ~
P · ∇ 0
µ
1
R
¶
resulta
VP (~
r) =
1
4πε0
Z
V0
(−∇ 0 · ~
P)
R
dv0
+
Z
S0
~
P · ~
n
R
ds0
#
Expresión que tiene la estructura integral del potencial escalar, según el teorema de
Helmholtz.
Luego
ρP = −∇ · ~
P (7.1a)
ρsP = ~
P · ~
n (7.1b)
tienen el carácter de densidades monopolares de carga, de volumen y de superficie,
respectivamente, y las llamaremos densidades de carga de polarización. Luego, en el
interior del dieléctrico la densidad de carga de polarización viene representada por una
densidad de volumen, pero en las discontinuidades es necesario tener en cuenta una
densidad superficial.
El potencial producido fuera de la distribución es, por lo tanto,
VP (~
r) =
1
4πε0
·Z
V0
ρP (~
r 0)
R
dv0
+
Z
S0
ρsP (~
r 0)
R
ds0
¸
(7.2)
Podemos, pues, como en la figura 7.4, representar al dieléctrico polarizado por un
conjunto de cargas de polarización de volumen y de superficie.
Aunque para llegar a una expresión de tipo monopolar hemos supuesto que P era un
punto externo, puede extenderse du validez para el interior del medio si se define al cam-
po interno macroscópico de forma adecuada, como promedio del campo que producen
el resto de las moléculas de un medio sobre una de las moléculas del mismo 1.
1
Véase [Lorrain y Corson, Jackson].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-275-320.jpg)
![260
donde se han definido las densidades de corriente de magnetización, de volumen y su-
perficiales
~
M = ∇ ∧ ~
M (7.7a)
~
sM = ~
M ∧ ~
n (7.7b)
Ésto permite representar a un material magnetizado por el conjunto de las corrientes
de magnetización.
Como en el caso de los dieléctricos, puede demostrarse 2 que la expresión obtenida
para la contribución al potencial vector en un punto externo es válida también para un
punto interior.
La corriente ~
pol no es estacionaria, por lo que el primer término del desarrollo
multipolar, ~
Am(~
r) de la sección 5.1, que se anulaba por ser las corrientes estacionarias,
corresponde a la aportación de las corrientes de polarización dieléctrica.
sM
j
s
M
n
M =0
j
∆
Figura 7.6:
Podemos visualizar intuitivamente la aparición de estas corrientes analizando el
esquema de la figura 7.6. Supongamos al material uniformemente magnetizado y di-
vidámoslo en elementos de volumen ∆v iguales. Su momento dipolar serı́a ∆M =
M ∆V . Podemos imaginar al material compuesto por espiras elementales equivalentes,
recorridas por una intensidad
∆I =
M
∆s
∆v
Si el material está magnetizado uniformemente, las corrientes de espiras contiguas
se compensarán, quedando sólo la contribución a la corriente superficial. Si los dipolos
contiguos no fuesen idénticos, la compensación no serı́a total y aparecerı́a una corriente
de volumen.
2
Véase [Lorrain y Corson].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-278-320.jpg)
![264
7.3.1. Susceptibilidades, constante dieléctrica y permeabilidad
magnética
La polarización de las cargas que constituyen la materia, ası́ como la conducción de
las mismas, son procesos autoconsistentes según los cuales el campo electromagnético,
en conjunción con las fuerzas moleculares y cristalinas de origen cuántico, las redis-
tribuye de forma que éstas, a su vez, modifican al campo inicial. Este es, pues, un difı́cil
problema dinámico que sólo es resoluble aproximadamente y bajo ciertas limitaciones.
Afortunadamente, muchos materiales, dentro de un amplio rango de variación de los
campos, se comportan como lineales. Consideraremos aquellos medios de este tipo en
los que ~
P es proporcional, a través de una constante, al campo eléctrico aplicado y ~
M
al magnético 3. Escribiremos estas constantes de proporcionalidad de la forma
~
P = ε0 χe
~
E (7.16a)
~
M = χm
~
H (7.16b)
donde χe es la susceptibilidad eléctrica 4 y χm la susceptibilidad magnética 5.
Substituyendo en 7.14, se puede escribir
~
D →
= ε0 (1 + χe) ~
E
≡ ε ~
E
≡ ε0 εr
~
E
(7.17a)
~
B →
= µ0 (1 + χm) ~
H
≡ µ ~
H
≡ µ0 µr
~
H
(7.17b)
donde se han definido la constante dieléctrica ε y la permeabilidad magnética del medio
y sus valores relativos
ε ≡ ε0 (1 + χe) , εr ≡
ε
ε0
= (1 + χe) (7.18a)
µ ≡ µ0 (1 + χm) , µr ≡
µ
µ0
= (1 + χm) (7.18b)
Las relaciones 7.16 y 7.17 son distintas versiones de las ecuaciones constitutivas de
los medios, las cuales podrán ser determinadas teórica o experimentalmente. Como ya
hemos apuntado, estas ’constantes’ son aproximaciones de leyes complicadas y, en gen-
eral son funciones, no solo del campo, sino de un cierto número de variables, tales como
3
Este no es el caso más general de medio lineal. Véase [Garcı́a Olmedo].
4
También suele definirse la susceptibilidad eléctrica mediante la expresión ~
P = χe
~
E.
5
De acuerdo con la lı́nea de razonamiento seguida en este texto, serı́a más coherente expresar a ~
M
en función de ~
B, pero tradicionalmente se hace en función de ~
H.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-282-320.jpg)
![282
de los portadores de forma que, bajo la acción de un campo constante, ésta alcanza
rápidamente un valor lı́mite independiente del tiempo.
~
ui = ~
ui( ~
E)
Para los medios lineales simples, o medios óhmicos, esta relación se escribe de la
forma
~
ui = µi
~
E (8.2)
donde µi es una constante, la movilidad del portador i.
La densidad de corriente total será también proporcional al campo aplicado
~
= σ ~
E , σ =
p
X
i=1
ρi µi , [σ] = S · m−1
(8.3)
donde σ es la conductividad del medio y S es la abreviatura de la unidad de admitancia
siemens 2.
Esta es una de las formas de enunciar la ley de Ohm, con la cual se expresa la
relación local de tipo lineal 3 e isótropa, existente entre el campo eléctrico aplicado
y la densidad de corriente resultante para un cierto tipo de materiales y bajo unas
condiciones determinadas.
Conviene resaltar que esta ley, si bien tiene un amplio margen práctico de aplica-
bilidad, no tiene validez universal 4. Entre otros factores destacaremos el hecho de que
la inercia de los portadores hace que ~
dependa también del valor de los campos en
instantes previos.
La aptitud de conducción de un medio suele medirse también por la resistividad
r =
1
σ
, [r] = Ω · m (8.4)
que en la práctica toma valores muy distintos, desde estrictamente cero, en los super-
conductores, y valores finitos pero muy bajos, del orden de 10−8 Ω · m, para los buenos
conductores, pasando por el orden unidad para los semiconductores intrı́nsecos y lle-
gando hasta el orden 1018 para los buenos dieléctricos.
Mientras no avisemos lo contrario, los medios que trataremos serán óhmicos.
8.2. Relajación en medios óhmicos
Veremos que un medio óhmico homogéneo tiende a neutralizar la carga en su interior
en un tiempo del orden de
τ =
ε
σ
(8.5)
2
Véase la sección 8.5.
3
Como en casos anteriores, ésta no es la forma más general de linealidad, como puede verse en
[Garcı́a Olmedo]. En un medio lineal, para una frecuencia determinada, σ, como ε y µ, pueden ser
complejos. En este caso, no toda la energı́a cedida por el campo a las cargas se convierte en calor, como
se implica en la ley de Ohm.
4
No es estrictamente una ley sino, más bien, la definición de una relación que cumple aproximada-
mente un cierto tipo de medios si las variables pertinentes se limitan de forma adecuada.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-300-320.jpg)
![316
En la práctica, la constante dieléctrica relativa no puede ser inferior a la unidad ni
superior a varias decenas, lo que hace que los dieléctricos sólo puedan confinar parcial-
mente al campo eléctrico. Ciertos materiales magnéticos de alta permeabilidad pueden
confinar al campo magnético con gran eficiencia. Por último, puesto que la conduc-
tividad de un medio puede tomar valores diferentes que difieren en muchos órdenes de
magnitud, el confinamiento de las lı́neas de corriente en el interior de un buen conductor
puede ser prácticamente total. Nótese que en el lı́mite de confinamiento total, las lı́neas
de campo en el medio (2) se hacen perpendiculares a la superficie del medio y, en el
medio (1), tangentes a la misma.
9.1.2. Condiciones de contorno
Según el teorema de Helmholtz, sección 1.2, en cuyas condiciones entra perfecta-
mente el campo electromagnético, un campo ~
F puede derivarse de dos potenciales, uno
escalar, f, y otro vectorial, ~
g.
~
F = −∇f + ∇ ∧ ~
g (9.20)
y queda unı́vocamente determinado si se especifican las fuentes escalares y vectoriales
D = ∇ · ~
F y ~
R = ∇ ∧ ~
F (9.21)
en todo el espacio.
S
V
D, R
Figura 9.4:
Normalmente sólo puede aspirarse al conocimiento de las fuentes en un volumen
finito V. Veremos que es posible seguir asegurando la unicidad del campo si substituimos
las fuentes externas a V por unas condiciones de contorno apropiadas en la superficie S
que envuelve a V, como puede verse en la figura 9.4 [Portis].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-334-320.jpg)
![317
9.1.2.1. Teorema de unicidad para campos irrotacionales
Un campo irrotacional en V cumple
∇ · ~
F = D
∇ ∧ ~
F = 0
~
F = −∇ f , ∇2
f = −D (9.22)
Luego el campo deriva de un potencial escalar que cumple la ecuación de Poisson.
Sean f1(x, y, z) y f2(x, y, z) dos soluciones de la ecuación de potencial
∇2
f1 = ∇2
f2 = −D ⇒ ~
F1 = −∇f1 , ~
F2 = −∇f2
en todos los puntos ~
r ∈ V.
Si formamos el vector
~
η = (f1 − f2)(~
F1 − ~
F2)
e integramos su divergencia sobre V
Z
V
∇ · ~
η dv =
Z
V
(f1 − f2) ∇ · (~
F1 − ~
F2)
| {z }
=0
−|~
F1 − ~
F2|2
dv
de donde se ha eliminado el primer término del segundo miembro porque ∇ · ~
F1 =
∇ · ~
F2 = D.
Haciendo uso del teorema de la divergencia
−
Z
V
|~
F1 − ~
F2|2
dv =
Z
S
~
η · ~
n ds
Para que la solución sea única, es decir, para que ~
F1 = ~
F2, en todo el volumen de
interés V, es suficiente que ~
η · ~
n = 0 en toda la superficie S del contorno:
[~
η · ~
n]S =
h
(f1 − f2)(~
F1 − ~
F2) · ~
n
i
S
= 0 (9.23)
Esto se consigue, como se deduce de la expresión anterior, fijando los siguientes tipos
de condiciones de contorno:
a) condiciones de Dirichlet. Estas condiciones consisten en la fijación del potencial
f en S
[f]S = fS (9.24)
Con esta condición se obtiene la unicidad no sólo del campo sino también del po-
tencial.
b) condiciones de Neumann. En este caso se especifica la componente normal del
campo en S
[~
F · ~
n]S = [Fn]S = FnS (9.25)
Bajo estas condiciones, ~
F queda determinado unı́vocamente mientras que el poten-
cial está indeterminado en una constante arbitraria.
c) condiciones mezcladas. Consisten en la fijación del potencial en parte de la su-
perficie y en la de la componente normal del campo en el resto de la misma.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-335-320.jpg)
![318
9.1.2.2. Teorema de unicidad para campos solenoidales
Para campos solenoidales no conservativos,
∇ · ~
F = 0
∇ ∧ ~
F = ~
R
⇒
~
F = ∇ ∧ ~
g
∇ ∧ (∇ ∧ ~
g) = ~
R
(9.26)
Si ahora construimos el vector
~
ν = (~
g1 − ~
g2) ∧ (~
F1 − ~
F2)
donde ∇ ∧ (∇ ∧ ~
g1) = ∇ ∧ (∇ ∧ ~
g2) = ~
R y ~
F1 = ∇ ∧ ~
g1, ~
F2 = ∇ ∧ ~
g2, e integramos su
divergencia sobre V
Z
V
∇ · ~
ν dv =
Z
V
(~
F1 − ~
F2) · ∇ ∧ (~
g1 − ~
g2) − (~
g1 − ~
g2) · ∇ ∧ (~
F1 − ~
F2)
| {z }
=0
dv
El segundo término se ha eliminado porque
∇ ∧ ~
F1 = ∇ ∧ ~
F2 = ~
R
por lo que, haciendo uso del teorema de la divergencia,
Z
V
|~
F1 − ~
F2|2
dv =
Z
S
h
(~
g1 − ~
g2) ∧ (~
F1 − ~
F2)
i
· ~
n dS
Luego, dado que ~
n · (~
g ∧ ~
F) = ~
g · (~
F ∧ ~
n) = ~
F · (~
n ∧ ~
g),para obtener la unicidad de
la solución, ~
F = ~
F1 = ~
F2 en todo el volumen, basta con especificar en la superficie la
componente tangencial del potencial vector, condición que serı́a análoga a la de Dirichlet
para campos conservativos, o la componente tangencial del propio campo.
[~
g ∧ ~
n]S = gτS ó
h
~
F ∧ ~
n
i
S
= FτS (9.27)
También cabe mezclar ambos tipos de condiciones.
9.1.2.3. Teorema de unicidad en el caso general
Tenemos ahora
∇ · ~
F = D
∇ ∧ ~
F = ~
R
⇒ ~
F = −∇f + ∇ ∧ ~
g (9.28)
Supongamos que ~
F1 y ~
F2 son dos soluciones distintas de las ecuaciones anteriores,
para unas distribuciones D(~
r) y ~
R(~
r) especificadas dentro de V.
Construyendo el vector
~
ξ = (f1 − f2)(~
F1 − ~
F2) + (~
F1 − ~
F2) ∧ (~
g1 − ~
g2)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-336-320.jpg)
![319
y procediendo como en casos anteriores,
Z
V
∇ · ~
ξ dv = −2
Z
V
|~
F1 − ~
F2|2
dv =
Z
S
~
ξ · ~
n dS
Por lo que la condición de unicidad es ahora
[~
ξ · ~
n]S = 0 (9.29)
Condición que se llena especificando ~
F en la superficie o bien especificando al mismo
tiempo el potencial escalar f y la componente tangencial del potencial vector.
Vemos que en el cálculo del campo, dentro de un volumen V, podemos ignorar las
fuentes externas al mismo si tenemos una información adecuada del campo o de los
potenciales en la superficie S que limita a V.
9.2. Energı́a electromagnética en medios materiales
Los balances energéticos para los campos electromagnéticos en presencia de medios
materiales pueden presentar aspectos complejos porque los mecanismos de disipación
y almacenamiento de energı́a son muy diversos [Gómez, Jackson, Panofsky y Phillips,
Stratton]. Aquı́ sólo abordaremos los fundamentos de este problema, los cuales pueden
tratarse con un formalismo análogo al empleado para el campo en el vacı́o.
No obstante, es necesario precisar que, en el caso que nos ocupa, el tratamiento
que se lleva a cabo es de tipo macroscópico y diferencia entre cargas y corrientes de
conducción y cargas y corrientes de polarización. En la sección 4.1, interpretábamos el
término ~
jT · ~
E como el trabajo que, por unidad de volumen y unidad de tiempo, realizan
los campos sobre todas las cargas. Anteriormente hemos desglosado la corriente total
~
T , de acuerdo con 6.33, en corrientes de conducción ~
, de polarización dieléctrica ~
P y
de polarización magnética ~
M .
~
T = ~
+ ~
P + ~
M (9.30)
por lo que, de acuerdo con esta notación, ~
j · ~
E es solamente la potencia cedida por
los campos a la unidad de volumen de cargas de conducción, siendo necesario tener en
cuenta que los campos también trabajan para polarizar eléctrica y magnéticamente al
medio.
También debemos mencionar que las cargas no sólo pueden moverse bajo la acción
de un campo eléctrico macroscópico derivable de las ecuaciones de Maxwell, sino que
fuerzas mecánicas, de difusión, quı́micas, etc., pueden jugar el mismo papel.
Supondremos aquı́ que, además del campo clásico ~
E que se describe en las ecuaciones
de Maxwell, existen campos ~
E 0 equivalentes, o electromotores, no incluidos en dichas
ecuaciones, por lo que el campo total que mueve a las cargas es
~
ET = ~
E + ~
E 0
(9.31)
Podemos obtener una ecuación de continuidad macroscópica para la energı́a, con-
siderando el producto
~
j · ~
ET = ~
j · ( ~
E + ~
E 0
)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-337-320.jpg)
![324
De esta forma
∇2
V − µσ
∂V
∂t
− µε
∂2V
∂t2
= −
ρ
ε
(9.47a)
∇2 ~
A − µσ
∂ ~
A
∂t
− µε
∂2 ~
A
∂t2
= −µ~
j 0
(9.47b)
Hemos obtenido para cada una de las componentes cartesianas de los campos y del
potencial vector, ası́ como para el potencial escalar, ecuaciones análogas de onda, lo
que no deja de ser interesante y curioso al mismo tiempo. Disponemos además de dos
versiones equivalentes que, sin embargo, presentan notables diferencias en su estructura.
La primera
∇2
Ψ1 −
1
v2
∂2Ψ1
∂t2
= −f1(~
r, t) , v =
1
√
µε
(9.48)
admite, como ya hemos visto, soluciones integrales retardadas
Ψ1(~
r, t) =
1
4π
Z
v0
[f1(~
r 0)]
R
dv0
(9.49)
Expresión en la que hemos empleado la notación comúnmente aceptada,
[f1(~
r 0
)] = f1
µ
~
r 0
, t −
R
v
¶
para las fuentes retardadas, evaluadas en τ = t −
R
v
.
La segunda versión, que suele ser más útil para el estudio de la propagación en
medios con conductividad finita, porque no hace necesario considerar como fuentes a
todas las corrientes de conducción, tiene la forma general
∇2
Ψ2 − µσ
∂Ψ2
∂t
− µε
∂2Ψ2
∂t2
= −f2(~
r, t) (9.50)
ecuación en la que, además del término propagativo, correspondiente a la derivada
segunda temporal, aparece un término disipativo, o de difusión, asociado a la derivada
primera.
Si repasamos la deducción de estas ecuaciones veremos que la preponderancia del
término propagativo o difusivo en la ecuación de onda está relacionada con la impor-
tancia relativa de las corrientes de desplazamiento, ~
jD = ε
∂ ~
E
∂t
, y de la corriente de
conducción óhmica ~
j = σ ~
E.
9.3.1. Ondas monocromáticas y monocromáticas planas
Supondremos que en el medio no hay fuentes. La ecuación de onda para cualquier
componente de los campos serı́a
∇2
Ψ − µσ
∂Ψ
∂t
− µε
∂2Ψ
∂t2
= 0 (9.51)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-342-320.jpg)
![325
Ondas monocromáticas :
Podemos buscar soluciones monocromáticas (véase el apéndice L) de tipo complejo
Ψω(~
r, t) = Ψω(~
r) ejωt
= Ψ0(~
r) ej(ωt+ϕ)
(9.52)
donde Ψ0(~
r) es una función real y Ψ(~
r) = Ψ0(~
r) ejϕ es un fasor independiente del
tiempo.
Recordemos que si Ψω(~
r, t) es una solución de la ecuación de onda
ΨRω(~
r, t) ≡ (Ψω(~
r, t)) = Ψ0(~
r) cos (ωt + ϕ)
también lo es. Este tipo de soluciones recibe el nombre de monocromático, ya que la luz
de color muy puro corresponde a una onda electromagnética de frecuencia prácticamente
definida.
También podemos expresar cualquier solución que sea de cuadrado sumable como
superposición de ondas monocromáticas mediante el uso de la transformada de Fourier
Ψ(~
r, t) =
Z +∞
−∞
Ψω(~
r) ejωt
dω (9.53a)
Ψω(~
r) =
1
4π
Z +∞
−∞
Ψ(~
r, t) e−jωt
dt (9.53b)
La primera es la transformada Inversa y la segunda la Directa.
Para soluciones Ψ(~
r, t) reales, pueden ser expresadas en función de frecuencias positi-
vas. Efectivamente, si Ψ(~
r, t) = Ψcc(~
r, t), es decir, si Ψ es igual a su complejo conjugado,
Ψcc
ω (~
r) = Ψ−ω(~
r), luego
Ψ(~
r, t) =
Z 0
−∞
Ψω(~
r) ejωt
dω +
Z ∞
0
Ψω(~
r) ejωt
dω
y cambiando ω por −ω en la primera integral
Ψ(~
r, t) = −
Z 0
∞
Ψ−ω(~
r) e−jωt
dω +
Z ∞
0
Ψω(~
r) ejωt
dω
=
Z ∞
0
[Ψcc
ω e−jωt
+ Ψω ejωt
] dω = 2
Z ∞
0
(Ψω(~
r) ejωt
) dω
En cualquier caso, para soluciones monocromáticas podemos substituir el operador
∂
∂t
→ jω ,
∂2
∂ t2
→ −ω2
(9.54)
por lo que la ecuación de onda monocromática para el campo eléctrico, por ejemplo,
toma la forma
∇2 ~
E(~
r) − jω µσ ~
E(~
r) + ω2
µε ~
E(~
r) = 0 (9.55)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-343-320.jpg)
![330
En los medios dieléctricos
Q → ∞ , α = 0 , β = β0 = ω
√
µε ,
vf = v =
1
√
µε
=
c
√
µrεr
=
c
n
, β =
2π
λ
donde n es el ı́ndice óptico de refracción. Fue Maxwell quien primero puso de manifiesto
que n ∼
√
εr.
Se dice que estos medios, en condiciones ideales, son no dispersivos, puesto que todas
las componentes monocromáticas se propagan con atenuación nula y la misma velocidad
de fase, o, lo que es lo mismo, dejan inalteradas las formas de los Paquetes o Grupos de
ondas Ψ(x, t).
En este caso la velocidad de fase coincide con la velocidad del paquete de ondas,
velocidad de grupo vg, y, por tanto, con la velocidad con que se propaga la energı́a
asociada al paquete, ve.
Velocidad de grupo.
Cuando la dispersión es pequeña cabe hablar de una Velocidad de grupo que carac-
teriza de forma aproximada la velocidad con que se desplaza el grueso del paquete de
ondas y, por consiguiente, de la energı́a5. En los medios muy dispersivos, la deformación
de los paquetes de onda es tan grande que, al cabo de un cierto tiempo, el grupo está to-
talmente disperso y la energı́a diseminada en un intervalo espacial grande. Bajo estas
circunstancias no cabe hablar de velocidad de grupo ni de velocidad de propagación
de la energı́a, puesto que ésta va llegando a un punto dado en un intervalo temporal
relativamente grande [Jackson, Stratton].
La velocidad de fase, como tal, no es fı́sicamente observable y puede ser, de hecho
lo es en algunas situaciones reales, superior a c sin que esto suponga ninguna violación
del principio de relatividad especial.
Podemos hacer una introducción simple de la velocidad de grupo considerando la
superposición de dos señales
X1(x) = X0 ej(ωt−βx)
X2(x) = X0 ej[(ω+∆ω) t−(β+∆β) x] , ∆ω ¿ ω
con frecuencias próximas y que, para simplificar, hemos supuesto que tienen igual am-
plitud y atenuación nula.
Suponemos que el medio es poco dispersivo, lo que implica que β(ω) es una función
suave y, por tanto, ∆β ¿ β
X(x) = X0 ej(ωt−βx)
£
1 + ej(ωt−∆β x)
¤
= X1
0 ej [(ω+ω/2) t−(β+∆β/2) x] cos
µ
∆ω
2
t −
∆β
2
¶
, X1
0 = 2X0
5
Véase Gómez.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-348-320.jpg)
![333
E
H
x
Figura 9.11:
9.3.1.1. Polarización de ondas electromagnéticas
Sea una solución para ~
E que se propaga en el sentido positivo del eje x.
~
E(x, t) = ~
E0 e−αx ej(ωt−βx) =
¡
E0y eiϕy b
y + E0z ejϕz b
z
¢
e−(α+jβ)x ejωt
= f(x) ejϕy
¡
E0y ejωt b
y − E0z ej(ωt+ϕz−ϕy) b
z
¢
.
Luego, para cualquier punto x = x0, podemos escribir
Y = [Ey(x0, t)] = A cos ωt
Z = [Ez(x0, t)] = B cos (ωt + δ)
donde δ = ϕz − ϕy.
Desarrollando
Z = B (cos ωt cos δ − sen ωt sen δ)
De la expresión de Y tenemos que
cos ωt =
Y
A
, sen (ωt) =
s
1 −
µ
Y
A
¶2
de donde obtenemos la ecuación general de una elipse
µ
Y
A
¶2
+
µ
Z
B
¶2
− 2
Y Z
AB
cos δ = sen 2
δ
Es fácil comprobar que a lo largo del tiempo el vector ~
E describe una elipse, en
sentido horario, a derechas, si δ 0 y antihorario, a izquierdas, si δ 0.
Convendremos en fijar la dirección de polarización según la dirección del vector ~
E y
diremos que la onda está polarizada a derechas, si el extremo de ~
E gira según la regla](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-351-320.jpg)
![334
^
x
^
A
y
z
B
Z
Y
I
D
t=0
t
E
^
Figura 9.12:
del tornillo alrededor de la dirección de propagación, o a izquierdas si el sentido de giro
es el contrario. Si A = 0, B = 0, o δ = ±mπ (m = 0, 1, · · · ) la onda está linealmente
polarizada. En general, la polarización de la onda es elı́ptica.
Se deja como ejercicio la expresión de una onda polarizada elı́ptica o linealmente en
función de ondas polarizadas circularmente.
9.3.1.2. Energı́a en ondas planas monocromáticas. Vector de Poynting com-
plejo
Para obtener los términos energéticos debemos multiplicar las amplitudes de los
campos. Esta es una operación no lineal que, en el caso de ondas monocromáticas,
hará aparecer términos oscilantes de frecuencia doble de la original.
Sean dos vectores de la forma
~
A(t) = [ ~
Ac
ejωt
]
donde
~
Ac
= ~
AR + j ~
AI
es un vector complejo independiente del tiempo. La composición de dos vectores de este
tipo, bien sea por producto escalar o vectorial, será
~
A1(t) × ~
A2(t) = [ ~
Ac
1 ejωt] × [ ~
Ac
2 ejωt]
= ~
A1R × ~
A2R cos2 ωt + ~
A1I × ~
A2Isen2 ωt
−1
2 ( ~
A1R × ~
A2I + ~
A1I × ~
A2E) sen 2ωt
El término proporcional a sen 2ωt tiene valor medio nulo, por lo que
h ~
A1(t) × ~
A2(t)i = 1
2 ( ~
A1R × ~
A2R + ~
A1I × ~
A2I)
= 1
2 [ ~
Ac
1 × ~
Acc
2 ] = 1
2 [ ~
Acc
1 × ~
Ac
2]
(9.74)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-352-320.jpg)
![335
donde el superı́ndice cc indica la conjugación compleja.
En la práctica, las variaciones temporales rápidas no suelen ser medibles, por lo que
el interés se centra en los valores medios. Estos valores medios se obtienen de la parte
real de las magnitudes complejas. Estas son, la densidad de energı́a media
ωc
em =
1
4
~
E · ~
Dcc
+
1
4
~
H · ~
Bcc
=
1
4
³
ε | ~
E|2
+ µ | ~
H|2
´
= hωemi (9.75)
y el Vector de Poynting complejo.
~
Pc
= ~
E ∧ ~
Hcc
(9.76)
Haciendo uso de la relación de estructura
~
n ∧ ~
E = Zc ~
H
podemos comprobar que
hωemi =
1
4
ε| ~
E|2
µ
1 +
r
1 +
1
Q2
¶
(9.77)
donde se observa que en un medio conductor
hωmi
hωei
=
r
1 +
1
Q2
1, para Q → 0
hωmi
hωei
→
1
Q
lo que es lógico ya que el medio conductor, aunque no apantalla totalmente al campo
eléctrico dinámico, como lo hace el estático, al crecer la conductividad aumenta la
importancia relativa de las corrientes y del campo magnético asociado con respecto al
propio campo eléctrico.
El vector de Poynting resultante es
~
Pc
=
Zc
|Zc|2
| ~
E|2
~
n, h~
Pi =
[Zc]
|Zc|2
| ~
E|2
~
n (9.78)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-353-320.jpg)
![338
a) ¿ Cuál es la máxima frecuencia a la que la tierra es un buen conductor ?
b) ¿ Cuales son la profundidad de penetración y la longitud de onda a esta
frecuencia ?
c) Halle Z/Z0.
9-7. Represente gráficamente, para Q ∈ [0.1, 10], la razón entre los valores medios de
las densidades de energı́a eléctrica y magnética de una onda plana, homogénea y
monocromática, que viaja a través de un medio lineal y no dispersivo.
Solución:
hωei
hωmi
=
1
4 ε | ~
E|2
1
4 µ| ~
H|2
=
|Z|2
|Zm0|2
donde hemos definido Zm0 ≡
q
µ
ε = (Z)σ=0, con lo que
hωei
hωmi
=
ω2 µε
α2 + β2
=
1
p
1 + 1/Q2
'
1 − 1/(2Q2) para Q 1
1/
√
2 para Q = 1
Q para Q 1
La gráfica está representada en la figura 9.15
ωe ωm
Q
Figura 9.15:
9-8. Determine las pérdidas relativas por Km sufrida por la energı́a asociada a una
onda plana, de frecuencia 0,5 Mhz, que se propaga a través de:
a) Tierra húmeda (σ = 10−3 S · m−1; µr = 1; εr = 10).
b) Tierra seca (σ = 10−5 S · m−1; µr = 1; εr = 3).](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-356-320.jpg)
![346
~
ED =
1
2
A (cos ωt b
y + sen ωt b
z)
~
EI =
1
2
A (cos ωt b
y − sen ωt b
z)
por lo que las dos componentes circulares tendrán la misma amplitud.
b) Gráfico Mathematica polarizacion − ondas.nb:
Este programa dibuja La evolución del extremo de ~
E a lo largo de un ciclo in-
completo y un punto rojo que marca la posición de éste en t = 0. De esta forma,
podremos determinar, en función de las amplitudes y del desfase, el tipo de polar-
ización y, en particular, el sentido de la misma.
A = 1; B = 1; d = 1.5
π
2
;
y = A Cos[x]; z = B Cos[x + d];
puntoinicial = {Point[{z/.x → 0, y/.x → 0}]};
gr1 = Show[Graphics[{PointSize[0.03], RGBColor[1, 0, 0], puntoinicial}],
DisplayFunction → Identity];
gr2 = ParametricPlot[{z, y}, {x, 0, 3.5
π
2
}, DisplayFunction → Identity,
AxesLabel → {”z”, ”y”}, PlotStyle → RGBColor[0, 0, 1]];
Show[gr2, gr1, DisplayFunction → $DisplayFunction, AspectRatio → 1];
El resultado se muestra en la figura 9.19
9-19. En un plasma magnetizado por un campo uniforme pueden propagarse, en la direc-
ción de dicho campo, ondas polarizadas circularmente. Las polarizadas a derechas
(ondas R) 7 tienen un número de onda
βR =
ω
c
v
u
u
t1 −
ω2
p
ω2
1 − Ω
ω
y las polarizadas a izquierdas (ondas L)
7
En este caso utilizamos la notación usual en fı́sica de plasmas, R (Right) para D y L (Left) para I.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-364-320.jpg)
![a-2
La resolución de la ecuación de Poisson puede llevarse a cabo sumando a la solución
general de la ecuación de Laplace una solución particular de la de Poisson y ajustando
los coeficientes de esta suma para cumplimentar las condiciones de contorno.
Muchos problemas importantes de campos electrostáticos, campos magnetostáticos
y corrientes estacionarias responden a este tipo de ecuaciones.
Para medios no conductores de clase A, el campo electrostático cumple las ecua-
ciones
∇ · ~
E(~
r) =
1
ε
ρ(~
r)
∇∧ ~
E(~
r) = 0
⇒ ~
E(~
r) = −∇ V (~
r)
y
∇2
V (~
r) = −
1
ε
ρ(~
r) (A.3)
En condiciones estáticas y ausencia de corrientes de conducción, el campo ~
H cumple
∇ · ~
H(~
r) = ρM (~
r)
∇∧ ~
H(~
r) = 0
⇒ ~
H(~
r) = −∇ U(~
r)
y
∇2
U(~
r) = −ρM (~
r) (A.4)
Para corrientes estacionarias, supuesta la presencia de campos electromotores cono-
cidos ~
E 0
~
= σ ~
ET = σ ( ~
E + ~
E 0
) ⇒ ∇ · ~
E(~
r) = −∇ · ~
E 0
(~
r)
∇ · ~
E(~
r) = 0
∇∧ ~
H(~
r) = 0
⇒ ~
E(~
r) = −∇ V (~
r)
y
∇2
V (~
r) = ∇ · ~
E 0
(~
r) (A.5)
En este planteamiento del problema 1
ε ρ(~
r), ρM (~
r) y ∇ · ~
E 0(~
r) se suponen conocidos
y fijos en todo el volumen V dentro del cual queremos hallar la solución.
A.2.2. Principio de superposición
En algunos casos es útil el uso del principio de superposición que se deduce de la
linealidad de la ecuación de Poisson.
Si fi(~
r) es una solución de la ecuación
∇2
fi(~
r) = −Di(~
r)
que cumple una de las condiciones de contorno
[fi]S = fiS ó
·
∂ fi
∂ n
¸
S
= −FinS](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-368-320.jpg)
![a-3
entonces
f =
N
X
i=1
λi fi
es una solución de ∇2 f = −D, donde
D =
N
X
i=1
λi Di
con la condición de contorno
[f]S =
N
X
i=1
λi fiS ó
·
∂ f
∂ n
¸
S
= −
N
X
i=1
λi FinS
lo que puede comprobarse por simple substitución.
Esto permite, a veces, descomponer un problema complejo en otros más sencillos,
como ilustraremos más adelante.
A.2.3. Expresión integral de la ecuación de Poisson
Antes de exponer el método de Green de solución de la ecuación de Poisson veremos
como ésta puede ser puesta en forma integral. Para ello haremos uso de las identidades
de Green.
Identidades de Green :
Si h y g son dos funciones definidas en V. Por el teorema de la divergencia
Z
V
∇ · (h ∇ g) dv =
I
S
h ∇ g · ~
n ds
Desarrollando la divergencia y escribiendo la derivada direccional de la forma ∇ g ·
~
n ≡ ∂ g
∂ n
Z
V
(h ∇2
g + ∇ h · ∇ g) dv =
I
S
h
∂ g
∂ n
ds (A.6)
que es la primera identidad de Green.
Cambiando g ↔ h y restando, obtenemos
Z
V
(h ∇2
g − g ∇2
h) dv =
I
S
(h
∂ g
∂ n
− g
∂ h
∂ n
) ds (A.7)
la cual es la segunda identidad de Green.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-369-320.jpg)
![a-6
que puede ser convertida en solución para un problema con condiciones de contorno
de Dirichlet definiendo la función de Green para condiciones de Dirichlet GD, solución
particular que cumple la condición de contorno
£
GD(~
r, ~
r 0
)
¤
S
= 0 (A.13)
es decir eligiendo las constantes indeterminadas de la función de Green de manera que
ésta se anule en el contorno.
En este caso, la función de Green es simétrica, como demostraremos más adelante,
GD(~
r, ~
r 0
) = G0
D(~
r 0
, ~
r) = GD
Substituyendo esta función en A.12, obtenemos la solución del potencial en V que
corresponde a la condición de Dirichlet [f(~
r 0)]S0 = fs(~
r 0)
f(~
r) =
Z
V0
G0
D D dv0
−
Z
S0
fs
∂ G0
D
∂ n0
ds0
(A.14)
que es una verdadera solución del problema de Dirichlet porque, al ser [GD]S0 = 0,
nos desaparece la integral asociada a la componente normal del campo. Algo parecido
podemos hacer para condiciones de Neumann [Jackson].
Para el potencial electrostático, f = V y D = ρ
ε , luego
V (~
r) =
1
ε
Z
V0
GD ρ dv0
−
Z
S0
Vs
∂ GD
∂ n0
ds0
(A.15)
Como todos los métodos generales de solución, en casos concretos éste puede pre-
sentar dificultades insalvables. La utilidad del método de Green es, sin embargo, con-
siderable.
El problema de Dirichlet en el que se especifican las fuentes D(~
r 0) en V0 y se fija el
valor fs(~
r 0) del potencial en el contorno, se desdobla en dos:
Busqueda del potencial producido por una fuente puntual unitaria en V0 cuando
todos los puntos del contorno están a potencial nulo 2.
Realización de las integrales de A.15 3.
Por otra parte, es interesante resaltar que una misma función de Green sirve para el
cálculo del potencial en un mismo volumen pero con fuentes y condiciones de contorno
distintas.
Para terminar, investigaremos la simetrı́a de GD. Sean las funciones GD(~
r 0, ~
r1) y
GD(~
r 0, ~
r2), las cuales cumplen
∇02 GD(~
r 0, ~
r1) = −δ(~
r 0 − ~
r1)
∇02 GD(~
r 0, ~
r2) = −δ(~
r 0 − ~
r2)
[GD]S0 = 0
Substituyendo h = GD(~
r 0, ~
r1) y g = GD(~
r 0, ~
r2) en la segunda identidad encon-
tramos que, efectivamente, es simétrica.
GD(~
r1, ~
r2) = GD(~
r2, ~
r1)
2
Este problema es más sencillo que el planteado por un potencial fs(~
r 0
) arbitrario.
3
Como último recurso, estas integrales pueden llevarse a cabo numéricamente.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-372-320.jpg)
![a-8
VE
,σ0
,σ0
II I
I I
oo
σ
+S2
S=S1
VE
,σ0
σ0
σ=0 I
I
j =
V
E
E
Figura A.3:
En la figura A.3 se plantea un problema tı́pico de electrodos en medios de conduc-
tividad finita. En este caso, un electrodo (conductor ideal con σ → ∞) inyecta una
intensidad I a un medio de conductividad finita σ0, separado por un plano del medio
de la izquierda, que es no conductor (σ = 0). Resolvemos el problema en el medio de
conductividad finita, cuyo contorno es S = S1 +S2, donde S1 es la interfaz con el medio
no conductor y S2 la superficie del electrodo. Dado que la corriente no fluye en el medio
no conductor, en S1 puede imponerse la condición de tipo Neumann (En = 0)S1
. El
electrodo es equipotencial, por lo que en su superficie puede imponerse la condición de
tipo Dirichlet (V )S2
= VE, con lo que, en conjunto, las condiciones son mixtas.
El espacio imagen estarı́a constituido por un electrodo simétrico con respecto a S1
inmerso en un medio de la misma conductividad σ0.
,µ 0
I
,µ 0
II
I I
oo
µ ,µ 0
I
+S2
S=S1
U=cte
H
I
Figura A.4:
Algo parecido, figura A.4, podemos hacer con sistemas de corrientes frente a mate-
riales magnéticos ideales. En virtud de la ley de refracción, las lı́neas de campo serán
perpendiculares a la superficie externa S1 del medio. Por lo tanto, el potencial magnético
US1 = cte y puede tomarse como nulo. El espacio imagen estarı́a constituido por un
medio de permeabilidad µ0 y una espira simétrica de la primitiva con respecto a S1,
pero recorrida en sentido contrario.
No abordaremos el tema en extenso [Lorrain y Corson, Reitz et al., Jackson]; nos](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-374-320.jpg)
![a-12
anterior y de radio a. Suponemos que, como se muestra en la figura A.8 dicha lı́nea se
encuentra a una distancia d del centro del cilı́ndro.
Probaremos el uso de una lı́nea imagen con densidad lineal −λ. Nos planteamos por
lo tanto, el cálculo de la distancia c del origen a la que deberá colocarse esta imagen.
Dado que en este caso no es posible tomar como origen de potenciales al infinito, lo
tomaremos en una lı́nea equidistante R0 de la lı́nea y de su imagen. Si el potencial de
la esfera es −V0
V0 =
λ
2π ε
[ln(R0/R2) − ln(R0/R1)] =
λ
2π ε
ln(R1/R2) (A.18)
por lo que invirtiendo la ecuación y elvándola al cuadrado, tenemos que
R2
2 = A R2
1 , A = e4π ε V0/λ
Dado que
R2
1 = (d − x)2
+ y2
, R2
1 = (x − c)2
+ y2
substituyendo y operando, se obtiene el siguiente resultado
x2
+ y2
+
2x(A d − c)
1 − A
=
A d2 − c2
1 − A
si queremos que la circunferencia esté centrada en el origen, el término proporcional a
x debe anularse, luego
c = A d
Teniendo en cuenta este resultado y que el radio de dicha circunferencia es a, tenemos
que A = a2/d2 y
c =
a2
d
(A.19)
Luego, la imagen de la primera lı́nea sobre el cilı́ndro de radio a está situada en c y
tiene la misma densidad lineal con signo opuesto.
El potencial del cilı́ndo es −V0. Paticularizando A.18 al punto ~
r = (a, 0, 0) se llega
a lo conclusión de que
V0 =
λ
2π ε
ln(d/a) (A.20)
A.3. Resolución analı́tica de la ecuación de Laplace; méto-
do de separación de variables
A.3.1. Introducción
Aunque la solución analı́tica completa de la ecuación de Laplace sólo es factible en un
número de casos, si es posible la obtención de soluciones generales, en diversos sistemas](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-378-320.jpg)
![a-13
coordenados, para medios lineales homogéneos e isótropos. Veremos a continuación como
pueden llenarse las condiciones de contorno en simetrı́a cartesiana, cilı́ndrica o esféri-
ca, trabajando sobre ejemplos concretos. También apuntaremos brevemente el uso de
métodos especiales, como los basados en las variables complejas, para la resolución de
problemas bidimensionales.
De nuevo se pretende solamente introducir el tema, por lo que la pre-
sentación no será completa ni rigurosa. Tratamientos más amplios pueden
encontrarse en prácticamente toda la bibliografı́a previamente citada y en
[Morse y Feshbach, Abramowitz y Stegun, Arfken y Weber, Wylie, Jackson,
Panofsky y Phillips, Konopinski, Weisstein, Tijonov].
Para la obtención de soluciones generales haremos uso del método de separación de
variables, el cual permite la expresión de dicha solución como producto de funciones
de una variable. Se puede demostrar, aunque nosotros no lo haremos, que la solución
ası́ obtenida es completa, por lo que la solución particular a cualquier problema fı́sico
bien planteado se obtiene dando valores adecuados a las constantes indeterminadas de
dicha solución general.
A.3.2. Solución en coordenadas cartesianas
La ecuación
∇2
f =
∂2 f
∂ x2
+
∂2 f
∂ y2
+
∂2 f
∂ z2
= 0
admite soluciones del tipo
f(x, y, z) = X(x) Y (y) Z(z)
Substituyendo más arriba, excluyendo la solución trivial f = 0 y dividiendo por
f(x, y, z), obtenemos
1
X
d2 X
dx2
| {z }
u(x)
+
1
Y
d2 Y
dy2
| {z }
v(y)
+
1
Z
d2 Z
dz2
| {z }
w(z)
= 0
La ecuación anterior puede escribirse como suma de tres funciones, cada una de las
cuales depende de una variable independiente distinta. Esto sólo es posible si cada una
de ellas es igual a una constante. La suma de estas tres constantes ha de ser igual a
cero. Anotaremos estas constantes de la forma u(x) = −k2
x, v(y) = −k2
y, w(z) = −k2
z,
con lo que
k2
x + k2
y + k2
z = 0 (A.21)
Esto conduce a las tres ecuaciones unidimensionales de segundo orden
d2 X
dx2
= −k2
x X (A.22a)
d2 Y
dy2
= −k2
y Y (A.22b)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-379-320.jpg)
![a-15
A.3.3. Solución en coordenadas cilı́ndricas
La ecuación de Laplace en coordenadas cilı́ndricas toma la forma
∇2
f =
1
ρ
∂
∂ ρ
µ
ρ
∂ f
∂ ρ
¶
+
1
ρ2
∂2 f
∂ ϕ2
+
∂2 f
∂ z2
= 0
la cual admite soluciones separables del tipo
f(ρ, ϕ, z) = R(ρ) Φ(ϕ) Z(z)
Operando de forma análoga a la utilizada en la sección anterior, obtenemos
1
R ρ
d
d ρ
µ
ρ
d R
d ρ
¶
+
1
ρ2
1
Φ
d2 Φ
dϕ2
+
1
Z
d2 Z
dz2
| {z }
w(z)=k2=−κ2
= 0
donde aparece ya separada la función w(z).
La solución Z(z) es, pués, del mismo tipo que en cartesianas 4
Zk(z) =
C1k ek z + C2k e−k z , para k2 0
C1 z + C2 , para k = 0
C1k ejκ z + C2k e−jκ z , para κ2 ≡ −k2 0
(A.25)
Si excluimos el origen y multiplicamos por ρ2
ρ
R
d
d ρ
µ
ρ
d R
d ρ
¶
+ k2
ρ2
+
1
Φ
d2 Φ
dϕ2
| {z }
v(ϕ)=−n2
= 0
De esta foma separamos la función v(ϕ), por lo que la dependencia según ϕ puede ser
escrita como
Φn(ϕ) = B1n cos nϕ + B2n sen nϕ (A.26)
donde n deberá ser entero si el rango de variación de ϕ cubre todo el intervalo [0, 2π]
puesto que, para que la solución sea única deberá cumplirse Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π).
En caso contrario son admisibles las soluciones
Φ0(ϕ) = B1 ϕ + B2 , n = 0
Φν(ϕ) = B1ν eνϕ + B2ν e−νϕ , ν2 = −n2
(A.27)
La ecuación radial resultante ya no es tan simple. Multiplicando por R
ρ
d
d ρ
µ
ρ
d R
d ρ
¶
+
¡
k2
ρ2
− n2
¢
R = 0
4
En general, k2
puede ser complejo.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-381-320.jpg)
![a-16
Ecuación que para k = n = 0 admite la solución sencilla
R00(ρ) = A1 ln ρ + A2 , k = n = 0 (A.28)
Para k = 0, n 6= 0, ensayando soluciones del tipo R = A ρm, se obtienen dos solu-
ciones independientes para m = ±n
R0n(ρ) = A1n ρn
+ A2n ρ−n
, k = 0 (A.29)
En el caso de que k 6= 0, haciendo el cambio de variables p = kρ, la ecuación radial
queda de la forma
p
d
d p
µ
p
d R
d p
¶
+ (p2
− n2
) R = 0 (A.30)
que es la ecuación de Bessel.
Para k y n reales, admite soluciones polinómicas [Wylie, Arfken y Weber]
Rkn(ρ) = Rn(p) = A1n Jn(p) + A2n J−n(p) (A.31)
donde Jn(p) y J−n(p) son las funciones de Bessel de primera especie y de orden ±n.
Estas funciones, que son linealmente independientes para n no entero, se expresan como
suma de una serie infinita
Jn(p) =
³p
2
´n
∞
X
i=0
(−1)i
i! Γ (i + n + 1)
³p
2
´2i
donde Γ es la función gamma. En el caso en que n es entero Γ(i + n + 1) = (n + i)!, de
donde se deduce que
J−n(p) = (−1)n
Jn(p)
Se hace necesario, en consecuencia, buscar nuevas soluciónes linealmente independientes
de éstas. Las funciones de Bessel de segunda especie, o funciones de Neumann, se definen
como
Nn(p) =
Jn(p) cos nπ − J−n(p)
sen nπ
Puede demostrarse que éstas son independientes de las Jn(p) incluso en el lı́mite
n → entero.
Las funciones de Bessel, véase la figura A.10, se califican de regulares porque son
finitas en el origen
lı́m
p→0
Jn(p) →
pn
2n n!
mientras que a las de Neumann se les califica de irregulares porque son singulares en
dicho punto
limp→0 N0(p) →
2
π
ln p
lı́mp→0 Nn≥1(p) → −
2n (n − 1)!
π pn](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-382-320.jpg)
![a-17
2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1
o
N 1
N 2
(p)
N n
p=k r
o
1
2
(p)
n
J
J
J
N
J
Figura A.10:
Para valores grandes de p, estas funciones toman los valores asintóticos
lı́m|p|→∞ Jn(p) →
r
2
π p
cos
h
p −
¡
n + 1
2
¢ π
2
i
lı́m|p|→∞ Nn(p) →
r
2
π p
sen
h
p −
¡
n + 1
2
¢ π
2
i
Para el estudio de la propagación de ondas es usual la utilización de las funciones
de Hankel de primera y segunda especie, definidas, respectivamente, como
H
(1)
n (p) = Jn(p) + j Nn(p)
H
(2)
n (p) = Jn(p) − j Nn(p)
de forma que
Rn(p) = A H(1)
n (p) + B H(2)
n (p)
y que son conjugadas entre sı́.
La dependencia de esta función para puntos lejanos es del tipo
lı́m
p→∞
Hn(p)(1), (2)
→
r
2
π p
e±j [p−(n+1
2
) π
2
]
Más detalles pueden encontrarse en la bibliografı́a.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-383-320.jpg)
![a-18
A.3.4. Solución en coordenadas esféricas
La ecuación de Laplace puede escribirse en coordenadas esféricas
1
r2
∂
∂ r
µ
r2 ∂ f
∂ r
¶
+
1
r2 sen θ
∂
∂ θ
µ
sen θ
∂ f
∂ θ
¶
+
1
r2 sen2 θ
∂2 f
∂ ϕ2
= 0
En éste caso ensayamos la separación de variables en la forma
f(r, θ, ϕ) = R(r) Θ(θ) Φ(ϕ)
Substituyendo y multiplicando por (r2 sen2 θ)/f, tenemos, excluyendo los puntos
para los que r = 0, ó θ = 0
r2
sen2
θ
·
1
R r2
d
d r
µ
r2 d R
d r
¶
+
1
Θ
1
r2 sen θ
d
d θ
µ
sen θ
d Θ
d θ
¶¸
+
1
Φ
d2 Φ
d ϕ2
| {z }
=−n2
= 0
donde nos aparece separada la variable ϕ de la misma forma que en cilı́ndricas. Para no
recargar la exposición supondremos que el intervalo de ϕ es [0, 2π] y que, por lo tanto
n es real y entero.
Φn(ϕ) = C1n cos nϕ + C2n sen nϕ , ϕ ∈ [0, 2π] (A.32)
La separación de las variables r y θ se logra dividiendo por sen2 θ.
1
R
d
d r
µ
r2 d R
d r
¶
| {z }
=l(l+1))
+
1
Θ
1
sen θ
d
d θ
µ
sen θ
d Θ
d θ
¶
−
n2
sen2 θ
= 0
donde, se ha escrito la constante de separación radial como l(l + 1). La ecuación corre-
spondiente toma la forma
d
d r
µ
r2 d R
d r
¶
− l(l + 1) R = 0
Ensayando soluciones del tipo f = A ra se obtiene la ecuación a (a + 1) = l (l + 1)
cuyas soluciones son a = l, −(l + 1). La función radial es, por lo tanto
Rl(r) = A1l rl
+ A2l r−(l+1)
(A.33)
La ecuación polar resultante es
1
sen θ
d
d θ
µ
sen θ
d Θ
d θ
¶
+
·
l(l + 1) −
n2
sen2 θ
¸
Θ = 0
que, haciendo el cambio ξ = cos θ, pone de manifiesto que sus soluciones son función de
cos θ
d
d ξ
·
(1 − ξ2
)
d Θ
d ξ
¸
+
·
l(l + 1) −
n2
1 − ξ2
¸
Θ = 0 (A.34)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-384-320.jpg)
![a-19
Ésta es la ecuación asociada o generalizada de Legendre. Admite soluciones polinómi-
cas del tipo
Θn
l = B1nl Pn
l (ξ) + B2nl Qn
l (ξ) (A.35)
donde Pn
l y Qn
l son los polinomios asociados de Legendre de primera y segunda especie
y de orden (n, l) [Wylie].
Para problemas con simetrı́a azimutal 5, f = f(r, θ), ∂ f
∂ ϕ = 0 y n = 0. La ecuación
generalizada se reduce en este caso a la de Legendre
d
d ξ
·
(1 − ξ2
)
d Θ
d ξ
¸
+ l(l + 1) Θ = 0 (A.36)
cuyas soluciones Pl = Ql = Pl(ξ) son polinomiales de orden l, polinomios de Legendre.
Efectivamente, substituyendo en la ecuación de Legendre los polinomios
Pl(ξ) =
l
X
i=0
ai ξi
e igualando a cero los coeficientes de las potencias de ξ, comprobamos que [Wylie]
Pl(ξ) =
L
X
i=0
(−1)i (2l − 2i)!
2l i!(l − i)! (l − 2i)!
ξl−2i
,
L =
l
2
para l par
L =
l − 1
2
para l impar
Los primeros polinomios son
P0 = 1
P1 = ξ
P2 = 1
2 (3 ξ2 − 1)
P3 = 1
2 (5 ξ3 − 3 ξ)
P4 =
1
8
(35 ξ4
− 30 ξ2
+ 3)
(A.37)
De entre las propiedades de estos polinomios resaltaremos sólo las principales:
En la versión que aquı́ se presenta, figura A.11, los polinomios se han normalizado
de manera que
Pl(ξ = 1) = 1 , ∀l
5
Los problemas propuestos más adelate se limitan a esta simetrı́a.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-385-320.jpg)
![a-20
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
1
P3
P5
P2
ξ
P( )
P0
P4
ξ
θ= π /2
θ=π
P
θ=0
Figura A.11:
Es fácil comprobar que Pl tiene la misma paridad que el ı́ndice
Pl(ξ) = (−1)l
Pl(−ξ) (A.38)
Como puede verse en la figura A.11
Pl(ξ = 0) = 0 , l impar , Pl(ξ = 0) 6= 0 , l par
Por inspección puede comprobarse que los polinomios son generados por la fórmula
de Rodrigues:
Pl(ξ) =
1
2l l!
dl
dξl
(ξ2
− 1)l
(A.39)
Los polinomios ası́ definidos son ortogonales, en el intervalo ξ ∈ [−1, +1]
Z +1
−1
Pl0 Pl dξ =
2
2l + 1
δl l0 (A.40)
La ortogonalidad puede demostrarse multiplicando la ecuación de Legendre por
Pl0 y por Pl sucesivamente, restando e integrando. El valor de la norma puede
calcularse haciendo uso de la fórmula de Rodrigues e integrando por partes l veces
la integral de más arriba. Para obtener polinomios ortonormales en el intervalo de
θ ∈ [0, π], habrı́a que multiplicar Pl por
r
2l + 1
2
.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-386-320.jpg)
![a-21
Para problemas con simetrı́a azimutal, la solución general queda de la forma
f(r, θ) =
∞
X
0
³
Al rl
+ Bl r−(l+1)
´
Pl(ξ) (A.41)
A.4. Solución de la ecuación de Laplace en dos dimen-
siones mediante el uso de transformaciones comple-
jas
Muchos problemas de potencial interesantes pueden aproximarse como uniformes en
una dirección determinada, lo que permite resolverlos en el plano transversal a dicha
dirección. Existe un cierto número de procedimientos simplificados especialmente indi-
cados para este tipo de problemas. Unos son versiones más simples de métodos aplicables
en tres dimensiones y otros tienen un carácter especı́fico para potenciales bidimension-
ales. No abordaremos en detalle estos métodos de los cuales puede encontrarse cumplida
exposición en la bibliografı́a 6.
Como introducción al tema, nos limitaremos a la búsqueda de una expresión especi-
fica de la solución general de la ecuación de Laplace en dos dimensiones.
Sea f(z) una función analı́tica de la variable compleja z
z = x + j y , f(x) = u(x, y) + j v(x, y)
donde
x = Re[z] , y = Im[z]
u = Re[f] , v = Im[f]
Veremos que tanto u(x, y) como v(x, y) son soluciones de la ecuación de Laplace.
Efectivamente, figura A.12, al desplazarnos en el plano z desde el punto z al z + dz nos
desplazamos en el plano f desde el punto f al f + df.
jv
z
z+dz
f
f+df
jy
x u
jdv
du
jdy
dx
(a) (b)
Figura A.12:
6
Véase Smythe y Jackson](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-387-320.jpg)
![a-22
La derivada de f con respecto a z es
d f
d z
=
du + j dv
dx + j dy
=
¡∂ u
∂ x + j ∂ v
∂ x
¢
dx +
³
∂ u
∂ y + j ∂ v
∂ y
´
dy
dx + j dy
y, para una función analı́tica, por definición, debe ser independiente de la dirección del
desplazamiento dz. En particular para
dz = dx ⇒
d f
d z
=
∂ u
∂ x
+ j
∂ v
∂ x
(A.42)
y para
dz = j dy ⇒
d f
d z
= −j
∂ u
∂ y
+
∂ v
∂ y
(A.43)
de forma que, si la derivada ha de ser única, deberán ser iguales las partes reales y las
imaginarias de A.42 y de A.43
∂ u
∂ x
=
∂ v
∂ y
,
∂ v
∂ y
= −
∂ u
∂ y
(A.44)
Estas son las ecuaciones de Cauchy-Riemann o condiciones de analiticidad de f(z)
de las que es fácil deducir que
∇ u · ∇ v = 0 ,
∇2 u = 0
∇2 v = 0
(A.45)
Ecuaciones que muestran como, dada una función analı́tica arbitraria, tanto su parte
real como su parte imaginaria cumplen la ecuación de Laplace, siendo ortogonales entre
sı́ las curvas u = cte y v = cte. Esto último significa que si u(x, y) cumple unas
condiciones de contorno determinadas, esta función será la solución del problema de
potencial, las curvas u = cte serán las equipotenciales y las v = cte las lı́neas de
campo. De esta forma, por tanteo, buscando funciones apropiadas, pueden solucionarse
problema interesantes.
Como ejemplo de funciones analı́ticas simples podemos citar a las potencias de z
fn(z) = zn
= (x + j y)n
= rn
ej nϕ
= rn
(cos nϕ + j sen nϕ)
donde r = |z| =
p
x2 + y2 y ϕ = /z = artg y
x. Recordemos que rn cos nϕ y rn sen nϕ
eran posibles soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas cilı́ndricas. La figura
A.13-a representa, en el plano (x, y), las partes real e imaginaria de z y en A.13-b las
de z2. En ambas figuras se muestra como, por ejemplo, las curvas Im[f] = cte pueden
corresponder a las curvas equipotenciales compatibles con los conductores indicados y
las Re[f] = cte a las lı́neas de campo eléctrico.
También es interesante la función
f(z) =
1 + z
1 − z](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-388-320.jpg)
![a-25
σ
oo
σ
V
Lamina de
conductividad
finita σ
oo
Figura A.15:
entre electrodos, podemos establecer experimentalmente la estructura de las superficies
equipotenciales de un problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace.
Este tipo de procedimientos, en las mejores condiciones, proporciona soluciones váli-
das dentro de un margen de error de varias unidades por ciento.
A.6. Métodos gráficos
Los métodos gráficos son menos precisos pero pueden ejecutarse con papel y lápiz.
Gráficamente pueden resolverse problemas bidimensionales de Laplace y, con algo más
de dificultad, problemas con simetrı́a axial [Popovic] e incluso problemas de Poisson.
Consideraremos solamente campos laplacianos bidimensionales. Sea un campo
~
F(x, y) = −∇ f(x, y)
que cumpla la ecuación de Laplace
∂2 f
∂ x2
+
∂2 f
∂ y2
= 0
Consideremos un tubo elemental de flujo de espesor ∆z = 1. Si ξ es la distancia a lo
largo de las lineas de campo y η la distancia a lo largo de las equipotenciales, el campo
F y el flujo ∆Φ que circula por el tubo, vendrán expresados por
F ='
∆f
∆ξ
, ∆Φ ' F ∆η
Para ∆ξ y ∆η suficientemente pequeños.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-391-320.jpg)
![a-32
Esta carga, junto con la primera, hacen que el potendial del conductor
de la derecha se anule, pero no el del izquierdo.
De forma análoga, situando una imagen a la izquierda, a la distancia
I1 = x0 + 2a ⇒
q y esta última imagen anuları́an el potencial en el conductor izquierdo.
Con estas tres cargas ninguno de los conductores estarı́a a potencial
nulo, por lo que habrá que continuar hallando imágenes de las imagenes
previas.
Ası́, pués, la imagen situada en D1 está a la distancia D1+a del conductor
de la izquierda y la imagen correspondiente estará a la misma distancia
de dicho plano y a
I2 = D1 + 2a ⇒
del origen.
la recurrencia para las distancias y las cargas es
D1 = 2a − x0 , I1 = 2a + x0
Di = Ii−1 + 2a , Ii = Di−1 + 2a , i = 2, 3, · · · , qi = (−1)i
Las coordenadas son
xDi = Di , xIi = −Ii
el potencial en el plano xy es el producido por la carga y sus imágenes
Una aproximación del potencial correspondiente a N imágenes a la
izquierda y otras tantas a la derecha, es
V (x, y) =
q
4π ε
Ã
1
p
(x − x0)2 + y2
+
N
X
i=1
(−1)i
(
1
p
(x − xDi)2 + y2
+
1
p
(x − xIi)2 + y2
)!
Se calcula y representa mediante el siguiente programa Mathematica.
Gráficas con Mathematica imag − dosplanos.nb:
Representación de las cargas
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-398-320.jpg)
![a-33
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
tD = Table[{0, 0}, {i, 1, 4}]; tI = tD; tD[[1, 1]] = 2 ∗ 1 − .5; tI[[1, 1]] = 2 ∗ 1 + .5;
Do[{tD[[i, 1]] = tI[[i − 1, 1]] + 2 ∗ 1, tI[[i, 1]] = tD[[i − 1, 1]] + 2 ∗ 1}, {i, 2, 4}];
xD = tD; xI = −tI;
xn = Join[Table[xD[[i]], {i, 1, 4, 2}], Table[xI[[i]], {i, 1, 4, 2}]];
xp = Join[Table[xD[[i]], {i, 2, 4, 2}], Table[xI[[i]], {i, 2, 4, 2}]];
lineaD = {{1, −
1
2
}, {1,
1
2
}};
grplacaD = Graphics[{RGBColor[1, 0, 0], Line[lineaD]}];
lineaI = {{−1, −
1
2
}, {−1,
1
2
}};
grplacaI = Graphics[{RGBColor[1, 0, 0], Line[lineaI]}];
lineay = {{0, −
1
4
}, {0,
1
4
}};
gry = Graphics[{RGBColor[0, 1, 0], Line[lineay]}];
lineax = {xI[[4]], xD[[4]]}; grx = Graphics[{RGBColor[0, 1, 0], Line[lineax]}];
puntoq = {{.5, 0}}; grq = Graphics[{PointSize[.02], RGBColor[1, 0, 0], Point/@puntoq}];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-399-320.jpg)
![a-34
grcargasn = Graphics[{PointSize[.02], RGBColor[0, 0, 1], Point/@xn}];
grcargasp = Graphics[{PointSize[.02], RGBColor[.83, 0.01, 0.1], Point/@xp}];
Show[gry, grx, grq, grplacaD, grplacaI, grcargasn, grcargasp];
Figura A.22:
La figura A.22 muestra la posición de la carga y sus imágenes. Las cargas positivas
son puntos rojos y las negativas azules.
Representación del potencial
Remove[”Global‘ ∗ ”]
NN = 100; a = 1; xc =
a
2
;
tD = Table[{0, 0}, {i, 1, NN}]; tI = tD;
tD[[1, 1]] = 2 ∗ a − xc; tI[[1, 1]] = 2 ∗ a + xc;
Do[{tD[[i, 1]] = tI[[i − 1, 1]] + 2 ∗ a, tI[[i, 1]] = tD[[i − 1, 1]] + 2 ∗ a}, {i, 2, NN}];
xD = tD; xI = −tI;
xn = Join[Table[xD[[i]], {i, 1, NN, 2}], Table[xI[[i]], {i, 1, NN, 2}]];
xp = Join[Table[xD[[i]], {i, 2, NN, 2}], Table[xI[[i]], {i, 2, NN, 2}]];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-400-320.jpg)
![a-35
Vp = 0; Do[Vp = Vp +
1
p
(xp[[i, 1]] − x)2 + y2
, {i, 1, NN}];
Vn = 0; Do[Vn = Vn + −
1
p
(xn[[i, 1]] − x)2 + y2
, {i, 1, NN}];
V = Vp + Vn +
1
p
(xc − x)2 + y2
;
gr2 = Plot3D[V, {x, −a, a}, {y, −
a
2
,
a
2
}, ViewPoint → {−2, 0.5, 1},
PlotPoints → 50, AxesLabel → {”x”, ”y”, ”V”}];
gr3 = ContourPlot[V, {x, −a, a}, {y, −
a
2
,
a
2
}, ContourStyle → Hue[0.6],
Contours → {0.01, 0.15, 0.3, 1, 2.5, 4}, ContourShading → False,
PlotPoints → 50, FrameLabel → {”x”, ”y”}];
La figura A.23a representa tridimensionalmente al potencial entre las placas.
Puede observarse como en éstas el potencial es nulo, tendiendo a infinito en la
posición de la carga. La A.23b representa las curvas equipotenciales que rodean a
la carga y que son rectas paralelas a las placas en la proximidad de las mismas.
-1 -0.5 0 0.5 1
x
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
y
0
1
2
3
4
V
-1 -0.5 0
0.4
0.2
0
0.2
0.4
-1 -0.5 0 0.5 1
x
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
y
(a) (b)
Figura A.23:
a-9. Suponga que una carga q está situada entre dos semiplanos conductores, conectados
a tierra, que, como se indica en la figura A.24, forman entre sı́ un ángulo α.
Compruebe que el numero de imágenes necesarias es finito si π/α es un número
entero. Hágalo apoyándose en el caso en que α = π/3.
Tome α = 90o y coloque la carga a distancias a y b de cada uno de los semiplanos.
Calcule:](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-401-320.jpg)
![a-42
Si tenemos en cuenta, en primer lugar, que
v(0, y) = 0 ⇒ A1k = −A2k
podremos escribir 8
V =
X
∀k
Ak sen (k x) Yk(y)
lo que justifica la elección de k2
x = k2.
Si ahora aplicamos la condición V (a, y) = 0 encontramos que sólo son
posibles aquellos valores de k que hacen que los valores nulos de sen k x
coincidan con los extremos del intervalo (0, a)
k = n
π
a
, n = entero
Vemos que k se cuantifica al limitar el intervalo según la dirección x.
Luego
V =
X
no
An sen (nπ
x
a
) Yn(y)
Haciendo uso de la condición V (x, ∞) = 0 encontramos que los B1n = 0
porque están asociados a términos crecientes con y.
V =
X
no
An sen (nπ
x
a
) e−nπ y
a
Por último, debemos cumplimentar la condición V (x, 0) = V0 para
0 x a
V0 =
X
no
An sen (nπ
x
a
) (A.51)
El cálculo de los coeficientes puede llevarse a cabo, de forma más gene-
ral, teniendo en cuenta las propiedades de ortogonalidad de las fun-
ciones seno y coseno en el intervalo [0, a].
Z a
0
sen (nπ
x
a
) sen (n0
π
x
a
) dx =
1
2
a δn n0
Multiplicando ambos miembros de la ecuación A.51 por sen (nπ x
a ) e
integrando
An =
2V0
a
Z a
0
sen (nπ
x
a
) dx =
0 , n par
4 V0
nπ , n impar
8
Ak, An y An son distintas entre sı́ y sus relaciones mutuas son fácilmente deducibles.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-408-320.jpg)
![a-43
La solución particular que cumple las condiciones de contorno será
V (x, y) =
4 V0
π
X
n, impar
1
n
sen (nπ
x
a
) e−nπ y
a
Realizaremos las gráficas de este potencial por medio de un programa
Mathematica.
Gráficas con Mathematica poisson − cartesianas − a.nb:
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
Tomamos valores normalizados para la dimensión a y para V0.
a = 1; V0 = 1;
Elegimos el valor NN = impar de posibles coeficientes. Dado que, en este caso,
los pares serán nulos, el número de los coeficientes no nulos será NN+1
2 .
De a NN los valores 1, 2, · · · para ver como se va aproximando la solución.
NN = 49;
Tablapot = Table[
4 V0
n π
Sin[
n π x
a
] Exp[−
n π y
a
], {n, 1, NN, 2}];
nn = Dimensions[Tablapot][[1]];
V = 0;
Do[V = V + Tablapot[[i]], {i, 1, nn}]
poisson1a = Plot3D[V, {x, 0, a}, {y, 0,
a
2
}, ViewPoint → {2, 0, 1},
PlotPoints → 30, AxesLabel → {”x”, ”y”, ”V”}];
poisson2a = ContourPlot[V, {x, 0, a}, {y, 0,
a
2
}, ContourStyle → Hue[0,2],
FrameLabel → {”x”, ”y”}]
La figura A.30a muestra la gráfica tridimensional V (x, y). La figura A.30b muestra
el correspondiente gráfico de contorno, en el que se marcan las lı́neas equipoten-
ciales.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-409-320.jpg)
![a-44
0
0.25
0.5
0.75
1
x
0 0.2 0.4
y
0
0.25
0.5
0.75
1
V
0
0.25
0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
(a) (b)
Figura A.30:
A continuación se representan las secciones de la gráfica del potencial para dis-
tintos valores y = cte. De esta forma podremos observar que al distanciarnos
del origen va disminuyendo la importancia de los armónicos superiores, de forma
que, para y grande, sólo es apreciable la contribución del primer armónico (n = 1).
Téngase en cuenta que el armónico decrece de la forma V (y+λn)
V (y) = 1
e a lo largo de
la distancia
λn =
a
π
1
n
Elegimos el valor concreto de y = mul × a especificando el valor del término
multiplicador.
mul = 0;
poisson3a = Plot[{V/.y → mul ∗ a, V0}, {x, 0, a}, PlotRange → All,
PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]},
GridLines → {{1}, None}, AxesLabel → {”x”, ”V”}];
La sección y = 0 (mul = 0), figura A.31, muestra el fenómeno de Gibbs.
Éste muestra la no idoneidad del desarrollo de Fourier para la aproximación de
funciones discontinuas.
b) Si ahora, por ejemplo, limitamos la caja en la dirección y ter-
minándola en y = b con una banda a potencial Vb, habrá que substituir
la condición V (x, ∞) = 0 por V (x, b) = Vb, con lo que B1n 6= 0 y deberemos
escribir
V =
X
no
sen (nπ
x
a
)
³
An enπ y
a + Bn e−nπ y
a
´
de donde se deduce que](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-410-320.jpg)
![a-49
^
ρ
^
ρ
H( , )
ρ ϕ
µ oo
µ 0
ϕ
H 0
x
^
y
^
ϕ
Figura A.34:
Hϕ(a, ϕ) = 0
porque el hilo tiene permeabilidad infinita y, según la ley de refracción
de las lı́neas de campo, ~
H(a, ϕ) debe ser perpendicular a la superficie.
Puesto que ~
H = −∇ U, las condiciones de contorno pueden ser expre-
sadas en función del potencial magnético escalar:
Para ρ → ∞
∂ U
∂ ρ
= −H0 cos ϕ ,
1
ρ
∂ U
∂ ϕ
= +H0 sen ϕ
e integrando
U(ρ → ∞, ϕ) = −H0 ρ cos ϕ
Hemos anulado la constante de integración puesto que ésta sólo
afecta al origen de los potenciales.
Para ρ = a
1
a
∂ U(a, ϕ)
∂ ϕ
= 0 ⇒
∂ U(a, ϕ)
∂ ϕ
= 0
Puesto que el intervalo de ϕ es [0, 2π], n debe ser real y entero y, dada
la forma de la condición en el infinito, debe contener al término
(n = 1, k = 0), con A2 = 0. Es necesario que n = 1 porque, en caso con-
trario (n 1), para ρ → ∞ el potencial presentarı́a dependencias de
cos n ϕ. También es necesario que k = 0 porque el potencial es propor-
cional a ρ en las lejanias del hilo.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-415-320.jpg)
![Apéndice B
Aplicaciones numéricas
En este apéndice trataremos los fundamentos de una serie de métodos numéricos
aplicados comunmente a la solución de problemas electromagnéticos, esencialmente, los
problemas de Poisson, de difusión y de propagación. Analizaremos los aspéctos básicos
y los ilustraremos mediante programas Mathematica sencillos. Dejaremos a la biblio-
grafı́a 1 un tratamiento más amplio y riguroso.
B.1. Ecuación de Poisson
En su forma diferencial, la ecuación de Poisson
∇2
f(~
r) = −D(~
r) (B.1)
es del tipo
L f(~
r) = g(~
r) (B.2)
donde L = ∇2 es un operador lineal, f una función incógnita y g una función conocida.
El curso de la solución numérica de esta ecuación diferencial suele conducir a un
sistema de ecuaciones algebráicas lineales que puede escribirse de la forma
e
A · ~
x = ~
b , Aij xj = bi (B.3)
donde e
A es la matriz de los coeficientes de las ecuaciones, ~
b el vector de los términos
independienes y ~
x el vector de incógnitas. Las componentes de este último pueden
representar a los valores del potencial en una red de puntos del espacio problema o,
simplemente, a los coeficientes de un desarrollo en serie.
La solución final se obtiene invirtiendo la ecuación anterior
~
x = e
A−1
·~
b (B.4)
La inversión directa de e
A puede ser problemática por diversas razones. En particular,
en espacios de dos o tres dimensiones, con un número de incógnitas razonable, el coste
1
[Burden, Demidowitsch, Morton, Volkov]
b-1](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-427-320.jpg)
![b-2
computacional de memoria y tiempo de cálculo, o la acumulación de errores de redondeo,
pueden resultar excesivos. Los distintos métodos que presentamos difieren entre sı́ por
el camino seguido para el planteamiento del sistema de ecuaciones y por la estrategia
adoptada para la inversión aproximada de este último.
B.1.1. Métodos de residuos pesados
Sea f una solución aproximada de la ecuación B.2 en V, obtenida como combi-
nación lineal de un conjunto adecuado de funciones base independientes {fj(~
r)}, j =
1, 2 · · · , N.
f ' f = αj fj(~
r) (B.5)
donde {αj} es un conjunto de coeficientes que minimizan, de alguna forma, la diferencia
entre la solución aproximada y la exacta. Al ser N un número necesariamente finito,
las soluciones obtenidas por este tipo de métodos es aproximada salvo que la solución
pertenezca al espacio subtendido por las funciones base.
Definimos el residuo como el resultado de aplicar el operador L a la diferencia entre
la solución aproximada y la exacta.
ρ(~
r) ≡ L f(~
r) − g(~
r) = αj L fj(~
r) − g(~
r) (B.6)
Si f(~
r) = f(~
r), r = 0.
Los métodos de residuos pesados se basan en la anulación de las integrales
Ri =
Z
V
ρ(~
r) pi(~
r) dv = 0 (B.7)
donde {Ri} son los residuos pesados y {pi(~
r)}, i = 1, 2 · · · , N, las funciones peso 2.
La elección concreta de un conjunto de funciones peso nos proporciona distintos
métodos de esta familia.
B.1.1.1. Método de Galerkin
El método de Galerkin toma como funciones peso a las funciones base
pi(~
r) = fi(~
r)
Substituyendo en B.7
Z
V
fi(~
r) [αj L fj(~
r) − g(~
r)] dv = 0
que puede escribirse en forma matricial
bi = Aij xj
identificando a
2
Tomaremos la misma dimensión para las funciones base y peso](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-428-320.jpg)
![b-3
bi =
Z
V
fi(~
r) g(~
r) dv , Aij =
Z
V
fi(~
r) L fj(~
r) dv , xj = αj
siendo g y fj conocidos y αj los coeficientes que hay que determinar para que Ri = 0 ∀i.
Una vez calculados estos coeficientes, la solución aproximada viene dada por la expresión
B.5.
B.1.1.2. Método de ajuste puntual
El método de ajuste puntual 3 toma como funciones peso a las delta de Dirac
pi(~
r) = δ(~
r − ~
ri)
en una red de puntos {~
ri} de V.
Luego , escribiendo [L fj(~
r)]~
r=~
ri
= L fj(~
ri), B.8 toma la forma
Z
V
δ(~
r − ~
ri) [αj L fj(~
r) − g(~
r)] dv = αj L fj(~
ri) − g(~
ri) = 0 (B.8)
lo que equivale a forzar el cumplimiento de la ecuación diferencial en cada uno de los
puntos de la red.
En este caso
bi = g(~
ri) , Aij = L fj(~
ri) , xj = αj
B.1.1.3. Método de mı́nimos cuadrados
Este método puede interpretarse como dos problemas equivalentes:
La minimización de un error cuadrático, definido de la forma
E =
1
2
Z
V
ρ(~
r)2
dv
La anulación de residuos pesados eligiendo las funciones peso
pi(~
r) = L fi(~
r)
Efectivamente, para minimizar el error cuadratico hay que resolver el sistema de
ecuaciones
∂ E
∂ αi
= 0
lo que equivale, como puede comprobarse derivando, a
Z
V
L fi(~
r) [αj L fj(~
r) − g(~
r)] dv = 0
3
En inglés se conoce por los nombres point collocation (matching) method.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-429-320.jpg)
![b-4
B.1.2. Metodo de los momentos
El método de los momentos 4 5 permite la solución del problema de Poisson en su
versión integral y , en particular, hallar la distribución de carga en la superficie de un
sistema de conductores, conocido el potencial a que se encuentra cada uno de ellos. A
partir de la distribución de carga se obtiene, de forma directa, el campo y el potencial
en cualquier punto del espacio.
Para ilustrar el uso de este método en electromagnetismo, se aplicará al cálculo de
la distribución de carga sobre la superficie de un conductor a potencial conocido V0,
según se muestra en la figura B.1.
R
r ’
V0 ρs r ’
O
V( r )
Q
r
( )
S’
V’
r V’
R
Figura B.1:
La solución de la ecuación de Poisson, siendo tanto V (~
r) como ρ(~
r) desconocidos,
salvo en el conductor, puesto que está al potencial V0, puede abordarse numéricamente
a partir de su expresión integral
V (~
r) =
1
4πε0
Z
S 0
ρs(~
r 0) ds0
R
(B.9)
Tomando a ~
r en el interior del conductor
V0 =
1
4πε0
Z
S 0
ρs(~
r 0) ds0
R
(B.10)
donde V0 es el potencial en cualquier punto del interior del volumen V 0 del conductor,
R la distancia entre el punto interior ~
r ∈ V 0, en el que se calcula el potencial, y otro
4
Véase [Harrington].
5
El momento de orden n de una función f(x) es Mn[f(x)] =
R
xn
f(x)dx. Este método utiliza
integrales análogas a la anterior, en las que xn
se substituye por una función peso p(x), que, por
extensión, reciben el nombre genérico de momento.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-430-320.jpg)
![b-5
genérico de ~
r 0 ∈ S 0 , en el que se evalúa la densidad (véase la figura B.1) 6.
La solución de la ecuación B.10 conduce a la obtención de la densidad superficial de
carga sobre el conductor. Esta última ecuación puede expresarse de forma análoga a la
B.2.
L(~
r, ~
r 0
) [f(~
r 0
)] = g(~
r) (B.11)
donde L es un operador integral lineal que, aplicado a una función f = f(~
r 0) descono-
cida, da como resultado una función g(~
r) conocida. En el caso que nos ocupa
L[ ] =
1
4πε0
Z
S 0
[ ]
ds0
R
, f(~
r 0
) = ρ(~
r 0
) , g(~
r) = V0
Para resolver B.11 seguiremos un camino análogo al utilizado en la sección anterior.
Elegimos una base {fj(~
r 0)} de dimensión N, para aproximar la solución de la forma
f(~
r 0
) ' f(~
r 0
) = αj fj(~
r 0
) (B.12)
donde {αj} serán también los coeficientes a determinar.
Dada la linealidad del operador L, la introducción de la expresión B.12 en la ecuación
B.11, da lugar a una versión aproximada de esta última
αj Lfj(~
r 0
) = g(~
r) (B.13)
A continuación se eligen N funciones peso {pi(~
r)} y se halla un producto interno 7
de la ecuación B.13 con los mismos.
αj hpi, Lfji = hpi, gi (B.14)
Este sistema de ecuaciones, en el que los productos internos son escalares conocidos
y las αi son las incógnitas, puede escribirse en la forma matricial ya mencionada
Aij xj = bi (B.15)
donde
Aij = hpi, Lfji , bi = hpi, gi , xj = αj
Como en los casos anteriores, la solulción es
f ' αj fj
6
Si el potencial se calcula en un punto de S 0
, en su proximidad (~
r ∈ S 0
→ ~
r 0
) y
1
R
→ ∞, por lo que
la integral presenta una singularidad en ~
r 0
= ~
r. Esta dificultad puede soslayarse colocando los puntos
de observación en el interior de V.
7
El producto interno de una función F con una función p suele definirse como una integral que, en el
caso presente, se realiza sobre las coordenadas ~
r. Lo anotaremos de forma abreviada como hp, Fi. Véase
la siguiente aplicación para concretar las elecciones de funciones base y peso y las del producto interno.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-431-320.jpg)
![b-6
B.1.2.1. Aplicación al cálculo de la capacidad de un hilo conductor delgado:
metodo momentos.nb
8
En la figura B.2a se representa un segmento recto de hilo conductor, cuyo radio es
a y cuya longitud es l, que se ha centrado sobre el eje coordenado z. Se calculará la
densidad de carga a lo largo del mismo en función del potencial a que se encuentra con
respecto al infinito.
i
z
(b)
ρ
z
z
z
z N
j
1
l
αj
z
(a)
l
a
0
z= l
z
∆
Figura B.2:
El segmento se ha dividido en N celdas de igual longitud ∆z, cuyos puntos centrales
servirán de referencia para las funciones peso y base. Los {zi} para las primeras y los
{zj} para las segundas.
Por simplicidad, elegimos como funciones peso a las delta de Dirac
pi(z) = δ(z − zi) (B.16)
centradas en las zi .
Tomamos como producto interno de pi(z) con F(z)
hpi, Fi ≡
Z l
z=0
δ(z − zi) F(z)dz = F(zi) (B.17)
por lo que pi extrae el valor de F en el punto zi.
8
Véase [Umashankar]](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-432-320.jpg)
![b-8
Una vez resuelta la ecuación B.15, la capacidad del hilo será
C =
Q
V0
=
1
V0
Z l
z=0
ρl dz
=
1
V0
∆z
N
X
i
αi (B.23)
La resolución de un ejemplo concreto se realizará mediante Mathematica.
Programa Mathematica metodo momentos.nb:
La solución numérica del problema propuesto requiere el cumplimiento de algunas
restricciones. Por tratarse de un hilo delgado, a l. Además debe cumplirse la condi-
ción ∆z a.
Remove[”Global0
∗ ”]; (B.24)
$TextStyle = {FontFamily → ”Times”, FontSize → 14}; (B.25)
Elección de los valores de la longitud del hilo l metros, el radio a metros y el número
de segmentos N = NN. Se puede experimentar con el programa asignándole distintos
valores a estas variables.
l = 1 ; a = 0,001 ; NN = 99; (B.26)
Se dan los valores de ε0 = e0, de la longitud del intervalo ∆z = Dz y el de g =
4πε0 V0.
e0 = 8,8510−12
; Dz =
1
NN
; g = 1; (B.27)
La última asignación implica darle al potencial el valor V0 =
1
4πε0
.
Se continúa por la inicialización de ciertos vectores y la definición de otros: (xi) =
alfa, (bi) = beta, (zi) = zi, (zj) = zj, (Aij) = L y (zi, xi) = lalfa.
alfa = Table[0, {i, 1, NN}]; beta = Table[g, {i, 1, NN}]; (B.28)
zi = Table[
Dz
2
+ (i − 1) ∗ Dz, {i, 1, NN}]; zj = zi; (B.29)
L = Table[0, {i, 1, NN}, {j, 1, NN}]; lalfa = Table[0, {i, 1, NN}, {j, 1, 2}]; (B.30)
Cáculo de la matriz L:
int =
Z B
A
1
p
a2 + (u − v)2
; (B.31)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-434-320.jpg)
![b-9
Do[L[[i, j]] = int/.{A → zj[[j]] −
Dz
2
, B → zj[[j]] +
Dz
2
, v → zi[[i]]},
{j, 1, NN}, {i, 1, NN}]; (B.32)
LinearSolve[A, b] encuentra el vector x solución de la ecuación matricial A · x = b.
alfa = LinearSolve[L, beta]; (B.33)
Se genera la gráfica ρl(z), previa la la construcción de la matriz lalfa
Do[{lalfa[[i, 1]] = zi[[i]], lalfa[[i, 2]] = alfa[[i]]}, {i, 1, NN}]; (B.34)
grafalfa = ListPlot[lalfa, PlotRange → {0, 1.1 ∗ alfa[[1]]},
PlotLabel → ” Densidad de carga”, AxesLabel → {”z”, ”densidad”},
Axes → True, GridLines → {{0.5, 1}, {alpfa[[(NN + 1)/2]], alpfa[[(1]]}},
PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], AbsolutePointSize[2]}]; (B.35)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
z
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
rl Densidad lineal de carga
Figura B.4:
Cálculo de la carga en culombios y la capacidad en picofaradios
Q =
NN
X
i=1
alfa[[i]]; (B.36)
CpF = 4 ∗ Pi ∗ e0 ∗ Q ∗ 1012
(B.37)
B.1.3. Método de diferencias finitas
Este método hace uso de las diferencias finitas centradas para aproximar la ecuación
de Poisson
∇2
f(~
r) = −D(~
r) (B.38)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-435-320.jpg)
![b-10
Para ilustrar su fundmento 9, figura B.5, abordaremos el problema bidimensional
definiendo una red uniforme y rectangular que incluya al dominio del problema. Sólo
romperemos la regularidad de la red en el contorno, sobre el que situaremos nudos en
los puntos de intersección con los hilos de la misma.
...
.
.
.
f4
f1
f1
f2
f2
f3
f3
f4
δ
I
J
δ
δ
δ 3
δ 4
1
2
1 2 3 4 5 6
7
Ν−1 Ν
a
b
n
x
y
δ
δ
δ
...
...
Figura B.5:
De esta forma se obtienen estrellas regulares, como la correspondiente al nudo I =
(xi, yi) y sus cuatro vecinos
(xi ± δ, yi) , (xi, yi ± δ)
y estrellas irregulares, que contienen nudos del contorno, como la que rodea a J =
(xj, yj), compuesta por nudos a distancias desiguales de J. En general, los nudos vecinos
son
(xj + δ1, yj) , (xj − δ2, yj) , (xj, yj + δ3) , (xj, yj − δ4)
En cualquier caso, si las δ son suficientemente pequeñas, podemos desarrollar el
potencial en serie de Taylor alrededor de cualquier nudo (x, y)
f(x + δ, y) = f(x, y) + δ
∂ f
∂ x
+
1
2
δ2 ∂2 f
∂ x2
+ O(δ3
)
Dando a δ los valores ±δ, restando y despreciando términos de orden O(δ3), obten-
emos
d f
d x
'
f(x + δ, y) − f(x − δ, y)
2δ
(B.39)
9
Véase [Smith]](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-436-320.jpg)
![b-16
y
Rα =
1
4
(2Vδ + Vγ + Vµ) − Vα (B.52)
2. En los nudos de las esquinas 1 (1, n+1) y 2 (n+1, n+1) se cumplen ambas condi-
ciones ∂ V
∂ x = 0 y ∂ V
∂ y = 0.
En 1, los puntos exteriores son δ y µ, con lo que
Rα =
1
2
(Vβ + Vγ) − Vα (B.53)
En 2
Rα =
1
2
(Vδ + Vγ) − Vα (B.54)
3. En los tramos a1 (1, j, 2, m) y a2 (1, j, m+2, n) se cumple la condición ∂ V
∂ x = 0 ya
que la simetrı́a entre el primer y segundo cuadránte implica que
Vδ = Vβ ⇒
∂ V
∂ x
= 0
de lo cual resulta
Rα =
1
4
(2Vβ + Vγ + Vµ) − Vα (B.55)
El programa que se describe en el siguiente apartado actualiza los valores del po-
tencial en cada nudo comenzando por la frontera, a1, a2, 1, b, 2 y c. A continuación
actualiza el interior (d, e y f) y elabora una estimación de la convergencia sumando los
valores absolutos de los residuos.
Programa Mathematica:metodo DF SOR condensador.nb:
Remove[”Global0
∗ ”]; (B.56)
$TextStyle = {FontFamily → ”Times”, FontSize → 14}; (B.57)
Se especifican:
- Los valores de n = NN, m = MM y l = LL.
NN = 30 ; MM = 10 ; LL = 15 ; itmax = 1000; (B.58)
- El valor de la constante de relajación a = AA . Este valor es óptimo para este
problema y para las especificaciones anteriores.
AA = 1,95 ; (B.59)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-442-320.jpg)
![b-17
- El número máximo de iteraciones itmax y la cota de error emax que alcanzará el
resultado si el número de iteraciones realizadas no supera a itmax.
itmax = 1000 ; emax = 0,001; (B.60)
Se inicializan las matrices que han de almacenar los valores del potencial y del error
resultante después de cada iteración. A esta última se le asigna un valor monodimension-
al que, posteriormente, mediante la orden Append, irá incrementando sus dimensiones
hasta que haya almacenado los sucesivos valores de el error resultante al final de cada
una de las iteraciones realizadas k.
v = Table[0, {i, 1, NN + 1}, {j, 1, NN + 1}]; (B.61)
errorit = Table[0, {i, 1, 1}]; (B.62)
El potencial en la placa es V = 1.
Do[v[[i, MM + 1]] = 1, {i, LL + 1}]; (B.63)
En la figura B.8 representa gráficamente el potencial inicial de la red.
ListPlot3D[Transpose[v], ViewPoint → {0, 0, 2}, PlotRange → {0, 1}]; (B.64)
10 20 30
10
20
30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura B.8:
Se dan valores iniciales al número k de iteraciones realizadas y al error cometido
en las sucesivas iteraciones
k = 0; error = 1; (B.65)
Se llevan a cabo iteraciones sucesivas mientras que el error sea mayor que el máximo
estipulado pero sin sobrepasar el número máximo de iteraciones itmax. Esto se realiza](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-443-320.jpg)
![b-18
mediante el lazo condicional While, cuyo formato es While[condición, cuerpo de la
iteración] 15. cuerpo es un conjunto de órdenes sucesivas separadas por (;) y condición es
una condición lógica tal que, mientras ésta se cumple, cuerpo se ejecuta iterativamente.
Cuando deja de cumplirse, el lazo finaliza. La orden B.65, error = 1, permite que la
primera iteración comience ya que error emax.Dado que esta orden no cabe en una
página, será necesario distribuirla en dos.
While[(error emax)(k itmax), (B.66)
error = 0; k = k + 1; (B.67)
Do[ (B.68)
res =
1
4
(2 ∗ v[[1 + 1, j]] + v[[1, j + 1]] + v[[1, j − 1]]) − v[[1, j]];
v[[1, j]] = v[[1, j]] + AA ∗ res,
{j, 2, MM}];
Do[ (B.69)
res =
1
4
(2 ∗ v[[1 + 1, j]] + v[[1, j + 1]] + v[[1, j − 1]]) − v[[1, j]];
v[[1, j]] = v[[1, j]] + AA ∗ res,
{j, MM + 2, NN}];
res =
1
2
(v[[1, NN]] + v[[2, NN + 1]]) − v[[1, NN + 1]]; (B.70)
v[[1, NN + 1]] = v[[1, NN + 1]] + AA ∗ res;
res =
1
2
(v[[NN, NN + 1]] + v[[NN + 1, NN]]) − v[[NN + 1, NN + 1]]; (B.71)
v[[NN + 1, NN + 1]] = v[[NN + 1, NN + 1]] + AA ∗ res;
Do[ (B.72)
res =
1
4
(2 ∗ v[[i, NN]] + v[[i − 1, NN + 1]] + v[[i + 1, NN + 1]])
−v[[i, NN + 1]];
v[[i, NN + 1]] = v[[i, NN + 1]] + AA ∗ res,
{i, 2NN}];
Do[ (B.73)
res =
1
4
(2 ∗ v[[NN, j]] + v[[NN + 1, j + 1]] + v[[NN + 1, j − 1]])
−v[[NN + 1, j]];
v[[NN + 1, j]] = v[[NN + 1, j]] + AA ∗ res,
{j, 2, NN}];
El lazo se ha cortado en esta lı́nea pero continúa en la página siguiente
15
Consúltese la ayuda de Mathematica.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-444-320.jpg)
![b-19
Do[ (B.74)
res =
1
4
(v[[i + 1, j]] + v[[i − 1, j]] + v[[i, j + 1]] + v[[i, j − 1]]) − v[[i, j]];
v[[i, j]] = v[[i, j]] + AA ∗ res;
error = error + Abs[res],
{i, 2, NN}, {j, 2, MM}];
Do[ (B.75)
res =
1
4
(v[[i + 1, MM + 1]] + v[[i − 1, MM + 1]] + v[[i, MM + 1 + 1]]
+v[[i, MM + 1 − 1]])
−v[[i, MM + 1]];
v[[i, MM + 1]] = v[[i, MM + 1]] + AA ∗ res;
error = error + Abs[res],
{i, LL + 2, NN}];
Do[ (B.76)
res =
1
4
(v[[i + 1, j]] + v[[i − 1, j]] + v[[i, j + 1]] + v[[i, j − 1]]) − v[[i, j]];
v[[i, j]] = v[[i, j]] + AA ∗ res;
error = error + Abs[res],
{i, 2, NN}, {j, MM + 2, NN}];
If[k == 1, errorit[[k]] = error, errorit = Append[errorit, error]] (B.77)
]; (B.78)
El lazo condicional comienza en la lı́nea B.66, donde se establece la condición, y
termina en la B.78.
En la lı́nea B.67 se inicializa error = 0 para que al final de la iteración esta
variable contenga la suma de los errores calculados a lo largo de esta iteración
en los nudos interiores. Asimismo, se actualiza el valor de k que identifica a la
iteración en curso.
Los lazos Do que conmienzan en las lı́neas B.68 y B.69 calculan los valores de los
potenciales en los nudos de los tramos del contorno a1 y a2 16.
En la lı́nea B.70 se calcula el residuo del nudo de esquina 1 y en la siguiente el
potencial correspondiente. En la B.71 y la siguiente se hacen los mismos cálculos
para el nudo 2.
Los Do que conmienzan en las lı́neas B.72 y B.73 aplican las condiciones de
contorno a los nudos de b y c.
16
Véase la figura B.7.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-445-320.jpg)
![b-20
Los Do que conmienzan en las lı́neas B.74, B.75 y B.76 calculan los valores del
potencial en las zonas d, e y f respectivamente.
El If de la lı́nea B.77 construye la lista errorit, de dimensión k, que contiene los
errores (error) calculados en todas las iteraciones realizadas.
Resuelto el problema, se lee el número de iteraciones realizadas it
it = k (B.79)
y se comprueba que el error alcanzado es inferior a emax.
error (B.80)
Por último, se realizan las siguientes gráficas:
- Evolución de la convergencia del proceso de iteración, figura B.9.
ListPlot[errorit, PlotJoined → True, (B.81)
PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], AxesLabel → {”k”, ”error”}];
20 40 60 80 100
k
2
4
6
8
10
12
14
error
Figura B.9:
- Lı́neas equipotenciales para v = {0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9}.
ListContourPlot[Transpose[v], ColorFunction → Hue, (B.82)
Contours → {0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9}];
Según se observa en la figura B.10, las equipotenciales son normales al contorno de
la izquierda, por simetrı́a, y a los de arriba y derecha porque el campo es tangencial a
los mismos. La simetrı́a del primer contorno exige también que la componente normal
del campo se anule en él.
- Potencial a lo largo de las siguintes lı́neas paralelas entre sı́:
Central (i=0).
Extremo de condensador (i=LL+1).](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-446-320.jpg)
![b-21
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Figura B.10:
Fuera del condensador (i=LL+6).
v1 = Table[0, j, 1, NN + 1]; (B.83)
Do[v1[[j]] = v[[1, j]], j, NN + 1] (B.84)
v1gr = ListPlot[v1, PlotJoined → True, (B.85)
PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], AxesLabel → {”i”, ”V”},
DisplayFunction → Identity];
v2 = Table[0, j, 1, NN + 1]; (B.86)
Do[v2[[j]] = v[[LL + 1, j]], j, NN + 1] (B.87)
v2gr = ListPlot[v2, PlotJoined → True, (B.88)
PlotStyle → RGBColor[0, 1, 0], AxesLabel → {”i”, ”V”},
DisplayFunction → Identity];
v3 = Table[0, j, 1, NN + 1]; (B.89)
Do[v3[[j]] = v[[LL + 6, j]], j, NN + 1] (B.90)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-447-320.jpg)
![b-22
v3gr = ListPlot[v3, PlotJoined → True, (B.91)
PlotStyle → RGBColor[0, 0, 1], AxesLabel → {”i”, ”V”},
DisplayFunction → Identity];
Show[v1gr, v2gr, v3gr, DisplayFunction → $DisplayFunction]; (B.92)
5 10 15 20 25 30
i
0.2
0.4
0.6
0.8
1
V
Figura B.11:
La figura B.11 muestra conjuntamente los potenciales de las tres lı́neas. El de la
central en rojo, el de la del extremo en verde y el de la externa en azul.
El programa metodo DF SOR condensador.nb resuelve el problema de los dos elec-
trodos puntuales. Aquı́ sólo se muestran sus resultados: V (x, y) en la figura B.12 y las
lı́neas equipotenciale en la B.13.
10 20 30
10
20
30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura B.12:
B.1.4. Métodos variacionales
Algunos de los métodos numéricos más utilizados para la solución de problemas
electromagnéticos se fundamentan en principios variacionales. Aquı́ los introduciremos](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-448-320.jpg)
![b-24
Efectivamente, se define como primera variación de φ a
δφ ≡
∂ φ(x)
∂ x
δx (B.94)
Dado que en un punto estacionario
³
∂ φ(x)
∂ x
´
x=x0
= 0, también lo es cualquier δφ alrede-
dor de dicho punto.
Desarrollando en serie φ(x + δx) y despreciando términos de orden O(δ2), se com-
prueba que δφ ' φ(x + δx) − φ(x)
Nos interesa resaltar que el operador δ conmuta con el de derivación parcial, ya que,
al ser δx independiente de x,
δ
µ
∂ φ(x)
∂ x
¶
=
∂2 φ(x)
∂ x2
δx =
∂
∂ x
µ
∂ φ(x)
∂ x
δx
¶
=
∂
∂ x
(δφ)
En concreto
δ
µ
∂ φ
∂ x
¶
=
∂
∂ x
(δφ) (B.95)
Estos conceptos son extensibles a funciones de varias variables y a funcionales.
Sea V el volumen del problema. En el contorno S fijamos condiciones de Dirichlet,
Neumann o mixtas, que pueden formularse convenientemente con las expresiones
[f]S1
= fs ⇒ [δf]S1
= 0 (B.96)
[η ~
n · ∇ f + β f]S2
= γ (B.97)
donde S1 es aquella parte de S en la que se cumplen condiciones de Dirichlet, S2 aquella
otra en la que se cumplen las mixtas, ~
n la normal a S y β y γ funciones definidas en S2.
Las condiciones de Dirichlet fijan el valor del potencial para cada punto de la super-
ficie S1, por lo que la primera variación del potencial δf en dichos puntos es nula. Para
que la solución sea única, este tipo de condiciones debe fijarse en al menos un punto del
contorno. Por esta razón, también se les denomina condiciones esenciales.
En las condiciones de Neumann, expresión B.97 con β = 0, lo que fijamos es la
componente normal del campo ~
F = −∇f
[Fn]S = Fns = − [∇ f · ~
n]S = −
γ
η
Si en la expresión B.97 hacemos β 6= 0 en alguna zona del contorno, las condiciones
serán mezcladas.
En particular, si β = γ = 0, las condiciones que se cumplen son las homogéneas de
Neumann ∇ f · ~
n = 0.
En resumen, se divide la superficie en tres partes S = S1 + S2 + S3. En la primera,
que puede reducirse a un solo punto o extenderse a toda la superficie, se imponen
condiciones de Dirichlet. Opcionalmente, pueden imponerse condiciones mixtas en la
segunda y ninguna condición en la tercera. Este último caso equivale a la imposición de
la condición de Neumann homogénea en S3.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-450-320.jpg)
![b-25
Definiremos el funcional
Φ(ϕ) ≡
Z
V
½
1
2
η ∇ ϕ · ∇ ϕ − g ϕ
¾
dv +
Z
S2
½
1
2
β ϕ2
− γ ϕ
¾
ds (B.98)
y demostraremos que es estacionario para ϕ(~
r) = f(~
r), donde f(~
r) es la solución de
B.93 que cumple las condiciones de contorno especificadas, de tipo B.96 o B.97. Ésto
nos permitirá substituir la búsqueda directa de la solución f por la de una función ϕ
que haga estacionario al funcional Φ(ϕ).
Para comprobarlo, demostraremos que
[δΦ(ϕ)]ϕ=f = 0
Variando B.98 19
δΦ(ϕ) =
Z
V
η ∇ ϕ · ∇ δϕ dv
| {z }
(I)
−
Z
V
δϕ g dv +
Z
S2
δϕ {β ϕ − γ } ds (B.99)
Para escribir la integral (I) se ha tenido en cuenta que δ(∇ ϕ) = ∇(δϕ), según se
vio en B.94.
Si recordamos que ∇ · (λ ~
a) = λ ∇ · ~
a + ~
a · ∇λ y hacemos ~
a = η ∇ϕ y λ = δϕ
(I) =
Z
V
∇ · (δϕ η ∇ ϕ) dv
| {z }
II
−
Z
V
δϕ ∇ · (η ∇ ϕ) dv
y, aplicando el teorema de la divergencia a II,
(I) =
Z
S2
δϕ η ∇ ϕ · ~
n ds −
Z
V
δϕ ∇ · (η ∇ ϕ) dv
donde se ha tenido en cuenta que δϕ = 0 en S1 y ∇ ϕ · ~
n = 0 en S3.
Substituyendo esta ultima expresión en B.99, se tiene que
δΦ(ϕ) = −
Z
V
δϕ {∇ · (η ∇ ϕ) + g)} dv +
Z
S2
δϕ {η ~
n · ∇ ϕ + β ϕ − γ } ds = 0
Vemos, pués, que δΦ = 0 para cualquier δϕ arbitrario porque, según B.93, en V
∇ · (η ∇ ϕ) + g = 0
y, según B.97, en S2
η ~
n · ∇ ϕ + β ϕ − γ = 0
Luego la función ϕ = f hace estacionario a Φ(ϕ), es decir,
µ
∂ Φ(ϕ)
∂ ϕ
¶
ϕ=f
= 0 (B.100)
En lo que sigue, estudiaremos métodos que permiten, con mayor o menor eficacia,
la resolución aproximada de este problema.
19
Las variaciones sólo afectan a las funciones de ϕ.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-451-320.jpg)
![b-27
Programa Mathematica ejemplo Ritz.nb:
Solución analı́tica:
Remove[Global‘∗]; Off[General :: spell1];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 11};
Se integra la ecuación B.103
f = 1 − x;
V =
Z µ
a2 −
Z
f dx
¶
dx + a1
donde a1 y a2 son la constantes de integración, y se aplican las condiciones de contorno
B.104 en los extremos del intervalo.
V0 = V/. x → 0;
Vn1 = ∂x V/. x → 1;
A partir de estas condiciones se calculan las constantes de integración a1 y a2.
ecuaciones = {V0 == 0, Vn1 == 0};
solreglas = Solve[ecuaciones, {a1, a2}];
solreglas es una lista {{a1 →?, a2 →?}}que contiene la regla de asignación de valor
a a1 y a2. Para sacar estos valores de la lista, se ejecutan las órdenes siguientes:
a1 = a1/. solreglas; a2 = a2/. solreglas;
a1 = a1[[1]]; a2 = a2[[1]];
con lo que se completa la solución. Su expresión puede verse ejecutando la orden siguiente
V
En la figura B.14 puede comprobarse que
¡d V
d x
¢
x=1
= 0.
Plot[V, {x, 0, 1}, PlotRange → All,
PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0]}, AxesLabel → {”x”, ”V”}];
Solución por el método de Ritz:
Comenzamos eligiendo la función de prueba: Es evidente que la solución es un poli-
nomio de tercer grado.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-453-320.jpg)
![b-28
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.025
0.05
0.075
0.1
0.125
0.15
V
Figura B.14:
fi = c0 + c1 ∗ x + c2 ∗ x2
+ c3 ∗ x3
;
Sólo es necesario imponer la condición de contorno en x = 0. La de Neumann
homogénea se cumple automaticamente al minimizar el funcional.
fi0 = fi/. x → 0;
Se calcula c0.
ccreglas = Solve[fi0 == 0, {c0}];
c0 = c0/. ccreglas;
c0 = c0[[1]];
A continuación se calcula el funcional del problema.
Fi =
Z 1
0
µ
1
2
(∂x fi)2
− f ∗ fi
¶
dx;
y se formula y soluciona el sistema de ecuaciones.
Fi1 = ∂c1Fi, Fi2 = ∂c2Fi, Fi3 = ∂c3Fi;
ecuaciones = {Fi1 == 0, Fi2 == 0, Fi3 == 0};
ritzreglas = Solve[ecuaciones, {c1, c2, c3}];
c1 = c1/. ritzreglas; c2 = c2/. ritzreglas; c3 = c3/. ritzreglas;
c1 = c1[[1]]; c2 = c2[[1]]; c3 = c3[[1]];
Puede comprobarse que V = ϕ](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-454-320.jpg)
![b-31
∂ Φ1
∂ f2
+
∂ Φ2
∂ f2
= 0 ,
∂ Φ2
∂ f3
= 0
f3 es el valor de la función de prueba en el último nudo por lo que sólo aparece en el
funcional del último elemento.
En concreto
2 f2 − f3 =
1
8
, f2 − f3 = −
1
48
⇒ f2 =
7
48
, f3 =
1
6
La figura B.16 muestra la solución exacta, en rojo, y la aproximada, la lı́nea que-
brada, en azul.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.025
0.05
0.075
0.1
0.125
0.15
V
Figura B.16:
B.1.4.4. Método de los elementos finitos (Ritz)
Con el ejemplo anterior hemos puesto de manifiesto las caracterı́sticas fundamen-
tales de los métodos de elementos finitos 24 tomando como base el método de Ritz,
pero es evidente que puede hacerse un planteamiento análogo basándose en métodos no
variacionales como el de Galerkin. En la práctica es necesario ajustar la solución a un
número muy superior de elementos. Por esta razón, en lo que sigue plantearemos esta
cuestión con algo más de generalidad.
En la actualidad, estos métodos se aplican de forma eficaz a problemas escalares y
vectoriales de muy distinto tipo y cabe resaltar, como una de las caracterı́sticas más
interesantes, su capacidad para modelar superficies curvas y adaptar su red de forma que
suministre información más o menos densa en distintas zonas de V y puedan analizarse
con más precisión las zonas en las que la dicha solución varı́a más rápidamente.
A diferencia de los métodos básicos de Ritz y de Galerkin, que resultan ineficaces
para problemas no demasiado simples, los métodos de los elementos finitos hacen uso, en
general, de funciones de prueba locales fe(~
r) definidas en pequeños elementos Ve ∈ V. De
esta forma, la elección de las funciones base deja de ser determinante y pasa a un plano
secundario. Si los elementos son pequeños, la aproximación de la solución dentro de los
mismos puede llevarse a cabo con una base de pequeña dimensión. En la práctica, la
más utilizada es, al mismo tiempo, la más simple, la correspondiente a una interpolación
lineal, como ya hemos visto en el ejemplo anterior.
24
Véase [Jin].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-457-320.jpg)
![b-34
Para los elementos de la figura B.17, particularmente para los triángulos , la función
de prueba local más utilizada es la que interpola linealmente los valores fe
j , j = 1, · · · n
de los nudos del elemento e 27.
fe
(~
r) = αe
1 + αe
2 x + αe
3 y (B.112)
Dado que ésta es una función interpolante, en las posiciones de los nudos j debe ser
igual a fe
j .
fe
(~
rj) = fe
j , j = 1, · · · , n (B.113)
donde ~
rj es el vector coordenado de cada uno de dichos nudos. Si los elementos son
lo suficientemente pequeños, esta función es apropiada para aproximar la solución. En
las zonas donde esta última varı́a más rápidamente puede refinarse la red utilizando
elementos de menor tamaño.
Como puede verse en la figura B.17b, la recta que une a los nudos 1 y 2 (numeración
local) del elemnto 3, es la frontera que separa a este elemento del 2, por lo que la
funciones de prueba respectivas, f3 y f2, interpolan linealmente f2 y f5 (numeración
global). f es, por lo tanto, una función continua en V.
Forzando la condición B.113 se tiene que 28
fe
(~
r) =
n
X
j=1
Ce
j (~
r) fe
j (B.114)
donde las funciones Ce
j (~
r) son funciones de la posición dentro del elemento Ve y fe
j los
valores, a determinar, de la solución en los nudos correspondientes.
Dadas la condiciones B.113, la Ce
j toman el valor 1 en el nudo j y 0 en los demás
nudos del elemento, asi como en su exterior.
Ce
j (~
rk) = δjk (B.115)
Puesto que al calcular el funcional Φ estas fuciones se integran, dan lugar a cons-
tantes. En consecuencia Φ = Φ(f1, · · · , fN ), es decir, es un función de los valores de la
función de prueba f en los nudos de la red global.
En concreto, para el elemento 3
C3
1 (~
r) =
1
2A3
[(y2 − y3) x + (x3 − x2) y + x2y3 − x3y2]
C3
2 (~
r) =
1
2A3
[(y3 − y1) x + (x1 − x3) y + x3y1 − x1y3]
C3
3 (~
r) =
1
2A3
[(y1 − y2) x + (x1 − x2) y + x1y2 − x2y1] (B.116)
donde
27
En 3D se añadirı́a a fe
el término ce
3 ∗ z .
28
Ésta es una alternativa a la expresión B.107.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-460-320.jpg)
![b-41
Nótese que a y b son los valores iniciales de las constantes, α y β las modificaciones
de las anteriores y que d no se modifica.
A continuación se calculan en sentido inverso las fi
fN =
βN
αN
fi =
βi
αi
+
di
αi
fi+1 , i = N − 1, · · · , 2 (B.144)
donde fi+1 ya ha sido calculada.
Programa Mathematica ejemplo elem finitos 1D.nb:
Remove[Global‘∗]; Off[General :: spell1];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 11};
La solución V del problema propuesto se encuentra en el ejemplo B.1.4.2.
V =
x
2
−
x2
2
+
x3
6
;
Ahora buscaremos la aproximación de esta solución mediante el método de elementos
finitos.
Elegimos el número total de nudos NN y expresamos la longitud L de cada elemento
en función del mismo.
NN = 11;
L =
1
NN − 1
;
Definimos el vector fi = {fi} que almacenará los potenciales en los nudos.
fi = Table[0, {i, 1, NN}];
y los vectores a = {ai} y b = {bi}, que almacenarán ai y bi y sus modificaciones αi y
βi, y d = {di}, cuyas componentes no se alteran.
a = Table[
2
L
, {i, 1, NN}]; a[[1]] = 0; a[[NN]] =
1
L
;
b = Table[L + L2
− L2
∗ i, {i, 1, NN}];
b[[1]] = 0 b[[NN]] =
1
2
L +
2
3
L2
−
1
2
L2
∗ NN;](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-467-320.jpg)
![b-42
d = Table[
1
L
, {i, 1, NN − 1}]; d[[1]] = 0;
Se modifican los valores de ai y b1 de acuerdo con las expresiones B.143
Do[a[[i]] = a[[i]] −
d[[i − 1]]2
a[[i − 1]]
, {i, 3, NN}];
Do[b[[i]] = b[[i]] +
d[[i − 1]] ∗ b[[i − 1]]
a[[i − 1]]
, {i, 3, NN}];
y se calculan las fi de acuerdo con las B.144.
fi[[NN]] =
b[[NN]]
a[[NN]]
;
Do[fi[[i]] =
b[[i]]
a[[i]]
+
d[[i]]
a[[i]]
fi[[i + 1]], {i, NN − 1, 2, −1}];
Presentación de resultados:
En primer lugar formaremos la tabla fi2 = {xi, fi}
fi2 = Table[{L ∗ (i − 1), fi[[i]]}, i, 1, NN];
y representamos Vi = fi frente a x en la figura B.20.
ListPlot[fi2, PlotRange → All,
PlotStyle → {RGBColor[0, 1, 0], AbsolutePointSize[3]},
AxesLabel → {”x”, ”V”}];
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.025
0.05
0.075
0.1
0.125
0.15
f_i
Figura B.20:
A continuación calcularemos y representaremos el error relativo cometido al substi-
tuir a la solución analı́tica por la numérica.
Determinamos el máximo de los fi, (fi)maximo = mfi.
mfi = Max[fi];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-468-320.jpg)
![b-43
Hacemos una interpolación de primer orden de la serie {xi, fi} para obtener la
función de prueba f = fiinter
fiinter = Interpolation[fi2, InterpolationOrder → 1]
y definimos el error relativo.
erel =
fiinter[x] − V
mfi
;
Puede comprobarse que éste es nulo, dentro de la resolución del ordenador, en los
nudos xi.
erel/.x → 0.5
Por último, representamos el error relativo en la figura B.21.
Plot[erel, {x, 0, 1}, PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], AxesLabel → {”x”, ”erel”}];
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
-0.007
-0.006
-0.005
-0.004
-0.003
-0.002
-0.001
erel
Figura B.21:
B.2. Ecuación de ondas
B.2.1. Propagación de ondas en medios no homogeneos (1D).FDTD −
1D − medios.nb.
En esta sección ampliaremos el estudio ya realizado para el vacı́o de método
FDTD 33 34, sección 4.6, programa FDTD 1D − vacio.nb, por lo que la lectura de
esta sección debe hacerse en paralelo con la anterior.
Abordaremos dos nuevas cuestiones:
La propagación de ondas a través de medios con propiedades no homogéneas.
33
En recuerdo de K. Umashankar.
34
véase [Taflove].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-469-320.jpg)
![b-45
medio inicial medios dispersores medio final
punto de
absorcion
punto de
absorcion
punto de
iluminacion
campo
disperasdo
zona de zona de
campo
total
zona
final
(x)
0
µ , ε , σ (x)
0
H
I 1 F-1 F
z
E
x
y
x x x x
0
x
µ , ε F
0
µ , ε 0
Figura B.22:
Dominio del problema:
El problema que planteamos está definido, en principio, en el dominio (−∞ x
∞) pero, como se indica en la figura B.22, se reduce numéricamente al [x0 ≤ x ≤ xF ]
mediante la aplicación de condiciones de contorno adecuadas en x0 y xF .
Según la figura anterior, el espacio numérico se divide en tres tipos de medio:
a) Vacı́o, medio inicial. La onda incidente viaja a través de este primer medio hacia
los medios dispersores y éstos reaccionan generando los campos dispersados que viajan
en sentido contrario.
b) Dispersores. En el intervalo [x1, xF−1] se encuentran los medios dispersores, cuyas
propiedades vienen descritas por
µ = µ0 , εr = εr(x) , σ = σ(x)
En los ejemplos contemplados aquı́, el espacio será homogéneo a trozos, es decir, las
propiedades serán constantes dentro de cada medio.
c) Medio final. Este último medio sera un dieléctrico ideal homogéneo o un conductor
ideal. En el primer caso en el punto final xF se imponen condiciones absorbentes y, en
caso contrario, condiciones reflectantes.
En este mismo espacio definiremos dos zonas.
α) Zona de campo dispersado, en la que sólo se calcula el campo dispersado. El
campo incidente se simula como una onda que viaja en el sentido positivo del eje x a
partir del punto de iluminación xI, el cual se sitúa en el interior del medio inicial.
β) Zona de campo total, en la que se calcula el campo total.
Red numérica:
Tal y como se describe en la seccion 4.6, el espacio y el tiempo se discretizan a
intervalos δx y δt, pero numeraremos los nudos de una forma distinta a la utilizada
en la figura 4.14. Esta numeración, figura B.23, es más apropiada para el manejo de
matrices 35.
35
Las componentes de una matriz de dimensión N se referencian por su posición dentro de la misma](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-471-320.jpg)
![b-46
-1 eléctrico
campo
magnético
condiciones
iniciales
iteración ni
iteración 1
n=τ/δτ+1
1
2
3
2 ni+1
celda 1 celda 2 celda nc celda nc+1
b
i=x/ x
δ +1
1 2 3 4 2 nc+1
2nc-1
1
1
α
β
+
−β
campo
condiciones de contorno
+
i
i
i
(i,n)
(i,n)
pares
impares
a
Figura B.23:
x = (i − 1)δx , i = 0, · · · 2nc + 1
τ = (n − 1)δτ , n = 0, · · · 2ni + 2 (B.149)
En este caso: 36
~
e se evalúa en posiciones impares i = 1, 3, · · · 2nc + 1 y en instantes impares
n = 1, 3, · · · 2ni + 1 (en la figura ’¦’).
~
B se evalúa en posiciones pares i = 0, 2, · · · 2nc y en instantes pares i =
2, 4, · · · 2ni + 2 (en la figura ’◦’).
Discretización de los operadores:
Como en la sección anteriormente referenciada, se aproximarán las derivadas median-
te diferencias finitas centradas, d f(α)
d α ' Dα[f(α)].
Dα[f(α)] =
1
2h
{f(α + h) − f(α − h)}
mediante un ı́ndice j = 1, 2, · · · N.
36
En la literatura de FDTD, se suele localizar al campo eléctrico en (i, n), donde i y n son enteros, y
al magnético en (i + 1
2
, n + 1
2
).](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-472-320.jpg)
![b-47
Pero para discretizar la ecuación la ecuación B.147 se requieren valores de ey en
instantes pares, los correspondientes a By. Para colocar adecuadamente a estas com-
ponentes del campo, se aproxima dicho valor mediante un promedio temporal. Como
puede comprobarse desarrollando en serie f(τ + δτ) y f(τ − δτ)
Pτ [f(τ)] =
1
2
{f(τ + δτ) + f(τ − δτ)} ' f(τ)
En adelante anotaremos estas operaciones de la forma
Dα[f(α)] ≡ Dα ◦ f , Pτ [f(τ)] ≡ Pτ ◦ f
Avance temporal:
Como en el caso anterior, para obtener los algoritmos de avance temporal de los cam-
pos, debemos deducir las versiones discretas de las ecuaciones B.147 y B.148 y despejar
las componentes en el momento actual en función de valores calculados anteriormente.
Haremos uso de la notación f(i, n) ≡ fn
i , εr(i) ≡ ²i y tendremos en cuenta que en las
relaciones de avance temporal e debe aparecer en lugares e instantes impares y B en
lugares e instantes pares.
En este caso, como puede verse en la figura B.23, situamos el centro de las dos
estrellas en i, n − 1, donde (i, n) son impares para la estrella (b) y pares para la (a).
De esta forma, la ecuación B.147 da lugar a
²i Dτ ◦ en−1
i = −γi Pτ ◦ en−1
i − Dx ◦ Bn−1
i , i, n = impares (B.150)
y la B.148 a
Dτ ◦ Bn−1
i = −Dx ◦ en−1
i , i, n = pares (B.151)
Elegiremos, como en la sección 4.6
δx = δτ = δ
con lo que aseguramos la estabilidad en el vacı́o y en los demás medios, con tal de que
nos limitemos a valores de εr ≥ 1.
Despejando en
i de B.150 y Bn
i de B.151 se obtienen los algoritmos de avance temporal
en
i = αi en−2
i + βi
£
Bn−1
i−1 − Bn−1
i+1
¤
, i, n = impares (B.152)
Bn
i = Bn−2
i + en−1
i−1 − en−1
i+1 , i, n = pares (B.153)
donde
αi =
²i − δ γi
²i + δ γi
, βi =
1
²i + δ γi
(B.154)
Como ya hemos dicho, los medios que trataremos son homogéneos a trozos. Aho-
rramos una cantidad substancial de memoria si en vez de almacenar el valor de las](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-473-320.jpg)
![b-55
Es necesario determinar estos parámetro de forma que ni sea suficiente para que
la pelı́cula muestre todos los aspectos importantes del problema y que la ejecución
no se demore excesivamente.
Constantes de los algoritmos de avance:
Se calculan las contantes de los medios αm y βm y se almacenan en las matrices
alfa y beta.
Funciones de iluminación:
Se definen las funciones f[ii , n ] que determinan la onda armónica del primer
ejemplo y la pulsada del segundo.
Condiciones iniciales:
Se inicializa a ~
0 la matriz campos en al que se almacenarán e y B.
Otras definiciones:
Se calcula la constante CC del algoritmo de absorción en la posición final 2 nc+1
para el primer ejemplo y se calculan numéricamente expresiones que serı́a necesario
computar un número elevado de veces durante el lazo siguiente: las posiciónes
del inicio de los dos últimos medios I2 e I3, la última posición ifB del campo
magnético, la última interior del campo eléctrico ife y la de la frontera derecha
ifi.
3. Aquı́ se indica el comienzo del lazo Do que calculará los campos para cada una
de las iteraciones. El ı́ndice de iteración será el k = 1, 2 · · · ni.
Es importante, con objeto de no saturar al ordenador, que los cálculos masivos se
hagan de forma numérica. Para ello se hace uso de la función N[ ].
4. Se comienza reservando las componentes del campo electrico cercanas a la frontera
de acuerdo con las expresiones B.159.
5. Este bloque representa al Do , ii = 3, 5 · · · , 2 ife que calcula las componentes
interiores del campo eléctrico mediante la fórmula de avance B.152.
6. Se ilunina el campo eléctrico de acuerdo con B.164 y la figura B.25. En la función
f(i, n) debe expresarse el ı́ndice temporal en función del de la iteración. En este
caso n = 2 ∗ k + 1.
7. Se aplican las condiciones de contorno. En la primera posición se aplica la absor-
bente B.157.
En la última posición, según el caso, se aplicará la reflectante
campos[[2 ∗ n + 1]] = 0
o la absorbente
campos[[2 ∗ n + 1]] = ede + C ∗ campos[[2 ∗ n + 1]] − C ∗ campos[[2 ∗ n − 1]]](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-481-320.jpg)
![b-57
Programa: FDTD − 1D − medios.nb:
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
Parámetros geométricos:
M = 3; nL = 100;
ejemplo =
Input[”Si desea ejecutar el primer ejemplo, introduzca el valor 1,
si desea ejecutar el segundo introduzca el 2”];
Which[ejemplo == 1,
{nL1 = 2 ∗ nL; II = 2 ∗ nL + 1; nL2 =
nL
4
√
epsilon2
;
nL3 = Round[
nL
√
epsilon3
]; epsilon2 =
25
16
;
epsilon3 = epsilon22
; gamma2 = 0; gamma3 = 0; },
ejemplo == 2,
{nL1 = 3 ∗ nL; II = 4 ∗ nL + 1; nL2 = 2 ∗ nL; nL3 = 0; epsilon2 = 1;
epsilon3 = 1; gamma2 = 0.005; gamma3 = 0},
True, Print[”Valor erroneo de ejemplo”]];
nc = nL1 + nL2 + nL3;
Parámetros temporales:
nfo = 100; nif = Ceiling[
2 ∗ nc
nfo
];
ni = nfo ∗ nif;
Propiedades de los medios:
epsilon = Table[1, {nn, 1, M}];
La siguiente orden es un ejemplo de como generar una serie de variables, en este caso
las epsilon’-’. La función ToString[ ] convierte en texto al ı́ndice nn y la StringJoin[ ]
agrega este texto al ”epsilon”. Por último, la orden ToExpression[ ] convierte el texto
”epsilonnn” a formato ejecutable, es decir, en la variable epsilonnn. De esta forma,](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-483-320.jpg)
![b-58
dichas variables pueden almacenarse automaticamente en el vector epsilon. Este pro-
ceso se hace necesario cuando el número de datos a manejar es elevado.
Do[
epsilon[[nn]] = ToExpression[StringJoin[”epsilon”, ToString[nn]]],
{nn, 2, M}];
gamma = Table[0, {nn, 1, M}];
Do[
gamma[[nn]] = ToExpression[StringJoin[”gamma”, ToString[nn]]],
{nn, 2, M}];
alfa = Table[1, {nn, 1, M}]; beta = alfa;
Do[
{alfa[[m]] =
epsilon[[m]] − gamma[[m]]
epsilon[[m]] + gamma[[m]]
;
beta[[m]] =
1
epsilon[[m]] + gamma[[m]]
},
{m, 2, M}];
Funciones de iluminación:
If[ejemplo == 1,
f[ii , n ] = Sin[
π
nL
(ii − II − n)],
f[ii , n ] =
1
2 ∗ 0.65
(1 − Cos[
π
nL
(ii − II − n)])] ∗ Sin[
π
nL
(ii − II − n)];
Condiciones iniciales:
campos = Table[0, {ii, 1, 2 ∗ nc + 1}];
Otras definiciones:
CC =
√
epsilon3 − 1
√
epsilon3 + 1
;
I2 = 2 ∗ nL1 + 1; I3 = I2 + 2 ∗ nL2;](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-484-320.jpg)
![b-59
ifB = 2 ∗ nc; ife = 2 ∗ nc − 1; ifi = 2 ∗ nc + 1;
Do temporal:
Do[{m = 1, eiz = campos[[3]], ede = campos[[2 ∗ nc − 1]],
Do[{If[(ii == I2)||(ii == I3), m = m + 1],
campos[[ii]] = N[alfa[[m]] ∗ campos[[ii]]+
beta[[m]] ∗ (campos[[ii − 1]] − campos[[ii + 1]])]},
{ii, 3, ife, 2}],
Which[ejemplo == 1, campos[[II]] = N[campos[[II]] + f[II − 1, 2 ∗ k]],
ejemplo == 2k (nL + 1),
campos[[II]] = N[campos[[II]] + f[II − 1, 2 ∗ k]]],
campos[[1]] = eiz,
If[ejemplo == 1, campos[[ifi]] = ede + CC ∗ campos[[2 ∗ nc + 1]]
−CC ∗ campos[[2 ∗ nc − 1]],
campos[[ifi]] = 0],
Do[campos[[ii]] = N[campos[[ii]] + campos[[ii − 1]] − campos[[ii + 1]]],
{ii, 2, ifB, 2}],
Which[ejemplo == 1,
campos[[II − 1]] = N[campos[[II − 1]] + f[II, 2 ∗ k + 1]],
ejemplo == 2k (nL + 1),
campos[[II − 1]] = N[campos[[II − 1]] + f[II, 2 ∗ k + 1]]],
If[Mod[k, nif] == 0,
{tcampose = Table[{ii, campos[[ii]]}, {ii, 1, 2 ∗ nc + 1, 2}],
tcamposB = Table[{ii, campos[[ii]]}, {ii, 2, 2 ∗ nc, 2}],
gre = ListPlot[tcampose, PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0],
GridLines → {{{II, {Dashing[{.01, .01}], RGBColor[1, 0, 0]}},
{I2, {RGBColor[0, 1, 0]}}, {I3, {RGBColor[0.5, 0, 1]}}}, {−1, 1}},
PlotJoined → True, PlotRange → {−1.3, 1.3},
DisplayFunction → Identity],
grB = ListPlot[tcamposB, PlotStyle → RGBColor[0, 0, 1],
PlotJoined → True, PlotRange → {−1.3, 1.3},
DisplayFunction → Identity],
Show[gre, grB, DisplayFunction → $DisplayFunction]}]},
{k, 1, ni}];
El If del segundo Do incrementa el ı́ndice de medios al pasar por cada una de las
fronteras.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-485-320.jpg)
![b-60
El primer Which ilumina el campo eléctrico según el ejemplo elegido. La diferencia
entre estos ejemplos es que la duración del pulso se extiende solamente a las primeras
nL iteraciones.
A continuación se aplica la condición absorbente izquierda y con el If siguiente la
correspondiente a la derecha.
El If[Mod[k, nif] · · · genera y muestra los fotogramas.
En la figura B.27 se presentan cuatro fotogramas de la pelı́cula correspondiente al
primer ejemplo.
(c)
100 200 300 400 500
-1
-0.5
0.5
1
100 200 300 400 500
-1
-0.5
0.5
1
100 200 300 400 500
-1
-0.5
0.5
1
(a)
(d)
(b)
100 200 300 400 500
-1
-0.5
0.5
1
Figura B.27:
Iteración 96 (figura B.27a): Muestra como el algoritmo de iluminación ha generado,
a partir del punto de iluminación (lı́nea vertical discontinua), una onda senoidal
que viaja hacia la derecha y está a punto de llegar a la frontera del segundo medio.
Iteración 198 (figura B.27b): La onda incidente ha atravesado ya el segundo medio
sin llegar al final del tercero. Puede verse, por la modificación de las amplitudes en
el primer medio, como las reflexiónes en las discontinuidades crean ondas disper-
sadas que viajan hacia la izquierda. La primera reflexión, en la primera frontera
(posición 400), está a punto de llegar al punto de iluminación.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-486-320.jpg)
![c-3
dos partes: el núcleo interno, con un radio de 1.240 ± 10 Km, y el núcleo externo que
se extiende hasta un radio de 3483 ± 2 Km. Todo el núcleo es muy homogéneo en
composición, fundamentalmente hierro, aunque el interno es sólido y el externo fluido.
Se supone que el núcleo externo está dotado de un movimiento de convección y
de rotación no uniforme que acoplado al campo magnético lo amplifica mediante un
mecanismo de dinamo autoexcitada. Este movimiento convectivo no es observable di-
rectamente y sus fuentes energéticas tampoco se conocen con certeza. Entre ellas podrán
contarse la energı́a cinética de rotación y la de desintegración del potasio K40 que se
supone disuelto en el propio núcleo; de hecho, bastarı́a una potencia modesta, la sum-
inistrada por una central nuclear de tipo medio, para manterner al campo magnético
terrestre.
Dado que la temperatura interna sobrepasa a la de Curie más allá de unos 25 Km
por debajo de la superficie, la Tierra no puede ser el gran imán propugnado por Gilbert
( La temperatura de Curie, del orden de 600oC para los minerales de interés, es aquella
por encima de la cual los materiales ferromagnéticos pasan a ser paramagnéticos). La
temperatura del núcleo se estima en unos 3 − 4.000oC.
C.2. Morfologı́a del campo magnético superficial
El campo magnético en la superficie de la Tierra viene siendo medido sistemática-
mente desde el tiempo de Gauss. Su obra Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus,
publicada en 1838, puede considerarse como el punto de partida del moderno Geomag-
netismo.
Puesto que la superficie terrestre es externa a las fuentes del campo - su origen reside
principalmente en el núcleo terrestre, un 95 %, y en la ionosfera - éste es representable
en sus proximidades por un potencial escalar que cumple la ecuación de Laplace y que
puede ser desarrollado en serie de armónicos esféricos con respecto al eje de rotación y al
centro terrestre. La contribución interna vendrı́a representada por una serie convergente
de las potencias de (a/r), donde a es el radio de la Tierra y r la distancia al centro de la
misma, y la contribución externa por una serie en potencias de (r/a). Gauss demuestra
que el promedio anual del campo total se debe sólo a las fuentes internas, por lo que la
aportación externa varia con periodo corto sobre una media nula.
El potencial debido a las fuentes internas se expresa mediante el desarrollo:
Uint =
∞
X
n=1
a (
a
r
)n+1
Sn(θ, λ)
Sn =
n
X
m=0
Pm
n (cos θ) [gm
n cos (mλ) + hm
n sen (mλ)]
donde Pm
n son los polinomios asociados de Legendre, gm
n y hm
n constantes a determinar
y λ y θ la longitud y la latitud geográficas.
En la expresión anterior, los términos en los cuales n = 1 (m = 0, 1) corresponden
a un dipolo centrado e inclinado con respecto al eje de rotación. Si a esta aportación](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-491-320.jpg)
![Apéndice E
Corrientes cuasiestacionarias.
Teorı́a de Circuitos
E.1. Introducción
Teóricamente, las ecuaciones de Maxwell, con unas condiciones iniciales y de con-
torno adecuadas, tienen una solución única para cada problema electromagnético. En
la práctica, sin embargo, la estructura de los medios puede ser tan compleja que hagan
impracticable una solución exacta. Afortunadamente, algunos problemas de gran impor-
tancia, que no son manejables dentro del formalismo de la teorı́a de campos, admiten
tratamientos aproximados alternativos.
Ası́, pués, en el limite de las altas frecuencias, el formalismo de la óptica de rayos
permite resolver problemas que desde otro punto de vista serı́an excesivamente com-
plicados. Puesto que estos temas se incluyen tradicionalmente en la Optica, no nos
ocuparemos más de ellos.
Otro tanto ocurre en el limite de bajas frecuencias con la teorı́a de circuitos. La sim-
plicidad con que los circuitos eléctricos pueden ser representados y estudiados confiere
a estos una gran importancia. Importancia que viene resaltada por el hecho de que el
mismo formalismo es aplicable a otros muchos problemas análogos de tipo mecánico,
térmico, atómico, etc. Los sistemas de corrientes cuasiestacionarias, que definiremos
más adelante, pueden estudiarse por la versión más simple de la teorı́a de circuitos, la
de parámetros localizados, que permite representar a dichos sistemas por ecuaciones
diferenciales lineales de coeficientes constantes.
En lo que sigue se hará a una rápida exposición de los fundamentos de la teorı́a de
circuitos de parámetros localizados o de corrientes cuasiestacionarias.
E.2. Conexión entre la teorı́a de campos y la de Circuitos
[Gómez].
Haremos uso del mismo tipo de convenio ya utilizado para circuitos de corrientes
estacionarias e introduciremos nueva nomenclatura, como tensión, caı́da de potencial u
otra que se definirá en su momento, que es de uso normal en esta disciplima
e-1](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-529-320.jpg)
![e-2
La teorı́a de circuitos de parámetros localizados estudia el comportamiento de sis-
temas electromagnéticos, circuitos, que pueden ser descritos como interconexiones de
diversos tipos de elementos de dos terminales.
(b)
i(t)
v(t) (t)
ε
i(t)
1 2
1 2
(a)
Figura E.1:
Entendemos por elemento de dos terminales un sistema con dos terminales, bien
definidos desde el punto de vista eléctrico, entre los que puede establecerse, con poca
ambigüedad, una relación integro-diferencial entre la intensidad que pasa por el elemento
y la caı́da de tensión a través del mismo. Los sentidos de referencia mutua entre las
caı́das de potencial e intensidades los tomaremos como se indica en la figura E.1a para los
elementos que llamaremos pasivos y en sentido contrario, figura E.1b, para los elementos
activos ideales o fuerzas electromotrices.
Un análisis riguroso de las condiciones bajo las que este tipo de tratamiento es válido
está fuera de lugar pero algunas consideraciones generales pueden acotarnos el problema
con suficiente precisión [Landau y Lifchitz MC].
Analizaremos las condiciones bajo las cuales el estado electromagnético global de
estos elementos puede ser descrito mediante dos variables de tipo eléctrico. Una de ellas
será la intensidad y la otra la caı́da de potencial, a la que nos referiremos indistintamente
como caı́da de tensión.
L
x=0 x=L
n n
0 L
V
S S
0
Figura E.2:
En primer lugar, veamos cuando puede hablarse de la intensidad que circula por un
tubo de corriente. Si consideramos una sección de tubo como la de la figura E.2, para
corrientes no estacionarias tendremos, de acuerdo con la ecuación de continuidad de la
corriente de conducción e integrando en un instante determinado sobre el volumen V
Z
SL
~
· d~
s −
Z
S0
~
· d~
s = −
d
d t
Z
V
ρ dv ⇒
i(L) − i(0) = −
d Q
d t
donde i es la intensidad que circula por el tubo en un instante determinado y Q la carga
almacenada en el mismo.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-530-320.jpg)
![e-13
de un circuito a una entrada armónica pura, respuesta en frecuencia, tiene un interés
general puesto que, sobre la base de ésta, puede reconstruirse la respuesta a una en-
trada de cuadrado sumable haciendo uso de la transformada de Fourier. En concreto,
comprobaremos que, aunque las señales armónicas no son estrictamente transformables
por Fourier, pueden ser tratadas con un formalismo análogo al utilizado en el apéndice
G, expresión G.4.
Para simplificar, nos planteamos la resolución de un circuito con una sola variable
independiente, y(t), y una sola incógnita, x(t), que representan indistintamente a ten-
siones o intensidades armónicas.
La primera tiene amplitud X0 y fase δ
x(t) = X0 cos(ω t + δ)
y la segunda, amplitud Y0 y fase α.
y(t) = Y0 cos(ω t + α)
La aplicación de las leyes de Kirchhoff nos permitirá obtener una ecuación lineal en
derivadas totales y con coeficientes constantes y reales que ligan a ambas variables.
LA x(t) = LB y(t)
donde LA y LB son operadores lineales con coeficientes constantes de orden n y m
respectivamente.
·
an
dn
dtn
+ · · · + a0
¸
| {z }
LA
x(t) =
·
bm
dm
dtm
+ · · · + b0
¸
| {z }
LB
y(t) (E.12)
Podemos resolver esta ecuación, como hicimos con los campos, utilizando el formal-
ismo fasorial, es decir, extendiendo analı́ticamente al plano complejo a las variables en
cuestión. Para ello definiremos
Y (t) = y(t) + j g(t) , g(t) = Y0 sen(ω t + α)
A Y (t) lo llamaremos fasor temporal de y(t). Podemos expresarlo de las formas
Y (t) = Y0 [cos(ω t + α) + j sen(ω t + α)] =
= Y0 ej(ω t+α)
=
= Y0 ejα
ejω t
=
= Y ejω t
(E.13)
donde Y = Y0 ejα es el fasor independiente del tiempo o, simplemente, fasor de entrada.
Es evidente, por superposición lineal, que si x(t) es la respuesta a y(t)
X(t) = x(t) + j z(t) = X0 [cos(ω t + δ) + j sen(ω t + δ)] =
= X0 ej(ω t+δ)
=
= X0 ejδ
ejω t
=
= X ejω t
(E.14)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-541-320.jpg)
![e-14
es la respuesta a Y (t) y que la respuesta real, buscada es
x(t) = Re[X(t)] = Re[X ejω t
] = (E.15)
= X0 cos(ω t + δ)
Substituyendo en E.12
LA X(t) = LB Y (t) ⇒ X LA ejω t
= Y LB ejω t
⇒
X(s) = T(s) Y (s) (E.16)
T(s) ≡
bm sm + · · · + b0
an sn + · · · + a0
(E.17)
siendo T(s) la función de transferencia de la variable Y a la X
E.5.1. Representación fasorial; impedancias y admitancias
A las relaciones integrodiferenciales entre la tensión y la intensidad de los elementos,
resistencia, capacidad y autoinducción
vR(t) = iR(t) R → iR = 1
R vR(t)
vL(t) = L d iL(t)
d t → iL(t) = 1
L
R
vL(t) dt
vC(t) = 1
C
R
iC(t) dt → iC(t) = C d vC (t)
d t
(E.18)
les corresponden relaciones algebraicas complejas cuando las variables son armónicas.
Si tomamos como entrada a la intensidad y como salida a la tensión, las funciones de
transferencia reciben el nombre de impedancia. Si lo hacemos al revés reciben el de
admitancia. Ası́, pués, las impedancias son
V = I Z ,
ZR = R
ZL = L s ≡ jω L
ZC = 1
C s ≡ 1
jω C
(E.19)
y las admitancias
I = V Y , Y =
1
Z
,
YR = 1
R
YL = 1
L s ≡ 1
jω L
YC = C s = jω C
(E.20)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-542-320.jpg)
![e-15
[Y]
R
= R
Z L
= j ωL
ZC
= j ω C
1/
YC
= j ω C
YR
= 1/ R
L
=
Y j ωL
1/
I
R
I
R
[Z]
[Z]
[Y]
Z
Figura E.14:
En adelante se utilizará la misma notación tanto para los fasores dependientes del tiempo
como para los independientes del mismo ya que las relaciones anteriores son válidas en
ambos casos.
En el plano complejo, estas impedancias y admitancias, forman los siguientes dia-
gramas fasoriales representados en la figura E.14.
Si, por ejemplo,
i = I0 cos(ω t + α) ⇒ I = I0 ejα
≡ I0, /α
VR = I R = I0 R ejα = VR0 ejα ⇒ vR(t) = Re
£
VR ejω t
¤
= VR0 cos(ω t + α)
VL = ω L I0 ej(α+π
2
)
= VL0 ej(α+π
2
)
⇒ vL(t) = VL0 cos(ω t + α + π
2 )
VC = I0
ω C ej(α−π
2
)
= VC0 ej(α−π
2
)
⇒ vC(t) = VC0 cos(ω t + α − π
2 )
Es decir, la caı́da de tensión en la resistencia está en fase con la intensidad, mientras
que la de la autoinducción esta adelantada en π
2 y la del condensador atrasada en π
2 .
En la figura E.15 se representan i(t), vR(t), vL(t) y vC(t) para α = 0.
El diagrama de fasores dependientes del tiempo está representado en la figura E.16.
Los fasores temporales giran con velocidad uniforme ω y sus proyecciones sobre el eje
real nos dan el valor instantáneo de las variables.
Basta con hacer uso del diagrama de los fasores independientes del tiempo, el cual
corresponde al instante t = 0 en el del dependiente del tiempo.
E.5.2. Asociación de elementos
Por asociación de elementos fundamentales pueden obtenerse elementos de dos ter-
minales más complejos o ramas.
Ac continuación consideraremos los dos tipos más simples de asociación de impedan-
cias: la serie y la paralelo.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-543-320.jpg)
![e-16
L0
v L
(t)
i (t)
vR
(t)
vC
(t)
VR0
VC0
I 0
V
t
Figura E.15:
t
R
VL
VC
I [V]
vR
(t)
vL
(t) vC
(t)
[V]
R
I
i(t)
α
ω
π/2
V
Figura E.16:](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-544-320.jpg)
![e-24
Los elementos diagonales Yii son la suma de las admitancias para las que el nudo
(i) es común.
Los elementos no diagonales Yij (i 6= j) son la suma, cambiada de signo, de las
admitancias de las ramas que unen a los nudos (i) y (j).
E.7. Teoremas fundamentales
Existen numerosos teoremas relativos a diversos aspectos de la teorı́a de cir-
cuitos. De entre ellos sólo consideraremos los más fundamentales [Le Page y Seely,
Balabanian y Bickart].
E.7.1. Teorema de superposición
Supongamos que un circuito cualquiera tiene un conjunto de fuentes independientes
de intensidad I0i y de tensión E0j. Dada la linealidad del sistema, cualquier variable
dependiente del circuito, Ix o Vx, puede expresarse como combinación lineal de las
fuentes independientes. Sea X la variable dependiente e {Yi} el conjunto de variables
independientes.
X =
X
i
Ai Yi =
X
i
Xi (E.26)
donde Ai son constantes y
Xi = Ai Yi = (X)Yj=0 , ∀j 6= i
Es decir, la respuesta X de un sistema lineal a un conjunto de entradas indepen-
dientes Yi puede expresarse como la suma de las respuestas parciales Xi a una sola de
las entradas Yi.
E.7.2. Teoremas de Thevenin y Norton
Enunciados :
Teorema de Thevenin
Un circuito puede ser representado, desde cualquier par de nudos, A y B, como
una fuerza electromotriz ideal en serie con una impedancia.
Vs = ET − Is ZT (E.27)
Teorema de Norton
Un circuito puede ser representado, desde cualquier par de nudos, A y B, como
una fuente de intensidad ideal y una impedancia en paralelo.
Is = IN − Vs YN (E.28)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-552-320.jpg)
![e-27
Teniendo en cuenta relaciones trigonométricas sencillas y definiendo ϕ = ϕ2 − ϕ1,
queda
P(t) =
1
2
I0 V0 cos ϕ +
1
2
I0 V0 cos(2ωt + ϕ1 + ϕ2) (E.33)
Observemos que la operación de calcular la potencia es no lineal, puesto que implica
la multiplicación de dos variables, resultando la frecuencia multiplicada por dos.
Si calculamos el promedio temporal de P(t), el segundo término, simétrico respecto
del eje temporal, se anulará . Por tanto queda
hP(t)i =
1
2
I0 V0 cos ϕ (E.34)
Esta expresión se conoce por el nombre vulgar de ley del coseno de ϕ y suele expresarse
también en función de los valores eficaces de la tensión y la intensidad, definidos como
Ve =
V0
√
2
, Ie =
I0
√
2
En forma fasorial
I = I0 ejϕ1
, V = V0 ejϕ2
con lo cual
hP(t)i =
1
2
Re[V I∗
] =
1
2
Re[I V ∗
] (E.35)
P
〉
〉
P(t)
v(t)
i(t)
t
Figura E.29:
En la figura E.29 se representa a P(t), i(t) v(t), para ϕ1 = 0, en función de t. En
ella se observa que, efectivamente, la frecuencia de oscilación de la potencia es doble
que la de la tensión e intensidad y que P(t) puede descomponerse en un término medio
hP(t)i más otro variable de media nula. En general, la potencia será en parte positiva,
las cargas ceden energı́a al elemento, y en parte negativa, las cargas toman energı́a del
elemento. En el caso de los elementos pasivos, la parte positiva es siempre mayor o igual
a la negativa.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-555-320.jpg)
![e-29
i = I0 cos ω t , v = V0 cos (ω t + ϕ)
se tiene lo siguiente:
(c)
i(t) i(t) i(t)
v(t) v(t) v(t)
(a) (b)
Figura E.32:
Resistencia.
En una resistencia la intensidad y la tensión están en fase, de manera que
P(t) =
1
2
I0 V0 +
1
2
I0 V0 cos(2ωt)
Condensador.
Como se ha visto en la representación fasorial, en un condensador, la tensión
está retrasada π
2 respecto a la intensidad, con lo cual ϕ = −π
2 y
P(t) =
1
2
I0 V0 sen(2ωt)
Autoinducción.
También vimos que en una autoinducción la tensión está adelantada en ϕ = π
2
respecto a la intensidad y, por lo tanto,
P(t) = −
1
2
I0 V0 sen(2ωt)
E.7.3.1. Teorema de la máxima transferencia de potencia
El teorema de Thevenin dice que cualquier circuito lineal, visto desde un par de ter-
minales A y B, es equivalente a una fuente con una fuerza electromotriz ET e impedancia
de salida ZT .
Supongamos, figura E.33, que entre A y B colocamos una impedancia de carga Zc
cuya magnitud podemos variar. La pregunta es: ¿ qué relación ha de existir entre ZT y
Zc para que la energı́a transferida por la fuente a la carga sea máxima?
Sea
Zc = x ejy
, ZT = ZT0 ejα
La potencia media disipada en la carga es
hPi =
1
2
Re[Vc I∗
c ]](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-557-320.jpg)
![e-30
c
T
Z
C V
T
(a) (b)
B
B
A A
Z Z
I
c
c
c
Figura E.33:
donde
Vc =
Et Zc
ZT + Zc
, Ic =
Et
ZT + Zc
⇒ I∗
c =
E∗
t
Z∗
T + Z∗
c
Substituyendo
hPi =
1
2
|Et|2
|ZT + Zc|2
Re [Zc]
Para obtener el valor máximo de hPi, habrá que derivar respecto a x e y , e igualar
a cero. Haciendo estas operaciones se obtiene
x = ZT0 , y = −α
de donde se deduce que, para que la carga consuma la máxima potencia,
(Zc)max = Z∗
T (E.36)
E.8. Estudio de los circuitos de primero y segundo orden
En los temas anteriores hemos revisado las caracterı́sticas generales de la Teorı́a de
Circuitos. En este nos detendremos en el estudio de los sistemas de primero y segundo
orden que, naturalmente, al ser los más simples son también los más importantes.
Analizaremos, por vı́a de ejemplo, la respuesta transitoria y la estacionaria, para
señales armónicas, de sistemas concretos.
E.8.1. Respuesta transitoria de sistemas lineales de primer orden
Estudiaremos los circuitos serie RL y paralelo RC y los serie RC y paralelo RL.
Circuitos serie RL y paralelo RC.
La figura E.34 representa a un circuito serie RL y su dual, el paralelo RC. Para el
primero calcularemos la intensidad que circula por él, mientras que ,para el segundo,
calcularemos la caı́da de tensión v(t). La dualidad se establece de la forma:](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-558-320.jpg)
![e-32
t
o
I II
t=0
o
Figura E.35:
La respuesta del sistema a este tipo de entrada se llama respuesta a un impulso del
sistema.
e(t) = x(t) + τ
d x(t)
d t
=
0 para t 6= 0
→ ∞ para t → 0
En la región I la entrada e(t) = 0, por lo que tanto la autoinducción, en el primer
circuito, como la capacidad, en el segundo, se encuentran en paralelo con una resistencia,
la cual es un elemento que disipa energı́a. Cualquier energı́a que en t → ∞ pudiera
haber estado almacenada en forma de campo magnético (en L) o eléctrico (en C) ha
sido disipada antes de cualquier instante cercano. Esto implica que
x(t 0) = x1(t) = 0
Para t 0
dx
x
= −
dt
τ
⇒ x = X0 e− t
τ
El valor de X0 se determina relacionando los valores de x(t) en el lı́mite de las
regiones I y II
x0+ ≡ lı́m
t→0, t0
x(t) = X0 , x0− ≡ lı́m
t→0, t0
x(t) = 0
Integrando la ecuación diferencial E.37 desde t = 0− a t = 0+
E0 τ
Z 0+
0−
δ(t) dt = E0 τ
| {z }
(a)=1
=
Z 0+
0−
x dt
| {z }
(b)=0
+τ [x(0+) − x(0−)] = τ X0 ⇒ X0 = E0
La itegral (b) = x ∆t = 0, de acuerdo con el teorema integral del valor intermedio, ya
que x es un valor comprendido entre x(0−) = 0 y x(0+) = X0 que se supone finito.
La solución
i(t) =
0 para t 0
V0
R e− t
τ para t 0](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-560-320.jpg)
![e-64
Por último
Ii = j I∗
i , Vi = (I∗
i−1 − I∗
i ) Xc para 1 i ≤ n (E.49)
y, pasando al dominio del tiempo,
ii(t) = I∗
i sen ω t
vi(t) = (I∗
i−1 − I∗
i ) XC cos ω t
Programa Mathematica prob − teocir − guia.nb:
(Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
Especificamos los datos numéricos de frecuencia ω, autoinducción por unidad de
longitud Ll, capacidad por unidad de longitud Cc y amplitud de la tensión de
entrada V1
ω = 2π; Ll = 1; Cc = 1; V1 = 1;
número de segmentos n en que se divide la longitud de la guı́a y número de fotos
nn que se tomará para hacer la pelı́cula.
n = 50; nn = 160;
A continuación definimos las magnitudes derivadas que se utilizan en el programa:
periodo T, longitud de onda λ, longitud de la lı́nea Lo, longitud del segmento ∆z,
reactancias Xl y Xc y coeficientes del sistema de ecuaciones a1, an, ai y b.
T =
2π
ω
; λ =
2π
ω
√
Ll ∗ Cc
; Lo = 1.25 ∗ λ;
∆z =
Lo
n
; Xl = ω ∗ Ll ∗ ∆z; Xc =
1
ω ∗ Cc ∗ ∆z
;
a1 = Xc − Xl; an = a1; ai = 2Xc − Xl; b = Xc;
Definimos las matrices iniciales que guardarán los valores de los coeficientes
α = (αi) y ν = (νi), las intendidades Ise(I∗
i ) y las gráficas de intensidad grizt
y de tensión grvzt a lo largo de la lı́nea y para cada fotograma de la pelı́cula.
α = Table[ai, {i, 1, n}]; α[[1]] = a1; α[[n]] = an;
ν = Table[0, {i, 1, n}]; ν[[1]] = V1;
Ise = Table[0, {i, 1, n}];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-592-320.jpg)
![e-65
grizt = Table[0, {i, 1, nn}];
grvzt = Table[0, {i, 1, nn}];
Calculamos los coeficientes αi y νi teniendo en cuenta que ci = bi = b.
Do[α[[i]] = α[[i]] −
b2
α[[i − 1]]
, {i, 2, n}];
Do[ν[[i]] = ν[[i]] +
b ∗ ν[[i − 1]]
α[[i − 1]]
, {i, 2, n}];
Calculamos las amplitudes de las intensidades de malla I∗
i .
Ise[[n]] =
ν[[n]]
α[[n]]
; Do[Ise[[i]] =
ν[[i]]
α[[i]]
+
b
α[[i]]
Ise[[i + 1]], {i, n − 1, 1, −1}];
Situamos a las intensidades de malla ii(t) en el centro de dichas mallas y las
guardamos en vectores {(i − 1
2 ) ∗ ∆z, I∗
i ∗ cos(2π t
T )}. Todos ellos se guardan en la
función temporal izt[t ].
izt[t ] := Table[{(i −
1
2
) ∗ ∆z, Ise[[i]] ∗ Sin[2π ∗
t
T
]}, {i, 1, n}];
y algo semejante se hace con las tensiones vi(t) en cada uno de los nudos (V1 = 1
y Vn+1 = 0).
vzt[t ] = Table[If[i == 1, {0, Cos[2π ∗
t
T
]},
{(i − 1) ∗ ∆z, (Ise[[i − 1]] − Ise[[i]]) ∗ Xc ∗ Cos[2π ∗
t
T
]}], {i, 1, n}];
vzt[t ] = Append[vzt[t], {Lo, 0}];
A continuación se generan los gráficas de la intensidad y la tensión que se in-
cluirán en cada fotograma, sin mostrarlas. El ı́ndice i da valores al tiempo y el k
ordena a los fotogramas.
k = 0;
Do[{k = k + 1, grizt[[k]] = ListPlot[izt[i], PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0],
PlotRange → {{0, 1.25}, {−1, 1}}, GridLines → {{1, 1.25}, {−1, 1}},
PlotJoined → True, DisplayFunction → Identity]}, {i, 0, T −
T
nn
,
T
nn
}];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-593-320.jpg)
![e-66
k = 0;
Do[{k = k + 1, grvzt[[k]] = ListPlot[vzt[i], PlotStyle → RGBColor[0, 0, 1],
PlotRange → {{0, 1.25}, {−1, 1}}, GridLines → {{1, 1.25}, {−1, 1}},
PlotJoined → True, DisplayFunction → Identity]}, {i, 0, T −
T
nn
,
T
nn
}];
Concluimos mostrando las graficas de la intensidad y la tensión, conjuntamente.
Do[Show[grizt[[k]], grvzt[[k]], DisplayFunction → $DisplayFunction], {k, 1, nn}]
Una vez generados los fotogramas, éstos pueden agruparse haciendo doble ’clic’
sobre el paréntesis 0]0 que abarca a todas las figuras, el segundo desde el interior de
la celda, y volviendo a realizar esta operación sobre la propia figura. Dos de estos
fotogramas están representados en las figuras E.78, la del potencial en azul y la
de la intensidad en rojo.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
1
(a)
(b)
Figura E.78:
Lo que se ve es una onda estacionaria, resultante de la interferencia de la onda
que viaja hacia el final de la guı́a con la reflejada en dicho extremo. La onda total
no se propaga sino que ambas variables oscilan con nodos y vientres fijos.
Dado que la lı́nea está cortocircuitada, la tensión en dicho extremo es nula y la
intensidad máxima (figura E.78a). Entre ambas variables existe un desfase tem-
poral y espacial tal que los nodos de una coinciden con los vientres de la otra](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-594-320.jpg)
![e-68
ZT = Z1||R , Z1 = R + Z2 , Z2 = R||ZL
donde el sı́mbolo A||B indica que la impedancia A está en paralelo con
la B.
Programa Mathematica impedancia − paralelo − serie.nb:
Remove[”Global‘ ∗ ”];
Definimos una función para calcular la asociación paralelo de dos impedancias.
Zp[A , B ] =
A ∗ B
A + B
;
Escibimos la impedancia de la autoinducción como ZL = jX
Z1 = Zp[R, i ∗ X]; Z2 = R + Z1;
ZT = Simplify[ComplexExpand[Zp[R, Z2]]]
Para calcular la impedancia de carga tomamos los valores R = X = 1
Zc = Conjugate[ZT/.{R → 1, X → 1}]//N
e-29. Halle la máxima potencia media que se le puede sacar a la fuente de la figura E.81
si la carga es una resistencia pura variable.
1
-
R c
F
µ
10 cos 10 t
3
1 K Ω
+
Figura E.81:
e-30. Halle la intensidad que pasa por la rama de impedancia Z0 del circuito de la figura
E.82 mediante el método de mallas.
e-31. Halle la intensidad que pasa por la rama de impedancia Z0 del circuito de la figura
E.83 utilizando el método de nudos.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-596-320.jpg)
![g-3
i
i
s2 s3 s4
s 5
s6
α= R [s]
β= I [s]
´
´ estables inestables
ces
Ra ces
Ra
s1
Figura G.2:
1 2 3 4 5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
x(t)
t
y(t)
Figura G.3:](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-613-320.jpg)
![g-4
corresponder a energı́as finitas. En los circuitos pasivos, para los que la relación entre
entrada y salida debe ser causal, la salida no podrá nunca preceder a la entrada.
De G.3 se deduce que, si se deja transcurrir un tiempo t τmax mucho mayor que
la máxima constante de tiempo del sistema, de la respuesta del mismo desaparecen los
términos exponenciales. Llamaremos respuesta estacionaria a
xe(t) = x(t τmax)
A la primera parte de la respuesta se le suele calificar como respuesta transitoria
Comúnmente se restringe el término de respuesta estacionaria al caso en que y(t),
como se muestra en la figura G.4, es el producto de una función armónica por la función
escalón unitario u(t).
y(t) = Y0 cos(ω t + α) u(t)
2 4 6 8 10
-1
-0.5
0.5
1
t
u(t) y(t)=cos ω t . u(t)
t
Figura G.4:
En este caso, una solución particular adecuada para la región t 0 es
xpnh(t) = X0 cos(ω t + δ)
que también es la solución estacionaria.
xe(t) = X0 cos(ω t + δ)
X0 y δ se calculan, de forma fácil, pero engorrosa, sin más que aplicar LA a xe e
identificar el resultado con ξ(t).
La figura G.5 representa un ejemplo tı́pico de entrada y salida de un sistema lineal.
Cuando x(t) e y(t) son transformables por Fourier, podemos obtener la respuesta
del sistema hallando la transformada de ambos miembros de G.1
F [LA x(t)] = F [LB y(t)]
Si empleamos la notación s ≡ j ω, la relación entre las componentes armónicas,
transformadas de Fourier o densidades espectrales X(s) e Y(s), de la entrada y de la
salida, puede escribirse
X(s) = T (s) Y(s) (G.4)
T (s) ≡
bm sm + · · · + b0
an sn + · · · + a0
(G.5)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-614-320.jpg)
![g-5
5 10 15 20 25 30
-1
-0.5
0.5
1
e
t
x (t)
Transitorio Respuesta estacionaria
y(t)
x(t)
Figura G.5:
T (s) es la función de transferencia del sistema y tiene la forma de función racional
de la variable s 1.
La solución del problema se obtiene hallando la transformada inversa de X(s)
x(t) = F−1
[X(s)]
G.1.3. Diagrama de Bode
Los diagramas de Bode son representaciones logarı́tmicas del módulo y la fase de la
función de transferencia que describen su dependencia de la frecuencia.
Puesto que
X(s) = T(s) Y (s)
para obtener el módulo X0 y la fase δ de X(s), basta obtener el módulo y la fase de la
función de transferencia y componerlos con los de Y (s). Si
T(s) = |T| sjϕ
≡ |T|, /ϕ , Y (s) = Y0, /α ⇒
X(s) = X0, /δ = Y0 |T|, /α + ϕ
Los módulos se multiplican y las fases se suman. En el caso de división de complejos,
los módulos se dividen y las fases se restan.
Ya disponemos de medios analı́ticos para el cálculo de |T| y ϕ pero, en muchos casos,
basta con realizarlo gráficamente.
Puesto que T(s) es una función compleja, mostraremos por separado su módulo y
su argumento o fase. Una simple inspección de este diagrama puede darnos una visión
muy amplia del comportamiento del sistema.
En el primer diagrama se representa y1 = TDb ≡ 20 log |T| frente a x = log ω. TDb
es, por definición, la expresión de la amplitud en Decibelios 2.
1
En general interesa interpretar a s como una variable compleja s = α + j β, con parte real
2
El término Deci tiene su origen en la definición de la medida de potencia en Decibelios: PDb ≡
10 log |P|, siendo la potencia proporcional al cuadrado de la amplitud.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-615-320.jpg)
![Apéndice H
Introducción histórica
Este es un libro de texto y los criterios empleados en su elaboración pretenden
responder a éste carácter. Su orden y estructura están, hasta cierto punto, alejados
de su posible génesis histórica; ni tan siquiera en la asignación de nombres propios, a
conceptos y leyes, se pretende algún tipo de rigor o justicia históricos. Esto, que parece
inevitable en un libro de esta naturaleza, tiene el inconveniente de enmascarar la visión
del proceso por el cual los conceptos y teorı́as han ido formándose y evolucionando
a través del tiempo como consecuencia de una continua e ingente labor de creación,
verificación y desarrollo. Por otra parte, el uso de una argumentación y de un lenguaje
depurados puede producir la impresión, superada la primera etapa de asimilación, de
que los conceptos son más simples y definitivos de lo que realmente son.
Para subsanar esta situación, el lector debe acudir a otras fuentes. La historia de la
teorı́a del campo electromagnético que, como todas las historias, es controvertida, debe
ser contada por especialistas pero creemos útil exponer aquı́ un breve resumen con el
que ilustrar, de forma superficial, sin pretensiones de rigor, la génesis de dicha teorı́a.
Aunque es poco asequible y contiene algún error notable, la primera fuente que deberı́a
consultar quien desee ampliar y precisar conocimientos en este tema es el libro de Sir
E. Whittaker [Whittaker]. Más asequible es el de [Berkson].
Comenzaremos, lo que constituye un lugar común, situando a los orı́genes de la
electricidad y del magnetismo, como los de la mayorı́a de las ramas de la Ciencia, en la
antigua Grecia. Se atribuyen a Tales de Mileto (640-546), como primer sabio de Grecia,
los primeros estudios de la atracción de objetos ligeros por el ámbar frotado y del hierro
por la piedra imán. Para Tales, todo el Universo es un organismo vivo, incluso su parte
inanimada, como lo demuestran las acciones del ámbar y del imán: el imán tiene alma
porque atrae al hierro. Precisamente, el ámbar (electrón) y la magnetita, procedente
ésta última de la vecina región de Magnesia, dan origen a los nombres Electricidad y
Magnetismo.
Más adelante, Aristóteles (384-322), que abordó prácticamente todos los temas de
su tiempo, propuso la adición de un quinto elemento, el éther, a los cuatro preconizados
por Empédocles. Este ether, substrato universal, presunto soporte de la propagación de
las interacciones, ha sido desterrado de las teorı́as fı́sicas actuales pero ha jugado un
papel fundamental en la conformación de la teorı́a electromagnética.
Hasta el siglo XIII de nuestra era no constan avances dignos de mención. Por entonces
h-1](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-625-320.jpg)
![h-2
empiezan los mareantes mediterráneos a utilizar la aguja magnética, flotando sobre
un corcho, como referencia de rumbo. Pedro de Maricourt , más conocido como Peter
Peregrinus, monta la aguja sobre un pivote y le añade el cı́rculo graduado, dando lugar a
la primera brújula. Hacia 1270, en carta a un amigo, describe sus esfuerzos por construir
un móvil que aproveche la fuerza magnética, logro reservado a Faraday, y pone de
manifiesto como los polos de un imán son inseparables y de naturaleza tal que se atraen
entre contrarios y se repelen entre iguales. Construye una esfera de piedra imán y observa
que las agujas magnéticas se alinean según los meridianos de la misma. No obstante, no
acierta a identificar a la Tierra como a un imán.
Realmente, el origen cientı́fico del electromagnetismo hay que situarlo en el siglo
XVII con la publicación por William Gilbert, en 1600, de De Magnete Magneticisque
Corporibus, et Magno Magnete Tellure ( Acerca del magnetismo, cuerpos magnéticos,
y el gran imán Tierra) [Gilbert]. Construye, como Peregrinus, un imán esférico al que
llama Terrella y descubre la declinación magnética que atribuye al hecho de que la
Tierra es efectivamente un imán. Emplea por primera vez términos como atracción
eléctrica, fuerza eléctrica y polo magnético que hoy son de uso cotidiano. Describe
como substancias eléctricas a una serie de ellas que, como el ámbar, atraen a objetos
poco pesados. En otra obra suya atribuye las órbitas planetarias a una cierta forma de
magnetismo. Por último, no carece de interés el mencionar su demostración de que el
ajo no destruye al magnetismo.
A partir de Gilbert se genera un vivo interés por las experiencias de tipo eléctrico.
El invento de máquinas electrostáticas, por Otto Von Guericke y otros, ası́ como el
descubrimiento del condensador primitivo, la botella de Leyden, de incierto origen,
permitieron disponer de cargas y tensiones mayores con que seguir experimentando.
La conducción eléctrica es descubierta por Gray y, poco después, Desaguilier acuña
los términos conductor y aislador.
Hacia 1733, Du Fay (1698-1739) pone de manifiesto la existencia de fenómenos de
repulsión. Reconoce la existencia de dos estados de electrificación, a los que nombra como
vı́treo y resinoso, producidos por frotamiento en el vidrio y la resina, y que atribuye a
la existencia de dos fluidos distintos.
Cantón (1749) fabrica el primer imán artificial y relaciona las alteraciones de la
orientación de la brújula con las auroras boreales intuyendo el mecanismo de lo que hoy
conocemos como tormentas magnéticas.
Podemos considerar que Benjamı́n Franklin (1706-1790) cierra una primera etapa
del desarrollo de la electricidad. A él se debe el descubrimiento del poder de las puntas
y la identificación del rayo y el trueno como grandes versiones de la chispa eléctrica y
de su sonido. Ésto le lleva al invento del pararrayos. Su célebre experiencia de la cometa
es un ejemplo de osadı́a cientı́fica pues, si bien salió ileso de la prueba, costó la vida a
varios de sus imitadores. Por último, aunque era partidario de la teorı́a de fluido único,
designó a los estados de electrificación con los signos (+) y (−) que, según él, denotan
que un cuerpo está cargado en exceso, carga positiva, o por defecto, carga negativa,
de un único fluido. Este convenio, aunque tampoco concuerda con la identificación del
fluido único con los electrones de un metal, es el que subsiste hasta nuestros dı́as. La
carga positiva ( vitrea) es la que será repelida por vidrio frotado con seda y la negativa
la que lo será por el lacre frotado con piel de gato. Symmer (1759) y otros sostienen, sin](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-626-320.jpg)
![h-7
decirse que era a un mismo tiempo fantástico e inverosı́mil. Dadas las dificultades que
encuentra para construir un modelo fı́sicamente satisfactorio, opta por prescindir de él,
aunque nunca deja de pensar que la verdadera explicación de sus ecuaciones debe residir
en un mecanismo sometido a las leyes de Newton.
Maxwell vuelve por fin a enunciar sus ecuaciones electromagnéticas con independen-
cia de cualquier explicación mecanicista y comprueba directamente, a partir de ellas,
que los campos cumplen una ecuación de onda en la que la velocidad de fase coincide
con la velocidad de la luz. El carácter electromagnético de la luz fue puesto de mani-
fiesto por Hertz , con sus experiencias de propagación de ondas electromagnéticas en
1887, y por Zeeman en 1896 al demostrar que existı́an cargas capaces de moverse con
aceleración suficiente como para radiar dentro del espectro visible.
La contribución de Maxwell a la estructuración matemática del electromagnetismo es
básica: por una parte, incorpora las aportaciones de los matemáticos europeos, Laplace,
Gauss, etc. y, por otra, introduce nuevos conceptos como el del rotacional [Maxwell].
No obstante la exposición de sus ecuaciones se hace componente a componente; el
lenguaje analı́tico vectorial fue introducido, no sin oposición, por Heaviside y Gibbs.
Posteriormente se desarrollan aspectos parciales importantes como la teorı́a de los po-
tenciales y la teorı́a del electrón en las que cabe resaltar especialmente la contribución
de Hendrik Antoon Lorentz (1835-1928) y las de Poincaré, Abraham, etc. , pero con-
cluiremos con una breve relación del proceso de crisis de las teorı́as del éther, resuelta
por Einstein, dentro de su teorı́a de la relatividad especial, con la eliminación del mismo
dado no es necesario.
Las teorı́as del éther surgen impulsadas por el deseo de encontrar un medio elástico
que, según la teorı́a ondulatoria de la luz, fuese capaz de soportar ondas luminosas.
Casi todas pueden ser consideradas como intentos de dar una explicación unificada de
los campos sobre la base de las leyes de Newton.
La principal dificultad que aparece en un principio es la de encontrar un medio que
permita la transmisión de las ondas transversales pero no de las longitudinales. Los
modelos que surgen son numerosos y, aparte del ya mencionado de Maxwell, citaremos
el gran esfuerzo hecho en este sentido por Lord Kelvin (W. Thomson) a quien se deben
varios modelos ingeniosos.
El éxito de la teorı́a de Maxwell y la posterior confirmación por Hertz del carácter
propagativo de las ondas radiadas parece, por una parte, confirmar la hipótesis de un
éther soporte de la propagación y, por otra, pone de manifiesto nuevas dificultades.
En primer lugar, Helmholtz demuestra que las tensiones de Maxwell no permitirı́an
el equilibrio del éther, por lo que sus distintas partes deberı́an estar en movimiento, y
por otra, como es fácil de comprobar, las leyes de Maxwell no son invariantes frente a
las transformaciones de Galileo, por lo que si la velocidad de la luz en un determinado
sistema es c, en otro sistema que esté en movimiento con respecto al primero, la velocidad
de la luz deberı́a ser distinta. Sin embargo las experiencias diseñadas para medir las
variaciones de la velocidad de la luz, como la de Michelson y Morley (1887), fracasan,
haciendo patente la imposibilidad o, al menos, la dificultad de medir la velocidad de los
cuerpos con respecto al éther.
Los numerosos intentos de salvar esta situación llevan a emitir hipótesis sobre el
éther que lo hacen cada vez más insubstancial y contradictorio. Mientras que Hertz](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-631-320.jpg)
![h-9
El electromagnetismo clásico cubre un amplio rango de fenómenos de forma satis-
factoria. Pero hay otros que quedan fuera de su ámbito, bien sea porque los toma como
base o bien porque queden fuera de su rango de predicción:
Desde el punto de vista clásico se postula la existencia de dos tipos de carga
eléctrica, (+) y (−) ( dos tipos de monopolos eléctricos). La carga gravitatoria es,
sin embargo, de un sólo signo.
Los monopolos magnéticos no existen. Ya hemos apuntado la posibilidad de su
existencia, desde el punto de vista cuántico, pero, si existen, son tremendamente
elusivos. Hoy en dı́a hay un gran interés en su detección, siendo importante señalar
la experiencia del español Cabrera que detectó lo que pudiera ser la presencia, aún
sin confirmar, de un monopolo.
La carga está siempre asociada a una cierta cantidad de masa. Sin masa, una
carga serı́a un ente ’imposible’.
Clásicamente, la cuantificación de la carga es indiferente. La teorı́a de los quarks,
de Gell Man y Swinguer, asigna una carga inferior a la electrónica, −1
3 e y 2
3 e, a
estas partı́culas.
El universo es neutro ( No se conoce ningún mecanismo de creación de carga neta).
Las fuerzas gravitatorias y nucleares quedan fuera de la teorı́a.
Ası́ mismo quedan fuera de la teorı́a todos los fenómenos cuánticos y, en particular,
las propiedades microscópicas de la materia. Nosotros emplearemos, a pesar de
ello, conceptos clásicos para describir las propiedades básicas de los medios, pero
lo haremos conscientes de la impropiedad de la herramienta.
Por último diremos que, debido a la problemática asociada a las cargas puntuales,
el fenómeno de reacción por radiación no encuentra una explicación totalmente
satisfactoria dentro de la electrodinámica clásica.
Cerraremos por fin esta reseña histórica relatando como, desde sus comienzos, esta
es una disciplina conceptual y de no fácil asimilación (véase [Sommerfeld]). Hittorf,
cientı́fico eminente pero algo timorato, cayó en una grave depresión provocada por el
sentimiento de incapacidad que le produjo el estudio infructuoso del Tratado de Maxwell.
Compadecidos, sus amigos le convencieron para que fuese a descansar unos dı́as en el
campo. Pero descubrieron con consternación, al despedirlo en la estación, que dicho
Tratado formaba parte del equipaje.
Afortunadamente, gracias a Heaviside y otros, la situación ya no es tan extrema y,
por supuesto, sigue sin ser recomendable llevarse los libros para trabajar durante los
fines de semana. Ası́ sea.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-633-320.jpg)
![Apéndice I
Sistemas de unidades
A pesar de los esfuerzos por implantar un único sistema de unidades persiste aún
el uso de distintos sistemas según el entorno cientı́fico y docente en cuestión. Los más
utilizados son el Sistema gaussiano y el Sistema internacional (SI o MKSA); este últi-
mo será el que emplearemos en el texto. Desde el punto de vista fı́sico es totalmente
indiferente el sistema o marco que se emplee en la descripción de los fenómenos fı́sicos.
Desde el punto de vista práctico, cualquier parcela de la Fı́sica puede ser descrita con
la misma propiedad mediante el uso de uno u otro de los sistemas candidatos. No existe
ningún argumento sólido que permita establecer una preferencia si no es el de que la
literatura sobre ciertos temas está tradicionalmente escrita en un determinado sistema
y que trabajar con uno que no sea el habitual es engorroso. Además, el número de
sistemas, variantes incluidas, es grande y su nomenclatura confusa.
Tomando el criterio de que los sistemas de unidades son herramientas para or-
denar y facilitar el trabajo del fı́sico y no objetos de disgresión que lo aparten de su
tarea, procederemos a exponer el tema olvidando la historia previa y con la mayor con-
cisión posible. Quien se interese más profundamente en estas materias puede consultar
[Bridgman, Sena, Jackson, Panofsky y Phillips].
Como es bien sabido, el número de unidades fundamentales, ası́ como el de sus
dimensiones, es en gran manera arbitrario. Podemos definir la intensidad como la carga
que atraviesa una determinada superficie por unidad de tiempo
I =
d q
d t
(I.1)
con lo que la relación entre las dimensiones de la intensidad y de la carga queda fijada
de la forma
[Q] = [IT]
pero fı́sicamente no hay inconveniente para definir la intensidad como proporcional a
d q
d t
I = k
d q
d t
Tampoco hay nada que nos impida asignarle a k un valor numérico y unas dimen-
siones cualesquiera. En el sistema gaussiano modificado se hace k = 1
c , [k] = [L−1T],
i-1](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-635-320.jpg)
![i-2
donde c es la velocidad de la luz, pero en los sistemas de uso general se toma k = 1 y
adimensional, a lo que nos atendremos en adelante.
Algo similar ocurre con la definición de la magnitud del campo eléctrico. Aunque
puede definirse como proporcional a la relación entre la magnitud de la fuerza sufrida
por una pequeña carga estática y la magnitud de dicha carga, en todos los sistemas se
toma a la constante de proporcionalidad como igual a la unidad y adimensional
~
E =
~
Fq
q
, [E] = [MLT−3
I−1
] (I.2)
Con estas excepciones, para la intensidad y el campo eléctrico, plantearemos el
problema con todos los grados de libertad restantes aunque, en una primera etapa, nos
limitaremos a considerar el caso del vacı́o.
El conjunto de leyes electromagnéticas en el vacı́o puede escribirse de la forma
∇ · ~
+
∂ ρ
∂ t
= 0 (I.3)
d ~
F
d v
= ρ ~
E + k1 ~
∧ ~
B (I.4)
∇ · ~
E = k2 ρ (I.5)
∇∧ ~
E = −k3
∂ ~
B
∂ t
(I.6)
∇ · ~
B = 0 (I.7)
∇∧ ~
B = k4 ~
+ k5
∂ ~
E
∂ t
(I.8)
Como puede observarse, no hemos introducido constantes en I.3, ecuación de con-
tinuidad, debido a que se ha definido la intensidad según I.1, ni en la parte eléctrica de
la fuerza de Lorentz I.4, por haber hecho uso de la definición I.2 para el campo eléctrico.
Mostraremos a continuación que de las cinco constantes introducidas solo dos son
independientes: en primer lugar, hallando la divergencia a I.8 y haciendo uso de I.5 y
de I.3, obtenemos
k4 = k2 k5 (I.9)
Si ahora consideramos una región del espacio sin corrientes, ~
= 0, aplicamos el
rotacional a ambos miembros de I.8, desarrollamos y tenemos en cuenta I.7 y I.6
∇2 ~
B − k3 k5
∂2 ~
B
∂ t2
= 0
ecuación de onda que nos permite identificar al producto de las dos constantes con el
inverso del cuadrado de la velocidad de la luz
k3 k5 =
1
c2
(I.10)
Por último, si medimos la fuerza ejercida entre dos cargas, por una parte, y la
fuerza por unidad de longitud ejercida por una corriente estacionaria, que circula por](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-636-320.jpg)
![i-4
Sistema de unidades Unidades a [a] b [b]
mecánicas
SI (MKSA) MKS 1 - µ0 = 4π × 10−7 MLT−2 I−2
Heaviside-Lorentz cgs c−1 T L−1 c−2 T2 L−2
Gaussiano (cgs) cgs c−1 T L−1 4π c−2 T2 L−2
Electrostático (esu) cgs 1 - 4π c−2 T2 L−2
Electromagnético (emu) cgs 1 - 4π -
Según vemos en la tabla anterior, las dimensiones elegidas para a y b son, en general,
de tipo mecánico y , en muchos, casos nulas. Solo el SI introduce una unidad de tipo
eléctrico I, el Amperio absoluto, que se define, de acuerdo con la expresión I.12, como
la corriente que, al circular por dos hilos paralelos, de sección despreciable, rectos e
indefinidos, separados en el vacı́o por la distancia de un metro, dan lugar a una fuerza
transversal entre ellos de 2 × 10−7 N · m−1.
Los dos primeros sistemas se dice que son racionalizados por razones discutibles que
no traeremos aquı́. Bástenos saber que las expresiones de las ecuaciones de Maxwell en
los sistemas racionalizados no contienen explı́citamente el factor 4π.
La descripción fenomenológica de la materia polarizable nos plantea nuevas opciones:
- Si definimos el momento dipolar ~
p de un sistema de cargas de la forma
~
p =
Z
V 0
~
r 0
ρ(~
r 0
) dv 0
(I.21)
las cargas equivalentes de polarización se expresan, en función del vector polarización
~
P, como
ρp = −∇ · ~
P (I.22)
- Si hubiésemos optado por introducir una constante de proporcionalidad en la defini-
ción
~
p = α
Z
V 0
~
r 0
ρ(~
r 0
) dv 0
la carga equivalente habrı́a venido dada por
ρp = −
1
α
∇ · ~
P
En todos los sistemas considerados esta constante se toma igual a la unidad por lo
que, teniendo en cuenta I.22 y I.17,
∇ · ~
E = b c2
(ρ + ρp) ⇒ ∇ · ( ~
E + b c2 ~
P) = b c2
ρ (I.23)
Para substituir al vector ~
P se define al vector ~
D con divergencia proporcional a ρ
~
D = β( ~
E + b c2 ~
P) = β ~
E + λ ~
P , β =
λ
b c2
(I.24)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-638-320.jpg)
![Apéndice J
Teorı́a de campos
Suponemos al lector familiarizado con el análisis vectorial ordinario, por lo que
el tratamiento que aquı́ se le da al tema será sencillo e intuitivo. Se recordarán los
fundamentos de los campos vectoriales tridimensionales. La bibliografı́a es abundante y
asequible 1.
La representación en un espacio tridimensional del campo electromagnético, que
realmente es un sólo campo tensorial, de orden 2 y de dimensión 4, requiere el recurso a
los campos pseudovectoriales: el campo eléctrico es vectorial y el magnético pseudovec-
torial. Esta dificultad se soslayará restringiendo el orden cı́clico de los vectores base ( a
derechas).
J.1. Campos escalares y vectoriales
La descripción clásica del Universo se lleva a cabo mediante la asignación a cada
punto del espacio de una serie de magnitudes fı́sicas; cada una de ellas constituye un
campo, función de la posición ~
r y del tiempo t. Un campo se dice que es escalar si,
expresado en un sistema de unidades concreto, asigna a cada punto un número. Un
campo vectorial asigna a cada punto un vector, definido por un módulo, número positivo,
una dirección y un sentido. En general, las magnitudes fı́sicas tienen estructura tensorial.
Las reglas algebraicas de operación entre escalares son, obviamente, las correspon-
dientes a operaciones numéricas mientras que para vectores definiremos las operaciones
de suma, producto por un escalar, producto escalar entre dos vectores y producto vec-
torial. Sea el escalar λ y los vectores ~
a, ~
b, ~
c.
Podemos definir geométricamente la suma de vectores, figura J.1, según la regla del
triángulo
~
c = ~
a +~
b
La resta puede definirse a través del negativo de un vector
~
b = (−~
a) si ~
a +~
b = ~
0
donde ~
0 es un vector de módulo nulo.
1
Un tratamiento algo más formal puede encontrarse en [Garcı́a Olmedo]
j-1](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-643-320.jpg)
![j-24
x
y
z
a=(0,0,0)
b=(1,0,0)
c=(1,1,1)
Figura J.19:
Camino C1: A lo largo de este camino y = 0, z = 0, luego
I1 =
Z 1
0
(Ax)y=0,z=0 dx
Camino C2: A lo largo de este otro x = 1, y = z ⇒ dy = dz y
I2 =
Z 1
0
(Ay + Az)x=1,y=z dz
Complete analı́ticamente el problema y compruebe el resultado con el
siguiente programa.
Programa Mathematica prob − h17.nb:
A = {2x − y2
, 3y ∗ z, 1};
Ax1 = A[[1]]/.{y → 0, z → 0};
Aymz2 = (A[[2]] + A[[3]])/.{x → 1, y → x};
INT =
Z 1
0
Ax1 dx +
Z 1
0
Aymz2 dz
j-18. Plantee el cálculo del flujo de un vector ~
A a través de la superficie definida lateral-
mente por x2 + y2 = a2 y por las áreas circulares resultantes de la intersección de
la superficie anterior con los planos z = z1 y z = z2. Traduzcalo a un programa
Mathematica y considere los siguientes casos:
a) ~
A = ~
r, a = 2, z1 = 0 y z2 = 2. Realice los cálculos analı́ticamente y com-
pruébelos aplicando el programa.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-666-320.jpg)
![j-26
r = {x, y , z}; r2 = r.r; ur =
r
√
r2
A =
1
4π ∗ eps
q ∗ ur
r2
;
normal1 = {0, 0, −1}; normal2 = {0, 0, 1};
fxy1 = A.normal1/.z → z1; fxy2 = A.normal2/.z → z2;
Phi1 =
Z x2
x1
µZ f2
f1
fxy1 dy
¶
dx;
Phi2 =
Z x2
x1
µZ f2
f1
fxy2 dy
¶
dx;
Los paréntesis que encierran a la segunda integral no son necesarios. Se han uti-
lizado para resaltar la estructura de la doble integral.
Flujo lateral
normal3 = {Cos[fi], Sin[fi], 0};
fiiz = (A.normal3/.{x → a ∗ Cos[fi], y → a ∗ Sin[fi]}) ∗ a;
Phi3 =
Z z22
z1
µZ 2π
0
ffiz dfi
¶
dx;
Flujo total
Phi = N[Phi1 + Phi2 + Phi3]
j-19. Calcule el trabajo realizado por un campo de fuerzas ~
A = x y b
x + y2 b
y en un des-
plazamiento desde el origen hasta el punto a = (1, 1) a lo largo de la curva y = x2.
j-20. Demuestre que el campo de fuerzas ~
A = (2 x y+z3) b
x+x2 b
y+3 x z2 b
z es conservativo
y calcule el trabajo realizado en un desplazamiento desde (1, −2, 1) a (3, 1, 4).
j-21. Determine el flujo del campo vectorial ~
A = z b
x + x b
y + 3 y2z b
z a través de una
superficie limitada por los planos, x = 0, x = l, y = 0, y = l, z = 0, z = l. Llévelo
a cabo por integración directa y mediante el teorema de la divergencia.
j-22. Calcule la circulación del campo vectorial ~
A = (x3 − y) b
x + (y2 + x) b
y desde el
punto a = (0, 1) hasta b = (1, 2) a lo largo de:
a) a → b
b) a → (1, 1) → b
c) La parábola x = t2 + 1](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-668-320.jpg)
![Apéndice K
La Delta de Dirac
La función δ de Dirac no es propiamente una función; su encuadramiento riguroso,
desde el punto de vista matemático, requiere el uso de la teorı́a de distribuciones desar-
rollada por L. Schwartz (véase [Friedman]). No obstante, la δ puede expresarse como
limite de una sucesión de funciones, lo que nos permitirá dar una idea intuitiva y oper-
ativa de la misma. (Véanse los apéndices de [Novozhilov, Levich-I, Born y Wolf] y las
tablas [Spiegel et al.]).
Esta función tiene una gran utilidad en fı́sica y nos permitirá, entre otras cosas,
expresar magnitudes singulares en un punto como lı́mite de magnitudes continuas.
K.1. Definición
A) En una dimensión, definiremos a la δ de Dirac, figura K.1a, como una función
de medida nula
u
x
0
x x
0
οο
0)
(x-x 0)
(x-x
(a) (b)
δ
x
Figura K.1:
δ(x − x0) =
0 para x 6= x0
→ ∞ para x → x0
(K.1)
k-1](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-671-320.jpg)
![k-2
que, además, tiene área unidad
Z ∞
−∞
δ(x − x0) dx = 1 (K.2)
De otra forma
Z x2
x1
δ(x − x0) dx =
1 si x0 ∈ [x1, x2]
0 si x /
∈ [x1, x2]
por anularse δ(x) para todo x 6= 0.
B) En tres dimensiones
δ(~
r − ~
r0) =
0 para ~
r 6= ~
r0
→ ∞ para ~
r → ~
r0
,
Z
V→∞
δ(~
r − ~
r0) dv = 1 (K.3)
De la definición anterior se deduce que las dimensiones de la delta tridimensional
son las de el inverso del volumen.
[δ(~
r)] = L−3
(K.4)
Como ya hemos dicho, no existe ninguna función que tenga exactamente las
propiedades enunciadas, pero se verá más adelante que podemos imaginar diversas suce-
siones δa(~
r − ~
r0), dependientes del parámetro a, tales que
lı́m
a→0
δa(~
r − ~
r0) = δ(~
r − ~
r0)
de forma que se podrá siempre disponer de verdaderas funciones que, para a ε ar-
bitrariamente pequeño, cumplan las condiciones anteriores con la necesaria precisión.
Esto, desde el punto de vista fı́sico es plenamente satisfactorio y nos evita, por ahora,
situar a la δ en un contexto más riguroso. Operativamente, entenderemos que el resul-
tado de cualquier operación en la que intervenga esta función será el correspondiente al
lı́mite, cuando a → 0, de los resultados obtenidos empleando δa.
C) En coordenadas curvilı́neas qi, debemos escribir
δ(~
r − ~
r0) =
1
h1 h2 h3
δ(q1 − q10) δ(q2 − q20) δ(q3 − q30) (K.5)
donde el factor 1
h1 h2 h3
se introduce porque
Z ∞
−∞
δ(qi − qi0) dqi = 1
y debe cumplirse la condición de normalización K.3.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-672-320.jpg)
![k-3
D) Suele ser útil la definición de δ como la derivada de la función unitaria de Heav-
iside, figura K.1b, o función escalón unitario
Puede comprobarse que la derivada de esta función cumple las condiciones prescritas
δ(x − x0) =
d
d x
u(x − x0) ≡ u0
(x − x0) , u(x − x0) =
Z x
−∞
δ(x − x0) (K.6)
K.2. Propiedades
a) La propiedad fundamental de la δ es la de desplazamiento:
Si f(~
r) es una función de buen comportamiento
f(~
r0) =
Z
V→∞
f(~
r) δ(~
r − ~
r0) dv (K.7)
La demostración intuitiva de esta propiedad es fácil si aplicamos sucesivamente las
dos propiedades definitorias de la δ e integramos sobre sobre un pequeño volumen ∆V
² que contenga al punto ~
r0, véase la figura K.2
Z
V→∞
f(~
r) δ(~
r − ~
r0) dv =
Z
∆V
f(~
r) δ(~
r − ~
r0) dv = f(~
r0)
Z
∆V
δ(~
r − ~
r0) dv = f(~
r0)
0
ε
x -
0 /2
ε
x 0
f(x)
x
f(x )
0
x +
/2
Figura K.2:
b) δ no es una función y su ”derivada”tampoco lo es pero, sin embargo, podemos
definir sus propiedades mediante el proceso de lı́mite enunciado al principio. Simbólica-
mente, escribiremos d
d x δ(x − x0) ≡ δ0 (x − x0).
Haciendo uso de δa(x − x0) e integrando por partes, tenemos que
Z ∞
−∞
f(x) δ0
a(x − x0) dx = [f(x) δa(x − x0)]∞
−∞
| {z }
=0
−
Z ∞
−∞
f0
(x) δa(x − x0) dx](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-673-320.jpg)
![k-4
y, tomando el lı́mite para a → 0
Z ∞
−∞
f(x) δ0
(x − x0) dx = −f0
(x0) (K.8)
De forma general
Z ∞
−∞
f(x) δ(n)
(x − x0) dx = (−1)n
f(n)
(x0) (K.9)
Otras propiedades de interés están reseñadas en el apéndice de formulario.
K.3. Ejemplos de sucesiones de funciones que aproximan
a la delta de Dirac
Desde el punto de vista fı́sico, es preferible definir δ(x) como ’lı́mite’ de familias
paramétricas de funciones, de area unitaria, relacionadas entre sı́ mediante un cambio
de escala. Dada la función ϕ(x) tal que
R ∞
−∞ ϕ(x) dx = 1, definimos
δ(x) = lı́m
a→0
δa , δa(x) ≡
1
a
ϕ(
x
a
) (K.10)
Al escribir ’lı́ma→0’ en la expresión anterior no estamos haciendo un uso normal
del concepto de lı́mite; en realidad, queremos indicar que, en el lı́mite a → 0, δa(x) se
comporta integralmente como la delta de Dirac 1
lı́m
a→0
Z ∞
−∞
δa(x) f(x) dx = f(0) (K.11)
– 1) La delta de Dirac como sucesión de pulsos cuadrados, figura K.3a.
Sea a = 1
n y
δn(x − x0) =
0 para |x − x0| ∆
n
n
∆ para |x − x0| ∆
n
En esta sucesión, a medida que n aumenta, la base tiende a cero y la altura a infinito
pero todas las δn tiene área unitaria, luego lı́mn→∞ δn(x − x0) = δ(x − x0).
– 2) La delta de Dirac como lı́mite de una sucesión gaussiana, figura K.3b.
δa(x − x0) =
1
a
√
π
e−(
x−x0
a
)2
En este caso lı́ma→0 δa(x − x0) = δ(x − x0).
– 3) La delta de Dirac como lı́mite de funciones seno sobre arco, figura K.3c.
δa(x − x0) =
sen [a (x − x0)]
π (x − x0)
También aquı́ lı́ma→0 δa(x − x0) = δ(x − x0).
1
Veáse K.7.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-674-320.jpg)
![k-10
k-2. Demuestre que lı́ma→0 δa = δ(x) para
δa =
1
a
µ
1 − cos 2π (
x
a
−
1
2
)
¶
para |x| ≤ a
0 para |x| a
Solución:
Programa Mathematica prob − I2.nb
Estudiaremos unos cuantos elementos de la serie δa = da dando a a valores
enteros 1 = 1, · · · , n
n = 4;
da = If[x
a
2
x −
a
2
,
1
a
1 − Cos[2π
x −
a
2
a
]
, 0];
Definimos dos listas, area y graficas, de dimensión n, para almacenar los valores
de las áreas y las gráficas de las δa correspondientes a los distintos valores de a.
area = 0; Do[area = Append[area, 0], {i, 2, n}];
graficas = area;
Calculamos las áreas.
Do[area[[i]] =
µZ a
−a
da dx)
¶
/.a → i, {i, 1, n}];
y representamos sus valores en la figura K.6
ListPlot[area, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0],
AbsolutePointSize[5]}, AxesLabel → {”a”, ”area”}];
comprobando que area = 1 en todos los casos.
1.5 2 2.5 3 3.5 4
a
0.5
1
1.5
2
area
Figura K.6:](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-680-320.jpg)
![k-11
Realizamos las distintas gráficas sin mostrarlas
Do[graficas[[i]] = Plot[da/.a → i, {x, −0.6 ∗ i, 0.6 ∗ i},
PlotStyle → RGBColor[1 −
i − 1
n
, 0,
i
n
]],
DisplayFunction → Identity, {i, 1, n}];
y las representamos superpuestas en la figura K.7
Show[graficas, DisplayFunction → $DisplayFunction];
mostrando que, conforme la anchura de la función decrece, la altura h crece de
forma que lı́ma→0 h = ∞.
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
Figura K.7:
k-3. Demuestre
a) Que la función
fa =
−
1
2πa
µ
1 −
r2
a2
+
1
2
r3
a3
¶
para r ≤ a
−
1
4πr
para r a
tiene un gradiente ∇ fa continuo cuya divergencia ∇2 fa es también contı́nua.
b) Que lı́ma→0 ∇2 fa = δ(~
r).
Solución:
Programa Mathematica:
Comenzamos haciendo los cálculos analı́ticamente. Dejamos el cálculo sin orde-
nador como ejercicio.
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-681-320.jpg)
![k-12
Definimos la funcion en el interior frint y en el exterior frext de la esfera de
radio a y comprobamos que es continua.
frint = −
1
2π ∗ a
µ
1 −
r2
a2
+
1
2
r3
a3
¶
; frext = −
1
4π ∗ r
;
(frint − frext)/.r → a
Dado la función depende sólo de r, la única componente del gradiente que no es
nula es la radial. Nos limitamos, pués, al cálculo de última.
Definimos la función gradiente, grad[f ], de forma que pueda aplicarse a una fun-
ción de nombre arbitrario, se lo aplicamos a las fuciones anteriores y comprobamos
la continuidad del vector resultante.
grad[f ] := ∂r f;
vecAint = Expand[grad[frint]]
vecAext = Expand[grad[frext]]
(vecAint − vecAext)/.r → a
Hacemos lo mismo para la divergencia div[f ]
div[f ] :=
1
r2
∂r (r2
∗ f);
divint = Expand[div[vecAint]]
divext = Expand[div[vecAext]]
(divint − divext)/.r → a
y comprobamos que ésta, en el origen, tiende a ∞ cuando a → 0
Limit[divint/.{r → 0, a → 0}]
Para finalizar, verificamos que la integral de volumen de ∇2 fa es la unidad. Hace-
mos este cálculo para valores arbitrarios a = n
n = 2;
diva = divint/.a → n
volumen = 4π
Z n
0
diva ∗ r2
dr
Seguimos con la representación gráfica de cada una de estas funciones.
Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-682-320.jpg)
![k-13
$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};
Primero representamos fa para a=1 en la figura K.8.
fra = If[r ≤ a, −
1
2π ∗ a
µ
1 −
r2
a2
+
r3
2a3
¶
, −
1
4π ∗ r
];
Plot[{fra/.a → 1, 0}, {r, 0, 2}, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 0]},
GridLines → {{1}, None}];
0.5 1 1.5 2
-0.15
-0.125
-0.1
-0.075
-0.05
-0.025
Figura K.8:
a continuación, su gradiente en la figura K.9
vecA = (∂r fra);
Plot[vecA/.a → 1, {r, 0, 2}, PlotStyle → RGBColor[0, 0, 1], GridLines → {{1}, None}];
0.5 1 1.5 2
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Figura K.9:
y, por último, su divergencia en la figura K.10. Ésta la representamos para tres
valores distintos de a.
div = 2
vecA
r
+ ∂r vecA;
grafdiv = {0}; Do[grafdiv = Append[grafdiv, 0], {i, 1, 2}];](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-683-320.jpg)
![k-14
Do[{Which[i == 1, {rc = 1, gc = 0, bc = 0}, i == 2, {rc = 0, gc = 1, bc = 0},
i == 3, {rc = 0, gc = 0, bc = 1}], grafdiv[[i]] =
Plot[div/.a →
√
i, {r, 0, 2}, PlotStyle → RGBColor[rc, gc, bc],
DisplayFunction → Identity, PlotRange → All]}, {i, 1, 3}];
Show[grafdiv, DisplayFunction → $DisplayFunction];
0.5 1 1.5 2
0.2
0.4
0.6
0.8
Figura K.10:](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-684-320.jpg)
![Apéndice L
Desarrollo en serie y
Transformada de Fourier
Nos limitaremos aquı́ a recordar brevemente los aspectos fundamentales del desa-
rrollo y la transformada de Fourier. Basándonos en estas técnicas daremos una mayor
generalidad al estudio de los sistemas lineales y a la propagación de ondas electro-
magnéticas.
L.1. Desarrollo en serie de Fourier
Sea f(t) una función continua de una variable t en el intervalo [a, b]. Dentro de ese
intervalo es posible representar a f(t) como
f(t) =
∞
X
i=1
ai φi(t)
siempre que {φi(t)} sea un conjunto de funciones ortogonal y completo en dicho inter-
valo.
La ortogonalidad implica que
Z b
a
φi φj dt =
0 si i 6= j
6= 0 si i = j
En particular el conjunto de funciones
1, cos (n ω0 t), sen (n ω0 t) , n = 1, 2... (L.1)
es ortogonal en cualquier intervalo I = [t, t + T0], donde T0 = 2π
ω0
. T0 es el periodo
fundamental, ω0 =
2π
T0
la frecuencia (angular) fundamental y n el número armónico.
Además es completo para funciones continuas y acotadas dentro I.
La ortogonalidad es fácilmente comprobable, ya que
l-1](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-685-320.jpg)
![l-3
Dado que no podemos tomar infinitos términos del desarrollo, en la práctica se
aproxima a fp(t) mediante
fN
(t) =
N
X
n=−N
cn ej n ω0 t
(L.7)
Se puede demostrar que la función error cuadrático
E2
=
Z b
a
[f(t) − f 0N
(t)]2
dt , f 0N
(t) =
N
X
n=−N
c 0
n ej n ω0 t
se minimiza haciendo c 0
n = cn, por lo que L.7 es la serie de Fourier que mejor aproxima
a fp(t) desde el punto de vista del error cuadrático.
L.2. Transformada de Fourier
Hemos visto que el desarrollo en serie de Fourier nos sirve para representar funciones
en un intervalo finito e incluso, cuando son periódicas, en un intervalo infinito.
Veremos que, bajo ciertas condiciones, funciones que se extienden en el tiempo en
el intervalo (−∞, ∞) admiten, si no el desarrollo anterior, una transformación, la de
Fourier, que resulta de extender el concepto de desarrollo.
Las funciones más comunes en fı́sica, son de cuadrado sumable 1
Z ∞
−∞
|f(t)|2
dt = finita
Se puede demostrar que esta condición es suficiente, aunque no necesaria, para que
exista la transformada.
Volviendo al desarrollo, observamos que los coeficientes cn → 0, cuando T0 → ∞.
Si queremos obtener una representación de funciones que se extiendan en un intervalo
infinito, debemos modificar el desarrollo de forma que se soslaye este problema.
Sea un intervalo finito
£
−T0
2 , T0
2
¤
y desarrollemos f(t) dentro de él.
f(t) =
∞
X
n=−∞
cn ej n ω0 t
, cn =
ω0
2π
Z T0
2
−
T0
2
f(τ) e−j n ω0 τ
dτ
Substituyendo cn en la expresión de f(t)
f(t) =
∞
X
n=−∞
ω0
2π
Z T0
2
−
T0
2
f(τ) e−j n ω0 τ
dτ
#
ej n ω0 t
Si ahora escribimos ∆ ω ≡ ω0 y definimos una nueva variable ω ≡ n ∆ ω = n ω0, en el
lı́mite T0 → ∞, ∆ ω → dω y
1
Esta condición no la cumplen, entre otras, la funciones armónicas puras, aunque las incluiremos
entre las transformables con ayuda de la delta de Dirac.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-687-320.jpg)
![l-4
f(t) =
1
2π
Z ∞
ω=−∞
F(ω) ej ω t
dω (L.8)
expresión de la transformada inversa de Fourier de la función F(ω), donde
F(ω) ≡ F[f(t)] =
Z ∞
t=−∞
f(t) e− j ω t
dt (L.9)
es la transformada directa de Fourier. Entrambas forman el par de transformadas de
Fourier.
En este texto se han escrito las variables como t y ω, notación correspondiente
a funciones temporales y armónicas, que son variable duales. Este formalismo puede
utilizarse para cualquier otro par de variables duales, como x y k, donde la primera es
la variable espacial y k =
2π
λ
su dual, y para cualquier número de dimensiones.
En la trasformada inversa L.8 aprece la constante 1/2π multiplicando a la integral
y el signo (−) en el argumento de la exponencial, lo cual es objeto de convenio. En
otros textos la constante se reparte entre la transformación directa L.9 y la inversa y
el signo se intercambia entre éstas. El producto de ambas constantes debe ser tal que
Ci Cd =
1
2π
y los signos de los argumentos de las exponenciales correspondientes deben
ser opuestos. Hay que tener en cuenta que es necesario que la transformada inversa de
la transformada directa debe resultal en la función inicial:
F−1
[F[f(t)]] = f(t)
Al consutar tablas o referencias, es preciso tener muy presente las opciones utilizadas
en cada caso. En particular, nosotros empleamos la convención utilizada en este apéndice
para t pero, según el caso, se introduce en la exponencial uno u otro signo.
En el formulario se reseñan algunas de las propiedades de esta transformada.
L.3. Ejemplos
L.3.1. Desarrollo en serie
Sea la función de la figura L.2a. Ésta no tiene transformada de Fourier por no ser
de cuadrado sumable. Sin embargo, se puede desarrollar en serie por ser periódica de
periodo T0. Los coeficientes del desarrollo son
cn =
A
2
sen n π
2
n π
2
Estos coeficientes pueden expresarse, como números complejos en función de su
módulo |cn| y su fase ϕ como cn ejϕ (véase la figura L.2b).](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-688-320.jpg)
![l-5
t
1 2 3 4 5 6 7
n
Π
j
T /2
0
-T /2
0
(a) (b)
f(t)
A
1 2 3 4 5 6 7
n
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2ÈcnÈA
Figura L.2:
t
A
f(t)
a
-a
-3 Π -2 Π -Π Π 2 Π 3 Π
Ω a
F@fD
-3 Π -2 Π -Π Π 2 Π 3 Π
Ω a
ÈF@fDÈ, j
(a) (b)
ϕ
π
|F[f]|
Figura L.3:](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-689-320.jpg)
![n-5
N.4. La Delta de Dirac
N.4.1. definiciones
δ(x − x0) =
0 para x 6= x0
→ ∞ para x → x0
(N.55)
Z ∞
−∞
δ(x − x0) dx = 1 (N.56)
δ(~
r − ~
r0) =
0 para ~
r 6= ~
r0
→ ∞ para ~
r → ~
r0
, ,
Z
V→∞
δ(~
r − ~
r0) dv = 1 (N.57)
δ(~
r − ~
r0) =
1
h1 h2 h3
δ(q1 − q10) δ(q2 − q20) δ(q3 − q30) (N.58)
δ(x − x0) =
d
d x
u(x − x0) ≡ u0
(x − x0) , , u(x − x0) =
Z x
−∞
δ(x − x0) (N.59)
N.4.2. Expresiones integrales y diferenciales de la delta de Dirac
δ(~
r − ~
r0) =
1
(2π)3
Z
k3
ej~
k·(~
r−~
r0)
d3
k (N.60)
δ(~
R) = δ(~
r − ~
r 0
) = −
1
4π
∇ 02
(
1
R
) = −
1
4π
∇2
(
1
R
) (N.61)
N.4.3. Propiedades básicas
δ(−x) = δ(x) (N.62)
x δ(x) = 0 (N.63)
δ(a x) =
1
a
δ(x , , a 0) (N.64)
Z ∞
−∞
δ(x − a) δ(x − b) dx = δa − b (N.65)
δ(x2
− a2
) =
1
2a
[δ(x − a) + δ(x + a)] (N.66)
f(x) δ(x − a) = f(a) δ(x − a) (N.67)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-701-320.jpg)
![n-6
x δ 0
(x) = −δ(x) (N.68)
δ 0
(−x) = −δ 0
(x) (N.69)
f(~
r0) =
Z
V→∞
f(~
r) δ(~
r − ~
r0) dv (N.70)
Z ∞
−∞
f(x) δ0
(x − x0) dx = −f0
(x0) (N.71)
Z ∞
−∞
f(x) δ(n)
(x − x0) dx = (−1)n
f(n)
(x0) (N.72)
δ[h(x)] =
X
xi
δ(x − xi)
|dh(xi)/dx|
, , xi son los ceros de h(x) (N.73)
N.5. Series y transformadas de Fourier
N.5.1. Series
f(t) = fd(t) =
a0
2
+
∞
X
n=1
(ai cos n ω t + bi sen n ω t) (N.74)
an =
2
T0
Z t+T0
t
f(t) cos n ω0 t dt , , n = 0, 1, 2 · · · (N.75)
bn =
2
T0
Z t+T0
t
f(t) sen n ω0 t dt , , n = 1, 2 · · · (N.76)
f(t) =
∞
X
n=−∞
cn ej n ω0 t
(N.77)
cn =
1
T0
Z t+T0
t
f(t) e−j n ω0 t
dt (N.78)
N.5.2. Transformadas
f(t) =
1
2π
Z ∞
ω=−∞
F(ω) ej ω t
dω (N.79)
F(ω) ≡ F[f(t)] =
Z ∞
t=−∞
f(t) e− j ω t
dt (N.80)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-702-320.jpg)
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F[A f(t) + B g(t)] = A F(ω) + B G(ω) (N.81)
F[
d
d t
f(t)] = j ω F(ω) (N.82)
F[
Z
f(t) dt] =
1
j ω
F(ω) (N.83)
F[δ(t)] = 1 (N.84)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-em-220718155434-4e5dd43e/85/Fundamentos-em-pdf-703-320.jpg)
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Fundamentos-em.pdf
- 1. Fundamentos de Electromagnetismo Iniciación al Cálculo Numérico en Electromagnetismo -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 -1 0 1 z -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 x -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 y -1 0 1 z - - 100 200 300 400 500 -1 -0.5 0.5 1 -4 -3 -2 -1 1 2 x -8 -6 -4 -2 2 y Figura 1: Bernardo Garcı́a Olmedo 1 (29 de septiembre de 2005) 1 Dpto. de Electromagnetismo y Fı́sica de la Materia -Universidad de Granada
- 3. Índice general I Campo electromagnético en el vacı́o 1 1. Campo eléctrico y campo magnético 5 1.1. Descripción de las magnitudes electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Espacio de los campos y las fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Fuentes de un campo vectorial. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . 6 1.3. Clasificación de los campos según sus fuentes . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1. Descripción microscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. Descripción macroscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4. Conservación de la carga; ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1. Corrientes estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5. Ley de fuerzas de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1. Trabajo sobre una carga en movimiento . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6. El campo electromagnético en el marco de la relatividad de Galileo . . . 23 1.6.1. Relatividad de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6.1.1. Vectores y escalares. Invariantes galileanos . . . . . . . 24 1.6.1.2. Leyes de transformación de los campos . . . . . . . . . 25 1.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. Campos estáticos 37 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2. Campo electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2. Fuentes del campo electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3. Potencial electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.4. Energı́a potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.5. Ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.6. Estructuras simples del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3. Campo magnético producido por corrientes estacionarias. Fuerza sobre corrientes estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.1. Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.2. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.3. Fuentes del campo magnético. Potencial vector . . . . . . . . . . 48 2.3.4. Estructuras simples del campo magnético . . . . . . . . . . . . . 50 2.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 i
- 4. ii 3. Fuentes del campo dinámico: Leyes de Maxwell 103 3.1. Ley de inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1.1. Ley de Faraday para caminos en movimiento . . . . . . . . . . . 106 3.2. Corriente de desplazamiento en el vacı́o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3. Potenciales del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.4. Ecuaciones de Maxwell en el vacı́o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4. Consecuencias de las Ecuaciones de Maxwell 121 4.1. Energı́a electromagnética. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1.1. Energı́a de sistemas de carga y corriente estacionaria . . . . . . . 125 4.2. Ecuaciones de onda para los campos y los potenciales . . . . . . . . . . 127 4.2.1. Propagación de ondas electromagnéticas planas en el vacı́o . . . 129 4.2.1.1. Ondas planas monocromáticas . . . . . . . . . . . . . . 133 4.3. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.4. Relación de las ondas electromagnéticas con sus fuentes. Emisión de ra- diación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.6. Resolución de las ecuaciones de Maxwell unidimensionales mediante el método FD–TD: FDTD 1D − vacio.nb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.6.1. La ecuación de onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.6.2. Solución numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 II Multipolos 163 5. Campos Multipolares estáticos 167 5.1. Expansión multipolar de una distribución estática de carga . . . . . . . 167 5.1.1. Expansión multipolar de la energı́a de interacción de un sistema de carga con un campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.1.2. Multipolos puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.1.3. El dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.1.3.1. Energı́a, par y fuerza de un dipolo . . . . . . . . . . . . 174 5.1.4. Densidades dipolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.2. Desarrollo multipolar de una distribución de corriente estacionaria . . . 177 5.2.1. La espira plana como dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . 179 5.2.2. El dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.2.2.1. Potencial magnético escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.2.2.2. Relación entre el momento magnético y el momento an- gular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.2.2.3. Fuerza, par y energı́a potencial sobre un dipolo magnético en campo externo . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
- 5. iii 6. Movimiento de partı́culas en un campo electromagnético 201 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.2. Movimiento de una carga en campos uniformes . . . . . . . . . . . . . . 202 6.2.1. Campo eléctrico constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.2.2. Campo eléctrico lentamente variable . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.2.3. Campo magnético constante. Movimiento ciclotrónico . . . . . . 203 6.2.4. Campo magnético lentamente variable . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.2.5. Campo eléctrico y magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.2.5.1. ~ E y ~ B perpendiculares. Deriva ambipolar . . . . . . . . 207 6.2.5.2. ~ E y ~ B paralelos. Enfoque magnético . . . . . . . . . . . 208 6.3. Movimientos de cargas en campos no homogéneos . . . . . . . . . . . . . 209 6.3.1. Optica electrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.3.2. Difusión (scattering) de partı́culas en fuerzas centrales . . . . . . 211 6.3.3. Botellas magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.4. Precesión de un dipolo en un campo magnético . . . . . . . . . . . . . . 217 6.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.6. Ejemplos con Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.6.1. Compresión de órbitas. movimiento − cargas − EpB.nb . . . . . 220 6.6.2. Enfoque electromagnético. enfoque EpB.nb . . . . . . . . . . . . 222 6.6.3. Confinamiento magnético. botella − magnetica.nb . . . . . . . . 225 6.6.3.1. Campo de una espira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.6.3.2. Campo de dos espiras situadas en z = ± d/2 . . . . . . 227 6.6.3.3. Botella magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.6.3.4. Confinamiento magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.6.4. Lente electrostática. lente − electrostatica.nb . . . . . . . . . . . 236 6.6.5. Órbitas de dos cargas. orbitas − cargas.nb . . . . . . . . . . . . . 241 III Campo electromagnético en los medios materiales 247 7. Medios polarizables 253 7.1. Mecanismos de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 7.1.1. Polarización dieléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 7.1.2. Mecanismos de magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 7.2. Cargas y corrientes de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 7.2.1. Cargas de polarización eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 7.2.2. Corrientes de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7.2.3. Corrientes de polarización magnética . . . . . . . . . . . . . . . . 259 7.2.4. Potencial magnético escalar. Formalismo de polos magnéticos . . 261 7.3. Desplazamiento eléctrico e intensidad magnética . . . . . . . . . . . . . 263 7.3.1. Susceptibilidades, constante dieléctrica y permeabilidad magnética 264 7.4. Campos estáticos en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 7.4.1. Electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 7.4.2. Magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 7.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
- 6. iv 8. Conductores 281 8.1. Mecanismos de conducción. Medios óhmicos . . . . . . . . . . . . . . . . 281 8.2. Relajación en medios óhmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 8.3. Conductores estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 8.4. Tubos de corriente estacionaria. Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . 287 8.5. Resistencias y generadores de corriente continua . . . . . . . . . . . . . 288 8.6. Asociación de elementos. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . 291 8.7. Disipación de energı́a. Ley de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 9. Ecuaciones de Maxwell para medios materiales. Consecuencias 309 9.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 9.1.1. Condiciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 9.1.1.1. Refracción de las lı́neas de campo y corriente . . . . . . 314 9.1.2. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 9.1.2.1. Teorema de unicidad para campos irrotacionales . . . . 317 9.1.2.2. Teorema de unicidad para campos solenoidales . . . . . 318 9.1.2.3. Teorema de unicidad en el caso general . . . . . . . . . 318 9.2. Energı́a electromagnética en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . 319 9.2.1. Energı́a consumida en recorrer un ciclo de histéresis . . . . . . . 321 9.2.2. Energı́a de un sistema de cargas y corrientes de conducción esta- cionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 9.3. Ecuaciones de onda en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 9.3.1. Ondas monocromáticas y monocromáticas planas . . . . . . . . . 324 9.3.1.1. Polarización de ondas electromagnéticas . . . . . . . . . 333 9.3.1.2. Energı́a en ondas planas monocromáticas. Vector de Poynting complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 9.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 A. Resolución de las ecuaciones de Poisson y Laplace a-1 A.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a-1 A.2. Solución analı́tica de la ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . a-1 A.2.1. Ejemplos del uso de las ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . a-1 A.2.2. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a-2 A.2.3. Expresión integral de la ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . a-3 A.2.4. Método de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a-5 A.2.5. Método de las imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a-7 A.2.5.1. Imágenes sobre un plano conductor; función de Green . a-9 A.2.5.2. Imágenes sobre una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . a-10 A.2.5.3. Imágenes sobre superficies cilı́ndricas . . . . . . . . . . a-11 A.3. Resolución analı́tica de la ecuación de Laplace; método de separación de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a-12 A.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a-12 A.3.2. Solución en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . a-13 A.3.3. Solución en coordenadas cilı́ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . a-15
- 7. v A.3.4. Solución en coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . a-18 A.4. Solución de la ecuación de Laplace en dos dimensiones mediante el uso de transformaciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a-21 A.5. Solución experimental y gráfica de las ecuaciones de Poisson y Laplace . a-24 A.5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a-24 A.5.2. Métodos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a-24 A.6. Métodos gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a-25 A.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a-29 B. Aplicaciones numéricas b-1 B.1. Ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b-1 B.1.1. Métodos de residuos pesados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b-2 B.1.1.1. Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b-2 B.1.1.2. Método de ajuste puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . b-3 B.1.1.3. Método de mı́nimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . b-3 B.1.2. Metodo de los momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b-4 B.1.2.1. Aplicación al cálculo de la capacidad de un hilo conduc- tor delgado: metodo momentos.nb . . . . . . . . . . . . b-6 B.1.3. Método de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b-9 B.1.3.1. Resolución iterativa del sistema de ecuaciones . . . . . b-11 B.1.3.2. Aplicación al estudio del condensador plano: metodo DF SOR condensador.nb . . . . . . . . . . . . b-13 B.1.4. Métodos variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b-22 B.1.4.1. Método de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b-26 B.1.4.2. Ejemplo 1: ejemplo Ritz.nb . . . . . . . . . . . . . . . b-26 B.1.4.3. Ejemplo 2: Método de Ritz (elementos finitos) . . . . . b-29 B.1.4.4. Método de los elementos finitos (Ritz) . . . . . . . . . . b-31 B.1.4.5. Ejemplo: ejemplo elem finitos 1D.nb . . . . . . . . . . b-37 B.2. Ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b-43 B.2.1. Propagación de ondas en medios no homogeneos (1D).FDTD − 1D − medios.nb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b-43 B.2.1.1. Programa: FDTD − 1D − medios.nb . . . . . . . . . . b-51 C. Campo magnético terrestre c-1 C.1. Estructura básica de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c-1 C.2. Morfologı́a del campo magnético superficial . . . . . . . . . . . . . . . . c-3 C.3. Campo fuera de la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c-5 C.4. Variaciones temporales del campo magnético terrestre . . . . . . . . . . c-6 C.5. Principio de la dinamo autoinducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c-6 C.6. Campo magnético de otros objetos celestes . . . . . . . . . . . . . . . . c-8
- 8. vi D. Sistemas de conductores y espiras d-1 D.1. Sistemas de conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d-1 D.1.1. Coeficientes de potencial y de capacidad . . . . . . . . . . . . . . d-1 D.1.2. Teorema de reciprocidad de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . d-3 D.1.3. Propiedades fundamentales de los coeficientes . . . . . . . . . . . d-4 D.1.4. Apantallamiento. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . d-5 D.1.5. Fuerzas y pares en sistemas de conductores . . . . . . . . . . . . d-8 D.2. Sistemas de espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d-10 D.2.1. Coeficientes de inducción de un sistema de tubos de corriente o espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d-10 D.2.2. Fuerza electromotriz inducida. Generadores y transformadores . d-13 D.2.3. Asociación de inductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d-14 D.2.4. Fuerzas y pares sobre un conjunto de espiras . . . . . . . . . . . d-15 D.2.5. Sistemas de espiras con núcleo magnético . . . . . . . . . . . . . d-17 D.2.5.1. El transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d-19 D.2.6. Circuitos magnéticos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d-20 D.2.7. Circuitos magnéticos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . d-22 D.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d-26 E. Corrientes cuasiestacionarias. Teorı́a de Circuitos e-1 E.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-1 E.2. Conexión entre la teorı́a de campos y la de Circuitos . . . . . . . . . . . e-1 E.3. Elementos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-5 E.3.1. Elementos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-9 E.4. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-10 E.5. Respuesta a una excitación armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-12 E.5.1. Representación fasorial; impedancias y admitancias . . . . . . . . e-14 E.5.2. Asociación de elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-15 E.6. Métodos de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-17 E.6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-17 E.6.2. Equivalencia entre fuentes reales de tensión y de intensidad . . . e-20 E.6.3. Análisis de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-21 E.6.4. Análisis de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-22 E.7. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-24 E.7.1. Teorema de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-24 E.7.2. Teoremas de Thevenin y Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-24 E.7.3. Potencia en corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-26 E.7.3.1. Teorema de la máxima transferencia de potencia . . . . e-29 E.8. Estudio de los circuitos de primero y segundo orden . . . . . . . . . . . e-30 E.8.1. Respuesta transitoria de sistemas lineales de primer orden . . . . e-30 E.8.2. Respuesta en frecuencia de los circuitos de primer orden . . . . . e-38 E.8.3. Transitorios en circuitos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . e-42 E.8.4. Respuesta en frecuencia de sistemas de segundo orden . . . . . . e-49 E.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e-53
- 9. vii F. Elementos de cuato terminales. Transistores bipolares y de efecto de campo f-1 F.1. Elementos de cuatro terminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f-1 F.2. Transistores bipolares y de efecto de campo . . . . . . . . . . . . . . . . f-3 F.2.1. Análisis de circuitos con fuentes dependientes . . . . . . . . . . . f-6 F.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f-8 G. Sistemas lineales. Diagramas de Bode g-1 G.1. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g-1 G.1.1. Ecuaciones de un circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g-1 G.1.2. Respuesta transitoria y estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . g-2 G.1.3. Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g-5 G.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g-13 H. Introducción histórica h-1 I. Sistemas de unidades i-1 J. Teorı́a de campos j-1 J.1. Campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-1 J.2. Representación gráfica de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-3 J.2.1. Base vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-5 J.2.2. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-6 J.2.3. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-8 J.3. Operaciones diferenciales e integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-9 J.3.1. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-9 J.3.2. Flujo y divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-9 J.3.3. Circulación y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-11 J.3.4. Operador Laplaciana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-12 J.4. Teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-12 J.4.1. Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-12 J.4.2. Teorema del rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-13 J.5. Coordenadas curvilı́neas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-13 J.5.1. Sistemas Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-15 J.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j-19 K. La Delta de Dirac k-1 K.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k-1 K.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k-3 K.3. Ejemplos de sucesiones de funciones que aproximan a la delta de Dirac . k-4 K.4. Otras expresiones útiles de la δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k-5 K.5. Ecuaciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k-6 K.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k-9
- 10. viii L. Desarrollo en serie y Transformada de Fourier l-1 L.1. Desarrollo en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l-1 L.2. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l-3 L.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l-4 L.3.1. Desarrollo en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l-4 L.3.2. Transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l-6 L.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l-7 M.Tablas m-1 M.1. Constantes fı́sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m-1 M.2. Unidades del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m-1 M.3. Conversión eV À J y gauss À T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m-1 M.4. Propiedades dieléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m-2 M.5. Propiedades magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m-2 M.6. Conductividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m-4 N. Formulario matemático n-1 N.1. Relaciones vectoriales y diádicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-1 N.1.1. Productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-1 N.1.2. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-1 N.1.3. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-1 N.1.4. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-2 N.1.5. Laplaciana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-2 N.1.6. Teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-2 N.2. Coordenadas cuvilı́neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-2 N.2.1. Cuadro resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-2 N.2.2. Vector de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-3 N.2.3. Vector diferencial de lı́nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-3 N.2.4. Elemento de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-3 N.2.5. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-3 N.2.6. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-3 N.2.7. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-4 N.2.8. Laplaciana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-4 N.3. Ángulo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-4 N.4. La Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-5 N.4.1. definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-5 N.4.2. Expresiones integrales y diferenciales de la delta de Dirac . . . . n-5 N.4.3. Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-5 N.5. Series y transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-6 N.5.1. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-6 N.5.2. Transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-6
- 11. ix Programas Mathematica Capı́tulo 1 prob1 − 8.nb. (p. 32) Representa al movimiento ciclotrónico con campo eléctrico paralelo al magnético. deriva − ambipolar.nb. (p. 35) Muestra la deriva ambipolar de cargas en presencia de campo eléctrico y magnético perpendiculares. Capı́tulo 2 lineas − campo 2q.nb. (p. 53) Determina y representa las lı́neas equipotenciales y de campo de un sistema de dos cargas de magnitud y signo arbitrario. Las lı́neas de campo se integran numérica- mente por el método de Euler. equipotlineas − dipolo.nb. (p. 62) Determina analı́ticamente las lı́neas equipotenciales y las de campo y las repre- senta. Integra numéricamente las lı́neas de campo, empleando el método de Euler y el de Heun, y compara estos resultados y los analı́ticos entre sı́. prob i3 inv.nb. (p. 76) Resuelve el problema 2-14. carretes − Helmholtz.nb. (p. 93) Estudia el campo magnético producido por dos espiras cuadradas, las configura como carretes de Helmholtz y dibuja sus lı́neas de campo. Capı́tulo 4 FDTD 1D − vacio.nb. (p. 157) Simula la ecuación de ondas en el vacı́o mediante el método FDTD. Aplica de condiciones reflectantes y absorbentes y genera pelı́culas para dos ejemplos de propagación de ondas pulsadas. Capı́tulo 5 solenoide − iman.nb. (p. 197) Representa del campo magnético producido por un solenoide finito de sección circular, a lo largo de su eje, ası́ como la energı́a potencial de un dipolo magnético, situado en dicho eje, y la fuerza que actúa sobre el mismo.
- 12. x Capı́tulo 6 movimiento − cargas − EpB.nb. (p. 220) Estudia la compresión magnética de la trayectoria de una carga en presencia de campos eléctrico y magnético paralelos. Las trayectorias se obtienen por inte- gración numérica de las ecuaciones diferenciales del movimiento y se representan en dos y tres dimensiones. Ofrece dos modalidades en las que el campo magnético crece, respectivamente, de forma gradual o brusca. enfoque EpB.nb. (p. 222) Representa las trayectorias de cargas enfocadas por campos eléctrico y magnético paralelos. Produce una gráfica paramétrica tridimensional de las trayectorias para diversos ángulos de dispersión y otra bidimensional de la proyección transversal de las mismas. botella − magnetica.nb. (p. 225) Estudia el confinamiento de partı́culas en botellas magnéticas: genera pelı́culas de las trayectorias de un dipolo a lo largo del eje de la botella y de una partı́cula, atrapada o en el interior del cono de fugas, que circula alrededor de una lı́nea de campo arbitraria. lente − electrostatica.nb. (p. 236) Integra la ecuación de las trayectorias de un haz de cargas que incide sobre lente electrostática elemental y muestra como éstas convergen en el foco de la misma. También se muestra la estructura del campo y el potencial producido por la lente. orbitas − cargas.nb. (p. 241) Genera la pelı́cula de las trayectorias de dos cargas referidas a su centro de masas. Las cargas, sus signos, sus masas y sus velocidades iniciales son arbitrarias. Capı́tulo 9 polarizacion − ondas.nb. (p. 346) Permite determinar el tipo de polarización de una onda monocromática plana en función de las amplitudes y las fases de los campos. Apéndice A imag − dosplanos.nb. (p. a-32) Calcula, haciendo uso del método de las imágenes, el potencial producido por una carga situada entre dos planos paralelos a potencial nulo y lo representa en distintos formatos. imag − dosesferas.nb. (No descrito en el texto). Programa similar al anterior que calcula y representa el potencial debido a dos esferas conductoras cargadas a un determinado potencial. Véase el problema a-10.
- 13. xi poisson − cartesianas − a.nb. (p. a-43) Resuelve la primera parte del problema de potenciala-16 por el método de sepa- ración de variables y representa los resultados. poisson − cartesianas − b.nb (No descrito en el texto). Resuelve la segunda parte del problema a-16. Apéndice B metodo momentos.nb. (p. b-8) Calcula la distribución de carga y la capacidad para un segmento de hilo conductor delgado aplicando el método de los momentos. metodo DF SOR condensador.nb. (p. b-16) Es un programa bidimensional para el cálculo del potencial por el método de diferencias finitas con sobrerelajaciones sucesivas. Se aplica al estudio de dos placas paralelas a potenciales iguales y contrarios. metodo DF SOR electrodos puntuales.nb. (No descrito en el texto). Programa similar al anterior aplicado a la determinación del potencial producido por dos hilos cargados paralelos. Estudia, para este caso concreto, el valor óptimo de la constante de relajación. ejemplo Ritz.nb. (p. b-27) Aplica el método de Ritz al cálculo del potencial en un ejemplo unidimensional simple. ejemplo Ritz − EF.nb. (No descrito en el texto). Resuelve el problema anterior dividiendo su dominio en dos elementos finitos. Véase la sección B.1.4.3. ejemplo elem finitos 1D.nb. (p. b-41) Generaliza el programa anterior haciendo uso del método de elementos finitos y utilizando un número arbitrario de elementos. Ilustra el empleo del método de Gauss sin pivotación para la solución de sistemas de ecuaciones tridiagonales. FDTD − 1D − medios.nb. (p. b-57) Simula la propagación de ondas en medios no homogéneos y hace uso de un algo- ritmo de iluminación. Se pueden ejecutar dos ejemplos: la simulación de un adap- tador de cuarto de onda y la de la incidencia de una onda pulsada sobre un medio ligeramente conductor terminado por un plano conductor ideal. La estructura de este programa difiere en aspectos importantes de la del FDTD 1D − vacio.nb.
- 14. xii Apéndice E prob − teocir − guia.nb. (p. e-64) Simula una guı́a de onda ideal como una cadena de circuitos LC cuasiestaciona- rios que equivalen a pequeñas secciones de la misma. Se genera una pelı́cula de las ondas estacionarias de tensión e intensidad creadas en un segmento de guı́a cortocircuitado. impedancia − paralelo − serie.nb. (p. e-68) Programa auxiliar del problema e-28. Apéndice J prob − h17.nb. (p. j-24) Programa auxiliar del problema j-17. prob − h18.nb. (p. j-25) Programa auxiliar del problema j-18. Apéndice K prob − I2.nb. (p. k-10) Muestra como soslayar la singularidad de ∇2 (1 r ) para modelar la delta de Dirac.
- 15. Prólogo Este libro, de acuerdo con su tı́tulo, ofrece unas primeras nociones de electromag- netismo que, como indica el subtı́tulo, se acompañan de programas comentados para ilustrar algunas de las técnicas de ordenador aplicables a la solución de problemas elec- tromagnéticos. Su contenido se organiza, aproximadadamente por mitades, en un conjunto de capı́tu- los y otro de apéndices. En la mayorı́a de ellos se incluyen problemas y programas Mathe- matica. Capı́tulos: Este primer bloque contiene los fundamentos básicos de la teorı́a electromagnética en el marco de la relatividad de Galileo 1 y se divide, a su vez, en tres partes: Parte I (Campo electromagnético en el vacı́o). Contiene 4 capı́tulos a lo largo de los cuales se define al campo electromagnético en el vacı́o, se postulan sus fuentes estáticas y dinámicas y se estudian las conclusiones básicas que se deducen de las ecuaciones de Maxwell. Parte II (Multipolos). Contiene dos capı́tulos, en el primero se expone la repre- sentación multipolar de la materia y en el segundo se trata el movimiento de monopolos y dipolos en presencia de los campos. Parte III (Campo electromagnético en los medios materiales). Contiene tres capı́tu- los en los que se estudian los campos en medios polarizables y conductores ası́ como las consecuencias de las ecuaciones de Maxwell para este tipo de medios. Apéndices: En los apéndices se incluye una serie de complementos al contenido de los capı́tulos. En ellos se amplian cuestiones que sólo se apuntan en la primera parte, se añaden temas de cálculo numérico, se suministran tablas, fórmulas y un mı́nimo de fundamentos matemáticos. 1 Véase [Garcı́a Olmedo]. xiii
- 16. xiv Problemas: Una parte de los problemas que se ofrecen al final de la mayorı́a de los capı́tulos y apéndices están resueltos total o parcialmente, bien sea de forma analı́tica explı́cita o con la ayuda del ordenador. En los enunciados de algunos problemas se adelantan definiciones simples, como las de condensador, conductor estático, etc., que sólo se tratan con cierto detalle en capı́tulos y apéndices posteriores. Cálculo numérico: A lo largo del texto, como auxilio en la resolución de problemas, como sección de algún capı́tulo o, particularmente, en el apéndice Aplicaciones numéricas, se introducen programas sencillos, escritos en el lenguaje Mathemática, 2 con los que se pretende iniciar al lector del texto en el uso de los ordenadores para la solución de problemas electro- magnéticos y la presentación de los resultados. Los programas empiezan siendo muy simples y paulatinamente se hacen algo más complejos. Por esta razón, es aconsejable empezar por los que se describen en los apéndices J y K, para continuar con el orden establecido en el ı́ndice general. A lo largo de estos programas se muestra el uso de las capacidades alagebraicas, analı́ticas, gráficas y numéricas de Mathematica para el análi- sis y resolución de problemas electromagnéticos. Los Notebooks correspondientes a estos programas se comentan en el texto y se encuentran en un disco adjunto. Mathematica es muy apropiado para los fines que aquı́ se persiguen y sus programas son fácilmente trasladables a otros lenguajes mas eficientes pero menos didácticos que éste. Conclusión: Este libro es el resultado de notas tomadas en diversas etapas durante la enseñanza del electromagnetismo a nivel de tercer curso de Fı́sica. Durante este último año se ha revisado en profundidad y añadido una parte substancial del material que en él se incluye. Debo agradecer a muchas personas la ayuda, directa o indirecta, que me han prestado para la redacción y corrección del texto; a todos ellos le expreso mi agradecimiento. En particular, como cualquier texto de este tipo, éste es deudor de fuentes orales y escritas de las que he extraido información a lo largo de un intevalo de tiempo muy extenso. Sólo explicito en la bibliografı́a aquellas fuentes en las que conscientemente me he apoyado, de muchas de las cuales existen ediciones más recientes que las reseñadas. Bernardo Garcı́a Olmedo Granada, Octubre de 2005 2 En este texto se ha utilizado la versión 4 de Mathematica. Si se utilizan otras versiones distintas, alguno de los programas puede necesitar alguna adaptación para su correcta ejecución. Véase [Wolfram].
- 17. Coplas hechas sobre un éxtasis de harta contemplación Entréme donde no supe, y quedéme no sabiendo, toda sciencia trascendiendo. Yo no supe dónde entraba, pero, cuando allı́ me vı́, sin saber dónde me estaba, grandes cosas entendı́; no diré lo que sentı́, que me quedé no sabiendo, toda sciencia trascendiendo. De paz y de piedad era la sciencia perfecta, en profunda soledad entendida (via recta); era cosa tan secreta, que me quedé balbuciendo, toda sciencia trascendiendo. Estaba tan embebido, tan absorto y ajenado, que se quedó mi sentido de todo sentir privado; y el espı́ritu dotado de un entender no entendien- do, toda sciencia trascendiendo. El que allı́ llega de vero, de sı́ mismo desfallesce; cuanto sabı́a primero mucho bajo le paresce; y su sciencia tanto cresce, que se queda no sabiendo, toda sciencia trascendiendo. Cuanto más alto se sube, tanto menos se entendı́a, que es la tenebrosa nube que a la noche esclarecı́a; por eso quien la sabı́a queda siempre no sabiendo toda sciencia trascendiendo. Este saber no sabiendo es de tan alto poder, que los sabios arguyendo jamás le pueden vencer; que no llega su saber a no entender entendiendo, toda sciencia trascendiendo. Y es de tan alta excelencia aqueste sumo saber, que no hay facultad ni sciencia que le puedan emprender; quien se supiere vencer con un no saber sabiendo irá siempre trascendiendo. Y si lo quereis oı́r, consiste esta suma sciencia en un subido sentir de la divinal Esencia; es obra de su clemencia hacer quedar no entendiendo, toda sciencia trascendiendo. Fray Juan de la Cruz xv
- 18. xvi .
- 19. Parte I Campo electromagnético en el vacı́o 1
- 21. 3 Introducción El objetivo fundamental de esta disciplina es el estudio de las interacciones que tienen lugar entre cargas y entre corrientes. No obstante, estas interacciones, como la gravi- tatoria y otras que aparecen en la Fı́sica, se estudian más cómodamente expresándolas como el encadenamiento de dos procesos, según se muestra en la figura 2 F’ Cargas fuente Cargas testigo Campo Interaccion= Creacion de campo + Deteccion de fuerza F F Figura 2: En el primero, un grupo de cargas, que consideramos como fuentes primarias o causa de la interacción, perturba el espacio que lo rodea dotándolo de propiedades que, antes de la existencia de dichas cargas, no poseı́a; diremos que las cargas fuente han creado un campo. En el segundo, otro grupo de cargas, que llamaremos testigo , sufre una fuerza neta en virtud de la interacción con el campo previamente creado. Según este esquema, la teorı́a que estructura a estas interacciones debe contener leyes que relacionen a los campos con sus fuentes, leyes de campo , y leyes que relacionen a los campos con las fuerzas, leyes de fuerza . El problema de relacionar a los campos con sus fuentes es mucho más complejo y rico que el cálculo de las fuerzas, por lo que ésta será esencialmente una teorı́a del campo electromagnético (EM). Este campo, que puede ser expresado como tal por medio de un solo tensor tetradimensional de segundo orden, será descrito por ahora, de forma sencilla, como la suma de dos campos tridimensionales acoplados entre sı́: el eléctri- co y el magnético. Todo esto justifica que dediquemos un apéndice a revisar, aunque brevemente, las caracterı́sticas generales de los campos vectoriales tridimensionales. Se recomienda la lectura de este apéndice, antes de abordar la primera parte del texto, con objeto de consolidar y establecer los conceptos y la nomenclatura que se utilizarán a lo largo del mismo. El campo EM, que acabamos de presentar como mero auxiliar para describir la interacción entre cargas, adquiere, según se desarrolla la teorı́a, personalidad propia. El fenómeno de radiación posibilita la creación de campos EM aislados, automantenidos, que se independizan de sus fuentes primarias y que, mientras no interaccionen con la
- 22. 4 materia, transportan cantidades fijas de energı́a, masa, momento y momento angular. En definitiva el campo EM tiene todas las propiedades de la materia: sus movimientos, redistribuciones, obedecen a leyes análogas a las de los fluidos de materia ordinaria. Podemos decir que el campo EM es algo más que un concepto auxiliar; realmente cons- tituye la manifestación más simple de la materia. Esta primera parte comprende cuatro capı́tulos y en ella pretendemos exponer, con relativa rapidez, el esquema básico de la teorı́a electromagnética en el vacı́o. El térmi- no vacı́o no se entenderá literalmente sino que admitiremos la presencia de cargas en movimiento que describiremos, en su totalidad, por medio de funciones densidad de cargas y de corrientes. En principio se adopta un modelo de tipo microscópico, limitado pero simple, en el que las cargas que crean el campo se consideran como puntuales y desprovistas de spin. Las densidades microscópicas expresan con detalle la magnitud, posición y velocidad de cada una de las cargas y son, por lo tanto, rápidamente variables en el espacio y en el tiempo. Para volúmenes macroscópicos, este tipo de descripción es inviable dada la enorme cantidad de información que es necesario manejar. Suele tomarse como dimensión mı́nima de un volumen macroscópico, a aquel que contiene a un número de cargas de orden de N0 = 106, lo que corresponde a un cubo de materia ordinaria cuya arista sea del orden de L0 = 100 o A. El seguimiento de la evolución de un sistema de cargas con N À N0 no es factible, ni siquiera mediante la simulación numérica en ordenador. En estas circunstancias es posible y conveniente recurrir a una descripción macroscópica en la que las densidades se promedian en el espacio y en el tiempo 3; en todo caso, los instrumentos ordinarios de medida proporcionan un promedio espacio-temporal de las magnitudes. Este proceso de promedio es delicado desde el punto de vista teórico y, al reducir drásticamente la información con la que se describe al sistema de cargas y campos, reduce también la capacidad de predicción de las ecuaciones resultantes. En esta primera parte, se hará uso de una versión simple de las ecuaciones macroscópicas en la que la densidad macroscópica de carga, junto con la de corriente, describe a todas las cargas o, al menos, a todas aquellas que tienen un efecto significativo sobre los campos macroscópicos. Esto excluye a la materia organizada dipolarmente a nivel molecular cuyo tratamiento se dejará para más adelante. 3 Para ciertas aplicaciones sólo es necesario promediar espacialmente porque, si el movimiento de las partı́culas no está correlacionado, el promedio espacial elimina las fluctuaciones temporales.
- 23. Capı́tulo 1 Campo eléctrico y campo magnético 1.1. Descripción de las magnitudes electromagnéticas Como ya se ha comentado, caben dos formas básicas de enmarcar al electromag- netismo. Una microscópica, altamente detallada y teóricamente potente, pero limitada en la práctica, y otra macroscópica, en la que se elimina gran parte de la información pero que es de mayor utilidad práctica. 1.1.1. Espacio de los campos y las fuentes Pretendemos describir la interacción entre dos sistemas de cargas a uno de los cuales consideramos como fuente y al otro como testigo. Aquı́ también, como en la Mecánica Newtoniana, es necesario elegir cuidadosamente el sistema de referencia desde el que se enuncian las leyes, por lo que, salvo excepciones, haremos siempre uso de un sistema inercial S, figura 1.1. x ^ z ^ r r ’ R v ( r ) S v ’ ( r ’) R = r - r ’= (x-x’,y-y’,z-z’) r =(x, y, z) r ’=(x’,y’,z’) V’ y V ^ Figura 1.1: Fijaremos, pués, con respecto a este sistema, las coordenadas de las fuentes por ~ r 0, las de las cargas testigo, o puntos de observación, por ~ r y la distancia mutua entre las 5
- 24. 6 fuentes y puntos de observación por ~ R. Tenemos, pués, un espacio de seis dimensiones (x 0, y 0, z 0, x, y, z), dentro del cual deberemos especificar tanto las cargas existentes ρ(~ r 0) y ρ(~ r), como sus movimien- tos ~ v(~ r 0) y ~ v(~ r). Veremos más adelante que éstas, las fuentes primarias, no serán las únicas fuentes del campo sino que los propios campos actúan como verdaderas fuentes, en el sentido que se deduce del teorema de Helmholtz, en paridad con las anteriores. Eventualmente, dado que la acción electromagnética se propaga con velocidad finita, será necesario conocer estas magnitudes en instantes distintos al de observación. 1.2. Fuentes de un campo vectorial. Teorema de Helmholtz Establecido qué es lo que entendemos por campo vectorial en el apéndice J, nos interesa ahora relacionar a los campos con sus fuentes. Llamaremos fuentes vectoriales de un campo vectorial ~ F(~ r) a su rotacional, y fuentes escalares a su divergencia ∇ ∧ ~ F(~ r) = ~ R(~ r) = fuentes vectoriales ∇ · ~ F(~ r) = D(~ r) = fuentes escalares (1.1) Teorema de Helmholtz : Éste es el primero de los teoremas de unicidad que se enunciarán más adelante. Veremos que para que las fuentes determinen unı́vocamente a un campo son suficientes las siguientes condiciones: – a) ~ F(~ r) tiende a cero más rápidamente que r−1 cuando r → ∞ 1. – b) Las fuentes, figura 1.2, son nulas fuera de un volumen V 0 0 finito y contenido en una esfera, centrada en el origen, de radio finito L = r 0 max. Enunciado – A) Un campo que cumpla las condiciones anteriores queda unı́vocamente determi- nado si se conocen sus fuentes escalares y vectoriales en todos los puntos ~ r 0 = (x0, y0, z0) del espacio. Puede, además, derivarse de unas funciones potenciales, un campo escalar f(~ r) y un campo vectorial ~ g(~ r) , a través de las operaciones de gradiente y rotacional: ~ F(~ r) = −∇f(~ r) + ∇ ∧ ~ g(~ r) (1.2) 1 Los campos que nos interesan cumplen sobradamente esta condición, salvo casos lı́mite como las distribuciones de dimensión infinita, como los rectas y planos no acotados que se introducen en la teorı́a por simplicidad pero que no pueden plasmarse en la realidad. En general, los campos estáticos de distribuciones acotadas decrecen según r−2 y los de radiación son nulos fuera de una cierta esfera de radio finito en un instante determinado.
- 25. 7 ^ y ^ z ^ Volumen de fuentes L=r’max r ’ R r Fuentes nulas V’0 x Figura 1.2: – B) Los potenciales pueden expresarse en función de las fuentes del campo como f(~ r) = 1 4π Z V 0 0 D(~ r 0) R dv0 = Potencial escalar de ~ F(~ r) ~ g(~ r) = 1 4π Z V 0 0 ~ R(~ r 0) R dv0 = Potencial vector de ~ F(~ r) (1.3) donde ~ R = ~ r − ~ r 0 y V 0 0 contiene a ~ R = ~ 0. De acuerdo con ésto, tanto f(~ r) como cada una de las componentes de ~ g(~ r) tienen la forma Φ(~ r) = K Z V 0 0 ξ(~ r 0) R dv0 Veremos más adelante que el campo electromagnético tiene sólo fuentes vectoriales, por lo que basta con un potencial vector ~ A para describirlo. El campo eléctrico tiene fuentes escalares y vectoriales pero, como está acoplado al magnético, la parte que deriva de un potencial vector no será expresada como en (1.2), sino por ∂ ~ A ∂t . Demostración Sea, como se muestra en la figura 1.3, un volumen V 0 que contenga a ~ R = ~ 0, es decir, que contenga al punto de observación P. Haciendo uso de la propiedad de desplazamiento de la δ(~ R) = δ(~ r − ~ r 0) 2 podemos 2 véase apéndice K
- 26. 8 z ^ L=r’max r ’ r R V’0 y ^ P V’ x S’ ^ Figura 1.3: expresar el campo de la forma ~ F(~ r) = Z V 0 0 ~ F(~ r 0 )δ(~ r − ~ r 0 )dv0 = − 1 4π Z V 0 ~ F(~ r 0 )∇2 µ 1 R ¶ dv0 = −∇2 " 1 4π Z V 0 ~ F(~ r 0) R dv0 # Hemos sacado ∇2 fuera de la integral porque este operador implica la derivación con respecto a las coordenadas x, y, z, mientras que ~ F(~ r 0) es función de las x0, y0, z0 y la integral opera sobre estas últimas. De la igualdad ∇ ∧ (∇ ∧ ~ a) = ∇(∇ · ~ a) − ∇2 ~ a se deduce que ~ F(~ r) = ∇f(~ r) + ∇ ∧ ~ g(~ r) donde f(~ r) = ∇ · " 1 4π Z V 0 ~ F(~ r 0) R dv0 # y ~ g(~ r) = ∇ ∧ " 1 4π Z V 0 ~ F(~ r 0) R dv0 # con lo que queda demostrada la primera parte del teorema. Se puede demostrar que estas dos expresiones son equivalentes a las del enuncia- do (1.3). Lo comprobaremos para el potencial escalar f(~ r). Dado que ∇ · (f~ a) = f∇ · ~ a + ~ a · ∇f ∇ · Ã ~ F(~ r 0) R ! = 1 R ∇ · ~ F(~ r 0 ) | {z } =0 +~ F(~ r 0 ) · ∇ µ 1 R ¶
- 27. 9 ∇ · ~ F(~ r 0) = 0 porque ~ F(~ r 0) no es función de ~ r, sino de ~ r 0. Luego f(~ r) = 1 4π Z V 0 ~ F(~ r 0 ) · ∇ µ 1 R ¶ dv0 = − 1 4π Z V 0 ~ F(~ r 0 ) · ∇ 0 µ 1 R ¶ dv0 donde se ha tenido en cuenta que ∇(f(R)) = −∇0(f(R)). Volviendo a emplear la misma expresión ~ F(~ r 0 ) · ∇ 0 µ 1 R ¶ = ∇ 0 · µ 1 R ~ F(~ r 0 ) ¶ − 1 R ∇ 0 · ~ F(~ r 0 ) que, pasando a superficie la integral de ∇ 0 · ³ 1 R ~ F(~ r 0) ´ f(~ r) = 1 4π Z V 0 ∇ 0 · ~ F(~ r 0) R dv0 − 1 4π Z V 0 ~ F(~ r 0) R · d~ s0 donde S 0 es la superficie que envuelve a V 0. Haciendo tender S 0 → ∞, puesto que F(~ r 0) ∼ r0−2 y r ' r0, para r0 → ∞, podemos despreciar la integral de superficie y escribir f(~ r) = 1 4π Z V 0 0 D(~ r 0) R dv0 Nos da lo mismo integrar sobre V 0 0 o sobre V 0 → ∞ puesto que D(~ r 0) se anula fuera de V 0 0. Como ya hemos apuntado y demostremos más adelante, necesitamos describir dos campos pero nos basta con dos potenciales porque ~ E y ~ B están acoplados y ~ B no tiene fuentes escalares [Panofsky y Phillips, Shadowitz]. ~ E = −∇V − ∂ ~ A ∂t ~ B = ∇ ∧ ~ A 1.3. Clasificación de los campos según sus fuentes Según las fuentes vectoriales y escalares sean o no distintas de cero, en una cierta región del espacio V, podemos clasificar a los campos en cuatro grupos. Para visualizarlos gráficamente tendremos en cuenta que, por los teoremas de la divergencia y el rotacional I L ~ F · d~ r = I S ~ R · d~ s I S ~ F · d~ s = I V D dv En la figura 1.4 se representan esquemáticamente las cuatro clases de campos que se deducen de este criterio de clasificación.
- 28. 10 P F L S (a) F n S L (b) F S L (c) F S L (d) P P P Figura 1.4: Las caracterı́sticas esenciales de cada uno de estos grupos pueden resumirse de la siguiente manera: – a) El campo, figura 1.4a es irrotacional, al no tener fuentes vectoriales, y solenoidal al carecer de fuentes escalares. Es evidente que, fuera del volumen V donde ésto es cierto, debe de existir algún tipo de fuente porque, de lo contrario, los campos serı́an nulos en todo V. Supongamos que el volumen V es tal que, para todo camino L contenido en él, existe una superficie S apoyada en dicho camino y que también está enteramente contenida en V. Esta precisión es necesaria porque, cuando estudiemos el campo magnético, nos encontraremos situaciones de interés que no cumplen la condición anterior. Para simplificar y concretar, supondremos ~ R = ~ 0 en todo el espacio y D 6= 0 fuera de V. ∇ ∧ ~ F = 0 ⇒ ~ F = −∇f ∇ · ~ F = 0 ∇2 f = 0 (Ecuación de Laplace) Estos campos derivan de un potencial escalar que cumple la ecuación de Laplace. Con la condición impuesta, el teorema del rotacional (1.4) es aplicable, luego, para cualquier L I L ~ F · d~ l = 0 En el caso del campo eléctrico estático, como comprobaremos pronto, esta integral será equiparable al trabajo realizado por unidad de carga, al recorrer L, por lo que, propiamente, diremos que un campo eléctrico de este tipo es conservativo. Si aplicamos el teorema de la divergencia (1.4) a un volumen elemental arbitrario, ∆V, limitado por la superficie ∆S Z ∆S ~ F · d~ s = 0 lo que implica que tantas lı́neas de campo entran en el volumen ∆V como salen del mismo. En la figura (a) se muestra cómo las lı́neas de campo no pueden nacer ni morir en V y cómo la circulación sobre cualquier camino L contenido en V es también nula.
- 29. 11 A este grupo pertenece el campo electrostático en el vacı́o sin cargas, como el exis- tente en el espacio comprendido entre las placas de un condensador, figura 1.5. E V + - +Q -Q Figura 1.5: – b) El campo es irrotacional y no solenoidal. Aquı́ podemos suponer que todas las fuentes están en V. ~ F = −∇f ∇ · ~ F = D ⇒ ∇2 f = −D (Ecuación de Poisson) f(~ r) = 1 4π Z V 0 D(~ r 0) R dv0 En este caso, las lı́neas de campo nacerán y morirán en los puntos de V en los que D 6= 0, figura 1.4b. Como ejemplo citaremos al campo electrostático en presencia de cargas. – c) El campo es rotacional y solenoidal. Las lı́neas de campo no pueden nacer ni morir en V pero sı́ pueden cerrarse sobre sı́ mismas (figura 1.4c) dentro de V, puesto que I L ~ F · d~ l 6= 0 ∇ · ~ F = 0 ⇒ ~ F = ∇ ∧ ~ g ∇ ∧ ~ F = ~ R ⇒ ∇ ∧ (∇ ∧ ~ g) = ∇(∇ · ~ g) − ∇2 ~ g = ~ R ~ F deriva de un potencial vector que responde a la ecuación anterior ~ g(~ r) = 1 4π Z V 0 ~ R(~ r 0) R dv0 Se puede demostrar que es posible exigir a ~ g que sea solenoidal. En este caso ∇2 ~ g = − ~ R
- 30. 12 ecuación que sólo es distinta de la precedente cuando se utilizan coordenadas cartesianas. El campo magnético, que es siempre solenoidal, cae dentro de este grupo. – d) En general, los campos serán rotacionales y no solenoidales (figura 1.4d). En adelante, estudiaremos el campo electromagnético desdoblado como dos campos vectoriales acoplados, cuyas fuentes, expresadas en el sistema M.K.S.A., serán: ∇ · ~ E = ρ ε ∇ · ~ B = 0 ∇ ∧ ~ E = − ∂ ~ B ∂t ∇ ∧ ~ B = µ Ã ~ j + ε ∂ ~ E ∂t ! donde, como vemos, además de las cargas y de las corrientes, las propias variaciones temporales de los campos actúan de fuentes. 1.3.1. Descripción microscópica En la descripción microscópica se especifica con detalle tanto a las cargas como a los campos, por lo que éstos vienen representados por magnitudes rápidamente variables. Aunque más adelante se matizará de alguna forma lo que a continuación se expone, des- de el punto de vista clásico cabe representar a todas y cada una de las cargas presentes como puntuales o, al menos, a todas aquellas cuya aportación al campo es importante. Esta representación puede hacerse formalmente de dos maneras: especificando las posi- ciones y velocidades de cada una de las cargas o definiendo unas densidades pseudo- continuas por medio de la delta de Dirac. Será esta última opción la que tomaremos aquı́. Este modelo, como todos los modelos fı́sicos, tiene limitaciones de orden teórico y práctico que se subsanarán parcialmente más adelante cuando se aborde el tratamiento fenomenológico de la materia. En primer lugar, aunque desde el punto de vista clásico es posible fijar simultáneamente posiciones y velocidades, sin limitación alguna, a dis- tancias atómicas las leyes clásicas dejan de ser válidas, y, en segundo lugar, no es posible hacer una descripción detallada de una porción macroscópica de materia porque ésto llevarı́a consigo la utilización de una cantidad excesiva de información. Densidad de carga: La densidad de carga 3 se define como una función que, integrada sobre un volumen arbitrario, da la medida de la carga total encerrada en el mismo. Q = Z V ρ dv 3 Cada partı́cula lleva consigo, aparte de su propia identidad de partı́cula, masa, energı́a, carga, cantidad de movimiento, etc., por lo que las definiciones que se contemplan para describir a las cargas y sus flujos son análogas a las que se definen para el resto de dichas magnitudes.
- 31. 13 Una carga puntual q, cuya trayectoria es ~ r0(t), puede ser descrita por medio de una función densidad haciendo uso de la delta de Dirac ( véase el apéndice correspondiente). ρ(~ r, t) = q δ(~ r − ~ r0(t)) (1.4) Efectivamente, esta densidad describe con propiedad el contenido de carga en el entorno de ~ r0(t): ρ(~ r, t) = 0 ~ r 6= ~ r0(t) → ∞ ~ r → ~ r0(t) y cualquier volumen elemental que contenga al punto ~ r0 contiene una carga total, figura 1.6, r o ρ ∆ v ρ=0 y ^ x ^ z ^ r0 (t) r0 (t) q - r o Figura 1.6: q(~ r0(t)) = Z ∆V ⊃~ r0(t) ρ(~ r, t)dv Si lo que queremos describir detalladamente es una colectividad de N cargas pun- tuales qi situadas cada una en ~ ri(t), i = 1, · · · N, la densidad correspondiente es la suma de las densidades de cada una de las partı́culas ρ(~ r, t) = N X i=1 ρi(~ r, t) = N X i=1 qi δ(~ r − ~ ri(t)) (1.5) y la carga contenida en un volumen V, de acuerdo con las propiedades de integración de la delta de Dirac, será Q(V) = Z V ρ dv = N(V) X j=1 qj donde el ı́ndice j = 1, · · · N(V) recorre a todas las partı́culas contenidas en V. De forma análoga, pueden definirse otras densidades, como la de partı́culas n(~ r, t) = N X i=1 δ(~ r − ~ ri(t)) (1.6)
- 32. 14 cuya intregral sobre un volumen proporciona el número de partı́culas que contiene N(V) = Z V n dv o la densidad de la velocidad de las partı́culas ~ part(~ r, t) = N X i=1 ~ vi(t) δ(~ r − ~ ri(t)) (1.7) cuya integral proporciona la suma de las velocidades de las partı́culas contenidas en el volumen 4. ~ vV = Z V ~ part dv = N(V) X j=1 ~ vj Estas densidades nos permiten también hallar el valor medio, sobre las partı́culas encerradas en V, de las magnitudes asociadas a las mismas, como la carga, la velocidad, etc. hqi = PN(V) j=1 qj N(V) , ~ u ≡ h~ vi = PN(V) j=1 ~ vj N(V) (1.8) En la figura 1.7 se muestra como se obtiene el promedio espacial ~ u(~ r) de la velocidad de un sistema de partı́culas sobre un volumen V centrado en el punto (~ r). V ^ x ^ z ^ v 2 v 3 v 5 v 7 v 1 v 2 v 5 v 4 v 6 v 3 v 7 v i u r v i Σ v i Σ v 1 v 8 v 6 v 4 =(1/8) (a) (c) 8 v (b) =< > y Figura 1.7: 4 Como se deducirá de lo que sigue, ~ part puede también interpretarse como la densidad de flujo ( o densidad de corriente) de partı́culas y su flujo a través de una superficie nos da el número de partı́culas que la atraviesan en la unidad de tiempo.
- 33. 15 En 1.7-a se muestra al sistema de partı́culas y al volumen sobre el que se realiza el promedio y sobre el cual se integra la densidad de partı́culas. El resultado de esta integración es el que se detalla en 1.7-b y el promedio final en 1.7-c. Intensidad; Densidad de corriente: Se define como intensidad de corriente, figura 1.8, a la carga total que atraviesa a una superficie, cerrada o abierta, en la unidad de tiempo. I ≡ µ d Q d t ¶ S (1.9) La unidad de intensidad es la fundamental del electromagnetismo en el sistema MKSA. Ésta recibe el nombre de amperio (A). La unidad de carga en el mismo sistema es el culombio y sus dimensiones [Q] = [A · s] se deducen de la definición anterior. Para realizar la integral de flujo será necesario seguir los convenios que definen la dirección de la normal a la superficie. n n j n j . V L S S j Figura 1.8: La densidad de corriente ( de carga), o densidad de flujo de carga, se define como una función vectorial cuyo flujo a través de dicha superficie es la intensidad que la atraviesa. I = Z S ~ · d~ s = Z S ~ · ~ n ds La densidad de corriente correspondiente a un solo portador, con carga q y velocidad ~ v(t), puede expresarse como ~ (~ r, t) = q δ(~ r − ~ r0(t))~ v(t) = ρ(~ r, t)~ v(t) (1.10) En la figura 1.9 se representa a la carga en el interior del volumen ∆V = ∆S (~ v · ~ n), cuya generatriz es ~ v, cuya base es ∆S y cuya altura es la proyección de ~ v sobre la dirección ~ n. Si la partı́cula, como se muestra en la figura, se encuentra en el interior de este volumen, saldrá del mismo a través de ∆S antes de transcurrido un segundo, por lo que sólo contribuirán a la intensidad aquellas patı́culas que se encuentran en el interior. Para un sistema de N cargas puntuales qi, situadas cada una en ~ ri(t) y con veloci- dades respectivas ~ vi(t), i = 1, · · · N, la densidad de corriente resultante es la suma de las densidades de corriente aportadas por cada una de las partı́culas
- 34. 16 n v v q . V d s S ∆ ∆ v Figura 1.9: ~ (~ r, t) = N X i=1 ~ i(~ r, t) = N X i=1 qi δ(~ r − ~ ri(t))~ vi(t) = N X i=1 ρi(~ r, t)~ vi(t) (1.11) También es razonable la representación microscópica de los iones y moléculas como distribuciones continuas de carga y corriente, de acuerdo con la mecánica cuántica, la cual describe a los electrones orbitales mediante nubes de densidad de probabilidad. 1.3.2. Descripción macroscópica La descripción macroscópica puede llevarse a cabo por caminos diversos y con distin- tos objetivos, todos los cuales llevan consigo la realización de operaciones de promedio y la asunción de hipótesis simplificadoras. A pesar de que ésto implica la reducción de la información que se utiliza para obtener las ecuaciones que predicen los comportamientos de las cargas y los campos y, en consecuencia, la disminución del poder predictivo de las mismas, el electromagnetismo macroscópico conserva una gran potencia para el análisis de la mayorı́a de las situaciones prácticas. La expresión 1.8 define una forma simple de obtener promedios espaciales de mag- nitudes asociadas a partı́culas discretas. Ahora extenderemos esta operación, la más simple entre las posibles, para aplicarla a funciones continuas o pseudocontinuas. Estos promedios se realizarán sobre volúmenes ∆V e intervalos ∆t submacroscópicos. Se define como volúmen submacroscópico a todo aquel que contiene un número suficientemente elevado de cargas, como se puso de manifiesto en la introducción de esta primera parte, pero cuya dimensión L = 3 √ ∆V es muy inferior a la longitud caracterı́stica de los prob- lemas que queremos estudiar y ∆t es muy inferior a la mı́nima constante de tiempo de dichos problemas; por ejemplo, si se quiere estudiar la propagacción, en un medio deter- minado, de ondas monocromáticas con longitud de onda λ y periodo T, deben cumplirse las condiciones L ¿ λ y ∆t ¿ T. Debido a ésto, la descripción microscópica limita la frecuencia máxima que pueden contener los espectros de los campos estudiados. Para funciones continuas, o pseudocontinuas, φ(~ r, t), definiremos la operación de promedio hφi(~ r, t) = 1 ∆V ∆t Z ∆V, ∆t φ(~ r + ~ ρ, t + τ) d3 ρ dτ (1.12)
- 35. 17 donde a la función a promediar se le asigna el mismo peso en todo el dominio de integración 5. La variable de integración ~ ρ recorre al volumen ∆V y la τ al intervalo ∆t. Esto equivale a definir la función macroscópica hφi en un punto (~ r, t) como el prome- dio de la microscópica φ, realizado dentro de los intervalos submacroscópicos ∆V y ∆t centrados en dicho punto . De esta forma, la función microscópica φ(~ r + ~ ρ, t + τ) puede descomponerse en dos términos: su media hφi(~ r, t) en el entorno de (~ r, t) y su valor aleatorio δφ(~ r + ~ ρ, t + τ). φ(~ r + ~ ρ, t + τ) = hφi(~ r, t) + δ φ(~ r + ~ ρ, t + τ) ⇒ hδφi(~ r, t) = 0 (1.13) donde se pone de manifiesto que la media de la parte aleatoria de la función es nula. Como ejemplo, la velocidad de una de las partı́culas contenidas en ∆V puede expresarse como ~ vi = ~ u + δ~ vi , hδ~ vii = 0 la velocidad media ~ u, sobre el volumen submacroscópico, es la velocidad de arrastre del fluido de partı́culas y δ~ vi es la desviación sobre la media de la velocidad de la partı́cula (i). Si la función φ es el producto de otras dos, φ1 y φ2 6 hφ1 φ2i = hφ1i hφ2i + hδ φ1 δ φ2i (1.14) Los términos del tipo hδ φ1 δ φ2i son promedios del producto de magnitudes de media nula. Su importancia depende del grado de correlación existente entre δ φ1 y δ φ2, siendo nulos cuando dicha correlación no existe. Su evaluación requiere en general la emisión de alguna hipótesis de tipo fı́sico. Una propiedad importante para obtener las ecuaciones macroscópicas del campo electromagnético es la siguiente: derivando en 1.12 bajo el signo integral es fácil com- probar que la media de la derivada con respecto a α (α = t, x, y, z) es igual a la derivada de la media. h ∂ φ ∂ α i = ∂ ∂ α hφi (1.15) Se discute la necesidad o no de efectuar el promedio temporal. El espacial, si afecta a un número elevado de partı́culas, reduce grandemente tanto las fluctuaciones espa- ciales como las temporales y, cuando el sistema estudiado está relativamente cerca del equilibrio, la hipótesis ergódica hace innecesaria a la media temporal. Si los medios son fuertemente dinámicos la eliminación de esta última media es dudosa. En cualquier ca- so, la temporal sólo añade un filtrado de este tipo al ya efectuado por la espacial, lo que no afecta al tratamiento genérico aquı́ empleado. Además, todos los instrumentos macroscópicos necesitan de un tiempo finito para efectuar las medidas por lo que, de hecho, realizan la media en cuestión. 5 Desde el punto de vista teórico es conveniente introducir una función peso y definir el promedio, por ejemplo, el correspondiente a la coordenada x, de la forma hφi(x) = R ∞ −∞ f(α)φ(x + α) dα, donde f(α) es una función peso de area unitaria, es decir, R ∞ ∞ f(α) dα = 1, y pendiente suave y continua. 6 Para simplificar, se prescindirá del argumento (~ r, t).
- 36. 18 Cuando la media es aplicada a una magnitud asociada a las partı́culas, las integrales pueden también interpretarse como sumatorias. Ası́ pues, para distribuciones discretas, la media de la densidad de partı́culas es hni(~ r, t) = h X i δ(~ r − ~ ri(t))i = (1.16) = 1 ∆t Z ∆t à 1 ∆V Z ∆V X i δ(~ r + ~ ρ − ~ ri(t + τ)) d3 ρ ! dτ = = 1 ∆t Z ∆t hni(~ r, t + τ) dτ = hni(~ r, t) donde, vease 1.6, hni(~ r, t + τ) = 1 ∆V Z ∆V X i δ(~ r + ~ ρ − ~ ri(t + τ)) d3 ρ = N∆V(t + τ) ∆V es el número de partı́culas que hay, por unidad de volumen, en el entorno de ~ r y en el instante t + τ, mientras que hni(~ r, t) es la densidad macroscópica de partı́culas , ( el número de partı́culas por unidad de volumen que hay en el entorno de (~ r, t)). Como ya se ha comentado, la integración sobre el volumen implica una reducción de las fluctuaciones temporales que es tanto mayor cuanto más numerosas son las partı́culas contenidas en ∆V. La integral sobre τ asigna al punto (~ r, t) el valor promedio de hni(~ r, t + τ) a lo largo del intervalo τ ∈ [t − ∆t/2, t + ∆t/2], lo que lleva consigo un filtrado adicional, o alisamiento, de la dependencia temporal. En la figura 1.10 se representan las densidades resultantes de promediar, en la dimensión espacial x y haciendo uso de intervalos de integración de distinta anchura ∆x, a la densidad microscópica de partı́culas. La lı́nea horizontal a trazos corresponde al valor medio de la densidad (partı́culas por unidad de intervalo) dentro del intervalo máximo x ∈ [0, 20]. Si consideramos por separado a los distintos tipos de portadores de carga y se supone, para simplificar, que sólo existen dos de ellos, uno con carga +e y otro con −e, la densidad neta de carga puede obtenerse como la suma de las densidades parciales hρ+i = e hn+i hρ−i = −e hn−i ⇒ hρi = hρ+i + hρ−i = e {hn+i − hn−i} donde ρ+ y ρ− son las densidades de carga positiva y negativa y n+ y n− las densidades de partı́culas cargadas positiva y negativamente. Normalmente se podrá también escribir 7 h~ +i = e hn+i ~ u+ h~ −i = −e hn−i~ u− ⇒ h~ i = h~ +i + h~ −i = e {hn+i ~ u+ − hn−i ~ u−} En adelante, a menos que sea absolutamente necesario, escribiremos con la misma notación a las magnitudes microscópicas y a las macroscópicas. 7 Esto es cierto para la media espacial y aproximadamente cierto para la temporal si la velocidad u ¿ L ∆t .
- 37. 19 x x=0.5 x=1 x=5 ∆ ∆ ∆ 1 2 0 5 10 15 n 20 Figura 1.10: Valores medios de la densidad de partı́culas con distintas ventanas 1.4. Conservación de la carga; ecuación de continuidad La experiencia establece que la carga puede crearse y destruirse pero siempre en parejas de carga positiva y negativa. Existe una gran variedad de mecanismos por los que, tanto desde el punto de vista microscópico como desde el macroscópico, se crea y se destruye carga, pero todos ellos verifican la condición de neutralidad neta: creaciones de pares, ionizaciones, recombinaciones, etc.. En consecuencia, se considera que el Universo es globalmente neutro. Esta realidad experimental se eleva a postulado con el nombre de Principio de neutralidad del Universo. Este principio se traduce en una ecuación de continuidad, o conservación, de la carga neta que liga a ρ con ~ j. Su deducción para las magnitudes microscópicas puede verse en el apéndice K. Aquı́ lo haremos directamente para las magnitudes macroscópicas. Podemos expresar el principio de conservación de la carga neta afirmando que si hay un incremento de la que almacena un volumen V(t), ésto se debe a un intercambio con el exterior a través de la superficie que lo limita S(t). I(t) = − d Q(t) d t (1.17) donde Q es la carga encerrada en un volumen V(t), I(t) el flujo de carga a través de su superficie S(t) y Z V(t) ρ dv = Q , I = Z S(t) ρ ~ u · d~ s = − dQ dt siendo ~ u la velocidad de arrastre de la carga con respecto al elemento de superficie. Dicho flujo de carga puede deberse, por lo tanto, al movimiento de la carga con respecto
- 38. 20 al sistema del laboratorio y al movimiento, o deformación, de la superficie. Para obtener una expresión diferencial, ecuación de continuidad, supongamos que V es un volumen invariante con el tiempo, lo que nos permite introducir el operador d d t en el interior de la integral como ∂ ∂ t . Z V ∂ρ ∂t dv = − I S ~ j · d~ s = − Z V ∇ ·~ j dv lo cual es válido para todo V. En consecuencia, la ecuación de continuidad de la carga neta es ∇ ·~ j + ∂ρ ∂t = 0 (1.18) como puede deducirse de su homóloga microscópica hallando su promedio. 1.4.1. Corrientes estacionarias Un caso particular de corriente, que es de interés para nosotros, es la corriente estacionaria, definida por ∇ ·~ j = 0 ∂ρ ∂t = 0 ⇒ I S ~ j · d~ s = 0, ρ 6= ρ(t) Para corrientes estacionarias tiene sentido hablar de la intensidad I que circula por un tubo de corriente. Aplicando el teorema de la divergencia al segmento de tubo representado en la figura 1.11-a j n 2 n1 n n n n j Slat S1 S2 I I (a) (b) Figura 1.11: I = Z S1 ~ j · d~ s = Z S2 ~ j · d~ s = cte (1.19) ya que el flujo de corriente ΦS(~ j), a través de la superficie total S es nulo. Efectivamente, S = S1+S2+Slat y, tomando S1 y S2 tales que ~ n = −~ n1 = ~ n2, ΦS = ΦS1 +ΦS2 +Φlat = 0,
- 39. 21 donde el flujo sobre la superficie lateral del tubo Φlat = 0 porque en dicha superficie ~ j · ~ n = 0. Los tubos de corriente deben ser cerrados y finitos, véase la figura 1.11-b, dada la imposibilidad de reunir infinitos portadores para construir el tubo y de infinita energı́a para moverlos. En el caso de los superconductores falla el argumento de la energı́a puesto que, como veremos, los portadores pueden moverse indefinidamente sin cesión de energı́a. 1.5. Ley de fuerzas de Lorentz Las cagas pueden sentir fuerzas cuyo origen no es electromagnético clásico, como la gravitatoria, las cuánticas, etc. En su momento serán tenidas en cuenta pero en esta primera parte sólo nos ocuparemos de las fuerzas del primer tipo. La ley de fuerza fundamental del electromagnetismo es la ley de Lorentz, que podemos enunciar, para cargas que se mueven con velocidades arbitrarias ~ v, o para cargas y corrientes distribuidas sobre un volumen, mediante las siguientes expresiones 8 ~ Fq(~ r) = q h ~ E(~ r) + ~ v ∧ ~ B(~ r) i (1.20) ~ Fv = d~ F dv = ρ ~ E +~ j ∧ ~ B (1.21) donde ~ E, campo eléctrico o ’intensidad eléctrica’ , y ~ B, campo magnético o ’densidad de flujo magnético’ A continuación las analizaremos con detalle: En primer lugar, en 1.20 se postula la existencia de unas entidades que llamaremos cargas, y cuya magnitud q mediremos comparando las fuerzas ejercidas sobre distintas cargas situadas en condiciones idénticas. La fuerza detectada puede descomponerse en dos términos, uno independiente de la velocidad, que llamaremos fuerza eléctrica, y otro dependiente de la misma, que llamaremos fuerza magnética. ~ Fq = ~ Fe + ~ Fm , ~ Fe(~ r) = q ~ E(~ r) , ~ Fm(~ r) = q~ v ∧ ~ B(~ r) La fuerza eléctrica tiene las siguientes propiedades ~ Fe = q ~ E ∼ q ↑↑ ê × signo(q) , ê = dirección fija en el espacio 8 La ley está expresada en el Sistema Internacional de unidades (SI) que, en el electromagnetismo, coincide con el Giorgi o MKSA (véase el apéndice I).
- 40. 22 y la magnética ~ Fm = q ~ v ∧ ~ B ∼ q ∼ v ↑↑ ~ v ∧ b̂ × signo(q) , b̂ = dirección fija En esta ley se da por supuesto que existe una perturbación en el espacio que puede ser descrita mediante los campos ~ E y ~ B. Desde el punto de vista operacional, podemos definir al campo eléctrico como ~ E = lı́m q→0 ~ v=0 ~ Fq q donde q → 0 para que no perturbe las fuentes iniciales del campo. Ası́ como el campo eléctrico puede determinarse por una sola medida, para deter- minar el campo magnético es necesario realizar dos medidas 9. 1.5.1. Trabajo sobre una carga en movimiento L L F 2 1 v d l E B F π/2 π/2 2 1 q π/2 e m (a) (b) q d l v Figura 1.12: El trabajo que un campo electromagnético realiza sobre una carga en movimiento que se traslada del punto 1 al 2 es W12 = Z 2 1(L) ~ Fq · d~ l = Z 2 1(L) ~ Fq · ~ v dt = Z 2 1(L) ~ Fe · d~ l = q Z 2 1(L) ~ E · d~ l La contribución del campo magnético a este trabajo es nula, véase la figura 1.12, puesto que, según la ley de Lorentz, la fuerza magnética es perpendicular a la trayectoria. 9 Véase el problema 1-8
- 41. 23 Esto no quiere decir que el campo magnético sea incapaz de transmitir energı́a a las cargas; según hemos apuntado en otro lugar, los campos magnéticos variables pueden producir un campo eléctrico que, a su vez, puede trabajar sobre las cargas. 1.6. El campo electromagnético en el marco de la relativi- dad de Galileo Las leyes de Newton se completan con el principio de relatividad de Galileo, según el cual, éstas tienen la misma forma en todos los sistemas inerciales. Aunque este principio no es válido para el electromagnetismo, en el primer tomo se utilizarán las reglas de transformación de los campos que se deducen del mismo, dejando la resolución de este problema para otro lugar 10. 1.6.1. Relatividad de Galileo El principio de relatividad de Galileo puede enunciarse de la siguiente manera: - Las leyes de Newton presentan la misma forma para todos los obser- vadores inerciales. Partiendo de las leyes de Newton, de la concepción absoluta e independiente del espacio y del tiempo, del postulado de relatividad y de los principios de homogeneidad e isotropı́a, según los cuales el espacio es isótropo y homogéneo y el tiempo homogéneo, se deduce la transformación de coordenadas de Galileo , que en su forma estándar se expresan como sigue: (x’,y’,z’) V t r’ r y ^ z ^ x ^ S’ S O O’ ^ ^ x’ ^ y’ z’ P = (x,y,z) Figura 1.13: ~ r 0 = ~ r − ~ V t , ~ V = ~ cte (1.22) t0 = t (1.23) 10 En [Garcı́a Olmedo] puede encontrarse un tratamiento más amplio de esta cuestión.
- 42. 24 donde, figura 1.13, ~ r 0 es el vector de posición, o coordenado, del punto P con respec- to al sistema de referencia S 0, ~ r y ~ V t los vectores coordenados, del mismo punto y del origen O0 de S 0, con respecto del sistema S. Como consecuencia de la ley de iner- cia, el movimiento relativo entre sistemas inerciales es de traslación uniforme, es decir, se mueven entre sı́ con velocidades relativas ~ V uniformes. Las expresiones anteriores corresponden a la versión estándar, o usual, de las transformaciones, la cual no es com- pletamente general: los sistemas de referencia S y S 0 tienen el mismo origen temporal y las mismas escalas, 11. Además suelen utilizarse los mismos vectores unitarios de base en ambos sistemas, α̂ = α̂ 0 , α = x, y, z. 1.6.1.1. Vectores y escalares. Invariantes galileanos De acuerdo con lo expuesto en el apéndice J, éstos se caracterizan por las leyes de transformación de sus componentes con respecto a los cambios de base y no porque dichas componentes se transformen ’como las coordenadas’. El vector de posición es efectivamente un vector porque sus componentes se transforman como tales frente a un cambio de los vectores unitarios de la base; permanece invariante frente a los cambios de los vectores de la base pero no frente a las transformaciones de Galileo que son trans- formaciones de coordenadas, desde un sistema S a otro S0 12. En este caso, el carácter tensorial de una magnitud fı́sica no garantiza su invarianza galileana. Derivando con respecto al tiempo las coordenadas de la trayectoria de una partı́cula ~ r(t) se obtiene la ley de composición de velocidades de Galileo ~ v 0 = ~ v − ~ V (1.24) donde ~ v y ~ v 0, las velocidades de la partı́cula con respecto a cada uno de los sistemas de referencia, son vectores no invariantes frente a las transformaciones de Galileo. Esta ley es incompatible con las leyes de Maxwell puesto que de ellas se deduce que las ondas electromagnéticas se propagan con una velocidad cuyo módulo c es un escalar invariante, hecho que hoy en dia está confirmado hasta un precisión del orden del cm · s−1. Volviendo a derivar se deduce que la aceleración de la partı́cula ~ a 0 = ~ a (1.25) si es un invariante vectorial frente a las transformaciones de Galileo. Se entiende que un invariante vectorial (tensorial) no se ve afectado por la traslación, sólo cambian sus componentes si en la transformación se cambia la base vectorial . Esto implica que el cuadrado del módulo ~ a · ~ a = a2 x + a2 y + a2 z = a2 es un escalar invariante galileano. Se define como cuerpo inercial a aquel cuya aceleración con respecto a un sistema inercial es nula (~ a = ~ 0), por lo que el carácter inercial es invariante. Puesto que el principio de relatividad implica la invarianza de las leyes de Newton, ~ F es un invariante vectorial 11 Pueden desplazarse los orı́genes incluyendo en el segundo miembro de la transformación los términos iniciales ~ r0 y t0 e introducirse factores de escala, por ejemplo, escribiendo t0 = k t. 12 Además del cambio de base, las transformaciones de coordenadas llevan consigo una traslación del origen. En el caso de las de Galileo ésta es dependiente del tiempo.
- 43. 25 ~ F = m~ a y, dado que la aceleración también lo es, m, la masa inerte, es un invariante escalar, es decir, al cambiar de sistema inercial ~ F 0 = ~ F , m0 = m (1.26) Debemos también puntualizar que la ley de acción y reacción requiere que la trans- misión de las interacciones se realice a velocidad infinita, lo que no es compatible con las leyes del electromagnetismo ya que de ellas se deduce que esta velocidad debe ser finita. 1.6.1.2. Leyes de transformación de los campos Las leyes de transformación de los campos al cambiar de sistema inercial se deducen de la ley de Lorentz 1.20 ~ Fq(~ r) = q h ~ E(~ r) + ~ v ∧ ~ B(~ r) i Al escribir de esta forma la ley de fuerza se sobreentiende que la carga q de la partı́cula es invariante q = q0, puesto que la expresión se da por válida para cualquier velocidad ~ v de la misma. Por otra parte, como se ha visto anteriormente, la fuerza es un invariante vectorial ~ F = ~ F 0, luego ~ E+~ v∧ ~ B = ~ E 0+~ v 0∧ ~ B 0. Cada uno de los sumandos es un vector que, como se verá a continuación, no es invariante frente a las transformaciones de Galileo. A partir de lo anterior y de la ley de composición de velocidades se deducen las leyes de transformación de los campos utilizadas en el contexto galileano y que se cumplen aproximadamente en la práctica para V << c y c → ∞. Efectivamente, de acuerdo con la ley de composición de velocidades y considerando sólo sistemas de referencia ’a derechas’, para simplificar, ~ E + ~ v ∧ ~ B = = ~ E + ~ v 0 ∧ ~ B + ~ V ∧ ~ B | {z } (a) = ~ E 0 + ~ v 0 ∧ ~ B 0 | {z } (b) Puesto que el campo eléctrico ~ E 0 = ³ ~ F 0/q ´ ~ v 0=0 , haciendo ~ v 0 = 0 en la ecuación (a) = (b), se obtiene ~ E 0 = ~ E + ~ V ∧ ~ B (1.27) y, eliminando ~ E0 de la misma ecuación (a) = (b), ~ v 0 ∧ ~ B 0 = ~ v 0 ∧ ~ B
- 44. 26 Dado que ~ v 0 es un vector, aunque no invariante, que puede tomar valores arbitrarios, ~ B es un pseudovector invariante 13, 14 ~ B 0 = ~ B (1.28) Pero estas leyes de transformación, aunque aplicables y útiles en el rango ya men- cionado de bajas velocidades, no dejan de presentar dificultades conceptuales porque son el resultado de imponer a los campos un principio de relatividad que las ecuaciones de Maxwell necesariamente incumplen. 13 En las transformaciones en las que el orden cı́clico de los vectores de base se invierte, ~ B 0 = − ~ B 14 Si se aproxima hasta el primer orden en β ≡ V/c a la ley de Einstein para la transformación del campo magnético , se obtiene ~ B0 ' ~ B − ~ V c2 ∧ ~ E ( véase [Garcı́a Olmedo]); para obtener el resultado galileano es necesario, además, suponer que c → ∞. No se debe olvidar que las ecuaciones de Maxwell no son compatibles con las transformaciones de Galileo. Esto hace que, en el lı́mite de baja velocidad, sea a veces más apropiada la utilización de esta expresión que la galileana.
- 45. 27 1.7. Problemas 1-1. Halle ∂ R ∂ x y ∂ R ∂ x0 . Demuestre que ∇R = −∇ 0R, donde ∇ es el operador gradiente con respecto a las coordenadas del punto de observación y ∇ 0 el mismo operador con respecto a las coordenadas del punto fuente. 1-2. Demuestre que ~ g(r) = l 4π Z V 0 0 R(~ r 0) R dv 0 Repase la demostración del teorema de Helmholtz en este capı́tulo . 1-3. Exprese como densidades continuas de carga las distribuciones puntuales de la figura 1.14 y compruebe que su integral sobre un volumen arbitrario es igual a la carga encerrada en el mismo. O O V O O a +q -q (b) a a b a a (c) (d) a (a) b Figura 1.14: Solución: Si tomamos como origen el punto O, la densidad de carga, que anotare- mos ρq, correspondiente a la distribución de la figura 1.14a es ρq = q (δ(~ r − ~ a) − δ(~ r)) Efectivamente, si, por ejemplo, integramos sobre el volumen V Z V ρq dv = q Z V δ(~ r − ~ a) − q Z V δ(~ r) | {z } =0 = q ya que el origen O (~ r = ~ 0) no pertenece a V. 1-4. Exprese como densidades de volumen las siguientes distribuciones de carga:
- 46. 28 a) Una carga distribuida, con densidad uniforme ρs, sobre la superficie de un cilindro que está centrado en el eje z. b) Una carga distribuida uniformemente, con densidad lineal λ, sobre una recta definida por las ecuaciones, en cilı́ndricas, ρ = a, ϕ = b. c) Una lı́nea circular, uniformemente cargada con densidad λ, cuyas ecuaciones en esféricas son r = a, ϕ = b. Solución: De acuerdo con el resumen de formulario, podemos escribir, para prob- lemas tridimensionales δ(~ r − ~ r0) = 1 Q3 i=1 hi 3 Y i=1 δ(qi − qi0) Nos limitamos a considerar el apartado (b), representado por la figura 1.15a. Observamos que en dicho problema las fuentes se especifican mediante las δ de las coordenadas ρ y ϕ, como se muestra en la figura 1.15b, por lo que sólo es necesario incluir a éstas y en particular, tener en cuenta que h1 = 1 y h2 = ρ δ(~ ρ − ~ ρ0) = 1 ρ δ(ρ − a) δ(ϕ − b) Podemos comprobarlo calculando la carga λ por unidad de longitud del hilo λ = d q d z = Z z+1 z Z ∞ ρ=0 Z 2π ϕ=0 ρq dv donde ρq = λ δ(~ ρ − ~ ρ0) y dv = ρ dρ dϕ dz. 1-5. En el sistema MKS, la unidad eléctrica fundamental es el amperio A pero, sin embargo, la carga suele expresarse en culombios C, el campo eléctrico en voltios por metro V · m−1 y el magnético en webers por metro cuadrado W · m−2. Halle las dimensiones fundamentales del culombio, del voltio y del weber. 1-6. Una esfera de radio a(t) se expande con velocidad constante v en una región car- gada uniformemente con densidad ρ. Aplique a ésta situación la ecuación de con- tinuidad. 1-7. Las densidades de electrones portadores en dieléctricos, semiconductores y conduc- tores son del orden de 107, 1019 y 1020 electrones por metro cúbico respectivamente. Supuesto un hilo de cada uno de éstos materiales, con una sección de 1 cm2, que transportase un amperio, estime las densidades de carga portadora, las velocidades de arrastre de los electrones y el número de ellos que se transporta a través de una sección dada en cada segundo.
- 47. 29 ρ z=1 ∆ z z+1 y z x x y λ λ (a) (b) a b a b Figura 1.15: 1-8. Demuestre que el campo magnético puede medirse en función de las fuerzas ejerci- das sobre una carga que se mueve sucesivamente con las velocidades ~ v1 y ~ v2, tales que ~ v1⊥~ v2. 1-9. Una carga estática siente en un punto del espacio una fuerza, por unidad de carga, ~ F1 q = 1 b x N · C−1, cuando la carga se mueve con velocidad ~ v2 = 1 b x m · s−1, ~ F2 q = 1 (b x + b z) N · C−1 y cuando la velocidad es ~ v3 = 1 b y m · s−1, ~ F3 = ~ F1. Halle ~ E y ~ B 1-10. Un electrón incide en el origen con velocidad ~ v0 = (v0, 0, 0) en presencia de un campo eléctrico y otro magnético, ambos uniformes y paralelos al eje z. Halle las ecuaciones de la trayectoria y describa las propiedades fundamentales de la misma. Solución: Si aplicamos la ley de Newton del movimiento al electrón ~ F = −e E b z | {z } (a) −e B ~ v ∧ b z) | {z } (b) = m~ a (1.29) Podemos descomponer el movimiento en uno longitudinal, en la direc- ción z, debido al campo eléctrico, y otro transversal, ciclotónico, en el plano xy, debido al campo magnético. para ello, descomponemos la velocidad y la aceleración en las direcciones k, paralela a los campos y ⊥, perpendicular a los mismos, ~ v = ~ vk + ~ v⊥ , ~ a = ~ ak + ~ a⊥
- 48. 30 Movimiento longitudinal: Este movimiento es uniformemente acelerado (1.29(a)) az = − e E m e integrando con las condiciones iniciales z(0) = 0 y vz(0) = 0, resulta z = − 1 2 e E m t2 Movimiento transversal: El problema puede resolverse con ayuda de la figura 1.16. F R -e x y 0 v a B E Ω v Figura 1.16: en la que se representa la trayectoria circular del electrón a partir de su posición inicial ~ r0 = (0, 0, 0) y su velocidad inicial ~ v0 = (v0, 0, 0). El movimiento es circular porque, de acuerdo con (1.29(a)), ~ a = ~ Ω ∧ ~ v (1.30) donde, aunque no se mantiene la notación antes establecida, ~ a = ~ a⊥ , ~ v = ~ v⊥ 15 y Ω = eB m , ~ Ω = Ω b z 16 15 Téngase en cuenta que ~ Ω ∧ ~ vk = ~ 0. 16 Ω el la frecuencia ciclotrónica angular del electrón.
- 49. 31 De 1.30 se deduce que ~ a⊥~ v, lo cual implica que v = cte ~ a · ~ v = 0 ⇒ d v2 d t = 0 ⇒ v = cte y la trayectoria es circular y uniforme. En este tipo de movimiento v = v0 = Ω ρ, luego el radio de giro ρ 17 es ρ = m v0 eB Dado que la fuerza y la aceleración iniciales están dirigidas en el sentido positivo del eje y, la trayectoria es la representada en la figura y su ecuación es x2 + (y − ρ)2 = ρ2 (1.31) Nótese que si en vez de tratarse de un electrón se tratase de un protón, cuya masa es M À m y cuya carga es −e, el giro tendrı́a lugar en sentido contrario y la frecuencia angular de giro serı́a mucho más lenta Ωp = Ω m M ¿ Ω Si, además ambos hubiesen incidido en el origen con la misma velocidad, el radio de giro del protón serı́a mucho mayor ρp = M m À ρ Otra vı́a más formal de solución consiste en desarrollar el producto vectorial en 1.30, con lo que se obtiene d vx d t = −Ω vy d vy d t = Ω vx (1.32) Podemos ensayar solunciones del tipo vi = Ai sen Ωt + Bi cos Ωt , i = x, y y aplicarles las condiciones iniciales de la figura 1.16, es decir, vx0 = v0, vy0 = 0. A continuación las hacemos cumplir una cualquiera de las ecuaciones 1.32 obteniendo vx = v0 cos Ωt vy = v0 sen Ωt Estas ecuaciones indican que ~ v gira con velocidad Ω y tiene de módulo v0. 17 Radio ciclotrónico del electrón.
- 50. 32 Integrando vx y vy se tiene que x = ρ sen Ωt + E y = ρ cos Ωt + F donde E y F son constantes de integración y ρ = v0 Ω . Si aplicamos las condiciones iniciales x(0) = y(0) = 0, se obtiene x = ρ sen Ωt y = ρ (1 − cos Ωt) (1.33) que son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. Para expresarlas en la forma de la ecuación 1.31 basta con eliminar t teniendo en cuenta que sen2 Ωt + cos2 Ωt = 1. Gráfico Mathematica prob1 − 8.nb: El siguiente programa Mathematica dará lugar a un gráfico de la trayectoria tridi- mensional del electrón. Es el resultado de componer la trayectoria longitudinal con la transversal. Las posiciones del electrón al principio y al final de cada ciclo se marcan con un punto. Comenzamos borrando las definiciones anteriores de variables y funciones para que no interfieran en la próxima ejecución de este programa. Seguidamente damos la orden de no avisar de los posibles errores de escritura (Se supone que el programa está bien escrito y funciona correctamente.) Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; Elegimos el tipo y tamaño de los caracteres de las gráficas $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; Especificamos el número n de ciclos que queremos representar, para lo cual damos el nombre tf al tiempo final de la trayectoria. n = 5; tf = n ∗ 2π; gr1 es la representación paramétrica de la trayectoria ~ r = (sen Ω t, 1 − cos Ω t, 1 2 a t2 ) asignándole a Ω y a a, valores apropiados. La opción DisplayFunction → Identity ordena no mostrar la gráfica
- 51. 33 gr1 = ParametricPlot3D[{Sin[t], 1 − Cos[t], − 1 2 0.003 t2 }, {t, 0, tf}, PlotPoints → 1000, DefaultColor → RGBColor[1, 0, 0], ViewPoint → {−2, −2, 1}, Boxed → False, AxesLabel → {”x”, ”y”, ”z”}, AxesStyle → {RGBColor[0, 1, 1], Thickness[0.01]}, DisplayFunction → Identity]; Definimos los puntos de comienzo y final de cada ciclo y ordenamos la ejecución de la gráfica sin mostrarla. puntosg3D = Table[Point[{0, 0, − 1 2 0.003 ((i − 1) ∗ 2π)2 }], {i, 1, n + 1}]; gr2 = Show[Graphics3D[{PointSize[0,02], RGBColor[0, 0, 1], puntosg3D}], DisplayFunction → Identity]; Terminamos mostrando ambas gráficas juntas en la figura 1.17. Show[gr1, gr2, DisplayFunction → $DisplayFunction]; -1 -0.5 0 0.5 1 x 0 0.5 1 1.5 2 y -1.5 -1 -0.5 0 z -0.5 0 0.5 1 x 1.5 -1 Figura 1.17: 1-11. Demuestre que si, además del campo magnético especificado en el problema anteri- or, existe una fuerza ~ Fp perpendicular al eje z, la trayectoria del electrón sufre un arrastre con velocidad constante ~ vF (existe un sistema de referencia, que se mueve con velocidad uniforme ~ vF con respecto al anterior, desde el cual el movimiento de la partı́cula sigue siendo ciclotrónico).
- 52. 34 Un plasma esta constituido por electrones de carga −e y masa m e iones positivos de carga +e y masa M. Las densidades de partı́culas respectivas, en estado de equilibrio, son ne = ni = n0. Halle la densidad de corriente inducida cuando la fuerza se debe a un campo eléctrico ~ E o a un campo gravitatorio ~ g. Solución: Dado que la fuerza magnética es perpendicular a ~ B y la fuerza aplicada también, el movimiento queda confinado en el plano ⊥, como se muestra en la figura 1.18. q Fp vF B Figura 1.18: La ecuación del movimiento es ~ F = ~ Fp + q ~ v ∧ ~ B = m~ a Si cambiamos del sistema inercial S al S 0, que se mueve con velocidad ~ vF con respecto al primero ~ v 0 = ~ v − ~ vF y, substituimos en la ecuación anterior ~ a = ~ Fp m |{z} I + q m ~ v 0 ∧ ~ B − q m ~ vF ∧ ~ B | {z } II Igualando los términos I y II conseguimos que desde S 0 se vea un movimiento ciclotrónico idéntico al que se verı́a desde S en ausencia de ~ Fp. Por lo tanto, la velocidad de deriva es tal que ~ Fp = q ~ vF ∧ ~ B Para despejar ~ vF de la ecuación anterior, basta con multiplicar vecto- rialmente por ~ B y desarrollar el triple producto resultante. El resultado es ~ vF = ~ Fp ∧ ~ B qB2
- 53. 35 y, en particular, si la fuerza aplicada es la debida al campo eléctrico (~ Fp = q ~ E) o al gravitatorio (~ Fp = m~ g), las velocidades de arrastre corre- spondientes son ~ va = ~ E ∧ ~ B B2 , vg = m qB2 ~ g ∧ ~ B Resulta interesante notar que ~ va es independiente de la carga y de la masa de la partı́cula, de ahı́ el calificativo de velocidad de deriva ambipolar, mientras que ~ vg depende de la relación de carga a masa y su sentido viene determinado por el signo de la primera. En un plasma uniforme, el movimiento ciclotrónico no produce flujo neto de carga, por lo que se puede considerar que dicho flujo se debe, si existe, al movimiento de deriva. Gráfico Mathematica deriva − ambipolar.nb: El siguiente programa representa gráficamente al movimiento ciclotrónico, con deriva ambipolar, de un electrón (azul) y un ión positivo (rojo). Los puntos indican las posiciones simultáneas de ambas partı́culas en el origen y en el instante final. ion = ParametricPlot[{Sin[t] + 0.3t, −Cos[t] + 1.5}, {t, 0, 6π}, AspectRatio → Automatic, AxesOrigin → {0, 0}, PlotPoints → 200, PlotStyle → RGBColor[1, 0.3, 0], DisplayFunction → Identity]; elec = ParametricPlot[{0.3Sin[3t] + 0.3t, 0.3Cos[3t] − 0.8}, {t, 0, 6π}, AspectRatio → Automatic, AxesOrigin → {0, 0}, PlotPoints → 200, PlotStyle → RGBColor[0, 0.5, 1], DisplayFunction → Identity]; xf = (Sin[t] + 0.3t)/.t → 6π; puntosion = {Point[{0, 0.5}], Point[{xf, 0.5}]}; puntoselec = {Point[{0, −0.5}], Point[{xf, −0.5}]}; gr1 = Show[Graphics[PointSize[0,03], RGBColor[1, 0, 0], puntosion], DisplayFunction → Identity]; gr2 = Show[Graphics[PointSize[0,03], RGBColor[0, 0, 1], puntoselec], DisplayFunction → Identity]; Show[ion, elec, gr1, gr2, DisplayFunction → $DisplayFunction]; La figura 1.19 muestra el movimiento ciclotrónico superpuesto a la deri- va ambipolar.
- 54. 36 1 2 3 4 5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 Figura 1.19: 1-12. En el punto (x = 0, y = 0) se emiten electrones con velocidad despreciable. Halle la ecuación de las trayectorias si éstos están sometidos a un campo eléctrico ~ E = −E0 b x y otro magnético ~ B = B0 b z, uniformes. 1-13. Halle el trabajo realizado para desplazar a una carga unitaria desde el infinito hasta la posición ~ r si está en presencia del campo eléctrico producido por una carga puntual situada en el origen ~ E = K ~ r r3 Solución: Dada la simetrı́a radial de la fuerza, W sólo depende de r y, como ver- emos, es independiente del camino seguido para realizar la circulación. W = K Z r ∞ ~ r · d~ r r3 ~ r · d~ r = 1 2 d(~ r · ~ r) = 1 2 d(r2 ) = r dr ⇒ ~ r · d~ r r3 = d µ 1 r ¶ Por lo tanto W = K 1 r W seguirá siendo independiente del camino aunque el campo en cuyo seno se mueve la carga esté producido por una distribución de carga no puntual ¿Por qué?
- 55. Capı́tulo 2 Campos estáticos 2.1. Introducción Empezamos aquı́ la búsqueda de las fuentes del campo electromagnético en el vacı́o. En este capı́tulo nos limitaremos al caso de los campos estáticos, producidos por cargas en reposo y corrientes estacionarias. 2.2. Campo electrostático El campo electrostático es aquel que no depende del tiempo y que está producido por distribuciones de carga que tampoco varı́an con el tiempo. Desde el punto de vista microscópico supondremos que todas las cargas del Universo están quietas con respecto al observador. Desde el punto de vista macroscópico, basta con que las corrientes sean estacionaria, es decir, que ∂ ρ ∂ t = 0 ⇒ ρ = cte. 2.2.1. Ley de Coulomb Aunque Coulomb postuló la interacción completa, nosotros expondremos su ley como relación entre las fuentes del campo y el propio campo. Para cargas puntuales, el campo eléctrico producido por un sistema de N cargas qi en el punto P, cuyo vector de posición es ~ r, puede expresarse de la forma ~ E(~ r) = C N X i=1 qi b Ri R2 i (2.1) donde, de acuerdo con la figura 2.1, los ~ Ri son los vectores de posición del punto de observación con respecto a las qi. El campo eléctrico suele expresarse en V · m−1, donde V , el vóltio, es la unidad MKSA de potencial. Para una sola carga situada en el origen ~ E(~ r) = C q b r r2 (2.2) 37
- 56. 38 i ^ x ^ z ^ R i q 1 q N r P q y Figura 2.1: Es decir, el campo electrostático cumple el principio lineal de superposición vecto- rial, es proporcional a las cargas fuente, sigue una ley del inverso del cuadrado de la distancia, su dirección viene regida por los vectores que ligan a las cargas con el punto de observación y su sentido está determinado por el signo de qi. No se tiene constancia de la existencia de no-linealidades, dentro de la teorı́a clásica, no cuántica, incluso para los campos extremadamente fuertes que se dan en los núcleos pesados. La ley del cuadrado se cumple con gran precisión F ∼ 1 R2 µ 1 Rn , n = 2 ± 3 × 10−16 ¶ En el sistema cgs electrostático C = 1, por lo que q es una magnitud derivada de las mecánicas. (Véase el apéndice I). En el MKSA 1, C = 1 4πε0 ' 9 × 109 F−1 · m , e0 ' 8,85 × 10−12 F · m−1 F · m−1 = m3 · Kg−1 · s4 · A2 La interacción eléctrica Fe es muy superior a la gravitatoria Fg entre partı́culas elementales. La razón entre estas fuerzas, para dos electrones, es: Fe Fg = Ce2 Gm2 ∼ 1043 Sin embargo, en contra de la opinión de William Gilbert, no es una cierta clase de magnetismo lo que gobierna la trayectoria de los planetas y los astros, sino la fuerza gravitatoria. Mientras que sólo hay un tipo de masa, existen dos tipos de carga que se apantallan entre sı́ atenuando la interacción correspondiente a larga distancia. No obstante, los campos magnéticos juegan un papel importante en el movimiento y la estructuración de los plasmas del universo y en el de las galaxias. 1 La unidad F es la de capacidad, el faradio.
- 57. 39 En general, para distribuciones continuas de cargas, véase la figura 2.2, la ley de Coulomb se genealiza substituyendo la sumatoria por una integral ~ E(~ r) = 1 4πε0 Z V 0 ρ(~ r 0 ) ~ R R3 dv 0 (2.3) ^ x ^ z ^ r r ’ R dq= dv’ ρ P y V’ Figura 2.2: 2.2.2. Fuentes del campo electrostático La expresión anterior puede escribirse de la forma 2 ~ E(~ r) = −1 4πε0 Z V 0 ρ(~ r 0 ) ∇ µ 1 R ¶ dv 0 = −∇ · 1 4πε0 Z V 0 ρ(~ r 0) R dv 0 + K ¸ donde K es una constante. De aquı́ se deduce que ~ E = −∇V (2.4) Es decir, ~ E deriva de un potencial escalar V que puede obtenerse mediante una inte- gración sobre el volumen V0 en el que la densidad de carga ρ(~ r 0) es distinta de cero. V (~ r) = 1 4πε0 Z V 0 ρ(~ r 0) R dv0 + K (2.5) De esta expresión se deduce, según el teorema de Helmholtz 3, que las fuentes es- calares y vectoriales del campo electrostático son: ∇ · ~ E = ρ ε0 (2.6a) ∇ ∧ ~ E = ~ 0 (2.6b) 2 ∇ sale fuera de la integral porque no opera sobre las coordenadas de integración. 3 D = ρ ε0 y ∇ ∧ ∇ f ≡ ~ 0.
- 58. 40 Éstas son las ecuaciones de Maxwell para el campo electrostático. La primera es- pecifica las fuentes escalares del campo y presenta su forma definitiva, válida para los campos dinámicos en el vacı́o. La segunda expresa que el campo electrostático no tiene fuentes vectoriales; habrá de ser modificada para incluir a otras fuentes vectoriales que generan al campo eléctrico no estático 4. Puesto que son ecuaciones diferenciales, tienen carácter local: ligan a las derivadas del campo en un punto del espacio con el valor de las fuentes en ese mismo punto. Haciendo uso de los teoremas de la divergencia y del rotacional, se pueden expresar estas leyes en forma extensiva. La 2.6a I S ~ E · d~ s = Q ε0 (2.7) donde S es la superficie que encierra al volumen V en el que se encuentra una carga total Q = R V ρ dv. Esta ley es conocida con el nombre de ley de Gauss y relaciona al flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga total contenida dentro de la misma. Por otra parte, puesto que ~ E no posee fuentes vectoriales (2.6b), se cumple que, para cualquier L, I L ~ E · d~ l = 0 (2.8) Esta es una manifestación del carácter conservativo del campo electrostático: el campo electrostático realiza un trabajo nulo sobre cargas que describen trayectorias cerradas. 2.2.3. Potencial electrostático Ya hemos visto que ~ E deriva de un potencial escalar cuya relación con las densidades de carga viene dada por 2.5. Para una carga q puntual situada en el origen, esta densidad es ρ(~ r 0) = q δ(~ r 0) y V (~ r) = 1 4πε0 q r + K (2.9) Más adelante veremos que esta expresión es válida para distribuciones de carga, no neutras, que estén definidas en volúmenes finitos, a distancia finita del origen y observadas desde grandes distancias al mismo (r → ∞). En este caso, q serı́a la carga total de dicho volumen y K = V (∞) el potencial del infinito. Salvo que se suponga que existen cargas en el ∞, éste puede tomarse como origen de los potenciales con lo que K = 0. El campo eléctrico ~ E = −∇V , véase la figura 2.3, tiene la dirección y el senti- do del máximo decrecimiento de V . Los incrementos elementales de potencial pueden expresarse como dV = ∇V · d~ r , dV = − ~ E · d~ r 4 Dichas fuentes se introducen mediante el postulado de la ley de inducción de Faraday.
- 59. 41 2 V V >V V Ε 1 2 ∇ Figura 2.3: ya hemos anticipado que la unidad del potencial, el voltio es V = J · C−1. Tiene, pués, dimensiones de energı́a por unidad de carga. Las superficies equipotenciales, dV = 0, son las generadas por desplazamientos d~ r perpendiculares a las lı́neas de campo. Para V = cte, ( ~ E · d~ r) = 0, luego, ~ E⊥d~ r. 2.2.4. Energı́a potencial La realización de un balance energético detallado, para un sistema fı́sico real, suele ser compleja puesto que existen mecanismos muy diversos de almacenamiento y trans- formación de energı́a. Empezaremos abordando los casos más simples. Energı́a potencial de una carga en campo externo : El balance energético más simple que podemos imaginar en un sistema eléctrico es el siguiente: imaginemos un proceso reversible en el que un carga se traslada desde una posición ~ r1 a otra ~ r2 en presencia de un campo externo ~ Ee creado por cargas que permanecen inalterables durante el proceso. Bajo estas circunstancias, en el vacı́o, la única fuente de irreversibilidad posible reside en los fenómenos de radiación que se producen cuando una carga es acelerada. Aunque las pérdidas por radiación suelen ser pequeñas, será necesario asegurarse que durante la transformación las aceleraciones sufridas por la carga son despreciables. Equilibraremos las fuerzas que el campo externo ejerce sobre la carga con otra fuerza casi igual y contraria. ~ Fcc ' −~ Fc ~ Fcc = fuerza contra el campo ~ Fc = fuerza del campo Esto permitirá realizar transformaciones cuasiestáticas y reversibles. Dado el carácter conservativo del campo electrostático , el incremento de energı́a potencial de una carga que se traslada desde la posición inicial ~ r1 a la final ~ r2 es, por definición,
- 60. 42 ∆W = − Z ~ r2 ~ r1 ~ Fc · d~ r = −q Z ~ r2 ~ r1 ~ Ee · d~ r = q Z ~ r2 ~ r1 ∇Ve · d~ r = q Z ~ r2 ~ r1 dVe = q [Ve(~ r2) − Ve(~ r1)] Para una carga situada en ~ r ∆W(~ r) = Z ∞ ~ r ~ Fc · d~ r = q [Ve(~ r) − Ve(∞)] y, en el caso de que el infinito pueda tomarse como origen de potenciales (Ve(∞) = 0) W(~ r) = q Ve(~ r) (2.10) Como ya hemos apuntado, esto será siempre posible si las cargas que crean ~ Ee están en un volumen finito a distancia finita del observador. La energı́a potencial serı́a, por lo tanto, el trabajo realizado por el campo para llevar la carga hasta el infinito o, de otra forma, la máxima energı́a que puede extraerse de la carga al trasladarla de su posición inicial, en reposo, hasta el infinito, también en reposo. Si el proceso se realizara de forma no reversible, con aceleraciones notables, parte del trabajo realizado por el campo se perderı́a como energı́a radiada. Si en vez de una sola carga puntual quisiéramos contabilizar la energı́a potencial de un sistema de N cargas puntuales y de una distribución continua contenida en V, en el seno de un campo producido por otro sistema externo de cargas, tendremos, W = N X i=1 qi Ve + Z V ρ Ve dv (2.11) expresión que excluye a la energı́a de interacción de las cargas testigo entre sı́. Energı́a potencial de un sistema de cargas : En el apartado anterior hemos considerado la interacción de una carga con el campo creado por un sistema de cargas externo. Consideraremos ahora la energı́a total de in- teracción de un sistema de N cargas puntuales, cuya energı́a de formación o autoenergı́a no tendremos en cuenta, situadas a distancias mutuas finitas ~ Rij (véase la figura 2.4a). Esta energı́a de interacción serı́a la máxima que podrı́a ser extraı́da del sistema en un proceso en el que, partiendo de las posiciones iniciales, se llevara a las cargas hasta el infinito, de tal forma que las distancias mutuas finales fuesen infinitas y, en consecuencia, la energı́a de interacción fuese nula. La energı́a potencial del sistema de cargas puntuales será, pués, el trabajo que ten- drı́amos que realizar en contra del campo para trasladar a las cargas, de forma reversible, desde sus posiciones en el infinito hasta sus posiciones finales ~ ri. Puesto que el proceso es reversible, el trabajo total será independiente del camino y del orden en que se transporten las cargas.
- 61. 43 infinito (c) (b) (a) q 1 q j y ^ x ^ z ^ R i r q N q 1 q j q i i j q N q 1 q j q N Figura 2.4: En primer lugar, tal como se indica en la figura 2.4b, trasladaremos a las cargas en el orden j = 1, ..., N, una a una, a sus posiciones finales. La energı́a potencial del sistema es W = N X j=1 Wj donde Wj es el trabajo que cuesta traer a la carga j en contra del campo de las j −1 que han sido trasladadas previamente. En particular, W1 = 0 porque cuando se traslada la primera carga no hay ninguna otra cercana a su posición final. Podemos escribir, según el párrafo anterior, Wj = qj j−1 X i=1 Vi(~ rj) = qj j−1 X i=1 1 4πε0 qi Rij siendo Vi(~ rj) el potencial que la carga i produce en la posición final de la carga j. Luego W = N X j=1 qj j−1 X i=1 1 4πε0 qi Rij A este mismo resultado podemos llegar invirtiendo el orden del transporte, de acuer- do con la figura 2.4c: dando a j los valores j = N, ..., 1 W = 1 X j=N W0 j = N X j=1 qj N X i=j+1 1 4πε0 qi Rij Expresión en la que se ha tenido en cuenta que W0 j es el trabajo que cuesta traer a la carga qj cuando previamente se han traido las cargas qN , ..., qj+1. Sumando ambas expresiones W = 1 2 N X j=1 qj N X i6=j i=1 1 4πε0 qi Rij
- 62. 44 W = 1 2 N X j=1 qj Vj (2.12) donde Vj es el potencial creado por el resto de las cargas del sistema (i 6= j) en la posición ~ rj ocupada por la partı́cula j. Aquı́ aparece un factor 1 2 , a diferencia del resultado obtenido en el párrafo anterior, porque el campo contra el que hay que trabajar es el propio de las cargas del sistema y no un campo externo. Es necesario resaltar que en esta expresión no se incluye la energı́a necesaria para formar a las cargas puntuales o autoenergı́a de dichas cargas. La autoenergı́a de una carga puntual es singular, como puede comprobarse si intentamos construir una carga puntual Q = P qj, a partir del sistema de cargas puntuales, haciendo Rij → 0 lı́m Rij→0 W = ∞ Si en vez de una distribución discreta de carga construimos una distribución contin- ua, se obtiene W = 1 2 Z V ρ(~ r)V (~ r) dv (2.13) Expresión que da cuenta de toda la energı́a necesaria para formar la distribución sin excluir los términos de autoenergı́a. Podemos construir la distribución final de carga continua a partir de la carga totalmente dispersa, en el infinito, de forma que la energı́a inicial de interacción sea nula. Si, de acuerdo con la figura 2.5, vamos incrementando gradualmente la densidad de cada punto de la distribución, trasladando desde el infinito elementos de carga δ2q = δρ dv, el potencial, V (~ r), que guarda una relación lineal con sus fuentes, varı́a proporcionalmente a ρ(~ r), lo que, de forma análoga al proceso analizado previamente en base a cargas puntuales, hace aparecer el factor 1 2 en la expresión. ^ x ^ z ^ ( r ) ρ V( r ) r δ 2 =δρ dv q y V Figura 2.5: 2.2.5. Ecuaciones de Poisson y Laplace Buscaremos las ecuaciones locales que ligan al potencial electrostático y a las densi- dades de carga.
- 63. 45 El campo electrostático es conservativo , ∇ ∧ ~ E = ~ 0 ⇒ ~ E = −∇V , pero, en general, no es solenoidal, ∇ · ~ E = ρ ε0 , por lo que ∇2 V = − ρ ε0 Ecuación de Poisson (2.14) que, en el caso en que ρ = 0, se convierte en ∇2 V = 0 Ecuación de Laplace (2.15) Véanse los problemas y los apéndices correspondientes para la solución analı́tica y numérica de estas ecuaciones . 2.2.6. Estructuras simples del campo eléctrico Dada una distribución de cargas determinada, disponemos de varias alternativas para el cálculo del campo eléctrico resultante. Ciertas distribuciones, por poseer un alto grado de simetrı́a, permiten soluciones analı́ticas simples, lo que realza su importancia. En general, las soluciones analı́ticas exactas no son posibles y hay que recurrir a la obtención de soluciones analı́ticas aproximadas o a soluciones numéricas. Ası́ pues, una distribución con simetrı́a plana, por ejemplo una en la que ρ = ρ(x), figura 2.6-a, es vista por un observador desde P1(x1, y1, z1) exactamente de la misma forma que desde P2(x1, y2, z2). Sólo es capaz de discernir los detalles de las fuentes en la dirección x. ρ = ρ(x) ⇒ ∂V ∂y = ∂V ∂z = 0 V = V (x) ~ E = E(x) b x De la misma forma, para distribuciones con simetrı́a cilı́ndrica o esférica, figuras 2.6-b y 2.6-c, ρ ^ (c) ρ=ρ( ρ) (b) P (x ,y ,z ) 1 2 2 2 P (x ,y ,z ) 1 1 1 1 E=E(x) x^ ρ=ρ( ) x z ^ y ^ x ^ ρ=ρ( ) (a) r r ^ Figura 2.6: ρ = ρ(ρ) ⇒ ∂V ∂ϕ = ∂V ∂z = 0 V = V (ρ) ~ E = E(ρ) b ρ ρ = ρ(r) ⇒ ∂V ∂θ = ∂V ∂ϕ = 0 V = V (r) ~ E = E(r) b r
- 64. 46 A pesar de que las distribuciones con alto grado de simetrı́a carecen de generalidad, su sencillez les presta una gran importancia teórica y práctica. 2.3. Campo magnético producido por corrientes esta- cionarias. Fuerza sobre corrientes estacionarias 2.3.1. Campo El campo magnético que produce una corriente estacionaria viene dado por la ley de Biot y Savart. Podrı́amos presentar esta ley en detalle, como hemos hecho con la de Coulomb, pero nos limitaremos a resaltar que la estructura del campo magnético es más compleja que la del eléctrico porque el integrando es un vector 5, perpendicular a la densidad de corriente y al vector de posición relativa, pero que también sigue una ley del inverso del cuadrado de la distancia. En el sistema MKSA, en el cual el campo magnético se mide en teslas ,(T),, esta ley toma la forma ~ B(~ r) = µ0 4π Z V0 ~ j ∧ ~ R R3 dv0 (2.16) V0 es el volumen del tubo de corriente estacionaria. La expresión d ~ B = µ0 4π ~ j ∧ b R R2 dv0 sólo tiene sentido como integrando, puesto que un elemento de corriente ~ j dv0 no cons- tituye por sı́ mismo una corriente estacionaria ( figura 2.7). dv’ I j Π d B Π R Figura 2.7: [B] = Tesla = Weber · m−2 = 104 gauss (MKSA) 5 En sentido estricto, el integrando y, en consecuencia, el propio campo, son pseudovectores.
- 65. 47 La constante µ0, permeabilidad del vacı́o, se define numéricamente como µ0 ≡ 4π × 10−7 N · A−2 Un caso particular de corriente estacionaria es la espira: tubo de corriente cerrado y con sección despreciable, figura 2.8. I dv’ j d l d s ’ ’ Figura 2.8: Si la sección es pequeña pueden definirse d~ s 0 ↑↑ ~ j ↑↑ d~ l 0 6, con lo que dv 0 = d~ s 0 · d~ l 0 e I = R S ~ j · d~ s 0, siendo S una sección del tubo. Substituyendo en 2.16 ~ B(~ r) = µ0 4π Z V0 ~ j ∧ b R R2 (d~ s 0 · d~ l 0 ) = µ0 4π Z V0 d~ l 0 ∧ ~ R R3 (~ j · d~ s 0 ) luego ~ B(~ r) = µ0I 4π I L d~ l 0 ∧ ~ R R3 (2.17) que es la expresión, para espiras, de la ley de Biot y Savart. 2.3.2. Fuerza La fuerza ejercida por un campo magnético sobre un tubo de corriente estacionaria, de acuerdo con la ley de Lorentz, es ~ F = µ0 4π Z V ~ j ∧ ~ B dv (2.18) y, en el caso de una espira ~ F = µ0 I 4π I L ~ dl ∧ ~ B (2.19) Podemos comprobar, figura 2.9, que la fuerza ”d~ F” que un elemento de corriente I0 d~ l0 ejerce sobre otro I d~ l no cumple el principio de acción y reacción. Esto es debido a la asimetrı́a del triple producto vectorial: 6 ↑↑ indica que los dos vectores son paralelos y tienen la misma dirección.
- 66. 48 d~ F = µ0 4π I I0 d~ l ∧ (d~ l 0 ∧ ~ R) R3 , d~ F⊥ d~ l, d ~ B 0 d~ F 0 = µ0 4π I I0 d~ l 0 ∧ " (d~ l ∧ (−~ R) R3 # , d~ F 0 ⊥ d~ l 0 , d ~ B d B d F’ ⊥ Σ ’ d F ⊥ Σ d B’ ⊥ Π ’ Π Σ ⊥ Π I d l I’ d l’ R Σ -R ’ Π ’ Figura 2.9: Esto carece de trascendencia puesto que la ley de Biot y Savart sólo es válida para corrientes estacionarias y puede comprobarse7 que el principio de acción y reacción sı́ se cumple para la interacción de dos corrientes estacionarias. No obstante, las acciones del campo electromagnético variable se propagan con velocidad finita por lo que en el caso de corrientes dinámicas no cabe esperar que el principio de acción y reacción se cumpla a distancia. 2.3.3. Fuentes del campo magnético. Potencial vector Busquemos las fuentes escalares: ∇ · ~ B(~ r) = µ0 4π Z V0 ∇ · " ~ j(~ r 0 ) ∧ ~ R R3 # dv0 y, teniendo en cuenta que ∇ · (~ a ∧~ b) = ~ b · ∇ ∧ ~ a − ~ a · ∇ ∧~ b ∇ · Ã ~ j(~ r 0 ) ∧ ~ R R3 ! = ~ R R3 · ∇ ∧~ j(~ r 0 ) | {z } =0 −~ j(~ r 0 ) · ∇ ∧ Ã ~ R R3 ! | {z } =0 = 0 7 Véase el problema 2-22.
- 67. 49 donde se ha tenido en cuenta que ∇ opera sobre las coordenadas x, y, z, mientras que ~ j(~ r 0) depende de las x 0, y 0, z 0, y que ~ R R3 = −∇ ( 1 R ). Luego ∇ · ~ B = 0 ⇒ I S ~ B · d~ s = 0 (2.20) Esta es otra de las ecuaciones de Maxwell en su forma definitiva. El campo magnético producido por una corriente estacionaria es solenoidal. En consecuencia, las lı́neas de campo deben ser cerradas, aunque no necesariamente de longitud finita 8. ~ B puede derivarse, por lo tanto, de acuerdo con el teorema de Helmholtz, de un solo potencial, el potencial vector ~ A. ~ B = ∇ ∧ ~ A (2.21) Efectivamente, ~ B(~ r) = − µ0 4π Z V0 ~ j(~ r 0 ) ∧ ∇ µ 1 R ¶ dv0 y, teniendo en cuenta que ∇ ∧ (f~ a) = f∇ ∧ ~ a + ∇f ∧ ~ a ∇ ∧ ³~ j(~ r 0) R ´ = 1 R ∇ ∧~ j(~ r 0 ) | {z } =0 +∇ ¡ 1 R ¢ ∧~ j(~ r 0) ~ B(~ r) = ∇ ∧ h µo 4π R V0 ~ j(~ r 0) R dv0 i de donde deducimos que ~ A(~ r) = µ0 4π Z V0 ~ j(~ r 0) R dv0 + ∇Ψ(~ r) (2.22) ~ A es el potencial magnético vector. Ψ(~ r) es cualquier función de buen comportamiento. ∇Ψ(~ r) juega el mismo papel que la constante aditiva del potencial escalar, puesto que ∇ ∧ ∇Ψ ≡ 0. Por otra parte, según el teorema de Helmholtz µ0 ~ j = ~ R, la expresión de las fuentes vectoriales, o ley de Ampère, es ∇ ∧ ~ B = µ0 ~ j ⇒ I L ~ B · d~ l = µo I (2.23) donde S es una superficie arbitraria cuyo contorno es L e I = R S ~ j · d~ s. Los campos magnéticos estáticos tienen sus fuentes en las densidades de corriente. La ecuación de Ampère será modificada más adelante con la adición de la corriente de desplazamiento del vacı́o, ampliando su validez a campos con variación temporal arbitraria. 8 Una sola lı́nea de campo de longitud infinita puede formar una superficie magnética.
- 68. 50 Resumiendo lo anterior, las fuentes del campo magnetostático son ∇ · ~ B = 0 (2.24a) ∇ ∧ ~ B = µ0 ~ j (2.24b) Aunque teóricamente cabe esperar la existencia de monopolos o cargas magnéticas, no han sido detectados hasta la fecha por lo que el carácter solenoidal de ~ B se hará ex- tensivo a los campos magnéticos en general, dando por definitiva la forma de la ecuación de Maxwell 2.24a. La ecuación 2.24b se modificará más adelante cuando se postule la corriente de desplazamiento del vacı́o. Por último, el flujo del campo magnético Φ( ~ B), que se mide en webers, (Wb), puede expresarse de las formas, Φ( ~ B) ≡ Z S ~ B · d~ s = I L ~ A · d~ l (2.25) donde S es una superficie abierta cualquiera y L su contorno. Efectivamente, para probar la segunda opción basta con tener en cuenta que ~ B = ∇ ∧ ~ A y hacer uso del teorema del rotacional. 2.3.4. Estructuras simples del campo magnético Aquı́ podemos hacer consideraciones parecidas a las que se hicieron en la sección en la que se estudiaron las estructuras simples del campo eléctrico. Sólo analizaremos, a modo de ilustración, la simetrı́a del campo producido por un hilo recto indefinido. Como se muestra en la figura 2.10, las lı́neas de campo son circulares, tienen por eje al hilo, tienen dirección azimutal y su sentido lo marca la regla del tornillo a derechas, o de la mano derecha.
- 69. 51 I d l B=B( ) ρ ϕ ^ ’ N S R Figura 2.10: 2.4. Problemas 2-1. Dibuje las lı́neas de campo y las superficies equipotenciales en el plano xy para los siguientes casos 9: a) Una carga puntual aislada. b) Dos cargas puntuales de igual signo. c) Dos cargas puntuales de distinto signo. Solucion : Consideraremos los dos últimos apartados. Normalizaremos 1 4πε0 = 1 y situaremos a las cargas q1 = 1 y q2 = a en (1, 0) y (−1, 0) respectivamente. Los vectores que sitúan al punto de observación P con respecto a cada una de las cargas son, figura 2.11a ~ r1 = (x − 1, y) , ~ r2 = (x + 1, y) el potencial producido por las mismas V = 1 r1 + a r2 el campo y el vector unitario correspondiente 9 Sugerencia: Puede utilizarse un papel cuadriculado y en él elegir una red rectangular de puntos en los que calcular el potencial, a continuación trazar unas cuantas lı́neas equipotenciales interpolando los valores del mismo en los nudos y, por último, dibujar las lı́neas de campo teniendo en cuenta que éstas son perpendiculares a las de potencial.
- 70. 52 L δ L’ r1 r 2 x y (a) 1 −1 P q =a q =1 2 1 (b) ra x y ra re r d r c rb Figura 2.11: ~ E = ~ r1 r3 1 + a~ r2 r3 2 , b E = ~ E E La ecuación diferencial de las lı́neas de campo es ẏ = dy dx = Ey Ex = f(x, y(x)) Como veremos más adelante, la integración analı́tica es sencilla sólo en algunos casos. Aquı́ emplearemos una variante del método numérico de Euler 10 (véase la figura 2.11b). Éste se basa en el desarrollo en serie de Taylor y(x) = y(x0) + ẏ (x − x0) + O[(x − x0)2 ] y la aproximación de y(x) despreciando términos de orden O[(x − x0)2]. y(x) = y(x0) + ẏ (x − x0) Esto equivale a la aproximación de la derivada ẏ ' y(x) − y(x0) x − x0 despreciando términos O[(x − x0)]. Usualmente, se integra ẏ en un intervalo x[x0, xN ], a lo largo de la red de puntos x = x0 + n h , n = 0, 1, · · · , N, donde h es un incremento lo suficientemente pequeño. 10 Véase Demidowitsh, Burden, Schwarz.
- 71. 53 En nuestro caso, el dominio de integración es desconocido y la lı́nea de campo es una curva cuya pendiente puede cambiar de signo a lo largo de la misma. En vez de espaciar uniformemente las coordenadas x de los puntos en que queremos calcular y(x), vamos calculando ambas coordenadas de forma que los distintos puntos sean equidistantes a lo largo de la propia curva (Véase la figura 2.11b). Partiendo del punto ~ ra, incrementamos esta posición hasta el punto ~ rb = ~ ra + δ~ ra , δ~ ra = h b E(~ ra) es decir, nos desplazamos una distancia h en la dirección del campo evaluada en el punto de partida. Repitiendo este proceso en los puntos a, b, c, d, e, · · · se obtiene la lı́nea poligonal L0, la cual, cuando h → 0, aproxima a la de campo L que pasa por ~ ra. Como es evidente, el error cometido en cada paso es acumulativo por lo que h debe ser pequeño en comparación con la longitud del segmento de lı́nea que ha de integrarse. Programa Mathematica lineas − campo 2q.nb: Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; Comenzamos cargando un ’paquete’ Mathematica en el que se incluye la orden PlotVectorField 11 << Graphics‘PlotField‘ Elegimos la magnitud y el signo de la segunda carga a = −2; y la semianchura de las gráficas. L = 2; Expresamos los vectores ~ r1 y ~ r2, sus módulos y el potencial en P. r1 = {x − 1, y}; r2 = {x + 1, y}; mr1 = √ r1.r1; mr2 = √ r2.r2 potencial = 1 mr1 + a mr2 ; 11 Véase el menú Help, Add-ons, Standard Packages.
- 72. 54 Hacemos una gráfica de las lı́neas equipotenciales sin mostrarlas. grpotencial = ContourPlot[potencial, {x, −L, L}, {y, −L, L}, PlotPoints → 100, Contours → 10, Frame → False, AspectRatio → Automatic, ContourShading → False, ContourStyle → RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction → Identity]; Introducimos un pequeño valor δ para evitar las singularidades del campo y es- cribimos la expresión de este último. δ = 0,0001; cE = r1 mr13 + δ + a ∗ r2 mr23 + δ ; Representamos al campo, mediante flechas de longitud proporcional a E, en un conjunto de puntos 12. Tampoco mostramos esta gráfica. grcampo = PlotVectorField[cE, {x, −L, L}, {y, −L, L}, PlotPoints → 9, DisplayFunction → Identity]; Ahora procedemos a la integración numérica de la ecuación de las lı́neas de campo. Primero definimos h como una fracción de L n = 500; h = L n ; y expresamos ~ E 13, E y b E vE = r1 mr13 + a ∗ r2 mr23 ; mE = √ vE.vE; vEunitario = vE mE ; Sólo representaremos las lı́neas que nacen de la primera carga desde el primer cuadrante y las que mueren en la segunda por el tercero. Los puntos de comienzo y final de lı́nea se situan sobre las circunferencias de radio r0 centradas en las 12 Dado que el campo decrece con la distancia, lejos de las cargas sólo se aprecia la dirección del campo. 13 No es preciso tener en cuenta a las singularidades porque no se harán cálculos en las posiciones de las cargas.
- 73. 55 cargas. Para cada una de éstas se representarán cinco lı́neas que corresponden a las situaciones angulares, sobre dicha circunferencia, θ0, θ0 + ∆θ · · · . r0 = 0.05 ∗ L; θ0 = π 12 ; ∆θ = 5π 24 ; En grlinea se almacenarán las gráficas de las lı́neas, de q1, en las cinco primeras posiciones, y de q2 en las cinco últimas. grlinea = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}; La primera lı́nea que nace en q1 se integra a partir del punto x0 = 1 − r0 ∗ Cos[θ0]; y0 = r0 ∗ Sin[θ0]; Para calcular los puntos de las distintas lı́neas, se ha de tener en cuenta las sigu- ientes cuestiones: La segunda carga puede se fuente (q > 0) o sumidero (q < 0) de campo. En el segundo caso, las lı́neas que mueren en ésta hay que integrarlas desde su punto final y desplazándose en la dirección contraria al campo. Las lineas que comienzan (terminan) en las proximidades de una carga pueden terminar (comenzar) en el marco de la gráfica o en las proximidades de la otra carga. La longitud de cada una de las lı́neas es diferente y, en principio, desconocida. La posición actual a lo largo del cálculo está almacenada en pl0 y las calculadas hasta un determinado instante en la matriz linea. Las dimensiones de ésta matriz son m × 2, siendo m un numero, variable, de filas que va creciendo a lo largo del cálculo de la lı́nea. Cada fila incluye a uno de los sucesivos puntos de la lı́nea de campo. Cuando se han calculado los puntos de la lı́nea se genera su gráfica pero no se muestra. El lazo Do realiza cinco iteraciones, cada una de las cuales incluye los siguientes pasos: Determinación de los valores de pl0 y linea que se utilizarán en la iteración. Integración de la lı́nea correspondiente mediante el lazo condicional While, mientras que la posición calculada al final del mismo está dentro de la zona de interés. Fijación de los valores de x0 e y0 que se utilizarán en la siguiente iteración.
- 74. 56 Do[ {pl0 = {x0, y0}, linea = {pl0}, While[(pl0[[1]] ≥ −x0)&&(pl0[[2]] ≥ y0)&&(pl0[[1]] ≤ L)&&(pl0[[2]] ≤ L), {pl0 = pl0 + h ∗ vEunitario/.{x → pl0[[1]], y → pl0[[2]]}, linea = Append[linea, pl0]}], grlinea[[i]] = ListPlot[linea, PlotJoined → True, DefaultColor → Hue[0.6], DisplayFunction → Identity], θ0 = θ0 + ∆θ, x0 = 1 − r0 ∗ Cos[θ0], y0 = r0 ∗ Sin[θ0]}, {i, 1, 5}]; Una vez generadas las gráficas de las lı́neas de la primera carga, es necesario restablecer el valor inicial de θ0, x0 e y0 porque éstos se modifican en la última orden del lazo While. θ0 = π 12 ; x0 = −1 + r0 ∗ Cos[θ0]; y0 = −r0 ∗ Sin[θ0]; Para integrar estas lı́neas es necesario distinguir los casos en que la carga es fuente o sumidero. If[a < 0, h = −h]; Do[ {pl0 = {x0, y0}, linea = {pl0}, While[(pl0[[1]] ≤ −x0)&&(pl0[[2]] ≤ y0)&&(pl0[[1]] ≥ −L)&&(pl0[[2]] ≥ −L), {pl0 = pl0 − h ∗ vEunitario/.{x → pl0[[1]], y → pl0[[2]]}, linea = Append[linea, pl0]}], grlinea[[i]] = ListPlot[linea, PlotJoined → True, DefaultColor → Hue[0.6], DisplayFunction → Identity], θ0 = θ0 + ∆θ, x0 = −1 + r0 ∗ Cos[θ0], y0 = −r0 ∗ Sin[θ0]}, {i, 6, 10}]; Por último, se representan conjuntamente todas las gráficas anteriores. Show[grlinea, grpotencial, grcampo, AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunction];
- 75. 57 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 Figura 2.12: Como puede verse en la figura 2.12, el valor elegido para h es adecuado puesto que, si se ejecuta el programa con cargas de signo contrario, las lı́neas que parten de la carga positiva convergen de forma apreciable hacia la negativa. 2-2. Cuatro cargas puntuales de un nC se hallan situadas en los vértices de un cuadrado de un cm de lado. Halle: a) La fuerza que cada una de ellas siente debido a la acción de las demás. b) La energı́a que cederı́a o ganarı́a una de ellas al desplazarse hasta el infinito con velocidad despreciable. c) Supuesto que toda la energı́a potencial pudiera convertirse en energı́a cinética, calcule la velocidad que tendrı́a en el infinito cada una de las cargas si a todas se les permitiera moverse libremente a partir del mismo instante. 2-3. La constante de gravitación universal tiene el valor G = 6, 67×10−11 N ·m2 ·Kg−2 y la aceleración de la gravedad tiene un valor local de g = 9,8 m · s−1. Halle: a) El campo eléctrico que iguala la fuerza eléctrica a la gravitatoria sufrida por un electrón en la superficie terrestre. b) La relación entre las fuerzas eléctrica y gravitatoria entre dos electrones. c) La Fuerza aproximada entre dos sistemas de partı́culas compuestos, cada uno de ellos, por un electrón y un protón separados una distancia d = 1 o A. Supóngase que las cuatro partı́culas están alineadas y que su distancia mútua es r À d. Razónese sobre la preponderancia de la fuerza gravitatoria en la determinación del movimiento planetario. Solución: Abordaremos el apartado 2-3c, cuyo planteamiento corresponde a la figura 2.13.
- 76. 58 −e e d r Figura 2.13: Si despreciamos frente a la unidad los términos en x2 , x = d 2r , la componente radial del campo producido por el primer par de cargas es Er(r) = q C r2 · 1 (1 + x)2 − 1 (1 − x)2 ¸ ' q C r2 £ (1 − x)2 − (1 + x)2 ¤ ' − 4qCd r3 y la fuerza que ejerce sobre la segunda pareja Fer(r) = q · Er(r − 1 2 d) − Er(r + 1 2 d) ¸ ' −4q2 C d r3 £ (1 − x)3 − (1 + x)3 ¤ ' − 24q2 C d2 r4 La fuerza gravitatoria ente ambos pares de partı́culas es Fg(r) ' G m2 p r2 2-4. Dos cargas puntuales de signo contrario se encuentran separadas por una distancia a y la razón entre sus magnitudes es k. Demuestre que la superficie equipotencial V = 0 es esférica y determine su radio y la posición de su centro. 2-5. El campo producido por una distribución de cargas puede expresarse como suma de aportaciones ’multipolares’. Si la distribución es glob- almente neutra, desde lejos sólo se observa la correspondiente al término dipolar, caracterizado por su momento dipolar eléctrico ~ p. Considere el conjunto de dos cargas iguales y contrarias tales que la positiva está separada una distancia ~ d de la negativa. El momento dipolar de esta dis- tribución es ~ p = q ~ d. Halle: a) El potencial dipolar. b) El campo dipolar. c) Represente las lı́neas de campo y del potencial. Las de campo calcúlelas analı́ticamente y de forma numérica y compare los resultados. Solución: a) De acuerdo con la figura 2.14, el potencial producido en cualquier punto del espacio es
- 77. 59 V = C q µ 1 r+ − 1 r− ¶ donde ~ r+ = ~ r − 1 2 d b z , r+ = r r2 + 1 4 d2 − ~ d · ~ r ~ r− = ~ r + 1 2 d b z , r+ = r r2 + 1 4 d2 + ~ d · ~ r z P + r+ r r d/2 d/2 − θ q −q − Figura 2.14: Anotando α ≡ d/r r+ = r r 1 + 1 4 α2 − αcos θ ' r √ 1 − αcos θ ' r µ 1 − 1 2 α cos θ ¶ 1 r+ ' r µ 1 + 1 2 α cos θ ¶ con lo que, el potencial dipolar es Vd = C q d cos θ r2 = C ~ p · b r r2 b) El campo se obtiene aplicando el gradiente (con signo negativo) al potencial
- 78. 60 ∇ = b r ∂ ∂ r + 1 r b θ ∂ ∂ θ de lo que resulta ~ Ed = C p r3 ³ 2 cos θ b r + sen θ b θ ´ Como puede verse, mientras que el potencial (campo) de una carga , o monopolo, decae según r−1 (r−2), en un dipolo lo hacen según r−2 (r−3). Esta expresión puede generalizarse para dipolos de orientación arbi- traria si se descompone b θ en las direcciones de b r y b z. b θ = a b r + b b z teniendo en cuenta que, por ejemplo, en el plano xz b r = sen θ b x + cos θ b z b θ = cos θ b x − sen θ b z Substituyendo en la ecuación anterior e igualando, componente a com- ponente, ambos miembros de la misma, se deduce que a = cos θ sen θ , b = − 1 sen θ y ~ Ed = C r3 [3(~ p · ~ r) b r − ~ p] c) Éste es uno de los casos en que la integración de las ecuaciones de las lı́neas de campo es sencilla porque es separable. En efecto dlr Er = dlθ Eθ ⇒ dr r = 2 d(sen θ) sen θ su integral es inmediata r = B sen2 θ , ϕ = cte B es el parámetro del haz de lı́neas de campo. Su valor para la lı́nea que pasa por (r0, θ0, ϕ0) es B0 = r0 sen2 θ0
- 79. 61 Para hacer la integración numérica podemos emplear el método de Euler, véase el problema 2-1. Lo compararemos con los resultados obtenidos analı́ticamente y con los del método de Heun 14. Este último es una mejora del método de Euler y pertenece a la familia de los de Runge-Kutta. h 1 f2 xi yi y i+1 i+1 y(x ) f y* xi+1 2 1 i f =1/2(f +f ) x y Figura 2.15: Método de Heun: Se trata de resolver la ecuación de las lı́neas de campo, la cual, en principio la expresamos de la forma ẏ = dy dx = Ey Ex = f(x, y(x)) La forma usual del algoritmo usado por este método es la siguiente f1 = f(xi, yi) f2 = f(xi + h, yi + h f1) f3 = 1 2 (f1 + f2) yi+1 = yi + h f3 donde h = cte. Como puede verse en la figura 2.15, a diferencia del método de Euler, la coordenada yi+1 del punto siguiente se determina haciendo uso de una pendiente f3 que no es la utilizada en el método de Euler, sino el 14 Véase Schwarz,Demidowitsh,Burden.
- 80. 62 promedio de la del punto inicial f1 = f(xi, yi) y la f2 = f(xi+1, y∗) que tendrı́a el punto final si hiciésemos uso del método de Euler. Este método se conoce también con el nombre de ’predictor-corrector’ porque primero hace una predicción del punto P∗ de destino mediante el metodo de Euler y , a continuación la corrige en función de la pendiente que corresponde a dicho punto. En principio, en el pequeño tramo ∆x = h la pendiente variará de forma monótona, por lo que la pendiente óptima debe ser una intermedia entre la final y la inicial. Los factores de 1 2 que afectan a f1 y f2 optimizan el orden de aproximación del método. Nosotros, como en el método de Euler, modificaremos el algoritmo para que, en vez de espaciar uniformemente a los puntos a lo largo del eje x los espacie uniformemente a lo largo de la propia lı́nea. ~ ri+1 = ~ ri + δ~ ri , δ~ ri = h h b Eii , h b Eii = 1 2 ( b E(~ ri) + b E(~ r∗ )) donde ~ r∗ = ~ ri + h b E(~ ri) es el punto predicho por el método de Euler. Programa Mathematica equipotlineas − dipolo.nb: Este programa hace uso de las ecuaciones de las lı́neas equipotenciales y de campo, en el plano xz, para representarlas conjuntamente. A continuación, aprovechando que, en este caso, conocemos la solución exacta, estudiaremos el comportamiento de los métodos numéricos de Euler y de Heun al integrar una lı́nea de campo determinada y lo compararemos con la curva analı́tica correspondiente. Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; << Graphics‘PlotField‘ Representación de las lı́neas de campo y de potencial: L es la semianchura de las gráficas y δ un pequeño parámetro que intenta sortear las singularidades. L = 4; δ = 0.0001; r = p x2 + z2; cosθ = z r ; senθ = x r ; Ecuación de las lı́neas de potencial.
- 81. 63 potdip = cosθ r2 ; grpotdip = ContourPlot[potdip, {x, −L, L}, {z, −L, L}, PlotPoints → 200, Contours → 10, Frame → False, AspectRatio → Automatic, ColorFunction → Hue, DisplayFunction → Identity]; Ecuación de las lı́neas de campo lincamp = 1/B. lincamp = senθ2 r ; grlincamp = ContourPlot[lincamp, {x, −L, L}, {z, −L, L}, PlotPoints → 200, Contours → 6, Frame → False, ContourShading → False, AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → Identity]; Ecuación del campo para representar la gráfica de flechas. vecE = 1 r3 + δ {3senθ ∗ cosθ, 3cosθ2 − 1}; grcampodipol = PlotVectorField[vecE, {x, −L, L}, {z, −L, L}, PlotPoints → 11, DisplayFunction → Identity]; En la figura 2.16 se muestra la representación conjunta. grpotlinc = Show[grpotdip, grlincamp, grcampodipol, DisplayFunction → $DisplayFunction]; Comparación de los métodos numéricos: Punto de inicial. r0 = 0.4; senθ0 = 0.4; cosθ0 = p 1 − senθ02; aa = r0 senθ02 ; x0 = r0 ∗ senθ0; z0 = r0 ∗ cosθ0; Valor del parámetro lin0 = 1/B0 correspondiente a la lı́nea teórica que pasa por el punto inicial
- 82. 64 Figura 2.16: lin0 = senθ02 r0 ; grlinteorica = ContourPlot[lincamp, {x, 0.001, L}, {z, − L 2 , L 2 }, ContourShading → False, PlotPoints → 200, Contours → {lin0, 0}, AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → Identity]; Definición de la longitud del paso ∆ que se utilizará en los métodos numéricos. n servirá también para limitar la longitud de lı́nea a integrar. n = 30; h = L n ; Definición del vector unitario en la dirección del campo. runitario = {senθ, cosθ}; zunitario = {0, 1}; vE = 1 r3 (3(zunitario.runitario)runitario − zunitario); mE = √ vE.vE; Eunitario = vE mE ; Método de Euler. pl0 = {x0, z0}; linea = {pl0}; kk = 0;
- 83. 65 While[(Abs[pl0[[1]]] <= L)&&(Abs[pl0[[2]]] <= L)&&(kk <= 1.5n), {kk = kk + 1, pl0 = pl0 + h ∗ Eunitario/.{x → pl0[[1]], z → pl0[[2]]}, linea = Append[linea, pl0]}]; grlineuler = ListPlot[linea, Axes → True , AxesOrigin → {0, 0}, DisplayFunction → Identity]; Método de Heun. pl0h = {x0, z0}; lineah = {pl0h}; kk = 0; While[(Abs[pl0h[[1]]] <= L)&&(Abs[pl0h[[2]]] <= L)&&(kk <= 1,5n), {kk = kk + 1, pl0hi = pl0h, Eunitarioi = Eunitario/. {x → pl0h[[1]], z → pl0h[[2]]}, pl0h = pl0hi + h ∗ Eunitarioi, Eunitariof = Eunitario/.{x → pl0h[[1]], z → pl0h[[2]]}, pl0h = pl0hi + h ∗ 1 2 (Eunitarioi + Eunitariof), lineah = Append[lineah, pl0h]}]; grlinheun = ListPlot[lineah, Axes → True, AxesOrigin → {0, 0}, DisplayFunction → Identity]; Presentación Gráfica conjunta de los resultados: Punto inicial punto = Point[{x0, z0}]; punto0 = Show[Graphics[{PointSize[0.03], RGBColor[1, 0, 0], punto}], DisplayFunction → Identity]; Etiquetas de las curvas. Las correspondientes a las soluciones numéricas se pegan a un punto de las mismas. texto1 = Text[Euler, linea[[n]] − {h, 0}]; texto2 = Text[Heun, lineah[[n]] + {h, 0}]; texto3 = Text[Teorica, {1.5 x0, 0.5 z0}];
- 84. 66 textoe = Show[Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], texto1}], DisplayFunction → Identity]; textoh = Show[Graphics[{RGBColor[0, 0.5, 1], texto2}], DisplayFunction → Identity]; textot = Show[Graphics[{texto3}], DisplayFunction → Identity]; Por último, se genera la gráfica conjunta. Show[grlinteorica, grlineuler, grlinheun, punto0, textoe, textoh, textot, DisplayFunction → $DisplayFunction]; 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 -0.5 0 0.5 1 Euler Heun Teorica Figura 2.17: En la figura 2.17 se comparan estos dos métodos. Es necesario tener en cuenta que la cantidad de cálculo realizado por el método de Heun en cada tramo es superior a la correspondiente al de Euler. Analize este aspecto y pruebe a variar los parámetros del problema. Los programas numéricos deben ser ’validados’ para comprobar su correcto diseño. Deben elegirse problemas de prueba resolubles por otros métodos, en caso de que sea posible, aquellos de los que exista una solución analı́ttica cerrada, como es el caso.
- 85. 67 x y y y=l l cos θ θ θ 0 Figura 2.18: 2-6. Un péndulo está formado por un hilo sin masa, de longitud l, y una partı́cula puntual de masa m y carga q. ¿ Cuál será su periodo para pequeñas oscilaciones en presencia de un campo eléctrico paralelo al gravitatorio? Resuelva el problema mediante un balance de energı́a. Solución: De acuerdo con los convenios de la figura 2.18, la fuerza actuante sobre la carga es ~ F = −(m g + q E)b y y la energı́a potencial de la carga Wp = m g y + q V donde V = Z y 0 dV = E y De acuerdo con la figura y = l(1 − cosθ) ' 1 2 l θ2 , dado que cos θ ' 1 − θ2 para θ ¿ π 2 , y Wp = 1 2 (m g + q E) l θ2
- 86. 68 Por otra parte, teniendo en cuenta que la velocidad puede escribirse como v = θ̇ l, por tratarse de un movimiento circular, la energı́a cinética se expresa de la forma Wc = 1 2 m θ̇2 l2 Ambos campos son conservativos por lo que la energı́a mecánica se conserva. Wm = Wp + Wc = 1 2 [m θ̇2 l2 + (mg + qE)l θ2 ] = cte Derivando y despejando θ̈ se tiene que θ̈ = −ω2 θ , ω = r mg + qE ml Esta ecuación es la del movimiento armónico y ω es su velocidad an- gular. Como era de esperar, si ~ E = ~ 0, ésta se reduce a la del péndulo simple. 2-7. Sea el plano z = 0, cargado con una densidad ρs uniforme. Halle: a) El campo eléctrico y el potencial a cualquier distancia z del plano. b) La contribución al campo total de un cı́rculo de radio a de dicho plano, en un punto a distancia z del centro del disco y situado sobre su eje. Razone los resultados para los lı́mites z ¿ a y z À a. Solución: Comentaremos el apartado (b). En la figura 2.19 se muestra la contribución al campo electrico, en el eje z, de dos elementos de carga situados simetricamente con respecto a dicho eje. Dada la simetrı́a del problema, la componente x de esta contribución se anula, quedando solamente la z. dEz = dE cos θ = luego ~ E = Ez b z y Ez = C ρs Z S 0 cos θ ds 0 r2 Podemos poner el integrando en función de θ o de ρ. Tomaremos ésta segunda opción y, de acuerdo con la geometrı́a de la figura, escribiremos cos θ = z r , r = p ρ2 + z2 , ds0 = ρ dρ dϕ
- 87. 69 x dE* ρs ds’* dE dEx dE z ρs ds’ a ρ r z θ θ z Figura 2.19: y Ez = C ρs z Z 2π ϕ=0 Z a ρ=0 ρ dρ dϕ (ρ2 + z2) 3 2 Si buscamos en las tablas de integrales encontramos que Z x dx (x2 + a2)3/2 = 1 √ x2 + a2 de lo que se obtiene el resultado Ez = 1 2 ρs ε0 µ 1 − z √ z2 + a2 ¶ Para hallar la aproximación correspondiente a z À a quédese con el término en a/z del desarrollo. 2-8. Halle y represente gráficamente, haciendo uso de los diversos métodos conocidos, el campo eléctrico y el potencial producidos en cualquier punto del espacio por las siguientes configuraciones de carga. a) Un hilo recto indefinido cargado uniformemente con una densidad λ. b) Una distribución cilı́ndrica de carga con densidad β, para ρ ≤ a, y β = 0 para ρ > a. 2-9. Halle el campo y el potencial producidos por una carga uniformemente distribuida sobre una esfera de radio a.
- 88. 70 ρ(r) = ρ0 para r ≤ a 0 para r > a Solucion : Trataremos el problema con diversas herramientas y comprobaremos que la simplicidad de unos procedimientos es mucho mayor que la de otros, sin que de ésto debamos inferir que el método más sencillo en este caso lo sea también en general. Para cada problema deberemos buscar el método más adecuado. Las partes no desarrolladas por completo se proponen como ejercicio. Uso del método de Gauss: Según el teorema de Gauss Z S ~ E · d~ s = 1 ε0 Z V ρ dv Esta expresión es útil para el cálculo del campo siempre que el grado de simetrı́a del problema permita encontrar una superficie S tal que ( ~ E · ~ n)S = cte, donde ~ n es la normal a la superficie de la esfera. Tal superficie la llamaremos superficie de Gauss. Z S ~ E · ~ n ds = En Z S ds = En S = Q ε0 donde En = ~ E · ~ n , Q = Z V ρ dv ⇒ En = Q ε0 S En nuestro caso ~ E = E(r) b r, por lo que elegiremos superficies esféricas de radio r y distinguiremos dos regiones: En la región (1), para r ≤ a, figura 2.20-a, E1(r) r2 Z π θ=0 Z 2π ϕ=0 senθ dθ dϕ = ρ0 ε0 Z r r=0 Z π θ=0 Z 2π ϕ=0 r2 sen θ dr dθ dϕ ⇒ ~ E1 = Q 4π ε0 a3 r b r , Q = ρ0 4 3 π a3 (2.26) En la región (2), para r > a, ~ E2 = Q 4π ε0 r2 b r (2.27)
- 89. 71 (b) ^ x ^ z ^ r P a y ^ x ^ z ^ r P a (a) y Figura 2.20: Tanto 2.26 como 2.27 pueden escribirse de la forma ~ E = Qint(r) 4π ε0 r2 b r Es decir, el campo que produce esta distribución, como cualquiera con simetrı́a esférica, corresponde al que producirı́a la carga Qint, encerrada en la esfera de Gauss, como si estuviera concentrada en el centro de simetrı́a. Es fácil comprobar que las expresiones 2.26 y 2.27 coinciden para r = a, como se muestra en la figura 2.21 r a E E max Figura 2.21: Para calcular el potencial dV = − ~ E · d~ l, eligiendo d~ l = dr b r y tomando el origen de potenciales en el ∞ V (r) = − Z r ∞ E(r) dr
- 90. 72 que, para r > a, V2(r) = Z ∞ r 1 r2 dr = Q 4π ε0 r Para r ≤ a V1(r) = Z a ∞ dV + Q 4π ε0 a3 Z a r r dr = Q 8π ε0 a µ 3 − r2 a2 ¶ Uso de las ecuaciones de Poisson y Laplace: Aunque más adelante trataremos con mayor amplitud la solución de estas ecuaciones y la aplicación de las condiciones de contorno, en los primeros capı́tulos abordaremos este problema, y otros similares, uni- dimensionales, de una forma bastante simple. Dado que, en nuestro caso, ρ = ρ(r) , V = V (r), la ecuación de Poisson en coordenadas esféricas puede escribirse de la forma 1 r2 d d r µ r2 d V d r ¶ = −ρ0 ε0 para r ≤ a Poisson 0 para r > a Laplace (2.28) La solución de esta ecuación de segundo orden se obtiene fácilmente siguiendo las siguientes etapas: 1o) Se integra dos veces para cada región del espacio donde ρ(r) es continua; regiones (1) y (2). V1 = − ρ0 6 ε0 r2 − A1 r + B1 V2 = − A2 r + B2 Estas soluciones generales dependen de constantes indeterminadas cuyos valores habrá que determinar haciendo uso de condiciones de contorno adecuadas. 2◦) Se aplican condiciones de contorno en r = 0, r = a y r → ∞. Más adelante analizaremos las condiciones de contorno con más detalle. Por ahora nos bastará con establecerlas intuitivamente. Tomaremos el infinito como origen de potenciales v(r → ∞) = 0 (2.29)
- 91. 73 En r = a supondremos que tanto el potencial como el campo son con- tinuos V1(a) = V2(a) (2.30) E1(a) = E2(a) ⇒ µ d V1 d r ¶ r=a = µ d V2 d r ¶ r=a (2.31) La continuidad del potencial es necesaria porque si nó, su derivada, que es el campo, se harı́a infinita. El campo debe ser continuo pues, como veremos más adelante, sólo puede ser discontinuo a través de una superficie cuando en la misma existe una densidad superficial de carga. Por último V (0) = V0 = finito (2.32) ya que en el origen no hay cargas puntuales, en cuyas posiciones se dan las singularidades del campo. Las cuatro ecuaciones 2.29, 2.30, 2.31 y 2.32 fijan los valores de las cuatro constantes con lo que el problema queda planteado. Cálculo directo del campo: El cálculo para la región (1) es prolijo. No se hará en este lugar pero puede verse en Lorrain y Corson. α θ’ r ’ r = dE r ^ dE (1) (2) R α P dv’ r dE Figura 2.22: Para la región (2), véase la figura 2.22 dEr = dE cosα = k ρ0 dv 0 r2 cos α = k ρ0 r 02 sen θ 0 dr 0 dθ,0 dϕ 0 r2 cos α
- 92. 74 Para integrar haremos un cambio de las coordenadas (r 0, θ 0, ϕ 0) a las (r 0, R, ϕ 0) dr 0 dθ 0 dϕ 0 = J µ r 0, θ, 0 ϕ 0 r 0, R, ϕ 0 ¶ dr 0 dR dϕ 0 donde J µ r 0, θ, 0 ϕ 0 r 0, R, ϕ 0 ¶ = ∂ r 0 ∂ r 0 ∂ r 0 ∂ R ∂ r 0 ∂ ϕ 0 ∂ θ 0 ∂ r 0 ∂ θ 0 ∂ R ∂ θ 0 ∂ ϕ 0 ∂ ϕ 0 ∂ r 0 ∂ ϕ 0 ∂ R ∂ ϕ 0 ∂ ϕ 0 , r 0 = r 0 θ 0 = f(r 0, R) ϕ 0 = ϕ 0 es el jacobiano de la transformación J = ∂ θ 0 ∂ R Tenemos pues que expresar θ 0 y α en función de R y ~ r 0. Haciendo uso de la expresión para los lados opuestos a un ángulo R2 = r 02 + r2 − 2 r 0r cos θ 0 ⇒ cos θ 0 = r 02+r2−R2 2 r 0r , sen θ 0 ∂ θ 0 ∂ R = − R r r 0 r 02 = R2 + r2 − 2 r R cos α ⇒ cos α = R2+r2−r 02 2 r 0r && El cálculo del módulo del campo eléctrico se completa realizando la integral E = Z V 0 dEr = k ρ0 1 2 r2 Z ϕ 0=2π ϕ 0=0 Z r 0=a r 0=0 Z R=r+r 0 R=r−r 0 r 0 µ 1 + r2 − r 02 R2 ¶ dr 0 dR dϕ 0 Cálculo directo del potencial: Para la región (2) dV = k ρ0 r 02 R sen θ 0 ∂ θ 0 ∂ R dr 0 dR dϕ 0 2-10. Demuestre que una distribución de carga con simetrı́a esférica, ρ = ρ(r), produce en un punto ~ r un campo eléctrico igual al que producirı́a la carga encerrada en la esfera de radio r concentrada en el origen. ¿ A que conclusiones se llega en los casos de simetrı́a plana y simetrı́a cilı́ndrica? 2-11. Sean las siguientes distribuciones de carga: Una superficie esférica, de radio a, con densidad uniforme ρs y una esfera, de radio a, cargada uniformemente con densidad de volumen ρ0. Se pide: a) Halle y represente el campo eléctrico y el potencial producido por cada una de las distribuciones.
- 93. 75 b) Los valores máximos de las cargas que, en cada caso, podrı́an almacenarse en esferas de radio a=10 cm que están en presencia de aire a condiciones normales. El aire, en éstas condiciones, no soporta campos superiores a unos 3 × 106 V · m−1 (Campo de ruptura o rigidez dieléctrica del aire). c) El radio del electrón, supuesto que su carga se distribuya en las formas in- dicadas al principio y que su masa esté relacionada con su energı́a potencial mediante la relación de Einstein W = m c2. Solución: Comentamos el último apartado en el caso de la distribución superficial. La energı́a potencial de una distribución de carga es, en este caso, W = − 1 2 e V (a) , V (a) = −C e a ⇒ a = C e2 2m c2 ya que, por simetrı́a, toda la carga está al mismo potencial y , de acuerdo con el problema 2-10, tanto el campo como el potencial externo a la esfera son iguales a los que producirı́a el electrón situado en el centro de la distribución. Si realiza el cálculo para la distribución continua encontrará el valor a0 conocido como radio clásico del electrón. 2-12. Halle el campo eléctrico y el potencial producidos por la siguiente distribución de carga: ρ = ρ0 para 0 < x < a y 2a < x < 3a, ρ = 0 fuera de éstos dos intervalos. Represéntelos gráficamente. 2-13. Dado un hilo circular con una densidad lineal uniforme λ y radio a, halle: a) El potencial producido en cualquier punto de su eje. b) Los primeros términos de los desarrollos en serie de potencias, para el po- tencial anterior, validos para distancias r > a y r < a del centro. c) El campo eléctrico. 2-14. Dada la densidad de carga ρ = 3 π a3 ³ 1 − r a ´ halle la carga q(r) encerrada en una esfera de radio r, el campo y el potencial eléctricos. Solución: Para distribuciones con simetrı́a esférica, dv = 4π r2 dr, por lo que, cam- biando la variable r por α = r a , la carga interior a la esfera de radio a es qr = 12 Z α α=0 ¡ α2 − α3 ¢ dα = 4α3 − 3α4
- 94. 76 Para r ≥ a , α ≥ 1, la carga total es Q = qr(α = 1) = 1 Como se ha visto en el problema 2-10, el campo producido por una distribución con simetrı́a esférica en ~ r es igual al que producirı́a en dicha posición una carga puntual, situada en el origen, e igual a la encerrada en una esfera de radio r. ~ E(r) = qr(r) 4π ε0 r2 b r 4π ε0 a2 E(r) = ¡ 4α − 3α2 ¢ para α ≤ 1 1 α2 para α ≥ 1 V (r) = Z ∞ r E dr = µZ a r + Z ∞ a ¶ E dr = 1 4π ε0 a µZ α=1 α ¡ 4α − 3α2 ¢ dα + 1 ¶ 4π ε0 a V (r) = ¡ 2 − 2α2 + α3 ¢ para α ≤ 1 1 α para α ≥ 1 Gráficas con Mathematica prob i3 inv.nb: Representaremos la densidad para tres valores de a, la carga encerrada en una esfera de radio r, el campo y el potencial, en función de r. Véase el problema k-2. Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; Comenzamos por la representación de la densidad para a = 1, √ 2, √ 3 ro = If[r ≤ a, 3 π ∗ a3 ³ 1 − r a ´ , 0]; grafro = {0, 0, 0}; Do[{Which[i == 1, {rc = 1, gc = 0, bc = 0}, i == 2, {rc = 0, gc = 1, bc = 0}, i == 3, {rc = 0, gc = 0, bc = 1}], grafro[[i]] = Plot[ro/.a → √ i, {r, 0, 2}, PlotStyle → RGBColor[rc, gc, bc], DisplayFunction → Identity, PlotRange → All]}, {i, 1, 3}];
- 95. 77 Show[grafro, DisplayFunction → $DisplayFunction]; La figura 2.23 presenta conjuntamente las gráficas para los tres valores de a. 0.5 1 1.5 2 0.2 0.4 0.6 0.8 Figura 2.23: Comprobaremos que la carga total es q = 1. Primero definimos la densidad interna roi (para r ≤ a), y después la integramos sobre una esfera de radio a. roi = 3 π ∗ a3 ³ 1 − r a ´ ; q = 4π Z a 0 roi ∗ r2 dr Para las gráficas siguientes se toma un valor concreto de a. a = 2; Representamos la carga encerrada en una esfera de radio r en la figura 2.24. qi = 4π Z r 0 roi ∗ r2 dr; qr = If[r ≤ a, qi, 1]; Plot[qr, {0, 0, a + 1}, PlotStyle → RGBColor[.3, .7, 1], AxesOrigin → {0, 0}, GridLines → {{a}, {1}}]; Representamos al campo en la figura 2.25. Er = qr 4π ∗ r2 ; Plot[Er, {r, 0, 2 a}, PlotStyle → RGBColor[1, .7, .3], AxesOrigin → {0, 0}, GridLines → {{a}, None];
- 96. 78 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 2.24: 1 2 3 4 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 Figura 2.25: Por último, representamos al potencial en la figura 2.26. Vext = 1 4π ∗ r ; Vint = 1 4π ∗ a + 1 4π Z a r qi r2 ; Vr = If[r ≤ a, Vint, Vext]; V0 = 1,1 ∗ Vint/.r → 0//N; Plot[Vr, {r, 0, 2 a}, PlotStyle → RGBColor[0.7, 1, .3], AxesOrigin → {0, 0}, GridLines → {{a}, None}, PlotRange → {0, V0}]; 2-15. Halle el campo eléctrico producido en cualquier punto del espacio por un hilo que forma un cuadrado de lado a y que está cargado uniformemente con densidad λ. 2-16. La distribución de carga en los núcleos ligeros puede aproximarse mediante la expresión, ρ = ρ0 (1 − r2 a2 ) para r ≤ a y ρ = 0 para r > a. Aplı́quese este modelo al Calcio tomando los valores a = 4, 5 fm (fm = femtometro = fermi = 10−15 m) y ρ0 = 5 × 1025 C · m−3. Halle: a) La carga total ( compárese con el valor real).
- 97. 79 1 2 3 4 0.02 0.04 0.06 0.08 Figura 2.26: b) El campo eléctrico y el potencial. c) Represente ρ,E y V en función de x = r a. 2-17. Un conductor, en situación electrostática, es un cuerpo que reac- ciona ante los campos externos movilizando cargas y situándolas en su superficie de forma que el campo total en su interior sea nulo. Demuestre: a) Que todos los puntos del conductor estático están al mismo potencial. b) Que la carga depositada en él se distribuye por la superficie. c) Que el campo eléctrico en su superficie es perpendicular a la misma y pro- porcional a ρs. Razone, para simplificar, sobre un conductor de superficie plana. Solución: La figura 2.27 representa a un conductor limitado por caras planas. 2 s n1 A B E L S S3 1 S ρ S 0 Figura 2.27: a) Dado que el campo eléctrico es nulo en su interior, también lo será su circulación a lo largo del camino L, interno pero arbitario, lo que implica que VA = VB ⇒ Vint = cte
- 98. 80 b) Si se aplica el teorema de Gauss a la superficie S0, situada en el interior del conductor pero arbitraria, el flujo es nulo, por serlo el campo y, en consecuencia, la densidad neta de carga ρ = 0. Luego la carga neta solo puede residir en la superficie del conductor. Esto no es cierto en el caso dinámico. c) Como la superficie del conductor es equipotencial, el campo electrico en el exteriór, pero en su proximidad, es perpendicular a la misma. Aplicando el teorema de Gauss a la pequeña caja de pastillas, cuyas bases son paralelas a la superficie del conductor, se tiene que Z S1 ~ E · ~ ds = 1 ε0 Z S2 ρs ds ⇒ ~ E = ρs ε0 ~ n1 El flujo a través de S3 es nulo porque el campo interno también lo es, el de la superficie lateral es nulo porque el campo y la normal son perpendiculares entre sı́ y, por último, la unica carga en el interior de la caja está situada en la superficie S2. 2-18. Se define al condensador ideal como el conjunto de la superficie in- terna de un conductor en cuyo interior, hueco, se encuentra un se- gundo conductor, la superficie externa del segundo conductor y el espacio que media entre ambas superficies (véase la figura 2.28). Asimis- mo se define como capacidad de un condensador a la relación C ≡ Q V , en valor absoluto, entre la carga depositada en cualquiera de las dos caras, o placas, del condensador y la diferencia de potencial que se establece entre las mismas. b a Figura 2.28: ) Se pide: a) Demuestre que en las dos placas se depositan cargas iguales y contrarias. b) Halle la capacidad de un condensador esférico formado por un conductor con un hueco de radio b dentro del cual hay otro conductor, en posición concéntrica, cuyo radio externo es a < b (figura 2.28). Calcule la capacidad de un condensador plano hallando la aproximación de C para b − a ¿ a, b.
- 99. 81 Solución: Si aplicamos el teorema de Gauss a la superficie S2 incluida en el interior del conductor externo (figura 2.29), la carga total encerrada en ella es nula. Dado que sobre la superficie r = a hay una carga Q, sobre la r = b habrá una −Q. 2 1 S n A B L +Q −Q r a b E S Figura 2.29: Para hallar la capacidad del condensador, debemos calcular la diferencia de potencial entre sus placas V = VA − VB. Para ésto elegimos el camino L más sencillo, que es el radial. V = Z a b E dr donde se ha tenido en cuenta que el campo eléctrico es radial. E puede obtenerse en función de Q volviendo a aplicar el teorema de Gauss a S1. Q = ε0 Z S1 E ds ⇒ E = 1 4π ε0 Q r2 y la capacidad es C = Q V = 4π ε0 µ a b b − a ¶ 2-19. En un condensador real, el primer conductor no puede envolver totalmente al se- gundo puesto que, en caso contrario, este último no serı́a accesible. En la práctica,
- 100. 82 el espacio interior de un condensador tiene comunicación con el exterior mediante una abertura pequeña a través de la cual algunas lı́neas de campo acceden desde las cargas interiores a las exteriores, dándose el denominado efecto de bordes que, nor- malmente, hace que la capacidad real difiera algo de la que se calcuları́a suponiendo al condensador como ideal. Despreciando el efecto de bordes, calcule las capacidades de: a) Un condensador plano compuesto por dos placas metálicas de superficie S = a2 y separadas una distancia b << a. b) Un condensador cilı́ndrico compuesto por dos placas cilı́ndricas concéntricas de radios respectivos a y b y altura c, donde b − a << c. 1 - - + + a b L d V V 0 Figura 2.30: 2-20. En un tubo de rayos catódicos, figura 2.30, se forma un punto luminoso en el lu- gar de la pantalla sobre el que incide un fino haz de electrones. Dichos electrones son emitidos con velocidad despreciable y acelerados a través de una diferencia de potencial fija V0. Posteriormente son deflectados por un campo eléctrico, uniforme y perpendicular a la trayectoria inicial, que está producido por dos placas equipo- tenciales separadas por una distancia a y cuya longitud es b. Entre dichas placas se establece una diferencia de potencial V1. Si la distancia desde el centro de las placas deflectoras hasta la pantalla es L, halle la relación entre la distancia d a que se desvı́a el haz en la pantalla y el potencial de deflexión V1. Solución: La diferencia de potencial V0 comunica a los electrones una energı́a potencial negativa W = −e V0 al tiempo que los acelera convirtiendo esta energı́a en cinética e V0 = 1 2 m v2 0 ⇒ v0 = r 2e V0 m La figura 2.31 muestra la trayectoria de los electrones emitidos por el cañón desde que entran en la zona de las placas deflectoras, en (x =
- 101. 83 0, y = 0), y salen de ella, en el punto P, (x = b, yp), hasta que inciden en la pantalla en el punto P0, (x = L + b 2 , y = d). Placas x’=0 1 x=0 O’ y=a/2 y v P V=V y=d P’ x, x’ V=0 θ Pantalla 0 E x=b/2 x=b x’=b/2 x=L+b/2 x’=L Figura 2.31: Mientras los electrones se encuentran entre las placas, son acelerados uniformemente hacia arriba debido al campo que crea la diferencia de potencial V1 aplicada entre dichas placas. Suponemos que los efectos de bordes son despreciables, con lo que el campo es aproximadamente constante e igual a ~ E = − V1 a b y La aceleración resultante es ay = e E m Dadas las condiciones iniciales x = v0 t , y = 1 2 ay t2 De aquı́ se deduce que el electrón abandona la zona de placas en el punto P de coordenadas x = b , yp = 1 2 ay b2 v2 0
- 102. 84 y con una pendiente tang θ = µ d y d x ¶ x=b = ay b v2 0 A partir de P, la trayectoria del electrón es una recta que pasa por este punto con pendiente m = tang θ. Si desplazamos el origen de coordenadas al punto O0 de intersección de la recta anterior con el eje x, tendremos que x0 = x − b 2 , y = ay b v2 0 x0 y el impacto en la pantalla será en el punto P0 (x0 = L, y = d), con d = L b 2 a V1 V0 2-21. Por un conductor, que posee una densidad de electrones libres ρ y tiene dimen- siones transversales a × b, circula una corriente de intensidad I. Perpendicular- mente a esta corriente y a las caras, separadas entre sı́ por la distancia b, se aplica un campo magnético uniforme ~ B. Halle la diferencia de potencial Hall que aparece entre las caras que están separadas por la distancia a. El efecto Hall consiste esencialmente en la redistribución de cargas dentro de un conductor como consecuencia de la acción de la fuerza magnética de manera que, en equilibrio estacionario, la carga neta depositada en las paredes crea un campo eléctrico que contrarresta a la fuerza magnética. En un conductor sólo los electrones libres, los de la banda de conducción, pueden moverse a distancias arbitrarias a través del mismo. Solución: Según la figura 2.32 por el conductor circula una intensidad en la di- rección del eje y debida al arrastre con velocidad ~ u = −u b y de los electrones. Esta velocidad se expresa en función I como I = ~ j · ~ S = ρ u a b ⇒ u = I ρ a b Los electrones sufren una fuerza magnética ~ Fm = −e ~ u ∧ ~ B = e u B b x que los desplaza en la dirección b x y los acumula en la cara correspon- diente del conductor. En la cara opuesta se dejan al descubierto las
- 103. 85 F- b a x y z B I - + ------------------ V ++++++++++++++++++++++ h E h u Figura 2.32: cargas positivas de los núcleos atómicos del metal. Como consecuencia, en estado estacionario, se crea un campo eléctrico Hall tal que la fuerza eléctrica que actúa sobre los electrones contrarresta a la magnética. ~ Fe = −e ~ Eh = −~ Fm ⇒ Eh = I B a b ρ por lo que la diferencia de potencial Hall, su circulación a lo ancho del conductor, es Vh = I B b ρ Este principio constituye el fundamento de la medida del campo magnético mediante las sondas Hall. 2-22. Demuestre que la interacción entre espiras de corriente estacionaria cumple el principio de acción y reacción. Sugerencia: desarrolle el triple producto vectorial del integrando. Solución: 2 r dl dl I1 I2 B dF12 1 2 1 Figura 2.33:
- 104. 86 La fuerza que la espira (1) ejerce sobre la (2) es ~ F12 = K I1 I2 I 1 I 2 ~ dl2 ∧ (~ dl1 ∧ ~ r) r3 Desarrollando el triple producto, ~ dl2 ∧ (~ dl1 ∧ ~ r) = ~ dl1 (~ dl1 · ~ r) − ~ r (~ dl1 · ~ dl2) La integral correspondiente al primer término puede escribirse de la forma I 1 I 2 ~ dl1 (~ dl2 · ~ r) r3 = I 1 ~ dl1 I 2 (~ dl2 · ~ r) r3 | {z } I = 0 ya que I = I 2 dr r2 = 0 con lo que ~ F12 = −K I1 I2 I 1 I 2 ~ r (~ dl1 · ~ dl2) r3 = −~ F21 porque para calcular ~ F21 sólo es necesario cambiar ~ r por −~ r en la integral anterior. 2-23. Calcule el campo magnético producido por una espira circular de radio a, recorrida por una corriente I, en cualquier punto de su eje: a) Por integración directa. b) Como el limite de una poligonal regular de 2n lados. 2-24. Como en el caso de las distribuciones de carga estática, las distribu- ciones de corrientes estacionarias producen campos magnéticos que, a distancias muy lejanas, son de tipo dipolar y pueden expresarse en función del momento dipolar magnético ~ m. Calcule el potencial vector y el campo magnético dipolar producido por una espira circular de radio a, recorrida por una intensidad I. En este caso ~ m = I S ~ n, siendo S la superficie plana de la espira y ~ n el vector unitario normal al plano de la misma. Solución: Sin pérdida de generalidad, como se muestra en la figura 2.34a, el po- tencial puede calcularse en cualquier plano ϕ = cte, en particular el yz.
- 105. 87 A a P’ P* dl’ x y z (b) a dl’ α θ x y z P P’ r R ’ (a) ϕ dl* Figura 2.34: ~ A = K I I ~ dl 0 R En la figura 2.34b puede verse que el potencial vector sólo tiene compo- nente Aϕ = Ax, dado que las componentes radiales se anulan sumando las aportaciones de ~ dl0 y de ~ dl∗. Luego, teniendo en cuenta que ~ dl 0 = a dϕ b ϕ0 b ϕ0 = −sen ϕ0 b x + cos ϕ0 b y y Ax = −K I a I sen ϕ0 dϕ0 R Esta integral resulta ser de tipo elı́ptico; sin solución analı́tica cerrada. Sin embargo, se simplifica considerablemente para puntos lejanos tales que β ≡ a/r ¿ 1. Bajo este supuesto ~ R = ~ r − ~ a ⇒ 1 R = 1 r p 1 + β2 − 2β cosα ' 1 r (1 + β sen θ senϕ0 ) puesto que cos α = b a · b r. De esto se deduce que
- 106. 88 Ax = −K I a r µI sen ϕ0 dϕ0 + a senθ r I sen2 ϕ0 dϕ0 ¶ El resultado puede escribirse de la forma general ~ Ad = −K I π a2 r2 sen θ y, hallando el rotacional ~ Bd = −K m r3 (2cos θ b r + sen θ b θ) donde I π a2 = I S = m, es el módulo del momento dipolar magnético. Este campo tiene la misma estructura que el campo eléctrico dipolar, por lo que sus lı́neas también son análogas. 2-25. Halle el campo magnético producido por un hilo recto e indefinido, recorrido por una intensidad I. Haga el cálculo por a) Integración directa. b) Aplicando la ley de Ampère. c) A través del potencial vector. Solución: −z dz z z=0 dA dB r θ ρ Figura 2.35: trataremos las partes (a) y (c) a) El campo magnético del hilo es
- 107. 89 ~ B = µ0 I 4π Z ∞ −∞ ~ dl ∧ ~ r r3 donde, según se muestra en la figura 2.35, ~ B = Bϕ b ϕ Expresaremos esta integral en función de θ: ~ dl ∧ ~ r = dz sen θ b ϕ , r = ρ sen θ , z = − ρ tang θ De ésto se deduce que dz = ρ dθ sen2 θ y Bϕ = µ0 I 4πρ Z π 0 sen θ dθ = µ0 I 2πρ c) Como veremos más adelante, el potencial vector de un hilo de lon- gitud infinita es infinito, por lo que no podrı́amos obtener el campo mediante su derivación. Empezaremos calculando el potencial producido por un hilo de longitud finita L = 2l , − l ≤ z ≤ l. Como se muestra en la figura ~ A = Az b z y, teniendo en cuenta que r = p ρ2 + z2 Az = µ0 I 4π Z l −l dz p ρ2 + z2 = µ0 I 4π ln " 1 + p (ρ/l)2 + 1 −1 + p (ρ/l)2 + 1 # Es evidente que A → ∞ si l → ∞. Pero, fı́sicamente, un hilo de longitud ’infinita’ es un hilo finito observado desde una distancia ρ ¿ l. Desar- rollando la expresión anterior en función de ρ/l y quedándonos con el primer término significativo, tenemos que 15 Az '= µ0 I 4π ln · 1 + 4l2 ρ2 ¸ 15 √ 1 + x ' 1 + 1 2 x para x < 1.
- 108. 90 Puesto que Az = f(ρ) ~ B = ∇ ∧ ~ A = − ∂ Az ∂ ρ b ϕ = µ0 I 2π ρ µ 4(l/ρ)2 1 + 4(l/ρ)2 ¶ b ϕ Solución que, en el lı́mite l/ρ → ∞, tiende a la dada en el apartado (a). 2-26. Dados dos hilos rectos, indefinidos, paralelos entre sı́ y recorridos por intensidades iguales a I, halle: a) Campo magnético producido en cualquier punto del espacio. b) Fuerza ejercida por cualquiera de ellos sobre la unidad de longitud del otro. Determine la condición necesaria para que la fuerza sea de atracción o de repulsión. I1 I2 -a/2 y^ a/2 y ^ y ^ x ^ z ^ B B d l d B z ^ (a) (b) 2 1 P ρ ρ ρ I I’ d F ρ ^ 2 1 a Figura 2.36: Solucion : a) Según el problema 2-25, el campo producido por un hilo recto y recorrido por una intensidad I es ~ B = µ0 I 2π ρ b ϕ Para hallar el campo que producen los dos hilos en cualquier punto del espacio, los situaremos, como se muestra en la figura 2.36-a, en la
- 109. 91 dirección b z y en las posiciones ±a 2 b y. Superponiendo en P los campos producidos por cada uno de los hilos ~ B = ~ B1 + ~ B2 = µ0 I 2π µ 1 ρ1 b ϕ1 + 1 ρ2 b ϕ2 ¶ Teniendo en cuenta que b ϕ = b z∧b ρ ~ B = µ0 I 2π b z∧ µ 1 ρ2 1 ~ ρ1 + 1 ρ2 2 ~ ρ2 ¶ donde ~ ρ1 = ~ ρ + 1 2 a b y , ~ ρ2 = ~ ρ − 1 2 a b y , ~ ρ = x b x + y b y b) De acuerdo con la figura 2.36-b, la fuerza que la corriente que pro- duce el campo ejerce sobre la unidad de longitud de la corriente testigo es: d~ F dl = I d~ l ∧ ~ B = µ0 I I0 2π a b z ∧ b ϕ = − µ0 2πρ I I0 b ρ atractiva para corrientes en el mismo sentido y repulsivas para corrien- tes en sentido contrario. 2-27. Dado un haz de electrones, de sección circular, de radio a y densidad de partı́culas n0, que se mueve a lo largo del eje de la distribución con velocidad v0, halle: a) Campo eléctrico y magnético en cualquier punto del espacio. b) Fuerza electromagnética que actúa sobre cada electrón. c) Condición que habrı́a de cumplirse para que el haz fuese estable desde el punto de vista dinámico. Discuta el resultado. 2-28. Los carretes de Helmholtz pueden considerarse como formados por dos espiras coaxiales, de radio a, separadas una distancia 2b de for- ma que el campo magnético que producen en su eje tiene sus dos primeras derivadas, en el punto medio entre las dos y en dirección axial, iguales a cero. Halle la relación entre las corrientes que recorren a cada una de las espiras, su dirección relativa, ası́ como la razón a b , necesarias para que se cumplan las condi- ciones anteriores. 2-29. El mismo tipo de campo producido por los carretes de Helmholtz puede producirse con dos espiras cuadradas de lado a. a) Halle el campo producido por una espira cuadrada, recorrida por una inten- sidad I, en cualquier punto del espacio.
- 110. 92 b) Si dos espiras se situan como en el problema anterior, determine la relación a b para que el campo cumpla las mismas condiciones que los carretes de Helmholtz. c) Dibuje las lı́neas de campo en cada caso. Solución: Calcularemos el campo de una espira como la representada en la figura 2.37. ~ B = K Z L ~ dl 0 ∧ ~ R R3 donde K = µ0 I 4π , ~ R = ~ r − ~ r 0 a/2 R r r ’ 3 4 1 2 y z x -a/2 -a/2 a/2 Figura 2.37: Empezaremos calculando el campo creado por un segmento, como el (2), orientado en la dirección del eje x, que comienza en x1, termina en x2 y está situado a la distancia y0 de dicho eje. En este caso ~ R = {x − x 0 , y − y0, z} , ~ dl 0 = {dx 0 , 0, 0} Completaremos el problema con la ayuda de Mathematica.
- 111. 93 Programa Mathematica carretes − Helmholtz.nb: Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; Off[General :: ”spell”]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; Campo de una espira: Calculamos el campo producido por un segmento orientado en la dirección el eje x Rx = {x − xp, y − y0, z}; mRx = √ Rx.Rx; BX = {0, −z, y − y0} Z 1 mRx3 dxp; BX = (BX/.xp− > x2) − (BX/.xp− > x1); De forma análoga calculamos el campo producido por un segmento orientado en la dirección el eje y Ry = {x − x0, y − yp, z}; mRy = p Ry.Ry; BY = {z, 0, −x + x0} Z 1 mRy3 dyp; BY = (BY/.yp− > y2) − (BY/.yp− > y1); Calculamos el campo total de la espira producido en un punto cualquiera partic- ularizando los resultados anteriores para cada uno de los segmentos de la espira con a = 1. B2 = BX/.{x1 → 1 2 , x2 → − 1 2 , y0 → 1 2 }; B4 = BX/.{x1 → − 1 2 , x2 → 1 2 , y0 → − 1 2 }; B1 = BY/.{y1 → − 1 2 , y2 → 1 2 , x0 → 1 2 };
- 112. 94 B3 = BY/.{y1 → 1 2 , y2 → − 1 2 , x0 → − 1 2 }; Be = B1 + B2 + B3 + B4; Representamos al campo en el plano x = 0 Byz = {Be[[2]], Be[[3]]}/.x → 0; Primero generamos un gráfico de flechas sin mostrarlo. << Graphics‘PlotField‘ grcamp = PlotVectorField[Byz, {y, −1, 1}, {z, −1, 1}, PlotPoints → 9, DisplayFunction → Identity]; A continuación dibujamos la posición de la espira en dicho plano. puntose = {{−0.5 , 0}, {0.5 , 0}}; espira = Graphics[{PointSize[.04], RGBColor[0, 0, 1], Point/@puntose}]; Por fı́n, mostramos conjuntamente estas dos gráficas. Show[grcamp, espira, DisplayFunction → $DisplayFunction]; En la figura 2.38 se ve como las lı́neas de campo rodean a la espira. Campo de dos espiras situadas en z = ± d/2: Be1 = Be/.z → (z − d 2 ); Be2 = Be/.z → (z + d 2 ); Bc = Be1 + Be2; Calculamos los campos producidos por cada una de las espiras, Be1z y Be2z, y por el conjunto Bcz, en el eje z. Be1zv = Be1/.{x → 0, y → 0};
- 113. 95 Figura 2.38: Be1z = Be1zv[[3]]; Be2zv = Be2/.{x → 0, y → 0}; Be2z = Be2zv[[3]]; Bczv = Bc/.{x → 0, y → 0}; Bcz = Bczv[[3]]; Carretes de Helmholtz: Calculamos la distancia d0 óptima, tal que su derivada segunda es nula en el origen. D2B = ∂z,z Bcz/.z → 0; Por medio de una gráfica de esta derivada en función de d, determinamos aprox- imadamente el valor d0 Plot[D2B, {d, 0.5, 1.5}]; y lo establecemos con mayor precisión por medio de la orden FindRoot d0v = FindRoot[D2B == 0, {d, 0.5}];
- 114. 96 d0 = d/.d0v Campos en el eje z: Procedemos a la representación de los campos en el eje z. Substituimos en la expresión de los campos d → d0. Bcz0 = Bcz/.d → d0; Be1z0 = Be1z/.d → d0; Be2z0 = Be2z/.d → d0; Plot[{Bcz0, Be1z0, Be2z0, 0}, {z, −0.6 d0, 0.6 d0}, AxesOrigin → {0, 0}, GridLines → {{− d0 2 , d0 2 }, None}, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[0, 0, 1]}]; -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 2.5 5 7.5 10 12.5 15 Figura 2.39: En la gráfica 2.39 se comprueba que, dada la simetrı́a del problema, la primera derivada del campo es nula. En la zona central el campo varı́a suavemente. A continuación se determina la variación relativa del campo en el intervalo 0 ≤ z ≤ d0 4 varrelativa = (Bcz0/.z → 0) − (Bcz0/.z → d0 4 ) Bcz0/. z → 0 Representación del campo en la sección x = 0: Bcyz0 = {Bc[[2]], Bc[[3]]}/.{x → 0, d → d0}; Generamos un gráfico de flechas
- 115. 97 grcampc = PlotVectorField[Bcyz0, {y, −1, 1}, {z, −1, 1}, PlotPoints → 11, DisplayFunction → Identity]; marcamos la posición de los carretes puntosc = {{−0.5 , −0.5d0}, {0.5 , −0.5d0}, {−0.5 , 0.5d0}, {0.5 , 0.5d0}}; carretesc = Graphics[{PointSize[.04], RGBColor[0, 0, 1], Point/@puntosc}]; y dibujamos las lı́neas de campo haciendo uso del método de Heun. mBcyz0 = p Bcyz0.Bcyz0; Bunit = Bcyz0 mBcyz0 ; n = 100; ∆ = d0 n ; y0 = −0.45; z0 = 0; grlinea = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}; Do[{p0 = {y0, z0}; linea = {p0}; kk = 0; While[(Abs[p0[[1]]] <= 1)&&(Abs[p0[[2]]] <= 1)&&(kk <= 5n), {kk = kk + 1, p0ini = p0, Bunitini = Bunit/.{y → p0[[1]], z → p0[[2]]}, p0 = p0ini + ∆ ∗ Bunitini, Bunitfin = Bunit/.{y → p0[[1]], z → p0[[2]]}, p0 = p0ini + ∆ ∗ 1 2 (Bunitini + Bunitfin), linea = Append[linea, p0]}], grlinea[[i]] = ListPlot[linea, PlotJoined → True, PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction → Identity], y0 = y0 + 0.1}, {i, 1, 10}]; Finalmente representamos conjuntamente todas estas gráficas.
- 116. 98 -1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1 Figura 2.40: Show[grcampc, carretesc, grlinea, DisplayFunction → $DisplayFunction, Axes → True]; En la figura 2.40 se observa que, en la zona central de los carretes, el campo es muy uniforme. 2-30. Halle el campo magnético producido en el centro de su eje por una espira helicoidal, recorrida por una intensidad I, de radio a, paso constante b y número par de vueltas N. 2-31. Cuando en una espira como la del problema anterior el número de vueltas por unidad de longitud n = 1 b >> 1 a, es decir, el paso b es mucho menor que el radio a, a la espira se le denomina Solenoide recto de sección circular. Cada una de las vueltas es en la practica casi cerrada y, en consecuencia, se le considera como espira; se dice que el solenoide tiene n espiras por unidad de longitud. De forma análoga se definen solenoides de formas y estructuras más complejas. Halle: a) El campo magnético producido por un solenoide recto, de radio a, longitud L y número de espiras N, efectuando el lı́mite a >> b sobre el resultado del problema anterior. b) El campo magnético producido en cualquier punto del espacio por un solenoide recto, de radio a, longitud infinita y n espiras por unidad de longi- tud recorridas por una intensidad I. Solución: Trataremos el apartado (b) b)
- 117. 99 S ∆ z=1 1 3 4 2 ρ n I a 2 j s z 1 L L L Figura 2.41: En la figura 2.41 se representa al solenoide. Si las espiras están arrol- ladas a derechas alrededor del eje z, el flujo de corriente a lo largo del eje z es I. Es decir, si cortamos el carrete por un plano z = cte, el flujo es I. Por otra parte, si cortamos por un plano ϕ = cte, el flujo por unidad de longitud ∆z es n I. Para n suficientemente grande, podemos representar estos flujos por medio de densidades superficiales de corriente ~ s = ~ sϕ + ~ sz , ~ sϕ = n I b ϕ , ~ sz = I 2π a Si 2π a n À 1 ⇒ ~ jsz À ~ sϕ Esta condición permite despreciar, en muchos casos prácticos, la con- tribución de la corriente azimutal. Pero, como veremos, ambas con- tribuciones no son directamente comparables porque la longitudinal se produce en el interior del solenoide y la azimutal en el exterior. Normal- mente el campo exterior es un subproducto del campo interno fuerte que se quiere crear. Es, por lo tanto, una contaminación que será posi- ble ignorar sólo si su efecto sobre otros instrumentos, o estructuras sensibles, es despreciable. Para el cálculo de los campos, tendremos en cuenta la simetrı́a radial de las fuentes, por lo que ~ B = ~ B(ρ) De acuerdo con esto, ∂ ∂ ϕ → 0 , ∂ ∂ z → 0. Empezaremos investigando la estructura del campo fuera de la super- ficie del solenoide, es decir, para ρ 6= a. Expresando el rotacional en coordenadas cilı́ndricas para estas regiones
- 118. 100 ∇ ∧ ~ B = − ∂ Bz ∂ ρ b ϕ + 1 ρ ∂ (ρ Bϕ) ∂ ρ b z = ~ 0 de donde se deduce que Bz = cte , Bϕ = cte ρ Aplicando la ley de Ampère al camino L1, tanto para ρ > a como para ρ < a, se obtienen las componentes azimutales del campo. Bϕexterno = µ0 I 2π ρ , ρ > a y Bϕinterno = 0 , ρ < a Dado que H S ~ B · ~ ds = 0, tomando como S a la superficie de la caja de pastillas de la figura y teniendo en cuenta que Bz = cte, se deduce que Bρ = 0 Por último, calcularemos la componente z del campo. La exterior debe ser nula porque, en caso contrario, la energı́a almacenada en el solenoide por unidad de longitud ∆z serı́a infinita Bz es la única componente del campo interno. Para calcularla aplicare- mos el teorema de Ampère al camino L2 I 1 ~ B · ~ dl = µ0 n I ∆z = Bz ∆z puesto que el único tramo de L que contribuye a la integral es el (1). Resumiendo, el campo producido por el solenoide ideal es ~ B = µ0 n I b z para ρ < a ~ B = µ0 I 2π ρ b ϕ para ρ > a 2-32. Se define como coeficiente de inducción mutua Mab = Φa( ~ Bb) Ib entre dos espiras a y b a la relación existente entre el flujo que corta una de ellas, debido al campo producido por la otra, y la intensidad que circula por la espira productora del campo. Según se demuestra en otro lugar, éste coeficiente tiene carácter simétrico. En particular, el coeficiente de autoinducción de una espira a se define como L = Φa( ~ Ba) Ia .
- 119. 101 a) Halle M para un hilo recto indefinido y una espira coplanaria cuadrada, cuyos lados miden a y tal que el lado más próximo al hilo es paralelo y está situado a distancia a del mismo. b) Halle M entre una espira de radio a y otra pequeña de radio b << a cuyo centro se encuentra sobre el eje de la primera pero cuya posición y orientación es arbitraria. c) Halle L para un solenoide recto de sección circular. 2-33. Halle el campo magnético en el interior de un solenoide toroidal, de sección cuadra- da a×a, radio interior b, numero total de espiras N y recorrido por una intensidad I. ¿ Cuál serı́a su autoinducción? Suponga que 4 a n À 1 y que, por lo tanto, el campo externo es despreciable (véase el problema 2-31) 2-34. Halle el campo electromagnético producido por las siguientes distribuciones de car- ga con simetrı́a axial y que giran con velocidad ω alrededor de su eje en un punto cualquiera del mismo. a) Un disco de radio a con densidad superficial de carga ρs. b) Una superficie esférica de radio a con una densidad superficial de carga ρ = ρ0 cos θ. 2-35. Halle el campo magnético producido por un cable coaxial como el de la figura 2.42, recorrido por una intensidad I uniformemente distribuida a través de las secciones del conductor interno y del externo, El conductor interno tiene radio a y el externo, radio interior b y exterior c. I I Figura 2.42:
- 120. 102
- 121. Capı́tulo 3 Fuentes del campo dinámico: Leyes de Maxwell En este capı́tulo se completan las fuentes del campo dinámico, variable con el tiem- po, las cuales se resumen en las ecuaciones de Maxwell. Al considerar corrientes no estacionarias, ∂ ρ ∂ t 6= 0 ⇒ ρ = ρ(~ r, t), ~ = ~ (~ r, t), veremos que la derivada temporal del campo magnético es fuente vectorial del eléctrico, ley de Faraday, y la del campo eléctrico, corriente de desplazamiento del vacı́o, fuente vectorial del campo magnético. Estas fuentes acoplan a ambos campos poniendo en evidencia que se trata, en realidad, de un único campo electromagnético. Al mismo tiempo hacen posible la existencia de las ondas electromagnéticas. 3.1. Ley de inducción de Faraday El fenómeno de la inducción electromagnética fue descubierto de forma independi- ente por Faraday y por Henry. Como se apunta en la introducción histórica, Faraday encuentra este efecto cuando busca conscientemente la analogı́a, entre corrientes, del fenómeno de inducción electrostática. Aunque dicha analogı́a no existe, en sentido lit- eral, las experiencias de Faraday ponen de manifiesto que en una espira cerrada puede inducirse una corriente haciendo variar el flujo magnético cortado por la misma y que ésta es tanto más notable cuanto mayor es la rapidez de dicha variación. Faraday ex- perimenta con campos producidos por corrientes y por imanes, comprobando que sus efectos son idénticos. Aunque, dentro del marco ’galileano’ establecido para este texto, la formulación tradicional de la ley de inducción es aplicable en un ámbito más amplio, nosotros em- pezaremos limitando su enunciado al caso en el que el cambio de flujo es debido a la variación explı́cita, local, del campo magnético con el tiempo y no al movimiento, o deformación, de la propia espira. Acto seguido, comprobaremos que, en conjunción con las leyes de transformación de los campos, éste enunciado puede extenderse para el caso de espiras móviles. Fijaremos nuestra atención en una experiencia como la representada en la figura 3.1, en la que colocamos una espira L0, en reposo con respecto al sistema inercial S del 103
- 122. 104 x ^ z ^ 0 L 0 S B(t) Φ( ) n B(t) y S ^ Figura 3.1: laboratorio, en presencia de un campo magnético que varı́a con el tiempo. Según Faraday, en la espira detectarı́amos el paso de una corriente, a menos que en ella interpongamos una resistencia infinita. En este último caso, a lo largo de L medirı́amos lo que más adelante definiremos como fuerza electromotriz. Es evidente que si los portadores de carga se mueven es porque sienten sobre sı́ la presencia de un campo eléctrico, o fuerza por unidad de carga, que las impulsa y que, si sienten dicho campo, es porque éste existe con independencia de que una carga esté disponible para dar testimonio. Las espiras y las cargas que en ellas residen son, por lo tanto, meros testigos de la existencia del campo. La detección de una corriente en una espira cerrada indica que estos campos no son conservativos. Enunciamos, pués, la ley de inducción de Faraday para caminos cerrados y en reposo L0. Este camino puede coincidir o no con una espira y podrá ser trazado arbitrariamente en el espacio. I L0 ~ E · d~ l = − d dt Z S0 ~ B · d~ s E0 = − d dt ΦS0 ( ~ B) (3.1) donde E0 ≡ I L0 ~ E · d~ l = fuerza electromotriz del camino L0 y ΦS0 ( ~ B) = Z S0 ~ B · d~ s es el flujo del campo magnético a través de una superficie arbitraria que se apoya sobre L0. La fuerza electromotrı́z se expresa en voltios y el flujo en webers. La ley de inducción de Faraday se leerá, por lo tanto, diciendo que ’ sobre cualquier camino L0 se mide una fuerza electromotriz proporcional y de signo contrario a la razón temporal de cambio del flujo magnético cortado por la misma’. En el sistema MKS, la contante de proporcionalidad resulta igual a la unidad 1. 1 El signo negativo del segundo miembro está relacionado con la llamada ley de Lenz. Según ésta, la
- 123. 105 Para obtener la expresión diferencial de esta ley haremos uso del teorema del rota- cional y tendremos en cuenta que, al introducir el operador d d t dentro de la integral sobre una superficie estática, éste debe ser substituido por el de derivación parcial ∂ ∂ t ( volveremos sobre esta cuestión cuando se consideren superficies en movimiento). E0 = I L0 ~ E · d~ l = Z S0 ∇∧ ~ E · d~ s = − Z S0 ∂ ~ B ∂t · d~ s (3.2) y, como L0 y S0 son arbitrarios, los dos integrandos de las integrales de superficie deben ser iguales, ∇∧ ~ E = − ∂ ~ B ∂t (3.3) Ésta es la forma diferencial de la ley de inducción de Faraday y nos dice que el cam- po eléctrico tiene fuentes vectoriales. Las variaciones temporales del campo magnético aparecerán como las únicas fuentes vectoriales de ~ E, por lo que la ley anterior tiene ya su forma definitiva 2. Por primera vez en nuestra exposición nos encontramos con un término explı́cito de acoplamiento entre los campos. Más adelante veremos que esta interrelación es recı́proca. También hemos comprobado que la existencia de una fuerza electromotriz en circuito cerrado implica la existencia de campos eléctricos de rotacional no nulo, es decir, no conservativos. Ası́, si descomponemos arbitrariamente al campo eléctrico total en dos sumandos, de forma que uno, ~ EC, sea conservativo y otro, ~ ER, rotacional ~ E = ~ EC + ~ ER , ∇∧ ~ EC = 0 , ∇∧ ~ ER 6= 0 E0 = I L0 ~ ER · d~ l (3.4) ya que H L0 ~ EC · d~ l = 0. Esto permite calcular la fuerza electromotriz haciendo uso exclusivo del sumando no conservativo, es decir, del campo rotacional. En el segundo miembro de la expresión 3.1 de la ley de inducción aparece el flujo de ~ B Φ( ~ B) = Z S0 ~ B · d~ s que no depende de la superficie que utilicemos para integrar porque ~ B = ∇∧ ~ A y Φ( ~ B) = Z L0 ~ A · d~ l (3.5) luego Φ( ~ B) es sólo función de L0. fuerza electromotriz inducida se opone, a través de los campos producidos por las corriente inducidas en los conductores presentes, a la variación del flujo. 2 Existen otras fuentes de fuerza electromotriz pero no tienen procedencia electromagnética clásica. Son de tipo mecánico, quı́mico, etc..
- 124. 106 S01 S02 L 0 n 2 n n 1 n Figura 3.2: Esto mismo podemos verlo de otra manera apoyándonos en la figura 3.2. El volumen V0 está limitado por S0 = S01 + S02 cuya normal hacia afuera es ~ n = ~ n2 = −~ n1. Dado que ∇ · ~ B = 0 Z V0 ∇ · ~ B dv = Z S0 ~ B · d~ s = Z S02 ~ B · d~ s2 − Z S01 ~ B · d~ s1 = 0 ⇒ ΦS02 = ΦS01 ⇒ Φ( ~ B) es independiente de S0 3.1.1. Ley de Faraday para caminos en movimiento Además de la experiencia descrita en el apartado anterior, otra serie de experiencias, como las que se representan esquemáticamente en la figura 3.3, muestran que también se detecta corriente en espiras que se mueven en campos independientes del tiempo. B( r ) S(t) 1 2 B 0 v S(t) B 0 ω S(t) (a) (b) (c) v Figura 3.3: En la figura 3.3a, que representa al rotor de un motor o generador, una espira rı́gida e indeformable gira en presencia de un campo constante y homogéneo. En 3.3b, una espira compuesta por una horquilla conductora (1) y un segmento móvil (2), que se desliza en contacto eléctrico con la horquilla, se deforma de manera que la superficie S(t) es función del tiempo. Por último, la espira de la figura 3.3c se traslada sin deformarse en
- 125. 107 presencia de un campo magnético no homogéneo. En estos casos el flujo cortado varı́a con el tiempo debido al movimiento, con o sin deformación, de la espira y sobre ella puede también detectarse una fuerza electromotriz. El enunciado tradicional es válido para caminos con movimiento no relativista, es decir, tales que v ¿ c , c → ∞. La fuerza electromotriz resultante tendrá un origen mixto en las variaciones explı́citas del campo y en el movimiento de cada elemento de la espira. Para medir las fuerzas electromotrices, sobre caminos L(t), y los flujos a través de superficies S(t), es necesario tener en cuenta que los elementos de lı́nea y de superficie sobre los que se miden los campos están en movimiento. Dentro del marco galileano, estos campos, ~ E 0 y ~ B 0, vienen dados por 1.27 y 1.28 ~ E 0 = ~ E + ~ v∧ ~ B ~ B 0 = ~ B en función de los campos ~ E y ~ B que se miden en el sistema S del laboratorio. S(t) S(t+ t) n(t) n n(t+ t) d l lat ∆ ∆ v t ∆ L(t+ t) L(t) ∆ Slat Figura 3.4: La figura 3.4, muestra un volumen V(t) limitado por las superficies S(t), Slat y S(t + ∆t). La primera es una superficie arbitraria que se apoya en el camino L(t) en el instante t, la última es otra superficie arbitraria apoyada en la curva que coincidirá con el mismo camino en t + ∆t y Slat es la superficie lateral que culmina el cierre 3. La fuerza electromotriz inducida sobre un camino en movimiento L(t) será, en el instante t EL(t) = I L(t) ~ E 0 · d~ l = I L(t) ~ E · d~ l | {z } =E0 + I L(t) ~ v∧ ~ B · d~ l | {z } =Em (3.6) 3 La superficie −S(t) coincide con S(t) pero su normal tiene sentido opuesto a la de esta última ya que debe estar orientada hacia afuera del volumen en cuestión.
- 126. 108 E0 es la fuerza electromotriz estática, la que se mide en el sistema S sobre la curva que coincide con L(t) en el instante t, y Em la fuerza electromotriz de movimiento, debida a la deformación del camino a lo largo del tiempo. Haciendo uso de las propiedades del producto mixto, esta última puede escribirse como Em(t) = I L(t) ~ B(t) · d~ l∧~ v (3.7) o, según la figura 3.4 Em(t) = lı́m ∆t→0 1 ∆t I L(t) ~ B(t) · d~ slat (3.8) donde d~ slat = (d~ l∧~ v)∆t por lo que esta integración sobre L equivale a la integración sobre Slat Para encontrar una expresión conveniente de la ley de inducción para caminos en movimiento, aplicaremos el teorema de la divergencia al volumen V(t) 4. Ahora bién, ∇ · ~ B(~ r, t) = 0 y el flujo total de ~ B(~ r, t) a través de una superficie cerrada es nulo, por lo que 5 Ã − Z S(t) + Z S(t+∆t) + Z Slat ! ~ B(t) · d~ s = 0 Substituyendo R Slat en 3.8 Em(t) = − lı́m ∆t→0 1 ∆t Z S(t+∆t) ~ B(t) · d~ s | {z } (A) − Z S(t) ~ B(t) · d~ s Desarrollando en serie ~ B(t) en la integral (A) ~ B(t) = ~ B(t + ∆t) − ∂ ~ B ∂t ∆t y Em(t) = lı́m ∆t→0 Z S(t+∆t) ∂ ~ B(t) ∂ t · d~ s | {z } (B) − lı́m ∆t→0 1 ∆t (Z S(t+∆t) ~ B(t + ∆t) · d~ s − Z S(t) ~ B(t) · d~ s ) | {z } (C) 4 Téngase en cuenta que, aunque parte de la superficie que limita a este volumen es S(t + ∆t), las operaciones las hacemos en el instante t. 5 El signo negativo en la primera integral se debe a que al aplicar el teorema de la divergencia hay que integrar soble −S(t), cuya normal es −~ n(t).
- 127. 109 De acuerdo con 3.2, (B) = −E0 6 y, por otra parte, (C) es la derivada total del flujo de ~ B(t) cortado por el camino L(t). Substituyendo en 3.6 se obtiene la ley de inducción de Faraday para caminos en movimiento EL(t) = I L(t) ~ E 0 (t) · d~ l = − d dt Z S(t) ~ B(t) · d~ s EL(t) = − d dt Φ( ~ B)(t) (3.9) El campo eléctrico es medido en los sistemas solidarios con cada punto de L(t), mientras que el campo magnético puede medirse en el sistema del laboratorio. Esta forma de la ley es de gran utilidad para la resolución de muchos problemas prácticos en los que el movimiento de las espiras suele ser muy lento con respecto a la velocidad de la luz. 3.2. Corriente de desplazamiento en el vacı́o Hemos completado las ecuaciones de Maxwell, salvo la correspondiente a la ley de Ampère, en la que sólo aparece como fuente la densidad de corriente de carga ~ j ∇∧ ~ B = µ0 ~ (3.10) Esta ecuación no tiene validez general, como puede comprobarse aplicando la diver- gencia a ambos miembros de la misma. ∇ · (∇∧ ~ B)’ = ’µ0∇ ·~ j 6= 0 el signo de igualdad se pone entre comillas porque, mientras que ∇ · (∇ ∧ ~ a) ≡ 0, la divergencia de la densidad de corriente sólo es nula cuando ésta es estacionaria. En general ∇ ·~ j = − ∂ρ ∂t (3.11) Es evidente que, para que el segundo miembro de 3.10 sea también solenoidal, habrá que añadirle, mediante postulado, un término corrector con las mismas dimen- siones. Aunque Maxwell introdujo dicho término como consecuencia de postulados pre- vios sobre las propiedades mecánicas del Ether, aquı́ lo introduciremos de forma más directa. Si bien ~ j no es solenoidal, teniendo en cuenta que ∇ · ~ E = ρ ε0 6 Compare con 3.1 y tenga en cuenta que lı́m∆t→0 S(t + ∆t) = S(t).
- 128. 110 podemos escribir 3.11 de la forma, ∇ · Ã ~ j + ε0 ∂ ~ E ∂t ! = 0 es decir, si añadimos a ~ j el término ~ jD0 = ε0 ∂ ~ E ∂t (3.12) que llamaremos corriente de desplazamiento del vacı́o, obtenemos una corriente total, ~ jT = ~ j +~ jD0 , que siempre será estacionaria (solenoidal): ∇ ·~ jT ≡ 0. Aunque ésta no es la única forma de obtener los resultados que buscamos, postulamos como fuentes de ~ B, en el vacı́o ∇ ∧ ~ B = µ0 Ã ~ j + ε0 ∂ ~ E ∂t ! (3.13) Esta corriente de desplazamiento completa el acoplo entre el campo eléctrico y el campo magnético e implica la existencia de ondas electromagnéticas que se propagan en el vacı́o. Como es aparente, no comporta desplazamiento de carga alguno. Su nombre procede del modelo de Ether utilizado inicialmente por Maxwell. 3.3. Potenciales del campo electromagnético Una vez que se ha completado la búsqueda de las fuentes del campo electromagnético, analizaremos las relaciones generales entre este último y sus potenciales [Levich-I]. Por lo pronto, hemos visto que, en general, el campo magnético es solenoidal y el eléctrico no conservativo. Según el terorema de Helmholtz, el campo magnético, por ser solenoidal, puede derivarse de un potencial vector ∇ · ~ B = 0 ⇒ ~ B = ∇∧ ~ A ~ A es el potencial magnético vector. Por otra parte ∇∧ ~ E = − ∂ ~ B ∂t ⇒ ∇∧ Ã ~ E + ∂ ~ A ∂t ! = 0 ⇒ ~ E + ∂ ~ A ∂t = −∇V lo que quiere decir que, si bien ~ E no es conservativo, sı́ lo es ~ E + ∂ ~ A ∂t . V es el potencial eléctrico escalar. 7. Las relaciones entre los potenciales y los campo son, pués, ~ E = −∇V − ∂ ~ A ∂t (3.14) ~ B = ∇∧ ~ A (3.15) 7 El potencial electrostático es un caso particular del eléctrico escalar.
- 129. 111 Como consecuencia de lo anterior, el campo electromagnético puede derivarse, a través de estas ecuaciones, de un potencial escalar V y uno vectorial ~ A. No es necesario utilizar un potencial vector independiente para ~ E porque ~ E y ~ B están acoplados y constituyen en esencia un solo campo. Ahora sı́ disponemos de un criterio para descomponer significativamente al campo eléctrico en una componente conservativa y otra rotacional ~ E(t) = ~ EE(t) + ~ EM (t) tales que, ~ EE(t) = −∇V (t) y ~ EM (t) = − ∂ ~ A(t) ∂t ~ EE(t) es un campo conservativo de ’tipo electrostático’, pero no estático, y ~ EM (t) es un campo no conservativo asociado a la existencia de campos magnéticos variables. Ya hemos apuntado que, dado que ~ E y ~ B se deducen de los potenciales a través de operaciones diferenciales, existe un cierto grado de indeterminación en estos últimos. Para calcular ~ B, son equivalentes todos los potenciales ~ A 0 tales que ~ A = ~ A 0 + ∇Ψ(~ r, t), porque ∇∧(∇f) ≡ 0 y, por lo tanto, ∇∧ ~ A = ∇∧ ~ A 0. Es fácil comprobar que, si susti- tuimos V por V 0, tal que V = V 0 − ∂Ψ(~ r, t) ∂t , también ~ E permanece invariante. Las transformaciones de ~ A y V en ~ A 0 y V 0 se llaman transformaciones de contraste. o gauge ~ A = ~ A 0 + ∇Ψ(~ r, t) V = V 0 − ∂Ψ(~ r, t) ∂t (3.16) Estas transformaciónes permiten imponer a los potenciales condiciones restrictivas, condiciones de contraste, compatibles con las mismas, que facilitan el tratamiento de algunos problemas importantes como el de la propagación de los potenciales. Podemos demostrar que condiciones de constraste del tipo ∇ · ~ A = 0 Contraste de Coulomb ∇ · ~ A + µ0ε0 ∂V ∂t = 0 Contraste de Lorenz para el vacı́o (3.17) son compatibles con las transformaciones de contraste. Esto quiere decir, por ejemplo, que, si los potenciales ~ A y V no cumplen el contraste de Lorenz, es posible encontrar unos nuevos ~ A 0 y V 0 que sı́ lo satisfagan. Sea ∇ · ~ A + µ0ε0 ∂V ∂t = χ(~ r, t) 6= 0 Haciendo uso de las transformaciones de contraste, se obtiene ∇ · ~ A 0 + µ0ε0 ∂V 0 ∂t = χ − ∇2 Ψ + µ0ε0 ∂2Ψ ∂t2 por lo que basta con buscar una función Ψ(~ r, t) que sea solución de la ecuación de D’Alembert ∇2 Ψ − µ0ε0 ∂2Ψ ∂t2 = χ lo cual siempre es posible, como se verá al estudiar la solución de la ecuación de onda.
- 130. 112 3.4. Ecuaciones de Maxwell en el vacı́o Las ecuaciones de Maxwell ligan a los campos con sus fuentes escalares y vectoriales: ∇ · ~ E = ρ ε0 (3.18) ∇ ∧ ~ E = − ∂ ~ B ∂t (3.19) ∇ · ~ B = 0 (3.20) ∇ ∧ ~ B = µ0 Ã ~ j + ε0 ∂ ~ E ∂t ! (3.21) Como ya hemos visto, de 3.21 y 3.18 se deduce la ecuación de continuidad ∇ ·~ j + ∂ρ ∂t = 0 En resumen, sin tener en cuenta a las constantes de proporcionalidad, el campo eléctrico tiene por fuentes escalares a las densidades de carga y por fuentes vectoriales a las variaciones temporales del campo magnético. El campo magnético carece de fuentes escalares y tiene por fuentes vectoriales a la densidad de corriente de carga y a la de desplazamiento del vacı́o. Para distiguirlas de las demás, llamaremos fuentes primarias a ρ y ~ . Como se vió en su momento h ∂ f ∂ α i = ∂ ∂ α hfi , α = x, y, z, t por lo que en estas ecuaciones ~ E, ~ B, ρ y ~ pueden intrepretarse como magnitudes microscópicas o macroscópicas, según convenga. Más adelante emplearemos la misma notación ρ y ~ para designar a otro tipo de cargas y corrientes macroscópicas, las de ’ conducción’. La resolución de las ecuaciones de Maxwell nos permite calcular las fuerzas sobre las cargas haciendo uso de la ley de Lorentz, d~ F dv = ρ ~ E +~ j ∧ ~ B Si bién aquı́ la utilizaremos también en el caso macroscópico, esto no es posible en general. El estudio de las fuerzas en el interior de medios arbitrarios requiere un análisis que queda fuera de nuestros objetivos 8. 8 Para más detalles, véase la bibliografı́a, por ejemplo,J. D. Jackson, Classical Electrodynamics.
- 131. 113 3.5. Problemas 3-1. Suponga dos carretes en movimiento, por lo que el coeficiente de inducción mutua M = M(t) 9. Si la intensidad que pasa por el primero es I = I(t), halle la fuerza electromotriz que se genera en el segundo. Descomponga el resultado en dos términos y analı́celos. Solución: La fuerza electromotrı́z que se genera en el segundo carrete es E = − d dt Φ( ~ B)(t) = − d d t (I(t) M(t)) = −I(t) d d t M(t) | {z } EM + −M(t) d d t I(t) | {z } EI EM es la fuerza electromotriz que aparece cuando la geometrı́a de los dos carretes es variable, como es el caso de los motores y generadores, y EI es la fuerza electromotriz debida a las variaciones de la intensidad, tal y como ocurre en los transformadores. 3-2. Condidere dos solenoides concéntricos, rectos y largos, de radios respectivos a y b > a, de longitud l À a, b y con números de espiras na y nb por unidad de longitud. Halle a) El coeficiente de inducción mutua. Demuestre que es simétrico para los dos solenoides. b) La fuerza electromotriz Eb si el primero está recorrido por una intensidad Ia = I0 cos ωt. c) La fuerza electromotriz Ea si el segundo está recorrido por una intensidad Ib = I0 t T para 0 ≤ t ≤ T 0 fuera del intervalo Solución: a) Como se afirma en el enunciado del problema 2-32 y se verá más ade- lante, el coeficiente de inducción mutua es simétrico. Para comprobarlo lo calcularemos de las dos maneras posibles: Mab = Φa( ~ Bb) Ib , Mba = Φb( ~ Ba) Ia En el primer caso, el campo magnético producido por el segundo carrete es 9 Véase el problema 2-32
- 132. 114 Bb = µ0 nb Ib Para calcular el flujo cortado por el solenoide (a), que es interior al (b), tendrenos que multiplicar Bb por la sección efectiva total de (a). Φa( ~ Bb) = (na l Sa) Bb donde Sa = π a2 es la sección de (a). De acuerdo con lo anterior Mab = µ0 nb na Va donde Va = l Sa es el volumen de (a). Si lo hacemos a la inversa, hemos de tener en cuenta que b > a y que el campo Ba es nulo para r > a, lo que nos lleva al mismo resultado anterior. 3-3. Un generador simple de corriente alterna puede estar constituido por un carrete plano de N espiras rectangulares, de lados a y b, el rotor, que gira con velocidad angular constante ω alrededor de un eje contenido en el plano del carrete, perpen- dicular a los lados a y centrado sobre ellos, en presencia de un campo magnético B0 uniforme y perpendicular al eje de giro. Halle la fuerza electromotriz inducida en el carrete: a) Mediante la derivación del flujo cortado. b) Calculando la circulación de ~ E 0. Solución: La figura 3.5a presenta al rotor girando sobre el eje z con velocidad angular ~ ω = ω b z de forma que en t = 0 su plano coincide con el y = 0 y ~ B = B0 b x El ángulo girado es, por lo tanto ϕ = ω t Se ha elegido un sentido del recorrido de L tal que ~ S = S (−sen ϕ b x + cos ϕ b y) , S = a b
- 133. 115 v 2 E’2 ρ 1 E’1 2 ρ + B B n (a) (b) x y ϕ t=0 z S B ϕ t=0 x y z ϕ 1 2 3 4 ω v1 Figura 3.5: a) Calcularemos E de acuerdo con la ley de Faraday E = − d dt Φ( ~ B)(t) donde Φ( ~ B) = ~ B · ~ S = −S B sen ϕ y E = ω B S cos ωt b) Ahora haremos uso de la definición E = I L ~ E 0 · d~ l La circulación debe realizarse sobre los tramos (1), (2), (3) y (4). Dado que no se ha especificado la existencia de campo eléctrico en el sitema del laboratorio, tomaremos ~ E 0 = ~ v ∧ ~ B
- 134. 116 siendo ~ v = ~ ω ∧ ~ ρ y ~ ρ el vector de posición en coordenadas cilı́ndicas. En los tramos (1) y (3), ~ E 0 · d~ l = 0 porque los vectores en cuestión son perpendiculares, como puede comprobarse gráficamente sobre la figura 3.5b En los otros dos tramos ~ dl = dz b z En el (2) ~ E 0 1 = ~ v1 ∧ ~ B , ~ v1 = ~ ω ∧ ~ ρ1 , ~ ρ1 = a 2 (cos ϕ b x + sen ϕ b y) y ~ E 0 1 · ~ dl = −ω a 2 B cos ϕ dz En el (4) ~ ρ2 = −~ ρ1 ⇒ ~ v2 = −~ v1 ⇒ ~ E 0 2 = − ~ E 0 1 Por último E = ω a 2 B cos ϕ − Z 0 z=b dz | {z } (2) + Z b z=0 dz | {z } (4) 3-4. Una espira rectangular tiene dimensiones a × b y es coplanaria con un hilo rec- to e indefinido, recorrido por una intensidad I, que se encuentra inicialmente a una distancia x0 del lado de longitud a. A partir de t = 0, la espira se desplaza en el plano con una velocidad constante v, alejándose del hilo. Halle la fuerza electromotriz inducida por el hilo sobre la espira. 3-5. Supuesta una componente vertical del campo magnético terrestre de 10 µT, halle la fuerza electromotriz inducida sobre una barra, de 1 m de largo, que se desplaza en el plano horizontal a 100 km/hora. a) Mediante la derivación del flujo cortado por un camino cerrado. b) Haciendo uso de la fuerza de Lorentz. 3-6. La rueda de Barlow es una rueda conductora que gira alrededor de su eje en presencia de un campo magnético constante, uniforme y tal que ~ B ↑↑ ~ ω.
- 135. 117 a) Si, mediante dos contactos deslizantes, tocamos en el centro y el borde de la rueda con un dispositivo para medir fuerzas electromotrices, un voltı́metro, ¿cuál será la medida obtenida por el mismo?. b) Discuta la posibilidad de que aparezca otro tipo de campo eléctrico. En caso positivo ¿cómo afectará al cálculo de la fuerza electromotriz?. Solución: a) z 1 S2 (t) B ω n ϕ x y t=0 S Figura 3.6: El problema puede resolverse aplicando la ley de inducción de Faraday a un camino como el indicado en la figura 3.6 en tramo continuo. Sólo la superficie S2 contribuye al flujo. Supuesto que el segmento móvil está en t = 0 en la posición indicada en la figura S2 = 1 2 a2 ϕ = 1 2 a2 ω t ⇒ Φ = 1 2 a2 ω B t y E = − 1 2 a2 ω B También puede resolverse teniendo en cuenta que las cargas que se mueven con la rueda sienten un campo no conservativo ~ E 0 = ~ v ∧ ~ B = ω B ρ b ρ
- 136. 118 Para calcular esta fuerza electromotriz basta con integrar este campo, en el sentido marcado por la figura, en el tramo radial móvil E = ω B Z 0 r=a ρ dρ b) La hipótesis de que ~ E = ~ 0 no es correcta porque, en estado estacionario, las cargas de la rueda no se mueven, luego el campo total ~ E 0 = 0. Esto quiere decir que, dentro de la rueda existe un campo ~ E = −~ v ∧ ~ B que contrarresta al debido a la fuerza de Lorentz. El mecanismo por el que se crea este campo adicional es el siguiente. Si la rueda está en reposo, el conductor es neutro macroscópicamente en todos sus puntos y no crea campo en el sistema S del laboratorio. Cuan- do se mueve, la fuerza de Lorentz pone, a su vez, en movimiento radial a las cargas. Si las cargas móviles, como es el caso de los conductores, son electrones, éstos se acumularán en la zona central, dejando a la op- uesta cargada positivamente. Este campo se opone al de Lorentz hasta equilibrarlo. Desde S se verá una distribución de carga neta estática que produce un campo eléctrico estático, tanto dentro como fuera de la rueda, y que, por ser estático, es conservativo y no contribuye a la fuerza electromotriz. 1 2 I S Q (t) n Figura 3.7: 3-7. En el circuito de la figura 3.7 se supone que la variación temporal de I = I(t) es lo suficientemente lenta para que el problema pueda tratarse como aproximadamente estático (cuasi-estático). Demuestre que la intensidad de corriente de desplaza- miento ID que sale de S es igual a I. Discuta los casos en que los dos conductores a) Están solos en el universo. b) Están apantallados por un tercero. c) El segundo conductor apantalla al primero. d) Existen otros conductores en alguna parte
- 137. 119 Solución: Aplicando la conservación de la carga a la superficie S −I = I S ,~ j · ~ ds = − d d t Z V ρ dv = − d Q d t ⇒ I = d Q d t Por otra parte, integrando sobre S la densidad de corriente de desplaza- miento ID = ε0 d d t I S ~ E · ~ ds = I porque R S ~ E · ~ ds = Q ε0 . 3-8. Demuestre que, si los potenciales ~ A y V no cumplen el contraste de Coulomb, siempre es posible encontrar otros ~ A 0 y V 0 que si lo cumplan. 3-9. En la teorı́a de la relatividad especial un punto del universo espacio-temporal puede ser descrito mediante el vector de posición tetradimensional ⇒ s ≡ (x, y, z, j c t) donde j es la unidad imaginaria, c la velocidad de la luz y j c t la coordenada temporal 10. Los potenciales electromagnéticos pueden englobarse en un potencial vector tetradi- mensional ⇒ A≡ (Ax, Ay, Az, j c V ) y la densidad de corriente, junto con la densidad de carga, en el vector ⇒ j ≡ (jx, jy, jz, j c ρ) Demuestre que: a) El campo electromagnético, en forma tensorial, se obtiene a partir del poten- cial mediante el rotacional tetradimensional (Fαβ) ≡ ROT ( ⇒ A) , Fαβ ≡ ∂ Aβ ∂ xα − ∂ Aα ∂ xβ , xα, xβ = x, y, z, jct b) Las ecuaciones de Maxwell pueden ser escritas de la forma (Se hace uso del convenio de ı́ndices repetidos) DIV (Fαβ) = µ0 ⇒ j , ∂ Fαβ ∂ xα = µ0 jβ 10 En la bibliografı́a pueden encontrarse formulaciones distintas a la aquı́ propuesta.
- 138. 120
- 139. Capı́tulo 4 Consecuencias de las Ecuaciones de Maxwell Este capı́tulo lo dedicaremos al análisis de las consecuencias fundamentales de las ecuaciones del campo electromagnético. Comenzaremos ampliando el principio de con- servación de la energı́a para incluir términos que, en el balance energético, represen- ten a los propios campos. Asimismo, estudiaremos la propagación de ondas planas como manifestación más simple del transporte radiativo de energı́a y la emisión de radiación por una carga puntual lenta como ejemplo primario de emisión de radiación [Panofsky y Phillips, Reitz et al., Gómez]. 4.1. Energı́a electromagnética. Vector de Poynting Consideremos que en una determinada región del espacio coexisten cargas de dis- tintos tipos, con densidades ρi y velocidades de arrastre ~ vi y que sobre ellas actúa un campo electromagnético. Queremos realizar un balance energético entre las cargas y los campos. Sobre la especie i actúa una fuerza por unidad de volumen d~ Fci dv = ρi( ~ E + ~ vi ∧ ~ B) de donde se deduce que el campo electromagnético realiza un trabajo sobre las cargas, por unidad de volumen y unidad de tiempo, igual a d2Wci dvdt = ρi~ vi · ~ E = ~ ji · ~ E Expresión en la que, como hemos visto anteriormente, no aparece ningún término asociado al campo magnético porque la fuerza magnética de Lorentz es perpendicular a la velocidad. Sumando a todas las especies d2Wc dvdt = ~ j · ~ E 121
- 140. 122 Ésta es la potencia, positiva o negativa, que el campo electromagnético cede a las car- gas encerradas en la unidad de volumen. Si es positiva, dichas cargas podrán emplearla de muy diversas formas, como puede ser almacenando energı́a cinética, transformándola en calor, etc. Si es negativa, como veremos, se traducirá en un aumento de la energı́a del propio campo. Si queremos seguir disponiendo de un principio de conservación de la energı́a aplica- ble a las interacciones electromagnéticas, no habrá más remedio que equilibrar este término mecánico con otros de tipo electromagnético. Teniendo en cuenta que ~ j = 1 µ0 ∇ ∧ ~ B − ε0 ∂ ~ E ∂t ⇒ ~ j · ~ E = 1 µ0 (∇ ∧ ~ B) · ~ E − ε0 ∂ ~ E ∂t · ~ E Por otra parte ∇ · (~ a ∧~ b) = ~ b · ∇ ∧ ~ a − ~ a · ∇ ∧~ b ⇒ ∇ · ( ~ E ∧ ~ B) = ~ B · ∇ ∧ ~ E − ~ E · ∇ ∧ ~ B La substitución de esta expresión en la ecuación anterior y el uso de la ley de inducción ∇ ∧ ~ E = − ∂ ~ B ∂t nos permite expresar el teorema de Poynting de la forma ∇ · ~ P + ∂ωem ∂t = −~ j · ~ E (4.1) En esta ecuación se han definido los términos ~ P = 1 µ0 ~ E ∧ ~ B (4.2) que denominamos vector de Poynting y cuyas dimensiones son de energı́a por unidad de superficie y tiempo, y ωem = 1 2 ε0E2 + 1 2µ0 B2 = ωe + ωm (4.3) cuyas dimensiones corresponden a una densidad de energı́a y que denominaremos den- sidad de energı́a electromagnética. La ecuación (4.1) serı́a por lo tanto una ecuación de continuidad, o de conservación, para la energı́a electromagnética. Si comparamos esta ecuación con la de continuidad de la carga ∇ ·~ j + ∂ρ ∂t = 0 vemos que ambas son formalmente idénticas, salvo que en la de la energı́a existe un término adicional. Si ~ j · ~ E es positivo, la energı́a electromagnética se transforma en energı́a mecánica a razón de ~ j · ~ E watios por unidad de volumen y tiempo. En caso contrario, la energı́a mecánica se transforma en electromagnética.
- 141. 123 Siguiendo la analogı́a entre estas dos ecuaciones, ωem representa a la densidad de energı́a electromagnética, como ρ representa a la densidad de carga, y ~ P a la densidad de flujo de potencia en paralelismo con la densidad de flujo de carga ~ j. No obstante, la interpretación literal de ~ P como densidad de flujo local, es decir como 0 ~ P = ωem~ v0 em , (~ j = ρ~ v) donde ~ vem serı́a una ” velocidad de arrastre de la energı́a”no es rigurosamente válida. Estrictamente, la extensión del principio de conservación de la energı́a al caso electro- magnético implica el equilibrio de tres términos cuya suma es nula ∇· ~ P+ ∂ωem ∂t +~ j· ~ E = 0. Considerando un pequeño entorno alrededor de un punto P, en el instante t, el primero lo asociaremos a la energı́a electromagnética saliente, el segundo al aumento de la energı́a almacenada y el tercero a la energı́a cedida a las cargas contenidas en dicho entorno. Si cambiamos el signo de estos términos, el primero representará a la energı́a entrante, el segundo a la disminución de energı́a almacenada y el tercero a la conversión de energı́a mecanica en electromagnética. En principio, las expresiones 4.2 y 4.3 no son la única opción para definir ~ P y ωem puesto que, si añadimos un vector solenoidal al primero y una función independiente del tiempo al segundo, la ecuación 4.1 sigue siendo válida. Con la opción elegida, ωem = 0 en ausencia de campos y ~ P = 0 cuando alguno de ellos se anula. Para fijar un poco más el significado y la razonabilidad de esta interpretación, ex- presaremos 4.1 en forma integral. Sea un volumen fijo V e integremos sobre él. I S ~ P · d~ s + d dt Z V ωem dv = − Z V ~ j · ~ E dvωem dv (4.4) donde, haciendo uso del teorema de la divergencia, se ha pasado a integral superficial el término asociado al vector de Poynting. Estos términos tienen ahora dimensión de potencia. De otra forma Φ(~ P) + dWem dt = − dWc dt Φ(~ P) = I S ~ P · d~ s Wem = Z V ωem dv dWc dt = Z V ~ j · ~ E Luego, el trabajo que las cargas encerradas en V ejercen sobre los campos 1 puede invertirse, en parte, en el aumento de la energı́a Wem almacenada en V y, en parte, en el aumento de la energı́a de los campos externos 2. 1 El trabajo que la fuerza electromagnética ejerce sobre las cargas, por unidad de volumen y de tiempo, es ~ · ~ E. −~ · ~ E puede interpretarse legı́timamente, en virtud del principio de acción y reacción, como trabajo realizado por las cargas sobre el campo. 2 El flujo del vector de Poynting es localmente potitivo cuando P ’sale’ de V.
- 142. 124 Consideremos los siguientes casos particulares: 1 Sistema cerrado de campos y cargas. En principio, los campos asociados a un sistema de cargas se extenderán hasta el infinito. Fı́sicamente es posible imponer a dichos campos el mismo tipo de condi- ciones impuestas al enunciar el teorema de Helmholtz: suponemos que las fuentes están definidas en un volumen finito V0, a distancia finita del origen de coordenadas, y que los campos son nulos en el infinito o bien decrecen a grandes distancias más rápidamente que r−1. Si integramos sobre una esfera de radio r → ∞, Φ(~ P) = lı́m r→∞ I S 1 µ0 ~ E ∧ ~ B · d~ s ∼ lı́m r→∞ 1 r2 = 0 por lo que − dWc dt = − Z V→∞ ~ j · ~ E dv = − Z V0 ~ j · ~ E dv = d dt Z V→∞ ωem dv = dWem dt Es conveniente resaltar que, aunque la cesión de energı́a parece tener lugar en V0, de hecho, dudarı́amos poco en calcular cuanta se lleva cada carga en particular, el cómputo de la energı́a cedida puede extenderse a V → ∞, es decir, a todos aquellos puntos en los que ∂ωem ∂t 6= 0: En este caso lo que se conserva es la suma de las dos energı́as d dt (Wc + Wem) = 0 ⇒ Wc + Wem = cte por lo que es lo mismo calcular una u otra. No conviene olvidar que las cargas están indisolublemente asociadas a un campo del que son singularidades. 2 Volumen V finito y sin carga. Bajo estas condiciones −Φ(~ P) = dWem dt el flujo hacia dentro del vector de Poynting induce un aumento de la energı́a almacenada. 3 Volumen V en el que sólo hay corrientes estacionaria. Los campos son estáticos dWem dt = 0 ⇒ Φ(~ P) = − dWc dt Luego, en este caso, la energı́a mecánica que se convierte en electromagnética dentro de V no se emplea en aumentar la energı́a electromagnética almacenada en el mismo sino que se trasvasa al exterior a través del flujo del vector de Poynting.
- 143. 125 Es de notar que Φ(~ P) es un flujo a través de una superficie cerrada y como tal interviene en el balance energético. Esto no nos autoriza a interpretar de forma general al vector ~ P como un vector densidad de flujo, es decir, como el flujo de energı́a por unidad de superficie y de tiempo a través de un elemento de superficie perpendicular al movimiento de la energı́a. Para los campos radiantes, ~ P sı́ jugará el papel de vector densidad de corriente de energı́a, en concordancia con la representación cuantificada de la energı́a electromagnética en forma de fotones, que son entidades localizadas. Como veremos más acelante, en el caso que nos ocupa, el estático, no existe propagación por lo que la interpretación de P como un vector que describe el flujo local de energı́a no es pertinente. Conservación de la cantidad de movimiento: Podrı́amos hacer el mismo tipo de balance para extender el principio de conservación de la cantidad de movimiento a los campos electromagnéticos, pero, por tratarse de una magnitud vectorial, el desarrollo es más prolijo y se dejará para otra ocasión. 3 Nos contentaremos con apuntar que es posible el uso de un principio de conser- vación de la cantidad de movimiento si asignamos al campo una densidad de cantidad de movimiento ~ g ≡ d~ G dv = 1 c2 ~ P donde ~ G es la cantidad de movimiento contenida en V. La consiguiente ecuación de continuidad es de tipo vectorial por lo que la contabi- lidad del momento trasvasado a través de la superficie S hay que realizarla por medio de un tensor , el de esfuerzos de Maxwell, y no de un vector como ~ P. No abordaremos aquı́ el problema en su forma general, pero, en el párrafo 4.2.1 lo trataremos en relación con las ondas planas. 4.1.1. Energı́a de sistemas de carga y corriente estacionaria Dada la importancia de los campos electrostático y magnetostático, investigaremos la posibilidad de asociar directamente la energı́a electromagnética de éstos con las cargas y las corrientes que los producen. Campos electrostáticos: En el caso de campos electrostáticos We = 1 2 ε0 Z V→∞ E2 dv = − 1 2 ε0 Z V→∞ ~ E · ∇V dv y, teniendo en cuenta que ∇ · ~ E = ρ ε0 y ∇ · (f~ a) = f∇ · ~ a + ~ a · ∇f ~ E · ∇V = ∇ · (V ~ E) − V ∇ · ~ E = ∇ · (V ~ E) − ρV ε0 3 Véase [Garcı́a Olmedo].
- 144. 126 por lo que, substituyendo en la integral y haciendo uso del teorema de la divergencia para el primer término We = 1 2 Z V→∞ ρV dv − 1 2 ε0 I S→∞ V ~ E · d~ s | {z } =0 La segunda integral, por razones análogas a las aducidas en ocasiones anteriores, se anula en el lı́mite r → ∞. La primera se extiende solamente al volumen V0 donde la densidad de carga es distinta de cero. We = 1 2 Z V0 ρV dv = Z V→∞ ωe dv (4.5) De esta forma recobramos la expresión 2.13 de la energı́a potencial. Campos magnetostáticos: Algo parecido podemos hacer con respecto a la energı́a magnética. Wm = 1 2µ0 Z V→∞ B2 dv = 1 2µ0 Z V→∞ ~ B · ∇ ∧ ~ A dv ⇒ Wm = Z V→∞ ωm dv = 1 2 Z V0 ~ j · ~ A dv (4.6) donde, siguiendo un procedimiento análogo al anterior, hemos tenido en cuenta que para corrientes estacionarias ∇ ∧ ~ B = µ0 ~ j, hemos hecho uso de la expresión ∇ · ( ~ A ∧ ~ B) = ~ B · ∇ ∧ ~ A − ~ A · ∇ ∧ ~ B ⇒ ~ B · ∇ ∧ ~ A = ∇( ~ A ∧ ~ B) + µ0 ~ A ·~ j y, tras aplicar el teorema de la divergencia, hemos anulado, en el lı́mite S → ∞, la integral de superficie. V0 es en este caso el volumen en el cual la densidad de corriente es distinta de cero. Un caso de gran interés es el de las espiras. Como en ocasiones anteriores, se substi- tuye ~ j dv por Id~ l. Luego Wm = 1 2 I I L0 ~ A · d~ l = 1 2 IΦ (4.7) Para escribir la segunda igualdad hemos hecho uso de 2.25, según la cual la cir- culación del potencial vector a lo largo de una espira es igual al flujo cortado por la misma. Vemos, pués, que es posible calcular la energı́a electromagnética asociada a los cam- pos de dos formas alternativas: en la primera, integrando una densidad de energı́a sobre todo el volumen a donde se extienden dichos campos y, en la segunda, integrando sobre el volumen de las fuentes.
- 145. 127 4.2. Ecuaciones de onda para los campos y los potenciales Veremos en esta sección que los campos y los potenciales cumplen ecuaciones de onda. Parte de las soluciones de estas ecuaciones tienen caracter de onda viajera, es decir, implican la propagación de los campos y las magnitudes asociadas a ellos, como la energı́a y la cantidad de movimiento, con una velocida finita, la velocidad de la luz c ' 3 × 108 ms−1, que es una constante universal 4. Este hecho, no concorde con el principio de relatividad de Galileo, será el punto de partida de la teorı́a de la Relatividad de Einstein. En el caso de los campos, nos limitaremos a demostrar que, incluso en ausencia de fuentes primarias ρ y ~ , es posible la propagación ondas cuyos campos son automan- tenidos. En el de los potenciales, se tendrá en cuenta la existencia de cargas y corrientes y se comprobará que los potenciales lorenzianos cumplen ecuaciones análogas a las de los campos. Ecuaciones de onda para los campos : En ausencia de cargas y corrientes, las ecuaciones de Maxwell toman la forma simétri- ca ∇ · ~ E = 0 (4.8) ∇ ∧ ~ E = − ∂ ~ B ∂t (4.9) ∇ · ~ B = 0 (4.10) ∇ ∧ ~ B = 1 c2 ∂ ~ E ∂t , c = 1 √ µ0ε0 (4.11) y, como únicas fuentes del campo, aparecen las ∂ ∂t de los propios campos. Hallando el rotacional a 4.9 ∇ ∧ (∇ ∧ ~ E) = − ∂ ∂t ∇ ∧ ~ B y teniendo en cuenta 4.11 y 4.8 y que ∇ ∧ ∇ ∧ ~ a = ∇(∇ · ~ a) − ∇2~ a ∇2 ~ E − 1 c2 ∂2 ~ E ∂t2 = 0 (4.12) ∇2 ~ B − 1 c2 ∂2 ~ B ∂t2 = 0 (4.13) Cada componente cartesiana de los campos Φ cumple la ecuación de D’Alembert 5. ∇2 Φ − 1 c2 ∂2Φ ∂t2 = 0 4 En la actualidad, el metro se define en función del segundo y de la velocidad de la luz. El segundo se relaciona a una transición hiperfina del Cesio 133 y a la velocidad de la luz se le asigna el valor exacto c ≡ 2, 99792458 × 108 m · s−1 . 5 En el caso de coordenadas curvilı́neas, ésto no es cierto.
- 146. 128 Las ecuaciones de onda 4.12 y 4.13 se deducen de las ecuaciones de Maxwell por un proceso de diferenciación y eliminación de variables en el que se pierde información sobre los campos, en particular, sobre la relación mútua entre ellos. Por esta razón, no todas sus soluciones son válidas y será necesario exigirles que sean compatibles con las ecuaciones de Maxwell. Ecuaciones de onda para los potenciales : Prodediendo de forma análoga para los potenciales pero haciendo uso de las ecua- ciones 3.18 a 3.21, se tiene que: - Partiendo de ∇ ∧ ~ B = µ0~ + µ0ε0 ∂ ~ E ∂t y expresando a los campos en función de los potenciales ∇ ∧ ∇ ∧ ~ A = µ0~ + µ0ε0 ∂ ∂t " −∇V − ∂ ~ A ∂t # = ∇ · (∇ · ~ A) − ∇2 ~ A ⇒ o, de otra forma, ∇2 ~ A − µ0ε0 ∂2 ~ A ∂t2 = ∇ µ ∇ · ~ A + µ0ε0 ∂V ∂t ¶ − µ0~ (4.14) - Partiendo de ∇ · ~ E = ρ ε0 y expresando al campo eléctrico en función de los potenciales ∇2 V = − ∂∇ · ~ A ∂t − ρ ε0 (4.15) Para potenciales culombianos ∇ · ~ A = 0. Haciendo uso del mismo en 4.14 y 4.15 se obtienen las ecuaciones de onda ∇2 V = − ρ ε0 (4.16) ∇2 ~ A − µ0ε0 ∂2 ~ A ∂t2 = µ0ε0∇ ∂V ∂t − µ0~ (4.17) El potencial eléctrico escalar responde a la misma ecuación, la de Poisson, que el electrostático; es un potencial de ’tipo electrostático’ aunque dependiente del tiempo. La propagación de la onda viene descrita exclusivamente por el potencial magnético vector, cuya ecuación de onda es no-homogénea. Las ecuaciones de onda se caracterizan por incluir, al menos, derivadas segundas espaciales y temporales. El uso del contraste de Lorenz ∇ · ~ A + µ0ε0 ∂V ∂t = 0 nos lleva a las ecuaciónes de onda de los potenciales lorenzianos ∇2 V − µ0ε0 ∂2V ∂t2 = − ρ ε0 (4.18) ∇2 ~ A − µ0ε0 ∂2 ~ A ∂t2 = −µ0~ (4.19)
- 147. 129 Luego, como los campos, los potenciales lorenzianos responden ecuaciones del tipo ¤ Φ = f , ¤ ≡ ∇2 − 1 c2 ∂2 ∂ t2 (4.20) donde ¤ es el operador de D’Alembert o dalambertiano. El potencial eléctrico escalar no tiene por que cumplir una ecuación de onda pero es evidente que, junto con el potencial vector, debe dar cuenta del carácter propagativo de los campos. 4.2.1. Propagación de ondas electromagnéticas planas en el vacı́o En la sección anterior vimos cómo las componentes de los campos cumplı́an en el vacı́o la ecuación de onda de D’Alembert 4.20. De entre las posibles soluciones de esta ecuación buscaremos las que tengan carácter de onda plana. Entendemos, en un principio, por onda plana 6, una solución de la ecuación de onda en la que Φ sólo depende de una coordenada espacial ξ que, como se muestra en la figura 4.1, es la distancia de un plano, que llamaremos frente de onda, a otro, paralelo al anterior, que tomamos como origen. En un instante determinado, Φ es constante en todos los puntos de un determinado frente de onda. n r O n ξ Figura 4.1: Como puede verse en la figura ξ = ~ r · ~ n = nx x + ny y + nz z (4.21) donde ~ n = nx b x + ny b y + nz b z , n2 x + n2 y + n2 z = 1 es el vector normal al frente de onda o vector unitario de propagación. 6 Estrictamente, la calificación deberı́a concretarse a ondas planas homogéneas para distiguirlas de las planas no homogéneas que se definen en otros contextos [Garcı́a Olmedo]. Más adelante acotaremos esta definición eliminando de la misma componentes independientes de las variables espacial y temporal.
- 148. 130 Para no introducir nueva notación, sin pérdida de generalidad, rotemos los ejes coordenados de forma que ~ n ↑↑ b x , ξ = x ⇒ ∇ = b x ∂ ∂x , (∇ = ~ n ∂ ∂ξ ) (4.22) La ecuación de onda quedará reducida a ∂2Φ(x, t) ∂x2 − 1 c2 ∂2Φ(x, t) ∂t2 = 0 (4.23) la cual admite soluciones del tipo f(x − ct) y g(x + ct), donde f y g son funciónes arbitrarias y derivables. Definiendo u ≡ x − ct y w ≡ x + ct ∂f ∂x = df du , ∂2f ∂x2 = d2f du2 , ∂f ∂t = −c df du , ∂2f ∂t2 = c2 d2f du2 (4.24) Substituyendo en 4.23 confirmamos que f(u) es solución y por el mismo proced- imiento comprobamos que g(w) también lo es. Dado que la ecuación es de segundo orden y que las funciones f(u) y g(w) son linealmente independientes, la solución general es del tipo Φ(x, t) = f(x − ct) + g(x + ct) (4.25) Diremos que la solución anterior resulta de la superposición, o interferencia de dos modos que se propagan en sentidos opuestos entre sı́. En la figura 4.2 vemos cómo la función f se propaga sin deformarse en el sentido positivo del eje x, mientras que g lo hace en el negativo, con una velocidad de fase vf = µ dx dt ¶ u=cte = c (4.26) Efectivamente, para u = cte ⇒ du = dx − cdt = 0 La velocidad de fase es, por lo tanto, la velocidad con que se desplaza un punto de fase constante f(u0). Relación de estructura: Ahora bien, no todas las soluciones de la ecuación de onda son fı́sicamente válidas puesto que hemos de comprobar si son compatibles con las ecuaciones de Maxwell. Limitándonos al modo que viaja en la dirección ~ n = +b x ~ E = ~ E(u) , ~ B = ~ B(u) En particular, ∇ · ~ E = 0 ⇒ b x · d ~ E d u = 0 (4.27) ∇ ∧ ~ E = − ∂ ~ B ∂ t ⇒ b x ∧ d ~ E d u = c d ~ B d u (4.28)
- 149. 131 -t 1 ) c (t 2 -t 1 ) f 1 (x- ct ) f 2 (x- ct ) g 2 ( ct ) x+ g 1 ( ct ) x+ g(w) f(u) x +c c -c (t 2 Figura 4.2: De la ecuación 4.27 se deduce que d Ex d u = 0 ⇒ Ex = cte Ex no puede depender ni de x ni de t. Es, pués, una constante trivial que de ahora en adelante consideraremos nula. De hecho, estas posibles componentes no contribuyen a la propagación y transporte de energı́a y consideraremos que no están incluidas en el concepto de onda. Integrando la ecuación 4.28, anulando la constante de integración por las mismas razones que nos han llevado a eliminar la componente longitudinal Ex, y teniendo en cuenta 4.27, concluimos que los campos ~ E(u) y ~ B(u) están ligados mediante la relación de estructura, la cual, para cada uno de los dos modos posibles, se expresa de la forma ~ n · ~ E = 0 (4.29) ~ B = 1 c ~ n ∧ ~ E (4.30) n P E B Figura 4.3: Dado que ~ E es perpendicular a ~ n, véase la figura 4.3, ~ E y ~ B forman, con la dirección de propagación ~ n, un triedro rectángulo a derechas y la relación entre las amplitudes de los campos es E = c B (4.31)
- 150. 132 Cada uno de estos modos es tránsversal, es decir, ambos campos son paralelos a los frentes de onda y perpendiculares a la dirección de propagación. Además, son perpen- diculares entre sı́ y están en fase 7. Si ~ E tiene una dirección fija en todos los puntos, la onda se dice que está polarizada linealmente en dicha dirección. Transporte de energı́a: La onda plana, por extenderse hasta el infinito y transportar, como veremos a con- tinuación, una potencia infinita, es una idealización y, por tanto, no es fı́sicamente realizable. Sin embargo, mediante la superposición de ondas planas pueden construirse paquetes de ondas localizados espacialmente que transportan una cantidad finita de energı́a. El balance energético, en un volumen V, para una onda progresiva en el vacı́o, en ausencia de cargas y corrientes, es Φ(~ P) = − dWem dt En nuestro caso, las densidades de energı́a eléctrica y magnética son iguales, como puede comprobarse haciendo uso de la relación 4.31. ωem = ωe + ωm = 1 2 µ ε0E2 + 1 µ0 B2 ¶ = ε0E2 = B2 µ0 ωe = ωm (4.32) Multiplicando vectorialmente la expresión 4.29 por ~ E µ0 y desarrollando el triple pro- ducto, se tiene que ~ P = 1 µ0 ~ E ∧ ~ B = 1 µ0c E2 ~ n (4.33) donde se ha tenido en cuenta que ~ n · ~ E = 0. En consecuencia, el vector de Poynting de una onda plana progresiva admite las expresiones ~ P = c ε0E2 ~ n = c B2 µ0 ~ n = ωem ~ c , ~ c = c~ n (4.34) Es decir, el vector de Poynting, en un instante dado, es constante dentro de cada frente de onda, ya que ~ E y ~ B también lo son, y su dirección y sentido coinciden con los de propagación. Aparece además, formalmente, como un vector densidad de flujo de energı́a, donde ~ c representa la velocidad de arrastre, o transporte, de dicha energı́a. Es fácil comprobar, integrando sobre un frente de onda, que la energı́a transportada por una onda plana es infinita. Fuerza sobre cargas. Transmisión de cantidad de movimiento: Aunque no vamos a tratar en su forma general el problema de la conservación de la cantidad de movimiento, vamos a comprobar que una onda plana es capaz de comunicar, a una carga, cantidad de movimiento en la dirección de propagación. 7 ~ E y c B están definidos, para cada modo, por la misma función espacio-temporal.
- 151. 133 La fuerza que una onda plana ejerce sobre una carga q es ~ F = q( ~ E + ~ v ∧ ~ B) = q[ ~ E + ~ β ∧ (~ n ∧ ~ E)] , ~ β = ~ v c por lo que la fuerza magnética es normalmente, para cargas con velocidades no rela- tivistas, muy inferior a la fuerza eléctrica |~ Fm| |~ Fe| ∼ vB E = β ¿ 1 Este pequeño término de fuerza magnética es sin embargo el que posibilita el inter- cambio de momento, en la dirección de propagación, entre la onda y la carga. Desarrollando el triple producto ~ F = q(1 − ~ n · ~ β) ~ E + q(~ β · ~ E)~ n con lo que la componente longitudinal de la fuerza, Fn, provocará un incremento de la cantidad de movimiento en la dirección de propagación Fn = q(~ β · ~ E) = dpn dt = 1 c dW dt donde dW dt = q~ v · ~ E es la potencia que el campo eléctrico suministra a la carga. Luego, teniendo en cuenta que Fn dt = dpn, el momento transferido por el campo a la carga, en la dirección de propagación y en un intervalo de tiempo arbitrario, es ∆pn = ∆W c Lo que nos confirma que la onda, además de transportar energı́a, transporta cantidad de movimiento. 4.2.1.1. Ondas planas monocromáticas Un caso particular de onda es la monocromática, en el que las componentes son funciones armónicas de t y de x. Las ondas monocromáticas planas que viajan en el sentido positivo del eje x pueden escribirse de las formas Φ = Φ0 cos {k (c t − x) + ϕ} = Φ0 cos (ω t − k x + ϕ) = = Φ0 cos ½ 2π ( t T − x λ ) + ϕ ¾ (4.35) donde k es el número de onda, ω = k c la frecuencia angular, T = 2 π ω el periodo y λ = 2π k la longitud de onda. La frecuencia es f = ω 2 pi = 1 T . Como puede verse en la figura 4.4
- 152. 134 T t 0 x + 0 λ x 0 x=x 0 t=t 0 t +T 0 t x λ Φ Φ Figura 4.4: Φ(t0, z0) = Φ(t0 + T, z0) = Φ(t0, z0 + λ) Estas funciones son solución de la ecuación 4.23 porque Φ = f(u). Por la misma razón, también es solución de dicha ecuación la función compleja, (fasorial) 8 Φ = Φ0 ej (ω t−k x) (4.36) interpretando la amplitud como compleja Φ0 = |Φ0| ej ϕ Obsérvese que la función real Φ es la parte real de la compleja 9 Φ = Re(Φ) (4.37) 4.3. Potenciales retardados Consideremos, como se muestra en la figura 4.5, el problema de determinar cual es el potencial creado en un punto P por una carga elemental ∆q(t) situada en ~ r 0 0 y encerrada en un pequeño elemento de volumen ∆ v 0. 8 Según la identidad de Euler ejθ = cos θ + j sen θ, donde j = √ −1. 9 Se empleará la misma notación para ambas soluciones.
- 153. 135 Haremos uso de potenciales que cumplan el contraste de Lorenz y, en primer lu- gar, hallaremos una solución general de la ecuación de onda con la simetrı́a propia del problema. A continuación buscaremos las soluciones particulares compatibles con la ex- istencia de ∆q(t) en ~ r 0 0 y con el principio de causalidad. Simplificaremos esta segunda etapa limitándonos al caso de cargas no relativistas que se mueven en el entorno del origen de coordenadas 10. Para puntos, como el P, que no coinciden con la posición de la carga ( R 6= 0) q(t) R r y ^ x ^ z ^ P 0 ∆ r ’ Figura 4.5: ∇2 RV − µ0ε0 ∂2V ∂t2 = 0 donde ∇R opera sobre las componentes de ~ R = (Rx, Ry, Rz). Dado que el problema es simétrico alrededor de la posición de ∆q(t), existirán solu- ciones del mismo con dicha simetrı́a V = V (R) ⇒ para R 6= 0 , ∇2 RV = 1 R ∂2 ∂R2 (R V ) por lo que, definiendo una nueva función Φ = R V , ∂2Φ ∂R2 − µ0ε0 ∂2Φ ∂t2 = 0 cuya solución general ya se ha encontrado en la sección anterior y puede escribirse de la forma Φ = fR ¡ t − R c ¢ + fA ¡ t + R c ¢ V (~ r, t) = 1 R fR µ t − R c ¶ + 1 R fA µ t + R c ¶ = VR(~ r, t) + VA(~ r, t) VR recibe el nombre de potencial retardado y VA el de potencial adelantado. Si nos quedamos con el término retardado VR = 1 R fR (t − τ(R)) , τ = R c 10 Véase [Garcı́a Olmedo] para un tratamiento más amplio.
- 154. 136 En particular, acercándonos al punto fuente R → 0 , τ → 0 fR(t − τ) ' f(t) + ˙ f τ , lı́m R→0 fR (t − τ) = fR(t) Es decir, la solución para puntos cercanos a la carga es independiente del retraso. Por otra parte, sabemos que la solución correspondiente a cargas estáticas, es V = ∆q 4πε0 R siendo el caso estático una idealización de otro real en el que dichas cargas varı́an muy lentamente con el tiempo. En este último caso, admitiremos que V (~ r, t) ' ∆q(t) 4πε0 R Obviamente, debemos considerar a este potencial como un caso particular del re- tardado cuando la variación es muy lenta y el retraso despreciable. Teniendo en cuenta que t = (t − τ)τ=0, la solución general buscada debe tener la forma VR(~ r, t) = ∆q (t − τ) 4πε0 R El potencial en (~ r, t) es el que crean las cargas que habı́a en ~ r 0 0 un tiempo τ = R c anterior a t. Es decir, el tiempo que tarda la luz en llegar desde el elemento de carga hasta P. De la misma forma obtendrı́amos un potencial adelantado VA relacionado con las cargas que existirán en ~ r 0 en un instante del futuro, τ posterior a t. Aunque el tema merece una discusión más precisa, diremos, en general, que la aceptación del principio de causalidad nos permite prescindir de los potenciales adelantados 11. Para una distribución de carga continua, haciendo uso de la notación ρ ¡ ~ r 0, t − R c ¢ ≡ [ ρ(~ r 0 )], los potenciales retardados son VR(~ r, t) = 1 4πε0 Z V0 [ ρ ] R dv0 (4.38) ~ AR(~ r, t) = µ0 4π Z V0 [~ j ] R dv0 (4.39) donde el potencial vector se obtendrı́a de una forma similar a la utilizada para el escalar. 4.4. Relación de las ondas electromagnéticas con sus fuentes. Emisión de radiación Queremos, por último, poner de manifiesto el proceso básico por el cual las cargas en movimiento pueden dar lugar al fenómeno de radiación neta de energı́a. Por ahora nos contentaremos con un análisis simplificado del problema. 12 11 Véase el tratamiento que se le da en [Garcı́a Olmedo] a este problema. 12 Véase [Garcı́a Olmedo].
- 155. 137 r y ^ x ^ z ^ v (t) P 0 r q V’ R Figura 4.6: Consideremos a una carga puntual q, figura 4.6, que se mueve en una con velocidad ~ v(t). Esta carga en movimiento equivale a una densidad de corriente ~ j(~ r 0 , t) = q δ(~ r 0 − ~ r0(t))~ v(t) de forma que el potencial vector retardado producido en ~ r será ~ A(~ r, t) = µ0 4π Z V0 ~ j ¡ ~ r 0, t − R c ¢ R dv0 = µoq 4π Z V0 ~ v ¡ t − R c ¢ R δ · ~ r 0 − ~ r0 µ t − R c ¶¸ dv0 Esta integral no es simple porque ~ r0 es función de R = |~ r−~ r 0|, donde las componentes de ~ r 0 son las variables de integración, y no es posible la aplicación directa del teorema integral de Dirac.13 Simplificaremos el problema suponiendo que la partı́cula se mueve lentamente (β ≡ v c ¿ 1) en la vecindad del origen y que P es un punto lejano ( R, r À r0). Luego, bajo estas condiciones R ' r , τ ' r c ≡ τ0 donde τ0 es el retardo correspondiente al origen de coordenadas. En consecuencia ~ A(~ r, t) ' µo q 4π ~ v(t − τ0) r Z V0 δ £ ~ r 0 − ~ r0(t − τ0) ¤ dv0 | {z } =1 donde la integral es igual a la unidad porque ~ r0 está contenico en V0. En definitiva ~ A(~ r, t) = µ0 q 4π 1 r ~ v ³ t − r c ´ (4.40) 13 Véase la expresión N.73 del formulario.
- 156. 138 A partir de aquı́ podemos deducir el campo magnético de radiación. Escribiendo el tiempo retardado correspondiente al origen como tro ≡ t − τ0 ~ B = ∇ ∧ ~ A = µ0q 4π 1 r ∇ ∧ ~ v (tr0) + ∇ µ 1 r ¶ | {z } →0 ∧~ v (tr0) Desechamos el término en que aparece ∇ µ 1 r ¶ , porque al ser ∼ r−2 será desprecia- ble frente al primero para r → ∞. Además, como veremos, el fenómeno de radiación está asociado a campos con dependencia radial r−1. De acuerdo con esto, llamaremos campo magnético de radiación a ~ BR = µoq 4π 1 r ∇ ∧ ~ v (tr0) Para calcular el rotacional haremos uso de la identidad ∇ ∧ ~ a(u) = ∇u ∧ d~ a du ⇒ ∇ ∧ ~ v (tr0) = 1 c d~ v (tr0) d tr0 ∧ r̂ ~ BR(~ r, t) = µ0q 4πc 1 r ~ a ³ t − r c ´ ∧ b r = µ0q 4πc 1 r a ³ t − r c ´ sen θ b ϕ (4.41) donde ~ a(tr0) = d~ v(tr0) d tr0 es la aceleración de la partı́cula, evaluada en un instante retardado tr0 = t − r c y se ha supuesto que la partı́cula se acelera en la dirección z. Vemos, pués, que el fenómeno radiativo aparece asociado a la aceleración de las cargas. t =t +∆ 0 τ t r0 =t− t’r0 =t− r0 r0 | r + /c r r+ P P’ ∆ ∆ r r t x ^ z ^ y ^ ∆ r | Figura 4.7: Es interesante notar que la aplicación del rotacional al potencial vector, es decir, la diferenciación espacial del mismo en el punto de campo, se traduce en una diferenciación temporal en el punto de fuentes, como se ilustra en la figura 4.7. La diferenciación espacial en el punto de campo P, implica comparar el potencial en ese punto, en un instante t, con el potencial existente en un punto próximo P0 en ese mismo instante. La comparación de ~ A(~ r, t) y ~ A(~ r + ∆~ r, t) implica la comparación en el punto de origen de ~ v(tr0) y ~ v(tr0 + ∆tr0).
- 157. 139 x ^ oo r ^ a B E y ^ r r P ϕ z θ ^ Figura 4.8: Aunque de forma más laboriosa, podrı́amos calcular ~ ER, a partir de los potenciales escalar y vector, despreciando los términos cuya dependencia radial sea superior a r−1. Sin embargo, puede suponerse que los campos de radiación cumplen, aproximadamente, la misma relación de estructura que las ondas planas, la cual, despejando ~ E, toma la forma ~ E = c ~ B ∧ ~ n por lo que ~ ER(~ r, t) = µ0q 4π 1 r h ~ a ³ t − r c ´ ∧ b r i ∧ b r = µ0q 4π 1 r a ³ t − r c ´ sen θ b θ (4.42) Esta suposición, que puede ser comprobada haciendo el cálculo apuntado, es además razonable puesto que, para r → ∞, un observador podrá asimilar, en el entorno de ~ r, a la superficie esférica del frente de onda con su plano tangente y verá a ~ BR como un campo de onda plana ( figura 4.8). El vector de Poynting será, como en el caso de las ondas planas ~ P = c B2 µ0 b r = µ0q2 16π2c 1 r2 a2 sen2 θ b r , ~ P ↑↑ ~ r (4.43) El vector Poynting es el flujo de potencia a través de la unidad de superficie. Puesto que ~ P es paralelo y tiene el mismo sentido que b r, representa en todo caso un flujo neto de energı́a que abandona a la carga que radia. La potencia radiada es pues proporcional al cuadrado de la aceleración y depende marcadamente de θ. Se llama potencia de radiación a la potencia total, radiada por la partı́cula, que en un instante t atraviesa una superficie esferica de radio r. P(r, t) = Z S ~ P · d~ s = Z π θ=0 Z 2π φ=0 ~ P r2 senθ dθdϕ = µ0 q2 6πc a2 o, con más detalle P(r, t) = µo q2 6πc ³ a(t − r c ) ´2 (4.44)
- 158. 140 carga a r Frente de onda Pulso en t=t t=t 2 1 0 1 r2 radiante t=t Figura 4.9: Ésta es la fórmula de Larmor para la potencia radiada por una partı́cula cargada no relativista. Nos dice que la potencia que, en el instante t, atraviesa una superficie esférica de radio r, depende exclusivamente del valor de la aceleración en el instante retardado τ = t − τ0. Esto quiere decir que toda la potencia emitida por la carga en t − τ0 llega a la superficie en el instante t, con velocidad ~ c = cb r. Los campos con dependencia radial superior a r−1 no pueden dar lugar a radiación porque para ellos el vector de Poynting decae con la distancia más rápidamente que r−2, lo que, como es fácil comprobar, implica que la energı́a asociada a estos campos no se transmite a distancias arbitrariamente grandes de la carga radiante. La figura 4.9 muestra la evolución de un pulso radiado por una partı́cula. Otra magnitud de interés es la intensidad de radiación I(r, t, θ, ϕ) que se define como la potencia radiada por unidad de ángulo sólido. Considerando la superficie esférica de radio r, su superficie es 4π r2 mientras que el ángulo sólido que subtiende es 4π, luego I = P r2 = µ0q2 16π2c ³ a(t − r c ) ´2 sen2 θ (4.45) -1 -0.5 0.5 1 -0.4 -0.2 0.2 0.4 θ x z E/E I/I max max x z y (a) (b) Figura 4.10:
- 159. 141 En la figura 4.10-a se representa el diagrama polar de radiación para |~ P/~ Pmax| = I/Imax y | ~ B/ ~ Bmax| = | ~ E/ ~ Emax|, en función de θ y ϕ, para un punto a distancia arbitraria r del origen. En la figura 4.10-b se representa una sección del mismo diagrama en un plano ϕ = cte. Como puede verse, la carga radia con máxima intensidad en las direcciónes transversales al dipolo y no radia en la longitudinal.
- 160. 142 4.5. Problemas 4-1. Calcule la energı́a almacenada en un condensador plano sometido a una diferencia de potencial entre placas V . El area de las placas es A y la distancia entre las mismas d. Exprese el resultado en función de (C , Q), (C , V ) y E. Desprecie los efectos de bordes. 4-2. Calcule la energı́a almacenada en un solenoide recto de sección circular que está recorrido por una intensidad I. Su longitud es l, su sección A y el número de espiras por unidad de longitud n. Exprese el resultado en función de (L , I), (L , Φ) y B. Desprecie los efectos de bordes. Solución: Tenemos dos alternativas, calcularla en función de la densidad de en- ergı́a Wm = 1 2µ0 Z V→∞ B2 dv o en función del flujo Wm = 1 2 IΦ El campo magnético en el interior del solenoide 14 es constante, por lo que la primera alternativa nos da Wm = 1 2µ0 V B2 donde V = A l es el volumen del solenoide. Por otra parte, teniendo en cuenta que la autoinducción se ha definido 15 como L ≡ Φ I Wm = 1 2 L I2 = 1 2 L Φ2 4-3. Sea una lı́nea coaxial, figura 4.11, compuesta por dos conductores cilı́ndricos. El interno de radio a y el externo de radio interior b y exterior c. La longitud de am- bos es L À a, b. Considere una pequeña sección de la misma de longitud ∆z ¿ L y alejada de los extremos. Por los conductores circulan intensidades I, uniforme- mente distribuidas, iguales y en sentido contrario y la diferencia de potencial entre ellos, en dicha sección, es V . Halle la energı́a electromagnética almacenada por unidad de longitud. 14 Véanse los problemas del capı́tulo segundo. 15 Véanse los problemas del capı́tulo segundo.
- 161. 143 2a I 2b I L>>a,b + - V Figura 4.11: 4-4. Una onda plana se propaga en el vacı́o en la dirección del eje z. El campo electrico en z = 0 es ~ E =→ E0 b x [e−t − e−2t] , , t > 0 0 , , t < 0 donde E0 = 100 µV · m−1. Halle, para z > 0, a) Campo magnético. b) Vector de Poynting. c) Energı́a total que atraviesa a un casquete hemisférico, de radio a = 1 m, cuyo eje es paralelo al z. SOLUCION: (a) - Para encontrar la expresión del campo electromagnético en cualquier posición z, basta con tener en cuenta que la onda viaja, a través del vacı́o, en la dirección positiva del eje z, por lo que t = (t− z c )z=0 y ~ E(z, t) = E0 h e−(t−z c ) − e−2(t−z c ) i b x Haciendo uso de la relación de estructura con ~ n = b z ~ B(z, t) = 1 c b z ∧ ~ E(z, t) = 1 c E(z, t) b y (b) - el vector de Poynting es ~ S0 = 1 µ0 ~ E ∧ ~ B = c ω0 b z = c ε0 E2 b z (c) - Puesto que el vacı́o no es disipativo, la energı́a que atraviesa el casquete es la misma que atraviesa un disco, del mismo radio y con el mismo eje, situado, como se muestra en la figura 4.12-c, en z = 0. Ası́, dicha energı́a puede calcularse de la forma W = Z ∞ t=0 ·Z ∆S ³ ~ S0 ´ z=0 · d~ s ¸ dt = ε0c E2 πa2 Z ∞ t=0 £ e−t − e−2t ¤2 dt
- 162. 144 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 -0.5 0.5 1 E t pulso tangentes iniciales x ^ y ^ z ^ ∆S t=t0 z=c t0 z ^ E (b) (a) (c) Figura 4.12: 4-5. Verifique que ~ E = b x e(−a2 t2−b2 z2+2 a b z t) puede corresponder a una onda que viaja a través del vacı́o. En caso afirmativo: a) Determine las condiciones que deben cumplir las constantes a y b. b) Calcule el campo magnético. c) Suponga que dicha onda incide, desde el vacı́o, sobre un conductor ideal que ocupa el semiespacio z > 0 y halle el campo electromagnético total resultante. En el caso dinámico, se dice que un conductor es ideal si su conduc- tividad es infinita. Como se comprobará más adelante, dicho conductor anula las componentes tangenciales del campo eléctrico. SOLUCION : (a) - Obviamente, si a b = c = 1 √ µ0ε0 , el campo eléctrico puede escribirse de la forma ~ E(z, t) = b x e−b2(z−ct)2 que pone de manifiesto que E = f(z − ct) es una onda que viaja en el sentido positivo del eje z. (b) - El campo magnético viene dado por la relación de estructura de las onda electromagnéticas en el vacı́o ~ B(z, t) = 1 c b z ∧ ~ E(z, t) = 1 c E(z, t) b y
- 163. 145 (c) - Si la onda incide sobre el conductor, debe existir, además de la incidente, una onda reflejada, de forma que, para z < 0 ~ Et(z, t) = ~ Ei (z, t) + ~ Er (z, t) = b x h e−b2(z−ct)2 + A e−b2(z+ct)2 i El argumento de la onda reflejada lleva un signo + puesto que ésta viaja en sentido contrario al de la incidente. La constante A se deter- minará mediante las condiciones de frontera en z = 0. Et(z = 0) = 0 ⇒ A = −1 Aplicando por separado la relación de estructura a las ondas incidente y reflejada, a la primera con ~ n = b z y a la segunda con ~ n = −b z, ~ Bt(z, t) = ~ Bi (z, t) + ~ Br (z, t) = 1 c b y h e−b2(z−ct)2 + e−b2(z+ct)2 i 4-6. Para una onda plana monocromática que se propaga en un medio con: ~ E(z, t) = (b y + 2b x) cos(109 t + 30z) V · m−1 Calcule: a) La dirección de propagación. b) El vector unitario en la dirección de la polarización. c) La frecuencia f, la angular ω y el periodo T de la onda. d) El número de onda k y la longitud de onda λ. e) la velocidad de fase ¿Se propaga esta onda en el vacı́o? f) El campo magnético. 4-7. Considere una onda electromagnética que se propaga en la dirección b x en el vacı́o, la cual se descompone en la suma de otras dos: (a) - ~ E = ŷ E1 cos(ωt − kx) + ŷ E2 cos(ωt − kx + α) Obtenga ~ P y h~ Pi. Los valores obtenidos ¿son la suma de los correspondientes a cada componente de la onda ? (b) - Repita el problema si ~ E = ŷ E1 cos(ωt − kx) + ẑ E2 cos(ωt − kx + α) SOLUCION: (a) - Aplicando la relación de estructura ~ B = 1 c b x ∧ ~ E = E c b z = b z c (E1 cos ϕ + E2 cos (ϕ + α)) , ϕ = ωt + kx
- 164. 146 y el vector de Poynting ~ P = 1 µ0 ~ E ∧ ~ B = b x 1 µ0c £ E2 1 cos2 ϕ + E2 2 cos2 (ϕ + α) + 2 E1E2 cos ϕ cos (ϕ + α) ¤ Dado que cos2 a = 1 2 (1 + cos 2a) , cos a cos b = 1 2 [cos (a + b) + cos (a − b)] ~ P = 1 2 b x µ0c E2 1 + E2 2 + (c) z }| { 2 E1E2 cos α | {z } (a) + E2 1 cos 2ϕ + E2 2 cos (2ϕ + 2α) + 2 E1E2 cos (2ϕ + α) | {z } (b) Como puede verse, los términos (b) oscilan en el tiempo sobre un valor medio nulo, por lo que el valor medio viene dado por los (a). Las dos componentes de la onda no constituyen modos independientes, por lo que aparece el sumando (c) que representa a la interferencia entre las dos componentes h~ Pi = 1 2 b x µ0c E2 1 + E2 2 + 2 E1E2 cos α | {z } (c) (b) - En este segundo caso las dos componentes están polarizadas en di- recciones distintas, por lo que son independientes. Aplicando la relación de estructura se tiene que el valor medio del vector de Poynting es h~ Pi = 1 2 b x µ0c £ E2 1 + E2 2 ¤ Comprobamos que en este caso no existe término de interferencia y cada una aporta independientente su contribución al flujo de potencia. 4-8. Sea el campo ~ E = E0x cos (ω t−k z) b x+E0y cos (ω t−k z +ϕ) b y = x b x+y b y. Dibuje la trayectoria del extremo del vector ~ E en el plano z = 0, a lo largo del tiempo. Se dice que una onda está polarizada linealmente si la trayectoria es una recta, elı́pticamente , si es una elipse, y circularmente si es una circunferencia.¿Qué condiciones deben cumplir los parámetros E0x, E0y y ϕ para que la polarización sea de cada uno de los tipos arriba mencionados? 4-9. Demuestre que los siguientes campos eléctricos pueden corresponder a ondas elec- tromagnéticas planas en el vacı́o, que se propagan según el eje z, y calcule los campos magnéticos asociados. a) ~ E = E0 e±j ω z/c ej ω t b x
- 165. 147 b) ~ E = E0 cos (ω z c ) cos (ω t) b y Calcule el vector de Poynting y analize en que forma transporta la energı́a cada una de estas ondas. 4-10. Demuestre que la onda plana ~ E = E0 cos k(z − ct) b x puede ser descrita con sólo un potencial vector que, además, cumple la condición de Culomb. Solución: El vector unitario de propagación es ~ n = b z. Escribiendo α = k(z − ct) y haciendo uso de la relación de estructura ~ E = E0 cos α b x , ~ B = E0 c cos α b y Debemos comprobar que se llega a este mismo resultado siguiendo el enunciado del problema: ~ E = − ∂ ~ A ∂ t = − d ~ A d α ∂ α ∂ t = k c d ~ A d α Luego ~ A = A b x y A = E0 k c Z cos α dα + cte = E0 k c sen α La constante de integración se ha tomado como nula. Dado que el campo no depende de x ni de y ~ B = ∇ ∧ ~ A = b y ∂ ~ A ∂ z = b y d ~ A d α ∂ α ∂ z = E0 c cos α b y Por último, dado que hemos supuesto que, en este caso, V puede tomarse como nulo, el contraste de Coulomb y el de Faraday se ex- presan de la misma forma. 4-11. Demuestre que las ondas f(u) (u = x − ct), que se propagan en la dirección ~ n = +b x, cumplen la ecuación µ ∂ ∂ x + 1 c ∂ ∂ t ¶ f(u) = 0 y las g(w) (u = x + ct), que lo hacen en la ~ n = −b x, cumplen la ecuación µ ∂ ∂ x − 1 c ∂ ∂ t ¶ g(w) = 0 .
- 166. 148 4-12. El ritmo medio al que la energı́a solar incide sobre la Tierra es aproximadamente 1400 W · m−2. a) Calcule el valor del campo eléctrico en la superficie terrestre considerando a la luz solar como monocromática y linealmente polarizada. b) Si el Sol radia isotrópicamente, ¿con que potencia lo hace ? La distancia de la Tierra al Sol es 1,49 × 108 km. c) Calcule la potencia total recibida por la Tierra sabiendo que su radio es 6,37× 103 km. Se dice que un cuerpo radia de forma isótropa cuando la intensidad de radiación es independiente de la dirección. 4-13. Considere un transmisor que colocado en la Luna radia isotrópicamente a la fre- cuencia de 5 GHz y con una potencia de 1 W. Sabiendo que la distancia Tierra- Luna es 3,8 × 105 km, calcule: a) El valor de los campos E y B en la superficie de la Tierra. b) El valor medio del vector de Poynting en la superficie terrestre. c) La densidad media de energı́a. d) El tiempo que tarda una señal en alcanzar la Tierra. 4-14. Sean dos cargas puntuales ± q(t), en el vacı́o, situadas respectivamente en los puntos ± d 2 b z. a) Halle el potencial retardado producido en un punto arbitrario ~ r. b) Haga lo mismo, en la zona lejana (r À λ0 y r À d), para q(t) = q0 cos ω0 t. c) Aproxime el resultado anterior para un dipolo eléctricamente pequeño (d << λ0). SOLUCION: (a) - El potencial retardado viene dado por la integral V (~ r, t) = 1 4πε0 Z V0 [ρ] R dv0 Si las dos cargas se situan sobre el eje z, figura 4.13 la densidad puede describirse como ρ(z0 ) = q(t) ½ δ(~ r 0 − 1 2 d b z) − δ(~ r 0 + 1 2 d b z) ¾ La densidad retardada es, por lo tanto, [ρ] = q(t − R c ) ½ δ(~ r 0 − 1 2 d b z) − δ(~ r 0 + 1 2 d b z) ¾
- 167. 149 ^ ^ y ^ n ^ r d 2 z ^ + d 2 z ^ - V ∆ θ P R R 1 2 z x Figura 4.13: Realizando la integral V (~ r, t) = 1 4πε0 ( q(t − R1 c ) R1 − q(t − R2 c ) R2 ) (4.46) donde, ~ R1 = ~ r − 1 2 d b z , ~ R2 = ~ r + 1 2 d b z (b) - En el caso de que q(t) sea una función armónica la expresión 4.46 toma la forma V (~ r, t) = q0 4πε0 ( cos ω0(t − R1 c ) R1 − cos ω0(t − R2 c ) R2 ) (4.47) Los término 1 R podemos aproximarlos en la zona lejana como 1 R ' 1 r pero este tipo de aproximación no debemos hacerlo en el argumen- to del coseno porque el potencial resultante serı́a nulo. Haremos una aproximación que nos de un resultado significativo. Definamos δ = r − R con lo que cos ω0(t − R c ) = cos (ω0 t − k0 r + k0 δ) = cos (ω0 t − k0 r) cos (k0 δ) − sen (ω0 t − k0 r) sen (k0 δ)
- 168. 150 donde k0 = ω0 c = 2π λ0 Si R À d, según la figura 4.13, podemos hacer la aproximación δ = ~ n · ~ r 0 = δ1 = 1 2 d cos θ para ~ r 0 = 1 2 d δ2 = −1 2 d cos θ para ~ r 0 = −1 2 d de acuerdo con ésto la ecuación 4.47 se aproxima por V (~ r, t) ' − q0 2πε0 sen ω0 (t − r c ) r sen (k0 d 2 cos θ) (c) - En este caso d λ0, luego y x = 1 2 k0 d cos θ = π d λ0 cos θ 1 ⇒ sen x ' x ⇒ El potencial retardado producido por un dipolo corto es, en consecuen- cia V (~ r, t) ' − q0 2ε0 d λ0 sen ω0 (t − r c ) r cos θ 4-15. La figura 4.13 muestra dos cargas puntuales, de igual magnitud y signo opuesto, unidas mediante un conductor de longitud d por el que circula una corriente tal que q = q0 cos ωt. Bajo la condición de campo lejano, r d, y suponiendo que el dipolo es eléctricamente corto, d λ, halle La potencia radiada. 16 Solución: Para este apartado seguiremos los pasos dados en la sección 4.4 Previamente calcularemos la intensidad aplicando la ley de conservación de la carga: La intensidad que entra en el volumen V es igual a la razón de incremento temporal de la carga almacenada en el mismo. I = d q d t = −q0 ω sen ω t Puesto que se trata de un conductor filiforme, el potencial vector viene dado por ~ A(~ r, t) = b z µ0 4π Z 1 2 d −1 2 d I(t − R c ) dz 0 R 16 Esta última condición, como puede verse en la sección E.2, implica que la intensidad es cuasi- estacionaria, es decir, que I = I(t) es aproximadamente independiente de z.
- 169. 151 Aproximando R ' r ~ A(~ r, t) = −C b z 1 r sen u donde C = µ0ω p0 4π , p0 = q0 d , u = ω (t − r c ). Si despreciamos el término proporcional a ∇ µ 1 r ¶ ∼ 1 r2 , y tenemos en cuenta que ∇ u = −ω b r c ~ B = ∇ ∧ ~ A = −C 1 r ∇ ∧ (b z sen u) = − µ0ω2 p0 4π c 1 r cos ω (t − r c ) sen θ b ϕ Integrando el vector de Poynting ~ P = c B2 µ0 b r sobre la superficie de una esfera de radio r obtenemos la potencia radiada P(r, t) = µ0ω4 p2 0 6π c cos2 ω (t − r c ) La potencia radiante de un dipolo eléctrico crece con la cuarta potencia de la frecuencia, por lo que las oscilaciones de baja frecuencia radian muy poca energı́a. 4-16. Halle la potencia que radiarı́a un electrón clásico girando alrededor de un núcleo de hidrógeno, en una órbita de radio a y con velocidad angular uniforme ω. 4-17. Halle la intensidad radiada en la colisión frontal de dos partı́culas, con carga de distinto signo, que se mueven en las proximidades del origen. Suponga que una de las partı́culas tiene una masa M muy superior a la de la otra, m, y que el movimiento de ambas es lento. 4.6. Resolución de las ecuaciones de Maxwell unidimen- sionales mediante el método FD–TD: FDTD 1D − vacio.nb 17 Lo que expondremos a continuación ilustra la solución numérica de la ecuación de ondas mediante el uso del método de las Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FD-TD) 18. 17 Basado en un programa de S. González. 18 Finite Difference–Time Domain.Véase [Taflove].
- 170. 152 4.6.1. La ecuación de onda unidimensional Las ecuaciones rotacionales de Maxwell, para ondas que están polarizadas en la dirección del eje y y se propagan, en el vacı́o, a lo largo del eje x, pueden expresarse como ∂ ey(x, τ) ∂ τ = − ∂ Bz(x, τ) ∂ x (4.48) ∂ Bz(x, τ) ∂ τ = − ∂ ey(x, τ) ∂ x (4.49) para lo cual se han normalizado el campo eléctrico y el tiempo 19. ey ≡ Ey c , τ ≡ c t Eliminando el campo magnético, o el eléctrico, de las ecuaciones anteriores se ob- tienen las ecuaciónes de onda para estos campos: ∂2 ey(x, τ) ∂ x2 = ∂2 ey(x, τ) ∂ τ2 , ∂2 Bz(x, τ) ∂ x2 = ∂2 Bz(x, τ) ∂ τ2 La solución general compatible con las ecuaciones de Maxwell tiene la forma ey(x, τ) = f(x − τ) + g(x + τ) , Bz(x, τ) = f(x − τ) − g(x + τ) (4.50) en la que f y g son funciones arbitrarias, aunque de buen comportamiento, que se propagan respectivamente en el sentido positivo y negativo del eje x. Condiciones iniciales: Para obtener la solución temporal a partir de las condiciones iniciales ey(x, 0) = f(x) + g(x) , Bz(x, 0) = f(x) − g(x) basta con substituir los argumentos ’x’ de dichas funciones por ’x ± τ’, según se trate de f(x − τ) o de g(x + τ). Por ejemplo, si se excita inicialmente el espacio con un campo eléctrico de perfil gausiano ey(x, 0) = e− 1 a2 (x−x0)2 , Bz(x, 0) = 0 (4.51) la solución a lo largo del tiempo toma la forma 19 Estas definiciones son ventajosas para el cálculo numérico ya que, en el vacı́o, para una onda que se propaga en un sentido determinado, e = B.
- 171. 153 ey(x, τ) = 1 2 ¡ e− 1 a2 (x−τ−x0)2 + e− 1 a2 (x+τ−x0)2 ¢ Bz(x, τ) = 1 2 ¡ e− 1 a2 (x−τ−x0)2 − e− 1 a2 (x+τ−x0)2 ¢ que representa a dos ondas de igual amplitud y que viajan en sentidos opuestos. Puede comprobarse que cada una de éstas cumple su respectiva relación de estructura y que sus vectores de Poyntyng tienen las direcciones ±b x. Por otra parte, para τ = 0, cumplen con las con las condiciones iniciales 4.51. Por el contrario, si la excitación es del tipo ey(x, 0) = e− 1 a2 (x−x0)2 , Bz(x, 0) = +ey(x, 0) (4.52) la solución temporal es una sola onda que viaja en la dirección +b x. ey(x, τ) = e− 1 a2 (x−τ−x0)2 , Bz(x, τ) = e− 1 a2 (x−τ−x0)2 4.6.2. Solución numérica Para resolver numéricamente estas ecuaciones, se definirá un dominio numérico en cuyos nudos se tomarán muestras del valor de los campos y sobre el cual se definirán operadores numéricos de diferenciación espacial y temporal basados en diferencias cen- tradas. Con estas herramientas, se diseñarán algoritmos de avance temporal de los cam- pos que permiten, en sucesivas iteraciones, actualizar sus valores en cada nudo a lo largo del tiempo. Dominio numérico: Como se muestra en la figura 4.14, el espacio y el tiempo se discretizan a intervalos δx y δτ de lo que resulta un dominio numérico constituido por los nudos x = iδx , i = 0, · · · 2nc τ = nδτ , n = 0, · · · 2ni + 1 (4.53) Los nudos se agrupan por parejas, en celdas, segun la dirección espacial, y en itera- ciones según la temporal. El campo eléctrico se evalua en los nudos pares i = 0, 2, · · · 2nc y en instantes pares n = 0, 2, · · · 2ni (en la figura ’¦’) y el magnético en los impares i = 1, 3, · · · 2nc − 1 y en instantes impares i = 1, 3, · · · 2ni + 1 (en la figura ’◦’). nc es el número de celdas completas; en la última, 2nc + 1, solo se toma la muestra del campo eléctrico. Los nudos de coordenada temporal n = 0, 1 corresponden a la iteración 0 y contienen las condiciones iniciales. El resto contiene a los campos en las sucesivas iteraciones (n = 2, 4 · · · , 2ni. En cada una de las iteraciones se calcula, mediante el algoritmo de avance temporal, primero el campo eléctrico y posteriormente el magnético.
- 172. 154 c 1 2 3 n=τ/δτ i=x/ x δ condiciones iniciales iteración ni iteración 1 campo magnético campo eléctrico 2 nc-2 2nc 2 ni 1 -A A + + condición absorbente a b 1 0 (i-1,n+1) (i,n) 0 1 2 condiciones de contorno A -A 1 celda 1 celda 2 celda nc celda nc+1 Figura 4.14: Red numérica FD–TD Desarrollo del programa: El programa que proponemos a continuación puede dividirse esquemáticamente en las siguientes etapas: 1. Establecimiento de las condiciones iniciales. 2. Cálculo de los campos en iteraciones sucesivas mediante los algoritmos de avance temporal y las condiciones de contorno: a) Cálculo del campo eléctrico de los nudos interiores y en el instante (n). b) Cálculo del campo magnético en el instante (n + 1). c) Cálculo del campo eléctrico en los nudos extremos y en el instante (n). 3. Generación de los fotogramas correspondientes a las distintas iteraciones. Diferencias finitas centradas: Es posible resolver numéricamente las ecuaciones rotacionales de Maxwell mediante la aproximación de los operadores diferenciales por otros numéricos en diferencias cen- tradas. Con este fin, se divide el espacio α en intervalos de longitud h y se define el operador derivada centrada de una función f(α) de la forma Dα[f(α)] = 1 2h {f(α + h) − f(α − h)}
- 173. 155 Desarrollando en serie de Taylor f(α + h) y f(α − h), restando, despejando y des- preciando términos de orden O(h2), se tiene que d f(α) d α ' Dα[f(α)] Este operador aproxima al operador derivada analı́tica hasta el segundo orden en h. Avance temporal: El algoritmo que permite avanzar temporalmente al campo en los distintos puntos de la red se obtiene substituyendo a los operadores diferenciales por los correspondientes en diferencias. Con este fı́n, en cada iteración n = 2, 4 · · · 2ni seguiremos los siguientes pasos: Cálculo del campo electrico. El circulo (b) de la figura 4.14 está centrado en el punto (i, n − 1), marcado por una cruz, y contiene una estrella de cuatro puntas cuyo nudo superior es el (i, n), donde i y n son pares. Para calcular el campo eléctrico en este último nudo, evaluamos la ecuación 4.48 en el centro de la estrella y despejamos ey(i, n). De esta forma se obtiene una expresión que relaciona a este campo con él mismo y con el magnético en instantes anteriores. Simplificaremos la notación escribiendo: ey ≡ e , Bz ≡ B , f(i, n) ≡ fn i – Ecuación 4.48 evaluada en (i,n-1). en i = en−2 i + A £ Bn−1 i−1 − Bn−1 i+1 ¤ , i = 2, 4 · · · 2nc − 2 (4.54) donde se excluyen los nudos frontera, en los que hay que aplicar las conciciones de contorno. Cálculo del campo magnético. El circulo (a) está centrado en el punto (i − 1, n) y el nudo superior de la estrella correspondiente es el (i − 1, n + 1). Para calcular el campo magnético en este último nudo, evaluamos la ecuación 4.49 en el centro de la estrella y despejamos Bn+1 i−1 . – Ecuación 4.49 evaluada en (i-1,n). Bn+1 i−1 = Bn−1 i−1 + A £ en i−2 − en i ¤ , i = 2, 4 · · · 2nc − 2 (4.55) En el programa siguiente, en cada iteración se aplicarán los algoritmos de avance anteriores, para ambos campos y para i = 2, 4 · · · 2nc − 2, con lo que, véase la figura 4.14, no se cubre a la componente Bn+1 2nc−1 la cual habrá de calcularse pos- teriormente. La estructura de los algoritmos se muestran dentro de los cı́rculos (a) y (b) de la figura 4.14
- 174. 156 Condición de Courant: El coeficiente que aparece en el segundo miembro es A = δτ δx Puede demostrarse que, para que los algoritmos numéricos sean estables, es necesario que se cumpla la condición de Courant δx δτ ≥ 1 (4.56) En adelante se tomará A = 1 ⇒ δx = δτ = δ Condiciones iniciales: Las condiciones iniciales se imponen en los dos primeros instantes (n = 0, 1) (figura 4.14) e0 i = e0(i) , i = 0, 2, · · · , 2nc B1 i = B1(i) , i = 1, 3, · · · , 2nc − 1 (4.57) Condiciones de contorno: Dado que el dominio numérico es finito, X = [0 ≤ x ≤ L], en sus extremos deben aplicarse condiciones de contorno adecuadas. En el primer ejemplo supondremos X limitado por planos conductores ideales x = 0 y x = L ó i = 0 e i = 2 nc. Obsérvese en la figura 4.14 que este dominio se ha configurado de forma tal que en los nudos extremos sólo está definido el campo eléctrido. Dado que éste es tangencial a los conductores, y estos son perfectos, debe anularse en la superficie. Impondremos, por lo tanto, condiciones reflectantes Condiciones reflectantes → en 0 = 0 en 2nc = 0 (4.58) En el segundo ejemplo se impondrán condiciones absorbentes, con las cuales se simula la existencia en los puntos extremos de superficies perfectamente absorbentes (no reflectantes), de forma que una onda incidente sobre las mismas continúa propagándose, sin reflejarse, como si el medio correspondiente se extendiese más allá del la frontera numérica. Las ondas que inciden desde el interior de X sobre el punto x = 0 son las f(w = x+τ), que viajan en el sentido negativo del eje x, y su velocidad de fase normalizada es
- 175. 157 ν− ≡ v− c = µ d x d τ ¶ w=cte = −1. De forma análoga, las que inciden sobre el punto x = L son las f(u = x − τ), que viajan en el sentido positivo del eje x, y cuya velocidad de fase normalizada es ν+ = 1. En cualquiera de estos dos casos, tomando δx = δτ = δ, las ondas recorren un espacio 2 δ en el tiempo 2 δ y las condiciones absorbentes toman la siguiente forma Condiciones absorbentes → en 0 = en−2 2 en 2nc = en−2 2nc−2 (4.59) La curva (c) de la figura 4.14 delimita el esquema de la condición absorbente en 2nc. Programa Mathematica FDTD 1D − vacio.nb: En este programa se hace uso de funciones discretas f(i, n). Ejemplo 1o En este primer ejemplo se simula una onda de perfil gausiano que viaja inicialmente hacia la derecha y que se refleja sucesivamente sobre dos planos conductores. Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; f(i, n) la escribiremos de la forma. f[i , n ] := Exp[− 1 na2 ∗ (i − n − nc)2 ]; en la que el punto central del pulso se ha situado en i = nc en el instante inicial n = 0. Se asignan valores concretos al número de celdas nc, al de iteraciones ni y al factor que define la anchura del pulso na. nc = 60; ni = 120; na = 8; Los valores de los campos en cada posición (i) y en cada instante (n) se almacenan en las funciones ey(i, n), con (i, n) pares, y Bz(i, n) 20, con (i, n) impares. Para cada posición (i), estas funciones se incluyen en listas con dos elementos {i, ey(i, n)} y {i, Bz(i, n)}. Se comienza por definir las condiciones iniciales en función de f(i, n). te0 = Table[{i, ey[i, 0] = N[f[i, 0]]}, {i, 0, 2 ∗ nc, 2}]; ey[0, 0] = 0; ey[0, 2 ∗ nc] = 0 20 Esto supone guardar en memoria los campos correspondientes a todas las iteraciones que se realicen a lo largo de la ejecución del programa, lo que es poco eficiente y resulta prohibitivo para problemas de dos y tres dimensiones. El esquema FDTD permite guardar en memoria únicamente los datos más recientes para cada posición i, lo que reduce la necesidad de memoria en el factor 1 2nc . Haremos uso de esta posibilidad en la sección B.2.1.
- 176. 158 Se anula el campo eléctrico en los nudos frontera porque las condiciones en los mismos son reflectantes. tB1 = Table[{i, Bz[i, 1] = N[f[i, 1]]}, {i, 1, 2 ∗ nc − 1, 2}]; Se hace uso de la orden N[] para que la tabla se llene con los valores numéricos y no de expresiones analı́ticas. En caso contrario el cálculo se ralentiza y el ordenador puede saturarse. Los representamos gráficamente, sin mostrarlos, ey(i, 0) en rojo y Bz(i, 1) en azul: grey0 = ListPlot[te0, PlotStyle → {PointSize[0.015], RGBColor[1, 0, 0]}, DisplayFunction → Identity, PlotRange → {0, 1}]; grBz1 = ListPlot[tB1, PlotStyle → {PointSize[0.015], RGBColor[0, 0, 1]}, DisplayFunction → Identity, PlotRange → {0, 1}]; y los mostramos conjuntamente. Show[grey0, grBz1, DisplayFunction → $DisplayFunction]; La figura 4.15 presenta solamente la parte significativa de las funciones. Puede verse como las muestras de cada campo se toman en nudos alternados de la red. Dado que Ey = f(x) y Bz = g(x) = 1 c f(x), este pulso corresponde a una sola onda cuyo vector de Poynting tiene la dirección b x. 45 50 55 60 65 70 75 80 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 4.15: Para calcular el resto de los valores se emplea un lazo Do que aplica las reglas de avance temporal. Dentro de este lazo se hace uso de otro Do para determinar los campos en los nudos interiores, salvo el campo magnético de los nudos 2nc − 1 21 y el eléctrico de los de la frontera que se calculan fuera de este último lazo. 21 Nótese que el algoritmo de avance temporal no puede aplicarse a los nudos de la frontera porque, en ese caso, necesita datos que estarı́an fuera del dominio numérico. Compruebe, figura 4.14, que Bz[2*nc - 1, n + 1] queda fuera del lazo.
- 177. 159 Do[{Do[{ey[i, n] = ey[i, n − 2] − Bz[i + 1, n − 1] + Bz[i − 1, n − 1], Bz[i − 1, n + 1] = Bz[i − 1, n − 1] − ey[i, n] + ey[i − 2, n]}, {i, 2, 2 ∗ nc − 2, 2}], Bz[2 ∗ nc − 1, n + 1] = Bz[2 ∗ nc − 1, n − 1] − ey[2 ∗ nc, n] + ey[2 ∗ nc − 2, n]}, ey[0, n] = 0, ey[2 ∗ nc, n] = 0{n, 2, 2 ∗ ni, 2}]; Para visualizar la propagación del pulso electromagnético, con los colores empleados en la gráfica anterior, se representa a los campos en cada instante temporal y se activa la pelı́cula de la forma ya descrita en un programa anterior. Para que las señales no se solapen totalmente, Bz se multiplica por el factor 0,9. Table[Show[ListPlot[Table[{i, ey[i, n]}, {i, 0, 2 ∗ nc, 2}], PlotJoined → True, PlotRange → {−2.1, 2.1}, DisplayFunction → Identity, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0]}], ListPlot[Table[{i, 0.9 ∗ Bz[i, n + 1]}, {i, 1, 2 ∗ nc − 1, 2}], PlotJoined → True, PlotRange → {−2.1, 2.1}, DisplayFunction → Identity, PlotStyle → {RGBColor[0, 0, 1]}], DisplayFunction → $DisplayFunction], {n, 0, 2 ∗ ni, 2}]; La figura 4.16 corresponde al fotograma no35 de la pelı́cula. En él se ve como la onda se ha reflejado ya en el extremo derecho, donde se simula al conductor ideal. El campo eléctrico, que es tangencial, se anula en ese punto, mientras que el magnético se refuerza. Al mismo tiempo, la onda se propaga hacia la izquierda: el Bz reflejado no cambia de signo mientras que Ey lo inviete; el vector de Poynting cambia su sentido a −b x. 90 100 110 120 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 Figura 4.16: Ejemplo 2o En este caso se simula, junto con la onda del ejemplo anterior, otra que viaja en sentido contrario y se hace uso de las condiciones de frontera absorbentes. Remove[”Global‘ ∗ ”];
- 178. 160 Se elijen los valores de los parámetros. nc = 60; ni = 40; na = 8; n0 = 40; f[i , n ] := Exp[− 1 na2 ∗ (i − n − nc)2 ]; La segunda onda se define con un perfil que resulta de modular el pulso gausiano del primer ejemplo con una función senoidal de periodo T = n0 δ ge[i , n ] := f[i, n] ∗ 4 ∗ Sin[ π ∗ (i + n − nc) n0 ]; Se generan las gráficas sin mostrarlas. f0 = Table[{i, f[i, 0]}, {i, 0, 2 ∗ nc, 2}]; ge0 = Table[{i, ge[i, 0]}, {i, 0, 2 ∗ nc, 2}]; grf = ListPlot[f0, PlotJoined → True, PlotRange → {−1.2, 1.2}, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0]}, DisplayFunction → Identity]; grge = ListPlot[ge0, PlotJoined → True, PlotRange → {−1.2, 1.2}, PlotStyle → {RGBColor[0, 0, 1]}, DisplayFunction → Identity]; La figura 4.17 muestra conjuntamente ambas funciones. Show[grf, grge, DisplayFunction → $DisplayFunction]; 20 40 60 80 100 120 -1 -0.5 0.5 1 Figura 4.17: A partir de estas funciones se obtienen los valores iniciales de ambos campos ey0b = Table[ey[i, 0] = N[f[i, 0] + ge[i, 0]], {i, 0, 2 ∗ nc, 2}];
- 179. 161 Bz1b = Table[ Bz[i, 1] = N[f[i, 1] − ge[i, 1]], {i, 1, 2 ∗ nc − 1, 2}]; se generan las gráficas grey0b = ListPlot[Table[{i, ey[i, 0]}, {i, 0, 2 ∗ nc, 2}], PlotStyle → {PointSize[0.015], RGBColor[1, 0, 0]}, PlotRange → {−1, 2}, DisplayFunction → Identity]; grBz1b = ListPlot[Table[{i, Bz[i, 1]}, {i, 1, 2 ∗ nc − 1, 2}], PlotStyle → {PointSize[0.015], RGBColor[0, 0, 1]}, PlotRange → {−1, 2}, DisplayFunction → Identity]; En la figura 4.18 se muestra la suma de los pulsos iniciales. Dado que ey = f(x) y Bz = g(x) 6= f(x) estos campos se desglosan en dos ondas que se propagan en sentidos opuestos. Show[grey0b, grBz1b, DisplayFunction → $DisplayFunction]; 20 40 60 80 100 120 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 Figura 4.18: Por último, se forman las tablas ey(i, n) y Bz(i, n), se generan las gráficas tempo- rales, como en el primer ejemplo, y se animan. Do[{Do[{ey[i, n] = ey[i, n − 2] − Bz[i + 1, n − 1] + Bz[i − 1, n − 1], Bz[i − 1, n + 1] = Bz[i − 1, n − 1] − ey[i, n] + ey[i − 2, n]}, {i, 2, 2 ∗ nc − 2, 2}], Bz[2 ∗ nc − 1, n + 1] = Bz[2 ∗ nc − 1, n − 1] − ey[2 ∗ nc, n] + ey[2 ∗ nc − 2, n], ey[0, n] = ey[2, n − 2], ey[2 ∗ nc, n] = ey[2 ∗ nc − 2, n − 2]}, {n, 2, 2 ∗ ni, 2}]
- 180. 162 Table[Show[ListPlot[Table[{i, ey[i, n]}, {i, 0, 2 ∗ nc, 2}], PlotJoined → True, PlotRange → {−2.2, 2.2}, DisplayFunction → Identity, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0]}], ListPlot[Table[{i, 0.9 ∗ Bz[i, n + 1]}, {i, 1, 2 ∗ nc − 1, 2}], PlotJoined → True, PlotRange → {−2.2, 2.2}, DisplayFunction → Identity, PlotStyle → {RGBColor[0, 0, 1]}], DisplayFunction → $DisplayFunction], {n, 0, 2 ∗ ni, 2}]; La figura 4.19a corresponde al fotograma no20. Cada uno de los pulsos se ha propa- gado en sentido opuesto pero aún no ha llegado al extremo correspondiente. La figura 4.19b corresponde al fotograma no30. Como puede observarse, los pulsos traspasan los lı́mites sin reflejarse. 20 40 60 80 100 120 -1 -0.5 0.5 1 20 40 60 80 100 120 -1 -0.5 0.5 1 (b) (a) Figura 4.19:
- 183. 165 Introducción A lo largo de la parte I se ha expuesto el cuerpo básico de la teorı́a del campo electro- magnético en el vacı́o. Los sistemas de carga han sido descritos, dentro de este contexto, bien sea por la enumeración de las cargas puntuales que lo componen y sus velocidades, o bien por la definición de las funciones densidad apropiadas. Este planteamiento funda- mental del problema es suficiente, en principio, para tratar la interacción entre sistemas de carga arbitrarios. Sin embargo, muchos sistemas de carga naturales y artificiales pre- sentan una estructura cuya descripción requiere la introducción de conceptos auxiliares. En esta parte trataremos de la caracterización multipolar de las distribuciones de carga estática y de corriente estacionaria. En general, el cálculo de los campos creados por una distribución localizada de carga, o corriente, sólo es factible de forma aproximada, por medio de métodos analı́ticos o numéricos. Las soluciones analı́ticas exactas son únicamente posibles en los casos en que la simetrı́a de la distribución es elevada. No obstante, vista desde lejos, dicha distribución crea campos ~ C que pueden descomponerse en suma de contribuciones multipolares ~ C2n de la forma ~ C = ~ Cm + ~ Cd + ~ Cc + · · · + ~ C2n + · · · donde cada uno de estos ~ C2n , términos ( 2n polares), tiene expresión analı́tica en función de una serie de parámetros, que llamaremos momentos multipolares, y de la posición relativa ~ r del punto de observación con respecto a un punto origen que se toma co- mo centro de la distribución. El campo asociado a ~ C2n decrece genéricamente con la distancia según la ley r−(n+2). El término ~ Cm, correspondiente a n = 0, es la contribución monopolar. Veremos que el momento monopolar eléctrico coincide con la carga neta de una distribución 22. ~ Cd es la contribución dipolar. La materia compuesta por moléculas neutras, gases, lı́quidos y sólidos, se comporta con gran precisión, desde el punto de vista eléctrico, como si se tratara de una distribución de dipolos. Desde el punto de vista magnético hay que tener en cuenta que la inexistencia de monopolos magnéticos coloca en primer plano al dipolo magnético: partı́culas elementales, como el electrón, en virtud de su momento angular o espı́n, poseen un momento dipolar magnético intrı́nseco. Aunque los momentos de orden superior tienen menos incidencia práctica, también son importantes. Ası́, pués, en la interacción nucleónica interviene de forma significativa el momento cuadripolar, las estructuras radiantes correspondientes a multipolos oscilantes son de gran interés, etc. En la parte III, dedicada al tratamiento fenomenológico de la materia, veremos cómo, efectivamente, los materiales dieléctricos y magnéticos se estudian de forma ade- cuada en función de una densidades de momento dipolar eléctrico ~ P y magnético ~ M, respectivamente. 22 Ya se ha reseñado en la primera parte que, desde el punto de vista clásico, no es necesario tener en cuenta la existencia de monopolos magnéticos.
- 184. 166
- 185. Capı́tulo 5 Campos Multipolares estáticos 5.1. Expansión multipolar de una distribución estática de carga Supongamos [Lorrain y Corson, Reitz et al., Jackson, Landau y Lifchitz FT] que, como se indica en la figura 5.1, se requiere calcular el campo que una distribución acotada de carga ρ(~ r 0), encerrada en un volumen V 0 finito y a distancia finita del origen de coordenadas, produce en un punto externo a la distribución. x ^ z ^ y ^ r ’ R max r ’ ρ (r ’) O dv’ r P V’ Figura 5.1: Hemos elegido el origen de coordenadas O de forma que r r0 max, siendo r0 max la máxima distancia de la distribución V 0 al origen. El cálculo riguroso del potencial nos llevarı́a a resolver la integral V (~ r) = 1 4πε0 Z V 0 ρ(~ r 0) R dv0 (5.1) La expansión multipolar del potencial electrostático, válida para puntos tales que r r0 max, la obtendremos realizando el desarrollo en serie de Taylor de la función R−1 alrededor del origen (~ r 0 = 0). En lo que sigue, haremos uso del convenio de Einstein de suma sobre ı́ndices repetidos, por lo que este desarrollo puede escribirse de las formas 167
- 186. 168 1 R = 1 r + x 0 i ½ ∂ ∂ x 0 i µ 1 R ¶¾ ~ r 0=~ 0 + 1 2 x 0 j x 0 k ( ∂2 ∂ x 0 j x 0 k 2 µ 1 R ¶) ~ r 0=~ 0 + · · · 1 R = 1 r |{z} (M) −x 0 i ∂ ∂ xi µ 1 r ¶ | {z } (D) + 1 2 x 0 j x 0 k ∂2 ∂ xj xk 2 µ 1 r ¶ | {z } (C) +Re O µ r 0 r ¶3 # (5.2) donde se ha tenido en cuenta que ∂ ∂ x 0 i ¡ 1 R ¢ = − ∂ ∂ xi ¡ 1 R ¢ y que r = (R)~ r 0=~ 0. El término (M) dará lugar al potencial monopolar, el (D) al dipolar y el (C) al cuadripolar, lo que permite expresar al potencial como suma de una serie de potenciales multipolares V (~ r) = Vm(~ r) + Vd(~ r) + Vc(~ r) + · · · Momento monopolar : Substituyendo el término (M) de 5.2 en 5.1, se obtiene el potencial monpolar Vm = Q 4πε0 1 r , Q = Z V 0 ρ(~ r 0 ) dv0 (5.3) Q es la carga neta o momento monopolar eléctrico de la distribución. El potencial monopolar es equivalente al que crearı́a toda la carga del sistema concentrada en el origen. Momento dipolar : Dado que ∂ ∂ xi µ 1 r ¶ = − xi r3 el potencial dipolar eléctrico es Vd(~ r) = 1 4πε0 1 r2 ~ p · b r (5.4) en el que ~ p = Z V 0 ~ r 0 ρ(~ r 0 ) dv0 (5.5) recibe el nombre de momento dipolar eléctrico del sistema. Es fácil demostrar que, si Q = 0, el momento dipolar del sistema de cargas es independiente del origen. Sólo en este caso puede hablarse, pués, del momento dipolar sin hacer referencia al origen. Es notable que, si bien el potencial monopolar decrece con la distancia según r−1, como el potencial de una carga puntual, del dipolar decrece como r−2.
- 187. 169 Momentos cuadripolares : El potencial cuadripolar se obtiene introduciendo el término (C) del desarrollo de R−1 en 5.1. Derivando ∂2 ∂xj∂xk µ 1 r ¶ = 1 r5 (3xj xk − r2 δjk) y podemos escribir Vc = 1 8πε0 1 r5 Pjk (3xj xk − r2 δjk) (5.6) siendo los coeficientes Pjk = Z V 0 x0 jx0 k ρ(~ r 0 ) dv0 los momentos de segundo orden de la densidad de carga de la distribución o momentos cudripolares. Estos constituyen una matriz simétrica que, como tal, puede ser diago- nalizada, lo que permitirı́a expresar a todos los elementos en función de tres de el- los. Siguiendo la misma pauta se obtienen los momentos y potenciales 2n-polares para n = 3, · · · . En el caso que nos ocupa, el cudripolar, puede obtenerse una expresión más conve- niente en la que se pone en evidencia que sólo dos de estos momentos son realmente independientes. Ello implicará la redefinición de los momentos cuadripolares. Con este fin, dado que 1 r es solución de la ecuación de Laplace para r 6= 0 1 ∇2 µ 1 r ¶ = δjk ∂2 ∂xj∂xk µ 1 r ¶ = 0 por lo que podemos restar 1 6 r02 δjk ∂2 ∂xj∂xk µ 1 r ¶ = 0 a (C), ecuación 5.2, sin alterarlo (C) = 1 6 (3x0 j x0 k − r02 δjk) (3xj xk − r2 δjk) Substituyendo en la integral del potencial, obtenemos Vc = 1 24πε0 1 r5 (3xj xk − r2 δjk) Qjk donde Qjk = Z V 0 (3x0 j x0 k − r02 δjk) ρ(~ r 0 ) dv0 (5.7) e Q = (Qjk) es el tensor momento cuadripolar y Qjk sus componentes o momentos cudripolares 2. Sumando los momentos de la diagonal Qxx + Qyy + Qzz se comprueba que Qjj = 0 (5.8) 1 δjk es la delta de Cronecker. 2 Aunque son diferentes de los Pjk, le daremos el mismo nombre.
- 188. 170 Es decir, la traza de e Q es nula y sólo dos elementos son independientes entre si. Puesto que el término r2 δjkQjk = r2 Qjj = 0 podemos eliminarlo de la expresión dada anteriormente para el potencial y escribir Vc = 1 8πε0 1 r5 xj xk Qjk (5.9) Si el sistema tiene un eje de simetrı́a, por ejemplo el eje z, Qxx = Qyy , Qzz = −2Qxx = Q Q será el momento cuadripolar del sistema y, en coordenadas polares Vc = Q 16πε0r3 (3 cos2 θ − 1) 5.1.1. Expansión multipolar de la energı́a de interacción de un sistema de carga con un campo externo De acuerdo con los resultados obtenidos en el párrafo 2.2.4, la energı́a de interacción de un sistema de cargas, ρ(~ r 0), definido en V 0, con un campo que derive de un potencial V (~ r 0) creado por cargas externas a V 0, puede escribirse como W = Z V 0 ρ(~ r 0 )V (~ r 0 ) dv0 (5.10) Si V (~ r 0) varı́a lentamente dentro de V 0, podemos desarrollarlo en serie de Taylor alrededor de un origen situado en el interior de la distribución 3. V (~ r 0 ) = V (~ 0) + x 0 i ½ ∂ ∂ x 0 i V (~ r 0 ) ¾ ~ r 0=~ 0 + 1 2 x 0 j x 0 k ( ∂2 ∂ x 0 j x 0 k 2 V (~ r 0 ) ) ~ r 0=~ 0 + · · · Teniendo en cuenta que Exi = − ∂ ∂ x 0 i V (~ r 0) V (~ r 0 ) = V (~ 0) − ~ r 0 · ~ E(~ 0) − 1 2 x 0 j x 0 k ∂ Ek ∂ x 0 j (~ 0) + · · · Dado que ~ E es externo y, por lo tanto, (∇0 · ~ E)~ r 0=0 = 0, podemos restar 1 6 r02 δjk ∂ Ek ∂ x 0 j (~ 0), con lo que V (~ r 0 ) = V (~ 0) − ~ r 0 · ~ E(~ 0) − 1 6 (3x0 j x0 k − r0 2 δjk) ∂ Ek ∂ x 0 j (~ 0) + ... 3 V (~ r 0 ) se debe a cargas externas a V 0 , luego no tiene singularidades en su interior.
- 189. 171 y W = Q V (~ 0) − ~ p · ~ E(~ 0) − 1 6 Qjk ∂ Ek ∂ x 0 j (~ 0) + · · · (5.11) Vemos, pués, que la interacción de un sistema de cargas con un campo externo, excluyendo la energı́a de interacción de las cargas del sistema entre si, o autoenergı́a, puede descomponerse en sumandos independientes asociados a los sucesivos momentos multipolares. W = Wm + Wd + Wc + ... En particular, la energı́a de interacción de un dipolo con un campo externo es Wd = −~ p · ~ E(~ 0) (5.12) Esta energı́a está asociada al campo eléctrico y no al potencial. Para el momento cuadripolar Wc = − 1 6 Qjk ∂ Ek ∂ x 0 j (~ 0) energı́a asociada a la dependencia espacial de las componentes de los campos. De esta manera se da lugar al desdoblamiento de niveles de energı́a nuclear por interacción del momento cuadripolar del núcleo con el campo molecular cristalino. 5.1.2. Multipolos puntuales Los multipolos puntuales de orden 2n son distribuciones puntuales de carga que presentan momentos multipolares nulos hasta el orden 2n−1, siendo el 2n el primero distinto de cero. Aunque pueden tener momentos de orden superior, vistos a distancias r À r0 max producen un potencial con estructura 2n–polar. Hemos visto que una carga puntual, como la de la figura 5.2, puede ser descrita por la densidad de carga ρ(~ r 0 ) = qδ(~ r 0 −~ l) ^ x ^ z ^ q V’ y l Figura 5.2:
- 190. 172 El momento monopolar será pues, Q = q Z V 0⊃q δ(~ r 0 −~ l) dv0 = q y el momento dipolar ~ p = q Z V 0⊃q ~ r 0 δ(~ r 0 −~ l) dv0 = q~ l que, evidentemente, depende del origen. Los multipolos puntuales de orden 2n se obtienen, a partir de los de orden 2n−1, desplazando el multipolo original a una distancia ~ dn y situando en la posición de partida a un multipolo de signo opuesto, véase la figura 5.3. 4 Octupolo ^ x ^ z ^ q l y ^ x ^ z ^ l d 1 -q +q y ^ x ^ z ^ l d 1 d 2 +q -q +q -q y ^ x ^ z ^ l d 1 d 2 d 3 -q +q -q +q -q +q -q Monopolo Dipolo Cuadrupolo y Figura 5.3: De esta forma, del monopolo se pasa a una estructura cuyo momento monopolar es Q = q − q = 0 y, por lo tanto, su primer momento no nulo es dipolar ~ p. Ası́ pues, el momento dipolar del dipolo puntual será ~ p = q Z v0→∞ ~ r 0 h δ(~ r 0 − ~ d1 −~ l) − δ(~ r 0 −~ l) i dv0 = q h ~ d1 +~ l −~ l i = q ~ d1 momento que, por corresponder a una distribución neutra, es independiente del origen. Repitiendo la operación con el dipolo, la distribución resultante tendrá un momento dipolar ~ pc = ~ p − ~ p = ~ 0, siendo su primer momento el cuadripolar e Q, etc.. Visto desde lejos, (l, dn ¿ r), el multipolo de orden 2n genera el potencial correspondiente a dos multipolos de orden 2n−1, iguales, de signo contrario y situados a la distancia relativa dn. V2n (~ r) = V2n−1 (~ r,~ l + ~ dn) | {z } (a) −V2n−1 (~ r,~ l) , l, dn ¿ r 4 Véase Panofsky Classical Electricity and Magnetism.
- 191. 173 Substituyendo ~ l por ~ r 0 y teniendo en cuenta que ~ dn ¿ r, podemos aproximar el potencial (a), de la forma V2n−1 (~ r,~ r 0 + ~ dn) ' V2n−1 (~ r,~ r 0 ) + ∇0 V2n−1 (~ r,~ r 0 ) · ~ dn Si ahora situamos al dipolo en el origen, haciendo ~ l = ~ r 0 = ~ 0 V2n (~ r) = ∇0 £ V2n−1 (~ r,~ r 0 ) ¤ ~ r 0=~ 0 · ~ dn (5.13) Este resultado, obtenido apoyándonos en la representación de dipolos puntuales es válido, naturalmente, para cualquier tipo de multipolos. 5.1.3. El dipolo eléctrico Dada la importancia del dipolo, es conveniente detenernos en su estudio. A partir del potencial 5.4 podemos hallar el campo que produce ~ Ed(~ r) = −∇Vd = 1 4πε0 1 r3 [3(~ p · b r) b r − ~ p ] (5.14) que, como ya habı́amos anunciado, decrece globalmente con la distancia según r−3 y no, como el monopolar, según r−2. Si elegimos el eje z en la dirección del dipolo, ~ p = p b z, y escribimos la expresión del campo y del potencial en coordenadas esféricas Vd(~ r) = p 4πε0 cos θ r2 (5.15) ~ Ed = p 4πε0r3 h 2 cos θ b r + sen θ b θ i (5.16) Las superficies equipotenciales vendrán dadas por la ecuación r2 = A cos θ (5.17) y las lı́neas de campo por 5 dr 2 cos θ = r dθ sen θ ⇒ dr r = 2 d sen θ sen θ ⇒ r = B sen 2θ ϕ = cte (5.18) La figura 5.4 representa a las lı́neas de campo y a las superficies equipotenciales. 5 Este es uno de los casos en que la ecuación de las lı́neas es fácilmente integrable. En concreto, debido a que puede escribirse de forma separable f(x) dx = g(y) dy.
- 192. 174 p E V=cte z ^ Figura 5.4: 5.1.3.1. Energı́a, par y fuerza de un dipolo La energı́a de interacción de un dipolo en un campo externo, según hemos visto, es Wd = −~ p · ~ E luego, sus valores extremos serán Wmin = −pE ⇒ ~ p ↑↑ ~ E Wmax = pE ⇒ ~ p ↑↓ ~ E lo que implica que el dipolo tratará de alinearse con el campo aplicado. Razonando sobre dipolos puntuales no es difı́cil comprobar que este alineamiento es inducido por un par ~ T = ~ p ∧ ~ E (5.19) Para ello, despreciaremos la pequeña variación del campo en las inmediaciones de ~ r, es decir, tomamos ~ E(~ r + ~ dr) ' ~ E(~ r). Según la figura 5.5 ~ T = X ~ ri ∧ ~ Fi = ~ r ∧ (−q ~ E) + (~ r + d~ r) ∧ q ~ E = ~ p ∧ ~ E Además de este par que tiende a alinear los dipolos con el campo aplicado, éstos sentirán una fuerza ~ F = X ~ Fi = ~ F+ + ~ F− = q ~ E(~ r + d~ r) − q ~ E(~ r) Desarrollando Ex alrededor de ~ r Fx = qEx(~ r) + q d~ r · [∇ Ex(~ r)] − qEx(~ r) = (~ p · ∇)Ex
- 193. 175 E(r ) ^ x ^ z ^ F - F+ d r r y Figura 5.5: por lo que ~ F podrá expresarse como ~ F = µ px ∂ ∂x + py ∂ ∂y + pz ∂ ∂z ¶ ³ Ex b i + Ey b j + Ez b k ´ ⇒ ~ F = (~ p · ∇) ~ E (5.20) Dado que el campo es estático ∇ ∧ ~ E = 0 y ~ F = ∇(~ p · ~ E) = −∇(Wd) (5.21) 5.1.4. Densidades dipolares Por último, mencionaremos que, de la misma forma que se han definido densidades de carga, se define la densidad de momento dipolar eléctrico ~ P o vector de polarización eléctrica. De forma genérica ~ P = d~ p dv (5.22) A nivel microscópico puede definirse como ~ P(~ r, t) = n X i=1 ~ pi δ(~ r − ~ ri(t)) (5.23) donde ~ pi es el momento dipolar eléctrico de cada una de las partı́culas y n el número de partı́culas en la unidad de volumen. Esta densidad de polarización jugará un papel fundamental en la descripción de los dieléctricos. También es útil la definición de la densidad superficial de momento dipolar; con la que pueden ser descritas eléctricamente estructuras tan importantes como las mem- branas celulares. El potencial eléctrico producido por una distribución de dipolos en un punto, ~ r, externo a la misma, es decir en un punto en el que la polarización ~ P(~ r) es nula, se
- 194. 176 obtiene por integración de las contribuciones de los momentos d~ p = ~ P dv0 contenidos en los elementos de volumen dv0. V (~ r) = 1 4πε0 Z V 0 ~ P(~ r 0) · ~ R R3 dv0 Esta integral es singular para puntos internos, pero ya hemos visto que la descripción de sistemas de carga por sus momentos multipolares sólo es válida para puntos externos. R r r ’ Ps Ps - - - - - - - + + + + + + + x ∆ S’ P V(x) x (a) (b) -R Figura 5.6: Una distribución superficial de dipolos interesante es la doble capa, constituida por dos distribuciones monopolares superficiales, muy próximas, con densidades de carga de igual magnitud y distinto signo en cada punto de la superficie. Se describen ade- cuadamente, como se muestra en la figura 5.6 mediante una distribución superficial de momento dipolar ~ Ps = d~ p ds = Ps ~ n donde ~ n es la normal a la superficie en el sentido de los dipolos. Podemos comprobar que al pasar de un lado a otro de la superficie el potencial es dis- continuo: como se ilustra en la figura 5.6-a, el potencial producido por una distribución dipolar extensa será V (~ r) = 1 4πε0 Z S 0 Ps ~ n · ~ R R3 ds0 = − 1 4πε0 Z S 0 Ps (−~ R) · d~ s 0 R3 = − 1 4πε0 Z S Ps dΩ donde se ha substituido ~ R por (−~ R), que es el vector que sitúa a un punto de la superficie con respecto al punto P, y se ha hecho uso de la definición de elemento de ángulo sólido dΩ = (−~ R) · d~ s 0 R3 visto desde dicho punto P.
- 195. 177 En el lı́mite en que P tiende a situarse sobre la superficie, casi toda la contribución al potencial se deberá a los dipolos cercanos, por lo que podremos considerar a Ps ' cte. Luego lı́m R→0 V (~ r) = − Ps 4πε0 Ω donde Ω es el ángulo sólido subtendido por la superficie desde un punto próximo P Al pasar desde justamente debajo hasta justamente arriba de la superficie, el ángulo sólido sufre una discontinuidad ∆Ω = −4π, y ∆V = Ps/ε0 En la figura 5.6-b se ilustra este salto de potencial en una doble capa de espesor ∆x. 5.2. Desarrollo multipolar de una distribución de corrien- te estacionaria Para distribuciones de corrientes estacionarias aplicaremos [Jackson, Panofsky y Phillips] un tratamiento bastante similar al que acabamos de utilizar para las distribuciones estáticas de cargas. No obstante, por ser la estructura del campo magnético más compleja que la del eléctrico, detendremos nuestro desarrollo en el término dipolar. x ^ z ^ y ^ r ’ R max r ’ j (r ’) O dv’ r P V’ Figura 5.7: Supondremos que, como se indica en la figura 5.7, se desea observar una distribución de corrientes estacionarias ∇0 ·~ j = 0 desde una distancia r r0 max. Para ello introducimos el desarrollo 1 R = 1 r − x 0 i ∂ ∂ xi µ 1 r ¶ + · · · en la integral del potencial vector ~ A(~ r) = µ0 4π Z V 0 ~ j(~ r 0) R dv0
- 196. 178 lo que nos llevará a la expansión multipolar ~ A(~ r) = ~ Ad + ~ Ac + · · · en la que falta el término monopolar porque éste es nulo para corrientes estacionarias. Ausencia de monopolos : Efectivamente ~ Am = µ0 4πr Z V 0 ~ j(~ r 0 ) dv0 pero, si ∇0 ·~ j(~ r 0 ) = 0 ⇒ Z V 0 ~ j dv0 = ~ 0 (5.24) Para demostrarlo, basta con tener en cuenta que la integral sobre el volumen V 0 que contiene a toda la distribución de corriente Z V 0 ∇0 · (x0 i ~ j) dv0 = Z V 0 x0 i ∇0 ·~ j | {z } =0 dv0 + Z V 0 ~ j · ∇0 x0 i dv0 = Z V 0 ji dv0 Pero, haciendo uso del teorema de la divergencia para el primer miembro de la ecuación anterior, Z V 0 ∇0 · (x0 i ~ j) dv0 = Z S 0 x0 i ~ j · d~ s = 0 ⇒ Z V 0 ji dv0 = 0 porque, como S 0 contiene a todas las corrientes estacionarias, el flujo de corriente a través de cada elemento de superficie ~ ds 0 debe ser nulo y (~ j · d~ s)S 0 = 0. De esta forma se comprueba 5.24 y la nulidad del momento monopolar. Momento dipolar : Para obtener la expresión del potencial dipolar, introduciremos el segundo término del desarrollo de R−1 en la integral. Ya hemos visto que −x 0 i ∂ ∂ xi µ 1 r ¶ = x 0 i xi r3 = ~ r 0 · ~ r r3 luego ~ Ad = µ0 4π 1 r3 Z V 0 (~ r · ~ r 0 )~ j dv0 | {z } ~ I (5.25) expresión que, aún siendo muy compacta, no es la más conveniente. Podemos demostrar que ~ Ad(~ r) = µ0 4π ~ m ∧ ~ r r3 = − µ0 4π ~ m ∧ ∇ µ 1 r ¶ (5.26) donde ~ m = 1 2 Z V 0 ~ r 0 ∧~ j dv0 (5.27)
- 197. 179 es el momento dipolar magnético de la distribución. Para demostrar lo anterior, volvamos a la expresión 5.25 y analicemos la integral ~ I = xi Z V 0 x0 i ~ j dv0 = xi Z V 0 x0 i jj dv0 | {z } Iij b ej La integral Iij puede decomponerse en una simétrica y otra antisimétrica sumándole y restándole el término 1 2 x 0 j ji Iij = 1 2 Z V 0 £ (x0 i jj + x0 j ji) + (x0 i jj − x0 j ji) ¤ dv0 (5.28) Para corrientes estacionarias, la integral simétrica Is = Z V 0 (x0 i jj + x0 j ji) dv0 se anula, ya que puede ser escrita como Is = Z V 0 ~ j · ∇0 (x0 i x0 j) dv0 y, teniendo en cuenta que ∇ · (f~ a) = f∇~ a + ~ a · ∇f Is = Z V 0 ∇0 · (x0 i x0 j ~ j) − x0 i x0 j ∇0 ·~ j | {z } =0 dv0 = 0 donde se ha anulado el segundo término dado que ∇0 · ~ j(~ r 0) = 0 para corrientes esta- cionarias y el primero al integrarlo sobre la superficie del tubo de corriente. Queda, por tanto Iij = 1 2 Z V 0 (x0 i jj − x0 j ji) dv0 e ~ I = 1 2 ·Z V 0 (x0 i jj − x0 j ji) dv0 ¸ xi b ej = 1 2 ·Z V 0 ~ r 0 ∧~ j dv0 ¸ ∧ ~ r lo que puede comprobarse desarrollando el triple producto vectorial. 5.2.1. La espira plana como dipolo magnético El término dipolar aparece, según hemos visto, como el primero significativo en el desarrollo multipolar del potencial externo producido por una distribución de corriente estacionaria. De la misma forma que la carga puntual nos servı́a en el tema anterior como ar- quetipo del monopolo eléctrico a partir del cual, por un simple proceso de diferenciación,
- 198. 180 r ’’ a r ’ I Π O’ O dl ’ ds ’ ds ’ n Figura 5.8: se obtenı́an los arquetipos multipolares, podemos utilizar como representante del dipolo magnético a una pequeña espira plana. En la figura 5.8 se representa a una espira plana contenida en el plano Π cuya normal es ~ n. El sentido de la normal ha sido elegido según la referencia de la circulación de la intensidad I. Si observamos esta espira desde una distancia r À r0 max, el potencial resultante será del tipo dipolar y podrá ser expresado en función del momento dipolar ~ m ~ m = 1 2 I I ~ r 0 ∧ d~ l 0 = 1 2 I I (~ a + ~ r 00 ) ∧ d~ l 0 = 1 2 I~ a ∧ I d~ l 0 | {z } =0 + 1 2 I I ~ r 00 ∧ d~ l 0 El primer término se ha anulado porque I d~ l 0 = b ei I dxi = 0. El segundo, teniendo en cuenta que 1 2 ~ r 00 ∧ d~ l 0 = ds 0 ~ n, toma la forma ~ m = I S ~ n (5.29) expresión análoga a la del momento dipolar de un dipolo eléctrico puntual. Como es fácil comprender, podemos generar multipolos de orden superior por el mismo mecanismo de diferenciación empleado para los dipolos puntuales: desplazando el dipolo elemental y colocando en la posición original, como se muestra en la figura 5.9, al mismo dipolo cambiado de signo. 5.2.2. El dipolo magnético En cuanto al campo creado por un dipolo magnético, podemos demostrar que tiene la misma estructura que el campo dipolar eléctrico. Como sabemos ~ Bd = ∇ ∧ ~ Ad = − µ0 4π ∇ ∧ · ~ m ∧ ∇ µ 1 r ¶¸
- 199. 181 ^ x ^ z ^ y ^ x ^ z ^ l m -m Dipolo Cuadrupolo l 1 d m y Figura 5.9: Dado que ∇ ∧ (~ a ∧~ b) = ~ a(∇ ·~ b) −~ b(∇ · ~ a) + (~ b · ∇)~ a − (~ a · ∇)~ b tomando ~ a = ~ m, ~ b = ∇ µ 1 r ¶ y teniendo en cuenta que ~ m = ~ cte y ∇2 µ 1 r ¶ = 0 ( ∀r 6= 0), podemos escribir ~ Bd = µ0 4π (~ m · ∇)∇ µ 1 r ¶ Desarrollando lo anterior, se tiene que ~ Bd = µ0 4π 1 r3 [3(~ m · b r) b r − ~ m] = µ0m 4π 1 r3 ³ 2 cos θ b r + sen θ b θ ´ (5.30) La última igualdad se obtiene situando al dipolo en el origen, orientándolo en la dirección z. Este campo que coincide formalmente con ~ Ed si substituimos ~ m ↔ ~ p y µ0 ↔ (1/ε0). 5.2.2.1. Potencial magnético escalar La analogı́a puesta de manifiesto en el párrafo anterior nos sugiere la posibilidad de hacer uso de un potencial escalar para el campo producido por distribuciones dipolares magnéticas. Análogamente al potencial dipolar eléctrico 5.4 tendrı́amos un potencial dipolar magnético escalar del que derivarı́a, mediante la aplicación de gradiente, el campo dipolar magnético. Ud(~ r) = 1 4π 1 r2 ~ m · b r, ~ Bd = −µ0 ∇ Ud (5.31)
- 200. 182 Este potencial no tiene el carácter fundamental de la función potencial escalar pre- conizada por el teorema de Helmholtz, puesto que sólo es válido en la zona externa a los dipolos. Diremos que el potencial magnético escalar es un pseudopotencial. Ası́ pues, en general, el campo magnético no es irrotacional ∇ ∧ ~ B = µ0 ~ j 6= 0 Podemos imaginar, de acuerdo con la figura 5.10, una situación en la que todas las fuentes estén en un volumen V 0 y que en V sea ~ j = 0. z ^ y ^ r ’ j (r ’) R j ( r ) V’ V r x =0 ^ Figura 5.10: En V ∇ · ~ B = 0 , ∇ ∧ ~ B = ~ 0 luego ~ B = −µ0∇ Ud , ∇2 Ud = 0 A pesar de las limitaciones impuestas, vemos que el potencial magnético escalar puede ser de gran utilidad para resolver problemas magnetostáticos, ya que permite abordarlos con las mismas técnicas utilizadas en electrostática. El carácter de pseudopotencial lleva consigo la necesidad de tomar precauciones en la elección de volumen V, lo que puede ser puesto en evidencia extendiendo el concepto de potencial magnético a espiras finitas. Como se indica en la figuras 5.11-a, podemos substituir una espira, recorrida por una intensidad I, por una distribución superficial de dipolos magnéticos. Sea S una superficie que se apoya sobre la espira L y hagamos una partición de la misma en elementos d~ s que, si la superficie es suave, podrán ser considerados planos. Si asociamos al contorno de cada elemento de superficie una espira elemental, recorrida por la corriente I, éstas tendrán un momento dipolar d~ m = I d~ s Puesto que todas las espiras están recorridas por la misma corriente, las contribuciones de espiras contiguas se anulan, salvo en el contorno L, por lo que este conjunto de espiras
- 201. 183 -R R r r ’ dm=I d s (a) (b) I P s M =I n S L S’ Figura 5.11: elementales equivale a la espira macroscópica L. Podemos, pués, substituirla por una distribución superficial de dipolos de densidad, ~ Ms = d~ m ds = I ~ n Para un punto de observación ~ r, externo a los dipolos, tendrı́amos un potencial escalar Ud(~ r) = 1 4π Z S 0 ~ Ms · b R R2 ds0 = I 4π Z S 0 b R · ~ n R2 ds0 Substituyendo al vector ~ R por ~ R1 = −~ R, como ya se hizo en la sección 5.1.4, Ud(~ r) = − I 4π Z S 0 dΩ Ud(~ r) = − IΩ 4π (5.32) donde Ω es el ángulo sólido con que la espira L se ve desde P. De lo dicho anteriormente se deduce que Ud no es función de punto y, por lo tanto, dUd = ∇Ud · d~ r = − ~ B µ0 · d~ r no tiene validez general. Efectivamente, si aplicamos la ley de Ampère sobre los caminos que unen a los puntos A y B de la figura 5.12, I (a+c) ~ B · d~ l = µ0 I 6= 0 ⇒ Z B A(a) dUd 6= Z B A(b) dUd lo que no es de extrañar, puesto que la expresión ~ B = −µ0 ∇ Ud no es válida para el camino (b) ya que éste se introduce en la distribución de dipolos [Velayos].
- 202. 184 I L (b) (c) (a) B A Figura 5.12: 5.2.2.2. Relación entre el momento magnético y el momento angular Sabemos que la carga tiene inercia, es decir, que toda carga tiene una masa no nula. Esto implica también que el momento dipolar magnético debe estar asociado a un momento angular. Trataremos esta cuestión de forma simplificada. Por definición, el momento dipolar de una distribución de carga en movimiento, encerrada en un volumen V, es ~ m = 1 2 Z V 0 ~ r 0 ∧~ j dv0 = 1 2 Z V 0 ρ~ r 0 ∧ ~ u dv0 donde ρ es la densidad de portadores de carga y ~ u la velocidad de arrastre. Si, por ejemplo, todas las partı́culas son del mismo tipo, con carga q y masa m, las densidades de carga y de masa serán, respectivamente, ρ = n q , ρM = n m donde n es la densidad de partı́culas. ~ m = 1 2 q Z V 0 n~ r 0 ∧ ~ u dv0 y, para el momento angular, ~ L = Z V 0 ρM ~ r 0 ∧ ~ u dv0 = m Z V 0 n~ r 0 ∧ ~ u dv0 lo que permite escribir ~ m = q 2m ~ L expresión que es válida, por ejemplo, para el electrón orbital. Para sistemas de carga más generales, aquellos que estén compuestos de varias es- pecies o aquellos en los que se consideren contribuciones de espı́n, escribiremos ~ m = Γ ~ L , Γ = g q 2m (5.33)
- 203. 185 donde Γ es la razón giromagnética y g el factor de Landé. En general, incluso para un sistema clásico, Γ tendrá carácter tensorial, puesto que ~ m y ~ L no tienen por qué tener la misma dirección. Aunque al electrón orbital le corresponde g = 1, de acuerdo con los cálculos simples que acabamos de realizar, para el momento angular de espı́n g = 2. 5.2.2.3. Fuerza, par y energı́a potencial sobre un dipolo magnético en cam- po externo y ^ r ’ max r ’ z ^ j (r ’) V’ x ^ Figura 5.13: Trataremos ahora la interacción de un dipolo magnético estacionario en el seno de un campo externo, es decir, en el seno de un campo cuyas fuentes residen fuera de la zona donde están las corrientes que constituyen el dipolo. Supondremos, figura 5.13, que el dipolo corresponde a un pequeño tubo de corriente estacionaria ∇0 ·~ j(~ r 0 ) = 0 cercano al origen, y que interacciona con un campo externo que varı́a lentamente dentro de la esfera de radio igual a r0 max. Por ser ~ B externo, en la zona de interés ∇0 ∧ ~ B = 0 y por ser lentamente variable, cualquiera de sus componentes podrá desarrollarse alrede- dor del origen Bx = Bx(0) + ~ r 0 · (∇0 Bx)~ r 0=0 + · · · lo que nos permite escribir, simplificando la notación ~ B(~ r 0 ) ' ~ B0 (a) ~ B0 + (~ r 0 · ∇0) ~ B0 (b) (5.34) donde ∇0 serı́a un operador que actuarı́a sólo sobre ~ B, reduciendo después el resultado al origen, y que, por lo tanto, tomarı́a como constantes a las coordenadas ~ r 0.
- 204. 186 Si nos quedamos con la aproximación 5.34-a veremos que el campo externo inter- acciona primariamente con el dipolo ejerciendo un par. Para que el dipolo sienta una fuerza neta será necesario que el segundo término de la aproximación 5.34-b sea distinto de cero. Veremos que, tanto de la expresión del par como de la de la fuerza, podemos deducir la energı́a de interacción de un dipolo rı́gido con un campo externo. Par : El par vendrá dado por ~ T = Z V 0 ~ r 0 ∧ d~ F dv0 dv0 que, con la aproximación ~ B(~ r 0) ' ~ B0, ~ T = Z V 0 ~ r 0 ∧ ³ ~ j(~ r 0 ) ∧ ~ B0 ´ dv0 = Z V 0 ~ j(~ r 0 )(~ r 0 · ~ B0) dv0 − ~ B0 Z V 0 ~ r 0 ·~ j dv0 | {z } (A)=0 A continuación comprobaremos que (A) = Z V 0 ~ r 0 ·~ j dv0 = 0 para corrientes estacionarias: haciendo uso del teorema de la divergencia I = Z V 0 ∇0 · (r0 2~ j) | {z } (B) dv0 = Z S 0 r0 2~ j · d~ s = 0 puesto que, como hemos visto en secciones anteriores, la componente normal de la densidad de corriente es nula en S 0. Por otra parte, desarrollando (B), I = Z V 0 r0 2 ∇0 ·~ j | {z } =0 dv0 + Z V 0 ∇0 (r0 2 ) ·~ j dv0 = 2 Z V 0 ~ r 0 ·~ j dv0 | {z } (A) = 0 De acuerdo con ésto ~ T = Z V 0 ( ~ B0 · ~ r 0 )~ j dv0 y, por analogı́a con la integral 5.25 6 ~ T = ~ m ∧ ~ B (5.35) 6 Donde en 5.25 figura ~ r aquı́ aparece ~ B0. Ninguno de estos vectores depende de las coordenadas de integración y pueden, en consecuencia, sacarse fuera de las integrales.
- 205. 187 Fuerza : Para calcular la fuerza ~ F = Z V 0 ~ j(~ r 0 ) ∧ ~ B(~ r 0 ) dv0 haremos uso de la aproximación 5.34-b ~ F ' Z V 0 ~ j ∧ ~ B0 dv0 | {z } =0 + Z V 0 ~ j ∧ h (~ r 0 · ∇0) ~ B0 i dv0 La primera integral es nula para corrientes estacionarias: Z V 0 ~ j ∧ ~ B0 dv0 = µZ V 0 ~ j dv0 ¶ | {z } =0 ∧ ~ B0 = 0 de acuerdo con 5.24. Para la segunda, haremos uso de la expresión ∇(~ a ·~ b) = (~ a · ∇)~ b + (~ b · ∇)~ a + ~ a ∧ (∇ ∧~ b) +~ b ∧ (∇ ∧ ~ a) ⇒ ∇0(~ r 0 · ~ B0) = (~ r 0 · ∇0) ~ B0 + ( ~ B0 · ∇0)~ r 0 | {z } =0 +~ r 0 ∧ (∇0 ∧ ~ B0) | {z } =0 + ~ B0 ∧ (∇0 ∧ ~ r 0 ) | {z } =0 donde se han anulado los términos en los que ~ r 0 aparece a la derecha del operador ∇0 y se ha tenido en cuenta que, por ser ~ B externo, su rotacional es nulo. La fuerza, por lo tanto, queda expresada de la forma ~ F = Z V 0 ~ j ∧ h (~ r 0 · ∇0) ~ B0 i dv0 Por otra parte ∇ ∧ (f~ a) = f∇ ∧ ~ a + ∇f ∧ ~ a ⇒ ~ j ∧ ∇0(~ r 0 · ~ B0) = (~ r 0 · ~ B0) ∇0 ∧~ j((~ r 0 ) | {z } =0 −∇0 ∧ h (~ r 0 · ~ B0)~ j i lo que nos permite, sacando ∇0 fuera de la integral, expresar la fuerza como ~ F = −∇0 ∧ ·Z V 0 ( ~ B0 · ~ r 0 )~ j dv0 ¸ = ∇0 ∧ · − µ 1 2 Z V 0 ~ r 0 ∧~ j dv0 ¶ ∧ ~ B0 ¸ y, finalmente, como ~ F = ∇ ∧ ( ~ B ∧ ~ m) = −∇ ∧ ~ T (5.36) Pero todavı́a podemos expresar la fuerza de otras formas. Puesto que ∇ · ~ B = 0 y ∇ ∧ (~ a ∧~ b) = (~ b · ∇)~ a − (~ a · ∇)~ b + (∇ ·~ b)~ a − (∇ · ~ a)~ b
- 206. 188 se tiene que ~ F = (~ m · ∇) ~ B (5.37) Por último, dado que el campo ~ B es externo, ∇ ∧ ~ B = 0 ⇒ ∂Bi ∂xj = ∂Bj ∂xi y ~ F = ∇(~ m · ~ B) = −∇Wd (5.38) donde Wd = −~ m · ~ B es la energı́a potencial o de interacción del dipolo ~ m en presencia del campo magnético externo ~ B, como comprobaremos a continuación. Energı́a potencial : Efectivamente, podemos ver que la energı́a potencial de un dipolo ~ m, definida en el sentido de la sección 2.2.4, puede expresarse como Wd = −~ m · ~ B (5.39) Para obtener este resultado deberemos calcular el trabajo realizado por el campo ~ B en una transformación reversible que nos lleve al dipolo, desde la posición ~ r y formando un ángulo θ con ~ B, hasta el infinito, donde la interacción será nula. Se supone que la magnitud |~ m| del dipolo permanece fija en la transformación o, de otra forma, que el dipolo es rı́gido, y que el campo magnético converge a cero en el infinito. En la figura 5.14 se proponen dos formas de realizar esta transformación. En la primera, 5.14-a, el dipolo se transporta a lo largo de camino L manteniendo constante el ángulo θ que forma el dipolo con el campo. En la segunda, primero se rota al dipolo, en su posición inicial, hasta formar un ángulo recto con el campo y, a continuación, se le transporta a lo largo de L manteniendo su última orientación con respecto al campo. Si la transformación es reversible, el resultado será independiente del camino elegido y de la orientación del dipolo a lo largo del mismo. L de campo oo m θ B oo /2 π θ m (b) (a) lineas Figura 5.14: En la opción (a) se mantiene fijo el ángulo que forma el dipolo con el campo, por lo que el par no trabaja. El trabajo realizado debe ser imputado a la fuerza θ = cte m cos θ = cte ⇒ Wd = Z ∞ ~ r,(θ=cte) ∇(~ m · ~ B) · d~ r = h ~ m · ~ B i∞ ~ r = −~ m · ~ B(~ r)
- 207. 189 puesto que ~ B(∞) = 0. T m B d θ θ Figura 5.15: En la opción (b), figura 5.15, primero rotamos al dipolo de la posición θ a la π/2 y después lo desplazamos con θ = π/2. En el desplazamiento, ~ m · ~ B = 0, luego la fuerza es nula. En este caso el trabajo se realiza en el giro inicial y es imputable al par Wd = Z π 2 θ,(~ r=cte) ~ T · d~ θ = − Z π 2 θ mB sen θ dθ = −mB cos θ resultado idéntico al anterior que confirma la expresión dada en 5.39 a la energı́a po- tencial. Es fácil comprobar que el par puede también expresarse en función de la energı́a potencial ~ T = −∇θWd (5.40) donde ∇θ = 3 X i=1 b ei ∂ ∂θi y θi es el ángulo de giro alrededor del eje b ei. Veremos más adelante que, en el caso de los sistemas de espiras, todo ésto se enmar- ca en el cálculo de fuerzas y pares a partir de procesos virtuales en los que se mantienen constantes las intensidades que circulan por dichas espiras. En nuestro caso hemos con- siderado ~ m = cte, lo que implica que la densidad de corriente del tubo permanece invariante en la transformación.
- 208. 190 5.3. Problemas 5-1. Demuestre: a) Que si la carga total Q de una distribución es nula, el momento dipolar no depende del origen. b) Que si Q = 0 y ~ p = ~ 0 , el momento cuadripolar tampoco depende del origen. Solución: a) Consideremos los orı́genes O y O∗, tales que ~ r 0 = ~ r ∗ 0 + ~ a donde ~ a = −→ O O∗ y ~ r 0 y ~ r ∗ 0 son los vectores de posición de los puntos de la distribución con respecto a cada uno de los orı́genes. ~ p = Z V 0 (~ r ∗ 0 + ~ a) ρ dv0 = ~ p ∗ + Q |{z} =0 ~ a b) Se deja como ejercicio. 5-2. Demuestre que el momento dipolar de una distribución de carga, cuya carga total es nula, es igual a ~ p = q ~ d, donde ~ d es la distancia del centro de la carga positiva al de la carga negativa y q es la carga positiva total. Aplı́quelo al caso de una distribución en la que una carga q está distribuida uniformemente sobre una esfera de radio a y otra −q distribuida uniformemente sobre un disco de radio a cuyo centro es tangente a la esfera. Solución: Téngase en cuenta que el centro de carga de una distribución se define de la misma forma que el centro de masa. Suponga que sobre el volumen V 0 las cargas positivas se distribuyen con una densidad ρ+ y las negativas con ρ−. ~ r+ = 1 q Z V 0 ~ r 0 ρ+ dv 0 , ~ r− = − 1 q Z V 0 ~ r 0 ρ− dv 0 5-3. Halle, mediante integración directa, el primer momento multipolar significativo de las distribuciones puntuales de carga del problema 1-3. Deduzca previamente, por inspección, cual será, en cada caso, el primer momento no nulo. 5-4. Una esfera de radio a está dividida en dos casquetes hemisféricos con densidades superficiales de carga ± ρs uniformes. Halle el campo eléctrico producido en un punto ~ r lejano, es decir, tal que r a.
- 209. 191 5-5. Dos coronas circulares idénticas, con densidades superficiales de carga ±ρs uni- formes, de radio interior a y exterior b, están situadas coaxialmente y a una distancia mutua d. Halle: a) El campo eléctrico producido en un punto de su eje para distancias r b. Haga las aproximaciones pertinentes a partir de valor exacto del campo. b) La aproximación dipolar del campo para cualquier punto del espacio y, en particular, para los puntos del eje. 5-6. Halle el potencial producido a una distancia r a por la siguiente distribución de carga: En la región x2 + y2 ≤ a2 , ρs = ρs0 para x 0 −ρs0 para x 0 5-7. Dada una distribución de carga con momento monopolar nulo y dipolar distinto de cero, halle: a) El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria. b) Compruebe lo anterior por integración directa a través de una superficie esférica de radio r r 0 max. 5-8. Demuestre que el potencial cuadripolar debido a la asociación de dipolos de la figura 5.16 es: Vc = 1 4π ε0 r3 h 3 (~ p · b r)(~ d · b r) − ~ p · ~ d) i -p d p Figura 5.16: Solución: Podemos realizar la demostración haciendo uso de la fórmula Vc(~ r) = ∇0 £ Vd(~ r,~ r 0 ) ¤ ~ r 0=0 · ~ d donde Vd(~ R) = 1 4πε0 1 R3 ~ p · ~ R
- 210. 192 es el potencial producido por un dipolo situado en ~ r 0. Teniendo en cuenta que ∇ 0 = −∇R , ∇R = b ei ∂ ∂ Ri , debemos calcular ∇R µ 1 R3 ~ p · ~ R ¶ = 1 R3 ∇R ³ ~ p · ~ R ´ + (~ p · ~ R) ∇R µ 1 R3 ¶ para ésto podemos hacer uso de la fórmula de desarrollo de ∇ (~ a · ~ b), teniendo en cuenta que ~ p = ~ cte y ∇ ∧~ r = 0, y de la expresión de ∇ (f(u)). Ası́, por ejemplo ∇R (~ p · ~ R) = (~ p · ∇R) ~ R = pi ∂ ∂ Ri (Rj b ej) = piδij b ej = ~ p Aunque, de forma directa ∇R (~ p · ~ R) = b ei ∂ ∂ Ri (pj Rj) = b ei pjδij = ~ p 5-9. Demuestre que cuando el campo con que interacciona un dipolo es el de otro dipolo, la energı́a de interacción es Wpp = 1 4πε0r3 · ~ p1 · ~ p2 − 3(~ p1 · ~ r)(~ p2 · ~ r) r2 ¸ Determine las condiciones bajo las cuales esta energı́a es máxima o mı́nima (r = cte). 5-10. Halle los momentos monopolar, dipolar y cuadripolar de un segmento de lı́nea, de longitud l, uniformemente cargado con una densidad lineal ρl. Colóquelo sobre el eje z y con un extremo en el origen. Solución: El momento monopolar es Q = ρl l y el dipolar 7 ~ p = ρl Z l 0 z 0 dz 0 = 1 2 Q l b z Los momentos cuadripolares son Qij = 0 para 1 6= j y Qxx = −ρl Z l 0 z 02 dz 0 = 1 3 Q l2 Qyy = Qxx , Qzz = −2 Qxx 7 Vea el problema 5-2.
- 211. 193 5-11. Se define como polarizabilidad de una molécula a la constante de proporcionalidad α entre el momento dipolar eléctrico de la misma y el campo aplicado; ~ p = α ~ E. Suponga que un átomo no polar está constituido por una nube electrónica, de densidad uniforme ρ0, radio a0 y carga total −Z e, que rodea a un núcleo puntual de carga +Z e. Halle la polarizabilidad para campos uniformes y pequeños, tales que la separación de los centros de carga positiva y negativa δ x a0. Ésto nos permite suponer que la deformación de la nube electrónica, en presencia del campo, es despreciable. Suponga que el átomo es de hidrógeno y calcule δx a0 para E = 1 MV · m−1. Tome a0 = 1 o A. Solución: 0 F- Ze -Ze E Ze -Ze Q( ) FE (a) (b) x x a δ δ Figura 5.17: La figura 5.17a muestra al átomo en ausencia de campo eléctrico. Los centros de carga positivo y negativo coinciden y, por lo tanto, el mo- mento dipolar resultante es nulo. Al aplicar el campo eléctrico, el nucleo se desplaza hacia la derecha y la nube electrónica lo hace en sentido contrario. En equilibrio, el núcleo se halla sometido a dos fuerzas iguales y contrarias: la debida al campo aplicado ~ FE y la ~ F− de la carga negativa encerrada en la esfera de radio δx. FE = Z e E F− = Z e E−(δx) = Z e |Q(δx)| 4π ε0 δx2 = (Z e)2 δx 4π ε0 a3 0 Igualando los módulos de las dos fuerzas p = Z e δx = 4π ε0 a3 0 E
- 212. 194 α = 4π ε0 a3 0 5-12. Para el átomo no polar cuyo modelo acabamos de describir, halle: a) Si es atraı́do o repelido por una carga puntual externa. b) ¿ Cuál es el momento dipolar inducido por dicha carga en el átomo? c) El valor cuantitativo de la fuerza de interacción. d) La representación gráfica del potencial de interacción. 5-13. Sea una partı́cula esférica, de radio a, con la masa M distribuida uniformemente en su volumen y la carga q distribuida uniformemente sobre su superficie. Halle la razón giromagnética de la misma cuando gira con velocidad angular uniforme ~ ω = ω b z alrededor de un eje diametral. ¿ Podrı́a este modelo corresponder a un electrón? Solución: x y z r θ ^ z ^ ρ ^ Figura 5.18: Dado que la carga está distribuida uniformemente sobre la superficie, el momento dipolar magnético es ~ m = 1 2 ρ Z S ~ r ∧ ~ u ds , ρ = q 4π a2 , ds = a2 sen θ dθ dϕ Al estar la masa distribuida uniformemente sobre el volumen, el mo- mento angular es
- 213. 195 ~ L = ρM Z V ~ r ∧ ~ u dv , ρM = 3 M 4π a3 , dv = r2 sen θ dr dθ dϕ Estas integrales tienen un mismo integrando que descompondremos en las direcciones de los vectores unitarios cilı́ndricos b z y b ρ. De acuerdo con la figura 5.18 b r = sen θ b ρ + cos θ b z y ~ r ∧ ~ u = ω r2 b r ∧ (b z ∧ b r) = ω r2 (sen2 θ b z + cos θ sen θ b ρ | {z } (A) ) La integral de la componente radial (A) es nula porque la distribución es simétrica con respecto al eje z, por lo que solo queda la componente z ~ m = 1 3 q a2 ω b z De forma análoga ~ L = 2 5 M a2 ω b z La razón giromagnética y el factor de Landé son Γ = m L = 5 3 q 2m , g = 5 3 que no corresponden al spin del electrón. 5-14. Demuestre que, en general, Z V ~ dv = ∂ ~ p ∂ t ( Repase la teorı́a del desarrollo multipolar para el caso particular de corrientes estacionarias). 5-15. Sean dos espiras idénticas, de radio a ¿ r y recorridas por una intensidad I. La primera está situada en el origen y orientada según b z. Halle la fuerza que ésta ejerce sobre la segunda si está situada en una posición (r, θ) y puede orientarse libremente. 5-16. Un solenoide, de longitud L y radio a, está constituido por un número grande de espiras N, uniformemente distribuidas y recorridas por una intensidad I. En el eje del solenoide se encuentra un pequeño imán cuyo momento magnético es ~ m.
- 214. 196 a) Cacule el par mı́nimo y máximo que experimenta el imán cuando se encuen- tra situado en el centro del solenoide y puede girarse alrededor de un eje perpendicular al del solenoide. b) Represente al campo magnético, la fuerza que actúa sobre el imán y su en- ergı́a potencial, a lo largo del eje del solenoide si el imán puede orientarse libremente. c) Describa, apoyándose en la gráfica anterior, el movimento del imán después de soltarlo en uno de sus extremos. Considere el caso ideal, sin rozamiento, y el real. d) Compare el movimiento del iman con el de la carga en una botella magn-etica, señale las diferencias y explı́quelas. z z’ I z’=-L/2 z’=L/2 a R Figura 5.19: Solución: Sólo trataremos el cálculo del campo y el apartado (b) Para calcular el campo producido por el solenoide en un punto de su eje, calcularemos primero el que una espira situada en un punto cualquiera z 0 produce en el punto z. En la figura 5.19 éste se situa en el intervalo −L 2 ≤ z0 ≤ L 2 . Este campo es ~ B1 = µ0 I 4π R3 Z L ~ dl ∧ ~ R donde ~ dl = a dϕ b ϕ , ~ R = −a b ρ + (z − z0 ) b z , R = p a2 + (z − z0)2 Dada la simetrı́a del problema, la componente radial del campo se anula, quedando únicamente la longitudinal
- 215. 197 ~ B1 = B1z b z , B1z = 1 2 µ0 I a2 1 (a2 + (z − z0)2)3/2 Para obtener el campo total en z, debemos sumar las contribuciones de todas las espiras Bz = 1 2 µ0 I a2 Z L/2 −L/2 n dz0 (a2 + (z − z0)2)3/2 Teniendo en cuenta que R dx (1+x2)3/2 = x √ 1+x2 Bz = 1 2 µ0 n I L 2 − z q a2 + (L 2 − z)2 + L 2 + z q a2 + (L 2 + z)2 Para el cálculo de la energı́a potencial y de la fuerza, haremos uso de las expresiones El cálculo de la energı́a potencial y la fuerza, ası́ como las representa- ciones gráficas las realizaremos con Mathemática. Gráficas con Mathematica solenoide − iman.nb: Normalizamos B1 para que B1(z = z 0) = 1. B1 = 1 (1 + x2) 3 2 ; Al campo total lo normalizamos de manera que (Bz)max = 1 Bz = Z z+0.5 z−0.5 B1 dx Bz = Bz Bz/.z → 0 ; Tomamos m = 1 para la energı́a potencial Wp y la fuerza Fz. Wp = −Bz; Fz = ∂z Bz En la figura 5.20 representamos al campo en rojo, a la energı́a en azul y a la fuerza en verde. Se marca con una lı́nea horizontal la energı́a potencial máxima del imán en el movimiento prescrito en el apartado (c) y con lı́neas verticales los lı́mites del mismo.
- 216. 198 -1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1 Figura 5.20: Plot[{Bz, Wp, Fz}, {z, −1, 1}, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[0, 1, 0]}, GridLines → {{−0.5, 0.5}, {Wp/.z → 0.5}}]; 5-17. Determine el potencial magnético escalar y, a partir de éste, el campo producido en su eje por una espira circular de radio a recorrida por una intensidad I. Solución: Debemos determinar el campo mediante ~ B = −µ0∇ Ud donde Ud(~ r) = − IΩ 4π Luego hay que calcular el ángulo sólido con que la espira, figura 5.21, se ve desde el punto z. Dado el sentido de la intensidad elegido para recorrer la espira, la nor- mal hacia afuera de la esfera centrada en z es ~ nr = −~ n y el ángulo sólido es negativo. Ω = − Z 2π ϕ=0 dϕ Z θ=θ0 θ=0 sen θ dθ = 2π [cos θ]θ0 0 = 2π (cos θ0 − 1) De la figura se deduce que cos θ0 = z √ a2 + z2 por lo que
- 217. 199 r θ z a n z R n 0 Figura 5.21: B(z) = 1 2 µ0 I d d z µ z √ a2 + z2 ¶ resultado que debe coincidir con el obtenido en el problema 5-13 5-18. Calcule el campo magnético producido por la espira de la figura 5.22 en un punto lejano. I ^ y ^ z ^ -a -a a I x Figura 5.22:
- 218. 200
- 219. Capı́tulo 6 Movimiento de partı́culas en un campo electromagnético [Velayos, Golant et al., Reitz et al., Artsimovich y Loukianov] 6.1. Introducción Hemos visto que una partı́cula puede poseer una estructura electromagnética in- trı́nseca que le confiere un número de grados de libertad mayor que tres. Esto se traduce en la posible aparición de momentos multipolares y la consiguiente complicación de las ecuaciones del movimiento de esta partı́cula. Basta con que nos ocupemos aquı́ de las caracterı́sticas esenciales del movimiento no relativista de monopolos eléctricos y dipo- los magnéticos. Para cargas puntuales, las ecuaciones del movimiento se deducen de la fuerza de Lorentz. Para dipolos tendrı́amos que hacer uso de las expresiones de las fuerzas y los pares obtenidos en los capı́tulos anteriores y tener en cuenta que, a pesar de las similitudes, el dipolo magnético está siempre asociado a un momento angular, cosa que no ocurre con el dipolo eléctrico. Es importante comprender los aspectos básicos del movimiento individual de partı́cu- las en el campo electromagnético puesto que en ellos reside el fundamento, o parte del fundamento, de muchos sistemas fı́sicos naturales y artificiales. Incluso para sistemas que, por sus dimensiones o velocidades, requieren un tratamiento cuántico o relativista, la descripción clásica no relativista ayuda a fijar ideas e imágenes cualitativas. Muchas facetas de la Fı́sica de Plasmas, de nuestra propia Magnetosfera, del comportamien- to magnético de la materia, y de sistemas tales como el tubo de rayos catódicos, el espectrómetro de masas, el microscopio electrónico, el Tokamak y otras máquinas de confinamiento magnético, requieren para su estudio un amplio conocimiento del compor- tamiento dinámico individual de partı́culas en el seno de campos eléctricos y magnéticos. En las primeras secciones de éste capı́tulo se plantearán los conceptos fundamentales asociados al movimiento de partı́culas y en la última se expondrá una serie de ejemplos significativos en la mayorı́a de los cuales se resuelven numéricamente las ecuaciones de dicho movimiento con ayuda de Mathematica. En capı́tulos anteriores se ha anticipado 201
- 220. 202 el planteamiento de alguno de los casos que aquı́ se estudian de forma más sistemática y se han ofrecido programas Mathemática para ilustrarlos 1. 6.2. Movimiento de una carga en campos uniformes 6.2.1. Campo eléctrico constante Una carga sometida a un campo eléctrico uniforme y constante sufre una aceleración uniforme en la dirección de dicho campo ~ a = d~ v dt = q m ~ E , ~ v = ~ v0 + q m ~ E t (6.1) Por unidad de tiempo va adquiriendo una energı́a cinética 2 dWc dt = m~ v · ~ a = q ~ E · ~ v (6.2) igual a la energı́a potencial que pierde dWp dt = q µ ∂ V ∂ x d x d t + ∂ V ∂ y d y d t + ∂ V ∂ z d z d t ¶ = −q ~ E · ~ v (6.3) 6.2.2. Campo eléctrico lentamente variable Si el campo eléctrico es variable con el tiempo, ~ E = ~ E(t), se generará un campo magnético tal que ∇ ∧ ~ B = 1 c2 ∂ ~ E ∂t Para hacer una estimación de la importancia de B en el movimiento, supongamos que L es una longitud caracterı́stica de la variación espacial de B, y T es un tiempo car- acterı́stico de la variación temporal de E. Los órdenes de magnitud de los dos miembros de la ecuación anterior pueden estimarse en B L ∼ 1 c2 E T Por lo que la relación entre la fuerza magnética y la eléctrica será Fm Fe ∼ vB E ∼ v (L/T) c2 de forma que, para v µ L T ¶ ¿ c2 1 Véanse los problemas 1-10, 1-11 y 5-16. 2 Escribimos Wc = 1 2 ~ v · ~ v.
- 221. 203 la fuerza magnética será despreciable y tendremos, aproximadamente, un movimiento acelerado no uniformemente en la dirección del campo eléctrico ~ a(t) ' q m ~ E(t) , ~ v = ~ v0 + q m Z t 0 ~ E(t) dt 6.2.3. Campo magnético constante. Movimiento ciclotrónico Si la partı́cula está sometida exclusivamente a un campo magnético uniforme y constante, la aceleración sufrida será perpendicular a la velocidad ~ a = q m ~ v ∧ ~ B ⇒ d~ v d t = ~ Ω ∧ ~ v (6.4) ecuación que pone de manifiesto que el vector velocidad tiene un movimiento de prece- sión con velocidad angular ~ Ω, o frecuencia ciclotrónica 3 ~ Ω = − q ~ B m = − q m Bb b , b b = ~ B B , Ω = |q| B m (6.5) Ω v|| −− | v v(t) v(t+dt) dv θ ϕ B ce r ci r Ωi Ωe (a) (b) + dt Ω B Figura 6.1: En la figura 6.1-a se representa la precesión del vector velocidad, para un electrón, y se observa que, al ser d~ v d t ⊥~ v, la componente de velocidad paralela al campo aplicado, ~ v||, es constante, mientras que la componente perpendicular al mismo, ~ v⊥, es de módulo constante y gira en el plano con velocidad ~ Ωe. 3 Esta frecuencia guarda una relación estrecha con la de Larmor, la cual trataremos más adelante.
- 222. 204 Como puede verse en la figura 6.1-b, la frecuencia ciclotrónica ~ Ωe de los electrones tiene el mismo sentido del campo magnético, mientras que la ~ Ωi de los iones positivos tiene el sentido contrario: los electrones giran a derechas alrededor del campo magnético y los iones lo hacen a izquierdas. Dada la relación inversa de la velocidad angular con la masa, la frecuencia ciclotrónica de los electrones Ωe es muy superior a la de los protones y otros iones positivos Ωi. Ωe = M m Ωi donde M es la masa del ión positivo, ión pesado, y m la del electrón, la más pequeña. Para comprobar lo dicho anteriormente y estudiar otros aspectos de este problema, es útil descomponer la velocidad y la aceleración en la dirección del campo magnético y dentro del plano transversal al mismo ~ v = ~ vk + ~ v⊥ ~ a = ~ ak + ~ a⊥ De esta forma, la ecuación 6.4 se descompone en otras dos que son independientes entre sı́ ~ ak = ~ 0 ~ a⊥ = ~ Ω ∧ ~ v⊥ (6.6) Con la ecuación del movimiento paralelo comprobamos que ~ vk = ~ cte Por lo que se refiere al movimiento en el plano perpendicuar, multiplicando escalar- mente la ecuación correspondiente por ~ v⊥ ~ v⊥ · d~ v⊥ d t = 0 ⇒ d v2 ⊥ d t = 0 ⇒ v⊥ = |~ v⊥| = cte El movimiento es, por lo tanto, la superposición de un giro en un plano perpendicular a ~ B y una translación uniforme a lo largo del mismo. Se trata, pués, de un movimiento helicoidal de paso constante. La velocidad con que se mueve el centro de giro, o velocidad del centro de guı́a, es ~ vCG = ~ v|| = (~ v · b b)b b (6.7) Hemos visto que vk y v⊥ son constantes, luego la energı́a cinética paralela, Wk = 1 2 m v2 k, la perpendicaular W⊥ = 1 2 m v2 ⊥ y la total Wc = W⊥ + W|| también son constantes del movimiento, lo que, por otra parte, se debe al hecho ya comentado de que el campo magnético no trabaja sobre la carga porque la fuerza que produce es perpendicular a la trayectoria.
- 223. 205 Para calcular el radio de giro de la partı́cula en el plano perpendicular, recordemos que, en el movimiento circular, ~ v⊥ = ~ Ω ∧ ~ ρ donde ~ ρ es el radio de giro ciclotrónico. Multiplicando vectorialmente por ~ Ω ~ Ω ∧ ~ v⊥ = ~ Ω ∧ (~ Ω ∧ ~ ρ) = ~ Ω(~ Ω · ~ ρ) | {z } =0 −~ ρ Ω2 y, como ~ Ω⊥~ ρ ~ ρ = ~ v⊥ ∧ ~ Ω Ω2 , ρ = v⊥ Ω (6.8) Si comparamos el movimiento de un electrón y de un monoión positivo, ambos incidentes con la misma velocidad 4, el electrón girarı́a en el sentido de la regla del tornillo, alrededor de ~ B, con una gran velocidad angular y un pequeño radio de giro (ρe ∼ 1/Ωe), y el ion lo harı́a en sentido contrario con gran radio de giro y pequeña velocidad angular, según puede verse en la figura 6.1-b. Cuando la velocidad del centro de guı́a es pequeña comparada con la velocidad de rotación de la partı́cula, la trayectoria puede considerarse como una espira cerra- da, circular, que se mueve a lo largo de la lı́nea de campo magnético. Este efecto de atrapamiento de las cargas en las lı́neas del campo tiene una gran transcendencia en nu- merosos procesos naturales y artificiales, como el confinamiento magnético de plasmas para la fusión nuclear y la protección de la biosfera del viento solar. La espira antes mencionada tiene un momento magnético ~ µ = I ~ S , I = q Ω 2π , ~ S = πρ2 b n , b n = b b para electrones −b b para iones positivos I es la intensidad equivalente, es decir, la carga que pasa por un punto determinado en la unidad de tiempo, y S la superficie de la trayectoria. Substituyendo ~ µ = − W⊥ B b b (6.9) Luego, el momento magnético inducido en una partı́cula es de sentido contrario al del campo aplicado. Debido a este comportamiento, diremos que un medio constituido por partı́culas cargadas libres es un medio diamagnético no lineal 5. El flujo Φ cortado por la trayectoria de la partı́cula es proporcional al momento magnético a través de una constante independiente del campo y de la energı́a cinética de la misma. Φ = πρ2 B = π B v2 ⊥ Ω2 = 2π m q µ W⊥ B ¶ = = 2π m q2 µ (6.10) 4 Para una misma energı́a cinética del electrón tendrı́a mucha mayor velocidad que el ion 5 µ no es proporcional a B.
- 224. 206 6.2.4. Campo magnético lentamente variable Supongamos que una carga está sometida a un campo uniforme ~ B(t) que varı́a lentamente y que es perpendicular al movimiento, es decir, tal que ~ vk = ~ 0. Entenderemos por campo lentamente variable a uno que cumpla, en valor absoluto, la condición |∆B| ' | dB dt T| ¿ B , T = 2π Ω es decir, un campo que varı́e relativamente poco en un periodo de giro ciclotrónico T. µ B L Figura 6.2: Demostraremos que, bajo estas condiciones, el momento magnético permanece prácticamente constante ∆µ ' 0 ⇒ ∆Φ ' 0 (6.11) Si ∆B y ∆W⊥ son de pequeña magnitud ∆µ = ∆ µ W⊥ B ¶ ' 1 B ∆W⊥ − 1 B2 ∆B (6.12) Estimaremos ∆W⊥ en un periodo suponiendo que, bajo estas circunstancias, podemos considerar que las órbitas son cerradas, cuasi-circulares. Sin embargo, el cam- po eléctrico, generado por la variación temporal del campo magnético, incrementará la energı́a cinética de la partı́cula en una pequeña cantidad que obtendremos integrando a lo largo de la órbita L y haciendo uso de la ley de inducción de Faraday. ∆W⊥ = q I L ~ E · d~ l = −q d dt Z S ~ B · d~ S ' q π ρ2 dB dt donde se ha supuesto que ρ = m v⊥ q B ' cte, lo que, bajo las condiciones impuestas, puede demostrarse que es una hipótesis válida. Puesto que, para campos lentamente variables ∆B ' dB dt 2π Ω , substituyendo en el ecuación 6.12, se comprueba que, efectivamente, ∆µ ' 0.
- 225. 207 El momento magnético ~ µ y el flujo Φ permanecen prácticamente invariables, por lo que se dice que son invariantes adiabáticos.6 6.2.5. Campo eléctrico y magnético Cuando la partı́cula sufre la acción conjunta de un campo eléctrico y uno magnético, uniformes y constantes, las ecuaciones del movimiento pueden ser escritas de la forma ~ a = q m ~ E + ~ Ω ∧ ~ v (6.13) En este caso existe una aceleración uniforme en el sentido del campo eléctrico ~ a|| = (~ a · b b)b b = q m E|| b b que da lugar a una velocidad paralela ~ v|| = ~ v0|| + q m ~ E||t 6.2.5.1. ~ E y ~ B perpendiculares. Deriva ambipolar La aceleración en el plano perpendicular será ~ a⊥ = ~ a − ~ a|| = q m ~ E⊥ + ~ Ω ∧ ~ v = q m ~ E⊥ + ~ Ω ∧ ~ v⊥ Comprobaremos que el movimiento en el plano perpendicular puede seguir viéndose como un giro de frecuencia ~ Ω si observamos desde un sistema adecuado que se mueva con velocidad uniforme. Sea ~ v⊥ = ~ vE + ~ v1 donde ~ vE = ~ cte y ~ v1 es la velocidad de la partı́cula con respecto al sistema de coorde- nadas que se mueve con velocidad ~ vE. De acuerdo con esto, podemos escribir d~ v⊥ dt = d~ v1 dt = q m ( ~ E⊥ − ~ B ∧ ~ vE) | {z } (a) +~ Ω ∧ ~ v1 (a) se anula si hacemos ~ E⊥ = ~ B ∧ ~ vE y ~ vE puede despejarse de esta ecuación multiplicando vectorialmente por ~ B, teniendo en cuenta que ~ B ∧ ~ Ek = 0 y que ~ vE⊥ ~ B. Desarrollando el triple producto del segundo miembro se teine que ~ vE = ~ E ∧ b b B (6.14) 6 Para una exposición del concepto de invariante adiabático, véase [Goldstein].
- 226. 208 Esta es, en consecuencia, una velocidad de arrastre, o deriva ambipolar, puesto que sólo es función de los campos y no de la carga o la masa del ión. La ecuación restante d~ v1 dt = ~ Ω ∧ ~ v1 describe el movimiento ciclotrónico de la carga con respecto a un observador que se mueve con velocidad ~ vE referida al sistema de referencia original. v B E- =vE+ E Figura 6.3: En la figura 6.3 vemos que la partı́cula gira alrededor de ~ B pero es arrastrada perpendicularmente a los campos con una velocidad ~ vE que es independiente del signo de la carga. Es fácil comprobar que, si substituimos la fuerza eléctrica por la gravitatoria, o cualquier otra fuerza independiente de la carga, la velocidad de arrastre resultante viene afectada por el signo de la carga. 6.2.5.2. ~ E y ~ B paralelos. Enfoque magnético Algunos de los sistemas de enfoque de partı́culas cargadas hacen uso de campos magnéticos y eléctricos paralelos, lo que da lugar a una velocidad de arrastre nula y un movimiento helicoidal de paso uniformemente variable en la dirección de los campos. Si la velocidad inicial de una carga es ~ v0, la velocidad paralela será v|| = v0 cos θ + q m E t El espacio recorrido en un periodo de revolución T = 2π Ω es L(θ) = v0 cos θ T + q 2m E T2 ' v0 T + q 2m E T2 = L
- 227. 209 siendo θ el ángulo que forma ~ v0 con ~ B. Si θ es lo suficientemente pequeño, véase la figura 6.4, como para que podamos re- alizar la aproximación cos θ ' 1 7, la longitud recorrida por partı́culas monoenergéticas emitidas desde un punto, con una ligera dispersión angular alrededor de la dirección de los campos, es la misma, ya que T también lo es, por lo que coinciden en el mismo punto de enfoque. En los enfoques magnéticos se utiliza un diafragma para eliminar a los electrones emitidos con valores grandes de θ. 0 2 4 6 8 z -0.2 0 0.2 x -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 y 0 2 4 6 8 z - Figura 6.4: 6.3. Movimientos de cargas en campos no homogéneos 6.3.1. Optica electrónica Las leyes del movimiento de una carga en un campo eléctrico no homogéneo suelen ser difı́ciles de integrar analı́ticamente debido a la estructura complicada de los cam- pos. Frecuentemente, en los casos de interés, no se dispone de una expresión cerrada de los mismos y es necesario recurrir a la integración numérica. No obstante, como apuntaremos a continuación, el movimiento de una partı́cula cargada en un potencial no uniforme sigue leyes análogas a las de la marcha de un rayo en un medio ópticamente no homogéneo, lo que permite aplicar, en gran medida, las técnicas de la óptica de rayos al movimiento de cargas en campos electrostáticos. Esto da lugar a lo que se conoce como Optica electrónica. En la figura 6.5 se muestra esquemáticamente media lente electrostática. Está con- stituida por una placa conductora conectada a un potencial V0, en la que se practica una abertura circular. 7 Ésto significa despreciar términos del orden θ2 rad2 .
- 228. 210 0 E F E F 1 V2 V y x 1 2 θ θ V Figura 6.5: En lı́nea de puntos se representa la trayectoria de una carga, un electrón, que incice sobre la lente. Las direcciones marcadas para la fuerza y el campo corresponden a V0 0 y q = −e. Puede observarse que Fy 0 a ambos lados de la lente, por lo que la fuerza tiende a llevar a la carga hacia el eje x. Por otra parte, Fx 0 para x 0 y Fx 0 para x 0 por lo que la carga es atraida hacia la lente cuando está a la izquierda de la misma, mientra que es frenada una vez pasa a su lado derecho. Éste es el mecanismo básico de focalización de este tipo de lente. En la última sección de este capı́tulo se verá que una espira cargada se comporta como una lente electrostática. Nos limitaremos aquı́ a mostrar que la ley que gobierna la refracción de la trayectoria de una carga al atravesar la superficie de separación de dos semiespacios equipotenciales, véase la figura 6.6, es análoga a la que rige para un rayo luminoso que atraviesa la superficie de separación entre dos medios de distinto ı́ndice de refracción. Teóricamente podrı́amos representar esta discontinuidad mediante una distribución dipolar uniforme sobre la superficie S o, en la práctica, mediante dos láminas metálicas, lo bastante finas para ser transparentes a las cargas incidentes, separadas una pequeña distancia ∆x y puestas a unos potenciales convenientes V1 y V2. Por simetrı́a, al atrav- esar S, la carga sufre un impulso perpendicular a la misma, por lo que la componente tangencial de la cantidad de movimiento no se verı́a afectada y vt1 = v1 sen θ1 = vt2 = v2 sen θ2 (6.15) La componente normal adquirirı́a un impulso correspondiente al incremento de en- ergı́a potencial. Puesto que la fuerza actuante es conservativa, la energı́a mecánica, suma de la energı́a cinética y la potencial, se conserva. Si fijamos el origen de potenciales en el punto en que los electrones están en reposo, 1 2 mv2 − e V = 0 ⇒ v1 = cte p V1 , v2 = cte p V2 , cte = r 2e m
- 229. 211 Ps V V2 1 S θ θ v v v t1 vn1 vn2 t2 2 1 v 2 1 Figura 6.6: Substituyendo en la expresión 6.15, se tiene que p V1 sen θ1 = p V2 sen θ2 Expresión análoga a la ley de Snell. 6.3.2. Difusión (scattering) de partı́culas en fuerzas centrales Un problema básico en Fı́sica Atómica es el de la interacción individual entre partı́cu- las. La energı́a de interacción suele presentar simetrı́a radial Wp(r) ∼ r−n lo que corresponde a una fuerza central. Estas fuerzas de interacción pueden ser de diversos tipos. La más importante es la coulombiana, entre dos partı́culas cargadas, para la cual n = 1. Cuando una partı́cula cargada se acerca a un átomo neutro, lo polariza, ya que el campo producido por ésta ~ Eq = k r2 b r separa ligeramente a los centros de carga positiva y negativa del neutro, induciéndose un momento dipolar que es, muy aproximadamente, proporcional a dicho campo ~ p = α ~ E lo que se traduce en una energı́a de interacción, de tipo atractivo entre la carga y el dipolo, que puede expresarse como Wp = q Vd = −~ p · ~ E = − C r4 donde C es una constante.
- 230. 212 Entre neutros tienen lugar las fuerzas de tipo Van der Waals, atractivas, con n = 6, y de origen diverso, como puede ser la interacción entre dos dipolos permanentes, entre dipolos permanentes e inducidos e, incluso, entre dos dipolos inducidos. Estas últimas, que se conocen como fuerzas de London y son las más importantes, pueden interpretarse como la interacción entre el dipolo instantáneo de una molécula, que por término medio no es polar, con el dipolo inducido en la otra. Por último, cuando las distancias entre partı́culas son lo suficientemente pequeñas para que exista un solapamiento substancial de nubes electrónicas, aparecen fuerzas cuánticas de variación muy rápida y generalmente repulsivas. Aquı́ trataremos la difusión elástica de partı́culas en un potencial coulombiano. En este caso, la integración de las ecuaciones del movimiento constituye el problema clásico de Kepler [Goldstein] y como resultado se obtienen trayectorias hiperbólicas, parabólicas o elı́pticas, según la energı́a total W0 = Wc + Wp, suma de la energı́a cinética Wc más la potencial Wp, sea respectivamente 0, = 0 ó 0. Dejaremos para la última sección de este capı́tulo la integración de las ecuaciones del movimiento, referido al centro de masas, de dos cargas, con distitas relaciones de carga a masa y diversas condiciones iniciales, para mostrar en una pelı́cula sus respectivas órbitas. Por ahora, solamente consideraremos el problema de scattering, o difusión, elástico , figura 6.7, en el que se supone que las partı́culas están inicialmente a distancia infinita, acercándose con W0 = Wc(∞) 0 y nos interesamos solamente por el balance final de la interacción, o colisión. oo v oo W v0 y ^ x ^ r b F F F F ϕ ϕ θ x y F F 0 x y P O M m W0 Figura 6.7:
- 231. 213 Es decir, nos preguntamos cuánta energı́a y cuánto momento han intercambiado las partı́culas y cuánto han desviado sus trayectorias. Estas serán hiperbólicas y el centro de masas será el foco interno para fuerzas atractivas y el externo para las repulsivas. Consideraremos la interacción repulsiva entre dos cargas de igual signo, una partı́cula ligera, de masa m, y otra pesada, de masa M À m, lo que nos permite considerar a esta última quieta, en el centro de masas, actuando como centro dispersor de la primera. Elegimos como eje y al que une al centro de dispersión O con el punto de máximo acercamiento P. Definiremos como parámetro de impacto a la distancia b entre las ası́ntotas de la hipérbola y sus paralelas que pasan por O y como ángulo de difusión al ángulo θ que forman la ası́ntota de acercamiento con la de fuga. Puesto que la colisión es elástica, la energı́a cinética se conserva Wc0 = P2 0 2m = Wc∞ = P2 ∞ 2m ⇒ P0 = P∞ = m v0 (6.16) y el módulo de la cantidad de movimiento, P0 y P∞ también. ^ ϕ 0 ϕ 0 θ/2 θ/2 x ^ ∆ P P0 oo P y Figura 6.8: En la figura 6.8 se muestra como las cantidades de movimiento inicial y final tienen la misma magnitud pero la segunda ha girado un ángulo θ con respecto a la primera. Luego ∆P = 2P0 sen θ 2 (6.17) Para hallar el ángulo de difusión, integramos la fuerza ∆~ P = Z ∞ −∞ ~ F dt = 2 b y Z ∞ 0 Fy dt donde se ha tenido en cuenta que, dada la simetrı́a de la trayectoria, Fx(x, y) = −Fx(−x, y), por lo que ∆Px = 0. Segun la figura 6.7 Fy = F cos ϕ = q1 q2 4π ε0 r2 cos ϕ y, teniendo en cuenta que . ϕ= d ϕ d t
- 232. 214 ∆P = 2q1 q2 4π ε0 Z ϕ0 0 cos ϕ r2 dt = 2q1 q2 4π ε0 Z ϕ0 0 cos ϕ r2 . ϕ dϕ (6.18) Para evaluar esta integral comprobaremos que r2 . ϕ= cte, con lo que este término puede sacarse fuera de la integral, y lo expresaremos en función del parámetro de impacto b y la velocidad inicial v0. En un campo central, ~ F = K b r, el momento angular es constante d~ L dt = ~ T = ~ r ∧ ~ F ∼ ~ r ∧ ~ r = ~ 0 ⇒ ~ L = m~ r ∧ ~ v = ~ cte ⇒ ~ r ∧ ~ v = ~ cte y ~ r ∧ ~ v = r b r ∧ d r b r d t = r b r ∧ µ d r d t b r + r d b r d t ¶ = r2 . ϕ b ϕ = ~ cte ⇒ r2 . ϕ= cte 0 dt y ^ x ^ dϕ ϕ 0 ϕ - ϕ 0 ϕ - ϕ0 r (t+dt) r (t) M dl ϕ b O B v A Figura 6.9: Para expresarlo en función de b y v0, supongamos a la partı́cula lejos del origen con velocidad inicial v0. Como puede verse en la figura 6.9, la partı́cula lejana recorre una distancia AB = v0 dt en el intervalo de tiempo dt, por lo que, a la distancia r, el vector de posición gira un ángulo dϕ = dl r = v0 dt sen (ϕ0 − ϕ) r = v0b r2 dt ⇒ r2 . ϕ= v0b donde se ha hecho uso de la aproximación b ' r sen (ϕ0 − ϕ). Substituyendo en la expresión 6.18, ∆ P = 2q1 q2 4π ε0 sen ϕ0 v0 b
- 233. 215 Teniendo en cuenta que, véase la figura 6.9, 2ϕ0 + θ = π y las expresiónes 6.17 y 6.16, el ángulo de difusión resulta ser tan θ 2 = q1 q2 8π ε0 1 Wc0 b (6.19) En una colisión frontal, b = 0, la partı́cula invertirá su trayectoria, θ = π, sufriendo un incremento de cantidad de movimiento, de acuerdo con 6.17, ∆ P = 2P0. En la colisión lejana, b → ∞, θ = 0 y ∆ P = 0. 6.3.3. Botellas magnéticas De entre los aspectos caracterı́sticos e interesantes del movimiento de partı́culas en campos magnéticos no homogéneos, estudiaremos el principio de confinamiento en botel- las magnéticas. Para aislar este efecto de otros posibles, como las derivas por curvatura de las lı́neas de campo, etc., supondremos que una partı́cula está atrapada en una lı́nea de campo recta a lo largo de la cual el campo varı́a de forma suave. En la figura 6.10 se muestra un campo con simetrı́a cilı́ndrica alrededor de dicha lı́nea. Lineas de campo Trayectoria Figura 6.10: Para simplificar, supondremos que ~ B = Bz b z y que la velocidad paralela, v|| = vz, es lo bastante lenta como para poder considerar a su trayectoria como cerrada y a la carga como un dipolo magnético ~ µ = − W⊥ Bz b z Demostraremos que µ = W⊥ Bz es una constante del movimiento. Para ello, derivamos d µ d t = 1 Bz µ d W⊥ d t − µ d Bz d t ¶ (6.20) Calcularemos d W⊥ d t considerando que el campo magnético no trabaja sobre la carga, la energı́a total es invariante, y
- 234. 216 dW dt = 0 ⇒ d W⊥ d t = − d W|| d t (6.21) Luego, los aumentos (disminuciones) de energı́a cinética transversal se traducen en disminuciones (aumentos) equivalentes de la energı́a cinética paralela, de forma que la suma de ambas es una constante del movimiento. Por otra parte, la variación temporal de Wk se debe a la fuerza ~ F = (~ µ · ∇) ~ B = −µ ∂ Bz ∂ z b z que actúa sobre el dipolo. La potencia suministrada al movimiento paralelo es d W|| d t = Fz vz = −µ ∂Bz ∂z ∂z ∂t = −µ dBz dt (6.22) donde dBz dt es la derivada total de Bz a lo largo de la trayectoria del dipolo. De 6.21 y 6.22 se deduce que dW⊥ dt = µ dBz dt Substituyendo este resultado en 6.20, se llega a la conclusión de que d µ d t = 0 ⇒ µ = cte (6.23) Aquı́, como en el caso de la variación temporal lenta del campo, el momento magnético permanece constante y también el flujo cortado por la trayectoria de la espira. Luego, la trayectoria, según se indica en la figura anterior, estará situada so- bre la superficie de un tubo de flujo. Además, podemos ver que si el campo aumenta en la dirección z, es decir, las lı́neas de campo convergen en la dirección z, la fuerza que se ejerce sobre este dipolo rı́gido será negativa, por lo que una partı́cula que se desplace hacia valores crecientes de B verá disminuir W|| en beneficio de W⊥, pudiendo ver invertido el sentido del movimiento. En la figura 6.11 se representa una configuración básica de botella magnética. A lo largo de la trayectoria W = cte, luego v = v0 = cte. Además, como acabamos de comprobar, µ = W⊥ B = cte y , de acuerdo con la figura 6.11, v⊥ = v0 sen θ, de lo que se deduce que sen2θ B = cte (6.24) Si en la región de campo mı́nimo B0, θ = θ0, y en la de campo máximo Bmax, θ = θmax, tenemos que sen 2θ0 B0 = sen 2θmax Bmax
- 235. 217 0 v B 0 B max B B v v v v z ^ v 0 ||0 0 max B z (a) (b) || θ 0 Figura 6.11: La velocidad paralela v|| = v0 cos θ se anulará, y las partı́culas quedarán atrapadas en la botella, si θmax π/2 o, lo que es lo mismo sen θ0 r B0 Bmax En caso contrario, cuando la partı́cula llega al punto de campo máximo todavı́a le sobra energı́a cinética paralela para escapar de la botella. Una botella magnética tiene, pués, un cono de fugas, de apertura θF , por el que se escapan todas las partı́culas con θ0 θF sen θF = r B0 Bmax Este efecto de espejo magnético, que es utilizado actualmente para el confinamiento de plasmas artificiales, aparece en la naturaleza asociado al campo magnético terrestre. Los cinturones de Van Allen, figura 6.12, no son sino grandes bolsas de partı́culas car- gadas, atrapadas por el campo magnético terrestre, que fueron detectadas por primera vez por los contadores Geiger instalados a bordo del Pioner 3 (1948) y Lunik 1 (1959). 6.4. Precesión de un dipolo en un campo magnético Por último analizaremos, desde el punto de vista clásico, el movimiento de un dipolo magnético bajo la acción de una campo magnético uniforme y constante. Olvidaremos que los casos más interesantes exigen, en general, un tratamiento cuántico. Si, en principio, suponemos que el dipolo es rı́gido, como el que corresponde al momento magnético de espı́n de un electrón, podemos plantear la ecuación que iguala el par aplicado al sistema con la variación temporal del momento angular d~ L dt = ~ T
- 236. 218 1 2 3 4 5 N Cuentas por segundo 1.000 10.000 Cinturon interno Cinturon externo eje geomagnetico Radios terrestres Ecuador magnetico Figura 6.12: y tener en cuenta que ~ L = ~ m Γ y ~ T = ~ m ∧ ~ B lo que permite escribir d~ m dt = ~ ΩL ∧ ~ m , ~ ΩL = −Γ ~ B ecuación análoga a la que describe el giro ciclotrónico y que indica que el momento magnético ~ m posee un movimiento de precesión alrededor de ~ B con la frecuencia de Larmor ~ ΩL. En el caso de un electrón orbital, cuyo momento magnético se ve afectado ligeramente por el campo magnético aplicado, la ecuación anterior sigue siendo aplicable con gran precisión, pudiéndose despreciar los efectos de nutación [Velayos, Konopinski]. Ası́ pues, si un dipolo magnético es sometido a un campo que varı́e de ~ 0 a ~ B0, adquirirá una energı́a potencial Wp = −m B0 cos θ y una velocidad de precesión ~ ΩL = −Γ ~ B0. Estos estados de movimiento se detectan generalmente por la emisión de radiación que acompaña a la transición entre los mismos.
- 237. 219 6.5. Problemas 6-1. En el seno de un campo ~ B0 = B0 b z (B0 = 0, 1 T), en la posición ~ r = ~ 0 y en la di- rección del eje x, se inyectan un electrón y un protón, ambos con la misma energı́a de 1 KeV . Haga un esquema de las trayectorias, determine las ecuaciones de las mismas y calcule los radios de giro y las frecuencias ciclotrónicas correspondientes. 6-2. En la figuara 6.13 se representa a un magnetrón de placas paralelas de cuya placa inferior se desprenden electrones a velocidad despreciable. Éstos se mueven bajo la acción de un campo magnético uniforme ~ B0 = B0 b z y de un campo eléctrico ~ E0 regulable mediante el potencial V0. Halle el valor de este último potencial para el cual el amperı́metro empieza a detectar el paso de corriente y deduzca del resultado la relación de carga a masa del electrón. Haga uso de las integrales de energı́a y cantidad de movimiento para resolver el problema. max A V0 - B 0 d x y z E 0 + x Figura 6.13: 6-3. La ionosfera es un plasma neutro, con la misma densidad n de iones monoion- izados y de electrones. Ambas especies están sometidas al campo gravitatorio y al magnético terrestre. Prescindiendo de la componente perpendicular del campo magnético, calcule la densidad de corriente ionosférica. Haga un análisis paralelo al realizado para determinar la deriva ambipolar. Tome para la densidad el valor n = 1011 m−3, para la masa del ión M = 30 mp, donde mp es la masa del protón y B = 30 µT. 6-4. Un dipolo magnético forma inicialmente un ángulo θ0 con el eje z. En t = 0 se introduce un campo magnético ~ B(t) = B(t) b z lentamente variable (despreciamos el campo eléctrico generado). Calcule el ángulo polar θ(t) y la velocidad angular . ϕ (t) en el plano z = 0.
- 238. 220 6.6. Ejemplos con Mathematica 6.6.1. Compresión de órbitas. movimiento − cargas − EpB.nb Condideraremos un campo magnético dependiente del tiempo ~ B = B0(t) b z que puede variar brusca o gradualmente y en el que está atrapada una carga que gira alrededor de una de sus lı́neas. Según el caso, superponemos un campo eléctrico constante ~ E = E0 b z paralelo al anterior. En general, las ecuaciones del movimiento son ~ a = q m ~ E + q m ~ v ∧ ~ B que, descompuesta en componentes y empleando la notación q m E0 = A , q m B0 = B toman la forma d2 x d t2 = B d y d t d2 y d t2 = −B d z d t d2 z d t2 = A Las cargas partirán del origen con una velocidad inicial determinada. Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; Para realizar las gráficas pueden adoptarse dos modalidades: - Si modalidad = 1, B aumenta bruscamente en magnitud para t = 15. El campo eléctrico es nulo, por lo que vz = cte. - Si modalidad = 0, B aumenta gradualmente según la ley B = 1 + t2 100 . Se super- pone un campo eléctrico constante que acelera a la carga uniformemente en la dirección z. La velocidad inicial vz0 la tomamos como nula. modalidad = 1; Which[modalidad == 1, { vz0 = 0.1, A = 0, B = If[t 15, 1, 8]}, modalidad == 0, { vz0 = 0, A = 0.07, B = 1 + t2 100 }];
- 239. 221 Resolvemos el sistema de eucaciones diferenciales de forma numérica haciendo uso de la orden NDSolve 8. Esta orden tiene como primer argumento una lista que contiene las ecuaciones a resolver y las condiciones iniciales. Para mayor claridad, realizaremos esta operación en tres etapas: escritura de las ecuaciones, escritura de las condiciones iniciales y unión de ambas listas. Preste atención al formato en que se escriben estas listas. ecuaciones = {x00 [t] == B ∗ y0 [t], y00 [t] == −B ∗ x0 [t], z00 [t] == A}; ciniciales = {x0 [0] == 1, y0 [0] == 1, z0 [0] == vz0, x[0] == 0, y[0] == 0, z[0] == 0}; ecuaciones = Join[ecuaciones, ciniciales]; El segundo argumento es la lista de las variables incógnitas {x, y, z} y, el tercero, la lista {t, 0, 30} de la variable independiente y los lı́mites del intervalo de la misma en que se quiere obtener la solución. solucion = NDSolve[ecuaciones, {x, y, z}, {t, 0, 30}]; El resultado es la lista que hemos denominado solucion cuyos elementos son fun- ciones interpolantes 9. Dichas funciones están especificadas por un conjunto de datos que permiten, en su caso, aproximar a la solución correspondiente en el intervalo especificado. Para poder representarlas gráficamente es necesario hacer uso de la función Evaluate 10. fx = Evaluate[x[t]/.solucion]; fy = Evaluate[y[t]/.solucion]; fz = Evaluate[z[t]/.solucion]; Si quitamos el (; ) de la última expresión veremos que fz es una lista con una sola componente, la función interpolante de z(t). Primero hacemos una representación bidimensional de las funciones {x(t), y(t), z(t)} en función del tiempo. Plot[{fx, fy, fz}, {t, 0, 30}, PlotRange → All, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, PlotLabel → {”x = rojo, y = verde, z = azul”}, AxesLabel → {”t”, None}]; En la modalidad 1, en la que se da el cambio brusco de B, el radio de giro se com- prime instantáneamente y el centro de giro cambia de lı́nea de campo. En la modalidad
- 240. 222 5 10 15 20 25 30 t -2 -1 1 2 3 8x=rojo,y=verde,z=azul Figura 6.14: 0 la compresion de la órbita es gradual y el centro de giro se mantiene posicionado en la misma lı́nea. La figura 6.14 corresponde a la modalidad 1. Por último, se representan las trayectorias en un gráfico paramétrico tridimensional. ParametricPlot3D[fz[[1]], fx[[1]], fy[[1]], t, 0, 30, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, PlotPoints → 1000, PlotRange → All, Boxed → False, AspectRatio → 1, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, AxesLabel → ”t”, ”x”, ”y”, AxesStyle → RGBColor[0, 1, 1], Thickness[0,01], PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, DefaultColor → RGBColor[1, 0, 0], BoxRatios → 2, 1, 1]; La figura 6.15 también corresponde a la modalidad 1. 6.6.2. Enfoque electromagnético. enfoque EpB.nb Este programa ilustra el enfoque de cargas en campos eléctrico y magnético paralelos, constantes y uniformes. Las trayectorias son hélices cuyo paso aumenta uniformemente. Se representan las trayectorias de partı́culas mono energéticas que parten del origen con unas velocidades iniciales vx0 = v0 sen θ, vy0 = 0, vz0 = v0 cos θ, cada una de ellas con distinto θ de pequeña magnitud. El movimiento en la dirección del eje z es uniformemente acelerado. Dado que z(0) = 0 z = vz0 t + 1 2 a t2 , a = q m E 8 Véase la ayuda de Mathematica. 9 Véase la ayuda de Mathematica. 10 Véase la ayuda de Mathematica.
- 241. 223 0 1 2 3 t 0 1 2 x -2 -1 0 y 0 1 2 t - - Figura 6.15: La solución del movimiento transversal, compatible con las condiciones iniciales, viene dada por las expresiónes 1.33 x = ρ sen Ωt y = ρ (1 − cos Ωt) siendo ρ el radio de giro y Ω la frecuencia ciclotrónica que, en adelante tomaremos como Ω = 1 ⇒ ρ = vx0. Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; Especificamos el valor de A = 1 2 a, los valores iniciales de las velocidades y las ecuaciones paramétricas de las trayectorias. A = 0.08; vz0 = Cos[θ]; vx0 = Sin[θ]; z = vz0 t + A t2 ; x = vx0 Sin[t]; y = vx0 (1 − Cos[t]);
- 242. 224 A continuación confeccionamos una lista, lista[[i, j]], j = x, y, z que contiene las ecuaciones de las trayectorias de las partı́culas i = 1. · · · , 5. lista = {{z, x, y}/.θ → 0, {z, x, y}/.θ → 0.15, {z, x, y}/.θ → −0.15, {z, x, y}/.θ → 0.3, {z, x, y}/.θ → −0.3}; En enfoquep se almacenarán las gráficas paramétricas tridimensionales de cada una de las trayectorias. enfoquep = {0, 0, 0, 0, 0}; Do[enfoquep[[i]] = ParametricPlot3D[lista[[i]], {t, 0, 2Pi}, Boxed → True, DisplayFunction → Identity, AxesLabel → {”z”, ”x”, ”y”}, DefaultColor → RGBColor[0, 0, 1], AxesStyle → {RGBColor[0, 1, 1], Thickness[0.01]}, BoxRatios → {2, 0.5, 0.5}, PlotPoints → 500], {i, 1, 5}]; enfoque = Show[enfoquep, DisplayFunction → $DisplayFunction]; 0 2 4 6 8 z -0.2 0 0.2 x -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 y 0 2 4 6 8 z - Figura 6.16: La figura 6.16 es una representación tridimensional de las trayectorias. Si am- pliáramos la parte final de la gráfica verı́amos claramente que el efoque tiene aberración. Ésta será tanto menor cuanto más pequeña sea la dispersión angular de la velocidad ini- cial.
- 243. 225 Por último, haremos una representación paramética bidimensional para ver las trayectorias en el plano transversal. lista2 = {{0, 0}, {0, 0}, {0, 0}, {0, 0}, {0, 0}}; Do[lista2[[i]] = {lista[[i]][[2]], lista[[i]][[3]]}, {i, 1, 5}]; enfoquepf = {0, 0, 0, 0, 0}; Do[enfoquepf[[i]] = ParametricPlot[lista2[[i]], {t, 0, 2Pi}, AxesLabel− {”x”, ”y”}, PlotStyle− RGBColor[0, 0, 1], PlotPoints− 500, DisplayFunction− Identity], {i, 1, 5}]; enfoquef = Show[enfoquepf, DisplayFunction− $DisplayFunction, AspectRatio− 2]; -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 x -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 y Figura 6.17: Las partı́culas parten del origen con distintas velocidades transversales, y distintos radios de giro, e inciden en (0, 0, L(θ) ' L) al cabo de un periodo (figura 6.17). 6.6.3. Confinamiento magnético. botella − magnetica.nb En este programa estudiaremos el confinamiento de cargas en una botella magnética. Como en el problema 2-29, el campo de la botella se genera por medio de dos espiras cuadradas , cuyo eje común es el z y que están recorridas por una intensidad I. A
- 244. 226 diferencia de la configuración de los carretes de Helmholtz, la distancia entre espiras se hará mayor que en ésta, de modo que en el punto intermedio el campo sea mı́nimo, dando lugar a espejos magnéticos en la proximidad de la posición de los carretes. Generaremos gráficas y pelı́culas que nos muestren las trayectorias de partı́culas confinadas en la botella. Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; Off[General :: ”spell”]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; 6.6.3.1. Campo de una espira Comenzamos calculando el campo de una espira Rx = {x − xp, y − y0, z}; mRx = √ Rx.Rx; BX = {0, −z, y − y0} Z x2 x1 1 mRx3 dxp; De forma análoga calculamos el campo producido por un segmento orientado en la dirección el eje y Ry = {x − x0, y − yp, z}; mRy = p Ry.Ry; BY = {z, 0, −x + x0} Z y2 y1 1 mRy3 dyp; Calculamos el campo total de la espira producido en un punto cualquiera partic- ularizando los resultados anteriores para cada uno de los segmentos de la espira con a = 1. B2 = BX/.{x1 → 1 2 , x2 → − 1 2 , y0 → 1 2 }; B4 = BX/.{x1 → − 1 2 , x2 → 1 2 , y0 → − 1 2 }; B1 = BY/.{y1 → − 1 2 , y2 → 1 2 , x0 → 1 2 }; B3 = BY/.{y1 → 1 2 , y2 → − 1 2 , x0 → − 1 2 }; Be = B1 + B2 + B3 + B4;
- 245. 227 6.6.3.2. Campo de dos espiras situadas en z = ± d/2 Be1 = Be/.z → (z − d 2 ); Be2 = Be/.z → (z + d 2 ); Bc = Be1 + Be2; Calculamos los campos producidos por cada una de las espiras, Be1z y Be2z, y por el conjunto Bcz, en el eje z. Be1zv = Be1/.{x → 0, y → 0}; Be1z = Be1zv[[3]]; Be2zv = Be2/.{x → 0, y → 0}; Be2z = Be2zv[[3]]; Bczv = Bc/.{x → 0, y → 0}; Bcz = Bczv[[3]]; 6.6.3.3. Botella magnética Asignamos a d el valor db = 3. db = 3; Representación del campo axial: Bczb = Bcz/.d → db; grcampz = Plot[Bczb, {z, −0.6 ∗ db, 0.6 ∗ db}, AxesOrigin → {0, 0}, GridLines → {{− db 2 , 0, db 2 }, None}, , PlotStyle → RGBColor[0, 1, 1]]; (6.25) En la figura 6.21, que se muestra más adelante, se observa la existencia de un mı́nimo de campo en z = 0 y unos máximos en las proximiades de las posiciones de las espiras. En las zonas interiores de campo alto, espejos magnéticos, se reflejan las partı́culas atrapadas en la botella.
- 246. 228 Representación del campo en el plano x = 0: Calculamos el campo en este plano para la distancia db entre espiras Bcyzb = {Bc[[2]], Bc[[3]]}/.{x → 0, d → db}; especificamos los lı́mites de las gráficas Ly = 1; Lz = 0.7 ∗ db; generamos el gráfico de flechas Graphics‘PlotField‘ grcampb = PlotVectorField[Bcyzb, {y, −Ly, Ly}, {z, −Lz, Lz}, PlotPoints → 11, AspectRatio → 1, DisplayFunction → Identity]; la posición de los carretes puntosb = {{−0.5 , −0.5db}, {0.5 , −0.5db}, {−0.5 , 0.5db}, {0.5 , 0.5db}}; carretesb = Graphics[{PointSize[.04], RGBColor[0, 0, 1], Point/@puntosb}]; dibujamos las lı́neas de campo por el método de Heun mBcyzb = p Bcyzb.Bcyzb; Bunit = Bcyzb mBcyzb ; n = 100; ∆ = db n ; y0 = −0.45; z0 = −Lz + 0.01; grlinea = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0};
- 247. 229 Do[{p0 = {y0, z0}; linea = {p0}; kk = 0; While[(Abs[p0[[1]]] = Ly)(Abs[p0[[2]]] = Lz)(kk = 2n), {kk = kk + 1, p0ini = p0, Bunitini = Bunit/.{y → p0[[1]], z → p0[[2]]}, p0 = p0ini + ∆ ∗ Bunitini, Bunitfin = Bunit/.{y → p0[[1]], z → p0[[2]]}, p0 = p0ini + ∆ ∗ 1 2 (Bunitini + Bunitfin), linea = Append[linea, p0]}], grlinea[[i]] = ListPlot[linea, PlotJoined → True, PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction → Identity], y0 = y0 + 0.1}, {i, 1, 10}]; y representamos conjuntamente todas estas gráficas Show[grcampb, carretesb, grlinea, DisplayFunction → $DisplayFunction, Axes → True]; -1 -0.5 0.5 1 -2 -1 1 2 Figura 6.18: En la figura 6.18 puede verse como el campo es poco uniforme, existiendo un alto flujo del mismo en los cuellos de la botella y poca densidad de lı́neas en el vientre de la misma. 6.6.3.4. Confinamiento magnético Primero supondremos que la partı́cula, atrapada en la lı́nea central de la botella, tiene una energı́a cinética transversal W⊥ À Wk, lo que permite representarla como un dipolo magnético en la dirección contraria al campo. En segundo lugar, resolveremos la ecuación de la trayectoria de la particula, sin restricciones, para representarla en gráficos y pelı́culas en dos y tres dimensiones.
- 248. 230 Movimiento del dipolo en el eje z: Partı́cula confinada. Inicialmente situamos al dipolo en reposo, v0 = zp0, en un punto z = z0, situado en el eje z, en el interior de la botella y cerca del punto de campo máximo. z0 = −1.45; zp0 = 0; calculamos la fuerza sobre el dipolo Fz = −µ ∂ Bz ∂ z tomando µ = 1. fzp = −∂z Bczb; y la expresamos en el formato requerido para la orden NDSolve. fz = fzp/.z → z[t]; Hallamos numéricamente las ecuaciones paramétricas de la trayectoria suponiendo que la masa de la partı́cula m = 1. solucionc = NDSolve[{z00 [t] == fz, z0 [t][0] == zp0, z[0] == z0}, z, {t, 0, 5}]; Extraemos la solución z(t) szc = Evaluate[z[t]/.solucionc]; (6.26) y, derivándola, obtenemos la velocidad. vszc = ∂t szc; Representamos conjuntamente la posición y la velocidad en función del tiempo. Esta última la multiplicamos por un factor de escala. Plot[{szc, 0.3 vszc}, {t, 0, 2.5}, PlotRange → All, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, AxesLabel → {”t”, ”z, vz”}, PlotLabel → StyleForm[”z en rojo, vz en azul”, FontColor → RGBColor[0, 0.5, 1]], GridLines → {None, {−z0, z0}}]; En la figura 6.19 se observa como el dipolo parte de su posición inicial z0 = −1,45 y se refleja en el punto simétrico. Parte con velocidad nula y se acelera hasta el punto de campo mı́nimo en que empieza a decelerarse. El movimiento corresponde a una partı́cula confinada, el dipolo está encerrado en el pozo de potencial. Partı́cula libre.
- 249. 231 0.5 1 1.5 2 2.5 t -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 z, vz z en rojo, vz en azul Figura 6.19: En este caso, la posición inicial del dipolo es la misma que en el caso anterior, pero se parte de ella con una velocidad inicial que le permitirá salir del pozo de potencial y liberarse del mismo. zp0 = 0.6; solucion = NDSolve[{z00 [t] == fz, z0 [0] == zp0, z[0] == z0}, z, {t, 0, 5}]; sz = Evaluate[z[t]/.solucion]; vsz = ∂t sz; Plot[{sz, 0.5 vsz}, {t, 0, 1.5}, PlotRange → {−2, 2.5}, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, AxesLabel → {”t”, ”z, vz”}, PlotLabel → StyleForm[”z en rojo, vz en azul”, FontColor → RGBColor[0, 0.5, 1]], GridLines → {None, {−z0, z0}}]; En la figura 6.20 se ve como la posición z de la partı́cula alcanza la posición simétrica de la inicial, marcada por una lı́nea horizontal, rebasa el punto de campo máximo y se libera. Pelı́cula del movimiento confinado del dipolo. Queremos representar la posición del dipolo, en función de z, no en función de t, y unir esta gráfica a la resultante de ejecutar 6.25, es decir, la del campo axial en función de z. Para ello formamos una lista zz con las posiciones del dipolo en distintos fotogramas (instantes de tiempo). Tenemos en cuenta que szc es una lista con un solo componente que es la función interpolante. Es esta última la que debe figurar como primer argumento de la orden Table. La cota máxima de t es lo suficientemente grande como para captar la reflexión del dipolo en el espejo de la derecha.
- 250. 232 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 t -2 -1 1 2 z, vz z en rojo, vz en azul Figura 6.20: zz = Table[szc[[1]], {t, 0, 2.5, 0.025}]; Para determinar el número de componentes de la tabla, hacemos uso de la orden Dimensions. El resultado de la misma es una lista con las dimensiones, una en este caso, de zz. dzz = Dimensions[zz][[1]]; Generamos las gráficas conjuntas de los puntos que representan al dipolo y la gráfica del campo axial. Do[{puntoconf = Graphics[{PointSize[.04], RGBColor[0, 0, 1], Point[{zz[[i]], 0}]}], Show[{grcampz, puntoconf}]}, {i, 1, dzz}]; -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 4 6 8 10 Figura 6.21: La figura 6.21 es uno de los fotogramas de la pelı́cula. Esta última muestra como el dipolo parte del reposo, es acelerado hasta la posición central y se refleja en el espejo derecho. Si se le da una velocidad inicial suficiente, la partı́cula saldrá de la botella.
- 251. 233 Movimiento tridimensional de la partı́cula: Para esta representación tomaremos q m = 1. Empezamos particularizando el campo tridimensional para la distancia d = db es- pecificada para la botella y hallando el módulo correspondiente. Bb = Bc/.d → db; mBb = √ Bb.Bb; Especificamos el intervalo 0 ≤ t ≤ T en que se calcula la trayectoria T = 71; el radio ciclotrónico en la posición inicial rc0 = 0.01; las posiciones iniciales x0 = rc0; y0 = 0; z0 = −1,45; el campo magnético en la posición (0, 0, z0) mB0 = mBb/.{x → 0, y → 0, z → z0}; y las velocidades iniciales. Tomaremos la velocidad inicial con módulo |vy0| = v⊥ = ρ B y en la dirección correspondiente a un giro de la partı́cula a izquierdas alrededor del campo. vx0 = 0; vy0 = −rc0 ∗ mB0; vz0 = 0; Estas especificaciones corresponden a una carga positiva que gira alrededor del eje z. Si, por ejemplo, cambia el signo de vy0, la partı́cula girará a lo largo de otra lı́nea de campo e, incluso, podrá quedar libre de la botella. Experimente. A continuación se extraen las componentes del campo y se expresan en el formato requerido. Bbx = Bb[[1]]; Bby = Bb[[2]]; Bbz = Bb[[3]]; Bbx = Bbx/.{x → x[t], y → y[t], z → z[t]}; Bby = Bby/.{x → x[t], y → y[t], z → z[t]}; Bbz = Bbz/.{x → x[t], y → y[t], z → z[t]}; Las ecuaciones a resolver se reducen en este caso a ~ a = ~ v ∧ ~ B
- 252. 234 ecuacionesb = {x00 [t] == y0 [t] ∗ Bbz − z0 [t] ∗ Bby, y00 [t] == z0 [t] ∗ Bbx − x0 [t] ∗ Bbz, z00 [t] == x0 [t] ∗ Bby − y0 [t] ∗ Bbx}; cinicialesb = {x0 [0] == vx0, y0 [0] == vy0, z0 [0] == vz0, x[0] == x0, y[0] == y0, z[0] == z0}; ecuacionesb = Join[ecuacionesb, cinicialesb]; solucion = NDSolve[ecuacionesb, {x, y, z}, {t, 0, T}, MaxSteps → 4000]; xb = Evaluate[x[t]/.solucion]; yb = Evaluate[y[t]/.solucion]; zb = Evaluate[z[t]/.solucion]; Para obtener la pelı́cula haremos la representación de la trayectoria hasta distintos instantes, y del punto que representa a la partı́cula en ese mismo instante. Se especifica el número de fotogramas y el intervalo temporal entre cada uno de ellos. n = 500; ∆t = T n ; Se inicializa el instante final de la trayectoria parcial Ti = 0; y se realizan los fotogramas en los sucesivos instantes Do[ {Ti = Ti + ∆t; puntoi = {zb[[1]], xb[[1]], yb[[1]]}/.t → Ti, grpuntoi = Graphics3D[{PointSize[,03], RGBColor[0, 0, 1], Point[puntoi]}], orbitai = ParametricPlot3D[{zb[[1]], xb[[1]], yb[[1]]}, {t, 0, Ti}, PlotPoints → 2000, PlotRange → All, Boxed → False, AspectRatio → 1, AxesLabel → {”z”, ”x”, ”y”}, AxesStyle → {RGBColor[0, 1, 1], Thickness[0.01]}, DefaultColor → RGBColor[1, 0, 0], BoxRatios → {3, 1, 1}, PlotRange → {{−1.6, 1.6}, {−0.04, 0.04}, {−0.04, 0.04}}, DisplayFunction → Identity], Show[orbitai, grpuntoi, PlotRange → {{−1.6, 1.6}, {−0.04, 0.04}, {−0.04, 0.04}}, DisplayFunction → $DisplayFunction]}, {i, 1, n}];
- 253. 235 -1 0 1 z -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 x -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 y -1 0 1 z - - Figura 6.22: En la figura 6.22 se representa el último fotograma de la pelı́cula. En el se encuentra a la partı́cula en un instante posterior a su reflexión en el espejo de la derecha. La pelı́cula pone de manifiesto cómo dicha partı́cula parte de la izquierda con Wk = 0 y W⊥ = max, gira rápidamente pero avanza lentamente. En el centro la velocidad transversal es mı́nima y la longitudinal máxima. Después se refleja e invierte el sentido de la marcha. Representación de las coordenadas en función del tiempo: Por último, representamos conjuntamente las coordenadas en función del tiempo. p1 = Plot[xb[[1]], {t, 0, T}, PlotStyle → RGBColor[0, 1, 0], DisplayFunction → Identity]; p2 = Plot[0.03zb[[1]], {t, 0, T}, PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction → Identity]; p3 = Plot[yb[[1]], {t, 0, T}, PlotStyle → RGBColor[0, 0, 1], DisplayFunction → Identity];
- 254. 236 Show[p1, p2, p3, PlotRange → All, AxesLabel → {”t”, ”x, y, z”}, PlotLabel → StyleForm[”x en verde, y en azul, z en rojo”, FontColor → RGBColor[0, 0.5, 1]], DisplayFunction → $DisplayFunction]; 10 20 30 40 50 60 70 t -0.04 -0.02 0.02 0.04 x, y, z x en verde,y en azul, z en rojo Figura 6.23: La figura 6.23 muestra como la coordenada z es periódica, como corresponde a una partı́cula confinada, y que el radio de giro y el periodo ciclotrónico varı́an con dicha coordenada. 6.6.4. Lente electrostática. lente − electrostatica.nb En este programa se simula una lente electrostática constituida por un hilo en forma de cuadrado y cargado positivamente. Comprobaremos que ésta se comporta como una lente convergente para los electrones. Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; Para calcular el potencial nos referiremos a la misma figura 2.37 ya empleada para hallar el campo magnético producido por una espira cuadrada. En este caso, la espira estará cargada con una desidad lineal de carga ρl. Los pasos que seguiremos son análogos a los que se dieron en la sección 6.6.3.1. vxR = {x − xp, y − y0, z}; mxR = √ vxR.vxR; vyR = {x − x0, y − yp, z}; myR = p vyR.vyR; xV = K Z a 2 − a 2 1 mxR dxp;
- 255. 237 V1 = xV/. y0 → a 2 ; V3 = xV/. y0 → − a 2 ; yV = K Z a 2 − a 2 1 myR dyp; V4 = yV/. x0 → a 2 ; V2 = yV/. x0 → − a 2 ; V = V1 + V2 + V3 + V4; Vyz = V/. {x → 0, a → 1, K → 1}; El campo se obtiene derivando el potencial. Eyz = {−∂y Vyz, −∂z Vyz}; Representación del campo y del potencial en las proximidades de la espira: Dibujamos las lı́neas de campo haciendo uso del método de Heun. mEyz = p Eyz.Eyz; Eunit = Eyz mEyz ; n = 100; ∆ = 1 n ; grlinea = Table[0, {i, 1, 20}]; Ly = 1; Lz = 1; Situamos los puntos de partida de las lı́neas en un cı́rculo centrado en la posición de la espira. r0 = 0.1 ; θ0 = − π 20 ; ∆θ = π 10 ;
- 256. 238 Do[{p0 = {y0, z0}, linea = {p0}, kk = 0, While[(Abs[p0[[1]]] = Ly)Abs[p0[[2]]] = Lz)(kk = 4n), {kk = kk + 1, p0ini = p0, Eunitini = Eunit/. {y → p0[[1]], z → p0[[2]]}, p0 = p0ini + ∆ ∗ Eunitini, Eunitfin = Eunit/. {y → p0[[1]], z → p0[[2]]}, p0 = p0ini + ∆ ∗ 1 2 (Eunitini + Eunitfin), linea = Append[linea, p0]}], grlinea[[i]] = ListPlot[linea, PlotJoined → True, PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction → Identity], θ0 = θ0 + ∆θ, y0 = 0.5 − r0 ∗ Cos[θ0], z0 = r0 ∗ Sin[θ0]}, {i, 1, 20}]; Generamos la gráfica de las lı́neas equipotenciales grpot = ContourPlot[Vyz, {y, −Ly, Ly}, {z, −Lz, Lz}, PlotPoints → 100, ContourShading → False, Contours → 30, ContourStyle → RGBColor[0, 0.7, 1], DisplayFunction → Identity, FrameLabel → {”y”, ”z”}]; situamos la espira puntos = {{0.5, 0}, {−0.5, 0}}; pos = Graphics[{PointSize[.03], RGBColor[0, 0, 1], Point/@puntos}]; realizamos el gráfico de flechas Graphics‘PlotField‘ grcamp = PlotVectorField[Eyz, {y, 0.01, Ly}, {z, −Lz, Lz}, PlotPoints → 9, DisplayFunction → Identity]; y mostramos la representación conjunta. Show[grpot, pos, grcamp, grlinea, DisplayFunction → $DisplayFunction, AspectRatio → Lz Ly , Axes → True]; La gráfica 6.24 muestra como las lı́neas de campo parten de la espira y, más allá de la región central, divergen del eje z. Para electrones ~ F = −e ~ E y las lineas de fuerza
- 257. 239 -1 -0.5 0 0.5 1 y -1 -0.5 0 0.5 1 z Figura 6.24: convergen sobre dicho eje focalizando a las cargas. En esta región externa, la componente Fz atrae a los electrones hacia la lente. Si un haz de electrones incide desde z 0 hacia la lente, es acelerado hasta las proximidades de la misma y decelerado una vez que ésta ha sido sobrepasada. Estudio de las trayectorias electrónicas: Resolveremos las ecuaciones de las trayectorias de un haz de electrones que se mueve inicialmente, en la lejanı́a de la lente, paralelamente al eje z. Escribimos las componentes del campo en el plano z = 0 en el formato establecido para NDSolve Ey = Eyz[[1]]/. {y → y[t], z → z[t]}; Ez = Eyz[[2]]/. {y → y[t], z → z[t]}; Establecemos las condiciones iniciales vz0 = 4; vy0 = 0; z0 = −50; y0 = −0.2; T = 25; graficas = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}; y calculamos las trayectorias.
- 258. 240 Do[ {y0 = y0 + 0.05, ecuacionesl = {y00 [t] == −Ey, z00 [t] == −Ez}, cinicialesl = {y0 [0] == vy0, z0 [0] == vz0, y[0] == y0, z[0] == z0}, ecuacionesl = Join[ecuacionesl, cinicialesl], solucion = NDSolve[ecuacionesl, {y, z}, {t, 0, T}, MaxSteps → 4000], yl = Evaluate[y[t]/. solucion], zl = Evaluate[z[t]/. solucion], ydez = Table[{zl[[1]]/. t → i, yl[[1]]/. t → i}, {i, 0, T, T 1000 }], graficas[[i]] = ListPlot[ydez, PlotJoined → True, GridLines → {{0}, None}, PlotStyle → RGBColor[0, 1, 0.7], AxesOrigin → {−50, 0}, PlotRange → {−0.16, 0.16}, AxesLabel → {”z”, ”y”}, DisplayFunction → Identity]}, {i, 1, 7}]; Show[graficas, DisplayFunction → $DisplayFunction]; -40 -20 0 20 40 z -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 y Figura 6.25: En la figura 6.25, como puede comprobarse, la escala del eje y está muy ampliada con respecto a la del z. En dicha figura se ve como las trayectorias, inicialmente paralelas, se focalizan, con un cierto grado de aberración, al otro lado de la lente. El campo sólo es notable en la cercanı́a de la lente, donde cambia brúscamente de magnitud y sentido. La aberración puede reducirse cumpliendo más estrictamente la condición paraxial, es
- 259. 241 derir, haciendo uso de un haz más estrecho, o diseñando lentes menos simples que la que aquı́ hemos propuesto. 6.6.5. Órbitas de dos cargas. orbitas − cargas.nb Este programa estudia las órbitas de dos cargas puntuales referidas a su centro de masas. Los parámetros que se proponen corresponden a órbitas elı́pticas. Para estudiar otros casos deberá cambiar las condiciones iniciales y algún otro parámetro, como el intervalo temporal T, etc. Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; Cálculo de las trayectorias: Se definen los vectores de posición de cada una de las partı́culas y el ~ R21 que sitúa a la partı́cula 1 con respecto a la 2. r1 = {x1, y1}; r2 = {x2, y2}; R21 = r1 − r2; mR21 = √ R21.R21; Tomaremos los valores q1 = 1, q2 = ±1, m1 = 1, m2 ≥ 1 q2 = −1; m2 = 3; F21 es la fuerza que actúa sobre la partı́cula 1. La fuerza que lo hace sobre la 2 es F12 = −F21. Escribimos estas fuerzas con el formato requerido por la orden NDSolve. F21 = q2 R21 mR213 /.{x1 → x1[t], x2 → x2[t], y1 → y1[t], y2 → y2[t]}; F12 = −F21; Estableceremos las condiciones iniciales de forma que el centro de masas se sitúe en el origen de coordenadas. Por definición ~ rcm = m1 ~ r1 + m2 ~ r2 m1 + m2 (6.27) por lo que, para que ~ rcm = ~ 0 en t = 0, debe cumplirse que ~ r20 = m1 m2 ~ r10 Por otra parte, derivando 6.27 ~ vcm = m1 ~ v1 + m2 ~ v2 m1 + m2 por lo que, para que ~ vcm = ~ 0 en t = 0, debe cumplirse que
- 260. 242 ~ v20 = m1 m2 ~ v10 Dado que en una interacción que cumpla el principio de acción y reación, la cantidad de movimiento se conserva, si el centro de masas está en reposo en el origen en el instante inicial, permanecerá en el mismo a lo largo del movimiento. x10 = 0; y10 = 1; vx10 = 1; vy10 = −0.1; x20 = − 1 m2 x10; y20 = − 1 m2 y10; vx20 = − 1 m2 vx10; vy20 = − 1 m2 vy10; Escribimos la lista de ecuaciones y condiciones iniciales ec1x = x1 00 [t] == F21[[1]]; ec1y = y1 00 [t] == F21[[2]]; ec2x = x2 00 [t] == 1 m2 F12[[1]]; ec2y = y2 00 [t] == 1 m2 F12[[2]]; ecuaciones = {ec1x, ec1y, ec2x, ec2y}; ciniciales = {x1 0 [0] == vx10, y1 0 [0] == vy10, x2 0 [0] == vx20, y2 0 [0] == vy20, x1[0] == x10, y1[0] == y10, x2[0] == x20, y2[0] == y20}; ecuaciones = Join[ecuaciones, ciniciales]; Damos valores al intervalo T en el que se han de calcular las trayectorias y al incremento temporal de muestreo δt de las mismas. T = 100; δt = T 300 ; y hallamos las trayectorias solucion = NDSolve[ecuaciones, {x1, y1, x2, y2}, {t, 0, T}, MaxSteps → 4000]; x1 = Evaluate[x1[t]/.solucion]; y1 = Evaluate[y1[t]/.solucion]; x2 = Evaluate[x2[t]/.solucion]; y2 = Evaluate[y2[t]/.solucion];
- 261. 243 Representación de las trayectorias: Procedemos primero a representar gráficamente las trayectorias completas. Para ello generamos una lista de las posiciones para incrementos δt. t1 = Table[{x1[[1]]/.t → i, y1[[1]]/.t → i}, {i, 0, T, δt}]; grafica1 = ListPlot[t1, PlotJoined → True, PlotStyle → RGBColor[0, 1, 0.7], AxesOrigin → {0, 0}, PlotRange → All, AxesLabel → {”x”, ”y”}, DisplayFunction → Identity]; t2 = Table[{x2[[1]]/.t → i, y2[[1]]/.t → i}, {i, 0, T, δt}]; grafica2 = ListPlot[t2, PlotJoined → True, PlotStyle → RGBColor[1, 0.7, 0], AxesOrigin → {0, 0}, PlotRange → All, AxesLabel → {”x”, ”y”}, DisplayFunction → Identity]; Mostramos ambas órbitas conjuntamente grorbita1 = Show[grafica1, grafica2, DisplayFunction → $DisplayFunction, AspectRatio → 1]; En la figura 6.26 se ve como las cargas describen órbitas elı́pticas. Dadas las condi- ciones iniciales propuestas, las elipses tienen una cierta inclinación. Pelicula del movimiento de las cargas: Se establecen los lı́mites de las gráficas de acuerdo con la figura anterior. limites = {{−4.5, 2.5}, {−9, 3}}; Se define el número n de fotogramas que se van a realizar y el intervalo de tiempo ∆t entre los mismos n = 200; ∆t = T n ; Cada fotograma contiene la trayectoria de ambas partı́culas hasta el instante Ti. También se muestran los puntos que representan a cada una de las cargas, en color dorado la más pesada y en azul la más ligera, ası́ como la recta que las une. Se inicializa Ti y se genera la pelı́cula. Ti = 0;
- 262. 244 -4 -3 -2 -1 1 2 x -8 -6 -4 -2 2 y Figura 6.26: Do[{Ti = Ti + ∆t, punto1 = {x1[[1]], y1[[1]]}/.t → Ti, grpunto1 = Graphics[{PointSize[.03], RGBColor[0, 0, 1], Point[punto1]}], punto2 = {x2[[1]], y2[[1]]}/.t → Ti, grpunto2 = Graphics[{PointSize[.04], RGBColor[1, 0.84, 0], Point[punto2]}], linea = {punto1, punto2}, grlinea = Graphics[{Dashing[{0.01, 0.01}], RGBColor[1, 0, 0], Line[linea]}], orbita1 = ParametricPlot[{x1[[1]], y1[[1]]}, {t, 0, Ti}, PlotPoints → 300, PlotRange → limites, AspectRatio → 1, AxesLabel → {”x”, ”y”}, PlotStyle → RGBColor[0, 1, 0.7], PlotRange → All, DisplayFunction → Identity], orbita2 = ParametricPlot[{x2[[1]], y2[[1]]}, {t, 0, Ti}, PlotPoints → 300, PlotRange → limites, AspectRatio → 1, AxesLabel → {”x”, ”y”}, PlotStyle → RGBColor[1, 0.7, 0], PlotRange → All, DisplayFunction → Identity], Show[orbita1, orbita2, grpunto1, grpunto2, grlinea, PlotRange → limites, DisplayFunction → $DisplayFunction, AspectRatio → 1]}, {i, 1, n}]; La figura 6.27 es uno de los fotogramas de la pelı́cula. Se ve como ambas cargas están situadas sobre una recta que pasa por el origen, donde debe permanecer el centro
- 263. 245 -4 -3 -2 -1 1 2 x -8 -6 -4 -2 2 y Figura 6.27: de masas. En la pelı́cula se comprueba que, cuando la distancia entre cargas es grande, la velocidad es pequeña. Los signos especificados por las cargas son distintos, por lo que la energı́a potencial crece con la distancia y, por lo tanto, la energı́a cinética decrece. Cambiando las condiciones iniciales y las magnitudes del problema, podremos estudiar otro tipo de órbitas.
- 264. 246
- 265. Parte III Campo electromagnético en los medios materiales 247
- 267. 249 Introducción Los medios materiales, naturales y artificiales, son muy diversos y también lo son las respuestas de los mismos al campo electromagnético. Un esquema simple de clasi- ficación de dicha respuesta agrupa a los medios más comunes en las grandes familias de los dieléctricos, los medios magnéticos y los conductores, aunque, normalmente, un material determinado presenta al mismo tiempo, en mayor o menor grado, propiedades de conducción y polarización eléctrica y magnética. El estudio de los mecanismos por los cuales un medio responde al campo electromagnético es muy complejo y está en- cuadrado en el dominio del estado sólido y la teorı́a cinética o, más concretamente, en el de las propiedades electromagnéticas de la materia. Aquı́ sólo se abordará este tema de forma marginal y, particularmente, desde el punto de vista fenomenológico. - - - - - - + + + + + - - - - - - + + + + + = + Medio cargas de conducción cargas de polarización Figura 6.28: Esquema de un medio conductor y polarizable En la figura 6.28 se representa una instantánea simplificada de un medio denso, parte de cuyas moléculas han perdido a un electrón quedando cargadas positivamente. Una forma conveniente de modelar a este tipo de medios es mediante la partición de sus cargas en dos sistemas que en adelante se denominarán de cargas de conducción, o libres, y de cargas de polarización, o ligadas, aunque, como se verá, ninguna de éstas acepciones es totalmente apropiada. Las cargas de conducción son las de los electrones libres más las excedentes de las moléculas ionizadas. Parte de ellas, como en los conductores sólidos, o todas ellas, como en los gases ionizados, puede ser transportada a través del medio a distancias macroscópicas. Al resto de las cargas del medio se les define como de polarización. Este último sistema es neutro a nivel molecular y sus cargas sólo se mueven dentro de distancias microscópicas.
- 268. 250 En la práctica, la anterior forma de partición de las cargas es hasta cierto punto am- bigüa pero facilita la modelación de los medios. No puede considerarse que las cargas de polarización sean las polarizables y las de conducción las no polarizables. De hecho, una onda monocromática linealmente polarizada, de frecuencia ω y amplitud ~ E0, provoca una oscilación lineal de los electrones de conducción cuya amplitud es ~ r0 = e ~ E0/(m ω2). Para campos moderados y frecuencias no excesivamente altas ~ r0 puede ser comparable al radio de Bohr. Este movimiento genera una polarización eléctrica oscilante y una corriente de polarización equivalente. De forma análoga, una onda monocromática cir- cularmente polarizada harı́a girar a dichos electrones con un radio de la misma magnitud r0 creando una corriente solenoidal y una polarización magnética equivalente. Por últi- mo, no cabe decir que las cargas de conducción sean las que conducen, porque parte de ellas pueden estar tan ligadas como las de polarización y, además, cuando el campo oscila a una frecuencia elevada, las cargas de conducción libres están también confinadas dentro de regiones microscópicas. Hasta ahora se ha supuesto que las densidades microscópicas describen las posi- ciones y las velocidades de todas y cada una de las cargas contenidas en el medio. Esto no es totalmente necesario puesto que parte de ellas pueden no ser significativas en cuanto a la generación de campo macroscópico. Cada carga aporta en principio una contribución al campo que en el caso estático, sin contar con el espı́n, es monopolar eléctrica y, en general, contiene términos variables con el tiempo, en particular el de radiación. No obstante, cuando la materia posee una organización interna a nivel mole- cular, las aportaciones de cargas próximas, iguales y de signo contrario, se cancelan parcialmente con lo que a nivel macroscópico sólo son notables las contribuciones de tipo multipolar. Aunque una demostración más rigurosa queda fuera de nuestro alcance [Jackson, Robinson, Landau y Lifchitz MC], veremos que las únicas que es necesario considerar en la práctica son las contribuciones dipolares eléctrica y magnética, las cuales son proporcionales a la densidad de dipolos y pueden ser ignoradas en medios poco densos. Aunque, como ya se ha dicho, la respuesta de un medio es siempre mixta, se dice que, bajo ciertas circunstancias, un medio es conductor, dieléctrico o magnético, si en su respuesta predomina la conducción, la polarización eléctrica o la polarización magnética. Los representantes más caracterı́sticos de los conductores son los metales, los cuales presentan una alta conductividad, lo que dificulta grandemente la penetración de los campos eléctricos en su interior. Por esta razón son apenas polarizables eléctricamente y poseen una constante dieléctrica próxima a la del vacı́o ε0. Los campos magnéticos de baja frecuencia penetran en los conductores, pero son apantallados a frecuencias sufi- cientemente elevadas, por lo que pueden polarizarse magnéticamente en mayor o menor grado; aquellos que no poseen momentos magnéticos en ausencia de campo externo res- ponden débilmente como diamagnéticos y los que si los poseen lo hacen de forma algo más significativa, como paramagnéticos, o muy fuertemente como los ferromagnéticos 11. Los dieléctricos carecen de cargas de conducción y su respuesta a los campos externos 11 En los medios paramagnéticos el campo aplicado ordena a los momentos magnéticos orbitales y en los ferromagnéticos a los de espı́n. El efecto diamagnético es universal aunque suele quedar enmascarado por el paramagnético, de signo contrario, o el ferromagnético. Solo es notable en átomos en los que las capas electrónicas están cerradas y, como consecuencia, las contribuciones paramagnéticas se cancelan.
- 269. 251 es fundamentalmente dieléctrica, adquieren un momento dipolar apreciable, ε 6= ε0 y un momento magnético débil, µ ' µ0. Los dieléctricos prácticamente ideales se conocen como aislantes dada su escasa capacidad de conducir electricidad. La respuesta de un gas no ionizado a la presencia de un campo electromagnético apli- cado es debida a su polarización eléctrica; es, por lo tanto, un dieléctrico. En condiciones normales, la aportación del medio al campo total es pequeña pero medible. Cuando este gas se ioniza, de forma que una de cada 105 o 106 moléculas ha perdido a uno de sus electrones, su comportamiento varı́a substancialmente al convertirse en lo que se conoce como un plasma. En la naturaleza y en el laboratorio se encuentran frecuentemente plasmas poco densos, con una distancia media entre partı́culas (d À 1 o A) muy superior a las dimensiones moleculares, que pueden ser representados mediante el modelo simple cuyo esquema se indica en la figura 6.29. Dicho plasma estarı́a constituido por electrones libres, de carga −e, iones positivos, de carga +e y moléculas neutras; en el lenguaje de uso común en la teorı́a de plasmas se dirı́a que lo componen fluidos de electrones, iones y neutros. Aparte de las cargas netas de los iones y las de los electrones libres, el resto de las mismas no contribuyen apreciablemente a la respuesta electromagnética del plas- ma puesto que éste es de baja densidad. En este caso las ecuaciones macroscópicas de Maxwell pueden deducirse de unas densidades en las que sólo se tenga en cuenta a las cargas electrónicas libres y a las netas de los iones, todas ellas representadas como puntuales 12. Electrón Neutro Ion Figura 6.29: Esquema de la composición de un plasma En esta parte se proponen dos versiones macroscópicas equivalentes de las ecuaciones de Maxwell. En la primera, todas aquellas cargas cuya aportación al campo macroscópico es significativa están descritas por medio de las densidades totales de carga y corriente. Esta versión es la 3.18, postulada en la primera parte, ∇ · ~ E = ρT ε0 (6.28) ∇ ∧ ~ E = − ∂ ~ B ∂t (6.29) ∇ · ~ B = 0 (6.30) ∇ ∧ ~ B = µ0 Ã ~ T + ε0 ∂ ~ E ∂t ! (6.31) 12 Esto no quiere decir que el fluido de neutros juegue un papel pasivo dado que puede tener una influencia importante en el movimiento del medio.
- 270. 252 escrita en este lugar con la notación ρ → ρT y ~ → ~ T 13. La ecuación de continuidad correspondiente se escribirá de la forma ∇ · ~ T + ∂ρT ∂t = 0 (6.32) Esta primera versión de las ecuaciones de Maxwell es apropiada para el estudio de los plasmas, o medios conductores simples, en los que la polarización tiene una influencia inapreciable sobre el campo. En caso contrario es preferible el uso de otra versión en la que estas aportaciones aparecen de forma explı́cita. La segunda versión, que es la más utilizada, se deduce de la primera desglosando las cargas y las corrientes totales en los términos ρT = ρ + ρP , ~ T = ~ + ~ pol = ~ + ~ P + ~ M (6.33) donde ρ es la densidad de carga de conducción, ρP la de polarización, ~ la densidad de corriente de conducción y ~ pol la densidad de corriente total de las cargas de polarización que, a su vez, se desglosa en ~ P , la de polarización dieléctrica, y ~ M , la de magnetización o de polarización magnética. Sus expresiones en función de las densidades de polarización son ρP = −∇ · ~ P (6.34a) ~ pol = ~ P + ~ M , ~ P = ∂ ~ P ∂ t , ~ M = ∇ ∧ ~ M (6.34b) La relación entre estas densidades macroscópicas y las microscópicas no son triv- iales. Mientras que, en principio, cada carga produce individualmente campos eléctricos y magnéticos que se suman microscópicamente en el punto de observación, las densidades y campos macroscópicos resultan de llevar a cabo algún tipo de promedio. Ası́, pués, una molécula neutra tiene una carga total nula y, por lo tanto, la densidad macroscópi- ca de carga, tomada como el promedio sobre un número N de moléculas, es nula. Ésto no nos permite afirmar que el campo producido por esta densidad de carga es asimis- mo nulo porque cada molécula tiene, en general, momentos multipolares no nulos que macroscópicamente producen campos no nulos. Los promedios sobre las fuentes deberán hacerse sobre los momentos multipolares de las cargas, incluidos los monopolares en el caso de moléculas ionizadas. En lo que sigue asumiremos que, si nos limitamos a cargas que se mueven a velocidades no relativistas (v ¿ c), sólo es necesario tener en cuenta la contribución a los campos de los momentos monopolares y dipolares. Los próximos capı́tulos se dedican principalmente a la búsqueda de esta segunda versión de las ecuaciones de Maxwell y al estudio de sus consecuencias fundamentales. 13 Las notaciones ρ y ~ se reservarán en adelante para las cargas y corrientes de conducción.
- 271. Capı́tulo 7 Medios polarizables 7.1. Mecanismos de polarización 7.1.1. Polarización dieléctrica Como acabamos de decir, la teorı́a fenomenológica renuncia a la explicación de los mecanismos de respuesta de la materia ante la aplicación de un campo electromagnético. No obstante, nos será útil hacer aquı́ alguna referencia a estos mecanismos. Si sometemos un cuerpo a la acción de un campo eléctrico, podemos distinguir dos tipos de respuestas ideales. En el conductor ideal se genera un rápido transporte de carga neta de forma que ésta se distribuye sobre la superficie apantallando a su interior, es decir, anulando el campo interno y circunscribiendo la acción del campo aplicado a dicha superficie. En el dieléctrico ideal no existen portadores, o cargas capaces de dar lugar a un transporte neto, lo que impide el apantallamiento total interno, permitiendo la penetración del campo aplicado. Este campo actúa sobre cada una de las moléculas del material, redistribuyendo las cargas que lo constituyen y dando lugar a la aparición de un momento dipolar. Definiremos como dieléctricos a aquellos materiales cuya respuesta a un campo eléctrico consiste en la creación de un momento dipolar, aunque debemos hacer no- tar que existen sustancias naturales, los ferroeléctricos, y artificiales, los electretes, en los que la polarización persiste en ausencia de campo externo. Para comprender cómo un medio material puede responder dieléctricamente, ilus- traremos los mecanismos más simples de polarización, véase la figura 7.1. Se dice que un gas es apolar cuando sus moléculas, en ausencia de campo externo, no presentan momento dipolar permanente. Bajo estas condiciones, el centro de cargas de la nube electrónica de la molécula coincide con la posición nuclear. La aplicación de un campo externo da lugar a fuerzas contrarias sobre los centros de carga positiva y negativa, que tiende a separarlos. Estas fuerzas son contrarrestadas por la atracción entre las cargas separadas, la carga +Ze y la negativa encerrada en la esfera de radio ∆x. En el equilibrio ambos centros de carga se han separado una distancia ∆~ x, gene- rándose un momento dipolar ~ pm = Ze ∆~ x 253
- 272. 254 a 0 Ze -Ze x ∆ Q( ∆ x) xa ∆ 0 E Figura 7.1: Este mecanismo recibe el nombre de polarización por deformación. Dado que los campos asociados al núcleo son muy elevados, comparados con los que se pueden con- seguir en el laboratorio, el desplazamiento ∆x es pequeño comparado con las dimen- siones moleculares, y el fenómeno es aproximadamente lineal e independiente de otros factores, como pueden ser la temperatura o la presión del gas. ~ pm = α ~ E donde α es la polarizabilidad de la molécula. Los dieléctricos polares, por el contrario, están constituidos por moléculas con mo- mento dipolar permanente ~ p0. A una temperatura distinta del cero absoluto y en ausen- cia de campo aplicado, los momentos dipolares de cada molécula están orientados al azar, lo que macroscópicamente se traduce en una polarización nula. / E=0 , pm =0 E=0 , pm =0 p T=T 0 0 / Figura 7.2: La aplicación de un campo eléctrico tiende a alinear a los dipolos, en la dirección del campo, bajo la acción de un par, lo que se ve contrarrestado por la tendencia desordenadora de los choques moleculares. A una determinada temperatura se alcanza un equilibrio entre estas dos tendencias contrapuestas, dando lugar a una polarización neta en la dirección del campo. Este mecanismo es no lineal, puesto que la polarización del medio se satura, cuando todos los dipolos se alinean con el campo, situación que se alcanza en la práctica cuando predomina la energı́a eléctrica sobre la térmica, pE À KT.
- 273. 255 Sin embargo, en situaciones normales (KT À pE) la polarización del medio sigue una ley lineal. Sin extendernos en este tema, nos basta por ahora con suponer que, bajo la acción de un campo eléctrico, los medios dieléctricos responden con una polarización que, de ahora en adelante, mediremos con el vector densidad macroscópica de momento dipolar eléctrico o, vector polarización dieléctrica ~ P = d~ p dv = n h~ p i donde d~ p es el momento dipolar del elemento de volumen dv, n es el número de moléculas por unidad de volumen y h~ p i es la contribución media de cada molécula a la polarización de la unidad de volumen. 7.1.2. Mecanismos de magnetización La respuesta de los medios materiales frente a la aplicación de un campo magnético es más variada que la respuesta dieléctrica. La mayorı́a de los materiales responden muy débilmente, por lo que se les suele denominar materiales no magnéticos, mientras que otros, los ferromagnéticos, responden de forma notable y no linealmente. Los materiales no magnéticos se dividen en diamagnéticos y paramagnéticos. Los primeros responden adquiriendo un momento dipolar magnético en la dirección del campo aplicado pero en sentido contrario, mientras que los paramagnéticos se polarizan en el mismo sentido de dicho campo. El mecanismo de polarización diamagnética tiene carácter universal, si bien aparece enmascarado por otros contrarios y más potentes en los materiales para y ferro- magnéticos. En un material diamagnético el establecimiento de un campo magnético acelera o retarda el giro de los electrones orbitales, según la ley de Lenz, de forma que el campo magnético inducido se opone al aplicado. Como los materiales dieléctricos, que disminuyen o expulsan al campo eléctrico ~ E de su interior, los diamagnéticos expulsan al campo magnético ~ B. Este efecto se pone de manifiesto en sustancias con estruc- turas electrónicas simétricas, no polares y, como el de polarización por deformación, es independiente de la temperatura. Los materiales paramagnéticos poseen momento dipolar permanente de forma que el establecimiento de un campo magnético induce en estos dipolos un movimiento de precesión. Los choques intermoleculares tienden a distribuir los dipolos con orienta- ciones al azar, mientras la energı́a de interacción del dipolo con el campo favorece la orientación de los dipolos con proyección en el sentido del campo. El momento dipolar medio resultante en la dirección del campo crece con éste y se satura cuando la energı́a de interacción de los dipolos con el campo se hace mucho mayor que la energı́a térmica. Los mecanismos de polarización ferromagnética son más complejos y esencialmente no lineales. En este tipo de materiales, los momentos de espı́n se ordenan espontánea- mente debido a la existencia de un fuerte campo interno, denominado campo de Weiss. La polarización de los medios materiales la describiremos por el vector macroscópico imanación, o magnetización, ~ M = d~ m dv = n h~ m i
- 274. 256 donde h~ m i es el momento magnético medio de las moléculas y n la densidad de molécu- las. ~ M es, pués, la densidad de momento dipolar magnético del medio. 7.2. Cargas y corrientes de polarización Cada una de las moléculas que constituyen el sistema de cargas de polarización, descrito por las densidades de carga ρP y de corriente ~ pol, crean campos eléctricos y magnéticos que pueden expresarse en función de sus polarizaciones eléctrica y magnética. 7.2.1. Cargas de polarización eléctrica Supóngase que tenemos un medio polarizado eléctricamente cuya polarización dieléctrica es ~ P(~ r 0), contenida en un volumen finito V0, a distancia finita del origen, y que queremos calcular el campo total producido en un punto P externo, es decir, tal que r r0 max. La contribución de esta distribución al potencial de un elemento de volumen dv0 será dVP = 1 4πε0 ~ P · ~ R R3 dv0 Al hacer la aproximación dipolar se supone que, dada la definición de las cargas de polarización, en el exterior de la distribución, lejos de cada molécula concreta, la única contribución que debe tenerse en cuenta es la dipolar. Para distribuciones estáticas, esto es cierto dado que las moléculas son neutras, su momento monopolar nulo, y los momentos superiores al dipolar convergen rápidamente a cero lejos de la molécula. En el caso general, en el que la distribución está constituida por corrientes no estacionarias, la justificación de lo que sigue serı́a mas compleja. Siguiendo el camino emprendido, deben tenerse en cuenta las densidades retardadas, como se vio en la primera parte, y limitar la velocidad de las cargas a valores muy inferiores a la velocidad de la luz. A continuación comprobaremos que la distribución continua de momento dipolar eléctrico puede ser substituida por otra equivalente de cargas de polarización. Para ello escribamos dVP (~ r) = 1 4πε0 ~ P(~ r 0 ) · ∇ 0 µ 1 R ¶ dv0 y, de acuerdo con la figura 7.3, dividamos el volumen de integración V0 en V0 y V0 −V0 ¿ V0, donde V0 ⊃ V0. Es evidente que, bajo esta condición y supuesto ~ P finita VP = Z V0 dVP = Z V0 dVP + Z V0−V0 dVP ' Z V0 dVP Luego VP (~ r) = 1 4πε0 Z V0 ~ P(~ r 0 ) · ∇ 0 µ 1 R ¶ dv0
- 275. 257 0 -V’ V0 V V’ Figura 7.3: Dado que la superficie S 0 esta en el interior de S0, ~ P(~ r 0) es una fución continua y podemos aplicar el teorema de la divergencia. Teniendo en cuenta que ∇ · (f~ a) = f∇ · ~ a + ~ a · ∇f ⇒ ∇ 0 · Ã ~ P R ! = 1 R ∇ 0 · ~ P + ~ P · ∇ 0 µ 1 R ¶ resulta VP (~ r) = 1 4πε0 Z V0 (−∇ 0 · ~ P) R dv0 + Z S0 ~ P · ~ n R ds0 # Expresión que tiene la estructura integral del potencial escalar, según el teorema de Helmholtz. Luego ρP = −∇ · ~ P (7.1a) ρsP = ~ P · ~ n (7.1b) tienen el carácter de densidades monopolares de carga, de volumen y de superficie, respectivamente, y las llamaremos densidades de carga de polarización. Luego, en el interior del dieléctrico la densidad de carga de polarización viene representada por una densidad de volumen, pero en las discontinuidades es necesario tener en cuenta una densidad superficial. El potencial producido fuera de la distribución es, por lo tanto, VP (~ r) = 1 4πε0 ·Z V0 ρP (~ r 0) R dv0 + Z S0 ρsP (~ r 0) R ds0 ¸ (7.2) Podemos, pues, como en la figura 7.4, representar al dieléctrico polarizado por un conjunto de cargas de polarización de volumen y de superficie. Aunque para llegar a una expresión de tipo monopolar hemos supuesto que P era un punto externo, puede extenderse du validez para el interior del medio si se define al cam- po interno macroscópico de forma adecuada, como promedio del campo que producen el resto de las moléculas de un medio sobre una de las moléculas del mismo 1. 1 Véase [Lorrain y Corson, Jackson].
- 276. 258 ρ ρ ρ P P sP Figura 7.4: La carga de polarización total del dieléctrico debe ser nula. Es fácil demostrar que Z V0 ρP dv0 + Z S0 ρsP ds = 0 Esta carga de polarización interviene en la generación de campo eléctrico en paridad con la carga de conducción. Podemos visualizar su aparición en la superficie de un dieléctrico con polarización solenoidal, figura 7.5-a, ası́ como en su interior, cuando la polarización no es solenoidal, figura 7.5-b. Estas figuras no constituyen una explicación rigurosa de como se genera este tipo de cargas sino que, más bien, tienen un valor esquemático. P P dP dP sP sP n n P (a) (b) x ^ =−P ρ , =0 , 0 ρ ρ ρ =0 dx 0 dx =+P Figura 7.5: 7.2.2. Corrientes de polarización La carga de polarización, como la total o la de conducción, debe cumplir una ley de conservación. El dieléctrico, en su totalidad, es neutro, por lo que la aparición de una carga neta en el interior de un volumen determinado V debe venir compensada por un flujo a través de la superficie que envuelve a dicho volumen. Ası́, pues, la ecuación de continuidad de la carga de polarización puede expresarse como sigue ∇ · ~ pol + ∂ρP ∂t = 0 y, substituyendo ρP = −∇ · ~ P, ∇ · (~ pol − ~ P ) = ∇ · ~ M = 0
- 277. 259 donde ~ P se define como la densidad de corriente de polarización dieléctrica ~ P ≡ ∂ ~ P ∂t (7.3) y ~ M como la densidad de corriente de polarización magnética ~ M ≡ ~ pol − ~ P (7.4) De acuerdo con lo anterior, la densidad de corriente de polarización dieléctrica ~ P es la parte no solenoidal del la corriente de polarización ~ pol y la densidad de corriente de polarización magnética ~ M , la parte solenoidal de la misma. ~ pol = ~ P + ~ M ∇ · ~ P = − ∂ρP ∂t ∇ · ~ M = 0 (7.5) Cada una de estas corrientes es fuente vectorial del campo magnético. Veremos que la de magnetización puede expresarse en función de la imanación del medio. 7.2.3. Corrientes de polarización magnética Procederemos en este apartado con el mismo tipo de precauciones y connotaciones que en la sección 7.2.1 por lo que ahorraremos detalles en la exposición. Solo recordare- mos que la corriente ~ M es solenoidal y, por lo tanto, el potencial que produce admite un desarrollo multipolar cuyo primer término no nulo es el dipolar magnético. La contribución de un elemento de volumen del material magnetizado al potencial magnético será d ~ AM = µo 4π ~ M ∧ ~ R R3 dv0 = µ0 4π ~ M ∧ ∇ 0 µ 1 R ¶ dv0 que, haciendo uso de la expresión ∇ ∧ (f~ a) = f∇ ∧ ~ a + ∇ f ∧ ~ a ⇒ ~ M ∧ ∇ 0 µ 1 R ¶ = ∇ 0 ∧ ~ M R − ∇ 0 ∧ Ã ~ M R ! e integrando sobre v0, nos da ~ AM = µ0 4π Z V0 ∇ 0 ∧ ~ M R dv0 − µ0 4π Z V0 ∇ 0 ∧ Ã ~ M R ! dv0 La segunda integral puede transformarse en integral de superficie haciendo uso del teorema Z V ∇ ∧ ~ a dv = − Z S ~ a ∧ d~ s donde S es la superficie que contiene a V, por lo que podemos escribir ~ AM (~ r) = µ0 4π Z V0 ~ M (~ r 0) R dv0 + µ0 4π Z S0 ~ sM (~ r 0) R ds0 (7.6)
- 278. 260 donde se han definido las densidades de corriente de magnetización, de volumen y su- perficiales ~ M = ∇ ∧ ~ M (7.7a) ~ sM = ~ M ∧ ~ n (7.7b) Ésto permite representar a un material magnetizado por el conjunto de las corrientes de magnetización. Como en el caso de los dieléctricos, puede demostrarse 2 que la expresión obtenida para la contribución al potencial vector en un punto externo es válida también para un punto interior. La corriente ~ pol no es estacionaria, por lo que el primer término del desarrollo multipolar, ~ Am(~ r) de la sección 5.1, que se anulaba por ser las corrientes estacionarias, corresponde a la aportación de las corrientes de polarización dieléctrica. sM j s M n M =0 j ∆ Figura 7.6: Podemos visualizar intuitivamente la aparición de estas corrientes analizando el esquema de la figura 7.6. Supongamos al material uniformemente magnetizado y di- vidámoslo en elementos de volumen ∆v iguales. Su momento dipolar serı́a ∆M = M ∆V . Podemos imaginar al material compuesto por espiras elementales equivalentes, recorridas por una intensidad ∆I = M ∆s ∆v Si el material está magnetizado uniformemente, las corrientes de espiras contiguas se compensarán, quedando sólo la contribución a la corriente superficial. Si los dipolos contiguos no fuesen idénticos, la compensación no serı́a total y aparecerı́a una corriente de volumen. 2 Véase [Lorrain y Corson].
- 279. 261 7.2.4. Potencial magnético escalar. Formalismo de polos magnéticos Por ser solenoidal, ~ B no es derivable de un verdadero potencial escalar. A con- tinuación veremos, sin embargo, que es posible dividir al campo producido por una distribución de dipolos en dos partes, la primera de las cuales es proporcional a ~ M y la segunda derivable de un potencial escalar UM . Este potencial es producido por distribuciónes equivalentes de polos magnéticos. El campo puede expresarse de la forma ~ BM = ∇ ∧ ~ AM = − µ0 4π ∇ ∧ ·Z V0 ~ M(~ r 0 ) ∧ ∇ µ 1 R ¶ dv0 ¸ = − µ0 4π Z V0 ∇ ∧ · ~ M(~ r 0 ) ∧ ∇ µ 1 R ¶¸ dv0 donde se ha escrito ~ R R3 = −∇ ¡ 1 R ¢ Haciendo uso de ∇ ∧ (~ a ∧~ b) = ~ a(∇ ·~ b) −~ b(∇ · ~ a) | {z } =0 + (~ b · ∇)~ a | {z } =0 −(~ a · ∇)~ b donde tomaremos ~ a = ~ M(~ r 0) y ~ b = ∇ µ 1 R ¶ , se obtiene ~ BM (~ r) = − µ0 4π Z V0 ~ M(~ r 0 )∇2 µ 1 R ¶ dv0 | {z } + µ0 4π Z V0 ( ~ M(~ r 0 ) · ∇)∇ µ 1 R ¶ dv0 | {z } ~ α ~ β Substituyendo ∇2 µ 1 R ¶ = −4π δ(~ R) en ~ α, tenemos ~ α = µ0 ~ M(~ r), y, teniendo en cuenta que ∇(~ a ·~ b) = (~ a · ∇)~ b + (~ b · ∇)~ a | {z } =0 +~ a ∧ (∇ ∧~ b) | {z } =0 +~ b ∧ (∇ ∧ ~ a) | {z } =0 donde ~ a y ~ b toman los mismos valores que en la expresión anterior y se han anulado no sólo los términos donde ~ M(~ r 0) aparece a la derecha del operador ∇, sino también el ∇ ∧ ¡ ∇ ¡ 1 R ¢¢ ≡ ~ 0. Luego ~ β = −µ0∇ 1 4π Z V0 ~ M · ~ R R3 dv0 # por lo que escribiremos ~ BM (~ r) = ~ B1 + ~ B2 = µ0 ~ M(~ r) − µ0∇UM (~ r) (7.8) Es decir, ~ BM (~ r) puede descomponerse en dos términos: uno proporcional a la imanación y otro derivable de un potencial escalar que tiene la misma estructura dipolar del descrito en el párrafo 5.2.2.1 UM (~ r) = 1 4π Z V0 ~ M(~ r 0) · ~ R R3 dv0 (7.9)
- 280. 262 Si, además de existir medios magnetizados, existieran corrientes de conducción, habrı́a que sumar a ~ BM el campo producido por éstas. Aplicando ahora a UM un tratamiento análogo al aplicado a VP en el párrafo 7.2.1, obtenemos UM (~ r) = 1 4π Z V0 ρM R dv0 + 1 4π Z S0 ρsM R ds0 (7.10) donde ρM = −∇ · ~ M y ρsM = ~ M · ~ n (7.11) UM es un pseudopotencial de ~ B, con la misma estructura que el potencial elec- trostático, pero veremos que es un verdadero potencial escalar para ~ H, campo que definiremos en la próxima sección. ρM y ρsM son densidades de volumen y superficie de polos magnéticos. No debemos confundir estos polos magnéticos, que en realidad son polos o fuentes escalares de ~ H, con los monopolos postulados en las teorı́as de gran unificación y que serı́an fuentes de ~ B. Insistimos en que estos monopolos, que habrı́an sido creados en grandes cantidades en las primeras etapas del universo, durante la Gran Explosión (Big-Bang), y que, teniendo dimensiones atómicas serı́an billones de veces más pesados que un protón, son tan escasos, si es que existen, que no obligan a modificar la expresión ∇ · ~ B = 0. El formalismo de polos magnéticos es de utilidad práctica, puesto que permite aplicar los mismos métodos a los problemas magnéticos que a los eléctricos. Según se muestra en la figura 7.7, el cálculo del campo magnético producido por una corriente I que recorre un carrete arrollado a un material magnético, podrı́a tratarse según las dos alternativas siguientes, en las que suponemos que ~ M = ~ cte: M jsM ρ sM M µ 0 I I (a) (b) S N Figura 7.7: En ambas alternativas, habrá que calcular por separado la contribución del carrete, como si estuviera en el vacı́o. La contribución del material magnetizado se calcula subs- tituyendo al núcleo magnetizado, en (a), por un conjunto de corrientes superficiales y, en (b), por dos superficies de polos magnéticos, Sur (-) y Norte (+), y añadiendo, dentro del material, el término µ0 ~ M. Para que podamos resolver el problema, nos hace falta conocer la ecuación constitutiva que expresa cómo se magnetiza el medio en función del campo aplicado.
- 281. 263 7.3. Desplazamiento eléctrico e intensidad magnética En las secciones anteriores se han expresado las fuentes escalares y vectoriales del campo electromagnético en función de las cargas y corrientes de conducción, de la po- larización dieléctrica y de la imanación ρT = ρ − ∇ · ~ P (7.12a) ~ T = ~ + ∂ ~ P ∂ t + ∇ ∧ ~ M (7.12b) por lo que las ecuaciones de Poisson y Ampère toman la forma ∇ · ~ E = 1 ε0 ³ ρ − ∇ · ~ P ´ (7.13a) ∇ ∧ ~ B = µ0 Ã ~ + ∂ ~ P ∂ t + ∇ ∧ ~ M + ε0 ∂ ~ E ∂t ! (7.13b) Los segundos miembros de las ecuaciones anteriores pueden simplificarse definiendo unos nuevos campos vectoriales ~ D ≡ ε0 ~ E + ~ P (7.14a) ~ H ≡ ~ B µ0 − ~ M (7.14b) ~ D recibe el nombre de desplazamiento eléctrico y ~ H el de intensidad magnética. Am- bas definiciones tienen un carácter hı́brido al sumar a un vector que representa al valor medio del campo microscópico con otro que representa a la densidad de polarización. Las ecuaciones 7.12, escritas en función de estos nuevos campos, se reducen a ∇ · ~ D = ρ (7.15a) ∇ ∧ ~ H = ~ + ∂ ~ D ∂ t (7.15b) De esta forma podemos expresar las ecuaciones de Maxwell en su forma tradicional, pero lo aplazaremos hasta el próximo capı́tulo. En cualquier caso, las ecuaciones anteriores no son útiles a menos que conozcamos como se polariza el medio en función de los campos aplicados. El problema es complejo y debe encontrar solución dentro de la teorı́a del ’estado sólido’. Aquı́ nos limitaremos a plantearlo el desde el punto de vista fenomenológico y aplicándolo, casi exclusivamente, a los medios lineales simples.
- 282. 264 7.3.1. Susceptibilidades, constante dieléctrica y permeabilidad magnética La polarización de las cargas que constituyen la materia, ası́ como la conducción de las mismas, son procesos autoconsistentes según los cuales el campo electromagnético, en conjunción con las fuerzas moleculares y cristalinas de origen cuántico, las redis- tribuye de forma que éstas, a su vez, modifican al campo inicial. Este es, pues, un difı́cil problema dinámico que sólo es resoluble aproximadamente y bajo ciertas limitaciones. Afortunadamente, muchos materiales, dentro de un amplio rango de variación de los campos, se comportan como lineales. Consideraremos aquellos medios de este tipo en los que ~ P es proporcional, a través de una constante, al campo eléctrico aplicado y ~ M al magnético 3. Escribiremos estas constantes de proporcionalidad de la forma ~ P = ε0 χe ~ E (7.16a) ~ M = χm ~ H (7.16b) donde χe es la susceptibilidad eléctrica 4 y χm la susceptibilidad magnética 5. Substituyendo en 7.14, se puede escribir ~ D → = ε0 (1 + χe) ~ E ≡ ε ~ E ≡ ε0 εr ~ E (7.17a) ~ B → = µ0 (1 + χm) ~ H ≡ µ ~ H ≡ µ0 µr ~ H (7.17b) donde se han definido la constante dieléctrica ε y la permeabilidad magnética del medio y sus valores relativos ε ≡ ε0 (1 + χe) , εr ≡ ε ε0 = (1 + χe) (7.18a) µ ≡ µ0 (1 + χm) , µr ≡ µ µ0 = (1 + χm) (7.18b) Las relaciones 7.16 y 7.17 son distintas versiones de las ecuaciones constitutivas de los medios, las cuales podrán ser determinadas teórica o experimentalmente. Como ya hemos apuntado, estas ’constantes’ son aproximaciones de leyes complicadas y, en gen- eral son funciones, no solo del campo, sino de un cierto número de variables, tales como 3 Este no es el caso más general de medio lineal. Véase [Garcı́a Olmedo]. 4 También suele definirse la susceptibilidad eléctrica mediante la expresión ~ P = χe ~ E. 5 De acuerdo con la lı́nea de razonamiento seguida en este texto, serı́a más coherente expresar a ~ M en función de ~ B, pero tradicionalmente se hace en función de ~ H.
- 283. 265 la temperatura, la velocidad de variación de los campos, etc. Por ahora, consideraremos la dependencia, en campos estáticos, de la polarización con el campo eléctrico y la posición. En la mayorı́a de los casos prácticos, los dieléctricos y los medios magnéticos pueden considerarse lineales 6, homogéneos e isótropos. A estos medios, para simplificar, los calificaremos como de clase A. Los gases no polares son de clase A dentro de un ran- go de variables muy extenso. Los polares sólo presentan no linealidades en condiciones extremas de temperatura o campo aplicado. Los materiales no homogéneos son muy frecuentes. Los que están compuestos por un conjunto de regiones homogéneas, como los sistemas de lentes y otros muchos sistemas de importancia práctica, pueden ser tratados como homogéneos, en cada una de las re- giones, y aplicar condiciones de continuidad en las superficies o interfacies de separación entre ellas. Otros, como las atmósferas planetarias en su conjunto o, a menor escala, la primera capa de aire sobre un suelo caliente, etc., deben ser tratados directamente como no homogéneos, por lo que sus constantes dependerán de la posición ε = ε(~ r ) , µ = µ(~ r ) Muchos materiales cristalinos, o sometidos a tensiones, presentan una distinta ca- pacidad de polarización según la dirección en que se aplique el campo, teniendo, pués, un comportamiento anisótropo. Los vectores ~ D y ~ B tienen, en general, una dirección distinta a ~ E y ~ H respectivamnete, véase la figura 7.8, y ε y µ tiene estructura tensorial. Sus componentes son εij y µij. ~ D = (εij) ~ E , Di = εij Ej ~ B = (µij) ~ H , Bi = µij Hj E D Figura 7.8: Otros materiales, como los ferroeléctricos y los ferromagnéticos, son esencialmente no lineales. Para medios no lineales puede generalizarse el concepto de constante dieléctrica, escribiendo 7 ε = ε( ~ E ) , µ = µ( ~ H ) La dependencia de ε y µ con el campo puede ser complicada y presentar fenómenos de histéresis, como el representado en el ciclo de histéresis de la figura 7.9. Mientras que los dieléctricos no lineales juegan un papel marginal, los materiales magnéticos no lineales tienen importancia práctica, hasta el punto de, como ya hemos 6 En el sentido restringido ya mencionado. 7 En general, ε o µ pueden ser función de ambos campos ~ H ~ E.
- 284. 266 apuntado, calificarlos de materiales magnéticos con la exclusión de los dia- y para- magnéticos, que se califican de materiales no magnéticos. -1 -2 ) ,Bs (Hs ) (Hc ,0) (0,Br ) 0.5 1.5 20 100 Curva de primera imanacion Ciclo de histeresis H (A.m ) B (W . m Figura 7.9: También en este caso puede extenderse el concepto de permeabilidad en varios sen- tidos. En particular, podemos definir una permeabilidad total ~ B = µ( ~ H) ~ H aunque µ( ~ H) es una función muy complicada no expresable de forma analı́tica y que depende no sólo de ~ H sino de la historia previa de la imanación. De entre las posibles trayectorias que pueden seguirse en el plano B −H, destacaremos las que se denominan respectivamente curva de primera imanación y curva de histéresis principal. La curva de primera imanación se recorre a partir del origen, o estado desmagneti- zado, aumentando H lentamente hasta alcanzar el punto de saturación (Hs, Bs). Si seguimos aumentando H, la magnetización del medio permanece casi constante puesto que, a partir de aquı́, todos los espines están prácticamente alineados y sólo puede haber aportaciones paramagnéticas. El ciclo de histéresis principal se recorre a partir de (Hs, Bs), disminuyendo H para, pasando por los puntos (0, Br) y (Hc, 0), ir a la saturación negativa. Br se llama campo remanente y Hc, campo coercitivo. Más adelante trataremos algunos aspectos teóricos y prácticos relacionados con los materiales ferromagnéticos. En lo sucesivo, salvo que se indique lo contrario, supondremos que los medios son de case A.
- 285. 267 7.4. Campos estáticos en medios materiales Como se ha visto en las secciones anteriores, el tratamiento del campo en medios materiales es considerablemente más complejo que el expuesto en la primera parte para el vacı́o. No obstante en el caso de los medios de clase A, las ecuaciones del campo son muy similares a las del vacı́o y la solución de los problemas puede hacerse en gran parte con las mismas técnicas. Por esta razón, una vez establecidas las diferencias de ambas situaciones y las leyes de analogı́a, se hará referencia a lo tratado en el capı́tulo 2 7.4.1. Electrostática Ecuaciones de Maxwell : La ecuaciones del campo electrostático pueden escribirse de la forma ∇ · ~ D = ρ ⇒ I S ~ D · d~ s = Q (7.19a) ∇ ∧ ~ E = ~ 0 ⇒ ~ E = −∇ V (7.19b) La solución de estas ecuaciones requiere el conocimiento de la relación constitutiva ~ D = ~ D( ~ E). Para medios de clase A, estas ecuaciones pueden escribirse en función de ~ E 8 ∇ · ~ E = ρ ε ⇒ I S ~ E · d~ s = Q ε (7.20) Vemos, por lo tanto, que estas ecuaciones son análogas a las de la electrostática del vacı́o, siendo la densidad total ρT análoga a la de conducción ρ y la constante dieléctrica del vacı́o ε0 análoga a la del medio ε. Mientras ~ E tiene sus fuentes escalares tanto en las cargas de conducción como en las de polarización ∇ · ~ E = ρ + ρP ε0 las fuentes escalares de ~ D son exclusivamente las cargas de conducción, hecho que no debe confundirnos haciéndonos pensar que ~ D sea independiente de la existencia o no de medios polarizados. La resolución del problema eléctrico hace necesario el conocimiento de la ecuación constitutiva. En muchos problemas, en los que se especifica la carga de conducción, puede ser cómodo calcular la parte de ~ D derivable de un potencial escalar a partir de dichas cargas y hacer uso después de las ecuaciones constitutivas de los medios para calcular ~ E. Como se muestra en la figura 7.10, un dieléctrico apantalla parcialmente al campo aplicado. Al establecer una diferencia de potencial estática entre las placas metálicas del condensador de la figura, aparece un campo eléctrico que polariza al dieléctrico. 8 Al ser el medio homogéneo ∇ · ~ D = ε ∇ · ~ E.
- 286. 268 dielectrico vacio vacio dielectrico vacio vacio D D D E 0 E 0 E d +Q p -Q p (a) (b) -Q +Q Figura 7.10: Las lı́neas de campo ~ E nacen y mueren en las cargas de conducción y en las de polar- ización, por lo que ~ E0 es mayor que ~ Ed. ~ D, sin embargo, nace y muere en las cargas de conducción, por lo que tendrá el mismo valor en el vacı́o que en el dieléctrico. En el ejemplo que acabamos de analizar no ha sido necesario tener en cuenta las posibles fuentes vectoriales de ~ D pero, aún para campos estáticos, éste puede tener fuentes vectoriales. Ley de Coulomb : Para una carga puntual, situada en el origen e inmersa en un medio de clase A, la ley de Coulomb toma la forma ~ E(~ r) = q 4π ε b r r2 ⇒ ~ D(~ r) = q 4π b r r2 (7.21) y el potencial electrostático V (~ r) = q 4π ε 1 r (7.22) Para una distribución continua de carga ~ E = 1 4πε Z v0 ρ ~ R R3 dv0 ⇒ ~ D = 1 4π Z v0 ρ ~ R R3 dv0 (7.23) V = 1 4π ε Z v0 ρ R dv0 (7.24) Las cargas que aparecen en estas expresiones son las de conducción, lo cual puede justificarse porque, para medios de clase A, las densidades de carga de conducción y polarización son proporcionales entre sı́. Según hemos visto, en general ∇ · ~ E = ρ + ρP ε0 , ∇ · ~ D = ρ
- 287. 269 y, para clase A, ∇ · ~ E = ρ ε , de donde ρP = − (εr − 1) εr ρ (7.25) Luego, en dieléctricos de clase A, aparece en cada punto una carga de polarización proporcional a la carga de conducción existente en dicho punto. Para εr 1, |ρP | |ρ|, la carga de polarización es de signo contrario y menor en valor absoluto a la de conducción, lo que indica, como ya hemos visto con anterioridad, que los dieléctricos normales apantallan parcialmente a las cargas de conducción y al campo eléctrico que éstas producen. ε Q Q p Figura 7.11: Si suponemos, por ejemplo, una carga esférica Q, como la que se muestra en la figura 7.11 sumergida en un dieléctrico clase A, es fácil comprobar, aplicando el teorema de Gauss, que la carga de polarización que aparece en la superficie de separación del dieléctrico es Qp = − (εr − 1) εr Q ⇒ QT = Q + Qp = 1 εr Q Por esta razón, en un dieléctrico de clase A, las cargas de polarización, en ausencia de cargas de conducción, sólo pueden aparecer en la superficie. Hay que tener en cuenta que si el medio está limitado por una superficie que lo separa de otro medio con distinta constante dieléctrica, dicha superficie constituye un medio no homogéneo y la carga superficial de polarización no está directamente ligada a la existencia de carga de conducción en la superficie. En este caso habrı́a que expresar V y ~ E de la forma V = 1 4πε Z V0 ρ R dv0 + 1 4πε0 Z S0 ρs + ρsP R ds0 y obtener ~ D en los puntos fuera de la propia superficie, a partir de la expresión ~ D = ε ~ E
- 288. 270 7.4.2. Magnetostática Las ecuaciones de Maxwell magnetostáticas pueden escribirse de la forma ∇ · ~ B = 0 ⇒ I S ~ B · d~ s = 0 (7.26a) ∇∧ ~ H = ~ ⇒ I L ~ H · d~ l = I (7.26b) En función de ~ H, la ley de ausencia de monopolos se expresa como ∇ · ~ H = ρM (7.27) y, en función de ~ B, la de Ampére ∇∧ ~ B = µ0 (~ + ~ M ) (7.28) En consecuencia, ~ B sólo tiene fuentes vectoriales, ~ y ~ M , mientras que ~ H las tiene escalares ρM y vectoriales ~ . Medios de clase A : Para este tipo de medios, ~ B = µ ~ H, por lo que ∇ · ~ H = 0 , ∇∧ ~ B = µ~ (7.29) ~ B(~ r) = µ 4π Z V0 ~ j ∧ ~ R R3 dv0 , ~ H(~ r) = 1 4π Z V0 ~ j ∧ ~ R R3 dv0 (7.30) y ~ A(~ r) = µ 4π Z V0 ~ R dv0 (7.31) Cómo en el caso de los dieléctricos de clase A, de acuerdo con 7.28 y 7.29, la corriente de conducción y la de magnetización son proporcionales ~ M = χm ~ (7.32) Las corrientes de imanación refuerzan a las de conducción en el caso de los para- magnéticos y ferromagnéticos y se oponen a ella en el caso de los diamagnéticos. Las corrientes de magnetización dia y paramagnéticas tienen una magnitud muy pequeña comparada con la de conducción mientras que ocurre lo contrario con la ferromagnética, lo que sugiere el origen no clásico de éstas. En las figura 7.12 se comparan los valores de ~ M, ~ B y ~ H en el eje un solenoide y en el de un imán con magnetización uniforme. Se supone que el solenoide está formado por un número grande de espiras, N, uni- formemente distribuidas y el imán tiene una magnetización uniforme ~ M0.
- 289. 271 I L L jsM ρ sM (b) L L L M B M0 M0 M0 -M 0 µ 0 (a) L L L M=0 M B H H=(B/ µ0) (N/L) I (N/L) I S N Figura 7.12: H B Lineas de M ρsM jsM Lineas de Figura 7.13:
- 290. 272 En la figura 7.13 se ilustran las lı́neas de los campos ~ B y ~ H para un imán uni- forme. Las lı́neas de ~ B son cerradas mientras que las de ~ H nacen y mueren en los polos magnéticos. En el exterior del imán coinciden las lı́neas de campo de ~ B y las de ~ H.
- 291. 273 7.5. Problemas 7-1. Demuestre que el momento dipolar total ~ ptot de un dieléctrico, de volumen V y envuelto por la superficie S, puede expresarse como ~ ptot = Z V ρP ~ r dv + Z S ρsP ~ r ds ( Intégrese la divergencia de x ~ P). 7-2. Demuestre que la carga de polarización total del dieléctrico del problema anterior es nula. 7-3. Sea un dieléctrico no homogéneo sin cargas ni corrientes de conducción. Halle las fuentes escalares de ~ E y las vectoriales de ~ D. 7-4. Si un condensador plano, cuyas placas están separadas una distancia d y cuyo dieléctrico tiene una constante ε = a + b x, está sometido a una diferencia de potencial V0, halle: a) ~ E y ~ D. b) ρP . ε 2 1 2 ε Q 1 Q 2 V0 + − x 0 d 1 S Figura 7.14: 7-5. El condensador de la figura 7.14 está lleno, por mitades de dos dieléctricos de constantes ε1 y ε2. Calcule a) ~ E y ~ D. b) Densidades de carga de conducción y de polarización.
- 292. 274 c) Capacidad del condensador. 7-6. Una esfera está uniformemente polarizada con ~ P = P b z. Halle ~ E y ~ D en su centro. 7-7. Halle los campos ~ E y ~ D producidos en un punto de su eje por un electrete cilı́ndri- co, de radio a y longitud L, que está polarizado uniformemente en la dirección de dicho eje con polarización ~ P. Un ’electrete’ es un material que posee polarización permanente, aun en ausencia de campo aplicado. Compruebe que ~ E es discontinuo en las bases del electrete mientras que ~ D es continuo. Haga uso del teorema de Gauss para confirmarlo. Solucion : R ^ ^ c b a P y z=L z x z=0 ρ n=z z n=−z ^ ^ =−P ρ =P ρ sP sP Figura 7.15: Situemos al electrete en la posición mostrada en la figura 7.15, El campo eléctrico lo podemos hallar substituyendo la distribución de dipolos por otra de cargas superficiales de polarización en las bases del electrete. A partir de éste se obtiene ~ D = ε0 ~ E + ~ P donde Pz = P para 0 z L y Pz = 0 para z L y para z 0. El campo producido por una distribución uniforme de carga superficial es ~ E = ρs 4πε0 Z S ~ R R3 ds
- 293. 275 Dada la simetrı́a de nuestro problema, el campo producido en el eje z tiene la dirección de dicho eje. Para la base inferior, cuya carga es ρs = −P, tenemos, por consiguiente, que ~ E0 = − P z 2ε0 b n0 Z a ρ=0 ρ dρ (ρ2 + z2)3/2 donde b n0 = b z para z 0 y b n0 = −b z para z 0. Recurriendo a las tablas tenemos que ~ E0 = − P 2ε0 µ 1 − z √ a2 + z2 ¶ b n0 Para hallar el campo producido por la base superior, debemos dar el valor ρs = P a la densidad superficial y realizar el cambio de variable z → z − L, luego ~ EL = P 2ε0 Ã 1 − z − L p a2 + (z − L)2 ! b nL donde b nL = b z para z L y b nL = −b z para z L. Para expresar el campo del electrete tendremos que dividir el eje z en tres intervalos: a = (z L), b = (0 z L) y c = (z 0). ~ Ea = P 2ε0 Ã z √ a2 + z2 − z − L p a2 + (z − L)2 ! b z ~ Da = ε0 ~ Ea ~ Eb = P 2ε0 Ã z √ a2 + z2 + z − L p a2 + (z − L)2 − 2 ! b z ~ Db = ε0 ~ Eb + ~ P ~ Ec = − ~ Ea , ~ Dc = − ~ Da Analice la continuidad de estos campos. 7-8. El espacio comprendido entre dos placas conductoras planas y paralelas, de super- ficie S = a × a y separadas una distancia b a, está parcialmente lleno por una lámina dieléctrica de espesor c y constante ε. Halle: a) Los campos ~ E y ~ D, en las distintas regiones, cuando entre las placas se establece una diferencia de potencial V .
- 294. 276 b) Las cargas libres y de polarización en las condiciones anteriores. c) La capacidad del condensador. Compárese con la del condensador de aire. Solucion : 1 x +c 1 ε0 ε0 V D +Q −Q E E E − − − − x ε x=0 x=b D + + + + −Q +Q P P Figura 7.16: El condensador está representado en la figura 7.16. ~ E tiene sus fuentes tanto en las cargas de conducción como en las de polarización, por lo que tendrá valores distintos en el dieléctrico y en el vacı́o. ~ D, sin embargo, tienen sus fuentes en las cargas de conducción. Para calcularlo procederemos, en primer lugar, a relacionarlo con dichas car- gas integrando sobre una caja de pastillas, como en el problema 2-17, con la base izquierda dentro del conductor y la otra en cualquier punto entre las placas. Encontramos que ~ D = D b x , D = Q a2 y, a partir de aquı́ E0 = D ε0 , Ed = D ε donde E0 es el campo eléctrico en el vacı́o y Ed el correspondiente al dieléctrico. Para relacionarlo con V, debemos integrarlo V = V (0)−V (b) = Z x1 x=0 E0 dx+ Z x1+c x=x1 Ed dx+ Z b x=x1+c E0 dx = D µ b − c ε0 + c ε ¶ El resto del problema se deja como ejercio.
- 295. 277 7-9. Una esfera dieléctrica, centrada en el origen y de radio a, tiene una polarización permanente ~ P = A~ r. Halle las cargas de polarización y demuestre por integración que la carga total inducida es nula. Solucion : La densidad de carga de volumen es ρP = −∇ · ~ P = −2 Pr r − ∂ Pr ∂ r ⇒ ρP = −3A ρsP = ~ P · b r = A a Luego Qp = ρP V = −4π a3 A , QsP = ρsP S = 4π a3 A y, la carga total es QpT = Qp + QsP = 0 7-10. Una esfera dieléctrica, de radio a y constante ε, posee en su interior una densidad de carga libre ρ = A r. Determine: a) El campo eléctrico en cualquier punto del espacio. b) El potencial en el centro de la esfera. c) Las cargas de polarización inducidas. 7-11. Una esfera metálica de radio a, cargada con una carga q, está rodeada por una capa de dieléctrico de constante ε hasta un radio 2a. Haga los mismos cálculos que en el problema anterior. 7-12. El espacio comprendido entre dos esferas metálicas concéntricas con el origen, de radios a y b y espesor despreciable, se encuentra lleno de dos dieléctricos de permitividades ε1 y ε2. Supuesto que el primer dieléctrico ocupa la región a r c y el segundo la región c r b, halle: a) Los campos ~ E, ~ D y ~ P en función de los potenciales Va y Vb aplicados a los conductores. b) La cargas de polarización en r = c en función de ~ P. c) La capacidad del condensador. 7-13. Describa, de forma análoga al problema 7-1, el momento magnético total de un material imanado, de volumen V y envuelto por la superficie S, en función de las densidades superficiales y de volumen de polos magnéticos. Haga lo mismo en fun- ción de las densidades superficiales y de volumen de corrientes de magnetización.
- 296. 278 7-14. Halle los campos ~ B y ~ H, producidos en un punto de su eje por un imán cilı́ndrico, de radio a, longitud L e imanado uniformemente, en dirección axial, con magne- tización ~ M. Realice los cálculos: a) Haciendo uso del formalismo de corrientes equivalentes de magnetización. b) Haciendo uso del formalismo de polos magnéticos. Solución: a) Esta parte del problema es análoga a la del 5-16. En aquel caso, se trataba de hallar el campo magnético producido por un solenoide, con las mismas dimensiones del imán, en un punto de su eje. En éste, el campo está producido por por una densidad de corriente superficial ~ sM = ~ M ∧ b ρ = M b ϕ En el probema arriba citado, el solenoide se situaba en el intervalo −L/2 ≤ z ≤ L/2. Ahora lo traladaremos L/2 en la dirección z para situarlo en 0 ≤ z ≤ L. Con este fı́n, realizaremos los siguiente cambios en la fórmula de parti- da: z → z + L , nI → M con lo que se obtiene Bz = 1 2 µ0 M Ã z √ a2 + z2 + z + L p a2 + (z + L)2 ! b) Para llevar a cabo este cálculo podemos hacer uso de la analogı́a del potencial escalar magnético y el eléctrico. Los pasos a seguir vienen marcados por el problema 7-7, el primero de los cuales consiste en la resolución de la integral del campo ~ H = ρsM 4π Z S ~ R R3 ds con ρsM = ~ M · ~ n. Lleve a cabo los cambios de nomenclatura correspondientes para demostrar que la solución por esta vı́a coincide con la del apartado (a). Cabe también partir del cálculo del potencial para hallar ~ H mediante el gradiente del anterior.
- 297. 279 7-15. Un material magnético conductor, que tiene la forma de un cilindro largo, de radio a y permeabilidad µ, está recorrido por una corriente uniforme I. A este cilindro lo envuelve un tubo del mismo material, coaxial con el anterior, de radio interno b y externo c. Calcule los campos, la magnetización, las densidades de corriente de magnetización y las de polos magnéticos en todos los puntos del espacio. 7-16. Un imán permanente tiene forma de elipsoide de revolución con semiejes a = 1, b = 1 y c = 2. Posee una magnetización ~ M en la dirección del eje de simetrı́a. Halle las densidades de corrientes de magnetización y de polos magnéticos resul- tantes. Solucion : La ecuación del elipsoide es F(~ r) = x2 + y2 + z2 4 − 1 = 0 El vector normal a la superficie es el vector unitario con la dirección del ∇ F. ∇ F ∼ (x, y, z 4 ) de donde ~ n = (4x, 4y, z) p 16x2 + 16y2 + z2 y, teniendo en cuenta que, dada la ecuación del elipsoide, z = ±2 p 1 − x2 − y2 podemos escribir ρsM = ~ M · ~ n = sig(z) M p 1 − x2 − y2 p 3x2 + 3y2 + 1 dentro del dominio x2 + y2 ≤ 1 del plano xy. De forma análoga se calculan las corrientes superficiales de magneti- zación 7-17. Un imán tiene forma de disco de radio a y espesor pequeño b y tiene una magne- tización ~ M uniforme y perpendicular a las caras del mismo. Halle los campos en cualquier punto del eje. 7-18. Un solenoide toroidal de sección cuadrada b × b = 1 cm2 tiene radio menor a = 10 cm. Está constituido por un carrete de N = 5000 vueltas uniformemente arrolladas alrededor de un núcleo de material magnético de permeabilidad relativa µr = 100. Halle: a) La autoinducción.
- 298. 280 b) Los campos generados cuando por el carrete se hace circular una corriente I = 10 mA, c) Compare los resultados anteriores con los que se obtendrı́an al substituir el núcleo magnético por aire. Solucion : Resolveremos la primera parte apoyándonos en la figura 7.17. a ρ I b ρ H L 0 d S Figura 7.17: Aplicando la ley de Ampère al camino L, obtenemos las expresiónes H = N I 2π ρ ⇒ B = µ N I 2π ρ El flujo cortado por una de las espiras, cuya sección es S0 = b2, será Φ0 = µ N I b 2π Z a+b ρ=a dρ ρ = µ N I b 2π ln µ a + b s ¶ y el cortado por las N espiras del solenoide Φ = N φ0 con lo que L = Φ I = µ N2 b 2π ln µ a + b s ¶
- 299. Capı́tulo 8 Conductores 8.1. Mecanismos de conducción. Medios óhmicos Ya hemos visto en la sección 1.3.2 que, desde el punto de vista macroscópico, el transporte de cargas puede describirse por los vectores densidad de corriente ~ = p X i=1 ~ i , ~ i = ρi~ ui (8.1) donde ρi es la densidad de carga de portadores de tipo i, ~ ui su velocidad colectiva o de arrastre, ~ i su densidad de corriente y ~ la densidad de corriente total, o neta, del conjunto de los p portadores de distinto tipo que intervienen en la conducción. En general, un portador es cualquier partı́cula cargada capaz de desplazarse y dar lugar a un flujo neto de cargas a través de una superficie determinada. Existe una gran variedad de mecanismos de conducción, algunos de gran comple- jidad. Las fuerzas que intervienen en la conducción, a nivel microscópico, son de tipo cuántico y electromagnético. Por ahora nos ocuparemos principalmente de la contribu- ción del campo eléctrico que, en la mayorı́a de los casos prácticos, es la más importante, y se utilizarán modelos mecánicos sencillos para representar a las fuerzas cuánticas. El campo eléctrico actúa sobre los portadores de carga acelerándolos, en su misma dirección si son de carga positiva, como los iones positivos en electrolitos y gases o los huecos en semiconductores, y en dirección contraria, como los electrones e iones negativos. En general, cada tipo de portador contribuye a la corriente total, con una densidad de corriente 1 ~ i = ~ i( ~ E, t) , ~ ui = ~ ui( ~ E, t) En los medios densos, la energı́a que el campo cede a los portadores puede conver- tirse eficientemente en energı́a térmica a través de los choques con moléculas, lo que puede traducirse en una fuerza de fricción equivalente. Esta fuerza de fricción, como en el caso de la caı́da de un grave en un medio viscoso, limita la velocidad de arrastre 1 La corriente puede también ser función del campo magnético pero aquı́ no tendremos en cuenta a esta posible contribución. 281
- 300. 282 de los portadores de forma que, bajo la acción de un campo constante, ésta alcanza rápidamente un valor lı́mite independiente del tiempo. ~ ui = ~ ui( ~ E) Para los medios lineales simples, o medios óhmicos, esta relación se escribe de la forma ~ ui = µi ~ E (8.2) donde µi es una constante, la movilidad del portador i. La densidad de corriente total será también proporcional al campo aplicado ~ = σ ~ E , σ = p X i=1 ρi µi , [σ] = S · m−1 (8.3) donde σ es la conductividad del medio y S es la abreviatura de la unidad de admitancia siemens 2. Esta es una de las formas de enunciar la ley de Ohm, con la cual se expresa la relación local de tipo lineal 3 e isótropa, existente entre el campo eléctrico aplicado y la densidad de corriente resultante para un cierto tipo de materiales y bajo unas condiciones determinadas. Conviene resaltar que esta ley, si bien tiene un amplio margen práctico de aplica- bilidad, no tiene validez universal 4. Entre otros factores destacaremos el hecho de que la inercia de los portadores hace que ~ dependa también del valor de los campos en instantes previos. La aptitud de conducción de un medio suele medirse también por la resistividad r = 1 σ , [r] = Ω · m (8.4) que en la práctica toma valores muy distintos, desde estrictamente cero, en los super- conductores, y valores finitos pero muy bajos, del orden de 10−8 Ω · m, para los buenos conductores, pasando por el orden unidad para los semiconductores intrı́nsecos y lle- gando hasta el orden 1018 para los buenos dieléctricos. Mientras no avisemos lo contrario, los medios que trataremos serán óhmicos. 8.2. Relajación en medios óhmicos Veremos que un medio óhmico homogéneo tiende a neutralizar la carga en su interior en un tiempo del orden de τ = ε σ (8.5) 2 Véase la sección 8.5. 3 Como en casos anteriores, ésta no es la forma más general de linealidad, como puede verse en [Garcı́a Olmedo]. En un medio lineal, para una frecuencia determinada, σ, como ε y µ, pueden ser complejos. En este caso, no toda la energı́a cedida por el campo a las cargas se convierte en calor, como se implica en la ley de Ohm. 4 No es estrictamente una ley sino, más bien, la definición de una relación que cumple aproximada- mente un cierto tipo de medios si las variables pertinentes se limitan de forma adecuada.
- 301. 283 constante caracterı́stica del medio que se llama tiempo de relajación y que, para buenos conductores, puede alcanzar valores del orden de 10−15 s. Paralelamente, si por un medio óhmico circula en un instante dado una corriente no estacionaria, ésta tenderá a hacerse estacionaria con la misma constante de tiempo. Para ser precisos, veremos que un medio en estado no estacionario tiene un compor- tamiento que no es estrictamente óhmico. Supongamos que σ y ε son constantes reales, luego jsp = σ ~ E , ~ D = ε ~ E Según la ecuación de continuidad ∇ · ~ = − ∂ρ ∂t ⇒ − ∂ρ ∂t = σ ∇ · ~ E = 1 τ ∇ · ~ D de donde se obtiene la siguiente ecuación diferencial y su integral ∂ρ ∂t = − ρ τ ⇒ ρ = ρ0 e−t/τ (8.6) Por lo tanto, si el medio tiene en un instante dado una densidad neta de carga ρ0 6= 0, cuando desaparezcan las causas que lo han sacado de la neutralidad local, tenderá a restablecerla con una constante de tiempo τ. Simultáneamente, el conductor tiende a hacerse estacionario. Efectivamente ∂ρ ∂t = − ρ0 τ e−t/τ ⇒ lı́m t→∞ ∇ · ~ = 0 Por esta razón, los desequilibrios de carga en un conductor, bajo esta aproximación, sólo pueden aparecer en su superficie, donde, al darse una no homogeneidad del medio, τ = τ(~ r) y ∇ · ~ D = ∇ · (τ~ ) 6= τ∇ · ~ . Si, por otra parte, la frecuencia del campo es elevada, las constantes se hacen complejas y se da lugar a corrientes no estacionarias. 8.3. Conductores estáticos En conexión con lo anteriormente expuesto, trataremos el caso importante de los cuerpos conductores en condiciones estáticas. En la práctica, es posible aislar a un conductor de forma que, en él y en su entorno, se cumplan muy aproximadamente las condiciones de estaticidad ~ E = ~ E(~ r) , ~ = 0 bajo las cuales los campos son constantes y las cargas están quietas. Supondremos que el conductor como tal, véase la figura 8.1, dispone de un número elevado de portadores, es decir, tiene una densidad de portadores ρp prácticamente infinita. Si estos portadores están quietos, no están sometidos a la acción del campo eléctrico. De hecho, sólo en la superficie, donde las fuerzas eléctricas pueden ser contrarrestadas
- 302. 284 E E =0 =οο ρp V =cte i i Figura 8.1: por las cristalinas, es posible la existencia de campo eléctrico. Luego, el campo interno de un conductor estático es nulo ~ Ei = 0 (8.7) además, puesto que dVi = − ~ Ei · d~ r = 0 todo el conductor está al mismo potencial Vi = cte (8.8) Puede hablarse, pues, del potencial de un conductor estático. Los conductores de tipo metálico son poco polarizables porque las cargas de po- larización están fuertemente ligadas a las moléculas. Por esta razón, puede tomarse de forma muy aproximada ε = ε0. Por lo que respecta al campo en la superficie del conductor, ~ Ec, podemos demostrar que es proporcional a la densidad superficial de carga y perpendicular a la superficie ~ Ec = ρs ε ~ n La perpendicularidad a la superficie de deduce del hecho de que ésta es equipotencial. El cálculo del campo puede llevarse a cabo mediante el uso del teorema de Gauss. Para poder aplicarlo es necesario modelar la transición del conductor, de constante ε0, al dieléctrico, de constante ε, como continua. Supongamos, figura 8.2, que esta transición tiene lugar rápidamente, en un intervalo ∆x, donde x es la distancia en la dirección perpendicular a la interfaz de separación de los dos medios. Supongamos ahora, figura 8.3-a, que la rugosidad de la superficie S del conductor es limitada y que podemos aproximar una pequeña zona de S, S1, al plano tangente Π. Si un observador se acerca a una distancia h/2 tal que ∆x ¿ h/2 ¿ L donde L ∼ √ S1 es la ’dimensión transversal’ de S1, verá a la superficie del conductor como un plano infinito en el que, por lo tanto, ρs y ~ Ec serán prácticamente constantes. En +h/2 verá un dieléctrico homogéneo y en −h/2 un conductor homogéneo.
- 303. 285 h/2 0 ∆ x ε ε(x) -h/2 x ε Figura 8.2: le Epr E ’ pr E c E c 1 S 2 S ∆ S ρs ε 0 ρs c S n Π (a) (b) pol Conductor ε Dielectrico 0 E Ele E Figura 8.3: Tomaremos ahora lo que en la profesión se conoce como una caja de pastillas. Se trata de una pequeña superficie cilı́ndrica, S2, cuyas generatrices, de longitud h, son perpendiculares al plano Π y cuyas bases, de superficie ∆S ¿ S1 y a distancia h/2 de dicho plano, son paralelas a mismo. Según el teorema de Gauss ΦS2 ( ~ D) = Z S2 ~ D · d~ s = Q = Z ∆S ρs ds Puesto que el campo en el interior del conductor es nulo y ~ Ec = Ec ~ n sólo contribuye al flujo la base que está en el dieléctrico. ∆ ~ S = ∆S ~ n , ΦS2 ( ~ D) = ε Ec ∆S La carga de conducción encerrada en la caja de pastillas es la que está en la superficie del conductor, ∆S, seccionada por la caja de pastillas. Q = ρs ∆S ⇒ ~ Ec = ρs ε ~ n (8.9) Haciendo las cuentas en detalle podemos demostrar que la mitad de ~ Ec está generado por las cargas próximas, contenidas en ∆S, y la otra mitad por el resto de las cargas
- 304. 286 del Universo. Descompongamos ~ Ec en dos componentes: una, ~ Epr, debida a las cargas próximas de conducción y de polarización, y otra, ~ Ele, debida a las cargas lejanas. ~ Ec = ~ Epr + ~ Ele En la figura 8.3-b se representa a la misma caja de pastillas pero se ha substituido el dieléctrico por sus cargas superficiales de polarización. De esta forma, en la zona del dieléctrico se toma ε → ε0 y el problema se hace simétrico a ambos lados de la superficie. Efectivamente, procediendo de forma análoga a la utilizada anteriormente ∇ · ~ E = 1 ε0 (ρ + ρpol) ⇒ ~ Ec = 1 ε0 (ρs + ρspol )~ n donde se pone de manifiesto las contribuciones de las cargas de conducción y de polar- ización. Dada la simetrı́a del problema, el campo próximo en el interior del conductor ~ E0 pr debe ser igual y contrario al mismo campo fuera del conductor ~ Epr. ~ E0 pr = − ~ Epr mientras que el campo lejano carece de fuentes en la zona de interés y es continuo. Por otra parte, el campo ~ Ei en el interior del conductor es nulo ~ Ei = − ~ Epr + ~ Ele = 0 ⇒ ~ Epr = ~ Ele ⇒ ~ Epr = 1 2 ~ Ec En todos estos cálculos, como en toda fı́sica macroscópica, se ha emitido una serie de hipótesis que pueden ser válidas en una determinada situación fı́sica. En los microscopios de emisión de campo se utilizan puntas con radios de curvatura de unos pocos o A, lo que evidentemente hace inadecuada la aplicación de lo anterior a este tipo de estructuras. Como consecuencia de la existencia de campo en la superficie del conductor, sobre ésta se ejerce una fuerza, por unidad de superficie, d~ F ds = ρs ~ Ec 2 = 1 2ε ρ2 s ~ n = 1 2 ε E2 c ~ n d~ F ds = ωe ~ n (8.10) donde, como se verá más adelante, ωe = 1 2 ε E2 c es lo que se conoce como densidad de energı́a del campo eléctrico en la superficie del conductor. El factor 1/2 aparece debido a que la contribución del campo ~ Epr es nula, en virtud del principio de acción y reacción, por lo que, para el cálculo de esta fuerza sólo es necesario tener en cuenta al campo creado por las cargas externas, o lejanas. Como vemos, esta fuerza tiene dirección normal y sentido hacia afuera del conductor: las cargas, cualquiera que sea su signo, tienden a escapar del conductor. La fuerza calculada es, por lo tanto, la suma de la ejercida sobre la carga de conduc- ción, depositada en su superficie, más la de polarización, que corresponde a la superficie del dieléctrico. En un dieléctrico normal, estas cargas son de signo contrario por lo que, en ausencia de otras fuerzas, el conductor y el dieléctrico tienden a permanecer unidos y, en su conjunto, sufren una tensión que trata de expandirlos.
- 305. 287 8.4. Tubos de corriente estacionaria. Fuerza electromotriz Según hemos visto, un medio óhmico tiende a la estacionariedad en un tiempo del orden de τ, normalmente muy pequeño. En la práctica, los sistemas de corriente esta- cionaria (continua), o cuasiestacionaria, son de gran interés. Dado que5 ∇ · ~ = − ∂ρ ∂t = 0 los tubos deben ser cerrados. A continuación daremos una justificación sobre la necesidad de que las lı́neas de corriente se cierren a una distancia finita. Según la sección 3.1, la fuerza electromotriz en un camino cerrado L viene dada por, figura 8.4 EL = I L ~ E · d~ l (b) j (a) L L 1 2 E Figura 8.4: Si tomamos a L como una lı́nea de corriente, recorrida en el sentido de ~ , y suponemos que el medio es óhmico, la fuerza electromotriz de dicha lı́nea será EL = 1 σ I L ~ · d~ l 0 , ya que ~ ↑↑ d~ l En este caso, EL es el trabajo realizado por el campo, sobre la unidad de carga, en el recorrido de la lı́nea y, si la longitud del camino fuese infinita, también lo serı́a el trabajo, salvo en el caso de los superconductores cuya conductividad es infinita. Dado que EL 6= 0, para generar corrientes estacionarias es necesario recurrir a cam- pos no conservativos. En consecuencia, descompondremos a los campos en dos contribu- ciones: la de los campos conservativos, ~ Ec, y la de los no conservativos, ~ ER, o campos electromotores, ~ E = ~ Ec + ~ ER , ~ Ec = −∇V , ∇ ∧ ~ ER 6= 0 Los campos no conservativos pueden tener origen diverso; sólo los predichos por la ley de inducción de Faraday son de origen electromagnético clásico. Dado que I L ~ Ec · d~ l = 0 5 Véase párrafo 1.4.
- 306. 288 EL = I L ~ ER · d~ l (8.11) A partir de esta expresión generalizaremos el concepto de fuerza electromotriz para aplicarlo a segmentos de lı́nea no cerrados. EL(1→2) = Z 2 1L ~ ER · d~ l (8.12) Utilizamos el subı́ndice L(1→2) porque la fuerza electromotriz es una integral de lı́nea y, por lo tanto, sólo está definida unı́vocamente si especificamos el camino y los puntos inicial, 1, y final, 2, del mismo. 8.5. Resistencias y generadores de corriente continua Supongamos que la sección del tubo de corriente estacionaria de la figura 8.5 está lim- itada por dos secciones, S1 y S2, y que la estructura del mismo es tal que se cumple con suficiente aproximación Z 2 1L ~ E · d~ l ' Z 20 10 L0 ~ E · d~ l donde L y L0 son cualquier par de lı́neas de corriente del tubo y 1, 1’, 2, 2’, puntos en S1 y S2, respectivamente. 2 d s S 1 S 2 j d l E 1 2 1’ 2’ L’ L V 1 -V Figura 8.5: Bajo estas condiciones, diremos que S1 y S2 son los terminales del tubo, el cual podrá ser tratado con un formalismo de circuito de dos terminales. En la práctica estos terminales suelen estar constituidos por buenos conductores (σ → ∞). Para estos circuitos se define el parámetro resistencia del tubo R ≡ Z 2 1 ~ E · d~ l Z S2 ~ · d~ s = 1 I Z 2 1 ~ E · d~ l (8.13) donde se entiende que la integral se lleva a cabo a lo largo de una lı́nea de campo, desde el terminal 1 al 2. La unidad de resistencia es el ohmio Ω. La admitancia es la inversa de la resistencia y su unidad es el siemens (S) 6. 6 También suele usarse el nombre mho, una sigla para Ω−1 .
- 307. 289 Para medios lineales, esta relación es una constante positiva, la resistencia del tubo, mientras que para medios no lineales R = R(E). Este es el caso de las VDR o resistencias dependientes de la tensión. Aparte de las variables eléctricas, en el valor de la resistencia interviene la tempera- tura, muy marcadamente en los termistores, el campo magnético, en las magnetorre- sistencias, etc. Resistencia ideal: Cuando en el tubo sólo existen campos conservativos, decimos que éste es pasivo y constituye una resistencia ideal. En este caso I R = Z 2 1 −∇V · d~ l = V1 − V2 Es decir, la caı́da de potencial en una resistencia es igual al producto I R. Repre- sentaremos esta relación, versión extensiva de la ley de Ohm, con los convenios de signos y sı́mbolos de la figura 8.6. 2 R V I R 1 Figura 8.6: VR = I R (8.14) donde V = V1 − V2. Fuente ideal de fuerza electromotriz: Cuando un tubo, en el que existen campos no conservativos, tiene resistencia nula, decimos que es una fuente ideal de fuerza electromotriz o pila ideal. Z 2 1 (−∇V + ~ ER) · d~ l = 0 , V2 − V1 = E1−2 1 V 2 Figura 8.7: E = V (8.15)
- 308. 290 que representamos con los convenios de la figura 8.7 donde V = V2 − V1. La pila ideal es, pues, un elemento de dos terminales que mantiene, entre los mis- mos, una diferencia de potencial igual a su fuerza electromotriz, cualquiera que sea la intensidad que circule por él. Fuente de fuerza electormotriz real: Manteniéndonos dentro del modelo lineal, en general, un tubo activo, pila real o fuente de fuerza electormotriz real 7 tendrá resistencia y fuerza electromotriz. I R = Z 2 1 (−∇V + ~ ER) · d~ l = (V1 − V2) + E12 Tenemos, pues, figura 8.8, 1 R V Ι R V 2 Figura 8.8: V = E − I R (8.16) donde V = V2 − V1. Esta expresión suele conocerse como la ley de Ohm generalizada. Si entre los terminales 1 y 2 colocamos una resistencia externa Re, o de carga, figura 8.9, 1 R V R V Ι R e 2 Figura 8.9: V = I Re , E = I(R + Re) (8.17) 7 El apelativo de real no es del todo adecuado porque, en principio, nos estamos limitando a medios óhmicos.
- 309. 291 8.6. Asociación de elementos. Leyes de Kirchhoff Los elementos pueden, en principio, asociarse de muy diversas formas, las más sim- ples son las asociaciones serie y paralelo. Asociación serie : En la asociación serie la intensidad que pasa por los dos elementos es la misma. Para resistencias, figura 8.10, s R V I R R V R s 1 2 1 2 I R 1 2 V Figura 8.10: I = I1 = I2 Vs = VR1 + VR2 ⇒ Rs = R1 + R2 (8.18) Luego, las resistencias en serie se suman. Las fuerzas electromotrices de las pilas ideales se suman si la intensidad de referencia entra por el terminal negativo y se restan en caso contrario Es = ±E1 ± E2 (8.19) Asociación paralelo : En la asociación paralelo, se unen los terminales de los elementos dos a dos con lo que la caı́da de potencial es común a ambos. Es evidente que esta asociación no puede realizarse entre pilas ideales. Para resistencias, figura 8.11, I V 2 I R 2 1 1 I R Figura 8.11: V = VR1 = VR2 I = I1 + I2 ⇒ 1 Rp = 1 R1 + 1 R2 ⇒
- 310. 292 Rp = R1R2 R1 + R2 (8.20) Circuitos : No todas las asociaciones pueden reducirse a la configuración serie y paralelo. Llamaremos circuito a una asociación de elementos activos y pasivos. nudo es el punto 8 de conexión de dos o más elementos. rama es el conjunto de elementos que puede ser descrito mediante una relación, entre dos terminales, análoga a la ley de Ohm generalizada. malla es un conjunto de ramas interconectadas de forma que pueden ser recorridas a lo largo de un camino cerrado sin pasar dos veces por la misma rama. En adelante sólo consideraremos circuitos planos, los cuales pueden ser representados en un plano sin que se crucen las ramas entre sı́. Leyes de Kirchhoff : El análisis de circuitos de corriente continua puede llevarse a cabo mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff. En la figura 8.12 se representa a un nudo en el que convergen varias ramas. Primera ley: I 1 I I I S V i 2 N Figura 8.12: Puesto que las corrientes son estacionarias, ∇·~ = 0, e integrando sobre un volumen V que contenga al nudo, tenemos I S ~ · d~ s = 0 ⇒ N X i=1 Ii = 0 (8.21) Esta es la primera ley de Kirchhoff, ley de nudos, y nos dice que la suma de las inten- sidades, que inciden sobre el nudo, es igual a cero 9. 8 Se entiende por punto de un circuito a un conjunto de conductores ideales, cables, etc., que están al mismo potencial. 9 Substituyendo las intensidades incidentes por las emergentes, obtendrı́amos un enunciado equiva- lente. De otra forma, podrı́amos decir que la suma de las intensidades que entran en el nudo es igual a la de las que salen o, en definitiva, que los nudos no almacenan carga.
- 311. 293 Segunda ley: Ahora consideraremos una malla, como la de la figura 8.13, L I 1 I Ii 1 i M M Figura 8.13: Escribiremos ~ Ec = ~ E − ~ ER, donde ~ Ec = −∇V es el campo conservativo y ~ ER = −∂ ~ A ∂t + ~ ERn el no conservativo, que puede desglosarse en la parte que deriva del potencial vector y el ~ ERn cuyo origen no es electromagnético clásico. I L ~ Ec d~ l = I L ( ~ E − ~ ER) · d~ l = 0 ⇒ I L ~ E · d~ l = I L ~ ER · d~ l = PM i=1 Ii Ri = PM i=1 Ei ⇒ M X i=1 Ei = M X i=1 Ii Ri (8.22) Esta es la segunda ley de Kirchhoff, ley de mallas, la cual iguala a la suma de las fuerzas electromotrices de las ramas que componen la malla con la suma de las caı́das de potencial que tienen lugar en las resistencias de dichas ramas. Para la aplicación sistemática de esta ley, se elije el mismo sentido de circulación de referencia para todas las mallas. La intensidad que circula por cada rama es la suma de las que circulan por las mallas comunes a dicha rama. Si se contabiliza la caı́da de potencial a lo largo de la rama, la intensidad de la malla cuya ecuación se está escribiendo se toma con referencia positiva y la de la contigua como negativa. Las fuerzas electromotrices se tomarán con referencia positiva si la intensidad de malla entra por la referencia (-) de la fuente y negativa en caso contrario.
- 312. 294 8.7. Disipación de energı́a. Ley de Joule En un tubo de corriente estacionaria, la energı́a que el campo electromagnético cede a las cargas, por unidad de volumen y de tiempo, viene dada 10 por d2Wc dv dt = dPc dv = ~ · ~ E La ley de Joule postula que, en el caso de una corriente estacionaria que circula por un medio óhmico, el trabajo que realiza el campo sobre las cargas se transforma ı́ntegramente en calor que se cede al medio. La potencia Pj convertida en calor en un volumen V por el efecto Joule es Pj = Z V ~ · ~ E dv = σ Z V E2 dv ≥ 0 (8.23) Según la expresión anterior, la potencia cedida por el campo a las cargas contenidas en un volumen cualquiera de este tipo de medios es netamente positiva. Luego no existe la posibilidad de que las cargas cedan energı́a al campo y el proceso es unidireccional y, por lo tanto, irreversible. Al ser la corriente estacionaria, esta energı́a no se invierte en aumentar la energı́a cinética macroscópica, la asociada a la velocidad de arrastre, por lo que debe invertirse en aumentar la energı́a interna del medio, principalmente en energı́a térmica, la asociada al movimiento aleatorio de las cargas. Incluso para corrientes cuasiestacionarias, la velocidad de arrastre es muy inferior a la aleatoria, véase el problema 1-7, y, en consecuencia, lo anterior sigue siendo aproximadamente cierto. Consideraremos dos casos particulares: una resistencia ideal y un tubo cerrado de corriente con fuerza electromotriz. Resistencia ideal: Una resistencia ideal es, como hemos visto, un segmento de tubo, como el repre- sentado en la figura 8.14a, en el cual ~ ER = ~ 0 y ~ E = ~ Ec = −∇ V . Suponemos que las superficies inicial y final son terminales, es decir, equipotenciales. S2 j S1 S2 E R=0 E R=0 dv=d s.d l d s j (a) (b) (c) R V R e 2 1 Ι S1 Figura 8.14: 10 Véase la sección 4.1
- 313. 295 Haciendo uso de 8.23 pero integrando sobre el volumen ∆V comprendido entre las secciones S1 y S2 Pj = Z ∆V ~ · ~ E dv Dividiendo el tubo en elementos de sección d~ s, tomando d~ s ↑↑ d~ l ↑↑ ~ y recordando la definición 8.13 de resistencia Pj = Z ∆V ~ · ~ E dv = Z ∆V (~ · d~ s)( ~ E · d~ l) = Z 2 1 µZ S ~ · d~ s ¶ | {z } =I ~ E · d~ l ⇒ Pj = I Z 2 1 ~ E · d~ l = I2 R −I Z 2 1 ∇ V · d~ l = V I (8.24) donde V = V2 − V1. Tubo de corriente cerrado: En el caso de un tubo de corriente estacionaria cerrado, como el que se muestra en la figura 8.14b, el computo 8.23 de la potencia Joule puede hacerse en función de la componente rotacional del campo ~ ER. Efectivamente, en este caso, de acuerdo con 8.23 y teniendo en cuenta que ~ E = ~ ER + ~ Ec Pj = Z V ~ · ( ~ Ec + ~ ER) dv pero, ~ Ec = −∇V y Z V ~ · ∇V dv = Z V V ∇ · ~ |{z} =0 dv − Z V ∇ · (V ~ ) dv | {z } =0 = 0 La primera integral se anula porque la corriente es estacionaria y la segunda porque, haciendo uso del teorema de la divergencia, Z V ∇ · (V ~ ) dv = Z S V ~ · d~ s = 0 puesto que en S, ~ · d~ s = 0. En este caso podemos escribir Pj = Z V ~ · ~ ER dv (8.25) entendiendo cabalmente que para el consumo local de energı́a es necesario tener en cuenta el campo total ~ E.
- 314. 296 Procediendo de forma análoga a la utilizada para la resistencia, el resultado anterior puede expresarse de la forma Pj = I I L ~ ER · d~ l = E I (8.26) siendo E la fuerza electromotriz calculada en el sentido de la corriente. Haciendo lo mismo con la expresión de partida 8.23 Pj = I I L ~ E · d~ l = I2 RT (8.27) donde RT es la resistencia total del tubo. En la figura 8.14c se supone que el campo no conservativo se circuscribe al segmento limitado por las secciones equipotenciales S1 y S2, lo que nos permite escribir 8.27 de la forma I2 RT = I Z 2 1 ~ E · d~ l + I Z 1 2 ~ E · d~ l = I2 (R + Re) (8.28) donde R es la resistencia interna de la pila y Re la extena a la misma. En resumen Pj = I E = I2 R + V I = I2 (R + Re) (8.29) El término I E representa la energı́a cedida por la pila, I2 R es la energı́a transfor- mada en calor dentro de la propia pila, e I2Re el calor cedido a la resistencia externa. La ley de Joule no tiene validez general puesto que, en el caso de corrientes no estacionarias, pueden aparecer otros términos en el balance energético.
- 315. 297 8.8. Problemas 8-1. Calcule el tiempo de relajación de los materiales que se relacionan a continuación junto con sus resistividades en Ω × m, (entre paréntesis): Al (2, 8×10−8 ), Cu (1, 7×10−8 ), Au (2, 4×10−8 ), Ag (1, 47×10−8 ), Ge (0,45), Si (640) Suponga ε = ε0 8-2. En la sección 8.3 se muestra que para calcular la tensión sobre la superficie de un conductor sólo es necesario tener en cuenta a la mitad del campo existente en la superficie exterior del mismo. Compruebe que puede llegarse a la misma conclusión si, por ejemplo, modelamos la densidad superficial de carga ρs como una densidad de volumen uniforme ρ0 definida en un espesor a pequeño. 8-3. Considere dos láminas planas y paralelas, recorridas respectivamente por las corri- entes superficiales ~ s1 = js b x y ~ s2 = −js b x. Razone de forma análoga a la utilizada en la sección 8.3 para hallar la fuerza por unidad de superficie ejercida sobre las placas. Aplique este resultado a un solenoide largo. Solución: x ∆ 1 2 j s2 y=1 ∆ B2 B’ 2 B2 j s1 Fs B1 B’ 1 + = 0 2 B L1 L2 y z y=1 Figura 8.15: Para calcular la fuerza ~ Fs por unidad de superficie que la lámina 2 ejerce sobre la 1, figura 8.15, deberemos calcular previamente el campo ~ B2 producido por la 2. ~ Fs = ~ s1 ∧ ~ B2
- 316. 298 De acuerdo con la figura 8.15, el camino L2 corta a la corriente ~ s2 y, por simetrı́a ~ B2 0 = − ~ B2 Aplicando la ley de Ampère a L1 11 I L1 ~ B · ~ dl = µ0 Z S1 ~ s1 · ~ ds ⇒ ~ B2 = 1 2 µ0 js b y Por otra parte, integrando sobre el camino L1 y teniendo en cuenta las simetrias del problema, se llega a la conclusión de que el campo externo total es nulo. Ello implica que en dicha zona las contibuciones de cada una de las placas son iguales y contrarias. ~ B1 0 = − ~ B2 ⇒ ~ Bex = ~ 0 Entre las placas, las contribuciones se suman, con lo que el campo total resultante es ~ B = 2 ~ B2 = µ0 js b y Luego, de forma análoga a lo encontrado para el campo eléctrico en la superficie de un conductor, cada una de las placas separa a una región con campo magnético de otra sin él. Por fı́n, la fuerza por unidad de superficie ejercida sobre 1 es ~ Fs = 1 2 js B b z = 1 2µ0 B2 b z = ωm b z 8-4. Sea un condensador plano cuyas placas están separadas una distancia a y tienen una superficie S. Despreciando el efecto de bordes, calcule el trabajo realizado al separar las placas de la distancia inicial a la 2a en los siguientes casos a) Manteniendo fijo el potencial V = V0. b) Manteniendo fija la carga Q = Q0. Establezca, en ambos casos, una relación entre este trabajo, el realizado por la baterı́a al elevar el incremento de carga ∆Q desde tierra, V = 0, hasta V y el incremento ∆W de la energı́a almacenada entre las placas. Solución: 11 La integral de flujo, en el caso de una corriente superficial, puede obtenerse modelando a ~ s como una densidad de volumen definida en una capa estrecha de espesor δz, es decir ~ = ~ s δz , por lo que su flujo a través de la seción S = ∆y δz es js ∆y.
- 317. 299 Como puede verse en la figura 8.16, si una vez cargado el conden- sador con un carga Q0 el interruptor se abre, la carga queda atrapada y permanece constante. Si, por el contrario, se cierra el interruptor, el potencial permanecerá constante. +Q 0 x=0 x=a x=2a V V + - 0 -Q ε Figura 8.16: Como ya se ha visto en capı́tulos anteriores E = Q ε0 S , C ≡ Q V = ε0 S x Sólo la mitad de este campo se debe a la placa izquierda. Luego la fuerza ejercida sobre la placa derecha es Fx = − 1 2 Q E = − 1 2 Q2 ε0 S = − 1 2 ε0 S V 2 x2 El trabajo realizado en cada caso es WF = Z 2a x=a Fx dx = − Q2 0 a 2ε0 S para Q = Q0 − ε0 S V 2 0 4a para V = V0 El incremento de energı́a almacenada en el condensador es ∆Wa = Wa(x = 2a) − Wa(x = a) = a Q2 0 2ε0 S para Q = Q0 − ε0 S V 2 0 4a para V = V0
- 318. 300 Por último, el trabajo realizado por la baterı́a es Wb = ∆Q V = 0 para Q = Q0 − ε0 S V 2 0 2a para V = V0 Para realizar el balance de energı́a, debemos expresar el equilibrio entre las almacenadas en condensador al principio y al final del proceso y las que se toman del exterior o se ceden al mismo. Un valor positivo de Wb sigifica que la baterı́a ha cedido energı́a. Un valor positivo de WF significa que el campo ha cedido parte de su energı́a potencial a la placa móvil; se ha invertido en proporcionarle a ésta energı́a cinética o calor al entorno a través de procesos disipativos. La energı́a suministrada por la baterı́a puede emplearse en aumentar el contenido energético del condensador y, a través del campo, cederla a la placa móvil. La ecuación de conservación podemos escribirla, por lo tanto, de la forma Wb = ∆Wa + WF En cada caso tendremos: - Para Q = Q0 ∆Wa + WF = 0 - Para V = V0 Wb = ∆Wa + WF 8-5. Para el condensador del problema 7-8, calcule: a) La fuerza que una placa ejerce sobre la otra cuando entre ellas se establece una diferencia de potencial V , para cualquier valor de c ≤ b b) Lo mismo que en el apartado anterior pero cuando el dieléctrico está en contacto con la placa (c = b). c) Halle el trabajo realizado al separar las placas desde la distancia a hasta la distancia 2a cuando el dieléctrico es sólido de espesor c = a y en los casos en que , bien el potencial o la carga depositada en las placas se mantiene constante durante la operación. d) Lo mismo que en el apartado anterior pero cuando el dieléctrico es liquido y llena todo el espacio.
- 319. 301 8-6. El espacio entre dos esferas metálicas concéntricas, entre la cuales se aplica una diferencia de potencial V0 = 10 KV , está lleno de aire, cuya rigidez dieléctrica ER es de unos 3 × 106 V · m−1 y cuya constante dieléctrica es ε0. Supuesto que el radio de la esfera mayor, fijo, es b = 10 cm y que el de la menor puede variarse y es igual a x. Halle a) Los valores de x para los cuales E(x) = ER. b) Tomando para x el valor correspondiente a la solución menor del apartado anterior, halle la presión sobre las placas del condensador. c) El valor de x para el cual E(x) es mı́nimo. La rigidez dieléctrica es el campo eléctrico máximo que soporta un dieléctrico antes de destruirse al ser perforado por una descarga eléctrica. Solución: trataremos las primera y la última cuestión. a) El campo eléctrico en la placa interior, r = x, del condensador es E(x) = Q(x) 4π ε0 x2 y la diferencia de potencial entre la placa interior y la exterior V0 = Q(x) 4π ε0 µ 1 x − 1 b ¶ Si despejamos Q(x) 4π ε0 de esta ecuación Q(x) 4π ε0 = V0 x b b − x Eliminado este término de la expresión del campo y dando a éste el valor E(x) = ER, obtenemos la ecuación cuadrática x2 − b x + c = 0 , c = b V0 ER cuyas soluciones son x1 = 3.65 mm , 9.65 cm b) De acuerdo con lo anterior E(x) = K bx − x2
- 320. 302 donde F = V0 b y K una constante. El mı́nimo de E(x) será máximo de f(x) = K E(x) = bx − x2 . Derivando e igualando a cero, tenemos que xmin = b 2 ¿Está seguro de que este es el valor correspondiente a un mı́ni- mo?¿cuales serı́an los máximos? 8-7. Halle la resistencia de los conductores de la figura 8.17. σ σ σ σ (a) (b) b a V=0 V=V L c ϕ σ a 0 0 0 σ0 oo oo oo oo Figura 8.17: Solución: Calcularemos la resistencia del conductor de la figura 8.17b. Más ade- lante trataremos la solución de este problema de forma sistemática y teniendo en cuenta las condiciones de contorno apropiadas. Por ahora supongamos que ϕ = 2π y c → ∞, por lo que el problema que abor- daremos en un principio es el de hallar la resistencia de una corona cilı́ndrica de altura infinita. Dado que el conductor es ohmico, que el campo es estático y la corriente estacionaria ∇ ·~ j = 1 σ0 ∇ · ~ E ⇒ ∇2 V = 0 Para hallar el potencial tomaremos V (a) = 0 , V (b) = V0 y tendremos en cuenta que, dada la simetrı́a del problema, la solución no depende de las coordenadas cilı́ndricas z y ϕ, por lo que 1 ρ d d ρ µ ρ d V d ρ ¶ = 0 ⇒ d d ρ µ ρ d V d ρ ¶ = 0
- 321. 303 puesto que en el dominio de la solución ρ 6= 0. Dado que Eρ = −d V d ρ , integrando una vez la ecuación anterior d V d ρ = C ρ , Eρ = − C ρ Integrando de nuevo V = C ln(ρ) + D Aplicando las condiciones de contorno del potencial V (a) = C ln(a) + D = 0 , V (b) = C ln(b) + D = V0 C = V0 ln µ b a ¶ ⇒ Eρ = − V0 ln µ b a ¶ 1 ρ y V = V0 ln ³ρ a ´ ln µ b a ¶ , jρ = − σ0 V0 ln µ b a ¶ 1 ρ Es fácil de comprender que esta solución es también válida para la re- sistencia de la figura 8.17b, ya que en ésta, las superficies ρ = a y ρ = b son equipotenciales y, por lo tanto, el campo y la corriente deben ser perpendiculares a las mismas. En el resto de las superficies, la corriente debe ser tangencial a las mismas dado que el exterior es de conductivi- dad nula. Integrando sobre cualquier sección cilı́ndrica I = c Z ϕ0 ϕ=0 jρ ρ dϕ = c ϕ0 σ0 V0 ln µ b a ¶ La resistencia es R = V0 I = ln µ b a ¶ c ϕ0 σ0 8-8. En primer lugar se forma un condensador con dos conductores ideales, cilı́ndricos y concéntricos, de radio interior a, exterior b y longitud c b − a, llenando el espacio entre placas con un dieléctrico de constante ε. Posteriormente este espacio se llena de un conductor de conductividad σ0 formando de esta manera un conductor. Determine la relación existente entre la capacidad del condensador y la resistencia del tubo de corriente.
- 322. 304 8-9. Sean dos placas conductoras ideales, planas y paralelas, de área A, separadas por un espacio de espesor x = a, la mitad del cual, con un espesor de a/2, está ocupado por una lámina de conductividad σ1 y la otra mitad por otra de conductividad σ2. Halle: a) La resistencia. b) La carga de conducción depositada en las interfacies de los conductores, en función de la diferencia de potencial aplicada. La constante dieléctrica de todos los medios es igual a la del vacı́o . 8-10. Halle el valor de una resistencia cuyos terminales, conductores ideales, son cı́lı́ndricos y concéntricos, de radios a y b y longitud c. El espacio entre los termi- nales está lleno de dos medios de conductividad σ1 y σ2 y que ocupan respectiva- mente a uno de los dos hemicilindros separados por un plano que pasa por el eje de la resistencia. 8-11. Demuestre que la resistencia entre dos lados opuestos de una lámina cuadrada conductora es independiente de la longitud de su lado. Solución: Sea a la longitud de los lados del cuadrado y e el espesor de la lámina. Dada la simetrı́a del problema, véase la figura 8.18 ~ E = V a b x ⇒ j = σ V a e integrando sobre la sección a × e I = σ e V ⇒ R = 1 σ e x σ E e a a V=V V=0 Figura 8.18: 8-12. Un electrodo semiesférico, de muy alta conductividad, se introduce en la Tierra (conductor pobre). Determine la resistencia del sistema si fluye una corriente I desde el electrodo a la Tierra. Discuta que sucederı́a si una persona que tenga un
- 323. 305 calzado no aislante se aproxima al electrodo. Suponga que la conductividad de la Tierra es σ = 10−2 S · m−1, que la corriente que entra al electrodo es 1000 A , que uno de los pies está a una distancia de 1 m del electrodo y que la distancia entre ambos pies es de 0,75 m. ¿ A qué tensión se verá sometida dicha persona? Calcule el campo eléctrico sobre la superficie de la Tierra. 8-13. Dos electrodos semiesféricos de radio a se introducen en la Tierra separados una distancia d, siendo d À a. Calcule la resistencia entre ambos electrodos. Considere para la Tierra el valor de σ dado en el problema anterior. 8-14. Dada la baterı́a de la figura 8.19, con fuerza electromotriz V0 y resistencia interna R0, halle cual es el valor de la resistencia externa R a la que suministrarı́a un máximo de potencia ¿ Cuál es el valor de este máximo?. - R R0 V 0 + Figura 8.19: 8-15. El circuito de la figura 8.20 representa a un Puente de resistencias. Halle: a) La condición de equilibrio del puente (relación entre las resistencias para la cual V = 0). b) Relación entre V y las pequeñas desviaciones de R1 de su valor de equilibrio. Esta configuración puede servir para estimar las desviaciones de su valor inicial de una resistencia al variar su temperatura, para comparar resistencias nominalmente iguales, etc. Solución: La figura 8.20 representa al puente de resistencias. El voltı́metro que mide la diferencia de potencial V entre los nudos a y b se supone ideal por lo que por la rama correspondiente no circula intensidad. a) Cada una de las ramas 1 − 2 y 3 − 4 constituye un divisor de tensión, tal que, en particular Va = V0 R2 R1 + R2 y V = Vb − Va = V0 µ R4 R3 + R4 − R2 R1 + R2 ¶
- 324. 306 + - I + V V0 a b R 1 R R R 2 3 4 1 - Figura 8.20: La condición de equilibrio es, por lo tanto R2 R1 = R4 R3 = E b) Si R1 se desvia de su valor de equilibrio y toma el valor R 0 1 = R1 + δR , α = δR R1 ¿ 1 V = V0 µ E 1 + E − E 1 + E + α ¶ Multiplicando y dividiendo el segundo miembro del paréntesis por 1 + E − α y despreciando el término α2, se tiene que V = V0 (1 + E)2 α 8-16. Doce resistencias R = 1 Ω están conectadas formando las aristas de un cubo y entre dos vértices opuestos se conecta una baterı́a de tensión V0 = 1 V . a) La intensidad total que circula por el circuito y la resistencia total del mismo. b) La energı́a transformada en calor durante una hora en todo el circuito y en cada una de las resistencias Solución: Resolveremos la cuestión (a) analizando las simetrı́as del circuito. En la figura 8.21 se representa a las resistencias como segmentos rec- tos. Éstas se dividen en dos grupos: las correspondientes a los trazos continuos y las representadas por trazos discontinuos. Las primeras se reparten por igual la intensidad total I y las segundas se reparten por la mitad la intensidad que circula por las primeras. Según esto, por el tramo a−b y c−d circula una intensidad I 3 y por el b−c la intensidad I 6 .
- 325. 307 0 I/3 I/6 I I/3 a d c b + - V Figura 8.21: Siguiendo el camino a → b → c → d, tenemos que V0 = Vab + Vbc + Vcd = 5 6 I R ⇒ I = 6 5 V0 R 8-17. Dos baterı́as de fuerzas electromotrices E1 y E2 y resistencias internas R1 y R2, se conectan en serie y posteriormente en paralelo. Halle el generador equivalente Thevenin correspondiente a cada una de éstas configuraciones. El equivalente Thevenin de un circuito, visto desde dos nudos cua- lesquiera del mismo, es un generador, de fuerza electromotriz ET y resistencia interna RT , tal que, si colocamos entre sus bornas una resistencia arbitraria, por ella circulará la misma intensidad que la que circuları́a si fuese conectada entre los citados nudos del cir- cuito.
- 326. 308
- 327. Capı́tulo 9 Ecuaciones de Maxwell para medios materiales. Consecuencias 9.1. Ecuaciones de Maxwell Como resumen del capı́tulo anterior, agrupando las fuentes escalares y vectoriales que se han ido obteniendo para la descripción macroscópica de los campos y teniendo en cuenta las definiciones de ~ D y ~ H ~ D = ε0 ~ E + ~ P (9.1a) ~ H = ~ B µ0 − ~ M (9.1b) podemos escribir las ecuaciones de Maxwell en su forma general ∇ · ~ D = ρ (9.2a) ∇ ∧ ~ E = − ∂ ~ B ∂t (9.2b) ∇ · ~ B = 0 (9.2c) ∇ ∧ ~ H = ~ j + ∂ ~ D ∂t (9.2d) Como ya hemos visto, las ecuaciones 9.2d y 9.2a llevan implı́cito el cumplimiento de la ecuación de continuidad para la carga de conducción. ∇ ·~ j + ∂ρ ∂t = 0 (9.3) 309
- 328. 310 Ecuaciones para medios de clase A : Para completar la descripción del campo electromagnético era necesario conocer las ecuaciones constitutivas que definen la relación de los vectores ~ D, ~ H, ó ~ P, ~ M y ~ j, en función de los campos fundamentales ~ E y ~ B y, también, de otras variables como ~ r, t, etc. En el caso más sencillo, el de los medios de clase A 1, ~ D = ε ~ E , ~ B = µ ~ H , ~ j = σ ~ E (9.4) por lo que las ecuaciones 9.2 pueden expresarse en función de ~ E y ~ H ∇ · ~ E = ρ ε (9.5a) ∇ ∧ ~ E = −µ ∂ ~ H ∂t (9.5b) ∇ · ~ H = 0 (9.5c) ∇ ∧ ~ H = σ ~ E + ε ∂ ~ E ∂t (9.5d) donde debe tenerse en cuenta que la ecuación 9.5c sólo es válida en el interior de un medio homogéneo. Esta versión es de una gran utilidad puesto que es aplicable con suficiente aproxi- mación a una gran parte de los problemas de interés práctico. Ecuaciones en el dominio de la frecuencia: Las ecuaciones anteriores se simplifican considerablemente si nos limitamos a la búsqueda de soluciones armónicas 2 complejas del tipo ψ(~ r, t) = ψ0(~ r) ejω t (9.6) donde ψ representa a cualquiera de las componentes de los campos, j es la unidad imaginaria y ψ0(~ r) es, en general, una función compleja (con parte real e imaginaria). en cuyo caso ∂ ψ(~ r, t) ∂ t = jω ψ(~ r, t) ⇒ ∂ ∂ t → jω (9.7) las derivadas temporales se substituyen por factores algebráicos. Las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia son ∇ · ~ E = ρ ε (9.8a) 1 Para un tratamiento algo más amplio de otro tipo de materiales , véase el segundo tomo. 2 El análisis de Fourier permite construir las soluciones en el dominio del tiempo mediante la super- posición de soluciones armónicas.
- 329. 311 ∇ ∧ ~ E = −jω µ ~ H (9.8b) ∇ · ~ H = 0 (9.8c) ∇ ∧ ~ H = (σ + jω ε ) ~ E (9.8d) Estas ecuaciones son válidas para medios de clase A, entendiendo por tales aquellos en los que ε, µ y σ son constantes, aunque pueden utilizarse para medios homogéneos a trozos si se hace uso de unas condiciones de continuidad adecuadas. Tambien pueden generalizarse a medios anisótropos, no lineales y dispersivos, pero no trataremos estos casos en este texto. En particular, los medios dispersivos pueden tratarse en el dominio de la frecuencia definiendo a las constantes de los mismos como funciones de la frecuencia ε(ω), µ(ω) y σ(ω) . Más adelante trataremos el problema de la unicidad de la solución con condiciones de contorno. Nos basta por ahora con apuntar que un problema electromagnético cor- rectamente especificado tiene solución única pero que, en general, para poder especificar las fuentes es necesario el conocimiento previo de los campos. 9.1.1. Condiciones de continuidad Antes de abordar el problema de contorno propiamente dicho, veremos cómo se aplican las ecuaciones de Maxwell en las zonas donde las propiedades de los medios son discontinuas. Buscaremos las reglas de conexión entre los campos a ambos lados de la superficie de separación de dos medios con propiedades distintas. Puesto que se trata de generalizar lo tratado en la sección 8.3, no repetiremos las consideraciones que se hicieron allı́ con cierto detalle. Supongamos que la interfaz entre ambos medios puede ser representada por una superficie suave SI y que, además, se cumplen otras condiciones que describiremos con ayuda de la figura 9.1 3. Esta representa a un volumen macroscópico constituido por una caja de pastillas cuyas bases son planas, paralelas y equidistantes a SI y de un área ∆S lo bastante pequeña como para que la sección correspondiente de SI, sombreada en la figura, pueda considerarse como plana. La altura del cilindro es h y se supone que, manteniéndose en el dominio macroscópico, puede tomarse tan pequeña como sea necesario para hacerla despreciable frente al radio a de la caja. El vector normal a SI, en la dirección hacia afuera del medio (1), es ~ n1 y ~ n2 = −~ n1 es el vector normal en el sentido hacia afuera del medio (2). Los campos sobre la superficie, en cada uno de los medios, son ~ F1 y ~ F2. La variación espacial de los campos se supone suave, salvo en las inmediaciones de la interfaz donde éstos varı́an de forma continua pero brusca. En las superficies superior e inferior de la caja, dichos campos pueden aproximarse como uniformes y sus derivadas temporales tomarse como finitas en todo el volumen. 3 El que estas condiciones se cumplan en una situación determinada depende de la propia geometrı́a de la superficie, de la dimensiones caracterı́sticas de la onda, la longtud de onda en el caso monocromático, y de la resolución de los aparatos de medida. Por ejemplo, el vidrio pulido cumple estas condiciones en el dominio del visible y el esmerilado no las cumple. Tampoco se cumplen para sistemas en los que la resolución espacial empleada sea comparable a las dimensiones moleculares.
- 330. 312 En cuanto a las densidades de carga y corriente ρ y ~ se suponen finitas salvo en SI, donde deben ser representadas por densidades superficiales finitas ρs y ~ s. Al igual que los campos, se considera que estas magnitudes varı́an lentamente de forma que en la parte superior de la caja, en la inferior o en SI, según el caso, pueden tomarse como uniformes. I F F n superficie lateral base inferior S ∆ 2 n 1 2 1 h/2 h/2 ρ , j s s base superior Medio Medio 1 2 S a Figura 9.1: Condiciones de continuidad Las ecuaciones 9.2 y 9.3 pueden ser expresadas en forma integral haciendo uso de los teoremas de Gauss Z V ∇ · ~ F dv = I S ~ F · ~ n ds (9.9) el de Stokes, o la generalización del primero Z V ∇ ∧ ~ F dv = I S ~ n ∧ ~ F ds (9.10) donde V es el volumen de integración, S la superficie que lo envuelve y ~ n la normal hacia afuera del volumen en cuestión. Aunque estos teoremas sólo son válidos cuando se aplican a regiones continuas, las precisiones apuntadas al principio permiten integrar sobre el volumen de la caja y considerar a la interfaz como matemáticamente continua. Escribiendo ∇ · ~ F = D y a la densidad superficial correspondiente como Ds, la aplicación de 9.9 a la caja puede expresarse de la forma Z V D dv = I bases+lateral ~ F · ~ n ds Con las aproximaciones ya descritas en 8.3, y admitiendo la posibilidad de densidades superficiales Ds, ∆S ~ F2 · ~ n1 | {z } (a) + ∆S ~ F1 · ~ n2 | {z } (b) + Slat Fnm | {z } (c) ' Ds ∆S | {z } (d) + h 2 ∆S D1 | {z } (e) + h 2 ∆S D2 | {z } (f)
- 331. 313 Los términos (a) y (b) son las contribuciones al flujo a través de la base superior e inferior, respectivamente; el término (c) es la contribución al flujo de la superficie lateral del cilindro Slat (c) = Z Slat ~ F · d~ slat ' Slat Fnm = 2π a h Fnm Fnm es un valor intermedio entre los valores extremos de la componente normal del campo a la superficie lateral. (Se ha hecho uso del teorema del valor intermedio de las integrales definidas). El término (d) representa a la totalidad de fuentes escalares en la superficie y los término (e) y (f) son las contribuciones de las densidades de volumen a ambos lados de la interfaz. Si ahora nos acercamos a la superficie haciendo que h ¿ a, es decir, haciendo que la altura del cilindro sea muy inferior al radio del mismo, podemos despreciar las contribuciones (c), (e) y (f), que son proporcionales a h, frente a las (a), (b) y (d) que permanecen constantes en este proceso de lı́mite. Luego ∆S (~ F2 · ~ n1 + ~ F1 · ~ n2) ' Ds ∆S y, teniendo en cuenta que ~ n2 = −~ n1, ~ n1 · (~ F2 − ~ F1) = Ds (9.11) Las componentes normales de los campos sufren una discontinuidad de magnitud igual a la densidad superficial de fuentes escalares. De forma análoga, partiendo de 9.10 y anotando la densidad superficial del rotacional como ~ Rs, se tiene que ~ n1 ∧ (~ F2 − ~ F1) = ~ Rs (9.12) De acuerdo con 9.11, 9.2a y 9.2c, las condiciones de frontera para las componentes normales son ~ n1 · ( ~ D2 − ~ D1) = ρs (9.13a) ~ n1 · ( ~ B2 − ~ B1) = 0 (9.13b) La componente normal de ~ D es discontinua si ρs 6= 0, la de ~ B es incondicionalmente continua. Por lo que respecta a las condiciones sobre las componentes tangenciales, es necesario tener en cuenta que, mientras que la carga superficial se acumula en capas de dimensión microscópica en la superficie de los conductores, por lo que es ineludible la previsión de posibles ρs 6= 0 a escala macroscópica, las derivadas temporales de los campos son finitas en las interfacies y no contribuyen con términos superficiales. Tampoco es nece- sario considerar densidades de corriente superficiales, salvo que alguno de los medios se considere como conductor perfecto. Como se desprende de lo anterior, si z es la direc- ción normal a la superficie y jt y Et son las componentes tangenciales de la densidad
- 332. 314 de corriente y del campo eléctrico, js = lı́mh→0 R h/2 −h/2 jt dz = σ lı́mh→0 R h/2 −h/2 Et dz = 0 si σ y ~ Et son finitos . Dichas condiciones se deducen de 9.12, 9.2b y 9.2d ~ n1 ∧ ( ~ E2 − ~ E1) = 0 (9.14a) ~ n1 ∧ ( ~ H2 − ~ H1) = ~ s (9.14b) y se traducen en la continuidad incondicional de la componente tangencial de ~ E y la discontinuidad de la de ~ H si ~ s 6= 0. Aunque para conectar las soluciones de las ecuaciones de Maxwell bastan estas cuatro condiciones, más las ecuaciones constitutivas, dado que las ecuaciones de Maxwell son de primer orden, podemos obtener otras condiciones de contorno para ~ P, ~ M y ~ H, teniendo en cuenta que ∇ · ~ P = −ρp , ∇ · ~ M = −ρM , ∇ ∧ ~ M = −~ jM , ∇ · ~ H = ρM De la ecuación de continuidad 9.3, obtenemos ~ n1 · (~ j2 −~ j1) = − ∂ρs ∂t (9.15) Luego la componente normal de ~ j es discontinua en la superficie cuando sobre la misma tiene lugar una acumulación superficial de carga que depende del tiempo. 9.1.1.1. Refracción de las lı́neas de campo y corriente Supongamos que los dos medios representados en la figura 9.2 son de clase A. Para medios no conductores con ρs = 0 y ~ js = 0. Medio 2 Medio 1 n1 F F 2 1 θ 1 θ 2 Figura 9.2:
- 333. 315 De 9.13a se obtiene D2 cos θ2 = D1 cos θ1 , ε2 E2 cos θ2 = ε1 E1 cos θ1 De 9.14a E2 sen θ2 = E1 sen θ1 (9.16) Luego, para las lı́neas de ~ E y ~ D, ~ E y ~ D, tan θ1 = ε1 ε2 tan θ2, (no conductores) (9.17) De forma similar, para las lı́neas de ~ B y ~ H, ~ B y ~ H, tan θ1 = µ1 µ2 tan θ2, (no conductores) (9.18) La ley de refracción de lı́neas de corriente, en conductores, puede obtenerse de 9.15 suponiendo ∂ρs ∂t = 0 j2 cos θ2 = j1 cos θ1 y de 9.16 E2 sen θ2 = E1 sen θ1 , j2 σ2 sen θ2 = j1 σ1 sen θ1 luego ~ E y ~ , tan θ1 = σ1 σ2 tan θ2, (conductores) (9.19) Para medios conductores esta ecuación gobierna también la refracción de las lı́neas de campo eléctrico. En este último caso, como es fácil comprobar, ρs 6= 0. Medio 2 Medio 1 θ 2 µ2 µ2 µ1 θ 2 θ 1 Figura 9.3: Como se muestra en la figura 9.3, el ángulo θ es tanto mayor cuanto mayor es ε, µ ó σ, por lo que los campos pueden ser confinados por medios en los que ε1, µ1 ó σ1 son mucho mayores que ε2, µ2 ó σ2, respectivamente.
- 334. 316 En la práctica, la constante dieléctrica relativa no puede ser inferior a la unidad ni superior a varias decenas, lo que hace que los dieléctricos sólo puedan confinar parcial- mente al campo eléctrico. Ciertos materiales magnéticos de alta permeabilidad pueden confinar al campo magnético con gran eficiencia. Por último, puesto que la conduc- tividad de un medio puede tomar valores diferentes que difieren en muchos órdenes de magnitud, el confinamiento de las lı́neas de corriente en el interior de un buen conductor puede ser prácticamente total. Nótese que en el lı́mite de confinamiento total, las lı́neas de campo en el medio (2) se hacen perpendiculares a la superficie del medio y, en el medio (1), tangentes a la misma. 9.1.2. Condiciones de contorno Según el teorema de Helmholtz, sección 1.2, en cuyas condiciones entra perfecta- mente el campo electromagnético, un campo ~ F puede derivarse de dos potenciales, uno escalar, f, y otro vectorial, ~ g. ~ F = −∇f + ∇ ∧ ~ g (9.20) y queda unı́vocamente determinado si se especifican las fuentes escalares y vectoriales D = ∇ · ~ F y ~ R = ∇ ∧ ~ F (9.21) en todo el espacio. S V D, R Figura 9.4: Normalmente sólo puede aspirarse al conocimiento de las fuentes en un volumen finito V. Veremos que es posible seguir asegurando la unicidad del campo si substituimos las fuentes externas a V por unas condiciones de contorno apropiadas en la superficie S que envuelve a V, como puede verse en la figura 9.4 [Portis].
- 335. 317 9.1.2.1. Teorema de unicidad para campos irrotacionales Un campo irrotacional en V cumple ∇ · ~ F = D ∇ ∧ ~ F = 0 ~ F = −∇ f , ∇2 f = −D (9.22) Luego el campo deriva de un potencial escalar que cumple la ecuación de Poisson. Sean f1(x, y, z) y f2(x, y, z) dos soluciones de la ecuación de potencial ∇2 f1 = ∇2 f2 = −D ⇒ ~ F1 = −∇f1 , ~ F2 = −∇f2 en todos los puntos ~ r ∈ V. Si formamos el vector ~ η = (f1 − f2)(~ F1 − ~ F2) e integramos su divergencia sobre V Z V ∇ · ~ η dv = Z V (f1 − f2) ∇ · (~ F1 − ~ F2) | {z } =0 −|~ F1 − ~ F2|2 dv de donde se ha eliminado el primer término del segundo miembro porque ∇ · ~ F1 = ∇ · ~ F2 = D. Haciendo uso del teorema de la divergencia − Z V |~ F1 − ~ F2|2 dv = Z S ~ η · ~ n ds Para que la solución sea única, es decir, para que ~ F1 = ~ F2, en todo el volumen de interés V, es suficiente que ~ η · ~ n = 0 en toda la superficie S del contorno: [~ η · ~ n]S = h (f1 − f2)(~ F1 − ~ F2) · ~ n i S = 0 (9.23) Esto se consigue, como se deduce de la expresión anterior, fijando los siguientes tipos de condiciones de contorno: a) condiciones de Dirichlet. Estas condiciones consisten en la fijación del potencial f en S [f]S = fS (9.24) Con esta condición se obtiene la unicidad no sólo del campo sino también del po- tencial. b) condiciones de Neumann. En este caso se especifica la componente normal del campo en S [~ F · ~ n]S = [Fn]S = FnS (9.25) Bajo estas condiciones, ~ F queda determinado unı́vocamente mientras que el poten- cial está indeterminado en una constante arbitraria. c) condiciones mezcladas. Consisten en la fijación del potencial en parte de la su- perficie y en la de la componente normal del campo en el resto de la misma.
- 336. 318 9.1.2.2. Teorema de unicidad para campos solenoidales Para campos solenoidales no conservativos, ∇ · ~ F = 0 ∇ ∧ ~ F = ~ R ⇒ ~ F = ∇ ∧ ~ g ∇ ∧ (∇ ∧ ~ g) = ~ R (9.26) Si ahora construimos el vector ~ ν = (~ g1 − ~ g2) ∧ (~ F1 − ~ F2) donde ∇ ∧ (∇ ∧ ~ g1) = ∇ ∧ (∇ ∧ ~ g2) = ~ R y ~ F1 = ∇ ∧ ~ g1, ~ F2 = ∇ ∧ ~ g2, e integramos su divergencia sobre V Z V ∇ · ~ ν dv = Z V (~ F1 − ~ F2) · ∇ ∧ (~ g1 − ~ g2) − (~ g1 − ~ g2) · ∇ ∧ (~ F1 − ~ F2) | {z } =0 dv El segundo término se ha eliminado porque ∇ ∧ ~ F1 = ∇ ∧ ~ F2 = ~ R por lo que, haciendo uso del teorema de la divergencia, Z V |~ F1 − ~ F2|2 dv = Z S h (~ g1 − ~ g2) ∧ (~ F1 − ~ F2) i · ~ n dS Luego, dado que ~ n · (~ g ∧ ~ F) = ~ g · (~ F ∧ ~ n) = ~ F · (~ n ∧ ~ g),para obtener la unicidad de la solución, ~ F = ~ F1 = ~ F2 en todo el volumen, basta con especificar en la superficie la componente tangencial del potencial vector, condición que serı́a análoga a la de Dirichlet para campos conservativos, o la componente tangencial del propio campo. [~ g ∧ ~ n]S = gτS ó h ~ F ∧ ~ n i S = FτS (9.27) También cabe mezclar ambos tipos de condiciones. 9.1.2.3. Teorema de unicidad en el caso general Tenemos ahora ∇ · ~ F = D ∇ ∧ ~ F = ~ R ⇒ ~ F = −∇f + ∇ ∧ ~ g (9.28) Supongamos que ~ F1 y ~ F2 son dos soluciones distintas de las ecuaciones anteriores, para unas distribuciones D(~ r) y ~ R(~ r) especificadas dentro de V. Construyendo el vector ~ ξ = (f1 − f2)(~ F1 − ~ F2) + (~ F1 − ~ F2) ∧ (~ g1 − ~ g2)
- 337. 319 y procediendo como en casos anteriores, Z V ∇ · ~ ξ dv = −2 Z V |~ F1 − ~ F2|2 dv = Z S ~ ξ · ~ n dS Por lo que la condición de unicidad es ahora [~ ξ · ~ n]S = 0 (9.29) Condición que se llena especificando ~ F en la superficie o bien especificando al mismo tiempo el potencial escalar f y la componente tangencial del potencial vector. Vemos que en el cálculo del campo, dentro de un volumen V, podemos ignorar las fuentes externas al mismo si tenemos una información adecuada del campo o de los potenciales en la superficie S que limita a V. 9.2. Energı́a electromagnética en medios materiales Los balances energéticos para los campos electromagnéticos en presencia de medios materiales pueden presentar aspectos complejos porque los mecanismos de disipación y almacenamiento de energı́a son muy diversos [Gómez, Jackson, Panofsky y Phillips, Stratton]. Aquı́ sólo abordaremos los fundamentos de este problema, los cuales pueden tratarse con un formalismo análogo al empleado para el campo en el vacı́o. No obstante, es necesario precisar que, en el caso que nos ocupa, el tratamiento que se lleva a cabo es de tipo macroscópico y diferencia entre cargas y corrientes de conducción y cargas y corrientes de polarización. En la sección 4.1, interpretábamos el término ~ jT · ~ E como el trabajo que, por unidad de volumen y unidad de tiempo, realizan los campos sobre todas las cargas. Anteriormente hemos desglosado la corriente total ~ T , de acuerdo con 6.33, en corrientes de conducción ~ , de polarización dieléctrica ~ P y de polarización magnética ~ M . ~ T = ~ + ~ P + ~ M (9.30) por lo que, de acuerdo con esta notación, ~ j · ~ E es solamente la potencia cedida por los campos a la unidad de volumen de cargas de conducción, siendo necesario tener en cuenta que los campos también trabajan para polarizar eléctrica y magnéticamente al medio. También debemos mencionar que las cargas no sólo pueden moverse bajo la acción de un campo eléctrico macroscópico derivable de las ecuaciones de Maxwell, sino que fuerzas mecánicas, de difusión, quı́micas, etc., pueden jugar el mismo papel. Supondremos aquı́ que, además del campo clásico ~ E que se describe en las ecuaciones de Maxwell, existen campos ~ E 0 equivalentes, o electromotores, no incluidos en dichas ecuaciones, por lo que el campo total que mueve a las cargas es ~ ET = ~ E + ~ E 0 (9.31) Podemos obtener una ecuación de continuidad macroscópica para la energı́a, con- siderando el producto ~ j · ~ ET = ~ j · ( ~ E + ~ E 0 )
- 338. 320 que formalmente aparece como la energı́a que, por unidad de tiempo y de volumen, transmite el campo total a las cargas de conducción. Sin embargo, no es posible inferir directamente que ésto es ası́ porque las magnitudes que intervienen en el producto son macroscópicas y las relaciones de fuerza macroscópicas no son tan simples como en el caso de sistemas de cargas en el vacı́o. Más adelante abordaremos parcialmente este pro- blema. Por ahora, indicaremos que una carga macroscópica Q inserta en un dieléctrico, está siempre acompañada de una carga de polarización Qp que la apantalla. La expresión macroscópica ~ F(~ r) = Q ~ E(~ r) representa a la fuerza sobre la carga total en ese punto, Q + Qp, y no a la fuerza sobre Q. Siguiendo pasos análogos a los empleados en 4.1, teniendo en cuenta que ~ j = ∇ ∧ ~ H − ∂ ~ D ∂t se obtiene una versión macroscópica del teorema de Poynting, o ley de conservación de la energı́a electromagnética ∇ · ~ P + ∂ωem ∂t = ~ j · ~ E 0 −~ j · ~ ET (9.32) donde se ha extendido a los medios materiales la definición del vector de Poynting ~ P ≡ ~ E ∧ ~ H (9.33) y la de la variación temporal de la densidad de energı́a electromagnética. ∂ωem ∂t = ~ E · ∂ ~ D ∂t + ~ H · ∂ ~ B ∂t (9.34) Si los medios son lineales, podemos escribir, análogamente a lo escrito para el vacı́o, ωem = 1 2 ~ E · ~ D + 1 2 ~ H · ~ B (9.35) donde ωem juega el papel de densidad de energı́a asociada al establecimiento de un campo en el entorno de ~ r. Además, ~ = σ ET , por lo que ~ j · ~ E 0 = ∇ · ~ P + ∂ωem ∂t + j2 σ (9.36) Podemos interpretar esta ecuación de forma análoga a la empleada para interpretar en el vacı́o, tanto en esta versión local como en la correspondiente de tipo integral. No obstante, como ya hemos apuntado, en este caso la asignación de cada término a un cierto proceso no es ta clara como en aquel caso. Podrı́amos decir que: La potencia cedida por los campos electromotores ~ E 0 a la carga de conducción por unidad de volumen, puede emplearse en trasvasar energı́a al exterior de dicho volumen, por medio del vector de Poynting ~ P, en aumentar la energı́a almacenada en su interior y en calentar al medio en virtud del efecto Joule.
- 339. 321 9.2.1. Energı́a consumida en recorrer un ciclo de histéresis En este caso, el medio es no lineal, por lo que debemos hacer uso de la definición 9.34 de ∂ωm ∂t . Consideremos una transformación elemental de duración δ t, a lo largo de la cual se produce un incremento de la densidad de energı́a δ ωm gastada en dicha transformación. ∂ωm ∂t = ~ H · ∂ ~ B ∂t Si, como se muestra en la figura 9.5, describimos lentamente un ciclo de histéresis en un material ferromagnético, al recorrer el ciclo desde A hasta A, WAA = Z A A ~ H · δ ~ B = SHB = C Br HC , C ∼ 1 se pierde una energı́a, por unidad de volumen, igual al área del ciclo de histéresis SHB. S ΗΒ H B A B H B δ δ Figura 9.5: E 9.2.2. Energı́a de un sistema de cargas y corrientes de conducción estacionarias Las expresiones obtenidas en la sección 4.1.1 no son aplicables a medios materiales de tipo general pero si son fácilmente extensibles a medios de clase A. Sólo es necesario substituir ~ B/µ0 por ~ H y ε0 ~ E por ~ D. Ası́, pues, para campos electromagnéticos estáticos, Wem = 1 2 Z v→∞ ( ~ E · ~ D + ~ H · ~ B) dv = 1 2 Z v0 (ρ V +~ j · ~ A) dv (9.37) donde en este caso, las densidades corresponden a las cargas de conducción. Un caso particular interesante, es el correspondiente a un conjunto de N conductores cargados con cargas Qi, depositadas sobre sus superficies Si a potenciales Vi, y M
- 340. 322 espiras Lj recorridas por intensidades Ij. Dado que en cada conductor (espira), Vi = cte (Ij = cte), 9.37 toma la forma Wem = 1 2 N X i=1 Qi Vi + 1 2 M X j=1 Ij Φj (9.38) 9.3. Ecuaciones de onda en medios materiales Los medios materiales responden al paso de una onda electromagnética creando en su seno unas polarizaciones y corrientes oscilantes que absorben y vuelven a radiar parte de la energı́a incidente. Esta rerradiación sincronizada modifica a la onda incidente pudiendo incluso anular su carácter propagativo. Para obtener una ecuación de onda para los campos en medios de clase A, tendremos en cuenta que ∇ · ~ E = ρ ε y ∇ ∧ ~ B = µ Ã ~ j + ∂ ~ D ∂t ! y desglosaremos la densidad de corriente en dos términos ~ j = σ ~ E +~ j 0 (9.39) donde ~ j 0, además de incluir a las corrientes debidas a campos no maxwellianos, puede tener en cuenta también a corrientes maxwellianas a las que interese considerar como fuentes. Esta última opción suele adoptarse en el estudio de antenas emisoras. Procediendo como en el capı́tulo 4.2 ∇ ∧ (∇ ∧ ~ E) = ∇(∇ · ~ E) − ∇2 ~ E = −∇ ∧ Ã ∂ ~ B ∂t ! = − ∂ ∂t ∇ ∧ ~ B y substituyendo en ésta las expresiones anteriores, tenemos que ∇2 ~ E − µε ∂2 ~ E ∂t2 = 1 ε ∇ρ + µ ∂~ j ∂t (9.40a) ∇2 ~ E − µσ ∂ ~ E ∂t − µε ∂2 ~ E ∂t2 = 1 ε ∇ρ + µ ∂~ j 0 ∂t (9.40b) De forma análoga ∇2 ~ B − ∇(∇ · ~ B | {z } =0 ) = −µ ∇ ∧ Ã ~ j + ε ∂ ~ E ∂t ! luego ∇2 ~ B − µε ∂2 ~ B ∂t2 = −µ ∇ ∧~ j (9.41a)
- 341. 323 ∇2 ~ B − µσ ∂ ~ B ∂t − µε ∂2 ~ B ∂t2 = −µ ∇ ∧~ j 0 (9.41b) Este mismo tipo de ecuaciones puede obtenerse para los potenciales. Bajo las mismas condiciones anteriores ∇ · ~ E = ρ ε ⇒ ∇ · Ã −∇V − ∂ ~ A ∂t ! = ρ ε = −∇2 V − ∂ ∂t ∇ · ~ A o, de otra forma, ∇2 V + ∂ ∂t ∇ · ~ A = − ρ ε (9.42) y de ∇ ∧ (∇ ∧ ~ A) = ∇ ∧ ~ B = µ Ã ~ j + ε ∂ ~ E ∂t ! = µ~ j − µε ∇ · ∂V ∂t − µε ∂2 ~ A ∂t2 = ∇(∇ · ~ A) − ∇2 ~ A lo que puede escribirse como ∇2 ~ A − ∇ µ ∇ · ~ A + µε ∂V ∂t ¶ − µε ∂2 ~ A ∂t2 = µ~ j (9.43) Las ecuaciones 9.42 y 9.43 pueden desacoplarse si hacemos uso una versión macroscópica de la condición de Lorenz, extensión directa de la del vacı́o, ∇ · ~ A + µε ∂V ∂t = 0 (9.44) con lo que se obtienen unas ecuaciones de onda que también son análogas a las del vacı́o ∇2 V − µε ∂2V ∂t2 = − ρ ε (9.45a) ∇2 ~ A − µε ∂2 ~ A ∂t2 = −µ~ j (9.45b) pero en las que las cargas y corrientes del segundo miembro no son las totales sino sólo las de conducción. Si en 9.43 hacemos µ~ j = µ~ j 0 + µσ ~ E = µ~ j 0 − µσ ∇V − µσ ∂ ~ A ∂t podemos desacoplar de nuevo las ecuaciones 9.42 y 9.43, modificando la condición de Lorenz de la forma ∇ · ~ A + µσ V + µε ∂V ∂t = 0 (9.46) condición que, como la 9.44, puede demostrarse que es compatible con las transforma- ciones de contraste.
- 342. 324 De esta forma ∇2 V − µσ ∂V ∂t − µε ∂2V ∂t2 = − ρ ε (9.47a) ∇2 ~ A − µσ ∂ ~ A ∂t − µε ∂2 ~ A ∂t2 = −µ~ j 0 (9.47b) Hemos obtenido para cada una de las componentes cartesianas de los campos y del potencial vector, ası́ como para el potencial escalar, ecuaciones análogas de onda, lo que no deja de ser interesante y curioso al mismo tiempo. Disponemos además de dos versiones equivalentes que, sin embargo, presentan notables diferencias en su estructura. La primera ∇2 Ψ1 − 1 v2 ∂2Ψ1 ∂t2 = −f1(~ r, t) , v = 1 √ µε (9.48) admite, como ya hemos visto, soluciones integrales retardadas Ψ1(~ r, t) = 1 4π Z v0 [f1(~ r 0)] R dv0 (9.49) Expresión en la que hemos empleado la notación comúnmente aceptada, [f1(~ r 0 )] = f1 µ ~ r 0 , t − R v ¶ para las fuentes retardadas, evaluadas en τ = t − R v . La segunda versión, que suele ser más útil para el estudio de la propagación en medios con conductividad finita, porque no hace necesario considerar como fuentes a todas las corrientes de conducción, tiene la forma general ∇2 Ψ2 − µσ ∂Ψ2 ∂t − µε ∂2Ψ2 ∂t2 = −f2(~ r, t) (9.50) ecuación en la que, además del término propagativo, correspondiente a la derivada segunda temporal, aparece un término disipativo, o de difusión, asociado a la derivada primera. Si repasamos la deducción de estas ecuaciones veremos que la preponderancia del término propagativo o difusivo en la ecuación de onda está relacionada con la impor- tancia relativa de las corrientes de desplazamiento, ~ jD = ε ∂ ~ E ∂t , y de la corriente de conducción óhmica ~ j = σ ~ E. 9.3.1. Ondas monocromáticas y monocromáticas planas Supondremos que en el medio no hay fuentes. La ecuación de onda para cualquier componente de los campos serı́a ∇2 Ψ − µσ ∂Ψ ∂t − µε ∂2Ψ ∂t2 = 0 (9.51)
- 343. 325 Ondas monocromáticas : Podemos buscar soluciones monocromáticas (véase el apéndice L) de tipo complejo Ψω(~ r, t) = Ψω(~ r) ejωt = Ψ0(~ r) ej(ωt+ϕ) (9.52) donde Ψ0(~ r) es una función real y Ψ(~ r) = Ψ0(~ r) ejϕ es un fasor independiente del tiempo. Recordemos que si Ψω(~ r, t) es una solución de la ecuación de onda ΨRω(~ r, t) ≡ (Ψω(~ r, t)) = Ψ0(~ r) cos (ωt + ϕ) también lo es. Este tipo de soluciones recibe el nombre de monocromático, ya que la luz de color muy puro corresponde a una onda electromagnética de frecuencia prácticamente definida. También podemos expresar cualquier solución que sea de cuadrado sumable como superposición de ondas monocromáticas mediante el uso de la transformada de Fourier Ψ(~ r, t) = Z +∞ −∞ Ψω(~ r) ejωt dω (9.53a) Ψω(~ r) = 1 4π Z +∞ −∞ Ψ(~ r, t) e−jωt dt (9.53b) La primera es la transformada Inversa y la segunda la Directa. Para soluciones Ψ(~ r, t) reales, pueden ser expresadas en función de frecuencias positi- vas. Efectivamente, si Ψ(~ r, t) = Ψcc(~ r, t), es decir, si Ψ es igual a su complejo conjugado, Ψcc ω (~ r) = Ψ−ω(~ r), luego Ψ(~ r, t) = Z 0 −∞ Ψω(~ r) ejωt dω + Z ∞ 0 Ψω(~ r) ejωt dω y cambiando ω por −ω en la primera integral Ψ(~ r, t) = − Z 0 ∞ Ψ−ω(~ r) e−jωt dω + Z ∞ 0 Ψω(~ r) ejωt dω = Z ∞ 0 [Ψcc ω e−jωt + Ψω ejωt ] dω = 2 Z ∞ 0 (Ψω(~ r) ejωt ) dω En cualquier caso, para soluciones monocromáticas podemos substituir el operador ∂ ∂t → jω , ∂2 ∂ t2 → −ω2 (9.54) por lo que la ecuación de onda monocromática para el campo eléctrico, por ejemplo, toma la forma ∇2 ~ E(~ r) − jω µσ ~ E(~ r) + ω2 µε ~ E(~ r) = 0 (9.55)
- 344. 326 ecuación en la que hemos simplificado la notación ~ Eω(~ r) escribiendo ~ E(~ r), puesto que, en el contexto en el que está escrita, no se presta a confusión. Estas soluciones ~ E(~ r) tienen carácter vectorial complejo ~ E(~ r) = ~ ER + j ~ EI = 3 X α=1 E0α ejϕα b eα = X a (ERα + jEIα) b eα donde ~ ER y ~ EI son vectores reales y E0α y ϕα las amplitudes y las fases de cada componente Eα = ERα + jEIα del vector complejo. Podemos escribir la ecuación de onda en la forma ∇2 E(~ r) + ω2 µ εc ~ E(~ r) = 0 (9.56) donde εc es la Constante dieléctrica compleja, definida como εc ≡ ε µ 1 − j 1 Q ¶ , Q = ωτ , τ = ε σ (9.57) Q es el Factor de calidad del medio y τ su constante de relajación. También se utiliza para describir a la constante compleja la tangente de pérdidas tgp tgp ≡ 1 Q = −tg ³ /εc ´ (9.58) Se suele clasificar a los medios, para cada frecuencia, en buenos dieléctricos, cuando Q À 1 y buenos conductores cuando Q ¿ 1. Puede comprobarse que Q = ωτ = |~ jD| |~ j| es una medida de la importancia relativa de la corriente de desplazamiento frente a la de conducción. Cuando Q À 1, εc ' ε y la ecuación de onda corresponde a la propagación, en un medio sin pérdidas, con una velocidad de fase v ' 1 √ µε (9.59) Cuando q ¿ 1, εc ' −j σ ω , en la ecuación predomina el término de difusión. Resolviendo esta ecuación en coordenadas cilı́ndricas, esféricas, cartesianas etc., se obtienen, respectivamente, las ondas monocromáticas cilı́ndricas, esféricas, planas etc.
- 345. 327 Ondas monocromáticas-planas : Si, además, la onda es plana, la ecuación 9.56 se reduce a una ecuación en derivadas totales d2 ~ E(x) dx2 + ω2 µ εc ~ E = 0 , Ex = Hx = 0 (9.60) Ecuación que es del tipo Helmholtz 4 µ d2 dx2 − γ2 ¶ ~ X(x) = 0 (9.61) donde γ2 = −ω2 µ εc (9.62) Llamaremos a γ, Constante compleja de propagación y la escribiremos como γ = α + jβ (9.63) Relaciones de dispersión. Tomando para α y β valores reales y positivos, la raı́z cuadrada de γ2 nos da α = 1 δ = β0 √ 2 µ 1 + 1 Q2 ¶1 2 − 1 #1 2 (9.64a) β = β0 √ 2 µ 1 + 1 Q2 ¶1 2 + 1 #1 2 (9.64b) donde α es la Constante de atenuación, β la Constante de fase o Número de onda, δ ≡ 1 α la Profundidad de penetración y β0 = ω √ µε = γσ=0 es el número de onda del medio, haciendo nula la conductividad. Estas constantes son funciones de la frecuencia α = α(ω) y β = β(ω) y, como tales, se denominan Relaciones de dispersión de la onda en el medio. En la figura 9.6 se representan los valores relativos de las constantes en función de Q (ω). En los buenos dieléctricos, Q 1, α → 0y β → β0 mientras que en los buenos conductores, Q 1, α → β β0. Solución general. 4 Ecuación que también satisface el campo magnético.
- 346. 328 0 2 4 6 8 10 12 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Q β/β0 α/β0 β/β0 α/β0 Figura 9.6: Para una frecuencia concreta, la solución general puede expresarse de diversas for- mas. Como combinación de exponenciales ~ X(x, t) = ~ X(x) ejωt = ³ ~ X+ e−γx + ~ X− eγx ´ ejωt = ~ X+ e−αx ej(ωt−βx) + ~ X− eαx ej(ωt+βx) (9.65) que es la combinación lineal de dos ondas progresivas atenuadas. La primera, progresiva en la dirección positiva del eje x tiene una amplitud vectorial compleja ~ X+ = X+y b x + X+z b y = ~ X+R + j ~ X+I afectada de una atenuación exponencial e−αx = e−x δ . Al progresar la onda una distancia ∆x = δ, la amplitud disminuye según el factor e−1. Como hemos visto, α = α(ω), por lo que, al propagarse, cada componente armónica puede sufrir una atenuación de diferente cuantı́a. El término exponencial complejo puede ser escrito como ejϕ, donde ϕ = β µ ω β t − x ¶ (9.66) es la Fase de la onda. Velocidad de fase. Se llama Velocidad de fase a vf = µ dx dt ¶ ϕ=cte (9.67) Es, pues, la velocidad con que se desplazan los planos de fase constante.
- 347. 329 Diferenciando 9.66 e igualando a cero dϕ = 0 = β µ ω β t − dx ¶ ⇒ vf (ω) = ω β (9.68) velocidad que también depende de la frecuencia. En la figura 9.7 se representa a la velocidad de fase en función de Q. 0 2 4 6 8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 v /v Q 0 f Figura 9.7: En los buenos dieléctricos la velocidad de fase vf → v0, donde v0 = ω β0 , por lo que ésta es prácticamente independiente de la frecuencia. En caso contrario, cada componente espectral de una onda viaja a distinta velocidad. Luego, cualquier onda de cuadrado sumable sufre al propagarse una distorsión o dispersión que afecta tanto a las amplitudes como a las fases de sus componentes armónicas. En la figura 9.8-a se representa la distorsión de un pulso conforme va viajando a través del medio. En la figura 9.8-b se muestra que la distorsión es tanto mayor cuanto mayor es la anchura de banda del espectro del pulso. 100 200 300 400 500 600 700 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 ω0 z=z1 z=z2 z=z3 100 200 300 400 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (a) (b) t = 0.1 t = 0.04 = 0.1 = 0.2 = 0.4 ω ω ∆ ∆ ω z=0 Figura 9.8:
- 348. 330 En los medios dieléctricos Q → ∞ , α = 0 , β = β0 = ω √ µε , vf = v = 1 √ µε = c √ µrεr = c n , β = 2π λ donde n es el ı́ndice óptico de refracción. Fue Maxwell quien primero puso de manifiesto que n ∼ √ εr. Se dice que estos medios, en condiciones ideales, son no dispersivos, puesto que todas las componentes monocromáticas se propagan con atenuación nula y la misma velocidad de fase, o, lo que es lo mismo, dejan inalteradas las formas de los Paquetes o Grupos de ondas Ψ(x, t). En este caso la velocidad de fase coincide con la velocidad del paquete de ondas, velocidad de grupo vg, y, por tanto, con la velocidad con que se propaga la energı́a asociada al paquete, ve. Velocidad de grupo. Cuando la dispersión es pequeña cabe hablar de una Velocidad de grupo que carac- teriza de forma aproximada la velocidad con que se desplaza el grueso del paquete de ondas y, por consiguiente, de la energı́a5. En los medios muy dispersivos, la deformación de los paquetes de onda es tan grande que, al cabo de un cierto tiempo, el grupo está to- talmente disperso y la energı́a diseminada en un intervalo espacial grande. Bajo estas circunstancias no cabe hablar de velocidad de grupo ni de velocidad de propagación de la energı́a, puesto que ésta va llegando a un punto dado en un intervalo temporal relativamente grande [Jackson, Stratton]. La velocidad de fase, como tal, no es fı́sicamente observable y puede ser, de hecho lo es en algunas situaciones reales, superior a c sin que esto suponga ninguna violación del principio de relatividad especial. Podemos hacer una introducción simple de la velocidad de grupo considerando la superposición de dos señales X1(x) = X0 ej(ωt−βx) X2(x) = X0 ej[(ω+∆ω) t−(β+∆β) x] , ∆ω ¿ ω con frecuencias próximas y que, para simplificar, hemos supuesto que tienen igual am- plitud y atenuación nula. Suponemos que el medio es poco dispersivo, lo que implica que β(ω) es una función suave y, por tanto, ∆β ¿ β X(x) = X0 ej(ωt−βx) £ 1 + ej(ωt−∆β x) ¤ = X1 0 ej [(ω+ω/2) t−(β+∆β/2) x] cos µ ∆ω 2 t − ∆β 2 ¶ , X1 0 = 2X0 5 Véase Gómez.
- 349. 331 que, hallando la parte real, (X(x)) ' |X1 0 | cos (ωt − βx + δ) cos µ ∆ω 2 t − ∆β 2 x ¶ En la figura 9.9 vemos que la señal resultante contiene un término oscilatorio, cuya frecuencia ω es próxima a la de las señales primitivas, multiplicando a otro que oscila a una frecuencia mucho menor ∆ω 2 ¿ ω. Este segundo modula, o envuelve, al primero. Figura 9.9: La velocidad con que se desplaza esta envolvente es lo que corresponde a la velocidad de grupo mencionada más atrás. ϕe = ∆ω 2 t − ∆β 2 x La velocidad con que se desplazan los frentes de igual fase de la envolvente será µ dx dt ¶ ϕe=cte = ∆ω ∆x , vg = lı́m ∆ω→0 ∆ω ∆β ⇒ vg = dω dβ (9.69) La función β(ω) suele denominarse Relación de dispersión. En la figura 9.10 se muestra la relación gráfica entre la velocidad de fase y la velocidad de grupo. Relación de estructura. Si nos limitamos a estudiar las ondas progresivas en el sentido del eje x, tanto ~ E como ~ H serán de la forma ~ E = ~ E0 e−γx ejωt ~ H = ~ H0 e−γx ejωt (9.70)
- 350. 332 arctg v arctg v g f ω β ω(β) Figura 9.10: pero, evidentemente, cualquier pareja de vectores complejos ~ E0 y ~ H0 no constituyen una onda electromagnética puesto que ~ E y ~ H están ligados por las ecuaciones de Maxwell. Ya hemos visto que ∂ ∂t → jω. De 9.70 se deduce que ∂ ∂x = −γ ∇ = −γ b x Aplicando esto a ∇ ∧ ~ E = − ∂ ~ B ∂t , b x ∧ ~ E = j ωµ γ ~ H que, haciendo, como en la sección 4.2.1, b x → ~ n donde ~ n es el vector unitario en la dirección de propagación, nos permite escribir ~ n ∧ ~ E0 = Zc ~ H0 (9.71) Esta es la Relación de estructura para ondas monocromáticas planas, donde Zc = r µ εc = j ωµ γ (9.72) Zc recibe el nombre de Impedancia del medio. Para el vacı́o Z0 = r µ0 ε0 ' 376,6 Ω (9.73) En medios materiales, como en el vacı́o, los vectores ~ E, ~ H y ~ n forman un triedro rectángulo a derechas, pero dado que las amplitudes de los campos están relacionadas entre sı́ por medio de una impedancia compleja, éstos no estarán en fase: sus máximos, mı́nimos y valores nulos, tendrán lugar en distintos instantes para uno y otro campo (figura 9.11).
- 351. 333 E H x Figura 9.11: 9.3.1.1. Polarización de ondas electromagnéticas Sea una solución para ~ E que se propaga en el sentido positivo del eje x. ~ E(x, t) = ~ E0 e−αx ej(ωt−βx) = ¡ E0y eiϕy b y + E0z ejϕz b z ¢ e−(α+jβ)x ejωt = f(x) ejϕy ¡ E0y ejωt b y − E0z ej(ωt+ϕz−ϕy) b z ¢ . Luego, para cualquier punto x = x0, podemos escribir Y = [Ey(x0, t)] = A cos ωt Z = [Ez(x0, t)] = B cos (ωt + δ) donde δ = ϕz − ϕy. Desarrollando Z = B (cos ωt cos δ − sen ωt sen δ) De la expresión de Y tenemos que cos ωt = Y A , sen (ωt) = s 1 − µ Y A ¶2 de donde obtenemos la ecuación general de una elipse µ Y A ¶2 + µ Z B ¶2 − 2 Y Z AB cos δ = sen 2 δ Es fácil comprobar que a lo largo del tiempo el vector ~ E describe una elipse, en sentido horario, a derechas, si δ 0 y antihorario, a izquierdas, si δ 0. Convendremos en fijar la dirección de polarización según la dirección del vector ~ E y diremos que la onda está polarizada a derechas, si el extremo de ~ E gira según la regla
- 352. 334 ^ x ^ A y z B Z Y I D t=0 t E ^ Figura 9.12: del tornillo alrededor de la dirección de propagación, o a izquierdas si el sentido de giro es el contrario. Si A = 0, B = 0, o δ = ±mπ (m = 0, 1, · · · ) la onda está linealmente polarizada. En general, la polarización de la onda es elı́ptica. Se deja como ejercicio la expresión de una onda polarizada elı́ptica o linealmente en función de ondas polarizadas circularmente. 9.3.1.2. Energı́a en ondas planas monocromáticas. Vector de Poynting com- plejo Para obtener los términos energéticos debemos multiplicar las amplitudes de los campos. Esta es una operación no lineal que, en el caso de ondas monocromáticas, hará aparecer términos oscilantes de frecuencia doble de la original. Sean dos vectores de la forma ~ A(t) = [ ~ Ac ejωt ] donde ~ Ac = ~ AR + j ~ AI es un vector complejo independiente del tiempo. La composición de dos vectores de este tipo, bien sea por producto escalar o vectorial, será ~ A1(t) × ~ A2(t) = [ ~ Ac 1 ejωt] × [ ~ Ac 2 ejωt] = ~ A1R × ~ A2R cos2 ωt + ~ A1I × ~ A2Isen2 ωt −1 2 ( ~ A1R × ~ A2I + ~ A1I × ~ A2E) sen 2ωt El término proporcional a sen 2ωt tiene valor medio nulo, por lo que h ~ A1(t) × ~ A2(t)i = 1 2 ( ~ A1R × ~ A2R + ~ A1I × ~ A2I) = 1 2 [ ~ Ac 1 × ~ Acc 2 ] = 1 2 [ ~ Acc 1 × ~ Ac 2] (9.74)
- 353. 335 donde el superı́ndice cc indica la conjugación compleja. En la práctica, las variaciones temporales rápidas no suelen ser medibles, por lo que el interés se centra en los valores medios. Estos valores medios se obtienen de la parte real de las magnitudes complejas. Estas son, la densidad de energı́a media ωc em = 1 4 ~ E · ~ Dcc + 1 4 ~ H · ~ Bcc = 1 4 ³ ε | ~ E|2 + µ | ~ H|2 ´ = hωemi (9.75) y el Vector de Poynting complejo. ~ Pc = ~ E ∧ ~ Hcc (9.76) Haciendo uso de la relación de estructura ~ n ∧ ~ E = Zc ~ H podemos comprobar que hωemi = 1 4 ε| ~ E|2 µ 1 + r 1 + 1 Q2 ¶ (9.77) donde se observa que en un medio conductor hωmi hωei = r 1 + 1 Q2 1, para Q → 0 hωmi hωei → 1 Q lo que es lógico ya que el medio conductor, aunque no apantalla totalmente al campo eléctrico dinámico, como lo hace el estático, al crecer la conductividad aumenta la importancia relativa de las corrientes y del campo magnético asociado con respecto al propio campo eléctrico. El vector de Poynting resultante es ~ Pc = Zc |Zc|2 | ~ E|2 ~ n, h~ Pi = [Zc] |Zc|2 | ~ E|2 ~ n (9.78)
- 354. 336 9.4. Problemas 9-1. El espacio comprendido entre dos esferas metálicas concéntricas con el origen, de radios a y b y espesor despreciable, se encuentra lleno de dos dieléctricos de permitividades ε1 y ε2. El primer dieléctrico ocupa la zona (a r b, z 0) y el segundo la zona (a r b, z 0). a) Compruebe que un campo radial es compatible con las condiciones de contorno del problema. b) Halle los campos ~ E y ~ D en función de la diferencia de potencial V = Vb −Va aplicada a los conductores. c) Determine la capacidad del condensador. 9-2. Sea un conductor cilı́ndrico recto, de sección circular, de radio a y conductividad σ, por el que circula una intensidad I uniformemente distribuida. Realice el balance de energı́a en una parte finita de dicho cilindro. Solución : Para hacer el balance de energı́a, tomaremos una sección de longitud unidad, como se muestra en la figura 9.13. Dado que las magnitudes no varian con el tiempo d d t → 0 ⇒ Z V σ E2 dV + I S ~ P · d~ s = 0 ∆z =1 ρ ^ φ ^ z ^ a S L Strans lat V Figura 9.13: Supuesto que la corriente es estacionarias, ésta se reparte uniforme- mente en el interior del conductor y el campo eléctrico se deduce de la ley de Ohm: = I Strans = I πa2 , ~ E = σ b z El campo magnético en ρ = a, debido a la simetrı́a axial de la densidad de corriente, puede calcularse hallando la circulación del mismo a lo largo del camino L I L ~ H · d~ l = I ⇒ ~ H = I 2π a b φ ⇒ ~ P = −E Hb ρ
- 355. 337 Luego el vector de Poynting apunta hacia el interior del volumen V y su flujo a través de las superficies transversales es nulo. Es fácil de comprobar que Z V σ E2 dV = − Z Slat ~ P · d~ s La energı́a disipada por efecto Joule se compensa con la que se contabi- liza como flujo, desde el exterior de V , del vector de Poynting. 9-3. Estime, integrando gráficamente los ciclos de histéresis de la figura 9.14, la pérdida de potencia por unidad de volumen debida a la histéresis en estos materiales si la frecuencia a que se recorre el ciclo máximo es de 50 Hz. ( µ 0 H (W . m -2 ) 10 50 1.4 Acero al Tungsteno recocido Hierro comercial recocido B (W . m -2 ) ) x 10 -4 Figura 9.14: 9-4. Deduzca las expresiones asignadas en la teorı́a a α(ω) y β(ω). 9-5. El agua del mar a la frecuencia f = 4×108 Hz tiene las siguientes caracterı́sticas: σ = 4.4 S · m−1; εr = 81; µ = µ0. a) Calcule α y β. b) Aproxime dichas constantes considerando al medio como buen conductor y compare los valores obtenidos con los del del apartado anterior. c) ¿ Y si se toma al agua de mar como buen dieléctrico ? 9-6. Use el criterio de Q ≤ 0.01 para que un medio sea buen conductor y conside para la tierra las siguientes constantes: σ = 5 × 10−3S · m−1; εr = 5; µ = µ0.
- 356. 338 a) ¿ Cuál es la máxima frecuencia a la que la tierra es un buen conductor ? b) ¿ Cuales son la profundidad de penetración y la longitud de onda a esta frecuencia ? c) Halle Z/Z0. 9-7. Represente gráficamente, para Q ∈ [0.1, 10], la razón entre los valores medios de las densidades de energı́a eléctrica y magnética de una onda plana, homogénea y monocromática, que viaja a través de un medio lineal y no dispersivo. Solución: hωei hωmi = 1 4 ε | ~ E|2 1 4 µ| ~ H|2 = |Z|2 |Zm0|2 donde hemos definido Zm0 ≡ q µ ε = (Z)σ=0, con lo que hωei hωmi = ω2 µε α2 + β2 = 1 p 1 + 1/Q2 ' 1 − 1/(2Q2) para Q 1 1/ √ 2 para Q = 1 Q para Q 1 La gráfica está representada en la figura 9.15 ωe ωm Q Figura 9.15: 9-8. Determine las pérdidas relativas por Km sufrida por la energı́a asociada a una onda plana, de frecuencia 0,5 Mhz, que se propaga a través de: a) Tierra húmeda (σ = 10−3 S · m−1; µr = 1; εr = 10). b) Tierra seca (σ = 10−5 S · m−1; µr = 1; εr = 3).
- 357. 339 9-9. Una onda plana y monocromática se propaga en un medio con µ = µ0 y σ = 0. Determine la constante dieléctrica relativa del medio si: a) La impedancia caracterı́stica es de 200 Ω. b) La longitud de onda es de 1.5 cm para una frecuancia de 10 GHz. 9-10. Suponga que la onda ~ Ei(z, t) = e−(z−ct)2 b x incide, desde el vacı́o, sobre un dieléctrico ideal que ocupa el semiespacio z 0. Halle los coeficientes de trans- misión y reflexión del campo eléctrico, definidos como ρ = Er 0 Ei 0 , τ = Et 0 Ei 0 donde Ei 0 es la amplitud de la onda incidente, Er 0 la de la reflejada y Et 0 la de la transmitida. Solución : En el primer medio, el vacı́o, la velocidad de propagación de la onda es c, por lo que el campo propuesto es solución de la ecuación de onda en el primer medio. En el segundo, la velocidad de fase es v = 1 √ µ0 ε . 6 por lo que la solución debe ser una función f(z−vt). Ensayaremos soluciones del tipo E2(z, t) = E02 e−a2 (z−vt)2 donde a es una constante que deberemos determinar aplicando las condiciones de contorno. Si la onda incide sobre el dieléctrico, deben existir, además de la inci- dente, una onda reflejada y otra transmitida. Teniendo en cuenta que Ei 0 = 1, la componente del campo eléctrico en el primer medio es E1(z, t) = Ei (z, t) + Er (z, t) = e−(z−ct)2 + ρ e−(z+ct)2 El argumento de la onda reflejada lleva un signo + porque ésta viaja en sentido contrario al de la incidente. En el segundo medio sólo tendremos la onda que viaja en el sentido positivo del eje z puesto que en el enunciado no se indica la presencia, a la derecha del dieléctrico, de un medio que pueda reflejar a la onda transmitida, luego E2(z, t) = Et (z, t) = τ e−a2 (z−vt)2 Dado que el campo eléctrico es tangencial al plano z = 0, éste debe ser continuo en dicho plano 6 En los dieléctricos µ ' µ0.
- 358. 340 E1(0, t) = E2(0, t) ⇒ e−(ct)2 (1 + ρ) = τ e−a2 (vt)2 El cumplimiento de esta igualdad en uninstante t arbitrario exige que a = c v = √ εr y 1 + ρ = τ (9.79) En un dieléctrico εr 1 por lo que el pulso gaussiano es más estrecho en el segundo medio que en el primero. La onda transmitida se propaga a menor velocidad que la inciente, lo que, efectivamente, causa dicho estrechamiento. La relación de estructura nos permite expresar ~ B en función de ~ E ~ B(z, t) = 1 v ~ n ∧ ~ E siendo ~ n = b z para la onda incidente y para la transmitida, ~ n = −b z para la reflejada y v = c en el primer medio. Aplicando esta relación resulta que B1(z, t) = 1 c ³ e−(z−ct)2 − ρ e−(z+ct)2 ´ B2(z, t) = 1 v τ e− c2 v2 (z−vt)2 Repitiendo el procedimiento seguido para el campo eléctrico, y dado que en la superficie de un dieléctrico no existen corrientes superficiales, exigimos la continuidad del campo eléctrico llegando a la igualdad 1 − ρ = √ εr τ Los coeficientes se obtienen por eliminación del sistema de ecuaciones compuesto por la anterior y la 9.79 ρ = 1 − √ εr 1 + √ εr , ρ = 2 1 + √ εr En general, en el dominio del tiempo no puede hablarse de coeficientes de reflexión y transmisión sino, más bién, de operadores de reflexión y transmisión, pero, en el caso de medios no disipativos ni dispersivos, como acaba de mostrarse, la forma de onda no cambia en estos procesos y pueden extenderse a ellos estos conceptos.
- 359. 341 9-11. Suponga que una onda monocromática incide normalmente desde el vacı́o hacia un medio dieléctrico. Demuestre que la onda incidente mas la reflejada pueden representarse como la suma de una onda estacionaria y otra viajera, bien sea en sentido incidente o reflejado. 9-12. Halle los coeficientes de reflexión y transmisión, en la incidencia desde el vacı́o a un dieléctrico, para la densidad de flujo de potencia. Estos coeficientes se definen de la forma R ≡ hPri hPii , T ≡ hPti hPii siendo hPi el valor medio del vector de Poynting. 9-13. Suponga que una onda inicide, desde el vacı́o, sobre un buen conductor (Q ¿ 1). a) Aplique las condiciones de contorno para hallar la onda reflejadada y la trans- mitida b) Halle la relación entre las potencias transmitida y reflejada con respecto a la incidente. c) Lleve a cabo el balance energético en el seno del conductor. 9-14. Considere que una onda de frecuencia f = 1 GHz incide, desde el vacı́o, sobre un medio cuyos parámetros son µ = µ0, ε = ε0 y Q = 10−3. La amplitud del campo incidente es Ei 0 = 1 V · m−1. La dirección de propagación de esta onda es la x y la de polarización es la y. a) Calcule la densidad superficial de corriente que definiremos, para este caso, como la integral de la densidad de volumen sobre la superficie definida por (0 ≤ x, ≤ ∞, z0 ≤ z ≤ z0 + 1).¿Bajo que condiciones es razonable el uso de la densidad superficial? b) Halle la presión que la onda electromagnética ejerce sobre la superficie del conductor, supuesto que se dan las condiciones apuntadas anteriormente. 9-15. Dos dieléctricos indefinidos, de constantes dieléctricas ε1 y ε3, se hallan separados por una lámina de otro dieléctrico de constante ε2 y cuyo espesor es a. a) Halle las condiciones necesarias para que una onda monocromática de fre- cuencia f, que incide normalmente desde el primer medio, no sufra reflexión. b) Aplique los resultados al acoplamiento, a la frecuencia de 1 GHz, entre el aire, primer medio, y un vidrio de εr3 = 4. c) Halle el coeficiente de reflexión total para una frecuencia de 1,1 GHz. Solución : (a) - Se ilumina desde la izquierda de modo que, como se indica en la figura 9.16, en el primer medio habrá, en general, una onda incidente y
- 360. 342 otra reflejada. Deben buscarse las condiciones bajo las cuales se anula esta última. En la lámina, necesariamente, deben coexistir ambos mo- dos. En el último medio sólo habrá una onda transmitida puesto que, para z a, no existe ninguna discontinuidad que la refleje. i r r i i 1 2 3 z=0 z=a Figura 9.16: Suponiendo que las ondas están polarizadas en la dirección del eje y, que se propagan en la dirección z y que se ha eliminado a la onda reflejada en el primer medio, los campos serán ~ E1 = A1 e−jβ1 z b x ~ H1 = A1 Z1 e−jβ1 z b y ~ E2 = ¡ A2 e−jβ2 z + B2 ejβ2 z ¢ b x ~ H2 = 1 Z2 ¡ A2 e−jβ2 z − B2 ejβ2 z ¢ b y ~ E3 = A3 e−jβ3 z b x ~ H3 = A3 Z3 e−jβ3 z b y Estos campos, dado que son tangenciales a las interfacies, deben cumplir las condiciones de continuidad para z = 0 : (E1)z=0 = (E2)z=0 | {z } (A) , (H1)z=0 = (H2)z=0 | {z } (B) para z = a : (E2)z=a = (E3)z=a | {z } (C) , (H2)z=a = (H3)z=a | {z } (D) De las condiciones en z = 0 se deduce que A2 = A1 Z1 + Z2 2 Z1 , B2 = A1 Z1 − Z2 2 Z1 De las condiciones en z = a, dividiendo una por otra y eliminando las constantes A2,3 y B2, se tiene que e−2jβ2 a = (Z1 − Z2) (Z1 + Z2) (Z2 + Z3) (Z3 − Z2) = Número real (9.80)
- 361. 343 puesto que las impedancias de los dieléctricos son reales. En la figura 9.17 se representa en el plano complejo a e−2jβ2 a como un vector, de módulo unitario y fase −2β2 a, que solo toma los valores reales e−2jβ2 a = ½ +1 ⇒ 2 β2 a = 2m π , m = 1, 2 · · · −1 ⇒ 2 β2 a = (2m + 1) π , m = 0, 1 · · · 2 Im Re -1 +1 2 j a β Figura 9.17: Tomando los primeros valores de m y substituyendo en 9.80, se obtienen las siguientes condiciones: a = λ2 2 , Z1 = Z3 que corresponde a una lámina desfasadora de media onda. El primer medio y el segundo son iguales. a = λ2 4 , Z2 = p Z1 Z3 correspondiente a una lámina adaptadora de cuarto de onda. Este es el principio adoptado en óptica para obtener superficies no reflectantes. El resto de los apartados se dejan como ejercicio. 9-16. Dado un buen dieléctrico, halle una aproximación de α, β, ~ vf y ~ vg. 9-17. En un plasma pueden excitarse ondas planas monocromáticas de diverso tipo, entre ellas las que más abajo se mencionan junto con sus relaciones de dispersión. Represente gráficamente la relación de dispersión y las velocidades de fase y grupo frente al número de onda. a) Ondas electrónicas electrostáticas: ω2 = ω2 p + 3 2 β2 v2 T donde ωp es la frecuencia propia de oscilación del plasma y vT la velocidad térmica de los electrones en el mismo.
- 362. 344 b) Ondas acústicas iónicas: ω2 = β2 v2 s donde vs es la velocidad del sonido en el plasma. c) Ondas electromagnéticas: ω2 = ω2 p + β2 c2 Solución: Trataremos la cuestión (c): Esta relación de dispersión es análoga a la de los modos de propagación en una guı́a de onda aunque responden a sistemas fı́sicos distintos. Las definiciones de las velocidades de fase y de grupo son vf = ω β , vg = d ω d β por lo que vf = c q 1 − ω2 p ω 2 c para ω ωp Si se deriva con respecto a β la relación de dispersión, se tiene que vf · vg = c2 ⇒ vg = c2 vf c para ω ωp 1 2 3 4 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1 1.5 2 2.5 3 vf vg arctg vf arctg c ω=β vg / ω ω p β ω p ω(β) c ω ω β g vf v Figura 9.18: Como se comprueba en las figuras 9.18, ωp es una frecuencia de corte, a la cual el número de onda β se anula, la longitud de onda se hace infinita, la velocidad de fase toma también valor infinito y la de grupo se hace cero. Por debajo de dicha frecuencia todos los parámetros de propa- gación se hacen imaginarios, como puede comprobarse de las relaciones obtenidas, y la onda deja de propagarse (se dice que está en corte).
- 363. 345 En 9.18-a puede verse la relación geométrica entre las velocidades en cuestión y la relación de dispersión y como, para ω À ωp, estas veloci- dades tienden a c, lo que significa que la onda se propaga como en el vacı́o y que el plasma no interviene en este proceso. Esto se debe a que, a dichas frecuencias, la inercia de los componentes del plasma dificulta la aceleración de los mismos y, por lo tanto, hace que su respuesta sea despreciable. 9-18. Considere las siguientes cuestiones. a) Demuestre que una onda polarizada elı́pticamente puede descomponerse en dos ondas polarizadas circularmente, una a derechas y otra a izquierdas.Para simplificar, elija por ejes coordenados y y z a los principales de la elipse. b) Haga uso de un programa Mathematica para mostrar gráficamente que si (δ 0 , |δ| π) la polarización es a derechas y que si (δ 0 , |δ| π) éste es a izquierdas y que la polarización es circular para A = B , δ = (m + 1) π 2 , m = 0, 1, · · · , y lineal para δ = m π 2 , m = 0, 1, · · · . Solución : a) Partimos de la onda polarizada elı́pticamente, con ejes principales en la direcciones y y z ~ E(x = 0, t) = A cos ωt b y + B sen ωt b z a la que sumaremos y restaremos ~ E 0 = 1 2 (B cos ωt b y + A sen ωt b z) El resultado puede escribirse de la forma ~ E = ~ ED + ~ EI donde ~ ED = 1 2 (A + B) (cos ωt b y + sen ωt b z) = 1 2 (A + B) ³ cos ωt b y + cos( ωt − π 2 ) b z ´ ~ EI = 1 2 (A − B) (cos ωt b y − sen ωt b z) = 1 2 (A − B) ³ cos ωt b y + cos( ωt + π 2 ) b z ´ ~ ED corresponde a una onda polarizada circularmente a derechas porque su componente z está retrasada con respecto a la y en π 2 . ~ EI será, pués, una onda circularmente polarizada a izquierdas. Si, en particular, la onda está polarizada linealmente en la dirección del eje y, es decir, B = 0, tendremos que
- 364. 346 ~ ED = 1 2 A (cos ωt b y + sen ωt b z) ~ EI = 1 2 A (cos ωt b y − sen ωt b z) por lo que las dos componentes circulares tendrán la misma amplitud. b) Gráfico Mathematica polarizacion − ondas.nb: Este programa dibuja La evolución del extremo de ~ E a lo largo de un ciclo in- completo y un punto rojo que marca la posición de éste en t = 0. De esta forma, podremos determinar, en función de las amplitudes y del desfase, el tipo de polar- ización y, en particular, el sentido de la misma. A = 1; B = 1; d = 1.5 π 2 ; y = A Cos[x]; z = B Cos[x + d]; puntoinicial = {Point[{z/.x → 0, y/.x → 0}]}; gr1 = Show[Graphics[{PointSize[0.03], RGBColor[1, 0, 0], puntoinicial}], DisplayFunction → Identity]; gr2 = ParametricPlot[{z, y}, {x, 0, 3.5 π 2 }, DisplayFunction → Identity, AxesLabel → {”z”, ”y”}, PlotStyle → RGBColor[0, 0, 1]]; Show[gr2, gr1, DisplayFunction → $DisplayFunction, AspectRatio → 1]; El resultado se muestra en la figura 9.19 9-19. En un plasma magnetizado por un campo uniforme pueden propagarse, en la direc- ción de dicho campo, ondas polarizadas circularmente. Las polarizadas a derechas (ondas R) 7 tienen un número de onda βR = ω c v u u t1 − ω2 p ω2 1 − Ω ω y las polarizadas a izquierdas (ondas L) 7 En este caso utilizamos la notación usual en fı́sica de plasmas, R (Right) para D y L (Left) para I.
- 365. 347 -1 -0.5 0.5 1 z -1 -0.5 0.5 1 y Figura 9.19: βL = ω c v u u t1 − ω2 p ω2 1 + Ω ω donde Ω es la frecuencia ciclotrónica de los electrones y ωp la frecuencia de plasma. Halle la ley de rotación, de Faraday, del plano de polarización, el formado por el campo eléctrico y la dirección de propagación, de una onda monocromática plana y linealmente polarizada, que se propaga a lo largo del campo magnético. Suponga que el vector eléctrico está polarizado en la dirección x en el plano z = 0. Solución : Suponga que la onda, de acuerdo con la figura 9.20-a, se propaga en la dirección del eje z y, en el plano z = 0, está polarizada linealmente en la dirección del eje x. ~ E(0, t) = A cos ωt b x Debemos determinar, cómo nos pide el enunciado, la función φF (z) que describe la rotación del plano de polarización. Para ello, de acuerdo con el problema 9-18, descompondremos la onda en dos polarizadas circularmente. ~ ER(0, t) = 1 2 A (cos ωt b x + sen ωt b y) ~ EL(0, t) = 1 2 A (cos ωt b x − sen ωt b y) De acuerdo con el enunciado, cada uno de estos modos circulares se propaga con distinto número de onda, βR y βL o, lo que es lo mismo, con distintas velocidades de fase vR = ω βR y vL = ω βL , por lo que para
- 366. 348 (b) x ^ y ^ z ^ x ^ y ^ z ^ φ F E R E L E L E R t ω R L E(0,t) =E(0,0) 0 E E(z,t) t ω (a) Figura 9.20: z 6= 0 el argumento ω t debe ser substituido por ω t − β z, con lo que el campo total puede escribirse de la forma ~ E(z, t) = A 2 (cos αR + cos αL) b x + A 2 (sen αR − sen αL) b y donde αR = ωt − βRz , αL = ωt − βLz El ángulo que ~ E(z, t) forma con el eje x será, figura 9.20b 8 φF = arctg µ Ey Ex ¶ = arctg µ sen αR − sen αL cos αR + cos αL ¶ = arctg · tg µ αR − αL 2 ¶¸ = 1 2 (αR − αL) = 1 2 (βL − βR) z = CF z Se llega a la conclusión de que el ángulo girado, el de rotación de Fara- day ΦF (z), es independiente del tiempo y proporcional a la distancia z recorrida. La onda sigue estando linealmente polarizada pero con el plano de polarización rotado con respecto al que tenı́a en el origen. 8 Consulte las tablas de fórmulas.
- 367. Apéndice A Resolución de las ecuaciones de Poisson y Laplace A.1. Introducción Este capı́tulo trata de la solución de las ecuaciones de Poisson y Laplace con diver- sas técnicas. Sus contenidos pueden abordarse desde cualquier punto de este texto, en particular, parte del mismo puede estudiarse una vez introducidas dichas ecuaciones en los primeros capı́tulos. A.2. Solución analı́tica de la ecuación de Poisson A.2.1. Ejemplos del uso de las ecuaciones de Poisson y Laplace Ya vimos que los campos ~ F que son irrotacionales en una cierta región del espacio, cumplen en ella una ecuación de tipo Poisson. Si en V ∇ · ~ F(~ r) = D(~ r) ∇∧~ F(~ r) = 0 ⇒ ~ F(~ r) = −∇ f(~ r) y ∇2 f(~ r) = −D(~ r) (A.1) La ecuación homogénea, ecuación de Laplace ∇2 f(~ r) = 0 (A.2) que será válida en regiones donde ~ F sea solenoidal. El problema que se plantea es la búsqueda de la solución de estas ecuaciones en un cierto volumen y bajo unas ciertas condiciones de contorno. Se ha visto que las condiciones de Dirichlet, o las mixtas, en las cuales se fija el valor de f en al menos parte de la superficie del contorno, aseguran la unicidad del potencial, mientras que las condiciones de Neumann, en las que se fija solamente la componente normal del campo Fn, implican la unicidad de este último. a-1
- 368. a-2 La resolución de la ecuación de Poisson puede llevarse a cabo sumando a la solución general de la ecuación de Laplace una solución particular de la de Poisson y ajustando los coeficientes de esta suma para cumplimentar las condiciones de contorno. Muchos problemas importantes de campos electrostáticos, campos magnetostáticos y corrientes estacionarias responden a este tipo de ecuaciones. Para medios no conductores de clase A, el campo electrostático cumple las ecua- ciones ∇ · ~ E(~ r) = 1 ε ρ(~ r) ∇∧ ~ E(~ r) = 0 ⇒ ~ E(~ r) = −∇ V (~ r) y ∇2 V (~ r) = − 1 ε ρ(~ r) (A.3) En condiciones estáticas y ausencia de corrientes de conducción, el campo ~ H cumple ∇ · ~ H(~ r) = ρM (~ r) ∇∧ ~ H(~ r) = 0 ⇒ ~ H(~ r) = −∇ U(~ r) y ∇2 U(~ r) = −ρM (~ r) (A.4) Para corrientes estacionarias, supuesta la presencia de campos electromotores cono- cidos ~ E 0 ~ = σ ~ ET = σ ( ~ E + ~ E 0 ) ⇒ ∇ · ~ E(~ r) = −∇ · ~ E 0 (~ r) ∇ · ~ E(~ r) = 0 ∇∧ ~ H(~ r) = 0 ⇒ ~ E(~ r) = −∇ V (~ r) y ∇2 V (~ r) = ∇ · ~ E 0 (~ r) (A.5) En este planteamiento del problema 1 ε ρ(~ r), ρM (~ r) y ∇ · ~ E 0(~ r) se suponen conocidos y fijos en todo el volumen V dentro del cual queremos hallar la solución. A.2.2. Principio de superposición En algunos casos es útil el uso del principio de superposición que se deduce de la linealidad de la ecuación de Poisson. Si fi(~ r) es una solución de la ecuación ∇2 fi(~ r) = −Di(~ r) que cumple una de las condiciones de contorno [fi]S = fiS ó · ∂ fi ∂ n ¸ S = −FinS
- 369. a-3 entonces f = N X i=1 λi fi es una solución de ∇2 f = −D, donde D = N X i=1 λi Di con la condición de contorno [f]S = N X i=1 λi fiS ó · ∂ f ∂ n ¸ S = − N X i=1 λi FinS lo que puede comprobarse por simple substitución. Esto permite, a veces, descomponer un problema complejo en otros más sencillos, como ilustraremos más adelante. A.2.3. Expresión integral de la ecuación de Poisson Antes de exponer el método de Green de solución de la ecuación de Poisson veremos como ésta puede ser puesta en forma integral. Para ello haremos uso de las identidades de Green. Identidades de Green : Si h y g son dos funciones definidas en V. Por el teorema de la divergencia Z V ∇ · (h ∇ g) dv = I S h ∇ g · ~ n ds Desarrollando la divergencia y escribiendo la derivada direccional de la forma ∇ g · ~ n ≡ ∂ g ∂ n Z V (h ∇2 g + ∇ h · ∇ g) dv = I S h ∂ g ∂ n ds (A.6) que es la primera identidad de Green. Cambiando g ↔ h y restando, obtenemos Z V (h ∇2 g − g ∇2 h) dv = I S (h ∂ g ∂ n − g ∂ h ∂ n ) ds (A.7) la cual es la segunda identidad de Green.
- 370. a-4 Volumen problema D=0 Vf V=V’ S’ Volumen que contiene a todas las fuentes (r ’) D n Figura A.1: Expresión integral de la ecuación de Poisson : Para obtener una ecuación integral que nos exprese el valor del potencial f(~ r) en un punto ~ r ∈ V, integraremos A.7 sobre un V0 = V que no tiene por que incluir a todas las fuentes y haremos g = f(~ r 0) y h = 1 R . Reordenando los términos − Z V0 f(~ r 0 ) ∇02 µ 1 R ¶ dv0 | {z } (A) = − Z V0 1 R ∇02 f(~ r 0 ) dv0 | {z } (B) + Z S0 1 R ∇0 f(~ r 0 ) · ~ n 0 ds0 | {z } (C) − Z S0 f(~ r 0 ) ∇0 µ 1 R ¶ · ~ n 0 ds0 | {z } (D) Puesto que, como ya se ha visto, ∇2 (1/R) = −4πδ(~ R) (A) = 4π £ f(~ r 0 ) ¤ ~ r 0=~ r = 4π f(~ r) para ~ r ∈ V Teniendo en cuenta que ∇ 02 f(~ r 0) = −D(~ r 0), podemos escribir (B) = Z V0 D(~ r 0) R dv0 expresión que, multiplicada por 1 4π y extendiendo V0 a todas las fuentes, nos darı́a por si sola f(~ r). Sin embargo tomaremos V0 como un volumen arbitrario que podrá contener a una parte de las fuentes, a ninguna o todas. Por último, substituyendo ∇0 f(~ r 0) = −~ F(~ r 0) en (C) y ∇0(1/R) = ~ R/R3 en (D), tenemos f(~ r) = 1 4π Z V0 D(~ r 0) R dv0 − 1 4π I S0 f(~ r 0) (~ n 0 · ~ R) R3 + ~ F(~ r 0) · ~ n 0 R # ds0 (A.8)
- 371. a-5 Esta ecuación no constituye una solución porque, según hemos visto en la sección 9.1.2.1, no es posible fijar al mismo tiempo el potencial y la componente normal del campo en un mismo punto del contorno. Claramente los términos (C) y (D) aparecen en compensación de las fuentes no incluidas en V0 y que, por lo tanto, no han sido tenidas en cuenta. (C) tiene la forma de integral de potencial monopolar y (D) de potencial dipolar. Ası́, pués, las cargas eléctricas o polos magnéticos no tenidos en cuenta al integrar sobre V0 se substituyen por unas distribuciones superficiales de polos y dipolos, eléctricos o magnéticos en su caso, situados en el contorno. En la solución de la ecuación de Laplace, ya que D(~ r 0) = 0 en ~ r 0 ∈ V0, la integral sobre el contorno representa a las fuentes que necesariamente debe haber fuera del volumen problema puesto que dentro de él no las hay. En caso contrario el campo en V0 serı́a nulo por carecer de fuentes. A.2.4. Método de Green Con objeto de introducirnos en el uso del método de Green para resolver ecua- ciones diferenciales, ilustraremos su aplicación a la solución del problema de Poisson con condiciones de Dirichlet. Para ello definiremos como funciones de Green a las soluciones generales de las ecuaciones ∇2 G(~ r, ~ r 0 ) = −δ(~ R) = −δ(~ r − ~ r 0 ) (A.9) ∇02 G(~ r 0 , ~ r) = −δ(~ R) (A.10) Como puede verse en A.9, G(~ r, ~ r 0) es el potencial que se medirı́a en ~ r debido a una fuente puntual situada en ~ r 0 (q ε = 1 en el caso electrostático) 1. De la misma forma, G0(~ r 0, ~ r) es el potencial que una fuente puntual colocada en ~ r produce en ~ r 0. Una solución particular para A.9 y A.10 es la solución con simetrı́a esférica Gp = 1 4π R = 1 4π |r − ~ r 0| = G0 p Si a esta le añadimos la solución general de la ecuación de Laplace GL(~ r, ~ r 0) , G0 L(~ r 0, ~ r) tenemos G(~ r, ~ r 0 ) = 1 4π R + GL(~ r, ~ r 0 ) G0 (~ r 0 , ~ r) = 1 4π R + G0 L(~ r 0 , ~ r) (A.11) Esta última será la expresión general de la función de Green correspondiente a una fuente puntual en ~ r observada en ~ r 0. Volviendo a hacer uso de la segunda identidad de Green, con h = G0(~ r 0, ~ r) y g = f(~ r 0) y ~ r ∈ V f(~ r) = Z V0 G0 (~ r 0 , ~ r) D(~ r 0 ) dv0 + I S0 · G0 (~ r 0 , ~ r) ∂ f(~ r 0) ∂ n0 − f(~ r 0 ) ∂ G0(~ r 0, ~ r) ∂ n0 ¸ ds0 (A.12) 1 Téngase en cuenta que ∇ opera soble ~ r por lo que en esta ecuación ~ r 0 = ~ cte.
- 372. a-6 que puede ser convertida en solución para un problema con condiciones de contorno de Dirichlet definiendo la función de Green para condiciones de Dirichlet GD, solución particular que cumple la condición de contorno £ GD(~ r, ~ r 0 ) ¤ S = 0 (A.13) es decir eligiendo las constantes indeterminadas de la función de Green de manera que ésta se anule en el contorno. En este caso, la función de Green es simétrica, como demostraremos más adelante, GD(~ r, ~ r 0 ) = G0 D(~ r 0 , ~ r) = GD Substituyendo esta función en A.12, obtenemos la solución del potencial en V que corresponde a la condición de Dirichlet [f(~ r 0)]S0 = fs(~ r 0) f(~ r) = Z V0 G0 D D dv0 − Z S0 fs ∂ G0 D ∂ n0 ds0 (A.14) que es una verdadera solución del problema de Dirichlet porque, al ser [GD]S0 = 0, nos desaparece la integral asociada a la componente normal del campo. Algo parecido podemos hacer para condiciones de Neumann [Jackson]. Para el potencial electrostático, f = V y D = ρ ε , luego V (~ r) = 1 ε Z V0 GD ρ dv0 − Z S0 Vs ∂ GD ∂ n0 ds0 (A.15) Como todos los métodos generales de solución, en casos concretos éste puede pre- sentar dificultades insalvables. La utilidad del método de Green es, sin embargo, con- siderable. El problema de Dirichlet en el que se especifican las fuentes D(~ r 0) en V0 y se fija el valor fs(~ r 0) del potencial en el contorno, se desdobla en dos: Busqueda del potencial producido por una fuente puntual unitaria en V0 cuando todos los puntos del contorno están a potencial nulo 2. Realización de las integrales de A.15 3. Por otra parte, es interesante resaltar que una misma función de Green sirve para el cálculo del potencial en un mismo volumen pero con fuentes y condiciones de contorno distintas. Para terminar, investigaremos la simetrı́a de GD. Sean las funciones GD(~ r 0, ~ r1) y GD(~ r 0, ~ r2), las cuales cumplen ∇02 GD(~ r 0, ~ r1) = −δ(~ r 0 − ~ r1) ∇02 GD(~ r 0, ~ r2) = −δ(~ r 0 − ~ r2) [GD]S0 = 0 Substituyendo h = GD(~ r 0, ~ r1) y g = GD(~ r 0, ~ r2) en la segunda identidad encon- tramos que, efectivamente, es simétrica. GD(~ r1, ~ r2) = GD(~ r2, ~ r1) 2 Este problema es más sencillo que el planteado por un potencial fs(~ r 0 ) arbitrario. 3 Como último recurso, estas integrales pueden llevarse a cabo numéricamente.
- 373. a-7 A.2.5. Método de las imágenes El método de las imágenes se basa en el Teorema de Unicidad, según el cual, si una función f es solución de la ecuación de Poisson ∇2f = −D en todo el volumen problema y cumple condiciones de contorno adecuadas, ésta f es la única solución de nuestro problema. Aunque no es un método general, es aplicable a una serie de problemas de singular importancia, no sólo en el caso de campos estáticos, lo que justifica su interés. En particular, permitirá el cálculo sencillo de la función de Green para geometrı́as simples. Esencialmente, la solución del problema de contorno se consigue substituyendo dicho contorno por un espacio imagen, constituido por medios y fuentes imagen y situados en el exterior del volumen de interés, o volumen problema, de forma tal que sigan cumpliéndose las condiciones de contorno impuestas y que en el interior no se alteren las fuentes D especificadas. I I d (r ’) d (r ’) -d (r ’) ρ I ρ =−ρ I r ’ r ’ r ’ I S Espacio imagen (solucion no valida) Espacio problema (solucion valida) ,ε ,ε ,ε ρ ρ II Figura A.2: En la figura A.2 se presenta un caso simple consistente en un sistema de cargas ρ(~ r 0) frente a un plano conductor a potencial nulo. El volumen de interés es el semiespacio a la derecha del plano conductor y el contorno del problema es la superficie S. Las condiciones que se cumplen en este problema son de tipo Dirichlet. En el semiespacio de la izquierda no se han especificado ni los medios ni las fuentes, lo que no nos permite decir nada acerca del potencial existente en dicha región. Si nosotros nos figuramos ahora a este semiespacio como lleno de un medio con constante ε y con una distribución de cargas de signo contrario a las especificadas ( ρI es la imagen especular de ρ) ρ(~ d) = −ρI(−~ d) , εI = ε por simetrı́a, el potencial VS = 0 y, puesto que no hemos alterado la región (I) ni el potencial de su contorno, el campo producido en esta nueva situación es el mismo que existı́a en el problema primitivo en dicha región. La solución obtenida no es válida para la región (II) puesto que en ella hemos fijado arbitrariamente los medios y las fuentes.
- 374. a-8 VE ,σ0 ,σ0 II I I I oo σ +S2 S=S1 VE ,σ0 σ0 σ=0 I I j = V E E Figura A.3: En la figura A.3 se plantea un problema tı́pico de electrodos en medios de conduc- tividad finita. En este caso, un electrodo (conductor ideal con σ → ∞) inyecta una intensidad I a un medio de conductividad finita σ0, separado por un plano del medio de la izquierda, que es no conductor (σ = 0). Resolvemos el problema en el medio de conductividad finita, cuyo contorno es S = S1 +S2, donde S1 es la interfaz con el medio no conductor y S2 la superficie del electrodo. Dado que la corriente no fluye en el medio no conductor, en S1 puede imponerse la condición de tipo Neumann (En = 0)S1 . El electrodo es equipotencial, por lo que en su superficie puede imponerse la condición de tipo Dirichlet (V )S2 = VE, con lo que, en conjunto, las condiciones son mixtas. El espacio imagen estarı́a constituido por un electrodo simétrico con respecto a S1 inmerso en un medio de la misma conductividad σ0. ,µ 0 I ,µ 0 II I I oo µ ,µ 0 I +S2 S=S1 U=cte H I Figura A.4: Algo parecido, figura A.4, podemos hacer con sistemas de corrientes frente a mate- riales magnéticos ideales. En virtud de la ley de refracción, las lı́neas de campo serán perpendiculares a la superficie externa S1 del medio. Por lo tanto, el potencial magnético US1 = cte y puede tomarse como nulo. El espacio imagen estarı́a constituido por un medio de permeabilidad µ0 y una espira simétrica de la primitiva con respecto a S1, pero recorrida en sentido contrario. No abordaremos el tema en extenso [Lorrain y Corson, Reitz et al., Jackson]; nos
- 375. a-9 limitaremos a describir la aplicación del método al cálculo del potencial electrostático producido por cargas en presencia de superficies conductoras. A.2.5.1. Imágenes sobre un plano conductor; función de Green Consideremos a una carga puntual situada en el punto (d, 0, 0) frente al plano conductor x = 0 que está a potencial nulo. ^ II I ,ε ,ε ρ s (y,z) r R1 R2 +q -q (d,0,0) (-d,0,0) E(0,y,z) S x Figura A.5: La carga q atraerá, por influencia, cargas de signo contrario estableciendo en S una densidad de carga ρs(y, z) que apantalla al campo dentro del conductor. ρ(y, z) = ε ~ E(0, y, z) · ~ n Según vemos en la figura A.5, para la región (I) tendremos un campo que será el resultado de superponer el coulombiano de q con el de su imagen −q. ~ E = q 4πε Ã ~ R1 R3 1 − ~ R2 R3 2 ! , V = q 4πε µ 1 R1 − 1 R2 ¶ donde ~ R1 = (x − d, y, z) , ~ R1 = (x + d, y, z) La fuerza que la carga ejerce sobre el plano, o la que el plano ejerce sobre el conductor, será la de atracción entre q y su imagen. ~ F = q ~ E−q = − q2 4πε 1 (2d)2 b x Es interesante resaltar que el trabajo necesario para traer a la carga q desde el infinito a su posición final no puede obtenerse como producto de dicha carga por el
- 376. a-10 ^ r q’= −ε R2 R1 ε q= r ’ I r ’ x Figura A.6: potencial V−q(~ d) que produce la imagen en d porque al mover q se mueve también su imagen. Para obtener la función de Green GD(~ r,~ r 0) = G0 D(~ r 0,~ r) colocarı́amos una carga q = ε en ~ r 0 y calcuları́amos el potencial en ~ r. Si, como se muestra en la figura A.6, colocamos al plano en el plano yz y la carga a una distancia x del mismo ~ r = (x, y, z) , ~ r 0 = (x0, y0, z0) , ~ R1 = ~ r − ~ r 0 ~ r 0 I = (−x0, y0, z0) , ~ R1 = ~ r − ~ r 0 I Luego GD(~ r, ~ r 0 ) = 1 4π µ 1 |~ r − ~ r 0| − 1 |~ r − ~ r 0 I| ¶ A.2.5.2. Imágenes sobre una esfera Podemos también demostrar que la imagen de una carga q, frente a una esfera con potencial nulo, es otra carga q0 de signo contrario y de distinta magnitud. Supongamos, figura A.7, un par de cargas q y q0 situadas en (0, 0, d) y (0, 0, b) respectivamente. El potencial creado en un punto será V (~ r) = 1 4πε µ q R1 + q0 R2 ¶ = 1 4πε µ q |~ r − d b z| + q0 |~ r − b b z| ¶ Queremos determinar para que carga imagen q0 y que distancia b de la misma al origen la esfera de radio a es equipotencial con V = 0. V (a b r) = 0 ⇒ q d | a d b r − b z| = − q0 a |b r − b a b z|
- 377. a-11 ^ R2 R1 r II ,ε I ,ε θ q q’ q’’ a d b z Figura A.7: Esto se logra, para todo θ, haciendo q0 = −q a d , b = a2 d (A.16) como puede comprobarse por inspección. Estas relaciones siguen siendo válidas si intercambiamos la región (I) por la (II) y q por q0. Es decir, son válidas para cargas q en el interior de una esfera (d a). Podemos calcular el potencial producido por una carga q frente a una esfera con- ductora, a potencial V0 sin más que añadir una carga en el origen de magnitud q00 = V0 4π ε a , V (~ r) = 1 4πε µ q |~ r − d b z| + q0 |~ r − b b z| + q00 r ¶ (A.17) A.2.5.3. Imágenes sobre superficies cilı́ndricas R R a P=(x, y) x y a d 2 1 0 −V λ −λ c Figura A.8: Por último, investigaremos el potencial creado por una lı́nea cargada uniformemente, con densidad lineal de carga λ, en presencia de un cilı́ndo conductor, paralelo a la
- 378. a-12 anterior y de radio a. Suponemos que, como se muestra en la figura A.8 dicha lı́nea se encuentra a una distancia d del centro del cilı́ndro. Probaremos el uso de una lı́nea imagen con densidad lineal −λ. Nos planteamos por lo tanto, el cálculo de la distancia c del origen a la que deberá colocarse esta imagen. Dado que en este caso no es posible tomar como origen de potenciales al infinito, lo tomaremos en una lı́nea equidistante R0 de la lı́nea y de su imagen. Si el potencial de la esfera es −V0 V0 = λ 2π ε [ln(R0/R2) − ln(R0/R1)] = λ 2π ε ln(R1/R2) (A.18) por lo que invirtiendo la ecuación y elvándola al cuadrado, tenemos que R2 2 = A R2 1 , A = e4π ε V0/λ Dado que R2 1 = (d − x)2 + y2 , R2 1 = (x − c)2 + y2 substituyendo y operando, se obtiene el siguiente resultado x2 + y2 + 2x(A d − c) 1 − A = A d2 − c2 1 − A si queremos que la circunferencia esté centrada en el origen, el término proporcional a x debe anularse, luego c = A d Teniendo en cuenta este resultado y que el radio de dicha circunferencia es a, tenemos que A = a2/d2 y c = a2 d (A.19) Luego, la imagen de la primera lı́nea sobre el cilı́ndro de radio a está situada en c y tiene la misma densidad lineal con signo opuesto. El potencial del cilı́ndo es −V0. Paticularizando A.18 al punto ~ r = (a, 0, 0) se llega a lo conclusión de que V0 = λ 2π ε ln(d/a) (A.20) A.3. Resolución analı́tica de la ecuación de Laplace; méto- do de separación de variables A.3.1. Introducción Aunque la solución analı́tica completa de la ecuación de Laplace sólo es factible en un número de casos, si es posible la obtención de soluciones generales, en diversos sistemas
- 379. a-13 coordenados, para medios lineales homogéneos e isótropos. Veremos a continuación como pueden llenarse las condiciones de contorno en simetrı́a cartesiana, cilı́ndrica o esféri- ca, trabajando sobre ejemplos concretos. También apuntaremos brevemente el uso de métodos especiales, como los basados en las variables complejas, para la resolución de problemas bidimensionales. De nuevo se pretende solamente introducir el tema, por lo que la pre- sentación no será completa ni rigurosa. Tratamientos más amplios pueden encontrarse en prácticamente toda la bibliografı́a previamente citada y en [Morse y Feshbach, Abramowitz y Stegun, Arfken y Weber, Wylie, Jackson, Panofsky y Phillips, Konopinski, Weisstein, Tijonov]. Para la obtención de soluciones generales haremos uso del método de separación de variables, el cual permite la expresión de dicha solución como producto de funciones de una variable. Se puede demostrar, aunque nosotros no lo haremos, que la solución ası́ obtenida es completa, por lo que la solución particular a cualquier problema fı́sico bien planteado se obtiene dando valores adecuados a las constantes indeterminadas de dicha solución general. A.3.2. Solución en coordenadas cartesianas La ecuación ∇2 f = ∂2 f ∂ x2 + ∂2 f ∂ y2 + ∂2 f ∂ z2 = 0 admite soluciones del tipo f(x, y, z) = X(x) Y (y) Z(z) Substituyendo más arriba, excluyendo la solución trivial f = 0 y dividiendo por f(x, y, z), obtenemos 1 X d2 X dx2 | {z } u(x) + 1 Y d2 Y dy2 | {z } v(y) + 1 Z d2 Z dz2 | {z } w(z) = 0 La ecuación anterior puede escribirse como suma de tres funciones, cada una de las cuales depende de una variable independiente distinta. Esto sólo es posible si cada una de ellas es igual a una constante. La suma de estas tres constantes ha de ser igual a cero. Anotaremos estas constantes de la forma u(x) = −k2 x, v(y) = −k2 y, w(z) = −k2 z, con lo que k2 x + k2 y + k2 z = 0 (A.21) Esto conduce a las tres ecuaciones unidimensionales de segundo orden d2 X dx2 = −k2 x X (A.22a) d2 Y dy2 = −k2 y Y (A.22b)
- 380. a-14 d2 Z dz2 = −k2 z Z (A.22c) Ası́, pués, para cada valor kx, las soluciones posibles de la ecuación de X(x) tienen la forma Xk(x) = A1k ejkx x + A2k e−jkx x , para k2 x 0 A1 x + A2 , para kx = 0 A1k eκx x + A2k e−κx x , para κ2 x ≡ −k2 x 0 (A.23) Haciendo uso de las relaciones de Euler ejα = cos α + j sen α , eα = cosh α + senh α pueden ponerse las anteriores expresiones en función de senos y cosenos, circulares o hiperbólicos. La solución general de la ecuación de Laplace será, por lo tanto, fG = X ∀kx,ky Xkx (x) Yky (y) Zkz (z) , kz = q −k2 x − k2 y (A.24) Expresión en la que la sumatoria se extiende a todos los valores posibles de kx, ky, kz. La solución particular de un problema determinado implica el calculo de las infinitas constantes A1k, A2k, B1k, B2k, C1k, C2k, ası́ como el de los posibles valores de kx, ky, kz que son compatibles con las condiciones de contorno establecidas. Para el cálculo de los coeficientes de la solución general suele ser conveniente el uso de las propiedades de ortogonalidad de los conjuntos de funciones {ejα}, {cos α, sen α}, y {cosh α, senh α}. A veces es útil el recurso al principio de superposición. Ası́, pués, el problema de contorno de la figura, en el que las cuatro caras de la caja están a distinto potencial, puede descomponerse en dos problemas equivalentes al que acabamos de describir, según se muestra en la figura A.9, c V (x,y) 1 V0 Va Vb Vc V0 Vb V(x,y) a b x y V (x,y) 2 Va V Figura A.9:
- 381. a-15 A.3.3. Solución en coordenadas cilı́ndricas La ecuación de Laplace en coordenadas cilı́ndricas toma la forma ∇2 f = 1 ρ ∂ ∂ ρ µ ρ ∂ f ∂ ρ ¶ + 1 ρ2 ∂2 f ∂ ϕ2 + ∂2 f ∂ z2 = 0 la cual admite soluciones separables del tipo f(ρ, ϕ, z) = R(ρ) Φ(ϕ) Z(z) Operando de forma análoga a la utilizada en la sección anterior, obtenemos 1 R ρ d d ρ µ ρ d R d ρ ¶ + 1 ρ2 1 Φ d2 Φ dϕ2 + 1 Z d2 Z dz2 | {z } w(z)=k2=−κ2 = 0 donde aparece ya separada la función w(z). La solución Z(z) es, pués, del mismo tipo que en cartesianas 4 Zk(z) = C1k ek z + C2k e−k z , para k2 0 C1 z + C2 , para k = 0 C1k ejκ z + C2k e−jκ z , para κ2 ≡ −k2 0 (A.25) Si excluimos el origen y multiplicamos por ρ2 ρ R d d ρ µ ρ d R d ρ ¶ + k2 ρ2 + 1 Φ d2 Φ dϕ2 | {z } v(ϕ)=−n2 = 0 De esta foma separamos la función v(ϕ), por lo que la dependencia según ϕ puede ser escrita como Φn(ϕ) = B1n cos nϕ + B2n sen nϕ (A.26) donde n deberá ser entero si el rango de variación de ϕ cubre todo el intervalo [0, 2π] puesto que, para que la solución sea única deberá cumplirse Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π). En caso contrario son admisibles las soluciones Φ0(ϕ) = B1 ϕ + B2 , n = 0 Φν(ϕ) = B1ν eνϕ + B2ν e−νϕ , ν2 = −n2 (A.27) La ecuación radial resultante ya no es tan simple. Multiplicando por R ρ d d ρ µ ρ d R d ρ ¶ + ¡ k2 ρ2 − n2 ¢ R = 0 4 En general, k2 puede ser complejo.
- 382. a-16 Ecuación que para k = n = 0 admite la solución sencilla R00(ρ) = A1 ln ρ + A2 , k = n = 0 (A.28) Para k = 0, n 6= 0, ensayando soluciones del tipo R = A ρm, se obtienen dos solu- ciones independientes para m = ±n R0n(ρ) = A1n ρn + A2n ρ−n , k = 0 (A.29) En el caso de que k 6= 0, haciendo el cambio de variables p = kρ, la ecuación radial queda de la forma p d d p µ p d R d p ¶ + (p2 − n2 ) R = 0 (A.30) que es la ecuación de Bessel. Para k y n reales, admite soluciones polinómicas [Wylie, Arfken y Weber] Rkn(ρ) = Rn(p) = A1n Jn(p) + A2n J−n(p) (A.31) donde Jn(p) y J−n(p) son las funciones de Bessel de primera especie y de orden ±n. Estas funciones, que son linealmente independientes para n no entero, se expresan como suma de una serie infinita Jn(p) = ³p 2 ´n ∞ X i=0 (−1)i i! Γ (i + n + 1) ³p 2 ´2i donde Γ es la función gamma. En el caso en que n es entero Γ(i + n + 1) = (n + i)!, de donde se deduce que J−n(p) = (−1)n Jn(p) Se hace necesario, en consecuencia, buscar nuevas soluciónes linealmente independientes de éstas. Las funciones de Bessel de segunda especie, o funciones de Neumann, se definen como Nn(p) = Jn(p) cos nπ − J−n(p) sen nπ Puede demostrarse que éstas son independientes de las Jn(p) incluso en el lı́mite n → entero. Las funciones de Bessel, véase la figura A.10, se califican de regulares porque son finitas en el origen lı́m p→0 Jn(p) → pn 2n n! mientras que a las de Neumann se les califica de irregulares porque son singulares en dicho punto limp→0 N0(p) → 2 π ln p lı́mp→0 Nn≥1(p) → − 2n (n − 1)! π pn
- 383. a-17 2 4 6 8 10 12 -1 -0.5 0.5 1 o N 1 N 2 (p) N n p=k r o 1 2 (p) n J J J N J Figura A.10: Para valores grandes de p, estas funciones toman los valores asintóticos lı́m|p|→∞ Jn(p) → r 2 π p cos h p − ¡ n + 1 2 ¢ π 2 i lı́m|p|→∞ Nn(p) → r 2 π p sen h p − ¡ n + 1 2 ¢ π 2 i Para el estudio de la propagación de ondas es usual la utilización de las funciones de Hankel de primera y segunda especie, definidas, respectivamente, como H (1) n (p) = Jn(p) + j Nn(p) H (2) n (p) = Jn(p) − j Nn(p) de forma que Rn(p) = A H(1) n (p) + B H(2) n (p) y que son conjugadas entre sı́. La dependencia de esta función para puntos lejanos es del tipo lı́m p→∞ Hn(p)(1), (2) → r 2 π p e±j [p−(n+1 2 ) π 2 ] Más detalles pueden encontrarse en la bibliografı́a.
- 384. a-18 A.3.4. Solución en coordenadas esféricas La ecuación de Laplace puede escribirse en coordenadas esféricas 1 r2 ∂ ∂ r µ r2 ∂ f ∂ r ¶ + 1 r2 sen θ ∂ ∂ θ µ sen θ ∂ f ∂ θ ¶ + 1 r2 sen2 θ ∂2 f ∂ ϕ2 = 0 En éste caso ensayamos la separación de variables en la forma f(r, θ, ϕ) = R(r) Θ(θ) Φ(ϕ) Substituyendo y multiplicando por (r2 sen2 θ)/f, tenemos, excluyendo los puntos para los que r = 0, ó θ = 0 r2 sen2 θ · 1 R r2 d d r µ r2 d R d r ¶ + 1 Θ 1 r2 sen θ d d θ µ sen θ d Θ d θ ¶¸ + 1 Φ d2 Φ d ϕ2 | {z } =−n2 = 0 donde nos aparece separada la variable ϕ de la misma forma que en cilı́ndricas. Para no recargar la exposición supondremos que el intervalo de ϕ es [0, 2π] y que, por lo tanto n es real y entero. Φn(ϕ) = C1n cos nϕ + C2n sen nϕ , ϕ ∈ [0, 2π] (A.32) La separación de las variables r y θ se logra dividiendo por sen2 θ. 1 R d d r µ r2 d R d r ¶ | {z } =l(l+1)) + 1 Θ 1 sen θ d d θ µ sen θ d Θ d θ ¶ − n2 sen2 θ = 0 donde, se ha escrito la constante de separación radial como l(l + 1). La ecuación corre- spondiente toma la forma d d r µ r2 d R d r ¶ − l(l + 1) R = 0 Ensayando soluciones del tipo f = A ra se obtiene la ecuación a (a + 1) = l (l + 1) cuyas soluciones son a = l, −(l + 1). La función radial es, por lo tanto Rl(r) = A1l rl + A2l r−(l+1) (A.33) La ecuación polar resultante es 1 sen θ d d θ µ sen θ d Θ d θ ¶ + · l(l + 1) − n2 sen2 θ ¸ Θ = 0 que, haciendo el cambio ξ = cos θ, pone de manifiesto que sus soluciones son función de cos θ d d ξ · (1 − ξ2 ) d Θ d ξ ¸ + · l(l + 1) − n2 1 − ξ2 ¸ Θ = 0 (A.34)
- 385. a-19 Ésta es la ecuación asociada o generalizada de Legendre. Admite soluciones polinómi- cas del tipo Θn l = B1nl Pn l (ξ) + B2nl Qn l (ξ) (A.35) donde Pn l y Qn l son los polinomios asociados de Legendre de primera y segunda especie y de orden (n, l) [Wylie]. Para problemas con simetrı́a azimutal 5, f = f(r, θ), ∂ f ∂ ϕ = 0 y n = 0. La ecuación generalizada se reduce en este caso a la de Legendre d d ξ · (1 − ξ2 ) d Θ d ξ ¸ + l(l + 1) Θ = 0 (A.36) cuyas soluciones Pl = Ql = Pl(ξ) son polinomiales de orden l, polinomios de Legendre. Efectivamente, substituyendo en la ecuación de Legendre los polinomios Pl(ξ) = l X i=0 ai ξi e igualando a cero los coeficientes de las potencias de ξ, comprobamos que [Wylie] Pl(ξ) = L X i=0 (−1)i (2l − 2i)! 2l i!(l − i)! (l − 2i)! ξl−2i , L = l 2 para l par L = l − 1 2 para l impar Los primeros polinomios son P0 = 1 P1 = ξ P2 = 1 2 (3 ξ2 − 1) P3 = 1 2 (5 ξ3 − 3 ξ) P4 = 1 8 (35 ξ4 − 30 ξ2 + 3) (A.37) De entre las propiedades de estos polinomios resaltaremos sólo las principales: En la versión que aquı́ se presenta, figura A.11, los polinomios se han normalizado de manera que Pl(ξ = 1) = 1 , ∀l 5 Los problemas propuestos más adelate se limitan a esta simetrı́a.
- 386. a-20 -1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1 1 P3 P5 P2 ξ P( ) P0 P4 ξ θ= π /2 θ=π P θ=0 Figura A.11: Es fácil comprobar que Pl tiene la misma paridad que el ı́ndice Pl(ξ) = (−1)l Pl(−ξ) (A.38) Como puede verse en la figura A.11 Pl(ξ = 0) = 0 , l impar , Pl(ξ = 0) 6= 0 , l par Por inspección puede comprobarse que los polinomios son generados por la fórmula de Rodrigues: Pl(ξ) = 1 2l l! dl dξl (ξ2 − 1)l (A.39) Los polinomios ası́ definidos son ortogonales, en el intervalo ξ ∈ [−1, +1] Z +1 −1 Pl0 Pl dξ = 2 2l + 1 δl l0 (A.40) La ortogonalidad puede demostrarse multiplicando la ecuación de Legendre por Pl0 y por Pl sucesivamente, restando e integrando. El valor de la norma puede calcularse haciendo uso de la fórmula de Rodrigues e integrando por partes l veces la integral de más arriba. Para obtener polinomios ortonormales en el intervalo de θ ∈ [0, π], habrı́a que multiplicar Pl por r 2l + 1 2 .
- 387. a-21 Para problemas con simetrı́a azimutal, la solución general queda de la forma f(r, θ) = ∞ X 0 ³ Al rl + Bl r−(l+1) ´ Pl(ξ) (A.41) A.4. Solución de la ecuación de Laplace en dos dimen- siones mediante el uso de transformaciones comple- jas Muchos problemas de potencial interesantes pueden aproximarse como uniformes en una dirección determinada, lo que permite resolverlos en el plano transversal a dicha dirección. Existe un cierto número de procedimientos simplificados especialmente indi- cados para este tipo de problemas. Unos son versiones más simples de métodos aplicables en tres dimensiones y otros tienen un carácter especı́fico para potenciales bidimension- ales. No abordaremos en detalle estos métodos de los cuales puede encontrarse cumplida exposición en la bibliografı́a 6. Como introducción al tema, nos limitaremos a la búsqueda de una expresión especi- fica de la solución general de la ecuación de Laplace en dos dimensiones. Sea f(z) una función analı́tica de la variable compleja z z = x + j y , f(x) = u(x, y) + j v(x, y) donde x = Re[z] , y = Im[z] u = Re[f] , v = Im[f] Veremos que tanto u(x, y) como v(x, y) son soluciones de la ecuación de Laplace. Efectivamente, figura A.12, al desplazarnos en el plano z desde el punto z al z + dz nos desplazamos en el plano f desde el punto f al f + df. jv z z+dz f f+df jy x u jdv du jdy dx (a) (b) Figura A.12: 6 Véase Smythe y Jackson
- 388. a-22 La derivada de f con respecto a z es d f d z = du + j dv dx + j dy = ¡∂ u ∂ x + j ∂ v ∂ x ¢ dx + ³ ∂ u ∂ y + j ∂ v ∂ y ´ dy dx + j dy y, para una función analı́tica, por definición, debe ser independiente de la dirección del desplazamiento dz. En particular para dz = dx ⇒ d f d z = ∂ u ∂ x + j ∂ v ∂ x (A.42) y para dz = j dy ⇒ d f d z = −j ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ y (A.43) de forma que, si la derivada ha de ser única, deberán ser iguales las partes reales y las imaginarias de A.42 y de A.43 ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ v ∂ y = − ∂ u ∂ y (A.44) Estas son las ecuaciones de Cauchy-Riemann o condiciones de analiticidad de f(z) de las que es fácil deducir que ∇ u · ∇ v = 0 , ∇2 u = 0 ∇2 v = 0 (A.45) Ecuaciones que muestran como, dada una función analı́tica arbitraria, tanto su parte real como su parte imaginaria cumplen la ecuación de Laplace, siendo ortogonales entre sı́ las curvas u = cte y v = cte. Esto último significa que si u(x, y) cumple unas condiciones de contorno determinadas, esta función será la solución del problema de potencial, las curvas u = cte serán las equipotenciales y las v = cte las lı́neas de campo. De esta forma, por tanteo, buscando funciones apropiadas, pueden solucionarse problema interesantes. Como ejemplo de funciones analı́ticas simples podemos citar a las potencias de z fn(z) = zn = (x + j y)n = rn ej nϕ = rn (cos nϕ + j sen nϕ) donde r = |z| = p x2 + y2 y ϕ = /z = artg y x. Recordemos que rn cos nϕ y rn sen nϕ eran posibles soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas cilı́ndricas. La figura A.13-a representa, en el plano (x, y), las partes real e imaginaria de z y en A.13-b las de z2. En ambas figuras se muestra como, por ejemplo, las curvas Im[f] = cte pueden corresponder a las curvas equipotenciales compatibles con los conductores indicados y las Re[f] = cte a las lı́neas de campo eléctrico. También es interesante la función f(z) = 1 + z 1 − z
- 389. a-23 =cte 2 Re (z ) =cte 2 Im (z)=cte Im 1 2 3 (z)=cte Re 1 2 3 3 1 2 1 2 3 x (a) (b) y y (z ) x Figura A.13: 1 v=1 v=2 u=0 u=1 1 y x v=oo u=oo Figura A.14:
- 390. a-24 que es analı́tica, salvo en el punto z = 1 (x = 1, y = 0), y está relacionada con la transformación de impedancias en lı́neas de transmisión. La representación de las curvas u = cte v = cte, para esta función, recibe el nombre de diagrama de Smith, el cual se representa en la figura A.14. Los puntos donde una función compleja es singular corresponden, consecuentemente, con singularidades del campo. A.5. Solución experimental y gráfica de las ecuaciones de Poisson y Laplace A.5.1. Introducción Ya hemos visto que sólo en casos muy especı́ficos, cuando la estructura es simple y el grado de simetrı́a alto, es posible encontrar solución analı́tica de los problemas elec- tromagnéticos. En la práctica es a menudo necesario recurrir a soluciones no analı́ticas y de precisión diversa. La disponibilidad creciente de medios de cálculo potentes hace que la solución numérica, al ser asequible, adquiera cada vez mayor relevancia 7. Los métodos experimentales y gráficos fueron importantes en el pasado en la reso- lución aproximada de estas ecuaciones. Aunque ésto no es ası́ actualmente, siguen poseyendo un interés didáctico al poner en evidencia la analogı́a entre distintas apli- caciones de las ecuaciones que nos ocupan. A.5.2. Métodos experimentales Experimentalmente pueden determinarse las distribuciones de campo bien sea de forma directa o bien haciendo uso de analogı́as. No hay que olvidar que no sólo son análo- gos, en nuestro contexto, los problemas irrotacionales electrostáticos, magnetostáticos y de conducción, sino que existen problemas equivalentes en mecánica de fluidos, calor, gravedad, elasticidad, variables estocásticas, etc., por lo que cualquier problema corres- pondiente a un cierto tipo de campo y a unas ciertas condiciones de contorno puede encontrar una analogı́a, fácilmente modelable y mesurable experimentalmente, en otro tipo de campo. Desde el punto de vista fı́sico, la analogı́a más utilizada es la existente con los pro- blemas de conducción. Cuando la geometrı́a del problema es bidimensional se puede determinar la estructura de curvas equipotenciales haciendo uso de láminas cuya resis- tencia por cuadrado Rc = 1 σ e, donde e es el espesor de la lámina, sea uniforme. Estas láminas pueden ser de papel especial, o de lı́quido ligeramente conductor, método de la cuba electrolı́tica. El dispositivo experimental es el que se muestra esquemáticamente en la figura A.15. En el caso del papel conductor, se pintan los electrodos con una pintura altamente conductora y entre ellos se establece la diferencia de potencial correspondiente. Mi- diendo con un voltı́metro de alta impedancia el potencial de cada punto de la zona 7 Ya se ha aplicado el cálculo numérico para la solución de algunos problemas y en el apéndice B se estudiarán los fundamentos de los algunos métodos de este tipo que son de uso común en electromag- netismo.
- 391. a-25 σ oo σ V Lamina de conductividad finita σ oo Figura A.15: entre electrodos, podemos establecer experimentalmente la estructura de las superficies equipotenciales de un problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace. Este tipo de procedimientos, en las mejores condiciones, proporciona soluciones váli- das dentro de un margen de error de varias unidades por ciento. A.6. Métodos gráficos Los métodos gráficos son menos precisos pero pueden ejecutarse con papel y lápiz. Gráficamente pueden resolverse problemas bidimensionales de Laplace y, con algo más de dificultad, problemas con simetrı́a axial [Popovic] e incluso problemas de Poisson. Consideraremos solamente campos laplacianos bidimensionales. Sea un campo ~ F(x, y) = −∇ f(x, y) que cumpla la ecuación de Laplace ∂2 f ∂ x2 + ∂2 f ∂ y2 = 0 Consideremos un tubo elemental de flujo de espesor ∆z = 1. Si ξ es la distancia a lo largo de las lineas de campo y η la distancia a lo largo de las equipotenciales, el campo F y el flujo ∆Φ que circula por el tubo, vendrán expresados por F =' ∆f ∆ξ , ∆Φ ' F ∆η Para ∆ξ y ∆η suficientemente pequeños.
- 392. a-26 η ∆ z=1 ∆ Plano xy f=cte linea F ξ η A B ξ ∆ Figura A.16: Puesto que el flujo que atraviesa a las secciones (A) y (B) es el mismo F ∆η = F0 ∆0 η , ∆f ∆ξ ∆η = ∆0f ∆0ξ ∆0 η Si dibujamos dos familias de curvas ortogonales, compatibles con las condiciones de contorno, que formen una cuadrı́cula curvilı́nea lo suficientemente tupida y que cumpla la condición, para cada cuadrado curvilı́neo, ∆η ∆ξ ' ∆0η ∆0ξ ' 1 (A.46) tendremos que ∆ Φ = ∆0 Φ = ∆ f = ∆0 f (A.47) Hecho esto, habremos dividido el espacio problema en tubos elementales de flujo, de corriente, de campo eléctrico o de campo magnético, por cada uno de los cuales circula el mismo flujo ∆Φ, y en zonas separadas por equipotenciales equiespaciadas en ∆f. Ası́, pués, si el medio es un conductor de conductividad σ, habremos dividido el plano en cuadrados curvilı́neos, tanto más próximos a cuadrados rectos cuanto más fina sea la división, de resistencia Rc = ∆ V j ∆ η = ∆ V σ E η = 1 σ , ∆ z = 1 (A.48) Si el problema es electrostático, el flujo de ~ D que circula por el tubo puede rela- cionarse con la densidad de carga superficial ρs ∆ Φ = D ∆ S = ε E η = ρs ∆ η = ∆ Q y la capacidad equivalente del cuadrado serı́a Cc = ∆ Q ∆ V = ε E η ∆ V = ε , ∆ z = 1 (A.49)
- 393. a-27 Por el mismo procedimiento podemos comprobar que la reluctancia de un cuadrado de material magnético es Rc = 1 µ , ∆ z = 1 Para calcular los parámetros de un macrorectángulo de NΦ tubos y Nf equipoten- ciales, basta con tener en cuenta que Φ = nΦ ∆ Φ , f = Nf ∆ f (A.50) Como se deduce de A.48, A.49 y A.50 RC = τ = ε σ . . . φ Νφ φ= φ ∆ Ν f ∆ f ∆ f ∆ φ ∆ φ ∆ f =Ν f f . . . Ν Figura A.17: Para dibujar las familias de lı́neas de campo y curvas equipotenciales, son útiles una serie de reglas y, muy especialmente, la experiencia. Existen técnicas aplicables a regiones con más de un dieléctrico y con fuentes, pero aquı́ sólo citaremos las reglas básicas para medios homogéneos sin fuentes. Fijaremos nuestra atención en un problema de conducción: 1. Dibujar el contorno del problema. 2. Dibujar un número adecuado de equipotenciales, con ∆V = cte, teniendo en cuenta que los electrodos son equipotenciales y que las lı́neas de campo eléctrico son tangenciales a las superficies de separación con los medios no conductores y, por tanto, las equipotenciales son perpendiculares a las mismas. Si existen zonas donde presumiblemente el campo sea uniforme, es aconsejable empezar el dibujo por esa zona. 3. Tener también en cuenta que, por el poder de las puntas, el campo es más intenso en las zonas superficiales convexas de la superficie de los conductores, por lo que las equipotenciales se acercan a estas zonas y se alejan de las cóncavas.
- 394. a-28 4. Dibujar las lı́neas de campo procurando guardar, al mismo tiempo, la ortogonali- dad con las equipotenciales y la regla de cuadrado (A.46) ∆ξ ' ∆η. Las posibles fracciones de cuadrado pueden ignorarse en un principio. 5. En las regiones de campo débil pueden aparecer polı́gonos curvilı́neos que difieran considerablemente del cuadrado por lo que podrı́a ser necesario subdividirlos en cuadrados menores. 6. Reiterar este proceso hasta que las reglas anteriores se cumplan de la forma más razonable posible. Para ésto puede utilizarse lápiz y goma de borrar o, mejor aún, un papel milimetrado para los contornos y papel transparente para las sucesivas iteraciones. Dielectrico V Dielectrico Dielectrico V σ σ Figura A.18: En las figuras se muestra la función dual que, en este tipo de problemas, ejercen las lı́neas equipotenciales y las de corriente, las superficies electródicas y las interfacies conductor-dieléctrico.
- 395. a-29 A.7. Problemas a-1. Considere una esfera de radio a, figura A.19, cargada con una densidad uniforme ρ, salvo en una cavidad esférica excéntrica, centrada en b y de radio c siendo b + c ≤ a. Calcule el campo eléctrico en el hueco. Solución: R r a b c ρ Figura A.19: Podemos utilizar el principio de superposición para descomponer las cargas del enunciado en dos distribuciónes de simetrı́a esférica. La primera serı́a la esfera de radio a, con densidad ρ, y la segunda la cavidad pero con densidad −ρ. La suma de estas fuentes equivale a las enunciadas. El campo interior de la primera es ~ E1 = Q(r) 4π ε R3 ~ R = ρ 3ε ~ R luego, sumándole la contribución de la segunda ~ E = ρ 3ε (~ R − ~ r) = ρ 3ε ~ b ya que ~ R = ~ b + ~ r a-2. Un cilindro de radio a por el que circula una corriente I tiene un hueco cilı́ndrico excéntrico, centrado en b y de radio c (b + c ≤ a). Calcule el campo magnético en el hueco. a-3. Utilice el método de Green para calcular el potencial en la región z ≥ 0 debido a una distribución de potencial V (x, y, 0), tal que V (x, y, 0) → 0 para x2+y2 → ∞.
- 396. a-30 a-4. Una carga puntual q se sitúa a una distancia d de un plano conductor infinito conectado a tierra. Obténgase la carga total inducida sobre el plano integrando directamente la densidad de carga superficial inducida en el mismo. Solución: x y − n E α ρ d −q +q d ρ d ρ r r + V=0 x z (a) (b) Figura A.20: En la figura A.20a se representa, en el plano y = 0, a la carga q, a la distancia d del conductor, y a su imagen. Dada la simetrı́a del problema, el campo eléctrico en dicho conductor es perpendicular al mismo. ~ E = Ez b z , Ez = −2 q 4π ε r2 cos α donde cos α = d r , r = p d2 + ρ2 En la superficie del conductor la densidad superficial de carga es σ = ε ~ E · ~ n = − q d 2π (d2 + ρ2)3/2 Integrando sobre la superficie del conductor, figura A.20b, y tomando ds = 2π ρ dρ Q = −q d Z ∞ ρ=0 ρ dρ (d2 + ρ2)3/2 En las tablas encontramos que
- 397. a-31 Z x dx (x2 + a2)n = − 1 2 (n − 1)(x2 + a2)n−1 por lo que Q = −q a-5. Un dipolo ~ p se orienta normalmente a un plano conductor infinito y a una distan- cia d del mismo. El plano está a potencial cero. Calcule la fuerza ejercida por el dipolo sobre el plano. a-6. Halle el trabajo mı́nimo necesario para llevar al infinito a una carga q desde una distancia d = x de un plano conductor indefinido a potencial nulo. a-7. Una carga q, de masa m, pende de un hilo de longitud l sobre un plano conductor a potencial nulo. Si se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio y se deja libre, determine el movimiento de la carga. a-8. Considere a una partı́cula cargada situada entre dos planos conductores al mismo potencial y situados en x = ±a. Encuentre la ley de recurrencia que permite calcular la serie de imágenes que generan el campo en el espacio entre las placas. De acuerdo con el resultado, averigüe cuál es el signo de la fuerza que actua sobre la carga. Solución: 0 2 1 -I 1 D x -a 0 x a q q -I q -q -q D 2 Figura A.21: Dado que los dos planos están al mismo potencial, los consideramos descargados y los tomamos como origen de los potenciales. En la parte superior de la figura A.21 se reprenta a la carga situada a la distancia x0 del origen. La imagen de la derecha se encontrará a la distancia a − x0 del plano de la derecha y a la distancia D1 = 2a − x0 del origen.
- 398. a-32 Esta carga, junto con la primera, hacen que el potendial del conductor de la derecha se anule, pero no el del izquierdo. De forma análoga, situando una imagen a la izquierda, a la distancia I1 = x0 + 2a ⇒ q y esta última imagen anuları́an el potencial en el conductor izquierdo. Con estas tres cargas ninguno de los conductores estarı́a a potencial nulo, por lo que habrá que continuar hallando imágenes de las imagenes previas. Ası́, pués, la imagen situada en D1 está a la distancia D1+a del conductor de la izquierda y la imagen correspondiente estará a la misma distancia de dicho plano y a I2 = D1 + 2a ⇒ del origen. la recurrencia para las distancias y las cargas es D1 = 2a − x0 , I1 = 2a + x0 Di = Ii−1 + 2a , Ii = Di−1 + 2a , i = 2, 3, · · · , qi = (−1)i Las coordenadas son xDi = Di , xIi = −Ii el potencial en el plano xy es el producido por la carga y sus imágenes Una aproximación del potencial correspondiente a N imágenes a la izquierda y otras tantas a la derecha, es V (x, y) = q 4π ε Ã 1 p (x − x0)2 + y2 + N X i=1 (−1)i ( 1 p (x − xDi)2 + y2 + 1 p (x − xIi)2 + y2 )! Se calcula y representa mediante el siguiente programa Mathematica. Gráficas con Mathematica imag − dosplanos.nb: Representación de las cargas Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
- 399. a-33 $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; tD = Table[{0, 0}, {i, 1, 4}]; tI = tD; tD[[1, 1]] = 2 ∗ 1 − .5; tI[[1, 1]] = 2 ∗ 1 + .5; Do[{tD[[i, 1]] = tI[[i − 1, 1]] + 2 ∗ 1, tI[[i, 1]] = tD[[i − 1, 1]] + 2 ∗ 1}, {i, 2, 4}]; xD = tD; xI = −tI; xn = Join[Table[xD[[i]], {i, 1, 4, 2}], Table[xI[[i]], {i, 1, 4, 2}]]; xp = Join[Table[xD[[i]], {i, 2, 4, 2}], Table[xI[[i]], {i, 2, 4, 2}]]; lineaD = {{1, − 1 2 }, {1, 1 2 }}; grplacaD = Graphics[{RGBColor[1, 0, 0], Line[lineaD]}]; lineaI = {{−1, − 1 2 }, {−1, 1 2 }}; grplacaI = Graphics[{RGBColor[1, 0, 0], Line[lineaI]}]; lineay = {{0, − 1 4 }, {0, 1 4 }}; gry = Graphics[{RGBColor[0, 1, 0], Line[lineay]}]; lineax = {xI[[4]], xD[[4]]}; grx = Graphics[{RGBColor[0, 1, 0], Line[lineax]}]; puntoq = {{.5, 0}}; grq = Graphics[{PointSize[.02], RGBColor[1, 0, 0], Point/@puntoq}];
- 400. a-34 grcargasn = Graphics[{PointSize[.02], RGBColor[0, 0, 1], Point/@xn}]; grcargasp = Graphics[{PointSize[.02], RGBColor[.83, 0.01, 0.1], Point/@xp}]; Show[gry, grx, grq, grplacaD, grplacaI, grcargasn, grcargasp]; Figura A.22: La figura A.22 muestra la posición de la carga y sus imágenes. Las cargas positivas son puntos rojos y las negativas azules. Representación del potencial Remove[”Global‘ ∗ ”] NN = 100; a = 1; xc = a 2 ; tD = Table[{0, 0}, {i, 1, NN}]; tI = tD; tD[[1, 1]] = 2 ∗ a − xc; tI[[1, 1]] = 2 ∗ a + xc; Do[{tD[[i, 1]] = tI[[i − 1, 1]] + 2 ∗ a, tI[[i, 1]] = tD[[i − 1, 1]] + 2 ∗ a}, {i, 2, NN}]; xD = tD; xI = −tI; xn = Join[Table[xD[[i]], {i, 1, NN, 2}], Table[xI[[i]], {i, 1, NN, 2}]]; xp = Join[Table[xD[[i]], {i, 2, NN, 2}], Table[xI[[i]], {i, 2, NN, 2}]];
- 401. a-35 Vp = 0; Do[Vp = Vp + 1 p (xp[[i, 1]] − x)2 + y2 , {i, 1, NN}]; Vn = 0; Do[Vn = Vn + − 1 p (xn[[i, 1]] − x)2 + y2 , {i, 1, NN}]; V = Vp + Vn + 1 p (xc − x)2 + y2 ; gr2 = Plot3D[V, {x, −a, a}, {y, − a 2 , a 2 }, ViewPoint → {−2, 0.5, 1}, PlotPoints → 50, AxesLabel → {”x”, ”y”, ”V”}]; gr3 = ContourPlot[V, {x, −a, a}, {y, − a 2 , a 2 }, ContourStyle → Hue[0.6], Contours → {0.01, 0.15, 0.3, 1, 2.5, 4}, ContourShading → False, PlotPoints → 50, FrameLabel → {”x”, ”y”}]; La figura A.23a representa tridimensionalmente al potencial entre las placas. Puede observarse como en éstas el potencial es nulo, tendiendo a infinito en la posición de la carga. La A.23b representa las curvas equipotenciales que rodean a la carga y que son rectas paralelas a las placas en la proximidad de las mismas. -1 -0.5 0 0.5 1 x -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 y 0 1 2 3 4 V -1 -0.5 0 0.4 0.2 0 0.2 0.4 -1 -0.5 0 0.5 1 x -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 y (a) (b) Figura A.23: a-9. Suponga que una carga q está situada entre dos semiplanos conductores, conectados a tierra, que, como se indica en la figura A.24, forman entre sı́ un ángulo α. Compruebe que el numero de imágenes necesarias es finito si π/α es un número entero. Hágalo apoyándose en el caso en que α = π/3. Tome α = 90o y coloque la carga a distancias a y b de cada uno de los semiplanos. Calcule:
- 402. a-36 a) La fuerza ejercida por la carga sobre ambos conductores. b) La densidad de carga inducida sobre los conductores. 5 4 α β α−β 3 0 1 2 Figura A.24: a-10. En la experiencia de Coulomb para comprobar la ley del inverso del cuadrado de la distancia, se mide la fuerza que ejercen entre sı́ dos esferas conductoras, de radio a, cargadas al mismo potencial V0. a) Halle la ley de recurrencia de las posiciones y magnitudes de las cargas ima- gen. b) Represente gráficamente el potencial producido por ambas esferas. c) Determine la corrección, debida al fenómeno de influencia, que es necesario introducir en los resultados experimentales para confirmar la dependencia r−2 a distancias comparables con a. Solución: Trataremos la cuestión (a). La (b) se resuelve en el programa Mathe- matica imag-dosesferas.nb. Como puede verse en la figura A.25, la simetrı́a del problema implica que en el plano medio se cumpla la condición de Neumann Ex( 1 2 d1, y) = 0 Podemos abordar este problema por dos caminos: Como una esfera a potencial V0 frente al plano medio con la condi- ción especificada anteriormente. Como un problema de imágenes entre dos esferas.
- 403. a-37 b R 3 3 b 2 3 q1 q 2 q 3 I II I II V0 V0 d 3 d 2 d 1 q1 q 2 q 3 x y a R’ Figura A.25: Seguiremos la segunda vı́a para la cual se hará uso de las relaciones de la imagen de una carga q sobre una esfera q 0 = −q a d , b = a2 d Comenzaremos por colocar dos cargas idénticas q1 = 4π ε a V0 rojas en la figura A.25, en el centro de cada una de ellas. Por separado harı́an equipotencial V0 a su esfera respectiva, pero en conjunto ésto no es cierto porque la q1 de la derecha perturba el potencial de la esfera izquierda y viceversa. A continuación, nos planteamos el problema de imagen de la q1 de la derecha sobre la esfera de la izquierda y colocamos la carga imagen q2 en el interior de la misma, con lo que restauramos el potencial V0 en su superficie y pertubamos el de la esfera derecha. La introducción sucesiva de las imágenes q2, q3, · · · sobre una y otra esfera, proporciona correcciones decrecientes que, en el lı́mite, harán equipotenciales a las dos esferas. De acuerdo con la figura, los dos primeros pasos de la serie son q1 = 4π ε a V0 , b1 = 0 , d1 = d q2 = −q1 a d1 , b2 = a2 d1 , d2 = d − b2 y los valores iniciales y las iteraciones
- 404. a-38 q1 = 4π ε a V0 , b1 = 0 , d1 = d qi = −qi−1 a di−1 , bi = a2 di−1 , di = d − bi , i = 2, 3 · · · El potencial producido por las cargas iniciales y N − 1 parejas de imágenes es V (x, y) = 1 4π ε0 N X i=1 qi µ 1 Ri − 1 R 0 i ¶ donde Ri = p (x − bi)2 + y2 , R 0 i = p (x − di)2 + y2 La convergencia está asegurada porque la serie es alternada y decre- ciente en valor absoluto. Las siguientes figuras son generadas por imag-dosesferas.nb. 0 2 4 6 x -2 -1 0 1 2 y 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 V 0 2 4 x 2 -1 0 1 0 1 2 3 4 5 6 x -2 -1 0 1 2 y (a) (b) Figura A.26: La figura A.26a es la representación tridimensional del potencial V (x, y) y la A.26b la de las lı́neas equipotenciales. a-11. Halle el potencial producido por una esfera metálica de radio a, a potencial V0, cuyo centro se encuentra a una distancia d de un plano conductor a potencial nulo. Supuesto que el eje z es perpendicular al plano y pasa por el centro de la esfera, Dibuje la gráfica de la densidad superficial de carga en el esfera en función del ángulo polar. a-12. Un hilo conductor que transporta una corriente I está situado en el centro de una región vacı́a entre de dos bloques ferromagnéticos con µ → ∞ y separados una distancia d. Calcule el campo magnético en la región entre los dos bloques.
- 405. a-39 a-13. Un hilo conductor por el que circula una corriente I es paralelo a un bloque ferro- magnético con µ → ∞ y está situado a una distancia d del bloque. Calcule el campo magnético en el semiespacio donde está el hilo. Obtenga las corrientes superficiales inducidas en el bloque ası́ como las densidades de polos magnéticos. o µ a a/2 a/2 a I o P Figura A.27: a-14. Por el conductor de la figura A.27 circula una corriente I y esta situado a una distancia a de planos ferromagnético ideales.Calcule el campo magnético en el punto P. a-15. Un guı́a de onda bifilar está constituida por dos cables cilı́ndricos de radio a. Haga uso del método de las imágenes para calcular su capapacidad por unidad de longitud. Solución: c 0 c d c a d V0 -V Figura A.28: En la figura A.28 se representa un corte de la guı́a. El radio de cada uno de los cables es a y sus centros se hallan separados una distancia dc. De acuerdo con lo visto en la sección A.2.5.3, la carga imagen de la λ, situada a la distancia d del centro del cable izquierdo, es −λ y está situ- ada a la distancia c de su centro. Según A.19
- 406. a-40 a d = e−2π ε V0/λ , c = a2 d y el potencial V0 = λ 2π ε ln(d/a) Por simetria, la circunferencia de radio a, situada a la distancia dc = d+c, es también equipotencial; V = −V0. Aplicando el teorema de Gauss a una superficie que envuelva al con- ductor de la derecha, comprobaremos que la carga depositada sobre su superficie es, por unidad de longitud, igual a λ. Luego la diferencia de potencial entre ambos cables es 2 V0 y C = λ 2 V0 = π ε ln(d/a) Expresando V0 en función de dc y de a y haciendo uso de la notación x ≡ d/a y α ≡ dc/2a, se obtiene la ecuación x2 − 2α x + 1 = 0 de cuyas posibles soluciones debemos quedarnos con la x = α + p α2 − 1 La solución x 0 = α − √ α2 − 1 debe descartarse porque la distancia de los cables debe se mayor que el diámetro de los mismos, luego α 1, y d a, luego x 1, mientras que de esta solución resulta x 0 1 para α 1. Compruebe esto último. La capacidad, expresada en función de los datos del problema es, por lo tanto C = π ε ln ½ dc 2a + q (dc 2a)2 − 1 ¾ a-16. La figura A.29 representa a una caja, infinitamente larga en las direcciones z e y y limitada por una banda a potencial V0 en el plano y = 0 y por dos semiplanos a potencial nulo en x = 0 y x = a. a) Calcule el potencial en el interior de la caja. b) ¿Cómo se verá modificada esta solución si limitamos la caja en la dirección y terminándola en y = b con una banda a potencial Vb?
- 407. a-41 V0 x ^ y ^ x=a V=0 V=0 Figura A.29: Solución: a) Dadas las condiciones de contorno del problema, éste es bidimen- sional, luego V = V (x, y). Las constantes kx y ky deberán, por lo tanto, cumplir la relación k2 x + k2 y = 0 Las condiciones de contorno que debemos aplicar son, en principio V (x, 0) = V0 , 0 x a V (0, y) = V (a, y) = 0 , y 0 Puesto que para y → ∞ no se especifica la existencia de ningún tipo de fuentes y los planos x = 0 y x = a están a potencial nulo, se supone que la cuarta condición de contorno que nos falta es V (x, ∞) = 0 , 0 x a Comprobaremos que, al ser finito el dominio de la solución en la direc- ción x e infinito en la y, resultará cómodo tomar k2 x = −k2 y ≡ k2 donde k es real y positivo. Partimos de la solución general VG = X ∀k Xk(x) Yk(y) = X ∀k ³ A1k ejk x + A2k e−jk x ´ ³ B1k ek y + B2k e−k y ´
- 408. a-42 Si tenemos en cuenta, en primer lugar, que v(0, y) = 0 ⇒ A1k = −A2k podremos escribir 8 V = X ∀k Ak sen (k x) Yk(y) lo que justifica la elección de k2 x = k2. Si ahora aplicamos la condición V (a, y) = 0 encontramos que sólo son posibles aquellos valores de k que hacen que los valores nulos de sen k x coincidan con los extremos del intervalo (0, a) k = n π a , n = entero Vemos que k se cuantifica al limitar el intervalo según la dirección x. Luego V = X no An sen (nπ x a ) Yn(y) Haciendo uso de la condición V (x, ∞) = 0 encontramos que los B1n = 0 porque están asociados a términos crecientes con y. V = X no An sen (nπ x a ) e−nπ y a Por último, debemos cumplimentar la condición V (x, 0) = V0 para 0 x a V0 = X no An sen (nπ x a ) (A.51) El cálculo de los coeficientes puede llevarse a cabo, de forma más gene- ral, teniendo en cuenta las propiedades de ortogonalidad de las fun- ciones seno y coseno en el intervalo [0, a]. Z a 0 sen (nπ x a ) sen (n0 π x a ) dx = 1 2 a δn n0 Multiplicando ambos miembros de la ecuación A.51 por sen (nπ x a ) e integrando An = 2V0 a Z a 0 sen (nπ x a ) dx = 0 , n par 4 V0 nπ , n impar 8 Ak, An y An son distintas entre sı́ y sus relaciones mutuas son fácilmente deducibles.
- 409. a-43 La solución particular que cumple las condiciones de contorno será V (x, y) = 4 V0 π X n, impar 1 n sen (nπ x a ) e−nπ y a Realizaremos las gráficas de este potencial por medio de un programa Mathematica. Gráficas con Mathematica poisson − cartesianas − a.nb: Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; Tomamos valores normalizados para la dimensión a y para V0. a = 1; V0 = 1; Elegimos el valor NN = impar de posibles coeficientes. Dado que, en este caso, los pares serán nulos, el número de los coeficientes no nulos será NN+1 2 . De a NN los valores 1, 2, · · · para ver como se va aproximando la solución. NN = 49; Tablapot = Table[ 4 V0 n π Sin[ n π x a ] Exp[− n π y a ], {n, 1, NN, 2}]; nn = Dimensions[Tablapot][[1]]; V = 0; Do[V = V + Tablapot[[i]], {i, 1, nn}] poisson1a = Plot3D[V, {x, 0, a}, {y, 0, a 2 }, ViewPoint → {2, 0, 1}, PlotPoints → 30, AxesLabel → {”x”, ”y”, ”V”}]; poisson2a = ContourPlot[V, {x, 0, a}, {y, 0, a 2 }, ContourStyle → Hue[0,2], FrameLabel → {”x”, ”y”}] La figura A.30a muestra la gráfica tridimensional V (x, y). La figura A.30b muestra el correspondiente gráfico de contorno, en el que se marcan las lı́neas equipoten- ciales.
- 410. a-44 0 0.25 0.5 0.75 1 x 0 0.2 0.4 y 0 0.25 0.5 0.75 1 V 0 0.25 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x (a) (b) Figura A.30: A continuación se representan las secciones de la gráfica del potencial para dis- tintos valores y = cte. De esta forma podremos observar que al distanciarnos del origen va disminuyendo la importancia de los armónicos superiores, de forma que, para y grande, sólo es apreciable la contribución del primer armónico (n = 1). Téngase en cuenta que el armónico decrece de la forma V (y+λn) V (y) = 1 e a lo largo de la distancia λn = a π 1 n Elegimos el valor concreto de y = mul × a especificando el valor del término multiplicador. mul = 0; poisson3a = Plot[{V/.y → mul ∗ a, V0}, {x, 0, a}, PlotRange → All, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, GridLines → {{1}, None}, AxesLabel → {”x”, ”V”}]; La sección y = 0 (mul = 0), figura A.31, muestra el fenómeno de Gibbs. Éste muestra la no idoneidad del desarrollo de Fourier para la aproximación de funciones discontinuas. b) Si ahora, por ejemplo, limitamos la caja en la dirección y ter- minándola en y = b con una banda a potencial Vb, habrá que substituir la condición V (x, ∞) = 0 por V (x, b) = Vb, con lo que B1n 6= 0 y deberemos escribir V = X no sen (nπ x a ) ³ An enπ y a + Bn e−nπ y a ´ de donde se deduce que
- 411. a-45 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 V Figura A.31: V0 = V (x, 0) = X no sen (nπ x a ) (An + Bn) Vb = V (x, b) = X no sen (nπ x a ) ³ An enπ b a + Bn e−nπ b a ´ por lo que, multiplicando ambos miembros de las ecuaciónes anteriores por sen (nπ x a ) e integrando sobre el intervalo 0 ≤ x ≤ a,los coeficientes del desarrollo se deducirán del sistema de ecuaciones An + Bn = 4 V0 nπ An enπ b a + Bn e−nπ b a = 4 Vb nπ para n=impar (A.52) y An + Bn = 0 An enπ b a + Bn e−nπ b a = 0 para n=par de estas últimas ecuaciones se deduce que, para n = par Bn = −An ⇒ An senh (nπ b a ) = 0 ⇒ Bn = An = 0 porque nπ b a 0 para n 0. Nos quedamos, como en la cuestión anterior de este problema, con los coeficientes de ı́ndice impar. Resolviendo el sistema de ecuaciones A.52, tenemos que An = 2 nπ Vb − V0 e−n π b a senh (n π b a Bn = − 2 nπ Vb − V0 en π b a senh (n π b a)
- 412. a-46 y la solución resultante V = X n, impar sen (nπ x a ) ³ An enπ y a + Bn e−nπ y a ´ El programa poisson−cartesianas−b.nb, similar al anteriormente descrito, nos proporciona la figura A.32a, que es la representación 3D de V (x, y), y la A.32b que muestra las lı́neas equipotenciales. 0 0.25 0.5 0.75 1 x 0 0.5 1 1.5 y 0 0.5 1 1.5 2 V 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x (a) (b) Figura A.32: a-17. Halle el potencial en la región encerrada por cuatro planos conductores colocados en x = 0, x = a, y = 0 e y = b, a potenciales V1, V2, V3 y V4 = 0 respectivamente. a-18. Calcule la resistencia del conductor que muestra la figura A.33. Solución: En el conductor ~ = σ0 ~ E y ~ E = −∇ V = − ∂ V ∂ ρ b ρ − 1 ρ ∂ V ∂ ϕ b ϕ − ∂ V ∂ z b z Tomemos V1 = 0 y V2 = V0 y situemos los electrodos ideales en los planos ϕ = 0 y ϕ = ϕ0. Las condiciones de contorno en estos planos se expresan de la forma V1 = V (ρ, 0, z) = 0 , V (ρ, ϕ0, z) = V0 En las fronteras con el exterior no conductor, las condiciones de con- torno implican la tangencialidad del campo ∂ V ∂ z = 0 , z = 0, c ∂ V ∂ ρ = 0 , ρ = a, b
- 413. a-47 2 ϕ 0 σ=σ a b 0 c σ o σ o o V o 1 V Figura A.33: El conductor de conductividad σ0 está definido, por lo tanto, en el dominio a ≤ ρ ≤ b , 0 ≤ ϕ ≤ ϕ0 , 0 ≤ z ≤ c en el cual ϕ0 2π y ρ 6= 0. Para no complicar, dada la simplicidad de la geometrı́a en cuestión, en- sayaremos la solución más simple posible y la justificaremos a posteriori apoyándonos en el teorema de unicidad. En consecuencia, supondremos n = k = 0. De acuerdo con A.25,A.27 y A.28, podemos escribir la solución de la forma 9 V (ρ, ϕ, z) = (A1 ln ρ + A2)(B1 ϕ + B2)(C z + 1) Puesto que no partimos de la solución más general, no será necesario aplicar todas las condiciones de contorno Aplicando las condiciones en los planos z ∂ V ∂ z = R(ρ) Φ(ϕ) C = 0 ⇒ C = 0 y V (ρ, ϕ) = (A1 ln ρ + A2)(B ϕ + 1) Aplicando la condición en ϕ = 0 9 Sacamos factor común C2 y redefinimos los coeficientes.
- 414. a-48 V (ρ, 0) = A1 ln ρ + A2 = 0 ⇒ A1 = A2 = 0 y V (ρ, ϕ) = B ϕ Por último, de la condicion en ϕ = ϕ0 V (ρ, ϕ0) = B ϕ0 = V0 ⇒ B = V0 ϕ0 El potencial y el campo buscados son V (ϕ) = V0 ϕ0 ϕ , ~ E = Eϕ b ϕ , Eϕ = − V0 ϕ0 1 ρ Este campo cumple con las condiciones de contorno, por lo que el teo- rema de unicidad nos asegura que esta solución es correcta y es única. Efectivamente, el campo es tangendial a las paredes fronteras del vacı́o, cuya conductividad es nula, y normal a los electrodos. Para hallar la resistencia, debemos calcular la intensidad, es decir, el flujo de ~ = σ0 ~ E a través de cualquier sección ϕ = cte. Tomando ~ ↑↑ ~ ds I = Z b ρ=a Z c z=0 |jϕ| dρ dz = σ0 c ϕ0 ln( b a ) V0 Con lo que la resistencia resulta ser R = ϕ0 σ0 c ln( b a ) a-19. Sea un hilo recto de sección circular y radio a, de material magnético ideal µ → ∞, sumergido perpendicularmente en un campo magnético uniforme ~ H0, como en la figura A.34. Calcule el campo magnético en todos los puntos del espacio. Solución: Una vez introducido el hilo, este perturbará el espacio circundante modificando el campo inicialmente uniforme, con lo que ~ H = ~ H(ρ, ϕ). La primera condición de contorno , para (ρ → ∞, ϕ), es lı́m ρ→∞ ~ H(ρ, ϕ) = ~ H0 = H0 b x = H0 cos ϕ b ρ − H0 sen ϕ b ϕ La segunda se establece en (a, ϕ)
- 415. a-49 ^ ρ ^ ρ H( , ) ρ ϕ µ oo µ 0 ϕ H 0 x ^ y ^ ϕ Figura A.34: Hϕ(a, ϕ) = 0 porque el hilo tiene permeabilidad infinita y, según la ley de refracción de las lı́neas de campo, ~ H(a, ϕ) debe ser perpendicular a la superficie. Puesto que ~ H = −∇ U, las condiciones de contorno pueden ser expre- sadas en función del potencial magnético escalar: Para ρ → ∞ ∂ U ∂ ρ = −H0 cos ϕ , 1 ρ ∂ U ∂ ϕ = +H0 sen ϕ e integrando U(ρ → ∞, ϕ) = −H0 ρ cos ϕ Hemos anulado la constante de integración puesto que ésta sólo afecta al origen de los potenciales. Para ρ = a 1 a ∂ U(a, ϕ) ∂ ϕ = 0 ⇒ ∂ U(a, ϕ) ∂ ϕ = 0 Puesto que el intervalo de ϕ es [0, 2π], n debe ser real y entero y, dada la forma de la condición en el infinito, debe contener al término (n = 1, k = 0), con A2 = 0. Es necesario que n = 1 porque, en caso con- trario (n 1), para ρ → ∞ el potencial presentarı́a dependencias de cos n ϕ. También es necesario que k = 0 porque el potencial es propor- cional a ρ en las lejanias del hilo.
- 416. a-50 Tomamos, por lo tanto una solución del tipo U(ρ, ϕ) = R01(ρ) cos ϕ = µ A1 ρ + A2 1 ρ ¶ cos ϕ ∂ U(a, ϕ) ∂ ϕ = − µ A1 a + A2 1 a ¶ sen ϕ = 0 Luego A2 = −A1 a2 y aplicando la condición en el infinito U(ρ, ϕ) = −H0 ρ µ 1 − a2 ρ2 ¶ cos ϕ Vemos, pués, que el tomar la constante de integración del gradiente de potencial como nula equivale a situar el origen del potencial en la superficie del hilo. a-20. Demuestre, derivando la fórmula de Rodrigues, que d Pl d ξ = l ξ2 − 1 ( ξ Pl − Pl−1) a-21. Partiendo del potencial en el eje z, halle a) El potencial producido por un anillo circular, de radio a y cargado uniforme- mente con una carga total Q, en un punto cualquiera del espacio. b) El campo Eléctrico hasta el término cuadripolar. Solución: a) El potencial producido por un hilo circular uniformemente cargado, problema 2-13, es V = q 4π ε0 1 √ a2 + z2 Escribiendo K = q 4π ε0 ,V puede expresarse de las formas V = K 1 z r 1 + a2 z2 = K 1 a r 1 + z2 a2 Derivando, o acudiendo al libro de fórmulas se tiene que (1 + x)−1 2 = 1 − 1 2 x + 1 · 3 2 · 4 x2 + · · · , −1 x ≤ 1 de lo que se deduce que, para |z| a
- 417. a-51 V = K 1 z r 1 + a2 z2 = K µ 1 z − a2 2 1 z3 · · · ¶ Por otra parte, en coordenadas esféricas, para problemas con simetrı́a azimutal, el potencial se expresa de la forma V (r, θ) = ∞ X 0 ³ Al rl + Bl r−(l+1) ´ Pl(ξ) donde ξ = cos θ En particular, en el eje z, donde θ = 0, Pl(ξ) = 1, y r = z V (z) = ∞ X 0 ³ Al zl + Bl z−(l+1) ´ Comparando el desarrollo anterior, tenemos que Al = 0 , B0 = K , B1 = 0 , B2 = −K a2 2 · · · V (r, θ) = K µ 1 r − a2 2 1 r3 P2(cos θ) + · · · ¶ , |z| a El resto se deja como ejercicio. a-22. Una esfera metálica de radio a está dividida en dos hemisferios aislados entre sı́. Calcule el momento dipolar de la esfera cuando ambos hemisferios se conectan a tensiones de +V y −V Voltios, respectivamente. Encuentre la expresión válida para r a. Solución: Como en el problema anterior, partimos de la expansión en coordenadas esféricas del potencial. Dado que dentro del dominio de la solución r → ∞ y ésta debe ser finita, Al = 0. Por otra parte, al poseer la distribución simetrı́a impar, también debe ser impar la solución, por lo que sólo pueden intervenir en la misma los polinomios de Legendre con este tipo de simetrı́a, es decir, los correspondientes a l impar. Luego V (a, θ) = ∞ X l=impar Bl a−(l+1) Pl(ξ) Nosotros estamos interesados en el término dipolar, correspondiente al coeficiente B1. Para hallarlo, hacemos uso de la propiedad de ortogo- nalidad de los polinomios de Legendre.
- 418. a-52 Z +1 −1 Pl0 Pl dξ = 2 2l + 1 δl l0 En nuestro caso, V (a, θ) = V para 0 ≤ θ π 2 −V para π 2 θ π 2 y Z +1 0 P2 l dξ = 1 2l + 1 ⇒ Z +1 0 P2 1 dξ = 1 3 Multiplicando V por P1 e integrando Z +1 0 V ξ dξ = B1 3a2 = 1 2 V ⇒ B1 = 3 2 a2 V El potencial dipolar puede expresarse de las formas Vd = B1 1 r2 cosθ = p cos θ 4π ε0 1 r2 por lo que p = 6π ε0 a2 V a-23. En el interior de un condensador plano, cuya distancia entre placas es d, existe un campo ~ E0 = E0 b z. a) Si en una de las placas introducimos un pequeño defecto, que modelamos como una protuberancia hemisférica de radio a ¿ d, calcule la perturbación que la misma produce sobre el potencial inicial V0(r, θ). b) Calcule el campo en la cúspide de la hemisfera, suponga que el dieléctrico es aire y razone en que medida afecta este defecto al potencial Vr al cual dicho dieléctrico sufre una ruptura. Solución: a) En la figura A.35 se muestra un corte del condensador en el plano y = 0. La solución general en coordenadas esféricas es V (r, θ) = ∞ X 0 ³ Al rl + Bl r−(l+1) ´ Pl(ξ)
- 419. a-53 V=0 a x z θ r E Figura A.35: Puesto que el enunciado nos dice que a ¿ d, se nos pide una solución aproximada y basta con que la expresemos con el mı́nimo número de términos significativos. La condición anterior nos permite suponer que lejos de la protuberan- cia, el campo existente es ~ E0 y el potencial V ' V0 = E0 z = E0 r cos θ , r À a Luego A1 = E0 , Al = 0 para l 6= 1 Por otra parte, para θ = π 2 , V = 0, por lo que en la solución sólo deben intervenir los Pl de ı́ndice impar. Nos quedamos, pués, con los términos asociados a P1, que son los primeros significativos. V (r, θ) ' ¡ A1 r + B1 r−2 ¢ cos θ El coeficiente B1 corresponde a la perturbación que, obviamente, es de tipo dipolar. Para calcularlo aplicaremos la condición V (a) = 0 para 0 θ ≤ π 2 . A1 a + B1 a−2 = 0 ⇒ B1 = −A1 a3 = −E0 a3 La cuestión (b) se deja como ejercicio. a-24. En el seno de un dieléctrico, de constante ε1, en el cual existe un campo eléctrico uniforme ~ E0 = E0b z, se introduce una esfera dieléctrica de constante ε2 y radio a. Halle el potencial y los campos ~ E y ~ D resultantes.
- 420. a-54 1 r ^ E 0 S0 Sa Sa1 Sa2 oo S ε1 2 ε 2 θ a Figura A.36: Solución: Como se muestra en la figura A.36, debemos obtener la solución de la ecuación de Laplace en dos regiones, (1) y (2), separadas por una superficie de discontinuidad Sa . Los lı́mites de la región (1) vienen dados por el contorno S1 = Sa1 + S∞, donde S∞ es una esfera de radio infinito y Sa1 una superficie próxima a la de discontinuidad pero en el medio (1). Los limites de la región (2) son, S2 = Sa2 +S0, siendo S0 una superficie de radio elemental que rodea al origen; ya hemos visto que en el proceso de obtención de las soluciones separables se ha excluido el punto r = 0, para dividir por r, tanto en coordenadas esféricas como en cilı́ndricas. Dentro de la superficie S0 no existe ninguna singularidad del campo, al no haber especificado la existencia de cargas en r = 0, por lo que podemos fijar el potencial del origen en cualquier valor finito. Tomemos, pués, el punto r = 0 como origen de potenciales. V (0, θ) = 0 Para S∞, podemos fijar condiciones tipo Neumann. Dado que muy lejos de la esfera el campo seguirá siendo igual al primitivo ~ E0 ~ E(∞, 0) = ~ E0 = E0 b z por lo que, la componente radial es Er(∞, 0) = E0 cos θ
- 421. a-55 Para Sa, según se vio en la sección 9.1.1, nos hacen falta dos relaciones de conexión. Podemos utilizar la continuidad del potencial y, puesto que no se especifican cargas superficiales, la continuidad de la componente normal de ~ D. Resumiendo, las condiciones de contorno de nuestro problema serán En S0 V2(0, θ) = 0 (A.53) En Sa V2(a, θ) = V1(a, θ) (A.54a) ε2 ∂ V2(a, θ) ∂ r = ε1 ∂ V1(a, θ) ∂ r (A.54b) En S∞ ∂ V1(∞, θ) ∂ r = −E0 cos θ (A.55) Si expresamos las soluciones generales en (1) y en (2) de la forma V1 = ∞ X 0 ³ Al rl + Bl r−(l+1) ´ Pl(ξ) V2 = ∞ X 0 ³ Cl rl + Dl r−(l+1) ´ Pl(ξ) Aplicando las condiciones de contorno A.53 lı́m r→0 V2 = C0 + ∞ X l=0 Dl r−(l+1) Pl(ξ) = 0 de donde C0 = 0 , Dl = 0 ∀l (A.56) Queda, pués V2 = ∞ X l=1 Cl rl Pl(ξ) = C1 r cos θ + ∞ X l=2 Cl rl Pl(ξ) De la condición de contorno A.54 se deduce que lı́m r→∞ ∂ V1 ∂ r = ∞ X l=1 l Al rl−1 Pl(ξ) = A1 cos θ + ∞ X l=2 l Al rl−1 Pl(ξ) = = −E0 cos θ
- 422. a-56 de donde A1 = −E0 , Al = 0 ∀l 1 (A.57) Resulta, por lo tanto V1 = A0 − E0 r cos θ + B0 r + B1 r2 cos θ + ∞ X l=2 Bl r−(l+1) Pl(ξ) La primera condición A.54a en Sa es V1(a, θ) = V2(a, θ) luego A0 + B0 a + µ B1 a2 − E0 a − C1 a ¶ cos θ + ∞ X l=2 ³ Bl a−(l+1) − Cl al ´ Pl(ξ) = 0 de donde, dada la ortogonalidad de los Pl(ξ) A0 + B0 a = 0 (A.58) B1 − C1 a3 = E0 a3 (A.59) Bl − Cl a2l+1 = 0 ∀l 1 (A.60) La segunda condición A.54b en Sa es ε2 ∂ V2(a, θ) ∂ r = ε1 ∂ V1(a, θ) ∂ r de donde ε1 a2 B0 + µ ε2 C1 + 2ε1 a3 B1 + ε1 E0 ¶ cos θ + + ∞ X l=2 ³ ε2 l Cl al−1 + ε1 (l + 1) Bl r−(l+2) ´ Pl(ξ) = 0 Lo cual, junto con A.58, implica que B0 = 0 ⇒ A0 = 0 (A.61) y B1 + ε2 2ε1 a3 C1 = − a3 2 E0 (A.62) Bl + ε2 ε1 l l + 1 a2l+1 Cl = 0 ∀l 1 (A.63)
- 423. a-57 Restando A.60 y A.63 obtenemos Bl = Cl = 0 ∀l 1 (A.64) De A.59 y A.62 obtenemos C1 = − 3ε1 2ε1 + ε2 E0 , B1 = ε2 − ε1 2ε1 + ε2 a3 E0 (A.65) con lo que las soluciones para el potencial son V1 = −E0 r | {z } (a) + ε2 − ε1 2ε1 + ε2 a3 E0 1 r2 | {z } (b) cos θ V2 = − 3ε1 2ε1 + ε2 E0 r cos θ Los resultados podrı́an haberse previsto de una forma más intuitiva y rápida aunque aquı́ los hayamos deducido con cierto detalle. El término (a) representa al potencial generatriz del campo primario uniforme ~ E0. En cuanto al término (b), podemos identificarlo clara- mente con un potencial dipolar Vd = 1 4π ε1 P cos θ r2 de donde se deduce que, desde la región (1), la esfera se ve como un dipolo de magnitud ~ p = 4π ε1 (ε2 − ε1) 2ε1 + ε2 a3 E0 b z Esto es cualitativamente previsible porque el campo ~ E0 polariza al medio y crea cargas de polarización en la superficie de separación de los dos medios ρsP = (~ P1 − ~ P2) · b r de forma que, si ε2 ε1, el dipolo tiene la dirección del campo, refor- zándolo en el medio (1) y apantallándolo en el (2), y sentido contrario al campo si ε2 ε1. En el interior de la esfera el campo eléctrico es proporcional al aplicado ~ E2 = 3ε1 2ε1 + ε2 ~ E0 ~ E0 , ε2 ε1 ~ E0 , ε2 ε1
- 424. a-58 Para ~ D tenemos ~ D2 = 3ε2 2ε1 + ε2 ~ D0 ~ D0 , ε2 ε1 ~ D0 , ε2 ε1 El resumen de estos resultados se presenta en la figura A.37 ε 2 ε1 ε 2 ε1 ε 2 ε1 ε 2 ε1 ε 2 ε1 ε 2 ε1 ε 2 ε1 D, Campo E, Campo D, Campo E, Campo ε 2 ε1 Figura A.37: a-25. Una esfera conductora de radio a se coloca en un campo eléctrico uniforme E0. Halle el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio y en los siguientes casos: a) La esfera tiene una carga total Q. b) La esfera está a potencial cero. a-26. Una esfera magnética de radio a y permeabilidad µ se encuentra en el vacı́o en el seno de un campo magnético uniforme B0. Calcule el campo magnético en cualquier punto del espacio. a-27. Calcule el campo magnético que crea una esfera de radio a uniformemente imanada con una magnetización ~ M en la dirección del eje z. a-28. Una esfera hueca de radio interior a, exterior b y permeabilidad µ se sitúa en un campo magnético uniforme ~ B0. Calcule ~ H en la cavidad. a-29. Conside una esfera conductora de radio a dividida en dos zonas aisladas, un cas- quete esférico a potencial V0 y el resto a potencial cero. Utilice el método de Green
- 425. a-59 para calcular el potencial en cualquier punto del eje de simetrı́a del casquete esféri- co. a-30. Un electrodo semiesférico, de muy alta conductividad, se introduce en la Tierra (conductor pobre). Determinar la resistencia del sistema si fluye una corriente I desde el electrodo a la Tierra. Discuta que sucederı́a si una persona que tenga un calzado no aislante se aproxima al electrodo. Suponga que la conductividad de la Tierra es σ = 10−2 S · m−1, que la corriente que entra al electrodo sea de 1000 A , que uno de los pies está a una distancia de 1 m del electrodo y que la distancia entre ambos pies es de 0,75 m. ¿ A qué tensión se verá sometida dicha persona? Calcule el campo eléctrico sobre la superficie de la Tierra. Solución: Dado que el aire no es conductor, la corriente y el campo eléctrico deben ser tangenciales en la separación de ambos medios. Bajo estas condiciones, la imagen de una carga es del mismo signo que ésta y la imagen del semiespacio es simétrica al suelo.
- 426. a-60
- 427. Apéndice B Aplicaciones numéricas En este apéndice trataremos los fundamentos de una serie de métodos numéricos aplicados comunmente a la solución de problemas electromagnéticos, esencialmente, los problemas de Poisson, de difusión y de propagación. Analizaremos los aspéctos básicos y los ilustraremos mediante programas Mathematica sencillos. Dejaremos a la biblio- grafı́a 1 un tratamiento más amplio y riguroso. B.1. Ecuación de Poisson En su forma diferencial, la ecuación de Poisson ∇2 f(~ r) = −D(~ r) (B.1) es del tipo L f(~ r) = g(~ r) (B.2) donde L = ∇2 es un operador lineal, f una función incógnita y g una función conocida. El curso de la solución numérica de esta ecuación diferencial suele conducir a un sistema de ecuaciones algebráicas lineales que puede escribirse de la forma e A · ~ x = ~ b , Aij xj = bi (B.3) donde e A es la matriz de los coeficientes de las ecuaciones, ~ b el vector de los términos independienes y ~ x el vector de incógnitas. Las componentes de este último pueden representar a los valores del potencial en una red de puntos del espacio problema o, simplemente, a los coeficientes de un desarrollo en serie. La solución final se obtiene invirtiendo la ecuación anterior ~ x = e A−1 ·~ b (B.4) La inversión directa de e A puede ser problemática por diversas razones. En particular, en espacios de dos o tres dimensiones, con un número de incógnitas razonable, el coste 1 [Burden, Demidowitsch, Morton, Volkov] b-1
- 428. b-2 computacional de memoria y tiempo de cálculo, o la acumulación de errores de redondeo, pueden resultar excesivos. Los distintos métodos que presentamos difieren entre sı́ por el camino seguido para el planteamiento del sistema de ecuaciones y por la estrategia adoptada para la inversión aproximada de este último. B.1.1. Métodos de residuos pesados Sea f una solución aproximada de la ecuación B.2 en V, obtenida como combi- nación lineal de un conjunto adecuado de funciones base independientes {fj(~ r)}, j = 1, 2 · · · , N. f ' f = αj fj(~ r) (B.5) donde {αj} es un conjunto de coeficientes que minimizan, de alguna forma, la diferencia entre la solución aproximada y la exacta. Al ser N un número necesariamente finito, las soluciones obtenidas por este tipo de métodos es aproximada salvo que la solución pertenezca al espacio subtendido por las funciones base. Definimos el residuo como el resultado de aplicar el operador L a la diferencia entre la solución aproximada y la exacta. ρ(~ r) ≡ L f(~ r) − g(~ r) = αj L fj(~ r) − g(~ r) (B.6) Si f(~ r) = f(~ r), r = 0. Los métodos de residuos pesados se basan en la anulación de las integrales Ri = Z V ρ(~ r) pi(~ r) dv = 0 (B.7) donde {Ri} son los residuos pesados y {pi(~ r)}, i = 1, 2 · · · , N, las funciones peso 2. La elección concreta de un conjunto de funciones peso nos proporciona distintos métodos de esta familia. B.1.1.1. Método de Galerkin El método de Galerkin toma como funciones peso a las funciones base pi(~ r) = fi(~ r) Substituyendo en B.7 Z V fi(~ r) [αj L fj(~ r) − g(~ r)] dv = 0 que puede escribirse en forma matricial bi = Aij xj identificando a 2 Tomaremos la misma dimensión para las funciones base y peso
- 429. b-3 bi = Z V fi(~ r) g(~ r) dv , Aij = Z V fi(~ r) L fj(~ r) dv , xj = αj siendo g y fj conocidos y αj los coeficientes que hay que determinar para que Ri = 0 ∀i. Una vez calculados estos coeficientes, la solución aproximada viene dada por la expresión B.5. B.1.1.2. Método de ajuste puntual El método de ajuste puntual 3 toma como funciones peso a las delta de Dirac pi(~ r) = δ(~ r − ~ ri) en una red de puntos {~ ri} de V. Luego , escribiendo [L fj(~ r)]~ r=~ ri = L fj(~ ri), B.8 toma la forma Z V δ(~ r − ~ ri) [αj L fj(~ r) − g(~ r)] dv = αj L fj(~ ri) − g(~ ri) = 0 (B.8) lo que equivale a forzar el cumplimiento de la ecuación diferencial en cada uno de los puntos de la red. En este caso bi = g(~ ri) , Aij = L fj(~ ri) , xj = αj B.1.1.3. Método de mı́nimos cuadrados Este método puede interpretarse como dos problemas equivalentes: La minimización de un error cuadrático, definido de la forma E = 1 2 Z V ρ(~ r)2 dv La anulación de residuos pesados eligiendo las funciones peso pi(~ r) = L fi(~ r) Efectivamente, para minimizar el error cuadratico hay que resolver el sistema de ecuaciones ∂ E ∂ αi = 0 lo que equivale, como puede comprobarse derivando, a Z V L fi(~ r) [αj L fj(~ r) − g(~ r)] dv = 0 3 En inglés se conoce por los nombres point collocation (matching) method.
- 430. b-4 B.1.2. Metodo de los momentos El método de los momentos 4 5 permite la solución del problema de Poisson en su versión integral y , en particular, hallar la distribución de carga en la superficie de un sistema de conductores, conocido el potencial a que se encuentra cada uno de ellos. A partir de la distribución de carga se obtiene, de forma directa, el campo y el potencial en cualquier punto del espacio. Para ilustrar el uso de este método en electromagnetismo, se aplicará al cálculo de la distribución de carga sobre la superficie de un conductor a potencial conocido V0, según se muestra en la figura B.1. R r ’ V0 ρs r ’ O V( r ) Q r ( ) S’ V’ r V’ R Figura B.1: La solución de la ecuación de Poisson, siendo tanto V (~ r) como ρ(~ r) desconocidos, salvo en el conductor, puesto que está al potencial V0, puede abordarse numéricamente a partir de su expresión integral V (~ r) = 1 4πε0 Z S 0 ρs(~ r 0) ds0 R (B.9) Tomando a ~ r en el interior del conductor V0 = 1 4πε0 Z S 0 ρs(~ r 0) ds0 R (B.10) donde V0 es el potencial en cualquier punto del interior del volumen V 0 del conductor, R la distancia entre el punto interior ~ r ∈ V 0, en el que se calcula el potencial, y otro 4 Véase [Harrington]. 5 El momento de orden n de una función f(x) es Mn[f(x)] = R xn f(x)dx. Este método utiliza integrales análogas a la anterior, en las que xn se substituye por una función peso p(x), que, por extensión, reciben el nombre genérico de momento.
- 431. b-5 genérico de ~ r 0 ∈ S 0 , en el que se evalúa la densidad (véase la figura B.1) 6. La solución de la ecuación B.10 conduce a la obtención de la densidad superficial de carga sobre el conductor. Esta última ecuación puede expresarse de forma análoga a la B.2. L(~ r, ~ r 0 ) [f(~ r 0 )] = g(~ r) (B.11) donde L es un operador integral lineal que, aplicado a una función f = f(~ r 0) descono- cida, da como resultado una función g(~ r) conocida. En el caso que nos ocupa L[ ] = 1 4πε0 Z S 0 [ ] ds0 R , f(~ r 0 ) = ρ(~ r 0 ) , g(~ r) = V0 Para resolver B.11 seguiremos un camino análogo al utilizado en la sección anterior. Elegimos una base {fj(~ r 0)} de dimensión N, para aproximar la solución de la forma f(~ r 0 ) ' f(~ r 0 ) = αj fj(~ r 0 ) (B.12) donde {αj} serán también los coeficientes a determinar. Dada la linealidad del operador L, la introducción de la expresión B.12 en la ecuación B.11, da lugar a una versión aproximada de esta última αj Lfj(~ r 0 ) = g(~ r) (B.13) A continuación se eligen N funciones peso {pi(~ r)} y se halla un producto interno 7 de la ecuación B.13 con los mismos. αj hpi, Lfji = hpi, gi (B.14) Este sistema de ecuaciones, en el que los productos internos son escalares conocidos y las αi son las incógnitas, puede escribirse en la forma matricial ya mencionada Aij xj = bi (B.15) donde Aij = hpi, Lfji , bi = hpi, gi , xj = αj Como en los casos anteriores, la solulción es f ' αj fj 6 Si el potencial se calcula en un punto de S 0 , en su proximidad (~ r ∈ S 0 → ~ r 0 ) y 1 R → ∞, por lo que la integral presenta una singularidad en ~ r 0 = ~ r. Esta dificultad puede soslayarse colocando los puntos de observación en el interior de V. 7 El producto interno de una función F con una función p suele definirse como una integral que, en el caso presente, se realiza sobre las coordenadas ~ r. Lo anotaremos de forma abreviada como hp, Fi. Véase la siguiente aplicación para concretar las elecciones de funciones base y peso y las del producto interno.
- 432. b-6 B.1.2.1. Aplicación al cálculo de la capacidad de un hilo conductor delgado: metodo momentos.nb 8 En la figura B.2a se representa un segmento recto de hilo conductor, cuyo radio es a y cuya longitud es l, que se ha centrado sobre el eje coordenado z. Se calculará la densidad de carga a lo largo del mismo en función del potencial a que se encuentra con respecto al infinito. i z (b) ρ z z z z N j 1 l αj z (a) l a 0 z= l z ∆ Figura B.2: El segmento se ha dividido en N celdas de igual longitud ∆z, cuyos puntos centrales servirán de referencia para las funciones peso y base. Los {zi} para las primeras y los {zj} para las segundas. Por simplicidad, elegimos como funciones peso a las delta de Dirac pi(z) = δ(z − zi) (B.16) centradas en las zi . Tomamos como producto interno de pi(z) con F(z) hpi, Fi ≡ Z l z=0 δ(z − zi) F(z)dz = F(zi) (B.17) por lo que pi extrae el valor de F en el punto zi. 8 Véase [Umashankar]
- 433. b-7 Como funciones base, véase la figura B.2b, se toman pulsos unitarios de anchura ∆z y centrados en los puntos zj fj(z) = 1 , zj − ∆z 2 ≤ z0 ≤ zj + ∆z 2 0 , en cualquier otro punto (B.18) Se ha supuesto que el conductor tiene forma cilı́ndrica de sección circular con un radio a l, lo que permite despreciar la carga depositada en las bases y tener en cuenta solamente a aquella depositada en la cara lateral. Dada la simetrı́a del problema, al coincidir el eje del hilo con el z, ρs = ρs(a, z0) , dado que no depende de la coordenada ϕ. Esto permite definir una densidad lineal de carga ρl(z0 ) = 2πa ρs(z0 ) (B.19) que se tomará como función incógnita. La ecuación B.10 es válida, y no presenta problemas de singularidades, si los puntos de observación zi se situan sobre el eje z, en el interior de V 0, y las cargas sobre la superficie lateral del hilo . Según puede verse en la figura B.3 a y, y’ z, z’ x, x’ φ fuentes puntos de observaciön z 0 V ρ z’ l R S Figura B.3: R = p a2 + (z − z0)2 (B.20) Dado que R es invariante ante la permutación de z y z0, puede también considerarse a las cargas situadas en el eje y a los puntos de observación en la superficie. Las funciones y operadores de la ecuación B.11 son f = ρl(z0 ) , L( ) = Z l z0=0 ( ) dz0 p a2 + (z − z0)2 , g = 4πε0 V0 (B.21) y los vectores y matrices de B.15 Aij = (Lfj)z=zi = Z xj+ ∆z 2 z0=xj− ∆z 2 dz0 p a2 + (zi − z0)2 , bi = g(zi) = 4πε0 V0 (B.22)
- 434. b-8 Una vez resuelta la ecuación B.15, la capacidad del hilo será C = Q V0 = 1 V0 Z l z=0 ρl dz = 1 V0 ∆z N X i αi (B.23) La resolución de un ejemplo concreto se realizará mediante Mathematica. Programa Mathematica metodo momentos.nb: La solución numérica del problema propuesto requiere el cumplimiento de algunas restricciones. Por tratarse de un hilo delgado, a l. Además debe cumplirse la condi- ción ∆z a. Remove[”Global0 ∗ ”]; (B.24) $TextStyle = {FontFamily → ”Times”, FontSize → 14}; (B.25) Elección de los valores de la longitud del hilo l metros, el radio a metros y el número de segmentos N = NN. Se puede experimentar con el programa asignándole distintos valores a estas variables. l = 1 ; a = 0,001 ; NN = 99; (B.26) Se dan los valores de ε0 = e0, de la longitud del intervalo ∆z = Dz y el de g = 4πε0 V0. e0 = 8,8510−12 ; Dz = 1 NN ; g = 1; (B.27) La última asignación implica darle al potencial el valor V0 = 1 4πε0 . Se continúa por la inicialización de ciertos vectores y la definición de otros: (xi) = alfa, (bi) = beta, (zi) = zi, (zj) = zj, (Aij) = L y (zi, xi) = lalfa. alfa = Table[0, {i, 1, NN}]; beta = Table[g, {i, 1, NN}]; (B.28) zi = Table[ Dz 2 + (i − 1) ∗ Dz, {i, 1, NN}]; zj = zi; (B.29) L = Table[0, {i, 1, NN}, {j, 1, NN}]; lalfa = Table[0, {i, 1, NN}, {j, 1, 2}]; (B.30) Cáculo de la matriz L: int = Z B A 1 p a2 + (u − v)2 ; (B.31)
- 435. b-9 Do[L[[i, j]] = int/.{A → zj[[j]] − Dz 2 , B → zj[[j]] + Dz 2 , v → zi[[i]]}, {j, 1, NN}, {i, 1, NN}]; (B.32) LinearSolve[A, b] encuentra el vector x solución de la ecuación matricial A · x = b. alfa = LinearSolve[L, beta]; (B.33) Se genera la gráfica ρl(z), previa la la construcción de la matriz lalfa Do[{lalfa[[i, 1]] = zi[[i]], lalfa[[i, 2]] = alfa[[i]]}, {i, 1, NN}]; (B.34) grafalfa = ListPlot[lalfa, PlotRange → {0, 1.1 ∗ alfa[[1]]}, PlotLabel → ” Densidad de carga”, AxesLabel → {”z”, ”densidad”}, Axes → True, GridLines → {{0.5, 1}, {alpfa[[(NN + 1)/2]], alpfa[[(1]]}}, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], AbsolutePointSize[2]}]; (B.35) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 z 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 rl Densidad lineal de carga Figura B.4: Cálculo de la carga en culombios y la capacidad en picofaradios Q = NN X i=1 alfa[[i]]; (B.36) CpF = 4 ∗ Pi ∗ e0 ∗ Q ∗ 1012 (B.37) B.1.3. Método de diferencias finitas Este método hace uso de las diferencias finitas centradas para aproximar la ecuación de Poisson ∇2 f(~ r) = −D(~ r) (B.38)
- 436. b-10 Para ilustrar su fundmento 9, figura B.5, abordaremos el problema bidimensional definiendo una red uniforme y rectangular que incluya al dominio del problema. Sólo romperemos la regularidad de la red en el contorno, sobre el que situaremos nudos en los puntos de intersección con los hilos de la misma. ... . . . f4 f1 f1 f2 f2 f3 f3 f4 δ I J δ δ δ 3 δ 4 1 2 1 2 3 4 5 6 7 Ν−1 Ν a b n x y δ δ δ ... ... Figura B.5: De esta forma se obtienen estrellas regulares, como la correspondiente al nudo I = (xi, yi) y sus cuatro vecinos (xi ± δ, yi) , (xi, yi ± δ) y estrellas irregulares, que contienen nudos del contorno, como la que rodea a J = (xj, yj), compuesta por nudos a distancias desiguales de J. En general, los nudos vecinos son (xj + δ1, yj) , (xj − δ2, yj) , (xj, yj + δ3) , (xj, yj − δ4) En cualquier caso, si las δ son suficientemente pequeñas, podemos desarrollar el potencial en serie de Taylor alrededor de cualquier nudo (x, y) f(x + δ, y) = f(x, y) + δ ∂ f ∂ x + 1 2 δ2 ∂2 f ∂ x2 + O(δ3 ) Dando a δ los valores ±δ, restando y despreciando términos de orden O(δ3), obten- emos d f d x ' f(x + δ, y) − f(x − δ, y) 2δ (B.39) 9 Véase [Smith]
- 437. b-11 Sumando y despreciando términos de orden O(δ4), obtenemos ∂2 f ∂ x2 ' f(x + δ, y) + f(x − δ, y) − 2f(x, y) δ2 (B.40) y ∇2 f ' 1 δ2 (f1 + f2 + f3 + f4 − 4 f0) (B.41) donde, véase la figura anterior, para simplificar la notación, se ha escrito f0 = f(x, y), f1 = f(x + δ, y), etc. Para las estrellas irregulares podemos aproximar ∇2 f dando a δ los valores δ1 y δ2 en el desarrollo en la dirección x y δ3 y δ4 en el correspondiente a la dirección y. Despejando las derivadas segundas y despreciando términos de orden O(δ3), se ob- tiene ∇2 f ' α1 f1 + α2 f2 + α3 f3 + α4 f4 − α0 f0 (B.42) donde los coeficientes correctores son α1 = 2 δ1 (δ1 + δ2) , α2 = 2 δ2 (δ1 + δ2) , α3 = 2 δ3 (δ3 + δ4) α4 = 2 δ4 (δ3 + δ4) , α0 = 1 2 µ 1 δ1 δ2 + 1 δ3 δ4 ¶ En general, si la divergencia del campo en cada punto es D0, obtenemos las siguientes ecuaciones en diferencias finitas f0 = 1 4 α0 D0 + 4 X l=1 αl fl # (B.43) Estableciendo esta ecuación para todos los nudos interiores del volumen problema 0 → i = 1 · · · N tendremos N ecuaciones con N incógnitas. Si al nudo i le corresponde una estrella regular, los coeficientes α son todos iguales a la unidad. En caso contrario toman los valores indicados anteriormente. Las ecuaciones B.43 forman un sistema de N ecuaciones no homogéneas que puede expresarse de la forma B.3, donde e A es, para N grande, una matriz de tipo disperso ( en ingles ’ sparse’), con pocos elementos no nulos, ~ x es el vector incógnita cuyos componentes son los N potenciales de los nudos internos y ~ b el vector de datos, cuyas componentes son combinaciones lineales de las divergencias Di y de los potenciales de los nudos frontera, fa, · · · fn. De esta forma queda planteado el problema de Poisson con condiciones de Dirichlet. El planteamiento de condiciones tipo Neumann se deja para más adelante. B.1.3.1. Resolución iterativa del sistema de ecuaciones Cuando N es grande y el problema no es unidimensional, la inversión directa del sistema de ecuaciones no es factible. No obstante, si la matriz e A es dispersa, como es nuestro caso, el sistema resultante se presta a una solución iterativa aproximada. Como en todo proceso iterativo utilizado en problemas estáticos, se hace necesaria una
- 438. b-12 estimación previa del resultado ~ x 0. La convergencia del método depende de lo ajustada que sea esta estimación pero, en la práctica, no siempre es secillo hacerla por lo que a menudo se recurre a tomar ~ x 0 = ~ 0. Mencionaremos sólo los métodos más simples. Método de Jacobi. Consiste en aplicar la expresión B.43, reiterada y ordenada- mente, a todos los puntos de la red, m = 1 · · · N. Los valores de la solución en los nudos de la estrella se toman de la iteración previa. Es decir fk m = 1 4 αm Dm + 4 X l=1 αl fk−1 l # (B.44) el valor de potencial en el nudo m, en la iteración k − esima, se estima en función de los potenciales fk−1 l , estimados en la iteración anterior, de los nudos de su estrella. El proceso iterativo se termina cuando se alcanza un grado de convergencia ade- cuado, es decir, cuando la diferencia entre dos estimaciones sucesivas, xk−1 y xk es lo suficientemente pequeña. Este proceso requiere una memoria de dimensión 2N. N para almacenar los fk−1 y otros tantos para los fk. Método de Gauss-Seidel. Mejora la eficacia del anterior reduciendo la memoria a la mitad y acelerando notablemente la convergencia. Se aplica la expresión fk m = 1 4 αm Dm + 4 X l=1 αl f∗ l # (B.45) que sólo difiere de la anterior en que los datos de las sucesivas iteraciones se almacenan siempre en el mismo lugar de la memoria, siendo f∗ l los valores ya calculados 10 para fl en el momento en que se va a calcular fk m. Método de relajación. Este método , a su vez, acelera la convergencia con respecto al de Gauss-Seidel. Si al segundo miembro de B.45 le sumanos y restamos el valor previamente calculado para el centro de la estrella fk−1 m ≡ f∗ m, la fórmula de actualización del método Gauss- Seidel puede escribirse de la forma fk m = f∗ m + R∗ m (B.46) donde R∗ m = 1 4 αm Dm + 4 X l=1 αl f∗ l # − f∗ m (B.47) se define como el residuo, en el instante anterior al cálculo de fk m, correspondiente al nudo m. La aplicación de B.46 equivale a la anulación del residuo en dicho nudo, modificando al mismo tiempo el de los nudos adyacentes. 10 Bién sea en la iteración anterior o en la actual.
- 439. b-13 El método de relajación modifica la expresión anterior en el sentido de no sumar el residuo sino una cantidad proporcional al mismo. fk m = f∗ m + a R∗ m (B.48) Cuando a 1 se dice que el proceso es de sobrerelajación 11 y, cuando a 1, de subrelajación, que no tomaremos en consideración en lo sucesivo. Si a = 1, el método se reduce al de Gauss-Seidel. Aunque existen reglas prácticas para la relajación manual 12, los ordenadores nece- sitan algoritmos sistemáticos. Para evitar que el proceso se inestabilice debe utilizarse una sobrerelajación, con 1 ≤ a 2. El valor óptimo es tanto más próximo a 2 cuanto mayor es el número N de incógnitas. El proceso de relajación termina cuando todos los residuos alcanzan valores inferiores a una cota prefijada. B.1.3.2. Aplicación al estudio del condensador plano: metodo DF SOR condensador.nb + - V= 1 Contorno (a) V=1 V=-1 (b) V=1 X Y Y X Figura B.6: En la figura B.6 proponemos algunos problemas bidimensionales facilmente resol- ubles mediante el método de las diferencias finitas. En ellos aparecen electrodos, de conductividad σ → ∞ y a distintos potenciales, inmersos en un medio de conductividad finita σ y rodeados de otro medio cuya conductivida es nula o infinita. Dado que el dominio de un problema numérico es necesariamente finito, la frontera del mismo debe ser una curva finita que en el caso presente es el rectángulo externo. También puede considerarse que el plano de la figura corresponde a la sección de un problema análogo, con simetrı́a de traslación a lo largo del eje z y resoluble mediante la ecuación de Laplace bajo las mismas condiciones de contorno. La figura B.6b corresponde a problemas con dos electrodos puntuales. Si ambos elec- trodos tienen el mismo potencial, los dos ejes son de simetrı́a por lo que sólo se necesita 11 Suele anotarse con las siglas ”método SOR”(Successive Over-Relaxation). 12 Véase Ramo
- 440. b-14 la solución en el rectángulo sombreado. Si los potenciales son de igual magnitud y dis- tinto signo, las solución del primer cuadrante (sombreado en la figura) es antisimétrica respecto a la del cuarto, con lo que sigue bastando con la solución en el primero 13. La figura B.6a corresponde al problema de una lámina poco conductora en la que se introducen dos electrodos lineales iguales y paralelos 14. Este porblema es análogo al de un condensador bidimensional plano incluido en un medio de constante dieléctrica ε 6= 0 y rodeado por un medio con ε = 0. Esto último no es realista pero, dado que la frontera exterior se encuentra en una región de campo bajo, la solución en la zona cercana a las placas no difiere substancialmente a la correspondiente a un dominio ilimitado. A continuación se describe un programa Mathematica que resuelve este problema. Planteamiento: Red numérica α β γ µ δ b e i j α γ β 1 n+1 1 n n+1 2 2 m m+1 m+2 l+1 l+2 n V=1 V=0 µ δ 1 2 a1 a2 c d f Figura B.7: Como acabamos de ver, sólo es necesario resolver el problema planteado en el primer cuadrante que, en este caso, se ha cubierto con una red de nudos separados por distancias ∆x = ∆y = h, según se indica en la figura B.7. Se han definido n2 celdas cuadradas de lado h y (n + 1)2 nudos sobre los que se muestrea el potencial. 13 Del programa Mathematica metodo DF SOR electrodos puntuales.nb sólo se presentan sus resul- tados. Se incluye en la misma carpeta que los demás programas que se mencionan en el libro 14 Véase la sección A.5.2.
- 441. b-15 Cada nudo se describe por las coordenadas (xi = (i − 1) × h, yj = (j − 1) × h) o por los ı́ndices (i, j), donde {i, 1, n + 1} y {j, 1, n + 1}. La notación {i, n1, n2} indica que el ı́ndice i toma los valores enteros n1, n1 + 1, · · · , n2. Nudos interiores En las estrellas correspondientes a nudos interiores, los residuos, expresión B.47 pueden expresarse de la forma la forma Rα = 1 4 (Vβ + Vγ + Vδ + Vµ) − Vα (B.49) Condiciones de contorno Las condiciones de contorno se aplican al perı́metro del cuadrante y a la semiplaca del condensador, de longitud l × h. Estas condiciones son de Dirichlet en: 1. La lı́nea y = 0, ({i, 1, n + 1}, 1). Dado que las dos placas están a potenciales de igual magnitud y distinto signo, el potencial en dicha lı́nea debe ser V = 0 2. La placa ({i, 1, l + 1}, m + 1). En ésta se especifica V = 1 En el resto del contorno las condiciones son de tipo Neumann: 1. En el tramo b ({i, 2, n}, n+1), correspondiente al borde de la lámina, figura B.7, el campo es tangencial y su componente normal es nula. Se cumple, por lo tanto, la condición de Neumann ∂ V ∂ y = 0 Si nos fijamos en la estrella marcada en este borde, la aproximación en diferencias centradas es, segun la expresión B.39, Vµ − Vγ 2h = 0 ⇒ Vµ = Vγ (B.50) donde, en este caso, µ es un nudo no incluido en la red. Eliminando Vµ de la expresión B.49 se tiene Rα = 1 4 (2Vγ + Vδ + Vβ) − Vα (B.51) En el tramo c (n+1, {j, 2, n}), por razones análogas, ∂ V ∂ x = 0
- 442. b-16 y Rα = 1 4 (2Vδ + Vγ + Vµ) − Vα (B.52) 2. En los nudos de las esquinas 1 (1, n+1) y 2 (n+1, n+1) se cumplen ambas condi- ciones ∂ V ∂ x = 0 y ∂ V ∂ y = 0. En 1, los puntos exteriores son δ y µ, con lo que Rα = 1 2 (Vβ + Vγ) − Vα (B.53) En 2 Rα = 1 2 (Vδ + Vγ) − Vα (B.54) 3. En los tramos a1 (1, j, 2, m) y a2 (1, j, m+2, n) se cumple la condición ∂ V ∂ x = 0 ya que la simetrı́a entre el primer y segundo cuadránte implica que Vδ = Vβ ⇒ ∂ V ∂ x = 0 de lo cual resulta Rα = 1 4 (2Vβ + Vγ + Vµ) − Vα (B.55) El programa que se describe en el siguiente apartado actualiza los valores del po- tencial en cada nudo comenzando por la frontera, a1, a2, 1, b, 2 y c. A continuación actualiza el interior (d, e y f) y elabora una estimación de la convergencia sumando los valores absolutos de los residuos. Programa Mathematica:metodo DF SOR condensador.nb: Remove[”Global0 ∗ ”]; (B.56) $TextStyle = {FontFamily → ”Times”, FontSize → 14}; (B.57) Se especifican: - Los valores de n = NN, m = MM y l = LL. NN = 30 ; MM = 10 ; LL = 15 ; itmax = 1000; (B.58) - El valor de la constante de relajación a = AA . Este valor es óptimo para este problema y para las especificaciones anteriores. AA = 1,95 ; (B.59)
- 443. b-17 - El número máximo de iteraciones itmax y la cota de error emax que alcanzará el resultado si el número de iteraciones realizadas no supera a itmax. itmax = 1000 ; emax = 0,001; (B.60) Se inicializan las matrices que han de almacenar los valores del potencial y del error resultante después de cada iteración. A esta última se le asigna un valor monodimension- al que, posteriormente, mediante la orden Append, irá incrementando sus dimensiones hasta que haya almacenado los sucesivos valores de el error resultante al final de cada una de las iteraciones realizadas k. v = Table[0, {i, 1, NN + 1}, {j, 1, NN + 1}]; (B.61) errorit = Table[0, {i, 1, 1}]; (B.62) El potencial en la placa es V = 1. Do[v[[i, MM + 1]] = 1, {i, LL + 1}]; (B.63) En la figura B.8 representa gráficamente el potencial inicial de la red. ListPlot3D[Transpose[v], ViewPoint → {0, 0, 2}, PlotRange → {0, 1}]; (B.64) 10 20 30 10 20 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura B.8: Se dan valores iniciales al número k de iteraciones realizadas y al error cometido en las sucesivas iteraciones k = 0; error = 1; (B.65) Se llevan a cabo iteraciones sucesivas mientras que el error sea mayor que el máximo estipulado pero sin sobrepasar el número máximo de iteraciones itmax. Esto se realiza
- 444. b-18 mediante el lazo condicional While, cuyo formato es While[condición, cuerpo de la iteración] 15. cuerpo es un conjunto de órdenes sucesivas separadas por (;) y condición es una condición lógica tal que, mientras ésta se cumple, cuerpo se ejecuta iterativamente. Cuando deja de cumplirse, el lazo finaliza. La orden B.65, error = 1, permite que la primera iteración comience ya que error emax.Dado que esta orden no cabe en una página, será necesario distribuirla en dos. While[(error emax)(k itmax), (B.66) error = 0; k = k + 1; (B.67) Do[ (B.68) res = 1 4 (2 ∗ v[[1 + 1, j]] + v[[1, j + 1]] + v[[1, j − 1]]) − v[[1, j]]; v[[1, j]] = v[[1, j]] + AA ∗ res, {j, 2, MM}]; Do[ (B.69) res = 1 4 (2 ∗ v[[1 + 1, j]] + v[[1, j + 1]] + v[[1, j − 1]]) − v[[1, j]]; v[[1, j]] = v[[1, j]] + AA ∗ res, {j, MM + 2, NN}]; res = 1 2 (v[[1, NN]] + v[[2, NN + 1]]) − v[[1, NN + 1]]; (B.70) v[[1, NN + 1]] = v[[1, NN + 1]] + AA ∗ res; res = 1 2 (v[[NN, NN + 1]] + v[[NN + 1, NN]]) − v[[NN + 1, NN + 1]]; (B.71) v[[NN + 1, NN + 1]] = v[[NN + 1, NN + 1]] + AA ∗ res; Do[ (B.72) res = 1 4 (2 ∗ v[[i, NN]] + v[[i − 1, NN + 1]] + v[[i + 1, NN + 1]]) −v[[i, NN + 1]]; v[[i, NN + 1]] = v[[i, NN + 1]] + AA ∗ res, {i, 2NN}]; Do[ (B.73) res = 1 4 (2 ∗ v[[NN, j]] + v[[NN + 1, j + 1]] + v[[NN + 1, j − 1]]) −v[[NN + 1, j]]; v[[NN + 1, j]] = v[[NN + 1, j]] + AA ∗ res, {j, 2, NN}]; El lazo se ha cortado en esta lı́nea pero continúa en la página siguiente 15 Consúltese la ayuda de Mathematica.
- 445. b-19 Do[ (B.74) res = 1 4 (v[[i + 1, j]] + v[[i − 1, j]] + v[[i, j + 1]] + v[[i, j − 1]]) − v[[i, j]]; v[[i, j]] = v[[i, j]] + AA ∗ res; error = error + Abs[res], {i, 2, NN}, {j, 2, MM}]; Do[ (B.75) res = 1 4 (v[[i + 1, MM + 1]] + v[[i − 1, MM + 1]] + v[[i, MM + 1 + 1]] +v[[i, MM + 1 − 1]]) −v[[i, MM + 1]]; v[[i, MM + 1]] = v[[i, MM + 1]] + AA ∗ res; error = error + Abs[res], {i, LL + 2, NN}]; Do[ (B.76) res = 1 4 (v[[i + 1, j]] + v[[i − 1, j]] + v[[i, j + 1]] + v[[i, j − 1]]) − v[[i, j]]; v[[i, j]] = v[[i, j]] + AA ∗ res; error = error + Abs[res], {i, 2, NN}, {j, MM + 2, NN}]; If[k == 1, errorit[[k]] = error, errorit = Append[errorit, error]] (B.77) ]; (B.78) El lazo condicional comienza en la lı́nea B.66, donde se establece la condición, y termina en la B.78. En la lı́nea B.67 se inicializa error = 0 para que al final de la iteración esta variable contenga la suma de los errores calculados a lo largo de esta iteración en los nudos interiores. Asimismo, se actualiza el valor de k que identifica a la iteración en curso. Los lazos Do que conmienzan en las lı́neas B.68 y B.69 calculan los valores de los potenciales en los nudos de los tramos del contorno a1 y a2 16. En la lı́nea B.70 se calcula el residuo del nudo de esquina 1 y en la siguiente el potencial correspondiente. En la B.71 y la siguiente se hacen los mismos cálculos para el nudo 2. Los Do que conmienzan en las lı́neas B.72 y B.73 aplican las condiciones de contorno a los nudos de b y c. 16 Véase la figura B.7.
- 446. b-20 Los Do que conmienzan en las lı́neas B.74, B.75 y B.76 calculan los valores del potencial en las zonas d, e y f respectivamente. El If de la lı́nea B.77 construye la lista errorit, de dimensión k, que contiene los errores (error) calculados en todas las iteraciones realizadas. Resuelto el problema, se lee el número de iteraciones realizadas it it = k (B.79) y se comprueba que el error alcanzado es inferior a emax. error (B.80) Por último, se realizan las siguientes gráficas: - Evolución de la convergencia del proceso de iteración, figura B.9. ListPlot[errorit, PlotJoined → True, (B.81) PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], AxesLabel → {”k”, ”error”}]; 20 40 60 80 100 k 2 4 6 8 10 12 14 error Figura B.9: - Lı́neas equipotenciales para v = {0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9}. ListContourPlot[Transpose[v], ColorFunction → Hue, (B.82) Contours → {0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9}]; Según se observa en la figura B.10, las equipotenciales son normales al contorno de la izquierda, por simetrı́a, y a los de arriba y derecha porque el campo es tangencial a los mismos. La simetrı́a del primer contorno exige también que la componente normal del campo se anule en él. - Potencial a lo largo de las siguintes lı́neas paralelas entre sı́: Central (i=0). Extremo de condensador (i=LL+1).
- 447. b-21 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 Figura B.10: Fuera del condensador (i=LL+6). v1 = Table[0, j, 1, NN + 1]; (B.83) Do[v1[[j]] = v[[1, j]], j, NN + 1] (B.84) v1gr = ListPlot[v1, PlotJoined → True, (B.85) PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], AxesLabel → {”i”, ”V”}, DisplayFunction → Identity]; v2 = Table[0, j, 1, NN + 1]; (B.86) Do[v2[[j]] = v[[LL + 1, j]], j, NN + 1] (B.87) v2gr = ListPlot[v2, PlotJoined → True, (B.88) PlotStyle → RGBColor[0, 1, 0], AxesLabel → {”i”, ”V”}, DisplayFunction → Identity]; v3 = Table[0, j, 1, NN + 1]; (B.89) Do[v3[[j]] = v[[LL + 6, j]], j, NN + 1] (B.90)
- 448. b-22 v3gr = ListPlot[v3, PlotJoined → True, (B.91) PlotStyle → RGBColor[0, 0, 1], AxesLabel → {”i”, ”V”}, DisplayFunction → Identity]; Show[v1gr, v2gr, v3gr, DisplayFunction → $DisplayFunction]; (B.92) 5 10 15 20 25 30 i 0.2 0.4 0.6 0.8 1 V Figura B.11: La figura B.11 muestra conjuntamente los potenciales de las tres lı́neas. El de la central en rojo, el de la del extremo en verde y el de la externa en azul. El programa metodo DF SOR condensador.nb resuelve el problema de los dos elec- trodos puntuales. Aquı́ sólo se muestran sus resultados: V (x, y) en la figura B.12 y las lı́neas equipotenciale en la B.13. 10 20 30 10 20 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura B.12: B.1.4. Métodos variacionales Algunos de los métodos numéricos más utilizados para la solución de problemas electromagnéticos se fundamentan en principios variacionales. Aquı́ los introduciremos
- 449. b-23 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 Figura B.13: para el tratamiento de la ecuación de Poisson. Consideraremos la generalización de la misma que es aplicable a medios dieléctricos no homogéneos. Para éstos se cumple que ∇ · ~ D = ρ , ~ D = ε ~ E , ~ E = −∇V donde, en principio, suponemos que ε es una función continua de ~ r en V 17. En consecuencia, el potencial cumple una ecuación del tipo ∇ · (η∇f) = −g (B.93) siendo, en este caso, η = ε, f = V y g = ρ Los métodos numéricos variacionales substituyen la resolución directa de esta ecuación, con las condiciones de contorno pertinentes, por la solución aproximada de µ ∂ Φ(ϕ) ∂ ϕ ¶ ϕ=f = 0 donde Φ(ϕ) es un funcional que se definirá más adelante. Esto equivale a buscar la función ϕ = f que hace estacionario (mı́nimo) a Φ(ϕ) 18. Cálculo variacional: Empecemos recordando que, por definición, una función φ(x) es estacionaria en x0 si µ ∂ φ(x) ∂ x ¶ x=x0 = 0 Un desplazamiento δx, pequeño pero arbitrario, a partir de x0, produce una primera variación δφ = 0. 17 Para simplificar, consideraremos que ρ, ε, y V son funciones reales. La extensión del problema al dominio complejo es sencilla. Las discontinuidades de ε pueden tenerse en cuenta mediante condiciones de continuidad adecuadas 18 Éste funcional suele interpretarse como la ’energı́a del sistema’.
- 450. b-24 Efectivamente, se define como primera variación de φ a δφ ≡ ∂ φ(x) ∂ x δx (B.94) Dado que en un punto estacionario ³ ∂ φ(x) ∂ x ´ x=x0 = 0, también lo es cualquier δφ alrede- dor de dicho punto. Desarrollando en serie φ(x + δx) y despreciando términos de orden O(δ2), se com- prueba que δφ ' φ(x + δx) − φ(x) Nos interesa resaltar que el operador δ conmuta con el de derivación parcial, ya que, al ser δx independiente de x, δ µ ∂ φ(x) ∂ x ¶ = ∂2 φ(x) ∂ x2 δx = ∂ ∂ x µ ∂ φ(x) ∂ x δx ¶ = ∂ ∂ x (δφ) En concreto δ µ ∂ φ ∂ x ¶ = ∂ ∂ x (δφ) (B.95) Estos conceptos son extensibles a funciones de varias variables y a funcionales. Sea V el volumen del problema. En el contorno S fijamos condiciones de Dirichlet, Neumann o mixtas, que pueden formularse convenientemente con las expresiones [f]S1 = fs ⇒ [δf]S1 = 0 (B.96) [η ~ n · ∇ f + β f]S2 = γ (B.97) donde S1 es aquella parte de S en la que se cumplen condiciones de Dirichlet, S2 aquella otra en la que se cumplen las mixtas, ~ n la normal a S y β y γ funciones definidas en S2. Las condiciones de Dirichlet fijan el valor del potencial para cada punto de la super- ficie S1, por lo que la primera variación del potencial δf en dichos puntos es nula. Para que la solución sea única, este tipo de condiciones debe fijarse en al menos un punto del contorno. Por esta razón, también se les denomina condiciones esenciales. En las condiciones de Neumann, expresión B.97 con β = 0, lo que fijamos es la componente normal del campo ~ F = −∇f [Fn]S = Fns = − [∇ f · ~ n]S = − γ η Si en la expresión B.97 hacemos β 6= 0 en alguna zona del contorno, las condiciones serán mezcladas. En particular, si β = γ = 0, las condiciones que se cumplen son las homogéneas de Neumann ∇ f · ~ n = 0. En resumen, se divide la superficie en tres partes S = S1 + S2 + S3. En la primera, que puede reducirse a un solo punto o extenderse a toda la superficie, se imponen condiciones de Dirichlet. Opcionalmente, pueden imponerse condiciones mixtas en la segunda y ninguna condición en la tercera. Este último caso equivale a la imposición de la condición de Neumann homogénea en S3.
- 451. b-25 Definiremos el funcional Φ(ϕ) ≡ Z V ½ 1 2 η ∇ ϕ · ∇ ϕ − g ϕ ¾ dv + Z S2 ½ 1 2 β ϕ2 − γ ϕ ¾ ds (B.98) y demostraremos que es estacionario para ϕ(~ r) = f(~ r), donde f(~ r) es la solución de B.93 que cumple las condiciones de contorno especificadas, de tipo B.96 o B.97. Ésto nos permitirá substituir la búsqueda directa de la solución f por la de una función ϕ que haga estacionario al funcional Φ(ϕ). Para comprobarlo, demostraremos que [δΦ(ϕ)]ϕ=f = 0 Variando B.98 19 δΦ(ϕ) = Z V η ∇ ϕ · ∇ δϕ dv | {z } (I) − Z V δϕ g dv + Z S2 δϕ {β ϕ − γ } ds (B.99) Para escribir la integral (I) se ha tenido en cuenta que δ(∇ ϕ) = ∇(δϕ), según se vio en B.94. Si recordamos que ∇ · (λ ~ a) = λ ∇ · ~ a + ~ a · ∇λ y hacemos ~ a = η ∇ϕ y λ = δϕ (I) = Z V ∇ · (δϕ η ∇ ϕ) dv | {z } II − Z V δϕ ∇ · (η ∇ ϕ) dv y, aplicando el teorema de la divergencia a II, (I) = Z S2 δϕ η ∇ ϕ · ~ n ds − Z V δϕ ∇ · (η ∇ ϕ) dv donde se ha tenido en cuenta que δϕ = 0 en S1 y ∇ ϕ · ~ n = 0 en S3. Substituyendo esta ultima expresión en B.99, se tiene que δΦ(ϕ) = − Z V δϕ {∇ · (η ∇ ϕ) + g)} dv + Z S2 δϕ {η ~ n · ∇ ϕ + β ϕ − γ } ds = 0 Vemos, pués, que δΦ = 0 para cualquier δϕ arbitrario porque, según B.93, en V ∇ · (η ∇ ϕ) + g = 0 y, según B.97, en S2 η ~ n · ∇ ϕ + β ϕ − γ = 0 Luego la función ϕ = f hace estacionario a Φ(ϕ), es decir, µ ∂ Φ(ϕ) ∂ ϕ ¶ ϕ=f = 0 (B.100) En lo que sigue, estudiaremos métodos que permiten, con mayor o menor eficacia, la resolución aproximada de este problema. 19 Las variaciones sólo afectan a las funciones de ϕ.
- 452. b-26 B.1.4.1. Método de Ritz 20 Para aproximar la solución de la ecuación B.100, este método substituye ϕ por un desarrollo f(α1, · · · , αN , x) = αi ϕi(x) (B.101) f es función de un conjunto {αi}N , de dimensión N, de coeficientes a determinar. {ϕi}N es otro conjunto, de la misma dimensión, de funciones base 21 cuya elección es determinante para la eficacia de este método. Si se substituye ϕ → f en B.100, el mı́nimo de Φ se busca solamente dentro del espacio subtendido por la base elegida. Teniendo en cuenta que, en este caso, Φ = Φ(α1, · · · , αN ), la ecuación anterior equivale al sistema de N ecuaciones con N incógnitas ∂ Φ(f) ∂ αi = 0 i = 1, · · · , N (B.102) cuya solución {αi}N nos permite obtener el valor óptimo de f, el más próximo posible a f dentro del espacio subtendido por la base. Hay que tener en cuenta que, al ser N finito, la solución encontrada será, en general sólo una aproximación de la solución exacta f. Sólo en el caso de que la base elegida sea completa para la solución buscada, f = f. En dos o tres dimensiones, sobre todo si el contorno no es simple, esto no suele ser factible, lo que limita grandemente la utilidad de este tipo de métodos. Esta dificultad se soslaya mediante las técnicas empleadas en las distintas versiones del método de los elementos finitos. Ilustraremos el uso del método que nos ocupa con un ejemplo unidimensional. B.1.4.2. Ejemplo 1: ejemplo Ritz.nb Tomaremos como ejemplo de uso del método de Ritz a un problema de Poisson con una condición de Neumann homogénea. d2 f d x2 = −g(x) , g = 1 − x (B.103) en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 y con las condiciones de contorno f(0) = 0 , µ d f d x ¶ x=1 = 0 (B.104) Primero se planteará el problema de forma analı́tica y después se buscará la solución empleando el método de Ritz. Se comprobará que las soluciones encontradas por uno y otro método son idénticas porque, en éste caso, es fácil buscar una base completa de la solución. Como ya hemos comentado anteriormente, ésto sólo es posible en problemas cuya solución más simple es precisamente la analı́tica. 20 O de Rayleigh-Ritz. 21 También se les conoce como funciones de interpolación o de expansión.
- 453. b-27 Programa Mathematica ejemplo Ritz.nb: Solución analı́tica: Remove[Global‘∗]; Off[General :: spell1]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 11}; Se integra la ecuación B.103 f = 1 − x; V = Z µ a2 − Z f dx ¶ dx + a1 donde a1 y a2 son la constantes de integración, y se aplican las condiciones de contorno B.104 en los extremos del intervalo. V0 = V/. x → 0; Vn1 = ∂x V/. x → 1; A partir de estas condiciones se calculan las constantes de integración a1 y a2. ecuaciones = {V0 == 0, Vn1 == 0}; solreglas = Solve[ecuaciones, {a1, a2}]; solreglas es una lista {{a1 →?, a2 →?}}que contiene la regla de asignación de valor a a1 y a2. Para sacar estos valores de la lista, se ejecutan las órdenes siguientes: a1 = a1/. solreglas; a2 = a2/. solreglas; a1 = a1[[1]]; a2 = a2[[1]]; con lo que se completa la solución. Su expresión puede verse ejecutando la orden siguiente V En la figura B.14 puede comprobarse que ¡d V d x ¢ x=1 = 0. Plot[V, {x, 0, 1}, PlotRange → All, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0]}, AxesLabel → {”x”, ”V”}]; Solución por el método de Ritz: Comenzamos eligiendo la función de prueba: Es evidente que la solución es un poli- nomio de tercer grado.
- 454. b-28 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 V Figura B.14: fi = c0 + c1 ∗ x + c2 ∗ x2 + c3 ∗ x3 ; Sólo es necesario imponer la condición de contorno en x = 0. La de Neumann homogénea se cumple automaticamente al minimizar el funcional. fi0 = fi/. x → 0; Se calcula c0. ccreglas = Solve[fi0 == 0, {c0}]; c0 = c0/. ccreglas; c0 = c0[[1]]; A continuación se calcula el funcional del problema. Fi = Z 1 0 µ 1 2 (∂x fi)2 − f ∗ fi ¶ dx; y se formula y soluciona el sistema de ecuaciones. Fi1 = ∂c1Fi, Fi2 = ∂c2Fi, Fi3 = ∂c3Fi; ecuaciones = {Fi1 == 0, Fi2 == 0, Fi3 == 0}; ritzreglas = Solve[ecuaciones, {c1, c2, c3}]; c1 = c1/. ritzreglas; c2 = c2/. ritzreglas; c3 = c3/. ritzreglas; c1 = c1[[1]]; c2 = c2[[1]]; c3 = c3[[1]]; Puede comprobarse que V = ϕ
- 455. b-29 fi Como ya se ha comentado, la solución ϕ = V porque la base {ϕi(x)} = {1, x, x2, x3} escogida es completa para la solución general. B.1.4.3. Ejemplo 2: Método de Ritz (elementos finitos) Como introducción al método de los elementos finitos, nos plantearemos la solución del problema anterior mediante el uso de un tipo particular de funciones base. Según puede verse en la figura B.15a, el dominio del problema se ha dividido en intervalos, que denominaremos elementos y ordenaremos por el ı́ndice i = 1, 2 · · · N − 1, limitados por nudos situados en posiciones xi, i = 1, 2 · · · N. El elmento e = i está delimitado por los nudos xi y xi+1 y la función base ϕi(x) es tal que fi(xj) = δij, interpola linealmente fi(xi) = 1 con fi(xi−1) = 0 y fi(xi+1) = 0 y fi(x) = 0 para x ≤ xi−1 ó x ≥ xi+1. En el punto x1 de la frontera se toma xi−1 = x1 y en el xN se toma xi+1 = xN . posicion i-1 x i+1 f2 f1 f3 1 i-1 i N-1 (a) (b) 1 x 1 x x x 1 2 3 f (x) x ϕ ϕ ϕ 1 x i x N i N L elementos nudos 1 i-1 i i+1 N x Figura B.15: De acuerdo con lo anterior, podemos escribir la función de prueba, que en adelante denominaremos función de prueba global, como f(x) = N X i=1 fi ϕi(x) (B.105) donde fi ≡ αi son los coeficientes a determinar. En este ejemplo tomaremos N = 3, es decir, figura B.15b, dividiremos el dominio en dos elementos y, para simplificar, les daremos la misma longitud L. Resumiendo x1 = 0 , x2 = 0.5 , x3 = 1 , L = xi+1 − xi = 0.5 Es fácil de comprobar que f(x) es una función continua que interpola linealmente a los valores de los coeficientes f1, f2 y f3. En consecuencia, podemos reescribir la ecuación B.105 de la forma
- 456. b-30 f(x) = N−1 X e=1 fe (x) = f1 (x) + f2 (x) (B.106) donde fe(x) es la función de prueba del elemento e = i, o función de prueba local, definida, figura B.15b, como fi (x) = fi + pi (x − xi), para x ∈ e = i 0 , fuera de e , pi = 1 L (fi+1 − fi) (B.107) siendo pi la pendiente de f(x) dentro del elemento e = i 22. Debemos resolver la ecuación B.103 con las condiciones de contorno B.104 de las que, como en el ejemplo anterior, sólo es necesario implementar la de Dirichlet f1 = 0 El funcional B.98 se concreta en este caso de la forma 23 Φ(f2, f3) = Z 1 x=0 µ d f(x) d x ¶2 dx + Z 1 x=0 (x − 1) f(x) dx = Φ1 + Φ2 (B.108) donde d f(x) d x es la pendiente de la función de prueba global y Φi es el funcional local del elemento i Φi (fi, fi+1) = 1 2 L (pi)2 + Z xi+1 x=xi (x − 1) fi (x) dx (B.109) puesto que d fi d x = pi = cte. Tomando los datos del problema y substituyendo B.106 en la ecuación anterior, se tiene que Φ1 = − 1 6 f2 + (f2)2 Φ2 = − 1 12 f2 + (f2)2 − 1 24 f3 − 2 f2 f3 + (f3)2 Las ecuaciones que debemos resolver son 22 Para escribir f(x) en la forma de la expresión B.106 habrı́a sido necesario utilizar la operación unión S en vez de la suma, puesto que con la suma se duplican los valores de la función en los nudos. De todas formas, como para construir el funcional hay que integrar, esta discrepancia con la B.105 no afecta al resultado. 23 Al tener f1 un valor fijo, no aparece como variable del funcional.
- 457. b-31 ∂ Φ1 ∂ f2 + ∂ Φ2 ∂ f2 = 0 , ∂ Φ2 ∂ f3 = 0 f3 es el valor de la función de prueba en el último nudo por lo que sólo aparece en el funcional del último elemento. En concreto 2 f2 − f3 = 1 8 , f2 − f3 = − 1 48 ⇒ f2 = 7 48 , f3 = 1 6 La figura B.16 muestra la solución exacta, en rojo, y la aproximada, la lı́nea que- brada, en azul. 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 V Figura B.16: B.1.4.4. Método de los elementos finitos (Ritz) Con el ejemplo anterior hemos puesto de manifiesto las caracterı́sticas fundamen- tales de los métodos de elementos finitos 24 tomando como base el método de Ritz, pero es evidente que puede hacerse un planteamiento análogo basándose en métodos no variacionales como el de Galerkin. En la práctica es necesario ajustar la solución a un número muy superior de elementos. Por esta razón, en lo que sigue plantearemos esta cuestión con algo más de generalidad. En la actualidad, estos métodos se aplican de forma eficaz a problemas escalares y vectoriales de muy distinto tipo y cabe resaltar, como una de las caracterı́sticas más interesantes, su capacidad para modelar superficies curvas y adaptar su red de forma que suministre información más o menos densa en distintas zonas de V y puedan analizarse con más precisión las zonas en las que la dicha solución varı́a más rápidamente. A diferencia de los métodos básicos de Ritz y de Galerkin, que resultan ineficaces para problemas no demasiado simples, los métodos de los elementos finitos hacen uso, en general, de funciones de prueba locales fe(~ r) definidas en pequeños elementos Ve ∈ V. De esta forma, la elección de las funciones base deja de ser determinante y pasa a un plano secundario. Si los elementos son pequeños, la aproximación de la solución dentro de los mismos puede llevarse a cabo con una base de pequeña dimensión. En la práctica, la más utilizada es, al mismo tiempo, la más simple, la correspondiente a una interpolación lineal, como ya hemos visto en el ejemplo anterior. 24 Véase [Jin].
- 458. b-32 La elaboración de un programa completo y de uso general es relativamente compleja y queda fuera de nuestros propósitos. Pueden distinguirse los siguientes pasos básicos para la solución de un problema de elementos finitos. 1. División del dominio V en elementos. 2. Selección de las funciones de prueba f. 3. Formulación del sistema de ecuaciones. 4. Solución del sistema de ecuaciones. 5. Análisis y presentación de los resultados. Algo parecido puede hacerse para describir otros métodos numéricos pero ésto es particularmente útil en el caso que nos ocupa. El primer paso se califica de preproceso porque suele hacerse con programas, comer- ciales o de dominio público, que pueden ser bastante complejos y que son utilizados como meras cajas negras. Los tres pasos siguientes constituyen el proceso de solución del problema y el último, que no responde a reglas fijas, se denomina postproceso. Después de comentar cada uno de los pasos anteriores, ilustraremos el conjunto de este proceso aplicandolo a la solución del ejemplo propuesto en B.1.4.2. División del dominio V en elementos: En este paso se divide el dominio V del problema en elementos y se describen de una forma adecuada. Nos limitaremos a elementos simples como los mostrados en la figuras B.17: (b) 1 2 4 3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 (c) 1 2 3 e= i= j= 1 2 3 4 1 2 (a) Figura B.17: Segmentos rectos, figura B.17a , para el caso unidimensional (1D). Triángulos, figura B.17b , para el caso bidimensional (2D). Tetraedros, figura B.17c , para el caso tridimensional (3D).
- 459. b-33 Existen otras muchas posibilidades que no tomaremos en consideración. La división del dominio implica la definición de una red de nudos. Según se observa en la figura anterior, los segmentos contienen dos nudos, los triángulos tres y los tetraedros cuatro. Los elementos contiguos comparten nudos: en el caso (1D) cada nudo interior pertenece a dos elementos y a uno solo el primero y el último. En los casos (2D) y (3D) el número de celdas a que pertenece un nudo depende de la división concreta que se lleve a cabo e, incluso, del nudo concreto dentro de un mismo elemento. En la figura B.17b son seis los elementos a que pertenece cada uno de los nudos mostrados, pero esto no es una regla general. Para describir la geometrı́a del espacio discretizado, es necesario enumerar todos los elementos y describir a cada nudo dando sus coordenadas y ordenándolos, localmente dentro de cada uno de los elementos a los que pertenece y globalmente dentro de V. Esto da muchas opciones y el costo de cálculo depende de por cuál se opte. Si M es el número de elementos, n el de nudos de un elemento 25 y N el número total de nudos, ordenaremos a los elementos por el ı́ndice e y a los nudos por el ı́ndice global i y por el local j. e = 1, · · · , M i = 1, · · · , N j = 1, · · · , n (B.110) En la figura B.17b se muestra una posible forma de este ordenamiento. Los números locales se escriben en letra negrita. Las ecuaciones resultantes del planteamiento del problema pueden expresarse por medio de matrices de bandas. La anchura de banda es función de la máxima diferencia entre los números globales de los nudos de cada elemento por lo que es útil el uso de una numeración que que minimice dicha diferencia. Procediendo de esta manera se reduce la memoria y tiempo de cálculo necesarios. Una opción cómoda, pero no siempre eficaz, es la de elegir el orden que facilite al máximo la elaboración del programa de cálculo. Existen programas que realizan estas tareas de división en elementos, 1D, 2D y 3D, de espacios arbitrarios y optimizan la ordenación del conjunto. Selección de las funciones de prueba: La función de prueba global f se expresa como suma de funciones de prueba locales fe 26. f(~ r) = M X e=1 fe (~ r) (B.111) donde fe está definida en el elemento e, es nula fuera de dicho elemento y es continua con la funciones de prueba de los elementos adyacentes en la frontera con los mismos. Ésto asegura la continuidad de la función de prueba global en V. 25 Para simplificar, suponemos, como corresponde a los elementos de la figura B.17, que el número de nudos de todos los elementos es el mismo. 26 En lo sucesivo será necesario hacer uso del sı́mbolo P incluso en el caso en que se repitan los ı́ndices.
- 460. b-34 Para los elementos de la figura B.17, particularmente para los triángulos , la función de prueba local más utilizada es la que interpola linealmente los valores fe j , j = 1, · · · n de los nudos del elemento e 27. fe (~ r) = αe 1 + αe 2 x + αe 3 y (B.112) Dado que ésta es una función interpolante, en las posiciones de los nudos j debe ser igual a fe j . fe (~ rj) = fe j , j = 1, · · · , n (B.113) donde ~ rj es el vector coordenado de cada uno de dichos nudos. Si los elementos son lo suficientemente pequeños, esta función es apropiada para aproximar la solución. En las zonas donde esta última varı́a más rápidamente puede refinarse la red utilizando elementos de menor tamaño. Como puede verse en la figura B.17b, la recta que une a los nudos 1 y 2 (numeración local) del elemnto 3, es la frontera que separa a este elemento del 2, por lo que la funciones de prueba respectivas, f3 y f2, interpolan linealmente f2 y f5 (numeración global). f es, por lo tanto, una función continua en V. Forzando la condición B.113 se tiene que 28 fe (~ r) = n X j=1 Ce j (~ r) fe j (B.114) donde las funciones Ce j (~ r) son funciones de la posición dentro del elemento Ve y fe j los valores, a determinar, de la solución en los nudos correspondientes. Dadas la condiciones B.113, la Ce j toman el valor 1 en el nudo j y 0 en los demás nudos del elemento, asi como en su exterior. Ce j (~ rk) = δjk (B.115) Puesto que al calcular el funcional Φ estas fuciones se integran, dan lugar a cons- tantes. En consecuencia Φ = Φ(f1, · · · , fN ), es decir, es un función de los valores de la función de prueba f en los nudos de la red global. En concreto, para el elemento 3 C3 1 (~ r) = 1 2A3 [(y2 − y3) x + (x3 − x2) y + x2y3 − x3y2] C3 2 (~ r) = 1 2A3 [(y3 − y1) x + (x1 − x3) y + x3y1 − x1y3] C3 3 (~ r) = 1 2A3 [(y1 − y2) x + (x1 − x2) y + x1y2 − x2y1] (B.116) donde 27 En 3D se añadirı́a a fe el término ce 3 ∗ z . 28 Ésta es una alternativa a la expresión B.107.
- 461. b-35 A3 = 1 2 (x1y2 − x2y1 + x2y3 − x3y2 + x3y1 − x1y3) (B.117) es ± el área del elemento 3. Formulación del sistema de ecuaciones: De lo anterior se deduce que la función global de prueba buscada es la que hace estacionario a Φ. Es decir, aquella cuyos coeficientes cumplen el sistema de ecuaciones ∂ Φ(f1, · · · , fN ) ∂ fi = 0 , i = 1, · · · , N (B.118) Si las condiciones de contorno exigen que algunos de los fi sean constantes, será nece- sario eliminar de la serie anterior las ecuaciones correspondientes porque Φ no serı́a función de los mismos. Substituyendo la función de prueba global B.111 en el funcional B.98, éste puede escribirse de la forma Φ(fi) = M X e=1 Φe (B.119) donde Φe (fe j ) = Z Ve ½ 1 2 α ∇ fe · ∇ fe − g fe ¾ dv + Z Se 2 ½ 1 2 β (fe )2 − γ fe ¾ ds (B.120) Ve es el volumen del elemento y Se 2 la parte del contorno S2 tocada por el elemento. Si el elemento es interior, o β = γ = 0, la integral de superficie se anula. Φe puede expresarse de esta forma porque (f)2 = PM e=1 (fe)2 dado que, al ser fe nulo fuera de e, los productos cruzados fefe0 = 0 para e 6= e0. Si el nudo i está incluido en m elementos, los e = 1, · · · , m 29, cuya numeración no tiene por que ser correlativa, el sistema de ecuaciones B.118 se escribe de la forma ∂ Φ(f1, · · · , fN ) ∂ fi = m X e=1 ∂ Φe ∂ fi = 0 , i = 1, · · · , N (B.121) Cada una de estas ecuaciones consta de m términos. En general, m no tiene el mismo valor en los distintos nudos de una misma red. En particular, para los nudos interiores de la figura B.17a m = 2, para los de la frontera m = 1 y para los interiores de la figura B.17b m = 6. La reconstrucción de esta ecuación a partir del calculo de los distintos términos ∂ Φe ∂ fi , teniendo en cuenta la relación existente entre las ordenaciones local y global, se conoce como proceso de ensamblaje. Substituyendo B.114 en B.120 29 Haremos uso del mismo ı́ndice e, ya utilizado globalmente, para describir a estos m elementos.
- 462. b-36 Φe = 1 2 n X j=1 n X k=1 Ae jk fe j fe k − n X j=1 be j fe j (B.122) donde Ae jk = Z Ve α(~ r) ∇ Ce j (~ r) · ∇ Ce k(~ r) dv + Z Se 2 β(~ r) Ce j (~ r) Ce k(~ r) ds (B.123) be j = Z Ve g(~ r) Ce j (~ r) dv + Z Se 2 γ(~ r) Ce j (~ r) ds (B.124) Obviamente, los coeficientes Ae jk = Ae kj son las componentes de una matrı́z simétrica e Ae n×n. Derivando en B.122 con respecto a fi (ordenación global) ∂ Φe ∂ fi = 1 2 n X j=1 n X k=1 Ae jk δjifk + 1 2 n X j=1 n X k=1 Ae jk fjδki − n X j=1 be j δji en donde se ha tenido en cuenta que ∂ fj ∂ fi = δji y ∂ fk ∂ fi = δki. De acuerdo con lo anterior y que Pn k=1 Ae ik fk = Pn j=1 Ae ji fj porque e Ae es simética y en la segunda sumatoria puede intercambiarse el nombre del ı́ndice j con el del k. El resultado es ∂ Φe ∂ fi = 0 , nudo i no incluido en e ∂ Φe ∂ fi = n X k=1 Ae ik fk − be i , en caso contrario (B.125) sistema de ecuaciones que ha de resolverse es, en principio, el correspondiente a la expresión B.121 m X e=1 ∂ Φe ∂ fi = 0 , i = 1, · · · , N (B.126) o, de acuerdo con B.125 m X e=1 Ã n X k=1 Ae ik fe k − be i ! = 0 , i = 1, · · · , N (B.127) Recordaremos que el superı́ndice e designa a los elementos que contienen al nudo i, siendo este último subı́ndice global, y que el subı́ndice k es local y describe a los nudos de cada uno de estos elementos. Para darle forma explı́cita a estas ecuaciones han de ensamblarse, por medio de una tabla de correspondencias, de forma que todo pueda expresarse en función de los ı́ndices
- 463. b-37 globales. De ésto resulta una matrı́z global e AN×N a bandas, simétrica y, en general, poco densa (’sparse’) 30, y un vector global de términos independientes ~ bN . Comprobaremos que en 1D, con ligeras modificaciones de la definiciones de e A y ~ b, la matriz será tridiagonal, lo que permitirá resolver el sistema de ecuaciones por el método de eliminación de Gauss sin pivotación, que es muy eficiente, y reducir la memoria de la dimensión N2 a la 2N + N 31 y el correspondiente tiempo de cálculo. Solución del sistema de ecuaciones: Dadas las carácterı́sticas de e A, el uso de programas eficientes para la adecuada ordenacion global y la resolución del sistema de ecuaciones resultante podrá reducir de forma considerable la memoria y el tiempo de cómputo necesarios. Análisis y presentación de los resultados: Esta etapa suele ser más complicada que en otros métodos dada la forma normal- mente irregular de la distribución de los dominios. En el siguiente ejemplo, este problema y el de ensamblaje se presentarán de forma simplificada al emplear una distribución regular de elementos. Para mayores compleji- dades debe acudirse a la bibliografı́a. B.1.4.5. Ejemplo: ejemplo elem finitos 1D.nb Volvemos a ocuparnos del mismo problema propuesto en la sección B.1.4.2 d2 f d x2 = −g(x) , g = 1 − x (B.128) en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 y con las condiciones de contorno f(0) = 0 , µ d f d x ¶ x=1 = 0 (B.129) Para resolverlo, hemos elegido una red uniforme con N nudos y N − 1 elementos de longitud L = 1 N − 1 , xi = (i − 1) L (B.130) tal y como se muestra en la figura B.18. En el caso 1D, la ordenación óptima de nudos y elementos es muy simple, ya que basta con la numeración global de los nudos. Nudos: i = 1, · · · , N. Elementos: e = i = 1, · · · , N − 1. Nudos pertenecientes al elemento i: j = i, i + 1 30 La mayor parte de sus elementos son nulos. 31 2N para e A y N para ~ b.
- 464. b-38 x=0 e= 1 2 i-1 i N-1 i= 1 2 i-1 i i+1 N f =0 1 fi-1 f f i i+1 D f =0 N x x i x i+1 L Figura B.18: Dado que en este caso α = 1 y β = γ = 0, el funcional B.120 se reduce a Φi (fi, fi+1) = Z xi+1 xi ( 1 2 µ d fi d x ¶2 − g fi ) dx (B.131) i-1 i i fi+1 1 C x i i+1 x i i i+1 i+1 (x) L i fi C i i-1 f f i-1 (x) i-1 f C Figura B.19: La función de prueba del elemento i, véase la figura B.19, es fi (x) = Ci i (x) fi + Ci i+1(x) fi+1 (B.132) expresión en la que no es necesario emplear el superı́ndice e = i para anotar el potencial del nudo, y Ci−1 i (x) = x − xi−1 L , Ci i (x) = xi+1 − x L , Ci i+1(x) = x − xi L (B.133) que cumplen la condición B.115 dado que L = xi+1 − xi. Haciendo uso de la numeración global e integrando, las componentes Ae ij toman la forma
- 465. b-39 Ai i,i = Z xi+1 xi µ d d x Ci i (x) ¶2 dx = 1 L Ai i,i+1 = Z xi+1 xi d d x Ci i (x) d d x Ci i+1(x) dx = − 1 L (B.134) En el problema propuesto, α = 1 6= α(x) y la longitud de todos los elementos es la misma, de lo que resulta que estas componentes son independientes de i. No ocurre lo mismo con los be j ya que g es función de x. En este deberemos calcular bi i + bi−1 i . bi i = Z xi+1 xi g(x) Ci i (x) dx , bi−1 i = Z xi xi−1 g(x) Ci−1 i (x) dx bi i = 1 2 L + 1 3 L2 − 1 2 L2 i , bi−1 i = 1 2 L + 2 3 L2 − 1 2 L2 i bi i + bi−1 i = L + L2 − L2 i (B.135) Para los nudos de la frontera, el i = 1 y el i = N, m = 1 y, para los interiores, m = 2. Luego, las ecuaciones B.121 tienen la forma ∂ Φi ∂ fi + ∂ Φi−1 ∂ fi = 0 , i = 2, · · · , N − 1 (B.136) ∂ ΦN−1 ∂ fN = 0 , i = N (B.137) ∂ Φ1 ∂ f1 ≡ 0, es decir, es idénticamente nula puesto que f1 = cte y, por lo tanto, Φ no depende de este parámetro. En i = N la condición es de Neumann homogénea, por lo que no es necesario implementarla. Teniendo ésto en cuenta y haciendo uso de B.127 32 (A1 2,2 + A2 2,2) f2 + A2 2,3 f3 = b1 2 + b2 2 , i = 2 Ai−1 i,i−1 fi−1 + ³ Ai−1 i,i + Ai i,i ´ fi + Ai i,i+1 fi+1 = bi−1 i + bi i , i = 3, · · · N − 1 AN−1 N,N−1 fN−1 + AN−1 N,N fN = bN−1 N , i = N (B.138) en la primera ecuación f1 = 0 y en la última, véase B.137, fN sólo aparece en el funcional del último elemento ΦN−1. Estas ecuaciones, según B.134 yB.135, pueden escribirse de la forma 32 El superı́ndice, el e, designa a los elementos que contienen al nudo descrito por el primer subı́ndice, el global i. Estos elementos son el i − 1 y el i. El segundo subı́ndice, el k, es local y describe a los nudos de cada uno de estos elementos, (el i y el i + 1 para el elemento i).
- 466. b-40 −ci fi−1 + ai fi − di fi+1 = bi , i = 2, · · · N (B.139) En general, de la simetrı́a de la matriz (Aij) se tiene que ci = di−1. En nuestro caso a2 = 2 L , c2 = 0 , d2 = 1 L , b2 = L − L2 , i = 3 (B.140) ai = 2 L , ci = di = 1 L , bi = L + L2 − L2 i , i = 3, · · · N − 1 aN = 1 L , cN = 1 L , dN = 0 , bN = 1 2 L + 2 3 L2 − 1 2 L2 N , i = N Concretando, el sistema de ecuaciones es a2 f2− d2 f3 = b2 → i = 2 −c3 f2+ a3 f3 − d3 f4 = b3 → i = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −ci fi−1+ ai fi − di fi+1 = bi → i = 3, · · · N − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −cN−1 fN−2+ aN−1 fN−1 − dN−1 fN = bN−1 → i = N − 1 − cN fN−1 + aN fN = bN → i = N (B.141) Si f1 = B 6= 0 en la ecuación para i = 2, la escribirı́amos de la misma forma pero modificando b2 → b2 + c2 B. Este sistema de ecuaciones es tridiagonal y se resuelve muy eficazmente por el método de eliminación de Gauss. Método de eliminación de Gauss (sin pivotación): Este método consiste en eliminar sucesivamente una variable de cada una de las ecuaciones i = 3, · · · , N, con ayuda de la ecuación anterior, reduciendo el número de incógnitas respectivas a dos, salvo en la ecuación N en la que se obtiene directamente el valor fN . Finalizada la primera etapa, actuando en sentido inverso i = N − 1, · · · , 2, se calcula sucesivamente el resto de las incógnitas. Se trata, pués, de un proceso bidirec- cional, de eliminación de variables en sentido ascendente y de cálculo de las incógnitas en el sentido contrario. Anotemos a2 = α2 , b2 = β2 (B.142) Si se despeja f2 de la primera ecuación, se elimina de la segunda, se hace uso de la relación de simetrı́a ci = di−1 y de que dN = 0 y se generaliza el resultado, se tiene que αi fi − di fi+1 = βi , αN fN = βN siendo αi = ai − (di−1)2 αi−1 , βi = bi + di−1 βi−1 αi−1 (B.143)
- 467. b-41 Nótese que a y b son los valores iniciales de las constantes, α y β las modificaciones de las anteriores y que d no se modifica. A continuación se calculan en sentido inverso las fi fN = βN αN fi = βi αi + di αi fi+1 , i = N − 1, · · · , 2 (B.144) donde fi+1 ya ha sido calculada. Programa Mathematica ejemplo elem finitos 1D.nb: Remove[Global‘∗]; Off[General :: spell1]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 11}; La solución V del problema propuesto se encuentra en el ejemplo B.1.4.2. V = x 2 − x2 2 + x3 6 ; Ahora buscaremos la aproximación de esta solución mediante el método de elementos finitos. Elegimos el número total de nudos NN y expresamos la longitud L de cada elemento en función del mismo. NN = 11; L = 1 NN − 1 ; Definimos el vector fi = {fi} que almacenará los potenciales en los nudos. fi = Table[0, {i, 1, NN}]; y los vectores a = {ai} y b = {bi}, que almacenarán ai y bi y sus modificaciones αi y βi, y d = {di}, cuyas componentes no se alteran. a = Table[ 2 L , {i, 1, NN}]; a[[1]] = 0; a[[NN]] = 1 L ; b = Table[L + L2 − L2 ∗ i, {i, 1, NN}]; b[[1]] = 0 b[[NN]] = 1 2 L + 2 3 L2 − 1 2 L2 ∗ NN;
- 468. b-42 d = Table[ 1 L , {i, 1, NN − 1}]; d[[1]] = 0; Se modifican los valores de ai y b1 de acuerdo con las expresiones B.143 Do[a[[i]] = a[[i]] − d[[i − 1]]2 a[[i − 1]] , {i, 3, NN}]; Do[b[[i]] = b[[i]] + d[[i − 1]] ∗ b[[i − 1]] a[[i − 1]] , {i, 3, NN}]; y se calculan las fi de acuerdo con las B.144. fi[[NN]] = b[[NN]] a[[NN]] ; Do[fi[[i]] = b[[i]] a[[i]] + d[[i]] a[[i]] fi[[i + 1]], {i, NN − 1, 2, −1}]; Presentación de resultados: En primer lugar formaremos la tabla fi2 = {xi, fi} fi2 = Table[{L ∗ (i − 1), fi[[i]]}, i, 1, NN]; y representamos Vi = fi frente a x en la figura B.20. ListPlot[fi2, PlotRange → All, PlotStyle → {RGBColor[0, 1, 0], AbsolutePointSize[3]}, AxesLabel → {”x”, ”V”}]; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 f_i Figura B.20: A continuación calcularemos y representaremos el error relativo cometido al substi- tuir a la solución analı́tica por la numérica. Determinamos el máximo de los fi, (fi)maximo = mfi. mfi = Max[fi];
- 469. b-43 Hacemos una interpolación de primer orden de la serie {xi, fi} para obtener la función de prueba f = fiinter fiinter = Interpolation[fi2, InterpolationOrder → 1] y definimos el error relativo. erel = fiinter[x] − V mfi ; Puede comprobarse que éste es nulo, dentro de la resolución del ordenador, en los nudos xi. erel/.x → 0.5 Por último, representamos el error relativo en la figura B.21. Plot[erel, {x, 0, 1}, PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], AxesLabel → {”x”, ”erel”}]; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x -0.007 -0.006 -0.005 -0.004 -0.003 -0.002 -0.001 erel Figura B.21: B.2. Ecuación de ondas B.2.1. Propagación de ondas en medios no homogeneos (1D).FDTD − 1D − medios.nb. En esta sección ampliaremos el estudio ya realizado para el vacı́o de método FDTD 33 34, sección 4.6, programa FDTD 1D − vacio.nb, por lo que la lectura de esta sección debe hacerse en paralelo con la anterior. Abordaremos dos nuevas cuestiones: La propagación de ondas a través de medios con propiedades no homogéneas. 33 En recuerdo de K. Umashankar. 34 véase [Taflove].
- 470. b-44 La división del campo total ~ E en dos sumandos ~ E = ~ Ein + ~ Edi donde ~ Ein es el campo incidente y ~ Edi es el campo dispersado, y la partición del espacio numérico en dos zonas: la de campo dispersado y la de campo total. Esto se logra mediante el uso de un algoritmo de iluminación. El programa que propondremos tiene una estructura distinta a la del mencionado más arriba. En particular, mientras que este último está basado en el uso de funciones discretas, aquı́ recurriremos directamente a las listas – matrices– para almacenar los campos y operar con ello. Esto es mucho más eficiente que el empleo de funciones y es lo más común en los programas que se escriben para este tipo de problemas en otros lenguajes de programación. Ecuaciones de onda: Tomaremos como ecuaciones de partida ∇ ∧ ~ E = − ∂ ~ B ∂ t ∇ ∧ ~ H = ~ + ∂ ~ D ∂ t (B.145) Nos limitaremos a considerar medios lineales no magnético. Siguiendo la misma pauta que en la sección antes mencionada, normalizamos las variables de la forma ~ e = ~ E c , τ = c t (B.146) y consideramos a una onda polarizada en la dirección del eje y, que se propaga en la dirección del eje x. De acuerdo con ésto, ~ e sólo tiene componente y y ~ B componente z, con lo que las ecuaciones de onda se reducen a εr(x) ∂ ey(x, τ) ∂ τ = −γ(x) ey − ∂ Bz(x, τ) ∂ x (B.147) ∂ Bz(x, τ) ∂ τ = − ∂ ey(x, τ) ∂ x (B.148) donde γ(x) = Z0 σ(x) y Z0 = r µ0 ε0 .
- 471. b-45 medio inicial medios dispersores medio final punto de absorcion punto de absorcion punto de iluminacion campo disperasdo zona de zona de campo total zona final (x) 0 µ , ε , σ (x) 0 H I 1 F-1 F z E x y x x x x 0 x µ , ε F 0 µ , ε 0 Figura B.22: Dominio del problema: El problema que planteamos está definido, en principio, en el dominio (−∞ x ∞) pero, como se indica en la figura B.22, se reduce numéricamente al [x0 ≤ x ≤ xF ] mediante la aplicación de condiciones de contorno adecuadas en x0 y xF . Según la figura anterior, el espacio numérico se divide en tres tipos de medio: a) Vacı́o, medio inicial. La onda incidente viaja a través de este primer medio hacia los medios dispersores y éstos reaccionan generando los campos dispersados que viajan en sentido contrario. b) Dispersores. En el intervalo [x1, xF−1] se encuentran los medios dispersores, cuyas propiedades vienen descritas por µ = µ0 , εr = εr(x) , σ = σ(x) En los ejemplos contemplados aquı́, el espacio será homogéneo a trozos, es decir, las propiedades serán constantes dentro de cada medio. c) Medio final. Este último medio sera un dieléctrico ideal homogéneo o un conductor ideal. En el primer caso en el punto final xF se imponen condiciones absorbentes y, en caso contrario, condiciones reflectantes. En este mismo espacio definiremos dos zonas. α) Zona de campo dispersado, en la que sólo se calcula el campo dispersado. El campo incidente se simula como una onda que viaja en el sentido positivo del eje x a partir del punto de iluminación xI, el cual se sitúa en el interior del medio inicial. β) Zona de campo total, en la que se calcula el campo total. Red numérica: Tal y como se describe en la seccion 4.6, el espacio y el tiempo se discretizan a intervalos δx y δt, pero numeraremos los nudos de una forma distinta a la utilizada en la figura 4.14. Esta numeración, figura B.23, es más apropiada para el manejo de matrices 35. 35 Las componentes de una matriz de dimensión N se referencian por su posición dentro de la misma
- 472. b-46 -1 eléctrico campo magnético condiciones iniciales iteración ni iteración 1 n=τ/δτ+1 1 2 3 2 ni+1 celda 1 celda 2 celda nc celda nc+1 b i=x/ x δ +1 1 2 3 4 2 nc+1 2nc-1 1 1 α β + −β campo condiciones de contorno + i i i (i,n) (i,n) pares impares a Figura B.23: x = (i − 1)δx , i = 0, · · · 2nc + 1 τ = (n − 1)δτ , n = 0, · · · 2ni + 2 (B.149) En este caso: 36 ~ e se evalúa en posiciones impares i = 1, 3, · · · 2nc + 1 y en instantes impares n = 1, 3, · · · 2ni + 1 (en la figura ’¦’). ~ B se evalúa en posiciones pares i = 0, 2, · · · 2nc y en instantes pares i = 2, 4, · · · 2ni + 2 (en la figura ’◦’). Discretización de los operadores: Como en la sección anteriormente referenciada, se aproximarán las derivadas median- te diferencias finitas centradas, d f(α) d α ' Dα[f(α)]. Dα[f(α)] = 1 2h {f(α + h) − f(α − h)} mediante un ı́ndice j = 1, 2, · · · N. 36 En la literatura de FDTD, se suele localizar al campo eléctrico en (i, n), donde i y n son enteros, y al magnético en (i + 1 2 , n + 1 2 ).
- 473. b-47 Pero para discretizar la ecuación la ecuación B.147 se requieren valores de ey en instantes pares, los correspondientes a By. Para colocar adecuadamente a estas com- ponentes del campo, se aproxima dicho valor mediante un promedio temporal. Como puede comprobarse desarrollando en serie f(τ + δτ) y f(τ − δτ) Pτ [f(τ)] = 1 2 {f(τ + δτ) + f(τ − δτ)} ' f(τ) En adelante anotaremos estas operaciones de la forma Dα[f(α)] ≡ Dα ◦ f , Pτ [f(τ)] ≡ Pτ ◦ f Avance temporal: Como en el caso anterior, para obtener los algoritmos de avance temporal de los cam- pos, debemos deducir las versiones discretas de las ecuaciones B.147 y B.148 y despejar las componentes en el momento actual en función de valores calculados anteriormente. Haremos uso de la notación f(i, n) ≡ fn i , εr(i) ≡ ²i y tendremos en cuenta que en las relaciones de avance temporal e debe aparecer en lugares e instantes impares y B en lugares e instantes pares. En este caso, como puede verse en la figura B.23, situamos el centro de las dos estrellas en i, n − 1, donde (i, n) son impares para la estrella (b) y pares para la (a). De esta forma, la ecuación B.147 da lugar a ²i Dτ ◦ en−1 i = −γi Pτ ◦ en−1 i − Dx ◦ Bn−1 i , i, n = impares (B.150) y la B.148 a Dτ ◦ Bn−1 i = −Dx ◦ en−1 i , i, n = pares (B.151) Elegiremos, como en la sección 4.6 δx = δτ = δ con lo que aseguramos la estabilidad en el vacı́o y en los demás medios, con tal de que nos limitemos a valores de εr ≥ 1. Despejando en i de B.150 y Bn i de B.151 se obtienen los algoritmos de avance temporal en i = αi en−2 i + βi £ Bn−1 i−1 − Bn−1 i+1 ¤ , i, n = impares (B.152) Bn i = Bn−2 i + en−1 i−1 − en−1 i+1 , i, n = pares (B.153) donde αi = ²i − δ γi ²i + δ γi , βi = 1 ²i + δ γi (B.154) Como ya hemos dicho, los medios que trataremos son homogéneos a trozos. Aho- rramos una cantidad substancial de memoria si en vez de almacenar el valor de las
- 474. b-48 constantes αi y βi en todos los nudos impares, sólo almacenamos los valores para cada uno de los medios y en el programa determinamos a que medio pertenece el nudo sobre el que operamos. En este caso, si el número total de medios es M referiremos las constantes a un ı́ndice m αm , βm , m = 1, 2 · · · , M Condiciones iniciales: Las condiciones iniciales, como en la sección 4.6, se imponen en los dos primeros instantes, (n = 1, 2) en este caso, pero dado que se simula la onda incidente mediante un algorı́tmo especı́fico de iluminación, todos estos nudos se inicializan al valor 0. ey(i, 0) = 0 , i = 1, 3, · · · , 2nc + 1 Bz(i, 1) = 0 , i = 0, 2, · · · , 2nc (B.155) Condiciones de contorno: Las condiciones reflectantes son las mismas empleadas en la sección 4.6. En este caso se expresan de la forma Condiciones reflectantes → en 1 = 0 en 2nc+1 = 0 (B.156) La condición absorbente en el orirgen es la ya estudiada, salvo por la nueva nu- meración. La del extremo final, en el caso de que el último medio sea un dieléctrico, es distinta porque la velocidad normalizada de propagación de las ondas ν ≡ v c = 1 √ εr 6= 1. A continuación deduciremos esta condición de una forma más general que en el caso anterior. El campo e de la onda que viaja hacia la frontera final es del tipo e = f(u = x−ν τ). Derivando se comprueba que esta función cumple la ecuación unidireccional de onda ∂ e ∂ x + 1 ν ∂ e ∂ τ = 0 Deduciremos el algoritmo de absorción mediante la aproximación de esta ecuación en el nudo (2 nc, n − 1), marcado con una cruz en la figura B.24. Aproximaremos los operadores de la forma ∂ ∂ z → Dx ◦ Pτ , ∂ ∂ τ → Dτ ◦ Px donde D ◦ P 37 38 indica la aplicación sucesiva de los operadores. Luego 37 Esta operación es conmutativa. 38 Téngase en cuenta que P ◦ f ' f ⇒ D ◦ P ◦ f ' D ◦ f.
- 475. b-49 1 2 3 4 n n-2 n-1 2nc-1 1 2nc 2nc+1 -C C Figura B.24: (Dx ◦ Pτ + 1 ν Dτ ◦ Px) ◦ en−1 2nc = 0 Consideremos Dx ◦Pτ ◦en−1 2nc . Según se muestra en la figura anterior, la aplicación de Pτ al centro aproxima al campo como el promedio de su valor en los puntos (1) y (2) y la aplicación de Dx al resultado aproxima la derivada espacial en el centro como la media de la derivada espacial en cada uno de estos últimos puntos. Rotando los ı́ndices x y τ obtendrı́amos el resultado para Dτ ◦ Px ◦ en−1 2nc . Substituyendo en la ecuación anterior y despejando en 2nc+1 se obtiene la condición absorbente en 2nc + 1. Condiciones absorbentes → en 1 = en−2 3 en 2nc+1 = en−2 2nc−1 + C £ en−2 2nc+1 − en 2nc−1 ¤ (B.157) donde C = 1 − ν 1 + ν , ν = 1 √ εr (B.158) Si el medio final es el vacı́o, C = 0 y la condición absorbente en su extremo coincide con la de la figura 4.14. Durante la ejecución del programa se almacenarán unicamente los valores más re- cientes de los campos, por lo que cuando se actualizan los valores en i para los puntos interiores se borran en−2 3 y en−2 2nc−1. En el programa aplicamos las condiciones absorbentes después de dicho cálculo por lo que gardaremos estos valores en variables auxiliares es- pecı́ficas antes de dicha actualización (Véase el siguiente programa). eiz = en−2 3 , ede = en−2 2nc−1 (B.159)
- 476. b-50 Iluminación: En la sección 4.6 se iluminaba –se generaban ondas que se propagaban a través del medio– mediante unas condiciones iniciales apropiadas. Esto no es factible para la propagación de pulsos largos o funciones periódicas. Aquı́ daremos una alternativa más versátil. e={e} +{e} di n+1 I-1 {B } =0 in n I in in n n n+1 I-2 i I+2 I+1 I I-1 zona de campo total zona de campo dispersado punto de iluminación n-1 e={e} di in n I-2 {e } =0 {e } =f n I Figura B.25: Se supone que una onda incidente, de la forma ein (x, τ) = Bin (x, τ) = f(x, τ) viaja desde −∞ hacia los medios. Numéricamente, figura B.25, este campo se simulará a partir del entorno del punto de iluminación, el nudo i = I, que situamos en un nudo impar del interior del medio inicial, el vacı́o. Este nudo, y todos los que se encuentran a su derecha, pertenecen a la zona de campo total mientras que los que quedan a su izquierda pertenecen a la zona de campo dispersado. La frontera entre ambas zonas, marcada por la lı́nea vertical discontinua, quedará, por lo tanto, en una posición indefinida entre las I e I −1. Queremos que en la zona de campo dispersado no aparezca el campo incidente y que en la otra aparezca el campo total. Puesto que la onda incidente viaja hacia la derecha a través del medio inicial, el vacı́o, f(x, τ) = f(u = x − τ) o, concretando a los nudos fronterizos, los valores teóricos de los campos son
- 477. b-51 {en i }in = fn i (B.160) © Bn+1 I−1 ªin = fn+1 I−1 (B.161) Para el medio ininial α = β = 1 y las ecuaciones de avance toman la forma en i = en−2 i + Bn−1 i−1 − Bn−1 i+1 , i, n = impares (B.162) Bn i = Bn−2 i + en−1 i−1 − en−1 i+1 , i, n = pares (B.163) Este algoritmo, que se ha deducido para la onda total, es aplicable al interior de cualquiera de las dos zonas pero no lo es para las posiciones I e I − 1 porque en las ecuaciones correspondientes se mezclan componentes del campo total con componentes del campo dispersado, puesto que forzamos a que en la zona izquierda {e}in = 0 y {B}in = 0. Pero podemos suplir el término que nos falta por su valor teorico correspon- diente. Asi, pués, B.162 puede escribirse en (I, n) de la forma en I = en−2 I + h Bn−1 i−1 + © Bn−1 i−1 ªin i − Bn−1 i+1 puesto que, si el algoritmo funciona, Bn−1 i−1 = © Bn−1 i−1 ªdi . Teniendo en cuenta a B.163 y a B.161, el algoritmo de iluminación para el campo eléctrico en la posición I puede expresarse como en I = (en I )FDTD + fn−1 i−1 (B.164) donde (en I )FDTD es la parte de en I que se obtiene mediante la aplicación del algoritmo FDTD para el avance temporal y fn−1 i−1 la corrección necesaria para introducir el campo incidente. Procediendo de la misma forma para el nudo (I − 1, n + 1), obtenemos el algoritmo correspondiene al campo magnético Bn+1 I−1 = ¡ Bn+1 I−1 ¢ FDTD + fn I (B.165) Luego, para cada campo, primero se aplica el algoritmo de avance a todas las posi- ciones, incluidas las I − 1 ó I en su caso, y a continuación se suma el término corrector. B.2.1.1. Programa: FDTD − 1D − medios.nb En este programa puede optarse por la ejecución de uno entre dos ejemplos. El número de medios se limita a M = 3: el inicial, un dispersor y el final y normalizamos el incremento espacial y el temporal de forma que δ = 1 m
- 478. b-52 En el primer ejemplo, el dispersor es un adaptador de cuarto de onda entre el primer medio y el final. La iluminación será de tipo armónico f(x, τ) = sen 2π λ (x − xI − τ) donde λ = c T es la longitud de onda y T el periodo de la onda. El segundo cumple la relación entre impedancias Z2 = p Z0 Z3 ⇒ ²2 = √ ²3 y, dado que λ2 = ν T, su longitud debe ser L2 = λ2 4 = λ 4 √ ²2 En el segundo ejemplo, el medio dispersor es disipativo, σ 6= 0, y el final un conductor ideal. La iluminación tendrá la forma de un pulso tipo coseno elevado, de anchura λ, modulado por una función seno. f(x, τ) = 1 2 × 0.65 µ 1 − cos 2π λ (x − xI − τ) ¶ ∗ sen 2π λ (x − xI − τ) para 0 ≤ τ − x + xI ≤ λ , y f(x, τ) = 0 en otro caso Definido sin la modulación el pulso tendrı́a un valor medio nulo y su espectro estarı́a centrado en el origen de frecuencias. El método FDTD no es apropiado para la simulación de ondas con un gran contenido de frecuencias cuasiestáticas, por lo que lel pulso propuesto es más adecuado, ya que la modulación con el seno de una cierta frecuencia, c λ en este caso, tralada el espectro del pulso inicial centrándolo sobre esta frecuencia 39. Antes de escribir un programa numérico es conveniente establecer la estructura del mismo: variables, operaciones a realizar, etc. Como punto de partida suele ser útil el dibujo de un diagrama de flujo y la descripción de sus distintos bloques. Diagrama de flujo del programa: En la figura B.26 se representa un diagrama de flujo del programa que queremos escribir. Las flechas indican la dirección de flujo de la información. Para problemas más complejos puede ser necesario el dibujo de un diagrama básico y acompañarlo de otros a distinto nivel de detalle. Aquı́ nos basta con el primero. A continuación describiremos cada uno de estos bloques. 39 Véase el apéndice L.
- 479. b-53 iteraciones(k) fin del Do activación película PROGRAMA introducción parámetros y condiciones iniciales condiciones cálculo de interno copia e e e iluminación contorno cálculo de iluminación generación fotogramas B B Do 10 9 8 7 6 5 4 1 2 3 14 11 12 13 FIN kni si no FDTD-1D-medios para contorno Figura B.26:
- 480. b-54 1. Este bloque es la cabecera que da nombre al programa. 2. En este otro se dan los pasos previos al cáculo iterativo de los campos. Parámetros geométricos: Comenzamos por definir el número M de medios y el número de celdas nL ≡ λ 2 δ equivalente a λ 40. A continuación se ofrece la posibilidad de ejecutar uno de los dos ejemplos pro- puestos mediante la asignación interactiva de los valores 1 ó 2 a la variable ejemplo. Para cada uno de estos ejemplos se asignan valores a las longitudes de los medios nL1, nL2 y nL3, al punto de iluminación II41 y a sus constantes. En el primer ejemplo nL1 = 2 ∗ nL , II = 2 ∗ nL + 1 , nL2 = nL 4 √ epsilon2 , nL3 = nL 2 + 1 epsilon2 = 25 16 , epsilon3 = epsilon22 , gamma2 = 0 , gamma3 = 0 Se da a nL y a ²2 valores tales que todos estos números sean enteros. En el segundo nL1 = 3 ∗ nL , II = 4 ∗ nL + 1 , nL2 = 2 ∗ nL , nL3 = 0 epsilon2 = 1 , epsilon3 = 1 , gamma2 = 0.005 , gamma3 = 0 De acuerdo con la figura B.23, la última celda del tercer medio contiene solamente al nudo 2 nc + 1, donde nc = nL1 + nL2 + nL3 es el número de celdas completas. Parámetros temporales: En primer lugar decidimos el número de fotogramas nfo que queremos obtener y cada cuantas iteraciones, nif queremos hacerlas. El número total de iteraciones a realizar será ni = nif ∗ nfo 40 Todos números introducidos deben ser enteros positivos, salvo las constantes de los medios. 41 Como en otras ocasiones, escribimos el ı́ndice I como II, etc., porque Mathematica proteje ciertos nombres que dentro de la misma tienen un significado concreto.
- 481. b-55 Es necesario determinar estos parámetro de forma que ni sea suficiente para que la pelı́cula muestre todos los aspectos importantes del problema y que la ejecución no se demore excesivamente. Constantes de los algoritmos de avance: Se calculan las contantes de los medios αm y βm y se almacenan en las matrices alfa y beta. Funciones de iluminación: Se definen las funciones f[ii , n ] que determinan la onda armónica del primer ejemplo y la pulsada del segundo. Condiciones iniciales: Se inicializa a ~ 0 la matriz campos en al que se almacenarán e y B. Otras definiciones: Se calcula la constante CC del algoritmo de absorción en la posición final 2 nc+1 para el primer ejemplo y se calculan numéricamente expresiones que serı́a necesario computar un número elevado de veces durante el lazo siguiente: las posiciónes del inicio de los dos últimos medios I2 e I3, la última posición ifB del campo magnético, la última interior del campo eléctrico ife y la de la frontera derecha ifi. 3. Aquı́ se indica el comienzo del lazo Do que calculará los campos para cada una de las iteraciones. El ı́ndice de iteración será el k = 1, 2 · · · ni. Es importante, con objeto de no saturar al ordenador, que los cálculos masivos se hagan de forma numérica. Para ello se hace uso de la función N[ ]. 4. Se comienza reservando las componentes del campo electrico cercanas a la frontera de acuerdo con las expresiones B.159. 5. Este bloque representa al Do , ii = 3, 5 · · · , 2 ife que calcula las componentes interiores del campo eléctrico mediante la fórmula de avance B.152. 6. Se ilunina el campo eléctrico de acuerdo con B.164 y la figura B.25. En la función f(i, n) debe expresarse el ı́ndice temporal en función del de la iteración. En este caso n = 2 ∗ k + 1. 7. Se aplican las condiciones de contorno. En la primera posición se aplica la absor- bente B.157. En la última posición, según el caso, se aplicará la reflectante campos[[2 ∗ n + 1]] = 0 o la absorbente campos[[2 ∗ n + 1]] = ede + C ∗ campos[[2 ∗ n + 1]] − C ∗ campos[[2 ∗ n − 1]]
- 482. b-56 Un Which gobernado por la variable ejemplo adapta este cálculo a cada una de las opciones. 8. Este bloque representa a un Do , ii = 2, 4 · · · , ife, que calcula las componentes del campo magnético mediante la fórmula de avance B.153. 9. Se ilumina el campo magnético de acuerdo con B.165 y con las mismas opciones ya descritas. 10. Se generan las gráficas del campo eléctrico y del magnético en función de (ii) y se unen mediante un Show y se muestran. 11. Este es la prueba condicional que determina si se han ejecutado todas las itera- ciones especificadas en el Do temporal. Es parte de dicha orden. 12. Indica la finalización del lazo. 13. Se agrupan los fotogramas y, con un doble clik, se activa la pelı́cula. 14. Otro doble clik detiene la pelı́cula y finaliza la ejecución del programa.
- 483. b-57 Programa: FDTD − 1D − medios.nb: Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; Parámetros geométricos: M = 3; nL = 100; ejemplo = Input[”Si desea ejecutar el primer ejemplo, introduzca el valor 1, si desea ejecutar el segundo introduzca el 2”]; Which[ejemplo == 1, {nL1 = 2 ∗ nL; II = 2 ∗ nL + 1; nL2 = nL 4 √ epsilon2 ; nL3 = Round[ nL √ epsilon3 ]; epsilon2 = 25 16 ; epsilon3 = epsilon22 ; gamma2 = 0; gamma3 = 0; }, ejemplo == 2, {nL1 = 3 ∗ nL; II = 4 ∗ nL + 1; nL2 = 2 ∗ nL; nL3 = 0; epsilon2 = 1; epsilon3 = 1; gamma2 = 0.005; gamma3 = 0}, True, Print[”Valor erroneo de ejemplo”]]; nc = nL1 + nL2 + nL3; Parámetros temporales: nfo = 100; nif = Ceiling[ 2 ∗ nc nfo ]; ni = nfo ∗ nif; Propiedades de los medios: epsilon = Table[1, {nn, 1, M}]; La siguiente orden es un ejemplo de como generar una serie de variables, en este caso las epsilon’-’. La función ToString[ ] convierte en texto al ı́ndice nn y la StringJoin[ ] agrega este texto al ”epsilon”. Por último, la orden ToExpression[ ] convierte el texto ”epsilonnn” a formato ejecutable, es decir, en la variable epsilonnn. De esta forma,
- 484. b-58 dichas variables pueden almacenarse automaticamente en el vector epsilon. Este pro- ceso se hace necesario cuando el número de datos a manejar es elevado. Do[ epsilon[[nn]] = ToExpression[StringJoin[”epsilon”, ToString[nn]]], {nn, 2, M}]; gamma = Table[0, {nn, 1, M}]; Do[ gamma[[nn]] = ToExpression[StringJoin[”gamma”, ToString[nn]]], {nn, 2, M}]; alfa = Table[1, {nn, 1, M}]; beta = alfa; Do[ {alfa[[m]] = epsilon[[m]] − gamma[[m]] epsilon[[m]] + gamma[[m]] ; beta[[m]] = 1 epsilon[[m]] + gamma[[m]] }, {m, 2, M}]; Funciones de iluminación: If[ejemplo == 1, f[ii , n ] = Sin[ π nL (ii − II − n)], f[ii , n ] = 1 2 ∗ 0.65 (1 − Cos[ π nL (ii − II − n)])] ∗ Sin[ π nL (ii − II − n)]; Condiciones iniciales: campos = Table[0, {ii, 1, 2 ∗ nc + 1}]; Otras definiciones: CC = √ epsilon3 − 1 √ epsilon3 + 1 ; I2 = 2 ∗ nL1 + 1; I3 = I2 + 2 ∗ nL2;
- 485. b-59 ifB = 2 ∗ nc; ife = 2 ∗ nc − 1; ifi = 2 ∗ nc + 1; Do temporal: Do[{m = 1, eiz = campos[[3]], ede = campos[[2 ∗ nc − 1]], Do[{If[(ii == I2)||(ii == I3), m = m + 1], campos[[ii]] = N[alfa[[m]] ∗ campos[[ii]]+ beta[[m]] ∗ (campos[[ii − 1]] − campos[[ii + 1]])]}, {ii, 3, ife, 2}], Which[ejemplo == 1, campos[[II]] = N[campos[[II]] + f[II − 1, 2 ∗ k]], ejemplo == 2k (nL + 1), campos[[II]] = N[campos[[II]] + f[II − 1, 2 ∗ k]]], campos[[1]] = eiz, If[ejemplo == 1, campos[[ifi]] = ede + CC ∗ campos[[2 ∗ nc + 1]] −CC ∗ campos[[2 ∗ nc − 1]], campos[[ifi]] = 0], Do[campos[[ii]] = N[campos[[ii]] + campos[[ii − 1]] − campos[[ii + 1]]], {ii, 2, ifB, 2}], Which[ejemplo == 1, campos[[II − 1]] = N[campos[[II − 1]] + f[II, 2 ∗ k + 1]], ejemplo == 2k (nL + 1), campos[[II − 1]] = N[campos[[II − 1]] + f[II, 2 ∗ k + 1]]], If[Mod[k, nif] == 0, {tcampose = Table[{ii, campos[[ii]]}, {ii, 1, 2 ∗ nc + 1, 2}], tcamposB = Table[{ii, campos[[ii]]}, {ii, 2, 2 ∗ nc, 2}], gre = ListPlot[tcampose, PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], GridLines → {{{II, {Dashing[{.01, .01}], RGBColor[1, 0, 0]}}, {I2, {RGBColor[0, 1, 0]}}, {I3, {RGBColor[0.5, 0, 1]}}}, {−1, 1}}, PlotJoined → True, PlotRange → {−1.3, 1.3}, DisplayFunction → Identity], grB = ListPlot[tcamposB, PlotStyle → RGBColor[0, 0, 1], PlotJoined → True, PlotRange → {−1.3, 1.3}, DisplayFunction → Identity], Show[gre, grB, DisplayFunction → $DisplayFunction]}]}, {k, 1, ni}]; El If del segundo Do incrementa el ı́ndice de medios al pasar por cada una de las fronteras.
- 486. b-60 El primer Which ilumina el campo eléctrico según el ejemplo elegido. La diferencia entre estos ejemplos es que la duración del pulso se extiende solamente a las primeras nL iteraciones. A continuación se aplica la condición absorbente izquierda y con el If siguiente la correspondiente a la derecha. El If[Mod[k, nif] · · · genera y muestra los fotogramas. En la figura B.27 se presentan cuatro fotogramas de la pelı́cula correspondiente al primer ejemplo. (c) 100 200 300 400 500 -1 -0.5 0.5 1 100 200 300 400 500 -1 -0.5 0.5 1 100 200 300 400 500 -1 -0.5 0.5 1 (a) (d) (b) 100 200 300 400 500 -1 -0.5 0.5 1 Figura B.27: Iteración 96 (figura B.27a): Muestra como el algoritmo de iluminación ha generado, a partir del punto de iluminación (lı́nea vertical discontinua), una onda senoidal que viaja hacia la derecha y está a punto de llegar a la frontera del segundo medio. Iteración 198 (figura B.27b): La onda incidente ha atravesado ya el segundo medio sin llegar al final del tercero. Puede verse, por la modificación de las amplitudes en el primer medio, como las reflexiónes en las discontinuidades crean ondas disper- sadas que viajan hacia la izquierda. La primera reflexión, en la primera frontera (posición 400), está a punto de llegar al punto de iluminación.
- 487. b-61 Iteración 300 (figura B.27c): La reflexiones han traspasado ya el punto de ilumi- nación. La primera está a punto de ser absorbida en el origen. La segunda ha alcanzado la posición 100 interfiriendo destructivamente con la primera. Iteración 360 (figura B.27d): Dentro del dominio numérico se comprueba que la lámina de cuarto de onda funciona efectivamente como acoplador de la energı́a incidente desde el primer medio al tercer medio, haciendo que la reflexión en estado estacionario sea nula. En la figura B.28 se presentan seis fotogramas de la pelı́cula generada en el segundo ejemplo. (e) 200 400 600 800 1000 -1 -0.5 0.5 1 200 400 600 800 1000 -1 -0.5 0.5 1 200 400 600 800 1000 -1 -0.5 0.5 1 200 400 600 800 1000 -1 -0.5 0.5 1 200 400 600 800 1000 -1 -0.5 0.5 1 (a) (b) (d) (c) (f) 200 400 600 800 1000 -1 -0.5 0.5 1 Figura B.28:
- 488. b-62 Iteración 100 (figura B.28a): Sólo aparecen dos medios porque el tercero es un plano perfecamente reflectante. Ya se ha generado el pulso. Iteración 200 (figura B.28b): Las ondas reflejada y transmitida se deforman en distinta medida; tanto el coeficiente de reflexión como el de transmisión, para cada componente espectral del pulso, dependen de la frecuencia. La transmitida se está atenuando a lo largo de su propagación, su frente está más atenuado que su cola. La reflejada, que es pequeña, está más atenuada que la transmitida. Iteración 300 (figura B.28c): El pulso transmitido está llegando al plano conductor visiblemente atenuado. El reflejado en la primera frontera ha traspasado el punto de iluminación. Iteración 370 (figura B.28d): El pulso transmitido está sufriendo una reflexión total en la frontera de la derecha; el campo eléctrico se anula en dicho punto cambiando su signo y haciendo que el vector de Poynting se dirija ahora hacia la izquierda. Iteración 510 (figura B.28e): El pulso reflejado por el plano llega, más atenuado y deformado, a la primera frontera del segundo medio. Iteración 830 (figura B.28f): El pulso anterior se transmite al primer medio, por el que se ha propagado sin atenuarse, y sufre una reflexión que es inapreciable en esta figura. En este intante, el pulso transmitido está siendo absorbido en la frontera de la izquierda.
- 489. Apéndice C Campo magnético terrestre Es conocido desde la antiguedad que la Tierra tiene un campo magnético asociado. Gilbert, según puede leerse en su libro De Magnete, publicado en el 1.600, talló una piedra magnética en forma de esfera y comprobó que las lı́neas de fuerza se proyectan sobre su superficie en direcciones análogas a las marcadas por la aguja de marear sobre la de la Tierra. Llevado por esta experiencia concluye que esta última constituye realmente un immenso imán. Sólo recientemente se ha podido llegar al convencimiento de que la causa es funda- mentalmente otra: el núcleo terrestre se configura en una dinamo cuyos campos mar- ginales son los que observamos desde el exterior. Actualmente existen fundamentos sólidos para pensar que el mecanismo de dinamo, en solitario o acompañado de otros, existe en la mayor parte de los objetos celestes, los cuales están dotados de campos magnéticos globales que permean a todo su volumen y que juegan un papel primordial en la explicación de sus propiedades y estructura. Estos campos son fuertes y dan lugar a una intensa actividad; su importancia sólo es comparable a la del campo gravitatorio. C.1. Estructura básica de la Tierra La estructura del planeta Tierra es muy compleja y en parte poco conocida. A con- tinuación se da una visión simplificada de la misma con objeto de apoyar la descripción de la forma y el origen del campo magnético. El planeta puede considerarse que consta de dos partes fundamentales, separadas por una brusca variación de la densidad de masa. Esta interfaz, usualmente llamada superficie terrestre, separa a la Tierra interna, con densidades de 1 a 13 gr · cm−3 y forma casi esférica de radio R = 6.371 Km, y a la Tierra externa, poco densa, de forma muy variable y que se extiende a unos 10 R por la parte diurna y a más de 60 R por la nocturna. Ambas partes están impregnadas por el campo magnético terrestre, o magnetosfera, y viajan solidariamente a traves de la capa externa del Sol, que recibe el nombre de viento solar. Éste está constituido por materia ionizada y campo magnético procedentes del Sol. Es precisamente el frente supersónico de choque, producido por la velocidad relativa supersónica entre el viento y la Tierra, el que comprime y deforma fuertemente a la magnetosfera externa, como se muestra esquemáticamente en la figura c-1
- 490. c-2 C.1. R=Radio terrestre Frente de choque Magnetopausa Cola magnética Viento Solar Magnetosfera 10 10 20 40 Figura C.1: Magnetosfera La biosfera ocupa los primeros estratos de ambas partes de la Tierra. Se caracteriza por contener corteza, aire y agua. La primera es sólida y los segundos fluidos, todos poco ionizados, malos conductores y con una composición, densidad y temperatura aptos para la generación y el sustento de la vida. Aunque el efecto del campo magnético terrestre sea aparentemente poco relevante en la experiencia cotidiana, es necesario tener en cuenta que la biosfera existe, tal y como hoy la conocemos, porque la magnetosfera externa actua de escudo protector contra el viento solar repeliendo o atrapando a la mayor parte de la materia ionizada. Sin esta protección la vida serı́a difı́cil; durante los breves episodios de inversión del campo magnético principal, en los cuales esta protección decrece en eficacia, parece comprobado un brusco aumento de las mutaciones genéticas. Por encima de la superficie, de los 60 − 70 Km hasta unos 1000 Km, se encuentra la ionosfera, una zona ionizada y altamente conductora cuya estructura es muy com- pleja y con variaciones marcadas y rápidas. Alrededor de un 5 % del campo magnético superficial se debe a corrientes aposentadas en estas regiones. La superficie es bien conocida y tambien lo es en parte la Tierra externa. A este conocimiento contribuyen considerablemente los satélites artificiales, por ejemplo los de la serie COSMOS. Del interior, salvo en lo que concierne a la corteza superficial, sólo se dispone de información indirecta proporcionada por la sismologı́a y por conjeturas basadas en modelos teórico-empı́ricos. Bajo el suelo podemos considerar dos zonas diferenciadas desde el punto de vista eléctrico por su conductividad: el núcleo, altamente conductor, y el manto y la corteza de conductividad pequeña aunque no despreciable. A su vez, el núcleo se compone de
- 491. c-3 dos partes: el núcleo interno, con un radio de 1.240 ± 10 Km, y el núcleo externo que se extiende hasta un radio de 3483 ± 2 Km. Todo el núcleo es muy homogéneo en composición, fundamentalmente hierro, aunque el interno es sólido y el externo fluido. Se supone que el núcleo externo está dotado de un movimiento de convección y de rotación no uniforme que acoplado al campo magnético lo amplifica mediante un mecanismo de dinamo autoexcitada. Este movimiento convectivo no es observable di- rectamente y sus fuentes energéticas tampoco se conocen con certeza. Entre ellas podrán contarse la energı́a cinética de rotación y la de desintegración del potasio K40 que se supone disuelto en el propio núcleo; de hecho, bastarı́a una potencia modesta, la sum- inistrada por una central nuclear de tipo medio, para manterner al campo magnético terrestre. Dado que la temperatura interna sobrepasa a la de Curie más allá de unos 25 Km por debajo de la superficie, la Tierra no puede ser el gran imán propugnado por Gilbert ( La temperatura de Curie, del orden de 600oC para los minerales de interés, es aquella por encima de la cual los materiales ferromagnéticos pasan a ser paramagnéticos). La temperatura del núcleo se estima en unos 3 − 4.000oC. C.2. Morfologı́a del campo magnético superficial El campo magnético en la superficie de la Tierra viene siendo medido sistemática- mente desde el tiempo de Gauss. Su obra Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus, publicada en 1838, puede considerarse como el punto de partida del moderno Geomag- netismo. Puesto que la superficie terrestre es externa a las fuentes del campo - su origen reside principalmente en el núcleo terrestre, un 95 %, y en la ionosfera - éste es representable en sus proximidades por un potencial escalar que cumple la ecuación de Laplace y que puede ser desarrollado en serie de armónicos esféricos con respecto al eje de rotación y al centro terrestre. La contribución interna vendrı́a representada por una serie convergente de las potencias de (a/r), donde a es el radio de la Tierra y r la distancia al centro de la misma, y la contribución externa por una serie en potencias de (r/a). Gauss demuestra que el promedio anual del campo total se debe sólo a las fuentes internas, por lo que la aportación externa varia con periodo corto sobre una media nula. El potencial debido a las fuentes internas se expresa mediante el desarrollo: Uint = ∞ X n=1 a ( a r )n+1 Sn(θ, λ) Sn = n X m=0 Pm n (cos θ) [gm n cos (mλ) + hm n sen (mλ)] donde Pm n son los polinomios asociados de Legendre, gm n y hm n constantes a determinar y λ y θ la longitud y la latitud geográficas. En la expresión anterior, los términos en los cuales n = 1 (m = 0, 1) corresponden a un dipolo centrado e inclinado con respecto al eje de rotación. Si a esta aportación
- 492. c-4 se añade la de los coeficientes con n = 2 (m = 0, 1, 2), el campo resultante sigue siendo el de un dipolo, pero descentrado. A este dipolo se le da el sobrenombre de dipolo geomagnético. Sus coordenadas son (para el año 1965) x = 38, y = 324, z = 107 Km y su eje está inclinado hacia las intersecciones, Boreal (80, 1o N, 273, 3o E) y Austral (76, 3o S, 121, 2o E). El resto de los coeficientes representan a contribuciones multipolares de orden superior. El momento del dipolo geomagnético es actualmente mT ' 8 × 1022 A · m2 Las medidas de Gauss muestran que la mayor contribución se debe a la componente de este dipolo en la dirección del eje geográfico (eje de giro). Además ésta resulta ser mucho más estable que las demás. Las componentes dipolares orientadas en el plano equatorial geográfico aportan un 11 % del campo, y las multipolares de orden superior aportan otro tanto. En la mayor parte de la literatura se utiliza el calificativo ’geomagnético’ para desig- nar a los términos asociados al dipolo geomagnético: meridianos , paralelos, etc.. Ası́, pues, los polos geomagnéticos son las intersecciones de eje del dipolo con la superficie, el plano ecuatorial geomagnético es el perpendicular al eje geomagnético, etc.. En cualquier caso, el campo total, el que se mide con la brújula, es el dipolar geo- magnético distorsionado por el resto de las contribuciones. Tambien para este campo total se definen polos, ecuador y meridianos magnéticos que no coindiden con los ante- riores ni con los geográficos. Las contribuciones no dipolares se ponen de manifiesto en los mapas magneticos en una docena o más de regiones de anomalı́a magnética que globalmente se desplazan en dirección W a la velocidad de unos 0.18o año−1 . Esto último sugiere la posibilidad de que el núcleo posea una velocidad angular de giro no homogénea, circunstancia que es determinante en el efecto dinamo. En la figura C.2a se representa al campo magnético ideal que producirı́a un dipolo situado en el centro de la Tierra. El campo real es más complejo; es costumbre medirlo en la superficie de la Tierra con respecto al sistema coordenado local y con la nomenclatura que se indica en la figura C.2b: F es la intensidad del campo magnético, X es su proyección sobre la dirección del polo Norte geográfico en el plano horizontal, Y la proyección en la dirección Este, perpendicular a la primera y en el plano horizontal, Z la proyección en la dirección del Nadir (vertical hacia abajo) y H la componente horizontal. El ángulo I con que F se hunde por debajo del horizonte se llama inclinación y el D con que se desvia del Norte, hacia el Este, se llama declinación. Los polos magnéticos se definen como aquellos puntos en los que el campo magnético total tiene una inclinación I = 90o (Norte) e I = −90o (Sur). El polo Norte magnético se sitúa en el norte de Canadá y el Sur, en posición casi diametral, en la costa antártica. El ecuador magnético es la isoclina (curva de igual inclinación) I = 0. Los meridianos magnéticos son las curvas tangentes a la componente horizontal por lo que tampoco coinciden con los meridianos geomagnéticos que son las intersecciones de los planos que contienen al eje geomagnético con la superficie de la Tierra.
- 493. c-5 N W S Z F H X I D Zenit Nadir Plano horizontal terrestre Y Plano meridiano E H I F Z S N (a) (b) Figura C.2: Componentes del campo magnético superficial De acuerdo con las definiciones anteriores, el campo es horizontal en el ecuador magnético, con un valor de Bmax = 0.31 G 1, y vertical en los polos, con un valor Zmax = 2 Bmax. C.3. Campo fuera de la superficie El campo en el interior del núcleo no es medible pero, dentro de los modelos de dinamo posibles, se le supone un valor muy superior al geomagnético, del orden de 100 G, y con una geometrı́a fundamentalmente toroidal ( lı́neas de campo rodeando al eje terrestre). El campo externo, esencialmente poloidal, debido al dipolo, constituirı́a un pequeño campo marginal fugado del interior del núcleo. Es por tanto en el núcleo donde se almacena la mayor parte de la energı́a magnética. Por encima de la superficie, la estructura del campo se ve modificada por las aporta- ciones externas, sufriendo una fuerte distorsión en las regiones lejanas debido a la inter- acción con el viento solar (véase la figura C.1). La magnetosfera queda delimitada de este último por una superficie de campo nulo que se denomina magnetopausa. Entre el frente de choque y la magnetopausa existe una región, la magnetovaina, donde la veloci- dad y los campos del viento solar aparecen altamente perturbados. En la magnetosfera exterior existe una serie de regiones, como los cinturones de Van Allen, y tienen lugar una gran cantidad de fenómenos interesantes cuya descripción no cabe en este espacio. 1 G=gauss. 1 G = 10−4 T.
- 494. c-6 C.4. Variaciones temporales del campo magnético terres- tre Todas las contribuciones al campo magnético presentan un grado mayor o menor de variabilidad temporal. Las internas son de variación lenta con periodos caracterı́sticos superiores al siglo: variación secular. Las externas varı́an de forma mucho más rápida quedando practicamente anuladas en los promedios anuales. Como ya se ha indicado, la componente dipolar en la dirección del eje terrestre es la más estable: hasta fechas recientes se pensaba que su actual orientación Sur era permanente. No obstante el desarrollo reciente de la ciencia del Paleomagnetismo ha permitido establecer cuantitativamente que esta componente varia no sólo en magnitud sino en signo, habiendo cambiado su orientación numerosas veces a lo largo de la historia geológica de la Tierra. Su magnitud fluctúa lentamente de forma aleatoria (era un 6 % superior al actual hace 150 años, inferior en un 50 % hace 5.000 años, superior en un 50 % hace 15.000 años, una cuarta parte hace 500.000 años) pero su valor absoluto se ha mantenido comparable al actual durante al menos 2.700 millones de años. Su signo, sin embargo, sufre cambios bruscos cada 105 − 107 años; se realizan en tiempos relativamente cortos del orden de los 15.000 años (ha permanecido en la dirección Sur durante los últimos 700.000 años salvo, posiblemente, durante unos breves episodios de inversión). Las componentes dipolares perpendiculares al eje varı́an de forma aleatoria sobre media nula y dan lugar a una precesión del eje geomagnético alrededor del terrestre con un periodo de 104 − 106 años. El promedio de la dirección del eje geomagnético, desde el Cuaternario hasta el presente, coincide con el eje de giro con una dispersión de unos 20o. Las contribuciones multipolares varı́an más rápidamente, con periodos del orden del siglo, dando lugar, entre otros efectos, a la migración global hacia el Oeste de las anomalı́as. Las contribuciones externas, más rápidas que las anteriores, presentan periodicidades de 12 hora, un dia, veintisiete dias, un año, etc. y están relacionadas con el movimiento de la Tierra, del Sol e incluso de la Luna. Son importantes tambien las fluctuaciones aperiódicas, como las tormentas y los pulsos magnéticos que aparecen, con el retraso correspondiente, despues de los periodos de actividad exepcional del Sol. C.5. Principio de la dinamo autoinducida Como ya se ha dicho, se desconocen los detalles del movimiento convectivo del núcleo y sus fuentes energéticas y los fenómenos a explicar son numerosos y complejos. Por otra parte la teorı́a magnetohidrodinámica de los fluidos conductores es difı́cil y sus predicciones son muy sensibles a las condiciones particulares del problema. No obstante, descartados otros posibles mecanismos de producción del campo, tales como la magne- tización permanente o la retención del campo magnético primordial de la nube de polvo preestelar, la teorı́a de la dinamo autoinducida es el único candidato firme para la ex- plicación del mecanismo de generación del campo magnético terrestre. Aunque no es posible extenderse aquı́ en esta cuestión, sobre la que actualmente se vierte un considerable esfuerzo de investigación, si que es posible ilustrar al menos el
- 495. c-7 Ω B B I Ι ο Figura C.3: Autodinamo principio básico de funcionamiento de este tipo de dinamos, esto es, la posibilidad de una dinamo excitada por el campo magnético que ella misma produce. La dinamo de disco homopolar propuesta por Bullard en 1955 constituye un modelo, simplificado al máximo, cuyo análisis servirá para este propósito. Corresponde al esquema de la figura C.3. Consta de un disco conductor, de radio l, que gira con velocidad angular ~ Ω = Ωb z alrededor de su eje, y de un solenoide, coaxial con el disco, con N espiras y resistencia total R, que hace contacto con el borde del disco y con su eje. Suponemos que inicial- mente existe un campo magnético semilla ~ B0, en la dirección del eje, al que se le añade el ~ BI producido en la misma dirección y sentido por el solenoide. Los electrones que se mueven con el disco sienten una fuerza por unidad de carga ~ E = (~ Ω ∧ ~ r) ∧ ~ B = ωrB b r donde B es el campo total, suma del inicial más el del solenoide. Este último puede aproximarse al de un solenoide indefinido, BI = µ0 NI, siendo I la intensidad que circula por el mismo. La fuerza electromotriz aplicada a este último es: E = Z l 0 ~ E · d~ r = 1 2 Ω l2 (B0 + BI) Puesto que la intensidad es I = E/R, despejando, I = 1 2R Ω l2B0 1 − 1 2 Ω l2 µ0 N R Como puede verse, existe una frecuencia crı́tica de giro fc ≡ Ωc 2π = R π l2 µ0 N a la cual la intensidad puede ser distinta de cero y finita en ausencia del campo inicial B0. Para un disco de radio l = 1 m y un solenoide con una resistencia por cada espira
- 496. c-8 R/N = 1 Ω, fc = 2, 5 × 105 rev.s−1. Esta frecuencia es realmente muy elevada para el dispositivo experimental en cuestión, pero las dimensiones del núcleo y los parámetros que caracterizan su movimiento hacen que el mecanismo de dinamo autoinducida sea con toda probabilidad el causante de la parte principal del campo magnético terrestre. C.6. Campo magnético de otros objetos celestes Los campos magnéticos asociados a los objetos celestes pueden tener un origen distin- to al del efecto dinamo. Este puede ser el caso de las estrellas magéticas y los púlsares que poseen un momento dipolar no alineado con el eje de rotación, en muchos casos perpendicular al mismo, y campos muy superiores al del Sol (el campo solar no serı́a medible ni siquiera desde la estrella más cercana). Los cuerpos grandes, conductores, densos y poco turbulentos, pueden retener el campo primordial. En cualquier caso, los objetos lejanos no son resolubles espacialmente por lo que es difı́cil conjeturar sobre la estructura y el origen de sus campos magnéticos. Más observables son los planetas, el Sol y nuestra propia Galaxia, para los cuales el único mecanismo posible de generación del campo es el dinamo. El Sol pudiera retener algo del campo primordial en su núcleo no convectivo, pero su campo externo se genera en una estrecha capa convectiva cuya superficie superior observamos con detalle. El panorama presentado es extremadamente heterogéneo y en parte sorprendente, con numerosas estructuras como los tubos magnéticos, los granos y las manchas solares, entre las cuales se compone una frenética actividad. El campo magnético global es del orden del de la Tierra y varı́a casi periodicamente con un periodo de unos 22 años. La capa convectiva de la Tierra es relativamente más gruesa, es el núcleo lı́quido, pero no es observable ni siquiera en su superficie. La Galaxia, sin embargo, es transparente. Se conoce su movimiento de giro no uni- forme y el caracter turbulento del plasma interestelar. Por sus caracterı́sticas conocidas no es posible que retenga una parte significativa del campo primordial. Nuestra posición de observación es interior a la dinamo por lo que se detecta efectivamente un campo magnético de tipo toroidal. La componente poloidal no es medible ni tampoco las varia- ciones temporales del campo dadas las grandes contantes de tiempo del movimiento galáctico. Por lo que respecta a los planetas solares, sólo poseen campo magnético apreciable aquellos con periodos de rotación cortos y con nucleo convectivo conductor suficiente- mente grande. Este es el caso de Jútiter, que tiene un periodo de unas 11 horas y cuyo núcleo es presumiblemente una aleación de hidrógeno metálico y helio; su campo es unas 20 veces el de la Tierra. Marte, que por su baja densidad es poco probable que posea un núcleo comparable al de la Tierra, carece de campo o éste es muy débil. Las rocas de la Luna, sin embargo, presentan una magnetización remanente comparable con la de las terrestres lo que, dadas las circunstancias, constituye una incógnita de difı́cil explicación. En la actualidad, la información sobre el sistema solar crece a diario y, en parte, es directamente accesible a través de diversos puntos de la red internet a los que es
- 498. c-10 .
- 499. Apéndice D Sistemas de conductores y espiras En este capı́tulo abordaremos el tratamiento especı́fico de los sistemas de conduc- tores en campos eléctricos estáticos y de espiras en campos magnéticos estacionarios. Ambos problemas, que tienen importancia práctica, no admiten, en general, una solución analı́tica exacta aunque pueden simplificarse mediante la introducción de coeficientes geométricos adecuados que caractericen el comportamiento global de los conductores y las espiras. Estos coeficientes, de capacidad o inducción en cada caso, pueden calcularse mediante expresiones apropiadas o medirse experimentalmente. Estudiaremos también las fuerzas y los pares que aparecen en tales sistemas. D.1. Sistemas de conductores D.1.1. Coeficientes de potencial y de capacidad Podemos estudiar el comportamiento electrostático de un sistema de conductores sin necesidad de resolver explı́citamente la ecuación de Poisson. Supongamos, como se muestra en la figura D.1, un sistema de conductores inmersos en un dieléctrico de constante ε. Comprobaremos que existe una relación entre los potenciales que adquieren los conductores y las cargas depositadas en sus superficies. Coloquemos una carga Qi 6= 0 en el conductor i y hagamos Qj = 0 para j 6= i. Esta distribución de cargas creará en el espacio un campo cuyo potencial describiremos como V0(~ r) y que será la solución de la ecuación de Laplace compatible con las condiciones de contorno impuestas. 0 = Z Sj ρsj ds, Qi = Z Si ρsi ds = −ε Z Si (∇V0 · ~ ni) ds donde ρsi es la densidad superficial de carga en la superficie Si del conductor i. Dado que V0(~ r) es solución de la ecuación de Laplace, también lo es el potencial V1(~ r) = λ V0(~ r), donde λ es una constante arbitraria, el cual será compatible con la condición de contorno Q0 i = −λ ε Z Si (∇V0 · ~ ni) ds = λ Qi d-1
- 500. d-2 ε 1 j N S i i n ,Q V j j V ,Q i i Figura D.1: Al multiplicar V0(~ r) por λ, hemos multiplicado por la misma cantidad a los po- tenciales de las superficies de todos los conductores y a las cargas superficiales de los mismos. Luego, entre las cargas y los potenciales existe una relación lineal de propor- cionalidad. Ası́, pués, si colocamos cargas arbitrarias Qi en las superficies de los conductores Si, la relación entre éstas y los potenciales Vi de los mismos será del tipo Vi = N X i=1 PijQj , V1 : VN = (Pij) Q1 : QN (D.1) donde los coeficientes Pij, que llamaremos coeficientes de potencial, tienen carácter geo- métrico y pueden calcularse en función de la estructura de los conductores y de los medios dieléctricos en que están inmersos. Invirtiendo la matriz (Pij), obtenemos Qi = N X j=1 CijVj , (Cij) = (Pij)−1 (D.2) donde a la matriz (Cij) la llamaremos, genéricamente, matriz de los coeficientes de capacidad. Con más propiedad, los elementos Cii se denominan de capacidad y los Cij, i 6= j, de inducción. Estos coeficientes se expresan en faradios. Los coeficientes de capacidad y de potencial pueden medirse, según se desprende de D.1 y D.2, haciendo uso de las expresiones Pij = µ Vi Qj ¶ Ql=0 , ∀l 6= j Cij = µ Qi Vj ¶ Vl=0 , ∀l 6= j
- 501. d-3 Para medir Pij, medimos el potencial que adquiere el conductor i cuando en el j hemos colocado una carga Qj 6= 0 y en todos los demás cargas nulas, Ql = 0 para l 6= j. La energı́a del sistema de conductores se podrá expresar, de acuerdo con 9.38, en función de estos coeficientes W = 1 2 X i Qi Vi = 1 2 X i,j Pij Qi Qj = 1 2 X i,j Cij Vi Vj (D.3) Antes de analizar las propiedades básicas de los coeficientes, desarrollaremos un teorema de interés para sistemas de conductores. D.1.2. Teorema de reciprocidad de Green Demostraremos que si Vi son los potenciales de los conductores i cuando sobre las superficies existen cargas Qi y V 0 i cuando las cargas son Q0 i, se cumple la siguiente relación X i Qi V 0 i = X j Q0 j Vj (D.4) que es el teorema de reciprocidad de Green. Para probarlo, supongamos un sistema de n cargas puntuales qi cuyas posiciones relativas vienen fijadas por las distancias rij. La carga qj está situada en un punto fijo en el que el potencial, debido al resto de las cargas, es Vj = 1 4π ε n X i6=j qi rji donde i 6= j en la sumatoria puesto que excluimos el potencial singular de la propia carga. Si ahora colocamos cargas distintas, q0 j en las mismas posiciones j anteriores V 0 i = 1 4π ε n X j6=i q0 j rij por lo que X i qi V 0 i = 1 4π ε X i X j6=i qi q0 j rij = X j q0 j Vj (D.5) Dividiendo la superficie de los conductores en pequeños elementos con cargas ∆q, como se muestra en la figura D.2, agrupando todos los términos que están al mismo potencial y aplicando D.5 se obtiene la expresión de partida D.4. En particular, si en un principio hacemos Qi = Q y Qj = 0, para j 6= i, y después hacemos Q0 j = Q y Q0 i = 0 para i 6= j, tenemos que V 0 i = Vj Es decir, la contribución al potencial del conductor j debida a una carga Q deposi- tada en el conductor i, es la misma que tendrı́a lugar en el conductor i si dicha carga Q fuera depositada en el conductor j.
- 502. d-4 V j q ∆ V i rij Figura D.2: D.1.3. Propiedades fundamentales de los coeficientes a) Las matrices de los coeficientes de potencial y de capaciadad son simétricas: Pkl = Plk , Ckl = Clk (D.6) Para probarlo, hagamos Qk 6= 0 , Qi = 0 ∀i 6= k Q0 l 6= 0 , Q0 j = 0 ∀j 6= k por lo que, según el teorema de reciprocidad Qk V 0 k = Q0 l Vl y, según D.1, Vl = Plk Qk, V 0 k = Pkl Q0 l ⇒ Qk Pkl Q0 l = Q0 l Plk Qk ⇒ Pkl = Plk de aquı́ se deduce también que la matriz de capacidad es simétrica. b) Los coeficientes de potencial son positivos y los diagonales son mayores que los de fuera de la diagonal: Pii ≥ Pij ≥ 0, i 6= j (D.7) Esta propiedad no es fácil de probar rigurosamente, pero razonaremos sobre la figura D.3 en la que, para simplificar, representaremos sólo a dos conductores. En el conductor (1) hemos colocado una carga positiva Q1 0 y en el (2) una carga nula. Puesto que la carga de (1) es igual a la total del sistema, calculando los flujos del campo eléctrico a través de las distintas superficies, Φ1 = Z S1 ~ E · d~ s = Φ3 = Z S3 ~ E · d~ s = Q1 ε 0, Φ2 = Z S2 ~ E · d~ s = 0 luego, del conductor (1) parten lı́neas de campo, ya que Φ1 0, todas las cuales deben morir en el infinito, porque Φ1 = Φ3, aunque algunas de ellas pueden pasar previamente por el conductor (2). V1 = P11 Q1 = Z ∞ a,L1 ~ E · d~ l 0
- 503. d-5 S 1 S 2 S 3 L1 L2 L3 Q 1 0 Q 2 =0 1 2 a b c o d o oo Figura D.3: y, puesto que Q1 0, P11 0. Si algunas de la lı́neas que parten de (1) inciden en (2), dado que φ2 = 0, el mismo flujo de la lı́nea debe partir de (2) hacia el infinito. Luego V2 = P21 Q1 = Z ∞ d,L3 ~ E · d~ l ≥ 0 P21 ≥ 0. Es también necesario tener en cuenta la posibilidad de que ninguna lı́nea de campo que parta de (1) llegue a (2). Veremos esta posibilidad en el próximo epı́grafe, al estudiar el apantallamiento. Por otra parte V1 = Z c b,L2 ~ E · d~ l + V2 ⇒ V1 = P11 Q1 ≥ V2 = P21 Q1 ⇒ P11 ≥ P21 D.1.4. Apantallamiento. Condensadores Se dice que un conductor k apantalla a otro l cuando el segundo está envuelto totalmente por el primero. En estas condiciones, veremos que Plj = Pkj , Cll = −Clk , Clj = 0 , ∀j 6= k, l (D.8) Es decir, el conductor que apantalla asume todas las relaciones del conductor apan- tallado con el resto de los conductores. En la figura D.4 se representa a tres conductores, estando el (1) apantallado por el (2). Hagamos, en primer lugar, Q2 6= 0, Q1 = Q3 = 0. Puesto que S1 envuelve al conductor (1), que no contiene carga Φ1 = 0 ⇒ ~ E1 = 0 y V1 = V2 ⇒ P12 Q2 = P22 Q2 ⇒ P12 = P22
- 504. d-6 2 S 1 Q 1 +Q 2 Q’’= 3 E Q’= -Q 1 1 Q 2 Q 3 1 2 Q 1 S Figura D.4: Si ahora hacemos Q3 6= 0 y Q1 = Q2 = 0 V1 = V2 ⇒ P13 Q3 = P23 Q3 ⇒ P13 = P23 con lo cual queda demostrada la primera proposición. Para demostrar que Cll = −Clk, hagamos Q1 = 0, V3 = 0. Por ser Q1 = 0, V1 = V2 y Q1 = C11V1 + C12V2 + 0 = 0 ⇒ C11 = −C12 Si ahora hacemos Q1 = 0, V3 6= 0 Q1 = C11V1 + C12V2 + C13V3 = 0 ⇒ C13 = 0 Como se muestra en la figura, la superficie S2 está en el seno del conductor (2) y, puesto que el campo eléctrico estático en el interior de un conductor es nulo Φ2 = Q1 + Q0 ε0 = 0 ⇒ Q0 = −Q1 (D.9) Luego, en la cara interna del conductor que apantalla aparece una carga igual y contraria a la depositada en la superficie del conductor apantallado. Además, puesto que Q2 = Q0 + Q00, en la cara externa del conductor que apantalla aparece una carga Q00 = Q1 + Q2.
- 505. d-7 Como puede observarse, la región comprendida entre (1) y (2) se comporta eléctrica- mente con independencia de lo que ocurre fuera de ella, por lo que se dice que está apan- tallada. Se define como condensador al conjunto de la cara interna del conductor que apan- talla, la externa del apantallado y la región intermedia, y se define su capacidad mediante el parámetro positivo C = Q1 V1 − V2 ( 0) (D.10) Puede demostrarse que C = C11 = −C12 = 1 P11 − P22 (D.11) Definimos la energı́a almacenada en el condensador como WC = 1 2 (Q1 V1 + Q0 V2) = 1 2 Q1 (V1 − V2) y, simplificando la notación, escribiendo Q1 = Q y V = V1 − V2 WC = 1 2 Q V = 1 2 C V 2 = 1 2C Q2 (D.12) Los condensadores reales no pueden responder exactamente a esta definición porque, para que sean útiles el conductor interno ha de ser accesible y para ello es necesario romper el apantallamiento con objeto de poder conectar con él. Además, la cara externa del conductor que apantalla necesariamente acompaña al conjunto. La construcción de los condensadores se lleva a cabo de forma que estas desviaciones de la idealidad no introduzcan perturbaciones excesivas en el comportamiento de los mismos. Los condensadores reales pueden asociarse en paralelo, conectando eléctricamente a los conductores internos de los condensadores individuales, ası́ como a los conductores externos. V V V C a C b a b p C a C b Cp Figura D.5: Como puede comprobarse, figura D.5 en la conexión en paralelo, Vp = Va = Vb y Qp = Qa + Qb = Ca Va + Cb Vb = (Ca + Cb) Vp ⇒ Cp = Ca + Cb (D.13) La conexión en serie, entre capacidades reales, necesita una consideración más de- tallada, que no vamos a hacer aquı́.
- 506. d-8 V E d ε Sd 2 +Q -Q Figura D.6: El condensador más simple, figura D.6, es el condensador plano, consistente en dos placas metálicas planas, de superficie S, situadas a una pequeña distancia d y entre las cuales hay un dieléctrico de constante ε. Despreciando el efecto de bordes, es decir, suponiendo que el campo eléctrico en el interior, salvo en una pequeña región cercana a los bordes, es uniforme, como si las placas fueran de dimensión infinita, es fácil calcular la capacidad de este condensador 1. C ' ε S d D.1.5. Fuerzas y pares en sistemas de conductores El cálculo de las fuerzas y los pares que actúan sobre las distintas partes de un sistema eléctrico dado suele ser complicado pero, bajo ciertas circunstancias, los principios de conservación de la energı́a pueden facilitar esta tarea. Supongamos un sistema estático de conductores y dieléctricos, con coeficientes Pij (Cij), cargas Qi y potenciales Vi determinados. Con objeto de calcular la fuerza que actúa sobre una cualquiera de sus partes, imagi- nemos transformaciones lentas del sistema anterior con la posible participación de una fuente de energı́a externa. Puesto que la fuerza en cuestión tiene lugar en una situación estática, su valor no dependerá de la transformación que imaginemos, aunque sı́ su expresión formal. Veremos como, haciendo el balance energético de dos transformaciones distintas, obtenemos dos expresiones distintas, pero equivalentes, de la fuerza. Supongamos, en primer lugar, que el sistema está aislado y que en los conductores hay unas cargas Qi. En situación estática, fuerzas mecánicas equilibran a las eléctricas, de forma que ninguna de las partes del sistema puede desplazarse o girar. Si, por un ins- tante, relajamos la fuerza mecánica que actúa sobre una parte determinada del sistema, 1 Ya lo hemos hecho en un problema anterior.
- 507. d-9 las fuerzas eléctricas realizarán un trabajo elemental dWel = ~ F · d~ l donde ~ F es la fuerza eléctrica y d~ l el desplazamiento de la parte en cuestión. Puesto que el sistema está aislado, la única fuente de energı́a disponible para realizar este trabajo es la energı́a potencial dW, luego dW + dWel = 0 el trabajo se realiza a expensas de una disminución equivalente de la energı́a potencial, por lo que, escribiendo dW = ∇W · d~ l tenemos que ~ F = −(∇W)Q (D.14) donde el subı́ndice Q indica que, al estar el sistema aislado, las cargas Qi de los con- ductores han debido permanecer constantes en la transformación ficticia. Si la parte sobre la que relajamos las fuerzas mecánicas realiza un giro, en vez de un desplazamiento, tendremos dWel = ~ T · d~ θ donde ~ T es el par eléctrico actuante y d~ θ el ángulo girado alrededor de b θ. Tenemos, pués, que ~ T = −(∇θW)Q , ∇θ = b ei ∂ ∂θi (D.15) También podemos imaginar unas transformaciones en las que sean los potenciales Vi los que permanezcan constantes y no las cargas Qi, figura D.7. Bastarı́a la utilización de unas baterı́as que mantuviesen constantes a los potenciales durante la transformación. i V Q dQ i i Figura D.7: Esto implica que para mantener constante el potencial Vi del conductor i, debe suministrarse una carga dQi y, por lo tanto, todas las baterı́as suministrarı́an al sistema una energı́a dWb = N X i=1 Vi dQi con lo que ahora el balance energético será dW + dWel = dWb
- 508. d-10 es decir, el trabajo que realizan las fuerzas eléctricas se equilibra con un aporte de energı́a externa y con un decremento de la energı́a potencial. Pero, al ser Vi = cte, según D.3 dW = 1 2 N X i=1 Vi dQi = 1 2 dWb y dWel = dW de donde deducimos que ~ F = (∇W)V (D.16a) ~ T = (∇θW)V (D.16b) y, volviendo a hacer uso de las expresiones D.3, podemos escribir D.14, D.15 y D.16 de la forma ~ F = − 1 2 N X i=1 N X j=1 Qi Qj ∇Pij = + 1 2 N X i=1 V1 Vj ∇Cij Para el par se obtienen expresiones análogas. D.2. Sistemas de espiras D.2.1. Coeficientes de inducción de un sistema de tubos de corriente o espiras Existe un paralelismo formal entre el tratamiento que se da a los sistemas de espiras en presencia de un campo magnético estacionario y el que se ha dado a los conductores en un campo electrostático. El flujo Φ cortado por una espira jugarı́a aquı́ el papel análogo al del potencial V del conductor, la intensidad tendrı́a su análogo en Q y el coeficiente de inducción magnética Lij en el eléctrico Pij. No obstante, la expresión D.3 nos ofrece la alternativa de definir los coeficientes geométricos en función de la energı́a almacenada en el campo. Con objeto de no re- stringirnos al tratamiento de espiras y poder englobar en nuestro tratamiento a los tubos de corriente, para los cuales no está definido el flujo, tomaremos esta última alternativa en la definición de los coeficientes de inducción. Supongamos, figura D.8, en principio, un sistema de N tubos de corriente estacionar- ia recorridos cada uno por una densidad de corriente ~ ji y una intensidad Ii. Demostraremos que la energı́a magnética almacenada en los campos generados por el sistema de corrientes puede expresarse como función cuadrática de las intensidades totales que circulan por cada uno de los tubos. W = 1 2 N X j=1 N X j=1 Lij Ii Ij (D.17)
- 509. d-11 I I ij r i j 1=1... N j i j j Figura D.8: donde Lij son coeficientes geométricos; dependen de la geometrı́a de los tubos de corri- ente y de su posición mutua y son independientes de las corrientes que circulan por los mismos. Estos coeficientes se expresan en henrios. La matriz (Lij) es simétrica, como veremos más adelante. Los elementos diagonales Lii = Li reciben el nombre de coeficiente de autoinducción de la espira i y los de fuera de la diagonal, Lij (i 6= j) el de coeficientes de inducción mutua entre la espira i y la j. Antes de comprobar que es posible esta expansión cuadrática de la energı́a del campo en función de las intensidades, haremos algunas consideraciones. Supongamos que todas las intensidades son nulas salvo la Ii y la Ij W = 1 2 Li I2 i + 1 2 Lj I2 j + Lij Ii Ij donde hemos tenido en cuenta la simetrı́a de los coeficientes de inducción, Lij = Lji. Tenemos, por lo tanto, tres términos energéticos diferenciados W = Wi + Wj + Wij de los cuales, los dos primeros corresponden a las energı́as propias de los tubos i y j, y el tercero a la energı́a de interacción entre ambos. Ası́, pués, si realizamos una transformación en la que lo único que cambie sea la posición mutua entre el tubo i y el j, los términos Wi y Wj permanecerán invariables, mientras que Wij cambiará de valor. La definición que hemos hecho implı́citamente de los coeficientes de inducción puede concretarse en las expresiones Li = 2Wi I2 i y Lij = Wij Ii Ij (D.18) A continuación comprobaremos el carácter geométrico de los coeficientes de induc- ción.
- 510. d-12 Según se vio en la sección 9.2, para medios lineales la energı́a magnética puede calcularse por medio de la integral W = 1 2 Z VT ~ j · ~ A dv = 1 2 N X i=1 Z Vi ~ ji · ~ A dvi (D.19) donde VT = PN i=1 Vi, Vi y ~ ji son el volumen y la densidad de corriente del tubo i, mientras que ~ A es el potencial vector producido por todos los tubos de corriente. Según la figura D.8, el potencial producido en la región del tubo i será la suma de las con- tribuciones de todos los tubos, incluido el i. Para medios homogéneos ~ A = µ 4π N X j=1 Z Vj ~ jj rij dvj con lo que W = 1 2 N X i=1 N X j=1 Ã µ 4π Z Vi Z Vj ~ ji ·~ jj Ii Ij rij dvi dvj ! Ii Ij De aquı́ se deduce que Lij = µ 4π Z Vi Z Vj ~ ji ·~ jj Ii Ij rij dvi dvj (D.20) Esta es la fórmula de Neumann en la que se aprecia la simetrı́a de los coeficientes y el carácter geométrico de los mismos, ya que el término ~ ji ·~ jj/IiIj es independiente de la magnitud de las corrientes. En el caso de las espiras (tubos filiformes), podemos expresar el elemento de volumen como dv = (d~ s · d~ l) y, como en la sección 2.3.1, tomar d~ s ↑↑ ~ j ↑↑ d~ l, con lo que Lij = µ 4π Z Vi Z Vj ~ ji ·~ jj Ii Ij rij (d~ si · d~ li)( d~ sj · d~ lj) y, finalmente Lij = µ 4π I Li I Lj d~ li · d~ lj rij (D.21) Esta última expresión se obtiene de la anterior sin más que intercambiar las posi- ciones de ~ j y d~ l, lo que es lı́cito por ser ~ j ↑↑ d~ l, y tener en cuenta que I = ~ j · d~ s, puesto que, al ser el tubo filiforme, d~ s es el área de la sección total del tubo. La integral D.21 es singular cuando i = j y, de hecho, la autoinducción de una espira filiforme es infinita, aunque en la práctica la sección de una espira es siempre no nula, por lo que el cálculo mediante la expresión D.20 da un valor finito para su autoinducción. Volviendo al principio de esta sección, los coeficientes de inducción mutua, en el caso de espiras, aparecen como coeficientes de proporcionalidad entre flujos e intensidades, véase la figura D.9.
- 511. d-13 d l j I i I d l j i ij r Figura D.9: El flujo cortado por la espira i es Φi = I Li ~ A · d~ li y, a su vez, ~ A = N X j=1 µ 4π Ij I Lj d~ lj rij ⇒ Φi = N X j=1 Φij ⇒ Lij = Φij Ij (D.22) donde Φij es el flujo que corta la espira i debido a la corriente que circula por la espira j. Esta expresión suele ser más útil que la D.21 para calcular los Lij y lo mismo ocurre con la D.18 respecto a la D.20. Teniendo en cuenta D.22, la energı́a potencial de un sistema de espiras podrá escri- birse de la forma W = 1 2 N X i=1 Φi Ii (D.23) En el resto del tema nos limitaremos al estudio de las espiras dada la importancia práctica de las mismas. D.2.2. Fuerza electromotriz inducida. Generadores y transformadores Aunque más adelante trataremos de las corrientes cuasiestacionarias con más dete- nimiento, consideremos la fuerza electromotriz inducida en la espira i cuando el flujo que corta, Φi, varı́a con el tiempo (suponemos que esta variación es lenta para no apartarnos
- 512. d-14 del carácter estacionario de las corrientes). Ei = − dΦi dt = − d dt N X j=1 Φij = = N X j=1 µ −Lij dIj dt ¶ | {z } T + N X j=1 µ −Ij dLij dt ¶ | {z } G (D.24) Como vemos, a la fuerza electromotriz inducida en la espira i contribuyen dos tipos de términos: términos de tipo transformador (T) y términos de tipo generador (G). Los primeros inducen fuerzas electromotrices a través de una variación temporal de las intensidades, mientras que en los segundos ésto se logra haciendo variar la geometrı́a del sistema, lo que permite el acoplo de energı́a mecánica a sistemas eléctricos. En los mecanismos representados por estos términos reside la base de los transformadores y de los generadores y motores. D.2.3. Asociación de inductores Cuando hablemos de autoinducciones o inducciones mutuas, o de inductores en gen- eral, nos estaremos refiriendo a dispositivos fı́sicos fabricados exprofeso para presentar un valor determinado del coeficiente de inducción. Por lo general, constan de un carrete de vueltas múltiples de hilo conductor arrolladas sobre un núcleo de material magnético o sobre el mismo aire. Los inductores pueden asociarse en serie o en paralelo, de forma que entre ellos exista o no acoplamiento. Adoptaremos la notación usual de L para la autoinducción y M para la inducción mutua. Como veremos más adelante, la fuerza electromotriz en una autoinducción ideal coincide con el negativo de la diferencia de potencial que, a su vez, desde ahora, denom- inaremos indistintamente como caı́da de tensión. V = −E = L dI dt En la asociación serie, la intensidad que pasa por los dos carretes es la misma. L1 L2 L s V1 V2 I I M V Figura D.10: La figura D.10 representa a dos inducciones conectadas en serie y acopladas magnéticamente con un coeficiente de inducción mutua M que puede ser positivo o negativo. V = V1 + V2 = (L1 + L2 + 2M) dI dt I = I1 = I2 ⇒ LS = L1 + L2 + 2M (D.25)
- 513. d-15 En la asociación paralelo, figura D.11, la caı́da de tensión en ambas inducciones es la misma. I V L p V2 L1 M I I I L2 V1 2 1 Figura D.11: Ahora se cumple que V = V1 = V2 I = I1 + I2 ⇒ V = L1 dI1 dt + M dI2 dt = M dI1 dt + L2 dI2 dt = Lp dI dt donde Lp = L1 L2 − M2 L1 + L2 − 2M (D.26) Cuando no hay acoplamiento entre las inducciones, sus leyes de asociación toman forma análoga a las de asociación de resistencias. Para M = 0 ⇒ LS = L1 + L2 1 Lp = 1 L1 + 1 L2 D.2.4. Fuerzas y pares sobre un conjunto de espiras Podemos obtener expresiones para las fuerzas y los pares que actúan sobre un sistema de espiras y medios magnéticos lineales, en régimen estacionario, por procedimientos análogos a los empleados en la sección D.1.5. El trabajo realizado por las fuerzas magnéticas al llevar a cabo un desplazamiento, elemental e imaginario, de una parte del sistema, será ∆Wmag = ~ Fc · d~ l energı́a que deberá ser aportada por fuentes externas ∆Wex o por una disminución de la energı́a potencial ∆W ∆Wmag + ∆W = ∆Wex Imaginaremos dos transformaciones sencillas, con objeto de obtener expresiones útiles de la fuerza: en la primera, mantendremos fijas las intensidades Ii que circu- lan por las espiras y en la segunda mantendremos constantes los flujos Φi, según se muestra en la figura D.12.
- 514. d-16 Φi I i Figura D.12: a) Supongamos Ii = cte. Si variamos la geometrı́a del sistema mediante un desplazamiento, variarán los flujos cortados por las espiras y también la energı́a potencial. Según D.23 (∆W)Ii = 1 2 N X i=1 Ii ∆Φi Estos cambios de flujo dan lugar a unas fuerzas electromotrices en cada espira Ei = − ∆Φi ∆t donde ∆Φi ∆t es la velocidad de variación del flujo cortado por la espira i. Puesto que esta fuerza electromotriz inducirá cambios en la intensidad que circula por la espira, para que ésta permanezca constante habrá que emplear una fuerza electromotriz externa Eie que contrarreste a la anterior . Eie = −Ei = ∆Φi ∆t Lo cual implica la aportación de una energı́a externa ∆Wex, figura D.13, I i =cte ie Figura D.13: ∆Wex = N X i=1 Eie Ii ∆t = N X i=1 Ii ∆Φi = 2 ∆W
- 515. d-17 con lo que tenemos ∆W = ∆Wmag y ~ F = (∇W)I (D.27a) ~ T = (∇θW)I (D.27b) b) Consideremos ahora el caso en que se mantengan constantes los flujos Φi. Dado que ∆Φi = 0, ∆Wex = 0 y, al no haber aportación externa de energı́a ∆W = −∆Wmag con lo que ~ F = −(∇W)Φ (D.28a) ~ T = −(∇θW)Φ (D.28b) D.2.5. Sistemas de espiras con núcleo magnético En la práctica, es interesante la posibilidad de reforzar y canalizar el flujo producido por un sistema de espiras o carretes conductores. Esto es posible mediante el uso de núcleos de materiales magnéticos de alta permeabilidad, pues, como vimos en la sección 9.1.1.1, un material con µ → ∞ confina completamente a las lı́neas de campo magnético. Consideremos un toroide, figura D.14 muy permeable y, para simplificar, supongamos que el diámetro d de su sección es mucho menor que el radio del mismo. Puesto que µ À µ0, las lı́neas de campo magnético quedarán prácticamente con- finadas en el interior del núcleo, por lo que éste se constituirá en un tubo del flujo magnético. Integrando a lo largo del eje del toroide I L ~ H · d~ l = Z SL ~ j · d~ s = IT = I1 N1 + I2 N2 Por otra parte, como ∇· ~ B = 0, el flujo de ~ B a través de cualquier sección del núcleo SN , ΦSN ( ~ B), es constante ΦSN = Z SN ~ B · d~ s ' B SN y, por ser en nuestro caso SN = cte, también lo serán B y H. Luego, hallando la circulación de ~ H a lo largo de L, H = N1 I1 + I2 H2 L , B = µ N1 I1 + N2 I2 L
- 516. d-18 L V1 V2 I 1 N 1 N2 I2 µµ0 a d S L N S Figura D.14: Con lo que se obtiene un valor muy alto de B, proporcional a µ. Además, al recogerse las lı́neas de campo dentro del tubo, la longitud L = 2π a de las lı́neas se acorta. Es también interesante analizar como serán afectados los coeficientes de inducción y la energı́a almacenada en los campos del sistema. El flujo total ΦT cortado por los dos carretes puede desglosarse en las contribuciones de cada uno de ellos ΦS1 = µ SN L N1 I1 , ΦS2 = µ SN L N2 I2 donde S1 = N1 SN y S2 = N2 SN son las secciones equivalentes de cada uno de los carretes. Ası́ mismo, los flujos Φij cortados por el carrete i y producidos por el j son Φ11 = N1 ΦS1 = µ SN L N2 1 I1 Φ12 = N1 ΦS2 = µ SN L N1 N2 I2 Φ21 = N2 ΦS1 = µ SN L N1 N2 I1 Φ22 = N2 ΦS2 = µ SN L N2 2 I2 de donde se deduce que L = µ SN L N2 (D.29) M = ± µ SN L N1 N2 (D.30) Por lo tanto, estos coeficientes se ven afectados por el mismo factor µr/L que el campo ~ B. M será positivo si los flujos producidos por cada uno de los carretes, como es el caso del de la figura, se suman. En caso contrario, M será negativo.
- 517. d-19 Por lo que respecta a la energı́a almacenada en el sistema, es decir, el trabajo que nos cuesta establecer las corrientes I1 e I2, podemos expresarla como W = 1 2 2 X i=1, j=1 Lij Ii Ij = 1 2 µ SN L £ (N1 I1)2 + (N2 I2)2 + 2(N1 I1)(N2 I2) ¤ | {z } (a) (D.31) o, de forma equivalente, integrando sobre el núcleo la densidad de energı́a magnética, W = 1 2µ Z VN B2 dv donde VN es el volumen del núcleo D.2.5.1. El transformador ideal Vemos, pués, que para establecer corrientes finitas deberı́amos invertir una energı́a proporcional a µr/L y que si este factor tiende a infinito, la energı́a también tenderı́a a infinito, a menos que el término (a) de D.31 se anule. Un transformador ideal es un dispositivo como éste, en el que teóricamente µr/L → ∞. Como no disponemos de infinita energı́a, en el transformador ideal (N1 I1)2 + (N2 I2)2 + 2(N1 I1)(N2 I2) = 0 ⇒ N1 I1 = −N2 I2 ⇒ I2 = − 1 a I1 , a = N2 N1 (D.32) donde a es la relación de espiras de secundario a primario. El transformador ideal funciona de forma que si por el primer carrete, primario, se inyecta una intensidad I1, por el segundo, secundario, circulará una intensidad en sentido opuesto y de la magnitud necesaria para contrarrestar el flujo producido por la primera. En la práctica, ese flujo ΦSN , aunque pequeño, no será nulo, de forma que si en el primario aplicamos una caı́da de tensión V1, por la ley de inducción de Faraday, ΦSN variará con el tiempo según V1 = d dt (N1 ΦSN ) ⇒ dΦSN dt = V1 N1 y, a su vez, esta variación de flujo provocará una caı́da de tensión en el secundario V2 = d dt (N2 ΦSN ) = N2 N1 V1 V2 = a V1 (D.33) Luego el transformador transforma intensidades y tensiones. En la figura D.15 se representa al circuito equivalente de un transformador ideal a cuyo secundario se le ha conectado una resistencia, o carga resistiva, R2.
- 518. d-20 1:a V1 V1 I 1 I 1 V2 I’ I2 2 R 2 R 1 Figura D.15: Esta configuración se comporta, vista desde el primario, como si fuera una resistencia R1 ≡ V1 I1 = (V2/a) (−a I2) = = 1 a2 R2 (D.34) Más adelante nos será fácil comprobar que esta relación de conversión sigue siendo válida para cualquier tipo de impedancias. D.2.6. Circuitos magnéticos lineales Supongamos que, como se indica en la figura D.16, debemos analizar las relaciones de flujos y corrientes estacionarias en una estructura no trivial de materiales lineales, altamente permeables, y arrollamientos. Vα L L L1 2 3 Figura D.16: La solución precisa de este tipo de problemas es difı́cil y en la práctica suele ser necesario y suficiente resolverlos con márgenes considerables de error. Para estos fines puede hacerse una analogı́a entre las ecuaciones de circuitos de corrientes estacionarias y las ecuaciones de estos sistemas o circuitos magnéticos. Si hallamos la circulación de ~ H a lo largo de un camino cerrado en el interior del circuito I L ~ H · d~ l = Z SL ~ j · d~ s = IT
- 519. d-21 Definiremos la fuerza magnetomotriz ξ como la intensidad total cortada por la su- perficie SL que se apoya sobre L. ξ = IT = (D.35) = X i Ni Ii = X i ξi donde Ni es el número de espiras del carrete i y ξi la fuerza magnetomotriz de ese carrete. Como vimos en el tema de corrientes estacionarias, es posible fabricar tubos de corriente con terminales eléctricamente bien definidos. Este no es el caso normal en circuitos magnéticos pero, dentro del generoso margen de error que nos permitiremos, es posible delimitar suficientemente bien segmentos de camino tales como los Li, L2 y L3. Para un camino cerrado, por ejemplo L = L1 + L2 I L ~ H · d~ l ' X j=1,2 Z Lj ~ H · d~ l ' X j=1,2 Φj Z Lj dl µSj = X j=1,2 Φj Rj donde se ha definido la reluctancia Rj de la rama j Rj ≡ Z Lj dl µ Sj = 1 Φj Z Lj ~ H · d~ l (D.36) En estas expresiones hemos tomado caminos de integración esencialmente paralelos a las lı́neas de campo y dentro de cada una de las secciones del tubo, entre bifurcaciones, hemos escrito Φ ' B S = µ H S y sacado Φ fuera de la integral. Con la definición de la reluctancia, análoga a la que ya hemos hecho de la resistencia, podemos escribir una expresión análoga a la segunda ley de Kirchhoff X i ξi = X j Φj Rj (D.37) Además, puesto que ∇· ~ B = 0, integrando sobre el volumen Vα que envuelve al nudo α del circuito, obtenemos una expresión correspondiente a la primera ley X i Φi = 0 (D.38) Esta analogı́a permite aplicar las mismas técnicas ya utilizadas para circuitos eléctri- cos al análisis de circuitos magnéticos. Ası́, pués, podemos representar al circuito equi- valente de la figura anterior de acuerdo con la figura D.17. Por este procedimiento podemos hacer un análisis aproximado del electroimán, dis- positivo con el que se generan campos magnéticos fuertes en una región accesible. Esta región, que se llama entrehierro, permite hacer uso del campo para fines diversos. En la figura D.18 se representa a un electroimán de sección uniforme S y piezas polares planas. El hierro, o núcleo, tiene una permeabilidad µ À µ0 y longitud L,
- 520. d-22 2 R 1 R 3 ξ R 1 ξ 3 Figura D.17: mientras que el entrehierro, de longitud l ¿ L, tiene la permeabilidad del aire, µo. La longitud l suele ser también pequeña frente a las dimensiones transversales del tubo, por lo que, despreciando efectos de bordes, la sección equivalente del entrehierro puede aproximarse a S. Tenemos, pués, que ξ = Φ (Rh + Re) y, dado que Φ = Bh S = Be S, B es aproximadamente uniforme, Bh ' Be = B B = µ N I L µ 1 + µr l L ¶ ξ ξ R R e h S µ µµ0 0 l Figura D.18: Campo que, como podemos comprobar 2, es muy superior al que producirı́a un carrete con el mismo número de vueltas, uniformemente distribuidas, pero sin el núcleo de hierro, B0 = µ0 N I L . D.2.7. Circuitos magnéticos no lineales Los materiales magnéticos no lineales tienen un comportamiento muy complejo que dificulta el análisis general de los circuitos que los contengan; estudiaremos dos circuitos interesantes como son el anillo de Rowland y el circuito con imán permanente. 2 Véase relación de problemas.
- 521. d-23 El anillo de Rowland es un circuito simple que permite medir la relación B ↔ H en materiales ferromagnéticos. Como se muestra en la figura D.19, el anillo se construye con el material magnético que se quiere estudiar y la dimensión transversal S de su sección debe ser pequeña frente a su longitud L. Sobre el núcleo se arrollan dos carretes con un número adecuado de vueltas N1 y N2. N1 N2 S V(t) I(t) B=f(H) Figura D.19: Podemos fijar el valor de H(t) por medio de la intensidad I(t) inyectada en el primario. H(t) = N1 L I(t) El campo magnético resultante se mide integrando la caı́da de tensión del secun- dario. Φ(t) = N2 B(t) S , V (t) = dΦ(t) dt , B(t) = 1 N2 S Z V (t) dt Por último, analizaremos los circuitos magnéticos con imanes. En la figura se repre- senta esquemáticamente una configuración tı́pica de imán de laboratorio. Para simpli- ficar supondremos la sección constante S. Como puede verse, en la figura D.20a el imán completo está constituido por un imán permanente de longitud Li, una sección de hierro dulce, de longitud Lh y permeabilidad lineal µ y el entrehierro de longitud Le. La energı́a de este circuito no se obtiene de un arrollamiento sino del imán permanente que se supone que opera en el ciclo de histéresis máximo. Hallando la circulación de ~ H a lo largo del circuito I ~ H · d~ l = Z B A, hierro ~ H · d~ l + Z A B, imán ~ H · d~ l = 0 La primera integral del segundo miembro discurre fuera del imán permanente y la segunda en su interior. Luego, despreciando los efectos de dispersión de lı́neas de campo, Φ RAB = Φ (Rh + Re) = −Hi Li ⇒
- 522. d-24 i Pg B i H i =f( ) B i =H tg i θ Punto de guarda Punto de trabajo optimo 3 4 5 3 4 5 H B (a) (b) S Iman Hierro A B θ P i e L µµ L 0 µ 0 L h 2 H Figura D.20: Bi = − Li S RAB Hi = Hi tan θ (D.39) Esta relación entre Bi y Hi corresponde a una recta de pendiente negativa, que pasa por el origen, en el plano BH. Al mismo tiempo, Bi y Hi están relacionados por la función Bi = f(Hi), que describe al ciclo de histéresis máximo, por lo que el punto de trabajo habrá de encontrarse gráficamente como se muestra en la figura D.20b. La solución simultánea de estas dos ecuaciones viene dada por la intersección P de las dos curvas, la cual tiene lugar en el segundo cuadrante. En las condiciones más usuales de diseño se trata de disponer de la mayor energı́a magnética posible en el volumen del entrehierro We = 1 2 (Be He) Ve = 1 2µ0 B2 e S Le puesto que Φ = cte y hemos hecho S = cte y Be = Bi. Si la reluctancia del hierro puede despreciarse frente a la del entrehierro, lo que usualmente es cierto, Lh µ ¿ Le µ0 , RAB ' Re = Le µ0 S En valores absolutos Be = Bi = Li Le µ0 Hi We ' 1 2 (Bi Hi)(S Li) = 1 2 (Bi Hi) Vi
- 523. d-25 Luego, para optimizar la energı́a en el entrehierro, deberemos procurar que el punto de trabajo P corresponda a un producto Bi Hi máximo. En la figura (b) el ciclo de histéresis aparece graduado proporcionalmente a dicho producto. Los mecanismos despolarizadores por los que un imán permanente pierde su imanación son complejos, pero haremos notar que la existencia de un campo desi- manador, campo Hi negativo, o, lo que es lo mismo, la existencia de energı́a en el entrehierro, favorece la lenta despolarización del imán. Por esta razón, cuando no se utiliza el imán, se le debe colocar una guarda o pieza de hierro dulce que, al puentear al entrehierro, reduce la reluctancia del circuito. De esta forma, | tan θ| crece disminuyendo el producto B H.
- 524. d-26 D.3. Problemas 2 1 3 V V V 2 1 =0 3 Figura D.21: d-1. Considere dos conductores separados por un tercero conectado a tierra tal como se indica en la figura D.21. Calcule Q1, Q2 y Q3 en función de Ci, Vi , i = 1, 2, 3. (c) + - V0 + - V0 + - V0 S d b a b a L (a) (b) Figura D.22: d-2. Halle la capacidad de los condensadores representados en la figura D.22, el primero plano, el segundo esférico y el tercero cilı́ndrico. Todos ellos están llenos de un dieléctrico de constante ε y la distancia entre placas es muy inferior al resto de las dimensiones. d-3. Dado un condensador constituido por placas semicirculares, como se muestra en la figura D.23, halle: a) La capacidad en función de α. b) El par ejercido sobre el dieléctrico si entre las placas se mantiene una difer- encia de potencial V0. c) Lo mismo si, una vez establecida la diferencia de potencial inicial V0, se desconecta la baterı́a y se introduce el dieléctrico. d) El trabajo total que cuesta introducir el dieléctrico en las condiciones de los apartados b y c.
- 525. d-27 S ε d α Figura D.23: d-4. Un condensador plano, de superficie S = a × b y distancia entre placas c, se introduce en un lı́quido de constante dieléctrica ε y densidad d hasta una altura h = b 2. Halle cuanto sube o baja el dieléctrico en los siguientes casos: a) Entre las placas existe una diferencia de potencial V0. b) La carga de las placas es Q0. d-5. Considere un cable coaxial como el de la figura D.24. Halle: a) La autoinducción por unidad de longitud. b) La energı́a almacenada por unidad de longitud. I I a b Figura D.24: d-6. A un lado de una lámina plana indefinida, de espesor a, recorrida por una densidad de corriente uniforme, hay un campo magnético tangencial B0 mientras que al otro lado el campo es nulo. Halle: a) Las fuerzas que actúan sobre cada elemento de volumen de la lámina. b) Relacione estas fuerzas con una posible presión magnética. c) Aplique los resultados anteriores al cálculo de la presión que soporta un cierto solenoide cuando genera campos magnéticos de 104 y 106 gauss, respectiva- mente. d-7. Calcule el coeficiente de inducción mutua entre los dos conductores de la figura D.25 d-8. Calcule el coeficiente de autoinducción de una bobina toroidal de radio a y sección circular de radio b con un total de N espiras uniformemente distribuidas. d-9. Dados dos solenoides coaxiales de radios aproximadamente iguales a R, como se muestra en la figura D.26, determine:
- 526. d-28 c a b Figura D.25: a) El coeficiente de inducción mutua. b) El coeficiente de acoplo. L Lb a Nb Na Figura D.26: d-10. Calcule el coeficiente de autoinducción de un toroide de sección rectangular que se nuestra en la figura D.27. El número total de espiras es N e I la intensidad que circula por ellas. b a h Figura D.27: d-11. En el circuito magnético de la figura D.28, halle: a) El flujo magnético si I = 1 A. b) La intensidad necesaria para que el flujo magnético a través del circuito sea de 5 × 104 W.
- 527. d-29 1 L L I I N N 1 2 2 Figura D.28: Datos: N1 = 100 vueltas, N2 = 200 vueltas, µr1 = 1000, µr2 = 5000, L1 = 50 cm, L2 = 20 cm, S1 = 20 cm2, S2 = 40 cm2, donde N es el número de vueltas y S el área de la sección. d-12. Determine B y H en el entrehierro, de aire, del circuito de la figura D.29. Datos: N = 200 vueltas, I = 1 A, µr = 5000, L0 = 5 mm, L1 = 50 cm, L2 = 20 cm, S0 = S2 = 10 cm2, S1 = 5 cm2. 2 N 0 S L0 N I I S S L2 L1 1 Figura D.29: d-13. En la figura D.30b se muestra la curva de magnetización inicial del material fer- romagnético que constituye el núcleo del circuito que se representa en D.30a . Determine I para que la intensidad de campo magnético en el hueco sea de 1 T. Datos: N = 100 vueltas, L0 = 2 mm, S0 = 1 cm2 , L = 3 cm, S = 2 cm2
- 528. d-30 (b) N S 0 L 0 I L S 0.4 0.8 1.2 0.4 0.8 1.2 1.6 B(Tesla) H(A/m) (a) Figura D.30:
- 529. Apéndice E Corrientes cuasiestacionarias. Teorı́a de Circuitos E.1. Introducción Teóricamente, las ecuaciones de Maxwell, con unas condiciones iniciales y de con- torno adecuadas, tienen una solución única para cada problema electromagnético. En la práctica, sin embargo, la estructura de los medios puede ser tan compleja que hagan impracticable una solución exacta. Afortunadamente, algunos problemas de gran impor- tancia, que no son manejables dentro del formalismo de la teorı́a de campos, admiten tratamientos aproximados alternativos. Ası́, pués, en el limite de las altas frecuencias, el formalismo de la óptica de rayos permite resolver problemas que desde otro punto de vista serı́an excesivamente com- plicados. Puesto que estos temas se incluyen tradicionalmente en la Optica, no nos ocuparemos más de ellos. Otro tanto ocurre en el limite de bajas frecuencias con la teorı́a de circuitos. La sim- plicidad con que los circuitos eléctricos pueden ser representados y estudiados confiere a estos una gran importancia. Importancia que viene resaltada por el hecho de que el mismo formalismo es aplicable a otros muchos problemas análogos de tipo mecánico, térmico, atómico, etc. Los sistemas de corrientes cuasiestacionarias, que definiremos más adelante, pueden estudiarse por la versión más simple de la teorı́a de circuitos, la de parámetros localizados, que permite representar a dichos sistemas por ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. En lo que sigue se hará a una rápida exposición de los fundamentos de la teorı́a de circuitos de parámetros localizados o de corrientes cuasiestacionarias. E.2. Conexión entre la teorı́a de campos y la de Circuitos [Gómez]. Haremos uso del mismo tipo de convenio ya utilizado para circuitos de corrientes estacionarias e introduciremos nueva nomenclatura, como tensión, caı́da de potencial u otra que se definirá en su momento, que es de uso normal en esta disciplima e-1
- 530. e-2 La teorı́a de circuitos de parámetros localizados estudia el comportamiento de sis- temas electromagnéticos, circuitos, que pueden ser descritos como interconexiones de diversos tipos de elementos de dos terminales. (b) i(t) v(t) (t) ε i(t) 1 2 1 2 (a) Figura E.1: Entendemos por elemento de dos terminales un sistema con dos terminales, bien definidos desde el punto de vista eléctrico, entre los que puede establecerse, con poca ambigüedad, una relación integro-diferencial entre la intensidad que pasa por el elemento y la caı́da de tensión a través del mismo. Los sentidos de referencia mutua entre las caı́das de potencial e intensidades los tomaremos como se indica en la figura E.1a para los elementos que llamaremos pasivos y en sentido contrario, figura E.1b, para los elementos activos ideales o fuerzas electromotrices. Un análisis riguroso de las condiciones bajo las que este tipo de tratamiento es válido está fuera de lugar pero algunas consideraciones generales pueden acotarnos el problema con suficiente precisión [Landau y Lifchitz MC]. Analizaremos las condiciones bajo las cuales el estado electromagnético global de estos elementos puede ser descrito mediante dos variables de tipo eléctrico. Una de ellas será la intensidad y la otra la caı́da de potencial, a la que nos referiremos indistintamente como caı́da de tensión. L x=0 x=L n n 0 L V S S 0 Figura E.2: En primer lugar, veamos cuando puede hablarse de la intensidad que circula por un tubo de corriente. Si consideramos una sección de tubo como la de la figura E.2, para corrientes no estacionarias tendremos, de acuerdo con la ecuación de continuidad de la corriente de conducción e integrando en un instante determinado sobre el volumen V Z SL ~ · d~ s − Z S0 ~ · d~ s = − d d t Z V ρ dv ⇒ i(L) − i(0) = − d Q d t donde i es la intensidad que circula por el tubo en un instante determinado y Q la carga almacenada en el mismo.
- 531. e-3 La intensidad que circula por el tubo no es uniforme, i = i(x, t), de forma que la diferencia entre la intensidad que entra y la que sale de la sección del tubo está rela- cionada con la variación temporal de la carga neta almacenada en el mismo. Para una corriente estacionaria i(L) = i(0) ⇒ d Q d t = 0 Definiremos como corrientes cuasiestacionarias a aquellas para las que estas rela- ciones se cumplen aproximadamente |i(L) − i(0)| = | d Q d t | |i(x)| Esta condición permite prescindir de la dependencia espacial de la intensidad y definir una única intensidad para toda la longitud L del elemento. Es interesante expresar las condiciones de estacionariedad para corrientes armónicas. Puesto que las corrientes tienen la misma dependencia espacio-temporal que los campos, éstas tendrán, en general, el carácter de onda. Simplificando el problema, escribiremos 1 i(x, t) = I0 cos ω (t − x v ) = Re h I0 ejω (t−x v ) i ⇒ I(L, t) = I0 ejω t e−jω L v = I(0, t) e−jω L v donde v es la velocidad de fase. Para valores de ω L v 1 el término e−jω L v puede desarrollarse en serie, con lo que I(L, t) ' I(0, t) ¡ 1 − jω L v ¢ ⇒ ¯ ¯∆I I ¯ ¯ = ω L v donde ∆I = I(L, t) − I(0, t). Diremos que una corriente es cuasiestacionaria cuando el error relativo cometido en la aproximación es experimentalmente despreciable, o, dado que β = ω v = 2π λ , la condición ω L v 1 equivale a L λ (E.1) Ası́, pués, podremos suponer que por un tubo de corriente circula una intensidad i 6= i(x) cuando sus dimensiones máximas sean muy inferiores a la mı́nima longitud de onda de las componentes de frecuencia significativas de la señal que se propaga por él. Por otra parte, llamaremos tensión, o voltaje, a la medida proporcionada por un voltı́metro cuando los campos son variables con el tiempo. Veremos bajo que condiciones el voltaje medido coincide aproximadamente con la caı́da de potencial. 1 En adelante se anotará en minúsculas a las magnitudes temporales reales y con mayúsculas a los fasores correspondientes a funciones monofrecuencia del tipo f = F0 cos ωt = Re F = F0 ejω t .
- 532. e-4 a 2 1 v S 12 (a) v12 (b) b Figura E.3: Si tocamos con los terminales de un voltı́metro los puntos 1 y 2, figura E.3 , de forma que los cables formen el camino (a), el voltaje medido será v (a) 12 ≡ Z 2 1, (a) ~ E · d~ l = (E.2) = Z 1 2, (a) ∇ V · d~ l − Z 2 1, (a) ∂ ~ A ∂ t · d~ l = V1 − V2 − d d t Z 2 1, (a) ~ A · d~ l # que no coincide con la diferencia o caı́da de potencial V1 − V2. Por el camino (b), se medirá v (b) 12 = Z 2 1, (b) ~ E · d~ l = V1 − V2 + d d t Z 1 2, (b) ~ A · d~ l # por lo que, restando ∆v12 = v (a) 12 − v (b) 12 = − d d t Φ( ~ B) Vemos que la diferencia entre dos medidas viene dada por la fuerza electromotriz gene- rada por los campos magnéticos en el camino (a) + (−b). Si nos fijamos sólo en los campos de radiación, asociado al campo eléctrico existe un campo magnético B ' E v Escribiendo S = L2, tendremos, para una onda armónica de frecuencia ω | d d t Φ| ' ω B S = ω E L2 v y, teniendo en cuenta que v12 ' E L, | d d t Φ| ' v12 ω L v ⇒ | ∆v12 v12 | ' ω L v 1
- 533. e-5 Luego llegamos a la conclusión de que, para que estos campos de radiación no provo- quen una incertidumbre apreciable en la medida del voltaje, la longitud del elemento y la de los cables del instrumento de medida deben cumplir la condición E.1 L λ La presencia de estos campos magnéticos, asociados a las corrientes de conducción lentamente variables, será tenida en cuenta extendiendo el concepto de coeficiente de inducción a las corrientes cuasiestacionarias. E.3. Elementos fundamentales Los elementos fundamentales de la teorı́a de circuitos lineales, de parámetros lo- calizados y de dos terminales, son la resistencia, la autoinducción, la capacidad y los generadores. En su configuración ideal derivan de las definiciones correspondientes dadas para corrientes estacionarias y campos electrostáticos. Para las resistencias, autoinducciones y capacidades, que son elementos incapaces de suministrar energı́a neta al exterior y que llamaremos elementos pasivos, haremos uso del convenio apuntado en el párrafo anterior, figura E.4. 1 2 i(t) v(t) i (t) L 1 2 L v (t) L 2 i (t) R 1 R R v (t) i (t) C 2 1 C C v (t) Figura E.4: La resistencia es un elemento disipativo, consume energı́a debido al efecto Joule. La autoinducción almacena energı́a magnética y el condensador energı́a eléctrica. Llamaremos a v(t) ' V1 − V2 caı́da de tensión del terminal (1) al terminal (2) del elemento. Bajo las condiciones impuestas en el párrafo anterior, su medida por el voltı́metro coincidirá con el voltaje. Resistencia: Definimos como resistencia ideal a un conductor ómico, con σ finita, dentro del cual las fuerzas electromotrices son despreciables, tanto las electromotoras como las de Faraday, es decir, los campos eléctricos en su interior son conservativos. Consideramos,
- 534. e-6 oo σ oo σ 1 2 d s σ Figura E.5: como se muestra en la figura E.5, que los terminales (1) y (2) están constituidos por conductores ideales (σ → ∞). El parámetro resistencia R se define de la misma forma que en la sección 7.19 para corrientes estacionarias . Allı́ se definió como la relación existente entre la circulación del campo total y la intensidad que circula por el tubo de corriente. Esta relación que, en general, es complicada, en los medios que llamamos óhmicos se reduce a una constante. R ' R 2 1 ~ E · d~ l i y, despreciando las fuerzas electromotrices ~ E = −∇ V , R = V1 − V2 i = v i v = i R (E.3) Autoinducción: La autoinducción ideal es un elemento, de resistencia nula, σ → ∞, en el que las fuerzas electromotrices existentes son generadas por los flujos variables asociados a las corrientes cuasiestacionarias que circulan por el mismo. La inducción mutua entre dos elementos se define de forma análoga 2. V1 -V1 =-( -V ) 2 =V2 (t) ε v(t) 2 1 12 i(t) 1 2 L L L a b Figura E.6: En la figura E.6 se representa un camino cerrado L = La + Lb. La es un camino para el que d Φ d t es muy significativo. Lb es un camino externo al carrete que corta un flujo despreciable en comparación con el anterior. 2 Véase la sección D.2.1.
- 535. e-7 Dado que no existen campos electromotores ~ E 0 ~ E = −∇ V − ∂ ~ A ∂ t Bajo este supuesto, podemos calcular aproximadamente la fuerza electromotriz despreciando la integral sobre Lb e integrando sobre La. ε ' ε12 = − Z 2 1,La ∂ ~ A ∂ t · d~ l = − d Φ d t = −L d i d t = Z 2 1,La ~ E · d~ l | {z } =0 + Z 2 1,La ∇ V · d~ l = −(V1 − V2) = −vL(t) donde la integral de ~ E se anula porque R = 0. Lo anterior puede resumirse de la forma ε(t) ' ε12(t) = −L d i(t) d t = −vL(t) vL(t) = L d i(t) d t (E.4) En este caso estamos igualando la caı́da de tensión vL = V1 −V2, véase al figura E.4, a la fuerza electromotriz inducida cambiada de signo. Condensador: En D.1.4, para campos estáticos, se ha definido la capacidad de un condensador como C = Q V1 − V2 Desde el punto de vista de la teorı́a de circuitos, definimos como condensador ideal a un elemento constituido por unas armaduras conductoras ideales, con un dieléctrico ideal sin pérdidas y sin ningún tipo de fuerzas electromotrices. Ésto supone despreciar la parte no conservativa del campo, debida a la ley de inducción de Faraday, que necesariamente existe cuando los campos eléctricos varı́an con el tiempo. Bajo la aproximación anterior, podemos escribir C ' Q(t) vC(t) (E.5) La carga almacenada en las placas del condensador será Q(t) = Q0 + Z t 0 i(t) dt donde Q0 = Q(t = 0). De acuerdo con ésto, la caı́da de tensión entre las placas es vC(t) = v0 + 1 C Z t 0 i(t) dt (E.6) donde v0 = v(t = 0).
- 536. e-8 Fuentes de tensión e intensidad: Entre los elementos activos ideales, definiremos los generadores ideales de tensión (intensidad) como aquellos elementos que mantienen entre sus terminales una tensión (intensidad) independiente de las condiciones externas. Se denominan activos porque son capaces de suministrar energı́a neta al exterior. Para corrientes estacionarias definı́amos la fuente de tensión ideal como una sección de tubo de corriente con resistencia nula. i R = 0 = Z 2 1 (−∇ V + ~ ER) · d~ l ⇒ ε12 = V2 − V1 y en el que la fuerza electromotriz ε12 = ε(t) es independiente de i. La fuente de tensión, o baterı́a ideal, mantenı́a entre sus bornes, o terminales, una diferencia de potencial fija e igual a su fuerza electromotriz. Extenderemos la validez de esta definición al caso de corrientes cuasiestacionarias, admitiendo que la diferencia de potencial es variable, v(t), pero independiente de i(t). (b) 1 2 (t) ε v(t) i(t) 1 2 v(t) i(t) 2 1 =v(t) (a) Figura E.7: Los sı́mbolos y las referencias vienen representados en la figura E.7. La potencia suministrada al exterior es P(t) = ε(t) i(t) (E.7) Como puede verse en la figura, el convenio de signos de referencia para la fuerza electromotriz es el contrario que para la tensión. En este caso la intensidad entra al elemento por el terminal negativo y sale por el positivo. Puesto que ε(t), en las fuentes de tensión, e i(t), en las de intensidad, sólo dependen de las caracterı́sticas internas de dichas fuentes, diremos que estas son fuentes indepen- dientes. Los elementos no lineales juegan un papel importante en la práctica. Más adelante, en el apéndice F, hablaremos de los transistores pero por ahora citaremos solamente al diodo ideal. El diodo ideal es un elemento pasivo unidireccional: tiene resistencia nula cuando la tensión aplicada es positiva e infinita en caso contrario. La figura E.8 muestra la curva caracterı́stica iD ↔ vD para el diodo, ası́ como los convenios de referencia. Además de la relación entre los signos de la tensión y la
- 537. e-9 Anodo ´ todo C vD vD iD iD=0 iD oo iD a Figura E.8: intensidad, que es la correspondiente a los elementos pasivos, por ser un elemento uni- direccional, se hace necesario relacionar la dirección positiva de la intensidad con la dirección privilegiada de conducción. E.3.1. Elementos reales Los elementos reales, como es natural, no se ajustan a ningún modelo exacto pero las desviaciones pequeñas de la idealidad pueden ser modeladas complicando en cierto grado los modelos ideales. Ası́, por ejemplo, la resistencia del hilo con que se fabrica una autoinducción no suele ser despreciable a baja frecuencia y para frecuencias altas empiezan a ser notables los efectos capacitivos. Un posible modelo de una autoinducción real, válido para un cierto rango de frecuencias, puede ser el de la figura E.9. C 2 1 L L R L Figura E.9: En adelante, cuando hablemos de fuentes reales nos referiremos a modelos lineales de fuentes en los que se tiene en cuenta que, en la práctica, es imposible materializar una fuente cuya variable de salida no dependa, aunque sólo sea en pequeña medida, de las condiciones externas. En otras palabras, la caı́da de tensión (intensidad) de una fuente de tensión (intensidad) no puede ser totalmente independiente de la intensidad (tensión) que aparezca entre sus terminales. El modelo de la fuente real será, pués, el de la figura E.10. Para la fuente de tensión real, la tensión de salida es vs(t) = ε0(t) − v0 (t) = ε0(t) − Oz ∗ is(t) (E.8)
- 538. e-10 (a) i 0 (t) ε (t) 0 vs (t) vs (t) is (t) is (t) 2 1 2 1 i’(t) v’(t) O z O y (b) Figura E.10: donde Oz 3 es un operador integro-diferencial lineal que opera (∗) sobre la intensidad de salida is. Para la fuente de intensidad real, la intensidad de salida es is(t) = i0(t) − i0 (t) = i0(t) − Oy ∗ vs(t) (E.9) donde Oy es también un operador lineal. E.4. Leyes de Kirchhoff Las leyes de Kirchhoff no son sino la expresión, en términos de corrientes, caı́das de tensión y fuerzas electromotrices, de las leyes de Maxwell bajo las condiciones enuncia- das en la sección E.2. Previamente al enunciado de las mismas, recordaremos algunas definiciones ya establecidas e introduciremos algunas nuevas, aplicables a circuitos de parámetros localizados al tiempo que haremos algunas aclaraciones pertinentes. Definiciones Elemento de dos terminales: Sistema que puede ser descrito por una relación integro-diferencial, con un sólo parámetro, que liga la caı́da de tensión entre dos terminales y la intensidad que circula entre ellos. Elemento lineal: Aquel en el que la relación entre v(t) e i(t) es lineal. Elemento independiente del tiempo: Aquel cuyo parámetro es independiente del tiempo. Circuito: Sistema resultante de la interconexión de dos o más elementos. Circuito pasivo: Circuito capaz de almacenar o disipar energı́a y que puede devolver parte de la energı́a almacenada , pero no es capaz de suministrar una energı́a neta al exterior. 3 La notación Oz (Oy) indica que el operador tiene dimensión de impedancia (admitancia), como se verá más adelante.
- 539. e-11 Circuito activo: Circuito capaz de suministrar una energı́a neta al exterior. Rama: Interconexión de elementos que puede ser descrita, como un elemento, por una relación de la tensión y la intensidad entre dos terminales. Nudo: Punto de interconexión de dos o más elementos o ramas. Malla: Conjunto de ramas que constituye un camino cerrado, dentro del circuito, sin pasar dos veces por el mismo nudo. La representación gráfica de un circuito fı́sico no es unı́voca, ya que las definiciones de nudos y ramas tampoco dan una representación gráfica unı́voca. Esto no es ningún inconveniente sino todo lo contrario. Leyes de Kirchhoff i i i 1 i 2 i N S j V (a) (b) Figura E.11: Como ya hemos visto, incluyendo la corriente de desplazamiento en los conden- sadores, las corrientes cuasiestacionarias cumplen, aproximadamente, la condición ∇ · ~ = 0 ⇒ I S ~ · d~ s = 0 Si aplicamos esto a un volumen, figura E.11-a, que encierre a un nudo en el que concurren N ramas con intensidades incidentes ii, i = 1 · · · N, figura E.11-b, tendremos N X i=1 ii = 0 (E.10) que expresa la primera ley de Kirchhoff. Para enunciar la segunda ley, consideremos, en principio, un tubo de corriente cuasi- estacionaria compuesto de una concatenación en serie de fuentes de fuerza electromotriz, resistencias, condensadores y autoinducciones ideales, como el mostrado en la figura E.12. Integrando el campo conservativo a lo largo de un camino dentro del tubo
- 540. e-12 R L ε i i 1 2 (a) (b) 1 2 C Figura E.12: I dV = µZ b a + Z b a + Z b a + Z b a ¶ dV = (Vb − Va) + (Vc − Vb) + (Vd − Vc) + (Va − Vd) = −ε + vR + vL + vc que, en el caso de que a lo largo del camino existan varios elementos de cada clase, puede extenderse a un camino cerrado cualquiera y, en particular, a cualquier malla, como la de la figura E.13. P εi = P vj (E.11) Ésta es una forma de expresar la segunda ley de Kirchhoff, en la que la primera suma- toria se extiende a todas las fuerzas electromotrices y la segunda a todas las caı́das de potencial debidas a las resistencias, autoinducciones y condensadores. i a i b i c i d i e i Figura E.13: E.5. Respuesta a una excitación armónica A pesar de que funciones i(t) y v(t) que no sean de cuadrado sumable no son fı́sica- mente aceptables, si que son fı́sicamente útiles. En particular, el estudio de la respuesta
- 541. e-13 de un circuito a una entrada armónica pura, respuesta en frecuencia, tiene un interés general puesto que, sobre la base de ésta, puede reconstruirse la respuesta a una en- trada de cuadrado sumable haciendo uso de la transformada de Fourier. En concreto, comprobaremos que, aunque las señales armónicas no son estrictamente transformables por Fourier, pueden ser tratadas con un formalismo análogo al utilizado en el apéndice G, expresión G.4. Para simplificar, nos planteamos la resolución de un circuito con una sola variable independiente, y(t), y una sola incógnita, x(t), que representan indistintamente a ten- siones o intensidades armónicas. La primera tiene amplitud X0 y fase δ x(t) = X0 cos(ω t + δ) y la segunda, amplitud Y0 y fase α. y(t) = Y0 cos(ω t + α) La aplicación de las leyes de Kirchhoff nos permitirá obtener una ecuación lineal en derivadas totales y con coeficientes constantes y reales que ligan a ambas variables. LA x(t) = LB y(t) donde LA y LB son operadores lineales con coeficientes constantes de orden n y m respectivamente. · an dn dtn + · · · + a0 ¸ | {z } LA x(t) = · bm dm dtm + · · · + b0 ¸ | {z } LB y(t) (E.12) Podemos resolver esta ecuación, como hicimos con los campos, utilizando el formal- ismo fasorial, es decir, extendiendo analı́ticamente al plano complejo a las variables en cuestión. Para ello definiremos Y (t) = y(t) + j g(t) , g(t) = Y0 sen(ω t + α) A Y (t) lo llamaremos fasor temporal de y(t). Podemos expresarlo de las formas Y (t) = Y0 [cos(ω t + α) + j sen(ω t + α)] = = Y0 ej(ω t+α) = = Y0 ejα ejω t = = Y ejω t (E.13) donde Y = Y0 ejα es el fasor independiente del tiempo o, simplemente, fasor de entrada. Es evidente, por superposición lineal, que si x(t) es la respuesta a y(t) X(t) = x(t) + j z(t) = X0 [cos(ω t + δ) + j sen(ω t + δ)] = = X0 ej(ω t+δ) = = X0 ejδ ejω t = = X ejω t (E.14)
- 542. e-14 es la respuesta a Y (t) y que la respuesta real, buscada es x(t) = Re[X(t)] = Re[X ejω t ] = (E.15) = X0 cos(ω t + δ) Substituyendo en E.12 LA X(t) = LB Y (t) ⇒ X LA ejω t = Y LB ejω t ⇒ X(s) = T(s) Y (s) (E.16) T(s) ≡ bm sm + · · · + b0 an sn + · · · + a0 (E.17) siendo T(s) la función de transferencia de la variable Y a la X E.5.1. Representación fasorial; impedancias y admitancias A las relaciones integrodiferenciales entre la tensión y la intensidad de los elementos, resistencia, capacidad y autoinducción vR(t) = iR(t) R → iR = 1 R vR(t) vL(t) = L d iL(t) d t → iL(t) = 1 L R vL(t) dt vC(t) = 1 C R iC(t) dt → iC(t) = C d vC (t) d t (E.18) les corresponden relaciones algebraicas complejas cuando las variables son armónicas. Si tomamos como entrada a la intensidad y como salida a la tensión, las funciones de transferencia reciben el nombre de impedancia. Si lo hacemos al revés reciben el de admitancia. Ası́, pués, las impedancias son V = I Z , ZR = R ZL = L s ≡ jω L ZC = 1 C s ≡ 1 jω C (E.19) y las admitancias I = V Y , Y = 1 Z , YR = 1 R YL = 1 L s ≡ 1 jω L YC = C s = jω C (E.20)
- 543. e-15 [Y] R = R Z L = j ωL ZC = j ω C 1/ YC = j ω C YR = 1/ R L = Y j ωL 1/ I R I R [Z] [Z] [Y] Z Figura E.14: En adelante se utilizará la misma notación tanto para los fasores dependientes del tiempo como para los independientes del mismo ya que las relaciones anteriores son válidas en ambos casos. En el plano complejo, estas impedancias y admitancias, forman los siguientes dia- gramas fasoriales representados en la figura E.14. Si, por ejemplo, i = I0 cos(ω t + α) ⇒ I = I0 ejα ≡ I0, /α VR = I R = I0 R ejα = VR0 ejα ⇒ vR(t) = Re £ VR ejω t ¤ = VR0 cos(ω t + α) VL = ω L I0 ej(α+π 2 ) = VL0 ej(α+π 2 ) ⇒ vL(t) = VL0 cos(ω t + α + π 2 ) VC = I0 ω C ej(α−π 2 ) = VC0 ej(α−π 2 ) ⇒ vC(t) = VC0 cos(ω t + α − π 2 ) Es decir, la caı́da de tensión en la resistencia está en fase con la intensidad, mientras que la de la autoinducción esta adelantada en π 2 y la del condensador atrasada en π 2 . En la figura E.15 se representan i(t), vR(t), vL(t) y vC(t) para α = 0. El diagrama de fasores dependientes del tiempo está representado en la figura E.16. Los fasores temporales giran con velocidad uniforme ω y sus proyecciones sobre el eje real nos dan el valor instantáneo de las variables. Basta con hacer uso del diagrama de los fasores independientes del tiempo, el cual corresponde al instante t = 0 en el del dependiente del tiempo. E.5.2. Asociación de elementos Por asociación de elementos fundamentales pueden obtenerse elementos de dos ter- minales más complejos o ramas. Ac continuación consideraremos los dos tipos más simples de asociación de impedan- cias: la serie y la paralelo.
- 544. e-16 L0 v L (t) i (t) vR (t) vC (t) VR0 VC0 I 0 V t Figura E.15: t R VL VC I [V] vR (t) vL (t) vC (t) [V] R I i(t) α ω π/2 V Figura E.16:
- 545. e-17 Asociación serie: En la asociación serie, figura E.17, la intensidad que circula por cada elemento es la misma y las caı́das de tensión se suman. 2 v1 v2 1 i i2 i v 1s2 1 Figura E.17: i1 = i2 = i , v = v1 + v2 Para corrientes armónicas V = I Zs , Zs = Z1 + Z2 (E.21) Asociación paralelo: En el caso de la asociación paralelo, figura E.18 1p2 v i2 v1 1 i v2 i i v 2 1 Figura E.18: v1 = v2 = v , i = i1 + i2 I = Yp V , Yp = Y1 + Y2 , 1 Zp = 1 Z1 + 1 Z2 (E.22) E.6. Métodos de análisis E.6.1. Introducción Las leyes de Kirchhoff permiten la obtención de las ecuaciones que describen el comportamiento de cualquier circuito. En la práctica, dado que estos circuitos pueden presentar una estructura complicada, conviene seguir una metodologı́a ordenada para el planteamiento y solución de dichas ecuaciones. El tema es bastante amplio y aquı́ sólo queremos presentar los rasgos fundamentales de los métodos de análisis por mallas y por
- 546. e-18 nudos. Por no complicar la exposición limitaremos nuestra consideración a los circuitos planos; circuitos que pueden ser representados en el plano sin cruces entre ramas. Para comprender la nomenclatura, los convenios de signos y la forma de aplicar las leyes, nos basaremos en el ejemplo concreto de la figura E.19. 2 i i 3 R 3 R 4 vα vβ v γ vδ i a i b i c i d i f i e ε 2 (t) ε 1 (t) 1 i L C ve vc R 1 R 2 Figura E.19: Se han representado N = 4 nudos (α, β, γ, δ) R = 6 ramas (a, b, c, d, e, f) M = 3 mallas (1, 2, 3) Como variables independientes aparecen las fuentes de fuerza electromotriz E1(t) y E2(t) (Podrı́amos haber introducido fuentes de intensidad pero lo dejaremos para más adelante). Dividiremos las variables dependientes en dos grupos: Variables de malla y nudo. a − Intensidades de malla: (i1, i2, i3). b − Tensiones de nudo: (vα, vβ, vγ = 0, vδ) Para facilitar el análisis, se elige un sentido único para las intensidades de todas las mallas, a derechas en este caso, y un nudo, el γ, como referencia o tierra. Describiremos dos métodos de análisis basados, respectivamente, en la primera y la segunda ley de Kirchhoff. Variables de rama. c − Intensidades de rama: (ia, ib, ic, id, ie, if ) d − Tensiones de rama: (va, vb, vc, vd, ve, vf ).
- 547. e-19 Una vez resuelto el problema para las intensidades de malla o las tensiones de nudo, pueden calcularse otras variables que dependendientes de las anteriores, como las inten- sidades de rama, por ejemplo ia = i1 = ε1 − vα R1 , ib = i1 − i2 = vα − vβ R2 , id = C d vβ d t , · · · a las cuales se les ha asignado un sentido arbitrario de referencia, como el marcado en la figura. vc = vα − vδ = vβ , ve = vγ − vδ = −vδ , · · · Observese que se toma como referencia positiva para las tensiones de rama a aquel nudo del que sale la intensidad de referencia de la rama correspondiente. Leyes de Kirchhoff: Las leyes de Kirchhoff, en el dominio temporal, han sido enunciadas de la siguiente forma: 1. La suma de todas las intensidades que inciden sobre un nudo es igual a cero. X i ii = 0 , (para cualquier nudo) 2. La suma de todas las caı́das de tensión en una malla es igual a la suma de todas las fuerzas electromotrices aplicadas a la misma. X i vi = X i εj , (para cualquier malla) Aplicando la transformada de Fourier, o representando fasorialmente a las variables, las leyes se expresarı́an como X i Ii = 0 , X i Vi = X i Ej donde las letras mayúsculas representan a los fasores correspondientes. α a i c i b i Figura E.20: Ası́, por ejemplo, con las referencias indicadas, se tiene que, para el nudo (α), figura E.20 4 ia − ib − ic = 0 , Ia − Ib − Ic = 0 4 Se han tomado como positivas las intensidades entrantes y negativas las salientes. Puede tomarse el convenio contrario pero conviene adoptar el mismo criterio para todos los nudos.
- 548. e-20 y, para la malla (3), figura E.21, −vR4 − vC + vR3 = −ε2 , VR4 − VC + VR3 = −E2 C i d i e ε 2 (t) R 4 R 3 i f C v R 3 v R 4 v β δ γ 3 Figura E.21: Para plantear correctamente las ecuaciones del sistema basta con establecer, hacien- do uso de las leyes de mallas y nudos, un número de ecuaciones, linealmente indepen- dientes, que sea suficiente para describir las relaciones entre las intensidades y caı́das de tensión en todas las ramas. E.6.2. Equivalencia entre fuentes reales de tensión y de intensidad Para las corrientes armónicas, las fuentes reales pueden representarse como se mues- tra en la figura E.22. En la primera se representan como fuente de tensión con fuerza electromotriz V0 e impedancia de salida Z0 y en la segunda como fuente de intensidad con intensidad motriz I0 y admitancia de salida Y0. Las relaciones fasoriales que las caracterizan son, respectivamente Vs = V0 − Is Z0 (E.23) Is = I0 − Vs Y0 (E.24) 0 0 I I s Vs Vs I s Z0 Y0 (b) (a) V Figura E.22: Dividiendo E.23 por Z0 y tomando I0 = V0 Z0 , Y0 = 1 Z0
- 549. e-21 se comprueba que la fuente de intensidad y la de tensión son equivalentes. Si las fuentes se modelan como ideales, con impedancia nula o admitancia infinita, tal conversión no es posible. Para el análisis de mallas es necesarı́o convertir a todas las fuentes a fuente de tensión y en el de nudos a fuente de intensidad. Si en un circuito aparece una fuente no convertible, éste deberá ser analizado por el método apropiado. E.6.3. Análisis de mallas En este método de solución se calculan las intensidades de malla. Una vez hecho ésto podemos hallar cualquier otra variable dependiente. Para aplicarlo haremos uso previamente de la equivalencia entre fuentes de tensión e intensidad de forma que en el circuito sólo aparezcan las primeras. Puesto que, para cualquier nudo αi que pertenezca a la malla (i), la intensidad de malla ii entra y sale, la primera ley de Kirchhoff se cumple automáticamente. Hay que plantear, por lo tanto, tantas ecuaciones de malla linealmente independientes como puedan establecerse en el circuito. Establecer intensidades independientes equivale a encontrar mallas independientes. En la figura E.23 se reproduce la E.19 con la notación adecuada para el análisis de mallas. δ i i 3 R 3 R 4 ε 2 (t) ε 1 (t) 1 i L C R 1 R 2 α β γ 2 Figura E.23: En el dominio temporal, las ecuaciones de las tres mallas elegidas son ε1 = i1 R1 + (i1 − i2) R2 + 1 C Z t 0 (i1 − i3) dt + VC0 ε2 = (i2 − i3) R3 + (i2 − i1) R2 + L d i2 d t −ε2 = i3 R4 + 1 C Z t 0 (i3 − i1) dt − VC0 + (i3 − i2) R3 Nótese que VC0 aparece con signo positivo en la ecuación de la primera malla y con neg- ativo en la tercera. Ésto de debe a que, para esta tensión se ha tomado como referencia a la intensidad i1
- 550. e-22 Si nos restringimos a la respuesta armónica y escribimos jω → s 5 E1 = E1 = I1 (R1 + R2 + 1 Cs) −I2 R2 −I3 1 Cs E2 = E2 = −I1 R2 +I2 (R3 + R2 + Ls) −I3 R3 E3 = −E2 = −I1 1 Cs −I2 R3 +I3 (R3 + R4 + 1 Cs ) donde Ei son las fuerzas electromotrices correspondientes a cada una de las mallas. Matricialmente E1 E2 E3 = Z11 Z12 Z13 Z21 Z22 Z23 Z31 Z32 Z33 · I1 I2 I3 La matriz de impedancias (Zij) tiene las siguientes propiedades: Es simétrica, por lo que Zij = Zji. Los elementos diagonales Zii son la suma de las impedancias de la malla (i). Los elementos no diagonales Zij (i 6= j) son la suma, cambiada de signo, de las impedancias de la rama común a las mallas (i) y (j). El cálculo de Ij es inmediato haciendo uso de la regla de Cramer. Ij = X i Ei ∆ji ∆ (E.25) donde ∆ji es el cofactor del elemento Zji y ∆ es él determinante de la matriz (Zij). E.6.4. Análisis de nudos Para él análisis de nudos es necesario convertir todas las fuentes de tensión en fuentes de intensidad haciendo uso de la equivalencia entre ellas. En la figura E.24 se muestran las fuentes de intensidad equivalentes a las de tensión de la figura E.23 y en la figura E.25 el circuito resultante para el análisis de nudos. (b) R3 R3 R 1 R 1 Ι2 Ι1 = 2 β δ = 1 α γ (a) Figura E.24: 5 Algo análogo se obtiene si substituimos los operadores R () dt → 1 s y d d t → s.
- 551. e-23 αβ Iαδ Iαγ R 4 R 3 Ι 2 Ι 1 α β γ δ L C R 2 R 1 I Figura E.25: Puesto que hemos tomado como nudo de referencia al γ (vγ = 0), tendremos que calcular las tensiones vα, vβ y vδ de los nudos α, β y δ con respecto al γ en función de las fuentes de intensidad existentes en el circuito. Para establecer un procedimiento sistemático, plantearemos la ley de nudos, para fasores, de la siguiente forma: 1. Escribimos en el primer miembro la suma de las intensidades de las fuentes, con referencia positiva las que inciden en el nudo y negativa las que salen del mismo. Para el nudo α, Iα = I1. 2. En el segundo miembro se escribe la suma de las intensidades que salen del nudo por las admitancias pasivas. Para el nudo α esta suma es Iαβ + Iαδ + Iαγ. Ası́, pués, para el circuito Iα = I1 = (Vα − Vβ) 1 R2 + (Vα − Vδ) 1 Ls + (Vα − 0) 1 R1 Iβ = I2 = (Vβ − Vα) 1 R2 + (Vβ − Vδ) 1 R3 + (Vβ − 0) Cs Iδ = −I2 = (Vδ − Vα) 1 Ls + (Vδ − Vβ) 1 R3 + (Vδ − 0) 1 R4 que, en forma matricial, se escribe de forma análoga a como se hace en el análisis de mallas Iα Iβ Iδ = Yαα Yαβ Yαδ Yβα Yββ Yβδ Yδα Yδβ Yδδ · Vα Vβ Vδ La matriz de admitancias (Yij) , i, j = α, β, δ tiene las siguientes propiedades: Es simétrica, por lo que Yij = Yji.
- 552. e-24 Los elementos diagonales Yii son la suma de las admitancias para las que el nudo (i) es común. Los elementos no diagonales Yij (i 6= j) son la suma, cambiada de signo, de las admitancias de las ramas que unen a los nudos (i) y (j). E.7. Teoremas fundamentales Existen numerosos teoremas relativos a diversos aspectos de la teorı́a de cir- cuitos. De entre ellos sólo consideraremos los más fundamentales [Le Page y Seely, Balabanian y Bickart]. E.7.1. Teorema de superposición Supongamos que un circuito cualquiera tiene un conjunto de fuentes independientes de intensidad I0i y de tensión E0j. Dada la linealidad del sistema, cualquier variable dependiente del circuito, Ix o Vx, puede expresarse como combinación lineal de las fuentes independientes. Sea X la variable dependiente e {Yi} el conjunto de variables independientes. X = X i Ai Yi = X i Xi (E.26) donde Ai son constantes y Xi = Ai Yi = (X)Yj=0 , ∀j 6= i Es decir, la respuesta X de un sistema lineal a un conjunto de entradas indepen- dientes Yi puede expresarse como la suma de las respuestas parciales Xi a una sola de las entradas Yi. E.7.2. Teoremas de Thevenin y Norton Enunciados : Teorema de Thevenin Un circuito puede ser representado, desde cualquier par de nudos, A y B, como una fuerza electromotriz ideal en serie con una impedancia. Vs = ET − Is ZT (E.27) Teorema de Norton Un circuito puede ser representado, desde cualquier par de nudos, A y B, como una fuente de intensidad ideal y una impedancia en paralelo. Is = IN − Vs YN (E.28)
- 553. e-25 A Vs Vs I s I s Thevenin Norton Z I Y C T N T N (a) (b) (c) A B A B B Figura E.26: Es evidente, figura E.26, que el teorema de Norton se deduce del de Thevenin, sin más que aplicar la equivalencia entre fuentes de tensión y de intensidad IN = ET ZT , ZN = ZT , YN = 1 ZN (E.29) donde ET es la fuerza electromotriz Thevenin, IN la intensidad Norton, ZT la impedancia de salida Thevenin e YN la admitancia de salida Norton. Demostración : Basta con demostrar uno de los dos enunciados. Sin perder generalidad consideraremos un circuito con dos mallas, como el encerrado en el bloque de puntos de la figura E.27. I 1 I2 I 3 Vs I s A B Figura E.27: Saquemos al exterior los terminales A y B, a los que conectaremos la fuente de tensión ficticia que representará a la tensión de salida Vs . Con esto habremos añadido al circuito una malla más, por la que circula una intensidad I3 = +Is, donde Is es la intensidad de salida. Apliquemos la expresión E.25 para calcular la intensidad de la nueva malla. Si llamamos ∆0 al determinante del circuito con M + 1 mallas I3 = E1 ∆0 31 ∆0 + E2 ∆0 32 ∆0 + E3 ∆0 33 ∆0 = M+1 X i=1 Ai Ei
- 554. e-26 donde las Ai = ∆0 ji ∆0 son constantes de proporcionalidad. Véase que a este resultado podemos llegar sin más que apelar al teorema de superposición. Si escribimos E3 = E0 3 − Vs, donde E0 3 es la fuerza electromotriz de la malla (3) que está incluida en el circuito primitivo, Is = I3 = A1 E1 + A2 E2 + A3 E0 3 − A3 Vs que puede escribirse de cualquiera de las formas E.27 y E.28 enunciadas anteriormente, sin más que hacer IN = A1 E1 + A2 E2 + A3 E0 3 e YN = A3. Formas de calcular los parámetros Thevenin : De lo anterior se desprende que disponemos de distintas opciones para calcular la fuerza electromotriz y la impedancia Thevenin. Resolviendo el sistema de M + 1 mallas. Colocando una impedancia infinita entre los nudos de salida ( abriendo la puerta de salida) para calcular ET y cortocircuitando las fuerzas electromotrices internas Ei del circuito.. ET = (Vs)Is=0 , ZT = µ − Vs Is ¶ Ei=0 (E.30) Hallando ET por el procedimiento anterior y ZT cortocircuitando la salida (colo- cando una impedancia nula en la puerta de salida). ZT = µ ET Is ¶ Vs=0 (E.31) E.7.3. Potencia en corriente alterna v(t) i(t) Figura E.28: Supongamos, figura E.28, que una corriente i(t) circula por un elemento pasivo provocando una caı́da de tensión v(t). La energı́a W(t) que, por unidad de tiempo, ceden las cargas Q(t) que atraviesan al elemento será 6 P(t) = d W(t) d t = d Q(t) d t v(t) = i(t) v(t) (E.32) Sea i(t) = I0 cos(ωt + ϕ1) v(t) = V0 cos(ωt + ϕ2) ⇒ P(t) = I0 V0 cos(ωt + ϕ1) cos(ωt + ϕ2) 6 cada carga individual q que atraviesa al elemento pierde una energı́a potencial q v(t).
- 555. e-27 Teniendo en cuenta relaciones trigonométricas sencillas y definiendo ϕ = ϕ2 − ϕ1, queda P(t) = 1 2 I0 V0 cos ϕ + 1 2 I0 V0 cos(2ωt + ϕ1 + ϕ2) (E.33) Observemos que la operación de calcular la potencia es no lineal, puesto que implica la multiplicación de dos variables, resultando la frecuencia multiplicada por dos. Si calculamos el promedio temporal de P(t), el segundo término, simétrico respecto del eje temporal, se anulará . Por tanto queda hP(t)i = 1 2 I0 V0 cos ϕ (E.34) Esta expresión se conoce por el nombre vulgar de ley del coseno de ϕ y suele expresarse también en función de los valores eficaces de la tensión y la intensidad, definidos como Ve = V0 √ 2 , Ie = I0 √ 2 En forma fasorial I = I0 ejϕ1 , V = V0 ejϕ2 con lo cual hP(t)i = 1 2 Re[V I∗ ] = 1 2 Re[I V ∗ ] (E.35) P 〉 〉 P(t) v(t) i(t) t Figura E.29: En la figura E.29 se representa a P(t), i(t) v(t), para ϕ1 = 0, en función de t. En ella se observa que, efectivamente, la frecuencia de oscilación de la potencia es doble que la de la tensión e intensidad y que P(t) puede descomponerse en un término medio hP(t)i más otro variable de media nula. En general, la potencia será en parte positiva, las cargas ceden energı́a al elemento, y en parte negativa, las cargas toman energı́a del elemento. En el caso de los elementos pasivos, la parte positiva es siempre mayor o igual a la negativa.
- 556. e-28 P 〉 〉 P(t) i(t) v(t) t Figura E.30: Si v(t) e i(t) están en fase, ϕ1 = ϕ2 ⇒ ϕ = 0, toda la energı́a se disipa en el elemento, figura E.30, y la potencia media es hP(t)i = 1 2 I0 V0 Esto corresponden a elementos disipativos que no almacenan energı́a, es decir, a la resistencia ideal. Cuando ϕ = ±π 2 ⇒ cos ϕ = 0 y hP(t)i = 0 En la figura E.31 se ve que la energı́a media es nula y toda la energı́a cedida al elemento es posteriormente recuperada por las cargas, por lo que la potencia media cedida es nula. Este es el caso de los elementos no disipativos, como la capacidad o la inducción ideales, que sólo pueden almacenar energı́a pero no disiparla. 〉 〉 =0 P(t) t i(t) P v(t) Figura E.31: Concretando, para elementos simples, y escribiendo
- 557. e-29 i = I0 cos ω t , v = V0 cos (ω t + ϕ) se tiene lo siguiente: (c) i(t) i(t) i(t) v(t) v(t) v(t) (a) (b) Figura E.32: Resistencia. En una resistencia la intensidad y la tensión están en fase, de manera que P(t) = 1 2 I0 V0 + 1 2 I0 V0 cos(2ωt) Condensador. Como se ha visto en la representación fasorial, en un condensador, la tensión está retrasada π 2 respecto a la intensidad, con lo cual ϕ = −π 2 y P(t) = 1 2 I0 V0 sen(2ωt) Autoinducción. También vimos que en una autoinducción la tensión está adelantada en ϕ = π 2 respecto a la intensidad y, por lo tanto, P(t) = − 1 2 I0 V0 sen(2ωt) E.7.3.1. Teorema de la máxima transferencia de potencia El teorema de Thevenin dice que cualquier circuito lineal, visto desde un par de ter- minales A y B, es equivalente a una fuente con una fuerza electromotriz ET e impedancia de salida ZT . Supongamos, figura E.33, que entre A y B colocamos una impedancia de carga Zc cuya magnitud podemos variar. La pregunta es: ¿ qué relación ha de existir entre ZT y Zc para que la energı́a transferida por la fuente a la carga sea máxima? Sea Zc = x ejy , ZT = ZT0 ejα La potencia media disipada en la carga es hPi = 1 2 Re[Vc I∗ c ]
- 558. e-30 c T Z C V T (a) (b) B B A A Z Z I c c c Figura E.33: donde Vc = Et Zc ZT + Zc , Ic = Et ZT + Zc ⇒ I∗ c = E∗ t Z∗ T + Z∗ c Substituyendo hPi = 1 2 |Et|2 |ZT + Zc|2 Re [Zc] Para obtener el valor máximo de hPi, habrá que derivar respecto a x e y , e igualar a cero. Haciendo estas operaciones se obtiene x = ZT0 , y = −α de donde se deduce que, para que la carga consuma la máxima potencia, (Zc)max = Z∗ T (E.36) E.8. Estudio de los circuitos de primero y segundo orden En los temas anteriores hemos revisado las caracterı́sticas generales de la Teorı́a de Circuitos. En este nos detendremos en el estudio de los sistemas de primero y segundo orden que, naturalmente, al ser los más simples son también los más importantes. Analizaremos, por vı́a de ejemplo, la respuesta transitoria y la estacionaria, para señales armónicas, de sistemas concretos. E.8.1. Respuesta transitoria de sistemas lineales de primer orden Estudiaremos los circuitos serie RL y paralelo RC y los serie RC y paralelo RL. Circuitos serie RL y paralelo RC. La figura E.34 representa a un circuito serie RL y su dual, el paralelo RC. Para el primero calcularemos la intensidad que circula por él, mientras que ,para el segundo, calcularemos la caı́da de tensión v(t). La dualidad se establece de la forma:
- 559. e-31 R v(t) v(t) L i(t) i(t) R C Figura E.34: Serie ⇔ Paralelo v ⇔ i L ⇔ C R ⇔ 1 R Decimos que el segundo circuito es el dual del primero porque las ecuaciones difer- enciales que los describen son análogas. Veámoslo: 1. Circuito serie. v(t) = vR(t) + vL(t) ⇒ v(t) = i(t) R + L d i(t) d t 2. Circuito paralelo. i(t) = iR(t) + iL(t) ⇒ i(t) = v(t) R + C d v(t) d t En virtud de esta analogı́a, podemos escribir una ecuación general para ambos cir- cuitos e(t) = x(t) + τ d x(t) d t (E.37) donde τ recibe el nombre de constante de tiempo del sistema. e(t), x(t) y τ toman, en cada caso, los valores siguientes: 1. Circuito serie. e(t) = v(t) R , x(t) = i(t) , τ = L R 2. Circuito paralelo. e(t) = i(t) R , x(t) = v(t) , τ = R C Empezaremos calculando la respuesta a un impulso en t = 0, como el que se muestra en la figura E.35. Para fijar ideas, consideremos al circuito serie y hagamos v(t) = V0 τ δ(t) ⇒ e(t) = E0 τ δ(t) , E0 = V0 R
- 560. e-32 t o I II t=0 o Figura E.35: La respuesta del sistema a este tipo de entrada se llama respuesta a un impulso del sistema. e(t) = x(t) + τ d x(t) d t = 0 para t 6= 0 → ∞ para t → 0 En la región I la entrada e(t) = 0, por lo que tanto la autoinducción, en el primer circuito, como la capacidad, en el segundo, se encuentran en paralelo con una resistencia, la cual es un elemento que disipa energı́a. Cualquier energı́a que en t → ∞ pudiera haber estado almacenada en forma de campo magnético (en L) o eléctrico (en C) ha sido disipada antes de cualquier instante cercano. Esto implica que x(t 0) = x1(t) = 0 Para t 0 dx x = − dt τ ⇒ x = X0 e− t τ El valor de X0 se determina relacionando los valores de x(t) en el lı́mite de las regiones I y II x0+ ≡ lı́m t→0, t0 x(t) = X0 , x0− ≡ lı́m t→0, t0 x(t) = 0 Integrando la ecuación diferencial E.37 desde t = 0− a t = 0+ E0 τ Z 0+ 0− δ(t) dt = E0 τ | {z } (a)=1 = Z 0+ 0− x dt | {z } (b)=0 +τ [x(0+) − x(0−)] = τ X0 ⇒ X0 = E0 La itegral (b) = x ∆t = 0, de acuerdo con el teorema integral del valor intermedio, ya que x es un valor comprendido entre x(0−) = 0 y x(0+) = X0 que se supone finito. La solución i(t) = 0 para t 0 V0 R e− t τ para t 0
- 561. e-33 -1 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 V 0 t τ /R i(t) Figura E.36: se representa en la figura E.36. Busquemos ahora la solución de esta ecuación para una entrada que, como se muestra en la figura E.37, tiene forma de pulso. e(t) t 0 e t=0 t1 I II III Figura E.37: Puesto que en esta entrada existen dos discontinuidades, en t = 0 y t = t1, debemos resolver la ecuación diferencial encontrando soluciones generales para cada una de las tres regiones, I (t 0), II (0 ≤ t ≤ t1) y III (t t1) y conectarlas mediante condiciones de contorno adecuadas. Las condiciones de contorno pueden establecerse por razonamientos fı́sicos analizan- do los elementos del circuito capaces de almacenar energı́a, capacidades y autoinduc- ciones, ya que son estos elementos los que están asociados a los operadores integrales o diferenciales. En el circuito serie nos encontramos una autoinducción que forzará a la intensidad a tomar valores continuos ya que cualquier discontinuidad en la misma darı́a lugar a una caı́da de tensión infinita. De la misma forma, el condensador del circuito paralelo fuerza la continuidad de la tensión de salida, puesto que, para producir un salto brusco de esta tensión, harı́a falta una intensidad infinita. En ambos casos tendremos la condición de contorno: x(t) =continua. Considere que, sin embargo, la respuesta a un impulso es discontinua en t = 0; esta respuesta se debe a una entrada de amplitud infinita lo que en la práctica sólo puede tomarse como idealización de un pulso alto y estrecho.
- 562. e-34 Podemos ahora analizar cuantitativamente el comportamiento de estos circuitos: En la región I la entrada e(t) = 0, por lo que, como en el problema anterior, x1(t) = 0 En t = 0+ (t → 0, t 0), e(t) da un salto brusco de amplitud e0 que, dada la continuidad de x(t), no podrá aparecer como un salto brusco de esta variable. En el circuito serie, todo el salto de tensión aparecerá sobre la autoinducción L, con lo que x(0+) = 0 , µ d x d t ¶ 0+ = e0 τ es decir, al principio de la región II x(t) empieza a crecer desde el valor cero con una pendiente e0 τ . Conforme transcurre el tiempo x(t) y la velocidad de crecimiento d x(t) d t = 1 τ (e0 − x(t)) µ d x d t ¶ 0+ se irán haciendo cada vez menores, terminando el proceso cuando x(t) = e0. Realmente, aunque x(t) → e0, dada la entrada propuesta, no se alcanza este limite porque para t t1 e(t) = 0 y la velocidad de variación de x(t) d x(t) d t = − x(t) τ 0 se hace negativa, por lo que x(t) empezará ahora a decrecer, cada vez más lentamente, hasta que x(t) = 0, para t = ∞. Analizada cualitativamente la respuesta de estos circuitos pasaremos a la resolución de la ecuación diferencial correspondiente al primer circuito. v(t) R = i(t) + τ d i(t) d t La solución general de esta ecuación, ig, puede expresarse como la suma de la solución general de la homogénea, igh más una solución particular de la completa, ip. ig(t) = igh(t) + ip(t) La homogénea, i + τ d i d t = 0, admite una solución de la forma igh(t) = A ebt donde b es solución de la ecuación caracterı́stica. Esta se obtiene substituyendo la solu- ción en la ecuación diferencial y teniendo en cuenta que A ebt 6= 0. Luego τ b + 1 = 0 ⇒ b = − 1 τ Por tanto: igh(t) = A e− t τ
- 563. e-35 La solución general de la ecuación homogénea tiene la forma de un decrecimiento exponencial. Busquemos ahora una solución particular de la ecuación completa. Para 0 t t1 la ecuación tiene la forma V0 R = i(t) + τ d i(t) d t Probemos como solución particular ip = cte. Por substitución se comprueba que ip = V0 R . La solución general de la ecuación completa será ig(t) = A e− t τ + V0 R Para hallar la solución concreta i2(t) en la zona II, será necesario determinar el valor de la constante A, lo cual se logra aplicando la condición de continuidad de la intensidad (x(t) = i(t)) que se ha razonado anteriormente: i1(0+) = i2(0−) ≡ lı́m t→0, t0 i2(t) ⇒ A = − V0 R por lo que i2(t) = V0 R ³ 1 − e− t τ ´ -1 1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 V /R 0 t t=0 i(t) I III II t ∆ Figura E.38: La solución en esta zona tiende a V0 R . En un instante determinado i(t) difiere de dicho lı́mite en una cantidad ∆ = i(∞) − i(t) = e− t τ Dicha diferencia, según puede verse en la figura E.38, es del orden del 5 % para t ' 3τ y del 1 % para t ' 5τ. En la zona III (t t1), la ecuación tiene la forma 0 = i(t) + τ d i(t) d t
- 564. e-36 cuya solución es del tipo i3(t) = A0 e− t τ Aplicando la condición de continuidad en t = t1 i2(t1) = i3(t1) ⇒ A0 = V0 R ³ e− t1 τ − 1 ´ e i3 = V0 R ³ e− t1 τ − 1 ´ e− t τ La figura E.38 muestra gráficamente el resultado. De lo anterior resulta que, una vez pasado el transitorio, para t τ, la autoin- ducción no presenta resistencia al paso de la corriente. Esto concuerda con la expresión de la impedancia, ZL = jω L, porque para una tensión constante, lo que corresponde a una frecuencia nula, ω = 0 ⇒ ZL = 0. En la figura E.39 se representa la caı́da de tensión en R y en L. vR(t) = V0 ³ 1 − e− t τ ´ para 0 t t1 V0 ³ e− t1 τ − 1 ´ e− t τ para t t1 vL(t) = V0 e− t τ para 0 t t1 −V0 ³ e− t1 τ − 1 ´ e− t τ para t t1 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0.5 1 I II III t t=0 v(t) v v -V V t 1 1 R L 0 ∆ Figura E.39: En el circuito paralelo RC, la solución es v(t) = I0 ³ 1 − e− t τ ´
- 565. e-37 Circuitos serie RC y paralelo RL. C v(t) v(t) L i(t) i(t) R R Figura E.40: Se trata, como en el caso anterior, de dos circuitos duales. Tomaremos como refe- rencia al primer circuito, en el que la intensidad cumple la siguiente ecuación v(t) R = i(t) + 1 R C Z t 0 i dt + V0C R V0C es el valor inicial VC(0) de la caı́da de tensión del condensador. Esta ecuación tiene la forma e(t) = x(t) + 1 τ Z t 0 x dt + K0 aplicable a ambos circuitos. En este caso e(t) = v(t) R , x(t) = i(t) , τ = R C , K0 = V0C R Derivando la ecuación anterior y multiplicando por τ, se tiene que τ d e(t) d t = τ d x(t) d t + x(t) Si tomamos la misma entrada del problema anterior, habrá que resolver la ecuación en las tres regiones, figura E.41-a. En todas las regiones el término independiente d e(t) d t = 0, salvo en las fronteras, en las que es singular. Efectivamente, como se muestra en la figura E.41-b, d ve(t) d t = V0 {δ(t) − δ(t − T)} Luego las soluciones en el interior de dichas regiones son del tipo x1 = A1 e− t τ , x2 = A2 e− t τ , x2 = A3 e− t τ Por razones ya expuestas en el apartado anterior A1 = 0 ⇒ x1(t) = 0. Debemos, por lo tanto, determinar A2 y A3 fijando condiciones de contorno adecuadas en t = 0 y t = T. Puesto que el sistema es de primer orden, sólo necesitamos una condición de contorno en cada uno de estos puntos. Una forma de implementar estas condiciones es la siguiente:
- 566. e-38 (b) t=0 I II III t=T t 0 V v(t) oo oo (t-T) −δ (t) δ e t=0 I II III t=T (a) Figura E.41: En el primer circuito, cualquier discontinuidad ∆V en la tensión de entrada debe aparecer necesariamente a través de la resistencia puesto que, como hemos visto, la tensión a través del condensador es necesariamente continua. En el segundo, la intensi- dad que circula por la autoinducción es continua, por lo que cualquier salto brusco de intensidad ∆I debe aparecer en la resistencia. Volviendo al primer circuito para t = 0 , ∆v = +V0 , ∆x = ∆i = i2(0) − i1(0) = V0 R para t = T , ∆v = −V0 , ∆x = i3(T) − i2(T) = −V0 R Dado que i1(0) = 0 i2(0) = V0 R = A2 de lo que se deduce que i2(t) = V0 R e− t τ , i3(t) = V0 R ³ 1 − e−T τ ´ e− t τ La figura E.42 representa a este resultado. E.8.2. Respuesta en frecuencia de los circuitos de primer orden En este apartado tomaremos como ejemplo los filtros de paso alta y de paso baja. Filtros de paso alta; diferenciadores de baja frecuencia. En la figura E.43 se representan dos circuitos de este tipo. Podemos representar los circuitos por un bloque cuya función de transferencia T(s) = T(jω) = T(ω) describe la respuesta en frecuencia del sistema, es decir, la relación entre
- 567. e-39 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0.5 1 0 R V0 R -T/ t (e −1) t T V i(t) Figura E.42: T(s) Ve L Ve Vs C R R Vs (s) e X (s) s X Figura E.43: su entrada Xe(s) y su salida Xs(s). Esta es una función racional compleja definida como la razón entre los fasores que representan respectivamente a la señal de salida y a la de entrada. T(s) = Xs(s) Xe(s) En nuestro problema T(s) = Vs Ve = Z2 Z1 + Z2 Para el primer circuito T(s) = R 1 C s + R = RC s 1 + RC s = τ1 s 1 + τ1 s , τ1 = RC Para el segundo T(s) = τ2 s 1 + τ2 s , τ2 = L R En definitiva, la función de transferencia de estos circuitos es T(s) = τ s 1 + τ s Obtenemos, por tanto, una función que tiene un cero simple en s = 0 y un polo simple en s = −1 τ .
- 568. e-40 Otras formas de escribir la función son T(s) = j ωτ 1 + j ωτ = j ω ωc 1 + j ω ωc donde ωc = 1 τ es la frecuencia de corte, para la cual |T| = 1 √ 2 . Por último, introduciendo una frecuencia normalizada u ≡ ω ωc tenemos T(s) = j u 1 + j u = r u2 1 + u2 , .π 2 − artg u -1 0 1 x=log u 45 90 -1 -0.5 0 0.5 1 x=log u -20 -10 10 20 T Db ϕ ο y=20 x y=-20 x Figura E.44: En la figura E.44 se representa el diagrama de Bode 7 de esta función de transferencia, el cual describe la respuesta en frecuencia de los circuitos. Vemos que el circuito atenúa las frecuencias bajas y deja intactas a las altas que se transfieren sin atenuación ni desfase. Estos circuitos, como el RL de la figura E.45, actúan como diferenciadores a baja frecuencia. Supongamos que |i| |τ d i d t | ⇒ |VR| |VL| Si tomamos para i la forma senoidal i = I0 cos ωt, la condición anterior se concreta en d i d t = −I0 ω sen ωt ⇒ I0 I0 ωτ ⇒ ω ωc 7 Véase el apéndice G.
- 569. e-41 L v (t) e v (t) s R Figura E.45: por lo que el circuito actúa como un diferenciador en la zona de bajas frecuencias. Supuesto que el espectro de ve(t) está limitado por una frecuencia superior ωmax , por encima de la cual el espectro sea despreciable y tal que ωmax ωc, i(t) ' ve(t) R ⇒ vs(t) ' τ d ve(t) d t Filtros de paso baja; integradores de alta frecuencia. Análogamente, circuitos, como los dos equivalentes de la figura E.46, nos filtran las frecuencias bajas. (b) v (t) e v (t) s v (t) e v (t) s R C L R (a) Figura E.46: Para el circuito RC Vs = Ve 1 1 + j u , u = ω ωc , τ = RC ⇒ T(u) = 1 1 + j u = 1 √ 1 + u2 , /artg u El diagrama de bode correspondiente viene dado en la figura E.47. Estos circuitos, al contrario que los anteriores, dejan inalteradas a las frecuencias bajas mientras que atenúan y desfasan a las altas. De ahı́ su nombre de filtros de paso baja. También se les llama integradores de alta frecuencia, puesto que integran a una señal de entrada ve(t) cuyo contenido espectral por debajo de una frecuencia ωmin sea
- 570. e-42 -1 0 1 x=log u -45 -90 -1 0 1 x=log u -20 -10 -3 T Db Figura E.47: despreciable y tal que ωmin ωc. Efectivamente vs = vC0 + 1 C R t 0 i(t) dt ve = i R + vC0 + 1 C R t 0 i(t) dt ⇒ ve−vC0 R = i + 1 τ R t 0 i(t) dt Tomando señales armónicas i(t) = I0 cos ωt R i(t) dt = I0 ω sen ωt ⇒ ω ωc ⇒ vs(t) = vC0 + 1 τ Z t 0 (ve − vC0) dt E.8.3. Transitorios en circuitos de segundo orden Como ejemplos de circuitos de segundo orden, analizaremos a los serie RLC y parale- lo RLC de la figura E.48. Estos circuitos son duales, como se comprueba aplicando las reglas enumeradas anteriormente. Solución general de las ecuaciones.
- 571. e-43 (b) v (t) e C R L C e(t) i s v (t) L R i s (a) Figura E.48: La ecuación del primer circuito es ve(t) = is(t) R + L d is(t) d t + vC0 + 1 C Z t 0 is(t) dt y para el segundo ie(t) = vs(t) R + C d vs(t) d t + iL0 + 1 L Z t 0 vs(t) dt Como es fácil comprobar, estas dos ecuaciones son análogas y podemos expresarlas de forma general mediante la ecuación e(t) = d x(t) d t + 2δ ω0 x(t) + ω2 0 Z t 0 x(t) dt + K donde ω0 es la frecuencia de resonancia y δ, magnitud adimensional, la razón de amor- tiguamiento. Para uno y otro circuito e(t) = ve(t) L , circuito serie ie(t) C , circuito paralelo , x(t) = is(t) , circuito serie vs(t) , circuito paralelo ω0 = 1 √ LC , δ ≡ 1 2Q = R 2 q C L , circuito serie 1 2R q L C , circuito paralelo Q es el llamado factor de calidad o factor Q del circuito. Si derivamos la ecuación general obtenemos d e(t) d t = d2 x(t) d t2 + 2δ ω0 d x(t) d t + ω2 0 x(t) (E.38) donde el segundo término del segundo miembro representa al efecto disipativo y el tercero al resonante. Fijémonos en el primer circuito y supongamos una señal de entrada de tipo escalón, como la mostrada en la figura E.49. Obsérvese que para esta entrada d e(t) d t = V0 L δ(t)
- 572. e-44 II t 0 V v(t) t=0 I Figura E.49: Puesto que d e d t = 0 para t 0 y para t 0, puede tomarse como solución particular de la ecuación no homogénea a xpnh = 0. Si b1 6= b2 xg(t) = A1 eb1 t + A2 eb2 t (E.39) Si, por el contrario, ambas raı́ces degeneran en una sola (b1 = b2 = b), es necesario buscar otra solución linealmente independiente. Esta es t eb t, con lo que xg(t) = A1 eb t + A2 t eb t (E.40) Condiciones de iniciales. Solución en cada uno de los casos. Puesto que el sistema es de segundo orden, necesitamos dos condiciones de contorno. Estas condiciones se deducen de la magnitud finita de la caı́da de tensión en la autoin- ducción y de la intensidad que carga al condensador. La primera condición implica la continuidad de la intensidad y la segunda la continuidad de vc(t). La primera condición se traduce en la continuidad de x(t) x(0+) = x(0−) Para t 0, por las razones ya expuestas en la sección anterior, x1(t) = 0, por lo que x2(0+) = 0 (E.41) La segunda implica que las posibles discontinuidades de la tensión de entrada sólo pueden aparecer en la resistencia o en la autoinducción ve = vR + vL + vC , ∆vC = 0 ⇒ ∆ve = ∆vR + ∆vL Sin embargo, ∆i = 0 ⇒ ∆vR = R ∆i = 0 ⇒ ∆ve = ∆vL Siguiendo con el primer circuito, en t = 0 ∆ve = ve(0+) − ve(0−) = V0 = L µ d i d t ¶ 0+
- 573. e-45 lo que se traduce en la condición µ d x d t ¶ 0+ = E0 = V0 L (E.42) De la condición E.41 y de E.39 se deduce que, para b1 6= b2 A1 = −A2 = A y para b1 = b2, E.40, A1 = 0 , A2 = A y de E.42 A = E0 b1−b2 para b1 6= b2 A = E0 para b1 = b2 La solución para t 0 es, por lo tanto, x(t) = E0 b1−b2 ¡ eb1 t − eb2 t ¢ para b1 6= b2 x(t) = E0 t eb t para b1 = b2 (E.43) Para encontrar b1 y b2 deberemos resolver la ecuación caracterı́stica b2 + 2δ ω0 b + ω2 0 = 0 cuyas raı́ces son b1 = −δ ω0 + ω0 √ δ2 − 1 b2 = −δ ω0 − ω0 √ δ2 − 1 (E.44) La figura E.50 describe la evolución de las raı́ces en el plano complejo al variar continuamente el valor de δ. Para valores δ 1, ambas raı́ces son reales, b1 1 y b2 1. Conforme δ disminuye, éstas migran a lo largo del eje real hasta unirse cuando δ = 1. A partir de este punto, ambas raı́ces se separan, a lo largo del cı́rculo de radio ω0, manteniendo una relación de conjugación compleja, y la evolución termina cuando δ = 0, en cuyo caso ocupan posiciones simétricas en el eje imaginario. Podemos, pués, distinguir tres casos según el valor de δ: 1. Sistema sobreamortiguado. δ 1. Las raı́ces son reales y distintas, b1, b2 0 , |b1| ω0 |b2|. Empleando la notación τ ≡ −1 b , la solución toma la forma x = A ³ e − t τ1 − e − t τ2 ´ = E0 ω0 √ δ2 − 1 e−ω0 δ t senh ³ ω0 p δ2 − 1 ´
- 574. e-46 b 1 =b2 ( ), δ=1 b 1 b 2 b 2 ω0 ω0 ω0 δ 0 ω 1−δ2 δ 1 b 1 δ 0 Im (s) α= δ=0 ω δ=0 1 = Re(s) δ 0 Figura E.50: 2. Sistema crı́ticamente amortiguado. δ = 1. Las raı́ces son iguales; caso degenerado. Ahora b1 = b2 = −ω0. Anotando τ0 ≡ 1 ω0 , la solución general debe escribirse como x = A t e − t τ0 = E0 t e−ω0 t En la figura E.51 se representan las respuestas en los casos anteriores. La del sistema crı́ticamente amortiguado es la que más rápidamente tiende a cero sin oscilar. 3. Sistema débilmente amortiguado . δ 1. En este caso las raı́ces son complejas, conjugadas una de otra (b1 = b∗ 2), y pueden escribirse de la forma b1 = −α + j ω1 b2 = −α − j ω1 donde α = δ ω0 , ω1 = ω0 p 1 − δ2 Nótese que, como se indicó en el comentario de la figura E.50 |b1| = |b2| = ω0 La caı́da de tensión en la resistencia del circuito serie es vR(t) = i(t) R = x(t) R = V0 2δ √ 1 − δ2 e−αt sen ω1 t
- 575. e-47 2 4 6 8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 -1 -0.5 0.5 1 2 -t/ τ e 0 -t/ τ e 1 -t/ τ e 2 t t x(t) Α −Α Ε τ 0 0 t x(t) δ=1 δ1 i’ Cr tico τ Amortiguado 1 τ Figura E.51: Para la capacidad y la autoinducción vC(t) = 1 C Z t o i(t) dt , vL(t) = L d i(t) d t luego vL(t) = − V0 √ 1−δ2 e−αt sen (ω1 t − ϕ) vC(t) = V0 h 1 − 1 √ 1−δ2 e−αt sen (ω1 t + ϕ) i , ϕ = artg √ 1 − δ2 δ Como se observa en las figuras E.52, la caı́da de tensión máxima entre dos puntos del circuito puede sobrepasar al valor de pico de la excitación. En el caso de la respuesta a una entrada escalón, para sistemas análogos al pro- puesto, es conveniente definir un parámetro que nos mida este exceso. Se define el sobredisparo como s0 ≡ Vmax − V0 V0 y se puede demostrar que s0 = e − π δ √ 1−δ2
- 576. e-48 5 10 15 20 25 0.5 1 1.5 2 5 10 15 20 25 -1 -0.5 0.5 1 5 10 15 20 25 -1 -0.5 0.5 1 L(t) vC(t) Vmax V0 t t vR v (t) Figura E.52:
- 577. e-49 E.8.4. Respuesta en frecuencia de sistemas de segundo orden Analizaremos la respuesta en frecuencia del circuito serie RLC, representado en la figura E.53. I C R V L V L R C V e V Figura E.53: La función de transferencia para la tensión en la resistencia puede expresarse de la forma TR(s) = VR Ve = 2δ s ω0 s2 ω2 0 + 2δ s ω0 + 1 Esta función tiene, por lo tanto, un cero en s = 0 y dos polos. En función de la frecuencia normalizada u ≡ ω ω0 TR(u) = 2δ ju 1 − u2 + 2δ ju = 2δ u p (1 − u2)2 + (2δ u)2 , Á π 2 − artg 2δ u 1 − u2 Otra expresión útil es en función de Q = 1 2δ TR(u) = 1 q Q2 (1 u − u)2 + 1 , Á π 2 − artg u Q (1 − u2) De esta última expresión se deduce que |TR(u)| tiene un máximo para la frecuencia de resonancia u = 1 (ω = ω0), la cual corresponde con un máximo de la intensidad, y de VR, y un mı́nimo de la impedancia serie (Zmin = ZR), tal y como puede verse en la figura E.54. Aún podemos dar otra expresión normalizada de la función de transferencia en función de ∆ ≡ ω−ω0 ω0 = u − 1 TR(u) = 1 r 1 + h Q ∆ ³ ∆+2 ∆+1 ´i2 , Á π 2 + artg ∆ + 1 Q ∆ (∆ + 2) Para pequeñas desviaciones de la resonancia (∆ 1) TR(u) ' 1 q 1 + (2Q ∆)2 , Á π 2 + artg 1 2Q ∆
- 578. e-50 (Z) Im (Z) Re(Z) ZC ZL ZC ZL u=1 u1 ZR Z ZR Z (a) (b) Im (Z) Re(Z) ZL ZC u1 ZR Z Im (c) (Z) Re Figura E.54: Finalmente, cambiando la notación x = 2Q ∆, obtenemos las expresiones simétricas respecto al punto x = 0 TR(u) ' 1 √ 1 + x2 , Á π 2 + artg 1 x que describe adecuadamente el comportamiento del sistema para frecuencias próximas a la de resonancia. Estas funciones están representadas en la figura E.55. -5 -1 1 5 x -90 -45 45 90 -5 -1 1 5 x ¨ T¨ ∆ 2 |T| ϕο ∆ 1/ 2 ∆ -3 Db 1 Figura E.55: Se define la frecuencia de corte a 3 Db, como aquella para la cual TR cae 3 Db por debajo de su valor resonante, es decir, para x = 1. ∆1 = − 1 2Q = −δ , ∆2 = δ
- 579. e-51 y la anchura de banda como B ≡ f2 − f1 = 2 (f2 − f0) = 2δ f0 = f0 Q (E.45) Vemos, pués, que el ancho de banda del circuito es inversamente proporcional al factor de calidad del mismo. En la figura E.56 se representa el diagrama de Bode de TR(u). La curva resultante es simétrica respecto a ω0. -1 0 1 x=log u -90 -45 45 90 -1 0 1 x=log u -40 -20 20 T Db ϕ ο 0.1 10 u 1 Figura E.56: La función de transferencia para el condensador es TC(u) = 1 1 − u2 + 2δ ju = 1 p (1 − u2)2 + (2δ u)2 , Á −artg 2δ u 1 − u2 El diagrama de Bode correspondiente se muestra en la figura E.57 Por último, la función de transferencia para la autoinducción es TL(u) = −u2 1 − u2 + 2δ ju = u2 p (1 − u2)2 + (2δ u)2 , Á π − artg 2δ u 1 − u2 El diagrama de Bode correspondiente viene dado por la figura E.58
- 580. e-52 -1 0 1 x=log u -180 -90 -1 0 1 x=log u -40 -20 20 T Db ο ϕ 1 10 u 0.1 Figura E.57: -1 0 1 x=log u 180 90 -1 0 1 x=log u -40 -20 20 T Db ο ϕ 1 10 u 0.1 Figura E.58:
- 581. e-53 E.9. Problemas e-1. Represente en el plano complejo los siguientes números complejos. Exprese cada uno de ellos en forma polar, exponencial y trigonométrica: z = 2 − 2j , z = 3 + 8j , z = −5 + 3j , z = −4 − 4j4 z = 5 , z = 6j , z = −4 , z = −5j e-2. Escriba en forma R + j I los siguientes números complejos: z = 15 ej π/4 , z = 5 e2 j π/3 , z = −18 e3 j π/2 e-3. Efectue la operación que se indica: a) z = 3 − 4j. Halle z z∗ (z∗ es el complejo conjugado de z). b) z = 20 /53◦. Halle z + z∗. c) z = 10 / − 40o. Halle z z∗. d) z = 2,5 e−j π/3. Halle z z∗. e) z = r /θ. Halle z/z∗. e-4. Halle las raı́ces que se indican de los siguientes números complejos: z = (1) 1 4 , z = (5 − 8j) 1 2 , z = (150 / − 60o) 1 2 , z = (27 e−3j π/2 ) 1 3 e-5. Lleve a cabo las siguientes operaciones entre números complejos: z = (−5 + 5j) − (7,07 /135◦) , z = (3 − 2j)(1 − 4j) , z = (5 + 5j) (1 − j) e-6. Considere un dinamómetro, consistente en un muelle ideal con fricción, que cuelga de un punto fijo P. Halle: a) El circuito mecánico equivalente cuando de él cuelga una masa M 8. b) Un circuito eléctrico que responda a la misma ecuación diferencial. e-7. En un medio viscoso se suelta una masa M cuya constante de fricción con el medio es ν. Halle: a) La velocidad de caı́da. b) Un fenómeno eléctrico análogo. Solución: Supuesto que la masa se suelta en t = 0, la fuerza, tal y como se indica en la figura E.59b, es una función escalón F(t) = Mg u(t). Tomando el eje 8 En los circuitos mecánicos lineales, la fricción es representada por el amortiguador, un elemento de dos terminales, x = 0 y x = x, tal que F(x) = −f vx(x)
- 582. e-54 F t=0 t V0 g M g M (a) (b) (c) y=0 y L i(t) R Figura E.59: y como se indica en la figura E.59a, la ecuación del movimiento queda de la forma F = M g − ν v = M d v d t ⇒ d v d t + 1 τ v = g , τ ≡ M ν La solución requiere la aplicación de la condición de contorno v(0+) = v(0−) puesto que la fuerza aplicada es finita. Sumando la solución gene- ral de la ecuación homogénea con una particular y aplicando la condi- ción inicial, se tiene que v(t) = vlim ³ 1 − e− t τ ´ siendo vlim = lı́mt→∞ v(t) la velocidad lı́mite de caı́da en un fluido viscoso. Este problema tiene su análogo en el del circuito serie RL, alimentado por un escalon de tensión, mostrado en la figura E.59c e-8. Para cada uno de los elementos o asociación de elementos de la figura E.60: a) Determine su impedancia. b) Calcule las tensiones e intensidades indicadas cuando i(t) = I0 cos ωt. Rep- resentelas gráficamente. c) Concrete los resultados del apartado anterior para el caso en que I0 = 1 A, ν = 1 KHz, R = 1 KΩ, L = 1 mH y C = 1 µF. e-9. La diferencia de potencial aplicada a la asociación RLC en paralelo de la figura E.61 es v(t) = V0 sen ωt. Halle la intensidad de corriente que circula por cada rama ası́ como la intensidad total iT . e-10. Dados los circuitos de la figura E.62, halle: a) El diagrama de fasores para las frecuencias, f1 = 20 KHz, f2 = 100 KHz, f3 = 500KHz. Represente en el plano complejo Ve, VR1, VL, VC, VR2, I1, 12.
- 583. e-55 i(t) C + v (t) - L + v (t) - R + v (t) - L i (t) R + v (t) - R i (t) C + v (t) - R i (t) R + v (t) - L i (t) L + v (t) - C + v (t) - C + v (t) - R + v (t) - C + v (t) - L i(t) i(t) i(t) i(t) i(t) i(t) + v (t) - R + v (t) - Figura E.60: + R i (t) C i (t) L i(t) - v(t) i (t) Figura E.61: b) i1 (t) e i2 (t) para las frecuencias f1, f2 y f3. c) i1 (t), i2 (t), vL (t) y vC (t) cuando ve (t) = V0 u(t). d) Lo mismo, para f = f3, cuando ve (t) = V0 u(t) cos ω t. C v (t) e v (t) e + - + - + - 1 + v (t) - R1 + v (t) - R2 R 1 R 2 v (t) L v (t) C (a) (b) i (t) 2 i (t) L Figura E.62: e-11. En el circuito de la figura E.63 halle: a) i(t) para f1 = 100 Hz, f2 = 2 KHz y f3 = 10 KHz, cuando ve(t) = 10 cos ωt V . b) i(t) cuando ve = 10 u(t) V . c) i(t) cuando ve = 10 u(t) cos ω t V . e-12. El circuito de la figura E.64 representa a una sonda atenuadora interpuesta entre los nudos A y B de un circuito y los terminales de entrada de un osciloscopio.
- 584. e-56 R C v (t) e + - i(t) R L Figura E.63: Halle la condición necesaria para que vs (t) = K ve (t), donde K es una constante de atenuación independiente de la frecuencia. De esta forma, la señal de entrada del osciloscopio tiene exactamente la misma forma que la que se quiere medir ¿Cuál es el valor de la constante de atenuación? 1 2 I3 I4 Z s o D Sonda Circuito a medir Osciloscopio A B Z 0 I I − R 1 C1 R 2 C2 v (t) e v (t) + Figura E.64: Solución: El circuito de la figura es un divisor de tensión entre las impedancias de la sonda Zs y del osciloscopio Zo Zs = R1 1 + j ω τ1 , Zs = R2 1 + j ω τ2 donde τ1 = R1 C1 y τ2 = R2 C2 son las constantes de tiempo de cada una de las impedancias La función de transferencia es T(ω) = Ve(ω) Vo(ω) = Z2 Z1 + Z2 = R2 1 + j ω τ2 R1 1 + j ω τ1 + R2 1 + j ω τ2 Obviamente, la condición necesaria para que T 6= T(ω) es que τ1 = τ2 ⇒ K = R2 R1 + R2
- 585. e-57 La sonda se calibra mediante el ajuste del condensador variable C1 de forma que al medir un pulso rectangular de prueba, su aspecto en la pantalla sea lo mas próximo posible a este último. e-13. Halle vs(t) en el circuito de la figura E.65 cuando ve(t) = k t u (t). R e + - + - v (t) s L v (t) Figura E.65: e-14. Halle vs(t) para el circuito de la figura E.66 con la entrada especificada en la misma. 2 e + - + - v (t) s v (t) e R C R V t=0 t=t t=t t 0 1 v (t) Figura E.66: e-15. Halle vs(t) para el circuito de la figura E.67 con la entrada especificada en la misma. L e + - + - v (t) s v (t) e C R V t=0 t 0 v (t) Figura E.67: e-16. Halle la intensidad que circula por un circuito serie RLC, cuando ve (t) = 100 sen (500 t + π/4) u (t) V . e-17. Demuestre que los valores máximos de la tensión en la autoinducción L y el con- densador C de un circuito serie RLC se dan para las frecuencias ωL = ω0 √ 1 − 2 δ2 , ωC = ω0 p 1 − 2 δ2
- 586. e-58 e-18. Demuestre que el sobredisparo de la tensión en el condensador de un circuito serie RLC es s0 = exp µ − π δ √ 1 − δ2 ¶ e-19. En el circuito de la figura E.68, halle: a) La frecuencia a la cual Vs esta en fase con Ve. b) La relación que debe existir entre sus componentes para que, a la frecuencia del apartado anterior, se verifique que Vs = 1 3 Ve. 2 e + - + - v (t) s C R C R1 2 1 v (t) Figura E.68: e-20. En el circuito de la figura E.69, halle la intensidad que circula por la impedancia Z. Ω + - Z=3+4j 20 10 5j 2,5j 10 0 o V Ω Ω Ω Ω Figura E.69: e-21. En el circuito de la figura E.70, halle la amplitud que debe tener la fuente de tensión V2: para que la caı́da de tensión en la resistencia de 4 Ω sea nula. o + - + - V2 5 4 3 2j -5j V Ω Ω Ω Ω Ω 5 0 Figura E.70: e-22. Para los circuitos de las siguientes figuras E.71, halle: a) La frecuencia de resonancia y el factor de calidad Q.
- 587. e-59 b) vs (t) cuando ve(t) = v1 (t) · v2(t), siendo v1(t) = 10 cos ω1 t V y v2 (t) = cos ω2 t V , con ω1 = 5 × 104 rad · s−1 y ω2 = 106 rad · s−1. C e + - + - v (t) s L C R v (t) e + - + - v (t) s (a) (b) R L v (t) Figura E.71: Solución: b) Descomponga la señal de entrada en suma de funciones armónicas puras y aplique el principio de superposición lineal. e-23. En el circuito de la figura E.72 R∗ = R + ∆ R , ∆ R ¿ R. Determine la relación aproximada entre Vs Ve y ∆ R. Este puente de resistencias sirve para medir la desviación de una resistencia determinada con respecto a su valor nominal R. R* V V − + − R R R e s + Figura E.72: e-24. En el circuito de la figura E.73 R3 es variable. Demuestre que la amplitud de Vs no depende del valor de R3 mientras que su fase es función del valor de es- ta resistencia. Dibuje un diagrama fasorial de las tensiones que aparecen en el circuito. Solución: Las dos ramas de la derecha son divisores de tensión V1 Ve = 1 2 , V2 Ve = j u 1 + j u donde u ≡ ω R∗C Operando y teniendo en cuenta que Vs = V2 − V1, tenemos que
- 588. e-60 V 1 2 R* V C e s R R + − − + Figura E.73: Vs Ve = −1 + j u 2(1 + u2) = 1 2 , / − artg u Gráficamente podemos verlo mediante la representación en la figura E.74 del diagrama fasorial de Ve, Vs, V1, V2 y VC. Analice este diagrama. Im(V) s VC Ve V1 V2 Re(V) V Figura E.74: e-25. Demuestre que en los circuitos de la figura E.75 Q = 2π µ hWai hWdi ¶ ω=ω0 donde hWai es la energı́a media almacenada en el condensador y la autoinducción yhWbi la energı́a media disipada en el circuito durante un periodo. e-26. Halle la intensidad que circula por el condensador del circuito de la figura E.76. e-27. La figura E.77 representa el modelo equivalente de un segmento de guı́a de onda sin pérdidas que está cortocircuitada en su extremo. Resulta de la división de la misma en pequeños tramos de longitud ∆z ¿ λ, donde λ es la longitud de onda de la señal que se propaga por la guı́a, y su modelado mediante una autoindución en serie L ∆z y una capacidad en paralelo C ∆z. Los parámetros L y C son la
- 589. e-61 R e + - C (a) (b) R L C e i (t) L v (t) Figura E.75: - L R C v (t) i (t) 1 2 R + Figura E.76: autoindución y la capacidad por unidad de longitud de la guı́a y la longitud de la onda que se propaga por la misma es λ = 2π ω √ LC 9. Escriba un programa numérido que resuelva el cicuito para hallar las intensidades Ii que circulan por cada uno de los tramos y las tensiones Vi correspondientes. Represente estas variables, mediante una pelı́cula, en función del tiempo. Tóme los siguientes valores normalizados: L = n ∆z = 1.2 λ, L = C = 1, ω = 2π, V0 = 1. Este problema constituye la base del método numérico de ’Modelado por Lı́neas de Transmisión’ (TLM) para la solución de las ecuaciones de onda. Solución: 2 V i+1 V V i V 1 V 2 I I I I z i n−1 i−1 i i+1 n+1 n I n i+1 I 1 1 n+1 V V e I 2 n C − + − + + − ∆ ∆z C ∆z C z + z ∆ L ∆z − + − + − + − + L ∆z L ∆z z Figura E.77: Sea ve(t) = V0 cos ω t. A cada tramo i = 1 · · · n de guı́a le corresponde una malla que está reco- rrida por la intensidad Ii. La primera incluye a la fuente de tensión V0, 9 Véase B. Garcı́a ’Fundamentos de Electrodinámica’.
- 590. e-62 conocida, y la última está cortocircuitada en su extremo. Para hallar las intensidades de malla será necesario plantear y resolver el sistema de ecuaciones de las mallas del circuito. En particular, para la (i) −ZC Ii−1 + (ZL + 2ZC) Ii − ZC Ii+1 = 0 o, de otra forma, −XC I∗ i−1 + (2XC − XL) I∗ i − XC I∗ i+1 = 0 XC = 1 ω C ∆z , XL = ω L ∆z , I∗ i = −j Ii por lo que el sistema de ecuaciones puede ser escrito con coeficientes reales. (XC − XL) I∗ 1 −XC I∗ 2 = V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −XC I∗ i−1 +(2XC − XL) I∗ i −XC I∗ i+1 = 0 → 1 i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −XC I∗ n−1 +(XC − XL) I∗ n = 0 El sistema de ecuaciones es de tipo tridiagonal (la matriz de los coefi- cientes es tridiagonal) a1 I∗ 1 −b1 I∗ 2 = V1 −c2 I∗ 1 +a2 I∗ 2 −b2 I∗ 3 = V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −ci I∗ i−1 ai I∗ i −bi I∗ i+1 = Vi → 1 i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −cn−1 I∗ n−2 +an−1 I∗ n−1 −bn−1 I∗ n = Vn−1 cn I∗ n−1 +an I∗ n = Vn En nuestro caso a1 = an = XC − XL , ai = 2 XC − ZL para 1 i n , ci = bi = b = XC V1 = V0 , Vi = 0 para i 1 (E.46) Si XC XL, los coeficientes a, b y c son positivos.
- 591. e-63 Este tipo de sitema de ecuaciones puede resolverse mediante el método de eliminación de Gauss (sin pivotación) 10. Método de eliminación de Gauss (sin pivotación): Este método consiste en la eliminación sucesiva de una variable en cada una de las ecuaciones i = 2, · · · , n, con ayuda de la ecuación anterior, reduciéndo el número de incógnitas respectivas a dos, salvo en la última en la que se resuelve I∗ n. Con este fin anotaremos a1 = α1 , V1 = ν1 Si se despeja I∗ 1 de la primera ecuación, se elimina de la segunda y se generaliza el resultado, se tiene que αi I∗ i − bi I∗ i+1 = νi αi = ai − ci αi−1 bi−1 , νi = Vi + ci αi−1 νi−1 (E.47) 11 El resultado es una matriz triangular superior (Aij = 0 para i j) de la forma α1 I∗ 1 −b1 I∗ 2 = ν1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . αi I∗ i −bi I∗ i+1 = νi → 1 i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . αn I∗ n = νn Este sistema de ecuaciones se resuelve calculando las I∗ i en sentido in- verso 12 I∗ n = νn αn I∗ i = νi αi + bi αi I∗ i+1 , i = n − 1, · · · , 1 (E.48) donde I∗ i+1 ya ha sido calculada. 10 Véase M. Gasca. ’Cálculo Numérico’ 11 Nótese que d no se modifica, que a y V son los valores de las constantes iniciales y que α y ν son sus modificaciones. El método puede acumular errores grandes si αi toma valores excesivamente pequeños. 12 Los sistemas de ecuaciones en los que la matriz de los coeficientes es triangular se resuelven de forma similar a la que se describe a continuación.
- 592. e-64 Por último Ii = j I∗ i , Vi = (I∗ i−1 − I∗ i ) Xc para 1 i ≤ n (E.49) y, pasando al dominio del tiempo, ii(t) = I∗ i sen ω t vi(t) = (I∗ i−1 − I∗ i ) XC cos ω t Programa Mathematica prob − teocir − guia.nb: (Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”]; $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; Especificamos los datos numéricos de frecuencia ω, autoinducción por unidad de longitud Ll, capacidad por unidad de longitud Cc y amplitud de la tensión de entrada V1 ω = 2π; Ll = 1; Cc = 1; V1 = 1; número de segmentos n en que se divide la longitud de la guı́a y número de fotos nn que se tomará para hacer la pelı́cula. n = 50; nn = 160; A continuación definimos las magnitudes derivadas que se utilizan en el programa: periodo T, longitud de onda λ, longitud de la lı́nea Lo, longitud del segmento ∆z, reactancias Xl y Xc y coeficientes del sistema de ecuaciones a1, an, ai y b. T = 2π ω ; λ = 2π ω √ Ll ∗ Cc ; Lo = 1.25 ∗ λ; ∆z = Lo n ; Xl = ω ∗ Ll ∗ ∆z; Xc = 1 ω ∗ Cc ∗ ∆z ; a1 = Xc − Xl; an = a1; ai = 2Xc − Xl; b = Xc; Definimos las matrices iniciales que guardarán los valores de los coeficientes α = (αi) y ν = (νi), las intendidades Ise(I∗ i ) y las gráficas de intensidad grizt y de tensión grvzt a lo largo de la lı́nea y para cada fotograma de la pelı́cula. α = Table[ai, {i, 1, n}]; α[[1]] = a1; α[[n]] = an; ν = Table[0, {i, 1, n}]; ν[[1]] = V1; Ise = Table[0, {i, 1, n}];
- 593. e-65 grizt = Table[0, {i, 1, nn}]; grvzt = Table[0, {i, 1, nn}]; Calculamos los coeficientes αi y νi teniendo en cuenta que ci = bi = b. Do[α[[i]] = α[[i]] − b2 α[[i − 1]] , {i, 2, n}]; Do[ν[[i]] = ν[[i]] + b ∗ ν[[i − 1]] α[[i − 1]] , {i, 2, n}]; Calculamos las amplitudes de las intensidades de malla I∗ i . Ise[[n]] = ν[[n]] α[[n]] ; Do[Ise[[i]] = ν[[i]] α[[i]] + b α[[i]] Ise[[i + 1]], {i, n − 1, 1, −1}]; Situamos a las intensidades de malla ii(t) en el centro de dichas mallas y las guardamos en vectores {(i − 1 2 ) ∗ ∆z, I∗ i ∗ cos(2π t T )}. Todos ellos se guardan en la función temporal izt[t ]. izt[t ] := Table[{(i − 1 2 ) ∗ ∆z, Ise[[i]] ∗ Sin[2π ∗ t T ]}, {i, 1, n}]; y algo semejante se hace con las tensiones vi(t) en cada uno de los nudos (V1 = 1 y Vn+1 = 0). vzt[t ] = Table[If[i == 1, {0, Cos[2π ∗ t T ]}, {(i − 1) ∗ ∆z, (Ise[[i − 1]] − Ise[[i]]) ∗ Xc ∗ Cos[2π ∗ t T ]}], {i, 1, n}]; vzt[t ] = Append[vzt[t], {Lo, 0}]; A continuación se generan los gráficas de la intensidad y la tensión que se in- cluirán en cada fotograma, sin mostrarlas. El ı́ndice i da valores al tiempo y el k ordena a los fotogramas. k = 0; Do[{k = k + 1, grizt[[k]] = ListPlot[izt[i], PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], PlotRange → {{0, 1.25}, {−1, 1}}, GridLines → {{1, 1.25}, {−1, 1}}, PlotJoined → True, DisplayFunction → Identity]}, {i, 0, T − T nn , T nn }];
- 594. e-66 k = 0; Do[{k = k + 1, grvzt[[k]] = ListPlot[vzt[i], PlotStyle → RGBColor[0, 0, 1], PlotRange → {{0, 1.25}, {−1, 1}}, GridLines → {{1, 1.25}, {−1, 1}}, PlotJoined → True, DisplayFunction → Identity]}, {i, 0, T − T nn , T nn }]; Concluimos mostrando las graficas de la intensidad y la tensión, conjuntamente. Do[Show[grizt[[k]], grvzt[[k]], DisplayFunction → $DisplayFunction], {k, 1, nn}] Una vez generados los fotogramas, éstos pueden agruparse haciendo doble ’clic’ sobre el paréntesis 0]0 que abarca a todas las figuras, el segundo desde el interior de la celda, y volviendo a realizar esta operación sobre la propia figura. Dos de estos fotogramas están representados en las figuras E.78, la del potencial en azul y la de la intensidad en rojo. 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1 (a) (b) Figura E.78: Lo que se ve es una onda estacionaria, resultante de la interferencia de la onda que viaja hacia el final de la guı́a con la reflejada en dicho extremo. La onda total no se propaga sino que ambas variables oscilan con nodos y vientres fijos. Dado que la lı́nea está cortocircuitada, la tensión en dicho extremo es nula y la intensidad máxima (figura E.78a). Entre ambas variables existe un desfase tem- poral y espacial tal que los nodos de una coinciden con los vientres de la otra
- 595. e-67 y en el instante en que una alcanza su valor máximo, la otra es nula (figura E.78b). La energı́a cambia de localización pero no se disipa. Cuando la intensidad es máxima la energı́a está asociada exclusivamente al campo magnético producido por las autoinducciones. Cuando es máxima la tensión la energı́a ha pasado a los condensadores y está asociada al campo eléctrico existente en su interior. En los demás casos, la energı́a es parcialmente eléctrica y magnética. En definitiva, la guı́a propuesta es un circuito resonante sin pérdidas. Este modelo es válido también para el problema análogo de incidencia normal de una onda plana sobre la superficie plana de un conductor ideal y las conclusiones son asimismo análogas. e-28. Halle el valor de la impedancia de carga Zc del circuito de la figura E.79 para que la energı́a disipada en la misma sea máxima.¿Qué pasa con las impedancias que están en paralelo con la fuente de tensión ve(t)? R v (t) e + - Z c C R R R L Figura E.79: V A B Z I T R R L R + − Figura E.80: Solución Para que la potencia disipada en la impedancia de carga sea máxima ésta ha de ser el complejo conjugado de la thevenin del circuito marcado por la lı́nea de puntos en la figura E.79. Para calcular ZT cortocircuita- mos la fuente independiente y calculamos la impedancia entre los nudos A y B, de acuerdo con la figura E.80.
- 596. e-68 ZT = Z1||R , Z1 = R + Z2 , Z2 = R||ZL donde el sı́mbolo A||B indica que la impedancia A está en paralelo con la B. Programa Mathematica impedancia − paralelo − serie.nb: Remove[”Global‘ ∗ ”]; Definimos una función para calcular la asociación paralelo de dos impedancias. Zp[A , B ] = A ∗ B A + B ; Escibimos la impedancia de la autoinducción como ZL = jX Z1 = Zp[R, i ∗ X]; Z2 = R + Z1; ZT = Simplify[ComplexExpand[Zp[R, Z2]]] Para calcular la impedancia de carga tomamos los valores R = X = 1 Zc = Conjugate[ZT/.{R → 1, X → 1}]//N e-29. Halle la máxima potencia media que se le puede sacar a la fuente de la figura E.81 si la carga es una resistencia pura variable. 1 - R c F µ 10 cos 10 t 3 1 K Ω + Figura E.81: e-30. Halle la intensidad que pasa por la rama de impedancia Z0 del circuito de la figura E.82 mediante el método de mallas. e-31. Halle la intensidad que pasa por la rama de impedancia Z0 del circuito de la figura E.83 utilizando el método de nudos.
- 597. e-69 3 - V Z Z Z Z Z 0 1 2 4 + Figura E.82: I Z 0 Z Z Z Z 1 2 4 3 Figura E.83: C I A B L R L Figura E.84:
- 598. e-70 e-32. Halle, mediante el análisis de nudos, la admitancia de entrada ( admitancia entre los nudos A y B del circuito a su derecha) del circuito de la figura E.84. e-33. Halle, mediante el análisis de mallas, la impedancia de entrada ( impedancia entre los nudos A y B del circuito a su derecha) del circuito de la figura E.85. Compare los resultados con los obtenidos en el problema anterior. V A B L R L C + - Figura E.85: e-34. Haga uso del análisis de mallas, del de nudos, del principio de superposición y del teorema de Thevenin para hallar la intensidad que pasa por la resistencia del circuito de la figura E.86. V L R C + - + - V Figura E.86: e-35. Halle el equivalente Thevenin y Norton de los circuitos de la figura E.87. e-36. En el circuito de la figura E.88 la frecuencia de ambas fuentes es de 100 Hz. Halle la potencia suministrada a la resistencia R2 en los siguientes casos: a) Calculando el equivalente Thevenin desde los nudos A − B. b) Aplicando sucesivamente los teoremas de Thevenin y Norton hasta reducir el circuito a una sola malla. e-37. En el circuito da la figura E.89 calcule la intensidad que pasa por el condensador y la caı́da de tensión en los extremos de la resistencia R0.
- 599. e-71 (c) - V + - V + - V + - A B A B (b) (a) C C R R V Z Z Z Z Z Z + - + - R1 R2 R3 + - V A B C L V V R1 R2 1 2 C B A L + - V A B C R R R R 1 2 3 4 R 5 L1 6 (f) + - V Z Z Z Z 1 2 4 3 (e) (d) + Figura E.87: - 2 R R 1 L L C V I1 1 2 2 D’ D + Figura E.88: 0 + - V I I2 1 R R R C L Figura E.89:
- 600. e-72
- 601. Apéndice F Elementos de cuato terminales. Transistores bipolares y de efecto de campo F.1. Elementos de cuatro terminales A continuación se definen los elementos de cuatro terminales de más interés. También se conocen como cudripolos o elementos de dos puertas: la (1, 10) o puerta de entrada y la (2, 20) o puerta de salida. Entre los pasivos citaremos al transformador ideal que, como ya hemos visto, trans- forma intensidades y tensiones pero suministra a la salida la misma potencia que recibe en la entrada. El transformador real, por el contrario, disipa y almacena energı́a. 2’ i 2 i 1 v 1 v 2 1 2 1’ Figura F.1: Las variables de salida de un transformador ideal, figura F.1, son proporcionales a las variables de entrada. v2 = a v1 i2 = −1 a i1 a = N2 N1 (F.1) La potencia de entrada Pe = v1 i1 = Ps = −v2 i2 f-1
- 602. f-2 es igual a la potencia de salida. Entre los cuadripolos activos citaremos a las fuentes ideales controladas o fuentes dependientes. Son fuentes que definen una relación entre dos variables: una de salida (dependiente o controlada) y otra de entrada (independiente o de control). Los tipos más simples de fuentes controladas son: - Fuente de tensión controlada por una tensión (tensión - tensión), figura F.2. 2’ 1 v e 1’ v e A v 2 vs Figura F.2: vs(t) = Av ve(t) (F.2) donde Av es la ganancia de tensión. - Fuente de intensidad controlada por una tensión (tensión - intensidad), figura F.3. 2’ 1 v e 1’ is v e Y 2 Figura F.3: is(t) = Y ve(t) (F.3) donde Y es la transadmitancia. - Fuente de tensión controlada por una intensidad (intensidad -tensión), figura F.4. 1 e i e i Z 2 vs 2’ 1’ Figura F.4: vs(t) = Z ie(t) (F.4) donde Z es la transimpedancia.
- 603. f-3 - Fuente de intensidad controlada por una intensidad (intensidad - intensidad), figura F.5. 1 i is e i A i 2 2’ 1’ e Figura F.5: is(t) = Ai ie(t) (F.5) donde Ai es la ganancia de intensidad. Los correspondientes modelos reales, de tipo lineal, se obtienen de los anteriores añadiendo elementos pasivos lineales no nulos. Veremos a continuación como, bajo cier- tos condicionamientos, de un dispositivo fı́sico tal como el transistor bipolar o el de efecto de campo, que fı́sicamente son no lineales y que tienen tres terminales, pueden obtenerse modelos lineales de cuatro terminales. F.2. Transistores bipolares y de efecto de campo Un transistor bipolar real, véase la figura F.6-a, es un elemento con tres puntos fı́sicos de conexión ( patas) que corresponden a los tres terminales denominados emisor E, base B y colector C. Lo discutiremos en su configuración de emisor común , figura F.6-b 1, en la que se consideran cuatro terminales, dos de los cuales, uno de entrada y otro de salida, son comunes y corresponden al emisor. - CE iC i B vBE iC v BC E i E - (a) + B + - - E E C (b) B C i B v vBE CE + + + - v Figura F.6: 1 La dirección de la flecha grande en el emisor corresponde al transitor tipo n − p − n.
- 604. f-4 Como se deduce de las leyes de mallas y nudos vBE = vBC + vCE iB = −iE − iC En general, el comportamiento de este sistema puede caracterizarse por dos fun- ciones no lineales, ejemplos de las cuales se representan en las curvas caracterı́sticas paramétricas de la figura F.7 ( los subı́ndices con letras mayúsculas indican que las señales correspondientes no están limitadas en amplitud). (V) 5 10 0 50 100 150 2 4 vCE (V) ( A) µ I B I (mA) C vCE (V) ( A) µ I B 5 10 0 50 100 150 v 0.1 0.2 BE Figura F.7: Si las variaciones de las señales son pequeñas, podemos linealizar estas relaciones: dvBE = ∂ vBE ∂ iB diB + ∂ vBE ∂ vCE dvCE diC = ∂ iC ∂ iB diB + ∂ iC ∂ vCE dvCE De manera que, cambiando la notación vbe ≡ dvBE , ic ≡ diC , ib ≡ diB , vce ≡ dvCE hie ≡ ∂ vBE ∂ iB , hre ≡ ∂ vBE ∂ vCE , hfe ≡ ∂ iC ∂ iB , hoe ≡ ∂ iC ∂ vCE se obtienen las relaciones lineales entre los parámetros de pequeña señal del transistor vbe = hie ib + hre vce ic = hfe ib + hoe vce Matricialmente vbe ic = (hij) · ib vce donde (hij) son los parámetros h del transistor bipolar. De aquı́ se deduce el circuito lineal equivalente para pequeña señal de la figura F.8.
- 605. f-5 c + - h revce v + - v E C hfei b h 1 oe v + - ce i B E h ie be b i Figura F.8: Casi siempre se puede tomar hre = 0. En los casos más simples basta con suponer que 1 hoe → ∞ y hie = 0. Teniendo esto en cuenta y escribiendo β ≡ hfe, queda un circuito simplificado, figura F.9, correspondiente a una fuente de intensidad controlada por intensidad. be v + - v + - i c C i B b i b i c C B E i b β i b β ce v E E Figura F.9: El transistor efecto campo (FET) puede tratarse de forma similar a la utilizada para el bipolar. Las tres patas del FET son la puerta (G → ’ gate’), la fuente (S → ’ source’) y el sumidero(D → ’ drain’). Aquı́ se considerará en la configuración de fuente común, tal como se representa en la figura F.10-a. d d - + v + - v + - D S ds d i v vgs µ v + - vgs g vgs rd (b) G S gs (c) i v + - D S G S ds d (a) g s + - - i v + v i G S S D i gs ds r Figura F.10: No obstante, por presentar una impedancia muy grande entre los dos terminales de entrada (G y S), no puede ser descrito adecuadamente mediante los parámetros h. El circuito equivalente de fuente común es el representado en la figura F.10-b y c. El primero de estos circuitos corresponde a una fuente de tensión controlada por tensión; µ es la ganancia de tensión y rd la resistencia de sumidero, normalmente pequeña. El segundo, que se obtiene del anterior mediante la substitución de la fuente de tensión por otra de intensidad, corresponde a una fuente de intensidad controlada por tensión, siendo g = µ rd .
- 606. f-6 F.2.1. Análisis de circuitos con fuentes dependientes Ilustraremos con sendos ejemplos como se aplican los análisis de mallas y de nudos en el caso de que existan fuentes dependientes. Análisis de mallas : Sea el amplificador de la figura F.11a, cuyo circuito equivalente se representa en la figura F.11b. 1 Z 2 G D rd I 1 I 2 e S µ V gs Circuito equivalente V (b) Z 3 Ve Z1 Z 2 G D S Z 3 (a) Z Figura F.11: Planteemos la ecuación matricial µ Ve −µ Vgs ¶ = µ Z1 + Z3 −Z1 −Z1 Z1 + Z2 + rd ¶ · µ I1 I2 ¶ El problema no está resuelto aún, pues en el primer miembro figura Vgs que es una variable dependiente. El paso fundamental de este tipo de problemas es establecer la ecuación que relaciona a esta variable con las incógnitas del problema. En este caso es Vgs = I1 Z3. Por lo tanto µ Ve −µ Vgs ¶ = µ Ve 0 ¶ + µ 0 −µ Vgs ¶ = µ Ve 0 ¶ + µ 0 −µ Z3 I1 ¶ | {z } (A) La matriz (A) puede escribirse de la forma (A) = − µ 0 0 µ Z3 0 ¶ · µ I1 I2 ¶ por lo que, pasándola al segundo miembro, las ecuaciones de malla quedan de la forma µ Ve 0 ¶ = µ Z1 + Z3 −Z1 µ Z3 − Z1 Z1 + Z2 + rd ¶ · µ I1 I2 ¶ de la cual ya es inmediato obtener I1 e I2. Observemos que ahora la matriz (Yij) ya no es simétrica.
- 607. f-7 (b) B E Ve C R B R E R C Ib β Ib h ie h oe 1/ Circuito equivalente Ve B C R B R E R C E (a) Figura F.12: Análisis de nudos : Sea el amplificador de la figura F.12a, cuyo circuito equivalente se representa en la figura F.12b. Substituiremos la fuente de tensión por una fuente de intensidad, tal como se muestra en la figura F.13. C b β Ib e V oe Y ie Y YB YB B E C Y Y E I Figura F.13: En este caso tenemos tres nudos, por lo que necesitaremos tres ecuaciones. Las incógnitas son las tensiones de los nudos VB, VC y VE con respecto al nudo común (tierra). Como en el caso anterior, el paso fundamental es encontrar la relación entre la intensidad de base IB y las incógnitas: IB = Yie (VB − VE). La ecuación matricial resultante serı́a Ve YB 0 0 = 0 −β Yie (VB − VE) β Yie (VB − VE) + (Yij) · VB VE VC = = 0 0 0 −β Yie β Yie 0 β Yie −β Yie 0 + (Yij) · VB VE VC
- 608. f-8 F.3. Problemas f-1. Haciendo uso del circuito equivalente simplificado del transistor bipolar, halle el equivalente Thevenin de los circuitos de la figura F.14 desde los nudos A y B. A E C B + - R 1 R2 ve E C B + - B R 1 R2 ve A B R3 (a) (b) Figura F.14: f-2. Halle el equivalente Thevenin desde los nudos A y B de los circuitos de la figura F.15. Utilice los circuitos equivalentes simplificados del transistor bipolar y del FET. A + - R 1 ve S G D A R2 (a) B + - R 1 ve R2 (b) B S G D A E C B R2 + - ve R 1 B (c) E C B Figura F.15: f-3. El circuito de la figura F.16 representa al esquema básico de un amplificador diferencial, el cual está diseñado para trabajar con señal pequeña. Halle v = v01 − v02 en función de ve1 y ve2. Se supone que los transistores son idénticos. Haga uso del circuito equivalente simplificado del transistor bipolar. Solución: Para hallar la solución, substituiremos entre los nudos E B, y C, el circuito equivalente de la figura F.17a. Ası́ mismo, substituiremos las fuentes de cada una de las entradas, junto con su resistencia de salida R1, por su fuente equivalente de intensidad. El circuito resultante se representa en la figura F.17b. Como esta figura corresponde a un mode- lo de señal pequeña, la fuente de alimentación de continua se convierte en un cortocircuito. Dicho circuito sólo tiene dos nudos, el de tierra B y el A cuyo potencial lo escribiremos como vA.
- 609. f-9 3 5 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 3 1 2 3 R 4 1 2 R v01 v 02 v v e1 e2 E E E C B B B C C + − + − Figura F.16: A ib1 ib2 ib3 B1 E1 C1 B2 E2 C2 B3 C3 ib1 ib2 (b) β β β E3 R R R R R R B A v B E C (a) β i b i c v01 2 1 i 1 v02 2 4 3 b Figura F.17:
- 610. f-10 Queremos expresar v en función de las tensiones de entrada ve1 y ve2. De acuerdo con el circuito v = β (1b1 − ib2) R2 Como se marca en la figura, las intensidades de base ib circulan entre los nudos B y E. Aplicando la ley de nudos a los B, se tiene que ib1 = i1 − vA R1 , ib2 = i2 − vA R1 donde, por la regla de equivalencia entre fuentes de tensión e intensidad i1 = ve1 R1 , i2 = ve2 R1 por lo que v = β R2 R1 (ve1 − ve2) Como puede verse, la rama asociada al transistor T3, enmarcada con lı́neas discontinuas, no juega ningún papel en el funcionamiento de pequeña señal. En realidad, su función es la de suministrar una po- larización en corriente continua a los otros dos transistores.
- 611. Apéndice G Sistemas lineales. Diagramas de Bode G.1. Sistemas lineales G.1.1. Ecuaciones de un circuito Dado un circuito, la aplicación de las leyes de Kirchhoff nos permitirá obtener ecua- ciones lineales en derivadas totales y con coeficientes constantes y reales que expliquen el comportamiento del mismo. Una vez elegido un numero adecuado de variables indepen- dientes yi(t), que consideraremos como entradas o excitaciones del circuito, o sistema, podemos obtener relaciones de éstas con una serie de variables dependientes xi, que consideraremos como respuestas o salidas. En el caso más simple, figura G.1, pero sin pérdida de generalidad, tendremos una sola entrada y una única salida. lineal y(t) x(t) Sistema Figura G.1: La relación entre una y otra vendrá dada por la ecuación diferencial LA x(t) = LB y(t) Donde LA y LB son operadores lineales con coeficientes constantes de orden n y m respectivamente. · an dn dtn + · · · + a0 ¸ | {z } LA x(t) = · bm dm dtm + · · · + b0 ¸ | {z } LB y(t) (G.1) g-1
- 612. g-2 Puesto que y(t) es una señal conocida, aplicándole LB , tenemos LA x(t) = ξ(t) (G.2) donde ξ(t) = LB y(t) es también conocida. Luego, para hallar x(t), debemos resolver una ecuación de orden n, lo que hace necesario especificar n condiciones iniciales. Diremos que n es el orden del sistema. G.1.2. Respuesta transitoria y estacionaria Como es bien conocido, la solución general de G.2 es del tipo xg(t) = xgh(t) + xpnh(t) donde xgh es la solución general de la ecuación homogénea y xpnh la particular de la ecuación no homogénea. Esta última se halla por cualquiera de los procedimientos usuales. La solución general de la homogénea podemos escribirla de la forma xgh(t) = n X i=1 Ai esi t donde si, i = 1 · · · n son las raı́ces de la ecuación caracterı́stica an sn + · · · + a0 = n Y i=1 (s − si) = 0 Como ya sabemos, estas raı́ces son, en general, complejas si = αi + j βi y, puesto que los coeficientes ai son reales, las raı́ces si pueden aparecer como reales o como pares de raı́ces complejas conjugadas. Si definimos las constantes de tiempo del sistema como τi ≡ − 1 αi , la respuesta será de la forma x(t) = n X i=1 Ai e − t τi ej βi t + xpnh(t) (G.3) Las constantes Ai quedan determinadas por las condiciones iniciales. Si las constantes de tiempo son positivas (τi ≥ 0, αi ≤ 0), el sistema se dice que es estable. Si para alguna raı́z τi 0, el sistema es inestable. Es evidente que, puesto que en un sistema inestable la salida puede crecer indefinidamente aunque la entrada y(t) = 0, los sistemas pasivos deben ser inherentemente estables. La figura G.2 resume gráficamente todo ésto representando a las raı́ces en el plano complejo s. La entrada y la salida de un sistema real deben tener comienzo y final y, si las variables correspondientes están asociadas, como en nuestro caso las tensiones e inten- sidades, a transvases de energı́a, deberán ser de cuadrado sumable, es decir, deberán
- 613. g-3 i i s2 s3 s4 s 5 s6 α= R [s] β= I [s] ´ ´ estables inestables ces Ra ces Ra s1 Figura G.2: 1 2 3 4 5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 x(t) t y(t) Figura G.3:
- 614. g-4 corresponder a energı́as finitas. En los circuitos pasivos, para los que la relación entre entrada y salida debe ser causal, la salida no podrá nunca preceder a la entrada. De G.3 se deduce que, si se deja transcurrir un tiempo t τmax mucho mayor que la máxima constante de tiempo del sistema, de la respuesta del mismo desaparecen los términos exponenciales. Llamaremos respuesta estacionaria a xe(t) = x(t τmax) A la primera parte de la respuesta se le suele calificar como respuesta transitoria Comúnmente se restringe el término de respuesta estacionaria al caso en que y(t), como se muestra en la figura G.4, es el producto de una función armónica por la función escalón unitario u(t). y(t) = Y0 cos(ω t + α) u(t) 2 4 6 8 10 -1 -0.5 0.5 1 t u(t) y(t)=cos ω t . u(t) t Figura G.4: En este caso, una solución particular adecuada para la región t 0 es xpnh(t) = X0 cos(ω t + δ) que también es la solución estacionaria. xe(t) = X0 cos(ω t + δ) X0 y δ se calculan, de forma fácil, pero engorrosa, sin más que aplicar LA a xe e identificar el resultado con ξ(t). La figura G.5 representa un ejemplo tı́pico de entrada y salida de un sistema lineal. Cuando x(t) e y(t) son transformables por Fourier, podemos obtener la respuesta del sistema hallando la transformada de ambos miembros de G.1 F [LA x(t)] = F [LB y(t)] Si empleamos la notación s ≡ j ω, la relación entre las componentes armónicas, transformadas de Fourier o densidades espectrales X(s) e Y(s), de la entrada y de la salida, puede escribirse X(s) = T (s) Y(s) (G.4) T (s) ≡ bm sm + · · · + b0 an sn + · · · + a0 (G.5)
- 615. g-5 5 10 15 20 25 30 -1 -0.5 0.5 1 e t x (t) Transitorio Respuesta estacionaria y(t) x(t) Figura G.5: T (s) es la función de transferencia del sistema y tiene la forma de función racional de la variable s 1. La solución del problema se obtiene hallando la transformada inversa de X(s) x(t) = F−1 [X(s)] G.1.3. Diagrama de Bode Los diagramas de Bode son representaciones logarı́tmicas del módulo y la fase de la función de transferencia que describen su dependencia de la frecuencia. Puesto que X(s) = T(s) Y (s) para obtener el módulo X0 y la fase δ de X(s), basta obtener el módulo y la fase de la función de transferencia y componerlos con los de Y (s). Si T(s) = |T| sjϕ ≡ |T|, /ϕ , Y (s) = Y0, /α ⇒ X(s) = X0, /δ = Y0 |T|, /α + ϕ Los módulos se multiplican y las fases se suman. En el caso de división de complejos, los módulos se dividen y las fases se restan. Ya disponemos de medios analı́ticos para el cálculo de |T| y ϕ pero, en muchos casos, basta con realizarlo gráficamente. Puesto que T(s) es una función compleja, mostraremos por separado su módulo y su argumento o fase. Una simple inspección de este diagrama puede darnos una visión muy amplia del comportamiento del sistema. En el primer diagrama se representa y1 = TDb ≡ 20 log |T| frente a x = log ω. TDb es, por definición, la expresión de la amplitud en Decibelios 2. 1 En general interesa interpretar a s como una variable compleja s = α + j β, con parte real 2 El término Deci tiene su origen en la definición de la medida de potencia en Decibelios: PDb ≡ 10 log |P|, siendo la potencia proporcional al cuadrado de la amplitud.
- 616. g-6 En el segundo, y2 = ϕ = /T frente a x = log ω. Si factorizamos las funciones polinómicas que aparecen en el numerador y denomi- nador de la función de transferencia, esta tendrá la forma T(s) = bm (s − z1) · · · (s − zm) an (s − p1) · · · (s − pn) (G.6) donde zi son los ceros y pj los polos de la función de transferencia. En nuestro caso, está claro que los coeficientes ai y bj son reales puesto que no son sino los de la ecuación correspondiente a un sistema real. Como un polinomio de coeficientes reales sólo puede tener raı́ces reales o complejas conjugadas, los ceros y los polos de nuestra T(s) serán reales o complejos conjugados. Las raı́ces complejas conjugadas se podrán poner en la forma sk = αk + j βk , sl = αk − j βk = s∗ k donde s∗ k es el complejo conjugado de sk. Luego, el producto del par conjugado toma la forma (s − zk) (s − zl) = s2 − 2s αk + |sk|2 E introduciendo las frecuencias de resonancia ωk ≡ |sk| y los factores de amortiguamiento δk = − αk ωk se tiene (s − zk) (s − zl) = s2 − 2δk ωk + ω2 k (G.7) Con esta notación y separando las raı́ces reales y complejas conjugadas, T(s) toma la forma T(s) = bm an sl Q i (s − zi) Q k (s2 − 2δk ωk + ω2 k) Q j (s − pj) Q r (s2 − 2δr ωr + ω2 r ) (G.8) donde i recorre los ceros reales j , , , , polos , , k , , , , ceros complejos y sus conjugados r , , , , polos , , , , , , , , l es el número de ceros en el origen, si es positivo, o el de polos en el origen, si es negativo. Es conveniente utilizar la función de transferencia normalizada. Para ello definimos las constantes de tiempo τ y las frecuencias de corte ωc τi ≡ − 1 αi ≡ + 1 ωci
- 617. g-7 con lo que T(s) = K sl Q i (1 + τi s) Q k ³ s2 ω2 k − 2δk s ωk + 1 ´ Q j (1 + τj s) Q r ³ s2 ω2 r − 2δr s ωr + 1 ´ (G.9) K se denomina ganancia de Bode. La función de amplitud es y1 = 20 log |T| = 20 log K + l log ω + X i log q 1 + τ2 i s2 − X j log q 1 + τ2 j s2 + + X k log sµ 1 − s2 ω2 k ¶2 + µ 2δk s ωk ¶2 − X r log sµ 1 − s2 ω2 r ¶2 + µ 2δr s ωr ¶2 (G.10) y la de fase y2 = ϕ = /K + l π 2 + X i artg(τi ω) − X j artg(τj ω) + + X k artg 2δk s ωk 1 − s2 ω2 k − X r artg à 2δr s ωr 1 − s2 ω2 r ! (G.11) Para la representación, o diagrama, de Bode es necesario dibujar cada uno de los términos de y1 e y2 y sumar. Interesa definir previamente unas unidades adimensionales que miden los intervalos de frecuencia. Ası́, pués, entre ω1 y ω2 se dice que hay un numero de Décadas : D12 ≡ log10 ω1 ω2 Octavas : O12 ≡ log2 ω1 ω2 Por ejemplo, entre ω1 y ω2 hay una década si ω2 = 10 ω1 o una octava si ω2 = 2 ω1. Veamos como se representarı́a cada uno de los sumandos de T(s). 1. Ganancia de Bode: T(jω) = K. K ⇒ y1 = KDb = 20 log |K| y2 = ϕ = /K = ½ 0 para K 0 π para K 0 (G.12) La figura G.6 representa el correspondiente diagrama de Bode
- 618. g-8 ω Db K0 K0 ϕ ο K ω x=log 180 x=log T Db Ganancia de Bode Figura G.6: -2 -1 0 1 2 x=log -90 90 180 -2 -1 0 1 2 x=log -40 -20 20 40 T Db Polos y ceros en el origen ο c ω ω u= l=2 l=1 l=-1 l=2 l=-1 l=1 0.01 0.1 1 10 100 u ϕ u Figura G.7:
- 619. g-9 2. Ceros y polos en el origen: T(jω) = (jω)±l. (jω)±l ⇒ y1 = TDb = ±20 l log ω = ±20 l x y2 = ϕ = /(jω)±l = ±l π 2 (G.13) y1(x) es una recta de pendiente ±20 l Decibelios por década, como se muestra en la figura G.7. 3. Ceros y polos de primer orden: T(jω) = (1 + jω τ)±1 = ³ 1 + j ω ωc ´±1 . µ 1 + j ω ωc ¶±1 ⇒ y1 = ±20 log r 1 + ³ ω ωc ´2 y2 = ±artg ³ ω ωc ´ (G.14) Las ası́ntotas y el punto central del diagrama son para ω ωc y1 = 0 y2 = 0 para ω = ωc y1 = ±20 log √ 2 = ±3 Db y2 = ±π 4 para ω ωc y1 = ±20 log ω ωc = ±(20 x − 20 log ωc) y2 = ±π 2 Las ası́ntotas de alta frecuencia, para la función amplitud, tienen una pendiente de ±20 Decibelios por década. Cuando no se necesita mucha precisión, el diagrama puede aproximarse por tramos rectos. Para y1, despreciando errores inferiores a 3 Db, pueden utilizarse las ası́nto- tas de baja y alta frecuencia. Para y2, en la zona alejada de la frecuencia de corte se aproxima por las ası́ntotas y en la cercana mediante un segmento recto. Según el caso pueden tomarse dos opciones, véase la figura G.8. a) Segmento que pasa por los puntos (ω = 0.1 ωc, y2 = 0), (ω = ωc, y2 = ± π 4 ), (ω = 10 ωc, y2 = ± π 2 ) b) Segmento que pasa por los puntos (x = 0.2, y2 = 0), (x = 1, y2 = ± π 4 ), (x = 2, y2 = ± π 2 ) Esta aproximación es tangente a la curva de fase en el punto central.
- 620. g-10 -2 -1 0 1 2 x=log u -90 -45 45 90 -2 -1 0 1 2 x=log u -40 -20 20 40 T Db Polos y ceros de primer orden Aproximaci n (a) ó Aproximaci n (b) ϕ 0.1 0.2 10 ο 5 o u ´ Figura G.8: 4. Ceros y polos de segundo orden: T(jω) = ³ 1 − ω2 ω2 0 + 2j δ ω ω0 ´±1 . µ 1 − ω2 ω2 0 + 2j δ ω ω0 ¶±1 ⇒ y1 = ±20 log r³ 1 − ω2 ω2 0 ´2 + ³ 2 δ ω ω0 ´2 y2 = ±artg à 2 δ ω ω0 1−ω2 ω2 0 ! (G.15) Las ası́ntotas y el punto central del diagrama son para ω ω0 y1 = 0 y2 = 0 para ω = ω0 y1 = ±f(δ) y2 = ±π 2 para ω ω0 y1 = ±40 log ω ω0 = ±(40 x − 40 log ω0) y2 = ±π 2
- 621. g-11 -2 -1 0 1 2 x=log u -180 -135 -90 -45 -2 -1 0 1 2 x=log u -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 T Db Polos de segundo orden 1 δ= 0.5 δ= 0−3 δ= 0−3 δ= 0.1 δ= 0.05 δ= 1 δ= 2 4 4 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 100 ϕ u ο δ= 0.5 δ= 0.707 δ= 0.05 δ= 0.1 δ= 0.707 δ= 2 δ= Figura G.9:
- 622. g-12 Como se ve en la figura G.9, en las cercanı́as de ω ∼ ω0 es necesario hacer una cor- rección en función de δ y las ası́ntotas de alta frecuencia, para la función amplitud, tienen una pendiente de ±40 Decibelios por década.
- 623. g-13 G.2. Problemas g-1. Halle los diagramas de Bode de amplitud y fase de las siguientes funciones de transferencia: a) T1 = 100 (1 + 0,1 s) s (s2 + 20 s + 104) , s ≡ jω b) T2 = 120 (s + 2) s2(s + 4)(s + 6) c) T3 = 1 + (jω/2) + (ω/2)2 jω (1 + jω/0,5)(1 + jω/4)
- 624. g-14
- 625. Apéndice H Introducción histórica Este es un libro de texto y los criterios empleados en su elaboración pretenden responder a éste carácter. Su orden y estructura están, hasta cierto punto, alejados de su posible génesis histórica; ni tan siquiera en la asignación de nombres propios, a conceptos y leyes, se pretende algún tipo de rigor o justicia históricos. Esto, que parece inevitable en un libro de esta naturaleza, tiene el inconveniente de enmascarar la visión del proceso por el cual los conceptos y teorı́as han ido formándose y evolucionando a través del tiempo como consecuencia de una continua e ingente labor de creación, verificación y desarrollo. Por otra parte, el uso de una argumentación y de un lenguaje depurados puede producir la impresión, superada la primera etapa de asimilación, de que los conceptos son más simples y definitivos de lo que realmente son. Para subsanar esta situación, el lector debe acudir a otras fuentes. La historia de la teorı́a del campo electromagnético que, como todas las historias, es controvertida, debe ser contada por especialistas pero creemos útil exponer aquı́ un breve resumen con el que ilustrar, de forma superficial, sin pretensiones de rigor, la génesis de dicha teorı́a. Aunque es poco asequible y contiene algún error notable, la primera fuente que deberı́a consultar quien desee ampliar y precisar conocimientos en este tema es el libro de Sir E. Whittaker [Whittaker]. Más asequible es el de [Berkson]. Comenzaremos, lo que constituye un lugar común, situando a los orı́genes de la electricidad y del magnetismo, como los de la mayorı́a de las ramas de la Ciencia, en la antigua Grecia. Se atribuyen a Tales de Mileto (640-546), como primer sabio de Grecia, los primeros estudios de la atracción de objetos ligeros por el ámbar frotado y del hierro por la piedra imán. Para Tales, todo el Universo es un organismo vivo, incluso su parte inanimada, como lo demuestran las acciones del ámbar y del imán: el imán tiene alma porque atrae al hierro. Precisamente, el ámbar (electrón) y la magnetita, procedente ésta última de la vecina región de Magnesia, dan origen a los nombres Electricidad y Magnetismo. Más adelante, Aristóteles (384-322), que abordó prácticamente todos los temas de su tiempo, propuso la adición de un quinto elemento, el éther, a los cuatro preconizados por Empédocles. Este ether, substrato universal, presunto soporte de la propagación de las interacciones, ha sido desterrado de las teorı́as fı́sicas actuales pero ha jugado un papel fundamental en la conformación de la teorı́a electromagnética. Hasta el siglo XIII de nuestra era no constan avances dignos de mención. Por entonces h-1
- 626. h-2 empiezan los mareantes mediterráneos a utilizar la aguja magnética, flotando sobre un corcho, como referencia de rumbo. Pedro de Maricourt , más conocido como Peter Peregrinus, monta la aguja sobre un pivote y le añade el cı́rculo graduado, dando lugar a la primera brújula. Hacia 1270, en carta a un amigo, describe sus esfuerzos por construir un móvil que aproveche la fuerza magnética, logro reservado a Faraday, y pone de manifiesto como los polos de un imán son inseparables y de naturaleza tal que se atraen entre contrarios y se repelen entre iguales. Construye una esfera de piedra imán y observa que las agujas magnéticas se alinean según los meridianos de la misma. No obstante, no acierta a identificar a la Tierra como a un imán. Realmente, el origen cientı́fico del electromagnetismo hay que situarlo en el siglo XVII con la publicación por William Gilbert, en 1600, de De Magnete Magneticisque Corporibus, et Magno Magnete Tellure ( Acerca del magnetismo, cuerpos magnéticos, y el gran imán Tierra) [Gilbert]. Construye, como Peregrinus, un imán esférico al que llama Terrella y descubre la declinación magnética que atribuye al hecho de que la Tierra es efectivamente un imán. Emplea por primera vez términos como atracción eléctrica, fuerza eléctrica y polo magnético que hoy son de uso cotidiano. Describe como substancias eléctricas a una serie de ellas que, como el ámbar, atraen a objetos poco pesados. En otra obra suya atribuye las órbitas planetarias a una cierta forma de magnetismo. Por último, no carece de interés el mencionar su demostración de que el ajo no destruye al magnetismo. A partir de Gilbert se genera un vivo interés por las experiencias de tipo eléctrico. El invento de máquinas electrostáticas, por Otto Von Guericke y otros, ası́ como el descubrimiento del condensador primitivo, la botella de Leyden, de incierto origen, permitieron disponer de cargas y tensiones mayores con que seguir experimentando. La conducción eléctrica es descubierta por Gray y, poco después, Desaguilier acuña los términos conductor y aislador. Hacia 1733, Du Fay (1698-1739) pone de manifiesto la existencia de fenómenos de repulsión. Reconoce la existencia de dos estados de electrificación, a los que nombra como vı́treo y resinoso, producidos por frotamiento en el vidrio y la resina, y que atribuye a la existencia de dos fluidos distintos. Cantón (1749) fabrica el primer imán artificial y relaciona las alteraciones de la orientación de la brújula con las auroras boreales intuyendo el mecanismo de lo que hoy conocemos como tormentas magnéticas. Podemos considerar que Benjamı́n Franklin (1706-1790) cierra una primera etapa del desarrollo de la electricidad. A él se debe el descubrimiento del poder de las puntas y la identificación del rayo y el trueno como grandes versiones de la chispa eléctrica y de su sonido. Ésto le lleva al invento del pararrayos. Su célebre experiencia de la cometa es un ejemplo de osadı́a cientı́fica pues, si bien salió ileso de la prueba, costó la vida a varios de sus imitadores. Por último, aunque era partidario de la teorı́a de fluido único, designó a los estados de electrificación con los signos (+) y (−) que, según él, denotan que un cuerpo está cargado en exceso, carga positiva, o por defecto, carga negativa, de un único fluido. Este convenio, aunque tampoco concuerda con la identificación del fluido único con los electrones de un metal, es el que subsiste hasta nuestros dı́as. La carga positiva ( vitrea) es la que será repelida por vidrio frotado con seda y la negativa la que lo será por el lacre frotado con piel de gato. Symmer (1759) y otros sostienen, sin
- 627. h-3 embargo, que la materia ordinaria es neutra por contener partes iguales de dos fluidos imponderables a los que califican como electricidad positiva y negativa. En una segunda etapa, desde Cavendish a Faraday, la electricidad y el magnetismo se hacen cuantitativos y sistemáticos, descubriéndose los fenómenos de acoplamiento que permiten fundir a estas dos disciplinas, hasta ahora independientes, en una sola: el Electromagnetismo. Cavendish (1731-1810) fue un extraordinario investigador y persona peculiar en ex- tremo. Descubrió leyes fundamentales que no llevan su nombre, como la de Coulomb y la de Ohm: su timidez y desinterés por publicar fueron tales que su obra sólo pudo conocerse plenamente cuando, después de su muerte, sus papeles fueron publicados por Maxwell. En 1767, Priestley deduce, por analogı́a con el fenómeno gravitatorio, que la inter- acción entre cargas debe seguir la ley del inverso del cuadrado de la distancia. En 1785, Charles Augustı́n Coulomb establece con precisión, en una extraordinaria experiencia, la ley que lleva su nombre, confirmando de esta manera las previsiones de Priestley. Hasta aquı́ hemos seguido el progresivo desarrollo de la electricidad no encontrando nada paralelo en el magnetismo. El rompimiento de esta situación se posibilita con el descubrimiento de los potenciales de contacto y, como consecuencia, de la pila voltaica por Alessandro Volta (1741-1827). Volta inventa también el electróforo, precedente in- mediato de los actuales condensadores. De la misma forma que las máquinas electrostáticas y la botella de Leyden per- mitieron el desarrollo de la electricidad, las pilas voltaicas, al poner a disposición del experimentador cantidades substanciales de corriente, permitieron el desarrollo del mag- netismo. I I N S N S Figura H.1: El descubrimiento, no casual, por Hans Christian Oersted (1777-1851) en 1819, de que una aguja magnética se alinea perpendicularmente a un hilo recto por el que pase una corriente, es decir, de la interacción entre corrientes e imanes, dio lugar a un resurgir en el estudio de los fenómenos magnéticos ( véase la figura H.1). Arago descubre que las corrientes atraen a las limaduras de hierro y que, además, son capaces de inducir el estado de imanación. Inmediatamente, André Marie Ampère (1775-1836) establece en 1820 la regla de la mano derecha, o regla del sacacorchos, según la cual, si un conductor que porte corriente se coge con la mano derecha de forma que el pulgar apunte en la dirección convencional de la corriente, del (+) al (−) de la pila, las lı́neas de fuerza magnética, cuya dirección viene determinada por la aguja magnética y
- 628. h-4 cuyo sentido es de sur a norte de la misma, rodean al hilo en el sentido indicado por el resto de los dedos( véase la figura H.2). I Figura H.2: Descubre también que no sólo tienen lugar interacciones entre imanes y entre corri- entes e imanes, sino que interacciones del mismo tipo se dan entre corrientes: dos espiras paralelas y coaxiales se atraen si son recorridas por corrientes en el mismo sentido y se repelen en caso contrario. Si, en esta última situación, a una de las espiras se le deja orientarse libremente, girará de forma que la corriente circule por ella en el mismo sentido que por la otra espira ( véase la figura H.3). Como concreción de estos hechos, generalizando a los elementos de corriente las nociones newtonianas de acción a distancia, aunque violando el principio de reacción, Ampère enuncia matemáticamente la ley de fuerzas entre corrientes. En esta ley se da la primera aplicación no trivial de las matemáticas al electromagnetismo y, aunque su validez se limita a corrientes cerradas, tiene el mismo rango de validez que la ley de Coulomb. I’ F F’ F F’ I I I’ Figura H.3: Como aportaciones adicionales de Ampère, no tan fundamentales como la anterior, pero importantes en todo caso, citaremos la concepción de los cuerpos imanados como conjunto de corrientes microscópicas permanentes, la construcción del primer solenoide y el invento del primer amperı́metro, el de tangentes, que mide la corriente por la desviación que produce, al pasar por una espira, en una aguja magnética que, a su vez, está sometida al campo magnético terrestre. Dentro de este periodo debemos dejar constancia del enunciado de la ley de Ohm (1787-1845) en 1827, aunque, como ya hemos dicho, habı́a sido descubierta, pero no publicada, por Cavendish. También debemos citar a Humphry Davy (1778-1829), no sólo por ser un gran cientı́fico y conferenciante en esta materia, iniciador de los estudios
- 629. h-5 de conducción en lı́quidos y gases, inventor de la lámpara de arco, sino por ser el in- spirador y maestro de Faraday, a quien contrató como ayudante de laboratorio, pero a quien no trató excesivamente bien; los celos profesionales le llevaron incluso a estorbar el nombramiento de Faraday como miembro de la Royal Society. Podemos presentar también a Davy como ejemplo de cientı́fico imprudente, como tantos otros, pues pro- baba y olı́a todos los productos quı́micos con los que experimentaba, como el gas de la risa, que descubrió. Murió a temprana edad de una probable intoxicación quı́mica. Con Michael Faraday (1791-1867) consideraremos cerrada una segunda etapa en la que la electricidad y el magnetismo se desarrollan casi por completo desde el punto de vista experimental y conceptual. En la siguiente, de Maxwell a Einstein, se com- pleta el cierre de la teorı́a, terminando el acoplo del campo eléctrico con el magnético, dándole la expresión formal y conceptual con que hoy lo presentamos y comprobando experimentalmente, como en la brillante experiencia de Hertz, las predicciones teóricas. La vida de Faraday es ejemplar desde el punto de vista cientı́fico y humano y su aportación al electromagnetismo, a la que sólo puede equipararse la de Maxwell, es fun- damental. Sus descubrimientos en este área de la Ciencia, la inducción electromagnética, el comportamiento dieléctrico y diamagnético de la materia, la rotación de Faraday del plano de polarización de la luz, etc. , están generados y presididos por una firme, aunque abierta, concepción del mundo en la que un continuo de lı́neas de fuerza, el mar o campo de fuerzas, constituye la única substancia fı́sica. Esta concepción, no exenta de ambigüedades y dificultades, permitirá a Maxwell y a sus sucesores desarrollar, en un proceso evolutivo, al electromagnetismo como la teorı́a clásica de campos que hoy conocemos. Haciendo una exposición simplista del tema, podemos dividir las concepciones del mundo en el siglo XIX en dos grupos: la concepción newtoniana y el conjunto de las no newtonianas; conviene advertir que Newton, en carta a un discı́pulo, expone serias dudas sobre la razonabilidad de dicha concepción ’newtoniana’. Los newtonianos ven al Universo como constituido por corpúsculos materiales, es- pacio vacı́o y fuerzas que actúan ’a distancia’, entre corpúsculos, de forma directa e instantánea. Las teorı́as no newtonianas niegan algún aspecto de la anterior, especialmente la existencia del vacı́o y de la acción a distancia. Descartes equipara a la materia con la extensión y explica la interacción como acción de contacto superficial. Leibnitz, que rechaza el vacı́o, asigna fuerzas repulsivas a todos los puntos de la materia, no sólo a las partı́culas de tamaño finito, para explicar la impenetrabilidad de los cuerpos. Para Kant, masa y extensión son equiparables, los cuerpos materiales son regiones continuas de fuerzas puntuales repulsivas, que ’llenan’ el espacio que ocupan y actúan sólo sobre los puntos de fuerza contiguos, y fuerzas atractivas que actúan a distancia y no ’llenan’ el espacio a través del que actúan. Faraday es firmemente antinewtoniano y su más claro precedente está en Oersted. Para este último, todos los tipos de interacciones son equivalentes y convertibles entre sı́ y a las básicas de atracción y repulsión. Su descubrimiento de la interacción entre corrientes e imanes es el resultado de su búsqueda de la conversión de la fuerza eléctrica en fuerza magnética. Esta búsqueda de lo que ahora llamarı́amos el Campo unificado, será también una constante en Faraday, quien intenta, repetidamente, demostrar la
- 630. h-6 equivalencia entre la fuerza magnética y la gravitatoria. A los 25 años, tres después de empezar su carrera cientı́fica, dice no atreverse a afirmar positivamente que la atracción de agregación y la afinidad quı́mica sean realmente lo mismo que la acción gravitatoria y la atracción eléctrica ’Pero tengo para mı́ que si... ’. Estas ideas las plasma en un oscuro pero fructı́fero principio de conservación de las fuerzas que luego encontrarı́a su concreción en los principios de conservación de energı́a y momento con Mayer, Helmholtz , Joule, Poynting, etc. Faraday cree en la substancialidad, o realidad, de las lı́neas de fuerza, que constituyen la única substancia fı́sica y que, en definitiva, el Universo es un inmenso mar, o campo, de fuerzas en el cual los puntos de fuerza actúan sobre los contiguos dando lugar a una propagación de las acciones. Faraday visualiza el ’conflicto eléctrico’ de Oersted como un continuo de lı́neas de fuerza que interpenetra al espacio circundante provocando un estado de tensión en la materia, la cual constituye unidad con la fuerza. Estas lı́neas de fuerza son móviles pero dotadas de una cierta ’pereza’ ( hoy dirı́amos ’inercia’), debido a lo cual la interacción lleva un tiempo: ’Me inclino a comparar la difusión de las fuerzas magnéticas, a partir de un polo magnético, con las vibraciones sobre la superficie del agua perturbada... . Me inclino a pensar que la teorı́a vibratoria se aplica satisfactoriamente a estos fenómenos igual que se aplica al sonido y, muy probablemente, a la luz.’ Junto con esta firme concepción, siempre abierta a las ideas ajenas, Faraday poseı́a una extraordinaria capacidad para pasar de la idea abstracta a la experiencia concreta sin ningún proceso intermedio matemático más allá del álgebra elemental. Efectiva- mente, era uno de los diez hijos de un herrero y ejercı́a de aprendiz de encuadernador cuando entró a trabajar como ayudante en el laboratorio de Davy. No tenı́a formación matemática ni cientı́fica previa y, salvo a las leyes de la electrolisis, no llegó a dar expre- sión cerrada a ninguno de sus descubrimientos. Esta laguna será cubierta por Maxwell. James Clerk Maxwell (1831-1879) es, en cierto modo, la antı́tesis y el complemento de Faraday; de familia aristocrática, poseı́a una extensa cultura y una sólida formación matemática que le permitió publicar su primer trabajo matemático a los catorce años. Basándose en la obra de Faraday pero modificando algunos conceptos e interpretaciones, Maxwell estructura matemáticamente la teorı́a electromagnética y la completa con la introducción de la corriente de desplazamiento. Maxwell justifica la concepción de acción contigua admitiendo la existencia de un medio, de caracterı́sticas muy peculiares, que actúa de soporte de dichas acciones. Este medio hipotético es el éther , el éther luminı́fero que ya se habı́a postulado para la propagación de la luz, del cual propone modelos complejos, sometidos a las leyes de la mecánica de Newton, que le permiten estructurar matemáticamente a la teorı́a electro- magnética. Como consecuencia del modelo propuesto aparece una corriente de desplaza- miento, asociada a los remolinos del éther, cuya importancia no reconoce hasta años más tarde, apuntando en su Tratado que esta es una de las principales peculiaridades de su teorı́a. Por analogı́a con la teorı́a elástica, en la que la velocidad de las ondas transversales es proporcional a la raı́z cuadrada del cociente entre rigidez y densidad del medio, Maxwell deduce que la velocidad de las ondas transversales que se propagan por el éther coinciden con la velocidad de la luz, lo que sugiere el carácter electromagnético de la misma. El modelo de éther empleado por Maxwell no era en modo alguno completo, pudiendo
- 631. h-7 decirse que era a un mismo tiempo fantástico e inverosı́mil. Dadas las dificultades que encuentra para construir un modelo fı́sicamente satisfactorio, opta por prescindir de él, aunque nunca deja de pensar que la verdadera explicación de sus ecuaciones debe residir en un mecanismo sometido a las leyes de Newton. Maxwell vuelve por fin a enunciar sus ecuaciones electromagnéticas con independen- cia de cualquier explicación mecanicista y comprueba directamente, a partir de ellas, que los campos cumplen una ecuación de onda en la que la velocidad de fase coincide con la velocidad de la luz. El carácter electromagnético de la luz fue puesto de mani- fiesto por Hertz , con sus experiencias de propagación de ondas electromagnéticas en 1887, y por Zeeman en 1896 al demostrar que existı́an cargas capaces de moverse con aceleración suficiente como para radiar dentro del espectro visible. La contribución de Maxwell a la estructuración matemática del electromagnetismo es básica: por una parte, incorpora las aportaciones de los matemáticos europeos, Laplace, Gauss, etc. y, por otra, introduce nuevos conceptos como el del rotacional [Maxwell]. No obstante la exposición de sus ecuaciones se hace componente a componente; el lenguaje analı́tico vectorial fue introducido, no sin oposición, por Heaviside y Gibbs. Posteriormente se desarrollan aspectos parciales importantes como la teorı́a de los po- tenciales y la teorı́a del electrón en las que cabe resaltar especialmente la contribución de Hendrik Antoon Lorentz (1835-1928) y las de Poincaré, Abraham, etc. , pero con- cluiremos con una breve relación del proceso de crisis de las teorı́as del éther, resuelta por Einstein, dentro de su teorı́a de la relatividad especial, con la eliminación del mismo dado no es necesario. Las teorı́as del éther surgen impulsadas por el deseo de encontrar un medio elástico que, según la teorı́a ondulatoria de la luz, fuese capaz de soportar ondas luminosas. Casi todas pueden ser consideradas como intentos de dar una explicación unificada de los campos sobre la base de las leyes de Newton. La principal dificultad que aparece en un principio es la de encontrar un medio que permita la transmisión de las ondas transversales pero no de las longitudinales. Los modelos que surgen son numerosos y, aparte del ya mencionado de Maxwell, citaremos el gran esfuerzo hecho en este sentido por Lord Kelvin (W. Thomson) a quien se deben varios modelos ingeniosos. El éxito de la teorı́a de Maxwell y la posterior confirmación por Hertz del carácter propagativo de las ondas radiadas parece, por una parte, confirmar la hipótesis de un éther soporte de la propagación y, por otra, pone de manifiesto nuevas dificultades. En primer lugar, Helmholtz demuestra que las tensiones de Maxwell no permitirı́an el equilibrio del éther, por lo que sus distintas partes deberı́an estar en movimiento, y por otra, como es fácil de comprobar, las leyes de Maxwell no son invariantes frente a las transformaciones de Galileo, por lo que si la velocidad de la luz en un determinado sistema es c, en otro sistema que esté en movimiento con respecto al primero, la velocidad de la luz deberı́a ser distinta. Sin embargo las experiencias diseñadas para medir las variaciones de la velocidad de la luz, como la de Michelson y Morley (1887), fracasan, haciendo patente la imposibilidad o, al menos, la dificultad de medir la velocidad de los cuerpos con respecto al éther. Los numerosos intentos de salvar esta situación llevan a emitir hipótesis sobre el éther que lo hacen cada vez más insubstancial y contradictorio. Mientras que Hertz
- 632. h-8 supone que los cuerpos en movimiento arrastran al éther circundante, Lorentz supone todo lo contrario. A grandes rasgos, la teorı́a del electrón de Lorentz consiste en suponer que los cuer- pos ponderables están constituidos por una multitud de diminutas partı́culas cargadas, positiva y negativamente, que se mueven a través del éther sin perturbarle. Aunque rechaza la existencia del sistema de referencia absoluto de Newton, Lorentz piensa que este éther, en el que cada una de sus partes están en reposo con respecto a las demás, constituye una referencia privilegiada con respecto a la cual las leyes de Maxwell son estrictamente válidas. Por otra parte, el resultado negativo de la experiencia de Michel- son le induce a emitir la hipótesis de que los cuerpos se achatan en la dirección de su movimiento con respecto al éther. Este enunciado, junto con el de la dilatación temporal de Poincaré, dan lugar a las transformaciones de coordenadas que llevan su nombre. Con todo ésto, Lorentz, como él mismo reconoce, lleva al extremo la crisis de la concepción del éther: no es afectado por los cuerpos pero él si los afecta, está en reposo pero no es posible detectar el movimiento con respecto al mismo, es, en definitiva, totalmente insubstancial. Cerraremos esta etapa citando la solución dada por Einstein a este problema medi- ante su Teorı́a de la Relatividad Restringida, enunciada en su célebre artı́culo Sobre la Electrodinámica de los Cuerpos en Movimiento (1905). Einstein postula la invarianza del módulo de la velocidad de la luz y la covarianza, o invarianza, de las leyes frente a las transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales, rechazando la existencia del éther como sistema privilegiado. Antes de concluir deberemos decir algo acerca de la cuantificación de la carga. En principio fue sugerida por Faraday como simple regla práctica para el estudio de la elec- trolisis. Helmholtz piensa que en la electrolisis deben transportarse verdaderos átomos de Electricidad. Crookes (1832-1919) hace la misma afirmación con respecto a los rayos catódicos y demuestra que son desviados por el imán. El descubridor del electrón es Sir Joseph John Thomson (1853-1937) quien mide la relación entre su carga y su masa y hace la primera estimación del valor de la carga, valor que es medido con precisión por Millikan (1913) estableciendo al mismo tiempo, sin lugar a dudas, el carácter cuántico de la carga. La carga puntual se manifiesta como una entidad problemática, siéndolo aún en la actualidad, como se pone de manifiesto en la teorı́a de Lorentz. Es precisamente Lorentz, que enunció su teorı́a antes de que se descubriera el electrón, quien le pone el nombre a dicha partı́cula, nombre que habı́a sido sugerido anteriormente por Stoney para designar a la cantidad mı́nima de carga. No queremos extendernos hablando de la gran familia de partı́culas elementales, pues eso pertenece a otra historia, pero sı́ mencionaremos a Dirac, que añade el espı́n al electrón (1927), como efecto cuántico relativista, y propone la existencia de monopo- los magnéticos (1931) que, dentro de su teorı́a cuántica, deberı́an su existencia a la cuantificación de la carga. Ya, para finalizar, apuntaremos unas últimas consideraciones o conclusiones. Conclusión:
- 633. h-9 El electromagnetismo clásico cubre un amplio rango de fenómenos de forma satis- factoria. Pero hay otros que quedan fuera de su ámbito, bien sea porque los toma como base o bien porque queden fuera de su rango de predicción: Desde el punto de vista clásico se postula la existencia de dos tipos de carga eléctrica, (+) y (−) ( dos tipos de monopolos eléctricos). La carga gravitatoria es, sin embargo, de un sólo signo. Los monopolos magnéticos no existen. Ya hemos apuntado la posibilidad de su existencia, desde el punto de vista cuántico, pero, si existen, son tremendamente elusivos. Hoy en dı́a hay un gran interés en su detección, siendo importante señalar la experiencia del español Cabrera que detectó lo que pudiera ser la presencia, aún sin confirmar, de un monopolo. La carga está siempre asociada a una cierta cantidad de masa. Sin masa, una carga serı́a un ente ’imposible’. Clásicamente, la cuantificación de la carga es indiferente. La teorı́a de los quarks, de Gell Man y Swinguer, asigna una carga inferior a la electrónica, −1 3 e y 2 3 e, a estas partı́culas. El universo es neutro ( No se conoce ningún mecanismo de creación de carga neta). Las fuerzas gravitatorias y nucleares quedan fuera de la teorı́a. Ası́ mismo quedan fuera de la teorı́a todos los fenómenos cuánticos y, en particular, las propiedades microscópicas de la materia. Nosotros emplearemos, a pesar de ello, conceptos clásicos para describir las propiedades básicas de los medios, pero lo haremos conscientes de la impropiedad de la herramienta. Por último diremos que, debido a la problemática asociada a las cargas puntuales, el fenómeno de reacción por radiación no encuentra una explicación totalmente satisfactoria dentro de la electrodinámica clásica. Cerraremos por fin esta reseña histórica relatando como, desde sus comienzos, esta es una disciplina conceptual y de no fácil asimilación (véase [Sommerfeld]). Hittorf, cientı́fico eminente pero algo timorato, cayó en una grave depresión provocada por el sentimiento de incapacidad que le produjo el estudio infructuoso del Tratado de Maxwell. Compadecidos, sus amigos le convencieron para que fuese a descansar unos dı́as en el campo. Pero descubrieron con consternación, al despedirlo en la estación, que dicho Tratado formaba parte del equipaje. Afortunadamente, gracias a Heaviside y otros, la situación ya no es tan extrema y, por supuesto, sigue sin ser recomendable llevarse los libros para trabajar durante los fines de semana. Ası́ sea.
- 634. h-10 .
- 635. Apéndice I Sistemas de unidades A pesar de los esfuerzos por implantar un único sistema de unidades persiste aún el uso de distintos sistemas según el entorno cientı́fico y docente en cuestión. Los más utilizados son el Sistema gaussiano y el Sistema internacional (SI o MKSA); este últi- mo será el que emplearemos en el texto. Desde el punto de vista fı́sico es totalmente indiferente el sistema o marco que se emplee en la descripción de los fenómenos fı́sicos. Desde el punto de vista práctico, cualquier parcela de la Fı́sica puede ser descrita con la misma propiedad mediante el uso de uno u otro de los sistemas candidatos. No existe ningún argumento sólido que permita establecer una preferencia si no es el de que la literatura sobre ciertos temas está tradicionalmente escrita en un determinado sistema y que trabajar con uno que no sea el habitual es engorroso. Además, el número de sistemas, variantes incluidas, es grande y su nomenclatura confusa. Tomando el criterio de que los sistemas de unidades son herramientas para or- denar y facilitar el trabajo del fı́sico y no objetos de disgresión que lo aparten de su tarea, procederemos a exponer el tema olvidando la historia previa y con la mayor con- cisión posible. Quien se interese más profundamente en estas materias puede consultar [Bridgman, Sena, Jackson, Panofsky y Phillips]. Como es bien sabido, el número de unidades fundamentales, ası́ como el de sus dimensiones, es en gran manera arbitrario. Podemos definir la intensidad como la carga que atraviesa una determinada superficie por unidad de tiempo I = d q d t (I.1) con lo que la relación entre las dimensiones de la intensidad y de la carga queda fijada de la forma [Q] = [IT] pero fı́sicamente no hay inconveniente para definir la intensidad como proporcional a d q d t I = k d q d t Tampoco hay nada que nos impida asignarle a k un valor numérico y unas dimen- siones cualesquiera. En el sistema gaussiano modificado se hace k = 1 c , [k] = [L−1T], i-1
- 636. i-2 donde c es la velocidad de la luz, pero en los sistemas de uso general se toma k = 1 y adimensional, a lo que nos atendremos en adelante. Algo similar ocurre con la definición de la magnitud del campo eléctrico. Aunque puede definirse como proporcional a la relación entre la magnitud de la fuerza sufrida por una pequeña carga estática y la magnitud de dicha carga, en todos los sistemas se toma a la constante de proporcionalidad como igual a la unidad y adimensional ~ E = ~ Fq q , [E] = [MLT−3 I−1 ] (I.2) Con estas excepciones, para la intensidad y el campo eléctrico, plantearemos el problema con todos los grados de libertad restantes aunque, en una primera etapa, nos limitaremos a considerar el caso del vacı́o. El conjunto de leyes electromagnéticas en el vacı́o puede escribirse de la forma ∇ · ~ + ∂ ρ ∂ t = 0 (I.3) d ~ F d v = ρ ~ E + k1 ~ ∧ ~ B (I.4) ∇ · ~ E = k2 ρ (I.5) ∇∧ ~ E = −k3 ∂ ~ B ∂ t (I.6) ∇ · ~ B = 0 (I.7) ∇∧ ~ B = k4 ~ + k5 ∂ ~ E ∂ t (I.8) Como puede observarse, no hemos introducido constantes en I.3, ecuación de con- tinuidad, debido a que se ha definido la intensidad según I.1, ni en la parte eléctrica de la fuerza de Lorentz I.4, por haber hecho uso de la definición I.2 para el campo eléctrico. Mostraremos a continuación que de las cinco constantes introducidas solo dos son independientes: en primer lugar, hallando la divergencia a I.8 y haciendo uso de I.5 y de I.3, obtenemos k4 = k2 k5 (I.9) Si ahora consideramos una región del espacio sin corrientes, ~ = 0, aplicamos el rotacional a ambos miembros de I.8, desarrollamos y tenemos en cuenta I.7 y I.6 ∇2 ~ B − k3 k5 ∂2 ~ B ∂ t2 = 0 ecuación de onda que nos permite identificar al producto de las dos constantes con el inverso del cuadrado de la velocidad de la luz k3 k5 = 1 c2 (I.10) Por último, si medimos la fuerza ejercida entre dos cargas, por una parte, y la fuerza por unidad de longitud ejercida por una corriente estacionaria, que circula por
- 637. i-3 un conductor filiforme, recto e indefinido, sobre otra del mismo tipo que circule por un conductor análogo y paralelo al primero, por otra, tendremos ~ Fq = k2 q q 0 4π r2 b r (I.11) d ~ F d l = 2 k1 k4 I I 0 4π ρ (−b ρ) (I.12) La expresión I.11 se deriva directamente de I.5 . Para obtener I.12 partirı́amos de I.8 con ∂ ~ E ∂ t = 0, por ser estacionaria la corriente, calcuları́amos el campo magnético producido por una de las corrientes y después aplicarı́amos la parte magnética de la expresión de la fuerza de Lorentz I.4. Puesto que la definición I.1 nos permite relacionar cargas con intensidades, midiendo experimentalmente las fuerzas I.11 y I.12, podemos comprobar que la relación numérica k2 k1 k4 = c2 (I.13) se cumple de forma muy precisa. Las relaciones I.9, I.10 y I.13 nos dejan solo dos constantes independientes. Inspec- cionando estas expresiones y tomando como constantes arbitrarias, k1 = a, k1 k4 = b tenemos que k1 = a k2 = b c2 k3 = a k4 = b a k5 = 1 a c2 (I.14) y las leyes electromagnéticas en el vacı́o quedan de la forma ∇ · ~ + ∂ ρ ∂ t = 0 (I.15) d ~ F d v = ρ ~ E + a~ ∧ ~ B (I.16) ∇ · ~ E = b c2 ρ (I.17) ∇∧ ~ E = −a ∂ ~ B ∂ t (I.18) ∇ · ~ B = 0 (I.19) ∇∧ ~ B = b a ~ + 1 a c2 ∂ ~ E ∂ t (I.20) Una vez elegido el sistema de unidades mecánicas, cgs o MKS, a emplear, la asignación arbitraria de un valor numérico y unas dimensiones a las constantes a y b nos proporcionarán diversos sistemas de unidades. Tabla 1. Constantes (vacı́o) 1 1 En SI, µ0 c2 se escribe con la notación 1 ε0 , luego ε0 = 1 µ0 c2 .
- 638. i-4 Sistema de unidades Unidades a [a] b [b] mecánicas SI (MKSA) MKS 1 - µ0 = 4π × 10−7 MLT−2 I−2 Heaviside-Lorentz cgs c−1 T L−1 c−2 T2 L−2 Gaussiano (cgs) cgs c−1 T L−1 4π c−2 T2 L−2 Electrostático (esu) cgs 1 - 4π c−2 T2 L−2 Electromagnético (emu) cgs 1 - 4π - Según vemos en la tabla anterior, las dimensiones elegidas para a y b son, en general, de tipo mecánico y , en muchos, casos nulas. Solo el SI introduce una unidad de tipo eléctrico I, el Amperio absoluto, que se define, de acuerdo con la expresión I.12, como la corriente que, al circular por dos hilos paralelos, de sección despreciable, rectos e indefinidos, separados en el vacı́o por la distancia de un metro, dan lugar a una fuerza transversal entre ellos de 2 × 10−7 N · m−1. Los dos primeros sistemas se dice que son racionalizados por razones discutibles que no traeremos aquı́. Bástenos saber que las expresiones de las ecuaciones de Maxwell en los sistemas racionalizados no contienen explı́citamente el factor 4π. La descripción fenomenológica de la materia polarizable nos plantea nuevas opciones: - Si definimos el momento dipolar ~ p de un sistema de cargas de la forma ~ p = Z V 0 ~ r 0 ρ(~ r 0 ) dv 0 (I.21) las cargas equivalentes de polarización se expresan, en función del vector polarización ~ P, como ρp = −∇ · ~ P (I.22) - Si hubiésemos optado por introducir una constante de proporcionalidad en la defini- ción ~ p = α Z V 0 ~ r 0 ρ(~ r 0 ) dv 0 la carga equivalente habrı́a venido dada por ρp = − 1 α ∇ · ~ P En todos los sistemas considerados esta constante se toma igual a la unidad por lo que, teniendo en cuenta I.22 y I.17, ∇ · ~ E = b c2 (ρ + ρp) ⇒ ∇ · ( ~ E + b c2 ~ P) = b c2 ρ (I.23) Para substituir al vector ~ P se define al vector ~ D con divergencia proporcional a ρ ~ D = β( ~ E + b c2 ~ P) = β ~ E + λ ~ P , β = λ b c2 (I.24)
- 639. i-5 donde λ es otra constante arbitraria. De forma análoga, la definición del momento dipolar magnético de la forma ~ m = γ µ 1 2 Z V 0 ~ r 0 ∧~ (~ r 0 ) dv 0 ¶ (I.25) nos conduce a una expresión para la corriente equivalente de magnetización, en función del vector magnetización, ~ M = 1 γ ∇∧ ~ M Por otra parte, la variación temporal de la polarización del medio produce una corriente de polarización ~ p = ∂ ~ P ∂ t La introducción de estas corrientes como fuentes vectoriales de ~ B modifica la ecuación I.20 de forma que ∇∧ ~ B = b a à ~ + 1 γ ∇∧ ~ M + 1 b c2 ∂ ~ E ∂ t + ∂ ~ P ∂ t ! ∇∧ µ ~ B − b a γ ~ M ¶ = b a à ~ + 1 λ ∂ ~ D ∂ t ! (I.26) Por las mismas razones que antes, definimos un vector ~ H que substituirá a ~ M ~ H = δ µ ~ B − b a γ ~ M ¶ = δ ~ B − λ ~ M , γ = b δ a λ (I.27) donde, como puede verse, se ha renunciado a un grado de libertad al tomar el mismo coeficiente λ para ~ M y para ~ P. Lo hacemos ası́ porque ésta es la práctica seguida en todos los sistemas que hemos tomado en consideración. Resumiendo, el conjunto de las ecuaciones de Maxwell I.15, I.16, I.17, I.18, I.19 y I.20, puede ser escrito en función de cuatro constantes a, b, δ, λ y otras dos, β y γ, derivadas de las anteriores. ∇ · ~ + ∂ ρ ∂ t = 0 (I.28) d ~ F d v = ρ ~ E + a~ ∧ ~ B (I.29) ∇ · ~ D = λ ρ (I.30) ∇∧ ~ E = −a ∂ ~ B ∂ t (I.31) ∇ · ~ B = 0 (I.32) ∇∧ ~ H = δ b a à ~ + 1 λ ∂ ~ D ∂ t ! (I.33)
- 640. i-6 Lo mismo puede hacerse con las definiciones de los momentos dipolares I.21 y I.25 ~ p = Z V 0 ~ r 0 ρ(~ r 0 ) dv 0 (I.34) ~ m = γ ( 1 2 Z V 0 ~ r 0 ∧~ (~ r 0 ) dv 0 ) , γ = b δ a λ (I.35) y para los vectores ~ D I.24 y ~ H I.27 ~ D = β ~ E + λ ~ P , β = λ b c2 (I.36) ~ H = δ ~ B − λ ~ M (I.37) Los valores correspondientes a cada uno de los sistemas de unidades vienen rela- cionados en la Tabla 2. Para las dimensiones de las constantes consúltese la Tabla 1. Tabla 2. Constantes (Medios materiales) Sistema a b δ λ β γ MKSA 1 µ0 µ−1 0 1 ε0 1 H-L c−1 c−2 1 1 1 c−1 cgs c−1 4π c−2 1 4π 1 c−1 esu 1 4π c−2 c2 4π 1 1 emu 1 4π 1 4π c−2 1 Aunque con este cuadro pueden expresarse las ecuaciones básicas en cualquier sis- tema de unidades, expondremos en tablas especı́ficas las ecuaciones, unidades y reglas de conversión para los dos sistemas más usuales: el MKSA y el Gaussiano (Tabla 3). Tabla 3. Expresiones en MKSA y Gaussiano MKSA cgs ∇ · ~ + ∂ ρ ∂ t = 0 ∇ · ~ + ∂ ρ ∂ t = 0 d ~ F d v = ρ ~ E + ~ ∧ ~ B d ~ F d v = ρ ~ E + 1 c ~ ∧ ~ B ∇ · ~ D = ρ ∇ · ~ D = 4π ρ ∇∧ ~ E = −∂ ~ B ∂ t ∇∧ ~ E = −1 c ∂ ~ B ∂ t ∇ · ~ B = 0 ∇ · ~ B = 0 ∇∧ ~ H = ~ + ∂ ~ D ∂ t ∇∧ ~ H = 4π c ~ + 1 c ∂ ~ D ∂ t ~ p = R V 0 ~ r 0ρ(~ r 0) dv 0 ~ p = R V 0 ~ r 0ρ(~ r 0) dv 0 ~ m = 1 2 R V 0 ~ r 0∧~ (~ r 0) dv 0 ~ m = 1 2c R V 0 ~ r 0∧~ (~ r 0) dv 0 ~ D = ε0 ~ E + ~ P ~ D = ~ E + 4π ~ P ~ H = 1 µ0 ~ B − ~ M ~ H = ~ B − 4π ~ M
- 641. i-7 Como puede verse en dicha tabla, en el sistema gaussiano aparece el factor c−1 asociado a todos los términos en los que se da una derivación temporal, tales como 1 c ~ , 1 c ∂ ~ D ∂ t , etc. Esto facilita la substitución de la la variable t por ct, lo que puede representar una ventaja formal para la formulación covariante relativista de las leyes electromagnéticas. No hemos tratado hasta ahora a los potenciales porque en su definición no se intro- duce ninguna nueva constante. Evidentemente, podrı́amos introducir dos nuevas cons- tantes arbitrarias pero no es esta la costumbre. Teniendo en cuenta que ~ B es solenoidal ∇ · ~ B = 0 ⇒ ~ B = ∇∧ ~ A y substituyendo en I.18 Ã ∇∧ ~ E + a ∂ ~ B ∂ t ! = 0 ⇒ ~ E = ∇ V − a ∂ ~ A ∂ t con lo que, en concreto, MKSA → ~ E = ∇ V − ∂ ~ A ∂ t , cgs → ~ E = ∇ V − 1 c ∂ ~ A ∂ t Tenemos ya datos suficientes para convertir fórmulas de un sistema a otro, pero la Tabla 4 permite llevar a cabo esta conversión más fácilmente. Para ello basta con substituir literalmente todos los sı́mbolos de la columna MKSA por la cgs y viceversa. Tabla 4. Conversión de fórmulas MKSA cgs 1 √ µ0 ε0 c ( ~ E, V ) 1 √ 4π ε0 ( ~ E, V ) ~ D p ε0 4π ~ D (ρ, q, ~ , I, ~ P) √ 4π ε0 (ρ, q, ~ , I, ~ P) ( ~ B, ~ A) q µ0 4π ( ~ B, ~ A) ~ H 1 √ 4π µ0 ~ H ~ M p ε0 4π ~ M σ 4π ε0 σ εr = ε ε0 ε µr = µ µ0 µ (R, L, 1 C ) 1 4π ε0 (R, L, 1 C ) Por último, la Tabla 5 recoge las unidades, y factores de conversión entre el sistema MKSA y el cgs.
- 642. i-8 Tabla 5. Conversión de unidades 2, 3, 4 Cantidad Unidad MKSA Equivalente en cgs Longitud, l Metro, m 102 cm, Centı́metro Masa, m Kilogramo, Kg 103 gr, Gramo Tiempo, t Segundo, s 1 s, Segundo Fuerza, F Newton, N 105 Dina Trabajo, Energı́a, W Julio, J 107 Ergio Carga, Q Culombio, C 3 × 109 Estatculombio Corriente, I Amperio, A 3 × 109 Estatamperio Densidad corriente, J A · m−2 3 × 105 Estatamp.cm−2 Potencial eléctrico, V V oltio (1/300) Estatvoltio Campo eléctrico, E V · m−1 (1/3) × 10−4 Estatvoltio.cm−1 Polarización, P C.m−2 105 Statcul.cm−2 Desplazamiento, D C.m−2 4 × 3 × 105 Estatvolt.cm−1 Conductividad, σ S.m−1 (S.m−1) 32 × 10−9 s−1 Resistencia, R Ohmio, Ω (1/32) × 10−11 s · cm−1 Capacidad, C Faradio, F 32 × 1011 cm Flujo magnético, Φ Weber, W 108 gauss · cm−2 (Maxwell) Inducción magnética , B Tesla, T 104 Gauss Intensidad magnética, H A − vuelta.m−1 4π × 10−3 Oersted Magnetización, M A · m−1 1 4π × 104 gauss Inductancia, L, M Henrio, H (l/32) × 10−11 erg 1 2 · Estatamp−1 2 Las unidades fundamentales están escritas en letra negrita. 3 La cifra 3 en negrita representa a 3 ≡ c × 10−10 cm · s−1 ' 2, 997 924 58. 4 La unidad de la admitancia es el Siemens (S). S ≡ Ω−1 .
- 643. Apéndice J Teorı́a de campos Suponemos al lector familiarizado con el análisis vectorial ordinario, por lo que el tratamiento que aquı́ se le da al tema será sencillo e intuitivo. Se recordarán los fundamentos de los campos vectoriales tridimensionales. La bibliografı́a es abundante y asequible 1. La representación en un espacio tridimensional del campo electromagnético, que realmente es un sólo campo tensorial, de orden 2 y de dimensión 4, requiere el recurso a los campos pseudovectoriales: el campo eléctrico es vectorial y el magnético pseudovec- torial. Esta dificultad se soslayará restringiendo el orden cı́clico de los vectores base ( a derechas). J.1. Campos escalares y vectoriales La descripción clásica del Universo se lleva a cabo mediante la asignación a cada punto del espacio de una serie de magnitudes fı́sicas; cada una de ellas constituye un campo, función de la posición ~ r y del tiempo t. Un campo se dice que es escalar si, expresado en un sistema de unidades concreto, asigna a cada punto un número. Un campo vectorial asigna a cada punto un vector, definido por un módulo, número positivo, una dirección y un sentido. En general, las magnitudes fı́sicas tienen estructura tensorial. Las reglas algebraicas de operación entre escalares son, obviamente, las correspon- dientes a operaciones numéricas mientras que para vectores definiremos las operaciones de suma, producto por un escalar, producto escalar entre dos vectores y producto vec- torial. Sea el escalar λ y los vectores ~ a, ~ b, ~ c. Podemos definir geométricamente la suma de vectores, figura J.1, según la regla del triángulo ~ c = ~ a +~ b La resta puede definirse a través del negativo de un vector ~ b = (−~ a) si ~ a +~ b = ~ 0 donde ~ 0 es un vector de módulo nulo. 1 Un tratamiento algo más formal puede encontrarse en [Garcı́a Olmedo] j-1
- 644. j-2 a b c Figura J.1: Si escribimos el módulo de un vector de cualquiera de las formas a ≡ |~ a| = módulo de ~ a y definimos el producto de un vector por un escalar de la forma ~ b = λ~ a donde b = λ |a|, la dirección de ~ b es la misma que la de ~ a y sus sentido son iguales ( opuestos), según λ sea positivo ( negativo). Definimos como vector unitario de un vector ~ a , a b a ≡ ~ a a donde, claramente, |b a| = 1. Ası́, pués, la suma de dos vectores puede escribirse de la forma ~ c = ~ a +~ b = a b a + bb b donde a y b se denominan, las proyecciones oblicuas de ~ c . Diremos que ~ c ha sido descompuesto en las direcciones b a y b b. b b a a b α a Figura J.2: Se denomina producto escalar, o producto interno, de dos vectores que formen entre sı́ un ángulo α, a λ = ~ a ·~ b = a b cos α = ab b = a ba donde, figura J.2, ab (ba) es la proyección ortogonal de ~ a (~ b ) en la dirección de b b (b a).
- 645. j-3 Diremos que ~ a y ~ b son ortogonales ~ a⊥~ b si ~ a ·~ b = 0 De lo anterior se deduce que el cuadrado del módulo a2 = ~ a · ~ a y que el ángulo que forman dos vectores viene dado por cos α = ~ a ·~ b a b J.2. Representación gráfica de los campos Una forma de representar a los campos escalares es mediante sus superficies equi- escalares y a los vectoriales por sus lı́neas de campo. Se definen como lı́neas de campo, figura J.3a, aquellas que son tangentes al campo en todos sus puntos. Sus ecuaciones vienen dadas por dl1 F1 = dl2 F2 = dl3 F3 → d~ r = d~ l ~ F ↑↑ d~ l Definiremos como tubo de campo, figura J.3b, a una región del espacio limitada por una superficie cuyas generatrices son lı́neas de campo. Por ejemplo, el potencial y el campo producidos por una carga eléctrica puntual, figura J.3c, vienen dados por V = K 1 r , ~ E = K r̂ r2 Las superficies equipotenciales son esféricas y las lı́neas de campo radiales. El campo magnético producido por una corriente I que circula, en la dirección del eje z, por un hilo recto indefinido es ~ B = K b ϕ ρ Sus lı́neas de campo, figura J.3d, son azimutales, en la dirección del vector unitario b ϕ. En las figuras J.3e y J.3f se representan las superficies equipotenciales y las lı́neas de campo correspondientes a pares de cargas del mismo signo y de distinto signo, res- pectivamente.
- 646. j-4 dR=dl (a) Lineas de campo (b) Tubo de campo I q E B (c) (d) Carga puntual Hilo de corriente Cargas de igual signo Cargas de signo contrario (e) (f) +q -q +q +q R R+dR Figura J.3:
- 647. j-5 ^ 3 e ^ 3 e ^ 1 e ^ 2 Base a derechas Base a izquierdas e ^ 1 e ^ 2 e Figura J.4: J.2.1. Base vectorial Un conjunto de tres vectores b ei (i = 1, 2, 3) que sea linealmente independiente ( vectores no colineales ni coplanarios) forma una base vectorial. Es decir, cualquier vector puede expresarse como combinación lineal de los vectores de base. Nos limitaremos a considerar bases ortogonales y unitarias. Dados tres vectores unitarios y ortogonales b ei · b ej = δij , δij =→ 1 si i = j 0 si i 6= j siempre será posible expresar un vector arbitrario de la forma ~ c = 3 X i=1 ci b ei ≡ ci b ei (J.1) expresión en la que se hace uso del convenio de suma sobre ı́ndices repetidos. Efectivamente, es fácil comprobar que ci = b ei · ~ c , c2 = ~ c · ~ c = 3 X i=1 c2 i Diremos que ci son las componentes, o proyecciones normales de ~ c, en la base de vectores unitarios b ei. Esta base será a derechas ( a izquierdas) si un tornillo, con rosca a derechas y girando de b e1 a b e2 según el ángulo más corto, avanza en la dirección ( en la dirección contraria) de b e3. La representación de un vector con respecto a una base determinada se hace mediante sus componentes ~ c → (c1, c2, c3). La relación entre las componentes de un mismo vector con respecto a dos base distintas se describe mediante una ley de transformación. Se denomina transformación propia (impropia) a la que de una base a derechas (izquierdas) pasa otra base a derechas ( izquierdas). En otras palabras, las transformaciones propias
- 648. j-6 son aquellas en las que no cambia el orden cı́clico de los vectores de base, por ejemplo, entre dos bases a derechas b e1 → b e2 → b e3 , b e 0 1 → b e 0 2 → b e 0 3 3 ^ 1 e ^ e ^ e’ ^ 2 e’ ^ 3 e’ ^ 2 3 θ 1 1 e Figura J.5: Es fácil obtener las leyes de transformación de las componentes de un vector entre bases ortogonales. Un vector ~ c se expresará con respecto a los vectores unitarios b e 0 j y los b ei, según J.1 , como ~ c = c0 j b e 0 j = ci b ei por lo que, multiplicando escalarmente por b e 0 j c0 j = ci b ei · b e 0 j ≡ 3 X i=1 ci cos θij = aji ci (J.2) donde aji = cos θij = b ei · b e 0 j = aij . Se dice que ~ d = di b ei es un pseudovector cuando sus componentes di se transforman como las de un vector para transformaciones propias pero tienen el signo contrario a las de un vector para transformaciones impropias; el pseudovector conserva el módulo y la dirección, como el vector, pero cambia de sentido cuando la transformación es impropia. Esta distinción entre el carácter vectorial y el pseudovectorial de las magnitudes fı́sicas es teóricamente interesante 2 pero se soslayará restringiéndonos, en adelante, al uso de bases vectoriales derechas. J.2.2. Sistemas de referencia Un punto P del espacio, véase la figura J.6, queda determinado por sus coordenadas con respecto a un sistema de referencia, o sistema de coordenadas, S. Dichas coorde- nadas son las componentes del vector de posición ~ r con respecto a los vectores de base b ei. El vector de posición liga a un punto origen O con P. 2 Un pseudovector es en realidad una parte de un tensor. Este es el caso del pseudovector campo magnético y del vector tridimensional campo eléctrico. Ambos son parte de un tensor de orden dos y cuatro dimensiones, el de campo electromagnético.
- 649. j-7 Un sistema de referencia consta de un punto origen y una base vectorial. En la figura J.6 se muestra como, al cambiar de sistema de referencia, se cambia de origen y de base y, por lo tanto, de vector de posición y de coordenadas. ~ r 0 = ~ r − ~ OO 0 P r ’ e ^ 1 e ^ 2 3 e ^ e ^ 1 e ^ 2 3 e ^ O’ r S’ O S’ S OO’ Figura J.6: Nos limitamos a considerar sitemas de referencia S y S 0 que sean cartesianos y rectangulares. Si, además, tienen un origen común O ( ~ OO 0 = ~ 0), véase la figura J.5, los vectores de posición en ambos sistemas son los mismos y la transformación entre las coordenadas del primer sistema (x1, x2, x3) y las del segundo (x0 1, x0 2, x0 3), son for- malmente idénticas a las transformaciones de las componentes de un vector frente al cambio de base. De acuerdo con J.2 x 0 1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 x 0 2 = a21x1 + a22x2 + a23x3 x 0 3 = a31x1 + a32x2 + a33x3 , x 0 1 x 0 2 x 0 3 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 · x1 x2 x3 (J.3) donde aij = cos θij 0 son los cosenos directores de los ejes b ei del primer sistema a los ejes b e 0 j del segundo. En general, teniendo en cuenta el desplazamiento del origen y haciendo uso del convenio de suma sobre ı́ndices repetidos x 0 i = aijxj − OO 0 i , i, j = 1, 2, 3 (J.4) donde OO 0 i son las componentes de ~ OO 0 con respecto al sistema S. Al cambiar de sistema de referencia, los escalares y los vectores no cambian; lo hacen las componentes de los vectores porque el cambio de sistema implica, en general, el cambio de base.
- 650. j-8 J.2.3. Producto vectorial A continuación definiremos el producto vectorial, o producto externo. Dados dos vectores, se define el producto vectorial como un pseudovector 3, tal que, figura J.7 ~ d ≡ ~ a ∧~ b = −~ b ∧ ~ a , d = a b sen α , ~ d ⊥~ a, ~ b , ~ a → ~ b → ~ d triedro a derechas (J.5) siendo α el mı́nimo ángulo que forman los vectores ~ a y ~ b. e ^ 2 e ^ 3 α a b d e ^ 1 Figura J.7: ~ d tiene, por lo tanto, por módulo a d = a b sen α, su dirección es perpendicular al plano formado por ~ a y ~ b y su sentido viene determinado por la regla del tornillo a derechas ( izquierdas) para sistemas de referencia a derechas ( izquierdas). El producto vectorial entre un vector y un pseudovector tiene carácter vectorial. Por esta razón, el campo magnético ~ B es un pseudovector, mientras que la fuerza, en particular la magnética de Lorentz, y el campo eléctrico son vectores. Bajo estas condiciones, podemos expresar a los vectores unitarios ortogonales, de la forma b ek = b ei ∧ b ej , i 6= j 6= k 6= i , i → j → k es decir, cada uno de ellos puede obtenerse como producto vectorial de los otros dos, si el orden cı́clico i → j → k es el correspondiente a la regla del tornillo a derechas. Según ésto, teniendo en cuenta la anticonmutatividad del producto vectorial ~ d = ~ a ∧~ b = (a1 b e1 + a2 b e2 + a3 b e3) ∧ (b1 b e1 + b2 b e2 + b3 b e3) = = (a2 b3 − a3 b2) b e1 + (a3 b1 − a1 b3) b e2 + (a1 b2 − a2 b1) b e3 o, en forma de determinante simbólico ~ d = ~ a ∧~ b = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b e1 b e2 b e3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 El producto vectorial entre un pseudovector y un vector es un vector
- 651. j-9 J.3. Operaciones diferenciales e integrales sobre escalares y vectores J.3.1. Gradiente Supongamos que en un sistema coordenado ortogonal hacemos un desplazamiento de d~ l = dli b ei Si, en ese entorno, la función escalar λ tiene derivadas definidas, en el desplazamiento d~ l sufre un incremento elemental dλ que escribiremos de las siguientes formas dλ = ∂ λ ∂ li dli ≡ ∇λ · d~ l donde hemos empleado la notación ∇λ ≡ grad λ ≡ b ei ∂ λ ∂ li (J.6) ∇λ es, pués, un vector cuyas componentes son las derivadas espaciales de la fun- ción escalar en las direcciones de cada uno de los ejes coordenados. A este vector lo llamaremos gradiente de λ y al operador ∇ ≡ b ei ∂ ∂ li operador gradiente o ’nabla’. Si anotamos como b l al vector unitario en la dirección del desplazamiento, la variación del escalar, por unidad de longitud en dicha dirección, será d λ d l = ∇λ · b l expresión de la que se deduce que: a) La variación más rápida de λ tiene lugar en la dirección del gradiente; es decir, cuando ∇λ kb l. λ crece en el sentido de b l. b) El gradiente, figura J.8, es perpendicular a las superficies equiescalares: cuando ∇λ ⊥b l ⇒ dλ = 0. J.3.2. Flujo y divergencia Dada una función vectorial ~ a, tendrá para nosotros gran interés, en muchas situa- ciones, el cálculo del flujo de dicho vector a través de una superficie S cualquiera. Φ(~ a) ≡ Z S ~ a · d~ s = Z S ~ a · ~ n ds
- 652. j-10 λ2 λ1 λ λ 1 Figura J.8: n V S S L n Figura J.9: donde ~ n es el vector unitario normal a la superficie. Su sentido se toma, figura J.9, para superficies cerradas, hacia fuera del volumen V que se ha definido como interno a S y, para superficies abiertas, el de avance de un tornillo a derechas que gire en el sentido preestablecido de circulación sobre el contorno L en el que se apoya la superficie. Si hallamos el flujo de un campo vectorial sobre una superficie S que encierre a un volumen V, el resultado podrá ser positivo, nulo o negativo. En el primer caso diremos que en V existe un balance positivo de fuentes escalares o, con otras palabras, que, en conjunto, el campo diverge de V . Si el flujo es negativo hablaremos de sumideros, fuentes negativas o convergencia del campo. Para un punto P podemos definir un parámetro que nos mida la densidad de fuentes existente en el mismo. Para ello definimos la divergencia, o densidad de fuentes, como, figura J.10 div~ a ≡ ∇ · ~ a ≡ lı́m ∆V →0 H ∆S ~ a · d~ s ∆V (J.7) a P ∆ ds V S ∆ Figura J.10:
- 653. j-11 J.3.3. Circulación y rotacional Otra integral importante para nosotros es la circulación de un vector. Para llevar a cabo la circulación de un vector es necesario, en general, especificar los puntos de comienzo y final, el camino L a recorrer, por medio de su ecuación, y el sentido de recorrido. S a a a dl A B L P n L L L 1 2 (b) ∆ (a) Figura J.11: C = Z B A(L) ~ a · ~ dl Si la circulación cerrada de un campo I L ~ a · d~ l es nula, cualquiera que sea el camino escogido, dicho campo recibe el nombre de ir- rotacional. También se le califica de conservativo dado que la integral entre dos puntos cualesquiera, A y B, es independiente del camino por la que se realice. Efectivamente, como se muestra en la figura J.11a, a lo largo del camino L = L1 + L2 I L ~ a · d~ l = Z B A(L1) ~ a · d~ l + Z A B(L2) ~ a · d~ l = 0 ⇒ Z B A(L1) ~ a · d~ l = Z B A(L2) ~ a · d~ l De la misma forma que la divergencia, que es un escalar, caracteriza al compor- tamiento del flujo en el entorno de un punto, podemos caracterizar al comportamiento de la circulación alrededor del mismo por medio del pseudovector rotacional. La proyec- ción de este vector sobre una dirección arbitraria del espacio ~ n, figura J.11b, se define como (rot~ a)n ≡ (∇ ∧ ~ a) · ~ n ≡ lı́m ∆S→0 H L ~ a · d~ l ∆S (J.8)
- 654. j-12 donde ∆S es una superficie elemental, que es normal a la dirección ~ n y contiene a P, y L es su contorno. Si el rotacional es distinto de cero diremos que el campo rodea al punto o que es rotacional en dicho punto. J.3.4. Operador Laplaciana Se define como laplaciana de una función escalar λ a la divergencia del gradiente de dicha función. Se escribe con las notaciones ∆ λ ≡ ∇2 λ y se define como ∇2 λ ≡ div (grad λ) = ∇ · (∇ λ) (J.9) También interesa a veces hablar de la Laplaciana de un vector, definida de la forma ∇2 ~ a ≡ grad (div~ a) − rot(rot~ a) = ∇ (∇ · ~ a) − ∇ ∧ (∇ ∧ ~ a) (J.10) expresión que sólo en coordenadas cartesianas puede ser interpretada como ∇2 ~ a = ∇2 ax b x + ∇2 ay b y + ∇2 az b z J.4. Teoremas integrales De los múltiples teoremas integrales, algunos de los cuales introduciremos en otra ocasión, citaremos aquı́ sólo a los dos más utilizados en este texto: el teorema de la divergencia o de Gauss y el teorema del rotacional o de Stokes. Las demostraciones ele- mentales, no rigurosas, son sencillas y figuran en muchos libros de fácil acceso. Señalare- mos solamente la necesidad de que los campos sean de buen comportamiento y que la divergencia y el rotacional sean continuos y acotados en la región de interés. J.4.1. Teorema de la divergencia La integral, sobre un volumen arbitrario V, de la divergencia de un vector es igual al flujo de éste a través de la superficie S que envuelve a dicho volumen. Z V ∇ · ~ a dv = I S ~ a · d~ s (J.11) También es útil la igualdad que deriva del teorema anterior ( véase la relación de problemas) Z V ∇ ∧ ~ a dv = − I S ~ a ∧ d~ s (J.12)
- 655. j-13 J.4.2. Teorema del rotacional El flujo del rotacional de un vector, a través de una superficie S abierta y arbitraria, es igual a la circulación de dicho vector a lo largo del contorno L de la misma. La dirección de circulación y la de la normal están ligadas por el convenio ya mencionado. Z S (∇∧~ a) · d~ s = I L ~ a · d~ l (J.13) donde S es una superficie abierta y L su contorno. J.5. Coordenadas curvilı́neas ortogonales Propiedades generales: A lo largo del texto se hará uso de sistemas coordenados que, como el cartesiano, el esférico y el cilı́ndrico, pertenecen al tipo de sistemas coordenados curvilı́neos orto- gonales. En estos sistemas, figura J.12, los distintos puntos del espacio se describen especificando las tres superficies, pertenecientes a tres familias distintas, que se cortan ortogonalmente en dicho punto. e ^ e ^ e ^ q 1 q2 q3 f =q P f =q f =q 1 2 1 1 2 3 3 3 2 Figura J.12: Las coordenadas (q1, q2, q3) de un punto determinado (P), serán los valores de los parámetros correspondientes a las superficies f1(x, y, z) = q1 , f2(x, y, z) = q2 , f3(x, y, z) = q3 que se cortan en el punto P.
- 656. j-14 Los vectores unitarios en cada punto vendrán dados por b ei = ∇ fi |∇ fi| (J.14) y, puesto que las tres familias son ortogonales, también los vectores unitarios lo serán b ei · b ej = δij En general, salvo para el sistema cartesiano, el triedro unitario tiene una orientación distinta en cada punto del espacio. El vector desplazamiento elemental d~ l se define como d~ l ≡ dli b ei (J.15) donde dli es la distancia, en la dirección b ei, entre las superficies fi = qi y fi = qi + dqi. Las distancias elementales dli dependen, en general, de las coordenadas del punto y del incremento de la coordenada dqi, por lo que escribiremos 4 dli = hi(q1, q2, q3) dqi (J.16) donde los hi son los factores de escala. ^ 3 e ^ 1 e ^ 2 dl ds3 dl3 dl2 dl1 ds3 e Figura J.13: Los elementos de superficie vendrán dados por d~ sk = dli dlj b ei∧b ej = hi hj dqi dqj b ek (J.17) donde i → j → k es el orden cı́clico a derechas. El elemento de volumen es dv = h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3 (J.18) 4 Cuando, como en este caso, el indice (i) que aparece en el primer miembro está repetido en el segundo, no se aplica la regla de suma sobre ı́ndices repetidos.
- 657. j-15 El vector de posición de un punto se expresa de la forma ~ r = r b r = ri b ei , ri = b ei · ~ r (J.19) donde r es la distancia del punto al origen y b r es el vector unitario que, en el punto, tiene el sentido opuesto al origen. En cada sistema, las componentes ri de este vector se obtendrán proyectando ~ r sobre la dirección b ei. Expresiones de los operadores en coordenadas ortogonales: No es difı́cil demostrar, de acuerdo con las definiciones J.6, J.7, J.8 y J.9 y haciendo aproximaciones de primer orden, que las expresiones siguientes tienen validez general (Consúltense los textos correspondientes). ∇ λ = 1 h1 ∂ λ ∂ q1 b e1 + 1 h2 ∂ λ ∂ q2 b e2 + 1 h3 ∂ λ ∂ q3 b e3 , ∇i = 1 hi ∂ ∂ qi (J.20) ∇ · ~ a = 1 h1h2h3 · ∂ a1h2h3 ∂ q1 + ∂ a2h1h3 ∂ q2 + ∂ a3h1h2 ∂ q3 ¸ (J.21) ∇∧~ a = 1 h1h2h3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ h1 b e1 h2 b e2 h3 b e3 ∂ ∂ q1 ∂ ∂ q2 ∂ ∂ q3 h1 a1 h2 a2 h3 a3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (J.22) ∇2 λ = 1 h1h2h3 · ∂ ∂ q1 µ h2h3 h1 ∂ λ ∂ q1 ¶ + ∂ ∂ q2 µ h1h3 h2 ∂ λ ∂ q2 ¶ + ∂ ∂ q3 µ h1h2 h3 ∂ λ ∂ q3 ¶¸ (J.23) J.5.1. Sistemas Coordenados Coordenadas cartesianas: Las superficies coordenadas son planos de las familias f1 = x = q1 , f2 = y = q2 , f3 = z = q3 A los vectores unitarios los anotaremos de la forma b e1 = b x , b e2 = b y , b e3 = b z
- 658. j-16 Puesto que las tres coordenadas tienen dimensión espacial, sus incrementos coin- cidirán con las componentes del vector desplazamiento elemental, por lo que h1 = h2 = h3 = 1 Como puede verse en la figura J.14 ^ y ^ x ^ x ^ z ^ y ^ P r x y z β γ z α Figura J.14: ~ r = x b x + y b y + z b z r = p x2 + y2 + z2 x = r cos α y = r cos β z = r cos γ Coordenadas esféricas: En este caso, figura J.15a, tomamos como superficies coordenadas f1 = r = q1 , , 0 r ∞ , superficie coordenada radial f2 = θ = q2 , , 0 θ π , superficie coordenada cenital f3 = ϕ = q3 , , 0 ϕ 2π , superficie coordenada azimutal La primera familia está constituida por las superficies esféricas, centradas en el origen, de radio r, los semiconos de semiapertura θ centrados en el eje z y los semiplanos que contienen a dicho eje y que forman un ángulo ϕ con el plano y = 0. Los vectores unitarios son b e1 = b r , b e2 = b θ , b e3 = b ϕ
- 659. j-17 (b) ^ y ^ z ^ dϕ dθ ϕ r θ dr x ^ y ^ z ^ r ^ ϕ ^ θ ^ ϕ θ r P (a) x Figura J.15: las componentes de d~ l dl1 = dr , dl2 = r dθ , dl3 = r sen θ dϕ por lo que h1 = 1 , h2 = r , h3 = r sen θ y el vector de posición ~ r = r b r = r (sen θ cos ϕ b x + sen θ sen ϕ b y + cos θ b z) Por último, el elemento de volumen es, figura J.15b, dv = r2 sen θ dr dθ δϕ Coordenadas cilindricas: Las superficies coordenadas son, respectivamente, cilindros de radio ρ centrados en el eje z, semiplanos que contienen a dicho eje y planos z = cte f1 = ρ = q1 , , 0 r ∞ f2 = ϕ = q2 , , 0 θ 2π f3 = z = q3 los vectores unitarios b e1 = b ρ , b e2 = b ϕ , b e3 = b z las funciones hi h1 = 1 , h2 = ρ , h3 = 1
- 660. j-18 z ^ y ^ z ^ x ^ y ^ z ^ ϕ ^ d ρ dz dϕ z ^ ρ ^ ρ z (a) (b) ϕ ϕ P ρ x Figura J.16: el vector de posición ~ r = ρ b ρ + z b z = ρ cos ϕ b x + ρ sen ϕ b y + z b z y el elemento de volumen dv = ρ dρ dθ dϕ En el formulario, al final del tomo, se ofrece un resumen explı́cito de lo anteriormente expuesto.
- 661. j-19 J.6. Problemas j-1. Dado el vector de posición del punto A, ~ A = x b x + y b y + z b z, halle: a) El vector unitario correspondiente. b) El vector de posición, de un punto B, perpendicular a ~ A, con el mismo módulo y contenido en el plano z = 0. c) El vector de posición que define al cuarto vértice C de un cuadrado cuyos tres primeros vértices son el origen, A y B. d) La ecuación de la recta AB. e) La ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular al plano del cuadra- do. f) La ecuación de la circunferencia inscrita en el cuadrado. g) El vector unitario normal a la superficie de la esfera con centro en el plano del cuadrado y cuya intersección con el mismo es la circunferencia del apartado anterior. j-2. Calcule la matriz de transformación que gira el vector (1, 1, 0) al (0, 1, 1), ası́ como su determinante. j-3. Escriba las matrices (aij) y determine el carácter de propia o impropia de las transformaciones: a) x 0 = −x, y 0 = y, z 0 = z b) x 0 = −x, y 0 = −y, z 0 = z Compruebe lo anterior transformando al pseudovector ~ c = ~ a∧~ b, donde ~ a = (al, a2, a3) y ~ b = (bl, b2, b3) son vectores. Solución: a) Teniendo en cuenta la ley de trasformación de coordenadas cuan- do O = O 0, véase la expresión J.3, la matriz de la transformación de coordenadas, que en este caso coincide con la de base, tiene la forma e a = (aij) = −1 0 0 0 1 0 0 0 1 De acuerdo con esto, los nuevos vectores unitarios, b x 0 = −b x, b y 0 = b y y b z 0 = b z, corresponden a un triedro a izquierdas, según se muestra en la figura J.17. Se puede comprobar, contestando a la parte (b), que la inversión de un número impar de ejes implica una transformación impropia. En caso contrario la transformación correspondiente es propia.
- 662. j-20 ^ ^ ^ ^ ^ x y z y’ x’ ^ z’ Figura J.17: j-4. Sea ~ r el vector de posición. Halle la velocidad y la aceleración en coordenadas cilı́ndricas y en coordenadas esféricas. Solución: El vector de posición en coordenadas cilı́ndricas (véase el resumen de formulario), es ~ r = ρ b ρ + z b z Los vectores unitarios b ρ y b ϕ en el punto P = (ρ, ϕ, z) están contenidos en el plano z = z, como se muestra en la figura J.18. z ^ ϕ ^ P x y ϕ ϕ ρ ρ Figura J.18: b ρ es perpendicular a la superficie del cilindro de radio ρ, en la sentido de ρ creciente. b ϕ es perpendicular al semiplano ϕ y en el sentido creciente de esta variable. b ρ = cos ϕ b x + sen ϕ b y b ϕ = −sen ϕ b x + cos ϕ b y
- 663. j-21 A diferencia de b z, los vectores b ρ y b ϕ varian a lo largo una trayectoria ~ r(t). Derivando estos últimos vectores se tiene que d b ρ d t = d ϕ d t b ϕ , d b ϕ d t = − d ϕ d t b ρ por lo que ~ v = d~ r d t = vρ b ρ + vϕ b ϕ + vz b z donde vρ = d ρ d t , vϕ = ρ d ϕ d t , vz = d z d t Volviendo a derivar ~ a = d~ v d t = aρ b ρ + aϕ b ϕ + az b z aρ = d2 ρ d t2 − ρ µ d ϕ d t ¶2 , aϕ = ρ d2 ϕ d t2 + 2 d ρ d t d ϕ d t , az = d2 z d t2 Dejaremos como ejercicio la última parte del problema. j-5. Demuéstrese que si una partı́cula se mueve de forma que ~ r y ~ v sean perpendiculares entre sı́, su trayectoria se confina a una esfera. Solución: Dado que ~ r y ~ v son perpendiculares ~ r · ~ v = x d x d t + y d y d t + z d z d t = 1 2 d d t (x2 + y2 + z2 ) = 0 por lo que, integrando, se tiene que x2 + y2 + z2 = cte = R2 donde R es el radio de la esfera. Si el movimiento estuviese contenido en un plano, la trayectoria serı́a una circunferencia. j-6. Demuestre las relaciones N.1 y N.2 del formulario ( apéndice N). j-7. Calcule el gradiente y la derivada direccional, en la dirección (1, 1, 1), de la fun- ción f = 3 x2 y + 2 y z3 − x en el punto (1, −1, 1).
- 664. j-22 j-8. Definimos los vectores ~ r = (x, y, z) ~ r 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) ~ R = ~ r − ~ r 0 = (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) Asimismo definimos las operaciones: ∇ f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ) ∇ 0 f = ( ∂ f ∂ x 0 , ∂ f ∂ y 0 , ∂ f ∂ z 0 ) Demuestre que se cumplen las relaciones a) ∇ f(R) = −∇ 0f(R) = b R · d f d R b) ∇ (1/R) = − ~ R R3 Solución: Sólo apuntaremos que ∇x f(R) = ∂ f(R) ∂ x = d f(R) d R ∂ R ∂ x = d f(R) d R ∂ R ∂ Rx ∂ Rx ∂ x donde R = q R2 x + R2 y + R2 z y Rx = x − x0 y, por lo tanto, ∂ Rx ∂ x = 1 , ∂ Rx ∂ x 0 = −1 j-9. Demuestre las relaciones N.6 y N.9 del formulario. j-10. Calcule en el punto (1, −1, 1) la divergencia y el rotacional del campo vectorial ~ A = x2 z b x − 3 y3 z2 b y − x y2 z b z. j-11. Demuestre las relaciones N.10 y N.15 del formulario. j-12. Demuestre las relaciones N.16 y N.21 del formulario. j-13. Demuestre la relación N.28 del formulario. Solución: Sea ~ k = ~ cte un vector constante y arbitrario y ~ x un campo vectorial. Definamos ~ a = ~ k ∧ ~ x y apliquemos el teorema de Gauss a este vector.
- 665. j-23 Z V ∇ · (~ k ∧ ~ x) dv = I S (~ k ∧ ~ x) · ~ n ds (J.24) De acuerdo con el resumen de formulario ∇ · (~ k ∧ ~ x) = −~ k · ∇ ∧ ~ x puesto que ∇ ∧ ~ k = ~ 0, y ~ n · (~ x ∧ ~ k) = ~ k · (~ n ∧ ~ x) Substituyendo en J.24 y sacando (~ k ·) de las integrales ~ k · µZ V ∇ ∧ ~ x dv − Z S ~ n ∧ ~ x ds ¶ = 0 y, por ser ~ k arbitrario, Z V ∇ ∧ ~ x dv = Z S ~ n ∧ ~ x ds j-14. Dado un campo central, cuya magnitud dependa solamente de la distancia r al centro, demuestre que es irrotacional. Solución: Según el formulario, en coordenadas esféricas y teniendo en cuenta que ~ A = (f(r), 0, 0) ∇∧~ a = 1 r2 sen θ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b r r b θ r sen θ b ϕ d d r 0 0 f(r) 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0 j-15. Demuestre que, en coordenadas cartesianas, se puede escribir: ∆ ~ A = ∆ Ax b x + ∆ Ay b y + ∆ Az b z. j-16. Determine los Jacobianos J ³ x, y, z ρ, ϕ, z ´ y J ³ x, y, z r, θ, ϕ ´ . j-17. Calcule la circulación del campo ~ A = (2 x − y2) b x + 3 y z b y + b z, desde el punto a = (0, 0, 0) al c = (1, 1, 1), a lo largo del camino C = a → b → c, donde b = (1, 0, 0) (véase la figura J.19). Solución: Debemos realizar la integral, véase la figura J.19 I = Z c a(C) ~ A · ~ dl = Z b a(C1) ~ A · ~ dl | {z } I1 + Z c b(C2) ~ A ~ dl | {z } I2
- 666. j-24 x y z a=(0,0,0) b=(1,0,0) c=(1,1,1) Figura J.19: Camino C1: A lo largo de este camino y = 0, z = 0, luego I1 = Z 1 0 (Ax)y=0,z=0 dx Camino C2: A lo largo de este otro x = 1, y = z ⇒ dy = dz y I2 = Z 1 0 (Ay + Az)x=1,y=z dz Complete analı́ticamente el problema y compruebe el resultado con el siguiente programa. Programa Mathematica prob − h17.nb: A = {2x − y2 , 3y ∗ z, 1}; Ax1 = A[[1]]/.{y → 0, z → 0}; Aymz2 = (A[[2]] + A[[3]])/.{x → 1, y → x}; INT = Z 1 0 Ax1 dx + Z 1 0 Aymz2 dz j-18. Plantee el cálculo del flujo de un vector ~ A a través de la superficie definida lateral- mente por x2 + y2 = a2 y por las áreas circulares resultantes de la intersección de la superficie anterior con los planos z = z1 y z = z2. Traduzcalo a un programa Mathematica y considere los siguientes casos: a) ~ A = ~ r, a = 2, z1 = 0 y z2 = 2. Realice los cálculos analı́ticamente y com- pruébelos aplicando el programa.
- 667. j-25 b) ~ A = K q ~ r r3 , a = 2, z1 = −1 y z2 = 1. Resuélvalo haciendo uso del teorema de Gauss y mediante el programa. Solución: x 2 S1 S2 x y dS3 S3 n ^ n ^ z1 z2 n ^ 3 a -a (a) (b) (x) 1 (x) 2 f f ϕ a y x z 1 x 2 1 Figura J.20: Según podemos ver el la figura J.20a, debemos calcular el flujo a través de las bases del cilindro y de su superficie lateral. En el primer caso, debemos realizar la integral Φb = Z x2 x1 dx Z f2(x) f1(x) ~ A · ~ n dy donde ~ n = ±b z, según el caso, y f1(x) = −f2(x) = − √ a2 − x2. En el segundo, el dominio es rectangular y Φl = Z z2 z1 dz Z 2π 0 ~ A · ~ n dϕ siendo ~ n = b ρ = (cos ϕ, sen ϕ). Programa Mathematica prob − h18.nb: Planteamos la solución del apartado (b). Flujo por las bases a = 2; z1 = −1; z2 = 1; f1 = − p a2 − x2; f2 = −f1; x1 = −a; x2 = a;
- 668. j-26 r = {x, y , z}; r2 = r.r; ur = r √ r2 A = 1 4π ∗ eps q ∗ ur r2 ; normal1 = {0, 0, −1}; normal2 = {0, 0, 1}; fxy1 = A.normal1/.z → z1; fxy2 = A.normal2/.z → z2; Phi1 = Z x2 x1 µZ f2 f1 fxy1 dy ¶ dx; Phi2 = Z x2 x1 µZ f2 f1 fxy2 dy ¶ dx; Los paréntesis que encierran a la segunda integral no son necesarios. Se han uti- lizado para resaltar la estructura de la doble integral. Flujo lateral normal3 = {Cos[fi], Sin[fi], 0}; fiiz = (A.normal3/.{x → a ∗ Cos[fi], y → a ∗ Sin[fi]}) ∗ a; Phi3 = Z z22 z1 µZ 2π 0 ffiz dfi ¶ dx; Flujo total Phi = N[Phi1 + Phi2 + Phi3] j-19. Calcule el trabajo realizado por un campo de fuerzas ~ A = x y b x + y2 b y en un des- plazamiento desde el origen hasta el punto a = (1, 1) a lo largo de la curva y = x2. j-20. Demuestre que el campo de fuerzas ~ A = (2 x y+z3) b x+x2 b y+3 x z2 b z es conservativo y calcule el trabajo realizado en un desplazamiento desde (1, −2, 1) a (3, 1, 4). j-21. Determine el flujo del campo vectorial ~ A = z b x + x b y + 3 y2z b z a través de una superficie limitada por los planos, x = 0, x = l, y = 0, y = l, z = 0, z = l. Llévelo a cabo por integración directa y mediante el teorema de la divergencia. j-22. Calcule la circulación del campo vectorial ~ A = (x3 − y) b x + (y2 + x) b y desde el punto a = (0, 1) hasta b = (1, 2) a lo largo de: a) a → b b) a → (1, 1) → b c) La parábola x = t2 + 1
- 669. j-27 b Eje de giro a Figura J.21: j-23. Calcule el momento de inercia de una aguja magnética de forma romboidal como la representada en la figura J.21. La masa total es M. Haga uso de la simetrı́a del problema para su resolución. j-24. Calcule el momento dipolar de la distribución plana de carga eléctrica, definida en el plano xy, correspondiente a las regiones 0 x ≤ 1 , −30o ≤ ϕ ≤ 30o , ρ = 1 y 0 x ≥ −1 , 120o ≥ ϕ ≥ 60o , ρ = −1. ρ es la densidad de carga. j-25. Halle el flujo del vector de posición a través de la superficie del cubo limitado por los planos x = ±1 , y = ±1 , z = ±1 (véase la figura J.22) 5. ^ ^ x=1 y=1 z=1 d s x y z (a) (b) r d s n=x x=1 Figura J.22: j-26. Calcule el flujo de un campo magnético ~ B = B b z a través de (véase la figura J.23) a) una superficie esférica de radio a b) la hemisfera de radio a centrada en el origen y definida en z ≥ 0 j-27. Dados los campos vectoriales: a) ~ A = ~ r a para r ≤ a b r a2 r2 para r a 5 Haga uso de las simetrı́as del problema.
- 670. j-28 B n ^ n ^ B B ds z ds ds* θ θ n θ∗ ^ Figura J.23: b) ~ B = b ϕ ρ a para ρ ≤ a b ϕ a ρ para ρ a dibuje las lı́neas de campo, halle las fuentes escalares y vectoriales en cada zona y clasifique los campos.
- 671. Apéndice K La Delta de Dirac La función δ de Dirac no es propiamente una función; su encuadramiento riguroso, desde el punto de vista matemático, requiere el uso de la teorı́a de distribuciones desar- rollada por L. Schwartz (véase [Friedman]). No obstante, la δ puede expresarse como limite de una sucesión de funciones, lo que nos permitirá dar una idea intuitiva y oper- ativa de la misma. (Véanse los apéndices de [Novozhilov, Levich-I, Born y Wolf] y las tablas [Spiegel et al.]). Esta función tiene una gran utilidad en fı́sica y nos permitirá, entre otras cosas, expresar magnitudes singulares en un punto como lı́mite de magnitudes continuas. K.1. Definición A) En una dimensión, definiremos a la δ de Dirac, figura K.1a, como una función de medida nula u x 0 x x 0 οο 0) (x-x 0) (x-x (a) (b) δ x Figura K.1: δ(x − x0) = 0 para x 6= x0 → ∞ para x → x0 (K.1) k-1
- 672. k-2 que, además, tiene área unidad Z ∞ −∞ δ(x − x0) dx = 1 (K.2) De otra forma Z x2 x1 δ(x − x0) dx = 1 si x0 ∈ [x1, x2] 0 si x / ∈ [x1, x2] por anularse δ(x) para todo x 6= 0. B) En tres dimensiones δ(~ r − ~ r0) = 0 para ~ r 6= ~ r0 → ∞ para ~ r → ~ r0 , Z V→∞ δ(~ r − ~ r0) dv = 1 (K.3) De la definición anterior se deduce que las dimensiones de la delta tridimensional son las de el inverso del volumen. [δ(~ r)] = L−3 (K.4) Como ya hemos dicho, no existe ninguna función que tenga exactamente las propiedades enunciadas, pero se verá más adelante que podemos imaginar diversas suce- siones δa(~ r − ~ r0), dependientes del parámetro a, tales que lı́m a→0 δa(~ r − ~ r0) = δ(~ r − ~ r0) de forma que se podrá siempre disponer de verdaderas funciones que, para a ε ar- bitrariamente pequeño, cumplan las condiciones anteriores con la necesaria precisión. Esto, desde el punto de vista fı́sico es plenamente satisfactorio y nos evita, por ahora, situar a la δ en un contexto más riguroso. Operativamente, entenderemos que el resul- tado de cualquier operación en la que intervenga esta función será el correspondiente al lı́mite, cuando a → 0, de los resultados obtenidos empleando δa. C) En coordenadas curvilı́neas qi, debemos escribir δ(~ r − ~ r0) = 1 h1 h2 h3 δ(q1 − q10) δ(q2 − q20) δ(q3 − q30) (K.5) donde el factor 1 h1 h2 h3 se introduce porque Z ∞ −∞ δ(qi − qi0) dqi = 1 y debe cumplirse la condición de normalización K.3.
- 673. k-3 D) Suele ser útil la definición de δ como la derivada de la función unitaria de Heav- iside, figura K.1b, o función escalón unitario Puede comprobarse que la derivada de esta función cumple las condiciones prescritas δ(x − x0) = d d x u(x − x0) ≡ u0 (x − x0) , u(x − x0) = Z x −∞ δ(x − x0) (K.6) K.2. Propiedades a) La propiedad fundamental de la δ es la de desplazamiento: Si f(~ r) es una función de buen comportamiento f(~ r0) = Z V→∞ f(~ r) δ(~ r − ~ r0) dv (K.7) La demostración intuitiva de esta propiedad es fácil si aplicamos sucesivamente las dos propiedades definitorias de la δ e integramos sobre sobre un pequeño volumen ∆V ² que contenga al punto ~ r0, véase la figura K.2 Z V→∞ f(~ r) δ(~ r − ~ r0) dv = Z ∆V f(~ r) δ(~ r − ~ r0) dv = f(~ r0) Z ∆V δ(~ r − ~ r0) dv = f(~ r0) 0 ε x - 0 /2 ε x 0 f(x) x f(x ) 0 x + /2 Figura K.2: b) δ no es una función y su ”derivada”tampoco lo es pero, sin embargo, podemos definir sus propiedades mediante el proceso de lı́mite enunciado al principio. Simbólica- mente, escribiremos d d x δ(x − x0) ≡ δ0 (x − x0). Haciendo uso de δa(x − x0) e integrando por partes, tenemos que Z ∞ −∞ f(x) δ0 a(x − x0) dx = [f(x) δa(x − x0)]∞ −∞ | {z } =0 − Z ∞ −∞ f0 (x) δa(x − x0) dx
- 674. k-4 y, tomando el lı́mite para a → 0 Z ∞ −∞ f(x) δ0 (x − x0) dx = −f0 (x0) (K.8) De forma general Z ∞ −∞ f(x) δ(n) (x − x0) dx = (−1)n f(n) (x0) (K.9) Otras propiedades de interés están reseñadas en el apéndice de formulario. K.3. Ejemplos de sucesiones de funciones que aproximan a la delta de Dirac Desde el punto de vista fı́sico, es preferible definir δ(x) como ’lı́mite’ de familias paramétricas de funciones, de area unitaria, relacionadas entre sı́ mediante un cambio de escala. Dada la función ϕ(x) tal que R ∞ −∞ ϕ(x) dx = 1, definimos δ(x) = lı́m a→0 δa , δa(x) ≡ 1 a ϕ( x a ) (K.10) Al escribir ’lı́ma→0’ en la expresión anterior no estamos haciendo un uso normal del concepto de lı́mite; en realidad, queremos indicar que, en el lı́mite a → 0, δa(x) se comporta integralmente como la delta de Dirac 1 lı́m a→0 Z ∞ −∞ δa(x) f(x) dx = f(0) (K.11) – 1) La delta de Dirac como sucesión de pulsos cuadrados, figura K.3a. Sea a = 1 n y δn(x − x0) = 0 para |x − x0| ∆ n n ∆ para |x − x0| ∆ n En esta sucesión, a medida que n aumenta, la base tiende a cero y la altura a infinito pero todas las δn tiene área unitaria, luego lı́mn→∞ δn(x − x0) = δ(x − x0). – 2) La delta de Dirac como lı́mite de una sucesión gaussiana, figura K.3b. δa(x − x0) = 1 a √ π e−( x−x0 a )2 En este caso lı́ma→0 δa(x − x0) = δ(x − x0). – 3) La delta de Dirac como lı́mite de funciones seno sobre arco, figura K.3c. δa(x − x0) = sen [a (x − x0)] π (x − x0) También aquı́ lı́ma→0 δa(x − x0) = δ(x − x0). 1 Veáse K.7.
- 675. k-5 a=3 a=1 a=1 a=3 0) (x-x δ a 0) (x-x δ a (b) (c) x 0 0) (x-x x ∆ n (a) x - /(2n) 0 x + /(2n) 0 ∆ ∆ δ x n 0 Figura K.3: K.4. Otras expresiones útiles de la δ –1) Nosotros haremos un uso frecuente de la expresión δ(~ R) = δ(~ r − ~ r 0 ) = − 1 4π ∇ 0 2 ( 1 R ) = − 1 4π ∇2 ( 1 R ) (K.12) donde ∇ opera sobre las componentes de ~ r y ∇ 0 sobre las de ~ r 0. x z ^ y ^ z ^ y ^ r ^ r ^ −r d Ω c d Ωl O ^ x O ds (a) (b) r ^ Figura K.4: Veamos que δ(~ r), ası́ definida, es efectivamente una delta de Dirac 2, figura K.4a. Puede comprobarse por diferenciación directa que 2 La función 1 r es singular en el origen pero podemos salvar esta dificultad empleando una δa con a pequeño pero finito. Véase el problema k-3.
- 676. k-6 − 1 4π ∇2 µ 1 r ¶ = 0 para ~ r 6= ~ 0 indefinida (∞) para ~ r → ~ 0 y, además, la integral de esta función, en un V → ∞ , o que contenga ~ r = ~ 0, es igual a la unidad. Z V→∞ ∇2 µ 1 r ¶ dv = Z ~ r=~ 0∈V ∇ · · ∇ µ 1 r ¶¸ dv = I S ∇ µ 1 r ¶ · d~ s = = − I S b r · ~ n r2 ds = − I S dΩ = −4π Efectivamente, de acuerdo con N.38 ~ ds · b r r2 = dsr r2 = sen θ dθ dϕ ≡ dΩ donde dΩ es el diferencial de ángulo sólido con que se ve d~ s desde el origen. Si se incluye el origen en V Z π θ=0 Z 2π ϕ=0 sen θ dθ dϕ = 4π Si el volumen no contiene al origen, figura K.4b, las contribuciones de dΩc y dΩl se anulan entre sı́ por ser iguales y contrarias, por lo que el ángulo sólido subtendido por la superficie es nulo. De acuerdo con ésto, δ(~ R) = − 1 4π ∇2 R( 1 R ) , ∇Rx f(R) = ∂ f(R) ∂ Rx = ∂ f(R) ∂ x = − ∂ f(R) ∂ x 0 – 2) En mecánica cuántica, y en el estudio de propagación de ondas, es muy útil la expresión δ(~ r − ~ r0) = 1 (2π)3 Z k3 ej~ k·(~ r−~ r0) d3 k (K.13) donde ~ k = (kx, ky, kz) es el vector de onda y d3k = dkx, dky, dkz. K.5. Ecuaciones de continuidad A partir de las definiciones microscópicas de las densidades dadas en el capı́tulo 1 pueden obtenerse las ecuaciones de continuidad, o de conservación, de la carga neta y de cada una de las especies de carga que componen el sistema.
- 677. k-7 Derivando la densidad de carga 1.5 ρ(~ r, t) = N X i=1 qi δ(~ r − ~ ri(t)) con respecto al tiempo ∂ρ(~ r, t) ∂t = N X i=1 ∂ ∂t {qi δ(~ r − ~ ri(t))} = = N X i=1 ∂qi ∂t δ(~ r − ~ ri(t)) | {z } (a) + N X i=1 qi ∂ ∂t δ(~ r − ~ ri(t)) | {z } (b) El término (a), como los demás de esta expresión, corresponde a un número de partı́culas que aparece, por unidad de tiempo y de volumen, en (~ r, t). Al escribir simbóli- camente ∂qi ∂t se indica que las partı́culas en cuestión, aunque tienen carga qi mientras existen, pueden aparecer, (∂|qi| ∂t 0), o desaparecer (∂|qi| ∂t 0) del entorno de (~ r, t), por procesos de creación o destrucción de carga. Si se tiene en cuenta que existen cargas de ambos signos y que, por el principio de neutralidad, en cada punto e instante se crea o se destruye tanta carga positiva como negativa, (a) puede escribirse como N X i=1 ∂qi ∂t δ(~ r − ~ ri(t)) = τ+(~ r, t) − τ−(~ r, t) = 0 donde τ+− son las tasas de creación de carga positiva y negativa (carga de cada signo creada por unidad de volumen y tiempo en (~ r, t)). Por el principio de neutralidad del universo, las tasas son iguales y su diferencia nula. El término (b) puede tratarse fácilmente mediante el cambio de variable ~ κ(~ r, t) ≡ ~ r −~ ri(t), que es función de ~ r y de t (a través de ~ ri(t)), lo que permite expresar a la delta de Dirac como δ(~ κ) y derivarla como función de función 3. De esta forma qi ∂ ∂t δ(~ r − ~ ri(t)) = qi ∂ δ(~ κ) ∂~ κ · ∂~ κ ∂t = −qi ~ vi · ∇δ(~ r − ~ ri(t)) = = −∇ · {qi ~ vi δ(~ r − ~ ri(t))} = −∇ · ~ i (K.14) En los pasos anteriores se ha tenido en cuenta que ∂~ κ ∂t = − ∂~ ri(t) ∂t = −~ vi(t) , que ∂ δ(~ κ) ∂~ κ = ∂ ∂~ r δ(~ r − ~ ri(t)) y se ha hecho uso del desarrollo de la divergencia del producto de un escalar por un vector teniendo en cuenta que ~ vi(t) no depende de ~ r. 3 Se hará uso de la notación general ∂/∂~ κ → (∂/∂κx, ∂/∂κy, ∂/∂κz). En particular, ∂/∂~ r → ∇.
- 678. k-8 Substituyendo en las ecuaciones anteriores, se deduce la ecuación de continuidad de la carga neta ∇ · ~ + ∂ρ ∂t = 0 (K.15) Si se expresa la densidad de carga neta como ρ = ρ+ + ρ−, suma de las densidades de carga positiva y negativa, se obtienen las ecuaciones de continuidad para las cargas de ambos signos ∇ · ~ +− + ∂ρ+− ∂t = τ+− (K.16)
- 679. k-9 K.6. Problemas k-1. Demuestre que δ(x − x0) = lı́m²→0 d S(x) d x , donde: S(x) = 0 para x x0 x−x0 ² para x0 ≤ x ≤ x0 + ε 1 para x x0 + ε Solución: 1 dS(x) dx x0 x + ε 0 ε 1 x S(x) x ε Figura K.5: Como se muestra en la figura K.5 d S(x) d x = 0 para x x0 1 ² para x0 ≤ x ≤ x0 + ε 0 para x x0 + ε d S(x) d x cumple las condiciones de la δ(x − x0): lı́m ε→0 d S(x) d x → ∞ , x0 ≤ x ≤ x0 + ε Z ∞ −∞ d S(x) d x dx = 1
- 680. k-10 k-2. Demuestre que lı́ma→0 δa = δ(x) para δa = 1 a µ 1 − cos 2π ( x a − 1 2 ) ¶ para |x| ≤ a 0 para |x| a Solución: Programa Mathematica prob − I2.nb Estudiaremos unos cuantos elementos de la serie δa = da dando a a valores enteros 1 = 1, · · · , n n = 4; da = If[x a 2 x − a 2 , 1 a 1 − Cos[2π x − a 2 a ] , 0]; Definimos dos listas, area y graficas, de dimensión n, para almacenar los valores de las áreas y las gráficas de las δa correspondientes a los distintos valores de a. area = 0; Do[area = Append[area, 0], {i, 2, n}]; graficas = area; Calculamos las áreas. Do[area[[i]] = µZ a −a da dx) ¶ /.a → i, {i, 1, n}]; y representamos sus valores en la figura K.6 ListPlot[area, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], AbsolutePointSize[5]}, AxesLabel → {”a”, ”area”}]; comprobando que area = 1 en todos los casos. 1.5 2 2.5 3 3.5 4 a 0.5 1 1.5 2 area Figura K.6:
- 681. k-11 Realizamos las distintas gráficas sin mostrarlas Do[graficas[[i]] = Plot[da/.a → i, {x, −0.6 ∗ i, 0.6 ∗ i}, PlotStyle → RGBColor[1 − i − 1 n , 0, i n ]], DisplayFunction → Identity, {i, 1, n}]; y las representamos superpuestas en la figura K.7 Show[graficas, DisplayFunction → $DisplayFunction]; mostrando que, conforme la anchura de la función decrece, la altura h crece de forma que lı́ma→0 h = ∞. -2 -1 1 2 0.5 1 1.5 2 Figura K.7: k-3. Demuestre a) Que la función fa = − 1 2πa µ 1 − r2 a2 + 1 2 r3 a3 ¶ para r ≤ a − 1 4πr para r a tiene un gradiente ∇ fa continuo cuya divergencia ∇2 fa es también contı́nua. b) Que lı́ma→0 ∇2 fa = δ(~ r). Solución: Programa Mathematica: Comenzamos haciendo los cálculos analı́ticamente. Dejamos el cálculo sin orde- nador como ejercicio. Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
- 682. k-12 Definimos la funcion en el interior frint y en el exterior frext de la esfera de radio a y comprobamos que es continua. frint = − 1 2π ∗ a µ 1 − r2 a2 + 1 2 r3 a3 ¶ ; frext = − 1 4π ∗ r ; (frint − frext)/.r → a Dado la función depende sólo de r, la única componente del gradiente que no es nula es la radial. Nos limitamos, pués, al cálculo de última. Definimos la función gradiente, grad[f ], de forma que pueda aplicarse a una fun- ción de nombre arbitrario, se lo aplicamos a las fuciones anteriores y comprobamos la continuidad del vector resultante. grad[f ] := ∂r f; vecAint = Expand[grad[frint]] vecAext = Expand[grad[frext]] (vecAint − vecAext)/.r → a Hacemos lo mismo para la divergencia div[f ] div[f ] := 1 r2 ∂r (r2 ∗ f); divint = Expand[div[vecAint]] divext = Expand[div[vecAext]] (divint − divext)/.r → a y comprobamos que ésta, en el origen, tiende a ∞ cuando a → 0 Limit[divint/.{r → 0, a → 0}] Para finalizar, verificamos que la integral de volumen de ∇2 fa es la unidad. Hace- mos este cálculo para valores arbitrarios a = n n = 2; diva = divint/.a → n volumen = 4π Z n 0 diva ∗ r2 dr Seguimos con la representación gráfica de cada una de estas funciones. Remove[”Global‘ ∗ ”]; Off[General :: ”spell1”];
- 683. k-13 $TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12}; Primero representamos fa para a=1 en la figura K.8. fra = If[r ≤ a, − 1 2π ∗ a µ 1 − r2 a2 + r3 2a3 ¶ , − 1 4π ∗ r ]; Plot[{fra/.a → 1, 0}, {r, 0, 2}, PlotStyle → {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 0]}, GridLines → {{1}, None}]; 0.5 1 1.5 2 -0.15 -0.125 -0.1 -0.075 -0.05 -0.025 Figura K.8: a continuación, su gradiente en la figura K.9 vecA = (∂r fra); Plot[vecA/.a → 1, {r, 0, 2}, PlotStyle → RGBColor[0, 0, 1], GridLines → {{1}, None}]; 0.5 1 1.5 2 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Figura K.9: y, por último, su divergencia en la figura K.10. Ésta la representamos para tres valores distintos de a. div = 2 vecA r + ∂r vecA; grafdiv = {0}; Do[grafdiv = Append[grafdiv, 0], {i, 1, 2}];
- 684. k-14 Do[{Which[i == 1, {rc = 1, gc = 0, bc = 0}, i == 2, {rc = 0, gc = 1, bc = 0}, i == 3, {rc = 0, gc = 0, bc = 1}], grafdiv[[i]] = Plot[div/.a → √ i, {r, 0, 2}, PlotStyle → RGBColor[rc, gc, bc], DisplayFunction → Identity, PlotRange → All]}, {i, 1, 3}]; Show[grafdiv, DisplayFunction → $DisplayFunction]; 0.5 1 1.5 2 0.2 0.4 0.6 0.8 Figura K.10:
- 685. Apéndice L Desarrollo en serie y Transformada de Fourier Nos limitaremos aquı́ a recordar brevemente los aspectos fundamentales del desa- rrollo y la transformada de Fourier. Basándonos en estas técnicas daremos una mayor generalidad al estudio de los sistemas lineales y a la propagación de ondas electro- magnéticas. L.1. Desarrollo en serie de Fourier Sea f(t) una función continua de una variable t en el intervalo [a, b]. Dentro de ese intervalo es posible representar a f(t) como f(t) = ∞ X i=1 ai φi(t) siempre que {φi(t)} sea un conjunto de funciones ortogonal y completo en dicho inter- valo. La ortogonalidad implica que Z b a φi φj dt = 0 si i 6= j 6= 0 si i = j En particular el conjunto de funciones 1, cos (n ω0 t), sen (n ω0 t) , n = 1, 2... (L.1) es ortogonal en cualquier intervalo I = [t, t + T0], donde T0 = 2π ω0 . T0 es el periodo fundamental, ω0 = 2π T0 la frecuencia (angular) fundamental y n el número armónico. Además es completo para funciones continuas y acotadas dentro I. La ortogonalidad es fácilmente comprobable, ya que l-1
- 686. l-2 R t+T0 t cos (2π n t T0 ) cos (2π n 0 t T0 ) dt R t+T0 t sen (2π n t T0 ) sen (2π n 0 t T0 ) dt = δn n 0 T0 2 (L.2) Por tanto, si f(t), figura L.1, es acotada y continua en I, podrá expresarse en este último como f(t) = fd(t) = a0 2 + ∞ X n=1 (ai cos n ω t + bi sen n ω t) (L.3) fd(t) es el desarrollo en serie de Fourier de f(t) y coincide con esta función en el intervalo I pero no fuera del mismo donde se repite periódicamente. f(t) d T0 (t) f(t) a b f Figura L.1: Sus coeficientes son an = 2 T0 Z t+T0 t f(t) cos n ω0 t dt , n = 0, 1, 2 · · · bn = 2 T0 Z t+T0 t f(t) sen n ω0 t dt , n = 1, 2 · · · (L.4) Este desarrollo será también válido para el intervalo (−∞, ∞) si f(t) es periódica de periodo T0. Si se tienen en cuenta las fórmulas de Euler, podemos expresar L.3 en forma compleja f(t) = ∞ X n=−∞ cn ej n ω0 t (L.5) siendo cn = 1 T0 Z t+T0 t f(t) e−j n ω0 t dt (L.6) En definitiva, el desarrollo en serie de Fourier consiste en transformar la función f(t), dentro de un intervalo I, en un número infinito de coeficientes cn, que contienen la misma información que f(t) en dicho intervalo.
- 687. l-3 Dado que no podemos tomar infinitos términos del desarrollo, en la práctica se aproxima a fp(t) mediante fN (t) = N X n=−N cn ej n ω0 t (L.7) Se puede demostrar que la función error cuadrático E2 = Z b a [f(t) − f 0N (t)]2 dt , f 0N (t) = N X n=−N c 0 n ej n ω0 t se minimiza haciendo c 0 n = cn, por lo que L.7 es la serie de Fourier que mejor aproxima a fp(t) desde el punto de vista del error cuadrático. L.2. Transformada de Fourier Hemos visto que el desarrollo en serie de Fourier nos sirve para representar funciones en un intervalo finito e incluso, cuando son periódicas, en un intervalo infinito. Veremos que, bajo ciertas condiciones, funciones que se extienden en el tiempo en el intervalo (−∞, ∞) admiten, si no el desarrollo anterior, una transformación, la de Fourier, que resulta de extender el concepto de desarrollo. Las funciones más comunes en fı́sica, son de cuadrado sumable 1 Z ∞ −∞ |f(t)|2 dt = finita Se puede demostrar que esta condición es suficiente, aunque no necesaria, para que exista la transformada. Volviendo al desarrollo, observamos que los coeficientes cn → 0, cuando T0 → ∞. Si queremos obtener una representación de funciones que se extiendan en un intervalo infinito, debemos modificar el desarrollo de forma que se soslaye este problema. Sea un intervalo finito £ −T0 2 , T0 2 ¤ y desarrollemos f(t) dentro de él. f(t) = ∞ X n=−∞ cn ej n ω0 t , cn = ω0 2π Z T0 2 − T0 2 f(τ) e−j n ω0 τ dτ Substituyendo cn en la expresión de f(t) f(t) = ∞ X n=−∞ ω0 2π Z T0 2 − T0 2 f(τ) e−j n ω0 τ dτ # ej n ω0 t Si ahora escribimos ∆ ω ≡ ω0 y definimos una nueva variable ω ≡ n ∆ ω = n ω0, en el lı́mite T0 → ∞, ∆ ω → dω y 1 Esta condición no la cumplen, entre otras, la funciones armónicas puras, aunque las incluiremos entre las transformables con ayuda de la delta de Dirac.
- 688. l-4 f(t) = 1 2π Z ∞ ω=−∞ F(ω) ej ω t dω (L.8) expresión de la transformada inversa de Fourier de la función F(ω), donde F(ω) ≡ F[f(t)] = Z ∞ t=−∞ f(t) e− j ω t dt (L.9) es la transformada directa de Fourier. Entrambas forman el par de transformadas de Fourier. En este texto se han escrito las variables como t y ω, notación correspondiente a funciones temporales y armónicas, que son variable duales. Este formalismo puede utilizarse para cualquier otro par de variables duales, como x y k, donde la primera es la variable espacial y k = 2π λ su dual, y para cualquier número de dimensiones. En la trasformada inversa L.8 aprece la constante 1/2π multiplicando a la integral y el signo (−) en el argumento de la exponencial, lo cual es objeto de convenio. En otros textos la constante se reparte entre la transformación directa L.9 y la inversa y el signo se intercambia entre éstas. El producto de ambas constantes debe ser tal que Ci Cd = 1 2π y los signos de los argumentos de las exponenciales correspondientes deben ser opuestos. Hay que tener en cuenta que es necesario que la transformada inversa de la transformada directa debe resultal en la función inicial: F−1 [F[f(t)]] = f(t) Al consutar tablas o referencias, es preciso tener muy presente las opciones utilizadas en cada caso. En particular, nosotros empleamos la convención utilizada en este apéndice para t pero, según el caso, se introduce en la exponencial uno u otro signo. En el formulario se reseñan algunas de las propiedades de esta transformada. L.3. Ejemplos L.3.1. Desarrollo en serie Sea la función de la figura L.2a. Ésta no tiene transformada de Fourier por no ser de cuadrado sumable. Sin embargo, se puede desarrollar en serie por ser periódica de periodo T0. Los coeficientes del desarrollo son cn = A 2 sen n π 2 n π 2 Estos coeficientes pueden expresarse, como números complejos en función de su módulo |cn| y su fase ϕ como cn ejϕ (véase la figura L.2b).
- 689. l-5 t 1 2 3 4 5 6 7 n Π j T /2 0 -T /2 0 (a) (b) f(t) A 1 2 3 4 5 6 7 n 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2ÈcnÈA Figura L.2: t A f(t) a -a -3 Π -2 Π -Π Π 2 Π 3 Π Ω a F@fD -3 Π -2 Π -Π Π 2 Π 3 Π Ω a ÈF@fDÈ, j (a) (b) ϕ π |F[f]| Figura L.3:
- 690. l-6 L.3.2. Transformada Para la función de la figura L.3a F(ω) = 2 A a sen ω a ω a En la figura L.3b se representan el módulo y la fase de la función.
- 691. l-7 L.4. Problemas l-1. Halle el desarrollo en serie de Fourier de las siguientes funciones: -t f(t) t F0 f(t) t F0 T0 T0 1 (a) (b) -t 1 Figura L.4: l-2. Calcule y represente la transformada de Fourier de las siguientes funciones: f(t) F0 t(s) 1 1,1 Para y N=10 N=1 f(t) F0 t(s) 1 2 f(t) F0 t(s) T NT 0 0 (a) (b) (c) Figura L.5:
- 692. l-8
- 693. Apéndice M Tablas M.1. Constantes fı́sicas Sı́mbolo Nombre Valor c velocidad de la luz 2, 997 924 58 108 m.s−1 µ0 permeabilidad magnética 4π 10−7 H.m−1 ' 1, 256 64 10−6 H.m−1 ε0 permitividad eléctrica 8, 854 187 8 10−12 F.m−1 e carga del protón 1, 602 189 2 10−19 C me masa en reposo del electrón 9, 109 534 10−31 kg mp masa en reposo del protón 1, 672 648 10−27 kg k constante de Boltzmann 1, 380 662 10−23 J.K−1 h constante de Plank 6, 626 176 10−34 J.s M.2. Unidades del SI Magnitud Unidad Simbolo unidad Admitancia siemens S Capacidad faradio F Carga culombio C Densidad de flujo magnético tesla T Flujo magnético weber Wb Impedancia ohmio Ω inducción henrio H Intensidad* amperio A Potencial voltio V (*) El amperio es la unidad fundamental. M.3. Conversión eV À J y gauss À T 1 eV = 1, 602 189 2 10−19 Julios 1 gauss = 10−4 Tesla m-1
- 694. m-2 M.4. Propiedades dieléctricas Substancia Constante dieléctrica relativa εr Agua de mar 70 Agua destilada 81 Aire 1.0006 Caucho 3 Cuarzo 6 Parafina 2.2 Poliestireno 2.2 Titanato de bario 1200 Vacı́o 1 Vidrio Flint 10 M.5. Propiedades magnéticas 1 Materiales débilmente magnéticos (’no magnéticos’): Substancia Susceptibilidad magnética χm (×10−5) diamagnétidos Agua −0.88 Bismuto −16.5 Cobre −3.2 Mercurio −0.98 Oro −3.6 Plata −2.4 paramagnétidos Aire 0.036 Aluminio 2.1 Gadolinio 0.48 105 Magnesio 1.2 Oxı́geno 0.2 Paladio 82 Wolframio 7.8 1 Los valores mostrados en las siguientes tablas corresponden a condiciones normales de presión y temperatura y a baja frecuencia.
- 695. m-3 Materiales ferromagnéticos: Substancia Pemeabilidad relativaµr a Cobalto 250 Hierro b 5000 Hierro c 2 105 Niquel 600 Permalloy d 1 105 Supermalloy e 1 106 ( a) Estos materiales son altamente no limeales. Los valores mostrados son indica- tivos de los máximos y dependen en gran medida de la pureza de los materiales y del procedimiento de fabricación de los mismos. ( b) Pureza del 80 %. ( c) Puerza del 95 %. ( d) Composición 77 % Ni y 15 % Fe. ( e) Composición 79 % Ni y 5 % Mo. Órdenes de magnitud de los campos magnéticos: Objeto Orden de magnitud (gauss) Espacio interestelar 10−5 − 10−6 Espacio intergaláctico 10−7 − 10−9 Estrella magnéticas 102 − 108 Sol (medio) 1 Púlsares 1011 − 1013 Sol (manchas) 102 − 103 Tierra 1
- 696. m-4 M.6. Conductividades Substancia Conductividad S · m−1 Metales Aluminio 3.7 107 Cobre 6 107 Hierro 1 107 Mercurio 0.1 107 Oro 4.5 107 Plata 6.3 107 Semiconductores Rango 10−4 − 104 Germanio intrı́nseco 2.2 Silicio intrı́nseco 4.4 10−4 Otros (valores aproximados) Aceite de transformador 10−11 Agua de mar 4 Agua destilada 10−4 Agua dulce 10−3 Caucho 10−15 Cuarzo fundido 10−17 Tierra húmeda 10−3 Tierra seca 10−5 Vidrio 10−12
- 697. Apéndice N Formulario matemático N.1. Relaciones vectoriales y diádicas N.1.1. Productos ~ a · (~ b ∧ ~ c) = ~ b · (~ c ∧ ~ a) = ~ c · (~ a ∧~ b) (N.1) ~ a ∧ (~ b ∧ ~ c) = ~ b (~ a · ~ c) − ~ c (~ a ·~ b) (N.2) (~ a ∧~ b) · (~ c ∧ ~ d) = (~ a · ~ c)(~ b · ~ d) − (~ a · ~ d)(~ b · ~ c) (N.3) ~ a · (~ b~ c) = (~ a ·~ b)~ c , , (~ a~ b) · ~ c = ~ a (~ b · ~ c) , , (~ a~ b)αβ ≡ aα aβ (N.4) ~ a· ↔ I = ~ a , , ( ↔ I )αβ = δαβ (N.5) N.1.2. Gradiente ∇(f + g) = ∇ f + ∇ g (N.6) ∇(f g) = f ∇g + g ∇f (N.7) ∇(~ a ·~ b) = (~ a · ∇)~ b + (~ b · ∇)~ a + ~ a ∧ (∇ ∧~ b) +~ b ∧ (∇ ∧ ~ a) (N.8) ∇f(r) = b r d f d r , , ∇r = b r , , ∇( 1 r ) = − 1 r2 b r (N.9) N.1.3. Divergencia ∇ · (~ a +~ b) = ∇ · ~ a + ∇ ·~ b (N.10) ∇ · (f ~ a) = f ∇ · ~ a + ~ a · ∇f (N.11) ∇ · (~ a ∧~ b) = ~ b · ∇ ∧ ~ a − ~ a · ∇ ∧~ b (N.12) ∇ · ∇ ∧ ~ a = 0 (N.13) ∇ · ∇f = ∇2 f (N.14) ∇ · ~ r = 3 (N.15) n-1
- 698. n-2 N.1.4. Rotacional ∇ ∧ (~ a +~ b) = ∇ ∧ ~ a + ∇ ∧~ b (N.16) ∇ ∧ (f ~ a) = f ∇ ∧ ~ a + ∇f ∧ ~ a (N.17) ∇ ∧ (~ a ∧~ b) = ~ a ∇ ·~ b −~ b ∇ · ~ a + (~ b · ∇)~ a − (~ a · ∇)~ b (N.18) ∇ ∧ (∇ ∧ ~ a) = ∇(∇ · ~ a) − ∇2 ~ a (N.19) ∇ ∧ (∇f) = 0 , , ∇ ∧ ~ r = 0 (N.20) ∇ ∧ ~ a(u) = ∇u ∧ d~ a d u (N.21) N.1.5. Laplaciana ∇2 ( 1 r ) = −4π δ(~ r) (N.22) ∇2 ~ a ≡ ∇(∇ · ~ a) − ∇ ∧ (∇ ∧ ~ a) (N.23) ∇2 ~ a = ∂2 ax ∂ x2 + ∂2 ay ∂ y2 + ∂2 az ∂ z2 , , (Solo en cartesianas) N.1.6. Teoremas integrales Z V ∇ · ~ a dv = I S ~ a · ~ n ds (N.24) Z V ∇· ↔ T dv = I S ~ n· ↔ T ds (N.25) Z S (∇ ∧ ~ a) · ~ n ds = I L ~ a · d~ l (N.26) Z V ∇f dv = I S f ~ n ds (N.27) Z V ∇ ∧ ~ a dv = I S ~ n ∧ ~ a ds (N.28) Z S ~ n ∧ ∇f ds = I L f d~ l (N.29) N.2. Coordenadas cuvilı́neas N.2.1. Cuadro resumen Sistema q1 q2 q3 b x b y b z h1 h2 h3 Cartesianas x y z b x b y b z 1 1 1 Cilı́ndricas ρ ϕ z b ρ b ϕ b z 1 ρ 1 Esféricas r θ ϕ b r b θ b ϕ 1 r r sen θ
- 699. n-3 N.2.2. Vector de posición − Cartesianas: ~ r = x b x + y b y + z b z (N.30) − Cilı́ndricas: ~ r = ρ b ρ + z b z = ρ cos ϕ b x + ρ sen ϕ b y + z b z (N.31) − Esféricas: ~ r = r b r = r (sen θ cos ϕ b x + sen θ sen ϕ b y + cos θ b z) (N.32) N.2.3. Vector diferencial de lı́nea − Cartesianas: d~ l = dx b x + dy b y + dz b z (N.33) − Cilı́ndricas: d~ l = dρ b ρ + ρ dϕ b ϕ + dz b z (N.34) − Esféricas: d~ l = dr b r + r dθ b θ + r sen θ dϕ b ϕ (N.35) N.2.4. Elemento de volumen − Cartesianas: dv = dx dy dz (N.36) − Cilı́ndricas: dv = ρ dρ dϕ dz (N.37) − Esféricas: dv = r2 sen θ dr dθ dϕ (N.38) N.2.5. Gradiente − Cartesianas: ∇ = b x ∂ ∂ x + b y ∂ ∂ y + b z ∂ ∂ z (N.39) − Cilı́ndricas: ∇ = b ρ ∂ ∂ ρ + 1 ρ b ϕ ∂ ∂ ϕ + b z ∂ ∂ z (N.40) − Esféricas: ∇ = b r ∂ ∂ r + 1 r b θ ∂ ∂ θ + 1 r sen θ b ϕ ∂ ∂ ϕ (N.41) Solo en cartesianas puede utilizarse ∇ como un operador vectorial. N.2.6. Divergencia − Cartesianas: ∇ · ~ a = ∂ ax ∂ x + ∂ ay ∂ y + ∂ az ∂ z (N.42) − Cilı́ndricas: ∇ · ~ a = aρ ρ + ∂ aρ ∂ ρ + 1 ρ ∂ aϕ ∂ ϕ + ∂ ∂ z (N.43) − Esféricas: ∇ · ~ a = 2 ar r + ∂ ar ∂ r + aθ r cotg θ + 1 r ∂ aθ ∂ θ + 1 r sen θ ∂ aϕ ∂ ϕ (N.44)
- 700. n-4 N.2.7. Rotacional − Cartesianas: ∇∧~ a = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b x b y b z ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ax ay az ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (N.45) − Cilı́ndricas: ∇∧~ a = 1 ρ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b ρ ρ b ϕ b z ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ϕ ∂ ∂ z aρ ρ aϕ az ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (N.46) − Esféricas: ∇∧~ a = 1 r2 sen θ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b r r b θ r sen θ b ϕ ∂ ∂ r ∂ ∂ θ ∂ ∂ ϕ ar r aθ r sen θ aϕ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (N.47) N.2.8. Laplaciana − Cartesianas: ∇2 λ = ∂2 λ ∂ x2 + ∂2 λ ∂ y2 + ∂2 λ ∂ z2 (N.48) − Cilı́ndricas: ∇2 λ = 1 ρ ∂ ∂ ρ µ ρ ∂ λ ∂ ρ ¶ + 1 ρ2 ∂2 λ ∂ ϕ2 + ∂2 λ ∂ z2 (N.49) − Esféricas: ∇2 λ = 2 r ∂ λ ∂ r + ∂2 λ ∂ r2 + cot θ r2 ∂ λ ∂ θ + 1 r2 ∂2 λ ∂ θ2 + 1 r2 sen2 θ ∂2 λ ∂ ϕ2 (N.50) Solo en cartesianas ∇2 ~ a = ∇2 ax + ∇2 ay + ∇2 az (N.51) En general ∇2 ~ a ≡ ∇(∇ · ~ a) − ∇ ∧ (∇ ∧ ~ a) (N.52) N.3. Ángulo sólido ~ ds · b r r2 = dsr r2 = sen θ dθ dϕ ≡ dΩ (N.53) Z π θ=0 Z 2π ϕ=0 dΩ = 4π (N.54)
- 701. n-5 N.4. La Delta de Dirac N.4.1. definiciones δ(x − x0) = 0 para x 6= x0 → ∞ para x → x0 (N.55) Z ∞ −∞ δ(x − x0) dx = 1 (N.56) δ(~ r − ~ r0) = 0 para ~ r 6= ~ r0 → ∞ para ~ r → ~ r0 , , Z V→∞ δ(~ r − ~ r0) dv = 1 (N.57) δ(~ r − ~ r0) = 1 h1 h2 h3 δ(q1 − q10) δ(q2 − q20) δ(q3 − q30) (N.58) δ(x − x0) = d d x u(x − x0) ≡ u0 (x − x0) , , u(x − x0) = Z x −∞ δ(x − x0) (N.59) N.4.2. Expresiones integrales y diferenciales de la delta de Dirac δ(~ r − ~ r0) = 1 (2π)3 Z k3 ej~ k·(~ r−~ r0) d3 k (N.60) δ(~ R) = δ(~ r − ~ r 0 ) = − 1 4π ∇ 02 ( 1 R ) = − 1 4π ∇2 ( 1 R ) (N.61) N.4.3. Propiedades básicas δ(−x) = δ(x) (N.62) x δ(x) = 0 (N.63) δ(a x) = 1 a δ(x , , a 0) (N.64) Z ∞ −∞ δ(x − a) δ(x − b) dx = δa − b (N.65) δ(x2 − a2 ) = 1 2a [δ(x − a) + δ(x + a)] (N.66) f(x) δ(x − a) = f(a) δ(x − a) (N.67)
- 702. n-6 x δ 0 (x) = −δ(x) (N.68) δ 0 (−x) = −δ 0 (x) (N.69) f(~ r0) = Z V→∞ f(~ r) δ(~ r − ~ r0) dv (N.70) Z ∞ −∞ f(x) δ0 (x − x0) dx = −f0 (x0) (N.71) Z ∞ −∞ f(x) δ(n) (x − x0) dx = (−1)n f(n) (x0) (N.72) δ[h(x)] = X xi δ(x − xi) |dh(xi)/dx| , , xi son los ceros de h(x) (N.73) N.5. Series y transformadas de Fourier N.5.1. Series f(t) = fd(t) = a0 2 + ∞ X n=1 (ai cos n ω t + bi sen n ω t) (N.74) an = 2 T0 Z t+T0 t f(t) cos n ω0 t dt , , n = 0, 1, 2 · · · (N.75) bn = 2 T0 Z t+T0 t f(t) sen n ω0 t dt , , n = 1, 2 · · · (N.76) f(t) = ∞ X n=−∞ cn ej n ω0 t (N.77) cn = 1 T0 Z t+T0 t f(t) e−j n ω0 t dt (N.78) N.5.2. Transformadas f(t) = 1 2π Z ∞ ω=−∞ F(ω) ej ω t dω (N.79) F(ω) ≡ F[f(t)] = Z ∞ t=−∞ f(t) e− j ω t dt (N.80)
- 703. n-7 F[A f(t) + B g(t)] = A F(ω) + B G(ω) (N.81) F[ d d t f(t)] = j ω F(ω) (N.82) F[ Z f(t) dt] = 1 j ω F(ω) (N.83) F[δ(t)] = 1 (N.84)
- 704. n-8 .
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- 710. bib-6 .
- 711. in-1 Ampère, h-3 ley de, 49 amperio, 15 Arago, h-3 Aritóteles, h-1 asociación de elementos, e-15 de resistencias, 291 Bessel ecuación de, a-16 función de, a-16 Bode diagramas de, g-5 botella magnética, 215, 225 cono de fugas, 217 espejo magnético, 217 campo electromagnético densidad de flujo magnético ~ B, 21 desplazamiento eléctrico ~ D, 263 electrostático, 37 intensidad eléctrica ~ E, 21 intensidad magnética ~ H, 263 magnético estacionario, 46 campo magnético de objetos celestes, c-8 campo magnético terrestre, c-1 anomalı́as, c-4 autodinamo, c-6 cinturones de Van Allen, c-5 declinación, c-4 dipolo geomagnético, c-4 inclinación, c-4 ionosfera, c-2 magnetopausa, c-5 magnetosfera, c-1 magnetovaina, c-5 variación secular, c-6 variaciones temporales, c-6 viento solar, c-1 Cantón, h-2 Cavendish, h-3 Coulomb, h-3 contraste de, 111 ley de, 37, 268 Crookes, h-8 campo, j-1 escalar, j-1 irrotacional (conservativo), 10, j-11 lı́neas de campo, j-3 rotacional, j-12 solenoidal, 10 superficies equiescalares, j-3 tubos de campo, j-3 vectorial, j-1 cargas de conducción (libres), 249 de polarización (ligadas), 249 de polarización eléctrica, 256 testigo, 3 carretres de Helmholtz, 91 estudio numérico del campo, 91 ciclo de histéresis, 265 campo coercitivo, 266 campo remanente, 266 curva de histéresis principal, 266 curva de primera imanación, 266 energı́a disipada, 321 estado desmagnetizado, 266 punto de saturación, 266 cinturones de Van Allen, 217 circuitos magnéticos, d-20 entrehierro, d-21 fuerza magnetomotriz, d-21 imán, d-23 lineales, d-20 no lineales, d-22 reluctancia, d-21 circuitos, e-1, 292 admitancia, e-14 análisis, e-17 mallas, e-21 nudos, e-22 anchura de banda, e-51 asociación de elementos, e-15 caı́da de potencial, e-1 circuito, e-10
- 712. in-2 activo, e-11 pasivo, e-10 conexión con la teorı́a de campos, e-1 constante de tiempo, e-31 corrientes cuasiestacionarias, e-1 de primer orden respuesta armónica, e-38 transitorio, e-30 de segundo orden respuesta armónica, e-49 transitorio, e-42 divisor de tensión, 305 ecuación caracterı́stica, e-34 elemento pasivo, e-5 autoinducción, e-6 condensador, e-7 de cuatro terminales, f-1 de dos terminales, e-2, e-10 diodo, e-8 disipativo, e-5 fuentes de intensidad, e-8 fuentes de tensión, e-8 fuentes independientes, e-8 fuentes reales, e-9 independiente del tiempo, e-10 lineal, e-10 real, e-9 resistencia, e-5 transformador ideal, f-1 fasor temporal, e-13 independiente del tiempo, e-13 frecuencia de corte, e-40 a 3 Db, e-50 fuente de fuerza electromotriz real, 290 fuentes dependientes, f-6 equivalencia, e-20 función de transferencia, e-14 impedancia, e-14 intensidad, e-2 ley del coseno de ϕ, e-27 leyes de Kirchhoff, e-10 malla, e-11, 292 nudo, e-11, 292 parámetros localizados, e-1 pasivo, 289 planos, 292 potencia, e-26 rama, e-11, 292 respuesta a un impulso, e-32 respuesta armónica, e-12 fasores, e-14 serie RL y paralelo RC, e-30 serie y paralelo RLC, e-42 factor Q, e-43 frecuencia de resonancia, e-43 razón de amortiguamiento, e-43 sistema crı́ticamente amortiguado, e-46 sistema debilmente amortiguado, e-46 sistema sobreamortiguado, e-45 sobredisparo, e-47 sonda atenuadora, e-55 tensión, e-1 teorema de máxima transferencia de potencia, e-29 de Norton, e-24 de superposición, e-24 de Thevenin, e-24, 307 tierra, e-18 clasificación de los campos, 9 irrotacional y no solenoidal, 11 rotacional y no solenoidal, 12 rotacional y solenoidal, 11 solenoidal, 10 coeficiente de autoinducción, 100 de inducción mutua, 100 condensador capacidad, 80 ideal, 80 condiciones de continuidad, 311 condiciones de contorno, 316 de Dirichlet, 317
- 713. in-3 de Neumann, 317 esenciales, b-24 mezcladas, 317 condiciones de contraste, 111 conductores, 281 conductividad, 282 dinámicos ideales, 144 estáticos, 79, 283 campo superficial, 284 fuerza superficial, 286 potencial, 284 medios óhmicos, 281, 282 tiempo de relajación, 283 movilidad, 282 portadores de carga, 281 conservación de la cantidad de movimento, 125 de la energı́a, 320 constante dieléctrica, 264 compleja, 326 contraste de Coulomb, 111 de Lorenz, 111 coordenadas curvilı́neas, j-13 catesianas, j-15 cilı́ndricas, j-17 esféricas, j-16 expresión de los operadores, j-15 corriente estacionaria fuente ideal de fuerza electromotriz, 289 fuerza electromotriz, 287 resistencia, 288 resistencia ideal, 289 corriente estacionaria, 287 de desplazamiento en el vacı́o, 109 de polarización dieléctrica, 258 estacionaria, 20 intensidad, 20 culombio, 15 D’Alembert ecuación de, 127 Davy, h-4 delta de Dirac, k-1 aproximación, k-4 ecuación de continuidad, k-6 otras expresiones, k-5 propiedad de desplazamiento, k-3 densidad de flujo magnético ~ B, 21 densidad de carga, 12 de carga de polarización, 257 de catidad de movimiento, 125 de corriente, 15 de magnetización, 260 de polarización electrica, 259 de energı́a electromagnética, 122 de polos magnéticos, 262 macroscópica de particulas, 18 Desaguilier, h-2 desarrollo multipolar, 167 electrostático, 167 energı́a, 170 momento dipolar, 168 momentos cuadripolares, 169 momentos multipolares, 169 multipolos puntuales, 171 potencial dipolar, 168 magnetostático, 177 la espira como dipolo, 179 momento dipolar, 178 potencial dipolar, 178 descripción de las magnitudes, 5 macroscópica, 16 microscópica, 12 desplazamiento eléctrico ~ D, 263 diagramas de Bode, g-5 dipolo eléctrico, 58, 173 campo, 173 energı́a, 174 fuerza, 174 par, 174 potencial, 173 magnético, 86, 180 campo, 181 energı́a, 189
- 714. in-4 fuerza, 188 par, 186 precesión, 217 polarizabilidad, 193 Dirac, h-8 delta de , k-1 Dirichlet condiciones de contorno de , 317 Du Fay, h-2 ecuación de continuidad de la carga de conducción, 309 de la carga neta, 20, 112 de la energı́a, 320 ecuación de Bessel, a-16 de D’Alembert, 127 de Legendre, a-19 generalizada, a-19 ecuaciones constitutivas, 264 ecuaciones de Maxwell en el vacı́o, 112 en el dominio de la frecuencia, 310 en medios materiales, 309 de clase A, 310 ecuaciones de Poisson y Laplace, 44 ejemplos, a-1 expresión integral, a-3 método de Green, a-5 método de las imágenes, a-7 sobre cilindros, a-11 sobre un plano, a-9 sobre una esfera, a-10 método de las transformaciones complejas, a-21 método de separación de variables, a-12 en coordenadas esféricas, a-18 en coordenadas cartesianas, a-13 en coordenadas cilı́ndricas, a-15 métodos experimentales, a-24 métodos gráficos, a-25 métodos numéricos, b-1 de ajuste puntual, b-3 de diferencias finitas, b-9 de Galerkin, b-2 de los momentos, b-4 de mı́nimos cuadrados, b-3 de residuos pesados, b-2 métodos variacionales, b-22 de elementos finitos (Ritz), b-31 de Ritz, b-26 primera variación, b-24 principio de superposición, a-2 ecuaciones de onda en medios materiales, 322 en el vacı́o, 127 para los campos, 127 para los potenciales, 128 efecto Hall, 84 efecto Joule, 294 Einstein, h-8 electrete, 274 Empédocles, h-1 energı́a potencial, 41 de un sistema de cargas, 42 autoenergı́a, 42, 44 en campo externo, 41 energı́a de un sistema de cargas y corrientes estacionarias, 321 electromagnética, 121 en medios materiales, 319 enfoque electromagnético, 222 espira como dipolo, 179 definición, 47 fuerza sobre una, 47 estructura de la Tierra, c-1 biosfera, c-2 corteza, c-2 exterior, c-1 interior, c-1 ionosfera, c-2 magnetosfera, c-1 manto, c-2 núcleo, c-2 externo, c-3
- 715. in-5 interno, c-3 superficie, c-1 estructuras simples de campo eléctrico, 45 magnético, 50 éther, h-6 factor de calidad (Q), 326 factor de Landé, 185 Faraday, h-2, h-5 ley de inducción de, 103 rotación de, 347 faradio, d-2, 38 fasor, 325 fórmula de Larmor, 140 formulario matemático, n-1 coordenadas curvilı́neas, n-2 ángulo sólido, n-4 diferencial de lı́nea, n-3 divergencia, n-3 elemento de volumen, n-3 gradiente, n-3 laplaciana, n-4 resumen, n-2 rotacional, n-4 vector de posición, n-3 delta de Dirac, n-5 definiciones, n-5 expresiones integrales y diferenciales, n-5 propiedades básicas, n-5 divergencia, n-1 gradiente, n-1 laplaciana, n-2 productos vectoriales, n-1 rotacional, n-2 series de Fourier, n-6 teoremas integrales, n-2 transformadas de Fourier, n-6 Fourier, l-1 desarrollo en serie, l-1 ejemplos, l-4 transformada, l-3 ejemplos, l-6 Franklin, h-2 frecuencia de Larmor, 218 fuentes de campo, 3 electrostático, 39 dinámico, 103 escalares, 6 primarias, 112 vectoriales, 6 fuentes de intensidad, e-8 de tensión, e-8 fuerza electromotriz, 104, 287 de movimiento, 108 estática, 108 fuerza de Lorentz, 21 eléctrica, 21 magnética, 21 sobre corrientes estacionarias, 47 sobre sistema de conductores, d-8 sobre sistema de espiras, d-15 función base, b-26 de Bessel, a-16 de Hankel, a-17 de Neumann, a-16 de prueba global, b-29 de prueba local, b-30 estacionaria, b-23 gamma, a-16 funciones de Green, a-5 para condiciones de Dirichlet, a-6 Galileo relatividad de, 23 gauge, 111 Gell Man y Swinguer, h-9 generador, 106 Gilbert, h-2 Gray, h-2 Green funciones de, a-5 identidades de, a-3
- 716. in-6 método de, a-5 Hall efecto, 84 Hankel función de, a-17 Heaviside, h-9 Helmholtz, h-6, h-8 carretres de, 91 teorema de , 6 henrio, d-11 Hertz, h-7 identidades de Green, a-3 intensidad eléctrica ~ E, 21 intensidad magnética ~ H, 263 intensidad, 15 Joule, h-6 efecto, 294 ley de, 294 Kirchhoff leyes de, e-10 Landé factor de, 185 Larmor fórmula de, 140 frecuencia de, 218 Legendre ecuación de, a-19 polinomios de, a-19 lente electrostática, 209, 236 leyes de campo, 3 de fuerza, 3 de Kirchhoff, 292 ley de Ampère, 49 de Biot y Savart, 46 de Coulomb, 37, 268 de Gauss, 40 de inducción de Faraday, 103 para caminos en movimento, 106 de Joule, 294 de Lenz, 104 de Lorentz, 21 de Ohm, 282 Lorentz, h-7 ley de, 21 Lorenz contraste de, 111 Maricout, h-2 Maxwell, h-6 corriente de desplazamiento, 109 ecuaciones de, 112, 309 medios materiales, 249 aislantes, 251 conductores, 250 de clase A, 265 diamagnéticos, 205, 250 dieléctricos, 250 ferromagnéticos, 250 magnéticos, 266 no magnéticos, 266 paramagnéticos, 250 plasmas, 251 método FDTD medios avance temporal, b-47 campo dispersado, b-44 campo incidente, b-44 medio final, b-45 medio inicial, b-45 medios dispersores, b-45 punto de iluminación, b-45 zona de campo dispersado, b-45 zona de campo total, b-45 vacı́o avance temporal, 155 celdas, 153 condición de Courant, 156
- 717. in-7 diferencias finitas centradas, 154 dominio numérico, 153 iteraciones, 153 método de diferencias finitas, b-9 relajación, b-13 residuo, b-12 sobrerelajación, b-13 método de los elementos finitos, b-31 ı́ndice global, b-33 ı́ndice local, b-33 ensamblaje, b-35 función de prueba global, b-33 función de pruega local, b-33 postproceso, b-32 preproceso, b-32 proceso, b-32 método de residuos pesados funciones base, b-2 funciones peso, b-2 residuo, b-2 residuo pesado, b-2 Michelson y Morley, h-7 Millikan, h-8 momento dipolar eléctrico, 58 dipolar magnético, 86 monopolos magnéticos, h-8 motor, 106 movimiento de partı́culas, 201 botellas magnéticas, 215 compresión magnética de órbitas, 220 deriva ambipolar, 207 en campo eléctrico constante, 202 en campo eléctrico lentamente variable, 202 en campo eléctrico y magnético , 207 en campo magnético lentamente variable, 206 enfoque magnético, 208 movimiento ciclotrónico, 203 óptica electrónica, 209 scattering, 211 Neumann condiciones de contorno de , 317 fórmula de, d-12 función de , a-16 Oersted, h-3 Ohm, h-4 ley de, 282 ohmio, 288 ondas electromagnéticas planas, 129 ondas electromagnéticas en el vacı́o frecuencia angular, 133 número de onda, 133 relación de estructura, 131 velocidad de fase, 130 en medios materiales factor de calidad (Q), 326 constante compleja de propagación, 327 constante de atenuación, 327 constante de fase, 327 dispersión, 329 fase de la onda, 328 frecuencia de corte, 344 grupos de onda, 330 impedancia, 332 monocromáticas, 325 polarización, 333 profundidad de penetración, 327 relación de dispersión, 327, 331 relación de estructura, 331, 332 relaciones de dispersión, 327 rotación de Faraday, 347 solución general, 327 tangente de pérdidas, 326 vector de Poynting complejo, 335 velocidad de fase, 328 velocidad de grupo, 330 modos, 130
- 718. in-8 monocromáticas, 133 operador dalambertiano, 129 divergencia, j-10 gradiente, j-9 laplaciana, j-12 rotacional, j-11 óptica electrónica, 209 órbitas de dos cargas, 241 Peregrinus, h-2 permeabilidad magnética, 264 del vacı́o, 47 plasma deriva ambipolar, 35, 207 movimiento ciclotrónico, 29, 203 frecuencia, 203 invariantes adiabáticos, 207 momento magnético, 205 radio, 205 velocidad de centro de guı́a, 204 Poincaré, h-7 polarización de ondas, 333 circular, 146 elı́ptica, 146 lineal, 146 polarización dieléctrica, 253, 255 eléctrica, 175 lineal, 132 magnética (imanación), 255 polarizabilidad, 254 polinomios de Legendre, a-19 asociados, a-19 polos magnéticos, 261 potenciales electromagnéticos, 110 condiciones de contraste, 111 transformaciones de contraste (gauge), 111 potencial adelantado, 135 eléctrico escalar, 110 electrostático, 40 escalar, 6 magnético escalar para medios polarizables, 261 para una distribución de dipolos, 181 para una espira, 182 magnético vector, 48, 110 retardado, 135 vector, 6 potencia de radiación, 139 Poynting, h-6 teorema de, 122 vector complejo de, 335 vector de, 122 Priestley, h-3 principio de neutralidad del Universo, 19 quarks, h-9 radiación, 136 campo, 138 diagrama de, 141 intensidad, 140 isótropa, 148 potencial, 137 vector de Poynting, 139 razón giromagnética, 185 refracción de lı́neas de campo y corriente, 314 relatividad de Galileo, 23 composición de velocidades, 24 invariante vectorial, 24 transformación de coordenadas, 23 transformación de los campos, 25 rigidez dieléctrica, 301 rotación de Faraday, 347 scattering, 211 ángulo de difusión, 213 parámetro de impacto, 213 siemens, 288
- 719. in-9 sistemas de conductores, d-1 apantallamiento, d-7 coeficientes de capacidad, d-2 coeficientes de potencial, d-2 condensador, d-7 efecto de bordes, d-8 fuerza y par sobre, d-8 sistemas de espiras, d-10 asociación de inductores, d-14 coeficientes de autoinducción, d-11 coeficientes de inducción mutua, d-11 fórmula de Neumann, d-12 fuerza y par sobre , d-15 transformador, d-14 ideal, d-19 primario, d-19 relación de espiras, d-19 secundario, d-19 sistemas de referencia, j-6 coordenadas, j-6 origen, j-6 vector de posición, j-6 sistemas de unidades, i-1 sistemas lineales, g-1 diagramas de Bode, g-5 ecuaciones, g-1 respuesta, g-2 solenoide, 98 susceptibilidad eléctrica, 264 magnética, 264 tabla eV À J y gauss À T, m-1 de conductividades, m-4 de constantes dieléctricas, m-2 de constantes fı́sicas, m-1 de propiedades magnéticas, m-2 de unidades del SI, m-1 equivalencia de fórmulas en SI y cgs, i-6 Tales de Mileto, h-1 teorema de Gauss (divergencia), j-12 de Helmholtz, 6 de Poynting, 122 de reciprocidad de Green, d-3 de Stokes (rotacional), j-13 de Thevenin, e-24 de unicidad de campos solenoidales, 318 caso general, 318 de campos irrotacionales, 317 tesla, 46 Thevenin teorema de, e-24 Thomson, h-8 trabajo sobre una carga en movimiento, 22 transformaciones de contraste (gauge), 111 contraste de Coulomb, 111 contraste de Lorenz, 111 transformada de Fourier fenómeno de Gibbs, a-44 transistores, f-3 bipolares, f-3 de efecto campo, f-5 unidades electromagnéticas amperio, 15 culombio, 15 faradio, d-2, 38 henrio, d-11 ohmio, 288 siemens, 288 tesla, 46 weber, 50, 104 vacı́o, 4 valor aleatorio, 17 Van Allen cinturones de, c-5 vector base, j-5 a derechas, j-5
- 720. in-10 circulación de, j-11 complejo de Poynting, 335 componentes, j-5 de Poynting, 122 de propagación, 129 flujo, j-9 normal, j-10 producto escalar, j-2 producto vectorial, j-8 proyección ortogonal, j-2 proyecciones oblı́cuas, j-2 pseudovector, j-6 unitario, j-2 velocidad de arrastre, 17 de fase, 130 de grupo, 330 Volta, h-3 Von Guericke, h-2 weber, 50, 104