Ensayo - Matematica 2
- 1. Ensayo Funciones Trascendentales Para poder conocer con naturalidad los diferentes tipos de funciones trascendentales primero debemos saber que una función trascendente es aquella que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios, que es lo contrario con las funciones algebraicas las cuales si satisfacen dicha ecuación. Es decir, es una función que trasciende al algebra y no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones tales como la suma, la resta y la extracción de raíces. A continuación conoceremos un poco más sobre estas funciones. Las funciones trascendentales como el logaritmo y exponenciales no son las únicas utilizadas, en ocasiones una función trascendente también se aplica para las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante), también para las hiperbólicas. La función logarítmica “f (x) = logax” se le conoce como la inversa de una función exponencial. Para este tipo de función la base ha de ser positiva y distinta de cero, debido a que su dominio existe desde cero abierto (no toma al 0) hasta infinito, o sea, toma solo valores positivos tal y como podemos observarlo en el siguiente grafico. Citando un ejemplo vamos a derivar la funcion )5 (2xlny y’= 1/(2x + 5) * 2 = 2/(2x + 5) Wilfredo González
- 2. Citando otro ejemplo vamos a integrar la función du u 1 Por propiedad de integral, obtenemos el contrareciproco de logaritmo con una variable “u”. culndu u 1 Ahora bien, digamos que la función logarítmica es la inversa de una función exponencial, esto quiere decir que la función exponencial será una función creciente con su dominio en todos los reales. La función exponencial, también es conocida como la función real ex , donde e es el numero de Euler. Entre una de sus características más particulares se encuentra que su derivada siempre será la misma función. Toma valores a lo largo del eje X tal como podemos observarlo en el siguiente grafico. Un buen ejemplo lo tendríamos derivando la función Y = e2x y’= e2x . 2 = 2 e2x Nos daremos cuenta que lo mismo ocurrira si integramos t e dt t e dt = t e También tenemos la función exponencial con base “a” y la propiedad nos dice que Si a > 0 entonces podemos escribir ax = exp. (x ln a) = ex ln a para toda x real. Tomando ln en ambos lados: ln ax = x ln a. Esta función cumple con las mismas propiedades de la función con base e. Wilfredo González
- 3. Sin embargo, de la definición de la función exponencial también están basadas las funciones hiperbólicas, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas. En este caso, tomando en cuenta que algunas de las funciones trigonométricas también son funciones trascendentales haremos el énfasis en las trigonométricas inversas, las cuales son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados, aparecen con frecuencia en las soluciones de ecuaciones diferenciales. Sin embargo ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas pero restringiendo los dominios se puede hallar la inversa. El arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante y el arcocosecante, son funciones trigonométricas inversas con su respectivo dominio restringido. Finalmente, al revisar dichas funciones trascendetales entendemos por qué hacen referencia de su nombre, trascienden las operaciones algebraicas. Es de vital importancia conocer perfectamente este tipo de funciones para el estudio de la ingeniería y el campo de las matemáticas, debido a que tienen un uso continuo en operaciones y soluciones de problemas como es el caso de las logarítmicas y exponenciales. Sin más que agregar, también es importante conocer al corriente los gráficos de las funciones trascendentales como las trigonométricas inversas. Wilfredo González