Esquema logica de clases semestral uni
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El documento describe la lógica de clases y la lógica silogística. Explica que la lógica de clases analiza las relaciones entre conjuntos y fue desarrollada posteriormente a la lógica aristotélica. También describe los diagramas de Venn y Euler que representan gráficamente las relaciones entre conjuntos, así como las cuatro proposiciones categóricas y sus características.
Esquema logica de clases semestral uni
- 1. LÓGICA SILOGÍSTICA LÓGICA DE CLASES También llamada lógica tradicional o lógica aristotélica por ser desarrollada por Aristóteles en base a las llamadas proposiciones categóricas. No hay que confundirla con la lógica de clases que es aquella rama de la lógica que, para deducir, analiza las relaciones entre clases (o conjuntos) que hay en una proposición. La lógica de clases será un desarrollo posterior de la lógica aristotélica que se dará en el siglo XIX con Euler y Venn en base a Boole. La idea básica de los diagramas se debe al matemático Leonhard Euler (1707-1783) quien representó gráficamente las relaciones entre las clases o conjuntos. Euler usó la relación de inclusión para la universal afirmativa, la exclusión para la universal negativa, y la intersección para ambas particulares. En base a estas representaciones, el lógico inglés Jhon Venn (18341923) propuso representaciones gráficas de las proposiciones categóricas típicas A, E, I y O, gráficos que van a interpretar las ecuaciones booleanas que Boole expresó algebraicamente en base a las proposiciones categóricas de la lógica tradicional. A) Proposiciones categóricas Entenderemos por proposición categórica al enunciado que refleja una relación específica entre clases: la clase sujeto y la clase predicado. A estas clases se les llama categorías y, precisamente por eso, al tipo de proposiciones que se construye en base en estas se les llama proposiciones categóricas. Solo existen cuatro proposiciones categóricas (A, E, I y O). Asimismo, estas poseen cuantificadores, sujetos, verbos copulativos y predicados. En la lógica aristotélica no se trata de decir en números exactos de cuantos individuos estamos hablando, sino de decir solamente si hablamos de todos los individuos de un conjunto o de algunos de ellos. Las expresiones “Todos”, “Ningún” o “Algunos” cumplen la función de determinar la cantidad de la proposición y se les conoce con el nombre de cuantificadores. Las expresiones “son” y “no son” cumplen la función de unir o separar los términos de la proposición y por eso se les conoce con el nombre de verbos copulativos. Mediante el verbo copulativo y el cuantificador las proposiciones categóricas establecen una relación de inclusión o exclusión entre las clases sujeto y predicado. Ejemplo: El siguiente enunciado cuantificador TODA verbo copulativo GASEOSA ES sujeto Es decir, George Boole planteó el álgebra de la lógica buscando convertir en ecuaciones las proposiciones categóricas. Sin embargo, su trabajo será completado años más tarde por Euler y Venn constituyendo la lógica de clases tan enseñada hoy en colegios, academias y universidades. En su Symbolic Logic de 1881, J. Venn –admirador de Boole– se serviría de diagramas a base de espacios intersectantes para ilustrar las relaciones entre clases o las condiciones de verdad de las proposiciones. Sus diagramas difieren de los de Euler en que en los mismos parte de representar todas las posibles combinaciones por medio de áreas diferentes para pasar luego a indicar, dentro de estas últimas, cuáles de esas combinaciones han de ser nulas – y cuáles nopara que sea posible hacer valer una proposiciones determinada. A) Tipos de clases A. 1) Clase universal LÍQUIDA predicado es una proposición categórica, puesto que refleja una relación entre la clase gaseosa y la clase líquida; a saber, que la clase gaseosa está incluida totalmente en la clase líquida. A continuación, mostraremos ejemplos sencillos de cada una de las cuatro proposiciones categóricas: Todas las aves son animales Ningún león es un pez Algún perro es consentido Alguna ave no es gallina (A) (E) (I) (O) Estas proposiciones tienen dos características básicas: la cantidad y la calidad. La cantidad de una proposición categórica indica de cuántos individuos estamos hablando. La calidad de una proposición categórica indica si afirmamos algo del sujeto, o si negamos algo del mismo. Lo que afirmamos o negamos del sujeto es el predicado; por eso, cuando la calidad es afirmativa decimos que el sujeto está incluido en el predicado, y cuando es negativa decimos que no lo está. Es la clase de todas las clases. Por ejemplo si tenemos la clase de los leones, la de los delfines, la de los monos, etc., podemos reunirlas en la clase de los mamíferos que las abarca a todas. Esta clase de los mamíferos es la clase universal. Es de notar que la clase universal es un concepto relativo. Gráficamente, se representa mediante un cuadrilátero con una U en la esquina superior derecha. A. 2) Clase indeterminada Es aquella clase, en la que no se puede determinar la existencia o no existencia de elementos. Por ejemplo: la clase de los extraterrestres, la clase de los dioses, la clase de las almas, etc. A. 3) Clase vacía B) Clasificación de proposiciones categóricas En base a estas características se puede establecer la siguiente clasificación de proposiciones categóricas: I. Según su cantidad: Es la clase formada por todos los objetos que no existen, es decir, no contiene elementos. Por ejemplo, la clase de todos los objetos que son círculos cuadrados. Esta cualidad ciertamente, es un absurdo, pero siendo una cualidad, permite constituir una clase, si bien carente de elementos. Gráficamente, se representa con un círculo sombreado que señala una especie de agujero. Simbólicamente, se representa mediante una equivalencia entre la clase S y la letra griega “ ”. 1) Universales: Cuando se detecta la presencia del cuantificador universal y se determina una relación de inclusión total. Ejemplo: Todas las plantas son seres vivos A. 4) Clase no-vacía 2) Particulares: Cuando se detecta la presencia del cuantificador existencial y se determina una relación de inclusión parcial. Ejemplo: Algunas vacas son sagradas II. Según su cualidad: Es la clase que tiene al menos un elemento. Por ejemplo, la clase de presidentes, o la de constituciones, etc. Gráficamente, se representa mediante un círculo con una X dentro. Simbólicamente, se representa mediante una desigualdad entre la clase S y la letra griega “ ”. 1) Afirmativas: Cuando se afirma que el sujeto está incluido en el predicado. A. 5) Complemento de una clase Ejemplo: Todos los misioneros son humildes 2) Negativas: Cuando se niega que un sujeto esté incluido en un predicado. Ejemplo: Ningún gato es manso La cantidad y la cualidad de una proposición categórica son las que permiten definir completamente su estructura. Esto es algo muy útil, pues como solo hay dos tipos de cantidades, universal o particular, y solamente dos tipos de cualidad, afirmativa o negativa, entonces resulta que únicamente hay cuatro combinaciones posibles de cantidad y cualidad, es decir, solo 4 tipos posibles de proposiciones categóricas según su estructura, que son las siguientes: La clase complemento de A es la clase formada por todos los elementos que no pertenecen a A. Por ejemplo, la clase complemento de la clase de lo caliente, es la clase de lo frío; la de lo enfermo, la de lo saludable, etc. El símbolo del complemento de S es “ ” en la que se coloca encima de la letra de la clase S una raya. Veamos dos posibles situaciones. En la primera, el complemento del S es una clase no-vacía; en la segunda, el complemento de S es una clase vacía. a) Universales Afirmativas (llamadas tipo A) Sea la proposición “Todo pez es acuático”. En este caso notamos que la clase pez está incluida totalmente en la clase acuático. Esta es una relación de inclusión total y se expresa por: “Todo S es P”. b) Universales Negativas (llamadas tipo E) “Ningún niño es viejo”. La anterior proposición indica que ningún elemento de la clase niño pertenece a la clase viejo. Esta es una relación de exclusión total y se expresa por: “Ningún S es P”. c) Particulares Afirmativas (llamadas tipo I) “Algunos alumnos son artistas” es una proposición que indican que algunos miembros de la clase alumnos está incluido en la clase artistas. Esta es una relación de inclusión parcial y se expresa mediante: “Algunos S son P”. d) Particulares Negativas (llamadas tipo O) La proposición “Algunas rosas no son rojas” expresa que al menos un individuo de la clase rosas no pertenecen a la clase rojas. Aquí se establece una relación de exclusión parcial y se denota como: “Algunos S no son P”. B) Relaciones entre clases dos clases Este es el diagrama de dos clases. A continuación, describiremos las áreas numeradas: Área 1: Están los elementos que no pertenecen a la clase S y que no pertenecen a la clase P. Área 2: Están los elementos que pertenecen a S pero que no pertenecen a P. Área 3: Están los elementos que pertenecen a S y, a la vez, a P. Área 4: Están los elementos que no pertenecen a S pero si a P.