Estudio Parametrico de un Sistema de Segundo Orden

Contreras Custodio Ángel Alberto

Universidad Veracruzana

Proyecto 2

Estudio paramétrico de un Sistema
de Segundo Orden

Página 1



Índice
Introducción

Pág. 3

Objetivo

Pág. 4

Resultados

Pág. 5

Discusiones

Pág. 11

Conclusiones

Pág. 14

Bibliografía

Pág. 15

Página 2



Introducción
Los sistemas de segundo orden, tal y como su nombre indica, se pueden
describir mediante una ecuación diferencial normalizada de segundo orden del
tipo:

Donde Y(t) y X(t) son la salida y la entrada del sistema respectivamente.
Existen sistemas con dinámicas de segundo orden “puras” o formadas por la
combinación de dos sistemas de primer orden en serie (producto de dos
funciones de transferencia de primer orden [1]).

Para el estudio del comportamiento del sistema agruparemos las
constantes a2, a1, a0 y b. Formando nuevos parámetros 𝜏 (constante del
tiempo), ζ (tasa de amortiguamiento) y Κ (ganancia del sistema), siendo estos
parámetros igual a:

𝜏=√

𝑎2
𝑎0

Quedando una ecuación más favorable para su estudio y posterior solución:

La función de transferencia estándar de un sistema de segundo orden viene dada
por:

𝐺 ( 𝑠) =

𝑌(𝑠)
𝐾
= 2 2
𝑋(𝑠)
𝜏 𝑆 + 2𝜏𝜁𝑆 + 1

[1] Control automático con herramientas interactivas, Editorial Pearson, Capítulo 6, la función de
transferencia de dos sistemas en serie G1(s) y G2(s)
Página 3



Objetivo
Nuestro estudio se basara en el comportamiento general de un sistema
de segundo orden, el cual se rige por la siguiente ecuación diferencial de
Segundo Orden y Lineal:

Dicha ecuación se estudia con dos parámetros:

𝜏=√

𝑎2
𝑎0



Conocíamos como;
(tau) es la constante de tiempo y K es la ganancia
del estado estable o ganancia del proceso, y ahora entra en juego un nuevo
parámetro ζ (zeta) la tasa de amortiguamiento. Quedando una ecuación general
que nos ayudara más a entender el comportamiento de dicho sistema.

Aplicando la trasformada de Laplace para la solución de dicho sistema
nos dará una ecuación en el dominio de Laplace conocida como función de
transferencia para un sistema de segundo orden.

𝐺 ( 𝑠) =

𝑌(𝑠)
𝐾
= 2 2
𝑋(𝑠)
𝜏 𝑆 + 2𝜏𝜁𝑆 + 1

Para nuestro caso de estudio someteremos a la función de transferencia
a 3 tipos de perturbaciones (impulso, escalón y rampa). Estudiaremos su
comportamiento gráfico y daremos definiciones sobre su comportamiento, dicho
estudio nos ayudara a comprender más el comportamiento de este tipo de
sistemas. Esta será la función que vamos a estudiar:

ys  

K
xs 
 S  2S  1
2

2

Donde la función x(s) tomara los valores en el dominio de la place del
comportamiento de un impulso, un escalón y una rampa, para así entender su
comportamiento en el dominio del tiempo.

Página 4



Resultados
Respuesta a un Escalón
El grafico 1-E nos representa el
comportamiento de la función de
transferencia con respecto a la respuesta
a un escalón cuando esta varía con
respecto a la constante (a2).

Grafico 1-E

transferencia con respecto a la respuesta
a un escalón cuando esta varía con
respecto a la constante (a1).

Grafico 2-E

transferencia con respecto a la
respuesta a un escalón cuando esta
varía con respecto a la constante (a2).

Grafico 3-E

Página 5



Respuesta a un Impulso
El grafico 1-M nos representa el
respuesta a un impulso cuando esta

Grafico 1-M

respuesta a un impulso cuando esta
varía con respecto a la constante
(a1).

Grafico 2-M

respuesta a un impulso cuando
esta varía con respecto a la
constante (a0).

Grafico 3-M

Página 6



Respuesta a una Rampa
El grafico 1-R nos representa el
respuesta a una rampa cuando esta

Grafico 1-R


Grafico 2-R

varía con respecto a la constante
(a0).

Grafico 3-R

Página 7



Tabla de comparación y análisis del sistema sometido a un escalón, cuando varía la constante a2:
Varia
a2
0.1
0.2
0.26
0.3
0.4
0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

a1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

a0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

Tasa de
Amortg.
ζ (zeta)
1.5811
1.1180
0.9806
0.9129
0.7906
0.7071
0.5000
0.3536
0.2887
0.2500
0.2236
0.2041
0.1890
0.1768
0.1667
0.1581

Calculamos la Tasa de estancamiento:

Constante
del Tiempo
τ (tau)
0.3162
0.4472
0.5099
0.5477
0.6325
0.7071
1.0000
1.4142
1.7321
2.0000
2.2361
2.4495
2.6458
2.8284
3.0000
3.1623

Tiempo
de Subida
t
2.1972
2.1972
4.0841
2.1074
1.6223
1.5708
1.8138
2.3748
2.8417
3.2446
3.6037
3.9304
4.2322
4.5140
4.7792
5.0306

Sobre
Impulso
B
N/A
N/A
1.51E-07
0.0009
0.0173
0.0432
0.1630
0.3050
0.3878
0.4443
0.4864
0.5194
0.5463
0.5688
0.5880
0.6047

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 =

Periodo de
Oscilación
T
N/A
N/A
16.3363
8.4298
6.4892
6.2832
7.2552
9.4993
11.3667
12.9785
14.4146
15.7216
16.9288
18.0559
19.1169
20.1223

𝜁
−( ⁄ 𝜏)𝑇
𝑒

=

Tasa de Tiempo de
Tipo de
Deca.
Estanc. Amortiguación
B/C
5 τ/ζ
Respuesta
N/A
2.5
Sobre
N/A
2.5
Sobre
2.27E-14
2.5
Sub
0.00000
2.5
Sub
0.00030
2.5
Sub
0.00187
2.5
Sub
0.02658
2.5
Sub
0.09303
2.5
Sub
0.15040
2.5
Sub
0.19744
2.5
Sub
0.23658
2.5
Sub
0.26978
2.5
Sub
0.29844
2.5
Sub
0.32352
2.5
Sub
0.34575
2.5
Sub
0.36564
2.5
Sub

−2𝜋𝜁
⁄
√1−𝜁 2
𝑒

Calculamos el sobre impulso:

Página 8



Para posteriormente despejemos de la formula el Periodo:

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 = 𝑇 =

Según la aproximación para calcular el tiempo de subida tR:

2𝜏𝜋
√1 − 𝜁 2

𝑡 𝑅 = 𝑇⁄4

esto para sistemas subamortiguados.

Y para sistemas Sobreamoriguados:
𝑡 𝑅 = 2 𝜏 𝜁 𝐿𝑛(9)
𝜁 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 > 1 ecuación tomada del documento; Propuestas de fórmulas
para sistemas de segundo orden, Universidad ORT Uruguay, Ing. André Fonseca al 2006.


a2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

Varia
a1
0.1
0.2
0.26
0.3
0.4
0.5
1
1.9
3
4
5
6
7
8
9
10

a0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

Tasa de Constante
Tiempo
Amortg. Del Tiempo. de Subida
ζ (zeta)
τ (tau)
t
0.05
1.0000
1.5728
0.1
1.0000
1.5787
0.13
1.0000
1.5842
0.15
1.0000
1.5888
0.2
1.0000
1.6032
0.25
1.0000
1.6223
0.5
1.0000
1.8138
0.95
1.0000
5.0306
1.5
1.0000
6.5917
2
1.0000
8.7889
2.5
1.0000
10.9861
3
1.0000
13.1833
3.5
1.0000
15.3806
4
1.0000
17.5778
4.5
1.0000
19.7750
5
1.0000
21.9722

Sobre
Impulso
B
0.8545
0.7292
0.6624
0.6209
0.5266
0.4443
0.1630
7.06E-05
N/A
N/A
N/A
N/A
N/A
N/A
N/A
N/A

Periodo de
Oscilación
T
6.2911
6.3148
6.3370
6.3551
6.4127
6.4892
7.2552
20.1223
N/A
N/A
N/A
N/A
N/A
N/A
N/A
N/A

Tasa de
Deca.
B/C
0.7301
0.5318
0.4388
0.3855
0.2773
0.1974
0.0266
4.99E-09
N/A
N/A
N/A
N/A
N/A
N/A
N/A
N/A

Tiempo de
Tipo de
5 τ/ζ
Respuesta
0.2500
Sub
0.5000
Sub
0.6500
Sub
0.7500
Sub
1.0000
Sub
1.2500
Sub
2.5000
Sub
4.7500
Sub
7.5000
Sobre
10.0000
Sobre
12.5000
Sobre
15.0000
Sobre
17.5000
Sobre
20.0000
Sobre
22.5000
Sobre
25.0000
Sobre

Página 9




b
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

a2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

a1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

Varia
a0
0.1
0.2
0.26
0.3
0.4
0.5
1
1.9
3
4
5
6
7
8
9
10

Tasa de
Amortg.
ζ (zeta)
1.5811
1.1180
0.9806
0.9129
0.7906
0.7071
0.5000
0.3627
0.2887
0.2500
0.2236
0.2041
0.1890
0.1768
0.1667
0.1581

Constante
Del Tiempo.
τ (tau)
3.1623
2.2361
1.9612
1.8257
1.5811
1.4142
1.0000
0.7255
0.5774
0.5000
0.4472
0.4082
0.3780
0.3536
0.3333
0.3162

Tiempo
de Subida
t
21.9722
10.9861
15.7080
7.0248
4.0558
3.1416
1.8138
1.2229
0.9472
0.8112
0.7207
0.6551
0.6046
0.5642
0.5310
0.5031

Sobre
Impulso
B
N/A
N/A
1.51E-07
0.0009
0.0173
0.0432
0.1630
0.2944
0.3878
0.4443
0.4864
0.5194
0.5463
0.5688
0.5880
0.6047

Periodo de
Oscilación
T
N/A
N/A
6.28E+01
28.0993
16.2231
12.5664
7.2552
4.8915
3.7889
3.2446
2.8829
2.6203
2.4184
2.2570
2.1241
2.0122

Tasa de
Deca.
B/C
N/A
N/A
2.27E-14
7.91E-07
0.0003
0.0019
0.0266
0.0867
0.1504
0.1974
0.2366
0.2698
0.2984
0.3235
0.3457
0.3656

Tiempo de
Tipo de
5 τ/ζ
Respuesta
25.0000
Sobre
12.5000
Sobre
9.6154
Sub
8.3333
Sub
6.2500
Sub
5.0000
Sub
2.5000
Sub
1.3158
Sub
0.8333
Sub
0.6250
Sub
0.5000
Sub
0.4167
Sub
0.3571
Sub
0.3125
Sub
0.2778
Sub
0.2500
Sub

Sabiendo el valor de dichos parámetros sin necesidad de observar un gráfico podemos saber el comportamiento de nuestro
sistema, pues estos parámetros ayudan a imaginar el movimiento del sistema dándonos a conocer si sería un sistema que podemos
estudiar o simplemente no nos serviría como objeto de estudio.

Página 10



Discusiones

Figura 1-D-ESC

En un estudio más detallado, donde se aprecia y se analiza los tres parámetros
más importantes [ (tau), K y ζ (zeta)], podremos concluir con estos resultados:



En la figura 1-D-ESC aprecian los cambios del sistema y su
comportamiento cuando es sometido a una perturbación de tipo escalón, según
como varían cada constante (a2, a1 y a0) y dando un valor de ζ (zeta) distinto
observándose los tipos de oscilación que adquiere y la ganancia del sistema para
cada caso particular, que nos indica en qué valor el sistema va alcanzar la
estabilidad en un tiempo t.
1ra observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a0, la ganancia del
sistema va disminuyendo y hace que el sistema no alcance un valor estable
hasta que ζ sea aproximadamente igual a cero.
2da observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a1, 𝜏 (tau) se
mantiene constante y el periodo de oscilación T es aproximadamente igual entre
los gráficos.
3ra observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a2, que entre más
pequeña es ζ la oscilación será mayor, la cresta positiva se ira haciendo más
grande positivamente y la cresta negativa ser ara más grande negativamente.

Página 11



Figura 2-D-IMP

En la figura 2-D-IMP nos muestran el comportamiento de un Sistema de
Segundo Orden sometido a una perturbación de tipo Impulso, su análisis y
comparación de los parámetros más importantes K y ζ (zeta) que son de suma
importancia para los sistemas de Segundo Orden. Este mismo grafico está en
función de la variación de las constantes (a2, a1 y a0) para su mejor comprensión
y estudio.
1ra observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a0, cuando ζ va
disminuyendo la oscilación es mayor y la cresta positiva decrece, mientras que
la cresta negativa crece.
2da observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a1, 𝜏 (tau) se
mantiene constante y el periodo de oscilación T es aproximadamente igual entre
los gráficos y amabas crestas (negativa y positiva) crecen con forme ζ se hace
más pequeña.
pequeña es ζ la oscilación será mayor, la cresta positiva se ira haciendo más
grande positivamente y la cresta negativa no crece en ningún caso.

Página 12



Figura 3-D-RAM

En la figura 3-D-RAM nos muestran el comportamiento de un Sistema de
Segundo Orden sometido a una perturbación de tipo Rampa, su análisis y
comparación de los parámetros más importantes K y ζ (zeta). El grafico está en
función de la variación de las constantes (a2, a1 y a0) para su mejor comprensión
y estudio.
1ra observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a0, cuando ζ va
disminuyendo la rampa va haciéndose más inclinada pues la ganancia del
sistema (K) va disminuyendo.
2da observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a1, cuando ζ va
aumentando la rampa se va inclinando pero la ganancia del sistema (K)
permanece constante. La separación entre cada línea es constante ya que 𝜏 (tau)
permanece constante para todos los casos.
pequeña es ζ la oscilación será mayor, y oscilara en toda la rampa.

Página 13



Conclusiones
Un sistema de Segundo Orden describe su comportamiento y su
tendencia o estabilidad mediante los tres factores [ (tau), K y ζ (zeta)], la
constante del tiempo, la ganancia del sistema y la tasa de amortiguamiento, los
cuales nos indicaran en que tiempo y momento serán estables o si no lo serán.



Los sistemas siempre se comportaran dependiendo de la perturbación a
la cual sea sometida, y esta misma dará a conocer si es estable o no lo es, con
el simple hecho de conocer los valores de esos tres parámetro sabremos como
el sistema puede comportarse y si tiene una tendencia a seguir, y por conclusión
si el sistema es estable y si nos conviene su estudio o no, dicho comportamiento
estable es el que nos servirá para entender el sistema y saber si es seguro.

Códigos Utilizados en Scilab para la simulación de los sistemas
s=%s;
a0=1;
a1=1;
a2=1;
b=1;
tau=(a2/a0)^0.5;
zeta=a1/(2*tau*a0);
K=b/a0;
num=K;den=1+2*zeta*tau*s+(tau^2 )*s^2;
g=num/den;
disp (K,"K=",zeta,"zeta=",tau,"tau=",g,"G(s)=")
polos=roots(den)
disp("polos="),disp(polos)
TF=syslin("c",num,den)
t=linspace(0,25,500);
step_res=csim("step",t,TF);
plot(t,step_res),xgrid () , xtitle ( 'Respuesta a un Escalón','tiempo','Respuesta Y(t)');
imp_res=csim("imp",t,TF);
plot(t,imp_res),xgrid(),xtitle("Respuesta a un Impulso","Tiempo","Respuesta");
ramp_res=csim(t,t,TF);
plot(t,ramp_res),xgrid(),xtitle("Respuesta a una Rampa","Tiempo","Respuesta");

Página 14



Bibliografía
 Control Automático de Procesos (Teoría y Práctica), Smith & Corripio.

 Apuntes de Control Distribuido, Depto. Ingeniería de Sistemas y
Automática, Universidad de Sevilla, Sevilla, España.

 Software de Simulación:
© Scilab Enterprises S.A.S 2013, Software Libre.

 Control automático con herramientas interactivas, Editorial Pearson,
Capítulo 6.

 Documento de Trabajo: Propuesta de fórmulas para sistemas de
segundo orden, Ing. André Fonseca, Universidad ORT, Uruguay, Agosto
2006.

Página 15

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