lineales

Lección 8
Sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales
8.1. Introducción: Sistemas de ecuaciones diferenciales
Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de una o más ecuaciones en las que
aparecen una o más funciones incógnita, pero todas ellas dependiendo de una sola variable
independiente. Para ilustrar este concepto vamos a retomar un ejemplo de cinética qu´ımica
que estudiamos en la lección anterior, pero preguntándonos ahora una cuestión diferente y,
como veremos, más complicada.
Ejemplo 8.1 .- Consideremos las siguientes reacciones irreversibles de segundo orden que
se producen consecutivamente en un reactor:
A + S
k1
−→ X
X + S
k2
−→ Y
Si inicialmente se añaden 2 moles de S y 1 mol de A. ¿Cuál es la cantidad de sustancia en
el reactor en cada instante de tiempo?.
115

116 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Si, como viene siendo habitual, [A], [S], [X] y [Y ] representan las concetraciones molares
de las sustancias presentes en las reacciones, las ecuaciones diferenciales que modelan la
evolución en el tiempo de las concentraciones son:
d[A]
dt
= −k1[A][S]
d[Y ]
dt
= k2[X][S]
d[X]
dt
= k1[A][S] − k2[X][S]
d[S]
dt
= −k1[A][S] − k2[X][S]
(8.1)
Esto es un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de primer orden con cuatro funciones
incógnitas: [A], [S], [X] y [Y ]. As´ı pues, resolver el sistema ser´ıa encontrar expresiones para
las cuatro funciones (como funciones del tiempo t, que es la variable independiente). Como
además se dan unas condiciones iniciales: [A]0 = 1 mol, [S]0 = 2 moles [X]0 = [Y ]0 = 0
moles, estamos en presencia de un problema de condiciones iniciales.
Se trata de un sistema que no es lineal porque las ecuaciones que los componen no lo
son. Salvo para sistemas muy concretos sólo disponemos de métodos anal´ıticos generales
para resolver sistemas lineales especiales. Por ello no es esperable que podamos obtener, tal
y como se nos pide, expresiones anal´ıticas para la evolución de las concentraciones de las
sustancias presentes en el reactor a lo largo del tiempo. Esto no significa que no podamos
decir nada a este respecto: disponemos de buenos métodos cualitativos y numéricos que nos
permiten conseguir mucha información acerca de las soluciones de gran cantidad de sistemas
no lineales. En ésta y las dos próximas lecciones estudiaremos métodos anal´ıticos para ex-
presar las soluciones de los sistemas lineales y en particular de los de coeficientes constantes.
Posteriormente estudiaremos técnicas cualitativas para obtener información de las soluciones
de los sistemas no lineales. Los métodos numéricos se estudiarán en la asignatura de Análisis
Numérico.
8.2. Sistemas de primer orden
En el sistema (8.1) aparecen sólo derivadas de primer orden en las funciones incógnita
[A], [S], etc. Por eso se llama un sistema de primer orden. El orden de un sistema de
ecuaciones diferenciales es el orden de la derivada de mayor orden que aparece en el sistema.
La forma general de un sistema de dos ecuaciones y de primer orden es:
x = f(t, x, y)
y = g(t, x, y)

8.2 Sistemas de primer orden 117
donde f y g son funciones de las tres variables x, y y t (variable independiente del sistema).
Una solución del sistema en el intervalo (a, b) es un par de funciones x(t), y(t) que satisfacen
x (t) = f(t, x(t), y(t))
y (t) = g(t, x(t), y(t))
idénticamente para todo t ∈ (a, b).
Ejemplo 8.2 .- Probar que las funciones x(t) = et
, y(t) = e−t
son soluciones del sistema
x = x2
y
y = −xy2
.
en toda la recta real.
En efecto, por una parte x (t) = et
y x(t)2
y(t) = e2t
e−t
= et
. As´ı pues x (t) = x(t)2
y(t)
y se satisface la primera ecuación idénticamente. Además y (t) = −e−t
y −x(t)y(t)2
=
−et
e−2t
= −e−t
. Entonces y (t) = −x(t)y(t)2
con lo que se satisface la segunda ecuación. En
consecuencia, las funciones x(t) = et
, y(t) = e−t
son soluciones del sistema.
Los sistemas no tienen por qué ser de dos 2 ecuaciones. En general, un sistema de n ecua-
ciones diferenciales con n funciones incógnitas x1(t),. . . , xn(t) en la variables independiente
t, tendrá la siguiente forma:
x1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn)
x2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn)
...
xn = fn(t, x1, x2, . . . , xn)
donde f1, f2, . . . , fn son funciones de las n+1 variables t, x1, x2, . . . , xn. Siempre exigiremos
que el número de ecuaciones y de incógnitas sea el mismo. Y a este número común le
llamaremos la dimensión del sistema.
8.2.1. Notación vectorial
Al trabajar con sistemas es conveniente utilizar la notación vectorial; es más manejable
y compacta. Por ejemplo para el sistema
x1 = k1x2
1x−1
2 − k2x1
x2 = k3x2
1 − k4x2,
si definimos la función vectorial
x(t) =
x1(t)
x2(t)

tendr´ıamos que
x =
x1
x2
=
k1x2
1x−1
2 − k2x1
x2 = k3x2
1 − k4x2
. (8.2)
Debemos observar dos cosas en relación con la ecuación (8.2). Primero, para derivar una
función vectorial x(t) lo único que hay que hacer es derivar cada una de sus componentes:
x (t) =
x1(t)
x2(t)
.
En segundo lugar, la parte de la derecha de la ecuación (8.2) es una función vectorial respecto
de las componentes del vector x. Por lo tanto, si ponemos
f(x) =
k1x2
1x−1
2 − k2x1
x2 = k3x2
1 − k4x2
,
entonces la ecuación (8.2) se convierte en
x = f(x). (8.3)
En general, para un sistema de dimensión n:
x1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn)
x2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn)
...
xn = fn(t, x1, x2, . . . , xn)
(8.4)
podemos ahorrar mucho espacio y tiempo si usamos notación vectorial. Si ponemos
x =





x1
x2
...
xn





y f(t, x) =





f1(t, x)
f2(t, x)
...
fn(t, x)





,
entonces el sistema se puede escribirse como
x = f(t, x).
Vemos as´ı que la gran ventaja de usar notación vectorial consiste en poder expresar un
sistema de cualquier dimensión casi de la misma forma que una sola ecuación diferencial. La
diferencia es que para sistemas, las variables y funciones son vectores, que siempre escribire-
mos en negrita para diferenciarlas de las variables y funciones escalares. Por lo general, sin
embargo, del contexto se podrá deducir fácilmente si trabajamos con vectores o con escalares.

Una última observación. Aunque nuestros vectores serán siempre vectores columna, por
sencillez, en ocasiones escribiremos estos vectores como una n-tupla. Es decir, un vector
x =





x1
x2
...
xn





también lo escribiremos como x = (x1, x2, . . . , xn).
8.2.2. El Problema de condiciones iniciales
En las aplicaciones, los sistemas de ecuaciones diferenciales que modelizan procesos rea-
les, suelen ir acompañados de ciertas condiciones que deben cumplir las funciones incógnitas
para uno o más valores de la variable independiente t. As´ı, en el ejemplo del sistema (8.1)
que modeliza la evolución de las concentraciones de ciertas sustancias en un reactor, éstas
comienzan con unas concentraciones iniciales de dichas sustancias. Son las condiciones ini-
ciales del sistema. Vemos que hay una condición inicial para cada variable del sistema. En
este caso las condiciones iniciales se conocerán, muy posiblemente,en el instante en el que se
pone en marcha el reactor; es decir, t = 0; pero en otras situaciones bien podr´ıa suceder que
esas condiciones iniciales se dieran en un instante t0 cualquiera.
As´ı pues, el Problema de condiciones iniciales para un sistema de dimensión n
x = f(t, x)
consiste en encontrar n funciones x1(t), x2(t),. . . , xn(t) ( o en notación vectorial, una función
vectorial x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))) que sea solución del sistema y cumpla una deter-
minada condición inicial x(t0) = x0.
El problema de condiciones iniciales lo escribiremos de forma similar a como lo hac´ıamos
para ecuaciones de primer orden:
x = f(t, x)
x(t0) = x0.
8.2.3. Reducción de sistemas de orden superior a sistemas de pri-
mer orden
En el estudio de sistemas nos podemos restringir a los sistemas de primer orden. Esto
es debido a que cualquier sistema de orden superior es equivalente a uno de primer orden.

Cuando decimos que dos sistemas son equivalentes nos referimos a que las soluciones de uno
de ellos conduce a las del otro y rec´ıprocamente. Quizá la forma más simple de comprender
esta idea es utilizando un ejemplo
Ejemplo 8.3 Consideremos la siguiente ecuación de tercer orden
x + xx = cos t. (8.5)
Podemos ver esta ecuación como un sistema de dimensión 1 y orden 3. Vamos a encontrar un
sistema de primer orden que es equivalente a esta ecuación. Para ello introducimos nuevas
variables: x1 = x, x2 = x y x3 = x . Notemos que hay una componente de x = (x1, x2, x3)
por cada derivada de x hasta un orden una unidad menor de la que aparece en el ecuación.
Formamos entonces el siguiente sistema de primer orden:
x1 = x2
x2 = x3
x3 = −x1x3 + cos t
(8.6)
Está claro que si x = x(t) es una solución de la ecuación (8.5) entonces el conjunto de
funciones x1 = x(t), x2 = x (t) y x3 = x (t) son soluciones del sistema (8.6).
Veamos que el rec´ıproco también es cierto. Sean x1 = x1(t), x2 = x2(t) y x3 = x3(t)
soluciones del sistema (8.6). Veamos que x = x1(t) es solución de la ecuación (8.5). En
efecto, tendr´ıamos
x = x1(t) = x2(t) y x = x1(t) = x2(t) = x3(t),
de modo que x = x3(t) = −x1x3 + cos t = −xx + cos t. Por lo tanto x = x1(t) es solución
de la ecuación (8.5). Es decir, los sistemas (8.5) y (8.6) son equivalentes.
Obsérvese que cada solución de la ecuación es la primera componente de una solución del
sistema, y que cada solución del sistema se obtiene de una solución de la ecuación derivando
tantas veces como el orden de la ecuación menos 1.
De forma general podemos proceder de la misma manera: dada una ecuación de orden n:
x(n)
= f(t, x , x , . . . , x(n−1)
) (8.7)
introducimos nuevas variables dependientes para x y cada una de sus derivadas hasta la de
orden n − 1:
x1 = x, x2 = x , x3 = x , . . . , xn = x(n−1)
.

De esta forma x1 = x = x2, x2 = x = x3, etc. El sistema que obtenemos es
x1 = x2
x2 = x3
...
xn−1 = xn
xn = f(t, x1, x2, . . . , xn),
que es un sistema de dimensión n pero de primer orden. Para usar notación vectorial
ponemos x = (x1, x2, . . . , xn) y F = (F1, F2, . . . , Fn) siendo F1(t, x) = x2, F2(t, x) =
x3,. . . Fn−1(t, x) = xn y Fn(t, x) = f(t, x). De esta forma el sistema resultante se puede
escribir abreviadamente como
x = F (t, x). (8.8)
Se demuestra, como en el ejemplo que si x = x(t) es solución de la ecuación (8.7) entonces
x(t) = (x(t), x (t), x (t), . . . , x(n−1)
(t)) es solución del sistema (8.8). Y rec´ıprocamente, si
x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) es solución del sistema (8.8), entonces x = x1(t) es solución
de la ecuación (8.7).
En cuanto al problema de condiciones iniciales, hemos visto que para el sistema (8.8)
tenemos que especificar un vector de condiciones iniciales x(t0) = x0 = (x0
1, x0
2, . . . , x0
n). Esto
equivale a especificar en la ecuación (8.7) n condiciones iniciales: una para x en t0 y una para
cada una de sus derivadas hasta la de orden n − 1, todas ellas en t0. Es decir, el problema
de condiciones iniciales relativo a una ecuación diferencial de orden n ser´ıa
x(n)
= f(t, x, x , . . . , x(n−1)
)
x(t0) = x0
1, x (t0) = x0
2, . . . , xn(t0) = x0
n.
Finalmente, si tenemos, no sólo una ecuación sino un sistema de ecuaciones de orden p,
reducimos cada ecuación del sistema a un sistema de ecuaciones de primer orden.
Una última observación. El motivo de reducir una ecuación o sistema de ecuaciones de
órden superior a un sistema de primer orden viene motivado no sólo por el hecho de que,
de esta forma, podemos reducir el estudio de sistemas a los de primer orden. También tiene
una importancia de tipo práctico: los procedimientos para resolver sistemas numéricamente,
que es casi la única forma de resolverlos, exigen, todos o casi todos, que el sistema sea de
primer orden. Por lo tanto, para poder aplicarlos, lo primero que hay que hacer es reescribir
la ecuación o sistema que tengamos como un sistema de primer orden.

8.3. Sistemas de ecuaciones lineales
Si cada una de las funciones f1, . . . , fn en el sistema (8.4) son lineales, entonces el sistema
se dice que es lineal.
La forma general de un sistema lineal de n ecuaciones de primer orden es



x1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + · · · a1n(t)xn + b1(t)
x2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + · · · a2n(t)xn + b2(t)
...
xn = an1(t)x1 + an2(t)x2 + · · · ann(t)xn + bn(t)
(8.9)
As´ı los sistemas
x1 = 3x1 − 5x2
x2 = −2x1
x = −2ty
y = 3et
x + 4 cos t
u1 = − cos(t)u1 − 5
t
u2
u2 = u1 − sen(t)u2 +
√
t
son lineales, mientras que los sistemas
x = 3xy − 5y
y = −2x
x1 = −2x2
x2 = 3x2
1 + 4
u1 = − cos(tu1)
u2 = u1 − sin(t)
no lo son.
Si cada una de las funciones b1(t), b2(t),. . . , bn(t) son idénticamente cero, entonces el
sistema se dice que es homogéneo y en caso contrario, no homogéneo.
Los sistemas lineales son los más simples entre todos los sistemas de primer orden, pero
incluso éstos son muy dif´ıciles de resolver anal´ıticamente. Suficientemente dif´ıciles son los
sistema lineales con coeficientes constantes; es decir, aquellos en los que las funciones aij(t)
son funciones constantes. Éstos son los únicos que podremos resolver anal´ıticamente.
Lo mismo que sucede con los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, la notación
matricial es útil a fin de simplificar la exposición y destacar las propiedades de estos sistemas.
En este punto si no se está suficientemente familiarizado con la teor´ıa básica de matrices,
conviene estudiar o repasar el Anexo sobre matrices
Tal y como hemos hecho en la sección anterior para sistemas en general, llamaremos x(t)
al vector (función vectorial):
x(t) =





x1(t)
x2(t)
...
xn(t)






8.3 Sistemas de ecuaciones lineales 123
de forma que
x (t) =





x1(t)
x2(t)
...
xn(t)





es el vector derivada de x(t). Y si ponemos
A(t) =





a11(t) a12(t) · · · a1n(t)
a21(t) a22(t) · · · a2n(t)
...
... · · ·
...
an1(t) an2(t) · · · ann(t)





y b(t) =





b1(t)
b2(t)
...
bn(t)





entonces el sistema (8.9) se puede escribir abreviadamente
x (t) = A(t)x(t) + b(t),
y si es homogéneo (i.e. el vector b(t) = 0) entonces
x (t) = A(t)x(t).
Por ejemplo, el sistema
x1 = x1 + 2x2 + cos t
x2 = 2x1 + x2 + t2
se puede escribir en notación matricial como
x =
1 2
2 1
x +
cos t
t2 ,
de forma que la matriz del sistema es
A(t) =
1 2
2 1
(constante, en este caso) y el vector de los términos independientes es
b(t) =
cos t
t2 .
Se trata, entonces, de un sistema no homogéneo, cuya parte homogénea es
x =
1 2
2 1
x (8.10)

Se puede comprobar, mediante sustitución, que los dos siguientes conjuntos de funciones son
soluciones del sistema homogéneo (8.10):
x1(t) = e−t
, x2(t) = −e−t
,
y1(t) = e3t
, y2(t) = e3t
.
Estos dos conjuntos de soluciones se pueden escribir de forma más compacta usando la
notación vectorial
x(t) =
e−t
−e−t , y(t) =
e3t
e3t .
En efecto, sustituyendo directamente en (8.10) tendr´ıamos
x (t) =
−e−t
e−t y Ax(t) =
1 2
2 1
e−t
−e−t =
−e−t
e−t .
Y lo mismo para y(t). Diremos, simplemente, que los vectores x(t) y y(t) son soluciones
del sistema (8.10).
Al estudiar los sistemas de ecuaciones diferenciales, lo primero que analizamos, como es
habitual, es la existencia y unicidad de soluciones. Para sistemas lineales tenemos el siguiente
resultado que es más fuerte que el correspondiente para sistemas no lineales:
Teorema 8.4 .- Si todas las componentes de la matriz A(t) y del vector b(t) son continuas
en un intervalo (a, b), entonces para cada t0 ∈ (a, b) y para cada vector x0 ∈ Rn
el sistema
x (t) = A(t)x(t) + b(t)
con la condición inicial
x(t0) = x0
tiene una única solución definida en el intervalo (a, b).
Este teorema tiene dos partes. La primera de ellas asegura que si las funciones compo-
nentes de la matriz A(t) y del vector b(t) son continuas entonces existe una función vectorial
x(t), definida en el intervalo donde son continuas las funciones componentes de A(t) y b(t),
tal que x (t) = Ax(t)+b(t) y x(t0) = x0. Hay una diferencia importante entre este resultado
y los anteriores teoremas de existencia de soluciones que hemos visto hasta ahora: el campo
de existencia de las soluciones no se restringe a un, posiblemente, pequeño entorno de t0 sino
que puede ser muy amplio, tanto como el campo donde A(t) y b(t) son continuas. As´ı, si el
sistema es de coeficientes constantes y homogéneo, las soluciones están definidas en toda la
recta real porque las funciones constantes son siempre continuas.
La segunda parte del teorema dice que la solución del problema de condiciones iniciales
es única. La unicidad significa que si x(t) e y(t) son dos funciones vectoriales que satisfacen

8.4 Propiedades de los sistemas lineales homogéneos 125
el sistema de ecuaciones diferenciales y la misma condición inicial, entonces x(t) = y(t) para
todo t.
Nuestro objetivo es diseñar un método para encontrar todas las soluciones de los sistemas
diferenciales lineales. Una vez logrado, lo aplicaremos a la resolución de los sistemas de ecua-
ciones diferenciales de coeficientes constantes. Para ello necesitamos estudiar las propiedades
más importantes de los sistemas lineales.
8.4. Propiedades de los sistemas lineales homogéneos
Nos centramos, por simplicidad, en los sistemas lineales de dimensión 2, aunque las ideas
que vamos a desarrollar son válidas para sistemas de cualquier dimensión. Los resultados
generales los enunciaremos para sistemas de dimensión n.
Los sistemas lineales de dimensión dos son de la forma:
x1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + b1(t)
x2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + b2(t)
⇔ x = A(t)x + b(t), (8.11)
siendo
A(t) =
a11(t) a12(t)
a21(t) a22(t)
y b(t) =
b1(t)
b2(t)
.
A estos sistemas también se les llama sistemas planos (o planares, según autores).
La primera propiedad que observamos de los sistemas lineales es que las soluciones de
estos sistemas cumplen el principio de superposición. Es decir, si
u(t) =
u1(t)
u2(t)
y v(t) =
v1(t)
v2(t)
son soluciones del sistema (8.11) y a y b son números reales entonces au(t) + bv(t) también
es solución del sistema (8.11). Hay una forma en matemáticas de expresar esta idea:
Proposición 8.5 .- Las soluciones del sistema lineal x = A(t)x forman un espacio vecto-
rial.
Se trata, en realidad, de un subespacio vectorial del espacio vectorial de las funciones
continuas, pero esto no tiene, aqu´ı, ninguna importancia.
Veamos que para los sistemas planos, en efecto funciona el principio de superposición:
sea w(t) = au(t) + bv(t), y veamos que w (t) = A(t)w(t):
w (t) = au (t) + bv (t) = aA(t)u(t) + bA(t)v(t) = A(t)(au(t) + bv(t)) = A(t)w(t)

La función vectorial w(t) = au(t) + bv(t) se dice que es una combinación lineal de las
funciones u(t) y v(t). As´ı pues, el principio de superposición dice que cualquier combinación
lineal de soluciones de un sistema lineal homogéneo es también una solución del sistema.
El principio de superposición es una propiedad de los sistemas lineales que no es verdadera
en general para sistemas no lineales. Por ejemplo, si consideramos el sistema
x1 = x2
1
x2 = x1x2
entonces
u(t) =
−1
t
0
es una solución del sistema porque
u (t) =
1
t2
0
y
u2
1
u1u2
=
1
t2
0
con lo que
u (t) =
u2
1
u1u2
.
También la función vectorial v(t) =
0
0
es solución del sistema. Sin embargo, w(t) =
2u(t) + 0v(t) =
−2
t
0
no es solución del sistema. En efecto
w (t) =
2
t2
0
y
w2
1
w1w2
=
4
t2
0
.
Hemos visto que si x1(t), x2(t) son soluciones del sistema plano x = A(t)x entonces
cualquier combinación lineal de ellas también lo es. ¿Será posible expresar todas las soluciones
del sistema como combinación de dos de ellas solamente? Consideremos un ejemplo:
Ejemplo 8.6 .- Dado el sistema
x =
1 2
2 1
x
comprobar que x1(t) =
e−t
−e−t y x2(t) =
e3t
e3t son soluciones del sistema y probar que
cualquier otra solución es combinación lineal de estas dos.

En realidad ya hemos visto que x1(t) y x2(t) son soluciones (ver sistema (8.10)). Veamos
ahora que si x(t) es una solución del sistema, entonces x(t) es una combinación lineal de
x1(t) y x2(t). Es decir, vamos a ver que existen unos números c1 y c2 tales que x(t) =
c1x1(t) + c2x2(t) para todo t. Encontrar estos números c1 y c2 para un valor de t concreto
es muy fácil. Por ejemplo, si supiéramos el valor de x(t) en t = 0, digamos
x(0) =
3
−1
,
podr´ıamos encontrar enseguida valores para c1 y c2 de modo que x(0) = c1x1(0) + c2x2(0).
En efecto, como x1(0) =
1
−1
y x2(0) =
1
1
tendr´ıamos que
x(0) = c1x1(0) + c2x2(0) ⇔
3
−1
= c1
1
−1
+ c2
1
1
=
c1 + c2
−c1 + c2
⇔
⇔
3 = c1 + c2
−1 = −c1 + c2
.
Sólo hay que resolver este sencillo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Pero este
sistema no siempre tiene solución, ello depende de que la matriz de los coeficientes tenga
determinante distinto de cero. Éste es el caso en este ejemplo:
det
1 1
−1 1
= 2 = 0,
de modo que el sistema tiene solución y además es única. En concreto c1 = 2 y c2 = 1.
Debemos observar dos cosas:
Si el valor de x en t = 0 fuera otro, digamos x(0) =
x0
1
x0
2
, entonces el sistema lineal
a resolver ser´ıa
x0
1 = c1 + c2
x0
2 = −c1 + c2
(8.12)
que también tendr´ıa solución porque la existencia o no de soluciones de este sistema
no depende de los términos independientes sino de la matriz de los coeficientes.
La matriz de los coeficientes depende exclusivamente de las funciones solución dadas:
x1(t) y x2(t). Es, en efecto, la matriz cuyas columnas son x1(0) y x2(0):
x1(0) x2(0) =
1 1
−1 1

Resumiendo, hemos visto hasta ahora que si la matriz x1(0) x2(0) tiene determinante
distinto de cero -o lo que es lo mismo, si los vectores x1(0) y x2(0) son linealmente indepen-
dientes (ver Anexo sobre matrices si no se recuerda lo que significa este concepto)-, entonces
se pueden encontrar números c1 y c2 de modo que x(0) = c1x1(0) + c2x2(0). Pero lo que
nosotros pretendemos es mucho más ambicioso: pretendemos encontrar unos números c1 y
c2 tales que x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) para todo t y no sólo para t = 0. Claro que de existir
tales números, éstos deber´ıan ser los hallados al resolver el sistema x(0) = c1x1(0) + c2x2(0)
(que es el sistema (8.12)) porque este sistema tiene una única solución. Debemos probar,
entonces, que si c1 y c2 son los números para los que x(0) = c1x1(0) + c2x2(0) entonces
x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) para todo t. Esto parece una tarea dif´ıcil pero no lo es tanto por-
que hay una propiedad fundamental de x(t) que todav´ıa no hemos utilizado: es solución del
sistema x = A(t)x. Además es la solución de este sistema que cumple la condición inicial
x(0) =
x0
1
x0
2
. Ahora bien, si ponemos y(t) = c1x1(t) + c2x2(t) con c1 y c2 los números que
solucionan el sistema (8.12), tenemos que, por el principio de superposición y(t) es solución
del sistema x = A(t)x y cumple que y(0) = c1x1(0) + c2x2(0) = x(0). Es decir, y(t) es una
solución del sistema que cumple la misma condición inicial que x(t). El teorema de unicidad
nos dice que esto sólo es posible si x(t) = y(t). Como y(t) = c1x1(t) + c2x2(t) conclu´ımos
que x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) para todo t.
En el caso considerado más arriba, en el que x(0) =
3
−1
, hab´ıamos encontrado que
los números c1 y c2 para los que x(0) = c1x1(0) + c2x2(0) eran c1 = 2 y c2 = 1. Por lo tanto,
la única solución del sistema
x =
1 2
2 1
x
que cumple la condición inicial x(0) =
3
−1
es x(t) = 2x1(t) + x2(t) =
2e−t
+ e3t
−2e−t
+ e3t .
Definición 8.7 .- Si x1(t), x2(t), . . . , xn(t) son exactamente n soluciones del sistema lineal
homogéneo x = A(t)x tales que cualquier otra solución del sistema, x(t), se puede po-
ner como combinación lineal de ellas, se dice que forman un sistema fundamental de
soluciones del sistema.
En el ejemplo anterior, las soluciones
x1(t) =
e−t
−e−t y x2(t) =
e3t
e3t
forman un sistema fundamental de soluciones del sistema
x =
1 2
2 1
x.

A la vista de este ejemplo y todo su desarrollo podemos enunciar el siguiente resultado:
Proposición 8.8 .- Si x1(t), x2(t), . . . , xn(t) son n soluciones de un sistema lineal ho-
mogéneo x = A(t)x definido en el intervalo (a, b), entonces forman un sistema fundamental
de soluciones si y sólo si los vectores x1(t0), x2(t0), . . . , xn(t0) son linealmente independien-
tes para algún t0 ∈ (a, b). Es decir, si y sólo si det x1(t0) x2(t0) · · · xn(t0) = 0 para
algún t0 ∈ (a, b).
En realidad, en el ejemplo de más arriba ya se han dado las ideas básicas para obtener
una demostración formal de esta Proposición para el caso n = 2. El caso general es similar.
Veremos más adelante que todo sistema lineal homogéneo de dimensión n admite un sis-
tema fundamental de n soluciones. Este hecho, junto a la Proposición 8.8, se puede enunciar
matemáticamente de la siguiente forma
Teorema 8.9 .- El conjunto de soluciones de un sistema n-dimensional lineal homogéneo
de primer orden x = A(t)x forma un espacio vectorial de dimensión n.
Si {x1(t), x2(t), . . . , xn(t)} es un tal sistema, a la matriz
X(t) = x1(t) x2(t) · · · xn(t)
cuyas columnas son los vectores solución, se le llama matriz fundamental de soluciones.
Podemos observar que
X (t) = x1(t) x2(t) · · · xn(t) = A(t)x1(t) A(t)x2(t) · · · A(t)xn(t) = A(t)X(t),
donde hemos hecho uso de la siguiente propiedad del producto de matrices: si expresamos
la matriz B en función de sus columnas: B = b1 b2 · · · bn , entonces las columnas de la
matriz producto AB so Ab1, Ab2,. . . , Abn; es decir,
AB = Ab1 Ab2 · · · Abn .
Como conclusión de todo este proceso tenemos el siguiente teorema
Teorema 8.10 .- Una matriz X(t) = x1(t) x2(t) · · · xn(t) es una matriz fundamen-
tal de soluciones del sistema lineal homogéneo x = A(t)x de dimensión n en el intervalo
(a, b) si y sólo si cumple las dos siguientes propiedades:
(i) X (t) = A(t)X(t)

(ii) det X(t0) = 0 para algún t0 ∈ (a, b).
La primera condición indica que los vectores x1(t), x2(t), . . . , xn(t) (las columnas de
X(t)) son solución del sistema x = A(t)x. Y la segunda significa que estos vectores son
linealmente independientes en (a, b). Es decir, el conjunto {x1(t), x2(t), . . . , xn(t)} forma un
sistema fundamental de soluciones del sistema x = A(t)x.
Este Teorema nos indica el camino que debemos seguir para obtener la solución general
del sistema homogéneo x = A(t)x:
1. Encontrar n soluciones del sistema x1(t), x2(t), . . . , xn(t). Equivalentemente, encontrar
una matriz de n soluciones.
2. Comprobar que son linealmente independientes; es decir, que si (a, b) es el intervalo en el
que está definido el sistema entonces det x1(t0) x2(t0) · · · xn(t0) = det X(t0) = 0
para algún t0 ∈ (a, b).
3. Escribir la solución general del sistema como combinación lineal de las soluciones en-
contradas. Es decir, la solución general del sistema ser´ıa
x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + · · · + cnxn(t)
siendo c1, c2,. . . , cn constantes arbitrarias.
Si observamos que
c1x1(t) + c2x2(t) + · · · + cnxn(t) = x1(t) x2(t) · · · xn(t)





c1
c2
...
cn





= X(t)c
con
c =





c1
c2
...
cn





,
la solución general del sistema se podr´ıa escribir, en notación matricial, de la siguiente forma:
x(t) = X(t)c.

Ejemplo 8.11 .- Dado el sistema x =
0 1
−2 2
x, comprobar que las funciones vectoriales
x1(t) =
et
cos t
et
(cos t − sen t)
y x2(t) =
et
sen t
et
(cos t + sen t)
forman un sistema fundamental de soluciones, escribir la solución general del sistema y hallar
la única solución del sistema que cumple la condición inicial x(0) =
2
3
.
En primer lugar hay que observar que la matriz del sistema A(t) =
0 1
−2 2
es continua
en toda la recta real, de modo que el intervalo de definción del sistema es (−∞, +∞). A
continuación tenemos que comprobar que x1(t) y x2(t) son soluciones del sistema:
x1(t) =
et
(cos t − sen t)
−2et
sen t
A(t)x1(t) =
0 1
−2 2
et
cos t
et
(cos t − sen t)
=
=
et
(cos t − sen t)
−2et
sen t
.
x2(t) =
et
(sen t + cos t)
22et
cos t
A(t)x2(t) =
0 1
−2 2
et
sen t
et
(cos t + sen t)
=
=
et
(sen t + cos t)
2et
cos t
.
Calculamos
det(x1(t) x2(t)) =
et
cos t et
sen t
et
(cos t − sen t) et
(sen t + cos t)
= et
(sen2
t + cos2
t) = et
As´ı pues det(x1(0) x2(0)) = e0
= 1 = 0. esto significa que x1(t) y x2(t) son linealmente
independientes y forman un sistema fundamental de soluciones. Equivalentemente, la matriz
X(t) = x1(t) x2(t) =
et
cos t et
sen t
et
(sen t + cos t)
es una matriz fundamental de soluciones.
La solución general del sistema será
x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) = c1
et
cos t
et
(cos t − sen t)
+ c2
et
sen t
et
(cos t + sen t)
=
=
c1et
cos t + c2et
sen t
c1et
(cos t − sen t) + c2et
(cos t + sen t)
.

Nótese que si pusiéramos
x(t) = X(t)c =
et
cos t et
sen t
et
(sen t + cos t)
c1
c2
=
=
c1et
cos t + c2et
sen t
c1et
(cos t − sen t) + c2et
(cos t + sen t)
obtendr´ıamos el mismo resultado.
Finalmente, la solución que cumple la condición inicial x(0) =
2
3
será la que se obtiene
imponiendo esta condición en la solución general:
2
3
=
c1 · 1 + c2 · 0
c1 · 1 + c2 · 1
.
As´ı c1 = 2 y c2 = 1 y la solución pedida será
x(t) =
et
(2 cos t + sen t)
et
(3 cos t − sen t)
.
O, escrito en función de las componentes x(t) =
x1(t)
x2(t)
:
x1(t) = et
(2 cos t + sen t)
x2(t) = et
(3 cos t − sen t).
En conclusión: para hallar la solución general de cualquier sistema lineal homogéneo hay
que diseñar un método para calcular n soluciones que sean linealmete independientes, o
equivalentemente, una matriz fundamental de soluciones. Este es el objetivo de la siguiente
lección para los sistemas lineales con ceficientes constantes; los únicos para los que, como ya
hemos dicho, tenemos métodos anal´ıticos generales de resolución. Para su estudio necesitamos
algunos preparativos de Álgebra Lineal que presentamos en la próxima sección.
8.5. Valores y vectores propios de matrices
En esta sección se hace uso de algunos conceptos básicos de Álgebra Lineal tales como
las operaciones con matrices y vectores y, en especial, la teor´ıa relacionada con la resolución
de sistemas homogéneos de ecuaciones (algebraicas) lineales; en particular, los conceptos de
rango y determinante de una matriz son básico. Quienes no estén familiarizados con estos
conceptos o quieran repasarlos, pueden hacerlo en el Anexo sobre Matrices.

8.5 Valores y vectores propios de matrices 133
De ahora en adelante representaremos por In la matriz identidad. Es decir
In =







1 0 0 · · · 0
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · 1







,
Comenzamos con la definición de valor y vector propio de una matriz.
Definición 8.12 .- Dada una matriz A ∈ Rn×n
se dice que el número complejo λ ∈ C es
un valor propio de A si existe un vector v = 0 tal que Av = λv. A este vector, v, se le
llama vector propio de A asociado al valor propio λ.
Un ejemplo puede clarificar el significado de esta definición:
Ejemplo 8.13 .- Compruébese que v =


1
−1
1

 es un vector propio de la matriz
A =


0 −1 −3
2 3 3
−2 1 1


Debemos comprobar que hay un número λ (real o complejo) tal que Av = λv. Para ello
multiplicamos A por v:
Av =


0 −1 −3
2 3 3
−2 1 1




1
−1
1

 =


−2
2
−2

 .
Y como v =


1
−1
1

, tenemos que
Av = (−2)v,
de modo que λ = −2 hace que Av = λv.

Una pregunta natural es si toda matriz cuadrada tiene valores y vectores propios. Para
responder a esta cuestión observamos que la condición Av = λv es equivalente a (λv−Av) =
0. O, también, sacando v factor común:
(λIn − A)v = 0. (8.13)
Para cada valor de λ, (8.13) es un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas:
las componentes del vector v. Esto se puede ver con más claridad si desarrollamos la ecuación
(8.13):
(λ − a11) v1 − a12v2 − · · · − a1nvn = 0
−a21v1 + (λ − a22) v2 − · · · − a2nvn = 0
...
...
...
...
−an1v1 − an2v2 − · · · + (λ − amn) vn = 0
(8.14)
Por ser un sistema homogéneo hay siempre un solución obvia (o trivial): v1 = v2 = · · · =
vn = 0. Pero para que v sea un vector propio, por definición, debe ser distinto de cero.
As´ı pues, la solución trivial no nos sirve.
Ahora bien, se sabe que un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas
tiene una solución no trivial si y sólo si, el determinante de la matriz de coeficientes es igual
a cero. As´ı, para hallar una solución v distinta de cero de la ecuación (8.14) se debe cumplir
det (λIn − A) = 0 (8.15)
Al desarrollar el det(λIn − A) obtenemos un polinomio de grado n del que tenemos que
obtener los λ que lo hacen cero; es decir, sus ra´ıces, que deben ser n, igual al grado del
polinomio, aunque puede haber ra´ıces repetidas. Una vez obtenidas estas n ra´ıces, digamos
λ1, λ2, . . . , λn, podemos obtener, para cada una de las que no están repetidas, un vector
propio sin más que resolver el sistema (8.13). Clarifiquemos este proceso con un ejemplo.
Ejemplo 8.14 .- Dada la matriz
A =


1 −1 4
3 2 −1
2 1 −1


se pide calcular sus valores propios y para cada uno de ellos un vector propio asociado.
Debemos calcular el det(λI3 − A) e igualarlo a 0:
det(λI3 − A) = det


λ − 1 1 −4
−3 λ − 2 1
−2 −1 λ + 1

 = λ3
− 2λ2
− 5λ + 6 = 0.

Llamamos p(λ) a este polinomio:
p(λ) = λ3
− 2λ2
− 5λ + 6 = 0 (8.16)
A continuación debemos calcular los valores de λ que hacen cero esta ecuación; es decir las
ra´ıces de p(λ). En este caso hay una ra´ız entera que se puede hallar por la regla de Ruffini,
que es λ1 = 1. En efecto
13
− 2 · 12
− 5 · 1 + 6 = 0
Una vez obtenida la primera ra´ız, dividimos p(λ) por λ−1 y obtenemos el polinomio λ2
−λ−6
cuyas ra´ıces son λ2 = 3 y λ3 = −2.
Vamos a calcular un vector propio asociado a λ1 = 1. Para calcular un vector propio v
asociado a λ1 = 1 debemos resolver el sistema
(λ1I3 − A)v = 0 ⇔


0 1 −4
−3 −1 1
−2 −1 2




v1
v2
v3

 =


0
0
0

 ⇔



v2 − 4v3 = 0
−3v1 − v2 + v3 = 0
−2v1 − v2 + 2v3 = 0
Este es un simple sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas. Como ya sa-
bemos que la matriz del sistema tiene determinante igual a cero, el sistema tiene infinitas
soluciones que se pueden expresar en función de una o dos variable según que la matriz
del sistema tenga rango 1 ó 2. Ahora bien, si nos fijamos en las dos primeras ecuaciones
observamos que
det
0 1
−3 −1
= 0 (8.17)
de modo que rang(λ1I3 − A) = 2. Esto significa que el subespacio de soluciones del sistema
(λ1I3 −A)v = 0 es 1: el número de incógnitas menos el rango de la matriz de los coeficientes.
Esto significa que dos de las incógnitas se pueden poner en función de una tercera. Para elegir
ésta escogemos una submatriz de tamaño 2 × 2 (el rango de la matriz del sistema λ1I3 − A)
cuyo determinante sea distinto de cero. De hecho, ya hemos seleccionado tal submatriz,
(8.17), al calcular el rango de λ1I3 − A. Esta submatriz corresponde a las incógnitas v1 y
v2 y a las ecuaciones primera y segunda. Por consiguiente, la solución general del sistema
la podemos obtener despejando estas dos incógnitas en función de la tercera, v3, haciéndolo
en el subsistema correspondiente a la submatriz seleccionada; i.e. en el correspondiente a las
dos primeras ecuaciones:
v2 = 4v3
3v1 + v2 = v3
De aqu´ı obtenemos que v2 = 4v3 y v1 = −v3. La solución general del sistema (λ1I3 −A)v = 0
será
v =


−v3
4v3
v3



Hay, en efecto, infinitas soluciones: una para cada posible valor de v3. Cualquiera distinta
de cero nos sirve porque nos piden un vector propio. Por ejemplo, dando a v3 el valor 1 y
sustituyendo: v1 = −1 y v2 = 4. As´ı pues un vector propio asociado al valor propio λ1 = 1
ser´ıa
v1 =


−1
4
1


Procedemos de la misma forma con λ2 = 3. Planteamos el sistema
(λ2I3−A)v = 0 ⇔ (3I3−A)v = 0 ⇔


2 1 −4
−3 1 1
−2 −1 4




v1
v2
v3

 =


0
0
0

 ⇔



2v1 + v2 − 4v3 = 0
−3v1 + v2 + v3 = 0
−2v1 − v2 + 4v3 = 0
Hallamos el rango de la matriz del sistema 3I3 − A. Para ello miramos a ver si hay una
submatriz de orden 2 que sea no singular; i. e. con determinante distinto de cero. Hay varias,
una de ellas es
1 1
−1 4
cuyo determinante es 5. As´ı que rang(3I3 − A) = 2 y la dimensión del espacio de soluciones
es 1. Usando la submatriz elegida, podemos despejar las incógnitas v2 y v3 en función de v1:
v2 + v3 = 3v1
−v2 + 4v3 = 2v1
De aqu´ı sacamos que v3 = v1 y v2 = 2v1. La solución general del sistema será
v =


v1
2v1
v1


Y dando a v1 un valor distinto de cero, por ejemplo v1 = 1, obtenemos un vector propio
asociado al valor propio λ2 = 3:
v2 =


1
2
1

 .
Para obtener un vector propio asociado al tercer valor propio, λ3 = −2, proceder´ıamos
de la misma forma.
En el ejemplo que acabamos de ver se aprecia que el método para obtener los valores
propios y un vector propio asociado a cada uno de ellos es rutinario y se puede concretar de
la siguiente forma: Dada la matriz A, de tamaño n × n

1. Se calcula det(λIn − A) que es un polinomio de grado n mónico (i.e. el coeficiente del
monomio λn
es 1). A este polinomio se le llama polinomio caracter´ıstico de A.
2. Se calculan las ra´ıces del polinomio caracer´ıstico. Esto no es una tarea fácil en la
práctica salvo para n ≤ 2. Si el polinomio resulta tener ra´ıces enteras, éstas se pueden
obtener por tanteo o el método de Ruffini. Una vez obtenida una de tales ra´ıces,
digamos λ0, se puede reducir el grado del polinomio caracter´ıstico dividiéndolo por
(λ − λ0). Y continuar de esta forma mientras haya ra´ıces enteras. Por lo general, se
deben emplear métodos numéricos y ayuda de un ordenador para hallar las ra´ıces del
polinomio caracter´ıstico. El programa Factoris del sistema WIMS que se encuentra en
http://wims.unice.fr/wims/ es muy útil y fácil de usar. No se debe olvidar pinchar
en Menu of options para seleccionar C como base de la factorización de los polinomios.
3. El polinomio caracter´ıstico tiene n ra´ıces porque es de grado n, aunque éstas pueden
ser complejas. Por ejemplo, si
A =
0 −1
1 0
su polinomio caracter´ıstico es
det(λIn − A) = det
λ −1
−1 λ
= λ2
+ 1 = (λ + i)(λ − i)
siendo i =
√
−1 la unidad imaginaria. Leáse el Anexo sobre números complejos si no se
está familiarizado con ellos. Si hay ra´ıces complejas todas las operaciones posteriores
hay que hacerlas usando aritmética compleja.
También puede suceder que entre las n ra´ıces del polinomio caracter´ıstico haya valores
repetidos. Si un número, digamos λi, aparece mi veces como ra´ız del polinomio carac-
ter´ıstico, se dice que λi es una ra´ız de multiplicidad mi. Teniendo en cuenta que las
ra´ıces del polinomio caracter´ıstico son los valores propios de A, también se dice que λi
es un valor propio de A de multiplicidad algebraica mi. Es decir, la multiplicidad
algebraica de un valor propio es su multiplicidad como ra´ız del polinomio caracter´ıstico:
el número de veces que aparece como ra´ız de éste. Por ejemplo, el polinomio carac-
ter´ıstico de la matriz
A =




7 5 −3 2
0 1 0 0
12 10 −5 4
−4 −4 2 −1




es
p(λ) = λ4
− 2λ3
+ 2λ − 1
que se factoriza (usando Factoris) de la siguiente forma:
p(λ) = (λ + 1)(λ − 1)3
.

Por lo tanto A tiene dos valores propios distintos λ1 = 1 y λ2 = −1. El primero aperece
3 veces como ra´ız de p(λ), as´ı que su multiplicidad algebraica es 3. El segundo aparece
solamente una vez; su multiplicidad algebraica es 1.
4. Para cada uno de los distintos valores propios se pueden calcular vectores propios. Para
ello, si λ0 es un valor propio del que se quieren calcular vectores propios, se plantea
el sistema (λ0In − A)v = 0. A este sistema se le llama sistema caracter´ıstico de A
asociado o relativo al valor propio λ0.
El sistema caracter´ıstico es un sistema lineal homogéneo que es compatible (i.e. tiene
solución distinta de la trivial porque det(λ0In − A) = 0) e indeterminado porque tiene
infinitas soluciones. Cada una de ellas es un vector propio de A asociado al valor propio
λ0. Todos estos vectores propios junto con el vector 0, que es la solución trivial del sis-
tema caracter´ıstico, forman un subespacio vectorial de vectores de n componentes. Es el
espacio de soluciones del sistema caracter´ıstico, también llamado subespacio propio
de A asociado al valor propio λ0. La dimensión de este subespacio (esto es, el número de
soluciones linealmente independientes del sistema caracter´ıstico) es n−rang(λ0In −A).
A este número también se le llama multiplicidad geométrica de λ0 como valor pro-
pio de A. Hay tantos vectores propios linealmente independientes asociados
a λ0 como su multiplicidad geométrica.
5. Para hallar tantos vectores propios linealmente independientes asociados a un valor
propio λ0 como su multiplicidad geométrica(es decir, para hallar una base del subes-
pacio propio), se resuelve el sistema caracter´ıstico de la forma habitual:
(i) Se calcula el rango de la matriz del sistema buscando una submatriz cuadrada de
máximo tamaño con determinante distinto de cero. Supongamos rang(λ0In −A) =
r, lo que significa que la dimensión del espacio de soluciones es n − r.
(ii) Utilizando la submatriz encontrada, se despejan las correspondientes r incógnitas
en función de las restantes n − r.
(iii) Se resuelve el correspondiente sistema compatible determinado r × r obteniendo
la solución general del sistema que dependerá de n − r incógnitas.
(iv) Se dan valores apropiados a las n − r incógnitas para obtener n − r vectores
linealmente independientes.
El siguiente ejemplo puede ilustrar todo el proceso anterior
Ejemplo 8.15 .- Hallar los valores propios y una base del correspondiente subespacio propio
para la matriz
A =


0 −1 0
4 4 0
−1 −1 2



Calculemos su polinomio caracter´ıstico
det(λI3 − A) = det


λ 1 0
−4 λ − 4 0
1 1 λ − 2

 = (λ2
− 4λ + 4)(λ − 2) = (λ − 2)3
As´ı que A sólo tiene un valor propio λ = 2 de multiplicidad algebraica 3. Vamos calcular
tantos valores propios linealmente independientes como sea posible. Planteamos el sistema
caracter´ıstico:
(λI3 − A)v = 0 ⇔ (2I3 − A)v = 0 ⇔


2 1 0
−4 −2 0
1 1 0




v1
v2
v3

 = 0
Se ve enseguida que sólo hay una columna que es linealmente independiente en 2I3 − A: la
primera o la segunda. Por lo tanto, sólo podemos encontrar submatrices de tamaño 1 × 1
con determinante distinto de cero. (Esto también se puede ver planteando las 6 submatrices
posibles de tamaño 2 × 2 y comprobando que sus determinantes son cero). Una de tales
submatrices de tamaño 1 × 1 distintas de cero es, por ejemplo, la formada por el elemento
en la posición (1, 1): 2. As´ı
rang(2I3 − A) = 1
y la dimensión del espacio propio de A asociado a λ = 2 (o la multiplicidad geométrica
de λ = 2) es 2. Debe haber dos vectores propios asociados a λ = 2 que son linealmente
independientes. Calculémoslos utilizando la submatriz elegida. Despejamos v1 en función de
v2 y v3 en la primera ecuación:
2v1 = −v2
(v3 no aparece en este caso porque está afectado por el coeficiente 0). La solución general
del sistema caracter´ıstico será
v =


−v2/2
v2
v3

 .
Ahora debemos dar valores a v2 y v3 para conseguir dos vectores linealmente independientes.
Hay una forma de hacerlo que funciona bien: v2 = 1, v3 = 0 y al revés: v2 = 0 , v3 = 1. De
hecho lo que hay que hacer es escoger dos vectores de la forma
v2
v3
que sean linealmente independientes. La elección hecha corresponde a los vectores
1
0
y
0
1
.

En conclusión, una base del subespacio propio será:
v1 =


−1/2
1
0

 y v2 =


0
0
1


En este ejemplo hemos visto que la multiplicidad geométrica del valor propio λ = 2
es 2 mientras que la algebraica es 3. Esto no es una casualidad, es verdad siempre que la
multiplicidad algebraica es mayor o igual que la multiplicidad geométrica. Esta
propiedad que la asumiremos sin demostración resultará ser my importante a la hora de
hallar las soluciones de los sistemas diferenciales lineales de coeficientes constantes, que es
para lo que estamos introduciendo todos estos conceptos.
Observaciones 8.16 .- Una consecuencia de la propiedad acerca de la desigualdad de las
multiplicidades es que si λ0 es un valor propio de A y su multiplicidad algebraica es 1,
entonces, como la multiplicidad geométrica no puede ser mayor que la algebraica, y tampoco
puede ser cero porque λ es valor propio y por lo tanto el sistema caracter´ıstico correspondiente
siempre tiene solución no trivial, debe resultar que la multiplicidad geométrica del valor
propio también es 1. As´ı, para valores propios simples (de multiplicidad algebraica 1) los
correspondientes subespacios propios siempre son de dimensión 1; nunca habrá dos vectores
propios linealmente independientes asociados a dicho valor propio.
Observaciones 8.17 .- (a) Con el programa Matrix Calculator de WIMS se pueden cal-
cular rápidamente valores y vectores propios de matrices con total facilidad. Conviene utili-
zarlopara comprobar que los resultados que se obtienen a mano son correctos.
(b) Los programas Factoris y Solucionador de sistemas lineales facilitan much´ısimo
la tarea de calcular valores y vectores propios de matrices.
He aqu´ı un ejemplo del modo correcto de proceder ante un problema tipo:
Ejemplo 8.18 .- Calcular los valores propios y bases de los subespacios propios para la
matriz
A =




7 5 −3 2
0 1 0 0
12 10 −5 4
−4 −4 2 −1




Esta matriz ya ha aparecido anteriormente y hemos dicho que su polinomio caracter´ıstico
es
p(λ) = λ4
− 2λ3
+ 2λ + 1.

Veamos cómo calcularlo con ayuda de WIMS desde el principio. Al entrar en la página prin-
cipal de WIMS, http://wims.unice.fr/wims/, escogemos la opción Online calculators
and plotters o su equivalente en francés Outils de calcul et de graphisme en ligne.
Y en la nueva página, una vez seleccionado el lenguaje castellano, pinchamos en Matrix
calculator. Siguiendo las instrucciones que all´ı vienen escribimos la matriz A y selecciona-
mos characteristic polynomial. Comprobamos que el resto de opciones no están marcados
y pinchamos en Show obteniendo:
characteristic polynomial = X4
− 2X3
+ 2X − 1
de modo que el polinomio caracter´ıstico es p(λ).
A continuación calculamos sus ra´ıces utilizando el programa Factoris. Para ello volvemos
al menú de calculadores en l´ınea y lo seleccionamos. Introducimos el polinomio en el cuadro
correspondiente en la siguiente forma
x^4-2*x^3+2*x+1
Pinchamos en Menu Options y seleccionamos C como base para la factorización de polino-
mios. A continuación pinchamos en factor para hallar las ra´ıces del polinomio. Obtenemos
x4
− 2x3
+ 2x − 1 = (x + (1,0 + 0,0i))(x + (−1,0 + 0,0i))(x + (−1,0 + 0,0i))(x + (−1,0 + 0,0i))
Esto significa que las ra´ıces son
λ1 = 1 + 0 · i = 1 y λ2 = −1 + 0 · i = −1,
la primera 3 veces. Por lo tanto λ1 = 1 tiene multiplicidad algebraica q1 = 3 y λ2 = −1 tiene
multiplicidad algebraica q2 = 1.
Calculamos vectores propios (tantos como podamos) para el valor propio λ1 = 1. Para
ello seleccionamos el calculador Solucionador de sistemas lineales. Y all´ı el método
matricial. En el cuadro correspondiente a la matriz A escribimos la matriz
λ1I4 − A = I4 − A =




−6 −5 3 −2
0 0 0 0
−12 −10 6 −4
4 4 −2 2




(Esto se puede automatizar usando el programa Matrix calculator, merece la pena estu-
diarlo cuando se va a realizar muchas veces). Escribimos en el cuadro correspondiente a la
matriz B el vector cero 



0
0
0
0



 ,

y pinchamos en resolver el sistema. El programa escribe el sistema de forma expl´ıcita y
a continuación pone
Este sistema tiene infinitas soluciones, las cuales son (con parámetros ri):
{x1 = (r2 + r1)/2, x2 = −r1, x3 = r2, x4 = r1}.
Utilizando nuestra notación esto significa que la solución general del sistema (λ1I4−A)v =
0 es
v =




(v2 + v1)/2
−v1
v2
v1



 (8.18)
As´ı pues, las soluciones dependen de dos parámetros v1 y v2. O lo que es lo mismo el
subespacio de soluciones del sistema (λ1I4 − A)v = 0 es de dimensión 2. Pod´ıamos haberlo
sabido de antemano si, usando Matrix calculator, calculamos el rang(λ1I4 − A) (rango es
rank en inglés). Habr´ıamos visto que éste es 2, por lo que la dimensión del subespacio propio
es n − rang(λ1I4 − A) = 4 − 2 = 2. Entonces la multiplicidad geométrica de λ1 = 1 es 2 y
para conseguir dos vectores linealmente independientes; i.e., una base del subespacio propio,
hay que dar valores apropiados a v1 y v2: debemos escoger dos vectores de la forma
v1
v2
que sean linealmente independientes. Por ejemplo
2
0
y
0
2
As´ı, sustituyendo en (8.18), obtendr´ıamos los vectores propios
v1 =




1
−2
0
2



 y v2 =




1
0
2
0




Si hacemos lo mismo con el valor propio λ2 = −1, obtenemos que la dimensión del
subespcio propio correspondiente es 1 y que la solución general del sistema caracter´ıstico
(λ2I4 − A)v = es
v =




−v1
0
−2v1
v1



 .

Tomando v1 = −1 obtenemos un vector propio que genera todo el subespacio propio:
v3 =




1
0
2
−1



 .
Ahora podemos comprobar si estos resultados coinciden con los que proporciona Matrix
calculator directamente. Escribiendo la matriz A original y seleccionando Eigenvalues
and eigenvectors, y pinchando en Show obtenemos la siguiente tabla
Value Multiplicity Vector
−1 1 (1, 0, 2, −1)
1 3 (1, 0, 2, 0), (0, 1, 1, −1)
Casi todo coincide: los valores propios coinciden, el vector propio asociado al valor propio
λ2 = −1 es el mismo que el obtenido por nosotros. Lo mismo pasa con uno de los vecto-
res propios asociados al valor propio λ1 = 1, pero el otro no. Esto no debe asustarnos. En
realidad, los vectores propios que da el programa y los que obtenemos nosotros no tienen
por qué coincidir: recordemos que nosotros obtenemos la solución general del sistema carac-
ter´ıstico y después elegimos como queremos los parámetros. Dos personas diferentes pueden
dar valores diferentes y ambas obtener respuetas correctas. Lo mismo pasa con el ordena-
dor. Para estar seguros de que nuestro resultado es correcto, basta comprobar que el vector
obtenido por nosotros
v1 =




1
−2
0
2




y el dado por el programa Matrix calculator:




0
1
1
−1




son vectores que corresponden a dar valores concretos a los parámetros de la solución general:
v =




(v2 + v1)/2
−v1
v2
v1




El nuestro corresponde a la elección: v1 = 2 y v2 = 0. Y el del programa a la elección v1 = −1
y v2 = 1. Por lo tanto ambas respuestas son correctas.

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