Practica41

Sistemas lineales invariantes en el
tiempo caracterizados
por ecuaciones en diferencias de
coeficientes constantes.1
Suponga que tenemos un sistema
recursivo definido mediante la siguiente
ecuación de entrada-salida:
𝑦[ 𝑛] = 𝑎𝑦[ 𝑛 − 1] + 𝑥[ 𝑛] (1)
donde a es una constante. La Figura 1
muestra el diagrama de bloques del
sistema.
Figura 1. Diagrama de bloques de un sistema recursivo
simple.
Supongamos ahora que aplicamos una
señal de entrada x[n] al sistema para𝑛 ≥ 0.
No vamos a hacer suposiciones acerca de
la señal de entrada para n < 0, pero
supondremos que existe una condición
inicial y[−1].
Dado que (1) describe la salida del
sistema implícitamente, debemos resolver
esta ecuación para obtener una expresión
explícita para la salida del sistema.
Suponga que calculamos valores
sucesivos de y(n) para𝑛 ≥ 0, comenzando
por y(0). Por tanto:
𝑦[0] = 𝑎𝑦[−1] + 𝑥[0]
𝑦[1] = 𝑎𝑦[0] + 𝑥[1] = 𝑎2𝑦[−1] + 𝑎𝑥[0] +
𝑥[1] 𝑦[2] = 𝑎𝑦[1] + 𝑥[2] = 𝑎3𝑦[−1] +
𝑎2𝑥[0]+ 𝑎𝑥[1]+ 𝑥[2]
.
.
-
𝑦[ 𝑛] = 𝑎𝑦[ 𝑛 − 1] + 𝑥[ 𝑛]
=𝑎 𝑛+1
𝑦[−1] + 𝑎 𝑛
𝑥[0]+
𝑎 𝑛−1
𝑥[1]+.. . +𝑎𝑥[ 𝑛 − 1] + 𝑥[ 𝑛]
de manera más compacta: 𝑦[ 𝑛] =
𝑎 𝑛+1
𝑦[−1]+ ∑ 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘=0 𝑥( 𝑛 − 𝑘), 𝑛 > 0
(2)
La respuesta y[n] del sistema, como se
especifica en el lado derecho de la
expresión (2), consta de dos partes. La
primera, que contiene el término y[−1] es
un resultado de la condición inicial y[−1] del
sistema. La segunda parte es la respuesta
del sistema a la señal de entrada x[n].
Si el sistema está inicialmente en
reposo en el instante n = 0, entonces su
memoria (es decir, la salida del elemento de
retardo debe ser cero. Por tanto, y[−1] = 0.
Luego un sistema recursivo está en reposo
si se inicia con condiciones iniciales nulas.
Puesto que la memoria del sistema
describe, en cierto sentido, su “estado,”
decimos que el sistema está en el estado
cero y su salida correspondiente se
denomina respuesta para el estado cero y
se designa mediante 𝑦𝑧𝑠. Obviamente, la
respuesta para el estado cero del sistema
definido por (1) está dada por:
𝑦𝑧𝑠[ 𝑛] = ∑ 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘=0 𝑥( 𝑛 − 𝑘), 𝑛 > 0
(3)
Supongamos ahora que el sistema
descrito por (1) no está inicialmente en
reposo [es decir,𝑦[−1] = 0 y que la entrada
es𝑥[ 𝑛] = 0 para todo n. Por tanto, la salida
del sistema para una entrada igual a cero es
la respuesta para la entrada nula o
respuesta natural y se designa por 𝑦 𝑧𝑖[ 𝑛]..A
partir de (1), con𝑥[ 𝑛] = 0 para
−∞ < 𝑛 < ∞, obtenemos:
𝑦 𝑧𝑖( 𝑛) = 𝑎 𝑛+1 𝑦[−1], 𝑛 ≥ 0 (4)
Observe que un sistema recursivo con
una condición inicial distinta de cero no está
en reposo en el sentido de que puede
generar una salida sin haber sido excitado.
Observe que la respuesta a la entrada nula
se debe a la memoria del sistema.
En resumen, la respuesta a la entrada
nula se obtiene haciendo nula la señal de
entrada, lo que implica que es
independiente de la entrada. Sólo depende
de la naturaleza del sistema y de la

condición inicial. Por tanto, la respuesta a la
entrada nula es una característica del propio
sistema y se conoce también como
respuesta natural o libre del sistema. Por
otro lado, la respuesta a la entrada nula
depende de la naturaleza del sistema y de
la señal de entrada. Dado que esta salida es
una respuesta forzada por la señal de
entrada, normalmente se conoce como
respuesta forzada del sistema. En general,
la respuesta total del sistema puede
expresarse como 𝑦[ 𝑛] = 𝑦 𝑧𝑖[ 𝑛] + 𝑦𝑧𝑠[ 𝑛].
El sistema descrito por la ecuación en
diferencias de primer orden (1) es el sistema
recursivo más simple posible dentro de la
clase general de sistemas recursivos
descritos mediante ecuaciones en
diferencias lineales y coeficientes
constantes. La forma general para tal
ecuación es:
𝑦[ 𝑛] = − ∑ 𝑎 𝑘
𝑁
𝑘=1 𝑦( 𝑛 − 𝑘) +
∑ 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘=0 𝑥( 𝑛 − 𝑘) (5)
El entero N define el orden de la
ecuación en diferencias del sistema. La
Ecuación (5) expresa la salida del sistema
en el instante “n” directamente como una
suma ponderada de salidas pasadas y[n−1],
y[n−2]. . . . . y[n−N], así como las muestras
de las señales de entrada pasadas y
presentes. Observe que con el fin de
determinar y[n] para𝑛 ≥ 0, necesitamos la
entrada x[n] para todo 𝑛 ≥ 0 y las
condiciones iniciales y[−1], y[−2], . . . , y[−N].
En otras palabras, las condiciones iniciales
resumen todo lo que necesitamos saber
sobre la historia pasada de la respuesta del
sistema para calcular las salidas actual y
futuras.
Como hemos visto, un sistema
recursivo puede estar en reposo o no,
dependiendo de las condiciones iniciales.
Por tanto, las definiciones de estas
propiedades tienen que tener en cuenta la
presencia de las condiciones
iniciales.
Un sistema es lineal si satisface los
tres requisitos siguientes:
1. La respuesta total es igual a la suma
de las respuestas a la entrada nula y en
estado cero,es decir, 𝑦[ 𝑛] = 𝑦 𝑧𝑖[ 𝑛] + 𝑦𝑧𝑠[ 𝑛].
2. El principio de superposición se
aplica a la respuesta para el estado nulo
(lineal para el estado nulo).
3. El principio de superposición se
aplica a la respuesta a la entrada nula
(lineal para la entrada nula).
Un sistema que no satisfaga los tres
requisitos es por definición no lineal.
Desarrollo:
1. En la Figura 2 y 3 se puede observar
la gráfica que corresponde a la función que
caracteriza al sistema correspondiente.
Figura 2. Respuesta al impulso de 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
1
2
𝑦[ 𝑛 − 1]
Figura 3. Respuesta al impulso de 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
5
6
𝑦[ 𝑛 − 1] −
1
6
𝑦[ 𝑛 − 2]

2. En la Figura 4 y 5 se gráficaron las
respuestas al escalon, de los sistemas que
se corresponde al ejercicio.
Figura 4. Respuesta al escalón de 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
1
2
𝑦[ 𝑛 − 1]
Figura 5. Respuesta al escalón de 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
5
6
𝑦[ 𝑛 − 1] −
1
6
𝑦[ 𝑛 − 2]
3. En las Figuras 6 y 7 se observa la
respuesta de nuestros sistemas a una
entrada definida.
Figura 6. Respuesta de 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
1
2
𝑦[ 𝑛 −
1]a 𝑥[ 𝑛] = [
1
3
]
2
𝑢[ 𝑛]
Figura 7. Respuesta de 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
5
6
𝑦[ 𝑛 − 1] −
1
6
𝑦[ 𝑛 − 2]a 𝑥[ 𝑛] = [
1
2
]
2
𝑢[ 𝑛]
4.En las figuras siguientes se han
dibujado la respuesta natural de nuestros
sistemas con condiciones iniciales
diferentes de 0.
Figura 8. Resp. a la entrada nula 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
1
2
𝑦[ 𝑛 − 1], 𝑦[−1] = 1
Figura 8. Resp. a la entrada nula 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
1
2
𝑦[ 𝑛 − 1], 𝑦[−1] = 1, 𝑦[−2] = 0

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