Exposicion montecarlo
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El documento describe la técnica de simulación de Montecarlo. Esta técnica utiliza números aleatorios generados por computadora para simular variables aleatorias con el fin de resolver problemas matemáticos complejos. La simulación de Montecarlo se aplica en diversos campos como finanzas, ingeniería y ciencias. El nombre proviene de la ciudad de Montecarlo conocida por sus casinos donde el azar juega un papel importante.
Exposicion montecarlo
- 1. INTEGRANTES Julio Tamayo. Marco Hidrobo. Daniel Carrera. Cristian Perugachi.
- 3. LA Simulación de Montecarlo es una técnica q combina conceptos estadísticos (muestreo aleatorio) con la capacidad q tienen los ordenadores para generar números pseudo- aleatorios y automatizar cálculos. Los orígenes de esta técnica están ligados al trabajo aplicando una infinidad de ámbitos como alternativas a los modelos matemáticos exactos o inclusos como único medio de estimar soluciones para problemas complejos.
- 4. En la actualidad es posible encontrar modelos de simulación Montecarlo en las áreas informáticas, empresarial, económica, industrial e incluso social. En otras palabras, la simulación de Montecarlo está presente en todos los ámbitos en la q el comportamiento aleatorio o probabilístico desempeñe un papel fundamental. El nombre de Montecarlo proviene de la famosa ciudad de Mónaco, donde abundan los casinos de juegos y donde el azar la probabilidad y el comportamiento aleatorio conforman todo un estilo de vida.
- 5. La simulación Monte Carlo es una técnica matemática computarizada que permite tener en cuenta el riesgo en análisis cuantitativos y tomas de decisiones. Esta técnica es utilizada por profesionales de campos tan dispares como los de finanzas, gestión de proyectos, energía, manufacturación, ingeniería, investigación y desarrollo, seguros, petróleo y gas, transporte y medio ambiente.
- 6. La simulación Monte Carlo ofrece a la persona responsable de tomar las decisiones una serie de posibles resultados, así como la probabilidad de que se produzcan según las medidas tomadas. Muestra las posibilidades extremas , los resultados de tomar la medida más arriesgada y la más conservadora, así como todas las posibles consecuencias de las decisiones intermedias.
- 7. Es un método directo y flexible. Cuando el modelo matemático es demasiado complicado la simulación permite obtener una simulación. La simulación permite resolver problemas q no tiene solución analítica. La simulación no interviene en el mundo real, permite experimentar.
- 8. La simulación no genera soluciones Optimas globales. Una buena simulación puede resultar muy complicada, gran número de variables. No proporciona la decisión a tomar, sino que resuelve el problema mediante aproximación para unas condiciones iniciales. Cada simulación es única, interviene el azar.
- 9. El método de Montecarlo permite resolver problemas matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias. John Von Neumann, en los años 40 y con los primeros ordenadores, aplica la simulación para resolver problemas complejos que no podían ser resueltos de forma analítica. Montecarlo y su casino están relacionados con la simulación. La ruleta, juego estrella de los casinos, es uno de los aparatos mecánicos más sencillos que nos permiten obtener números aleatorios para simular variables aleatorias.
- 10. Ejemplo: Cálculo de Integrales Una aplicación inmediata del método, el el cálculo de integrales definidas.
- 11. Ejemplo: Cálculo de Integrales Consideremos un caso más sencillo:
- 12. Siempre podremos considerar que el área se encuentra inscrita en un cuadrado de área 1. Podremos considerar en el cuadrado de área 1 un número N de puntos aleatorios (x, y), y un número N′ que aparecen dentro de la superficie a determinar.
- 14. Precisión en el Cálculo El procedimiento de Montecarlo tiene N puntos aleatorios de los que N′ resultan corresponder al área que deseamos calcular. Luego S es proporcional a la probabilidad de que un punto aleatorio caiga en la superficie. Estimaremos esa probabilidad como: Que será la probabilidad de N′ éxitos en N intentos y que viene dada por la distribución binomial:
- 15. La distribución binomial se puede aproximar mediante una normal cuando: N · p > 5 y N · q > 5. La distribución normal por la que aproximamos tendrá media μ = N · p y varianza = N · p · q. Además para una distribución normal N(μ, ) sabemos que el 95% de las observaciones se encuentran en el intervalo: Con lo que suponiendo N · p > 5 y N · q > 5 tendremos que el intervalo de confianza al 95% del número de aciertos N′ en S estará en:
- 16. Tamaño de la Simulación En nuestro ejemplo sabemos que: y calculamos el área bajo la curva mediante el método de Montecarlo: ¿Cuántas simulaciones son necesarias para estimar S con 2 cifras significativas correctas? Esto equivale a que el número de aciertos N′ con un 95% de confianza:
- 17. La distribución Binomial la hemos aproximado mediante una Normal: Para una variable aleatoria Z N(0, 1) tenemos que, entonces tendremos que siendo p = 1/3 :
- 18. •Generadoresde números aleatorios. •Números pseudo aleatorios.
- 19. Los números aleatorios son la base esencial de la simulación. Usualmente, toda la aleatoriedad involucrada en el modelo se obtiene a partir de un generador de números aleatorios que produce una sucesión de valores que supuestamente son realizaciones de una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) U (0; 1).
- 20. El método mas conveniente y mas estable de generar números aleatorios es utilizar algoritmos determinativos que posean alguna base matemática solida. Estos algoritmos producen una sucesión de números que se asemeja a la de una sucesión de realizaciones de variables aleatorias iid U(0; 1), aunque realmente no lo sea. Es por ello que este tipo de números se denominan pseudo-aleatorios y el algoritmo que los produce se llama generador de números pseudo-aleatorios.
- 21. Por encima de todo, la sucesión de valores que proporcione deberá asemejarse a una sucesión de realizaciones independientes de una variable aleatoria U(0; 1). Los resultados deben ser reproducibles, en el sentido de que comenzando con las mismas condiciones iníciales debe ser capaz de reproducir la misma sucesión. Esto nos puede permitir depurar fallos del modelo o simular diferentes alternativas del modelo en las mismas condiciones obteniendo una comparación mas precisa. Los procedimientos físicos no permiten que los resultados sean reproducibles. la sucesión de valores generados debe tener un ciclo no repetitivo tan largo como sea posible el generador debe ser rápido y ocupar poca memoria interna
- 22. Método de los centros de los cuadrados. Métodos congruenciales. Generador multiplicativo. Generador mixto.
- 23. El método comienza tomando un numero al azar, x0, de 2n cifras. Si es necesario se añaden ceros a la izquierda para que el numero resultante tenga exactamente 4n cifras. Sea x1 el numero resultante de seleccionar las 2n cifras centrales de x2 0; el primer numero aleatorio u1 se obtiene poniendo un punto decimal delante las 2n cifras de x1. A continuación x2 y u2 se generan a partir de x1 del mismo modo. As sucesivamente.
- 24. Tiene una fuerte tendencia a degenerar a cero rápidamente Los números generados pueden repetirse clicamente después de una secuencia corta.
- 26. Diremos que dos números x e y son congruentes modulo m si: x y mod(m) Esto equivale a que x e y producen el mismo resto al ser divididos por m La expresión más común a la hora de calcular números aleatorios es la dada por: Donde a y b son números elegidos convenientemente y se denomina semilla.
- 27. Es una modificación del método congruencial en el que b = 0. Normalmente m se elige tal que m = donde c es el numero de dígitos diferentes del sistema usado (binario, 2) y p es el tamaño de una palabra. El período máximo de repetición es m/4 con m = y tomando como 0 una semilla impar.
- 28. En el método congruencial, la elección adecuada de a y b hacen que el período de repetición de los números aleatorios obtenidos se incremente hasta m: ◦ a y b primos. ◦ (a − 1) múltiplo de cada factor primo de m. ◦ (a − 1) ha de ser múltiplo de 4 si m lo es.
- 29. Basta con realizar operaciones aritméticas sencillas. Computacionalmente esta tarea no necesita de elevados recursos. Los números aleatorios se pueden reproducir, permitiendo comprobar la calidad de la secuencia y aplicarla en diferentes problemas.
- 31. Simulación de V.A. Números Aleatorios U(0, 1): Yk U(0, 1) Esta distribución tendrá la función de densidad: y función de distribución:
- 32. Transformación de Variables Aleatorias Cuando un sistema o un proceso esta regido en su comportamiento por el azar, entonces podemos aplicar técnicas de simulación basadas en el método de Montecarlo. La idea básica del método es simular valores que toman las variables que forman parte del proceso en lugar de experimentar u observar la realidad. Ejemplos de esas variables a simular: • Demanda. •Tiempo de respuesta, entre ocurrencias, de servicio,.. •Cantidad de empleados ausentes. •Presión de un neumático. •Velocidad y dirección del aire. Existen dos tipos de variables aleatorias: • Variables Aleatorias Discretas: Demanda, Numero de Empleados, etc. • Variables Aleatorias Continuas: Tiempos, etc.
- 33. Simulación de V. A. Discretas Una primera aproximación a la simulación de una V.A. Discreta, X, que siga una determinada distribución de probabilidad dada por su función de probabilidad: sería construir una ruleta a los sectores asignados a cada posible valor de la V.A. fuese proporcional a la probabilidad de ocurrencia de dicho valor. Supongamos que deseamos simular una V.A.D., X, con una distribución de probabilidad dada por: