Factor común (Recomendado)
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Este documento presenta 10 ejemplos resueltos de cómo extraer un factor común de expresiones algebraicas. Extraer un factor común implica identificar un término que se repite en todos los sumandos y dividir cada sumando por ese término para simplificar la expresión. Los ejemplos muestran cómo extraer factores comunes numéricos, de letras con diferentes exponentes, fraccionarios y de varias letras. También cubren conceptos como el máximo común divisor y la división de fracciones y potencias al extraer un factor común.
Factor común (Recomendado)
- 1. FACTOR COMÚN / Ejemplos con EJERCICIOS RESUELTOS. EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números) 8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d) El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números. EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras) 7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6) El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece. EJEMPLO 3: (Hay factor común entre los números y entre las letras) 9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5) El factor común es 3x2: El MCD entre los números y la x elevada a la menor potencia. EJEMPLO 4: (Con fracciones) 4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4) El factor común es 2/3 x: El MCD del numerador sobre el MCD del denominador, y la x a la menor potencia. EJEMPLO 5: (Con varias letras diferentes) 9x2ab - 3xa2b3 + x2az = xa. (9xb - 3ab2 + xz) El factor común es xa. Las 2 letras que están en todos los términos, con la menor potencia con la que aparecen. EJEMPLO 6: (Con números grandes) 36x4 - 48x6 - 72x3 + 60x5 = 12x3. (3x - 16x3 - 6 + 5x2) Entre números grandes es más difícil hallar el MCD. PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en Nivel Medio) EJEMPLO 7: (Sacar factor común negativo) 8a - 4b + 16c + 12d = - 4. (- 2a + b - 4c - 3d) Saco factor común "-4". Todos los términos quedan con el signo contrario al que traían.
- 2. EJEMPLO 8: (El Factor común es una expresión de más de un término) (x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x2 = (x + 1). (3 - 5x + x2) (x + 1) está multiplicando en todos los términos. Es factor común. EJEMPLO 9: ("Sacar un número que no es divisor de todos los términos") 3a + 2b - 5c + 9d = 7. (3/7 a + 2/7 b - 5/7 c + 9/7 d) Divido todos los términos por 7, y quedan números fraccionarios. Esto lo puedo hacer con cualquier número. EJEMPLO 10: (Normalizar un polinomio) 5x4 - 2x3 - 3x + 4 = 5. (x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5) Normalizar es "quitarle" el número (coeficiente) al término de mayor grado. Por eso divido todo por 5. CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS SOBRE EL PRIMER CASO: FACTOR COMÚN ¿Por qué se llama "Factor común"? Por qué en general el Caso se aplica cuando en todos los términos hay un "factor común". ¿Pero qué es un "factor común"? Es "algo" (número, letras, una "expresión algebraica") que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común". Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la letra "a". Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos.
- 3. ¿Una vez que identifico al "factor común", qué hago para "sacarlo"? Divido a todos los términos por ese factor. La división entre números ya la conocemos. La división entre letras iguales (potencias de igual base) se hace restando los exponentes. "Los números se dividen con los números", "las letras con las letras iguales". Por ejemplo: 4a - 8b + 6c = Allí el factor común es 2, entonces divido todos los términos por 2. El resultado de esa división es: 2a - 4b + 3c ¿Hay una regla para encontrar factor común entre los números, si no puedo descubrirlo intuitivamente? Sí. Sobre todo cuando son números grandes, nos conviene saber que el factor común que nos piden sacar entre ellos es el conocido MÁXIMO COMÚN DIVISOR o DIVISOR COMÚN MAYOR (MCD o DCM). Es el mayor número por el cual podamos dividir a todos los términos. ¿Por qué no puedo sacar un factor común menor que el Máximo Común Divisor? ¿Y cómo saco factor común entre las letras? Cuando una o más letras están en todos los términos, son factor común, y hay que sacarlas con el menor exponente con que aparecen Por ejemplo: 7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = En todos los términos está la "x". La "x" es factor común y hay que sacarla con exponente 2, porque es el menor exponente con el que aparece en el polinomio. El factor común común es: x2. 7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
- 4. Para dividir a las letras de los términos por las del factor común, hay que restar los exponentes, porque es división entre potencias de igual base (Propiedades de las potencias de igual base). Por ejemplo: x5:x2 = x5-2 = x3 ¿Puedo sacar factor común sin pensar en divisiones? En muchos ejemplos, en vez de pensar en "dividir", conviene pensar en "sacar". Por ejemplo: 2bc + 2bm = 2b.(c + m) En vez de pensar "2 dividido 2 dá 1", "b dividido b dá 1", etc. Pienso mejor: "a 2bc le saco 2b, queda c " y "a 2bm le saco 2b, queda m ". ¿Qué pasa si el factor común que saco es igual a uno de los términos? Mucho cuidado con esto. Si dividimos un término por sí mismo, el resultado es "1". Y hay que ponerlo. O de lo contrario, estamos obteniendo una expresión que no es equivalente a la original, ya que le estaríamos quitando un término. Y eso se puede verificar haciendo la multiplicación (con la Propiedad Distributiva).Por ejemplo: 2ac + 2ab + 2a = 2a. (c + b + 1) Es decir que "si sacamos todo", no es que "no queda nada". Queda el número 1, resultado de dividir algo por sí mismo. Apliquemos la Propiedad Distributiva en el resultado para verificar que es equivalente al polinomio original: 2a. (c + b + 1) = 2ac + 2bc + 2a ¿Hay una manera práctica de dividir a las fracciones? Sí. Dividiendo "el de arriba por el de arriba y el de abajo por el de abajo" ¿Y qué pasa con los signos en el factoreo? Casi siempre sacamos factor común positivo, a menos que por alguna razón necesitemos hacer lo contrario. Si sacamos factor común positivo, cada término queda con el mismo signo que tenía originalmente. Por ejemplo: -2a + 2b - 2c - 2d = 2. (-a + b - c - d)
- 5. Y eso es porque estamos dividiendo: En cada división usamos la regla de los signos para calcular el resultado, y al dividir por un número positivo, el resultado tiene el mismo signo que el término original: ¿Se puede sacar factor común negativo? Sí, y en algunos casos es útil hacerlo, por ejemplo en el caso "Factor Común en grupos". Si sacamos factor común negativo, cada término queda con el signo contrario al que tenía originalmente. Por ejemplo: 5a - 5b - 5c + 5d = -5. (-a + b + c - d) Si usamos la regla de los signos en cada división veremos cómo cada resultado queda con el signo contrario al del término original.