Factorizar
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El documento describe 10 casos de factorización de expresiones algebraicas. Estos incluyen factorizar monomios, encontrar factores comunes en monomios y polinomios, agrupar términos con factores comunes, factorizar trinomios cuadrados perfectos, diferencias de cuadrados perfectos, trinomios de la forma x^2 + bx + c, y sumas y diferencias de cubos. El objetivo general es descomponer expresiones en el producto de sus factores.
![Factorizar: Es descomponer en el producto de sus factores una expresion algebraica
Estos son los 10 de Casos de Factorizacion
===================================
➀Factorar un Monomio:
En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término
15ab = 3 * 5 a b
➁ Factor Común Monomio:
En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términos
Como puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común
a² + 2a = a ( a + 2 )
➂ Factor Común Polinomio:
x[a+b]+m[a+b]
En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir
como el factor del otro binomio
x[a+b]+m[a+b]=(x+m)(a+b)
➃ Factor Común por Agrupación de Términos:
En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo
ax + bx + ay + by =
[ax + bx] + [ay + by]
Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio
[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b)](https://image.slidesharecdn.com/factorizar-130404182936-phpapp02/85/Factorizar-1-320.jpg)
![Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio
x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)
➄ Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)²
Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:
☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do
Termino
Factorar: m² + 6m + 9
m² + 6m + 9
↓…………..↓
m..............3
➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término
[m]y[3]
➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo
se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el
exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado
(m + 3)²
Nota:
Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)²
➌ Ahora aplica la Regla del TCP
(m + 3)²
El Cuadrado del 1er Termino = m²
[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m](https://image.slidesharecdn.com/factorizar-130404182936-phpapp02/85/Factorizar-2-320.jpg)
![[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9
➍ Junta los Términos
m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla
➅ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b)
De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente
signo)
a² - b² = (a - b) (a + b)
4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)
➆ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:
Factorar (a + b)² - c²
(a + b)² - c²
Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)
[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis
(a + b + c) (a + b – c)
➇ Trinomio de la Forma; x² + bx + c](https://image.slidesharecdn.com/factorizar-130404182936-phpapp02/85/Factorizar-3-320.jpg)
![Factorar x² + 7x + 12
➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio
(x.......) (x.......)
➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12
4+3=7
4 x 3 = 12
➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis
(x + 4)(x + 3)
Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)
➈ Trinomio de la Forma; ax² + bx + c
Factorar 6x² - x – 2 = 0
Pasos:
➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el
2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación
6x² - x – 2
36x² - [ 6 ] x – 12
➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente
(6x.......) (6x.......)](https://image.slidesharecdn.com/factorizar-130404182936-phpapp02/85/Factorizar-4-320.jpg)
![➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ],
vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]
➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ]
-4+3=-1
[ - 4] [ 3 ] = - 12
➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis
(6x - 4) (6x - 3)
➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que
reducirlos
(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)
Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2)
➉ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³
Suma de Cubos:
============
a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]](https://image.slidesharecdn.com/factorizar-130404182936-phpapp02/85/Factorizar-5-320.jpg)
![[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]
Diferencia de Cubos:
==============
a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]](https://image.slidesharecdn.com/factorizar-130404182936-phpapp02/85/Factorizar-6-320.jpg)
Factorizar
- 1. Factorizar: Es descomponer en el producto de sus factores una expresion algebraica Estos son los 10 de Casos de Factorizacion =================================== ➀Factorar un Monomio: En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término 15ab = 3 * 5 a b ➁ Factor Común Monomio: En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términos Como puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común a² + 2a = a ( a + 2 ) ➂ Factor Común Polinomio: x[a+b]+m[a+b] En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio x[a+b]+m[a+b]=(x+m)(a+b) ➃ Factor Común por Agrupación de Términos: En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo ax + bx + ay + by = [ax + bx] + [ay + by] Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio [ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b)
- 2. Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b) ➄ Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)² Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla: ☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino Factorar: m² + 6m + 9 m² + 6m + 9 ↓…………..↓ m..............3 ➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término [m]y[3] ➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado (m + 3)² Nota: Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)² ➌ Ahora aplica la Regla del TCP (m + 3)² El Cuadrado del 1er Termino = m² [ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m
- 3. [ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9 ➍ Junta los Términos m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla ➅ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b) De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo) a² - b² = (a - b) (a + b) 4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3) ➆ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos: Factorar (a + b)² - c² (a + b)² - c² Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b) [(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis (a + b + c) (a + b – c) ➇ Trinomio de la Forma; x² + bx + c
- 4. Factorar x² + 7x + 12 ➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio (x.......) (x.......) ➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12 4+3=7 4 x 3 = 12 ➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis (x + 4)(x + 3) Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3) ➈ Trinomio de la Forma; ax² + bx + c Factorar 6x² - x – 2 = 0 Pasos: ➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación 6x² - x – 2 36x² - [ 6 ] x – 12 ➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente (6x.......) (6x.......)
- 5. ➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ] ➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ] -4+3=-1 [ - 4] [ 3 ] = - 12 ➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis (6x - 4) (6x - 3) ➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que reducirlos (6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1) Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2) ➉ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³ Suma de Cubos: ============ a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²) Se resuelve de la siguiente manera El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b) El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
- 6. [ - ] el producto de los 2 términos [ ab ] [ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ] Diferencia de Cubos: ============== a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) Se resuelve de la siguiente manera El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b) El cuadrado del 1er termino, [ a² ] [ + ] el producto de los 2 términos [ ab ] [ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]