Fibonacci
- 2. LEONARDO DE PISA • Leonardo nació en Pisa en 1170. • Pisa era una importante ciudad comercial en la época y tenía enlaces con numerosos importantes puertos del Mediterráneo. • Su padre era un oficial de aduanas en Argelia. Por tanto, Leonardo creció en el norte de África con una educación árabe y además luego viajó mucho por la costa mediterránea.. • Conoció a muchos comerciantes de los que aprendió aritmética (especialmente sistemas de numeración). • Pronto se dio cuenta de las ventajas del sistema “hindu- arábigo” sobre todos los demás.
- 3. Liber abaci En LIBER ABACI, Leonardo introdujo el sistema de numeración hindu-arábigo en Europa -el sistema posicional que usamos hoy en día- basado en 10 dígitos con la coma decimal y un símbolo para el cero: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 El libro describe las reglas que aprendemos en los colegios para sumar, restar, multiplicar y dividir, junto con muchos problemas.
- 4. Los conejos de Fibonacci • El problema original que Fibonacci investigó (en 1202) era sobre la velocidad a la que se reproducirían los conejos en circunstancias ideales. • Supongamos que una pareja de conejos recién nacidos, un macho y una hembra se sueltan en un campo. Los conejos se pueden reproducir al mes de vida, por tanto, al final del segundo mes, una hembra puede engendrar otra pareja de conejos. Supongamos que nuestros conejos nunca mueren, y que la hembra siempre produce otro nuevo par de conejos (uno macho y otro hembra) cada mes desde el segundo mes. • ¿Cuántas parejas habrá al cabo de un año?
- 5. • Al final del primer mes, solo hay una pareja. • Al final del segundo mes, la henbra da a luz a un nuevo par de conejos, por tanto ahora hay 2 pares de conejos en el campo. • Al final del tercer mes, la pareja original produce un segundo par de conejos. Por tanto, hay 3 pares en el campo. • Al final del cuarto mes, la pareja original produce otro par de conejos. Igualmente la pareja que nació hace dos meses, produce otro par de conejos. Por tanto, hay cinco pares de conejos.
- 6. • El número de parejas de conejos en el campo al comienzo de cada mes es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... • Por tanto, la respuesta era 377 parejas
- 7. Las abejas y sus árboles de familia • Las abejas viven en colonias en colmenas y sus árboles de familia son bastante inusuales. En las colonias de abejas hay una hembra especial llamada reina. Hay muchas otras abejas trabajadoras que también son hembras, pero al contrario de la reina, no producen huevos. Hay algunos zánganos que son machos y no trabajan. • Los huevos no fertilizados de la reina producen machos, por tanto, ¡las abejas macho tienen madre pero no tienen padre! Todas las hembras se producen cuando la reina se junta con un macho por tanto, tienen dos padres. • Por tanto, las abejas hembra tienen 2 progenitores, una hembra y un macho, mientras que las abejas macho solo tienen un progenitor, una hembra.
- 8. Árbol familiar de un zángano Tiene 1 progenitor, una hembra. Tiene 2 abuelos, pues su madre tuvo dos padres, una hembra y un macho. Tiene 3 bisabuelos: su abuela tuvo dos progenitores pero su abuelo solo tuvo uno. ¿Cuántos tatarabuelos tiene?
- 9. La serie de Fibonacci • Una serie donde cada número es la suma de los dos anteriores se llama serie de Fibonacci. Matemáticamente, F(i+2) = F(i+1) + F(i) La primera y más fácil de estas series sería: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …
- 10. Los números de Fibonacci y el Número de Oro •Si calculamos la razón de dos números consecutivos en la serie de Fibonacci, obtendremos la siguiente serie de números: 1/1=1 2/1=2 3/2=1,5 5/3=1,666666 8/5=1,6 13/8=1,625 21/13=1,615385 32/21=1,619048 55/34=1,617647 89/55=1,618182 1n n F F + →Φ
- 11. Más acerca de las razones de números de Fibonacci • ¿Qué ocurre si calculamos la razón de números Fibonacci, pero en vez de números consecutivos, tomamos uno cada dos, es decir F(n)/F(n-2)? 22n n F F + →Φ • ¿Y si tomamos uno de cada tres números, es decir F(n)/F(n-3)? 33n n F F + →Φ
- 12. Otra relación • es un número algebraico. Es la solución de Por tanto, Y si seguimos, Φ 2 1 0x x− − = 2 2 1 0 1Φ − Φ − = ⇒ Φ = Φ + ( ) ( ) 3 2 4 3 2 5 6 1 2 1 2 1 1 3 2 5 3 8 5 Φ = Φ + Φ = Φ + + Φ = Φ + Φ = Φ + Φ = Φ + Φ + = Φ + Φ = Φ + Φ = Φ +
- 13. Otras relaciones numéricas Si sumamos cualesquiera diez números consecutivos de Fibonacci, el resultado siempre es divisible por 11. 55+89+144+233+377+610+987+1597+2584+4181=10857 (10857/11=987) La diferencia entre el cuadrado de cada número de Fibonacci y el producto del número anterior y posterior es 1. 2 5 25 3 8 24 = ⋅ =
- 14. Ejemplos en la naturaleza Los números de Fibonacci están en las plantas
- 15. Pétalos y flores Cuenta los pétalos de estas flores y te sorprenderás
- 16. La flor de la pasión La flor de la pasión tiene, vista por abajo, 3 pétalos que protegen el capullo, luego 5 pétalos verdes más exteriores seguidos por una capa de 5 pétalos verdes más pálidos. Vista desde arriba, tiene dos conjuntos de 5 pétalos verdes exteriores. Siguen una gran variedad de estambres morados y blancos con 5 estambres verdosos con forma de T en el centro y, también en el centro, por encima hay 3 carpelos marrón oscuro.
- 17. Semillas en el capullo • Los números de Fibonacci también se pueden ver en la distribución de las semillas en algunas flores. • La razón parece ser que estas formas de distribución son una forma óptima para el “embalaje” de las semillas, de tal forma, que independientemente del tamaño del capullo, las semillas están distribuidas de forma uniforme, no aglomerándose en el centro y no siendo escasas en los laterales.
- 18. Piñas Los números 8 y 13 son números de Fibonacci
- 19. Ángulo de giro óptimo de las plantas • El ángulo de Goodwin 222.49 es el óptimo 360º 1,618.... el número de oro!!! 222.49º = ⇒