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- 1. Guía de laboratorio Física Experimental I π Departamento de Física 2015
- 2. Física Experimental I Guía de laboratorio Revisión 2015: Juan David Lizarazo Ferro Benjamín Oostra Universidad de los Andes Bogotá, Colombia
- 3. Índice Introducción II 1. Péndulo 1 2. Cinemática en una dimensión 3 3. Cinemática en dos dimensiones 5 4. Fuerzas: equilibrio de traslación 7 5. Fuerzas de fricción 10 6. Aceleración centrípeta 13 7. Teorema trabajo - energía cinética 15 8. Conservación de la energía 17 9. Conservación del momento lineal 19 10.Rodamiento sin deslizamiento 22 11.Dinámica rotacional 24 12.Conservación de momento angular 26 13.Caída libre 28 i
- 4. Introducción Este curso tiene el objetivo de enseñar el rigor y la honestidad esenciales a la labor experimental; también tiene el objetivo de fortalecer la conexión entre teoría y práctica ayudando a la comprensión de los temas estudiados en el curso Física 1; y además quiere informar sobre el funcionamiento de algunos instrumentos de medición y ejercitar el uso de herramientas de análisis de datos. El curso explora diferentes aspectos de la mecánica, entre otros el movimiento rectilíneo de aceleración constante, el carácter vectorial de las fuerzas, la conservación de la energía mecánica, la energía potencial elástica, el movimiento rotacional y la conservación del momento angular. Antes de cada experimento es necesario leer toda la guía, hacer un resumen del procedimiento experimental a seguir, resumir los aspectos esenciales de los elementos teóricos listados al inicio de la sección Teoría, y responder las preguntas de esa misma sección. Las guías contienen las instrucciones necesarias para tomar y analizar los datos, con algunas omisiones en las que se espera que el estudiante decida el camino a seguir. Al analizar los datos de nuestros experimentos queremos presentarlos con claridad en gráficas y analizarlos de forma rigurosa a través de regresiones de diferente tipo. Se espera que en este curso ganemos agilidad en el uso de nuestra calculadora para procesar datos. Al tomar datos es de gran importancia saber reconocer fuentes de error, tenerlas en cuenta y saber manipularlas cuando se hacen cálculos: una respuesta experimental es inútil a menos que lleve una indicación de su incertidumbre. En cada experimento debemos preguntarnos con qué precisión se conoce lo que se ha medido o calculado. Estas incertidumbres dependen del instrumento de medición, del método experimental y de las idealizaciones hechas. Los objetivos de nuestros laboratorios son modestos y las conclusiones deben serlo también. Las conclusiones deben ser coherentes con los objetivos planteados y estar argumentadas con los resultados cuantitativos u observaciones hechas durante el experimento. No concluir de más pero tampoco concluir de menos, y no temer concluir cosas simples, que al haber sido vistas de primera mano tienen una gran importancia para nosotros. A continuación se muestra un ejemplo de informe con algunas indicaciones adicionales y después de él normas generales a tener en cuenta. ii
- 5. Páginas numeradas en la esquina superior externa Título y fecha La introducción incluye un resumen de todos los elementos necesarios para entender el experimento y un análisis teórico de la situación a estudiar. INTRODUCCIÓN iii El informe
- 6. Las tablas deben tener encabezados con títulos claros, unidades e incertidumbre (si es constante) Incluir todos los parámetros necesarios para reproducir las condiciones experimentales Los parámetros de las regresiones deben tener unidades y estar acompañados del coeficiente de determinación INTRODUCCIÓN iv
- 7. Ambos ejes deben estar rotulados e incluir las unidades. Si la incertidumbre en los datos es significativa los puntos deben estar acompañados por barras de error. Las escalas deben estar elegidas de tal manera que los datos queden bien distribuidos en ambas direcciones. Las conclusiones hacen referencia a los objetivos y deben estar argumentadas con lo obtenido en el experimento. Las firmas al final del informe certifican las personas encargadas de su elaboración y son premonitorias del estado legal que puede llegar a tener una bitácora de laboratorio. INTRODUCCIÓN v
- 8. INTRODUCCIÓN vi Normas generales ⋇ Los cuadernos de laboratorio nunca deben ser sacados del laboratorio. ⋇ Está prohibido comer al interior del laboratorio. ⋇ Toda ausencia debe ser justificada con algún documento dentro de los 8 días hábiles posteriores a la ausencia. Toda falla no justificada implica una calificación de 0 en la práctica correspondiente. Tres fallas no justificadas implican una calificación de 1.5 en la definitiva del curso. ⋇ Las maletas deben estar colgadas en los ganchos de las mesas. ⋇ Respetar el horario: las clases duran exactamente 1 hora y 50 minutos, comenzando a la hora en punto. El salón debe quedar desocupado 10 minutos antes de la siguiente clase. ⋇ Atender con cuidado las indicaciones de los asistentes del laboratorio. ⋇ Dejar ordenada la mesa de trabajo. ⋇ ¡Disfrutar el curso!
- 9. EXPERIMENTO 1 Péndulo Objetivos ⋇ Estudiar la relación entre el periodo de un péndulo y su longitud. ⋇ Comprender algunas de las características de un estu- dio experimental. ⋇ Comprender la utilidad de hacer gráficas para estudiar la relación entre cantidades experimentales. Introducción El péndulo ha sido un interesante objeto de estudio desde el comienzo de la ciencia moderna. En sus Discorsi (1638) Galileo fue el primero en señalar que el cuadrado del pe- riodo es directamente proporcional a la longitud; Newton le dedica una sección entera en sus Principia (1687); y el Horologium Oscillatorum (1675) de Huygens está entera- mente dedicado a su análisis. Experimentos hechos con ellos ayudaron a establecer las leyes de conservación de la energía y del momento lineal. Se emplearon en la cons- trucción de los primeros relojes de precisión y al hacerlo ayudaron a construir nuestra noción actual de tiempo. Más aún, el péndulo fue una de las ventanas experimentales por medio de las cuales la física terrestre y la celeste se unifi- caron en las manos de Newton. Nuestro primer experimento sirve para ilustrar la forma en la que se llevan a cabo experimentos. Elegimos una can- tidad, que vamos a llamar la variable independiente, la cambiamos a nuestro antojo (dadas las posibilidades del montaje) y determinamos el valor que adopta otra canti- dad, llamada la variable dependiente. También se tiene un conjunto adicional de variables, las variables controladas, que se mantienen constantes a lo largo de todo el experi- mento, esto con el ánimo de que el cambio en la variable dependiente sea solamente consecuencia de la variable in- dependiente. Una vez se tienen los datos queremos anali- zar la relación que existe entre la variable dependiente y la independiente, y para hacerlo procedemos a procesar los datos, que hasta el momento se llaman datos brutos. ✓0 l m Figura 1.1 Ahora bien, va a ser el caso que en nuestros experimentos, un modelo teórico fundamentado en las leyes de la me- cánica nos va a ofrecer una relación matemática entre las variables dependiente e independiente, y esta relación va a orientar la forma en la que se lleva a cabo el procesamiento de los datos. Para nuestro caso la relación entre el periodo T, nuestra variable dependiente, y la longitud del péndulo l, nuestra variable independiente, en la aproximación del péndulo ideal donde se considera una masa puntual m en el extremo de una cuerda de masa despreciable y longitud l, es T = 4 √ l g K (sin θ0/2) ≈ 2π √ l g ( 1 + θ2 0 16 ) , (1.1) donde K es la integral elíptica completa de primera espe- cie, g es la magnitud de la aceleración debida a la gravedad en el lugar del experimento y θ0 la amplitud de la oscila- ción, es decir el ángulo máximo que la cuerda alcanza con 1
- 10. EXPERIMENTO 1. PÉNDULO 2 respecto a la vertical. En nuestro experimento son variables controladas la amplitud θ0, la aceleración debida a la gra- vedad g y la masa m. Materiales ⋇ Péndulo ⋇ Flexómetro ⋇ Cronómetro ⋇ Transportador ⋇ Balanza Teoría Péndulo ideal. Procedimiento Comenzamos con l lo más grande posible y anotamos en una tabla como la que se muestra más adelante el tiempo 10T que toman diez oscilaciones con una amplitud inicial de 30◦ . Reducimos en más o menos 5 cm la longitud del péndulo, y volvemos a determinar 10T para la misma am- plitud θ0; para reducir l basta con enrollar la cuerda alre- dedor del soporte. Continuamos de esta forma hasta llegar a un péndulo de más o menos 30 cm. Para registrar los tiempos con precisión se recomienda libe- rar la esfera desde su amplitud inicial, esperar a que trans- curra una oscilación, y con la vista fija en el lugar donde esta se liberó activar en ese instante el cronómetro, y man- teniendo la vista fija en ese mismo lugar detener el cronó- metro después de transcurridas diez oscilaciones. Para de- terminar l medir la distancia desde el eje de rotación hasta el centro de la esfera. También se recomienda que uno solo de los integrantes del grupo libere la esfera y manipule el cronómetro, mientras que el otro integrante va registrando los datos. Con la ayuda de la balanza medimos la masa mc de la cuer- da (para el péndulo más largo), y la masa m de la esfera. Además medimos el radio R de la esfera. Estos datos con el ánimo de mantener un registro completo de las condi- ciones experimentales. (Se toma el tiempo de diez oscilaciones para aumen- tar la precisión al determinar el tiempo de una sola de ellas.) l/m 10T/s T/s T2 /s2 … … … … Tabla 1.1 Análisis cualitativo ⋇ En un péndulo ideal la amplitud nunca disminuye, ¿qué ocurre con nuestro péndulo? ⋇ En un péndulo ideal la masa de la cuerda es despre- ciable, ¿es este nuestro caso? ⋇ Esboce un experimento que estudie la relación entre masa y periodo para un péndulo. Análisis cuantitativo Para comparar los datos experimentales y el modelo teóri- co suelen procesarse los datos para que la comparación se pueda hacer de la forma más clara posible y a través de una gráfica. Se manipula la relación matemática ofrecida por el modelo teórico hasta que cierta cantidad sea directamente proporcional a otra, siendo estas cantidades función de las cantidades medidas. Por ejemplo, para nuestro caso podría hacerse la gráfica de T vs √ l, o la gráfica de T2 vs l, y si al hacerla encontramos que los datos se ajustan bien con una línea recta, entonces el modelo teórico es acorde con los datos experimentales. Calcular el periodo T, el cuadrado del periodo T2 y grafi- car en papel milimetrado l contra T2 . Si estima que es una buena aproximación entonces trazar una línea recta que describa los datos, la línea de tendencia no debe pasar ne- cesariamente por ninguno de los puntos. Sobre la recta elija dos puntos, encuentre sus coordenadas y con ellas calcule la pendiente; tenga en cuenta que la unidad de la pendien- te es igual a la unidad del eje vertical sobre la unidad del eje horizontal.
- 11. EXPERIMENTO 2 Cinemática en una dimensión Objetivos ⋇ Identificar si el movimiento de un móvil es o no de aceleración constante, y en el caso de serlo calcular la magnitud de la aceleración. ⋇ Aprender a hacer regresiones lineales con la ayuda de la calculadora. ⋇ Reconocer a la desviación estándar como una herra- mienta estadística útil para estimar el error aleatorio asociado a un conjunto de mediciones. Introducción En este experimento estudiamos el movimiento de un mó- vil que se mueve en línea recta bajo la influencia de su peso y de la tensión de una cuerda que al desenrollarse pone en rotación a un conjunto de varillas y pesas. Nuestro objeti- vo es determinar si bajo estas circunstancias el movimiento del móvil es o no de aceleración constante. Con esto en mente nuestra estrategia consiste en determinar su despla- zamiento y en función del tiempo t transcurrido desde que lo liberamos del reposo. En el análisis de datos calculamos la cantidad 2y/t que es proporcional al tiempo t y equiva- le a la velocidad v si y solamente si el movimiento es de aceleración constante. Además de lo anterior reconocemos que toda medición ex- perimental tiene una incertidumbre asociada y usamos la desviación estándar como herramienta estadística para es- timarla. Materiales ⋇ Cuerda ⋇ Polea ⋇ Soporte de pesas ⋇ Pesas ranuradas m y Polea Rodillo Figura 2.1 ⋇ Rodillo ⋇ Varillas y pesas ⋇ Balanza ⋇ Regla ⋇ Cronómetro Teoría Velocidad. Aceleración. Movimiento uniformemente ace- lerado. ⋇ Demostrar que en un movimiento de aceleración constante, cuando el objeto parte del reposo, la ve- locidad es igual a 2∆y/t. 3
- 12. EXPERIMENTO 2. CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN 4 ⋇ En una gráfica de posición contra tiempo, ¿dónde está representada la velocidad? ⋇ ¿La aceleración corresponde con la pendiente de qué gráfica? ⋇ Investigar como se hacen regresiones lineales (en in- glés linear regression) en su calculadora. ⋇ Consulte en el manual de su calculadora la forma en la que se calcula la desviación estándar y el promedio de un conjunto de datos. Procedimiento Disponemos los elementos de nuestro experimento como se muestra en la figura con la polea y el rodillo más o menos a la misma altura. Determinamos con tres o cuatro masas distintas el comportamiento cualitativo del movimiento del móvil en función de su masa m y decidimos la que quere- mos utilizar en el experimento. Liberamos el móvil desde una altura de referencia y medi- mos 10 veces el tiempo que tarda en recorrer el desplaza- miento más grande posible. Para que los diferentes intentos sean fácilmente comparables es deseable que la cuerda se desenrolle sin hacer saltos abruptos. Guardamos nuestros datos en una tabla similar a la que se muestra abajo sin olvidar registrar la magnitud del desplazamiento al que co- rresponden. t/s Tabla 2.1 Medimos por lo menos una vez el tiempo que el móvil, partiendo del reposo, demora en recorrer diez diferentes desplazamientos. Organizamos la toma de datos de tal for- ma que el primer desplazamiento esté cercano al punto de partida, y que el último esté cercano al punto con despla- zamiento máximo: esto hace que la amplitud de nuestros datos sea la mejor posible. Registramos nuestros datos en una tabla similar a la mostrada a continuación. y/cm t/s 2yt−1 /cm s−1 ± ± … … … Tabla 2.2 Análisis cualitativo ⋇ ¿Qué efecto tiene cambiar la masa del móvil sobre su movimiento? Compare lo obtenido con lo que corres- ponde a la caída libre y explique las diferencias. ⋇ ¿Qué fuentes de error hacen que los tiempos medidos en la primera parte del experimento no sean idénticos entre si? Análisis cuantitativo Calcule el promedio y la desviación estándar de los tiem- pos de la primera parte del experimento. Use la desviación estándar como herramienta para estimar la incertidumbre correspondiente a sus mediciones de tiempo. Para decidir una incertidumbre experimental razonable para sus medi- ciones de longitud tenga en cuenta las características de la regla y el método empleado para medirlas. Calcule la tercera columna de la tabla 2.2 y haga las gráficas de y y 2y/t en función del tiempo t. Si a simple vista los datos de la segunda gráfica se ajustan a una línea recta, encuentre la regresión lineal de 2y/t en función de t.
- 13. EXPERIMENTO 3 Cinemática en dos dimensiones Objetivos ⋇ Decidir si la trayectoria que sigue un móvil bajo la úni- ca influencia de su peso es parabólica. ⋇ Aprender a calcular cantidades de interés a partir de los parámetros de una regresión lineal, en nuestro caso la rapidez y la dirección de movimiento del móvil. ⋇ Aprender a hacer propagación errores en el caso de diferencias entre cantidades con incertidumbre expe- rimental. Introducción En este experimento vamos a estudiar la trayectoria que si- gue un móvil bajo la única influencia de su peso y a utilizar los parámetros de una regresión lineal para calcular canti- dades de interés. Para registrar las coordenadas de posición en diferentes instantes de su vuelo usamos una tabla de im- pactos que desplazada de forma conveniente marca sobre un papel milimetrado la posición del móvil un punto a la vez. La variable independiente es la coordenada x, la de- pendiente la coordenada y, y las controladas la rapidez y el ángulo de lanzamiento. Por otro lado queremos aprender como hacer propagación de errores en un caso sencillo. En general la propagación de errores se encarga de calcular la incertidumbre en una cantidad que se ha calculado a partir de otras. En el aná- lisis de datos vamos a tomar la diferencia de cantidades, es nuestra tarea encontrar la incertidumbre en la diferencia teniendo en cuenta la incertidumbre del sustraendo y del minuendo. Materiales ⋇ Soporte metálico ⋇ Riel ⋇ Tabla de impactos Papel carbón Papel milimetrado Cuadrícula x y Figura 3.1 ⋇ Papel carbón ⋇ Esfera ⋇ Papel milimetrado ⋇ Papel cuadriculado ⋇ Transportador Teoría Movimiento parabólico. ⋇ Demostrar que en un movimiento parabólico la rela- ción entre la coordenada horizontal x, la coordenada vertical y, la dirección θ0 del movimiento y la rapidez v0 en el instante con coordenadas x0 y y0 está dada 5
- 14. EXPERIMENTO 3. CINEMÁTICA EN DOS DIMENSIONES 6 por la ecuación y−y0 = tan θ0 (x − x0)− g 2v2 0 cos2 θ0 (x − x0) 2 . (3.1) De esta ecuación se desprende que la relación entre la cantidad y−y0 x−x0 y x − x0 es lineal y este hecho va a orientar el análisis de los datos. Procedimiento Primero que todo nos aseguramos de que la dirección ho- rizontal del riel sea paralela a uno de los conjuntos de lí- neas de la cuadrícula fijada sobre la mesa y de que el riel termine justo por encima de uno de los vertices de la cua- drícula. El riel puede ajustarse de dos formas: para cambiar la in- clinación se modifica la separación entre las dos columnas que lo sostienen al mismo tiempo que se cambia el nivel de una de las nueces que lo sujetan, y para cambiar su altura global se deja igual la separación entre las dos columnas y se mueven las dos nueces. Con esto en mente ajustamos el riel y decidimos la altura desde la que se va a liberar la esfera de tal forma que la trayectoria (a simple vista) tenga una curvatura apreciable y que no alcance una altura su- perior a la del extremo superior del papel carbón. Al tomar los datos la esfera debe liberarse siempre desde la misma altura para controlar la rapidez de salida. Adherimos el papel milimetrado a la pantalla de impactos con su cuadrícula viendo al papel carbón. Ubicamos la pantalla perpendicular a la dirección horizon- tal del riel, al lado de su salida y de tal forma que el primer impacto golpee en alguno de los extremos horizontales del papel carbón. Liberamos la esfera para registrar el primer impacto y luego movemos la pantalla 1 cm hacia atrás y 1 cm hacia el lado, este movimiento de la pantalla surte el efecto de marcar en la correcta posición horizontal la posi- ción vertical del móvil. Continuamos moviendo la pantalla de esta forma y registrando impactos hasta no poder más. Tener mucho cuidado de no mover el riel. Por último me- dimos con el transportador el ángulo de salida del riel con respecto a la horizontal. Análisis cualitativo ⋇ ¿Puede determinarse solo con los datos de nuestro ex- perimento el tipo de movimiento en la dirección ho- rizontal, si de aceleración o de velocidad constante, que sigue el móvil? x/cm y/cm x − x0/cm y − y0/cm y−y0 x−x0 ± ± ± ± x0 y0 0 0 Nan … … … … … Tabla 3.1 ⋇ Describa el movimiento del móvil a medida que des- ciende por el riel y luego de dejarlo atrás. Análisis cuantitativo Retirar el papel milimetrado de la pantalla y luego de de- finir un sistema de coordenadas encontrar las coordena- das x, y de cada uno de los impactos, teniendo el pri- mer impacto coordenadas x0, y0. Calcular las diferencias x − x0 y y − y0 indicando la incertidumbre correspon- diente en el encabezado de la tabla. Calcular el cociente (y − y0) / (x − x0). Hacer la gráfica de (y − y0) / (x − x0) contra (x − x0). Si los datos se ajustan razonablemente a una línea recta en- tonces se confirma que la trayectoria es parabólica. Usando los parámetros de la regresión lineal calcular la rapidez y dirección de movimiento del móvil en el primer instante re- gistrado en la pantalla; para encontrarlas observamos que de la ecuación 3.1 se sigue que y − y0 x − x0 = tan θ0 − g 2v2 0 cos2 θ0 (x − x0) (3.2) de donde se identifica que el corte con el eje de nuestra regresión es igual a tan θ0 y la pendiente −g 2v2 0 cos2 θ0 .
- 15. EXPERIMENTO 4 Fuerzas: equilibrio de traslación Objetivos ⋇ Evaluar la relación entre fuerzas bajo condiciones de equilibrio de traslación. Introducción En este experimento estudiamos objetos en equilibrio de traslación y las fuerzas que actúan sobre ellos, siendo su suma vectorial, en teoría, igual a ⃗ 0. Para tal efecto estu- diamos el par de montajes mostrados en las figuras. En el primer montaje determinamos la magnitud y dirección de las tres fuerzas que actúan sobre el plato usando un par de dinamómetros, un transportador y la masa M. Con ellas hacemos su suma vectorial por componentes y usando el método geométrico. En el segundo montaje comparamos los valores experimentales de m1 y m2 con los que se ob- tienen de la condición de equilibrio, que son m1,teo = M cos β sin (α + β) , m2,teo = M cos α sin (α + β) . (4.1) En el análisis de datos del primer escenario queremos ser especialmente cuidadosos en el manejo de la incertidum- bre experimental asociada a los ángulos, la magnitud de las fuerzas y la suma de las componentes. Materiales ⋇ Plato ⋇ Dinamómetros ⋇ Cuerdas ⋇ Poleas ⋇ Soportes ⋇ Pesas ⋇ Balanza ⋇ Transportador ↵ F1 F2 M y x ↵ ~ F1 ~ F2 ~ W Figura 4.1 Teoría Suma y descomposición de vectores. Equilibrio de trasla- ción. ⋇ ¿Cuál es el método geométrico para llevar a cabo la suma de vectores? ⋇ ¿Cuál es el efecto que surte una polea fija? ⋇ Dadas las magnitudes F1, F2 y Mg de las tres fuer- zas involucradas en el primer escenario junto con los ángulos α y β, ¿cuáles son las expresiones a utilizar para calcular las componentes cartesianas de su suma vectorial? 7
- 16. EXPERIMENTO 4. FUERZAS: EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN 8 T2 T1 m1 m2 M ↵ Figura 4.2 Procedimiento En el primer montaje primero medimos la masa del plato mp y luego lo hacemos colgar de la cuerda como se mues- tra en la figura enrollando la cuerda unas tres o cuatro veces en la unión de tal forma que quede fija. En el plato pone- mos una cantidad de pesas de masa acumulada mw, siendo la masa total M = mp + mw. Registramos la lectura de los dos dinamómetros F1 y F2, y medimos con el transportador los ángulos α y β. Guardamos nuestros datos en una tabla similar a la mostrada abajo completando los encabezados con incertidumbres razonables. # M/kg F1/N α/◦ F2/N β/◦ ± ± ± ± ± 1 2 3 4 5 Tabla 4.1 En el segundo montaje reemplazamos los dinamómetros con poleas fijas como muestra la fig. 4.2. Ponemos masas conocidas m1 y m2 en los extremos de la cuerda, y una masa total M colgando en la mitad. Medimos los ángulos α y β. Los soportes de las pesas no pueden estar atascados contra ninguna de las poleas. Consignamos nuestros datos en una tabla con formato similar al de la tabla 4.2. # M/g m1/g m2/g α/◦ β/◦ 1 2 3 4 5 Tabla 4.2 Análisis cualitativo ⋇ ¿Qué ocurre en el segundo escenario cuando solo se aumenta la masa M? Dando por hecho la condición de equilibrio de traslación ∑ ⃗ Fi = ⃗ 0, explique lo ocu- rrido usando la condición impuesta sobre la suma de los tres vectores de fuerza. Sin tener en cuenta la res- tricción impuesta por la longitud de la cuerda, ¿cuál sería la masa máxima M posible de sostener con m1 y m2? Análisis cuantitativo En el primer montaje ejecutar el procedimiento experimen- tal correspondiente para cinco configuraciones distintas cambiando la masa M y la posición de la unión. Luego con los datos elaborar una tabla que consigne las com- ponentes de cada fuerza y las sumas ∑ Fx y ∑ Fy junto con sus incertidumbres. Asumir que la incertidumbre en las componentes es igual a la incertidumbre experimental de las magnitudes y tener en cuenta que cuando se suman cantidades xi con incertidumbres correspondientes ∆xi, la incertidumbre en la suma ∑ xi es igual a √∑ i(∆xi)2. Eva- lúe si la sumatoria de fuerzas, teniendo en cuenta su incer- tidumbre, es compatible con 0. Para dos de las configuraciones analizadas en el primer montaje llevar a cabo en papel milimetrado, usando el mé- todo geométrico, la suma de las tres fuerzas involucradas con una escala donde 1 N ≡ 6 cm. # F1,x N F2,x N ∑ Fx N F1,y N F2,y N Wy N ∑ Fy N ± ± ± ± ± ± ± 1 2 3 4 5 Tabla 4.3 Para el segundo montaje probar cinco combinaciones de
- 17. EXPERIMENTO 4. FUERZAS: EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN 9 masas m1, m2 y M midiendo en cada caso los ángulos correspondientes. Resumir en una tabla los valores experi- mentales de m1 y m2 y los que se anticipan por la ecuación 4.1. # m1/g m1,teo/g m1−m1,teo m1,teo ∗ 100 % m2/g m2,teo/g m2−m2,teo m2,teo ∗ 100 % 1 2 3 4 5 Tabla 4.4
- 18. EXPERIMENTO 5 Fuerzas de fricción Objetivos ⋇ Determinar la relación entre la fuerza normal y la fuer- za de fricción estática máxima que se presentan entre dos superficies. ⋇ Evaluar en un caso la generalización que afirma que el coeficiente de fricción estática es mayor que el coe- ficiente de fricción dinámica. Introducción En este experimento investigamos un par de aspectos rela- cionados con las fuerzas de fricción. En primer lugar vamos a estudiar la relación entre la magnitudes de la fuerza nor- mal y la fuerza de fricción estática máxima; para tal efecto estudiamos el ángulo de inclinación máximo al que puede someterse un bloque de masa variable m. El bloque presen- tando una superficie de espuma a la superficie de madera del plano inclinado. En segundo lugar queremos estudiar la relación entre el coeficiente de fricción estático y el dinámico para el con- tacto entre superficies de acero y madera. Primero deter- minamos el coeficiente estático µs encontrando el ángulo máximo al que puede mantenerse estática sobre el plano inclinado una pesa ranurada (hecha de acero) y después, analizando el movimiento de la pesa sobre el plano, deter- minamos su aceleración y con ella y el ángulo de inclina- ción calculamos el coeficiente dinámico µk. Materiales ⋇ Plano inclinado ⋇ Balanza ⋇ Bloque de madera con superficie de espuma ⋇ Pesas ranuradas ⋇ Cronómetro ⋇ Regla ⋇ Transportador ✓ Figura 5.1 Teoría Fuerzas de fricción estática y dinámica. ⋇ Un bloque de masa m se encuentra sobre un plano in- clinado sin fricción con una fuerza F tangente al plano que lo mantiene en reposo. ¿Cuál es la magnitud N de la fuerza normal y cuál la de la fuerza F? ✓ N m F 10
- 19. EXPERIMENTO 5. FUERZAS DE FRICCIÓN 11 ⋇ Demostrar que la relación entre el coeficiente de fric- ción estático µs y el ángulo máximo θmax al cual pue- de inclinarse un bloque sobre un plano inclinado con fricción es µs = tan θmax. ⋇ Demostrar que si un bloque de masa m desciende con aceleración a a lo largo de un plano inclinado con fricción, entonces el coeficiente de fricción dinámico µk satisface la ecuación µk = tan θ − |ax| g cos θ . ✓ m ax Procedimiento Primera parte Medimos la masa m del bloque y lo ponemos sobre el plano horizontal con la superficie de espuma hacia abajo. Comenzamos a inclinar el plano muy despacio y justo en el momento cuando el bloque comience a deslizarse fija- mos la inclinación y registramos el ángulo θ. Tomamos tres datos para cada masa, siempre comenzando con el plano horizontal y ubicando el bloque en la misma región de la superficie del plano. Usamos mínimo cuatro masas distin- tas. Puede aumentarse la masa del bloque con ayuda de las pesas ranuradas y del soporte integrado a él. # m/kg θ/◦ N/N Ff /N ± ± ± ± 1a 1b 1c 1p ■■■ ■■■ 2a 2b 2c 2p ■■■ ■■■ … … … … … Tabla 5.1 Segunda parte En la primera parte suponemos sin caracterizar la relación entre la fuerza normal y la fuerza de fricción. En esta segun- da parte asumimos más sobre la naturaleza de las fuerzas de fricción y con esto en mente se analizan los datos para calcular los coeficientes de fricción. En vez de usar el blo- que de madera ahora usamos una de las pesas ranuradas de 50 g. Para determinar el coeficiente de fricción estático µs po- nemos la pesa sobre el plano horizontal, lo inclinamos y registramos el ángulo de inclinación máximo θmax para el cual la pesa se mantiene sin deslizar. Repetimos cinco ve- ces comenzando siempre con el plano horizontal y en ca- da caso comenzando sobre una región distinta del plano. θmáx/◦ µs = tan θmáx Tabla 5.2 Después inclinamos el plano a un ángulo un poco mayor que los anteriormente medidos de tal forma que la pesa deslice por el plano. Medimos 5 veces el tiempo t que le toma a la pesa recorrer una distancia d. t/s Tabla 5.3 Análisis cualitativo ⋇ Describa en detalle las superficies consideradas en el experimento. Análisis cuantitativo Primera parte Para los datos obtenidos en cada masa calcular las magni- tudes de las fuerzas normal N y de fricción estática máxima F. Para cada masa además calcular los promedios N̄ y F̄. Hacer la gráfica de F̄ contra N̄ y calcular los parámetros de la regresión lineal. Segunda parte Calcular el coeficiente de fricción estático junto con su in- certidumbre.
- 20. EXPERIMENTO 5. FUERZAS DE FRICCIÓN 12 Calcular el tiempo promedio t̄ y su incertidumbre. Asu- miéndola constante calcular la aceleración junto con su incertidumbre. Calcular el coeficiente de fricción dinámi- co µk junto con su incertidumbre.
- 21. EXPERIMENTO 6 Aceleración centrípeta Objetivos ⋇ Determinar la relación entre radio y periodo en el mo- vimiento circular uniforme para una fuerza centrípeta de magnitud constante. Introducción En este experimento queremos estudiar la relación entre periodo y radio para el movimiento circular uniforme cuan- do se mantiene constante la magnitud de la aceleración centrípeta. Para tal efecto usamos el montaje mostrado en la figura con el movimiento del tapón ayudado por nuestra mano que sostiene el tubo de metal y acompaña al movi- miento. Siendo hueco el tubo la cuerda pasa a través de él. La fuerza centrípeta se debe a la tensión de la cuerda amarrada al tapón y esta a su vez está determinada por el peso m1g y el ángulo β (que asumimos constante para una razón m2/m1 dada). Nuestra variable independiente es el radio del movimiento, la dependiente el periodo y la controlada la magnitud de la fuerza centrípeta. Materiales ⋇ Cuerda ⋇ Pesas ranuradas y soporte ⋇ Tubo metálico ⋇ Pinza ⋇ Cronómetro ⋇ Regla ⋇ Balanza ⋇ Tapón Pinza Figura 6.1 Teoría Movimiento circular uniforme. Aceleración y fuerza cen- trípetas. ⋇ Asumiendo m2 puntual y despreciando la masa de la cuerda y la fricción entre la cuerda y el tubo, demos- trar que si el tapón describe un movimiento circular uniforme en un plano horizontal, la relación entre m1, m2, L, g y T es L = m1 m2 g 4π2 T2 (6.1) , que el ángulo β satisface la ecuación cos β = m2 m1 (6.2) y que en consecuencia el radio R de la trayectoria cumple con 13
- 22. EXPERIMENTO 6. ACELERACIÓN CENTRÍPETA 14 R = g 4π2 √ m2 1 − m2 2 m2 T2 . (6.3) Al comenzar su análisis haga un diagrama de cuerpo libre para el tapón. Procedimiento Determinamos la masa m2 del tapón. Agarramos la pinza a la cuerda de tal forma que cuando ella esté justo por debajo del tubo la longitud de la cuerda sea L. Luego ponemos el tapón en movimiento controlando su rapidez hasta que la pinza llegue a su posición de referencia; la pinza no debe presionar contra el tubo. Antes de tomar datos es necesario ganar experiencia en mover el tapón manteniendo la pinza en su lugar. Probamos varios valores de m1 y elegimos un valor que haga posible registrar el tiempo para la longitud L más pe- queña que pensamos estudiar. No olvidar incluir en m1 la masa de la pinza. Uno de los integrantes mantiene la vista en la pinza y se asegura de que se mantenga en su sitio, y el otro registra el tiempo 10T que le toma al tapón completar 10 revoluciones. Cambiamos L hasta completar 6 pares de datos. L/cm 10T/s T/s R/cm log(T/1s) log(R/1cm) ± ± ± Tabla 6.1 Análisis cualitativo ⋇ Observe y explique lo que ocurre cuando m1 < m2. ⋇ Si l es la longitud total de la cuerda, d el largo del soporte de pesas y ∆ es igual a la longitud del tubo, observe y explique lo que ocurre cuando se toma L = l+d−∆ 1+ m2 m1 . Análisis cuantitativo Para los datos obtenidos calcular el radio R = L sin β, el periodo T y los logaritmos log R y log T. Hacer la gráfi- ca de log R vs. log T. Si puede justificarse una relación li- neal entre las cantidades graficadas, comparar el valor de la pendiente y el corte con el eje de la regresión lineal con los valores propuestos por el modelo teórico.
- 23. EXPERIMENTO 7 Teorema trabajo - energía cinética Objetivos ⋇ Investigar la relación entre trabajo y energía cinética. Introducción En este experimento estudiamos la relación entre el trabajo hecho sobre un móvil y el cambio en su energía cinética. Nuestro móvil es una esfera que desciende cierta altura H a través de un riel. Como variable independiente tenemos el trabajo W hecho por el peso del móvil y la fuerza de fric- ción, y como variable independiente tenemos la energía cinética K del móvil cuando deja el riel. Para determinar la energía cinética se necesita la rapidez del móvil al dejar el riel y esta la determinamos usando el rango D del movi- miento parabólico que se lleva a cabo después de dejar el riel. El efecto de la fuerza de fricción también es importante y lo determinamos a partir del análisis de datos haciendo ciertas suposiciones razonables. ATENCIÓN: traer un cuarto de pliego de papel perga- mino. Materiales ⋇ Esfera ⋇ Riel con soporte ⋇ Regla ⋇ Cinta métrica ⋇ Papel pergamino de 90 g m2 , 1/4 de pliego ⋇ Balanza ⋇ Papel carbón D h H Figura 7.1 Teoría Trabajo. Energía cinética de traslación. Teorema trabajo - energía cinética. ⋇ Demuestre que la energía cinética de traslación del móvil, en el punto donde deja el riel, en términos de g, D, m y h es K = 1 4 mg D2 h . (7.1) Al hacerlo suponga que la esfera sale horizontal cuan- do deja el riel. ⋇ Haga un diagrama de cuerpo libre sobre la esfera. ⋇ Demuestre que el trabajo que hace el peso de la esfera cuando esta desciende una altura H a través del plano inclinado es Wg = mgH (7.2) ⋇ y que el trabajo hecho por la fuerza de fricción Ff (asumirla constante) cuando la esfera desciende por el segmento inclinado a un ángulo β es Wff = −Ff H sin β , (7.3) 15
- 24. EXPERIMENTO 7. TEOREMA TRABAJO - ENERGÍA CINÉTICA 16 ⋇ y que en consecuencia el trabajo neto (despreciando lo que ocurre en el corto segmento horizontal) es W = Wg ( 1 − Ff mg sin β ) . (7.4) Procedimiento Comenzamos por medir la masa m de nuestro móvil. Des- pués nos aseguramos de que la dirección de salida del riel sea perfectamente horizontal y fijamos h en más o menos 18 cm registrando su valor. El riel debe terminar en algún lugar por encima del papel carbón. Luego hacemos algunos lanzamientos de prueba liberando la esfera desde el reposo desde varias alturas. Ahora pone- mos el papel pergamino sobre el papel carbón de tal forma que los impactos en él registrados sirvan como testigos del rango D. Marcamos sobre el papel pergamino el punto que está justo por debajo del punto de salida del riel. Ahora liberamos la esfera desde varias alturas, comenzan- do con la máxima posible. Los impactos quedan registrados sobre el papel pergamino y para que no se confundan entre si y con impactos secundarios deben hacerse marcas adi- cionales que los distingan. Para hacer estas marcas adicio- nales uno de los integrantes del grupo mantiene la vista en el papel carbón mientras el otro libera la esfera. Para cada altura hacemos tres lanzamientos. Además determinamos el ángulo de inclinación β. Solo después de terminar de registrar todos los datos reti- ramos el papel pergamino y determinamos el rango D que corresponde a cada altura H. En función de la dispersión que tengan los tres impactos para cada altura proponemos una única incertidumbre ∆D razonable. H/m D/m Wg/mJ K/mJ ± ± Tabla 7.1 Análisis cualitativo ⋇ ¿Cuál es el efecto dinámico de la fuerza de fricción? Análisis cuantitativo Calcular el trabajo Wg hecho por la fuerza de gravedad y la energía cinética K del móvil cuando deja el riel. Hacer la gráfica de K vs Wg y sobre los mismos ejes graficar una línea recta que pase por el origen de pendiente uno. De ser razonable hacer una regresión lineal y calcular la magnitud de la fuerza de fricción Ff .
- 25. EXPERIMENTO 8 Conservación de la energía Objetivos ⋇ Observar la transformación de energía potencial elás- tica en energía potencial gravitacional. Introducción En este experimento observamos como la energía poten- cial elástica en un resorte comprimido se transforma en la energía cinética de un proyectil lanzado verticalmente, y como esta resulta finalmente en energía potencial gravi- tacional. En primer lugar caracterizamos las propiedades elásticas del resorte y determinamos su constante elástica k. Luego comprimimos el resorte en diferentes longitudes d, lo utilizamos como sistema de propulsión del proyectil, y determinamos la altura máxima H que el proyectil ad- quiere. Finalmente comparamos la energía potencial gra- vitacional mg(H + d) adquirida con la energía potencial elástica 1 2 kd2 . Materiales ⋇ Proyectil ⋇ Pesas ⋇ Calibrador ⋇ Regla ⋇ Plataforma de lanzamiento Teoría Energía potencial. Energía potencial gravitacional. Ener- gía potencial elástica. Ley de la conservación de la ener- gía. ⋇ Se tiene una masa m sobre un resorte de constante k dispuesto en forma vertical. Se comprime el resorte d H H + d Seguro Figura 8.1 una distancia d. Hallar la máxima altura H que alcan- zará la masa después de ser impulsada por el resorte. Procedimiento Para determinar la constante elástica del resorte, dispone- mos el proyectil y el resorte tal y como se muestra en la figura 8.1 (sin el seguro), colgamos del gancho masas de 1 kg, 2 kg , y 3kg, y para cada una registramos la fuerza F ofrecida por el resorte y la longitud d en la que se comprime (desde su posición de equilibrio). En la segunda parte primero determinamos la masa m del proyectil y lo ubicamos junto con el resorte en la base. El seguro sirve para fijar diferentes longitudes de compresión d y hace uso de orificios dispuestos a lo largo del eje del proyectil. Procurar que cuando el resorte se comprima, lo 17
- 26. EXPERIMENTO 8. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA 18 haga con su parte superior centrada en la base de goma del proyectil. Ponemos la regla paralela a la trayectoria esperada del pro- yectil. Liberamos rápidamente el seguro y con ayuda de la regla determinamos la altura máxima H que el proyectil alcanza tomando como nivel de referencia el nivel al cual se encuentra la parte superior del proyectil cuando reposa libremente sobre el resorte. Para cada longitud de compre- sión hacemos por lo menos cinco lanzamientos exitosos, registrando en cada caso la altura máxima alcanzada. Un lanzamiento no es exitoso si el proyectil no supera sin im- pedimentos la base, o si la trayectoria que sigue se desvía significativamente de la vertical. Análisis cualitativo ⋇ Enumerar los diferentes factores que hacen que los lanzamientos no siempre logren la misma altura y bus- car la mejor forma de lograr lanzamientos repetibles. ⋇ Además de la energía cinética y potencial del proyec- til, ¿en qué otras formas se ve transformada la energía elástica del resorte? ⋇ ¿Cómo debe ser la trayectoria del proyectil para que en su altura máxima toda su energía sea solo potencial? Análisis cuantitativo Organizar los datos en tablas adecuadas usando cJ como unidad de energía. Con los datos de la primera parte calcular la constan- te elástica del resorte haciendo uso de una regresión li- neal. Para la segunda parte calcular la energía potencial elásti- ca Ue = 1 2 kd2 y la energía potencial gravitacional Ug = mg(H + d). Hacer la gráfica de Ug en función de Ue y sobre los mismos ejes dibujar una recta de pendiente unitaria y que pase por el origen.
- 27. EXPERIMENTO 9 Conservación del momento lineal Objetivos ⋇ Comparar la cantidad total de momento lineal de dos móviles antes y después de su colisión. Introducción En este experimento ponemos en colisión cuerpos de di- ferente masa y analizamos la cantidad total de momento lineal antes y después de la colisión. El proyectil es una es- fera que adquiere una velocidad controlada luego de des- cender por un riel y el blanco es otra esfera que lo espera al terminar el riel. Después de su colisión ambos el proyectil y el blanco describen un movimiento parabólico para final- mente dejar marcadas en papel pergamino sus posiciones horizontales finales. Las posiciones así registradas están es- trechamente relacionadas con las velocidades del proyectil y el blanco justo después de la colisión y en consecuencia nos permiten estudiar indirectamente lo ocurrido en la co- lisión. ATENCIÓN: traer medio pliego de papel perga- mino. Materiales ⋇ Esferas de diferente masa ⋇ Riel con soporte ⋇ Balanza ⋇ Flexómetro ⋇ Papel pergamino de 90 g m2 , 1/2 de pliego ⋇ Papel carbón (xp, yp) (xb, yb) Papel pergamino (x0, y0) Puente H Figura 9.1 Teoría Cantidad de momento lineal. Conservación del momento lineal. ⋇ Dos proyectiles de diferente masa son lanzados en di- rección horizontal, ¿cómo se comparan los tiempos que demoran en descender una distancia dada? ⋇ Si t es el tiempo que demoran las esferas en llegar al nivel del papel pergamino, demuestre que la cantidad 19
- 28. EXPERIMENTO 9. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL 20 de momento lineal de cada una después de la colisión es Pp,x = mp xp t Pp,y = mp yp t Pb,x = mb xp t Pb,y = mb yb t . (9.1) Donde mp es la masa del proyectil y mb la del blanco. Para demostrar lo anterior debe suponer que la coli- sión es perfectamente horizontal y usar las caracterís- ticas del movimiento parabólico que siguen los dos cuerpos después de su colisión. ⋇ Muestre además que la cantidad total de momento li- neal antes de la colisión es Px = mp x0 t Py = mp y0 t . (9.2) Donde (x0, y0) son las coordenadas de impacto del proyectil cuando el blanco se retira. Procedimiento En primer lugar determinamos la masa de cada una de las esferas y elegimos como proyectil a la de menor tamaño. Disponemos el riel y la base de madera con el papel carbón de tal forma que el punto de salida del riel se encuentre por encima de papel carbón, algo similar a los mostrado en la figura. Luego nos aseguramos de que la dirección de salida del riel sea perfectamente horizontal y de que su nivel más bajo esté elevado más o menos H ≈ 40 cm con respecto al nivel del papel carbón. Ahora elegimos la altura desde la que vamos a liberar al proyectil de tal forma recorra más o menos 35 cm en direc- ción horizontal durante su movimiento parabólico cuando no hay choque con el blanco. Es muy importante que al to- mar los datos se libere siempre desde la misma altura elegi- da. A continuación nivelamos la altura del blanco hacien- do uso del tornillo que lo sostiene de tal forma que el centro del proyectil y el blanco estén a la misma altura al momen- to de su colisión. Adicionalmente tenemos en cuenta que en cada colisión el puente que sostiene al tornillo debe es- tar bien fijo, para esto apretamos el tuerca mariposa que lo une al riel. A paso seguido ponemos nuestro papel pergamino sobre el papel carbón y marcamos el origen del sistema de coorde- nadas justo por debajo del punto de salida del riel. Toma- mos los ejes de coordenadas x y y paralelos a los bordes de la base de madera. Ahora, sin el blanco en su sitio, libera- mos el proyectil marcándose sobre el papel pergamino las coordenadas de impacto del proyectil (x0, y0) en ausencia del blanco. A continuación ponemos el blanco en su lugar al final del riel, liberamos la esfera y añadimos al papel pergamino (sin levantarlo) marcas adicionales que distingan las marcas del blanco y del proyectil y también al grupo de lanzamientos (de acuerdo a la orientación del puente). Luego cambiamos la dirección del puente (con el riel fijo en relación a la base de madera) y repetimos. Siendo muy importante que el riel permanezca en la misma orientación durante todo el ex- perimento, después de cambiar la orientación del puente liberamos nuevamente el proyectil sin el blanco para ase- gurarnos de que cae cercano a (x0, y0), si cae muy lejano debe volverse a comenzar toda la toma de datos. En total utilizamos siete direcciones distintas del puente y cada vez que cambiamos la dirección del puente primero aflojamos un poco la tuerca mariposa y luego la apretamos (no mu- cho). Análisis cualitativo ⋇ ¿Qué condiciones deben satisfacerse para que se con- serve la cantidad de momento lineal total en dirección horizontal? Discuta en que medida el montaje experi- mental satisface estas condiciones. Análisis cuantitativo Tabule las coordenadas (xp, yp) y (xb, yb) de los impac- tos. Decida una incertidumbre experimental razonable te- niendo en cuenta la dificultad en la definición del ori- gen. Definimos la unidad de tiempo 1τ como el tiempo que de- mora una esfera en caer. Calcule la cantidad de momento lineal de las dos esferas justo después de su colisión en gcm τ : Pp,x, Pp,y, Pb,x, Pp,y. Hacer las gráficas de Pp,x vs Pb,x y la de Pp,y vs Pb,y, para cada una de ellas hacer la regresión lineal correspondiente y comparar el valor de la pendiente con el esperado de conservarse la cantidad total de momento lineal.
- 29. EXPERIMENTO 9. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL 21 1b 2b 3b 4b 5b 6b 1p 2p 3p 4p 5p 6p (x0,y0) x y y Figura 9.2: Datos de ejemplo
- 30. EXPERIMENTO 10 Rodamiento sin deslizamiento Objetivos ⋇ Estudiar el movimiento de objetos que ruedan sin des- lizar a lo largo de un plano inclinado. ⋇ Invalidar una teoría. D Figura 10.1 Introducción En este experimento queremos observar la dinámica de ob- jetos que ruedan sin deslizar a lo largo de un plano incli- nado y mostrar falsa una teoría. La teoría a refutar es que la rotación de los objetos es irrelevante para su traslación y que la aceleración es la misma que en el caso de una partícula que desliza sin fricción, a saber que |a| = g sin β. Para tal efecto observamos el movimiento de objetos de di- ferente forma y a partir del tiempo t que tardan en recorrer una distancia D calculamos su aceleración (que se asume constante). Para evaluar la teoría es necesario calcular la incertidumbre experimental de la aceleración y si el valor teórico es incompatible, entonces acumulamos evidencia en contra de la teoría. Materiales ⋇ Objetos con simetría cilíndrica: cilindro hueco, cilin- dro semi-hueco, cascarón esférico, esfera maciza. ⋇ Plano inclinado ⋇ Flexómetro ⋇ Cronómetro ⋇ Calibrador ⋇ Opcional: clinómetro digital (Android, iOS) Teoría Movimiento uniformemente acelerado. Rodamiento sin deslizamiento. 22
- 31. EXPERIMENTO 10. RODAMIENTO SIN DESLIZAMIENTO 23 ⋇ Demuestre que la aceleración de un bloque de masa m que desliza sin fricción a lo largo de un plano in- clinado a un ángulo β con respecto a la horizontal es g sin β. a m ⋇ Demuestre que si un objeto en movimiento unidimen- sional con aceleración constante parte del reposo y recorre una distancia D en un tiempo t, entonces la magnitud de su aceleración es 2D t2 . Procedimiento Inclinamos el plano en un ángulo entre 2◦ y 5◦ usando el clinómetro, o el calibrador, el flexómetro y algo de trigo- nometría; anotamos la inclinación β elegida y la dejamos igual para el resto del experimento. Decidimos los puntos de partida y de llegada de los objetos y medimos la distan- cia d que los separa. Al tener que coordinar ojo y mano la distancia D que recorren los objetos es similar a d, decidir una incertidumbre ∆D razonable. Elegimos un objeto y usando el cronómetro determinamos siete veces el tiempo que le demora recorrer la distan- cia elegida. Hacemos lo mismo para los otros tres obje- tos. Análisis cualitativo ⋇ ¿Por qué es conveniente que el ángulo de inclinación del plano no sea muy grande? Análisis cuantitativo A partir de los siete tiempos registrados para cada obje- to calcular el tiempo promedio τ y la desviación estándar στ ≡ ∆τ. Además estimar una incertidumbre ∆D razona- ble para D, pensar: ¿qué tan bien puede garantizarse que d = D? Con τ y D calcular la aceleración a para cada objeto y su incertidumbre con la ecuación ∆a = a ( ∆D D + 2 ∗ ∆τ τ ) . (10.1) Calcular la aceleración teórica aT = g sin β y ubicarla en una recta junto con todos los resultados experimentales acompañados de su incertidumbre. Al tener el ángulo una incertidumbre ∆β la aceleración teórica también tiene una incertidumbre, que es igual a ∆aT ≈ aT ∆β, con β en ra- dianes.
- 32. EXPERIMENTO 11 Dinámica rotacional Objetivos ⋇ Evaluar la relación entre aceleración angular y torque. ⋇ Determinar el momento de inercia de objetos rígidos usando un método dinámico y comparar con el méto- do geométrico. 2d mr m 2R Figura 11.1 Introducción En este experimento aplicamos diferentes torques sobre un móvil y analizamos la aceleración angular resultante. En un experimento anterior mostramos que la aceleración li- neal es constante, y en consecuencia la aceleración angu- lar también lo es. En esta ocasión calculamos la aceleración angular a partir de un desplazamiento angular y su tiempo correspondiente. El móvil consiste de un rodillo, varillas y pesas de masa mr que pueden cambiarse de posición. El torque sobre el móvil se debe a la tensión de una cuerda que en su otro extremo está atada a un peso conocido mg. Del análisis de datos queremos verificar la relación de proporcionalidad entre torque y aceleración angular, y luego de verificada calcular el momento de inercia asociado. Estudiamos dos distribuciones de masa y comparamos la diferencia entre los momentos de inercia hallados con la diferencia hallada de solo considerar las distribuciones de masa. Materiales ⋇ Cronómetro ⋇ Móvil rotatorio con soporte ⋇ Pesas ranuradas con soporte ⋇ Polea fija ⋇ Soporte universal ⋇ Calibrador ⋇ Cuerda 2d1 2d2 Figura 11.2 24
- 33. EXPERIMENTO 11. DINÁMICA ROTACIONAL 25 Teoría Torque. Momento de inercia. Movimiento uniformemente acelerado. Teorema de los ejes paralelos. ⋇ Demuestre que en un movimiento de rotación con aceleración angular constante y velocidad angular ini- cial igual a cero la aceleración angular α satisface α = 2 ∆θ t2 . (11.1) Donde ∆θ es el desplazamiento angular al cabo en un tiempo t. ⋇ Teniendo en cuenta la figura 11.2, demuestre que la diferencia entre los momentos de inercia obtenidos cuando las pesas se encuentran a una distancia d1 del eje y cuando se encuentran a una distancia d2 del eje es igual a I2 − I1 = 2mr ( d2 2 − d2 1 ) . (11.2) Las distancias d1 y d2 medidas del eje a los centros de masa. ⋇ Demuestre que en el sistema mecánico a analizar la tensión de la cuerda satisface la ecuación T = mg 1 + mR2/I ≈ mg ( 1 − mR2 /I ) ≈ mg, (11.3) y que en consecuencia el torque ejercido por la ten- sión de la cuerda sobre el móvil es τ = mgR. (11.4) Procedimiento Vamos a analizar el movimiento del móvil cuando se po- nen cerca del eje las pesas (d1 ≈ 12 cm) y cuando se ponen lo más alejadas posible. Medimos con el calibrador el radio R del rodillo. Ponemos las pesas en la primera configuración y medimos d1 (del eje al centro de masa). Determinamos los tiempos necesarios para completar 3, 4 o 5 vueltas para masas m entre 30 g y 110 g a intervalos de 20 g. Si el movimiento es muy rápido disminuir el número de vueltas. Repetimos con las pesas a una distancia d2 del eje de rota- ción. Análisis cualitativo ⋇ Evalúe que tan buena es la suposición de fuerzas de fricción despreciables, y cuerdas y poleas ideales. Análisis cuantitativo Con los datos obtenidos calcule los torques y las acelera- ciones angulares (en rad/s2 ). Elija uno de los conjuntos de datos y haga la gráfica de torque contra aceleración angu- lar. De una regresión adecuada calcule los momentos de inercia de cada configuración y luego su diferencia. Com- pare con lo que se obtiene de la ecuación 11.2.
- 34. EXPERIMENTO 12 Conservación de momento angular Objetivos ⋇ Evaluar la conservación de momento angular en la co- lisión de dos cuerpos. ⋇ Usar computadores para facilitar el procesamiento de datos y la elaboración de gráficas. R a b M m L ✓ ⌘ Eje de rotación Figura 12.1 Introducción En este experimento evaluamos el momento angular total de un sistema mecánico antes y después de una colisión perfectamente inelástica. El proyectil es una pesa de 200 g y el blanco una regla de madera. La conservación de la ener- gía nos permite calcular el momento angular del proyectil justo antes de la colisión y también calcular el momen- to angular justo después de la colisión teniendo en cuenta la energía potencial gravitacional máxima adquirida por el conjunto. Vamos a tener disponibles computadores para ayudar al procesamiento de datos y la elaboración de gráficas ha- ciendo uso de hojas de cálculo. Materiales ⋇ Regla con banda de velcro ⋇ Regla ⋇ Soporte universal ⋇ Proyectil revestido de velcro ⋇ Cuerda ⋇ Flexómetro ⋇ Computador Teoría Momento angular. Momento de inercia. Conservación de momento angular. ⋇ Muestre que el momento angular del proyectil justo antes de la colisión es Li = mR √ 2gR (1 − cos θ). (12.1) ⋇ Asumiendo puntual al proyectil y aproximando a la regla como una varilla de masa uniformemente distri- buida, muestre que el momento de inercia del sistema regla-proyectil es I = M ( 1 12 L2 + (L/2 − η) 2 ) + mR2 . (12.2) Tenga en cuenta que la regla y el proyectil giran en torno al mismo eje. 26
- 35. EXPERIMENTO 12. CONSERVACIÓN DE MOMENTO ANGULAR 27 ⋇ Si el momento angular del sistema regla-proyectil jus- to después de la colisión es Lf , suponiendo conserva- ción de la energía, demuestre que la relación entre I, Lf , m, M, L, R, y β es L2 f 2I = ( mR + M ( L 2 − η )) g (1 − cos β) . (12.3) Asuma que la regla tiene ancho despreciable y que el proyectil es puntual. c a Figura 12.2 Procedimiento Primero medimos la masas m y M, y determinamos las lon- gitudes η, a, R y L. No olvidar estimar las incertidumbres experimentales de cada cantidad. En vez de medir directamente los ángulos de lanzamiento y de llegada α y β determinamos de forma equivalente los pares de longitudes (a, b) y (a, c). Liberamos el proyectil anotando el b correspondiente y registrando el c asociado a la elevación máxima del conjunto regla-proyectil. Al de- terminar c usar la línea de referencia marcada sobre el eje de la regla, NO debe usarse como referencia cualquiera de los bordes de la regla. Usamos 7 valores distintos de b y encontramos los valores correspondientes de c. Tener cuidado con errores de paralaje, la vista tiene que estar al mismo nivel de la regla y la dirección en la que se observa ser perpendicular al plano de la regla. Análisis cualitativo ⋇ ¿Qué condiciones deben satisfacerse para que se con- serve la cantidad de momento angular de un sistema mecánico? ¿En qué medida satisface el montaje esta condición? Análisis cuantitativo Calcular el momento de inercia total del conjunto regla- proyectil usando la ecuación 12.2. Calcular el momento angular inical Li y el momento angular final Lf usando las ecuaciones 12.1 y 12.3; hacer uso de una hoja de cálculo. Hacer en computador la gráfica de Lf vs Li y una regresión adecuada.
- 36. EXPERIMENTO 13 Caída libre Objetivos ⋇ Confirmar que el movimiento de un cuerpo en caída libre es de aceleración constante. ⋇ Determinar la magnitud de la aceleración debida a la gravedad. ⋇ Familiarizarse con sistemas electrónicos de adquisi- ción de datos. Sensor de paso Sensor de impacto Figura 13.1 Introducción En este experimento diseñamos y llevamos a cabo un pro- cedimiento experimental para estudiar el movimiento de un cuerpo bajo la única influencia de su peso. Tenemos disponibles sensores electrónicos que nos permiten medir tiempos con mucha mejor precisión que métodos manua- les. El sensor de paso inicia el cronómetro apenas pasa un objeto por la mitad de sus brazos y el sensor de impacto lo detiene apenas siente un impacto sobre su superficie. Los sensores se comunican a través de una interfaz electróni- ca que entrega los datos a un computador para su análi- sis. Materiales ⋇ Esfera de goma ⋇ Sensor de paso ⋇ Sensor de impacto ⋇ Interfaz electrónica ⋇ Flexómetro ⋇ Computador ⋇ Soporte universal, nueces y varilla corta Teoría ⋇ Explique en detalle la física del movimiento de caída libre junto con su descripción matemática. Procedimiento Diseñe un procedimiento acorde con los objetivos estable- cidos y que utilice los materiales listados. Asegúrese de especificar las variables que debe controlar y de señalar aspectos a tener en cuenta para obtener resultados preci- sos. 28
- 37. EXPERIMENTO 13. CAÍDA LIBRE 29 Análisis cualitativo ⋇ Liste y comente las dificultades, si alguna, encontradas en la toma de datos. ⋇ Explique brevemente un método alternativo al pro- puesto. Análisis cuantitativo Determine la aceleración debida a la gravedad junto con su incertidumbre. Debe hacer uso de una regresión. Si la dis- crepancia con el valor aceptado es mayor al 10 % mejorar el método y volver a tomar datos. Haga una gráfica para presentar sus datos.