Formulas de productos notables
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Este documento describe varios productos notables, que son multiplicaciones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección. Explica fórmulas para elevar binomios y polinomios al cuadrado y cubo, y para multiplicar binomios con términos comunes o binomios conjugados. También menciona identidades como las de Cauchy y fórmulas para sumar y restar cubos.
Formulas de productos notables
- 1. Prof. Alberto Mansilla Productos notables Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente. Cuadrado de un binomio Ilustración gráfica del binomio al cuadrado. Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así: ( 𝐚 + 𝐛) 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝟐𝐚𝐛 + 𝐛 𝟐 Producto de binomios con término común Dos binomios con un término común Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común. Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente: ( 𝐱 + 𝐚)( 𝐱 + 𝐛) = 𝐱 𝟐 + ( 𝐚 + 𝐛) 𝐱 + 𝐚𝐛
- 2. Prof. Alberto Mansilla Producto de dos binomios conjugados Producto de binomios conjugados. Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados. ( 𝐚 + 𝐛)( 𝐚 − 𝐛) = 𝐚 𝟐 − 𝐛 𝟐 Cuadrado de un polinomio Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica. Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos. ( 𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2( 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) ( 𝑎 + 𝑏 − 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2( 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐) ( 𝑎 − 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2(−𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐) ( 𝑎 − 𝑏 − 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2(−𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)
- 3. Prof. Alberto Mansilla Cubo de un binomio Descomposición volumétrica del binomio al cubo. ( 𝐚 + 𝐛) 𝟑 = 𝐚 𝟑 + 𝟑𝐚 𝟐 𝐛 + 𝟑𝐚𝐛 𝟐 + 𝐛 𝟑 ( 𝐚 − 𝐛) 𝟑 = 𝐚 𝟑 − 𝟑𝐚 𝟐 𝐛 + 𝟑𝐚𝐛 𝟐 − 𝐛 𝟑 Identidades de Cauchy: Identidad de Argand Identidades de Legendre Identidades de Lagrange
- 4. Prof. Alberto Mansilla Otras identidades Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre ellas se destacan: Adición de cubos: Diferencia de cubos: Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como las fórmulas de factorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo). Desarrollo de un trinomio al cubo (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3a²c + 3b²a + 3b²c + 3c²a + 3c²b + 6abc (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(a + c)(b + c) (a + b + c)3 = a3 b3 + c3 + 3a2(b + c) + 3b2(a + c) + 3c²(a + b) + 6abc (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) − 3abc (a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2) − 2(a3 + 3b3 + c3 ) + 6abc Igualdades condicionadas: Si: a + b + c = 0 Se cumple que: 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = −2( 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)
- 5. Prof. Alberto Mansilla Si: a + b + c = 0 Se cumple que: 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3𝑎𝑏𝑐 Si: 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 Se cumple que: a = b = c