Funciones logaritmicas
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Este documento presenta las funciones logarítmicas y sus gráficas. Explica que un logaritmo se define como el exponente al que se eleva una constante para obtener un valor dado. Luego, describe cómo graficar funciones logarítmicas y sus propiedades clave, incluidas las propiedades de producto, cociente y potencias para logaritmos. Finalmente, presenta ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar los conceptos.
Funciones logaritmicas
- 1. Funciones logarítmicas y sus gráficas Prof. Rosa E. Padilla
- 2. Logaritmo • Se define 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 como el número y tal que 𝑥 = 𝑎 𝑦 , donde x > 0, y a es una constante positiva diferente de 1
- 3. Ejemplo: Grafica 𝑥 = 2 𝑦
- 4. Ejemplo: Grafica 𝑥 = 2 𝑦
- 6. Hallar la fórmula inversa de 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 • Reemplazar f(x) por y. • Intercambiar x por y. • Resolver para y. • Reemplazar y por 𝑓−1 (𝑥).
- 7. Función logaritmo base 2 • 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 → se lee “logaritmo base 2 de x” • Significa la potencia a la cual es elevada a la 2 para obtener x. • Ejemplo: 𝑙𝑜𝑔28 = 3
- 8. Función logarítmica • Para cualquier función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 su inversa es llamada función logarítmica base a. • La gráfica de su inversa se obtiene reflejando la gráfica de la función original en la recta y = x. • 𝑥 = 𝑎 𝑦 ⟹ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 • La inversa de 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 está dada por 𝑓−1 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥.
- 9. Definición • Se define 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 como el número y tal que 𝑥 = 𝑎 𝑦 , 𝑥 > 0 y a es una constante positiva diferente de 1.
- 10. Características función logarítmica • 𝑥 = 𝑎 𝑦 • 𝑓−1 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 • 𝑎 > 1 • Continua • Uno a uno • Dominio: 0, ∞ • Rango: −∞, ∞ • Creciente • Asíntota vertical en el eje y: 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 → −∞ cuando 𝑥 → 0+ • Intercepto x en: (1, 0) • No tiene intercepto y • 𝑙𝑜𝑔 𝑎1 = 0 y 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎 = 1 ∀ logaritmo base a.
- 11. Práctica Halla los siguientes logaritmos: 1. 𝑙𝑜𝑔1010,000 2. 𝑙𝑜𝑔100.01 3. 𝑙𝑜𝑔28 4. 𝑙𝑜𝑔93 5. 𝑙𝑜𝑔61 6. 𝑙𝑜𝑔88 4 −2 3 1 2 0 1
- 12. Convirtiendo entre ecuaciones exponenciales y logarítmicas • 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑎 𝑦 • Ejemplo: Convierte las siguientes exponenciales a logaritmos. 1) 16 = 2 𝑥 2) 10−3 = 0.001 3) 𝑒 𝑡 = 70 𝑙𝑜𝑔216 = 𝑥 𝑙𝑜𝑔100.001 = −3 𝑙𝑜𝑔 𝑒70 = 𝑡
- 13. Convirtiendo entre ecuaciones exponenciales y logarítmicas • 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑎 𝑦 • Ejemplo: Convierte los siguientes logaritmos a exponenciales. 1) 𝑙𝑜𝑔232 = 5 2) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑄 = 8 3) 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑡 𝑀 25 = 32 𝑎8 = 𝑄 𝑡 𝑥 = 𝑀
- 14. Calculando logaritmos con calculadora log 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔10 𝑥 1) log 645,778 2) log 0.000239 3) log(−3) 5.8101 −3.6216 ∄
- 15. Logaritmo Natural • El logaritmo base e es llamado el logaritmo natural. ln 𝑥 = log 𝑒 𝑥
- 16. Halla los el valor de los logaritmos naturales 1) ln 645,778 2) ln 0.0000239 3) ln(−5) 4) ln 𝑒 13.3782 −12.6416 ∄ 1
- 17. Cambio de base en logaritmos • Para cualquier logaritmos con bases a y b, y cualquier número M: log 𝑏 𝑀 = log 𝑎M log 𝑎 𝑏
- 18. Ejemplo • Utiliza logaritmos comunes para hallar el valor de log58:
- 19. Ejemplo • Utiliza logaritmos naturales para hallar el valor de log58:
- 20. Aplicaciones • La magnitud R de la escala Richter para medir la intensidad I de un terremoto, está definida como 𝑅 = log 𝐼 𝐼0 , donde 𝐼0 es la intensidad mínima utilizada para comparación, o la intensidad del menor sismo registrado en un sismógrafo. Si un sismo es 10 veces más intenso uno anterior, se registra un incremento de 1 en la intensidad del anterior. Si es 100 veces más intenso, entonces el aumento en intensidad es 2.
- 21. Aplicaciones • Un sismo en Ahmedabad, India el 26 de enero de 2001 tuvo una intensidad de 107.9 ∙ 𝐼0. ¿Cuál era la magnitud en la escala Richter? • La magnitud en la escala Richter fue de 7.9.
- 22. Graficando funciones logarítmicas • Ejemplo: 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔5 𝑥
- 23. Graficando funciones logarítmicas • Ejemplo: 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 Utilizando calculadora gráfica: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = ln 𝑥 ln 5
- 24. Grafica las siguientes funciones: 1) 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 + 3) 2) 𝑓 𝑥 = 3 − 1 2 ln 𝑥 3) 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 − 1)
- 25. 1) 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 + 3)
- 26. 2) 𝑓 𝑥 = 3 − 1 2 ln 𝑥
- 27. 3) 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 − 1)
- 28. Transformaciones Sea 𝑓 𝑥 = log 𝑥. Para cada función, grafica las mismas e identifica las trasformaciones de f → g. • 1. 𝑔 𝑥 = 3 log 𝑥 • 2. 𝑔 𝑥 = 1 2 log 𝑥 + 1 • 3. 𝑔 𝑥 = − log 𝑥 − 2 • 4. 𝑔 𝑥 = −5 log 𝑥 • 5. 𝑔 𝑥 = 0.25 log 𝑥 − 2 • 6. 𝑔 𝑥 = log 𝑥 + 5 − 3
- 29. 1. 𝑔 𝑥 = 3 log 𝑥
- 30. 2. 𝑔 𝑥 = 1 2 log 𝑥 + 1
- 31. 3. 𝑔 𝑥 = − log 𝑥 − 2
- 32. 4. 𝑔 𝑥 = −5 log 𝑥
- 33. 5. 𝑔 𝑥 = 0.25 log 𝑥 − 2
- 34. 6. 𝑔 𝑥 = log 𝑥 + 5 − 3
- 35. Propiedades de los logaritmos • ∀𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1; 𝑏 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑥 = log 𝑏 𝑦 • Si 𝑏 𝑥 = 𝑏 𝑦 → 𝑥 = 𝑦 • Para 𝑚 > 0, 𝑛 > 0 𝑦 𝑏 ≠ 1: – Producto: log 𝑏 𝑚𝑛 = log 𝑏 𝑚 + log 𝑏 𝑛 – División: log 𝑏 𝑚 𝑛 = log 𝑏 𝑚 − log 𝑏 𝑛 – Potencias: log 𝑏 𝑚 𝑛 = 𝑛 ∙ log 𝑏 𝑚 • log 𝑏 𝑏 𝑥 = 𝑥 ∧ 𝑏log 𝑏 𝑥 = 𝑥; ∀𝑥 > 0 • log 𝑏 𝑥 = log 𝑏 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦 • log 𝑏 𝑏 = 1 • log 𝑏1 = 0
- 36. Propiedades
- 37. Práctica • Expande cada logaritmo.
- 38. Práctica • Reescribe cada expresión como un logaritmo.