Funciones
- 1. Funciones logarítmicas La función logarítmica "básica" es la función, y = log b x , donde b > 0 y b ≠ 1. La gráfica de la función logarítmica y = log 10 x se muestra a continuación. Observe que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y = b x y tiene las siguientes propiedades. 1. El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos. 2. El rango es el conjunto de todos los números reales. (Ya que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial, el dominio de la función logarítmica es el rango de la función exponencial y el rango de la función logarítmica es el dominio de la función exponencial) 3. La función es continua y uno-a-uno. 4. El eje de las y es la asíntota de la gráfica. 5. La gráfica intersecta al eje de las x en (1, 0). Esto es, la intercepción en x es 1. La función logarítmica, y = log b x , puede ser cambiada en k unidades verticalmente y h unidades horizontalmente con la ecuacióny = log b ( x + h ) + k . Cambio Vertical Si k > 0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia arriba. Si k < 0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia abajo. Cambio Horizontal
- 2. Si h > 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la izquierda. Si h < 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la derecha. Función logarítmica natural El logaritmo con base e es llamado el logaritmo natural. Se denota por ln x . La función logarítmica natural, y = ln x es la inversa de la función exponencial natural de base, y = e x . La gráfica de la función logarítmica natural y = ln x se muestra a continuación. Ejemplo: Grafique la función y = log 10 ( x – 1) + 2. Comience con la gráfica logarítmica básica y = log b x . Luego cambie la gráfica 1 unidad a la derecha y 2 unidades hacia arriba.
- 3. Funciones exponenciales La función exponencial "básica" es la función donde a es alguna constante positiva. Por ejemplo, la gráfica de y = 2 x se ve de la forma:
- 4. Dese cuenta que: 1) La intercepción en y es 1 (no importa que valor tome a ). 2) La gráfica se acerca al eje de las x asintóticamente así como x va hacia el infinito negativo (o así como x va al infinito positivo , si 0 a 1). 3) La gráfica siempre es positiva (nunca cero o negativa). La función exponencial puede ser cambiada a k unidades hacia arriba y a h unidades a la derecha con la ecuación: Ejemplo: Grafique la ecuación. Comience con la gráfica exponencial "básica" y = 2 x . Luego cambie la gráfica tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba. Funciones trigonométricas Las relaciones trigonométricas también pueden ser consideradas como funciones de una variable que es la medida de un ángulo.
- 5. Esta medida de ángulo puede ser dada en grados o radianes . Aquí, usaremos radianes. Ya que cualquier ángulo con una medida mayor que 2 π radianes o menor que 0 es equivalente a algún ángulo con medida 0 ≤ θ < 2 π , todas las funciones trigonométricas son periódicas . La gráfica de la función seno se ve así: Dese cuenta que el dominio de la función y = sin x es todos los números reales (el seno está definido para cualquier medida de ángulo), el rango es −1 ≤ y ≤ 1. La gráfica de la función coseno se ve así:
- 6. El dominio de la función y = cos x es todos los números reales (el coseno está definido para cualquier medida de ángulo), el rango es −1 ≤ y ≤ 1. La gráfica de la función tangente se ve así: El dominio de la función y = tan x es todos los números reales except o los valores donde el cos x es igual a 0, esto es, los valores para todos los enteros n . El rango de la función tangente es todos los números reales. La gráfica de la función secante se ve así:
- 7. El dominio de la función es otra vez todos los números reales excepto los valores donde el cos x es igual a 0, esto es, los valores para todos los enteros n . El rango de la función es y ≤ −1 o y ≥ 1. La gráfica de la función cosecante se ve así:
- 8. El dominio de la función es todos los números reales excepto los valores donde el sin x es igual a 0, esto es, los valores πn para todos los enteros n . El rango de la función es y ≤ −1 o y ≥ 1. La gráfica de la función cotangente se ve así: El dominio de la función es todos los números reales excepto los valores donde el sin x es igual a 0, esto es, los valores πn para todos los enteros n . El rango de la función es todos los números reales.